Получив степень бакалавра по физике, я провёл год в Кембридже, изучая физику и математику. Кембридж — это место с зелёными лужайками, свинцовым небом и многовековыми традициями высокой научной школы. Я учился в колледже Св. Иоанна, история которого насчитывает пять веков. Помню, там был прекрасный рояль, стоявший на одном из верхних этажей первого корпуса — старейшего здания Кембриджа. В числе вещей, которые я на нём исполнял, был «Экспромт-фантазия» Шопена. Главная часть этого произведения содержит два ритмических рисунка — полиритмию 4:3. Партии обеих рук исполняются в одном темпе, но на каждые четыре ноты для правой руки приходятся три ноты для левой, что придаёт всей композиции эфирное, текучее звучание.

Это прекрасная часть, и она заставляет меня размышлять о квантовой механике. Чтобы объяснить почему, мне придётся сначала рассказать немного об этой замечательной теории, но я не собираюсь излагать квантовую механику целиком, а только скажу о тех концепциях, которые вызывают у меня реминисценции с музыкой, такой как «Экспромт-фантазия» Шопена.

В квантовой механике возможны любые движения, но некоторые — предпочтительнее остальных. Эти предпочтительные движения называются квантовыми состояниями. Они обладают определёнными частотами. Частота — это количество раз в секунду, которые что-то поворачивается или повторяется. В «Экспромт-фантазии» партия правой руки имеет более высокую частоту, чем партия левой руки, и эти частоты относятся как четыре к трём. То, что «вращается» в квантовой механике, имеет более абстрактную природу. Технически — это фаза волновой функции. Вы можете думать о волновой функции как о секундной стрелке часов, которая делает полный оборот за одну минуту. Фаза волновой функции делает то же, что и секундная стрелка, — вращается, только с гораздо более высокой частотой. Скорость этого вращения характеризует энергию системы, о чём я позже расскажу более подробно. Простые квантовые системы, такие как атом водорода, обладают частотами, находящимися в достаточно простых отношениях друг к другу. Например, фаза одного квантового состояния может сделать девять оборотов, в то время как фаза другого — четыре. Это очень похоже на полиритмию 4:3 шопеновской «Экспромт-фантазии». Но частоты в квантовой механике гораздо более высокие. Например, характерная частота атома водорода имеет порядок 1015 оборотов в секунду. Это намного быстрее, чем исполнение «Экспромт-фантазии», где правая рука играет не более 12 нот в секунду.

Ритмическое обаяние «Экспромт-фантазии» вряд ли можно назвать её главным очарованием — по крайней мере, не в моём исполнении. Её мелодия парит над печальными басами, а ноты сливаются вместе в хроматическом размытии. При этом гармония медленно смещается, оттеняя отрывочное порхание главной темы. Субтильная полиритмия 4:3 обеспечивает лишь фон для самого запоминающегося произведения Шопена. Так же и квантовая механика, имея в своей основе дискретный набор осциллирующих квантовых состояний, на макроуровне размывается в красочный и сложный мир, доступный нашему непосредственному восприятию. Эти квантовые частоты имеют совершенно реальное отражение в нашем мире. Например, жёлто-оранжевый свет уличного фонаря имеет определённую частоту, связанную с колебаниями электронов в атомах натрия. Именно эта частота и определяет оранжевый цвет фонаря.

В оставшейся части главы я сфокусируюсь на трёх аспектах квантовой механики: на принципе неопределённости, на атоме водорода и на фотонах. По ходу дела мы столкнёмся с энергией в её новом квантово-механическом амплуа, тесно связанном с частотой. Аналогия с музыкой очень удачна для объяснения роли частоты в квантовой механике, но, как мы увидим в следующем разделе, эта теория содержит и другие ключевые идеи, для объяснения которых не так легко найти аналогии в повседневной жизни.

 

Неопределённость

Принцип неопределённости является одним из краеугольных камней квантовой механики. Он утверждает, что положение частицы и её импульс никогда не могут быть измерены одновременно. Предыдущее утверждение не вполне корректно, поэтому позвольте мне объяснить более развёрнуто. При любом измерении координаты мы имеем некоторую неопределённость результата, обозначаемую как Δx (произносится «дельта икс»). Допустим, измеряя отрез ткани мягким портновским метром, вы способны определить его длину с точностью не более 0,5 см. Тогда неопределённость вашего измерения составит: Δx ≈ 0,5 см. Это означает, что «дельта икс» составляет приблизительно полсантиметра. Портной может позвонить своему коллеге и сказать: «Гена, отрез ткани, который ты мне прислал, имеет длину два метра с точностью до полусантиметра». (Разумеется, я имею в виду европейского портного, потому что американские портные оперировали бы футами и дюймами.) Другими словами, портной считает, что длина отреза ткани составляет x = 2 м, а неопределённость этой длины: Δx ≈ 0,5 см.

С импульсом мы все хорошо знакомы, но лучше понять, что это за зверь, можно, посмотрев глазами физика на столкновение двух тел. Если два бильярдных шара столкнулись лоб в лоб и полностью остановились, значит, до столкновения они имели одинаковые импульсы. Если после столкновения один шар всё ещё движется в первоначальном направлении, но медленнее, значит, он имел больший импульс, чем второй. Импульс и масса связаны простой формулой: p = mv. Но давайте пока не будем углубляться в детали. Суть в том, что импульс является чем-то, что вы можете измерить, и это измерение имеет некоторую неопределённость, которую мы обозначим как Δp.

Принцип неопределённости утверждает, что Δp × Δx ≥ h/4π, где h — некоторая константа, называемая постоянной Планка, а π = 3,14159... — хорошо известное нам соотношение между длиной окружности и её диаметром. Я предпочитаю произносить: «дельта пэ дельта икс больше или равно аш на четыре пи», но если вы предпочитаете «научно-литературный» физико-математический язык, то вам следует говорить: «произведение неопределённостей импульса и координаты частицы не меньше отношения постоянной Планка к четырём пи». Теперь, надеюсь, понятно, почему я сказал, что утверждение, приведённое в начале этого раздела, не вполне корректно: вы можете одновременно измерить координату и импульс частицы, но неопределённость этих двух измерений никогда не может быть меньше, чем допускает уравнение Δp × Δx ≥ h/4π.

Чтобы лучше понять, как работает принцип неопределённости, представьте себе, что мы поймали частицу в ловушку, имеющую размер Δx. Положение частицы известно нам теперь с неопределённостью Δx (при условии, что частица находится внутри ловушки). Принцип неопределённости утверждает, что мы не можем узнать величину импульса этой частицы с точностью большей, чем позволяет упомянутое выше соотношение. Количественно неопределённость импульса должна быть такой, чтобы удовлетворить неравенству Δp × Δx ≥ h/4π. Как мы увидим в следующем разделе, прекрасный пример реализации принципа неопределённости представляет собой атом. Более наглядный пример привести трудно, поскольку типичная неопределённость координаты гораздо меньше, чем размер любого предмета, который можно взять в руки. Это происходит из-за того, что величина постоянной Планка крайне мала. Мы вернёмся к ней ещё раз, когда будем говорить о фотонах, и тогда я сообщу вам её численное значение.

Несмотря на то что обычно при обсуждении принципа неопределённости мы говорим об измерениях координат и импульса, его суть гораздо глубже. Он представляет собой внутреннее ограничение, накладываемое на понятия координаты и импульса. В конечном итоге импульсы и координаты — это не числа. Это более сложные объекты, называемые операторами; и я не стану пытаться их здесь описывать, а только скажу, что операторы являются широко используемыми математическими конструкциями, только более сложными, чем числа. Принцип неопределённости вытекает из различия между числами и операторами. Величина Δx — это не просто неопределённость измерения координаты, это фундаментальная неустранимая неопределённость положения частицы. Иными словами, принцип неопределённости отражает не недостаток информации, а фундаментальную «нечёткость» субатомного мира.

 

Атом

Атомы состоят из электронов, вращающихся вокруг атомных ядер. Атомные ядра, как я уже рассказывал, состоят из протонов и нейтронов. Простейшим случаем, с рассмотрения которого мы и начнём, является атом водорода, состоящий из одного электрона, вращающегося вокруг ядра, состоящего из одного протона. Размер атома водорода имеет порядок 10−10 метра. Единицу измерения 10−10 метра называют также ангстремом. Говоря, что один ангстрем равен 10−10 метра, мы имеем в виду, что в одном метре 1010, или десять миллиардов, ангстрем. Размер атомного ядра примерно в сто тысяч раз меньше. Смысл утверждения, что размер атома имеет порядок одного ангстрема, состоит в том, что электрон крайне редко удаляется от ядра на расстояние больше одного ангстрема. Неопределённость положения электрона — Δx — также порядка одного ангстрема, поэтому невозможно сказать, с какой стороны от ядра в конкретный момент времени находится электрон. Принцип неопределённости требует, чтобы неопределённость импульса электрона — Δp — удовлетворяла неравенству Δp × Δx ≥ h/4π. Это приводит к тому, что электрон в атоме водорода должен обладать некоторой средней скоростью, порядка одной сотой скорости света, но направление этой скорости в каждый конкретный момент времени принципиально неопределённо. Неопределённость импульса электрона является, в сущности неопределённостью самого импульса, поскольку не определено его направление. Общая картина выглядит так, что электрон пойман в ловушку кулоновским притяжением ядра, но квантовая механика запрещает ему находиться в этой ловушке в состоянии покоя. Вместо этого он непрерывно «блуждает» в переделах ловушки, и характер его блуждания описывается математическим аппаратом квантовой механики. Область блуждания электрона и определяет размер атома. Если бы электрону разрешили спокойно сидеть на одном месте, он бы сразу упал на ядро под действием кулоновской силы притяжения. В результате все материальные предметы сжались бы до ядерной плотности, что было бы весьма некомфортно. Таким образом, квантовый запрет на неподвижность электронов внутри атомов является большим благом для нас.

Несмотря на то что электрон в атоме водорода обладает неопределённой координатой и неопределённым импульсом, его энергия вполне определённа. На самом деле электрон может обладать несколькими возможными дискретными значениями энергии. О такой ситуации физики говорят, что энергия электрона в атоме «квантована». Это значит, что электрон имеет выбор из некоторого определённого набора вариантов. Чтобы лучше разобраться в этом странном положении дел, вернёмся к уже знакомой нам кинетической энергии. Мы помним, что кинетическая энергия определяется формулой K = ½mv2. Для начала применим эту формулу к автомобилю. Меняя силу нажатия на педаль газа, вы можете придать автомобилю любую скорость в пределах его технических возможностей. Однако если бы энергия автомобиля квантовалась, то при условии, что масса автомобиля неизменна, вы могли бы заставить его двигаться только с какой-либо фиксированной скоростью из дискретного набора, например только со скоростью 10, 15 или 25 километров в час, но не 11, 12 или 12,5 километра в час.

Квантование энергии электрона в атоме водорода возвращает меня к аналогии с музыкой. Я уже говорил о подобной аналогии на примере полиритмии 4:3 в «Экспромт-фантазии». Устойчивый музыкальный ритм характеризуется определённой частотой. Каждый квантовый энергетический уровень атома водорода также соответствует определённой частоте. Электрон может «выбрать» один из этих уровней, подобно тому как музыкант может выбрать какой-то определённый ритм и выставить его на метрономе. Но электрон может также частично находиться на одном энергетическом уровне, а частично на другом. Это явление носит название «суперпозиция». Ритм «Экспромт-фантазии» как раз является суперпозицией двух различных ритмов, исполняемых правой и левой рукой.

Итак, как я сказал, электрон в атоме обладает квантово-механически неопределёнными координатой и импульсом, но может иметь определённую энергию из дискретного набора. Не кажется ли вам странным, что энергия имеет фиксированное определённое значение, в то время как координаты и импульсы неопределённы? Чтобы понять, как такое может быть, давайте отвлечёмся на ещё одну музыкальную аналогию. Представьте себе фортепианную струну. После удара молоточка струна начинает вибрировать с определённой частотой, или тоном. Например, струна, отвечающая за ноту «ля» первой октавы, вибрирует с частотой 440 раз в секунду. Физики измеряют частоту в герцах (сокращённое обозначение — Гц); один герц соответствует одному колебанию в секунду. Таким образом, нота «ля» первой октавы звучит с частотой 440 Гц. Это гораздо быстрее, чем ритм «Экспромт-фантазии», где, как вы помните, правая рука извлекает из рояля примерно 12 нот в секунду, то есть с частотой 12 Гц. Но это гораздо меньше частоты колебаний электрона в атоме водорода. На самом деле поведение струны гораздо сложнее простого колебания. Помимо основной частоты струна выдаёт множество обертонов на более высоких частотах, и именно эти обертоны придают звучанию рояля характерную окраску.

Может показаться, что эта аналогия весьма далека от квантово-механического движения электрона в атоме водорода, но на самом деле оба процесса очень похожи. Минимальная возможная энергия электрона в атоме водорода сродни основной гармонике фортепианной струны: 440 Гц для ноты «ля» первой октавы. Немного упрощая, можно сказать, что частота колебаний электрона в его основном состоянии равна примерно 3×1015 Гц. Остальные энергии, доступные электрону, аналогичны обертонам фортепианной струны.

Волны на фортепианной струне и квантово-механическое движение электрона в атоме водорода являются примером так называемых стоячих волн. Стоячие волны — это колебания, которые никуда не движутся. Фортепианная струна закреплена на раме своими концами, и её колебания пленены в пределах длины струны. Квантово-механическое движение электрона также заключено в очень маленькой области — чуть меньше одного ангстрема в поперечнике. Главная идея, лежащая в основе математического аппарата квантовой механики, состоит в том, чтобы представить движение электрона в виде волны. Поскольку волна имеет вполне определённую частоту, подобную основной гармонике фортепианной струны, она имеет и вполне определённую энергию. Но положение электрона в пространстве, например его расстояние от ядра, не может быть описано конкретным числом, поскольку волна присутствует одновременно повсюду внутри атома, точно так же как колебания фортепианной струны происходят одновременно по всей её длине. Всё, что мы можем сказать об электроне, — это лишь то, что он почти всегда находится где-то в пределах одного ангстрема от ядра.

Узнав, что электроны описываются в виде волн, вы вправе спросить: «В виде волн чего?». Это сложный вопрос. Одни считают, что этот вопрос не имеет смысла, другие — что существует некое «электронное поле», пронизывающее всё пространство-время, а электроны представляют собой возбуждения этого поля. Электронное поле аналогично фортепианной струне, а электроны — возникающим на ней колебаниям.

Волны не всегда заперты в маленькой области пространства типа внутренности атома. Например, морские волны путешествуют многие километры, прежде чем разбиться о прибрежные скалы. Примером путешествующих квантово-механических волн являются, в частности, фотоны. Но перед тем как мы углубимся в изучение фотонов, я должен остановиться на одной формальности, имеющей отношение к вещам, которые мы будем обсуждать в последующих главах. Говоря о частоте основного состояния электрона в атоме водорода, я упомянул о том, что это упрощённое описание. Чтобы пояснить, что именно упрощено, я напишу ещё одну формулу: E = hv, где E — это энергия, v — частота, а h — та самая постоянная Планка, которая уже появлялась ранее в формулировке принципа неопределённости. E = hv — замечательная формула, она объясняет нам, что, в сущности, представляет собой частота: это просто энергия в новом облике. Но вот беда: существуют различные виды энергии. Электрон обладает энергией покоя. Он также обладает кинетической энергией. И вдобавок он обладает энергией связи, необходимой для того, чтобы освободить электрон из атома. Какую из этих энергий следует использовать в формуле E = hv? Когда я говорил, что частота основного состояния электрона равна 3×1015 колебаний в секунду, я имел в виду кинетическую энергию плюс энергию связи, исключая энергию покоя. Но это весьма произвольное допущение. Я мог бы включить в общую энергию и энергию покоя, если бы почувствовал, что это необходимо. Это означает, что частота в квантовой механике имеет некоторую недоопределённость, а это выглядит нехорошо.

Классическое представление об атоме водорода: электрон обращается по орбите вокруг протона

Квантово-механическое представление электрона в виде стоячей волны. Волна не имеет определённого положения на орбите, но обладает определённой энергией и частотой

Вот как можно разрешить указанную трудность. Давайте зададимся вопросом: «Что происходит, когда электрон переходит с одного энергетического уровня на другой?». Если электрон перескакивает на более низкий энергетический уровень, он освобождается от избытка энергии путём испускания фотона. Энергия фотона равна разности энергий двух уровней: того, с которого электрон перескакивает, и того, на которой он перескакивает. Теперь неважно, учитываем мы энергию покоя электрона или нет, потому что нас интересует только разность между двумя энергетическими уровнями, в то время как энергия покоя электрона не изменяется и не входит в окончательный результат. Правильным использованием формулы E = hv будет приравнять E к энергии фотона. Тогда v будет означать частоту фотона, имеющую вполне определённое значение, уже без всяких неоднозначностей. Остаётся ответить на последний вопрос: «Что же означает частота фотона?». Этим мы сейчас и займёмся.

 

Фотон

На протяжении веков в физике бушевали споры о том, что такое свет: частицы или волны. Квантовая механика дала на это однозначный ответ: и то и другое.

Чтобы лучше понять волновые свойства света, представьте себе электрон, который решил позагорать под лазерным лучом. Лазер является высокостабильным, когерентным и мощным источником света. Ключевой момент в том, что когда электрон попадает в лазерный луч, электромагнитное поле начинает толкать его туда-сюда с некоторой частотой. Эта частота входит в уравнение E = hv. Видимый свет имеет частоту чуть меньше 1015 колебаний в секунду. Аналогия выглядит причудливой, но, возможно, лучше пояснит ситуацию более жизненный пример. Радиоволны — это то же самое, что и свет, только они имеют существенно более низкую частоту. Радиоволна FM-диапазона имеет частоту около 108 колебаний в секунду, или 108 герц. Одна из наших местных радиостанций, «Нью-Джерси 101,5», вещает на частоте 101,5 мегагерца. Один мегагерц — это миллион герц, или 106 герц. Таким образом, 100 мегагерц — это 108 герц. Следовательно, 101,5 мегагерц — это чуть больше 108 колебаний в секунду. FM-радиоприёмник сконструирован таким образом, что электроны внутри него могут колебаться с той же самой частотой. Когда вы настраиваете радиоприёмник, вы изменяете предпочтительную для электронов частоту колебаний внутри приёмника. И подобно нашему загорающему в лазерном луче электрону, электроны внутри приёмника «впитывают» омывающие приёмник радиоволны.

Можно привести ещё одну аналогию: представьте себе буй в океане. Как правило, буй крепится цепью к якорю на дне, чтобы его не унесло океанскими волнами и течениями. Реагируя на проходящие волны, буй колеблется вверх-вниз, оставаясь при этом на поверхности воды. Точно так же реагирует на электромагнитное излучение электрон, загорающий в лазерном луче. Но в действительности поведение электрона в лазерном луче несколько отличается от поведения буя на волнах: электрону в конечном итоге будет передаваться импульс в направлении луча, если только он каким-то образом не закреплён подобно бую.

До этого момента мои объяснения были сосредоточены на волновых свойствах света. А в каких случаях свет ведёт себя подобно частицам? Существует известное явление, называемое фотоэлектрическим эффектом, убедительно свидетельствующее в пользу того, что свет действительно состоит из отдельных фотонов, каждый из которых имеет энергию E = hv. Вот как это работает. Когда вы освещаете поверхность металла, вы выбиваете из неё электроны. С хорошим экспериментальным оборудованием можно фиксировать выбитые из поверхности электроны и даже измерять их энергию. Результаты таких измерений хорошо согласуются со следующей моделью. Свет состоит из множества фотонов, которые бомбардируют поверхность металла. Каждый раз, когда фотон сталкивается с электроном, он передаёт электрону свою энергию. Время от времени, если энергия фотона достаточна, электрон, с которым он столкнулся, покидает поверхность. Согласно уравнению E = hv, большая энергия соответствует большей частоте. Известно, что синий цвет имеет примерно на 35% более высокую частоту, чем красный. Это означает, что синий фотон обладает на 35% большей энергией, чем красный. Допустим, мы взяли для изучения фотоэлектрического эффекта кусок натрия. И тут выясняется, что красные фотоны не обладают достаточной энергией для того, чтобы выбивать электроны с поверхности: ничего не происходит, даже если мы сделаем красный свет очень ярким. А вот синие фотоны, напротив, имеют необходимый избыток энергии, позволяющий освобождать электроны из металлического плена, даже если интенсивность синего света будет очень низкой. Выходит, что для получения фотоэффекта нам не важна интенсивность падающего света, которая определяется лишь количеством падающих на поверхность фотонов, а важна именно частота, определяющая энергию каждого фотона.

Минимальная частота света, позволяющая фотонам выбивать электроны с поверхности натрия, составляет 5,5×1014 колебаний в секунду, что соответствует зелёному свету. Соответствующая этой частоте энергия, вычисляемая по формуле E = hv, равна 2,3 электрон-вольта. Электрон-вольт — это энергия, которую приобретает электрон, перемещаясь от отрицательного контакта одновольтовой батарейки к положительному. Следовательно, численное значение постоянной Планка составляет 2,3 электрон-вольта, делённые на 5,5×1014 колебаний в секунду, или 4,1×10−15 электрон-вольт-секунд.

В целом свет ведёт себя подобно волнам при одних обстоятельствах и подобно частицам — при других. Такое поведение называется корпускулярно-волновым дуализмом. Согласно квантовой механике, корпускулярно-волновым дуализмом обладает не только свет, а вообще всё на свете.

Вернёмся на минуту к атому водорода. В предыдущем разделе я говорил, что его квантованные уровни энергии можно рассматривать как набор стоячих волн. Это пример волнового поведения электрона. Но если вы помните, я оставил без ответа вопрос о том, какой смысл имеют частоты этих волн. Я написал формулу E = hv, но затем сразу перескочил на обсуждение вопроса об учёте энергии покоя электрона в величине E. С фотоном никаких вопросов не возникает: частота света — это то, что мы непосредственно наблюдаем в эксперименте. Это частота, на которую мы, например, настраиваем радиоприёмник. Таким образом, когда электрон перескакивает с одного уровня на другой, испуская фотон, мы можем, измерив частоту испущенного фотона, однозначно судить о разности энергий двух этих уровней.

Я надеюсь, что моё объяснение позволило вам достаточно хорошо прочувствовать, что представляют собой фотоны. Полностью понять их природу весьма трудно. Самые большие трудности возникают в концепции калибровочной симметрии, о которой пойдёт речь в пятой главе. В оставшейся части этой главы я покажу, как идея фотонов позволяет объединить положения квантовой механики и специальной теории относительности.

Теория относительности базируется на предположении, что свет в вакууме движется всегда с одной и той же скоростью (299 792 458 метров в секунду) и что ничто не может двигаться быстрее. Каждый, кто впервые сталкивается с этим постулатом, непременно задаётся вопросом: «А если мы разгонимся до скорости света, а затем выстрелим из пистолета в направлении нашего движения, разве пуля не будет лететь быстрее света? Не так ли?». Не так быстро. Проблема связана с замедлением времени. Помните, я говорил, что в современных ускорителях элементарных частиц время для самих частиц замедляется в тысячу раз? Это происходит из-за того, что они движутся со скоростью, близкой к скорости света. Если же вы будете двигаться точно со скоростью света, то ваше время остановится полностью. Вы никогда не сумеете выстрелить из пистолета, потому что у вас попросту не будет времени нажать на спусковой крючок.

Может показаться, что последний аргумент всё же оставляет немного места для манёвра. Допустим, вы могли бы достигнуть скорости на 10 метров в секунду меньше скорости света. Время будет течь для вас медленно, как патока, но в конечном итоге вы сумели бы спустить курок и выстрелить. А поскольку пуля вылетает из ствола со скоростью гораздо большей, чем 10 метров в секунду, её скорость могла бы превысить скорость света. Так? Увы, так просто это не работает. Чем быстрее вы движетесь, тем труднее вам будет разогнать что-либо относительно вас, и вовсе не потому, что вам в лицо будет дуть какой-то встречный ветер: ведь описанный эксперимент можно провести и в космосе. Это происходит из-за того, что время, расстояние и скорость тесно переплетены в специальной теории относительности. Специальная теория относительности будто бы специально построена таким образом, чтобы сорвать любые попытки обогнать свет. Принимая во внимание многочисленные успехи теории относительности в описании мира, большинство физиков склонны принимать ситуацию как есть: вы просто не можете двигаться быстрее, чем свет.

А что у нас с утверждением, будто свет всегда движется в вакууме с одной и той же скоростью? Это можно проверить экспериментально, и это похоже на правду. При этом скорость света в вакууме не зависит от частоты используемого света. Это означает, что имеет место радикальное различие между фотонами и другими частицами, такими как электроны или протоны. Электроны и протоны могут быть быстрыми или медленными. Если они быстры, то обладают большой энергией. Если они медленны, их энергия мала. Но полная энергия электрона никогда не может быть меньше его энергии покоя — E = mc2. То же самое относится и к протону. Однако энергия фотона определяется выражением E = hv, и частота v может быть как большой, так и малой, но скорость фотона при этом не меняется. В частности, не существует нижнего предела энергии фотона. Это должно означать, что энергия покоя фотона равна нулю. Если мы воспользуемся формулой E = mc2, то придём к выводу, что и масса фотона тоже должна быть равна нулю. И это принципиальная разница между фотоном и большинством других частиц: фотон не имеет массы.

Хотя это и не имеет отношения к теории струн, но, возможно, вам будет приятно узнать, что свет имеет фиксированную скорость только в вакууме. Проходя через вещество, свет замедляется. Я не имею в виду фотоны, которые падают на поверхность натрия и «застревают» там, выбивая электроны. Я имею в виду совсем другую ситуацию, а именно прохождение света через прозрачные среды, такие как вода или стекло. При прохождении через воду свет замедляется примерно в 1,33 раза. Когда свет проходит сквозь стекло, это может замедлить его ещё сильнее, но не более чем в 2 раза. Алмаз замедляет свет в 2,4 раза. Именно этот фактор наряду с высокой прозрачностью алмаза придаёт ему такой неповторимый сверкающий облик.