Почему конструкции выдерживают нагрузки,

или

упругость твердых тел

Мы могли бы начать с вопроса: как получается, что любое неодушевленное твердое тело - из стали, камня, дерева или пластмассы - вообще способно оказывать сопротивление механической силе или хотя бы выдерживать свой собственный вес. Это, в сущности, задача о том, "почему мы не проваливаемся сквозь пол", и ответ на нее вовсе не очевиден. Он лежит в основе целой науки о конструкциях, и здесь есть над чем подумать. Так или иначе, но эта проблема оказалась слишком трудной для Галилея, и честь первым ее понять принадлежит столь придирчивому человеку, как Роберт Гук (1635-1702).

В первую очередь Гук понял, что в тех случаях, когда материал или конструкция оказывает сопротивление действию нагрузки, это возможно только за счет их ответного действия на тело, создающее эту нагрузку, с силой, равной по величине и противоположной по направлению. Если ваши ноги давят на пол вниз, то пол должен давить на ваши ноги вверх. Если кафедральный собор давит вниз на свое основание, то основание должно давить вверх на собор. Это подразумевается в третьем законе Ньютона, который, напомним, гласит, что действие и противодействие равны по величине и противоположны по направлению.

Другими словами, сила не может исчезнуть просто так. Всегда и во всех случаях каждая сила должна быть уравновешена другой силой, равной ей по величине и противоположной по направлению, в каждой точке конструкции. Это справедливо для любых конструкций независимо от того, малы ли они и просты или велики и сложны. Это справедливо не только для полов и соборов, но и для мостов и самолетов, воздушных шаров и мебели, львов и тигров, капусты и земляных червей. Если это условие нарушено, то есть если где-то нарушено статическое равновесие, то либо конструкция развалится, либо она должна взлететь подобно ракете и исчезнуть из поля зрения. (Нередко последнее скрыто следует из ответов будущих инженеров на экзаменах.)

Представим на минуту простейшую из возможных конструкций. Предположим, что мы подвешиваем с помощью веревки груз, например обыкновенный кирпич, к опоре, которой может быть ветка дерева (рис. 1). Вес кирпича, как и вес ньютоновского яблока, обусловлен воздействием гравитационного поля Земли на его массу, и сила веса всегда направлена вниз. Кирпичу не суждено упасть, если его удерживает в воздухе постоянно действующая сила, равная по величине его весу и направленная вверх - в данном случае натяжение веревки. Если веревка слишком слаба и не может создать направленную вверх силу, равную весу кирпича, то она неминуемо оборвется и кирпич упадет на Землю, как упало ньютоновское яблоко.

Рис. 1. Направленная вниз сила веса кирпича должна быть уравновешена равной по величине и противоположной по направлению силой натяжения веревки

Но если веревка достаточно крепкая и на нее можно подвесить не один, а два кирпича, то она должна создать вдвое большую силу вверх, которой будет достаточно, чтобы удержать оба кирпича. То же самое справедливо и для любых других изменений нагрузки. Кроме того, нагрузка - это не всегда обязательно "мертвый" вес, подобный нашему кирпичу; всякой силе, например напору ветра, должно быть оказано такое же противодействие.

Если кирпич подвешен к ветке дерева, то груз удерживается за счет растяжения веревки, другими словами, за счет натяжения. Во многих конструкциях, таких, как здания, нагрузка выдерживается за счет сжатия, давления. И в том и в другом случае общий принцип не меняется. Таким образом, всякая конструкция, предназначенная для выполнения определенных функций, то есть должным образом выдерживать нагрузку, чтобы не происходило ничего непредвиденного, должна суметь каким-либо образом создать давление или натяжение, в точности равное по величине и противоположное по направлению приложенной к ней силе. Иначе говоря, конструкция должна оказывать сопротивление всем возможным внешним натяжениям и давлениям посредством ответных растяжений и сжатий нужной величины.

Все это очень хорошо, и не составляет особого труда понять, почему нагрузка сжимает или растягивает конструкцию. Но гораздо сложнее представить себе, как конструкция должна в ответ давить на тело, создающее нагрузку (или растягивать его). Случается, об этой проблеме подозревают совсем маленькие дети.

— Да не тяни же кошку за хвост!

— Я не тяну, мама, тянет Пусси.

В случае с кошкиным хвостом противодействие создано биологическими процессами в мышцах кошки, развивающих усилие, противоположное усилию, которое создают мышцы ребенка, но этот вид активного мышечного противодействия не является, конечно, ни очень распространенным, ни необходимым.

Если бы кошкин хвост оказался закрепленным на чем-то неживом, например был привязан к стене, то "тянуть" должна была бы стена; создает ли сопротивление тянущему ребенку кошка (активно) или стена (пассивно), безразлично как для ребенка, так и для хвоста (рис. 2).

Но как неживой, пассивный предмет, такой, как стена или веревка, кость, стальная балка или собор, может создавать необходимые силы противодействия?

Рис. 2. а. - Да не тяни же кошку за хвост! - Я не тяну, мама, тянет Пусси.

Рис. 2. б. Пусси ли тянет или нет, значения не имеет.

 

Закон Гука, или упругость твердых тел

Уже в 1676 г. Гук ясно понимал не только то, что сопротивление твердых тел силам веса или другим механическим нагрузкам создается посредством сил противодействия, но и то, что, во-первых, под механическим воздействием всякое твердое тело меняет свою форму, растягиваясь или сжимаясь, а во-вторых, именно это изменение формы и позволяет твердому телу создавать силу противодействия.

Когда мы на конец веревки подвешиваем кирпич, веревка удлиняется, и как раз это удлинение и позволяет веревке тянуть кирпич вверх и удерживать его от падения. Все материалы и конструкции, хотя и в очень различной степени, под действием нагрузки испытывают смещения (рис. 3).

Рис. 3. Все материалы и конструкции, хотя и в весьма различной степени, под действием нагрузки испытывают смещения. Теория упругости - это наука о соотношениях между нагрузками и перемещениями в твердых телах. Под действием веса обезьяны материал ветки растянут у ее верхней поверхности и сжат у нижней.

Важно осознать, что возникновение смещений в любой и каждой конструкции вследствие действия нагрузки является совершенно нормальным. Если эти смещения не слишком велики с точки зрения целей, которым служит конструкция, их возникновение - отнюдь не "дефект" в том или ином смысле, а важное свойство, без которого ни одна конструкция не могла бы работать. Теория упругости - это наука о соотношениях между силами и смещениями в материалах и конструкциях.

Хотя под действием веса или других механических сил все твердые тела в той или иной степени деформируются, величины смещений, которые встречаются на практике, могут изменяться в огромных пределах. Так, в растении, куске резины смещения, как правило, велики и их легко наблюдать, а в случаях, когда мы прикладываем обычные нагрузки к таким твердым веществам, как металл, бетон или кость, смещения на самом деле иногда оказываются очень малыми. Хотя такие перемещения часто бывают далеко за пределами возможностей невооруженного глаза, они существуют всегда и совершенно реальны, даже если для их измерения требуются специальные приборы. Если вы взберетесь на колокольню кафедрального собора, в результате добавления вашего веса он станет ниже, пусть на весьма малую величину, но действительно ниже. Каменная кладка на самом деле оказывается более гибкой, чем можно было бы предполагать. Вы можете убедиться в этом, посмотрев на четыре главные колонны, поддерживающие колокольню собора в Солсбери: все они заметно изогнуты (рис. 4).

Рис. 4. Каждая из четырех колонн, поддерживающих 120-метровую башню собора в Солсбери, заметно изогнута. Каменная кладка является намного более гибкой, чем обычно думают.

Далее Гук пришел к важной мысли, воспринять которую некоторым трудно даже сегодня. Он понял, что под действием нагрузки смещения, о которых мы говорили выше, возникают не только во всякой конструкции, но и в самом материале, из которого она сделана. Он "внутренне" растягивается или сжимается в каждой своей части в соответствующей пропорции вплоть до очень малых размеров - до молекулярных размеров, как мы знаем сегодня. Так, при деформации ветки или стальной пружины, например при сгибании их, атомы и молекулы, из которых состоит вещество, в зависимости от того, растянут или сжат материал как целое, должны отодвинуться друг от друга или, наоборот, приблизиться друг к другу.

Как мы также знаем сегодня, химические связи, соединяющие атомы один с другим и удерживающие таким образом вместе части твердого тела, являются очень прочными и жесткими. Так что, растягивая или сжимая материал как целое, мы "растягиваем" или "сжимаем" многие миллионы прочных химических связей. Но последние оказывают мощное сопротивление даже весьма малым деформациям, что и создает требуемые большие силы противодействия (рис. 5).

Рис. 5. Упрощенная модель межатомных связей в твердом теле при деформировании. а - исходное недеформированное состояние; б - при растяжении атомы удаляются друг от друга; в- при сжатии атомы сближаются.

Несмотря на то что Гук ничего не знал в деталях о химических связях и не очень-то многое знал об атомах и молекулах, он хорошо понимал, что в тонкой структуре вещества происходит нечто подобное, и вознамерился установить, в чем состоит природа макроскопической связи между силами и смещениями в твердых телах. Он проделал множество опытов с самыми разными, предметами из самых разных материалов различной геометрической формы. Здесь были и пружины, и куски проволоки, и балки. Последовательно подвешивая на них грузы и измеряя возникающие смещения, Гук показал, что в любой конструкции смещение обычно пропорционально нагрузке. Так, нагрузка в 100 кгс вызывает смещение, вдвое больше, чем нагрузка в 50 кгс, и т. д.

Кроме того, в пределах возможной для измерений Гука точности, которая не могла быть очень высокой, большинство твердых тел после снятия нагрузки, вызывавшей смещения, восстанавливало свою первоначальную форму. Многократно нагружая и разгружая такого типа конструкции, он установил, что после снятия нагрузок остаточных изменений их формы не происходит. Такое поведение называется упругим и является совершенно обычным. Слово "упругий" нередко ассоциируется с бельевой резинкой или изделиями из эластика, но в равной мере оно применимо и к стали, камню и кирпичу, к веществам биологического происхождения, таким, как дерево, кость или сухожилие. Именно в этом более широком смысле его обычно и употребляют инженеры. Между прочим, комариный писк порождает высокая упругость "пружинок", управляющих крылышками комара.

В то же время форма некоторых твердых и "почти твердых" тел, таких, как замазка, пластилин, полностью не восстанавливается, они остаются деформированными и после снятия нагрузки. Такое поведение называется пластическим. Этот термин относится не только к материалам вроде тех, которые идут на изготовление пепельниц, но также и к глине, к мягким металлам. Свойствами пластичности обладают, например, и сливочное масло, и овсяная каша, и патока. Многие из тех материалов, которые Гук считал "упругими", при более точных современных методах исследования таковыми не оказываются. но все же как широкое обобщение выводы Гука остаются справедливыми, именно они легли в основу современной теории упругости. Мысль о том, что большая часть материалов и конструкций - не только детали механизмов, мосты и здания, но также и деревья, животные, горы и скалы и "все сущее" вокруг - ведет себя подобно упругим пружинам, сегодня может показаться довольно простой и, возможно, вполне очевидной, однако, как видно из дневников Гука, такой прыжок по пути к истине стоил ему больших умственных усилий и многих сомнений. Возможно, это один из самых больших подвигов мысли в истории.

Обсудив свои идеи с сэром Кристофером Реном в нескольких частных беседах, Гук в 1679 г. опубликовал результаты своих экспериментов. Статья называлась "Сила сопротивления, или упругость". Именно в ней впервые прозвучало знаменитое утверждение "ut tensio sic vis" - "каково растяжение, такова и сила". Вот уже триста лет этот прицип известен как закон Гука.

 

Как теория упругости застыла на месте

Закон Гука сослужил инженерам очень большую службу, хотя в той форме, в которой Гук выдвинул его первоначально, практической пользы от него было не так уж много. Гук фактически говорил о перемещениях законченной конструкции - пружины, моста или дерева, - когда к ней приложена нагрузка.

Если мы задумаемся на мгновение, то поймем, что величины смещений зависят от двух факторов - от размеpa и геометрической формы конструкции и от материала, из которого конструкция сделана. Материал от материала очень сильно отличается присущей ему жесткостью. Такие материалы, как резина или мягкие животные ткани, деформируются под действием столь малых сил, как нажатие пальцем. В то же время жесткость дерева, кости, камня, большинства металлов гораздо выше, и хотя абсолютно "твердых" материалов в природе не существует, некоторые твердые тела, подобные сапфиру н алмазу, являются весьма жесткими.

Пусть два предмета, например два обычных промывочных ерша одной и той же формы и размера, сделаны из стали и резины. Очевидно, что стальной ерш будет гораздо (примерно в 30 000 раз) более жестким, чем резиновый. С другой стороны, если мы из одного и того же материала, например стали, сделаем тонкую спиральную пружину и толстую массивную балку, то пружина, естественно, будет намного более гибкой, чем балка. Упомянутые два фактора, определяющие жесткость конструкции, необходимо уметь отличать друг от друга и оценивать вклад каждого, поскольку в инженерном деле, как и в биологии, мы постоянно имеем дело с изменениями обоих факторов.

Достойно удивления, что после столь многообещающего старта на протяжении 120 лет после смерти Гука наука так и не нашла путей, чтобы справиться с этой проблемой. В действительности XVIII столетие на удивление мало продвинуло изучение упругости. Причин на это, несомненно, было много, но в общем можно сказать, что если ученые XVII в. рассматривали свою науку в тесной связи с прогрессом техники - такое понимание целей науки для того времени было почти откровением,- то большинство ученых XVIII в. считали ниже достоинства мыслителя задачи промышленности и торговли. Это был явный возврат к прошлому, к древнегреческому взгляду на науку. Закон же Гука уже давал общее философское объяснение довольно широкому кругу явлений, - объяснение, вполне достаточное с точки зрения джентльмена-философа, не очень интересующегося техническими деталями.

И тут мы не можем обойти молчанием такое обстоятельство, как влияние личности Ньютона (1643-1727), и не сказать о последствиях жестокой вражды, существовавшей между Ньютоном и Гуком. Гук, вероятно, был не менее талантлив, чем Ньютон, и, определенно, более обидчив и тщеславен, чем он, но в остальных отношениях это были люди совершенно различных темпераментов и интересов. Довольно скромное происхождение не мешало Ньютону быть снобом, а Гуку при отсутствии снобизма - личным другом Карла II.

В отличие от Ньютона Гук принадлежал к типу "земных" людей, его занимали задачи практического характера, касающиеся упругости, пружин, часов, зданий, микроскопов и даже анатомии обычной блохи. Среди изобретений Гука, применяющихся и поныне, - универсальное соединение, используемое в передачах автомобиля, и ирисовая диафрагма, используемая в большинстве фотокамер. Его лампа для экипажей, в которой пламя сгорающей свечи удерживается в центре оптической системы с помощью специальной пружины, вышла из широкого употребления только в 20-е годы нашего века. Но и сейчас еще такую лампу можно увидеть у парадного подъезда. Что касается частной жизни, то Гук грешил больше своего друга Сэмюеля Пепса, как говорится, не пропуская ни одной служанки.

Взгляд Ньютона на мир был, возможно, шире, но его интересы в науке лежали значительно дальше от практики. Подобно интересам многих академических ученых меньшего масштаба, их можно было бы во многих случаях охарактеризовать как "антиутилитарные". Однако это не помешало Ньютону занять должность директора монетного двора. Хотя, по-видимому, здесь сыграла роль не столько склонность заниматься прикладными науками, сколько желание иметь правительственную должность, что по тем временам давало значительно более высокое общественное положение, чем кафедра в Тринити-колледже, не говоря уже о жалованье. Немало времени Ньютон потратил и на размышления теологического порядка. Я думаю, что у него не было склонностей да и времени для плотских радостей.

Короче говоря, Ньютон был в немалой степени предрасположен к тому, чтобы питать отвращение к Гуку как к человеку и ко всему, что тот отстаивал, включая и теорию упругости. Так случилось, что после смерти Гука Ньютону довелось прожить еще 25 лет, и значительную часть этого времени он посвятил очернению памяти Гука и прикладных наук. А поскольку авторитет Ньютона в научном мире был непререкаем и его точка зрения совпадала с общественным настроением и интеллектуальными течениями того времени, такие дисциплины, как расчет конструкций, не обрели популярности в течение многих лет даже после смерти Ньютона.

Таким образом, в течение всего XVIII в. сохранялось такое положение, при котором, несмотря на то, что принцип сопротивления материалов был в самом общем виде объяснен Гуком, его труды и дела не имели последователей. При таком состоянии дел какие-либо расчеты для практических целей были едва ли возможны.

Следовательно, пользы от того, что существовали представления об упругости, для инженерных целей почти не было. Французские инженеры XVIII в. отдавали себе в этом отчет и с сожалением создавали конструкции (которые довольно часто разваливались) с помощью той теории, которая имелась в их распоряжении. Английские же инженеры, которые также понимали это, обычно были безразличны к "теории", и конструкции промышленной революции создавались кустарными методами. Они разрушались, может быть, чуть реже французских.

 

Изобретение напряжения и деформации,

или

барон Коши и расшифровка модуля Юнга

Кроме Ньютона и предрассудков XVIII в. главной причиной столь долгого застоя в теории упругости было то, что те немногие ученые, которые все же занимались атой проблемой, пытались анализировать силы и перемещения, рассматривая конструкцию целиком как это делал и Гук, - вместо того чтобы перейти, к силам и деформациям, которые существуют в каждой точке внутри материала. Предпринимавшиеся в XVIII и XIX вв. такими выдающимися умами, как Леонард Эйлер (1707-1783) и Томас Юнг (1773-1829), попытки решать вполне стандартные с сегодняшней точки зрения задачи кажутся современному инженеру невероятнейшими интеллектуальными ухищрениями.

Концепция упругости материала в точке сводится к понятию о напряжении и деформации, которое впервые в обобщенной форме было сформулировано Огюстом Коши (1789-1857) в его статье, направленной во Французскую академию наук в 1822 г. После работ Гука эта статья была, быть может, самым важным событием в истории развития теории упругости. После нее появилась надежда, что эта наука наконец станет орудием в руках инженеров, а не эмпиреями нескольких эксцентричных мыслителей. На портрете, написанном примерно в то же время, Коши выглядит довольно бойким молодым человеком; несомненно, в прикладной математике он был большой силой.

Когда в XIX в. английские инженеры наконец снизошли до того, чтобы познакомиться с работами Коши, то обнаружили, что, усвоив основные понятия о напряжениях и деформациях, можно сразу упростить все исследования по расчету конструкций. Сегодня эти понятия в широком ходу, и трудно объяснить то замешательство и смущение, которые иногда испытывают при упоминании о них неспециалисты. У меня как-то была аспирантка, незадолго до этого удачно защитившая диплом по биологии. Изучение понятий о напряжениях и деформациях вывело ее из душевного равновесия настолько, что она сбежала из университета и бесследно исчезла. Почему - я так и не пойму до сих пор.

 

Напряжение

Оказывается, к представлению о напряжении был очень близок еще Галилей. В "Двух новых науках" - книге, написанной им в старости в Арцетри, - он ясно указывает, что растягиваемый стержень имеет прочность, которая при постоянстве остальных условий пропорциональна площади его поперечного сечения. Иными словами, если стержень сечением 2 см2 разрывается при нагрузке 1000 кгс, то стержень сечением 4 см2 разрывается при нагрузке 2000 кгс. Кажется почти невероятным, что потребовалось почти два столетия, чтобы разделить разрушающую нагрузку на площадь поверхности в месте разрыва, дабы получить величину, называемую сегодня разрушающим напряжением (в упомянутом выше случае 500 кгс/см2) и относящуюся ко всем стержням из того же материала.

Коши осознал, что такое представление о напряжении можно использовать не только для того, чтобы предсказать разрушение материала, но и для более общего описания состояния тела в любой его точке. Другими словами, напряжение в твердом теле напоминает давление в жидкости или газе. Оно является мерой воздействия внешних сил на атомы и молекулы, из которых состоит материал и которые вынуждены под действием этих сил сближаться или удаляться друг от друга.

Таким образом, сказать, что напряжение в данной точке какого-то куска стали составляет 500 кгс/см2, ничуть не более вразумительно и не менее таинственно, чем сказать, что давление в шинах моего автомобиля 2 кгс/см2. Однако, хотя понятия о давлении и напряжении вполне сопоставимы, нужно иметь в виду, что давление действует в любом направлении внутри жидкости, тогда как напряжение является величиной, характеризующейся определенными направлениями действия. Напряжение может, в частности, действовать в одном-единственном направлении; во всяком случае, пока мы будем считать, что это именно так.

В количественном выражении напряжение в заданной точке определяется отношением силы, или нагрузки, приходящейся на небольшую площадку в окрестности этой точки, к величине этой площадки.

Если напряжение в некоторой точке мы обозначим буквой s , то напряжение = s = (нагрузка/площадь) = ( Р/А ), где Р - нагрузка, а А - площадь, на которую, как можно считать, эта нагрузка действует (рис. 6).

Рис. 6. Напряжение, возникающее в бруске при растяжении. (Ситуация при сжатии выглядит аналогичным образом.)

Вернемся теперь к нашему кирпичу, который в предыдущей главе мы оставили висящим на веревке. Если кирпич весит 5 кг, а веревка имеет сечение 2 мм2, то кирпич натягивает веревку с силой 5 кгс, а напряжение в веревке s = (нагрузка/площадь) = ( Р/A ) = 5 кгс/2 мм 2 = 2,5 кгс/мм 2 , или, если угодно, 250 кгс/см2.

 

Единицы напряжения

В связи со сказанным возникает порой вызывающий досаду вопрос о единицах напряжения. Напряжение можно выразить, и часто его именно так и выражают, в различных величинах, соответствующих какой-либо единице силы, деленной на какую-либо единицу площади. Чтобы не было путаницы, в этой книге мы ограничимся использованием следующих единиц.

Меганьютон на квадратный метр - МН/м2. Это единица СИ - Международной системы единиц, которая в качестве единицы силы использует Ньютон - Н.

1Н = 0,102 кгс (приблизительно весу одного яблока).

1 МН (меганьютон)=1 млн. Н, что составляет почти 100 т.

Килограмм силы на квадратный сантиметр - кгс/см2

Перевод одних единиц в другие:

1 MH/м2= 10,2 кгс/см2, 1 кгс/см2=0,098 МН/м2.

Таким образом, полученное в нашей веревке напряжение составляет 250 кгс/см2 или 24,5 МН/м2. Обычно для приближенного вычисления напряжений нет необходимости и в абсолютно точных коэффициентах перевода одних единиц в другие.

Стоит повторить: важно осознать, что напряжение в материале, подобно давлению в жидкости, есть величина, привязанная к некоторой точке; оно не относится к какой-либо определенной площади поперечного сечения, такой, как квадратный сантиметр или квадратный метр.

 

Деформация

В то время как напряжение говорит нам о том, сколь интенсивно принуждаются к расхождению в данной точке твердого тела атомы, деформация говорит о том, сколь далеко этот процесс растяжения зашел, то есть каково относительное растяжение межатомных связей,

Так, если стержень, имевший первоначально длину L , под действием силы удлинился на величину l , то деформация, или относительное изменение длины стержня, которую обозначим буквой е , будет e = l/L (рис. 7)

Рис. 7. Деформация, возникающая в бруске при растяжении. (Деформация при сжатии выглядит аналогичным образом.)

Возвращаясь к нашей веревке, можно сказать, что если ее первоначальная длина была, допустим, 2 м (200 см), а под действием веса кирпича она удлинилась на 1 см, то деформация веревки е = l/L = 0,005, или 0,5%.

Деформации, возникающие в инженерной практике, обычно весьма малы, поэтому инженеры, как правило, выражают их в процентах, что уменьшает вероятность ошибки, если оперировать десятичными дробями с множеством нулей.

Подобно напряжению, деформация не связана с какой-либо опеределенной длиной, сечением или формой материала. Она также характеризует состояние материала в точке. Поскольку для определения деформации мы делим удлинение на первоначальную длину, она выражается безразмерной величиной - числом, не требующим какой-либо единицы измерения. В равной мере все сказанное относится не только к растяжению, но и к сжатию.

 

Модуль Юнга,

или

какова жесткость данного материала?

Как уже говорилось, в своей первоначальной форме закон Гука хотя и заслуживал внимания, но свалил в одну кучу свойства материала и поведение конструкций. Произошло это в основном из-за отсутствия понятий "напряжение" и "деформация", не последнюю роль сыграли здесь существовавшие в прошлом трудности, связанные с испытанием материалов.

В настоящее время для испытания материала как чего-то отличного от конструкции из него изготовляют так называемый образец. Форма образца может быть самой разной, но, как правило, это стержень с участком постоянного сечения, на котором и производятся измерения, и утолщенными концами для закрепления в испытательной машине. Обычная форма металлических образцов показана на рис. 8.

Рис. 8. Типичный образец для испытаний на растяжение

Испытательные машины также могут сильно различаться размерами и конструкцией, но по существу все они представляют собой механические приспособления для приложения к образцам нагрузки, которую при этом можно точно измерять.

Напряжение в стержне вычисляется путем деления нагрузки, регистрируемой на каждой стадии испытаний по шкале устройства, на площадь поперечного сечения образца. Растяжение стержня-образца под действием нагрузки (а следовательно, деформация материала) обычно измеряется с помощью экстензометра - чувствительного устройства, которое крепится к двум точкам образца.

Такое оборудование позволяет довольно просто измерить напряжения и деформации, которые возникают в образце материала по мере того, как мы увеличиваем нагрузку. Графическое изображение зависимости напряжения от деформации называется кривой деформирования. Эта кривая, обычный вид которой представлен на рис. 9, является характеристикой данного материала и практически не зависит от размеров испытываемого образца.

Рис. 9. Типичная кривая деформирования.

При постройке кривых деформирования для металлов и многих других твердых тел мы неизменно будем обнаруживать, что по крайней мере для небольших напряжении эти кривые имеют прямолинейные участки. В этих случаях о материале говорят, что он "подчиняется закону Гука" или является "гуковским материалом".

Мы обнаружим также, что наклоны этих прямолинейных участков для различных материалов различны (рис. 10), Очевидно, что наклон кривой деформирования является мерой деформации материала при заданном напряжении. Другими словами, он является мерой упругости или, наоборот, податливости данного твердого тела.

Рис. 10. Кривая деформирования. Тангенс угла наклона ее прямолинейного участка является параметром материала, который называется модулем упругости и обычно обозначается Е

Для любого материала, который подчиняется закону Гука, тангенс угла наклона кривой деформирования должен быть величиной постоянной. Таким образом, отношение напряжение/деформация = s/e = E и носит название модуля упругости, или модуля Юнга. Модуль Юнга - величина постоянная для данного материала. Иногда при обсуждении технических вопросов о нем говорят как о "жесткости". Кстати, слово "модуль" в переводе с латинского означает "малая мера".

Вспомним, что деформация нашей веревки под действием веса кирпича составляла 0,5%, или 0,005, при напряжении 24,5 МН/м2 Поэтому модуль Юнга веревки E = s/e = 24,5/0,005 = 4900 МН/м 2 = ~ 5·10 4 кгс/см 2 .

 

Единицы измерения жесткости, или модуля Юнга

Поскольку модуль Юнга представляет собой отношение напряжения к безразмерной величине, то размерность его та же, что и у напряжения, например МН/м2 или кгс/см2. Формально модуль Юнга можно рассматривать как напряжение, требуемое для 100%-ного удлинения материала (если с материалом при этом ничего не произойдет), вследствие чего его численные значения настолько велики, что их трудно себе представить.

 

Фактические значения модуля Юнга

Значения модуля Юнга для многих органических веществ и инженерных материалов представлены в табл. 1. Они расположены в порядке возрастания - от модуля Юнга мягкого покрова взрослой самки саранчи (отнюдь не самого мягкого биологического материала; кстати, покров самцов и молодых самок саранчи не многим жестче) до алмаза. Из таблицы видно, что величина жесткости материалов может изменяться в 6 млн. раз. Причину таких колоссальных различий мы обсудим в гл. 7.

Таблица 1. Значения модуля Юнга для различных материалов

Материал/Модуль Юнга (E), МН/м 2

Мягкий покров взрослой самки саранчи 0,2

Резина 7

Пленка скорлупы яйца 8

Хрящ человека 24

Сухожилие человека 600

Штукатурка 1400

Неармированный пластик, полиэтилен, нейлон 1400

Фанера 7000

Дерево (вдоль волокон) 14000

Свежая кость 21000

Магний 42000

Обычное стекло 70000

Алюминиевые сплавы 70000

Латунь и бронза 120000

Железо и сталь 210000

Окись алюминия (сапфир) 420000

Алмаз 1200000

Следует отметить, что многие очень мягкие биологические материалы отсутствуют в таблице. Дело в том, что их упругие свойства даже приближенно не описываются законом Гука, а потому для них невозможно ввести модуль Юнга - во всяком случае, в том виде, как обсуждалось выше. К упругим свойствам таких материалов мы вернемся позже.

В настоящее время модуль Юнга считается фундаментальным понятием - оно господствует в инженерном деле, в материаловедении и начинает вторгаться в биологию. Однако должна была пройти вся первая половина XIX столетия, прежде чем модуль Юнга завоевал умы инженеров. Отчасти это явилось следствием крайнего консерватизма, а отчасти того, что все практически полезные идеи о напряжениях и деформациях появились довольно поздно.

После разработки основных идей трудно было представить себе что-либо более простое и очевидное, чем модуль Юнга, но до этого все представления об упругости казались исключительно сложными. От Юнга, сыгравшего важную роль в расшифровке египетских иероглифов и бывшего одним из проницательнейших умов своего времени, эта работа потребовала, очевидно, огромного умственного напряжения.

Он работал над проблемой жесткости в 1800 годы и рассуждал совершенно иначе, чем это сделали бы мы с вами. Юнг оперировал величиной, которая в настоящее время называется удельным модулем и показывает, каким должно быть уменьшение длины столба исследуемого материала под действием собственного веса. Данное самим Юнгом определение своего модуля, опубликованное в 1807 г., гласит: "Модуль упругости любого вещества есть столб этого вещества, способный производить давление на свое основание, которое так относится к весу, вызывающему определенную степень сжатия, как длина вещества к уменьшению этой длины".

После всего этого даже египетские иероглифы могли показаться не такими уж сложными. Один из современников сказал о Юнге: "Он употреблял слова не в обычном их значении, а строй его мыслей редко походил на строй мыслей собеседников. Я не встречал человека, который бы менее его подходил для обмена знаниями".

К тому же не следует забывать, что Юнг старался осилить концепцию, которую едва ли можно было сформулировать без понятия о напряжениях и деформациях, вошедших в употребление лишь 15-20 лет спустя. Современное определение модуля Юнга (Е = напряжение/деформация ) было дано в 1826 г., за три года до смерти Юнга, французским инженером Навье (1785-1836). Что касается Коши, то спустя некоторое время как изобретателю напряжения и деформации ему был пожалован титул барона. Думается, он это заслужил.

 

Прочность

Не следует путать прочность конструкции и прочность материала. Прочность конструкции определяется нагрузкой (в ньютонах или в килограммах), которая приводит к разрушению конструкции. Эта величина известна как разрушающая нагрузка, и она обычно используется только применительно к некоторой конкретной конструкции.

Прочность материала характеризуется напряжением (в МН/м2 или в кгс/см2), разрушающим сам материал. Обычно величина прочности более или менее постоянна для всех образцов данного вещества. Мы в основном будем рассматривать прочность материалов при растяжении, которую называют прочностью на разрыв. Ее обычно определяют, разрушая небольшие образцы в испытательной машине. Большинство вычислений в области прочности сводится, естественно, к определению прочности конструкции по известной прочности ее материала.

Величины прочности некоторых материалов приведены в табл. 2. Из нее видно, что прочность биологических и инженерных материалов, как и их жесткость, меняется в очень широких пределах.

Таблица 2. Прочность на разрыв различных твердых тел

Материал / Прочность на разрыв, МН/м 2

Неметаллы

Мышечная ткань 0,1

Стенка мочевого пузыря 0,2

Стенка желудка 0,4

Кишечник 0,5

Стенка артерии 1,7

Хрящ 3,0

Цемент и бетон 4,1

Обычный кирпич 5,5

Свежая кожа 10,3

Дубленая кожа 41,1

Свежее сухожилие 82

Пеньковая веревка 82

Дерево (сухое):

вдоль волокон 103

поперек волокон 3,5

Кость 110

Обычное стекло 35-175

Человеческий волос 192

Паутина 240

Хорошая керамика 35-350

Шелк 350

Хлопковое волокно 350

Струна (из биологических материалов) 350

Льняное полотно 700

Пластик, армированный стекловолокном 350-1050

Пластик, армированный углеволокном 350-1050

Нейлоновая ткань 1050

Металлы

Стальная рояльная проволока (хрупкая) 3100

Высокопрочная сталь 1500

Малоуглеродистая сталь 400

Сварочное железо 100-300

Обычный чугун (очень хрупкий) 70-140

Современный чугун 140-300

Алюминий:

литейные сплавы 70

деформируемые сплавы 140-600

Медь 140

Латунь 120-400

Бронза 100-600

Магниевые сплавы 200-300

Титановые сплавы 700-1400

Удивительно различие в прочности мышц и сухожилий. Этим объясняется и разница их поперечных сечений. Так, ахиллесово сухожилие, будучи толщиной всего с карандаш, прекрасно справляется с передачей натяжения от толстых икроножных мышц к костям пятки (что позволяет нам ходить и прыгать). Кроме того, из таблицы видно, почему инженеры не могут допустить большие растягивающие нагрузки на бетон, не армированный стальными прутьями.

В целом металлы прочнее неметаллов. А плотность почти у всех металлов больше, чем у большинства биологических материалов. (Удельный вес стали 7,8 г/см3, а большинства биологических тканей около 1,1 г/см3) Поэтому высокая прочность металлов в сравнении с тканями растений и животных не производит особого впечатления, если относить ее к единице массы.

Подытожим сказанное в этой главе.

Напряжение = нагрузка / площадь

Деформация = удлинение под действием нагрузки / первоначальная длина

Прочность - это напряжение, необходимое для разрушения материала. Модуль Юнга характеризует жесткость материала.

Модуль Юнга = напряжение / деформация = E

Прочность и жесткость - свойства разные. Приведем в этой связи выдержку из книги "Почему мы не проваливаемся сквозь пол": "Печенье жестко, но непрочно, сталь - и жесткая, и прочная, нейлон - нежесткий, гибкий, но прочный, малиновое желе - и нежесткое, и непрочное. Вряд ли можно ожидать большей информации о свойствах твердого тела, если пользоваться лишь двумя его характеристиками".

Если что-либо из сказанного оказалось для вас не совсем ясным, возможно, вам будет утешением узнать, что не так давно мне пришлось потратить в Кембридже целый вечер на объяснение двум всемирно известным ученым основных различий между прочностью, жесткостью, напряжением и деформацией в связи с одним очень дорогим проектом, по которому им предложили дать консультацию правительству. Так, мне и до сих пор неясно, насколько я тогда преуспел.

 

Конструирование и безопасность,

или

можно ли доверять расчетам на прочность?

Все эти рассуждения о напряжениях и деформациях необходимы нам лишь для того, чтобы понять способы создания безопасных и эффективно работающих конструкций и сооружений.

Природа, создавая свои конструкции, по-видимому, не испытывает затруднений. Полевые колокольчики никто не рассчитывал на прочность, однако это не мешает им быть прекрасно сконструированными. Вообще природа как инженер намного превосходит человека. Для одних творений она проявляет упорное однообразие, а для других - поражает множеством вариантов.

Общее расположение и соразмерность частей живых организмов контролируются в процессе роста механизмом РНК - ДНК - знаменитой "двойной спиралью" Уилкинса, Крика и Уотсона. Однако и в этих рамках каждое конкретное растение или животное располагает большой свободой в построении деталей своей "конструкции". Не только толщина, но и состав каждого из нагруженных элементов живой конструкции существенно зависят от степени их использования и характера испытываемых ими в течение жизни нагрузок. Таким образом, происходит оптимальное с точки зрения прочности живой конструкции изменение отдельных ее деталей. У природы-конструктора скорее прагматический, чем математический склад характера, к тому же плохие конструкции всегда могут быть съедены хорошими.

К сожалению, инженерам такие методы конструирования пока недоступны, и они вынуждены прибегать к догадкам или расчетам, а чаще комбинировать то и другое вместе. Очевидно, что как соображения безопасности, так и соображения экономии заставляют предсказывать распределение нагрузки между отдельными частями конструкции и определять их размеры. Кроме того, хотелось бы знать, каковы будут перемещения нагруженной конструкции, поскольку излишняя гибкость может быть столь же опасной, как и недостаточная прочность.

 

Французская теория и британский прагматизм

После того как сложились основные представления о прочности и жесткости, математики приступили к разработке методов анализа плоских и пространственных упругих систем, с помощью которых было исследовано поведение самых разных конструкций при их нагружении. Так сложилось, что в течение первой половины XIX в, теорией упругости занимались в основном французы. Хотя не исключено, что теория упругости как-то особенно сродни французскому темпераменту, все же, представляется, практическая поддержка этих исследований прямо или косвенно исходила от Наполеона I и осуществлялась основанной в 1794 г. Политехнической школой.

Многие из этих работ носили абстрактно-математический характер, а поэтому остались непонятыми большинством инженеров-практиков и не получили признания вплоть до 1850 г. Особенно это относится к Англии и Америке, где практикам всегда отдавалось безусловное предпочтение перед теоретиками. А кроме того, как известно, "один англичанин всегда побивал трех французов". Так, о шотландском инженере Томасе Телфорде (1757-1834), чьими величественными мостами мы восхищаемся еще и поныне, имеется следующее свидетельство современника: "Он испытывал сильнейшее отвращение к занятиям математикой и не удосужился познакомиться даже с началами геометрии. Это было воистину удивительно, и когда нам случилось рекомендовать одного нашего молодого друга к нему на службу, он, узнав об отличных математических способностях претендента, не колеблясь, заявил, что, по его мнению, такого рода познания скорее говорят о непригодности юноши к работе с ним, чем об обратном".

Телфорд, однако, был действительно велик и, подобно адмиралу Нельсону, компенсировал невероятную самоуверенность подкупающей скромностью. Когда тяжелые цепи висячего моста через пролив Менай (см. рис. 85) были удачно подвешены на виду у собравшейся толпы, Телфорда обнаружили вдали от аплодирующих зрителей возносящим на коленях благодарение всевышнему.

Но не все инженеры были так скромны, как Телфорд, и взгляды англосаксов того времени носили налет не только умственной лени, но и самонадеянности. При всем том, однако, основания для скептицизма относительно надежности расчетов на прочность были. Очевидно, что Телфорд и его коллеги возражали не против количественного подхода как такового - знать силы, действующие на материалы, они хотели бы не меньше других, - а против способов получения этих данных. Они чувствовали, что теоретики слишком часто бывают ослеплены элегантностью своих методов и не заботятся в достаточной мере о соответствии исходных предположений действительности, получая в результате правильные ответы для нереальных задач. Другими словами, более опасной предполагалась самонадеянность математиков, чем инженеров, которых практика чаще наказывала за излишнюю самонадеянность.

В этой связи проницательные технические эксперты севера осознали (а это следовало бы сделать и всем остальным практикам), что, анализируя ту или иную ситуацию с помощью математики, мы в действительности создаем рабочую модель исследуемого предмета. При этом мы надеемся, что наша модель, или математический аналог реальности, с одной стороны, имеет достаточно много общего с реальным предметом, а с другой - позволяет нам сделать какие-то полезные предсказания.

Для таких модных предметов, как физика или астрономия, соответствие между моделью и действительностью столь точно, что некоторые склонны рассматривать Природу как нечто вроде Математика свыше. Однако сколь привлекательной ни казалась бы эта доктрина земным математикам, имеются явления, для которых было бы благоразумным использовать математические аналогии лишь с очень большой осторожностью. "Пути орла на небе, пути змея на скале, пути корабля среди моря и пути мужчины к девице" не предскажешь аналитически. (Кое-кто даже удивляется, каким образом математики все же ухитряются жениться.) А, построив свой дворец, царь Соломон, вероятно, мог бы добавить, что поведение конструкции под нагрузкой не менее непостижимо, чем пути кораблей и орлов.

В случаях, подобных упомянутым, главную трудность составляет сложность возникающих ситуаций, что не позволяет создать для них полную и простую математическую модель. Обычно имеется несколько возможных путей разрушения конструкций, но ломаются они, естественно, способом, требующим наименьших усилий, и именно об этом способе часто никто не догадывается, не говоря уже о каких-либо расчетах.

Интуитивное понимание возможных слабостей, присущих материалам и конструкциям,- одно из наиболее ценных качеств инженера. Никакие другие интеллектуальные свойства не могут его заменить. Не случайно иногда рушились мосты, сконструированные по лучшим "современным" теориям такими представителями Политехнической школы, как Навье. Но, насколько мне известно, ни с одним из сотен мостов и других сооружений, построенных за свою долгую жизнь Телфордом, не случалось даже сколько-нибудь серьезных неприятностей. Именно поэтому, наверное, в пору расцвета французской теории расчетов конструкций многие мосты и железные дороги на континенте были построены нахрапистыми и малоразговорчивыми английскими и шотландскими инженерами, относившимися к вычислениям без особого уважения.

 

Коэффициент запаса и коэффициент незнания

Как бы то ни было, но примерно с 1850 г. даже британские и американские инженеры вынуждены были начать рассчитывать на прочность ответственные конструкции, например крупные мосты. Пользуясь разработанными к тому времени методами, они вычисляли наибольшие возможные напряжения в конструкции и следили за тем, чтобы они не превышали некоторой узаконенной официальными нормами прочности материала на разрыв.

Для полной безопасности они делали наибольшее вычисленное действующее напряжение много меньшим - в три-четыре или даже в семь-восемь раз, - чем прочность материала, найденная путем разрушения простых, однородных его образцов, очень аккуратно нагружаемых в лабораторной установке. Эту процедуру они называли введением коэффициента запаса. Любая попытка уменьшения веса и стоимости за счет снижения коэффициента запаса грозила обернуться бедой.

Причиной несчастных случаев чаще всего склонны были признавать дефекты материала; возможно, иногда так оно и было. Прочность металлов действительно меняется от образца к образцу, и всегда присутствует некоторый риск, что для изготовления конструкции использован плохой материал. Но прочность железа и стали обычно изменяется лишь в пределах нескольких процентов и чрезвычайно редко возможны колебания в три-четыре раза, не говоря уже о семи или восьми. На практике столь большие расхождения между рассчитанной и действительной прочностью всегда бывают вызваны иными причинами. Действительное напряжение в каком-то не известном заранее месте конструкции может намного превышать вычисленное. Поэтому о коэффициенте запаса иногда говорят как о коэффициенте незнания.

В таких конструкциях, как котлы, балки, корабли, где действуют растягивающие напряжения, в XIX в. материалом обычно служили пуддлинговое железо или мягкая сталь, которые не без оснований имели репутацию "безопасных" материалов. Если в расчет на прочность вносился большой коэффициент незнания, то соответствующие конструкции часто оказывались вполне удовлетворительными, хотя и при этом аварии случались не так уж и редко.

Все более частыми становились катастрофы на море. Требования к повышению скорости и снижению веса судов породили трудности и для адмиралтейства, и для кораблестроителей: у кораблей возникла тенденция разламываться в открытом море надвое, хотя наибольшие расчетные напряжения казались вполне умеренными и безопасными. Так, в 1901 г. внезапно разломился пополам и затонул в Северном море при нормальной погоде совершенно новый эсминец британского военно-морского флота "Кобра", в то время один из самых быстроходных кораблей мира. Погибло 36 человек. Ни последовавшие за этим заседания военного трибунала, ни адмиралтейская комиссия по расследованию не пролили света на технические причины несчастного случая. Поэтому в 1903 г. адмиралтейство выполнило и опубликовало результаты нескольких экспериментов, проведенных в условиях штормовой погоды, с таким же кораблем, эсминцем "Волк". Они показали, что напряжения в корпусе корабля в реальных условиях несколько меньше тех, которые были вычислены при проектировании судна. Но поскольку и те и другие напряжения оказались намного меньше известной прочности стали, из которой был сооружен корабль (значение коэффициента запаса составляло 5-6), эти эксперименты мало что дали.

 

Концентрация напряжений, или как "запустить" трещину

К пониманию проблем такого рода впервые удалось подойти не с помощью дорогостоящих экспериментов на натуральных конструкциях, а с помощью теоретического анализа. В 1913 г. К.Е. Инглис, ставший позднее профессором в Кембридже, который был полной противоположностью бесплодным представителям чистой науки, опубликовал в "Трудах института корабельных инженеров" статью, значение которой выходило далеко за рамки вопроса о прочности кораблей.

Инглис перенес на механиков приписываемое лорду Солсбери высказывание о политиках: нельзя пользоваться только мелкомасштабными картами. Почти столетие механики довольствовались картиной напряжений, получаемой в широкой, наполеоновской манере, не обращая внимания на подробности. Инглис показал, что такой подход дает надежные результаты только в тех случаях, когда материалы и элементы конструкции имеют гладкие поверхности без резких изменений формы.

Отверстия, трещины, острые углы и другие особенности поверхности, на которые раньше не обращали внимания, повышают локальные напряжения; такие области повышенных напряжений могут быть очень малыми, но последствия - весьма драматическими. В окрестности отверстия или надреза напряжения могут значительно превышать разрушающие напряжения для данного материала даже в тех случаях, когда общий средний уровень напряжении невысок и, согласно "мелкомасштабным" вычислениям, конструкция кажется вполне безопасной.

Пусть в несколько ином аспекте, но этот факт был известен кондитерам, иначе зачем было делать желобки в плитках шоколада, и тем, кто имел дело с почтовыми марками и бумагой: ведь не случайно и не для красоты пробивались на них ряды дырочек. Да и портной, прежде чем оторвать кусок ткани, непременно делал надрез на кромке. А вот серьезные инженеры до того времени почти не проявляли интереса к вопросам образования трещин и не считали, что они имеют отношение к инженерному делу.

Легко объяснить, почему почти любое отверстие, трещина или надрез в однородной среде будет вызывать локальное увеличение напряжений. На рис. 11, а изображен гладкий однородный брусок, который подвергается равномерному растяжению с напряжением s . Линии, пересекающие образец, представляют собой так называемые траектории напряжений, можно сказать, что вдоль этих линий напряжение передается от молекулы к молекуле. В данном случае это прямые параллельные линии, равноотстоящие одна от другой.

Рис. 11. Картина напряжений в равномерно растянутом бруске, не содержащем трещины (а) и содержащем ее (б).

Если же мы разорвем некоторую группу этих линий, сделав в материале надрез, трещину или отверстие, то силы, представляемые этими траекториями, потребуется как-то уравновесить. То, что происходит в действительности, не так уж неожиданно: силы вынуждены "обойти" разрыв, вследствие этого плотность траекторий напряжения увеличивается до степени, зависящей главным образом от формы выемки (рис. 11, б). В случае длинной трещины, например, их скопление вокруг ее конца может быть очень велико. Таким образом, как раз в окрестности кончика трещины сила, действующая на единицу площади, увеличивается и, следовательно, локальные напряжения оказываются большими (рис. 12).

Рис. 12. Концентрация напряжений у кончика трещины. Распределение касательных напряжения в прозрачном материала визуализируется в поляризованном свете, полосы на фотографии представляют собой линии равных касательных напряжений.

Инглису удалось вычислить, насколько при растяжении увеличится напряжение на конце эллиптического отверстия в твердом материале, подчиняющемся закону Гука. Хотя эти вычисления справедливы, строго говоря, только для эллиптических отверстий, результаты с достаточной точностью применимы и к отверстиям другой формы: к амбразурам, дверям и люкам на судах, самолетах и других аналогичных сооружениях, а также к трещинам, царапинам и отверстиям в других конструкциях и материалах всех сортов, даже к пломбам в зубах.

Результат Инглиса можно представить в виде простой формулы. Пусть имеется участок материала, в котором на достаточно большом расстоянии от трещины приложено напряжение s . Если трещина, надрез или какая-либо другая выемка имеет длину L и если радиус конца этой трещины или выемки равен r , то напряжение непосредственно около этого конца не останется равным s , а возрастет до величины s(1 + 2(L/r) 1/2 ).

В случае полукруглой выемки или круглого отверстия, когда r = L , наибольшее напряжение, таким образом, будет равно 3s , но в случае отверстий под двери и люки, часто имеющих острые углы, r будет мало, a L - велико, и, следовательно, напряжение в этих углах может быть очень большим - столь большим, что именно оно ломает пополам корабль.

В экспериментах с "Волком" датчики для измерения деформаций (упругие деформации легко пересчитываются в напряжения) крепились к обшивке корабля в самых разных местах, но, как оказалось, ни один из них не был помещен вблизи углов люков или других отверстий. Если бы это сделали, то почти наверняка внушающие опасения результаты были бы получены еще до выхода корабля из Портлендского канала.

В случае трещин обнаруживается еще более опасная ситуация, так как у трещины длиной в несколько сантиметров и даже метров радиус ее кончика может иметь молекулярные размеры - менее одной миллионной сантиметра, а потому величина L/r оказывается очень большой. Таким образом, напряжение у кончика трещины вполне может быть в сотню или даже в тысячу раз больше, чем напряжение в других местах материала.

Результаты Инглиса, принятые буквально и целиком, означали, что создать конструкцию, безопасную при растяжении, вообще вряд ли возможно. В действительности же материалы, используемые в работающих на растяжение конструкциях, такие, как металлы, дерево, канаты, стеклопластики, текстильные ткани и большинство биологических материалов, являются вязкими, трещиностойкими, что означает, как мы увидим в следующей главе, что они обладают более или менее хитроумными средствами защиты против концентрации напряжений. Однако даже в случае лучших, наиболее трещиностойких из материалов эта защита только относительна и любая конструкция в чем-то уязвима.

Но используемые в технике хрупкие твердые тела (стекло, камень и бетон) не имеют и такой защиты. Иными словами, они весьма точно соответствуют исходным допущениям, которые были заложены в расчетах Инглиса. Более того, чтобы ослабить материал, даже не нужно искусственно создавать надрезы - концентраторы напряжении. Природа щедро позаботилась об этом: реальные твердые тела еще до создания из них конструкций, как правило, содержат множество всевозможных пор, щелей и трещин. По этой причине было бы опрометчивым подвергать хрупкие твердые тела заметным растягивающим напряжениям. Их, конечно, широко используют при возведении стен, строительстве дорог и т. п., где они, как принято считать, работают на сжатие. В тех случаях, когда нельзя избежать некоторого растяжения, как, например, в оконных стеклах, необходимо позаботиться о том, чтобы эти напряжения были достаточно малыми, и вводить большой коэффициент запаса прочности.

Следует отметить, что не только отверстия, трещины и другие пустоты могут быть причиной понижения прочности материала. Вызвать концентрацию напряжений может, наоборот, и добавка материала, если это приводит к резкому локальному увеличению жесткости. Так, если поставить заплату из нового материала на старую одежду или толстый лист брони на тонкий борт военного корабля, из этого не получится ничего хорошего.

Причина здесь в следующем. Траектории напряжений могут столь же сильно притягиваться к более жесткой области (заплате), как и отталкиваться от области с более низкой жесткостью (отверстия). Любой элемент конструкции, отличающийся от окружающих его элементов своими упругими свойствами, вызывает концентрацию напряжении и может быть опасным.

Стремясь повысить прочность с помощью добавочных материалов, стоит задуматься, а не уменьшится ли она на самом деле. Опыт научил меня, что инспекторы страховых компаний и правительственных учреждений, настаивающие на том, чтобы сосуды высокого давления и другие конструкции были "подкреплены" дополнительными косынками и переборками, зачастую бывают ответственны за те самые несчастные случаи, которые они старались предотвратить.

Представителям живой природы в общем неплохо удается избежать такого рода перенапряжений. Однако концентрация напряжений может быть существенным моментом ортопедической хирургии, особенно при соединении относительно мягких костей жесткими металлическими протезами.

 

Упругая энергия и современная механика разрушения, с отступлениями о луках, катапультах и кенгуру

Как было сказано в предыдущей главе, значительным достижением математиков XIX в. было создание методов расчета распределения напряжений для большинства типов конструкций, хотя эти методы носили академический характер. Но многие инженеры-практики не доверяли такого рода расчетам еще задолго до того, как Инглис посеял сомнения в их справедливости. Используя методы теории упругости, Инглис показал, что даже крошечные непредвиденные дефекты или нерегулярности, которые могут появиться в, казалось бы, абсолютно безопасной конструкции, приводят к росту локальных напряжений до величин, превышающих принятый предел прочности материала, что сулит преждевременное разрушение конструкции.

В самом деле, используя формулу Инглиса, можно с легкостью подсчитать, что для фермы железнодорожного моста в устье реки Форт, сделанной из не очень твердой стали, достаточно обычной булавочной царапины, чтобы она развалилась и мост рухнул в море. Однако не часто приходится слышать, что мосты разваливаются от булавочных царапин, в то время как на практике все конструкции, включая суда и самолеты, сплошь покрыты зазубринами, трещинами и отверстиями, вызывающими концентрации напряжений, но представляющими опасность только в исключительных случаях. Как правило, они не причиняют никакого вреда. Однако время от времени конструкции все же ломаются, и каждый случай может грозить серьезной аварией.

Когда лет 50-60 назад смысл расчетов Инглиса начал доходить до инженеров, они были склонны "закрыть" всю проблему, уповая на пластичность обычно используемых металлов. Форма кривой деформирования для наиболее пластичных металлов близка к изображенной на рис. 21, и было принято считать, что перенапряженный металл у кончика трещины пластически течет, освобождаясь тем самым от серьезных перенапряжений. Таким образом, острый кончик трещины как бы сглаживается и его можно рассматривать как "закругленный", так что концентрация напряжений уменьшается и безопасность восстанавливается.

Подобно многим другим правдоподобным доводам, такое объяснение лишь отчасти соответствует истинному положению вещей и далеко не исчерпывает всей проблемы в целом. В большинстве случаев концентрация напряжений за счет пластичности металла полностью не снимается и локальное напряжение в действительности очень часто значительно превосходит общепринятое "разрушающее напряжение" материала, найденное в лабораторных опытах на малых образцах и приведенное в опубликованных таблицах и справочниках.

Однако идеи, вызывающие замешательство и подрывающие веру в общепринятые методы расчета на прочность, долгое время не пользовались поддержкой. В мои студенческие годы имя Инглиса почти не упоминалось, а эти сомнения и трудности инженеры дипломатично обходили. С точки зрения прагматиков такую позицию можно отчасти оправдать, поскольку при разумно выбранном коэффициенте запаса для многих обычных конструкций расчетам на прочность, основанным на традиционном подходе, не учитывающем концентрацию напряжений, как правило, можно доверять. И сегодня это лежит в основе большинства норм и правил безопасности, устанавливаемых правительственными организациями и страховыми компаниями.

Однако даже у прекрасных инженеров время от времени случались промашки. Так, в 1928 г. на пассажирском пароходе компании Уайт Стар "Маджестик" водоизмещением 56551 т, в то время самом большом и красивом корабле в мире, сделали дополнительный пассажирский лифт. При этом в нескольких силовых палубных перекрытиях прорубили сквозные прямоугольные отверстия с нескругленными углами. Где-то между Нью-Йорком и Саутгемптоном, когда на борту было около 3 тыс. человек, у одного из этих отверстий образовалась трещина, которая дошла до поручней, опустилась по борту корабля на несколько метров и, к счастью, застопорилась, наткнувшись на иллюминатор. Лайнер благополучно достиг Саутгемптона, и ни пассажиры, ни пресса ничего об этом не узнали. По исключительному стечению обстоятельств примерно то же самое почти одновременно произошло со вторым по величине кораблем мира, американским трансатлантическим пассажирским лайнером "Левиафан". И в этом случае судно благополучно достигло порта и огласки удалось избежать. Если бы трещины распространились немного дальше, эти пароходы развалились бы пополам в открытом море и могли бы погибнуть тысячи людей.

В послевоенное время потрясающие мир катастрофы с кораблями, мостами, буровыми вышками стали обычным явлением, и количество их год от года возрастает. Ценой гибели множества людей и огромных материальных потерь достигнуто, наконец, понимание недостаточности классической теории упругости для предсказания прочности особенно больших конструкций, хотя, конечно, созданная Гуком, Юнгом, Навье и их последователями наука исключительно важна и не может быть речи о том, что она не нужна или устарела.

 

Энергетический подход к расчетам конструкций на прочность

До самого недавнего времени в теории упругости и связанных с нею исследованиях пользовались терминами напряжение, деформация, прочность и жесткость, то есть, по существу, можно сказать, понятиями сил и перемещений. До сих пор и мы в этой книге вели рассуждения только в рамках этих понятий, и, мне кажется, многие считают такой подход наиболее простым. Однако, чем больше наблюдаешь закономерности природы и размышляешь о технике, тем больше склоняешься к энергетической концепции. Такой подход позволяет объяснить очень многое, и он лежит в основе современных моделей прочности материалов и поведения конструкций, то есть в основе довольно модной науки - механики разрушения. С его помощью проясняются многие моменты не только из области прочности инженерных конструкций, но и из совсем других наук, даже таких, как история и биология.

Досадно, что в сознании многих само представление об энергии было основательно запутано значением этого слова, употребляемым в обиходе. Подобно слову "напряжение", слово "энергия" часто используется для характеристики человеческого поведения. Такое словоупотребление имеет весьма слабую связь с обозначением реальной и точно определенной физической величины, к рассмотрению которой мы сейчас переходим.

В науке под энергией понимается способность совершать работу. Именно с такой величиной, имеющей размерность силы, умноженной на расстояние, мы и будем иметь дело. Так, поднимая груз весом в 5 кг на высоту 2 м, нужно совершить работу в 10 кгм, в результате в грузе будет запасено 10 кгм потенциальной энергии. До поры до времени эта энергия "законсервирована" в грузе, но, позволив грузу опуститься, ее можно вновь освободить. Высвобождаемый при этом запас энергии (10 кгм) может быть на что-то израсходован, например на работу часового механизма или на дробление льда на пруду.

Существует множество видов энергии - потенциальная, тепловая, химическая, электрическая и т. д. В нашем материальном мире всякое событие сопровождается превращением одной формы энергии в другую. Подобные превращения происходят в соответствии с некоторыми строго определенными правилами, главное из которых: "нельзя получить что-либо из ничего". Энергия не может быть создана или уничтожена, так что общее количество энергии, имевшееся до какого-либо физического процесса, остается тем же и после него. Этот принцип называется законом сохранения энергии.

Таким образом, энергию можно рассматривать как "универсальную валюту" науки, и часто наблюдения за ее превращениями, особенно при использовании соответствующей методики учета, могут быть очень информативными. Но для этого необходимы правильно выбранные единицы, а, как этого и следовало ожидать, в традиционных единицах энергии господствует неразбериха. Инженеры-механики склонны использовать килограммометры, физики привержены к эргам и электрон-вольтам, химикам и диетологам нравится использовать калории, счета за газ приходят в термах, а за электричество - в киловатт-часах. Все эти единицы, конечно, взаимообратимы и их можно переводить друг в друга, но в настоящее время лучше пользоваться единицей энергии системы СИ - джоулем. Джоуль определяет работу, производимую силой в 1 ньютон на пути в 1 метр.

Несмотря на то что энергию можно измерять достаточно точными методами, для многих осмыслить это понятие оказывается более трудным, чем, например, понятия силы и расстояния. Энергию, как и ветер из стихотворения Стивенсона, мы можем воспринимать лишь через ее проявления. Возможно, именно поэтому понятие энергии вошло в науку довольно поздно - в современной форме его ввел Томас Юнг в 1807 г. Сохранение энергии стало общепризнанным законом только в самом конце XIX в., и только после Эйнштейна и атомной бомбы огромная важность энергии как объединяющей концепции и как фундаментальной реальности была оценена всеми в достаточной степени.

Существует много способов - химических, тепловых, электрических и т.п. - накопления и сохранения энергии до тех пор, пока она не понадобится. Если мы собираемся использовать для этого механические средства, то можно применить метод, о котором уже говорилось, - использовать потенциальную энергию поднятого груза. Однако это довольно примитивный способ, и на практике как в инженерном деле, так и в биологии значительно чаще используется энергия деформации, или упругая энергия.

Очевидно, что энергию можно запасти в сжатой пружине, однако, как заметил Гук, поведение пружин является частным случаем упругости твердого тела при воздействии нагрузки. Таким образом, любое упругое вещество, находящееся в напряженном состоянии, содержит упругую энергию независимо от того, идет ли речь о растягивающем или сжимающем напряжении.

Если выполняется закон Гука, напряжение в материале нарастает от нуля до максимума в момент, когда материал растянут до предела. Упругая энергия на единицу объема представлена заштрихованной площадью под кривой деформирования (рис. 13). Эта площадь составляет 1/2 х напряжение х деформация = 1/2 se.

Рис. 13. Упругая энергия = площадь под кривой деформирования = 1/2 se.

 

Автомобили, лыжники и кенгуру

Все мы хорошо представляем себе упругую энергию автомобильных рессор. В машине без рессор должны были бы происходить бурные превращения потенциальной энергии в кинетическую (энергию движения) и обратно всякий раз, когда колесо проходит ухаб или рытвину. Эти превращения энергии неприятны как пассажирам, так и экипажу. Давным-давно, однако, какой-то гений изобрел рессоры, которые служат резервуаром энергии, позволяющим временно запасать изменения потенциальной энергии в виде упругой энергии, что смягчает удары при езде и предохраняет и экипаж, и пассажиров от "угрозы разрушения". Впоследствии инженеры затратили много времени и усилий, совершенствуя подвеску автомобиля и проявляя незаурядную изобретательность. Но автомобили ходят по дорогам, назначение которых - обеспечить гладкую поверхность для движения. Так что подвеска автомобиля служит только для того, чтобы нейтрализовать небольшие остаточные неровности. Задача же сконструировать подвеску для автомобиля, предназначенного для движения с большой скоростью по пересеченной местности, была бы исключительно трудной. Чтобы справляться с возникающими при таком движении ситуациями и в достаточных количествах запасать энергию, рессоры должны были бы быть очень большими и тяжелыми и сами по себе содержать столько "неподрессоренного веса", что вряд ли вся конструкция оказалась бы практичной.

Рассмотрим теперь ситуацию, возникающую при движении лыжника. Несмотря на снежное покрытие, лыжня обычно значительно более бугриста, чем любая нормальная дорога. Даже если бы можно было создать вдоль лыжни эффективное покрытие, например, из песка, предотвращающее пробуксовку, так что автомобиль мог бы двигаться по нему без скольжения, любая попытка прокатиться по лыжне на машине со скоростью несущегося с горы лыжника (например, 80 км/ч) кончилась бы печально, поскольку подвеска не смогла бы смягчить тряску. Но как раз с этой задачей и должно справляться тело лыжника. На самом деле значительную часть соответствующей энергии, по-видимому, принимают на себя сухожилия ног лыжника, вес которых не превышает и полукилограмма. Таким образом, если мы собираемся носиться на лыжах без опаски или совершать другие атлетические подвиги, наши сухожилия должны обладать способностью принимать и возвращать очень большие количества энергии. Отчасти для этого они и предназначены.

Приближенные значения способности различных материалов запасать упругую энергию приведены в табл. 3. Некоторые сравнения биологических материалов с металлами, возможно, вызовут удивление инженеров, а разница величин, характерных для сухожилий и стали, проливает свет на соответствующие качества лыжников и живых существ вообще. У сухожилия способность запасать энергию, отнесенная к единице массы, примерно в 20 раз больше, чем у современных пружинных сталей. Хотя лыжники в качестве "устройств" для накопления упругой энергии эффективнее большинства механизмов, даже тренированный атлет не может конкурировать с оленем, белкой или обезьяной. Интересно было бы выяснить, какой по сравнению с человеком процент веса этих животных приходится на сухожилия.

Таблица 3. Способность твердых тел запасать упругую энергию

Вещество / Рабочая деформация, % / Рабочее напряжение, МН/м 2 / Запасаемая упругая энергия 10 6 Дж/м 3 / Плотность, кг/м 3 / Запасаемая энергия, Дж/кг

Железо древних / 0,03 / 70 / 0,01 / 7800 / 1,3

Современная пружинная сталь / 0,3 / 700 / 1,0 / 7800 / 130

Бронза / 0,3 / 400 / 0,6 / 8700 / 70

Древесина тиса / 0,9 / 120 / 0,5 / 600 / 900

Сухожилие / 8,0 / 70 / 2,8 / 1100 / 2500

Роговая ткань / 4,0 / 90 / 1,8 / 1200 / 1500

Резина / 300 / 7 / 10,0 / 1200 / 8000

Животные, подобные кенгуру, передвигаются прыжками. При каждом приземлении их сухожилия должны запасать упругую энергию и, по свидетельству одного моего знакомого, австралийского ученого, предельная упругая энергия для них чрезвычайно высока, хотя точных цифр, к сожалению, я не могу привести. Мне кажется, что если бы понадобилось возродить ходули на пружинах, то в первую очередь следовало бы рассмотреть возможность использования в них вместо пружин сухожилий кенгуру или других животных. Шасси легких самолетов, рассчитанных на посадку на неровной местности, часто крепятся к корпусу с помощью резиновых подвесок, способность которых запасать упругую энергию много больше, чем у стальных рессор и даже сухожилий, но срок службы у них гораздо меньше.

Упругая энергия, которая играет столь большую роль в подвесках автомобилей, самолетов и, выражаясь фигурально, животных, влияет на прочность и разрушение всех видов конструкций. Однако, прежде чем мы перейдем к такому предмету, как механика разрушения, возможно, стоит поговорить еще об одном применении упругой энергии - ее роли в работе такого оружия, как луки и катапульты.

 

Луки

Лук - одно из наиболее эффективных приспособлений, способных аккумулировать мускульную энергию человека. Английские большие луки, которые принесли победу при Креси (1346) и Азенкуре (1415), почти всегда делались из тиса.

Сегодня тисовая древесина не имеет большого промышленного значения, а потому до недавнего времени ей не уделяли внимания в научных исследованиях. Однако мой коллега, д-р Г. Блют, занимающийся изучением оружия прошлых веков, установил, что микроскопическое строение древесины тиса (Taxus baccata) заметно отличается от строения других пород, она представляется нам наиболее способной запасать упругую энергию. Поэтому тис, вероятно, особенно подходит для изготовления луков.

Вопреки распространенному мнению английские большие луки, как правило, делались не из английского тисового дерева, растущего на церковных кладбищах и в других местах, а из испанского тиса, и по существовавшему в то время закону каждая ввозимая партия испанского вина должна была сопровождаться партией испанских заготовок для луков.

Как известно, тисовое дерево хорошо произрастает не только в Испании, но и по всему району Средиземноморья. Так, буйные заросли тиса покрывают сегодня руины Помпеев. Однако свидетельств об использовании тисовых луков в Испании и странах Средиземноморья как в древности, так и в Средние века почти не встречается. Они были приняты почти исключительно в Англии, Франции и отчасти в Германии и Нидерландах. Опустошения, производимые англичанами, обычно доходили до районов Бургундии и вряд ли когда-либо распространялись южнее Альп или Пиренеев.

На первый взгляд это может вызвать удивление, но Г. Блют указывает, что у тиса механические свойства древесины ухудшаются с ростом температуры быстрее, чем у древесины других пород, а потому тисовый лук не может надежно служить при температуре выше 35°С. Таким образом, его применение в качестве оружия ограничено холодным климатом, и он непригоден в условиях средиземноморского лета. Поэтому, хотя в странах Средиземноморья тисовое дерево применялось для изготовления стрел, оно редко использовалось там для изготовления луков.

Этим объясняется тот факт, что в этих странах получила распространение конструкция так называемого композиционного лука. Такой лук имел деревянную сердцевину, толщина которой составляла около половины толщины лука и которая подвергалась лишь небольшим напряжениям. К этой сердцевине приклеивались внешний слой из высушенных сухожилий, подвергающийся растяжению, и сделанный из рога внутренний слой, подвергающися сжатию. Оба этих материала превосходят тис способностью запасать упругую энергию. Лучше тиса они сохраняли и свои механические свойства в жаркую погоду - ведь температура животного около 37°С. На практике высушенные сухожилия сохраняют свои свойства до температуры 55°С, но теряют их в сырую погоду.

Комбинированные луки использовались в Турции и ряде других мест до сравнительно недавнего времени. Лорд Абердин писал в 1813 г. по пути на Венский конгресс об использовании против отступающих по Восточной Европе наполеоновских армий татарских войсковых частей, вооруженных, по-видимому, подобными луками. Очевидно, комбинированные луки были во многих отношениях лучше английского большого лука, но последний был дешевле и проще в изготовлении. Луки древних греков тоже были комбинированными, так что сделать лук Одиссея или Филоктета требовало незаурядного мастерства.

Упоминание о луке Одиссея заставляет нас вспомнить о покинутой Пенелопе, которая устроила состязание для претендентов на ее руку, предложив им натянуть тетиву одиссеева лука. Как известно, это оказалось не под силу ни одному из них, даже изобретательному Эвримаху. "А потом лук взял Эвримах, и он нагрел его со всех сторон в пламени огня, но все равно он не смог натянуть его, и тяжкий стон вырвался из его груди". Но в конце концов в чем смысл всех усилий и почему поклонники Пенелопы, Одиссей да и вообще лучники не использовали просто более длинную тетиву?

На это имеются весьма веские основания. Возможности передачи упругой энергии луку от человека ограничены характеристиками человеческого тела. На практике стрелу удается оттянуть примерно на 0,6 м, и даже сильный человек не может натягивать тетиву с силой больше 350 Н. Соответствующая энергия мышц составляет примерно 0,6 м х 350 Н, то есть около 210 Дж. Это максимум того, чем мы располагаем, и мы хотим как можно большую часть этой энергии запасти в луке в виде упругой энергии.

Если предположить, что первоначально лук не натянут и его тетива почти провисает, то в момент, когда стрелок начинает оттягивать стрелу, прикладываемая им сила почти равна нулю. Она достигнет своего наибольшего возможного значения только тогда, когда тетива максимально растянется. Это демонстрирует график на рис. 14. Энергия, переданная луку, будет в таком случае выражаться площадью треугольника и не может быть больше половины той энергии, которую мы могли бы затратить, то есть не может превышать 105 Дж.

Рис. 14. Упругая энергия лука = 1/2 x 0,6 x 350 = 105 Дж. Эта диаграмма, как и кривая на рис. 16, конечно, носит схематический характер. Вообще говоря, зависимость между силой и перемещением стрелы нелинейна, но это не меняет сути дела.

Энергия, запасаемая в английском большом луке, на практике немного меньше этой величины. Однако Гомер особо отмечает, что лук Одиссея был palintonos, что означает "изогнутый, натянутый назад". Другими словами, лук первоначально был изогнут в направлении, противоположном рабочему, так что для того, чтобы натянуть на него тетиву, приходилось прикладывать большую силу (рис. 15).

Рис. 15. Натягивание тетивы на греческий лук (роспись на вазе).

В этом случае, стреляя, лучник начинает натягивать тетиву не от нулевых значений напряжения и деформации, так что, подобрав соответствующую конструкцию лука, можно добиться того, чтобы график зависимости силы от растяжения выглядел примерно так, как показано на рис. 16.

Площадь ABCD под таким графиком теперь составляет значительно большую долю от располагаемой энергии; эта доля, вероятно, достигает 80%. Поэтому в таком луке запас энергии может составить около 170 Дж. Вполне очевидно, что это дает большие преимущества стрелку, не говоря уже о выгоде, которую имела Пенелопа.

Рис. 16. Почему луки бывают "изогнутыми назад" (палинтонос). Энергия, запасаемая в луке, теперь дается площадью АВС, что соответствует примерно 170 Дж.

В действительности тетива любого лука натянута в большей или меньшей степени еще до того, как ее начинают растягивать, и, чтобы ее надеть, требуется определенное усилие. Но поскольку английские большие луки - это луки "без хитростей", которые делались из заготовок, отколотых от бревен строевого леса, а потому почти прямых, влияние этого обстоятельства в данном случае незначительно. Гораздо проще придать наилучшую исходную форму комбинированным лукам, именно они обычно имеют характерные очертания "лука Купидона" (рис. 17).

Рис. 17. Комбинированный лук в ненатянутом и натянутом состояниях.

Поскольку предельная упругая энергия таких материалов, как роговая ткань и сухожилие, превышает предельно упругую энергию тиса, комбинированный лук можно сделать более коротким и легким, чем деревянный. Именно поэтому размеры английского деревянного лука соответствовали росту человека, а сам он получил название большого лука. Комбинированный лук можно сделать гораздо меньшим, чтобы им могли пользоваться всадники, как это и было у парфян и татар. Парфянский лук был настолько удобен, что позволял всаднику стрелять назад в преследователей; очевидно, отсюда и пошло выражение "парфянская стрела".

 

Катапульты

Величайший период классической Эллады завершился с падением Афин в 404 г. до н.э., демократический строй в Греции постепенно в течение столетия пришел в упадок и был вытеснен тиранией и военной монархией. Менялись методы ведения войны как на суше, так и на море, и возникла потребность в более современном механизированном оружии. Более того, властители постепенно богатеющих государств располагали средствами для оплаты военных расходов.

Начало было положено в греческой Сицилии. Стратег-автократ Дионисий I был, по-видимому, выдающимся человеком, сумевшим от простого военачальника возвыситься до тирана Сиракуз. За годы его правления, продолжавшегося с 405 до 367 г. до н.э., Сицилийская держава стала крупной экономической и политической силой не только в Западном Средиземноморье, но и во всем эллинском мире. При созданном Дионисием военном ведомстве была основана, вероятно, первая в истории государственная лаборатория, проводившая исследования в области вооружения. Он пригласил для этого учреждения лучших математиков и мастеров со всего греческого мира.

Естественной отправной точкой для специалистов, отобранных Дионисием, явился традиционный комбинированный ручной лук. Установив такой лук на какую-либо опору и оттягивая тетиву посредством механического привода или рычагов, можно сделать его значительно жестче, что позволит в несколько раз увеличить запасаемую и сообщаемую снаряду энергию. Так, очевидно, подошли к самострелу, снаряды которого способны были пробивать любые доспехи. Претерпев лишь небольшие конструктивные изменения, самострелы не вышли из употребления и до настоящего времени. Говорят, что они применяются сейчас в Ольстере. Любопытно, однако, что как оружие самострелы никогда не играли сколько-нибудь решающей военной роли.

Но самострел, в сущности, явился пехотным оружием, направленным против человека, так как с его помощью нельзя было наносить серьезные повреждения корпусам кораблей или фортификационным сооружениям. И хотя сиракузцы, увеличив размеры самострела и установив его на основание орудийного типа, создали катапульту, эта линия развития оружия не получила продолжения. По-видимому, определенные технические ограничения не позволяют сделать катапульту типа лука достаточно мощной, чтобы пробивать бреши в крепостной кладке.

Следующим шагом были поэтому отказ от конструкции типа лука и использование для накопления упругой энергии скрученных связок сухожилий, очень похожих на резинокордные связки, используемые для привода авиационных моделей.

Когда связка таких резиновых лент или сухожилий закручивается, материал связки подвергается растяжению, запасая упругую энергию.

Известны самые разные способы использования связок сухожилий в военной технике, однако самой лучшей конструкцией следует признать древнегреческий палинтонон, который у римлян получил название баллисты. Это исключительное по смертоносности орудие имело по две вертикальные связки сухожилий, каждая из которых закручивалась с помощью жесткой рукоятки или рычага, напоминающего рукоять ворота (рис. 18).

Рис. 18. Возможно, так выглядела древнегреческая катапульта.

Концы этих рычагов были соединены между собой толстой тетивой, а все устройство работало подобно луку. Свое название оно получило оттого, что в положении с ненатянутой тетивой оба ее рычага направлены вперед, как у комбинированного лука без тетивы. Тетива в катапульте натягивается посредством мощной лебедки подобно натягиванию тетивы лука. Снаряд (чаще всего каменное ядро) после выстрела двигался вперед по направляющим, которые одновременно служили и станиной лебедки. Лебедка могла развивать усилие, достигавшее ста тонн.

Римляне скопировали греческую катапульту, и Витрувий, служивший в войсках Юлия Цезаря, оставил нам руководство по баллистам, которое представляет немалый интерес. Размеры этих машин позволяли метать снаряды весом от 2 до 150 кг. Радиус их действия был примерно 400 м (для всех размеров). Средняя крепостная баллиста римлян, по-видимому, стреляла ядрами весом в 40 кг.

При последней, драматической осаде Карфагена в 146 г. до н. э. римляне, сделав насыпь в неглубокой лагуне, к которой выходила городская стена, установили на ней катапульты и стали из них крушить укрепления. Археологи откопали на этом месте около 6 тыс. каменных ядер весом по 40 кг каждое.

Хотя Юлий Цезарь и Клавдий использовали корабли с катапультами для нападения на британские берега, эти метательные машины, по-видимому, никогда не были грозным оружием в сражениях на море. Скорострельность такой баллисты, которая могла бы потопить корабль попаданием одного снаряда, была слишком мала и почти не позволяла поразить движущееся судно.

Иногда с помощью катапульты метали горящие снаряды, но на полных народа незатейливых кораблях того времени пожар обычно нетрудно было потушить. В 184 г. до н. э. один изобретательный флотоводец выиграл морское сражение, обрушив на головы противника глиняные горшки с ядовитыми змеями, однако его примеру, кажется, никто не последовал. В целом катапульты на море не имели успеха.

Однако палинтонон, или баллиста, был весьма эффективным средством ведения сухопутной войны. Его изготовление и эксплуатация были связаны с известными трудностями, так что обслуживающий катапульты персонал должен был быть весьма сведущим в своем деле. После того как Римская империя с ее техникой отошла в прошлое, это оружие стало непрактичным и было забыто. В Средние века применение осадных машин свелось к использованию весовой катапульты, или требюше (рис. 19).

Рис. 19. Требюше, или средневековая катапульта, - самое неэффективное из метательных устройств.

В этом устройстве, похожем на маятник, использовалась потенциальная энергия поднятого груза. Даже с помощью большого требюше вряд ли можно было поднять груз более тонны (10000 Н) на высоту 3 м. Поэтому наибольшая запасаемая потенциальная энергия, вероятно, не намного превосходила 30000 Дж. Такое же количество энергии можно запасти в виде упругой энергии в 10-12 кг сухожилий. Поэтому даже большое требюше, вероятно, обладало только одной десятой энергии катапульты. К тому же, по-видимому, значительно более низкой была эффективность передачи энергии. С помощью требюше можно было в лучшем случае причинить неприятности путем забрасывания через крепостные стены больших камней; любая же попытка повредить мощную каменную кладку не имела бы успеха.

Принцип действия лука и палинтонона как устройств для передачи энергии одинаков, и пока еще в полной мере не нашла оценки эффективность такого механизма обмена энергией. В примитивных устройствах типа требюше значительная часть запасенной энергии шла на ускорение тяжелого противовеса и рычага и в конечном итоге терялась в системе останова или тормозов, которые были неотъемлемой частью устройства. У лука или палинтонона непосредственно после спуска тетивы часть запасенной упругой энергии передается в виде кинетической энергии прямо снаряду. Однако большая часть имеющейся энергии идет на ускорение самого лука или рычагов катапульты, где она временно переходит в кинетическую энергию. Это близко к тому, что происходит в требюше, однако здесь дальнейшие события связаны с замедлением движения самого лука, а не с жестким остановом. По мере того как лук распрямляется, увеличивается натяжение тетивы, что позволяет ей действовать на снаряд с большей силой и таким образом ускорять его движение. Поэтому значительная часть кинетической энергии, запасаемой в луке или в рычагах катапульты, передается снаряду (рис. 20).

Рис. 20. Схемы, иллюстрирующие механику палинтоноса, или баллисты. a - машина подготовлена к стрельбе, вся энергия запасена в связках сухожилий; б - начальная стадия: тяжелые рычаги получают ускорение, отбирая при этом значительную часть энергии сухожилий; в - заключительная стадия: тяжелые рычаги замедляют ход благодаря натяжению тетивы, таким образом их кинетическая энергия передается снаряду; г - летящий снаряд получил энергию, первоначально запасенную в системе.

Математическое описание поведения луков и катапульт оказывается сложным, и, даже записав соответствующие уравнения движения, их нельзя решить аналитически. К счастью, однако, один из моих коллег, д-р А. Претлав, заинтересовавшись этой проблемой, применил для ее решения ЭВМ. К удивлению, оказалось, что процесс передачи энергии теоретически может иметь 100%-ную эффективность. Другими словами, практически вся упругая энергия, запасенная в устройстве, может быть превращена в кинетическую энергию снаряда. Таким образом, теряется (идет на отдачу и на соударения в системе) только малая часть энергии. В этом отношении луки и катапульты обладают преимуществами перед огнестрельным оружием.

Одно следствие из этих фактов, я думаю, хорошо известно большинству стрелков-лучников. Оно состоит в том, что при стрельбе из лука или катапульты ни в коем случае не следует пользоваться несоответствующей стрелой или снарядом. Такая попытка неминуемо закончится не только поломкой лука, но и травмой, так как в этом случае не существует безопасных каналов освобождения запасенной упругой энергии.

 

Эластичность, резильянс и ухабы на дорогах

Когда Галилей в 1633 г. в Арцетри приступил к изучению проблем упругости, прежде всего он задался вопросами, какие факторы влияют на прочность веревки или бруска при растяжении и зависит ли прочность от длины этой веревки или бруска. Элементарные эксперименты показали, что сила или вес, требуемые для разрыва однородной веревки при ее статическом растяжении, не зависят от длины этой веревки. Такой же результат, казалось бы, подсказывает и здравый смысл, однако и по сей день можно встретить множество людей, глубоко убежденных в том, что длинный кусок веревки "крепче" короткого.

Конечно, дело здесь не в человеческой глупости, а в том, что понимать под словом "крепче". Статическая сила, или натяжение, требуемое для разрыва длинной веревки, будет, конечно, той же, что и для разрыва короткой веревки, но общее удлинение большой веревки перед ее разрывом будет значительнее и, чтобы разорвать ее, потребуется большая энергия, хотя разрушающая сила и прочность материала остаются теми же. Рассуждая немного иначе, можно сказать, что длинная веревка будет смягчать внезапные рывки, упруго растягиваясь под действием нагрузки, так что возникающие при этом перегрузки будут уменьшаться. Другими словами, она действует в значительной степени так же, как подвеска автомобиля.

Таким образом, в тех случаях, когда нагрузка действует рывками, длинная веревка может действительно оказаться "крепче" короткой. Именно поэтому экипажи XVIII в. часто подвешивались к ходовой части на длинных кожаных ремнях, которые лучше коротких могли противостоять толчкам и ударам на рытвинах тогдашних дорог. Припомните к тому же, что якорные цепи и буксирные канаты стараются делать по возможности длиннее, так как они обычно рвутся не от статической нагрузки, а от резких толчков. Тем, кто может ночью или в тумане повстречаться в море с буксируемыми большим сухими доками или буровыми вышками, полезно иметь в виду, что эти сооружения буксируются на стальном тросе длиной почти в милю. Такого рода "морские процессии", занимая огромные участки моря, вселяют ужас в случайных мореплавателей.

Способность запасать упругую энергию и при действии нагрузки отклоняться упругим образом без разрушения называется резильянсом и является очень ценным качеством конструкции. Резильянс можно определить как количество упругой энергии, которое можно запасти в конструкции, не причиняя ей повреждений.

Чтобы добиться высокого резильянса, конечно, не обязательно использовать очень длинную веревку или проволочный трос. Зачастую удобнее применять более короткие конструкционные элементы, такие, как спиральные пружины (в буферах железнодорожных составов) или прокладки из мягких материалов (в качестве отбойных амортизаторов судов), а также материалы с малым модулем Юнга типа пенорезины или пенопласта (для упаковки точной аппаратуры). Все они могут испытывать большие относительные удлинения и сжатия, а поэтому способны запасать большую упругую энергию на единицу объема. Природная "подвеска" лыжников и животных своим совершенством в значительной мере обязана сравнительно низким модулям упругости и большой деформативности сухожилий и других тканей.

С другой стороны, хотя низкая жесткость и высокая растяжимость способствуют поглощению энергии и поэтому уменьшают возможность разрушения конструкции при ударе, может оказаться, что обладающая этими качествами конструкция будет слишком "мягкой" для выполнения своих функций. Такого рода соображения обычно ограничивают величину резильянса, которым можно снабдить конструкцию. Самолеты, здания, инструменты, оружие должны быть достаточно жесткими, чтобы выполнять свое назначение, поэтому в конструкциях стараются достигнуть компромисса между жесткостью, прочностью и резильянсом. Здесь-то и должен приложить свое искусство конструктор.

Оптимальные условия могут изменяться не только в зависимости от типа и класса конструкции, но и при переходе в ней от одного элемента к другому. Природа и здесь имеет преимущество, поскольку в ее распоряжении находится огромный диапазон упругих свойств различных биологических тканей. Простым, но интересным примером служит обычная паутина. Она подвержена ударным нагрузкам, создаваемым попадающими в нее мухами, и энергия возникающих ударов должна быть поглощена эластичными нитями. Оказывается, что длинные радиальные нити, на которые падает основная нагрузка, втрое жестче коротких круговых нитей, назначение которых ограничивается лишь ловлей мух.

Наряду с использованием конструкционных элементов, работающих на растяжение, таких, как веревки или нити паутины, и на сжатие, таких, как буферы железнодорожных составов и отбойные амортизаторы судов, имеется еще и много других способов запасать упругую энергию и достигать высокого резильянса. Для этих целей может годиться конструкция любой формы, способная испытывать упругие отклонения. Наиболее распространенными являются устройства, запасающие энергию посредством изгиба, подобно лукам и величавым корабельным мачтам. Именно так обстоит дело в растениях, деревьях, этот принцип лежит в основе действия большинства типов автомобильных рессор. Первоклассный меч не сломается, если его изогнуть дугой, коснувшись концом рукоятки, и снова обретет свою первоначальную форму.

 

Упругая энергия как причина разрушения

Достаточно высокий резильянс - качество, существенное для любой конструкции, без него она не могла бы поглощать энергию ударов. С этой точки зрения, чем большим резильянсом обладает конструкция, тем лучше. Столь хитроумные устройства, как корабли викингов и американский конный кабриолет, обладали очень большой гибкостью и высоким резильянсом. Если такого рода конструкции чрезвычайно не перегружать, после снятия нагрузки они тут же приходят в первоначальное состояние. Но, естественно, больших перегрузок и они не выдержат.

Далее, чтобы разорвать материал, в нем должна возникнуть трещина. Однако, как мы вскоре увидим, чтобы такая трещина продвинулась на своем пути, необходимо затратить энергию, которую надо где-то взять. Как мы говорили выше, можно без труда сломать лук, "стреляя" из него без стрелы. При этом запасенная в луке упругая энергия не может благополучно высвободиться и перейти в кинетическую энергию стрелы, а потому часть ее идет на образование трещин в материале самого лука. Другими словами, упругая энергия лука его же и ломает. Однако сломанный лук - это только частный случай разрушения вообще.

Все упругие вещества, находящиеся под действием нагрузки, содержат большее или меньшее количество упругой энергии, и эта энергия потенциально всегда может пойти на процесс разрушения их самих. Другими словами, запасенная упругая энергия может пойти на то, чтобы покрыть энергетические затраты на распространение трещины в конструкции и, следовательно, на поломку последней. В конструкции с высоким резильянсом может содержаться большая упругая энергия; того же рода энергия, к которой прибегали древние римляне, чтобы пробить массивные стены Карфагена, в равной мере годна на то, чтобы сам себя сломал пополам громадный супертанкер.

Согласно современной точке зрения, в том случае, когда материал подвергается растягивающей нагрузке, мы не должны рассматривать его разрушение как результат непосредственного растяжения химических связей между атомами. Иначе говоря, это отнюдь не простое следствие, вызванное действием растягивающего напряжения, как можно подумать, начитавшись классических учебников. Прямым результатом увеличения нагрузки, действующей на конструкцию, будет лишь увеличение запаса упругой энергии в материале. Ответ на вопрос, поломается ли на самом деле конструкция в любом заданном месте (цена ответа может составить, например, 64 тыс. долларов), зависит от того, может ли упругая энергия перейти в энергию разрушения так, чтобы образовать трещину.

Современную механику разрушения занимает прежде всего не вопрос о нагрузках и напряжениях, а вопрос о том, как, почему, где и когда упругая энергия может перейти в энергию разрушения. Конечно, в простых случаях, когда имеют дело с веревками и стержнями, действует классическая концепция критического разрушающего напряжения, однако для больших или сложных конструкций, таких, как мосты, пароходы или сосуды высокого давления, она, как мы уже видели, страдает опасным переупрощением. Оказывается, что независимо от того, подвергается ли конструкция удару или действию статической нагрузки, разрушение путем разрыва зависит главным образом от следующего:

1) от цены в единицах энергии, которую нужно заплатить, чтобы протолкнуть трещину;

2) от количества упругой энергии, которым располагает конструкция, готовая заплатить указанную цену;

3) от размеров и формы наиболее опасных отверстий, трещин или дефектов конструкции.

Тот факт, что величины энергии, необходимые для того, чтобы разрушить материал в любом данном поперечном сечении, для различных твердых тел весьма различны, легко подтвердить, ударив молотком сначала по стеклянной, а потом по консервной банке. Количество энергии, требуемое для разрушения материала, отнесенное к поперечному сечению, определяет его вязкость разрушения, или "трещиностойкость", которую в настоящее время чаще называют энергией или работой разрушения. Упомянутое свойство совершенно отлично и независимо от прочности материала на разрыв, которая определяется как напряжение (а не как энергия), требуемое для разрушения твердого тела. От трещиностойкости, или работы разрушения материала, в значительной мере зависит реальная прочность конструкции, особенно если она велика по размерам. А поэтому нам следует немного поговорить о работе разрушения различных типов твердых тел.

 

Энергия, или работа, разрушения

Когда твердое тело разрушается при растяжении, должна возникнуть хотя бы одна трещина, распространение которой разделяет кусок материала на части. Это означает, что должны образоваться по крайней мере две новые поверхности, не существовавшие ранее, до разрушения тела. Чтобы таким путем произвести в материале разрыв и образовать эти новые поверхности, необходимо разорвать все химические связи, до того сцеплявшие между собой поверхности.

Количество энергии, требуемое для разрыва почти всех типов химических связей, хорошо известно (по крайней мере химикам), и оказывается, что для большинства твердых тел, с которыми мы имеем дело в технике, общие количества энергии, требуемые для разрыва всех связей по любой единичной плоскости в любом поперечном сечении, весьма близки между собой и не сильно отличаются от величины 1 Дж/м2.

Если мы имеем дело с материалами, которые носят название хрупких - к ним относятся камень, кирпич, стекло и фаянс, - упомянутое количество энергии и есть почти вся та энергия, которую мы должны сообщить телу, чтобы произвести разрушения. В действительности 1 Дж/м2 - это совсем малое количество энергии. Так, согласно самой простой оценке упругая энергия, которую можно запасти в 1 кг сухожилий, достаточна для того, чтобы "заплатить" за 2500 м2 свежей поверхности битого стекла. (Такое действие эквивалентно визиту слона в посудную лавку.) Вот почему каменщик раскалывает кирпич точно пополам всего лишь легким ударом мастерка, а чтобы разбить тарелку или бокал, достаточно малейшей неловкости.

Хрупкие материалы по возможности не используются там, где они могут подвергнуться действию растяжений. Эти материалы являются хрупкими в первую очередь не потому, что имеют низкую прочность на разрыв,- это означало бы, что для их разрушения требуется небольшая сила, - а потому, что для их разрушения требуется только небольшая энергия.

Технические и биологические материалы, которые используются в условиях растяжения и в этом смысле являются относительно безопасными, для образования новой поверхности при разрушении требуют значительно большей энергии. Другими словами, работа разрушения для них значительно (несравненно!) больше, чем в случае хрупких твердых тел. Для практически вязкого трещиностойкого материала величина работы разрушения обычно лежит в пределах 103-106 Дж/м2. Поэтому энергия, требуемая для разрушения сварочного железа или мягкой стали, может быть в миллион раз больше энергии, требуемой для разрушения в таком же поперечном сечении стекла или керамики, хотя величины статической прочности на разрыв этих материалов не сильно различаются. Поэтому таблица значений прочности на разрыв, подобная табл. 2, в случае если ее используют для выбора какого-то конкретного материала, может дезинформировать конструктора. По этой же причине классическая теория упругости, основанная главным образом на силах и напряжениях, которая старательно разрабатывалась в течение столетий - и еще более старательно преподавалась студентам, - сама по себе не может правильно предсказывать разрушение реальных материалов и конструкций.

Таблица 4. Приближенные величины работы разрушения и прочности при растяжении некоторых распространенных материалов

Вещество / Приближенное значение работы разрушения Дж/м 2 / Приближенное (номинальное) значение прочности на разрыв МН/м 2

Стекло, керамика / 1-10 / 170

Цемент, кирпич, камень / 3-40 / 4

Полиэфирные и эпоксидные смолы / 100 / 50

Нейлон, полиэтилен / 103 / 150-160

Кость, зубная ткань / 103 / 200

Дерево / 104 / 100

Мягкая сталь / 105 - 106 / 400

Высокопрочная сталь / 104 / 1000

Хотя в деталях механизм поглощения столь огромных количеств энергии в виде работы разрушения в вязких трещиностойких материалах часто является тонким и сложным, общий принцип его действия весьма прост. В хрупком твердом теле работа, производимая в процессе разрушения, на самом деле сводится к той работе, которая необходима, чтобы разорвать химические связи на возникающей в процессе разрушения новой поверхности или в ее непосредственной окрестности. Как мы уже видели, соответствующая энергия мала и составляет около 1 Дж/м2 В трещиностойком материале, несмотря на то что прочность и энергия каждой индивидуальной связи остаются теми же, изменения структуры материала в процессе разрушения распространяются на гораздо большую глубину. Практически эти изменения вполне могут распространяться на глубину свыше сантиметра, то есть на глубину, измеряемую 50 млн. атомов под видимой поверхностью разрушения. Поэтому если в процессе нагружения разорвется только одна межатомная связь, то энергия, требуемая для образования новой поверхности, увеличится в миллионы раз, что, как мы видели, и имеет место в действительности. Молекулы, находящиеся вдали от поверхности разрушения, способны, таким образом, поглощать энергию и вносить свой вклад в сопротивление разрушению.

Высокие значения работы разрушения мягких металлов обязаны в первую очередь пластичности этих материалов. Это означает, что при их растяжении кривая деформирования отклоняется от закона Гука при совсем небольших напряжениях, после чего материал начинает деформироваться пластически, подобно пластилину (рис. 21). Если стержень или лист из такого металла разрушается в результате растяжения, то, перед тем как произойдет разрыв, материал вытягивается словно патока или жевательная резинка. На концах в месте разрыва образец принимает коническую форму и выглядит примерно так, как показано на рис. 22. Такую форму разрушения часто называют шейкообразованием.

Рис. 21. Кривая деформирования для пластичного металла (мягкая сталь). Заштрихованная область представляет работу разрушения металла.

Рис. 22. Работа разрушения пропорциональна объему пластичсски деформированного металла (заштрихованная область) и поэтому, грубо говоря, пропорциональна t 2 . Работа разрушения тонкого листа может быть очень малой. а - металлическая плита большой тощины, б - тонкий металлическии лист.

Шейкообразование и другие подобные формы пластического разрушения возможны потому, что многие из бесчисленных слоев атомов в кристаллах металла способны скользить относительно друг друга. Дислокационный механизм этого скольжения не только обеспечивает взаимное проскальзывание слоев подобно картам в колоде, но и поглощает энергию, и весьма большую. Результатом всех этих сдвигов, скольжений и смещений в кристаллах является то, что металл обретает способность значительного формоизменения и поглощения упругой энергии.

Дислокационный механизм скольжения, постулированный первоначально Дж. Тейлором в 1934 г., был предметом интенсивных научных исследований в течение последних 30 лет. Он оказался исключительно тонким и сложным. Процессы, происходящие в столь, казалось бы, простой вещи, как кусок металла, оказались не менее хитроумными, чем большинство процессов в живых биологических тканях. Забавно, что этот хитроумный механизм, вероятно, не конструировался с какой-то определенной целью. Природа сама не может, так сказать, извлекать из него пользу, поскольку в своих конструкциях она никогда не использует металлы, которые и в самородках-то встречаются весьма редко. Однако дислокации в металлах оказались чрезвычайно полезными для инженеров, можно сказать, что они были изобретены для их пользы, поскольку именно благодаря дислокациям металлы не только обладают трещиностойкостью, но и допускают ковку, обработку давлением и одновременно упрочение.

А вот у искусственно созданных пластиков и волокнистых композитов способы поглощения упругой энергии при разрушении иные. Механизм их совершенно отличен от механизма поглощения металлов, но достаточно эффективен. У биологических материалов также, по-видимому, имеются весьма совершенные механизмы получения больших величин энергии разрушения, которые работают весьма изощренным образом. Способ, реализующийся, например, в древесине, исключительно эффективен, и работа разрушения дерева, взятая на единицу веса, больше, чем для большинства сортов стали.

Продолжим теперь обсуждение вопроса о том, как упругая энергия в эластичной конструкции умудряется перейти в работу разрушения. Если угодно, в чем же действительная причина разрушения?

 

Гриффитс,

или

как жить в мире трещин и концентрации напряжений

Как было сказано в начале этой главы, все реальные конструкции имеют трещины, царапины, отверстия и другие дефекты. Корабли, мосты, самолеты подвержены разнообразным случайным воздействиям, которые приводят к зазубринам и надрезам, и мы должны научиться сосуществовать с ними, обеспечивая наибольшую возможную безопасность, хотя, согласно Инглису, для многих из таких дефектов локальные напряжения могут заметно превосходить справочные данные о прочности материала. Объяснение того, почему и как можно, вообще говоря, жить в окружении конструкций, несущих столь высокие напряжения, без катастроф, было выдвинуто Гриффитсом (1893-1963) в статье, опубликованной в 1920 г., как раз через 25 лет после прекрасного рассказа Киплинга о трещине. Поскольку в 1920 г. Гриффитс был никому не известным молодым человеком, на эту статью никто не обратил внимания. Во всяком случае, энергетический (несиловой) подход Гриффитса ко всей проблеме разрушения в то время да и в течение многих последующих лет был не только новым, но и совершенно чуждым самому духу инженерного мышления. Даже сегодня очень многие инженеры на самом деле не понимают, в чем состоит суть теории Гриффитса.

Сказанное Гриффитсом состоит в следующем. Инглисова концентрация напряжений с энергетической точки зрения является просто механизмом (чем-то вроде застежки-молнии) для превращения упругой энергии в энергию разрушения, подобно тому как электромотор является механизмом для превращения электрической энергии в механическую работу, а консервный нож является механизмом для использования мышечной энергии. Ни один из этих механизмов не будет работать, если не подводить к нему бесперебойно нужного рода энергию. Чтобы раздвинуть атомы материала, недостаточно одной только концентрации напряжений, а необходим еще подвод упругой энергии. Если подвод упругой энергии прекращается, останавливается и процесс разрушения.

Рассмотрим теперь образец из упругого материала, который сначала растянули, а затем закрепили его концы таким образом, чтобы он не мог больше ни получать, ни отдавать механическую энергию. Таким образом создалась механическая система, содержащая определенное количество упругой энергии. Если в этом растянутом материале начнет распространяться трещина, то требуемая работа разрушения должна быть полностью "оплачена" по энергетическому счету. Если для простоты мы примем, что наш образец является пластинкой материала единичной толщины, то требуемая энергия должна составить WL , где W - работа разрушения (на единицу площади), a L - длина трещины. Заметим, что речь здесь идет об "энергетическом долге", о том, что по энергетическому счету должно быть занесено в дебет, хотя никакого кредита в действительности получено не было. Дебет линейно возрастает с ростом длины трещины L .

Эта энергия должна быть немедленно изыскана во внутренних ресурсах, и, поскольку мы имеем дело с замкнутой системой, она может быть получена только за счет уменьшения упругой энергии внутри системы. Другими словами, где-то внутри образца должно уменьшиться напряжение. Такая ситуация возможна, поскольку берега трещины под действием напряжения немного разойдутся, а это немедленно приведет к уменьшению напряжения вблизи ее поверхности (рис. 23). Грубо говоря, две треугольные области, затененные на рисунке, и отдадут упругую энергию. Можно ожидать, что эти области с ростом длины трещины L будут в основном сохранять свои пропорции и поэтому их площадь будет расти как квадрат длины трещины, то есть как L 2 . Следовательно, количество высвобождающейся упругой энергии будет расти как L 2 .

Рис. 23.а - недеформированный образец; б - образец растянут, и его концы жестко закреплены; система не может ни получать, ни отдавать энергию; в - в растянутый образец внесена трещина. Напряжение в затененных областях уменьшается, и они отдают упругую энергию, которая может теперь пойти на дальнейшее распространение трещины.

Таким образом, суть принципа Гриффитса определяется тем, что, в то время как энергетический долг растет линейно с длиной трещины L , энергетический кредит растет как квадрат длины трещины L 2 . Следствия этого изображены на рис. 24. Линия ОА представляет энергию, требуемую для образования новой поверхности растущей трещины, и это - прямая линия. Линия OВ представляет энергию, освобождаемую в системе при достижении трещиной данной длины, и это - парабола. Общий баланс энергии, являющийся алгебраической суммой двух упомянутых энергий, представляется линией ОС.

Рис. 24. Высвобождение энергии по Гриффитсу, или почему предметы разлетаются на куски.

До точки Х на графике система в целом должна поглощать энергию; после точки Х энергия начинает выделяться из системы. Отсюда следует, что существует некоторая критическая длина трещины, которую мы будем обозначать L g и которая называется критической длиной трещины по Гриффитсу. Трещины, длина которых меньше L g , не представляют опасности, они не могут расти сами по себе. Трещины же, имеющие длину больше L g , растут "сами по себе" и поэтому весьма опасны. Такие трещины чем дальше, тем быстрее распространяются по материалу и неизбежно ведут к "взрывному" (сопровождаемому шумом) разрушению. Конструкция заканчивает свое существование не с тихим всхлипом, а с грохотом и в большинстве случаев идет на свалку.

Наиболее важное следствие из всего сказанного состоит в том, что даже если локальное напряжение на концах трещин очень велико (даже если оно много больше, чем зарегистрированная в справочнике прочность материала), до тех пор пока в конструкции нет трещины или другого отверстия, длина которого превышает критическую длину L g , конструкция безопасна и не разрушается. Именно это свойство позволяет нам не падать духом и не тревожиться слишком сильно по поводу инглисовой концентрации напряжений. Именно по этой причине отверстия, трещины и царапины представляют опасность ровно настолько, насколько они ее представляют на самом деле.

Вычислить величину L g оказывается гораздо проще, чем можно было бы ожидать. Хотя математика, использованная Гриффитсом, не внушает особого доверия, результат вычислений обезоруживает своей простотой - можно сказать, что он блистательно прост. Оказывается, что L g = 1/p x (работа разрушения на единицу поверхности трещины / упругая энергия в единице объема материала) а это можно выразить как L g = 2WE/ p s 2 где W - работа разрушения в Дж/м2, Е - модуль Юнга в Н/м2, s - среднее напряжение растяжения в материале вблизи трещины, не учитывающее концентраций напряжении, в Н/м2, L g - критическая длина трещины в м.

Таким образом, предельная длина безопасной трещины зависит просто от величины отношения работы разрушения к упругой энергии, запасенной в материале. Эту длину можно рассматривать как обратно пропорциональную резильянсу. Вообще говоря, чем выше резильянс, тем меньше длина трещин, с которыми еще можно мириться. Это еще один пример двух качеств, одновременно не достижимых полностью.

Как мы видели выше, в резине можно запасти много упругой энергии. Однако работа разрушения для нее очень мала, а потому и критическая длина трещины L g для растянутой резины тоже весьма невелика и обычно составляет доли миллиметра. Поэтому, когда мы протыкаем булавкой надутый воздушный шар, он взрывается с оглушительным шумом. Таким образом, хотя резина весьма эластична и ее можно сильно растянуть без разрушения, когда она все же разрушается, то происходит это "хрупким" образом, примерно так же, как у стекла.

Примером того, каким образом можно одновременно достичь и эластичности, и трещиностойкости, служат такие вещи, как одежда, плетеные корзины, деревянные корабли и конные экипажи. Все эти вещи содержат более или менее свободные и гибкие соединения, так что энергия расходуется на трение, о чем свидетельствуют их шуршание и скрип. Однако, хотя плетеные изгороди и птичьи гнезда очень хорошо противостоят внешним нагрузкам, принцип их создания почти не используется современными инженерами. (Одно из исключений составляют автомобильные покрышки, где в резину для борьбы с ее чрезмерной хрупкостью добавляется специальный корд.)

Из приведенной выше формулы видно, что длина L g быстро уменьшается с ростом напряжения s . Поэтому, если мы хотим, чтобы при сравнительно высоких напряжениях оставались безопасными достаточно длинные трещины, следует использовать материалы, для которых велики работа разрушения W и жесткость, то есть модуль Юнга, Е . Именно этим объясняются столь широкое использование мягкой стали и ее значение не только в экономике, но и в политике; будучи весьма дешевой, она характеризуется как большой работой разрушения, так и высокой жесткостью.

Как мы увидим дальше, при использовании формулы Гриффитса возникает много подводных камней, поэтому мы не должны рассматривать ее как какое-то дарованное свыше решение всех проблем конструирования, но в то же время она проясняет некоторые проблемы конструирования, которым ранее не находили объяснения и которые были окружены предрассудками.

Например, вместо того чтобы, не утруждая себя, использовать совершенно фиктивные коэффициенты запаса прочности, сегодня мы можем попытаться спроектировать конструкцию, которая не будет разрушаться при наличии трещин заданной длины. Выбранная длина трещин будет зависеть от размеров конструкции, а также от возможных условий ее работы и контроля за ней. Если речь идет о возможных жертвах при разрушении конструкции, то вполне очевидна необходимость сделать так, чтобы безопасная трещина была настолько велика, дабы в пятницу после обеда ее и при плохом освещении разглядел скучающий и бестолковый контролер.

В действительно больших конструкциях, таких, как корабли или мосты, хотелось бы, чтобы и трещины длиной в 1-2 м не представляли опасности. Предположим, что мы ориентируемся на безопасную трещину длиной 1 м. Тогда даже при столь умеренном допущении, что работа разрушения стали составляет 105 Дж/м2, мы найдем, что такая трещина будет устойчивой вплоть до напряжений в 110 МН/м2 (11 кгс/мм2). Но если мы захотим большей безопаности и будем ориентироваться на трещину длиной 2 м, допустимое напряжение придется уменьшить до 80 МНм2 (8 кгс/мм2).

На самом деле 80 МН/м2 - это как раз тот уровень напряжения, на который рассчитывают при проектировании крупных конструкций, и для мягкой стали это напряжение соответствует коэффициенту запаса прочности, лежащему между 5 и 6, и поэтому оно вполне приемлемо. Посмотрим, как все это работает на. практике. Из 4694 судов, проходивших в доке обычную проверку, у 1289, то есть более чем у четверти, были обнаружены серьезные трещины в корпусе, после чего, конечно, были предприняты необходимые меры по ремонту. Число же судов, которые, если бы не принятые меры, действительно разломились в море пополам, было все же много меньшим и составляло весьма малую долю от общего их количества. Одно такое судно пришлось примерно на каждые пятьсот кораблей. Если бы при конструировании этих судов были предусмотрены более высокие напряжения или их корпуса были изготовлены из более хрупкого материала, то в большинстве случаев трещины не были бы обнаружены до самого момента катастрофы.

Следуя доктрине Гриффитса в ее чистом виде, мы обнаружим, что трещины меньше критической длины вообще не могут распространяться, а поскольку любая трещина начинает свое существование с весьма малых размеров, то и вообще ничто никогда на разрушается. В действительности же, конечно, по многим веским причинам, которые составляют компетенцию металлургов и материаловедов, трещины до критической длины все же могут расти (см. гл. 14). Существенно, что, как правило, это происходит очень медленно, так что имеется достаточно времени для того, чтобы обнаружить эти трещины и что-то предпринять.

К несчастью, бывают и исключения. Профессор Дж.Ф.К. Конн, до недавнего времени занимавшийся в Глазго строительной механикой корабля, рассказал мне историю, как на крупном грузовом судне кок, прийдя как-то утром на камбуз готовить завтрак, обнаружил большую трещину посреди пола. Кок послал за старшим стюардом, который пришел, посмотрел на трещину и послал за старшим помощником капитана. Старший помощник пришел, посмотрел на трещину и послал за капитаном. Капитан пришел, посмотрел на трещину и сказал: "А, ничего страшного, дайте-ка мне позавтракать!"

Но у кока был явно научный склад ума и, разделавшись с завтраком, он достал краски, пометил концы трещины и поставил возле отметки дату. Через некоторое время корабль попал в непогоду и трещина удлинилась на несколько дюймов. Тогда кок нанес новую отметку и поставил новую дату. Он проделал это со всей добросовестностью еще несколько раз.

Когда судно в конце концов потерпело аварию, именно на той половине, которую удалось спасти и отбуксировать в порт, оказались отметки кока, которые, по мнению профессора Конна, служат самыми достоверными из всех свидетельств о процессе роста больших трещин докритической длины.

 

"Мягкая" сталь и "высокопрочная" сталь

Если конструкция не выдерживает нагрузок или имеются опасения относительно ее прочности, то естественное внутреннее чувство подсказывает инженеру, что надо использовать "более прочный" материал; если речь идет о стали, то это будет высокопрочная сталь. Для больших конструкций это, вообще говоря, ошибочное решение, поскольку ясно, что даже в случае мягкой стали ее прочность используется далеко не полностью. Это происходит потому, что, как мы уже видели, разрушение конструкции может определяться не прочностью, а хрупкостью материала.

Хотя измеряемые величины работы разрушения зависят от способа, которым производится соответствующее испытание, и здесь трудно получить однозначный результат, все же можно сказать, что трещиностойкость большинства металлов с ростом прочности несомненно уменьшается. На рис. 25 в качестве примера показано соотношение между этими двумя величинами в углеродистых сталях при комнатной температуре.

Рис. 25. Приближенное соотношение между прочностью и работой разрушения для некоторых простых углеродистых сталей. (По В.Д. Бигсу)

Легко (и это не очень дорого) вдвое увеличить прочность мягкой стали путем повышения содержания углерода. Однако, если мы сделаем это, величина работы разрушения может уменьшиться раз в 15. В той же пропорции уменьшится и критическая длина трещины, то есть она при том же напряжении уменьшится от 1 м до 6 см. Если, однако, мы повысили вдвое и рабочее напряжение, то критическая длина трещины уменьшится в 15х22 = 60 раз. Таким образом, если критическая длина трещины первоначально была 1 м, теперь она составит 1,5 см, что было бы весьма опасно для большой конструкции.

Для конструктивных элементов малых размеров, таких, как болт или коленчатый вал, положение иное, здесь не имеет смысла ориентироваться на трещины метровой длины. Если мы хотим, чтобы допустимая предельная длина трещины равнялась, например, 1 см, то рабочее напряжение, при котором такая трещина остается безопасной, может достигать почти 280 МН/м2 и в этом случае стоит применить высокопрочный материал. Таким образом, одно из следствий теории Гриффитса состоит в том, что в целом высокопрочные материалы и большие рабочие напряжения более безопасно применять в малых конструкциях, чем в больших. Чем больше конструкция, тем меньше напряжение, приемлемое с точки зрения безопасности. Это один из факторов, накладывающих ограничения на размеры судов и мостов.

Соотношение между работой разрушения и прочностью, подобное показанному на рис. 25, почти справедливо и для обычных углеродистых сталей. Можно добиться лучшего соотношения между прочностью и трещиностойкостью, если использовать легированные стали, то есть стали с присадками других элементов и уменьшенным содержанием углерода, но эти стали слишком дороги для применения в крупногабаритных конструкциях. В связи с этим около 98% всей выпускаемой стали - это "мягкая" сталь, другими словами, мягкий, или пластичный, металл с прочностью около 40-50 кгс/мм2 (около 450 МН/м2).

 

О хрупкости костей

Конечно, кости детей отнюдь не хрупки, и Стивенсон писал очаровательный вздор. Кости развиваются из эмбрионального коллагена, или хрящевого вещества, прочного и вязкого, но не очень жесткого (его модуль Юнга около 600 МН/м2). По мере развития плода коллаген укрепляется тонкими неорганическими нитями, называемыми остеонами. Они образованы главным образом из извести и фосфора и имеют химическую формулу типа ЗСа3(РО4)2 х Са(ОН)2. В результате этого процесса армирования костей их модуль Юнга увеличивается примерно в 30 раз и достигает значения около 20000 МН/м2. Однако проходит значительное время после рождения, прежде чем наши кости полностью насыщаются кальцием. Дети, естественно, более уязвимы в отношении механических травм, но в целом их кости, по-видимому, более эластичны и менее хрупки, чем кости взрослых, в чем можно убедиться на любом лыжном склоне.

Однако все кости относительно хрупки по сравнению с мягкими тканями, а работа разрушения их, надо думать, меньше, чем работа разрушения дерева. Хрупкость костей ограничивает перегрузки, которым могут подвергать себя крупные животные. Как уже говорилось в связи с судами и машинами, гриффитсова критическая длина трещины является абсолютной, а не относительной величиной. Другими словами, она одна и та же и для мыши, и для слона, как одни и те же для всех животных прочность и жесткость костей.

Исходя из этого, можно заключить, что наибольший размер животного, который еще можно считать не представляющим особой опасности для его существования, лежит где-то вблизи размера человека или размера льва. Мышь, или кошка, или здоровый человек могут без вреда для себя спрыгнуть со стола, однако сомнительно, чтобы это мог сделать слон. И в самом деле, слоны должны быть очень осторожными; слон, который скачет или перепрыгивает через изгородь подобно овцам или собакам, - зрелище, весьма редкое. Особенно крупные животные, подобные китам, приспособлены к существованию только в море. Интересен пример с лощадьми. Дикие предки современной лошади были небольшими и, вероятно, не слишком часто ломали ноги. Но впоследствии человек вывел достаточно крупных лошадей, которые могли бы без устали работать на него, и эти несчастные создания постоянно ломают себе ноги.

Известно, что люди преклонного возраста особенно подвержены костным переломам, обычно это приписывается прогрессирующей с возрастом хрупкости костей. Последнее обстоятельство, несомненно, играет определенную роль, однако оно не всегда является определяющим фактором. Насколько мне известно, достоверных данных об изменении работы разрушения костей с возрастом не имеется, но, поскольку прочность костей за период между 25 и 75 годами уменьшается только примерно на 22%, не похоже, чтобы резко уменьшалась работа разрушения. Профессор Дж.П. Пол из университета Страйсклайда говорил мне, что результаты его исследований указывают как на более важную причину таких переломов на прогрессирующую потерю нервами контроля за натяжением мышц. Так, внезапный испуг может вызвать мышечное сокращение, достаточное для того, чтобы сломать, например, шейку бедра, даже если пациент не получил никакого удара извне. В таком случае человек, естественно, падает на землю (а, возможно, кроме того, и ударяется о какой-либо предмет), и в результате причиной перелома ошибочно считают падение, а не мышечный спазм. Говорят, что у некоторых африканских оленей подобные переломы задних ног случаются при виде льва.