Первыми, кто «увидел» бесконечность в пространстве, были не философы и не геометры, а художники Возрождения. Свободные от строгих ограничений церкви, благодаря знакомству с математическими трудами древних греков они открыли новый путь в математике, где бесконечность перестала быть чем-то запретным, носящим на себе печать абсолютного зла.

Трехмерное изображение

Когда говорят о Возрождении, мы сразу представляем себе многочисленные произведения живописи, скульптуры, архитектуры, новые технологии, но практически ничего, что имело бы отношение к математике. Причина в том, что важнейшей задачей для представителей этого периода было восстановление уже известного.

В Средневековье труды греков и арабов, в которых описывались фундаментальные основы алгебры и геометрии, были преданы забвению (или задвинуты на дальние полки библиотек немногочисленных монастырей). Однако именно в геометрии служители искусства эпохи Возрождения, особенно живописцы, добились выдающихся результатов. Важную роль сыграло геометрическое воплощение бесконечности.

Как правило, представители Возрождения владели различными знаниями, относившимися не только к искусству, но и к науке. Их работы часто оплачивали меценаты или короли, которые заказывали картины, скульптуры, музыкальные произведения, здания или сокровищницы для хранения королевских ценностей и даже подробные исследования, посвященные траектории снарядов.

Художники Возрождения унаследовали от прошлой эпохи живопись религиозного характера, в которой существовали жестко определенные правила относительно использования цветов и изображения фигур. Так, святые должны были изображаться на позолоченном фоне как символ того, что они находятся на небесах.

Большинство цветов, равно как и расположение и размеры персонажей, имели особое значение, связанное с местом персонажей в иерархии. Однако наиболее важным было то, что все герои изображались в очевидно двумерном пространстве: они были плоскими, а стиль живописи напоминал древнеегипетский. Безусловно, это делалось умышленно и имело символическое значение: определенных святых нельзя было изображать реалистично, так как они противопоставлялись всему земному.

* * *

ДУХ ВОЗРОЖДЕНИЯ

Леонардо да Винчи (1452–1519), ярчайший пример гения эпохи Возрождения, в «Трактате о живописи» размышляет о понятии непрерывности в его философском смысле не только потому, что оно принадлежит исключительно к философии, но и потому, что используется во множестве других дисциплин: «Если ты скажешь, что немеханическими науками являются науки умозрительные, то я скажу, что живопись умозрительна и что как музыка и геометрия рассматривают пропорции непрерывных величин и как арифметика — прерывных, так и она в своей перспективе рассматривает все непрерывные количества и качества отношений теней и светов и расстояния».

* * *

Художники Возрождения не были связаны строгими церковными нормами, и первые попытки воспользоваться этой свободой происходили в сфере максимально достоверного изображения реальности. Иными словами, художники попытались создать объемное изображение. Для этого начали вырабатываться новые техники рисунка и живописи, позволявшие передать ощущение глубины с помощью света, тени и цвета. Тени, например, указывали на положение объектов, а цвета становились более тусклыми по мере удаления от переднего плана. Все эти приемы помогали передать ощущение глубины, но важнее всего было, что сам рисунок создавался в соответствии с четкими геометрическими правилами. Поэтому неудивительно, что именно в живописи математические открытия проявились особенно ярко.

В контексте этой книги важнее всего, что художники помещали бесконечность на плоскость картины, превратив в нечто актуальное то, что до этого в геометрии считалось лишь потенциальным. Напомним, что Аристотель считал прямую существующей лишь потенциально, но уже Евклид определял ее как отрезок, который можно продолжать бесконечно, и использовал это определение во всех построениях и доказательствах. Этой же формулировке следовали все геометры XVII столетия.

Тем не менее на картинах художников и в чертежах архитекторов XV века появляется точка, которая называется точкой схода. Так возникла центральная перспектива. Эту точку, в которой сходятся параллельные прямые, можно считать точкой, расположенной на актуальной бесконечности. Благодаря этой перспективе таким художникам, как Леон Баттиста Альберти (1404–1472), Филиппо Брунеллески (1377–1446) и Пьеро делла Франческа (1416–1492), которые основывались на трудах древнегреческих геометров, удалось создать ощущение трехмерного изображения.

От перспективы к проекции

Кто-нибудь хоть раз видел две параллельные прямые? Можно с уверенностью сказать: «Нет». На этот вопрос очень просто ответить, особенно если ему предшествует вопрос, на который также можно ответить категорическим нет: «Кто-нибудь хоть раз видел прямую?» Ее никто никогда не видел, так как прямая бесконечна. Максимум, что можно представить, — это отрезок прямой, пусть даже очень длинный, но не бесконечный. Если говорить о параллельных прямых, то максимум, что мы можем увидеть, — это изображение в перспективе, которое мы видим, когда смотрим на очень длинный участок, например, железнодорожных путей. Но мы видим (или же нам кажется) две прямые, которые сходятся в удаленной точке, расположенной на горизонте. Эту точку, в которой, как нам кажется, сходятся прямые, можно считать оптической иллюзией, так как ее нельзя достичь, сколько бы мы ни ехали вперед. С этой ситуацией ежедневно сталкивается, например, машинист скоростного поезда, когда движется в направлении бесконечности со скоростью триста километров в час. Можно быть уверенным, что преследование точки на бесконечности имеет столько же смысла, сколько погоня за собственной тенью.

Что произойдет, если параллельных прямых будет не две, а три, десять, двадцать? Мы получим то, что в геометрии называется пучком прямых, и, что более важно, определим направление. Представим, что в нашей плоскости мы рассматриваем точку на бесконечности (одну из точек, в которых сходятся две параллельные прямые). Каждой из этих точек мы можем присвоить направление на плоскости.

В этом случае все точки на бесконечности будут представлять различные направления на плоскости. Прямую, образованную этими бесконечно удаленными точками, можно назвать бесконечно удаленной прямой. Так мы несколько примитивным способом представили читателю один из интереснейших и красивейших разделов математики — проективную геометрию.

Ее основная идея заключается в том, что две параллельные прямые или две параллельные плоскости (в аффинной геометрии они объединены общим термином «многообразие») не имеют общих точек. Единственное, что их объединяет, — общее направление. Это поняли уже геометры Возрождения, так как они работали с представлениями в трехмерном пространстве.

Идея использовать бесконечно удаленную точку принадлежит Иоганну Кеплеру (1571–1630), который стремился создать единую теорию конических сечений (он расположил второй фокус параболы на бесконечности). Более систематически эту идею изложил Жирар Дезарг (1591–1661), которого можно считать одним из отцов-основателей проективной геометрии, получившей полноценное развитие лишь в XIX веке усилиями французского математика Гаспара Монжа (1746–1818).

Непрерывные преобразования

Понятие бесконечной делимости тесно связано с понятием непрерывности. Этот вопрос достаточно сложен и необычен. В прошлой главе вы увидели, что означает непрерывное как противоположность дискретному. Теперь мы попытаемся рассмотреть непрерывное с несколько иной точки зрения. Наиболее интуитивно понятное определение непрерывного звучит так: линия является непрерывной, если мы можем изобразить ее, не отрывая карандаша от бумаги. Понятие непрерывности также применимо к преобразованиям. Допустим, что дан параллелограмм, подобный изображенному на рисунке:

и мы хотим превратить его в квадрат с помощью непрерывного преобразования:

Нужно представить, что стороны фигуры изготовлены из деформируемого материала, например резины, и мы можем перейти от одной фигуры к другой, не ломая ее сторон.

В 1604 году Кеплер опубликовал небольшое сочинение «Оптическая часть астрономии» как дополнение к трактату по астрономии, где он представил необходимую теорию для изготовления оптических инструментов. Кеплер изучал конические сечения и возможные непрерывные преобразования одних сечений в другие. Напомним, что конические сечения — это плоские геометрические фигуры, получаемые сечением конуса плоскостью, как показано на следующей иллюстрации.

Аполлоний в своей книге «Конические сечения» определил эти фигуры как геометрические места плоскости. Его определение было абсолютно корректным, но чтобы понять его, требовались особые знания геометрии. Метод Кеплера, напротив, более понятен и обеспечивает более наглядное геометрическое представление.

Его формулировка звучит так: если мы разрежем двухсторонний конус (состоящий из двух бесконечно больших конусов, ориентированных в противоположные стороны, которые имеют общую ось и вершины которых совпадают) плоскостью, перпендикулярной оси, то получим окружность. Если мы слегка наклоним эту плоскость, то окружность превратится в эллипс, который будет увеличиваться с ростом угла наклона плоскости. Если мы продолжим наклонять плоскость, то наступит момент, когда она станет параллельна образующей конуса. В этом случае сечением будет парабола. Когда же, наконец, плоскость станет параллельна оси конуса, мы получим в сечении две ветви гиперболы. Эти кривые (эллипс, парабола и гипербола) получили название конических сечений (окружность обычно считается частным случаем эллипса). Существуют и другие способы сечения конуса плоскостью, при которых получаются так называемые вырожденные конические сечения (две прямые).

Можно представить, что плоскость, рассекающая конус, движется непрерывно, без скачков. Если бы мы могли наглядно изобразить преобразование сечения, то увидели бы, как эллипс превращается, например, в окружность или гиперболу.

Кеплер определил эти преобразования на плоскости, начав с эллипса.

Напомним, что эллипс — это коническое сечение, которое можно определить как геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. Допустим, что фокусами эллипса, который мы хотим преобразовать, являются точки F и F' — две точки, расположенные на большой оси эллипса. Если мы будем непрерывно сдвигать F вдоль большой оси в сторону F' эксцентриситет эллипса будет уменьшаться, пока F и F' не совпадут, и эллипс не превратится в окружность.

Если теперь мы будем сдвигать фокус F в сторону, противоположную F' эксцентриситет эллипса будет расти, а сам эллипс — сплющиваться (эксцентриситет — это величина, принимающая значения от 0 до 1, которая указывает, насколько эллипс по форме отличается от окружности). В определенный момент эллипс превратится в параболу — коническое сечение с единственным фокусом. Аполлоний определял параболу как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.

Если длинный путь точки F не закончится на бесконечности и продолжится дальше, эта точка совершит разворот в пространстве и снова появится слева от F' — в этом случае мы получим гиперболу. Иначе говоря, чтобы перейти от эллипса к гиперболе, нужно взять эллипс за концы, как за ручки, и согнуть, как показано на рисунке:

Гиперболу можно получить преобразованием эллипса. Для этого можно представить, что мы взялись за точки  А и В обеими руками, как за руль автомобиля, и сложили эллипс, направив руки к себе. Таким образом, точка А перейдет в А' , В  — в В' .

Человек, расположенный лицом к нам, увидит у нас в руках две ветви гиперболы.

Единственная проблема заключается в том, что для этого преобразования требуется выполнить поворот, пройти через бесконечность, вернуться в исходное положение и взглянуть на эллипс, как будто ничего не произошло. Как могло случиться, что Кеплер, который считал, что Вселенная конечна, и был противником всех философских и математических теорий, в которых рассматривалась актуальная бесконечность, смог не моргнув глазом описать подобное преобразование? Говоря прямо, Кеплер переходил от одной теории к другой в соответствии с практическими интересами. Разумеется, мы говорим об интересах прикладной математики.

Понятие непрерывного отображения, которое мы схематично описали, впоследствии стало фундаментальным в проективной геометрии. Основная идея заключается в следующем: допустим, что мы обнаружили некоторое геометрическое свойство эллипса. Если мы будем перемещать один из его фокусов так, как мы объяснили выше, это свойство должно сохраниться. При перемещении фокуса эллипс будет становиться более или менее вытянутым. Если преобразование является непрерывным, настанет момент, когда это же свойство будет применимо к окружности, параболе или гиперболе.

Прием непрерывного изменения позднее использовал Блез Паскаль (1623–1662) в случае правильных многоугольников: он преобразовывал, например, шестиугольник в пятиугольник, непрерывно сдвигая две вершины по направлению друг к другу, пока они не совпадут.

Как Кеплер решил проблему, возникающую при использовании этого метода при переходе к бесконечности? Он рассуждал так: прямая бесконечно продолжается с обоих концов, пока они не совпадут в одной точке. Для Кеплера Вселенная была конечной, но очень, очень, очень большой. Достаточно большой, чтобы вместить в себя все необходимое, и даже больше, но все-таки конечной.

Как бы то ни было, важно не только то, что Вселенная считалась достаточно большой, чтобы вместить в себя изгибающуюся прямую, концы которой, после того как охватят все сущее, совпадают (похожей идеи в некотором роде придерживался и Альберт Эйнштейн при формулировке понятия пространства-времени). Более важно, что Кеплер аккуратно подошел к понятию непрерывного преобразования.

Квадратуры

Термин «квадратура» означает построение квадрата, равного по площади данной фигуре. Задача о вычислении площадей всегда была одной из самых популярных задач прикладной математики. Известны сравнительно простые способы вычисления площадей плоских фигур, ограниченных отрезками прямых. Теорема Пифагора и геометрия Евклида позволили вычислять площади треугольников и всевозможных прямоугольников. Более сложные фигуры можно было разбить на треугольники и прямоугольники. Для этого требовались немалые знания и умения, однако в большинстве случаев эта задача имела решение. Задача существенно усложнялась, если некоторые стороны фигуры были криволинейными — приемы вычисления их площадей не были известны. Греки производили подобные расчеты, однако им не удалось избавиться от неудобств, вызванных присутствием актуальной бесконечности.

Почему как только фигура перестает быть прямолинейной, в расчетах ее площади начинает фигурировать бесконечность и возникают связанные с этим проблемы?

Причина в том, что кривая линия представляется как бесконечная последовательность отрезков прямой, или, что равносильно, прямая представляется как результат аппроксимации незамкнутыми кривыми, как показано на рисунке.

По мере спрямления кривых расстояние между ними и прямой уменьшается, особенно в окрестности точки Р . На бесконечности прямая и кривая совпадают.

Представим себе прямую, произвольную точку Р на этой прямой и ряд кривых, касающихся прямой в точке Р, кривизна которых постепенно уменьшается, и они все больше приближаются к прямой. Очевидно, что сколько бы кривых, касающихся прямой в точке Р, мы ни рисовали, ни одна из них не будет совпадать с исходной прямой. Можно представить, что это все-таки произошло, и бесконечные кривые в итоге совпали с прямой. Потенциально это возможно, но «актуально» (здесь мы делаем отсылку к актуальной бесконечности) мы не располагаем каким-либо четким методом для реализации этого. Вновь возникает вопрос о переходе к бесконечности как к чему-то конкретному и вызванные им радикальные изменения. Кривые, которые все больше приближаются к прямой, обладают общим свойством: для всех них можно определить величину, которая будет числовой характеристикой их кривизны.

В пределе, когда кривые превращаются в прямую, эта величина исчезает (можно говорить о кривых нулевой кривизны) — в этом и заключается тот самый радикальный переход, о котором мы говорим. Именно по этой причине бесконечность ассоциируется с загадкой творения. В какой-то, недоступный нам, момент времени в определенной точке пространства происходит преобразование, и одна из кривых превращается в прямую. Мы говорим «одна из кривых» не в буквальном смысле, поскольку не существует «последней кривой», так как в этом случае понятие бесконечно малого исчезает и непрерывный процесс сменяется дискретным переходом от последней кривой к прямой. Этот акт творения оказал огромное влияние на научную мысль ввиду сопутствовавших ему философских и религиозных коннотаций и определил границы запретной темы как в философии, так и в религии. Возможно, было бы разумнее говорить о мутации, а не о творении, что ближе к восточной философии, где религиозная мысль теснее связана с философской. В этом смысле более уместно и, возможно, более точно было бы говорить, что кривая мутирует в прямую.

Евдокс

Евдокс (ок. 408–355 гг. до н. э.) наряду с Архимедом (ок. 287–212 гг. до н. э.), Пифагором (570–500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325–265 гг. до н. э.) был одним из важнейших представителей греческой математики. В области концептуальной математики он, вне всяких сомнений, намного превосходил всех остальных.

В те времена греческая математика все еще переживала удар, вызванный открытием иррациональных чисел, несоизмеримых с целыми. Ясного критерия для сравнения величин разной природы не существовало. Евдокс первым дал этому четкое определение (определение 5 книги V «Начал» Евклида): «Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке».

В переводе на более современный язык это означает, что два отношения а/Ь и c/d равны, если для двух любых натуральных чисел k и k' выполняется условие:

если ka < k'b, то kc < k'd;

если ka = k'b, то kc = k'd;

если ka > k'b, to kc > k'd.

Определение кажется тривиальным, но это совершенно не так. Нужно учитывать, что в формулировке Евдокса оно применимо к соотношениям корней чисел и даже к геометрическим фигурам. Например, первые две величины могут обозначать сферы, третья и четвертая — кубы, построенные на диаметрах этих сфер. Более того, в этих правилах можно увидеть первые наброски будущего определения иррационального числа, данного в XIX веке Рихардом Дедекиндом с помощью метода, который он сам называл методом сечений.

* * *

ЕВДОКС  И АСТРОЛОГИЯ

Евдокс родился около 408 г. до н. э. в Книде — древнегреческом городе в Карии, на территории современной Турции. Он также известен как астроном и географ, совершивший важные открытия в этих науках. Евдокс рассчитал траектории различных звезд и определил, что солнечный год на 6 часов длиннее, чем принятый тогда календарный, состоявший из 365 дней, и первым разделил небесную сферу на градусы широты и долготы. Он также создал карту звездного неба и календари, занимался исследованиями по метеорологии и определению смены времен года в долине Нила. Знания астрономии, которые он использовал в своих вычислениях, стали причиной его разногласий со жрецами. Евдокс, будучи противником астрологии, аргументировал свои взгляды не постулатами веры, о которых сложно вести спор, а методологическими положениями: «Когда делают предсказания о жизни человека по его гороскопам, основанным на дате его рождения, этим предсказаниям не стоит придавать значения, поскольку влияние звезд столь сложно, что на всей Земле нет такого человека, который смог бы его вычислить».

* * *

Еще одним важным открытием Евдокса стала так называемая аксиома о непрерывности, также известная как лемма Архимеда (сам Архимед писал, что автором этой леммы является Евдокс), которая гласит: «Для данных двух величин, между которыми существует соотношение, можно найти одну из них, превосходящую другую». Важность этой леммы заключается в том, что она позволяет доказать путем доведения до абсурда одно из самых важных утверждений в истории математики, благодаря которому Евдокс и многие другие ученые смогли вычислить площади и объемы криволинейных фигур. Утверждение Евдокса звучит так: «Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины».

На этом утверждении также основано первое четкое и непротиворечивое определение предела, данное в XIX веке Карлом Вейерштрассом (1815–1897), которое стало важной вехой в истории математики.

Метод Евдокса для вычисления площадей и объемов, основанный на этом утверждении, известен как метод исчерпывания. Неудивительно, что многие историки считают основание школы Платона моментом рождения греческой математики, так как Евдокс заложил основы нового раздела математики, который много веков спустя стал называться анализом бесконечно малых.

Метод исчерпывания позволял получить верные доказательства, если его предпосылки были верны (так было в большинстве случаев), но обладал определенным недостатком: с его помощью нельзя было получить новые результаты. Напомним, что в этом методе результат считался истинным и рассматривались возможные способы, которыми можно было прийти к этому результату. Например, было известно, что формулы объема конуса и пирамиды, доказанные Евдоксом, были получены математиками прошлого, в частности Демокритом, без каких-либо выводов или доказательств.

В настоящее время нам известен метод интегрирования, позволяющий произести необходимые вычисления по четко определенному алгоритму. Это означает, что необходимые расчеты может произвести машина. В основе этого метода лежит сформулированная древнегреческими математиками идея, тесно связанная с аппроксимацией площади фигуры с помощью прямоугольников, о чем мы говорили выше (в некотором роде метод исчерпывания схож с современным методом суммирования по Риману).

Этот метод заключается в построении ряда прямоугольников, высота которых не превосходит высоту кривой, иными словами, прямоугольников, нижнее основание которых располагается на оси, а верхнее — под искомой кривой.

Сумма площадей всех прямоугольников, построенных по этому методу, будет очевидно меньше, чем площадь искомой фигуры. С увеличением числа прямоугольников их общая площадь будет все ближе к значению площади фигуры, ограниченной кривой. Это же построение можно повторить так, чтобы верхние основания прямоугольников находились над кривой.

* * *

ИНТЕГРИРОВАНИЕ «ОТ РУКИ»

Существует простое механическое устройство — интегратор, позволяющий автоматически вычислять площадь, ограниченную плоской непрерывной кривой. Оно напоминает устройства, используемые для измерения расстояний на картах, и состоит из небольшого колеса и счетчика числа оборотов, который указывает расстояние, пройденное колесом при перемещении по карте, например вдоль автомагистрали. Механический интегратор имеет схожий принцип действия. Если обвести интегратором замкнутую фигуру, ограниченную кривой, по контуру, счетчик укажет площадь этой фигуры. Это устройство используется при проектировании форм и образцов, так как позволяет определить, сколько материала потребуется для изготовления изделий.

* * *

Так мы гарантируем, что сумма площадей прямоугольников будет больше искомой площади. Теперь мы снова можем увеличить число прямоугольников, и сумма их площадей вновь будет приближаться к искомой, на этот раз сверху. Мы получим две последовательности площадей, приближающихся к искомой площади снизу и сверху соответственно. Так в схематичном и упрощенном виде происходит вычисление площадей. Похожий метод используется и для вычисления объемов.

Результаты сравниваются со значением, которое, как предполагается, должна иметь данная величина (напомним, что метод исчерпывания используется для проверки уже известного результата). С помощью оценок данной величины сверху и снизу мы подтверждаем, что если эти оценки превосходят искомую величину, это приводит к противоречию. Позднее, в XVII веке, этот метод получил название «апагогия», или «доведение до абсурда».

В любом случае в методе неизбежно рассматривается актуальная бесконечность, для чего в современном анализе выполняется переход к пределу. Если бы древние греки применили этот подход при решении этой и других схожих задач, то добились бы потрясающих результатов.

Кеплер

Кеплер был одним из первых математиков Возрождения, который занялся вычислением объемов, причем не совсем в обычных обстоятельствах: впервые он обратил внимание на эту задачу в тот самый день, когда сочетался вторым браком с Сюзанной Рейтингер (его первая жена скончалась годом ранее). Это был брак по расчету, так как Кеплер искал женщину, которая позаботилась бы о нем и его детях и вела бы домашнее хозяйство. Сюзанна, должно быть, понимала, насколько необычным характером отличался ее будущий муж, поскольку она не удивилась, когда он покинул свадебное торжество, чтобы подробно изучить, как трактирщик измеряет объем вина в бочках. Бочки не имели строго цилиндрическую форму, и объем измерялся с помощью мерного стержня, который опускался в них через отверстие в крышке.

Определив таким образом уровень вина в бочке, трактирщик узнавал, сколько его осталось. Результатом размышлений Кеплера стал вышедший в 1615 году трактат под названием «Новая стереометрия винных бочек». Для решения задачи Кеплер использовал метод неделимых, разработанный Архимедом. Можно сказать, что из задачи об объеме бочки вина впоследствии родился анализ бесконечно малых. Тем не менее следует отметить, что труды Кеплера в этой области носили скорее практический, чем теоретический характер, и в этом смысле их можно считать отчасти неполными. Например, для вычисления площади круга он рассматривал сумму площадей бесконечного числа треугольников, вершины которых совпадали с центром круга, а основания располагались на окружности. Аналогично для вычисления объема сферы он рассчитывал сумму объемов конусов, вершины которых совпадали с центром сферы, а основания находились на ее поверхности. С помощью этого метода Кеплер пришел к выводу, что объем сферы равен одной трети произведения ее радиуса на площадь поверхности. Корректность всех этих операций Кеплер обосновывал принципом непрерывности, который при использовании его метода вычисления объемов следовало принять за истину.

* * *

БОЧКИ КЕПЛЕРА

Задача о бочках, рассмотренная Кеплером, принадлежит к классическим задачам, решаемым с помощью интегрального исчисления. Общим случаем этой задачи является вычисление объема жидкости, заключенной в сосуде определенной формы. Когда цистерна с бензином приезжает на автозаправку, оператор обычно опускает в нее длинный металлический стержень для измерения уровня жидкости в емкости. Очевидно, что отметки на этом стержне должны быть нанесены в зависимости от формы цистерны.

Как правило, она имеет форму цилиндра, основания которого являются полусферами или параболоидами вращения. В некоторых аэропортах можно встретить цистерны такой же формы с керосином.

Галилей

Галилео Галилей (1564–1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы не будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно оказало на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о бесконечности.

Во-первых, Галилей рассматривал движение как процесс, происходящий без пауз, то есть делал выбор в пользу непрерывного, а не дискретного, зная, что занимает рискованную позицию, так как это автоматически означало принятие перехода от потенциальной к актуальной бесконечности. Для этого задачи, связанные с движением, следует рассматривать с геометрической точки зрения. Графическое изображение движения с переменной скоростью может выглядеть, например, следующим образом.

Портрет Галилео Галилея кисти фламандского художника Юстуса Сустерманса (1636) и график, описывающий свободное падение тел.

На горизонтальной оси откладывается время, на вертикальной — скорость.

Неравномерное движение описывается, например, уравнением v = 2t. Это означает, что с течением времени скорость возрастает: по прошествии одной секунды она равна 2, по прошествии двух секунд — 4 и т. д. Если в треугольнике АВС сторона АВ представляет пройденное время, сторона ВС — скорость, то пройденный путь будет равняться площади треугольника АВС. Галилея интересовало применение этого метода к более сложным разновидностям движения, например по параболической траектории, при этом неизбежно требовалось рассматривать кривые линии и площади фигур, ограниченных ими. В своих расчетах он использовал методы, схожие с методами Кеплера. Однако, как вы увидите чуть позже, его ученик Кавальери первым сформулировал рациональный метод для вычисления площадей подобных фигур.

Как мы уже говорили, Галилей неизбежно должен был столкнуться с парадоксами бесконечности и изучить ее природу. Именно так он пришел к парадоксу, который не смог разрешить. С формальной точки зрения эта задача даже не была парадоксом, но она содержала, как вы убедитесь чуть позже, возможное математическое определение бесконечности.

Эта задача-парадокс, которая впервые упоминается в диалогах Галилея в 1638 году, звучит так.

Рассмотрим в качестве исходного множества ряд чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10….

Далее запишем ряд чисел, которые являются их квадратами:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100….

Очевидно, что оба этих множества бесконечны в том смысле, что мы можем неограниченно добавлять к ним все новые и новые числа. Кроме того, Галилей заметил, что каждому элементу первого множества соответствует один из элементов второго, но, с другой стороны, кажется очевидным, что в первом множестве больше чисел, чем во втором. Вопрос, который поставил Галилей, заключается в том, какая бесконечность больше, первая или вторая, что ведет к кажущемуся парадоксу. Он полагал, что либо в чем-то ошибался, либо сравнения, основанные на понятиях «больше», «меньше» и «равно», неприменимы, когда речь идет о бесконечности.

В этом смысле он был прав, поскольку, как три столетия спустя доказал Георг Кантор, «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».

Кавальери

Бонавентура Кавальери (1598–1647), иезуит и преподаватель математики в Болонье, был одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями площадей и объемов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему, озаглавленный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного».

Название говорит само за себя: с одной стороны, Кавальери был сторонником принципа непрерывности, с другой — он был готов считать, что непрерывные объекты можно разделить на элементарные части — монады, подобные атомам, которые далее нельзя разделить на более мелкие части. Он полагал, что прямая состоит из точек, подобно тому, как ожерелье состоит из бусинок, а объемное тело — из плоскостей, точно так же, как книга — из страниц. Иными словами, неделимыми для прямой являются точки, неделимыми для плоскости — прямые, равноудаленные между собой, неделимыми для твердого тела — множество параллельных плоскостей, удаленных друг от друга на равное расстояние. Кавальери понимал, что число этих неделимых должно было быть бесконечным, но деликатно обходил этот вопрос. Более того, свой метод он назвал методом бесконечных, но работу озаглавил «Трактат о неделимых».

* * *

ТЕОРЕМА  КАВАЛЬЕРИ

Метод, использованный Кавальери для вычисления объемов, можно наглядно объяснить так: представьте, что перед вами — две стопки монет или фишек казино одинаковой высоты. Сдвинем монеты во второй стопке так, что она перестанет иметь форму цилиндра. Вычислить объем полученной фигуры будет достаточно сложно. Тем не менее теорема Кавальери гласит, что объем обеих стопок одинаков. В этом примере каждая монета представляет собой неделимое.

По теореме Кавальери , объем обеих стопок монет одинаков, хотя в одном случае они уложены идеально ровно, в другом — нет.

* * *

Принцип Кавальери в современном виде формулируется так: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их плоских сечений, взятых на одной высоте, равны, то объемы этих тел одинаковы.

С помощью этого метода Кавальери доказал, что объем конуса равен 1/3 объема описанного вокруг него цилиндра. Не стоит и говорить, что его подход вызвал жестокую критику современников, на которую ученый не мог возразить, поскольку не мог представить достаточное математическое обоснование своих рассуждений.

В защиту Кавальери следует сказать, что он не стремился создать строгий метод, а всего лишь хотел разработать алгоритм, применимый на практике. И ему это удалось: метод Кавальери с успехом использовали такие математики, как Ферма, Паскаль и Роберваль. Особенно значительных результатов достиг последний, вычислив площадь, ограниченную дугой циклоиды.

Декарт

Рене Декарт (1596–1650) является основателем и главным представителем рационализма. Наиболее важной его работой было «Рассуждение о методе», а ключевой фразой — «Я мыслю, следовательно, я существую», которая, по его мнению, была единственно возможной отправной точкой на пути преодоления сомнений. Его метод, как следует из названия, представляет собой множество правил, которые позволяют строить адекватные рассуждения в любой области человеческой мысли.

Нет сомнений, что Декарт был прежде всего философом, а не математиком, и полученные им математические результаты можно считать следствием использования его метода.

В настоящее время науки отделены от философии, но это не означает, что философия не оказывает на них никакого влияния — мы просто меньше осознаем их взаимосвязь.

Основные результаты Декарта, полученные им помимо других важных открытий, в частности классификации кривых и работ по коническим сечениям, изложены в труде «Геометрия». Декарт считал, что решение геометрических задач часто требует излишних умственных усилий, направленных на то, чтобы мысленно представить расположение фигур. Он создал систему, в которой фигуры представлялись как множество точек, каждой из которых можно было поставить в соответствие числа. Таким образом, геометрическая задача сводилась к алгебраической, а многие алгебраические задачи стало возможно решить геометрическими методами. Говорить о том, что в его работах заложены основы аналитической геометрии, было бы преувеличением, однако можно с абсолютной уверенностью утверждать, что в них была впервые описана декартова геометрия.

Декарт рассмотрел бесконечность в работе «Первоначала философии», в которой он говорил не о бесконечном, а о неопределенном. Он признавал существование бесконечно большого, заявляя, что число звезд на небе не определено, и существование бесконечно малого, говоря, что материя бесконечно делима. Эта подмена понятий была умышленной, и Декарт оправдывал ее тем, что слово «бесконечность» должно использоваться только применительно к Богу. Ученый принимал возможность того, что нечто бесконечное может иметь предел, недостижимый для нас. Таким образом, по мнению Декарта, невозможность существования актуальной бесконечности вызвана особенностями человеческой природы со всеми сопутствующими ограничениями, что не помешало ученому согласиться с существованием потенциальной бесконечности, так как, по его мнению, нельзя размышлять о конечном, если не существует бесконечного. «Невозможно, чтобы моя природа была такой, какая она есть, то есть конечной и содержащей представления о бесконечности, если бы бесконечности не существовало. Идея о Боге подобна отпечатку, который мастер ставит на своей работе, и ни в коей мере не требуется, чтобы этот отпечаток был чем-то, не принадлежащим работе мастера», — заключает Декарт, считавший наши представления о бесконечности врожденными.

* * *

ОПАСНЫЕ ЧАСТНЫЕ УРОКИ

В 1649 году королева Кристина пригласила Декарта в Швецию: она хотела учиться у него философии. Декарт воспользовался возможностью покинуть среду, где философские споры с голландскими протестантами постепенно становились все более и более ожесточенными.

По легенде, королева любила прохладу, и аудиенции обычно проходили в залах с открытыми окнами, из-за чего длились очень недолго. Декарт счел себя обязанным давать королеве уроки в таких же условиях. Кроме того, по привычке он начинал занятия очень рано: экипаж забирал его в половине пятого утра, занятия начинались спустя полчаса. Пять месяцев спустя Декарт заболел пневмонией и 11 февраля 1650 года умер.

Фрагмент картины «Диспут королевы Кристины и Декарта» французского художника  Пьера-Луи Дюмениля . Версаль.