В основе современной теории простых чисел лежат три краеугольных камня: модульная арифметика, комплексные числа и теория аналитических функций. Все они, а особенно последний, требуют существенных математических знаний. Однако некоторые аспекты теории чисел можно легко понять: например, визуализацию функций в четырехмерном пространстве. Это и поможет нам оценить роль дзета-функции Римана в наведении порядка в хаотической последовательности простых чисел.

Магические суммы

Как известно, числа имеют особые символические значения, связанные с различными мистическими верованиями. В западном мире большинство таких символических значений имеет свои корни в Библии или в пифагорейской школе. «Все познаваемое имеет число. Ибо без него невозможно ничего ни понять, ни познать», — писал ученик Пифагора, греческий математик и философ Филолай из Кротона (ок. 480 г. дон. э.).

В эпоху мрачного средневековья передача «культуры чисел» свелась к минимуму. Католическая церковь провела четкое разграничение между различными философскими концепциями мира и теми неоспоримыми принципами, которые соответствовали ее учению. Лишь одной традиции удалось в некоторой степени преодолеть эту нетерпимость: картам Таро. Хотя церковь в конце концов осудила эту систему символов, нумерология Таро сохранилась во многих текстах, которые были настолько двусмысленными, что было неясно, идет там речь о гадании или об арифметике.

Имея в основе десятичную систему счисления, нумерология Таро придавала особое значение первым девяти числам. Число 1 символизировало единство и уникальность, число 2 было символом различия и воспроизводства; число 3 представляло направление, в котором развиваются свойства двойки при добавлении единицы: 2 + 1. Аналогично число 7 представляло собой результат развития потенциала числа шесть: 7 = 6 + 1 и так далее.

Таким образом, начиная с единицы, устанавливаются основные принципы для первых девяти чисел и возможность сведения любого другого числа к одному из них. Именно здесь и появляются «магические суммы». Идея состоит в том, чтобы сложить все цифры в данном числе и таким образом свести их к одной цифре. Например, возьмем число 47 и сложим его цифры, пока не получим одну: 4 + 7 = 11 = 1 + 1 = 2. Таким образом, число 47 наследует символизм числа 2, но находится на более высоком уровне. Другой пример:

157 = 1 + 5 + 7 = 13 = 1 + 3 = 4.

Операции сложения и умножения также можно выполнить с помощью сведения к одной цифре. Например, чтобы сложить числа 248 и 386, мы сначала сведем их к одной цифре

248 = 2 + 4 + 8 = 14 = 1 + 4 = 5;

396 = 3 + 9 + 6 = 18 = 1 + 8 = 9

и сложим полученные результаты:

9 + 5 = 14 = 1 + 4 = 5.

Если мы сначала выполним сложение, а потом сведение к одной цифре, мы по лучим тот же результат:

248 + 396 = 644 = 6 + 4 + 4 = 14 = 1 + 4 = 5.

* * *

ЧИСЛА И БУКВЫ

В греческой и еврейской культурах буквы алфавита были также связаны с числами, поэтому слова могли иметь различные мистические смыслы. Процесс заключался в сложении чисел, связанных с каждой буквой. Чтобы сравнить два слова, нужно было сравнить соответствующие числа. Слово, дающее большее число, считалось более важным. По легенде превосходство Ахилла над Гектором объяснялось следующими вычислениями: слово Ахилл соответствует числу 1276, а слово Гектор — лишь 1125.

* * *

Тот же самый результат получается, когда операции выполняются в другом порядке. При умножении мы поступаем аналогично:

45 х 27 = 1215 = 1 + 2 + 1 + 5 = 9;

45 = 4 + 5 = 9;

27 = 2 + 7 = 9;

9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9.

Мы можем расположить первые сто натуральных чисел в таблице, в каждом столбце поместив эквивалентные числа в соответствии с указанной системой сведения к одной цифре.

Теперь мы можем сказать, что число 78 относится к группе 6, а число 93 — к группе 3. На языке современной математики эти группы называются «классами эквивалентности». Таким образом, можно говорить о «классе числа 3», «классе числа 5» и так далее.

Такой подход, уже известный математикам того времени, позволил Гауссу разработать новый вычислительный инструмент, который оказался очень полезным при определении некоторых свойств простых чисел.

* * *

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Сложение по правилу магических сумм обычно осуществлялось в магических квадратах. Это квадратные таблицы, заполненные числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Во многих культурах встречаются магические квадраты. Они интересовали многих известных математиков: Штифеля , Ферма , Паскаля , Лейбница и даже Эйлера . В настоящее время существуют алгоритмы для построения большинства магических квадратов.

Магический квадрат с гравюры «Меланхолия I» художника эпохи Возрождения, Альбрехта Дюрера .

* * *

Часы Гаусса

Циферблат часов содержит 12 чисел, расположенных по кругу. После числа 12 должно идти число 13, но мы на самом деле возвращаемся к единице и начинаем новый отсчет. Эта система практически не отличается от правила магических сумм, только вместо первых девяти чисел здесь используются первые двенадцать. Мы могли бы составить таблицу, аналогичную предыдущей, только с двенадцатью столбцами вместо девяти. Напишем первые две строки такой таблицы:

Это именно то, что мы делаем каждый раз, когда смотрим на часы с цифровым циферблатом. Чтобы определить время после полудня, мы считаем до 12, а затем начинаем сначала с единицы. Например, когда мы видим на часах цифры 17:00, мы знаем, что это означает «5 часов дня», так как число 17 согласно нашей таблице находится в том же «классе», что и 5. Так у Гаусса появилась идея использовать различные часы или, точнее, разные циферблаты часов. Например, для часов, на циферблате которых нанесены лишь первые пять чисел, можно составить такую таблицу:

Согласно нашему предыдущему критерию, можно сказать, что число 17 находится в группе числа 2, или, точнее, 17 принадлежит классу числа 2.

Определить класс числа совсем нетрудно. Возьмем, например, число 18: сделаем три полных оборота, получим число 15, а затем начнем отсчет сначала и получим число 3, что означает, что число 18 относится к классу числа 3. Это то же самое, что разделить 18 на 5 и получить остаток 3. Такой способ очень полезен для больших чисел. Чтобы узнать, к какому классу принадлежит, например, число 40248, мы делим его на 5 и получаем частное 8049 и остаток 3. Значит, 40248 относится к классу числа 3. Так как числа, кратные пяти, дают в остатке ноль, мы используем 0 для обозначения класса числа 5 и перепишем нашу таблицу следующим образом:

Можно сказать, что в этом смысле число 17 такое же, что и число 2, но знак равенства 17 = 2 сбивал бы нас с толку, поэтому этот факт обычно записывается как 17  2.

Но в выражении такого рода чего-то не хватает. Нам нужно знать, какой тип «часов» мы использовали. В данном случае на циферблате часов было всего пять цифр. Это записывается как mod 5, и окончательное выражение выглядит следующим образом:

17  2 (mod 5).

Это выражение означает, что числа 17 и 2 эквивалентны по модулю 5. Как было принято в то время, Гаусс писал научные работы на латинском языке, поэтому он выбрал слово «по модулю» (modulo, творительный падеж слова modulus, означающего «абсолютное значение»). В результате родилась так называемая модульная арифметика, которая и сегодня является одним из самых мощных инструментов в теории чисел.

Сравнения по модулю

Модульная арифметика вместо равенств использует сравнения по модулю, поэтому вышеприведенное выражение читается так: «17 сравнимо с 2 по модулю 5». Чтобы выяснить, сравнимы ли два числа по модулю 5, нужно вычесть одно из другого и проверить, делится ли результат на 5. В нашем случае 17 — 2 = 15, а число 15 кратно 5.

82  58 (mod 4), потому что 82–58 = 24, которое кратно 4.

Дав определение модуля (циферблата на часах Гаусса), мы можем говорить о группах, или классах по модулю. Предположим, у нас имеется циферблат с четырьмя числами, то есть мы работаем с модулем 4. Значит, у нас будет только четыре группы, или класса чисел, простейшие представители которых — 0, 1, 2 и 3. Это означает, что мы можем использовать число 2 вместо числа 382, так как 382 при делении на 4 дает в остатке 2. Таким образом, мы можем составить следующую таблицу сложения:

Например, 2 + 3 = 5, но на циферблате с четырьмя числами 5 эквивалентно 1, то есть 5  1 (mod 4). Аналогично составим таблицу умножения:

Эта таблица содержит любопытный факт: при перемножении двух неравных нулю чисел получается ноль (2 x 2 = 0). То же самое будет с числами 2 и 3 в таблице умножения по модулю 6, так как 2 x 3 = 6, что эквивалентно нулю, потому что 6  0 (mod 6). Такого не произойдет, если модуль является простым числом, потому что простое число нельзя разложить на произведение множителей.

Здесь простые числа и играют свою роль. Конгруэнтность в некоторой степени изучается в средней школе, но лишь когда мы обращаемся к сложной модульной арифметике, все становится действительно интересным, а простые числа — незаменимыми.

«Часы Гаусса» оказались чрезвычайно мощным инструментом. Гаусс мог определить, например, не выполняя сложных расчетов, что деление 8514 на 7 дает в остатке 1, так как 8  1 (mod 7), то есть 8 при делении на 7 дает в остатке 1, а таблица умножения показывает, что умножение 8 на 8 эквивалентно умножению 8 на 1: 8 х 8 = 64, которое при делении на 7 дает в остатке 1.

Следовательно, умножить число 8 на само себя 514 раз — все равно что умножить его на единицу столько же раз. Другими словами,

8514  1 (mod 7).

Гаусс заметил, что если циферблат его часов содержит простое количество чисел, р, то они будут повторяться каждые р раз, то есть они образуют повторяющиеся группы из р чисел. Тогда Гаусс переформулировал малую теорему Ферма в терминах модульной арифметики:

«Если р — простое число, то для любого натурального числа а ар  а (mod р)».

Или, что то же самое, (а р — а ) кратно р. Например, З5 —3 = 240, и 240 кратно 5. В терминах «часов Гаусса» теорему можно интерпретировать следующим образом. Предположим, мы хотим знать, является ли р простым числом. Построим часы с циферблатом, содержащим р делений. Возьмем любое число на циферблате, возведем его в степень р и проверим, будет ли стрелка указывать на то же число. Если нет, то мы можем быть уверены, что р не является простым числом. Например, пусть р равно 6. Построим часы с циферблатом, содержащим 6 делений. Возьмем одно из чисел, например, 4. Запишем 46  = 4096, что при делении на 6 дает в остатке 4.

Иначе говоря, стрелки часов делают круг за кругом, пока не остановятся на цифре 4. Мы знаем, что по малой теореме Ферма число 6 не является простым. Возьмем теперь простое число, например, 7, и посмотрим, что произойдет, когда мы возведем некоторое число в седьмую степень. Укажут ли стрелки часов на это число? Однако мы должны иметь в виду, что теорема дает необходимое, но не достаточное условие.

Это означает, что если при проверке числа а стрелки укажут на это число а, существует вероятность, что число р окажется простым. Но одной такой проверки недостаточно. Чем больше проверок мы сделаем, тем больше шанс, что число р является простым, но мы не можем утверждать это наверняка. Как мы увидим в седьмой главе, это один из способов, широко используемый современными компьютерами для определения простоты больших чисел.

Мнимые числа

Услышав выражение «мнимые числа», человек, далекий от математики, может подумать, что это еще одна причуда математиков, и будет недалек от истины. Такое мнение разделяли и многие специалисты в области математики, когда им встречались числа настолько экзотические, что к ним относились почти как к призракам.

Но эти призраки настойчиво появлялись при решении уравнений, и вскоре их стало невозможно игнорировать. Их начали использовать при расчетах, и в конце концов они были приняты в качестве решений уравнений и приобрели собственный статус, став одним из фундаментальных понятий в математике и важнейшей темой многих учебников. Было бы неправильно полагать, что они появляются лишь в мире чистой математики. На самом деле мнимые числа являются основным инструментом современной физики и самым различным образом применяются на практике.

Если логарифмы сыграли важную роль в открытиях Гаусса, то мнимые числа были необходимы для результатов, позже полученных Риманом, поэтому небольшое путешествие в «мнимую» страну поможет нам лучше понять развитие теории простых чисел.

Готфрид Лейбниц однажды сказал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Рассмотрим теперь, что подразумевается под «мнимым корнем из отрицательной единицы».

Мнимые числа имеют практическое применение в электронике. Действительные числа используются для измерения сопротивления — свойства объекта препятствовать прохождению через него электрического тока. А мнимые числа используются для измерения индуктивности (отношения магнитного потока к силе тока в катушке) и емкости (отношения величины электрического заряда к разности потенциалов между пластинами конденсатора).

Квадратный корень из числа а, записываемый как √а, — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен а. Другими словами, √а = b означает, что b2   = а. Например,

√4 = 2, потому что 22  = 4;

√9 = 3, потому что З2  = 9.

С другой стороны, существует «правило знаков» при умножении и делении: плюс на плюс дает плюс, плюс на минус дает минус, и минус на минус дает плюс.

При записи в символах это выглядит так:

+ x + = +

+ х — = — х + = -

— x — = +

Возьмем в качестве примеров некоторые числа:

5 х 2 = 10;

— 5 x 2 = -10;

— 5 x -5 = 25.

Таким образом, квадрат числа, результат умножения на себя, никогда не может дать отрицательное число. Если исходное число положительное, то «плюс на плюс» даст положительный результат, а если исходное число отрицательное, то «минус на минус» также даст положительный результат. Именно поэтому в принципе невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Например, √-4 не может равняться 2, так как 2 х 2 = 4, и не может равняться —2, так как -2 x -2 = 4.

Таким образом, мы можем утверждать, что √1 = 1, но √—1 не существует. Этот корень не существует как действительное число, но ничто не мешает нам определить его как «мнимое» число, которое мы будем обозначать буквой i:

√-1 = i

Давайте посмотрим, что происходит с числом i при возведении его в различные степени:

√-1 = i

i2 = (√-1)2 = -1

i3  = i2 х i = -1 х i = — i;

i4 = i3  x i = —i x i = i2 = — (-1) = 1.

Продолжая таким образом, получим:

i5 = i;

i6 = -1;

i7 = — i;

i8 = 1

…

Необходимость найти значение квадратного корня из отрицательного числа возникает тогда, когда мы решаем определенные квадратные уравнения. Известно, что уравнения вида ах 2 + Ьх + с = 0 имеют два решения, выражаемые формулой:

Но эта формула не работает, когда число под корнем отрицательное.

В трактате Джироламо Кардано Ars magna («Великое искусство»), опубликованном в 1545 г., была сформулирована следующая задача: «Разделить 10 на две части, произведение которых равно 40». Если мы обозначим эти две части буквами х и у, мы можем записать:

х + у = 10;

x · у = 40.

Выражая у = 10 — х и подставляя во второе уравнение, получаем: х(10 — х) = 10x — х 2 = 40. Перенося все в правую часть, мы получим квадратное уравнение х2 — 10x + 40 = 0, решения которого находятся по формуле:

Кардано рассмотрел два числа, являющиеся решениями уравнения:

5 + √-15 и 5 — √-15.

Сознавая, что они являются сложными (комплексными) числами, он проверил, что их сумма равна 10, а их произведение равно 40, и, таким образом, несмотря на «сопротивление ума», они являются решениями данной задачи.

Эти «сложные» корни уравнений часто появлялись при решении многих задач. (Корнями уравнения называются его возможные решения.) Они существовали и смущали математиков, которые не могли принять их в качестве чисел. Декарт сказал о них: «Как истинные, так и ложные корни не всегда бывают действительными, оказываясь иногда лишь мнимыми», тем самым определив один из терминов, который используется до сих пор для обозначения таких корней: «мнимые».

Мнимое число, например √-4, также может быть записано в виде √4∙√-1 = 2∙√-1, так как мы обозначили буквой i квадратный корень из —1, мы можем это записать как √-4 = 2i.

Таким образом, любое комплексное число можно записать в виде а + bi называемом алгебраической формой комплексного числа, в которой число а называется действительной частью, а число bi — мнимой. Например, число 2 + √—9 может быть записано как 2 + 3i, где 2 — действительная часть, a 3i — мнимая. Если комплексное число не имеет вещественной части, например, 2i, то оно называется чисто мнимым числом.

Складывать и вычитать комплексные числа очень просто. Суммой двух комплексных чисел называется другое комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей слагаемых, а мнимая часть — сумме мнимых частей. Например:

(3 + 2i) + (8 — 3i) = (3 + 8) + (2–3)i = 11 — i.

Вычитание выполняется аналогично. При умножении одно число помещается под другим, и выполняется умножение, как будто части комплексных чисел являются цифрами обычных двузначных чисел.

В смысле алгебраических операций комплексными числами можно манипулировать свободно, но как их представить наглядно? Например, действительные числа можно расположить на прямой линии, с точкой ноль посередине, и тогда положительные числа будут соответствовать точкам справа, а отрицательные — точкам слева. Но комплексные числа содержат две части, что так или иначе подразумевает дополнительное измерение в геометрическом пространстве.

Визуальное изображение комплексных чисел имеет давнюю историю. Некоторые математики, в частности Эйлер, Абрахам Муавр и Александр Теофил Вандермонд, уже думали о возможности представления комплексного числа х + ух как точки на плоскости с координатами (х, у). Однако именно Жан Робер Арган (1768–1822), бухгалтер и математик-любитель, опубликовал небольшое исследование о том, как можно изобразить комплексные числа геометрически. Дальнейшие работы Гаусса, который определил геометрический характер комплексных чисел, и придали им ту окончательную форму, которую мы используем сегодня. На самом деле Гаусс не только ввел символ х для √-1, но и считал, что 1,-1, √-1 следует рассматривать не только как положительное, отрицательное и мнимое числа, а как различные формы числа 1: вперед, назад и вбок. Действительно, мнимые числа были бы приняты скорее, если бы удалось развеять атмосферу таинственности вокруг них. По той же причине Гаусс использовал термин «комплексное число» вместо «мнимое число».

Изобразить комплексное число на плоскости очень просто. Проведем две перпендикулярные оси координат. Назовем горизонтальную ось ОХ действительной осью, на ней мы будем отмечать действительные части комплексных чисел (положительные — справа от начала координат, отрицательные — слева). Назовем вертикальную ось OY мнимой осью, на которой будем отмечать мнимые части комплексных чисел (положительные — сверху от начала координат, отрицательные — снизу). Таким образом, чтобы изобразить комплексное число 2 + i, мы поступим следующим образом:

* * *

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Даже после того как Кардано в начале XVIII в. сделал первые расчеты с использованием мнимых чисел, математики старались избегать их, поскольку в их существовании они всерьез сомневались. Математики такого масштаба, как Эйлер, Валлис и Д'Аламбер, использовали их с разной степенью успеха. Комплексные числа начали применяться при определенных условиях, например, на промежуточных стадиях некоторых доказательств. Гаусс был одним из первых, кто свободно обращался с ними и даже нашел способ их изображения, но лишь в XIX в. они окончательно утвердились в математике, когда Риман ввел сложные функции f(x ), в которых переменная х  представляла собой комплексное число.

* * *

Отложим два единичных отрезка вправо по оси ОХ и один — вверх по оси OY.

Мы можем посчитать расстояние ОА по теореме Пифагора, (ОА)2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5, следовательно, ОА = √5. Это число называется модулем комплексного числа.

Геометрическое представление комплексных чисел было большим шагом вперед.

Теперь их можно было использовать в математическом анализе функций комплексного переменного.

Дополнительное измерение

Глаз специалиста может увидеть дополнительную информацию в графическом представлении функции. На самом деле эти графики можно рассматривать как произведения искусства. Лорд Кельвин однажды сказал: «Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает все, что может услышать ухо.

Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики».

Мы уже видели в третьей главе, что можно определить функции, которые каждому действительному числу ставят в соответствие другое действительное число. Аналогично мы можем определить функции, которые действительное число ставят в соответствие паре действительных чисел.

Например:

(х, у) — > х 2 + у 2 .

Соответствующая таблица будет выглядеть так:

Чтобы изобразить график такой функции, мы должны взять трехмерное пространство, в котором, например, точка (1, 2, 5) находится от точки плоскости (1, 2) на расстоянии пяти единичных отрезков вдоль третьей оси (OZ), перпендикулярной к плоскости OXY

И функция f(х, у) = х2 + у2 будет представлена следующим образом:

В XIX в. теория функций продвинулась достаточно далеко, чтобы работать с такими графиками. Однако возникла новая задача: как использовать комплексные числа в качестве переменных? Этот шаг имел решающее значение для теории простых чисел.

Гаусс уже использовал функции комплексного переменного, изображая их в трехмерном пространстве. Как мы увидим в следующей главе, Риман пошел еще дальше и определил комплексные функции комплексного переменного. В пространственных графиках, которые мы видели до сих пор, два числа соответствовали третьему. Точка на плоскости порождала образ вдоль третьей оси, что требует трехмерного пространства. Предположим теперь, что образом точки с двумя координатами будет также точка с двумя координатами. Другими словами, нам нужно еще одно измерение для построения графика такой функции, то есть нам нужно четырехмерное пространство. Визуализация объектов в четырех измерениях возможна лишь в научной фантастике. Таким образом, у нас нет выбора, кроме как использовать некоторые трюки, чтобы получить представление о форме графика рассматриваемой функции.

Одной из возможностей является изучение проекций на трехмерное пространство аналогично изучению тени. Чтобы понять эту аналогию, представим себе, что мы живем в двумерном пространстве, то есть мы совершенно плоские, и мы пытаемся определить форму трехмерного объекта. Проекцией объекта на плоскость является его тень при освещении прожектором. Возможно, одной тени недостаточно, и нам потребуются еще две или три проекции. Например, цилиндр, подвешенный в воздухе внутри помещения, отбрасывает тень в виде прямоугольника на одну из стен: это может дать нам неправильное представление о его форме. Мы можем подумать, что это прямоугольный параллелепипед, который будет отбрасывать такую же тень. Однако если мы посмотрим на тень на полу, то увидим, что она имеет форму круга. Тогда мы поймем, что объект является цилиндром. Проблема заключается в том, что, будучи двумерными существами, мы никогда не сможем увидеть трехмерный цилиндр.

С другой стороны, тени могут быть очень обманчивы, или их не так уж легко можно интерпретировать. Например, рассмотрим объект, который при освещении справа отбрасывает тень в форме круга. При освещении снизу его тень будет треугольная, а при освещении сверху — прямоугольная. Существует ли такой трехмерный объект? Если да, то он может иметь очень странную форму!

Возникает вопрос: существует ли связь между различными проекциями объекта, которая позволяет определить его трехмерную форму? Ответ был дан в 1986 г. Кеном Фалконером, преподавателем математики Сент-Эндрюсского университета. Его теорема гласит: нет, в общем случае никакой связи нет.

Что же нам делать, если мы хотим знать, какую форму имеет объект в четырехмерном пространстве? Мы никогда не сможем увидеть его точную форму, потому что даже если бы мы могли изобразить его, у нас нет возможности его воспринимать. Однако существуют аналитические методы определения некоторых геометрических характеристик объекта.

Возвращаясь к примеру, в котором мы были двумерными существами, покажем методы, с помощью которых такие существа могут определить, как выглядит сфера. Идея заключается в том, чтобы рассмотреть сечения сферы при пересечении ее с плоскостью, в которой мы живем и из которой мы эту сферу наблюдаем. Когда сфера просто касается нашей плоскости, мы видим лишь точку. Потом появляются концентрические круги, которые по мере прохождения сферы через плоскость сначала расширяются, а потом сужаются, пока снова не превратятся в точку.

Следует подчеркнуть, что в этом примере мы четко представляем ситуацию, потому что мы в состоянии воспринимать трехмерные объекты, чего нельзя сказать о нашем восприятии объектов в четырехмерном пространстве. Тем не менее, пример иллюстрирует то, что происходит в месте пересечения объекта и нашей плоскости. Этот момент очень важен, поскольку он тесно связан с так называемыми нулями функции.

Например, выражение — (5x/2) + 5 = 0 можно легко превратить в функцию, записав в виде:

γ = — (5x/2) + 5

Если мы построим ее график, то получим прямую линию. Точка пересечения этой линии с горизонтальной осью (х = 2) является решением уравнения у = 0:

Аналогично если у нас есть квадратное уравнение х2 + х — 2 = 0 и мы построим график функции f(x) = х2 + х — 2, то увидим, что он пересекает ось X (у = 0) в двух точках, которые являются решением уравнения: х = 1 и х = —2.

Если мы обобщим задачу на три измерения, то, например, уравнение х2  + у2 — 4 = 0 представляется функцией f(х, у) = х2 + у2  — 4, графиком которой является параболоид. Его пересечение с плоскостью XY дает окружность с радиусом 2, как видно на рисунке на следующей странице. Все точки этой окружности являются решением нашего уравнения.

* * *

КУЛЬТУРНОЕ НАСЛЕДИЕ

Если бы мы дали такое определение: «Функция — это количество, состоящее из переменной и произвольных постоянных», мы бы вряд ли сдали экзамен по элементарной математике, так как такое определение показывает, что у нас нет ясного представления о функции. Однако эта фраза почти дословно встречается в одном из сочинений величайшего математика XVIII в. Якоба Бернулли. На самом деле формулировка определения функции — не такая уж простая задача, с чем согласится любой школьник. Этот факт свидетельствует о чрезвычайной ценности математики как культурного наследия.

* * *

Таким образом, когда мы используем описанный выше трюк, чтобы «увидеть» форму четырехмерного объекта, на самом деле мы хотим лишь получить четкое представление о том, как четырехмерный объект пересекается с трехмерным пространством. Это не даст нам точного представления о форме — да мы и знаем, что для нас это невозможно, — но это даст нам решения соответствующего уравнения.

И, как мы увидим в следующей главе, это именно то, что предложил Риман, когда анализировал дзета-функцию, которая в конечном итоге поможет навести порядок во множестве простых чисел.