Этот случай произошел в 1920-е годы в Англии, в Кембридже. Несколько преподавателей, их супруги и гости по случаю прекрасной погоды пили чай на открытой террасе. Попробовав чай, одна из присутствующих дам заметила, что вкус меняется, если налить молоко в чай, а не наоборот.

Кто-то осторожно возразил, что это маловероятно. Начался спор, в котором стороны прибегали ко всевозможным аргументам из физики и химии: состав напитка не меняется в зависимости от того, что было налито в чашку сначала, чай или молоко; частицы растворялись абсолютно одинаково; перепад температур исключался и прочие многочисленные доводы. Спорящие пришли к выводу: определить, что было налито в чашку сначала, невозможно. Или же… все-таки возможно?

Один из присутствующих, человек лет сорока по имени Рональд Эйлмер Фишер, предложил развеять сомнения с помощью «передовой» методики — проведения эксперимента. Очевидно, что опыт нельзя было провести всего с двумя чашками, так как в этом случае вероятность угадывания равнялась 1/2. В этом случае нельзя определить, действительно ли участник эксперимента смог отличить по вкусу один напиток от другого или же попросту угадал. Однако если бы перед участником эксперимента стояло по 4 чашки с каждым напитком, вероятность угадывания равнялась бы всего 1 к 70 (так как существует 70 способов выбрать 4 чашки из 8). Если бы в этих условиях испытуемый смог точно определить, что было налито в каждую чашку сначала, чай или молоко, это означало бы, что способ приготовления чая действительно можно определить на вкус с небольшой, притом известной, погрешностью.

Фишер в те годы уже был известным ученым. В 1935 году он опубликовал ставший классическим труд The Design of Experiments о стратегиях выбора экспериментальных данных. Во второй главе его книги некоторые ключевые понятия проиллюстрированы именно этим примером с чашками чая.

Рассуждения дегустатора чая

Сначала предположим, что дегустатор чая не может различить, что было добавлено в чашку сначала, чай или молоко. Это предположение совершенно логично. Опровергнуть первоначальную гипотезу могут только результаты качественно продуманного и проведенного эксперимента. Исходная гипотеза будет опровергнута, если результаты эксперимента окажутся маловероятными при допущении, что дегустатор действительно не может различить чашки. Какие именно результаты окажутся «маловероятными», определяем мы сами: менее 5 % случаев, менее 1 % случаев или любое другое число.

Допустим, мы готовы поверить, что дегустатор чая действительно может различать чашки, только тогда, когда вероятность случайного угадывания не будет превышать 5 %. Следовательно, эксперимент, в котором нужно выбрать 3 чашки из 6, будет некорректным, так как это можно сделать 20 различными способами, и вероятность случайного угадывания составит ровно 1 к 20, то есть 5 %. Это нетрудно проверить: первую чашку можно выбрать шестью способами, вторую — пятью, третью — четырьмя, следовательно, 3 чашки можно выбрать 6·5·4 = 120 способами. Однако здесь мы учитываем порядок выбора, то есть предполагаем, что чашки подписаны буквами от А до F и считаем варианты ADF и FDA различными. Чтобы учесть повторы, нужно поделить число вариантов на число способов, которыми можно упорядочить 3 чашки (3·2·1 = 6). Следовательно, выбрать 3 чашки из 6 можно 120/6 = 20 способами. Если нужно правильно выбрать 4 чашки из 8, то число вариантов будет равняться (8·7·6,5)/(4·3·21) = 70. Так как выбрать случайным образом все 4 чашки, в которых был сначала налит чай, а затем — молоко, можно только одним способом, то вероятность угадывания равняется 1 к 70, то есть 1,4 %. Если участник эксперимента верно укажет на 3 чашки из 4, это не будет доказывать, что вкус чая будет отличаться: вероятность правильного выбора трех чашек случайным образом равна примерно 23 %.

Но не стоит тратить все силы на математические рассуждения. Также нужно уделить очень большое внимание деталям проведения эксперимента, отсутствию подсказок для испытуемого и другим нюансам. Фишер прямо указывает, что чашки в эксперименте должны располагаться случайным образом:

«Наш эксперимент состоит в том, что мы приготовим восемь чашек чая с молоком, четыре — одним способом, четыре — другим, после чего подадим чашки, расположенные в произвольном порядке, дегустатору, который вынесет свой вердикт. Порядок проведения эксперимента объясняется дегустатору заранее: он должен попробовать чай из восьми чашек в произвольном порядке (определенном с помощью игральных костей, рулетки, карт или просто с помощью случайно выбранных чисел). Задача дегустатора — разделить чашки на две группы по четыре в зависимости от того, что было налито в каждую чашку сначала — чай или молоко».

Каков же был результат эксперимента? Фишер не упоминает об этом в своей книге, но среди присутствующих находился профессор Хью Смит, который рассказал об этом случае Дэвиду Салсбергу, автору превосходной книги о бурном развитии статистики в XX веке. Книга называется The Lady Tasting Tea. В тексте подробно описывается этот эксперимент, который и дал название книге. По словам Хью Смита, леди действительно удалось точно указать все четыре чашки.

The Design of Experiments — классический труд, автор которого, Рональд Фишер , на примере дегустатора чая объясняет суть своего метода.

* * *

РОНАЛЬД ЭЙЛМЕР ФИШЕР : В НУЖНОЕ ВРЕМЯ В НУЖНОМ МЕСТЕ

Рональд Фишер родился в 1890 году. Он получил очень хорошее математическое образование и внес важный вклад в статистику и генетику. Хотя какого-либо официального рейтинга не существует, Рональд Фишер несомненно входит в число ученых, которые внесли наибольший вклад в развитие статистики в XX веке. Согласно некоторым источникам, он был болезненным ребенком, но отличался большой тягой к знаниям и очень интересовался астрономией. Также у него было очень плохое зрение, и врачи запретили ему читать при искусственном свете (не забывайте, что в те времена лампы отличались от современных). Это мешало ему заниматься, и чтобы Рональд не отставал от остальных, преподаватель обучал его математике, не используя ни бумаги, ни карандаша. Это способствовало развитию у Фишера великолепного геометрического мышления, что впоследствии позволило ему решать сложные задачи оригинальным геометрическим методом.

В возрасте 29 лет он вместе с женой, которой в то время было 20 лет и которая родила ему троих детей (обычаи того времени отличались от современных), переехал на старую ферму около опытной сельскохозяйственной станции Ротамстед к северу от Лондона. Владельцы станции, производители удобрений, заключили с ним контракт, желая, чтобы Фишер помог им упорядочить огромный объем данных, накопленный за 90 лет работы станции. Ученый показал, что при использованном способе сбора данных влияние дождей и погоды в целом нивелировало возможный эффект от применяемых удобрений. Говорить о влиянии отдельных факторов на основе имеющихся данных было нельзя. Однако Фишер не просто указал, что данные собирались неверно, но и объяснил, какие поправки следует внести. Написанная им книга The Design of Experiments полностью изменила представление о способах сбора экспериментальных данных и оказала огромное влияние на исследования в сельском хозяйстве и промышленности.

* * *

Вес, рост, коэффициент корреляции и его значение

Мы знаем, что рост и вес человека связаны и что высокие люди обычно весят больше, чем низкие (разумеется, существуют исключения, но мы говорим об общем правиле). Здесь речь не идет о строгой связи: нет математической формулы, с помощью которой можно вычислить вес человека, зная его рост. Тем не менее существует тенденция, определенная взаимосвязь.

На следующей диаграмме показана связь роста и веса в группе из 92 студентов университета (использовались данные, входящие в пакет статистических программ Minitab, о котором мы уже упоминали в главе 1).

Соотношение между весом и ростом в группе из 92 студентов.

Как вы охарактеризуете эту зависимость? Она «сильная», «заметная» или «слабая»? Как вы понимаете, в подобных ситуациях необходимо оценивать зависимость более точно. Для этого используется показатель, называемый коэффициент корреляции (иногда его называют коэффициентом корреляции Пирсона).

Формула для вычисления коэффициента корреляции несколько громоздка, но вывести ее нетрудно (не беспокойтесь, мы не будем выводить эту формулу). По сравнению с другими похожими показателями коэффициент корреляции обладает многими преимуществами: его значения всегда лежат в интервале от —1 до 1 и не зависят от единицы измерения исходных данных. В нашем случае коэффициент корреляции не изменится, если мы будем использовать сантиметры и килограммы вместо дюймов и фунтов (как в исходных примерах).

Если коэффициент корреляции равен 1, это означает, что между двумя переменными существует строгая зависимость. При увеличении значения одной переменной значение другой также увеличится. В этом случае между переменными действительно присутствует математическая зависимость, и зная значение одной переменной, можно точно вычислить значение другой. Однако в реальности подобная ситуация встречается крайне редко. Если коэффициент корреляции равен, например, 0,8, это означает наличие четкой взаимосвязи. В нашем примере коэффициент корреляции равен 0,785. Если он равен нулю, это указывает на отсутствие какой-либо взаимосвязи. Отрицательные значения означают то же, что и положительные, с единственной разницей: с ростом значения одной переменной значение другой будет не увеличиваться, а уменьшаться.

Расчет коэффициента корреляции с помощью  Excel .

Однако этот показатель имеет свои недостатки (ничто не совершенно!). Если взаимосвязь между переменными отсутствует, не следует ожидать, что коэффициент корреляции будет равен нулю. Это будет означать, что данные распределены абсолютно равномерно, что не встречается на практике. Коэффициент корреляции может быть примерно равным нулю, но что именно означает это «примерно равен»?

Кроме того, значение этого коэффициента зависит от объема исходных данных. Если объем исходных данных невелик, а значение коэффициента корреляции далеко от нуля, это не означает наличие корреляции. Если даны всего лишь два значения каждой переменной, то коэффициент корреляции всегда будет равен 1 или —1 вне зависимости от того, присутствует ли корреляция на самом деле.

На следующей диаграмме представлено 35 точек, коэффициент корреляции равен 0,494. Это значение достаточно далеко от нуля, чтобы можно было говорить о присутствии корреляции? Или же это расположение точек можно получить случайным образом и переменные никак не связаны между собой?

Существует ли взаимосвязь между этими переменными?

Чтобы определить, действительно ли полученный коэффициент корреляции свидетельствует о взаимосвязи (или, если говорить на языке статистики, является ли это значение статистически значимым), используем моделирование. Сгенерируем два множества случайных чисел по 35 чисел в каждом. Очевидно, что эти числа будут никак не связаны между собой, однако коэффициент корреляции между ними не будет строго равен нулю, а будет равняться, например, — 0,123. Если мы заново сформируем эти два множества случайным образом и повторим моделирование 10000 раз, то получим 10000 значений коэффициента корреляции между двумя совокупностями из 35 чисел, которые никак не связаны между собой. Чтобы рассчитать эти значения, используем небольшую программу. Результат ее работы представлен на следующей гистограмме. Вертикальной чертой обозначено значение коэффициента корреляции, полученное нами в предыдущем примере, равное 0,494.

Значения коэффициента корреляции для двух совокупностей из 35 не связанных между собой чисел.

Из гистограммы следует, что коэффициент корреляции действительно может принять полученное значение, если переменные не связаны между собой, но очевидно, что вероятность этого крайне мала. Анализ результатов моделирования показывает (на гистограмме это не заметно), что 12 значений больше 0,494, 9 — меньше —0,494. Это означает, что полученное нами значение (или большее) выпадает примерно два раза из 1000, если исходные переменные независимы.

Может ли быть так, что наш случай — именно тот, что выпадает два раза из 1000? Это неизвестно, но маловероятно. Разумнее всего полагать, что проанализированные нами переменные, соответствующие весу и росту 35 женщин в группе из 92 студентов, взаимосвязаны.

Схема рассуждений: проверка статистических гипотез

И в задаче, поставленной перед дегустатором чая, и в задаче о связи между переменными, которую мы только что рассмотрели, нужно ответить, по сути, на один и тот же вопрос: разумно ли считать, что дегустатор может различить вкус чая, приготовленного по-разному? Можно ли считать, что две переменные коррелируют? В обоих случаях, чтобы ответить на этот вопрос, нужно действовать по одной и той же схеме.

1. Нужно сформулировать исходную гипотезу. Чаще выбирается консервативная гипотеза: в задаче о дегустаторе чая мы предполагаем, что он не способен различить чай на вкус, а в задаче о корреляции — что переменные никак не связаны.

2. На основе доступных данных рассчитывается требуемая величина. Если данные отсутствуют или использовать их нельзя, нужно получить подходящие данные. В задаче о связи между переменными искомой величиной является коэффициент корреляции. В задаче о дегустаторе чая искомой величиной является число неверно указанных чашек во время эксперимента.

3. Если полученное значение находится в интервале, соответствующем исходной гипотезе, нет никаких оснований полагать, что исходная гипотеза ошибочна. Следовательно, мы будем по-прежнему ее придерживаться. Если полученное значение маловероятно, мы заменяем исходную гипотезу альтернативной (дегустатор может различить чай на вкус, переменные взаимосвязаны).

В учебниках по статистике исходная гипотеза называется нулевой гипотезой, альтернативная (верная в случае, когда исходная гипотеза не выполняется) совершенно ожидаемо называется альтернативной гипотезой. Вероятность, с которой может быть достигнуто полученное значение статистического показателя (при условии, что нулевая гипотеза верна), называется р-значение. Этому числу уделяется особое внимание в статистических исследованиях, так как именно оно указывает, следует ли придерживаться нулевой гипотезы или будет разумнее отказаться от нее.

В нашем случае, если дегустатор чая правильно указывает 4 чашки из 4, мы можем отвергнуть нулевую гипотезу с р-значением, равным 1,4 %. В задаче о взаимосвязи двух переменных р-значение равно 2 %: если бы переменные не были бы взаимосвязаны (нулевая гипотеза верна), то вероятность того, что коэффициент корреляции был бы равен или больше полученного нами, равнялась бы 2 %.

Что, если нулевую гипотезу нельзя опровергнуть?

Если р-значение велико, то нельзя сказать, что результат противоречит нулевой гипотезе. Однако это совершенно не означает, что мы доказали истинность этой гипотезы. Именно поэтому говорят о том, что нулевая гипотеза отвергается (либо нет), а не принимается, и тем более не говорят о доказательстве истинности нулевой гипотезы.

Обычно проводят такую аналогию: как известно, нулевая гипотеза суда заключается в том, что обвиняемый невиновен. Иными словами, он считается невиновным, если не найдено доказательств его вины. Собранные улики являются доказательствами, которые подтверждают или опровергают нулевую гипотезу. Если на одежде обвиняемого были найдены пятна крови жертвы, это очевидно свидетельствует не в пользу гипотезы о его невиновности. Однако если пятен нет, то это может означать, что преступление было тщательно спланировано или же полиция действовала неудачно, следовательно, обвиняемого нельзя осудить (то есть отвергнуть нулевую гипотезу нельзя). Но это не доказывает, что подсудимый невиновен.

* * *

НЕОБЫЧНЫЙ СЛУЧАЙ: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ ДЛЯ ТРЕХ ТОЧЕК

Рональд Фишер первым получил общую формулу распределения для коэффициента корреляции. Он использовал столь нетривиальные математические методы, что Карл Пирсон, еще один ведущий статистик и редактор важнейшего научного журнала своего времени, по-видимому, не понял доказательства Фишера и препятствовал его публикации. Это, разумеется, не понравилось Фишеру. Инцидент положил начало вражде между двумя несомненно величайшими статистиками своего времени. Собственно, это совершенно не удивительно.

Следствия формулы Фишера достаточно необычны. Если даны три точки, соответствующие значениям независимых переменных, то диаграмма распределения возможных значений коэффициента корреляции имеет необычную форму, прямо противоположную привычному колоколу Гаусса. Наиболее вероятные значения располагаются не в середине интервала, а на его концах.

Теоретическое распределение коэффициента корреляции между независимыми переменными для трех точек в соответствии с формулой, выведенной  Фишером (слева), и результат моделирования, выполненного 10 000 раз (справа).

Если даны четыре точки, то все значения коэффициента корреляции равновероятны. Если дано пять точек, то наиболее вероятным значением является ноль. По мере роста числа точек начинает вырисовываться традиционный график в форме колокола.

* * *

Еще один пример: сбалансированы ли игральные кости?

В главе 2 упоминается, что в 1850 году швейцарский астроном бросил пару игральных костей (красного и белого цвета) 20000 раз. Полученные результаты были достаточно далеки от ожидаемых теоретических значений. Это дает основания подозревать, что в эксперименте, возможно, использовались несбалансированные игральные кости. Так как все шесть возможных результатов являются равновероятными, если мы бросим игральные кости 20 000 раз, то теоретически каждое значение выпадет 20000/6 = 3333 раза. В следующей таблице представлены результаты эксперимента, теоретические значения и абсолютная величина отклонения от теоретических значений.

Являются ли эти отклонения достаточно большими, чтобы говорить о несбалансированности игральных костей? Или же эти отклонения могут возникнуть случайным образом? В конце концов, если бы результаты эксперимента в точности совпадали бы с теоретическими значениями, это тоже выглядело бы странно. Чтобы развеять сомнения, проверим статистическую гипотезу по той же схеме, что использовал Фишер для решения задачи о дегустаторе чая. Будем предполагать, что игральные кости сбалансированы, и отвергнем эту гипотезу только в том случае, если полученные данные будут явно ей противоречить.

Будем анализировать максимальное отклонение между полученными и теоретическими значениями. В предыдущей таблице показано, что для красного кубика эта величина равна 417, для белого — 599. Зададимся вопросом: каковы ожидаемые значения этой величины для идеально сбалансированных игральных костей? И снова на этот вопрос можно ответить с помощью моделирования.

Смоделируем 20000 бросков игральной кости, подсчитаем, сколько раз выпадет каждое значение, и рассчитаем максимальное отклонение от теоретического значения. При первом моделировании максимальное отклонение равнялось 83, при втором — 97. После того как моделирование было выполнено 10000 раз, была получена гистограмма, представленная на следующем рисунке. На ней также указаны значения, соответствующие красному и белому игральному кубику.

Распределение максимального отклонения для сбалансированных игральных костей и значения, полученные экспериментально.

Очевидно, что данные эксперимента противоречат гипотезе о сбалансированности игральных костей. Если бы эта гипотеза была верна, то вероятность получить подобные данные была бы очень, очень мала. В этом случае р-значение равно нулю с точностью до нескольких знаков после запятой. Следовательно, мы можем утверждать, что игральные кости несбалансированны, а вероятность того, что мы ошибаемся, практически равна нулю.

В качестве показателя, обобщающего данные эксперимента, можно использовать не максимальное отклонение, а величину, в которой учитывается отклонение для всех шести возможных результатов броска игральной кости.

Такой величиной может быть сумма всех отклонений, равных разности фактической и теоретической частоты, возведенных в квадрат (чтобы положительные и отрицательные отклонения не скомпенсировали друг друга), разделенная на теоретическую частоту.

Для красной игральной кости эта величина будет равна

Расчеты могут показаться вам излишне сложными, но эта величина обладает определенным преимуществом: она не требует моделирования распределения для случая, когда нулевая гипотеза верна (так называемого эталонного распределения). Эта величина называется критерий х2 (хи-квадрат). Ее впервые использовал в 1900 году Карл Пирсон, сыгравший важную роль в истории статистики. Мы уже упоминали его имя, когда говорили о коэффициенте корреляции.

Для обычных статистических тестов нет необходимости в моделировании распределения величины. Вместо этого оно выводится с помощью математических методов. Формула для расчета распределения коэффициента корреляции достаточно сложна и не имеет своего названия, хотя при большом размере выборки это распределение близко к нормальному. Первым, кто вывел формулу для этого распределения, был не кто иной, как Рональд Эйлмер Фишер.

* * *

СЛИШКОМ МАЛОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ТОЖЕ ПОДОЗРИТЕЛЬНО

Если мы бросим идеально сбалансированную игральную кость 20000 раз, то каждое из возможных значений выпадет примерно 20 000/6 = 3333 раза. Отклонение фактической и теоретической частоты редко превышает 250. Это происходит всего один раз на каждые 100000 симуляций.

Однако также весьма необычно, если фактические значения очень близки к теоретическим. Допустим, игральная кость была брошена 20000 раз и были получены следующие результаты:

Есть основания подозревать, что эта информация недостоверна, так как столь малое отклонение фактической и теоретической частоты встречается всего один раз на миллион.

Фишер обнаружил любопытное совпадение между экспериментальными данными, опубликованными Менделем в его знаменитых работах о наследственности, и ожидаемыми теоретическими значениями. Удивительнее всего то, что Мендель ошибочно спрогнозировал результаты некоторых экспериментов, но полученные данные тем не менее были подозрительно близки к прогнозным значениям. По мнению Фишера, данные скорректировал необязательно сам Мендель, а кто-то из его ассистентов, который недобросовестно отнесся к работе и решил подменить реальные данные именно теми, которые ожидал увидеть Мендель.

Этот вопрос спровоцировал бурное обсуждение. Эта задача относится не только к теории вероятности, но также к генетике и ботанике, так как в ней идет речь о фундаментальном механизме наследования признаков у растений. Споры не утихали длительное время, но какой-то определенный итог этих дискуссий подвести трудно. Стороны сходятся на том, что нет четких доказательств того, что Мендель или кто-то еще скорректировал результаты эксперимента.

* * *

До сих пор это верно, далее — нет: границы р -значения

Как правило, выбирается определенное p-значение, чаще всего 5 %, и если полученное на практике p-значение оказалось меньше, то нулевая гипотеза отвергается, в противном случае — нет. Это значение называется уровнем значимости.

Конечно, всем нам нравятся четкие и простые правила, но было бы неразумно выбрать одно универсальное значение и применять его всегда вне зависимости от контекста. Выбор граничного значения равносилен выбору вероятности того, что мы ошибочно отвергнем нулевую гипотезу. Вероятность ошибки, которую будет разумно выбрать, зависит от ситуации и возможных последствий ошибки.

Предположим, как-то утром, выходя из дома, мы смотрим прогноз погоды и решаем, что вероятность дождя равна 10 %. Стоит ли взять с собой зонтик? Если мы не возьмем с собой зонтик и примем 10-процентный риск попасть под дождь, никому из нас это не покажется неразумным. Если мы ошибемся, то потеряем немного (разве что слегка намокнем). Также следует учесть, что ходить весь день с зонтиком достаточно неудобно.

Другой пример. Мы едем по второстепенной дороге, на которой очень мало машин. Мы замечаем, что на подъеме, где не видно встречную полосу, есть небольшая выбоина. Ее можно объехать, приняв немного левее. Однако мы не станем этого делать. Вероятность того, что по встречной полосе этой пустынной дороги проедет автомобиль, невелика, а вероятность того, что мы встретимся точно на подъеме, — еще меньше. Однако мы не станем выезжать на встречную полосу: несмотря на то что вероятность столкновения крайне мала, если оно все же произойдет, то ущерб будет значительным. Если мы проедем по выбоине, то почувствуем лишь легкое неудобство.

Очевидно, что вероятность ошибки, к которой мы готовы при принятии решения, зависит от обстоятельств и от возможных последствий этой ошибки.

Приведем другой пример, также связанный с дорожным движением, а именно с радарами для измерения скорости проезжающих машин. Хорошо известно, что эти радары, как и любые другие приборы, имеют определенную погрешность измерения. Если они показывают, что скорость машины равна 120 км/ч, возможно, что фактическая скорость равна 119 или 122 км/ч. По этой причине, если на дороге установлено ограничение скорости в 120 км/ч, водителей штрафуют только тогда, когда их скорость превышает ограничение на определенную величину. Это делается для того, чтобы исключить возможное влияние погрешности измерения и гарантировать, что водитель действительно ехал с превышением. Если будет выбрано значение, для которого доля ошибочных значений будет равна 5 % (таким образом, в 5 % случаев будут оштрафованы водители, которые не превышали скорость), это вызовет жаркие споры, ведь каждый день сотни людей будут незаслуженно получать штрафы.

Подведем итог. Выбор граничного значения нельзя делать только с помощью методов статистики; нужно рассматривать конкретную ситуацию. Когда проводится эксперимент, в котором сравнивается эффективность нового и существующего лекарств, выбор граничного значения 0,05 означает, что с вероятностью в 5 % будет сделан ошибочный вывод об эффективности лекарства. Какие последствия это повлечет? Имеет ли новое лекарство серьезные побочные эффекты? Дороже ли новое лекарство, чем то, что уже используется? Ответы на эти вопросы крайне важны при выборе оптимального граничного значения.

Однако верно и то, что во многих случаях значение 0,05 выбирается без какого-либо анализа. Это происходит потому, что для этого значения уже рассчитаны различные статистические показатели, которые можно найти в справочных таблицах. Когда много лет назад эти величины рассчитывались с помощью примитивных средств, в таблицы заносились лишь значения, соответствующие определенным вероятностям, в частности 0,001; 0,005; 0,01; 0,05; 0,10. Из возможных табличных значений в качестве границы, отделяющей «обычное» от «необычного», чаще всего выбиралось именно 0,05. Преимущество этого значения в том, что это круглое число в нашей десятичной системе счисления. Если бы у нас на руках было по шесть пальцев, то в качестве граничного значения было бы естественно выбрать 0,06.