Теория относительности и новые геометрии

В 1905 г. Альберт Эйнштейн опубликовал «Специальную теорию относительности», которая вызвала сильнейшее потрясение основ физики со времен начала научной революции и фундаментального труда Исаака Ньютона Principia Mathematica («Математические начала натуральной философии»).

Эйнштейн предложил новый взгляд на реальность. Событие происходит в трехмерном пространстве в определенный момент времени. Другими словами, оно происходит в пространстве-времени и описывается четырьмя координатами: три из них определяют его положение в пространстве, а четвертая — во времени. Конечно, эти координаты задаются относительно некой системы координат. Поэтому место события в пространстве-времени зависит от положения наблюдателя, то есть от системы координат, используемой для определения события. Таким образом, различные наблюдатели видят событие по-разному, особенно если они сами движутся с разными скоростями.

Проанализируем эти понятия в геометрическом смысле. В теории относительности расстояние между двумя событиями называется интервалом и делится на две составляющие: пространство и время.

Пространственная составляющая — это расстояние между местонахождениями событий в трехмерном пространстве, в то время как временная составляющая — это промежуток времени между двумя событиями. Эти составляющие зависят от используемой системы координат и ее ориентации, поэтому различные наблюдатели могут получить разные результаты. Однако интервал, разделяющий два события в четырехмерном пространстве-времени, является абсолютным. Он один и тот же и для неподвижного наблюдателя, и для другого наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью относительно неподвижного.

Для наблюдателей, улетающих от Земли со скоростью, близкой к скорости света, пространственные и временные составляющие интервала будут совершенно разными. Один наблюдатель может решить, что два события разделяют 200 лет, в то время как другой может сделать вывод, что они происходят одновременно. Их восприятие пространственных и временных составляющих может сильно отличаться от нашего. Геометрия пространства-времени оказывается странной. В четырехмерном пространстве расстояние между двумя точками (интервал между двумя событиями) является неизменным, в то время как две составляющие могут быть совершенно различны.

Через три года после того, как Эйнштейн опубликовал свою первую статью на эту тему, Герман Минковский упростил его теорию, предложив геометрическую интерпретацию, обосновывающую странные вычисления Эйнштейна. Конечно, геометрия Минковского была неевклидовой. Минковский использовал одну из самых важных идей Римана о том, что математическое пространство определяется способом измерения расстояний. Другими словами, формула расстояния определяет тип геометрии.

Ось t  представляет собой время, а ось х — пространство. Оси под прямым углом ( х , t ) соответствуют системе в состоянии покоя, в то время как оси с острым углом между ними ( х' ,  t' ) — движущейся системе. Движущаяся система склоняется к лучу света. В неподвижной системе наблюдатель видит, что события А и  В происходят одновременно, а в движущейся системе наблюдатель решит, что событие  В произошло раньше А .

Если два события имеют координаты

(x 1 , у 1 , z 1 , t 1 ) и (x 2 , у 2 , z 2 , t 2 )

расстояние I между ними в геометрии Минковского вычисляется по формуле

где с — скорость света.

С другой стороны, если бы эти две точки были в четырехмерном евклидовом пространстве, расстояние между ними считалось бы по формуле:

Эта вторая формула является обобщением теоремы Пифагора из евклидовой геометрии на плоскости, в то время как первая формула со знаками минус в евклидовой геометрии не встречается.

Общая теория относительности

Через десять лет после публикации специальной теории относительности Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности, которая снова потрясла научный мир. Одной из его революционных идей была мысль о том, что наше пространство искривлено. Другими словами, лучи света, которые всегда выбирают кратчайший маршрут, не распространяются по прямой линии, а изгибаются, что является кратчайшим расстоянием в искривленном пространстве. Лучи света изгибаются в разной степени в зависимости от области пространства: в сильном гравитационном поле они искривлены сильнее.

Это явление было экспериментально доказано в 1919 г. во время полного солнечного затмения. Во время затмения лучи света от далекой звезды, проходящие очень близко от Солнца, могут быть подробно изучены. Эйнштейн оказался прав, лучи были искривлены. Было также доказано, что прогнозы гения оказались очень близки к расчетам, сделанным на основе реальных данных, собранных в ходе наблюдения. Прямые линии в геометрии общей теории относительности отличаются от евклидовых прямых.

Какую из геометрий, рассмотренных в этой книге, использовал Эйнштейн? Как всегда в мире неевклидовых геометрий, простого ответа нет. Во-первых, понятие искривленного пространства берется из эллиптической геометрии, в которой прямые линии во Вселенной замкнуты. Во-вторых, Эйнштейн использовал вариант геометрии Минковского, в которой формула для расстояния учитывает физические условия в разных точках Вселенной в зависимости от силы гравитационного поля. Альберт Эйнштейн отметил роль неевклидовых геометрий в своей знаменитой лекции в 1921 г.:

«Я не могу не отдать должное всем альтернативным геометриям. Если бы я не знал их, я бы не смог развить теорию относительности».

Относительность материи и пространства

Возможно, Эйнштейн не открыл бы теории относительности, если бы не важнейший эксперимент, проведенный в 1880 г. Альбертом Майкельсоном (1852–1931) и Эдвардом Морли (1838–1923) . Эти два физика попытались определить наличие вещества, называемого «эфиром», через которое, как считалось, распространяется свет и электромагнитное излучение. Звуковые волны не распространяются в вакууме, им необходима среда, воздух или вода, которая также позволяет измерить скорость звука. Таким образом, в XIX веке считалось, что световые волны распространяются не в космическом вакууме, а им также нужна среда, которая еще не открыта.

В эксперименте измерялось время, за которое луч света достигал зеркала и отражался от него. Сначала движение светового луча совпадало с направлением вращения Земли, так что когда луч летел к зеркалу, скорость планеты добавлялась к скорости света в эфире, а на его обратном пути вычиталась, что позволяло измерить скорость света в эфире. Затем световой луч пускался перпендикулярно вращению Земли, так что скорость вращения планеты не влияла на скорость света в эфире.

Таким образом, в эксперименте вращение Земли учитывалось или исключалось.

Представьте себе подобную ситуацию. Мы стоим на берегу реки шириной d и хотим провести следующий эксперимент. Вместо того чтобы посылать луч света, мы переплывем реку туда и обратно. Пусть с будет наша скорость, которая соответствует скорости света, a v — скорость течения реки, соответствующая скорости вращения Земли.

По аналогии с экспериментом Майкельсона — Морли, мы сначала проплывем фиксированное расстояние d по течению, а затем против него. Пусть t 1  — время движения по течению, а t 2 — время движения против течения. Когда мы плывем по течению, мы движемся с нашей скоростью с, но по отношению к берегу скорость равна (с + v). Аналогично, плывя против течения, мы движемся относительно берега со скоростью (с — v).

Используя формулу для нахождения расстояния при известных скорости и времени, мы получаем d = (с + v)·t 1 и d = (с — v)·t2   Общее время по течению и назад считается следующим образом:

(а) Движение по течению и против.

(b) Переплывание реки и возвращение в исходную точку.

(с) Чтобы оставаться напротив исходной точки, пловцу необходимо плыть против течения.

Эти результаты можно проверить на конкретных числах. Представьте себе, что наша река шириной 500 метров (0,5 км), мы плаваем со скоростью с = 2 км/ч, а скорость течения реки v = 1 км/час. Тогда нам потребуется 1/6 часа, чтобы проплыть 500 метров по течению и полчаса — против течения, то есть в общей сложности 2/3 часа (около 0,67 часа).

Во второй части эксперимента Майкельсона и Морли мы переплываем на другую сторону реки и возвращаемся в исходную точку. Чтобы все время оставаться напротив исходной точки, мы должны плыть против течения. Таким образом, мы плывем не только поперек реки, но и против течения, чтобы компенсировать расстояние, на которое река относит нас вниз по течению. Нам постоянно приходится бороться с течением, и только часть работы, которую мы совершаем, помогает нам достичь другого берега. Таким образом, мы плывем вдоль гипотенузы прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен ширине реки, а другой — расстоянию, на которое река отнесла бы нас за это время вниз по течению.

Пусть t 0 — время, требуемое для переплывания реки. Связь между длиной пути и временем получается из теоремы Пифагора:

(c·t 0 )2 = (v·t 0 )2 + d2

Перепишем это уравнение следующим образом:

c2t20   — v2t20   = d2

t20 = d2/(c 2 — v 2 )

Время, затраченное на обратный путь, то же самое, поэтому общее

Подставим в формулу числовые значения из предыдущего примера. Таким образом, время, требуемое для переплывания реки, составит 1/√З  0,5777 часа.

Обратите внимание, что значения времени в двух частях эксперимента (0,67 и 0,5777) различаются. Время, затраченное на движение вдоль течения реки, в 1/√(1 — v2/c2) раз больше, чем время движения поперек реки.

Но в эксперименте Майкельсона — Морли результат был иным: значения времени в двух частях эксперимента были одинаковыми. И это не было связано с погрешностью измерений или с ошибкой в эксперименте, который был проведен с максимальной точностью. И никто не мог найти объяснение. Значит, неверна сама теория? Ученые были обеспокоены.

Затем была выдвинута гениальная идея: в некотором смысле скорость вращения Земли «уменьшила расстояние в направлении движения» ровно настолько, чтобы результаты в двух частях эксперимента Майкельсона — Морли получились одинаковыми. Таким образом, если бы Земля двигалась почти со скоростью света, то в направлении движения она была бы плоской, похожей на блин. Расстояние l' в направлении движения связано с расстоянием l в направлении, перпендикулярном направлению движения, следующим образом:

где множитель

называется фактором Лоренца — Фицджеральда.

Так как скорость света является очень большой (3 х 108 м/с), значение фактора Лоренца — Фицджеральда равно почти 1, пока скорость v меньше 10 % от скорости света.

Почему Майкельсон и Морли не смогли измерить уменьшение длины в направлении движения? Потому что когда линейка расположена в направлении движения Земли, длина линейки тоже сокращается. Теория сокращения никогда не может быть доказана прямыми измерениями.

Если бы мы могли делать высокоскоростные фотографии, могли бы мы увидеть, что мяч, летящий почти со скоростью света, принимает форму блина? Нет, даже стоп-кадр не позволит нам это рассмотреть. Почему? Это объясняется тем, что оптические искажения компенсируют уплощение формы.

Человеческий глаз и объектив фотокамеры улавливают частицы света, фотоны, которые отражаются от объектов. Свету, идущему от очень удаленных объектов, может потребоваться много времени, чтобы достичь наших глаз. Например, свет доходит от Солнца до Земли за 8 минут, а свет далекой звезды, возможно, шел к нам миллионы лет. С другой стороны, переднюю и более удаленную часть движущегося объекта мы видим одновременно, хотя свет от передней части был отражен немного раньше. Разница существует, и связана она с тем, что скорость света конечна. Объект действительно должен выглядеть удлиненным в направлении движения, но этот эффект растяжения компенсируется эффектом сокращения в нашем восприятии.

Теория Лоренца — Фицджеральда была основана на сложной идее взаимодействия вещества с эфиром, но в конце концов ученые были вынуждены признать, что эфира не существует.

Через 24 года после эксперимента Майкельсона — Морли Эйнштейн понял, что скорость света не зависит от движения источника света или наблюдателя. Скорость Земли не может быть добавлена или вычтена из скорости света в опыте Майкельсона — Морли. Теория Эйнштейна предсказывает то же время, 2d/с, для обратного движения, независимо от расположения оборудования.

Кроме того, теория относительности также позволяет предсказать сокращение длины в направлении движения точно на величину фактора Лоренца — Фицджеральда. Однако при объяснении результатов эксперимента Майкельсона — Морли это сокращение длины не имеет ничего общего с эфиром или с теорией Лоренца.

Теория Эйнштейна вообще исключает необходимость эфира. Объяснить релятивистское сокращение длины можно в рамках самой теории относительности. Это объяснение заключается в относительном движении объекта и наблюдателя. Длина объекта, движущегося почти со скоростью света, уменьшается в направлении движения (хотя этот эффект мы не можем наблюдать, как уже говорилось). Для движущегося объекта, наоборот, именно мы кажемся летящими почти со скоростью света и похожими на плоский блин в направлении движения.

Другим следствием теории относительности является то, что время при движении тоже сокращается. Рассмотрим двух наблюдателей, которые движутся с постоянной скоростью v по отношению друг к другу. Каждый из них будет видеть, что часы у другого наблюдателя идут медленнее, чем его собственные, медленнее в γ раз. Этот странный результат известен как «парадокс времени».