Глава 5. Рай
Кантора
Возможно, было бы небольшим преувеличением заявить, что открытия Кантора стали поворотным моментом в истории всей математики, хотя есть и те, кто придерживается именно этой точки зрения. Однако, без сомнений, его достижения ознаменовали поворотный момент в изучении бесконечности.
Ряды Фурье
Жан-Батист Жозеф Фурье (1768–1830) был математиком-провидцем, он вошел в число пионеров нового раздела математики — математического анализа, и создал одну из наиболее широко используемых теорий в истории прикладной математики.
Среди его работ особенно выделяется «Аналитическая теория тепла» (возможно, важнейшая из опубликованных им работ), в которой основное внимание уделялось теплопроводности. Этот труд не только имеет исключительную научную ценность, но и стал первым в истории трудом по математической физике.
Разложение функции в ряд заключается в представлении произвольной функции в виде бесконечной суммы других функций. Преимущество этого приема в том, что с функциями, составляющими бесконечную сумму, работать проще, чем с исходной функцией. Ряды Фурье не были первым примером разложения функции в ряд — в то время уже достаточно часто использовалось разложение в степенной ряд Тейлора. Основное требование при разложении в ряд Тейлора звучало так: поведение рассматриваемой функции должно быть полностью определено на небольшом интервале.
Разложение в ряд Тейлора возможно для множества функций, но имеет один недостаток: оно может применяться исключительно локально, то есть позволяет узнать поведение функции в небольшой окрестности, но никак не определить ее поведение в целом. Для решения этой задачи Фурье рассмотрел разложение функции на простые составляющие, как правило, синусоидальные функции. Волны, на которые раскладывались функции при преобразованиях Фурье, получили название гармонических колебаний, а изучавший их новый раздел математики был назван гармоническим анализом.
Возможность представления функции в виде суммы тригонометрических функций синуса и косинуса обладает огромным преимуществом с точки зрения математики, так как для синуса и косинуса легко построить график, вычислить производную и интеграл. Фурье доказал, что любую периодическую функцию f(х) при соблюдении некоторых ограничений можно представить в виде бесконечной суммы функций синуса и косинуса. Тем не менее разложение в ряд Фурье ставит два важных вопроса, на которые непросто дать ответ, так как они затрагивают самые основы математического анализа и касаются теорем о существовании и единственности. Звучат эти вопросы так: во-первых, при каких условиях существует ряд, который действительно сходится к данной функции, и, во-вторых, если такой ряд действительно существует, является ли он единственно возможным?
В 1870 году Кантор сформулировал теорему, содержащую критерий сходимости ряда Фурье, в следующем году — вторую теорему, которая дополняла первую и касалась единственности ряда Фурье для данной функции. При этом Кантор столкнулся с проблемой: эта теорема не имела общего характера, и существовали точки, в которых она не выполнялась, причем таких точек было бесконечно много, и их множества перемежались с множествами точек, в которых теорема была верна. Так Кантор столкнулся с иррациональными числами. Встал вопрос, выходивший далеко за рамки разложения функции в ряд и за рамки понятия бесконечности. Кантор начал серьезно рассматривать взаимоотношения между непрерывным и дискретным на множестве вещественных чисел. С одной стороны, имелась прямая, на которой из чисто геометрических соображений точки распределялись непрерывно, с другой стороны, с арифметической точки зрения распределение этих точек было дискретным. Проблема заключалась в самом определении вещественного числа, точнее в определении иррационального числа (см. приложение «Множества чисел»).
Жан-Батист Жозеф Фурье.
Фундаментальные последовательности
Кантор разрабатывал свою теорию вещественных чисел в два этапа. В 1872 году в работе «О расширении теоремы, относящейся к теории тригонометрических рядов» он сформулировал задачу о существовании иррациональных чисел, но ему не удалось разработать полную и согласованную теорию. Четкое математическое определение вещественным числам ученый дал значительно позже, в своих «Основаниях общей теории множеств». По словам самого Кантора, он пришел к этому определению после глубоких философских размышлений о бесконечности и непрерывности. Математику были знакомы работы Коши и Вейерштрасса, и он знал, что на множестве рациональных чисел 
существовали последовательности, не сходившиеся ни к какому рациональному числу. Речь шла о последовательностях, определенных Коши, элементы которых группировались друг вокруг друга, но не в окрестности какого-либо рационального числа. В главе 2 мы уже приводили пример бесконечного ряда, сходящегося к числу, которое не является рациональным — √2.
Мы также говорили, что элементы этих последовательностей могут располагаться сколь угодно близко друг к другу. Кантор назвал такие последовательности фундаментальными (в настоящее время они также называются последовательностями Коши).
Кантор чувствовал, что фундаментальные последовательности должны сходиться к иррациональному числу, и взял это за основу определения иррационального числа. Если продолжать аналогию, которую мы использовали в предыдущих главах, Кантор заметил скопления машин на автомагистрали и предположил, что причиной этому являются пункты оплаты — иными словами, существуют точки, в которых скапливаются определенные числовые последовательности и отсутствуют рациональные числа (это те самые промежутки на числовой прямой, о которых мы говорили выше). В таких точках должны находиться иррациональные числа, например √2, √3, √5 или даже π. Проблема заключалась в том, что иррациональным числам нужно было дать строгое определение на языке математики.
Существуют определенные свойства, которыми должны обладать множества чисел, чтобы образовывать согласованную систему, или, иными словами, чтобы их действительно можно было использовать и определить на них элементарные операции. Первое из этих свойств состоит в том, что эти множества должны быть замкнутыми относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Иными словами, при сложении двух целых чисел мы ожидаем, что результат также будет целым числом. Второе свойство — упорядоченность: для двух любых данных чисел можно однозначно указать, что они равны или что одно из них больше другого. Третье свойство — плотность, оно более сложное, и им обладают не все множества чисел. Свойство плотности означает, что между двумя произвольными числами всегда находится третье, но этот принцип, как вы уже видели, не выполняется ни для натуральных, ни для целых чисел. Например, между 5 и 6 нет никакого другого целого числа. Как известно, плотность характерна для рациональных чисел, но Кантор знал, что новое множество иррациональных чисел, которое он хотел определить с помощью фундаментальных последовательностей, тоже должно обладать этим свойством. Он понимал, что числа, которым он пытался дать определение, были расширением рациональных чисел, и, что вполне логично, предполагал, что свойства рациональных чисел естественным образом будут распространяться и на иррациональные. Однако доказать свою догадку ему не удалось. Кроме того, возникла еще одна проблема — различные фундаментальные последовательности могли сходиться к одному и тому же иррациональному числу. Эти и другие препятствия были преодолены с введением понятий отношения эквивалентности и фактор-множества, с помощью которых множества чисел определяются сейчас.
Заострим внимание на том, что Кантор свободно использовал понятие актуальной бесконечности в определении столь конкретного явления, как число, которое, по сути, является не чем иным, как пределом бесконечной числовой последовательности. В своих первых работах он также не использовал понятие предела. Более того, он говорил не о числах, а о числовых величинах. Кантор осознавал, что ступает на зыбкую почву, поскольку при рассмотрении понятий бесконечности и непрерывности следует вооружиться логическими и математическими инструментами, а их у него не было, и Кантору ничего не оставалось, кроме как создать эти инструменты самому.
Расширив множество рациональных чисел
, Кантор перешел к новому множеству 
, которое назвал множеством вещественных чисел. Некоторые считают, что выбор этого названия был продиктован существованием мнимых чисел, о которых в то время было уже известно, однако есть основания полагать, что Кантором двигали иные причины. В «Основаниях общей теории множеств» он использует понятие предела и отказывается от понятий числовой величины, называя введенное им множество множеством вещественных чисел. Это очень важная деталь: она указывает, что Кантор был готов принять актуальную бесконечность не как спекуляцию, а как реальный математический объект — столь же реальный, как целые или дробные числа.
Вещественная прямая
Прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор, работая над определением вещественной прямой, следовал путем, который мы уже описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчета и выбрал единицу измерения. В начальную точку он поместил число 0, справа от него — целые положительные числа, слева — отрицательные. Добавим к ним рациональные числа, то есть дроби: положительные расположим справа, отрицательные — слева. Напомним, что с добавлением рациональных чисел эта прямая приобрела свойство плотности, согласно которому между двумя любыми рациональными числами всегда находится другое рациональное число.
Вы уже знаете, какой масштабный кризис вызвало открытие числа √2 в древнегреческой математике. Суть проблемы заключалась в том, что это число можно было совершенно четко представить с помощью прямоугольного треугольника с катетами единичной длины, но длина гипотенузы этого треугольника, выражаемая иррациональным числом, не входила во множество точек прямой, на которой мы определили единицу измерения катетов. Таким образом, длина гипотенузы имела смысл как величина, но не существовала как число. В этом смысле можно было утверждать, что вещественная прямая содержала бесконечное множество промежутков, пустых точек, которым не соответствовали никакие числа, следовательно, вещественная прямая не была непрерывной.
С введением иррациональных чисел всем точкам этой прямой оказались присвоены числа, рациональные или иррациональные, и промежутки на ней исчезли. Теперь прямая по праву могла называться вещественной.
С другой стороны, утверждение, согласно которому прямая как геометрическая сущность полностью, без промежутков, заполнена числами, оставалось не до конца обоснованным. Размышления на эту тему привели к тому, что Кантор стал больше интересоваться непрерывностью, чем бесконечностью, и определил важнейшее понятие счетности, которое стало первой альтернативой понятию бесконечности.
Кардинальные числа
Кантор столкнулся с проблемой подсчета бесконечности. Ранее потенциальная бесконечность определялась через возможность беспредельно добавлять к ряду или последовательности все новые и новые элементы, но Кантор предложил ввести понятие актуальной бесконечности, иными словами, начать использовать бесконечность как еще одну математическую сущность. Для этого следовало пересмотреть и полностью формализовать такое элементарное арифметическое действие, как простой подсчет совокупности объектов, что требовало решения двух задач: нужно было, во-первых, четко определить, что понимается под совокупностью объектов, и, во-вторых, дать математическое определение подсчету объектов совокупности.
Первая задача была решена с помощью теории множеств, которую на тот момент уже разработал Больцано. Кантор расширил и дополнил ее, что дало возможность вести речь об элементах множества как о совершенно абстрактных сущностях.
Многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из самых выдающихся творений человеческой мысли. Мы не будем вдаваться в детали этой теории, так как в нашем контексте будет достаточно нескольких интуитивно понятных определений, однако отметим, что понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, так как на него опираются все теоретические основы науки. Анри Пуанкаре (1854–1912) как-то сказал, что математик — это человек, дающий разным вещам одно наименование. Эта короткая и немного ироничная фраза отражает важную истину: конечная цель, к которой стремятся математики, — обобщение.
Замечание Пуанкаре в высшей степени применимо к теории множеств, поскольку слово «множество» может означать любое существующее понятие (а также многие несуществующие). Именно это обобщение позволило Кантору дать четкое определение актуальной бесконечности.
Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «множество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множество» или один из его синонимов — объединение, группа и т. д.
Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идет о фундаментальном понятии.
* * *
СЧЕТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ
Интересно отметить, что человек научился считать раньше, чем появились системы счисления, поэтому, вопреки распространенной точке зрения, можно утверждать, что понятие биективного отображения появилось одновременно с понятием числа или даже раньше. Например, пастуху, который хотел сосчитать число овец в стаде, требовалась сумка с камнями. Когда очередная овца выходила из загона, пастух вынимал из сумки один камень. Вечером, пригнав овец обратно в загон, пастух устанавливал взаимно однозначное соответствие между овцами и камнями. (От латинского слова calculus — «камень» происходит, например, современное слово «калькулятор».)
* * *
Как мы уже говорили, фундаментальным также является понятие подсчета элементов множества. При счете мы в действительности сравниваем элементы двух множеств. Например, если мы хотим узнать, сколько человек находится в помещении (то есть сколько элементов содержит множество людей, находящихся в помещении), мы берем за основу известное множество, образованное натуральными числами 1, 2, 3, …, и присваиваем каждому человеку в помещении порядковый номер без повторений. Закончив подсчет, мы смотрим, какое число мы присвоили последним. Если это число равно, например, 23, мы говорим, что в помещении находится 23 человека. В действительности мы сравнили два множества — множество людей и множество чисел {1, 2, 3, …, 22, 23}, установив так называемое взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие можно установить между множествами разной природы, важно лишь, чтобы при этом соблюдались определенные правила. Например, если даны множество заглавных букв {А, F, H, P, V} и множество строчных букв {a, b, с, d, е}, то между ними можно установить следующее отношение:
Каждому элементу первого множества должен соответствовать один и только один элемент второго множества, и наоборот. Это единственное правило, которому должны подчиняться биективные, то есть взаимно однозначные отображения.
На рисунке ниже мы также видим соответствия:
Однако они не удовлетворяют этому правилу.
Таким образом, Кантор определил простейшее понятие подсчета, а также ввел понятие кардинальности множества.
Если мы рассмотрим множества, между которыми можно установить биективное отображение, то увидим, что число элементов в этих множествах одинаково.
Но если одно множество состоит из четырех элементов, а другое — из трех, между ними нельзя установить биективное отображение: какой-либо элемент остается без пары или какому-либо элементу будет сопоставлено сразу несколько элементов.
Кантор определил эквивалентность множеств следующим образом: «Кардинальность двух множеств одинакова, если между ними можно установить биективное (взаимно однозначное) отображение». О множествах с одинаковой кардинальностью говорят, что они являются равномощными, то есть имеют одинаковое число элементов.
Таким образом, если дано произвольное множество, например коробка цветных карандашей, которое мы обозначим А, и можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то говорят, что кардинальность А и N одинакова:
|A| — |N| = 6.
Может показаться, что мы усложняем очевидное, но это впечатление обманчиво: новый логический аппарат позволил дать четкое определение бесконечному множеству.
Для этого сначала определим, что такое конечное множество. Непустое множество А (иными словами, содержащее как минимум один элемент) является конечным, если для некоторого числа n множество А имеет ту же кардинальность, что и множество {1, 2, 3, …, n}. Следовательно, n будет числом элементов множества A. В противном случае говорят, что множество А бесконечное.
Аналогично: множество А бесконечно, если существует собственное подмножество В множества А, имеющее ту же кардинальность, что и само А. В противном случае множество А является конечным.
На последнем определении стоит остановиться подробнее ввиду его чрезвычайной важности. Во-первых, следует пояснить, что понимается под собственным подмножеством. Это очень просто: если дано произвольное множество А, например {a, b, с, d}, его собственным подмножеством будет любое подмножество, которое можно составить из элементов А, при этом нельзя использовать их все. Примерами собственных подмножеств А будут:
{а} {а, Ь} {а, b, с} {а, с, d} {d} {b, с, d}.
В соответствии с вышесказанным кажется логичным, что между множеством и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно однозначное соответствие: собственное подмножество всегда будет содержать меньше элементов, чем само множество.
Но существуют примеры, когда это не так. Рассмотрим 
— множество всех натуральных чисел и его собственное подмножество Р, образованное всеми четными числами. Очевидно, что между обоими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие: для этого каждому натуральному числу n нужно поставить в соответствие это же число, умноженное на 2.
n —> 2n
В соответствии с этим
1 —> 2
2 —> 4
3 —> 6
…
Иными словами, каждому натуральному числу соответствует четное число и, напротив, каждому четному числу соответствует натуральное число. Это означает, что кардинальность этих множеств одинакова, и утверждение «существует столько же натуральных чисел, сколько четных» вовсе не парадокс, хотя оно явно противоречит интуиции. Таким образом, альтернативное определение бесконечного множества звучит так: множество является бесконечным, если между этим множеством и какой-либо из его частей (каким-либо его собственным подмножеством) можно установить взаимно однозначное соответствие.
В этом случае парадокс, сформулированный Галилеем (см. главу 3), — это уже не парадокс, а констатация факта: множество натуральных чисел является бесконечным.
Путем аналогичных рассуждений можно доказать, что множество натуральных чисел
и множество целых чисел 
имеют одинаковую кардинальность. Чтобы подтвердить это, достаточно установить взаимно однозначное соответствие между ними, сопоставив всем положительным числам четные, а всем отрицательным — нечетные. Таким образом, существует столько же целых чисел, сколько натуральных.
Счетные множества
Кантор также сформулировал очень важное понятие счетного множества. По определению, множество А называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между А и подмножеством
. В основе этого определения лежит очень простая идея, которую мы часто используем в повседневной жизни.
Когда мы заявляем, что места в зале кинотеатра пронумерованы, мы говорим о взаимно однозначном соответствии между подмножеством натуральных чисел и множеством кресел и сопоставляем каждому креслу число.
Мы уже показали, что множество целых чисел является счетным. Далее Кантор получил поистине удивительный результат: множество рациональных чисел
также является счетным. Он доказал, что существует столько же рациональных чисел, сколько и натуральных. Чтобы установить соответствие между натуральными и рациональными числами, Кантор использовал настолько простую схему, что остается только удивляться, почему никто не сделал этого раньше. Возможно, причина в том, что никто не считал это возможным, так как это противоречит элементарной интуиции.
Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональных чисел (напомним, что речь идет о дробях) следующим образом: в первой строке записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй — дроби, числитель которых равен 2, в третьей — 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющиеся дроби. Например, 2/2 — это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 — то же, что и 1/2, и т. д. Построив таблицу, обойдем все числа в порядке, указанном стрелками, начиная с 1/1. Мы обойдем все рациональные числа ровно один раз. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами устанавливается следующим образом:
1 —> 1/1
2 —> 1/2
3 —> 2/1
4 —> 3/1
5 —> 1/3
…
Самое удивительное в том, что мы установили взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, одно из которых является дискретным (множество натуральных чисел), а другое — плотным (множество рациональных чисел).
Здесь бесконечность начинает понемногу приподнимать завесу тайны над своими удивительными загадками. Интуиция подсказывает, что счетными могут быть только дискретные множества, и тот факт, что плотное множество
также является счетным, был поистине удивительным. Мы подсознательно ассоциируем счетность с возможностью найти следующий элемент для данного, что невозможно в плотном множестве. Если мы рассмотрим предыдущую таблицу, то увидим, что 1/1 является первым числом, а следующим будет 1/2. Однако множество дробных чисел является плотным, поэтому между 1/1 и 1/2 находится бесконечное множество чисел. Так, нам известно, что 1/4 находится между 1 и 1/2, а в нашем перечне это число занимает шестое место.
* * *
МЫСЛИТЬ — ЭТО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ГОВОРИТЬ
Согласно теории множеств Кантора, множество всех возможных слов, как произнесенных, так и записанных на бумаге, является счетным. Если учитывать, что множество знаков (букв, символов и т. д.) в языке конечно, то очевидно, что на его основе можно сформировать счетное множество. Другое дело — множество вещей, о которых мы можем подумать. Оно, очевидно, не является счетным. Мы можем представить, например, множество окружностей на плоскости, имеющее мощность континуум. Таким образом, все, что мы можем сказать, поддается упорядочению, а все, о чем мы можем подумать, не поддается или поддается лишь частично. Следовательно, можно упорядочить лишь часть наших мыслей, а большинство из них принадлежит к миру хаоса.
Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счетное множество.
* * *
По этой причине с открытым Кантором понятием счетности оказалось тесно связано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счетным?
Иными словами, можно ли говорить, что М — счетное множество?
Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счетности множества
, но намного более сложного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество (0, 1) всех вещественных чисел, заключенных между 0 и 1, не является счетным, следовательно, М также не может быть счетным. Таким образом Кантор создал серьезный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. Достаточно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоремы Геделя о неполноте.
Больше чем бесконечность
Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется большим, большое — бесконечным и еще раз бесконечным.
«Герой». Бальтазар Грасиан (1601–1658)
Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из ее отрезков не являются счетными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.
Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счетным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …
Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, четных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел
не является счетным и содержит больше элементов, чем
, то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел.
Кардинальное число множества
он обозначил как алеф-один — 
Так родился раздел математики, посвященный трансфинитным числам.
* * *
ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА
Сабит ибн Курра (ок. 836–901) был авторитетным арабским ученым, жившим в IX веке. Известно, что он родился в Харране, в Междуречье. Помимо большого числа текстов по богословию и философии, он создал любопытный математический трактат, посвященный, главным образом, арифметике. В нем ибн Курра, продемонстрировав невиданную для своего времени смелость, рассматривает возможность существования различных видов бесконечности в том смысле, что некоторые ее виды могут быть больше других. Таким образом, ибн Курру можно считать подлинным предшественником Кантора.
* * *
Кантор знал, что — число
точек, содержащихся на любом отрезке прямой.
Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них будет одинаковым. Может показаться удивительным, но очень простое доказательство этого утверждения было известно еще древним грекам.
Даны два отрезка, а и b. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между их точками, достаточно выполнить следующее построение. Соединим концы отрезков прямыми с и d, которые пересекутся в точке Е.
Выберем произвольную точку F отрезка а и соединим отрезком эту точку с точкой Е — точкой пересечения прямых с и d. Точка G, в которой эта прямая пересечет отрезок Ь, и будет искомым отображением точки F. Очевидно, что таким образом можно сопоставить каждой точке отрезка а точку отрезка b и наоборот. Это доказывает, что число точек на обоих отрезках одинаково.
Затем Кантор выполнил смертельный номер: взяв за основу один из этих отрезков, он построил квадрат
и смог доказать, что кардинальное число множества всех точек квадрата равно
, то есть число точек квадрата равно числу точек на любой его стороне. Затем он сделал еще один шаг и, использовав этот квадрат в качестве основания, построил куб:
И вновь доказал, что число точек, содержащихся в кубе, также равно
.
«Я вижу это, но я в это не верю», — писал Кантор Дедекинду в 1877 году, пытаясь объяснить эти взаимно однозначные соответствия между фигурами, имеющими разное число измерений. Кантор доказал положение, противоречащее любым интуитивным и математическим представлениям о размерности: все одномерные, двумерные и трехмерные объекты, с которыми он работал, содержали одно и то же число точек, равное
.
Это было невероятно, и этот результат означал, что на любом, сколь угодно малом, отрезке содержится столько же точек, сколько во всей известной Вселенной. Внутри бесконечно малого оказалось заключено нечто бесконечно большое.
В действительности дело этим не ограничивается:
также равно числу точек в произвольном гиперпространстве. Иными словами, если бы мы могли проникать в пространства высших измерений (четырех-, пятимерные пространства и т. д.),
означало бы число точек, содержащихся в этих пространствах.
Трансцендентные числа
Вы увидели, что множества
(натуральных чисел),
(целых чисел) и
(рациональных чисел) содержат одинаковое число элементов (то есть являются равномощными) — бесконечное число, обозначенное Кантором как 
. Множество вещественных чисел получается, если расширить множество рациональных чисел иррациональными. Возникает вопрос: существует ли столько иррациональных чисел, чтобы общее количество вещественных чисел равнялось
?. Ответ на этот вопрос достаточно любопытен и не лишен таинственности. Однако чтобы понять его, сначала следует узнать о так называемых трансцендентных числах.
Уравнение одной переменной х степени n с рациональными коэффициентами — это равенство вида
С n х n + С n-1 х n-1 +… + С 1 х + С n = 0.
Тому, кто не знаком с подобными выражениями, оно может показаться сложным, но это не так. В этом контексте уравнение — не более чем равенство, в левой части которого записаны слагаемые с неизвестным х, возведенным в некоторую степень и умноженным на некие числа (коэффициенты), а в правой части записан ноль. Решить уравнение означает найти такое значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, в уравнении
х — 2 = 0
коэффициенты равны 1 и — 2, а решением является х = 2.
Иррациональное число, например √2, является результатом решения уравнения вида
х 2 — 2 = 0.
По определению, число х является алгебраическим, если оно выступает корнем (решением) алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Проясним некоторые понятия, чтобы сделать это определение более понятным. Алгебраическое уравнение представляет собой многочлен, приравненный к нулю, например
Зх 2 + 5х — 1 = 0,
где 3, 5 и —1 — коэффициенты. Выражение
√Зх 5 — 5х 2 = 0
также является уравнением, но его первый коэффициент не является целым числом, следовательно, это уравнение нельзя назвать алгебраическим.
Число 3 является алгебраическим, так как оно выступает решением уравнения
х — 3 = 0.
Очевидно, что любое рациональное число является алгебраическим, так как всегда можно записать алгебраическое уравнение, решением которого будет это число.
Как мы уже показали, √2 является решением уравнения х 2 — 2 = 0, и, следовательно, это также алгебраическое число.
Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. Этот термин, введенный Эйлером, происходит от латинского transcendere — «превосходить» и означает, что вычисление таких чисел в некотором роде выходит за рамки привычных математических операций. Доказать трансцендентность числа порой очень и очень непросто. Французский математик Жозеф Лиувилль (1809–1882) доказал существование трансцендентных чисел и открыл метод, позволяющий получить некоторые из них. Первым числом, которое удостоилось чести быть помещенным в список трансцендентных, стало L (число Лиувилля), определение которого слишком сложно, чтобы приводить его здесь. Записывается оно следующим образом:
L = 0,1100010000000000000000010000…
В 1873 году французский математик Шарль Эрмит (1822–1901), ученик Лиувилля, доказал, что е (основание натурального логарифма, приближенное значение которого равно 2,718281828459043235360287471352…) не является алгебраическим числом. Получить это доказательство было непросто — оно не далось самому Эйлеру.
Одно из самых известных чисел в истории математики — это число π («пи»), равное отношению длины окружности к ее диаметру. Доказательство трансцендентности е оказалось столь сложным, что Эрмит не решился взяться за аналогичное доказательство для числа π, о чем написал Карлу Вильгельму Борхардту (1817–1880): «Я не осмелился приступить к доказательству трансцендентности числа π. Если кто-то другой попытается это сделать, не будет человека счастливее меня, но поверьте мне, любезный друг, что это доказательство потребует немалых усилий».
Трансцендентность числа π была доказана Линдеманом лишь несколько лет спустя, в 1882 году. Это открытие стало важной вехой в истории математики, так как означало невозможность решения задачи о квадратуре круга.
Сегодня доказано, что трансцендентными являются числа е, π, е π , 2 √2 , sin(1), ln2, lп3/ln2 и некоторые другие, однако до сих пор остается открытым вопрос о трансцендентности таких чисел, как 
. Известно, например, что по меньшей мере одно из двух чисел (возможно, оба сразу) 
является трансцендентным, но доказать трансцендентность каждого их них по отдельности до сих пор не удалось. Трансцендентные числа — редкие создания, обнаружить их непросто. Это наводит на мысль о том, что таких чисел немного, но в действительности это совершенно не так: их много, очень много, бесконечно много и даже больше.
Шарль Эрмит на фотографии 1887 года. Этот французский математик доказал, что число е не является алгебраическим.
Бесконечное множество вещественных чисел содержит рациональные числа, которые являются алгебраическими, и иррациональные числа, часть которых является трансцендентными. Однако трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.
Кантор, обнаружив подлинную гениальность (полученные результаты изумили его самого), сформулировал простое доказательство того, что существует бесконечно много трансцендентных чисел. С одной стороны, известно, что множество вещественных чисел не является счетным. С другой стороны, множество алгебраических чисел является счетным. Из этих двух утверждений следует, что существуют числа, которые не являются алгебраическими. Более того, Кантор доказал, что множество этих чисел не является счетным.
Вывод: множество вещественных чисел так велико именно благодаря трансцендентным числам.
Трансфинитные числа
Арифметика трансфинитных чисел отличается от арифметики конечных чисел.
Георг Кантор
Как мы показали в предыдущем разделе, если дано множество А = {а, Ь, с, d}, можно образовать ряд его подмножеств
{а}, {Ь}, {с}, {d}, {а, b), {а, с}, {a, d), {Ь, с}, {Ь, d), {с, d), {а, Ь, с}, {а, Ь, d}, {а, с, d}, {Ь, с, d},
которые будут так называемыми собственными подмножествами А. Кроме них, подмножествами А также являются само множество А и пустое множество, обозначаемое символом 0 и не содержащее никаких элементов. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества, и эти два множества (исходное и пустое) считаются несобственными подмножествами. Добавив к вышеприведенному списку собственных подмножеств эти два множества, мы получим полный перечень всех подмножеств А:
{Θ}, {а}, {Ь}, {с}, {d}, {а, Ь}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {fc, d}, {с, d}, {а, Ь, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {Ь, с, d}, {а, Ь, с, d}, —
итого 16 подмножеств.
Заметим, что 24 = 16, таким образом, число подмножеств А равно 2 в степени, равной числу элементов А. Нетрудно доказать, что это соотношение справедливо для всех множеств. Таким образом, для любого множества, содержащего n элементов, число его подмножеств будет равно 2n .
Множество, образованное всеми подмножествами А, называется множеством степенью A и обозначается 
. Кантор доказал, что для любого множества его множество-степень больше, чем само множество, то есть оно содержит больше элементов, или, если быть математически корректными, его кардинальное число больше, чем у исходного множества. Будем обозначать кардинальное число А как |А|.
Изложенный выше результат можно записать так:
Ученому принадлежит доказательство нескольких теорем, но когда речь идет о теореме Кантора, обычно имеют в виду именно этот результат, который можно записать в виде
|А|< 2 |A|
Теорема Кантора позволяет упорядочивать бесконечности. Кантор считал, что «самая маленькая» бесконечность соответствует кардинальному числу множества
— множества натуральных чисел. Это кардинальное число он обозначил 
.
Таким образом, имеем
По теореме Кантора получим:
Последовательность кардинальных чисел, фигурирующую в этом неравенстве, Кантор назвал числами алеф, присвоив каждому из них порядковый номер: алеф-ноль, алеф-один и т. д. Они записываются буквой еврейского алфавита алеф с индексом:
Это так называемые трансфинитные числа.
В упорядоченной последовательности трансфинитных чисел содержится любое число, которое может существовать, в том числе такое, которое мы даже не можем себе представить. Если до Кантора считалось, что ничто не может быть больше бесконечности, то благодаря его открытиям мы можем с уверенностью утверждать, что всегда существует другая бесконечность, которая будет больше данной. Кантор превзошел самого Создателя: сколь большое число ни создал бы Бог, всегда будет существовать другое, большее число. И этот научный результат противоречил религиозным взглядам самого Кантора.
* * *
ПОЧТИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
За рамки нашей конечной природы выходят не только бесконечные или трансфинитные числа.
Например, число
которое может быть результатом неких математических расчетов, невероятно велико. Процессор компьютера, выполнив необходимые инструкции, может получить это число за разумное количество шагов. Это возможно потому, что и язык математики, и языки программирования предоставляют все необходимые для этих вычислений инструменты. Но если бы нам потребовалось записать все цифры этого числа на бумаге, мы не смогли бы этого сделать: для такой записи требуется лист бумаги, число частиц в котором превышает число частиц во всей Вселенной. Кроме того, для записи этого числа потребовалось бы время, значительно превышающее возраст Вселенной.
Континуум-гипотеза
Пока что мы говорили о кардинальности применительно к множеству. Мы увидели, что понятие кардинальности обозначает число элементов множества, а также что каждому элементу конечных множеств можно последовательно присвоить натуральное число. С другой стороны, когда речь идет о множествах с бесконечным числом элементов, пронумеровать их составляющие можно с помощью взаимно однозначного соответствия, при котором каждому элементу множества ставится в соответствие натуральное число. Множества, для которых возможно установить такое соответствие, называются счетными. Однако мы также увидели, что существуют множества, которые не являются счетными, и чтобы как-то обозначить количество их элементов, нам пришлось обратиться к понятию кардинальности. Таким образом, кардинальность множества — это не совсем число, а скорее понятие, связанное с числовой величиной. По сути, на этом понятии основан удивительный трюк, позволяющий узнать, насколько велико множество. Заключается он в сравнении множеств по определенным правилам, которые позволяют однозначно сказать, когда множества одинаково велики, а когда — нет. При этом не имеет значения, о конечных или бесконечных множествах идет речь.
* * *
СВОБОДА МАТЕМАТИКИ
Можно сказать, что в настоящее время мечта Кантора о свободной математике полностью сбылась. По меньшей мере, никто и ничто (в так называемых цивилизованных странах) не ставит палки в колеса авторам математических теорий по философским или религиозным причинам.
Сегодня в математике используются так называемые «большие кардиналы», которые столь велики, что рядом с ними трансфинитные числа Кантора кажутся карликами. Их определение очень сложно, хотя они строятся по правилам, схожим с теми, что применяются к алеф-числам: рассматривается последовательность множеств, включенных одно в другое, затем анализируются соответствующие множества их частей.
* * *
Кантор назвал алеф-нулем кардинальное число множества натуральных чисел 
, а кардинальное число множества вещественных чисел К он обозначил термином «континуум» и символом с. Сделал он так потому, что вещественные числа полностью заполняют вещественную прямую, а так как эта прямая представляет собой непрерывную последовательность чисел (в ней отсутствуют промежутки), ее можно обозначить словом «континуум» (от лат. continuum — «непрерывное»).
В соответствии с этим
Однако числа алеф образуют возрастающую последовательность
Здесь Кантор сформулировал следующий вопрос: существует ли такой кардинал, который заключен между кардинальным числом множества натуральных чисел и континуумом? Каким-то образом ему удалось понять, что выполняется равенство
Иными словами, не существует множества, размер которого заключен между размером множества натуральных и вещественных чисел, — эта гипотеза называется континуум-гипотезой. Чтобы доказать ее, Кантору потребовалось приложить невероятные усилия. Не раз он считал, что континуум-гипотеза доказана, но ему так и не удалось сформулировать доказательство, которое его полностью устраивало бы.
Континуум-гипотезу безуспешно пытались доказать многие современники Кантора, в том числе Гильберт, Рассел и Цермело. Венгерский математик Денеш Кёниг (1849–1913) на конгрессе в Гейдельберге в 1904 году представил доказательство ложности континуум-гипотезы. Но Кантор верил своей интуиции и считал, что доказательство Кёнига не может быть истинным, хотя так и не смог найти в нем ошибку. Обнаружил ее Цермело, таким образом, вопрос доказательства континуум-гипотезы оставался открытым, и Гильберт включил его в свой знаменитый список из 23 наиболее важных нерешенных задач математики.
В 1963 году американский математик Пол Джозеф Коэн (1934–2007), основываясь на результатах о непротиворечивости аксиом, полученных Гёделем, доказал, что континуум-гипотеза может быть истинной или ложной в зависимости от выбранной системы аксиом, использованной для построения теории множеств. Таким образом, сложилась та же ситуация, что и со знаменитым пятым постулатом Евклида о параллельности прямых («в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»): в зависимости от выбранной геометрии этот постулат либо выполняется (в геометрии Евклида), либо нет (в геометрии Лобачевского).
Несмотря на это некоторые до сих пор считают, что вопрос о доказательстве континуум-гипотезы окончательно не решен, так как ситуацию может изменить новая система аксиом, на которой будет выстроена теория множеств. Более того, пока не появится новая система аксиом, мы не можем гарантировать, что ясно представляем себе, что такое вещественное число.
Американский математик Пол Джозеф Коэн в 1963 году доказал, что континуум-гипотеза недоказуема в системе аксиом теории множеств, решив тем самым одну из важнейших открытых задач математики.
). 
И 
откуда OD = √2. 
введенных им для обозначения дифференциала и интеграла, стало возможным объединить множество разрозненных и неоднозначных математических понятий. Лейбниц не всегда действовал внимательно и аккуратно, из-за чего многие его результаты были ошибочными, сравнивал себя с тигром, который «позволяет уйти добыче, которую не смог схватить в первый, второй и третий прыжок». 
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799. 
. Этот шаг также является последним, потому что было доказано: любое уравнение с комплексными коэффициентами всегда имеет решение (основная теорема алгебры). 