Возраста'ние и убыва'ние фу'нкции , функция y = f (x ) называется возрастающей на отрезке [a , b ], если для любой пары точек х и х' , а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x ) £ f (x' ), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x ) < f (x' ). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х 2 (рис. , а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

 

(рис. , б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x )­, а убывающие f (x )¯. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x ) была возрастающей на отрезке [а , b ], необходимо и достаточно, чтобы её производная f '(x ) была неотрицательной на [а , b ].

  Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x ) называется возрастающей в точке x 0 , если найдётся такой интервал (a, b), содержащий точку x 0 , что для любой точки х из (a, b), х> x 0 , выполняется неравенство f (x 0 ) £ f (x ), и для любой точки х из (a, b), х< x 0 , выполняется неравенство f (x ) £ f (x 0 ). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f '(x 0 ) > 0, то функция f (x ) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x ) возрастает в каждой точке интервала (a , b ), то она возрастает на этом интервале.

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 1, М., 1966.

  С. Б. Стечкин.

График к ст. Возрастание и убывание функции.