Гейтман родился в городе Везенберге Эстляндской губернии. Он учился в гравировальном классе Петербургской Императорской академии художеств под руководством знаменитого Н. И. Уткина, потом обучался пунктирной гравюре в мастерской Т. Райта. Гейтман гравировал портреты многих своих знаменитых современников, в том числе и А. С. Пушкина.

А. С. Пушкин. Гравюра на меди Е. И. Гейтмана

Е. И. Гейтман. Портрет А. С. Пушкина

Рисунок для гравюры был сделан К. П. Брюлловым по акварельному портрету, который написал с натуры С. Г. Чириков – лицейский учитель рисования А. С. Пушкина. Гравюра Гейтмана была помещена в качестве фронтисписа к первому изданию поэмы А. С. Пушкина «Кавказский пленник». Пушкину она не понравилась и больше не печаталась.