К объективной реальности относится не только материя, обладающая размерами или весом, не только физическое поле, обладающее энергией, но и объективная идея, не обладающая никаким объемом, никакой массой и никакой физической энергией вообще. Тогда возникает естественный вопрос: где или в чем существует, движется и изменяется такая объективная реальность, как материя или объективная идея?
Пространством называется то, в чем существует, действует, движется и изменяется та или иная относительная категория (материальная или идеальная, физическая или нефизическая). В связи с этим прежде всего различают пространство движения от других форм пространства, например, от пространства событий. Далее следует четко отличать замкнутое пространство от закрытого. Замкнутым мы называем пространство, в котором объект рано или поздно вернется в исходное положение, если будет идти «прямо», никуда не сворачивая. Закрытым мы называем пространство, если не представляется возможным войти в него или выйти из него.
Геометрия – это наука, изучающая пространство и его взаимоотношение с объектом (раздел математики). Простейший элемент геометрии, все размеры которого равны идеальному нулю, мы называем точкой. Понятие «точки» следует четко отличать от понятия «точечного пространства». Если мы под «точкой» понимаем «точечный объект», то под «точечным пространством» мы понимаем сферу существования точечного объекта.
Например, если в качестве точечного объекта мы рассматриваем фотон, все геометрические размеры которого равны идеальному нулю, то сферу его существования в начальный момент времени мы называем точечным пространством, из которого фотон вылетает со скоростью света. Таким образом, точечное пространство, все размеры которого равны идеальному нулю, может быть источником точечных объектов, как идеальных, так и материальных. Совершенно аналогично, точечное пространство, все размеры которого равны абсолютному нулю, может быть источником абсолютных и идеальных категорий.
В то же время точка есть безразмерная противоположность пространства, обладающего размерами. Хотя объем, длина, ширина и высота точки равны идеальному нулю, тем не менее безразмерная точка при своем движении совершает путь, обладающий размерами длины. Такого рода путь передвижения точки мы называем траекторией ([75], стр.382).
След движения точки мы называем линией. Поперечное сечение линии (ширина и толщина) предполагается равным идеальному нулю. Прямой называется простейшая линия в евклидовой геометрии, определяющая кратчайший путь между любыми двумя своими точками. По сути дела прямая линия или просто прямая – это след движения точки постоянного направления. Кривой линией называется след движения точки переменного направления. Всякую непрямую линию мы называем кривой. Кривая линия есть противоположность прямой линии.
Такие чисто геометрические понятия, как «точка» и «линия», не являются абстрактными. Они подтверждаются естественными науками. Например, из физики известно, что все размеры фотона (объем, длина, ширина и высота) равны идеальному нулю. Фотон движется от Солнца к Земле со скоростью 299 792 км/сек. След такого движения фотона представляет собой линию, толщина которой равна идеальному нулю.
Если движение точки не ограничено в обе стороны, то линия называется бесконечной. Если одностороннее движение точки с течением времени приводит ее в исходное положение, то кривая называется замкнутой. Отрезком называется часть прямой, отсекаемая двумя неподвижными точками А и В, с обязательным присоединением к этой части ее концевых точек А и В ([53], стр.26). Промежутком называется часть прямой, отсекаемая двумя неподвижными точками А и В, с обязательным исключением из этой части ее граничных точек А и В.
Поверхностью (surface) называется след поперечного движения линии (прямой или кривой, постоянной формы или переменной формы). Плоскостью (plane) мы называем такую поверхность, любое поперечное сечение которой представляет собой прямую линию. Plane (плоскость) – a surface containing all the straight lines connecting any two points.
Если две прямые пересекаются в одной точке и одна из них вращается вокруг другой под прямым углом, то подвижная прямая описывает плоскость. Толщина, а следовательно, и поперечное сечение плоскости, предполагается равной идеальному нулю.
Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Стереометрия – это раздел геометрии, изучающий фигуры, обладающие объемом. Две прямые (две плоскости, а также прямая и плоскость), которые пересекаются под прямым углом, называются взаимно перпендикулярными. Параллельными называются такие прямые линии, которые лежат в одной плоскости и которые никогда не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали. Скрещивающимися называются такие прямые линии, которые не параллельны и которые никогда не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали.
Окружность (circumference) – замкнутая кривая на плоскости, все точки которой одинаково удалены от их общего центра. Circumference – a plain curve everywhere equidistant from a fixed center. Диаметр – отрезок прямой линии, проходящей через центр окружности и отсекающей ее на две половины. Радиус окружности R – кратчайшее расстояние от центра до любой точки окружности. Длина окружности = 2πR. Хорда кратчайшее расстояние между двумя точками окружности. Дуга – часть окружности, отсекаемая хордой.
Круг (circle) – часть плоскости, ограниченная окружностью, с обязательным присоединением к этой части самой окружности. Площадь круга = nR2 . Circle (круг) – a planer region boundered by circumference. Sphere (сферическая поверхность) – a three-dimensional surface all points of which are equidistant from a fixed point.
Сферической поверхностью или просто сферой мы называем след окружности, которая вращается на 360° вокруг прямой, проходящей через ее центр. Выражаясь иначе, сферической называется замкнутая поверхность, все точки которой равно удалены от их общего центра. Радиус сферы – кратчайшее расстояние от центра до любой точки сферической поверхности. Площадь сферы = 2πR2, где R – радиус сферы. Толщина сферической поверхности равна идеальному нулю. В этом смысле плоскостью может быть названа сферическая поверхность, радиус которой предполагается бесконечно большим.
Шар – это все то, что ограничено сферической поверхностью. Земной Шар – это Земля, ограниченная сферической поверхностью Земли. Воздушный шар – это воздух, ограниченный сферической поверхностью гондолы. Шаровое пространство – это трехмерное пространство, ограниченное двухмерной сферической поверхностью нулевой толщины.
Любое вещественное тело занимает определенный объем в физическом пространстве. Конечно, характер движения и изменения физического тела зависит от его объема и всех его элементов. Если нас интересует внутреннее движение или изменение свойств объекта, то мы должны изучать процессы, происходящие внутри него. Тогда мы представляем объект как систему, внутри которой происходят движения и изменения ее элементов. В этом случае пренебрегать размерами и внутренними изменениями объекта нельзя.
Если же нас интересует внешнее перемещение объекта в пространстве, а не его внутренние изменения, то мы можем пренебречь его размерами без ущерба для наших практических и теоретических исследований. В этом случае мы мысленно предполагаем весь объект сосредоточенным в его центральной (наиболее существенной) точке, ибо в нашем популярном и общедоступном изложении нет никакого смысла рассматривать сложные физические процессы, происходящие внутри объекта.
Поэтому точечным мы называем объект, размерами которого можно пренебречь без ущерба для достоверности теоретических и практических расчетов, полученных в результате изучения его движения. Все размеры точечного объекта: ширина, длина и высота – предполагаются равными идеальному нулю, хотя сам объект фактически может обладать некоторой совокупностью ненулевых размеров.
Местонахождение точечного объекта теоретически может быть названо точечным пространством. Оно предполагается эквивалентным не только местонахождению объекта, все размеры которого равны нулю, но и такого объекта, который фактически обладает некоторой совокупностью ненулевых размеров.
Точечной массой (или материальной точкой) в механике принято называть точку, в которой мысленно сосредоточена вся масса изучаемого физического тела. В действительности никакой точечной массы нет. Она является всего лишь безразмерной научной моделью действительного объекта, обладающего размерами.
Координатами (coordinate) называются числа, которые определяют местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени. Идеальную точку, в которой нет никакой массы, мы можем использовать для определения местонахождения идеальных объектов.
Измерением (dimension) пространства мы называем каждое направление в пространстве, которое используется для отсчета соответствующей координаты. Количество измерений пространства равно количеству независимых координат. Всякое пространство имеет какое-то конкретное количество измерений. Например, пространственными измерениями вашей комнаты являются: длина, ширина и высота.
Coordinate – one of a set of numbers that determines the lokation of a point in a space of a given dimension. Dimension – any of the least number of independet coordinates required to specify a point in a space uniquely.
Координатной осью мы называем шкалу отсчета – прямую линию, на которой в определенном масштабе откладываются координаты – числа, определяющие положение или состояние объекта в каком-то одном конкретном измерении или направлении данного пространства.
Для определения местонахождения точки (или точечного объекта) в пространстве обычно пользуются прямоугольной системой координат, которая состоит из взаимно-перпендикулярных координатных осей, пересекающихся в одной точке. Количество этих осей равно количеству независимых координат, а следовательно, количеству измерений данного пространства. Координаты прямоугольной системы координат принято называть ортонормированными.
Существует много других систем координат. Так система координат, для которых не все координатные линии прямые, называются криволинейными, например определяющие положение точки на земной поверхности. Однако если специально не оговорено, в дальнейшем мы будем иметь в виду прямоугольные системы координат, которые называют еще декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского ученого и философа.
Геометрия не есть пространство. Она является всего лишь научной моделью пространства, позволяющая изучать пространство и его взаимоотношение с объектом с определенными допущениями. Например, прямую линию можно себе представить как дугу окружности с бесконечно большим радиусом. Однако бесконечно больших чисел в физическом мире нет. Следовательно, бесконечно больших радиусов тоже нет. А это в свою очередь означает, что прямых линий (а следовательно, и плоскостей) в мире нет и быть не может. Тем не менее допущение о прямолинейности координатных осей позволяет нам решить многие проблемы без ущерба для качества наших практических и теоретических исследований.
Чтобы определить местонахождение какого-либо точечного объекта в пространстве, необходимо установить степень его удаленности от какого-то «начала». Но никакого «абсолютного начала» у относительного пространства нет и не может быть. Однако такого рода «начало» может быть относительной категорией, а не абсолютной. В связи с этим за начало отсчета в пространстве может быть принята любая его точка на пересечении всех координатных осей. Обычно оно выбирается там, где находится «условный» наблюдатель. Тогда, вычислив путь, пройденный рассматриваемым точечным объектом от такого рода условного «начала» отсчета, мы можем определить его местонахождение в пространстве в любой момент времени. Эти числа, определяющие положение точечного объекта в пространстве, и принято называть координатами.
С точки зрения не только геометрии или математики, но и других наук, совершенно безразлично, что именно мы понимаем под термином «пространство»: пространство перемещения или же пространство изменения свойств объекта. Под термином «движение» мы можем подразумевать как «механическое перемещение» так и «изменение свойств» объекта. Например, зависимость у=ах может графически или «пространственно» выражать: перемещение шарика по биллиардному столику, увеличение температуры воздуха от утра до полудня или же накопление количества знаний в зависимости от количества прочитанных книг и т. д.
Уравнением связи называется функциональная зависимость одной координаты от другой или других координат. Координаты называются независимыми, если они никак не зависят друг от друга и не связаны поэтому никакими уравнениями. Из высшей математики известно, что если положение или состояние системы можно полностью определить посредством некоторого количества к независимых величин х1, х2….,хk, которыми, в частности, могут быть декартовы координаты, то эти величины называются обобщенными координатами, где k – количество обобщенных координат, равное количеству измерений пространства.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено одной координатой, то такое пространство называется одномерным. Примерами одномерных пространств могут служить не только прямые, но и любые кривые линии.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено двумя независимыми координатами, то такое пространство называется двухмерным. Примерами двухмерных пространств могут служить не только плоскости, но и любые кривые поверхности.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено тремя независимыми координатами, то такое пространство называется трехмерным. Примером трехмерного пространства является физическое пространство нашей Вселенной.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено четырьмя независимыми координатами, то такое пространство называется четырехмерным. Примером четырехмерного пространства является четырехмерный пространственно-временной континуум нашей Вселенной, четвертое измерение которого (время) мы непосредственно не ощущаем по той причине, что нам не дано свободы перемещения во времени.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено пятью независимыми координатами, то такое пространство называется пятимерным и т. д.
Свободой в теории пространства мы называем возможность выбора направления движения, изменения, развития или действия. Количеством степеней свободы мы называем такое количество измерений пространства, которое точечный объект может использовать по своему выбору.
Например, положение неподвижного камня в трехмерном пространстве определяется тремя независимыми координатами. Но тем не менее неподвижный камень в трехмерном пространстве не обладает никакой свободой вообще, ибо он для своего движения не может использовать ни одну из трех измерений того пространства, в котором он существует. Где он лежит, там он и обязан лежать. Биллиардный шарик имеет всего лишь одну степень необходимости (а не свободы) движения в том направлении, куда его ударил игрок.
Положение машины в трехмерном пространстве определяется также тремя независимыми координатами. Но тем не менее машина, управляемая человеком, может использовать всего лишь два измерения из трех, ибо она не может оторваться от земли и использовать третье измерение того пространства, в котором она существует. Поэтому мы говорим, что такая машина обладает двумя степенями свободы в трехмерном пространстве.
Птица обладает тремя степенями свободы в трехмерном пространстве. Но стоит ей приземлиться и утратить свою способность к полету, как количество степеней ее свободы окажется равным двум.
К сожалению, определения некоторых терминов в механике и философии не совпадают. Так например, в механике под термином «количества степеней свободы» подразумевается «количество степеней необходимости», равное количеству точечных объектов. В объективной действительности свободу выбора имеют только лишь живые объекты, рассматриваемые в философии. Неживые материальные объекты, рассматриваемые в механике, не обладают никакой свободой. У каждого из них есть только лишь одна-единственая степень необходимости действовать так и только лишь так, как диктуется им законами природы.
Необходимостью мы называем всякое обязательное действие, движение или изменение объекта в определенном направлении, которое навязано ему извне. Необходимость есть противоположность свободы, а не сама свобода.
Любой материальный объект существует в трехмерном физическом пространстве, но обладает одной-единственной степенью необходимости. Вторая и третья координаты зависят от первой.