До сих пор мы рассматривали основные понятия неевклидовых геометрий, а также исторические обстоятельства их появления и биографии первооткрывателей. В этой главе мы разберем одну из них более подробно, обращая внимание на математические последствия отказа от пятого постулата Евклида.

Для начала мы изложим основные результаты Бойяи и Лобачевского, чтобы лучше понять, как выглядит и работает их геометрия, но мы, конечно, не будем приводить полный перечень всех теорем и доказательств.

Наиболее важным результатом являются изменения в восприятии пространства человеческим разумом. Графические иллюстрации, конечно, играют вспомогательную роль и не являются строгими математическими аргументами, хотя они помогают наглядно пояснить эти понятия.

Как мы уже видели, гиперболическая геометрия является неевклидовой, когда пятый постулат о параллельных прямых заменен следующим: через точку Р вне прямой l можно провести по крайней мере две прямые, параллельные данной. Этот так называемый гиперболический постулат о параллельных прямых может быть проиллюстрирован двумя способами. Оба они эквивалентны и показаны на следующем рисунке:

Из этой гипотезы вытекают различные понятия, лежащие в основе гиперболической геометрии. Мы начнем с основной теоремы.

Углы параллельности

Результат, связанный с углами параллельности, считается основной теоремой гиперболической геометрии. Начнем со следующего рисунка:

Через точку Р вне данной прямой l проходят по крайней мере две прямые, m и n, параллельные l, так что все прямые внутри области I пересекаются с прямой l, а прямые в области II не пересекаются с прямой l. Это означает, что существует бесконечное число прямых, проходящих через точку Р и не пересекающих прямую l. Две крайние параллельные l прямые, тип, разграничивают две области (I и II).

Таким образом, область I ограничена линиями тип, образующими угол (β, который меньше двух прямых углов (180°), как видно на предыдущем рисунке.

Угол β/2 = α называется углом параллельности. Обратите внимание, что α является острым углом (меньшим, чем прямой угол). Это важный факт, так как в евклидовой геометрии такие углы всегда прямые.

На рисунке из точки Р на прямую l опущен перпендикуляр, а расстояние от точки Р до прямой l обозначено буквой d. Мы видим, что угол ОС зависит от длины d (напомним, что мы рассматриваем не плоскую поверхность), так что

1) при уменьшении d α стремится к прямому углу (90°);

2) при увеличении d α стремится к 0.

Этот результат можно наглядно представить с помощью резиновой ленты. Точка Р является концом растянутой резинки, расположенной перпендикулярно прямой l, так что точка Р может двигаться вверх-вниз, увеличивая и уменьшая длину резинки, вместе с которой будут двигаться прямые, проходящие через точку Р. Таким образом, мы увидим, как будет меняться угол параллельности.

При этом существует постоянная величина, которую мы обозначим k, зависящая от единицы измерения длины d и выражаемая следующим образом:

Предыдущий результат можно получить по-другому. Когда значение d увеличивается, правая часть уравнения будет стремиться к 0, и поэтому значение tg (α/2) также стремится к 0, что означает, что α практически 0.

Аналогично, когда d очень мало, значение tg (α/2) — будет приближаться к 1, что означает, что , то есть α будет прямым углом, так как π/2 = 90°.

В евклидовой геометрии этот угол не меняется при изменении расстояния. В гиперболической геометрии, как мы видим, угол всегда зависит от величины d.

Эквидистанты

В евклидовой геометрии расстояние между параллельными прямыми на всем их протяжении всегда одно и то же. Как и следовало ожидать, в мире гиперболической геометрии ситуация оказывается несколько иной.

Рассмотрим прямую l и параллельную ей прямую s. Выберем точку Р на s, как на следующем рисунке:

При перемещении точки Р вправо мы видим, что расстояние от Р до прямой l уменьшается. Выражаясь математическим языком, это расстояние стремится к нулю.

Мы также можем сказать, что прямые l и s асимптотически сходятся справа.

Аналогично, если точка Р движется налево, мы видим, что расстояние от Р до прямой l увеличивается. В этом случае говорят, что прямые l и s расходятся. Поэтому, когда в гиперболической геометрии имеются прямые, расстояние между которыми остается постоянным, то такие прямые не могут быть параллельны. Иначе это противоречило бы пятому постулату гиперболической геометрии. Прямая, находящаяся на постоянном расстоянии от данной прямой, называется эквидистантой.

Пифагор, треугольники и длины

Теперь мы рассмотрим результаты, связанные с треугольниками, кругами и отношениями между площадью и длинами. Эти результаты включают теорему Пифагора, и мы увидим, как она работает в гиперболической геометрии на примере некоторых задач, знакомых нам со школы.

Треугольники

Формула для площади треугольника в евклидовой геометрии всегда одинакова для любого треугольника: s = (b·h/2) то есть площадь равна половине произведения основания треугольника на высоту. В основе этого выражения лежит тот факт, что сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°.

Но в гиперболической геометрии, как ни странно, площадь треугольника зависит от суммы его углов. Как мы уже говорили, в гиперболической геометрии сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Следовательно, сумма углов в четырехугольнике также будет меньше 360°.

В евклидовой геометрии если три угла A, В и С одного треугольника и три угла А', В' и С' другого треугольника соответственно равны, то эти треугольники являются подобными. Это не означает, что их соответствующие стороны имеют одинаковую длину. В гиперболической геометрии у таких треугольников с соответственно равными углами будут равны и соответствующие стороны.

Теперь рассмотрим этот случай более подробно. Пусть А, В и С — углы одного треугольника. Их сумма меньше двух прямых углов (180°), и поэтому разность 180 — (А + В + С) будет положительна. Эта разность называется угловым дефектом, и мы имеем следующий результат: площадь любого треугольника пропорциональна его угловому дефекту.

Если мы обозначим через k коэффициент пропорциональности, то формула для площади треугольника (S) будет выглядеть следующим образом:

так что максимальное значение площади треугольника равно π · k2 (в гиперболической геометрии не бывает треугольников с бесконечной площадью). Мы не приводим доказательство этого результата, так как оно достаточно сложное. Мы лишь записали окончательную формулу, какой бы странной она ни казалась.

Выражение для площади треугольника подтверждает то, о чем мы говорили раньше. На самом деле в евклидовом случае два треугольника с одинаковыми углами не обязательно имеют одинаковую площадь и, следовательно, не обязательно равны. Однако в гиперболическом мире одинаковые углы (и, следовательно, одинаковый угловой дефект) означают одинаковый размер.

Также в гиперболической геометрии чем больше треугольник, тем больше его площадь и тем меньше сумма его углов. Для очень малых площадей (для бесконечно малых, в терминах математики) сумма углов треугольника стремится к 180°. Таким образом, можно сказать, что геометрия Евклида является предельным случаем гиперболической геометрии.

Иоганн Генрих Ламберт, о котором мы уже упоминали в третьей главе, еще в середине XVIII в. заметил, что, отказавшись от пятого постулата Евклида, он получил следующий результат: сумма углов треугольника увеличилась, приближаясь к 180° по мере уменьшения площади треугольника.

Круги

В школьной геометрии изучаются не только треугольники. В школьную программу входят и другие геометрические фигуры, например, круги, поэтому каждый знает, что такое радиус круга. В геометрии Евклида длина окружности С пропорциональна радиусу r. Это соотношение включает в себя знаменитое число π:

С = 2·π ·r.

Однако, в гиперболической геометрии длина окружности рассчитывается по следующей формуле:

В этом выражении k является коэффициентом пропорциональности, a sh — так называемым гиперболическим синусом. Число е нам уже знакомо, с точностью до нескольких десятичных знаков оно записывается как 2,718281828 …Также напомним, что

Теперь возьмем предыдущее выражение

и разложим его в ряд:

Таким образом получим новое выражение для длины окружности в виде бесконечной суммы слагаемых.

Если мы посмотрим на вторую часть выражения

то заметим, что при очень малых r множитель будет стремиться к 1, и поэтому формула сведется к известному выражению евклидовой геометрии:

С = 2·π ·r.

Это можно доказать с помощью простых вычислений. Для простоты мы будем измерять расстояния в километрах. Возьмем выражение для длины окружности в виде степенного ряда. Пусть коэффициент k имеет значение k = 1017, и мы хотим посчитать длину окружности радиуса 100 км.

Подставим эти значения в выражение

а также в евклидову формулу 2π·r, и мы увидим, что разница составляет лишь 10-9.

Если два значения длины окружности посчитать для радиуса в 1 км, разница будет порядка 10-12. Продолжим вычисления с меньшими значениями по мере того, как круг сжимается. Для радиуса в один метр разница составит примерно 10-15. Таким образом, мы показали, что при небольших размерах длина окружности в гиперболической геометрии приближается к длине окружности в геометрии Евклида. Такие же рассуждения можно применить и к формулам для площади треугольника.

* * *

РЯДЫ ТЕЙЛОРА

При определенных условиях можно записать следующее разложение в ряд:

Это выражение для е 4 называется рядом Тейлора, в честь английского математика  Брука Тейлора (1685–1713) . Если у вас есть простейший калькулятор с четырьмя основными операциями (сложение, вычитание, умножение и деление), эта формула позволяет посчитать е в любой степени, просто подставив его значение вместо  А , чем больше членов ряда будет посчитано, тем выше точность результата. Выражение n! означает произведение n ·( n — 1)·( n — 2)·…·1 и читается как «n факториал». Например: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Если выражение для ряда Тейлора применить к формуле длины гиперболической окружности

то мы получим:

где последний член очень мал и содержит r  в 11-й степени. Если в этом выражении вынести общий множитель  С = 2 · π ·r за скобки, то мы получим следующую формулу:

* * *

Отношение n/k указывает на различие в свойствах фигур в гиперболической и евклидовой геометриях, где п означает размер фигуры (радиус окружности, длина стороны треугольника). Однако в астрономических масштабах отношение n/k нельзя не учитывать.

На самом деле результаты, о которых мы говорили, служат подтверждением того, что гиперболическая геометрия является обобщением евклидовой геометрии. Лобачевский особенно подчеркивал это свойство своей теории, назвав ее пангеометрией, то есть «универсальной геометрией».

Теорема Пифагора

Всегда полезно взглянуть на известные результаты через призму другой теории. Но именно в теореме Пифагора эффект новых геометрий наиболее заметен. В гиперболической геометрии теорема Пифагора играет столь же важную роль, как и в геометрии Евклида, и, как можно было ожидать, для небольших расстояний она ведет себя так же, как и другие гиперболические объекты. Другими словами, на небольших расстояниях она совпадает с евклидовой версией. Однако при увеличении расстояния ситуация меняется.

Рассмотрим гиперболический треугольник, стороны которого мы обозначим а, b и с, где с является гипотенузой; вершинами треугольника будут точки А, В и С. Форма гиперболического треугольника отличается от классической:

Для этого треугольника справедливо равенство

которое может быть переписано в терминах гиперболической геометрии как:

Раскладывая выражение в степенной ряд, как мы это делали для формулы длины окружности, мы получим следующее равенство:

Отсюда видно, что в случае небольших сторон треугольника формула Пифагора остается в силе:

с2 = а2 + Ь2,

принимая традиционный вид, как в евклидовой геометрии.

* * *

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Гиперболические функции называются так потому, что по свойствам они напоминают классические тригонометрические функции. Они таким же образом связаны с гиперболой, как традиционные тригонометрические функции связаны с окружностью.

* * *

Все эти примеры говорят об общем результате, поэтому мы можем утверждать, что параллельные прямые на гиперболической плоскости в малых областях не отличаются от евклидовых параллельных прямых. С другой стороны, в этих вычислениях использовались гиперболические тригонометрические функции — особые аналоги традиционных функций синуса и косинуса. Они называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. Добро пожаловать в гиперболическую тригонометрию.

Гиперболическая тригонометрия

Работая над своими сложными математическими теориями, Бойяи и Лобачевский вывели тригонометрические выражения для гиперболической геометрии. Удивительным является тот факт, что, как и все остальное, они сделали это независимо друг от друга. Это свидетельствует об их гениальности, но также показывает, что результаты, которые они получили, действительно являются правильными.

Соотношения, выведенные Бойяи и Лобачевским, в малых областях могут быть сведены к формулам классической тригонометрии, но в других случаях они характеризуют новые, совершенно неисследованные миры.

Для переменной х гиперболический синус и гиперболический косинус определяются следующим образом:

Аналогично элементарной тригонометрии, гиперболический тангенс определяется следующей формулой:

th x = sh x/ch x

Здесь мы вкратце напомним так называемую теорему синусов.

В треугольнике со сторонами а, b и с и с углами А, В и С

справедливо следующее соотношение:

a/sin A = b/sin В = c/sin С

Аналогичное соотношение можно сформулировать в гиперболической тригонометрии:

sin A/sh a = sin B/sh b = sin С/sh c

Чтобы проверить гиперболические равенства, нужно подставить вместо гиперболических функций их определения:

и затем, выполнив соответствующие расчеты, убедиться, что получится один и тот же ответ.

Используя определения гиперболических синуса и косинуса, можно вывести и другие тригонометрические тождества, аналогичные известным тождествам из евклидовой геометрии. Например, мы можем проверить, что

ch(x + у) = chx·chy + shx·shy

аналогично традиционному выражению

cos(x + у) = cosx·cosy + sinx·siny

* * *

ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

В евклидовой тригонометрии есть важное соотношение, называемое основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что sin 2x + cos 2x =  1 . Аналогом в гиперболической тригонометрии является следующее тождество:

ВОПРОС ТЕРМИНОЛОГИИ

В евклидовой терминологии синус и косинус называются круговыми функциями, поскольку они получаются из свойств круга. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат. Уравнение этой окружности записывается как х 2 + у 2 = 1. В этом простом уравнении мы можем сделать замену переменной, выразив переменные х и у через параметр t следующим образом: х  = cos t и у = sin t. Здесь х  и у удовлетворяют соотношению х 2 + у 2 = 1. Такое уравнение называется параметрическим уравнением окружности.

Если вместо круга мы возьмем гиперболу, график функции х 2 — у 2  = 1, то х  =  ch t и у = sh t удовлетворяют соотношению х 2  — у 2  = 1. Это уравнение называется «уравнением гиперболы».

Эти графики нам уже знакомы. Гипербола напоминает нам псевдосферу.

* * *

Что касается тангенсов, то можно показать, что

аналогично традиционному выражению

* * *

ЕВКЛИДОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические тождества для суммы и разности выглядят следующим образом:

sin (x + у) = sin x· cos y + cos x· sin y

cos (x + у) =  cos x· cos y — sin x· sin y

sin (x — y) = sin x· cos y — cos x· sin y

cos (x — y )  = cos x· cos y +  sin x· sin y

* * *

РЕШЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО УГЛАМ

Пусть в гиперболическом треугольнике даны внутренние углы А  = 8°, В = 22° и С  = 40°. Надо найти угловой дефект и длины сторон треугольника.

Угловой дефект считается по формуле 180° — (8° + 22° + 40°) = 110°. Для вычисления длин сторон мы воспользуемся гиперболической теоремой косинусов и получим

Это позволяет нам вычислить значение а . Для этого воспользуемся калькулятором и посчитаем функцию, обратную гиперболическому косинусу. Получим значение 2,642857562. Далее

что дает нам длину b  = 3,628644458. И наконец

К счастью, современные калькуляторы имеют эти функции, и расчеты можно делать без утомительных промежуточных вычислений.

* * *

Аналогично можно проверить другие соотношения с помощью определений гиперболических синуса и косинуса.

По таблице традиционных тригонометрических тождеств можно составить аналогичные соотношения гиперболической геометрии. Просто надо от функций sinх и cosх перейти к гиперболическим функциям shх и chх соответственно, внося необходимые поправки, поскольку, как мы видели, разница состоит не только в обозначениях. Необходимо, например, изменить знак каждого члена, содержащего произведение двух гиперболических синусов.

Это простое правило позволяет получить соотношения для гиперболической тригонометрии из их евклидовых аналогов:

sh(x + у) = shx·chy + chx·shy

sh(x — у) = shx·chy — chx·shy

ch(x + y) = chx·chy + shx·shy

ch(x — y) = chx·chy — shx·shy

Классическая и гиперболическая тригонометрии

Как мы видели, гиперболическая тригонометрия похожа на традиционную, изучаемую в школе: обе имеют аналогичные соотношения. Приведенные ниже выражения содержат функции из обеих тригонометрий.

Рассмотрим треугольник с углами А, В и С и сторонами а, b и с, как показано на рисунке:

Для него справедливы следующие соотношения:

1) гиперболическая теорема косинусов для углов:

cosА = —cosВ·cosС + sinВ·sinС·chа;

2) гиперболическая теорема косинусов для сторон:

chа = chb·chс — shb·shс·cosА;

3) cosА = chа·sinВ;

4) β/2 = α.

Приведенные выше выражения также справедливы, если мы заменим а, Ь, с и А, В, С на Ь, с, а и В, С, А соответственно в результате так называемой круговой перестановки. Таким образом мы можем составить полную таблицу соотношений между традиционной и гиперболической тригонометриями.