Цель этой главы — познакомить вас с самым знаменитым уравнением в физике: E = mc2. Это уравнение лежит в основе атомной энергии и атомной бомбы. Оно утверждает, что если вы превратите полкило вещества в энергию, её хватит на освещение миллиона домов в течение года. Уравнение E = mc2 лежит и в основании теории струн. Как мы узнаем из главы 4, энергия колебаний струны вносит вклад в её массу.
Странность уравнения E = mc2 в том, что оно устанавливает связь между вещами, которые кажутся нам очень далёкими друг от друга. E — это энергия, например киловатт-часы, за которые вы ежемесячно перечисляете коммунальные платежи, m — это масса, например полкило ветчины, а c — скорость света, составляющая 299 792 458 метров в секунду или приблизительно триста тысяч километров в секунду. Итак, первая наша задача — разобраться с тем, что физики называют размерными величинами, такими как длина, масса, время и скорость. Вернёмся к уравнению E = mc2 и поговорим о метрических единицах, о способах записи больших чисел и немного о ядерной физике. Хотя изучение ядерной физики не является обязательным для понимания теории струн, ядерная физика служит хорошей иллюстрацией универсальности уравнения E = mc2. В восьмой главе я вернусь к этой теме и расскажу о попытках использования теории струн для лучшего понимания некоторых аспектов современной ядерной физики.
Длина, масса, время и скорость
Простейшей из всех размерных величин является длина. Это то, что вы измеряете линейкой. Единицей измерения длины в международной системе СИ является метр.
Время представляется физиками как дополнительное измерение. Мы воспринимаем реальный мир четырёхмерным: три измерения пространственные и одно — временно́е. Временно́е измерение принципиально отличается от пространственных. Вы можете перемещаться в любом направлении в пространстве, но вы не можете двигаться назад во времени. Строго говоря, вы вообще не можете перемещаться во времени. Секунды тикают независимо от того, чем вы занимаетесь. По крайней мере, так следует из нашего повседневного опыта. Но на самом деле не всё так просто. Если вы будете очень быстро бегать по кругу, в то время как ваш коллега неподвижно стоит в его центре, ваше время будет течь немного медленнее, чем время товарища. Если вы возьмёте одинаковые секундомеры и запустите их одновременно, то после пробежки ваш секундомер немного отстанет от секундомера неподвижно стоявшего коллеги. Этот эффект называется замедлением времени, однако он неизмеримо мал, если только ваша скорость не сравнима со скоростью света.
Масса определяет количество вещества. Часто массу отождествляют с весом, но это неправильно. Весом мы обладаем, находясь на поверхности Земли, но, оказавшись в невесомости, мы потеряем вес, в то время как наша масса никуда не исчезнет. Большая часть массы окружающих нас предметов сосредоточена в протонах и нейтронах и ещё небольшая добавка — в электронах. Таким образом, когда мы говорим о массе обычных предметов, мы фактически говорим о числе нуклонов, из которых эти объекты состоят. Нуклонами называются частицы, составляющие атомное ядро: протоны и нейтроны. Моя масса составляет примерно 75 килограммов. Это означает, что я состою приблизительно из 50 000 000 000 000 000 000 000 000 000 нуклонов. Оперировать с такими большими числами не очень удобно: того и гляди запутаешься в нулях. Поэтому люди придумали так называемую научную, или экспоненциальную, форму представления чисел, подобных тому, что я только что записал. В экспоненциальной форме это число будет выглядеть как 5×1028. Степень 28 означает, что за пятёркой следуют 28 нулей. Давайте немного попрактикуемся. Один миллион будет записан как 1×106 или просто 106. Государственный долг США, составляющий $18 000 000 000 000, можно записать в виде: 1,8×1013 долларов. А если бы я мог получить хотя бы по одному центу за каждый нуклон своего тела...
Теперь вернёмся к размерностям физических величин. Скорость является переводным коэффициентом между временем и расстоянием. Предположим, вы пробежали 10 метров за одну секунду. Для человека это быстро. Очень быстро. За 10 секунд вы могли бы пробежать 100 метров. Это, конечно, не олимпийский рекорд, но очень близко к нему. Допустим, вы способны сохранять такую скорость на протяжении всей дистанции. За какое время вам удалось бы пробежать километр? Давайте подсчитаем. Один километр — это десять раз по 100 метров. Каждый стометровый участок вы пробегаете за 10 секунд, значит, на то, чтобы преодолеть километр, вам понадобится 100 секунд. Сухопутную милю вы пробежали бы за 161 секунду или за 2 минуты 41 секунду. Никто не способен на такое, потому что ни один человек не сможет бежать со скоростью 10 метров в секунду столь продолжительное время.
Но допустим, вам это удастся. Способны ли вы заметить эффект замедления времени, о котором я уже упоминал? Только не на такой короткой дистанции. Время будет идти для вас чуточку медленнее, и вы потратите на преодоление мили чуть меньше, чем 2:41, но всего лишь на 1/1015-ю (одну 1 000 000 000 000 000-ю или «одну тысяча миллион миллионную»). Чтобы сделать этот эффект более заметным, вы должны двигаться очень-очень быстро. Для частиц, бегающих в современных ускорителях, время течёт в 1000 раз медленнее, чем для покоящихся. Точное значение коэффициента замедления времени зависит от возможностей каждого конкретного ускорителя.
Скорость света является неудобным переводным коэффициентом для использования в повседневной жизни, потому что она очень велика. Световой луч способен обогнуть Землю по экватору всего за 0,1 секунды. Поэтому американцы могут разговаривать по телефону с индийскими коллегами, не замечая существенной временной задержки. Более полезным свет становится, когда нам приходится оперировать по-настоящему большими расстояниями. Расстояние от Земли до Луны свет проходит примерно за 1,3 секунды, а расстояние от Солнца до Земли — примерно за 500 секунд.
Ещё большим расстоянием является световой год: как нетрудно догадаться, это расстояние, которое проходит световой луч за один год. Диаметр нашей Галактики составляет примерно 100 000 световых лет, а размер известной нам части Вселенной равен почти 14 миллиардам световых лет, что составляет примерно 1,3×1026 метров.
E
=
mc
2
Уравнение E = mc2 определяет соотношение между массой и энергией. Оно работает так же, как и соотношение между временем и расстоянием, которое мы только что обсуждали. Но что есть энергия? Это непростой вопрос, поскольку существует множество форм энергии. Энергия движения, энергия тепла, энергия электричества, энергия света... Все эти вещи могут быть преобразованы одна в другую. Например, электрическая лампочка преобразует электричество в свет и тепло, а электрический генератор преобразует механическое движение в электричество. Фундаментальный физический принцип гласит, что полная энергия всегда сохраняется, даже если она при этом переходит из одной формы в другую. Чтобы лучше понять этот принцип, давайте посчитаем, что при этом происходит.
Хорошей отправной точкой для нашего расчёта будет энергия механического движения, называемая кинетической. Выражение для кинетической энергии: K = ½mv2, где K — это кинетическая энергия, m — масса, а v — скорость. Снова представьте себя олимпийским спринтером. Приложив нечеловеческие физические усилия, вы разогнались до скорости 10 метров в секунду. Но это намного меньше скорости света, следовательно, ваша кинетическая энергия намного меньше E из уравнения E = mc2. Что это означает?
Понять это вам поможет знание, что формула E = mc2 описывает энергию покоя. Энергия покоя — это энергия, которой обладает тело, когда оно не движется. Начиная разбег, вы преобразуете малую часть вашей энергии покоя в кинетическую энергию. Очень-очень малую часть, составляющую всего одну 1015-ю энергии покоя. То, что на такую же величину — на одну 1015-ю — замедляется время во время вашего бега, — отнюдь не случайное совпадение. Теория относительности содержит точные соотношения между величиной замедления времени и кинетической энергией. В частности, она утверждает, что если тело движется настолько быстро, что его энергия удваивается, то время для него течёт с вдвое меньшей скоростью, чем для покоящегося тела.
Мысль о том, что, имея в своём распоряжении всю энергию покоя, вы ценой невероятных усилий приобретаете кинетическую энергию, составляющую всего лишь 1/1015 от исходной энергии, несколько обескураживает. Нельзя ли преобразовать в движение существенно большую часть энергии покоя? Лучшее из известных нам решений — это использование ядерной энергии.
Наше понимание ядерной энергии основывается непосредственно на уравнении E = mc2. Сейчас объясню. Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов. Ядро атома водорода состоит из одного протона, а ядро атома гелия — из двух протонов и двух нейтронов, сильно связанных между собой. Сильная связь означает, что требуется очень много энергии, для того чтобы расщепить ядро гелия. Некоторые ядра расщепить гораздо проще, например ядро урана-235, состоящее из 92 протонов и 143 нейтронов. Достаточно ударить по ядру урана-235 одним нейтроном, и оно развалится на ядро бария, ядро криптона, три нейтрона и выделит при этом энергию. Мы можем записать эту реакцию ядерного распада в виде:
U + n → Kr + Ba + 3n + энергия,
где U обозначает уран-235, Kr — криптон, Ba — барий, а n — нейтрон. Обратите внимание, что я везде уточняю, что мы имеем дело именно с ураном-235, потому что существует другой изотоп урана — уран-238, очень похожий на уран-235, но расщепить его ядро гораздо труднее.
E = mc2 позволяет нам вычислить общее количество освобождаемой в этой реакции энергии, посчитав массы всех участников реакции. Мы получим, что суммарная масса исходных компонентов (ядра урана-235 и нейтрона) превышает суммарную массу продуктов реакции (ядра криптона, ядра бария и трёх нейтронов) приблизительно на одну пятую массы протона. Подставив эту небольшую разницу в массе в уравнение E = mc2, мы вычислим количество освобождённой в реакции энергии. Разница в массе на первый взгляд невелика: одна пятая массы протона составляет порядка 0,1% (одну тысячную) массы ядра урана-235. Таким образом, при расщеплении ядра урана высвобождается одна тысячная его энергии покоя. И хотя эта доля и не кажется существенной, она в триллион раз больше, чем та относительная часть энергии покоя, которая была преобразована в кинетическую энергию олимпийским спринтером.
Я ещё не рассказал, откуда берётся энергия, высвобождаемая при ядерном распаде. Общее количество нуклонов не изменяется: их 236 как до реакции, так и после. И всё же суммарная масса вступающих в реакцию частиц больше, чем суммарная масса продуктов реакции. Это очень важное исключение из правила, согласно которому масса — это, в сущности, количество нуклонов. Дело в том, что нуклоны в ядрах бария и криптона связаны гораздо сильнее, чем в ядре урана-235. Более сильная связь означает меньшую массу. Слабо связанное ядро урана-235 имеет небольшой избыток массы, ожидающий освобождения в виде энергии. По сути, энергия при ядерном распаде освобождается за счёт перегруппировки протонов и нейтронов в более плотную упаковку.
Один из проектов в современной ядерной физике ставит перед собой цель узнать, что произойдёт, если заставить тяжёлые ядра типа ядер урана участвовать в гораздо более бурно протекающих реакциях, чем обычные реакции распада, описанные выше. По причинам, в которые я не стану вдаваться, экспериментаторы больше предпочитают работать с ядрами золота, чем с ядрами урана. Когда два ядра золота сталкиваются на скоростях, близких к скорости света, они полностью разрушаются. В главе 8 я подробно расскажу о плотном и горячем состоянии вещества, которое образуется в ходе этой реакции.
Таким образом, уравнение E = mc2 говорит нам о том, что энергия покоя чего угодно зависит только от его массы, поскольку скорость света является константой. Извлечь часть этой энергии из урана-235 проще, чем из большинства других веществ. Но с фундаментальной точки зрения энергия покоя присуща всем формам материи — она есть и у камней, и у воздуха, и у воды, и у деревьев, и у людей.
Прежде чем мы перейдём к квантовой механике, позвольте мне сделать небольшое отступление и рассмотреть уравнение E = mc2 в более широком контексте. Это уравнение фигурирует в специальной теории относительности, изучающей влияние движения на измерения времени и пространственных координат. Специальная теория относительности в свою очередь является подмножеством Общей теории относительности, описывающей гравитацию и искривлённое пространство-время. Теория струн является частью Общей теории относительности и квантовой механики и также включает уравнение E = mc2. Струны, браны и чёрные дыры — все повинуются этому уравнению. Например, в пятой главе я покажу, как тепловая энергия браны вносит вклад в её массу. Было бы неправильно утверждать, что уравнение E = mc2 следует из теории струн, но оно неразрывно связано с другими аспектами её математического каркаса.