Симметрия отражения — один из древнейших и самых простых способов создавать изображения, радующие глаз. Примером может служить детский чернильный узор, упомянутый в предыдущей главе. Когда ребенку показывают его впервые, он обычно взвизгивает от восторга, увидев развернутый листок с появившимся на нем симметричным узором, особенно если он сделан не темными чернилами, а разноцветными красками. Почему ребенку кажется, что картинка «красивая»? Ответ очевиден — ему нравится порядок и гармония, появившиеся в случайном узоре. Может быть, причина и в том, что в окружающем мире он также видит много билатерально симметричных вещей? Этого, кроме него, никто не знает, но вполне разумно предположить, что именно билатеральная симметрия в природе, которую ребенок видит столь часто, заставляет его с удовольствием реагировать на такие узоры. Билатеральная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Она занимала существенное место в древнеегипетском искусстве. Средневековые религиозные картины также часто характеризуются отчетливой билатеральной симметрией.

На современный вкус композиция такой картины скучна, поскольку симметрия слишком очевидна (хотя временами она возрождается в некоторых произведениях и в геометрических рисунках абстракционистов). Посмотрите однако, вокруг и вы увидите бесчисленные примеры симметричных форм и узоров в предметах, созданных человеком. Я говорю не о вещах, симметричных по необходимости, для удобства (двери, окна, стулья и т. д.), а о формах и узорах, которые сделаны симметричными просто потому, что так на них приятнее смотреть. Вазы, лампы, подсвечники, витражи, елочные украшения, серьги, брошки — список бесконечен. Узоры на платьях, обоях, занавесках, коврах часто создаются повторением симметричного рисунка. Марки торговых фирм и различные эмблемы обычно билатерально симметричны. Как указывал Герман Вейль в своей небольшой книге «Симметрия» (1952 год), художники часто полностью жертвуют сходством с природой ради получения по обе стороны вертикальной оси совершенно одинаковых изображений. Поразительным примером является двуглавый орел на гербах царской России и старой Австро-Венгерской монархии.

Заметим, что почти в каждом случае ось симметрии на таких изображениях вертикальна. Мы настолько привыкли к вертикальным осям симметрии в природе, что нас охватило бы непонятное нам смущение, если бы, например, оси симметрии на обоях вдруг повернулись на 90°. Есть, однако, один всем нам знакомый вид, у которого ось симметрии горизонтальна: это деревья и другие растения и предметы, отраженные гладью озера или реки. Когда мы видим такой вид на картине, никакого чувства неловкости она у нас не вызывает: симметрия приятна. Поэтому брошки редко имеют только горизонтальную ось симметрии (если, конечно, они не изображают растения или животных, обладающих такой осью).

Явное предпочтение, которое природа отдает вертикальным осям, объясняется очень просто — сила тяжести направлена сверху вниз. Вследствие этого все в природе стремится равномерно развиться или распространиться в горизонтальной плоскости. Вода разливается во все стороны и образует озера с горизонтальной поверхностью. Озеру все равно, куда разливаться — на восток или на запад, на юг или на север, но оно не может разлиться вверх! Поэтому, если вы сфотографируете озеро и, прежде чем печатать снимок, перевернете негатив, превратив тем самым правое в левое и наоборот, на снимке получится все-таки совершенно обычное озеро. Но, перевернув фотографию вверх ногами, вы заставите воду нарушать закон всемирного тяготения и увидите то, чего в природе никогда не бывает.

Деревья, грубо говоря, имеют ту же симметрию, что и конус, у которого бесконечное число вертикальных плоскостей симметрии и ни одной горизонтальной. Опять-таки все дело, очевидно, в гравитации. Дерево растет, преодолевая силу тяжести. Корни у него в почве, а листья в воздухе, поэтому вершина четко отличается от основания. Поскольку растения пускают корни в почву и не передвигаются с места на место, как животные, то для них неприемлемы понятия «передняя» или «задняя» часть, «левая» или «правая» сторона. Зеркальное отражение дерева, если зеркало держать вертикально, выглядит в точности, как настоящее дерево.

Действительно, по фотографии любого пейзажа трудно даже определить, «вывернут» он или нет, если только в поле зрения не попали какие-нибудь билатерально асимметричные объекты, сделанные человеком, например дорожный знак или улица, по одной стороне которой едут автомобили. Но если вы произведете зеркальное обращение фотографии по горизонтальной оси, то есть перевернете все вверх ногами, беспорядок сразу будет очевиден.

В журнале «Нью-Йоркер» за май 1962 года появилась карикатура, изображавшая человека, только что вставшего утром с постели и поднимающего штору на окне. Пейзаж за окном перевернут вверх ногами! Картинка забавна, потому что такое превращение выглядит совершенно нелепо; если бы ландшафт развернулся слева направо, то казался бы совершенно нормальным.

Порой художники и карикатуристы забавляются, рисуя картинку-перевертыш, которая превращается в другую осмысленную картинку, если ее перевернуть. Обычно это вызывает удивление потому, что от перевернутого рисунка никто и не ожидает, что он будет хоть на что-нибудь похож. Обращение картины слева направо — столь обычное явление, что легко себе всякий раз представить, как будет выглядеть изображение, если его преобразовать таким образом. Но почти невозможно, разглядывая перевернутую картину, угадать, что получится, когда она будет висеть нормально.

Во время учебы в колледже мне пришлось однажды жить в меблированной комнате, и репродукции картин на стенах меня очень раздражали. Чтобы они не портили настроение, я перевесил их вверх ногами. Сюжет после этого пропал, а остались только цвет и композиция, и они меня устраивали. К сожалению, моя хозяйка, которой эти картины нравились, возражала столь решительно, что их снова пришлось перевешивать. Мораль всей этой истории в том, что перевертывание реалистической картины на 180° или отражение ее в горизонтальном зеркале (это не совсем одно и то же) меняет ее «художественную ценность». А изменится ли эта эстетическая ценность при рассмотрении отражения картины справа налево? Так и тянет сказать «нет», но, подумав немного, в этом можно усомниться. Небольшая разница в восприятии может объясняться, например, тем, что все мы на Западе привыкли читать слева направо. Некоторые критики-искусствоведы утверждают, что картина при таком отражении проигрывает.

В пользу такого мнения говорят и некоторые экспериментальные факты. Дэвид Эйзендрат младший, нью-йоркский фотограф, изготовил однажды пятьдесят фотографий театральных сцен в двух зеркально симметричных вариантах. Эти двойные фотографии показывались раздельно, и каждый должен был выбрать тот из вариантов, который ему больше нравится. Для сцен, обладающих приближенной право-левой асимметрией, предпочтения какому-нибудь одному варианту оказано не было, но, когда композиция была резко асимметрична, 75% опрошенных предпочли правильную фотографию перевернутой. Все это относится к лицам, читавшим слева направо. Когда те же картинки были показаны людям, читавшим только на иврите (по древнееврейски), то есть справа налево, они, наоборот, выбирали перевернутые фотографии.

Опыты Эйзендрата, а также более ранние работы в том же направлении немецких психологов (в частности, Генриха Вольффлина и Теодоры Хаак) показали, что художественная ценность картины при отражении действительно может снижаться. Если это и так, то такой эффект, во всяком случае, невелик, в чем вы сами можете убедиться, если возьмете книгу с большим числом иллюстраций (лучше, если вы их раньше не видели) и просмотрите ее один раз просто, а другой раз, поднося рисунки к зеркалу, проследив при этом, получается ли проигрыш или выигрыш в эстетическом отношении.

Если серия рисунков есть рассказ в картинках, то наша привычка к чтению слева направо оказывает, конечно, сильнейшее влияние на композицию рисунка. Действие на нем происходит, как правило, тоже слева направо, и персонаж, говорящий первым, помещается левее, чтобы кружки, в которых заключены слова изображенных персонажей, не перепутались. На японских макимоно — длинных складных полосах с рассказом в рисунках — события разворачиваются в противоположном направлении, потому что эти полосы раскладывают справа налево.

Кинофильм легко показать так, чтобы правое и левое поменялись местами. Можно долго смотреть на такую картину, прежде чем перемена станет заметна: вы увидите какое-нибудь объявление, или вывеску, или людей, пожимающих друг другу левые руки. Статуи обычно билатерально симметричны (особенно конные статуи), а в архитектуре симметрия настолько широко развита, что в комментариях не нуждается. Большое значение билатеральная симметрия имеет в рисунке танца. Эстрадно-танцевальная группа мюзик-холла «Радио-сити» в Нью-Йорке иногда показывает номера, в которых каждый элемент перемежается с начала до конца с правого на левое исполнение.

Кинокартины можно обращать не только в пространстве, но и во времени. Такие фильмы смотрятся, как кошмар: люди ходят по улицам спиной вперед, прыгуны в воду вылетают из бассейна и взмывают на вышку и так далее. Испытывали бы мы те же чувства при демонстрации фильма-балета в обратном направлении? Танец «задом наперед» может оказаться приятным зрелищем, хотя и несколько гротескным, особенно если его озвучить обычной музыкой. Может быть, опытный хореограф сможет даже поставить балет-палиндрому, билатерально симметричный во времени, который будет выглядеть в кино одинаково, в каком бы направлении ни пускали пленку.

С первого взгляда кажется, что зеркальная симметрия не должна играть никакой роли в музыке, но ведь мелодия — это определенная последовательность музыкальных нот, расположенных вдоль оси времени, поэтому «отразить мелодию в зеркале» — значит просто проиграть ее наоборот. С помощью магнитофона это легко сделать. В большинстве случаев «музыка наоборот» воспринимается как бессмысленный набор звуков, и слушать ее неприятно. Фортепьянная музыка, проигранная наоборот, оказывается до странности похожей на органную. (Можете ли вы объяснить, почему?) В XV столетии многие композиторы писали каноны (в этих произведениях две мелодии исполняются параллельно), в которых одна мелодия была «зеркальным отражением» другой в указанном смысле. Многие великие композиторы использовали обращение мелодий во времени для достижения разнообразных контрапунктных эффектов.

Музыку можно «перевернуть» и в другом смысле — низкие ноты заменить высокими и наоборот. Если вы представите себе необращенную Алису, которая сидит в Зазеркалье и играет на пианино знакомую ей мелодию, то зазеркальное фортепьяно будет издавать при этом музыку, перевернутую именно во втором смысле. Вы сами можете исполнить такую музыку, если умеете играть на пианино, для этого достаточно перевернуть нотную запись и играть по ней от начала к концу. Однажды Моцарт шутки ради написал канон, в котором вторая мелодия была перевернута и снизу вверх и слева направо. В этом случае для исполнителей дуэта нет даже нужды печатать две мелодии на нотной бумаге: оба голоса могут петь по одному листу, глядя на него с разных сторон. Современный пример такого канона, созданный Уинтропом Паркхерстом, можно найти в его книге «Анатомия музыки».

Поэзию тоже можно представлять себе как последовательность звуков, расположенных вдоль оси времени. Несомненно, многие опытные поэты намеренно использовали симметрию отражения, стремясь получить своеобразные звуковые эффекты. Роберт Браунинг, например, в своем прекрасном широко известном лирическом стихотворении «Ночная встреча» применил внутреннюю рифму типа abccba, чтобы отражение звуков напоминало плеск морских волн.

Если забыть о форме букв и считать, что предложение это ряд символов, расположенных вдоль одной линии, то зеркальным отражением можно пользоваться для получения разного рода забавных вещей. Мы называем палиндромами слова, которые билатерально симметричны, то есть пишутся одинаково в обоих направлениях: радар, ротатор. Малайалам — язык, на котором говорят некоторые народности в Индии. Уассамассау — палиндромическое название болотистой местности в графстве Беркли, Южная Каролина. «Морднилап» (палиндром наоборот) — это слово, которое превращается в другое слово, если его перевернуть, например: live — жить и evil — зло, straw — соломинка и warts — бородавки, dessert — дессерт и stressed — подчеркнутый и т. д. Если симметрией отражения обладает целое предложение, его тоже называют палиндромическим. Написаны тысячи таких предложений. Интересующийся читатель найдет хорошую подборку новых, малоизвестных примеров такого рода в книге Бомобо «Литературные курьезы». Вот два из них:

A man, a plan, a canal, — Panama!

(Человек, план, канал — Панама!)

Straw? No, too stupid a fad. I put soot on warts.

(Соломой? Нет, это слишком глупая причуда. Я мажу сажей бородавки.) [10]

Некоторые считают, что первый палиндром написан американским юмористом Джеймсом Турбером, но это не так. Эта фраза принадлежит Лей Мерсеру, лондонскому составителю языковых задач и загадок, автору многих оригинальных палиндромов.

Палиндромическое число не меняется, если изменить порядок его цифр на обратный. Последним палиндромическим годом был 1881 (это число не меняется также, если его перевернуть или посмотреть на его отражение в зеркале). 1961 не меняется при перевороте, но не является палиндромом. Ближайшим палиндромическим годом будет, конечно, 1991. Если взять какое-нибудь число, изменить порядок его цифр на обратный и сложить с исходным числом, затем ту же процедуру проделать с полученной суммой и так несколько раз повторить ее, то сможем ли мы получить на каком-нибудь этапе этого процесса палиндромическое число? Так, 89 + 98 = 187 — не палиндром. 187 + 781 = 968 — все еще не палиндром. Однако, продолжая «перевертывать и складывать», мы получим в конце концов после 24 сложений палиндром 8 813 200 023 188.

Некоторые считают, что описанная процедура в применении к любому целому числу даст палиндром после конечного числа сложений. Калифорнийский математик Чарльз Тригг сомневается в справедливости этого предположения. Среди чисел меньше 10 000 он нашел 251 число, каждое из которых не дает палиндрома при первых ста сложениях; наименьшее из этих чисел 196. Может быть, найдется читатель, который составит программу для вычислительной машины и проверит число 196, проделав свыше ста сложений. Другой калифорнийский математик, Дьюи Дункан, показал, что в двоичной системе описанный процесс не всегда дает палиндром. Например, если взять за исходное двоичное число 10 110, то из него никогда не получится палиндром. Доказательство этому можно найти в задаче 5 в книге Роланда Спрага «Математический досуг». В десятичной системе этот вопрос остается еще нерешенным.

Особое внимание привлекают палиндромические простые числа. (Простые числа не имеют других делителей, кроме самого себя и единицы. Сама единица тоже простое число.) Норман Гриджмен из Оттавы заметил, что простые палиндромические числа с нечетным числом цифр часто образуют идентичные пары, за исключением средней цифры, которая у них отличается на единицу. Например, среди первых 47 простых палиндром таких пар известно 12:

Доказано, что простых палиндромических чисел бесконечно много. А является ли число таких пар бесконечным? Гриджмен говорит: «Да», — но этого пока никто не доказал.

Время от времени пишутся палиндромические стихи, в которых порядок слов абсолютно одинаков в обоих направлениях (см., например, упомянутую выше книгу Бомобо), и — значительно реже — палиндромические стихи, в которых «отражаемым элементом» является буква, а не слово. Грэхэм Рейнолдс напечатал три палиндромических стиха в журнале «New Departures» за 1960 год. Вот один из них:

HYMN TO THE MOON [11]

Luna, nul one,

Moon, nemo,

Drown word

In mutual autumn

I go;

Feel fog rob of all life

Fill labor

Go, flee fog

In mutual autumn

I drown

Word; omen; no omen.

O, Luna, nul.

Фредерик Браун написал целый палиндромический рассказик. С разрешения автора мы приводим его здесь полностью. По-моему, эту главу лучше всего кончить рассказом Брауна «Конец».

THE END

Professor Jones had been working on time theory for many years.

«And I have found the key equation», he told his daughter one day. «Time is a field. This machine I have made can manipulate, even reverse, that field».

Pushing a button as he spoke, he said, «This should make time run backward run time make should this», said he, spoke he as button a pushing.

«Field that, reverse even, manipulate can made have I machine this. Field a is time». Day one daughter his told he, «Equation key the found have I and».

Years many for theory time on working been had Jones Professor.

END THE

КОНЕЦ

Профессор Джонс долгие годы разрабатывал теорию времени.

«Я открыл ключевое уравнение, — сказал он однажды дочери. — Время — это поле. Видишь машину, мной построенную. Эта машина изменяет и обращает поле».

Нажимая кнопку, он произнес: «Сейчас время потечет обратно — обратно потечет время сейчас», — произнес он, кнопку нажимая.

«Поле обращает и изменяет машина эта. Построенную мной машину видишь. Поле — это время, — дочери однажды он сказал. — Уравнение ключевое открыл я».

Времени теорию разрабатывал годы долгие Джонс профессор.

КОНЕЦ