Читатели «Мельницы на Флоссе» Дж. Элиот, возможно, помнят, как один из героев романа при малейшей неясности для себя неизменно повторял: «Мир – загадочен». В самом деле, нельзя отрицать того факта, что вокруг нас множество загадок, и с какими-то из них человеческий разум справился, а о каких-то можно смело сказать, что они ждут еще своего разрешения. Даже царь Соломон, которому Библия отнюдь не отказывает в мудрости, признавал: «Три вещи непостижимы для меня, и четырех я не понимаю: пути орла на небе, пути змея на скале, пути корабля среди моря и пути мужчины к девице».

Человек испытывает страсть к проникновению в тайны Природы; только каждый выбирает свой путь в незнаемое. Сколько жизней потрачено на превращение металлов в золото, на создание вечного двигателя, на поиски средств от злокачественных заболеваний и даже на то, чтобы полететь!

С утра до вечера мы, сами того не замечая, пребываем во власти головоломок. Но головоломки головоломкам рознь. Даже те из них, которые носят развлекательный характер, иногда основываются на каком-либо интересном и поучительном принципе, а иногда вовсе лишены его, как в головоломке со случайным образом разрезанным на части рисунком, который требуется сложить вновь, подобно детским кубикам с картинками. И если первые требуют какого-то напряжения ума, то вторые совершенно бездумны.

Любопытная склонность к созданию головоломок не отличает какую-либо расу или исторический период. Она с рождения заложена в каждом человеке независимо от того, когда он пребывал на земле, хотя может проявляться в самых различных формах. Не играет роли, кому конкретно она приписывается, египетскому ли сфинксу, библейскому Самсону, индийскому факиру, китайскому философу, тибетскому махатме или европейскому математику.

Каждый из нас постоянно вынужден решать головоломки – ведь всякая игра, всякий вид спорта, как и любое другое времяпрепровождение, предлагают нам задачи большей или меньшей трудности. Нечаянный вопрос ребенка, два-три слова, на ходу брошенных велосипедистом своему напарнику, реплика одного игрока в крикет другому или яхтсмена, лениво оглядывающего горизонт, может оказаться задачей отнюдь не легкого свойства. Короче, все мы ежедневно, чаще всего не сознавая того, задаем друг другу бесчисленные головоломки.

Однако решение настоящей головоломки требует известного напряжения ума и изобретательности, и хотя при решении такого рода задач бесспорную помощь оказывают математические познания и некоторое знакомство с логикой, все же порой случается, что гораздо существеннее здесь природная сообразительность и смекалка. Дело в том, что многие из наилучших задач нельзя решить каким-то знакомым регулярным методом, они требуют совершенно оригинального подхода. Вот почему даже при большом и богатом опыте некоторые головоломки порой лучше поддаются обладателю острого от природы ума, а не высокой образованности. Не случайно, что при игре в шахматы или шашки больших успехов добиваются люди, лишенные специального математического образования, хотя часто может оказаться, что они наделены математическими способностями, не получившими должного развития.

Удивительно, какое удовольствие хорошая головоломка доставляет огромному большинству людей. Даже сознание, что она не имеет практического значения, не удерживает нас от ее решения, а уж в случае удачи чувство удовлетворения само по себе служит нам наградой за труды. Что же это за таинственное очарование, которое для многих оказывается необоримым? Почему нам нравится «озадачивать» себя? Любопытно, что с решением интерес к задаче моментально исчезает. Мы это сделали, вот и все. Но почему мы стремились это сделать?

Ответ здесь достаточно прост: нам доставляет удовольствие сам процесс отыскания решения как таковой. Хорошая головоломка, подобно добродетели, сама себе служит наградой. Человека привлекает само соприкосновение с тайной, и он не находит места, пока ее не раскроет. Кроме того, нам не хочется отставать от других, и это естественно – даже ребенку свойственно это чувство.

В своем путешествии по царству Головоломок мы столкнемся с интересными моментами самого различного характера. Такое разнообразие имеет свои преимущества. Совершают ошибку те, кто ограничивается лишь малым уголком этого царства и лишает себя тем самым возможности получить удовольствие от столкновения с новым, тем более что оно вполне в пределах их досягаемости. Не следует увлекаться либо только акростихами и другими словесными головоломками, либо только математическими или шахматными задачами (последние представляют собой головоломки на шахматной доске, которые почти не имеют практического значения для игры в шахматы).

В решении головоломок есть и реальная польза. Считается, что регулярные упражнения столь же полезны для ума, как и для тела, и в обоих случаях не так важно, что мы делаем, как то, что мы это делаем. Ежедневная прогулка, которую нам рекомендуют доктора, или ежедневное упражнение ума могут сами по себе выглядеть потерей времени, однако в конечном итоге – это его подлинная экономия. В одном из романов английского писателя-юмориста А. Смита героиня, по ее собственному признанию, страдает, ощущая в своем мозгу какие-то паутинки. Быть может, это редкое заболевание, но в более метафорическом смысле многие из нас весьма склонны страдать от «паутины в мозгах» и нет ничего лучше решения головоломок для того, чтобы вымести ее вон. Они держат начеку ум, стимулируют воображение и развивают умение рассуждать. Порою головоломки оказываются полезными не только в таком косвенном отношении, но и непосредственно помогают нам, сообщая какие-то трюки и «хитрости», которые могут пригодиться в жизни в совершенно неожиданные моменты и совершенно непредвиденным образом.

Я позволю себе привести один пассаж во славу головоломок: «Искусное занятие составления и решения головоломок представляет собой науку, которую совершенно необходимо постигнуть, и заслуживает того, чтобы стать одним из предметов размышления и для мужчин, и для женщин. Это на самом деле искусство, которое я рекомендовал бы поддержать… университетам, ибо оно позволяет наикратчайшим и наилегчайшим образом вскрыть некоторые из наиболее полезных принципов логики. Один весьма неглупый принц провозгласил: «Кто не умеет притворяться, не умеет царствовать»; я бы предложил другой афоризм: "Кто не умеет придумывать и решать головоломки, не умеет жить"».

Как придумываются хорошие головоломки? Я имею в виду не акростихи, анаграммы, шарады и тому подобные забавы, а головоломки, содержащие оригинальную идею. Так вот, нельзя придумать хорошую головоломку по заказу. Намерение создать головоломку приходит в неожиданные моменты и странными путями. Его может стимулировать как то, что мы видим или слышим, так и другие головоломки. Бесполезно говорить себе: «Сейчас сяду и придумаю оригинальную головоломку», ибо нет способа «придумать» идею, вы можете лишь воспользоваться ею, когда она придет вам в голову. Быть может, такое утверждение покажется ошибочным, поскольку есть доки в подобных делах, которые могут придумать множество головоломок, тогда как не менее умные люди ни на что подобное не способны даже, как говорится, ради спасения собственной жизни. Однако объясняется это очень просто. Дока «с ходу» узнает идею, и опыт позволяет ему оценить и тут же использовать ее. Именно с опытом приходят плодовитость и легкость.

Иногда новая интересная идея возникает в связи с чьим-то промахом при решении какой-то головоломки. Одному мальчику приятель дал задачу, но мальчик недопонял того, что от него требовалось, и пытался сделать, на просвещенный взгляд, невозможное. Обладая незаурядной волей, он бился над задачей шесть месяцев, прикидывая так и этак, пока, наконец, его труды не увенчались успехом. Когда он показал приятелю свое решение, тот сказал: «Ты меня не понял – я совсем не то имел в виду, но ты сделал потрясающую вещь!» И головоломку, которую случайно решил мальчик, теперь вы обнаружите в любом классическом сборнике.

В руках изобретательного человека головоломки могут возникать почти из ничего – нужна только идея. Монеты, спички, карты, шашки, кусочки проволоки или веревки – все оказывается полезным. Огромное число головоломок возникло из букв алфавита и вот из этих десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0.

Стоит всегда помнить, что даже самый простой человек способен задать задачу, решить которую смогут лишь мудрецы – если вообще смогут. Одна маленькая девочка задала вопрос: «Может ли бог сделать все, что захочет?» Получив утвердительный ответ, она тут же не преминула спросить: «А сумеет он сделать такой огромный камень, что сам не сможет его поднять?» Многие широко образованные взрослые люди не найдут здесь сразу удовлетворительного ответа. И все же трудность в данном случае состоит в абсурдной, хотя и хитроумной форме вопроса, который на самом деле следует сформулировать так: «Может ли всемогущий нарушить свое всемогущество?» Он несколько напоминает другой вопрос: «Что произойдет, если абсолютно движущееся тело столкнется с абсолютно неподвижным телом?» Здесь мы имеем всего лишь противоречие в терминах, ибо если существует абсолютно неподвижное тело, то одновременно не может существовать тело, движение которого нельзя ничем остановить.

Коллега Фарадея, профессор Тиндаль, обычно предлагал детям задавать ему каверзные вопросы, и некоторые из этих вопросов оказывались весьма крепкими орешками. Один ребенок спросил его, почему часть полотенца, смоченная водой, темнее сухой части. Кто из читателей сумеет правильно ответить на этот вопрос? Многие в подобных случаях удовлетворяются весьма неуклюжими ответами. Если вы спросите: «Почему мы видим сквозь стекло?», то девять человек из десяти ответят: «Потому, что оно прозрачно», что, разумеется, лишь другая форма ответа: «Потому, что мы видим сквозь него».

Головоломки обладают таким бесконечным разнообразием, что их порой очень трудно разделить на классы. Часто характер головоломок бывает настолько слитен, что в лучшем случае мы можем лишь широко очертить несколько их типов. Давайте обратимся к некоторым примерам.

Прежде всего существует старинная головоломка, рассчитанная на игру фантазии и воображения. Читатель помнит, наверное, древнегреческий миф о Сфинксе, пожиравшем жителей Беотии, которые не могли разгадать его загадки. Сфинкс должен был погибнуть, если кто-нибудь правильно ответит на одну из них. И вот Эдип угадал, «какое животное ходит утром на четырех, днем на двух, а вечером на трех ногах». Оказывается, Сфинкс имел в виду человека, который ходит на своих ногах и руках утром своей жизни, на ногах – в течение ее дня, а вечером, на закате жизни, пользуется еще и палкой. Услышав этот ответ, Сфинкс ударился головой о скалу и тут же испустил дух. Как видите, мастера решать головоломки бывают иногда весьма полезны.

Известна головоломка, которую предложил библейский Самсон. Это, кажется, первый письменно зарегистрированный случай, когда за верное решение назначалась награда: «тридцать синдонов (рубашек из тонкого полотна. – Прим. ред.) и тридцать перемен одежд». Вот эта головоломка: «Из ядущего вышло ядомое, и из сильного вышло сладкое». Ответом было: «Рой пчел в трупе львином». Этот тип головоломок дожил до сегодняшнего дня в несколько иной форме: «Для чего цыпленок переходит дорогу?», на что в большинстве своем отвечают: «Чтобы добраться до другой ее стороны», хотя правильным ответом будет: «Чтобы доставить беспокойство шоферу». Он выродился просто в разновидность каламбура. Например, всем нам с детства знаком вопрос: «На поле он стоял и думал: козлу дорога далека. Кому и к чему далека дорога?», правильным ответом на который будет: «Наполеону ко злу» (Наполеон – на поле он, ко злу – козлу).

Существует обширный класс буквенных головоломок, основанный на некоторых особенностях соответствующего языка, таких, как анаграммы, акростихи, кроссворды и шарады. Здесь мы также находим палиндромы, то есть слова и предложения, которые можно с тем же успехом читать задом наперед. Известно, если это вообще может быть известно, что Адам представился Еве следующим «палиндромическим» образом (и, заметьте, на английском языке): «Madam, I'm Adam», на что его супруга ответила скромным палиндромом: «Eve».

Потом идут арифметические головоломки, огромный полный разнообразия класс: от задач, про которые алгебраист скажет, что они ничего собой не представляют, кроме «обычного уравнения», допуская простое непосредственное решение, до глубочайших проблем из элегантной области теории чисел.

Далее имеются геометрические головоломки, любимой и очень древней ветвью которых служат задачи на разрезание, где требуется разрезать на части некую плоскую фигуру, а затем сложить из этих частей новую фигуру. Большинство головоломок с проволокой, которые продаются на улицах и в магазинах игрушек, относятся к геометрии положения.

Но эти классы отнюдь не охватывают всех разновидностей головоломок, даже если мы отнесем некоторые головоломки сразу к нескольким классам. Существует много искусных механических головоломок, которые вы не сумеете классифицировать, ибо они стоят совсем особняком; существуют головоломки логические, шахматные, шашечные, карточные, использующие домино, любой трюк фокусника тоже представляет собой головоломку, только решение ее фокусник старается сохранить в секрете.

Существуют головоломки, которые просты и кажутся простыми, бывают трудные головоломки, которые кажутся простыми, бывают трудные головоломки, которые и выглядят трудными, и простые головоломки, которые кажутся трудными; а в каждом случае мы можем, разумеется, различать их по степени легкости и трудности. Но ниоткуда не следует, что головоломка, условия которой легко поймет даже малый ребенок, проста сама по себе. Наоборот, такие головоломки выглядят просто для непосвященного, и только отыскание решения их окажется для него весьма трудным делом после того, как он действительно приступит к задаче.

Например, если мы выпишем число, состоящее из девятнадцати единиц, 1 111 111 111 111 111 111, а затем попросим найти число (отличное от него самого и от 1), которое делит его без остатка, то условия задачи окажутся совсем простыни, тогда как сама она ужасно трудна. Никто в мире не знает, существует ли такой делитель данного числа или нет, Если вы найдете хоть один делитель, то тем самым преуспеете в том, чего никто до вас не сумел сделать.

Число, составленное из семнадцати единиц, 11 111 111 111 111 111, обладает лишь двумя делителями – 2071723 и 5 363 222 357, а найти их весьма сложно. Единственное число, составленное из единиц, про которое доподлинно известно, что у него нет делителей, – это 11. Такое число, разумеется, называют простым.

Всегда, когда мы что-либо делаем, существуют правильный путь и путь ошибочный, это особенно справедливо при решении головоломок. Здесь ошибочный путь заключается в бесцельных хаотических попытках в надежде случайно напасть на верное решение – процесс, который обычно приводит к тому, что мы попадаем в искусно расставленную для нас ловушку.

Впрочем, случайно может оказаться, что головоломка принадлежит к тому типу, когда решение очень трудно получить чисто логическим путем, и гораздо вероятнее его найти с помощью метода проб и ошибок. Но в большинстве случаев лишь первый метод доставляет нам истинное удовольствие.

Когда мы садимся за головоломку, то первое, в чем необходимо убедиться, насколько возможно, – это в том, что мы поняли ее условия. Ибо если не понимаешь того, что нужно сделать, вряд ли преуспеешь в нем. Все мы знаем историю, как человека спросили: «Если одна селедка с половиной стоят три пенса, то сколько стоят полдюжины селедок?» После нескольких неудачных попыток дать ответ он сдался, а когда ему объяснили, что полдюжины селедок стоят двенадцать пенсов, то есть шиллинг, то он, как бы извиняясь, воскликнул: «Ах, селедки! А я-то думал – речь идет о треске!»

Порой требуется большая внимательность, чем может показаться с первого взгляда, дабы сформулировать условия головоломки таким образом, чтобы они одновременно были как ясными и точными, так и не слишком многословными, иначе пропадет интерес их решать. Однажды я, помнится, предложил головоломку, где что-то требовалось сделать с помощью «наименьшего числа прямых». Один человек, который был либо слишком умен, либо слишком глуп (я так и не понял, что же было на самом деле), заявил, что он решил эту головоломку с помощью всего одной прямой, потому что, как он выразился: «Остальные прямые я позаботился искривить!» Кто бы мог подумать о такой уловке?

Далее, если вы задаете головоломку о переправах через реку, в которой некое количество людей требуется переправить на другой берег, тогда как в лодке помещается лишь данное небольшое число пассажиров, то как только человек, который будет решать вашу головоломку, почувствует, что ему не удается с нею справиться, он немедленно призовет на помощь веревку, позволяющую перетянуть лодку с одного берега на другой. Вы скажете, что веревку использовать запрещено, тогда в ответ на это он попытается использовать течение реки. Однажды я был уверен, что совершенно исключил подобные трюки в одной головоломке такого типа, но все же нашелся хитроумный читатель, который заставил людей перебираться вплавь! Разумеется, некоторое число головоломок решается именно с помощью таких трюков, и если без этих трюков решения вообще не окажется, то это считается вполне законным. Мы должны напрячь все наши критические способности, чтобы определить, содержит ли наша головоломка подобную ловушку или нет; но здесь никогда не следует слишком поспешно принимать решение. Трюк в условиях задачи – это последний способ победить ее будущего читателя.

Порой люди пытаются озадачить нас небольшими искажениями смысла слов. Один человек задал мне недавно старую, известную задачу: «Мальчик ходит вокруг шеста, на котором сидит обезьяна; но обезьяна все время крутится на шесте так, что мордочка ее всегда обращена в сторону, противоположную той, куда смотрит мальчик. Обходит ли при этом мальчик вокруг обезьяны?» Я ответил, что если бы он дал мне определение понятия «ходить вокруг», то я дал бы ему ответ. Он, конечно, отказался. Тогда я сказал, что если понимать слова в их обычном, прямом значении, то безусловно мальчик обходит вокруг обезьяны. Как и ожидалось, он стал утверждать, что это не так, ибо под «хождением вокруг» понимал такое перемещение, при котором мы видим предмет со всех сторон. На что я возразил, что тогда слепой не может вообще обойти вокруг чего-либо. Тогда он подправил свое определение, сказав, что в действительности видеть все стороны нет нужды, но вы должны так двигаться, чтобы, глядя все время на предмет, могли бы увидеть его со всех сторон. На что я сказал, что в таком случае вы никогда не сможете обойти вокруг человека, сидящего в ящике! И т. д. Предмет этой дискуссии удивительно глуп, и если с самого начала принять простое и правильное определение того, что значит «ходить вокруг», то не останется вовсе никакой головоломки и вы избегнете утомительных и зачастую жарких споров.

Поняв условия задачи, посмотрите, нельзя ли их упростить, ибо на этом пути можно избавиться от множества затруднений. Всегда озадачивает классический вопрос о человеке, который, указав на портрет, сказал: «Сестер и братьев нет у меня, но отец этого человека – сын моего отца». Каково родственное отношение говорившего к человеку на портрете? Задача сразу же упрощается, если сказать, что «сын моего отца» означает «я сам» или «мой брат». Но поскольку у говорившего не было братьев, то вполне очевидно, что это значит «я сам». Таким образом, утверждение означает всего лишь: «Отец этого человека – я сам», то есть на портрете изображен сын говорившего. И все же люди порой размышляют над этим вопросом целый час!

Во многих областях царства Головоломок есть еще не раскрытые тайны. Давайте рассмотрим несколько примеров из мира чисел – небольшие штучки, понять которые способен ребенок, хотя величайшим умам не удалось их решить. Каждый, наверное, слышал выражение «трудно квадрировать круг», хотя далеко не все имеют представление о том, что это означает. Если у вас есть круг заданного диаметра и вы хотите найти сторону квадрата в точности той же площади, то вы имеете дело с задачей о квадратуре круга. Так вот, решить ее совершенно точно невозможно (хотя мы можем найти ответ, достаточно точный для практических целей), ибо не существует рационального числа, равного отношению диаметра к окружности. Но лишь недавно доказано, что эта задача не разрешима, ибо одно дело безуспешно пытаться решить задачу и совсем другое – доказать, что она не имеет решения. Только невежественные любители головоломок могут сегодня тратить время, пытаясь квадрировать круг.

Точно так же мы не можем выразить диагональ квадрата через его сторону с помощью рационального числа. Если у вас есть квадратное окно со стороной ровно в один фут, то существует расстояние от одного его угла до другого, хотя вам не удастся выразить его рациональным числом. Простодушный человек, быть может, предположит, что мы можем взять диагональ длиной в один фут, а затем уже построить наш квадрат. И все же нам это не удастся; более того, мы не сможем выразить сторону квадрата рациональным числом, каким бы способом ни стремились к этому.

Все мои читатели знают, что такое магический квадрат. Числа от 1 до 9 можно разместить в квадрате, содержащем девять клеточек так, чтобы сумма вдоль любой вертикали, горизонтали или диагонали равнялась 15. Это очень просто; и существует только одно решение данной головоломки, ибо расположения, которые получаются из данного с помощью поворотов и зеркальных отражений, мы не рассматриваем как новые. Далее, если мы хотим составить магический квадрат из 16 чисел от 1 до 16, то здесь существует 880 различных способов, опять же без учета поворотов и зеркальных отражений. Окончательно это было доказано в последние годы. Но сколько магических квадратов удается образовать из 25 чисел, от 1 до 25, никому не ведомо, и нам еще придется развить наши знания в некоторых направлениях, прежде чем мы можем надеяться решить эту головоломку. Но удивительно, что удается построить ровно 174 240 таких квадратов при единственном дополнительном ограничении: чтобы внутренний квадрат из девяти клеточек сам был магическим. Я показал, каким образом это число можно удвоить, преобразуя каждое решение с внутренним магическим квадратом в решение без такого квадрата.

Предпринимались также тщетные попытки построить магический квадрат так называемым «ходом коня» на шахматной доске, нумеруя последовательные клетки в соответствии с ходами шахматного коня: 1, 2, 3, 4 и т. д. Это удается сделать по всем направлениям, за исключением двух диагоналей, которые до сих пор сводили на нет все усилия. Но не факт, что этого вообще сделать нельзя.

Хотя содержание данного сборника в основном оригинально, все же вы можете встретить и нескольких старых друзей, однако и они, я верю, не окажутся нежеланными гостями в тех новых одеждах, которые получили. Головоломки различны по сложности и носят столь разнообразный характер, что, быть может, не будет слишком дерзкой надежда на то, что каждый истинный их любитель найдет обильный (и, может быть, поучительный) материал на свой вкус. В одних случаях я приводил достаточно длинные решения, в других же – счел нужным ограничиться голым ответом. Если бы для каждой головоломки пришлось давать полное решение и обоснование, то либо половину головоломок пришлось бы опустить, либо объем книги увеличился бы до огромных размеров. План, которого я придерживался, имеет свои преимущества, ибо оставляет для энтузиаста возможность самостоятельных исследований. Даже в тех случаях, где я привел общую формулу, он сможет проверить ее сам.