Конец XVIII и начало XIX века ознаменовались быстрым развитием техники. Началась постройка железных дорог. Сооружались пароходы. Возрастал интерес к механике.
В России один за другим открывались университеты — в Казани, Петербурге, Харькове. Они стали выпускать русских математиков и механиков.
Гениальным математиком и механиком первой половины XIX века был М. В. Остроградский (1801–1862).
Сын небогатого помещика, М. В. Остроградский, не окончив гимназии, хотел стать офицером. Он мечтал о блестящем гвардейском мундире и не поверил бы, что сделается ученым.
Родители повезли его в Петербург, чтобы поместить в полк. Но по дороге, под влиянием советов одного родственника, переменили решение: юношу начали подготовлять в высшее учебное заведение.
В 1817 году М. В. Остроградский поступил в Харьковский университет. Даже став студентом, он не сразу понял, в чем его призвание. Только в конце второго года учебы М. В. Остроградский почувствовал большое влечение к математике и проявил замечательные способности в этой науке. Он не только на лету усваивал труднейшие теоремы, но и делал самостоятельные математические выводы.
Успешно изучая математику и точные науки, М. В. Остроградский не посещал лекций богословия и философии. Поэтому, по настоянию реакционной части педагогического совета, ему не был выдан университетский диплом.
Тогда в 1822 году М. В. Остроградский уехал в Париж. Там он слушал лекции знаменитейших математиков. Через четыре года он сам уже написал научную работу — исследование волнового движения жидкости в цилиндрическом бассейне.
Эта работа получила лестные отзывы французских ученых. Имя М. В. Остроградского скоро приобрело в мире математиков известность. Когда через год он возвратился в Россию, то стал центром внимания петербургского математического кружка. В 1830 году М. В. Остроградский был избран в экстраординарные, а через год — в ординарные академики Российской Академии наук. М. В. Остроградский читал лекции по математике и механике в Педагогическом институте, в Морском кадетском корпусе, в Михайловской артиллерийской академии, но не оставлял исследовательской деятельности. Он опубликовал десятки замечательных работ по математике и механике. Важнейшие из них были посвящены обобщению принципов механики, и в числе их — началу возможных перемещений.
Как уже было сказано ранее, начало возможных перемещений возникло при изучении действия машин. Оно дает возможность составить уравнение равновесия системы тел, соединенных материальными связями. Пользуясь началом возможных перемещений, можно рассчитать любой механизм, то-есть определить размеры всех его частей.
Однако до Остроградского начало возможных перемещений выражалось в такой форме, что могло применяться к расчету только системы тел с удерживающими или двусторонними связями.
Такие связи, допуская движение части механизма в одну сторону, позволяют ему двигаться и в противоположную и, наоборот, не допуская движения в одну сторону, не допускают его и в другую.
Обыкновенный подшипник представляет собой пример двусторонней, или удерживающей, связи: он не «дозволяет» (как писали в курсах механики) ни опускания, ни поднятия вращающейся в нем шейки вала.
Но если снять крышку подшипника, то связь становится односторонней, или неудерживающей. Такие подшипники применяются для тяжелых водяных колес и ветряков. Подшипник без крышки не препятствует поднятию вала, удерживаемого на месте только тяжестью колеса.
Лагранж и все механики XVIII века считали, что начало возможных перемещений приложимо только к двусторонним связям. Они не применили бы это условие равновесия к водяному колесу с подшипниками без крышек.
М. В. Остроградский распространил начало возможных перемещений и на односторонние связи. Он доказал, что в этом случае для равновесия необходимо, чтобы возможная работа всех приложенных к телу сил была меньше или равна нулю (возможность отрицательной работы объясняется, конечно, тем, что движению приписывается знак в зависимости от направления).
Независимо от своего современника — английского физика Вильяма Гамильтона (1805–1865), М. В. Остроградский ввел в механику так называемый принцип наименьшего действия. Это один из важнейших законов механики. Он гласит, что при свободном перемещении тел из одного положения в другое движение происходит так, что работа сил имеет наименьшую величину.
Зарождение этого принципа в виде философской мысли, будто природа «стремится» к тому, чтобы все действия совершались с наименьшей затратой энергии (или, как говорили тогда, силы), относится к давним временам. В XVII веке такая идея была высказана французским математиком Пьером Ферма (1601–1665), сумевшим применить ее к выводу закона преломления света.
Ферма предположил, что распространение света в воде и стекле встречает большее сопротивление, чем в воздухе. Он стал искать, по какому пути должен идти луч света, чтобы общее сопротивление в обеих средах (воздух — стекло) вместе было наименьшим. Понятно, Что такой путь луч пройдет и в наикратчайшее время.
Оказалось, что для этого при переходе в более плотную среду луч должен преломиться, приблизившись к перпендикуляру, восстановленному в точке его падения к поверхности раздела. Отклонение должно быть таким, чтобы отношение синусов угла падения и преломления было равно отношению скоростей в двух средах.
Однако принцип наименьшего действия оставался отвлеченным и не мог быть признан физическим законом.
Впоследствии начало наименьшего действия получило обоснование и развитие в работах Эйлера, который показал, что этот принцип соблюдается и в движении тел под действием центральных сил, например планет.
Наконец Остроградский и Гамильтон, независимо друг от друга, придали этому принципу окончательную форму закона механики.
В тесной связи с исследованиями в механике стояли и математические работы М. В. Остроградского.
Этот замечательный русский математик развил так называемое вариационное исчисление, главнейшая задача которого — отыскание наибольшего и наименьшего значения различных величин. Примером вопросов, решаемых с помощью этого исчисления, может служить следующий: найти кривую, двигаясь по которой под действием тяжести тело пришло бы в кратчайшее время из одной точки над земной поверхностью в другую.
М. В. Остроградский исследовал и проблемы баллистики — науки о движении снаряда. Он работал и в области небесной механики, дав новые доказательства некоторым из ее теорем.
Работы М. В. Остроградского были большим шагом вперед в аналитической механике и математике. Они прославили имя этого замечательного русского ученого, и Парижская Академия наук избрала его своим членом-корреспондентом.
Значительные успехи в динамике вращающегося тела были достигнуты благодаря работам русского математика С. В. Ковалевской (1850–1891).
Дочь генерала-артиллериста, С. В. Ковалевская получила хорошее образование. Еще в раннем возрасте она проявила замечательные математические способности. Пятнадцати лет С. В. Ковалевская уже брала уроки высшей математики в Москве. Через несколько лет она училась у одного из известнейших математиков Германии, Вейерштрасса, и слушала лекции знаменитого физика Гельмгольца.
По представлению Вейерштрасса, Геттингенский университет присудил С. В. Ковалевской за три математические работы ученую степень доктора без установленных для этого экзаменов.
В одной из этих работ С. В. Ковалевская исследовала вопрос о кольце Сатурна, развивая идеи знаменитого французского математика Пьера Лапласа (1749–1827), изложенные им в труде «Небесная механика».
По возвращении в Россию С. В. Ковалевская не могла бы в те времена найти большего приложения своих математических познаний, чем преподавание арифметики в младших классах гимназии.
Просьба С. В. Ковалевской допустить ее к сдаче экзаменов на степень магистра при Московском университете была отклонена. Тогда С. В. Ковалевская решила покинуть Россию и вернулась в Берлин.
В 1883 году С. В. Ковалевская получила приглашение читать лекции по математике в Стокгольмском университете. Она уехала в Швецию, где прочитала двенадцать курсов по разным отделам математики.
Именно тогда С. В. Ковалевская написала самый важный из своих трудов — «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки», посвященный вращению твердого тела. За эту работу Парижская Академия наук присудила ей специальную премию.
Премия была предназначена академией тому, чья работа станет новым этапом в развитии динамики вращающегося тела. Никому из математиков, исследовавших вращение тел после Эйлера и Лагранжа, не удалось до тех пор получить эту премию.
С. В. Ковалевская исследовала вращение особого рода волчка, отличавшегося от изученного Эйлером тем, что на внешнем крае его добавлен груз. Поэтому точка опоры волчка С. В. Ковалевской не совпадает с его центром тяжести, смещенным в сторону.
Волчок, вращение которого исследовала С. В. Ковалевская.
Решение этой задачи представило большие математические трудности. Оно требовало основательных специальных знаний, обладая которыми С. В. Ковалевская довела исследование до конца.
В 1889 году С. В. Ковалевская была избрана Российской Академией наук в члены-корреспонденты— первый случай в России, когда женщина получила такое звание.
Работа С. В. Ковалевской повлекла за собой ряд исследований вращения твердого тела другими математиками и механиками. Среди них видную роль играют русские ученые — Η. Е. Жуковский, А. М. Ляпунов, С. А. Чаплыгин.