Когда люди открывают новые земли, которые предстоит нанести на карты и описать в книгах, они платят за это свою цену, ведь ничего не дается даром. Некоторые благодаря своим открытиям обретают славу и известность, а другие умирают в абсолютном забвении, так и не узнав, какую важную роль они сыграли.

Детство

Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге 3 марта 1845 года. Его отец, ГеоргВольдемар Кантор, датчанин по происхождению, переехал в Санкт-Петербург еще ребенком. Во взрослые годы он основал процветающее предприятие по торговле импортными тканями. Несколько лет спустя он оставил дело и стал биржевым маклером. Георг-Вольдемар Кантор, глубоко религиозный человек, заработал значительное состояние благодаря терпению, знаниям и самоотречению. Эти же качества он прививал детям, которых воспитывал в духе лютеранской морали. Его женой стала Марианна Бойм, католичка русского происхождения, дочь дирижера в оркестре Санкт-Петербургской оперы. Георг-Вольдемар Кантор также происходил из семьи с крепкими музыкальными традициями, поэтому неудивительно, что они с женой отводили важное место обучению детей музыке.

Георг Кантор был старшим из четырех детей. В ранние годы он обучался на дому, а в 1856 году поступил в начальную школу в Санкт-Петербурге. Детство в России он всегда называл самым счастливым периодом в жизни.

В 1856 году, после перенесенного воспаления легких, отец Кантора был вынужден оставить Россию с ее суровым климатом и переехать с семьей в Германию.

Ненадолго остановившись в Висбадене, семья в итоге обосновалась во Франкфурте. В 1860 году Георг окончил реальное училище в Дармштадте — небольшом городке близ Франкфурта. В это время он уже проявлял исключительные способности к математике, особенно к тригонометрии. Однако его отец не представлял, какую работу в будущем сможет найти математик, поэтому предложил сыну изучить инженерное дело. Кантор, как всегда, последовал совету отца и в 15 лет поступил в училище в Висбадене.

Георг Кантор , создатель теории множеств, считается одним из наиболее выдающихся математиков в истории.

 Отец  часто  писал  Кантору,  стремясь  воспитать  в  сыне  моральную  твердость,  основанную  на  религиозных  принципах.  Среди  переписки  очень  выделяется  письмо от  25  мая  1862  года,  в  котором  он,  помимо  прочего,  пишет:

 «[...]  Часто  наиболее  многообещающие  личности  сдаются,  столкнувшись с  незначительными  трудностями,  возникающими  при  решении  практических вопросов.  Они  оказываются  абсолютно  сломленными  и  в  лучшем  случае  переживают  серьезное  потрясение...  Поверь  мне,  дорогой  сын:  твоим  самым близким,  верным  и  опытным  другом,  который  должен  жить  в  тебе  и  укреплять  твое  сердце,  должен  быть  дух  истинной  веры...  Чтобы  предупредить все  возможные  проблемы  и  трудности,  которые  неизбежно  возникнут  по  причине  зависти  и  злословия  тайных  и  явных  недоброжелателей,  вызванных стремлением  к  успеху  в  нашем  деле  или  торговле,  чтобы  успешно  справиться с  ними,  тебе  прежде  всего  потребуется  обрести  как  можно  больше  знаний и  умений...  Закончу  письмо  такими  словами:  твой  отец,  вернее  твои  родители и  все  остальные  члены  нашей  семьи  и  в  Германии,  и  в  России,  и  в  Дании  смотрят  на  тебя  как  на  старшего  сына  и  ожидают,  что  твоя  звезда  ярко  засияет на  небосводе  науки.  Да  дарует  тебе  Господь  здоровья,  сил,  твердости  характера  и  да  пребудет  с  тобой  его  благословение.  Неизменно  следуй  Его  путем.

Аминь!»

 В  этом  письме  Георг-Вольдемар  Кантор  во  многом  предугадал  дальнейший  жизненный  путь  сына.  Вне  сомнений,  он  был  достаточно  умным  человеком  и  понимал, что  его  увлеченный  математикой  сын  отличается  беспокойной  и  творческой  натурой.

Отец  хотел  подготовить  юношу  к  возможным  трудностям,  с  которыми  тому  предстояло  столкнуться.  И  в  том  же  году  он  разрешает  сыну  начать  заниматься  математикой.  В  ответ  будущий  ученый  с  благодарностью  пишет:

 «Дорогой  отец,  представьте  себе,  с  каким  удовольствием  я  прочел  ваше  письмо.  Оно  определило  мое  будущее...  Теперь  я  счастлив,  поскольку  вижу,  что вам  придется  по  душе,  если  я  последую  своему  желанию.  Ожидаю,  что  вы, дорогой  отец,  найдете  удовольствие  в  моем  поведении,  так  как  моя  душа  и  все мое  существо  живет  в  моем  призвании.  То,  что  хочет  совершить  человек и  к  чему  его  толкает  его  внутреннее  стремление,  обязательно  исполнится».

 Кантор,  как  и  всякий  юноша,  которому  семейство  разрешило  заниматься  любимым  делом,  чувствовал  по  отношению  к  родным  глубокую  благодарность.  Некоторые  биографы  сходятся  на  том,  что  безоговорочное  подчинение  Кантора  отцу  стало одной  из  важнейших  причин,  по  которой  ученый  всегда  очень  неуверенно  чувствовал  себя  в  университетских  кругах.

 В  1862  году  он  начал  изучать  математику,  философию  и  физику  в  университете Цюриха,  однако  его  обучение  было  недолгим:  после  смерти  отца  в  июне  1863  года Кантор  перевелся  в  Берлинский  университет.  Интересно,  что  после  этого  он  ни  разу не  упоминал  об  отце.

 До  начала  XIX  века  центром  математики  была  Франция,  однако  в  годы  юношества  Кантора  она  уступила  место  Германии.  Учителями  Кантора  были  Кронекер, Куммер  и  Вейерштрасс.  Кронекер,  обучивший  его  азам  теории  чисел,  впоследствии стал  и  самым  суровым  критиком  идей  ученого,  но  наибольшее  влияние  на  Кантора оказал  Вейерштрасс.

 Большинство  работ  Кантора,  изданных  в  тот  период,  были  посвящены  арифметике  и  алгебре.  Летом  1866  года  ученый  вошел  в  математические  круги  Гёттингенского  университета  —  одного  из  престижнейших  центров  математики  в  Европе.

По  возвращении  в  Берлин  Кантор  стал  членом  группы  молодых  математиков,  которые  каждую  неделю  собирались  в  баре,  чтобы  поговорить  о  своей  работе  в  неформальной  обстановке.  В  1867  году  Кантор  защитил  докторскую  диссертацию,  в  которой  подробно  проанализировал  «Арифметические  исследования»  Гаусса.

Во  введении  к  его  работе  содержится  фраза,  выражающая  неспокойный  дух  человека,  который  в  будущем  стал  одним  из  самых  заметных  математиков  в  истории науки:  «В  математике  искусство  ставить  задачи  намного  важнее,  чем  искусство решать  их».

 Защита  докторской  диссертации  позволила  Кантору  занять  должность  приват-доцента  в  университете  Галле.  Жалование  ученого  напрямую  зависело  от  числа  студентов,  посещавших  его  занятия,  но  Галле  был  небольшим  городом  близ  Лейпцига, и  университет  здесь  был  гораздо  менее  престижным,  чем  Берлинский  или  Гёттингенский.  Кантор  понимал  это,  но  никогда  не  пытался  покинуть  Галле  и  проработал там  до  конца  жизни.

 В  1873  году  ученый  впервые  предположил  возможность  существования  разных видов  бесконечности.  Он  чувствовал,  что  между  множеством  натуральных  чисел и  множеством  вещественных  чисел  могут  существовать  не  только  качественные, но  и  количественные  различия.  Качественные  различия  были  ясны:  множество  натуральных  чисел  является  счетным,  а  множество  вещественных  чисел  —  нет.  Если бы  кто-то  смог  доказать,  что  бесконечное  множество  вещественных  чисел  больше, чем  бесконечное  множество  натуральных,  это  стало  бы  настоящим  потрясением  для математики  в  целом.  Первое  доказательство,  сформулированное  Кантором,  было опубликовано  в  1874  году  в  журнале  Крелле.  Следует  учитывать,  что  в  то  время о  множествах  нельзя  было  говорить  так  свободно,  как  мы  это  делаем  сейчас.  Первая работа  Кантора  на  эту  тему  вышла  в  1878  году  под  названием  «Вклад  в  теорию  множеств»  и  также  была  опубликована  в  журнале  Крелле.  Статья  содержала  абсолютно  неожиданные  результаты,  касавшиеся  алгебраических  чисел.  В  ней  шли  первые наброски  идей  о  трансфинитных  числах,  и  эта  работа  ознаменовала  начало  нового этапа  в  математике.  Однако  прежде  чем  идеи  Кантора  получили  признание  в  научных  кругах  и  он  смог  занять  должность,  позволявшую  продолжить  работу,  ему  пришлось  преодолеть  тернистый  путь:  некоторые  математики,  в  том  числе  его  бывший преподаватель  Кронекер,  активно  выступили  против  Кантора  и  препятствовали  его карьере,  что  было  для  ученого  очень  серьезным  потрясением.

 Университет  Галле,  в  котором  Кантор  преподавал  начиная  с  1872  года. Ученый  прожил  в  этом  маленьком  немецком  городе  до  самой  смерти.

Научные  журналы

 В  1826  году  Август  Леопольд  Крелле  (1780—1855)  основал  Journal  fur  die  reine  und angewandte  Mathematik  («Журнал  о  чистой  и  прикладной  математике»).  Его  название  указывало  цель,  к  которой  стремился  основатель:  восстановить  единство  математики,  которая,  в  отличие  от  Средних  веков  или  эпохи  Возрождения,  в  то  время была  четко  разделена  на  два  самостоятельных  направления  —  чистую  и  прикладную.  Впрочем,  математические  журналы  —  лишь  один  из  видов  научных  журналов.

 Первый  научный  журнал  в  истории  был  основан  под  эгидой  Лондонского  королевского  общества  и  ознаменовал  неизбежное:  распространение  научных  публикаций  и  их  характер  отныне  определяли  научные  общества.  Если  говорить  о  первых изданиях,  посвященных  исключительно  математике,  в  частности  об  «Анналах  математики»  Жергонна  или  журнале  Крелле,  то  следует  отметить  несколько  интересных  моментов.  Во-первых,  объем  публиковавшихся  в  них  работ  был  меньше,  чем в  сборниках  научных  трудов.  Во-вторых,  в  журналах  не  издавались  старые  тексты.

Обязательным  условием  публикации  были  новизна  и  оригинальность  работы.  Еще одним  интересным  моментом  стало  то,  что  в  этих  журналах  впервые  стали  выпускаться  совместные  работы,  а  не  труды,  выполненные  исключительно  силами  одного ученого,  как  было  до  сих  пор.

* * *

  СИЦИЛИЙСКАЯ  МАТЕМАТИКА

 Любопытно,  что  одно  из  первых  математических  сообществ  появилось  в  городе  Палермо,  и  центром  его стал  журнал  Rendiconti  del  Circolo  Matematico  di  Palermo, основанный  итальянским  математиком  Джованни Баттистой  Гуччиа   (1855-1914).  Обосновывая  авторитетность  нового  математического  общества,  Гуччиа отмечал,  что  оно  появилось  в  стране  с  «выдающейся математической  родословной».  Гуччиа  также  учредил несколько  премий,  и  это  привело  к  тому,  что  свои  работы  в  его  журнал  стали  отправлять  выдающиеся  математики.  За  короткое  время  журнал  неожиданно  получил международное  признание,  заняв  одно  из  первых  мест в  списках  международных  математических  сообществ.

Джованни  Баттиста  Гуччиа

* * * 

Основной  целью  математических  сообществ  был  максимальный  охват  территории,  регулярное  издание  математических  журналов  и  предоставление  необходимых для  их  распространения  средств.  Однако  время  показало,  что  без  поддержки  официальных  учреждений  решить  эти  задачи  невозможно.  Научные  сообщества  неизбежно  попадали  под  определенное  влияние  общества  и  политических  элит,  так  как они  стали  частью  культурной  идентичности  государств.  С  одной  стороны,  правительственная  поддержка  научных  сообществ  очень  важна,  с  другой  —  международное  научное  сотрудничество  могло  оказаться  под  угрозой  по  политическим  причинам.  Кроме  того,  органы,  контролирующие  допуск  работ  в  печать,  могли  быть не  так  объективны,  как  этого  хотелось  ученым.  Время  показало,  что  математические сообщества  препятствуют  публикации  некоторых  новаторских  работ,  которые  нарушают  установленные  каноны,  не  всегда  имеющие  отношение  непосредственно  к  науке.  Показательно,  что  две  трети  всех  статей  по  математике,  вышедших  в  1900  году, были  опубликованы  не  в  математических  журналах.

 Среди  первых  научных  сообществ,  которые  начали  появляться  уже  в  середине  XIX  века,  наиболее  важными  (в  порядке  появления)  были  Московское  математическое  общество  (1864),  Лондонское  математическое  общество  (1865), Французское  математическое  общество  (1872),  математический  кружок  Палермо (1884),  Американское  математическое  общество  (1888),  Немецкое  математическое  общество  (1890).

  * * *

НЕОСМОТРИТЕЛЬНЫЙ  МАТЕМАТИК

 Научный  журнал,  созданный  Генри  Ольденбургом   в  1665  году,  издается  до  наших  дней.  Его издание  прерывалось  только  дважды:  в  первый  раз  -  из-за  эпидемии  чумы  в  Лондоне,  во  второй  раз  -  из-за  болезни  Ольденбурга,  все  свое  время  посвящавшего  работе.  Его  энтузиазм был  так  велик,  что  каждую  неделю  он  писал  для  журнала  пять  колонок.  Ольденбург  считал,  что наука  не  знает  границ,  поэтому  продолжал  публиковать  свои  статьи  даже  во  время  войны. Но  в  те  времена  это  было  очень  неосмотрительно,  и  Ольденбург  на  три  месяца  был  заключен в  Лондонский  Тауэр.

 Противоречивость  бесконечности

 Кронекер  как-то  сказал:  «Бог  создал  первые  десять  чисел,  все  остальное  создал человек»,  выразив  тем  самым,  сколь  велика  заслуга  математики.  По  его  мнению,  все в  математике  должно  было  строиться  из  известных,  четко  определенных  элементов и  за  конечное  число  этапов.  Иными  словами,  Кронекер  не  хотел  ничего  слышать об  актуальной  бесконечности.  Как-то  раз  он  заявил,  что  от  бесконечности  следует отказаться  как  от  «...пагубной  бессмыслицы,  унаследованной  от  древней  философии  и  запутанной  теологии.  Без  нее  мы  можем  достичь  всего,  чего  захотим...»

 Кронекер  был  явным  последователем  финитизма,  а  также  операционизма,  в  котором  не  признаются  никакие  рассуждения,  не  подкрепленные  четко  определенными  математическими  операциями.  Он  заявил,  очевидно,  имея  в  виду  труды  Кантора, что  математике  необходим  контроль  со  стороны  признанных  ученых,  так  как  «богатый  практический  опыт  решения  полезных  и  интересных  задач  даст  математике новый  смысл  и  новый  импульс.  Однобокие  и  интроспективные  умозрительные  заключения  не  дают  плодов».

 Следует  учитывать,  что  Кронекер  был  одним  из  редакторов  журнала  Крелле, поэтому  неудивительно,  что  в  1877  году  он  отклонил  все  рукописи,  переданные Кантором  для  публикации  в  этом  журнале.  Расхождение  во  взглядах  переросло в  личную  неприязнь,  и  Кронекер  публично  назвал  Кантора  ренегатом,  шарлатаном и  совратителем  учащейся  молодежи.

 Не  будем  забывать,  что  Кантор  был  лучшим  учеником  Кронекера,  естественно, что  он  очень  болезненно  переживал  подобное  отношение  учителя  и  получил  глубокую  психологическую  травму,  от  которой  ему  так  и  не  удалось  оправиться.

 Дедекинд

 Юлиус  Вильгельм  Рихард  Дедекинд  (1831—1916),  который  родился  в  Брауншвейге  и  был  четвертым  ребенком  в  зажиточной  семье,  большую  часть  жизни  посвятил математическим  исследованиям.  Он  был  алгебраистом  и  стремился  сформировать фундаментальную  основу  анализа,  для  чего  в  качестве  базы  выбрал  множества и  отображения  множеств.

 Вейерштрасс,  Кантор  и  Дедекинд  независимо  друг  от  друга  работали  над  определением  вещественных  чисел.  Работы  Кантора  и  Дедекинда  стали  классическими   и  вошли  в  учебники.  Труды  Кантора,  в  основе  которых  лежала  теория  множеств, были  наиболее  близки  Дедекинду,  особенно  потому,  что  оба  они  работали  над  большой  темой  непрерывности  пространства,  носившей  больше  философский,  нежели математический  характер.  И  Кантор,  и  Дедекинд  утверждали,  что  доказать  непрерывность  пространства  абсолютно  невозможно.  Максимум,  что  можно  сделать,  — это  принять  гипотезу  о  непрерывности  пространства  в  качестве  постулата.

 На  этой  памятной  марке,  выпущенной  в  честь  Дедекинда , справа  изображена  формула  разложения  числа на  простые  множители.

 В  1872  году,  находясь  на  отдыхе  в  Швейцарии,  Кантор  познакомился  с  Дедекиндом  —  одним  из  немногих  математиков  того  времени,  если  не  сказать  единственным,  с  которым  он  поддерживал  близкие  отношения,  основанные  на  взаимном доверии  и  уважении.  Рождение  теории  множеств  можно  четко  проследить,  если  ознакомиться  с  их  перепиской  в  1874—1884  годах.  Любопытно,  что  в  большинстве наиболее  важных  статей  Дедекинд  почти  не  использует  понятие  «множество»:  он считал,  что  Кантор  уже  совершил  наиболее  важные  открытия  в  этой  области,  поэтому  больше  внимания  уделял  понятию  отображения.

В  1881  году  на  кафедре  математики  Университета  Галле  освободилась  должность преподавателя,  и  Кантор  предложил  кандидатуру  Дедекинда,  написав  в  Министерство  образования  письмо,  в  котором  подчеркнул  положительные  качества  своего друга.  Однако,  несмотря  на  настойчивые  просьбы  Кантора,  Дедекинд  отказался от  этой  должности  —  у  него  совершенно  отсутствовали  какие-либо  амбиции  и  желание  занять  высокое  место  в  научных  кругах.  В  течение  тридцати  лет  Дедекинд  преподавал  в  Карловском  коллегиуме,  где  работали  его  отец  и  дед.  К  тому  же  чиновники  министерства  отдали  должность  преподавателю,  рекомендованному  Кронекером.

 В  результате  отношения  между  Кантором  и  Дедекиндом  остыли,  и  переписка  между ними  прекратилась  на  семнадцать  лет.  Лишь  в  1899  году  по  инициативе  Кантора ученые  вновь  начали  общаться.

  Миттаг-Леффлер

 В  то  самое  время,  когда  отношения  между Кантором  и  Дедекиндом  прекратились, на  горизонте  появилась  новая  личность,  которой  суждено  было  получить  признание в  научном  мире  и  поддержать  Кантора в  один  из  тяжелейших  периодов  его  жизни.

 Этим  человеком  был  Магнус  Гёста  Миттаг-Леффлер  (1846—1927)  —  математик шведского  происхождения,  известный не  собственными  открытиями,  а  прежде  всего  благодаря  распространению  трудов  других  великих  математиков.  Брак  с  богатой наследницей  позволил  ему  найти  необходимые  средства  для  учреждения  в  1882  году  нового  научного  журнала  Acta  Mathematica, который  завоевал  значительный  авторитет в  международном  научном  сообществе.  Кантор  и  Миттаг-Леффлер  быстро  нашли общий  язык,  и  последний  перевел  большинство  статей,  переданных  ему  Кантором.

 Магнус  Гёста  Миттаг-Леффлер  на  фотографии  1916  года.

Переводом  трудов  Кантора  на  французский  и  редактированием  занялась  группа  математиков  во  главе  с  Шарлем  Эрмитом,  который,  как  мы  отмечали  в  главе  5,  разработал  доказательство  трансцендентности  числа  е,  впоследствии  улучшенное  самим  Кантором.  Публикации  в  Acta  Mathematica  сыграли  большую  роль  в  поддержке  новой  теории  трансфинитных  чисел,  однако  инцидент,  связанный  с  публикацией «Основ  теории  отношений  порядка»,  свел  все  усилия  Кантора  на  нет.  Кантор в  то  время  безуспешно  пытался  найти  доказательство  континуум-гипотезы,  но  ему не  удавалось  достичь  сколько-нибудь  значимых  результатов.  В  упомянутой  выше работе  был  дан  новый  толчок  теории  множеств,  что,  как  считал  Кантор,  должно было  упростить  доказательство.  Однако  Миттаг-Леффлер  отложил  публикацию статьи  более  чем  на  год,  ссылаясь  на  то,  что  в  ней  не  только  отсутствовало  доказательство  континуум-гипотезы,  но  и  она  непременно  вызвала  бы  негативную  реакцию  научного  сообщества:  в  работе  использовалось  понятие  трансфинитных  чисел и  новый  математический  язык,  а  также  содержались  далекие  от  математики  философские  рассуждения.  Кантор  счел  этот  инцидент,  по  его  словам,  «настоящей  катастрофой»  и  для  математики,  и  для  него  лично.  Он  усмотрел  в  этом  влияние  «черной руки»  —  так  ученый  называл  группу  берлинских  математиков  (в  их  числе  были Куммер,  Вейерштрасс  и  Кронекер),  отвергавших  его  теории.  Как  мы  уже  отмечали, с  Кронекером  Кантор  вел  крайне  ожесточенную  полемику.

 Эксцентричность  Кантора

 В  марте  1874  года,  во  время  одной  из  частых  поездок  в  Берлин,  Кантор  познакомился  с  Валли  Гугтман,  подругой  своей  сестры  Софи,  и  в  августе  того  же  года  женился  на  ней.  Валли  была  увлекающейся  натурой,  она  любила  музыку,  и  Кантор всегда  относился  к  ней  с  величайшей  нежностью.  Тем  не  менее,  осознавая  свои  слабости,  он  еще  до  свадьбы  предупредил  невесту,  что  его  «без  явных  на  то  причин...

могут  сломить  жизненные  тяготы».  Как  бы  то  ни  было,  этот  брак  вполне  можно назвать  счастливым.  У  Кантора  родилось  четыре  сына  и  две  дочери.  Унаследовав достаточную  сумму,  чтобы  не  беспокоиться  о  своем  финансовом  положении,  ученый решил  построить  дом  в  Галле.  На  тот  момент  он  оставил  должность  в  Университете Галле  и  отказался  от  попыток  получить  работу  в  Берлинском  университете.

 К  1885  году  Кантор  устал  от  безрезультатных  попыток  доказать  континуум-гипотезу.  Он  был  глубоко  разочарован  тем,  что  представители  математического  сообщества  избегали  его,  и  отодвинул  занятия  математикой  на  второй  план.  В  1889  году ученый  посвятил  себя  попыткам  доказать,  что  произведения  Шекспира  (1564—1616)  в  действительности  написаны  Фрэнсисом  Бэконом  (1561—1626),  противоречивым  английским  философом  и  политиком,  который  попытался  претворить в  жизнь  важную  научную  реформу.  В  1898  году  Кантор  даже  прочел  курс  лекций о  жизни  и  творчестве  Фрэнсиса  Бэкона  —  ив  том  же  году  был  исключен  из  Шекспировского  общества.  Исследователь  собрал  объемную  библиотеку  английских  авторов  XVI—XVII  веков,  вложив  в  нее  часть  своего  состояния,  а  также  посвятил несколько  лет  философии  и  написал  несколько  философских  работ.  Интересовала его  главным  образом  метафизика,  особенно  темы,  имеющие  отношение  к  актуальной бесконечности.

 16  декабря  1899  года  Кантор  вернулся  из  Лейпцига,  где  выступал  на  конференции  с  докладом  о  Фрэнсисе  Бэконе,  и  узнал  о  смерти  своего  сына  Рудольфа:  13-летний  музыкально  одаренный  мальчик  отличался  слабым  здоровьем.  После  смерти сына  Кантор  неожиданно  заявил,  что  сожалеет  о  том,  что  оставил  музыку  и  занялся математикой,  и  в  результате  эта  «вздорная  идея»  помешала  ему  посвятить  себя  истинному  призванию.

 Безумие

 О  душевной  болезни  Кантора,  от  которой  он  страдал  в  последние  годы  жизни,  написано  немало  книг  и  высказано  множество  предположений.  История  болезни  ученого  не  сохранилась,  поэтому  сложно  сказать,  каким  был  настоящий  диагноз.  Все указывает  на  то,  что  Кантор  страдал  от  заболевания,  которое  сегодня  именуют  биполярным  аффективным  расстройством  —  болезнью  эндогенного  характера,  при которой  фазы  эйфории  сменяются  депрессией.  Поэтому  версия,  согласно  которой причиной  болезни  Кантора  стали  нападки  со  стороны  его  коллег,  в  особенности Кронекера,  выглядит  неубедительно.

 В  последние  двадцать  лет  жизни  исследователь  периодически  по  собственному желанию  лечился  в  психиатрических  клиниках.  Это  не  мешало  ему  продолжать  работу  и  в  промежутках  между  лечением  публиковать  свои  исследования.  В  последний раз  он  был  помещен  в  клинику  в  1917  году.  В  то  время  Германия  была  близка  к  поражению  в  Первой  мировой  войне,  экономика  страны  пришла  в  упадок,  и  без  того  тяжелые  условия  пребывания  в  психиатрических  больницах  еще  больше  ухудшились.

Это  единственный  раз,  когда  Кантор  был  помещен  в  больницу  против  своей  воли.

В  письмах  он  жаловался  на  холод,  одиночество  и  скудное  питание.  Хотя  к  этому  моменту  его  теории  уже  получили  широкое  признание  научного  сообщества,  6  января 1918  года  Кантор  умер  в  ужасных  условиях  и  в  полном  одиночестве.

* * *

 ТРАГИЧЕСКАЯ  ГИБЕЛЬ

 Помимо  смерти  сына,  большим  потрясением  для  ученого  стала  гибель  его  младшего  брата Людвига.  Братья  были  очень  близки  и  вместе  учились  в  начальной  школе,  правда  с  разными успехами.  Людвиг,  не  слишком  склонный  к  обучению,  решил  заняться  торговлей,  в  то  время  как Георг  поступил  в  университет.  В  1863  году  Людвиг  эмигрировал  в  США,  и  информация  об  этом периоде  его  жизни  практически  не  сохранилась.  Достоверно  известно  лишь  то,  что  в  1870  году он  умер  в  психиатрической  больнице,  куда  был  помещен  с  жалобами  на  глубокую  депрессию. Было  высказано  немало  предположений  о  том,  что  оба  брата  страдали  от  наследственного психического  заболевания.

* * *

 Теории  Кантора  о  бесконечности  входят  в  число  самых  революционных  теорий в  истории  математики  за  последние  2500  лет,  а  многие  историки  науки  считают  теорию  множеств  Кантора  одним  из  наиболее  выдающихся  достижений  человеческой мысли.

 Была  ли  болезнь  Кантора  наследственной  или  она  возникла  под  влиянием  обстоятельств,  не  столь  важно.  Возможно,  что  свою  роль  в  равной  степени  сыграли  оба фактора.  Как  бы  то  ни  было,  Кантор,  подобно  всем  гениям,  ясно  видевшим  то,  что для  остальных  имело  лишь  бесформенные  очертания,  страдал  от  одиночества.  В  одной  из  своих  философских  статей,  опубликованной  в  1883  году,  он  написал  слова, которые  можно  в  равной  степени  расценивать  и  как  песнь  свободе,  и  как  крик  отчаяния  в  адрес  общества,  задушенного  собственным  догматизмом:

 «Математика  в  своем  развитии  совершенно  свободна  и  связана  только  одним условием:  ее  понятия  должны  быть  непротиворечивы  и  согласованы  с  уже имеющимися  понятиями  посредством  четких  определений.  Сущность  математики  —  свобода».

 Кантор  предпочитал  использовать  понятие  «свободная  математика»  вместо  более  общего  «чистая  математика».

 Он  умер  в  одиночестве  в  больнице,  но  его  имя  никогда  не  будет  забыто.  Лучшая эпитафия  Кантору,  несомненно,  принадлежит  Гильберту,  который  сказал:  «Никто не  может  изгнать  нас  из  рая,  который  Кантор  создал  для  нас».

* * *

МНОЖЕСТВА  И  НАЦИЗМ

 Математическое  сообщество  решило  отдать  дань  уважения  труду  Кантора,  для  чего  к  его  70-летнему  юбилею  были  организованы  торжества,  однако  Первая  мировая  война  помешала  реализовать  эти  планы.  Тогда  группа  немецких  математиков  собралась  в  его  доме,  чтобы  вручить  ученому  в  знак  признания  мраморный  бюст,  который  в  настоящее  время  хранится  в  Университете Галле.  В  период  правления  Гитлера  этот  бюст  был  убран,  так  как  теория  множеств  считалась «еврейской  математикой».

Бесконечность  в  XXI  веке

 До  появления  современной  физики  бесконечность  упоминалась  только  в  философских  и  богословских  дискуссиях.  В  математике  она  присутствовала,  можно  сказать, естественным  образом,  так  как,  по  словам  Кронекера,  «нам  дана  свыше»  бесконечная  последовательность  натуральных  чисел.  Различия  между  актуальной  и  потенциальной  бесконечностью  затронули  и  геометрию,  в  которой  использовалось  понятие бесконечной  прямой.  Однако  полноправным  элементом  математики  бесконечность стала  только  с  появлением  математического  анализа,  анализа  бесконечно  малых.

Как  говорил  Гильберт,  «математический  анализ  можно  в  известном  смысле  назвать единой  симфонией  бесконечного».

 Однако  частью  нашей  повседневной  реальности  бесконечность  стала  лишь  благодаря  открытиям  в  физике  и  астрономии.  До  начала  XX  века  астрономы  считали, что  Вселенная  включает  Солнце,  планеты  и  далекие  звезды.  Спустя  некоторое  время  они  открыли,  что  Солнечная  система  —  часть  галактики,  состоящей  из  нескольких  миллионов  солнечных  систем.  Постепенно  пространство  стало  считаться  достаточно  большим,  чтобы  вместить  несколько  миллиардов  галактик.  Но  почему  на  этом следовало  остановиться?  Кто  сказал,  что  в  космосе  не  будут  обнаружены  новые структуры  большего  размера,  что  позволит  считать,  что  размеры  Вселенной  намного  больше?  Бесконечна  ли  Вселенная?  Ответ  на  этот  вопрос  до  сих  пор  не  найден  и, возможно,  не  будет  найден  никогда.

 С  другой  стороны,  чем  больше  ученые  изучают  субатомные  частицы,  тем  более важную  роль  в  физике  начинают  играть  бесконечно  малые  величины.  Атом  как  таковой  перестал  быть  неделимым,  каким  его  считали  древние  греки,  и  стал  подобен Солнечной  системе  в  миниатюре.  Однако  физики  не  остановились  на  этом:  были открыты  частицы,  содержащиеся  внутри  атомного  ядра,  и  их  размеры  составляют менее  10-15  метра.  Пока  что  можно  вести  речь  о  невообразимо  малых,  но  не  бесконечно  малых  величинах.  Тем  не  менее  в  одной  из  физических  теорий,  которую оказалось  труднее  всего  подтвердить  экспериментально,  а  именно  в  квантовой  электродинамике,  изучаются  элементарные  частицы,  в  частности  электроны  и  кварки, которые  с  точки  зрения  математики  рассматриваются  как  точки,  следовательно,  они подобны  точкам  вещественной  прямой  и  ведут  себя  похожим  образом.

 Возможно,  ученые  когда-нибудь  докажут,  что  в  природе  не  существует  и  никогда  не  существовало  различий  между  потенциальной  и  актуальной  бесконечностью и  что  противоречие  между  ними  лишь  мнимое.