Ве'кторное простра'нство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

  Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

  1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

  2) (х + у ) + z = x + (y + z ) (ассоциативность сложения);

  3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x ;

  4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,

  5) 1 · х = х,

  6) a (bx ) = (ab ) х (ассоциативность умножения);

  7) (a + b ) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

  8) a (х + у ) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

  Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

  a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n    (1)

  называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 ,..., e n с коэффициентами a 1 , a 2 ,..., a n . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a 1 , a 2 ,..., a n отличен от нуля. Векторы e 1 , e 2 ,..., e n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e 1 , e 2 ,..., e n равна нулевому вектору) векторы e 1 , e 2 ,..., e n называется линейно независимыми.

  Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

  В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n» ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e 1 , e 2 ,..., e n , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e 1 , e 2 ,..., e n — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

  x = a 1 e 1 + a 2 e 2 +... + a n e n .

  При этом числа a 1 , a 2, ..., a n называются координатами вектора х в данном базисе.

  Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1 , l 2 ,..., l n . Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

  (l 1 , l 2 , …, l n ) + (m 1 , m 2 , …, m n ) = (l 1 + m 1 , l 2 + m 2 , …, l n + m n );

  a (l 1 , l 2 , …, l n ) = (al 1 , al 2 , …, al n ).

  Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

  Множество R всех многочленов a 0 + a 1 u + … + a n u n (любых степеней n ) от одного переменного с действительными коэффициентами a 0 , a 1 ,..., a n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u 2 ,..., u n (при любом n ) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.

  Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1 ; его базисом могут служить многочлены 1, u, u 2 ,..., u n .

  Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R' Í R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R ) и если для каждого вектора v Î r' и для каждых двух векторов v 1 и v 2 (v 1 , v 2 Î R' ) вектор lv (при любом l ) и вектор v 1 + v 2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v 1 , v 2 как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x 1 , x 2 ,... x p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a p x p . В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x 1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x 1 . Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x 1 и x 2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x 1 и x 2 . В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x 1 , x 2 ,..., x p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k ) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u 2 ,..., u n ), есть (n + 1 )- мepное подпространство пространства R всех многочленов.

  Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у ) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

  1) (х, у ) = (у, х ) (перестановочность);

  2) (x 1 + x 2 , y ) = (x 1 , y ) + (x 2 , y ) (распределительное свойство);

  3) (ax, у ) = a (х, у ),

  4) (х, х ) ³ 0 для любого х , причем (х, х ) = 0 только для х = 0 .

  Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством . Длина |x | вектора x и угол  между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

 

  Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство E n получим, определяя в n -мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (l 1 , …, l n ) и y = (m 1 , …, m n ) соотношением

  (x, y ) = l 1 m 1 + l 2 m 2 +… + l n m n .     (2)

  При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

  В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у ) = 0. В рассмотренном пространстве E n условие ортогональности векторов x = (l 1 , …, l n ) и y = (m 1 , …, m n ), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

  l 1 m 1 + l 2 m 2 +… + l n m n = 0. (3)

  Применение В. п . Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения y n + a 1 (x ) y ( n + 1 ) + … + a n (x ) y = 0 . Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

 

  Рассмотрим в евклидовом пространстве E n векторы a i = (a i1 , a i2 , …, a in ), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u 1 , u 2 ,..., u n ). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов E n , придадим системе (4) следующий вид:

  (a i , u ) = 0, i = 1, 2, …, m .   (5)

  Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам a i . Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a i , то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a i . Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства . Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С .

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. — Л., 1948.

  Э. Г. Позняк.