Повторим наш мысленный эксперимент, в котором мы обращались к случайному прохожему. На этот раз зададим ему два вопроса. Сначала мы попросим его сгруппировать попарно следующие слова: «литература»/«математика» и «страсть»/«расчетливость». Затем попросим нашего собеседника рассказать о том, как, по его мнению, связаны математика и человеческая природа.

Отвечая на первый вопрос, большинство свяжет литературу со страстью, а математику — с расчетливостью. Нет никаких сомнений и в том, что прохожий скажет: математика и человеческая природа очень далеки друг от друга. Возможно, этот же ответ дадут и многие математики. Математика известна как совокупность абстракций, которые почти или никак не связаны с чувствами. Однако математика — продукт нашего разума в самом чистом виде, и в этом с ней не сравнится почти никакое другое творение человека. Логическая структура нашего разума — важнейшая характеристика человеческого состояния: именно наш мозг в немалой степени определяет то, какие мы есть.

Поэтому неудивительно, что внешность может быть обманчива.

Прежде всего напомним, что благоразумие, согласно толковому словарю, это «рассудительность, обдуманность в поступках», в то время как «страсть» — это «сильно выраженное чувство, воодушевленность» и «крайнее увлечение, пристрастие к чему-либо». Многие не связывают страсть с математикой, но она подобна полю битвы, на котором разгораются сражения между благоразумием и страстью. Мы, математики, знаем, что математика — это неустойчивое равновесие между благоразумием и страстью, тончайшая смесь трезвого расчета и крайнего увлечения, сильное, опьяняющее чувство. Поэтому в поисках доказательства математик руководствуется точным расчетом, который является неотъемлемой чертой строжайшего логического мышления. Однако в моменты, когда математик стремится совершить открытие или сражается с задачей, его охватывает возбуждение.

Предметом описания литературы и одновременно ее источником знаний служит человеческая природа, непреходящая борьба страстей и здравого смысла. Поэтому неудивительно, что большинство связывает литературу и страсть. Однако я осмелюсь заявить, что в этой борьбе между благоразумием и страстями математика играет далеко не последнюю роль. Математика может оказаться удивительно полезной: она способна помочь нам лучше познать себя и глубже понять человеческую природу.

Математика и ее контекст

Это звучит странно, и наш воображаемый прохожий усомнится в том, что математика может помочь людям познать себя. Наверняка многие ученые, которым известны тайны этой науки, также не понимают, как математика способна осветить дно глубокого колодца, которому подобна природа человека. Чтобы возразить скептикам, отмечу, что математике действительно под силу нечто подобное, если рассмотреть ее в нужном контексте. К примеру, под контекстом теоремы мы понимаем загадки истории, сопровождавшие автора или авторов этой теоремы: тех, кто выдвинул теорему, доказал или опроверг ее, или тех, кто безуспешно пытался найти ее доказательство.

Контекст математики в некотором смысле подобен обстоятельствам, без которых, по мнению Хосе Ортеги-и-Гассета, невозможно понять «я». Контекст математики имеет много общего с ее историей, однако эти понятия всё же различаются.

Уточним фразу, которая показалась неправдоподобной нашему прохожему и в которой усомнился недоверчивый математик. Математика действительно помогает нам познать себя: в столкновении абстрактного мира математики и мира эмоций, где обитают первооткрыватели и изобретатели, рождается свет, который достигает самых темных уголков человеческой натуры.

Именно поэтому математический контекст позволяет нам лучше оценить красоту математики. Как мы уже объясняли в главе 2, главное различие между литературой и математикой с эстетической точки зрения заключается в том, что предметом их рассмотрения являются разные объекты. Литература изучает чувства, эмоциональную составляющую человеческой природы, а математика рассматривает числа, фигуры и абстракции. Чувства и эмоции нам хорошо знакомы, благодаря этому мы можем понять эстетическую ценность романа, в то время как холодность и абстрактность математических объектов затрудняют их восприятие. Именно поэтому важно учитывать эмоциональный контекст, которого не лишена математика: он позволяет очеловечить математику и предрасполагает к эстетическому наслаждению.

Однако, как мы отмечали в предисловии, цель этой книги — не засыпать читателя аргументами и доводами, а привести примеры, на основе которых он сделает собственные выводы. В этой главе мы расскажем о том, как противопоставление абстрактного характера математики и эмоций тех, кто ее создал, помогает насладиться красотой науки и лучше понять человеческую природу. В качестве примера мы выбрали бесспорно красивые математические объекты — фракталы, а эмоциональный контекст предоставят события из жизни математика Феликса Хаусдорфа (1868–1942) , предсказавшего существование фракталов.

* * *

ДРЕВНЕЙШАЯ ИЗ НАУК

Не будем подробно описывать обстоятельства, которые связывают математику с наиболее эмоциональной частью человеческой природы и восходят к моменту зарождения науки. Момент зарождения математики ознаменован созданием чисел. Не будем забывать, что числа ожидают нас «на кончиках пальцев», они словно являются частью нашего тела. Также не будем забывать, какую огромную роль сыграли наши руки в том, кто мы есть сейчас. Истоки человеческой истории окутаны мраком, поэтому сложно оценить, чему люди научились раньше: считать на пальцах, рисовать на стенах пещер, хоронить умерших или создавать божеств. Для всех этих действий, в том числе для счета, характерны неустанная борьба страстей и здравого смысла. Всё это позволяет назвать математику древнейшей из наук. Как видите, эмоциональный контекст пронизывает ее до самых корней, восходящих к древнейшей истории homo sapiens как вида.

* * *

Фракталы и размерность Хаусдорфа

Фрактал можно назвать множеством, аномальным с точки зрения наших органов чувств. Однако его аномальность относится к особенностям нашего восприятия. В основе этой аномальности лежит понятие размерности пространства, и это понятие существенно расширил немецкий математик Феликс Хаусдорф в 1919 году.

Открытия немецкого математика Феликса Хаусдорфа впоследствии позволили сформировать современную теорию фракталов.

Хаусдорф счел классическое определение размерности объектов очень узким как с математической, так и с философской точки зрения, а классификацию тел согласно их размерности — примитивной. Он сказал, что будет несколько затруднительно и, возможно, даже некорректно считать, что объект имеет размерность 1, если он имеет только длину (например, нить или пружина), размерность 2 — если он имеет длину и ширину (лист бумаги или поверхность сферы), и размерность 3, если, помимо длины и ширины, он имеет высоту (сфера или коробка для обуви). Чтобы расширить классическое понятие размерности, Хаусдорф предложил новое определение, более сложное и общее с математической точки зрения.

Величина, введенная Хаусдорфом, позволяет намного точнее определить размерность объекта. Вопреки тому, что нам подсказывают органы чувств, существуют объекты, размерность которых выражается дробями, например 1/2, иррациональными числами, в частности √5, и даже еще более необычными числами. Прошло больше 50 лет с момента, когда Хаусдорф ввел новое понятие размерности, прежде чем Бенуа Мандельброт (1924–2010) , французский математик польского происхождения, определил фракталы как множества, имеющие дробную размерность Хаусдорфа.

Бенуа Мандельброт , математик, который ввел термин «фрактал». На этой фотографии он изображен на конференции в Варшаве в 2005 году.

Чтобы объяснить понятие размерности Хаусдорфа в общем виде (именно это определение привел сам Хаусдорф), потребуются серьезные знания математики. Тем не менее существует альтернативное определение, не до конца точное, но позволяющее читателю оценить смысл этого понятия. Это альтернативное определение размерности ввели русские математики Лев Понтрягин и Лев Шнирельман. Удивительно, что Понтрягин был слепым — он лишился зрения в 14 лет в результате несчастного случая.

Представьте, что дана плоская фигура, вписанная в квадрат, для которой мы хотим рассчитать размерность Хаусдорфа. Разделим сторону квадрата на несколько равных частей, например на 10. Квадрат окажется разделен на 100 мелких квадратов. Теперь посчитаем, сколько этих квадратов нужно для того, чтобы покрыть рассматриваемую фигуру, и адекватно сравним их число с числом частей, на которые мы разделили сторону квадрата (в нашем случае на 10).

Ключ к задаче — в том, что мы вкладываем в слова «адекватно сравним». Проясним смысл этих слов на простом примере. Пусть рассматриваемой фигурой будет квадрат целиком. Для того чтобы покрыть его, потребуются все квадраты, на которые мы разделили исходный квадрат. Таким образом, если мы разделим сторону квадрата на n равных частей, получим n·n = n2 мелких квадратов. Обратите внимание на число 2 в показателе степени n2 — именно это число и будет размерностью квадрата.

Теперь рассмотрим диагональ квадрата. Разделим сторону квадрата на 4 части. Сколько мелких квадратов понадобится для того, чтобы покрыть его диагональ? Немного подумав, читатель увидит, что для этого потребуется четыре мелких квадрата, так как именно столько квадратов лежит на диагонали большого квадрата. Если мы разделим сторону квадрата на n частей, нам потребуется n квадратов, чтобы покрыть диагональ. Однако n можно записать как n1, то есть n, возведенное в степень 1. Эта степень 1 и будет размерностью диагонали квадрата. Таким образом, любой отрезок будет иметь размерность 1.

Теперь обозначим через F плоскую фигуру, заключенную внутри квадрата, для которой мы хотим определить размерность Хаусдорфа. Разделив сторону квадрата на n частей, подсчитаем, сколько мелких квадратов потребуется, чтобы покрыть фигуру F. Обозначим их число через пр. «Адекватное» сравнение числа n F   с числом частей n, на которые мы разделили сторону квадрата, означает определение степени n, соответствующей этому числу n F . Так, в примере с квадратом n F  = n2 соответствующей степенью будет 2. В примере с диагональю квадрата n F  = n1 соответствующей степенью будет 1. Если мы обозначим этот показатель степени через d, то n, n F и d будут связаны следующим тношением: n F = n d . Применив логарифмы, выразим d через n и n F  : d  — это логарифм n F разделенный на логарифм n:

Чем больше n, то есть число частей, на которые мы делим сторону квадрата, тем ближе число d будет к размерности Хаусдорфа для фигуры F. Размерность Хаусдорфа будет пределом, рассчитываемым при делении стороны квадрата на бесконечно большое число бесконечно малых равных частей.

Пример с окружностями  Аполлония

Построим пример фрактала. Для этого вновь рассмотрим окружности Аполлония, о которых мы говорили в главе 2, так как мы будем строить фрактал на основе касательных окружностей. Построим три окружности, касающиеся друг друга (см. рисунок слева внизу). Как мы уже отмечали в предыдущей главе, существуют две другие окружности, касающиеся этих трех. Имеем пять окружностей (см. рисунок справа внизу).

Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.

Выберем три из них, касающиеся друг друга, и построим две соответствующие касательные окружности (их существование следует из теоремы Аполлония). В конечном итоге, с учетом повторений, получим шесть новых окружностей. Вкупе с пятью исходными имеем 11 окружностей (см. рисунок слева внизу). Повторим построение для этих 11 окружностей, затем — для окружностей, построенных на следующем этапе (см. рисунок справа внизу), и так далее до бесконечности. Полученные окружности носят название «ковер Аполлония» и представляют собой пример фрактала.

Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.

Сложно представить, что неимоверно сложный ковер Аполлония образуется простым построением окружностей, касающихся друг друга. Если читатель использует воображение, то увидит, что каждая окружность на ковре Аполлония находится среди бесконечного множества касательных окружностей, за исключением внешней, которая содержит в себе все прочие окружности. Более того, на любой дуге любой окружности, сколь малой бы она ни была, находится бесконечно много касающихся ее окружностей. Стандартное обозначение размерности абсолютно неприменимо для описания ковра Аполлония: было бы излишне говорить, что эта кривая имеет размерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость. Тем не менее, учитывая сложность этой кривой, в которой произвольной дуги любой окружности касается бесконечное множество окружностей, было бы преуменьшением сказать, что ее размерность равна 1. Вычислить точную размерность Хаусдорфа для ковра Аполлония невероятно сложно. На данный момент известно лишь ее приближенное значение, равное 1,305688.

Этот ковер Аполлония колоссальных размеров изобразил художник Джим Деневан в пустыне штата Невада.

Пример на основе треугольника

Построим другой фрактал, для которого можно точно определить размерность Хаусдорфа. Это кривая Коха, названная в честь шведского математика Нильса фон Коха, определившего ее в 1906 году. Существует несколько разновидностей этой кривой.

Мы построим кривую Коха, взяв за основу равносторонний треугольник. Для этого разделим каждую его сторону на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Получим шестиконечную звезду. Повторим построение снова, то есть разделим каждую из двенадцати сторон звезды на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Для построения кривой Коха эти действия нужно повторить бесконечное число раз.

Четыре первых этапа построения кривой  Коха .

Теперь представьте, что кривая Коха — это дорога. Рассмотрим две любые точки на этой кривой (представьте, что это две деревни, расположенные у дороги). Сядем в воображаемую машину и поедем из одной деревни в другую вдоль кривой. Какое расстояние покажет счетчик пробега в конце пути? Если читатель ответит, что расстояние будет зависеть от выбранных точек кривой, то ошибется: независимо от того, какие точки мы выберем, пройденное расстояние всегда будет равно бесконечности.

Иными словами, любой участок кривой Коха имеет бесконечно большую длину — она содержит так много поворотов, что проехать по ней от начала до конца невозможно (см. врезку на следующей странице). Похожими свойствами обладает дорога, проходящая вдоль побережья Галисии в Испании. Расстояние, отделяющее устье реки Миньо и мыс Эстака де Барес, по прямой составляет чуть больше 200 километров. Но попытайтесь проделать этот путь, следуя вдоль побережья, и он покажется вам бесконечным: автомагистраль будет петлять возле каждой реки, идти в объезд всех гор, мысов и заливов. Десять километров, разделяющие устье реки и мыс, превращаются в сто и даже больше, и путь кажется бесконечным. Именно это (пусть и в несколько преувеличенном виде) произойдет, если мы попытаемся проехать вдоль кривой Коха.

* * *

ДЛИНА КРИВОЙ КОХА

Чтобы убедиться, что кривая Коха имеет бесконечную длину, выполним следующие действия. Заметим, что на каждом шаге построения кривой Коха число отрезков, составляющих ее, увеличивается в 4 раза: каждый из отрезков, построенных на предыдущем шаге, делится на три части, одна из которых заменяется двумя отрезками. Иными словами, на смену каждому отрезку приходит четыре. Так как построение начинается с равностороннего треугольника, общее число отрезков на шаге N будет равно 3·4 N . По той же причине длина каждого из этих отрезков (все они имеют одинаковую длину) на каждом шаге делится на 3, поэтому на шаге N длина каждого ее отрезка будет равна I /3 N , где  I  — длина стороны исходного равностороннего треугольника. Длина кривой на шаге N будет равна числу образующих ее отрезков, умноженному на их длину:

Так как 4/3 больше 1, степень (4/3) N с увеличением N будет неограниченно возрастать и в итоге будет равна бесконечности. Аналогичным образом можно убедиться, что любая часть кривой Коха имеет бесконечную длину.

* * *

Как и в случае с ковром Аполлония, стандартная размерность совершенно не подходит для описания кривой Коха: нельзя говорить, что эта кривая имеет размерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость; однако учитывая сложность этой кривой, произвольный участок которой имеет бесконечно большую длину, было бы ошибкой полагать, что ее размерность равна 1. Размерность Хаусдорфа позволяет в точности понять, в какой степени кривая Коха сочетает в себе кривую и поверхность. Ее размерность равна ln4/lnЗ (см. врезку на следующей странице).

Мандельброт показал, что геометрия фракталов может быть невероятно сложной, однако очень часто эту сложность порождает простое подобие различных частей кривой, сохраняющееся вне зависимости от масштаба.

* * *

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КРИВОЙ КОХА

Вычислить фрактальную размерность кривой Коха сравнительно просто. Напомним, что общее число отрезков этой кривой на шаге N равно 3·4 N , а длина каждого из этих отрезков равна I /3 N (см. предыдущую врезку). Учитывая особенности построения кривой, впишем ее в квадрат со стороной  I  (где  I — длина стороны исходного треугольника). Будем делить квадрат на равные части так, чтобы их число отвечало степени тройки: сначала на 3 части, затем на 3·3 = 3 2 частей, затем на 3·3·3 = 3 3 и так далее. Теперь подсчитаем, сколько маленьких квадратов необходимо для покрытия кривой Коха, если мы разделим сторону исходного квадрата, например, на 3 N частей. Для этого заменим кривую Коха кривой, полученной на N-м шаге построения. Так как длина стороны маленького квадрата равна I /3 N , каждый из них покроет примерно один отрезок кривой, который также имеет длину I /3 N . Так как число отрезков кривой равно 3·4 N , нам потребуется примерно 3·4 N маленьких квадратов. Согласно определению размерности Хаусдорфа, мы разделили сторону квадрата на n  = 3 N частей, а для покрытия всей кривой требуется n F   = 3·4 N маленьких квадратов. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дробь, определяющую размерность Хаусдорфа:

Когда число частей, на которое мы делим квадрат, то есть n , или, что аналогично, N , становится бесконечно велико, размерность Хаусдорфа будет равна ln4/lnЗ .

* * *

Фракталы — редкие, удивительные множества, которые, как «кажется», далеки от привычных нам физических ощущений. Мы взяли слово «кажется» в кавычки, поскольку фракталы присутствуют повсеместно, мы видим их так часто и настолько привыкли к их особенностям, что даже не распознаем их. В природе фрактальная геометрия обнаруживается буквально повсюду. Береговая линия Испании или Норвегии, изрезанная фьордами, точнее всего описывается именно фрактальной кривой, подобной кривой Коха. Ничто не описывает сложную сеть нейронов нашего мозга лучше, чем фракталы. Именно математический взгляд и острота взора Хаусдорфа и Мандельброта позволили увидеть, как часто фракталы встречаются в природе.

Фракталы — это не только математические объекты; они присутствуют и в окружающем мире. Слева — аэрофотосъемка норвежских фьордов, справа — фрагмент фрактала Мандельброта .

* * *

ФРАКТАЛЫ В ПОЭЗИИ

Присутствие фракталов в природе уловили не только математики, но и поэты. Среди бесчисленного множества примеров, которыми можно проиллюстрировать совпадение поэтического и математического взгляда на реальность, мы выбрали первые строки поэмы № 18 из серии «Двадцать поэм любви и одна песня отчаянья» Пабло Неруды. Чтобы описать нереальность любви на расстоянии, Неруда в своей поэме «Здесь я тебя люблю, напрасно даль тебя прячет» описывает предметы, легкая и эфемерная сущность которых контрастирует с твердостью их физического воплощения:

Здесь я тебя люблю.

Над темными соснами ветер расправляет свой стяг.

На блуждающих водах лунные пересветы.

Похожие дни теснятся, гонят друг друга во мрак.

Распадается сумрак на пляшущие виденья.

Серебристую чайку закат роняет во тьму.

Порой объявится парус. Высокое небо в звездах [8] .

В этих семи строчках поэт соединил три трехмерных объекта. Представьте себе хитросплетение сосновых иголок, над которыми ветер расправляет свой стяг; пенистые воды, освещаемые луной, или неуловимое дыхание пляшущих видений в тумане. К этой картине следует добавить вездесущие звезды, эти светящиеся точки, сложный узор которых в небе кажется почти двухмерным. В действительности эта неоднозначность — следствие фрактальной природы объектов. Наши скудные органы чувств неспособны оценить реальность в ее дробной размерности; реальность, которая, напротив, проявляется во всей полноте только тогда, когда ее рассекает отточенный скальпель размерности Хаусдорфа или пронзает острый взор Пабло Неруды.

* * *

Фрактальная природа техники разбрызгивания красок Поллока

Среди многочисленных примеров использования фракталов мы расскажем об одном, занимающем поистине особое место, в котором фракталы связаны с абстрактным экспрессионизмом Джексона Поллока.

Поллок был художником непростой судьбы, он злоупотреблял алкоголем и так далее — все в соответствии со стереотипом. Погиб в автомобильной катастрофе в 1956 году, когда ему было всего 44 года. Меценатом Поллока стала Пегги Гуггенхайм. «Современный художник, — как-то сказал Поллок, — не может изобразить эпоху самолетов, атомных бомб и радио в старом стиле Возрождения. Каждая эпоха имеет свою технику». Верный этой максиме, он в середине 1940-х основал новое направление в живописи — абстрактный экспрессионизм. Свои картины он рисовал на больших полотнах, используя созданную им технику разбрызгивания красок.

Джексон Поллок за работой в своей студии. Конец 1940-х.

В 1946 году он превратил в студию огромный амбар на Лонг-Айленде, а холсты разложил на полу. «Так я нахожусь ближе к тому, что рисую, — говорил художник, — я чувствую себя частью картины, поскольку могу ходить вокруг нее, работать со всех четырех сторон и в буквальном смысле находиться на картине. Поэтому я пытаюсь держаться в стороне от традиционных инструментов, то есть мольберта, палитры и кистей. Я предпочитаю палки, шпатели и краску, которая капает и разбрызгивается, и даже цемент, измельченное стекло и другие материалы». Один из критиков сказал: «Его картины — не искусство; они существуют сами по себе. Это не изображение чего-либо, а вещь в себе; это не изображение природы, но сама природа». И это в самом деле так, поскольку картины Поллока источают движение, графический ритм, жизненную силу и одновременно глубокую нежность.

Связь полотен Поллока и фракталов обнаружили австралийские ученые Ричард Тейлор, Адам Миколич и Дэвид Джонас. В 1999 году была опубликована их статья в журнале Nature, в которой указывалось, что картины Поллока имеют фрактальную структуру, которой подчиняются как ширина капель и подтеков, так и геометрия линий краски, пролитой на полотно. Ученым удалось измерить фрактальную размерность этих структур с помощью метода, описанного выше.

Расчеты показали, что размерность картин Поллока превысила 1, то есть его полотна начали становиться по-настоящему фрактальными, в середине 1940-х. Впоследствии их фрактальная размерность неизменно возрастала и в 1952 году достигла значений, близких к 1,7 для структур, образованных разбрызгиванием краски, и 1,9 — для хаотических структур, обусловленных перемещениями самого художника во время работы над картиной. Рост фрактальных размерностей был постоянным и проявлялся в работах Поллока с такой точностью, что их анализ позволил определить подлинность полотен и даже дату создания.

Разумеется, Поллок не контролировал фрактальную размерность своих полотен. Он наверняка даже не подозревал, что его картины имеют фрактальную природу. Они были воплощением чистой интуиции, чистого стиля. Методы работы Поллока хорошо известны, о них сняты документальные фильмы. Художник добавлял новые и новые линии, капли и подтеки краски. Работа над картиной могла длиться до нескольких месяцев. Поллок отверг множество картин, которыми не был доволен, и обрезал края других полотен, потому что чувствовал, что по краям изображение менее интенсивно, чем в центре. Фрактальные размерности, вычисленные австралийскими учеными и характерные для его полотен, есть не что иное, как мера стиля художника.

Вернемся к вопросам, заданным в начале главы. Сколь бы велика ни была гармония фрактала, наш воображаемый прохожий сочтет, что фракталы едва ли отражают человеческую природу.

Возможно, он скажет, что ковры Аполлония или кривая Коха, несомненно, красивы, а размерность Хаусдорфа — прекрасная мера их удивительной красоты. И наш воображаемый собеседник, конечно же, добавит: этот подсчет квадратиков и вычисление логарифмов очень похожи на рассуждения, типичные для некоторых увлеченных математиков, далеких от реальности. Но наш прохожий будет неправ: никто не может быть далек от окружающей реальности. Не может быть далеким от реальности и само понятие размерности Хаусдорфа: как мы уже объясняли, это понятие было введено человеком и также имеет эмоциональную составляющую. Хаусдорф — это ведь реальный человек из крови и плоти, со своими чувствами, иллюзиями, страстями, огорчениями и всем прочим, который в свое время плыл по реке жизни точно так же, как автор этой книги и ее читатели.

Наш собеседник спросит нас: что может рассказать о человеческой природе наука, в которой рассматриваются столь абстрактные понятия, как размерность Хаусдорфа? Продолжив чтение, читатель сможет сам решить, проливает ли сопоставление математического понятия и его эмоционального контекста свет на темные уголки человеческой природы.

Хаусдорф : самый борхесовский математик

Возможно, лучше всего математическое творчество Хаусдорфа можно описать теми же словами, которыми обычно характеризуется творчество Хорхе Луиса Борхеса: «иллюзорное», «парадоксальное», «ироничное», «запутанное».

Разумеется, самым запутанным элементом творчества Хаусдорфа является определенное им понятие размерности. Оно расширило классическое понятие размерности и позволило создать более точную классификацию геометрических объектов. Так, фракталы, в высшей степени запутанные объекты, которые обрели невероятную популярность в последней четверти XX века благодаря Бенуа Мандельброту, определяются как множества, размерность Хаусдорфа для которых не является натуральным числом.

Хаусдорф также рассмотрел прообраз чисел, которые сегодня называются «недостижимыми кардинальными числами». Эти бесконечные числа — продукты нашего разума, которые, вне всяких сомнений, не лишены доли иронии. Их определяющая характеристика — невероятно огромные размеры, причем эти числа столь велики, что неизвестно, существуют ли они на самом деле. В этом и заключается невообразимая ирония: они столь велики, что их довольно сложно увидеть!

Математика Хаусдорфа не только иронична и запутанна — она еще и противоречива. Высшее проявление противоречивости в математике Хаусдорфа изложено в его книге «Основы теории множеств». Это парадоксальное описание сферической поверхности, на основе которой десять лет спустя польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский определили шар, который можно разделить на несколько частей, к примеру на пять, из которых затем можно составить два шара, идентичные исходному. Аналогично можно разделить горошину на части так, что при определенном расположении из них можно составить шар размером с Солнце. Это математическая версия евангельской притчи о хлебе и рыбе.

Хаусдорф родился в Бреслау в 1868 году, но три года спустя его семья переехала в Лейпциг. В Лейпциге, а также во Фрайбурге и Берлине он изучал математику и астрономию. Хотя юношеские работы Хаусдорфа относятся к прикладным дисциплинам, в частности к астрономии и оптике, в конечном итоге он занялся теоретической математикой. Возможно, наиболее важной его работой стали «Основы теории множеств». Считается, что в этом монументальном труде, опубликованном в 1914 году, были заложены основы топологии.

Новая фотография Феликса Хаусдорфа . Взгляд математика излучает меланхоличный свет: видел ли он перед собой бури, которые, как писал  Ницше , с корнем вырывают деревья жизни?

Хаусдорфу не были чужды и другие интеллектуальные занятия. В юности он хотел изучать музыку и стать композитором, и даже написал несколько пьес, и часто играл на пианино.

Под псевдонимом Поль Монгре Хаусдорф публиковал стихи, философские эссе, а также сатирические театральные пьесы. Расцвет его литературного творчества пришелся на 1896–1906 годы. В 1897 году вышла из печати его первая книга — «Сан-Иларио: мысли из страны Заратустры», название которой отсылает к интересному совпадению в жизни Хаусдорфа: он начал работать над книгой в день Сан-Иларио в небольшом городе Сан-Иларио близ Генуи. Книга содержит сонеты, стихотворения и афоризмы более или менее философского содержания. Одно из них гласит: «Когда у нас нет женщины, которую можно любить, мы любим человечество, науку или вечность […] Идеализм, который всегда отмечает отсутствие чего-то лучшего, есть заменитель эротизма».

В 1898 году был издан «Хаос в космической интерпретации», где Хаусдорф защищает «трансцендентный нигилизм». Об этой книге кто-то сказал, что она слишком математическая для философа и слишком философская для математика.

На философию Хаусдорфа оказали большое влияние Ницше и Шопенгауэр. Он постулировал преимущество некой элитарной индивидуальности над эгалитарными обществами. Хаусдорф обычно перемежал сухое философское изложение менее возвышенными размышлениями об эгоизме, гедонизме, любви, страсти, музыке Моцарта и гипнозе.

Помимо сонетов в «Сан-Иларио», Хаусдорф стал автором еще одного сборника стихотворений под названием «Экстаз» (1900), в который вошли 158 произведений. Чтобы читатель мог оценить поэзию Хаусдорфа, приведем одно из его стихотворений под названием «Бесконечная мелодия» (Unendliche Melodie):

Наибольший успех имела его пьеса, которая называется так же, как драма испанского драматурга Педро Кальдерона де ла Барка, — «Врач своей чести», однако произведение Хаусдорфа носит намного более сатирический характер: в нем рассказывается история прусского архитектора-идеалиста, который соблазнил жену государственного советника и теперь должен сразиться с ним на дуэли. Но в назначенный день и час поединок пришлось отложить, так как дуэлянты и их секунданты были до неприличия пьяны. В результате скандала советник теряет работу, но мирится с женой. Пьеса была поставлена в Берлине и Гамбурге и, согласно хроникам, была тепло встречена зрителями.

Творчество Хаусдорфа стало предметом множества исследований, в частности этого труда, созданного коллективом авторов во главе с Тиле и Айхгорн .

«Сухие венки в святилище жизни»

Хаусдорф преподавал в университетах Лейпцига (1902–1910), Грайфсвальда (1913–1921) и Бонна (1910–1913 и 1921–1935). В марте 1935 года Хаусдорф вышел в отставку. Ему было уже 67, и, как он сам предвидел за несколько лет до этого, многое в Германии начало меняться.

30 января 1933 года Пауль фон Гинденбург, занимавший в то время пост президента Германии, назначил 43-летнего Адольфа Гитлера рейхсканцлером. Национал-социалистическая партия по итогам выборов в июле 1932 года получила 230 мест в парламенте — большинство, хотя и не абсолютное. На выборах в марте 1933 года нацисты получили 288 мест, что в сумме с 52 креслами, принадлежавшими Немецкой национальной народной партии, позволило Гитлеру взять под контроль парламент, состоявший из 647 депутатов. Последующее исключение и арест 81 депутата от коммунистической партии и подкуп центристов позволили Гитлеру взять под контроль две трети парламента, провозгласить Третий рейх и захватить абсолютную власть в стране.

Верный антисемитским убеждениям, Гитлер не замедлил претворить в жизнь первые законы об этнических чистках. 1 апреля 1933 года был объявлен бойкот магазинов и предприятий, принадлежащих евреям. Неделей позже, 7 апреля, был принят закон о реформе государственного управления, запрещавший евреям занимать государственные должности. Все евреи, которые на момент принятия закона занимали подобные должности, были уволены.

В то время в немецких университетах работали 200 преподавателей математики, из них 98 профессоров. 35 преподавателей, из них 15 профессоров, были уволены. Среди уволенных 30 были «в большей или меньшей степени» евреями. В 1935 году число уволенных преподавателей достигло 60. За этим числом скрывались 60 трагедий, 60 подлостей, 60 человек, 60 семей, многие из которых были уничтожены.

Однако под действие закона от 7 апреля не попадали евреи, которые проявили себя как патриоты Германии, например те, кто участвовал в Первой мировой войне.

Именно поэтому закон не распространялся на Хаусдорфа. Он никогда не скрывал еврейского происхождения и не акцентировал внимание на религиозных вопросах в своем творчестве. Когда он писал о религии, он чаще обращался к религиям Востока, а не к иудаизму и христианству.

Супруга Хаусдорфа, Шарлотта Голдшмидт, на которой он женился в 1899 году и которая родила ему дочь, в юности приняла лютеранскую веру.

Хотя Хаусдорф вскоре увидел очертания будущей нацистской угрозы — когда Гитлер заполучил 230 мест в парламенте, он сказал: «В будущем всё будет совершенно иначе», — ученый не пытался покинуть Германию. Лишь в письме Рихарду Куранту (1888–1972) в 1939 году Хаусдорф упомянул о возможности занять должность исследователя в Нью-Йорке.

* * *

КУРАНТ, ГИЛЬБЕРТ И ГЁТТИНГЕН

Рихард Курант, который, как и Хаусдорф, был немецким евреем, покинул Германию в 1933 году. Несмотря на то что многие выдающиеся люди со всего мира обратились в Гёттингенский университет с просьбами сохранить его в должности, несмотря на то что он был превосходным ученым, 13 апреля 1933 года Курант был уволен по обвинению в принадлежности к социалистической партии. Парадоксально, но это в итоге спасло ему жизнь. В 1936 году Куранту удалось получить место в Нью-Йоркском университете. Там он создал Институт математических наук, один из наиболее престижных в мире, который с 1964 года носит его имя. Случай Куранта, разумеется, был не единственным в Гёттингене.

В результате новой этнической политики Третьего рейха Гёттингенский университет покинули ученые масштаба Куранта, Эдмунда Ландау, Эмми Нётер и Германа Вейля — и этот список далеко не полон. Многие из них были учениками Давида Гильберта, который не допускал никаких предрассудков и при выборе учеников не принимал в расчет пол, расу и национальность. Приложив огромные усилия, Гильберт сделал Гёттинген центром мировой математики. Всего за несколько месяцев его усилия были сведены на нет. «Когда я был молод, — сказал Гильберт, которому в то время был 71 год, — я решил, что никогда не повторю фразу, которую слышал от стольких пожилых людей: "Раньше было лучше, чем сейчас". Я решил, что никогда не произнесу этой фразы в старости. Однако сейчас у меня нет другого выхода, и я вынужден произнести ее».

Давид Гильберт остался работать в Геттингенском университете несмотря на так называемую чистку 1933 года, после которой должностей лишились многие исследователи. Выдающийся математик скончался десять лет спустя.

* * *

Возможно, если бы Хаусдорф лишился должности в Боннском университете, его судьба и судьба его жены сложилась бы иначе. Однако Хаусдорф не подпадал под действие закона от 7 апреля: в юности, сразу после окончания учебы, он несколько лет отслужил добровольцем в немецкой пехоте. Поэтому он продолжил занимать должность преподавателя, пока не вышел в отставку по возрасту в марте 1935 года.

Однако его мучения только начинались. В апреле 1941 года коллега Хаусдорфа так писал о нем и его жене: «Дела у Хаусдорфов идут сравнительно неплохо, хотя, естественно, они не могут избежать издевательств и волнений, вызванных непрекращающимися антисемитскими законами. Их денежные обязательства и повинности столь высоки, что они не могут прожить на пенсию и вынуждены тратить сбережения, которые, к счастью, всё еще сохранились. Кроме того, их обязали сдать государству часть жилья, где теперь живет много людей. […] Есть и несомненно утешительные новости: некий музыкант по-прежнему приходит к ним, чтобы сыграть с Хаусдорфом; это приносит в их дом хоть какую-то радость».

В октябре 1941 года Хаусдорфов обязали носить звезду Давида, а в конце года они получили извещение о депортации в Кёльн — последний шаг перед отправкой в концентрационные лагеря в Польше. После Нового года угроза отступила, однако ей на смену пришла новая: в середине января им было сообщено, что 29 числа того же месяца они будут высланы в пригород Бонна Эндених. Затем их вновь ожидал лагерь смерти.

Сохранилось письмо Хаусдорфа, написанное в воскресенье, 25 января 1942 года. В нем ученый писал: «Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nicht». В этой фразе обыгрывается схожесть слова Endenich — названия боннского пригорода — и слов Ende и nicht, которые означают «конец» и «нет»: «Возможно, Эндених еще не станет для нас концом». Хаусдорф, который увлекался музыкой, наверняка знал, что в Энденихе находилась психиатрическая больница, где композитор Роберт Шуман (1810–1856) провел в заключении два последних года жизни. Это было дурным предзнаменованием, и фраза: «Возможно, Эндених еще не станет для нас концом» стала грустным каламбуром. Этот каламбур оказался преисполнен жестокой иронии, поскольку Хаусдорф решил покончить жизнь самоубийством: «К тому моменту, когда вы прочтете эти строки, — писал он в том же письме от 25 января, — мы уже решим нашу проблему, однако, возможно, мы примем решение, от которого вы неустанно отговаривали нас. […] То, что было сделано против евреев в последние месяцы, стало для нас в высшей степени невыносимым, поскольку мы оказались в невозможных условиях […] Передайте самую сердечную благодарность господину Майеру за всё, что он для нас сделал, а также за то, что он, вне сомнения, сделал бы в будущем. Мы искренне изумляемся успехам его организации, и если бы с нами не случилось это несчастье, мы обязательно обратились бы к нему. Он наверняка вызвал бы в нас чувство относительной защищенности, хотя, к несчастью, она по-прежнему была бы лишь относительной (здесь Хаусдорф был прав: адвокат Майер погиб в Аушвице) […] Если это возможно, мы бы хотели, чтобы наши тела были кремированы; с этой целью я прилагаю к письму три завещания. Если же это будет невозможно, пусть господин Майер или господин Голдшмидт сделают всё, что в их силах (учтите, что моя жена и невестка — лютеране). Используйте сумму, уже внесенную нами в счет оплаты: моя жена уже оплатила расходы на похороны на протестантском кладбище (все документы вы найдете в ее спальне). Остаток суммы внесет моя дочь Нора. Простите нас за то, что мы доставили вам неудобства, в том числе после нашей смерти. Я убежден, что вы сделаете всё возможное и что мы не просим слишком многого. Простите нам наше бегство! Мы желаем вам и всем нашим друзьям лучшего будущего».

В этом письме, написанном за несколько часов до самоубийства, чувствуется, что обстоятельства застали Хаусдорфа врасплох. Он писал о самоубийстве несколько раз, и, возможно, эти размышления помогли ему принять тяжелое решение, однако никто не может знать, когда придет последний час. В 1899 году Хаусдорф написал эссе «Смерть и возвращение», на которое оказали большое влияние мысли Ницще о «свободной смерти». В прощальном письме Хаусдорфа, написанном утром в день самоубийства, отчетливо прослеживаются отголоски заповедей Заратустры. «Умри вовремя!» — словно кричат строки письма Хаусдорфа, как если бы он своим достойным поведением хотел показать, что «своею смертью умирает совершивший свой путь, умирает победоносно». Хаусдорф не был готов «повесить сухие венки в святилище жизни», поэтому он выбрал «свободную смерть, которая приходит ко мне, потому что я хочу».

В тот же день Хаусдорф, его жена Шарлотта и ее сестра Эдит приняли смертельную дозу барбитала. По-видимому, их последнее желание было исполнено: их тела были кремированы, а прах захоронен на кладбище Поппельсдорф.

Могила Феликса Хаусдорфа , его жены  Шарлотты , свояченицы Эдит , дочери Леноры и ее мужа на боннском кладбище Поппельсдорф.

И в завершение…

Возможно, наш воображаемый прохожий, к которому мы в начале главы обратились с вопросом о математике и природе человека, отметит, что всё вышесказанное мало помогает понять природу человека как вида. Он посчитает, что противопоставление абстрактного понятия размерности Хаусдорфа и эмоционального контекста его жизни не проливает свет на темные уголки человеческой природы, а, скорее, ставит перед нами новые вопросы. Тем не менее это противопоставление всё равно крайне полезно: именно размышления, вызванные различными вопросами и сомнениями, движут наш разум вперед и помогают лучше узнать человеческую сущность.