§ 36. Опыт Эрстеда

Опытами доказано, что электрическое поле сохраняется вокруг заряженной частицы, даже если она остаётся одна. Электрон и в вакууме является носителем электрического поля. На этом принципе работают все электронные лампы. К сожалению, многочисленные попытки найти частицы, несущие «магнитный» заряд, ни к чему не привели. Образец магнетита, который является природным постоянным магнитом, можно распиливать пополам множество раз, но у каждой новой половинки мгновенно возникает и северный и южный полюс.

Заметим, что линии «магнитного» поля, которые так любят демонстрировать в опытах с железными опилками, всегда замкнуты. Ключевое слово здесь «всегда». Представим, заряженная частица движется вдоль магнитной линии и возвращается в исходную точку. Энергия частицы не изменилась, значит, никакой работы поле не произвело. Действительно, многочисленные опыты показывают, магнитное поле работу не производит. Для нашего подхода это означает, что магнитное поле существует только на бумаге. То, что по традиции называют «магнитным полем», является свойством электрического поля, которое проявляется при движении заряженных частиц. Когда говорят, «действует магнитное поле», мы должны понимать, что работает электрическое поле, которое приобретает дополнительное действие при движении его носителя. Следует признать, за прошедшие почти два столетия теория магнетизма получила такое развитие, что её результатами пользуются все. Мы тоже будем применять понятия магнитной теории, чтобы не отходить далеко от традиционного курса. Иначе нас не поймут. Обратимся к опытам.

В 1820 году Эрстед пропустил через провод электрический ток и поднес магнитную стрелку. Стрелка отклонилась. Если провод с током действует на магнит, значит, вокруг провода с током возникает такое же поле, какое существует вокруг природного магнита, предположил Эрстед. Он объявил, что вокруг провода с током возникает магнитное поле и обозначил его буквой H. Заметим, в медном проводе никакого природного магнетизма нет, но легкая катушка с током повернётся возле провода с током точно так, как стрелка из магнетита. На этом основана работа любого прибора электродинамической системы. В них взаимодействуют электрические поля катушек с током. Справедливости ради стоит сказать, что в 1820 году об электронах ничего не знали.

Располагая одинаковые магнитные стрелки вокруг провода на расстоянии R, Эрстед выяснил, что напряженность поля вдоль окружности L = 2πR постоянна по величине и направлена по касательной к ней. Такое поведение поля теоретики называют циркуляцией. Эрстед предположил, что ток создает вокруг себя циркуляцию магнитного поля, которая пропорциональна силе тока. Остаётся найти связь силы тока, порождающего циркуляцию поля H, с электрическим полем E, возникающим вокруг провода с током I = Q/t.

Для составления уравнения можно обратиться к теореме Гаусса, согласно которой поток поля E вблизи провода равен Е S = Q/ε0 = I*t/ ε0, где S – поверхность провода.

Учитывая, что S = 2πrl, где r – радиус, l – длина провода, можно написать: Е = Q/2πrlε0 = It/2πrlε0, или: Е/t = I/2πrlε0 (36.1). Умножим обе части (36.1) на ε0 и введем обозначения: I/2πrl = j (плотность тока), и Еε0 = D (так называемое поле электрического смещения). Тогда уравнение (36.1) переходит в уравнение j = D/t (36.2). Другими словами, скорость изменения электрического смещения равна плотности тока, которая, как указал Эрстед, пропорциональна напряженности циркуляции магнитного поля Н. Это простое уравнение равносильно второму принципу Максвелла: «Циркуляция магнитного поля пропорциональна скорости изменения поля электрического смещения».

 

§ 37. Опыт Фарадея

В 1821 году Фарадей взял коробку из-под булавок и выломал у неё дно. На боковые стенки он намотал тонкий изолированный провод, столько витков, сколько поместилось. Получилась прямоугольная обмотка в виде рамки. Подвесив рамку на нити в поле постоянного подковообразного магнита, он пропустил через обмотку ток. Рамка повернулась вокруг вертикальной оси так, что линии магнитного поля прошли через её середину. Фарадей предположил, что у рамки с током появились полюсы, как у природного магнита.

Что же случилось с полем прямого провода с током после того, как его намотали на стенки коробка? Пока провод был прямым, вокруг него циркулировало поле. Линии этого поля были окружностями. При сгибании провода в виток линии поля сгустились внутри витка, но стали реже снаружи. Когда витками покрылась все стенки, линии внутри коробка сгустились ещё больше и выпрямились. Так сформировалось однородное поле. Фарадей решил, что внутри рамки возникло магнитное поле и она повернулась в однородном поле подковообразного магнита, как повернулась бы стрелка компаса.

Опыт Фарадея является обратным по отношению к опыту Эрстеда. В опыте Эрстеда прямой ток создавал циркуляцию поля. В опыте Фарадея циркулирующий ток создавал прямой поток поля. Сам Фарадей сформулировал результат опыта так: циркуляция тока по замкнутому контуру создает внутри контура поток магнитного поля. В дальнейших опытах Фарадей установил, что вращающий момент рамки с током (произведение ширины рамки на силу взаимодействия рамки с внешним магнитным полем) пропорционален длине рамки. Учитывая, что произведение длины на ширину дает площадь, Фарадей предложил характеризовать магнитное поле внутри рамки потоком магнитного поля: Ψ = n Н S (37.1), где S – площадь сечения рамки, n – количество витков провода в рамке.

На результатах опытов Эрстеда и Фарадея Максвелл построил половину своей теории электромагнетизма. Уравнения Максвелла на языке векторного анализа описывают то, что Эрстед и Фарадей установили опытным путем. В нашем энергетическом подходе эти результаты можно объяснить еще проще. В опыте Эрстеда электрический ток на прямом участке провода создает вокруг себя циркуляцию электрического поля, в которой лини поля являются концентрическими окружностями. В опыте Фарадея циркуляция электрического тока в витках провода создает внутри рамки поток электрического поля. В уравнении (37.1) под магнитным полем H следует понимать электрическое поле E, поскольку магнитное поле работать не может, а рамка с током всё же поворачивается! Иначе не объяснить работу приборов электродинамической системы, в которых взаимодействуют две обмотки. В этих приборах ток от источника питания проходит через неподвижную обмотку и создает внутри образцовый поток поля. Измеряемый ток, проходя через подвижную рамку, создает внутри неё опытный поток поля. При взаимодействии двух потоков возникает момент силы, который поворачивает рамку вместе с измерительно стрелкой вокруг оси. Угол поворота зависит от упругости пружинок, на которых подвешена рамка. Это работа электрических полей, вклада от магнетизма здесь нет.

 

§ 38. Магнетики

Теория магнетизма была призвана объяснить магнитные свойства материи. Коэффициент μ, показывающий, во сколько раз среда усиливает магнитное поле, назвали магнитной проницаемостью. Если μ меньше единицы, значит, данное вещество ослабляет поле. Такие материалы называют диамагнетиками (аналогично диэлектрикам, которые ослабляют электрическое поле). Пример диамагнетика – висмут. Вещество, которое незначительно усиливает магнитное поле, называют парамагнетиком. Пример – платина. Материалы, которые в разы (некоторые – в десятки раз) усиливают магнитное поле, называют ферромагнетиками. Пример, естественно, железо.

Природную намагниченность ферромагнетиков можно объяснить тем, что в расплавленном состоянии атомы ферромагнетика сцепляются в кольца из десятков и даже сотен атомов. При застывании расплава кольца соединяются в трубки длиной в тысячи атомов. Такие трубки состоят из миллионов атомов, у которых внешние электроны являются общими. Эти электроны легко циркулируют по поверхности трубок, создавая внутри потоки электрических полей Ф (в магнитной теории – магнитные потоки Ψ). Внешнее поле упорядочивает циркуляцию электронов по «стенкам» трубок, ориентируя потоки внутренних полей вдоль направления внешнего поля. При этом поля трубок складываются с внешним полем, усиливая его. Если ферромагнетик нагреть выше определенной температуры, связь между атомными кольцами разрушается и ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик.

Во времена Эрстеда считали, что магнитное поле создается двумя типами магнитных «зарядов»: северным (n) и южным (s). Коллеги Эрстеда брали закон Кулона, заменяли в нем переменные q1, q2 на n, s и формально получали силу магнитного взаимодействия Fm. Разделив Fm на s, они получали напряженность магнитного поля в виде: Н = Km n / r2 (38.1), где n – величина «северного» магнитного заряда. Фарадей первым стал характеризовать магнитное поле не формально, напряженностью Н, а индукцией поля B, которую он определял по величине наибольшего вращающего момента, когда рамка с током параллельна линиям поля: B = Mmax/IS (38.2), где I – сила тока, S – площадь рамки. Было бы справедливее, если единица магнитной индукции называлась фарада, а не тесла (Тл), как это принято сейчас. Индукция внешнего поля равна 1 Тл, если оно создает для рамки площадью 1 м2 и током 1 А момент Мmax = 1 Н*м.

Позже было доказано, что раздельных магнитных зарядов не существует, а магнитную стрелку всегда поворачивает пара сил (от южного и северного полюса), создавая вращающий момент. Таким образом, прав оказался Фарадей.

 

§ 39. Получение переменного тока

Переменным называют ток, который периодически меняет свою величину и направление. Переменный ток возникает, если к проводнику приложить переменное напряжение. Напряжение будет переменным, если разность потенциалов на полюсах генератора будет меняться по величине и по направлению. Попробуем смастерить простенький генератор переменного тока.

Возьмем толстый медный провод и согнем его в прямоугольную рамку. Концы провода подключим к микроамперметру с нулем в середине шкалы. Еще возьмем большой подковообразный магнит и положим на стол, чтобы северный полюс был слева. Подвесим рамку вертикально внутри магнита плоскостью перпендикулярно магнитным линиям. Назовем вертикальную ветвь рамки, ту, что в глубине магнита, первой, а ветвь, что ближе к нам, второй. Теперь плавно повернем рамку на 360 градусов по часовой стрелке (если смотреть сверху). Прибор покажет, что в рамке был ток. Сначала он был небольшим, затем увеличился, потом упал до нуля. Это было на первом полуобороте рамки. На втором полуобороте стрелка прибора отклонилась в обратную сторону. Обратный ток тоже сначала был небольшим, затем увеличился, потом упал до нуля. По определению, при повороте рамки в магнитном поле в ней возник переменный ток. Что же произошло?

Мысленно рассечем рамку горизонтальной плоскостью. Получится два сечения. В каждом сечении имеются свободные электроны. Поворачивая рамку, мы заставляем электроны перемещаться по горизонтальной окружности. Получается круговой ток. Но круговой ток рождает поток поля, который направлен вертикально, вдоль оси вращения рамки. Поле магнита, напомним, направлено слева направо, т. е. горизонтально. Все знают, если два полосовых магнита сложить крестом, они сразу развернутся так, чтобы северный полюс одного магнита притянулся к южному полюсу другого. Если поток поля изобразить стрелкой компаса, то поле магнита просто повернуло бы её на 90 градусов. Если вместо рамки был бы диск, то электроны закружили бы по окружности диска. Но электроны находятся в рамке, они не могут покинуть провод. Значит, поле магнита будет смещать электроны вверх или вниз вдоль вертикальных сторон рамки. Назовём их ветвями рамки.

После Фарадея ряд опытов поставил Лоренц. Он придумал простое правило, как узнать направление тока в ветвях рамки, если известно направление магнитного поля (правило левой руки). Нужно расположить левую ладонь так, писал Лоренц, чтобы линии поля входили в нее, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока. Тогда отставленный большой палец покажет отклонение заряда в магнитном поле. Следует заметить, что Лоренц имел в виду положительные заряды. Но мы с вами знаем, что ток в ветвях рамки образуют отрицательно заряженные электроны. Значит, для электронов надо взять правую руку. Мы будем применять правило «руки» Лоренца, так как оно простое и наглядное.

Напомним, что в нашем опыте магнитное поле направлено слева направо. В первом полуобороте рамки первая ветвь двигалась к нам, а вторая – от нас. Значит, сила Лоренца в первой ветви была направлена вниз, во второй – вверх. Под действием пары сил Лоренца электроны перетекали из первой ветви во вторую, а из второй – возвращались через микроамперметр обратно в первую. При этом стрелка прибора отклонялась вправо – показывала прямой ток. Во втором полуобороте электроны возвращались из второй ветви обратно в первую, затем, через микроамперметр, попадали во вторую ветвь. При этом стрелка прибора отклонялась влево, показывала обратный ток. Таким образом, при вращении в магнитном поле проволочной рамки полюсы на ее концах меняются местами. Это значит, что напряжение меняет знак. Если такую рамку вращать непрерывно, получится генератор переменного напряжения, который во внешней цепи создает переменный ток. Подчеркнем, что правило Лоренца вытекает из принципа Фарадея о циркуляции тока.

 

§ 40. Уравнение переменного тока

Возникает вопрос, как сила тока в рамке растет от нуля до максимума, а затем снова падает до нуля? Величина тока, очевидно, зависит от силы Лоренца. Значит, сила Лоренца меняется за время оборота рамки. Заметим, при повороте рамки изменяется угол, под которым заряды внутри рамки пересекают линии поля магнита. Подсказку дает формула Фарадея (38.2). Из неё следует, что сила, поворачивающая рамку с током в магнитном поле, максимальна, когда плоскость рамки параллельна линиям магнитного поля. В нашем случае это значит, что сила Лоренца максимальна, когда электроны в ветвях рамки пересекают линии поля под прямым углом. В этот момент ток через микроамперметр достигает наибольшего значения. При дальнейшем повороте рамки угол начинает уменьшаться, вместе с ним уменьшается сила тока. Угол равен нулю, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. В этот момент ветвь рамки движется параллельно линии поля. Когда сила Лоренца равна нулю (читатель сам может проверить), ток исчезает. Заметим, за один оборот рамки это происходит дважды.

В математике известны функции, обладающие такими свойствами. Это: y = Asin α и y = Bcos α. Вид функции зависит, от чего измерять угол α. Если угол брать между линией поля и перпендикуляром к плоскости рамки, подходит функция i = Asin α (А=Imax). Если угол брать между линиями поля и плоскостью рамки (по Фарадею), подходит функция i = Imaxcos α (40.1). Из уважения к Фарадею выберем (40.1) в качестве исходного уравнения для силы тока.

Напряжение на полюсах тоже изменяется по закону косинуса. Аналогичная функция имеет вид: u = Umax cos α (40.2). Поскольку угол α зависит от времени, введём угловую скорость вращения рамки: ω = α/t. Отсюда: α = ωt (40.3). Подставляя (40.3) в (40.1) и (40.2) получим: i = Imaxcos ωt (40.4) и u = Umax cos ωt (40.5). Еще введём период Т, это время, за которое рамка поворачивается на 360º. Значит, можно написать: ωТ = 360º = 2π (рад). Отсюда следует, что ω = 2π/Т (40.6). Из уравнения 1/Т = f следует, что ω = 2πf (40.7). Параметр ω называют круговой частотой. В отечественной энергетике принят стандарт частоты, равный 50 Гц.

Уравнения (40.4) и (40.5) описывают работу генератора переменного напряжения. Этот генератор является более простым и удобным по сравнению с генератором постоянного напряжения, о котором мы говорили в § 25. Почти все электростанции, снабжающие города и села электроэнергией, оборудованы генераторами переменного напряжения. Благодаря этому электроэнергия стала дешевле, стало проще передавать её на большие расстояния.

 

§ 41. Сопротивление переменному току.

Если закон Ома (27.1) формально записать для переменного тока, получится уравнение: i = u/Z (41.1), где Z – сопротивление переменному току. Подставляя (40.4) и (40.5) в (41.1), получим: Imaxcos ωt = Umaxcos ωt /Z, откуда следует: Imax = Umax/Z (41.2). Уравнение (41.2) показывает, что для амплитудных значений переменного тока и напряжения закон Ома выполняется. Договоримся далее писать амплитудные значения I, U без индексов «max». Мгновенные значения тока и напряжения мы будем обозначать как i и u. Выясним, от чего зависит сопротивление Z. Для этого выполним несколько опытов.

Возьмем медный провод диаметром 0,25 мм, длиной 15 м и при помощи цифрового омметра измерим его сопротивление постоянному току. Прибор покажет величину R = 4 Ом. Назовем это сопротивление омическим (в честь Г. Ома). Возьмем генератор переменного напряжения, снабженный вольтметром и амперметром, и присоединим концы провода к его клеммам. Установим выходное напряжение U = 2 В и включим генератор. Амперметр покажет, что в проводе протекает ток, амплитуда которого равна 0,5 А. Простой расчет по формуле (41.2) показывает, что свободно лежащий провод оказывает переменному напряжению омическое сопротивление R = 4 Ом.

Изменим опыт. Отсоединив провод, намотаем его по часовой стрелке виток к витку на тонкую трубку диаметром около 5 см и снова подключим к генератору. Амперметр покажет, что сила переменного тока значительно уменьшилась. Плавно увеличивая напряжение, доведем силу тока до 0.5 А. Вольтметр покажет, это случилось при напряжении, равном 40 В. Расчет по формуле (41.2) дает, что катушка оказывает переменному току сопротивление Z = 80 Ом. Это означает, что к омическому сопротивлению R = 4 Ом добавилось неизвестное сопротивление Х = 76 Ом и полное сопротивление катушки равно Z = R + X (41.3). Попробуем выяснить, откуда появилось сопротивление X.

Для простоты используем теорию магнетизма.

Согласно теории, циркуляция тока в витках катушки порождает внутри трубки катушки поток поля. При диаметре трубки 5 см наша катушка содержит около 100 витков. Такую достаточно длинную катушку называют соленоидом. Внутри соленоида поле практически однородно. Линии поля выходят из северного полюса, возвращаются вдоль наружной поверхности соленоида и снова попадают внутрь соленоида у южного полюса. Границей между внутренними и наружными линиями поля служит воображаемая цилиндрическая поверхность, проходящая примерно через середину слоя витков. Назовем ее нулевой поверхностью, так как на ней поле равно нулю.

Мысленно рассечем соленоид вдоль оси вертикальной плоскостью. В каждом витке получится два сечения: верхнее и нижнее. В верхнем сечении ток направлен от нас, в нижнем – к нам. Напомним, магнитное поле внутри соленоида направлено справа налево, снаружи – слева направо. Применим правило Лоренца для верхнего сечения витка. Согласно правилу, для электрона, который перемещается по витку снаружи нулевой поверхности, сила Лоренца направлена от оси соленоида наружу. Для электрона внутри нулевой поверхности сила Лоренца направлена внутрь соленоида. Получается, что собственное магнитное поле соленоида вытесняет ток на поверхность провода. При этом ток может протекать только в тонком приповерхностном слое. Это равносильно уменьшению сечения провода. Согласно (27.2), при уменьшении сечения провода его сопротивление увеличивается. Очевидно, причиной появления дополнительного сопротивления соленоида является поле.

Поскольку поле характеризуется магнитной индукцией (Фарадей), сопротивление Х назвали индуктивным и обозначили XL (L – в честь Лоренца).

Изменяя частоту генератора, легко проверить, что сопротивление XL прямо пропорционально частоте тока. Если ω = 0, то XL = 0. Таким условиям соответствует функция XL = Lω (41.4), где L – коэффициент пропорциональности. Генри доказал, что параметр L зависит от площади витков, их количества и материала каркаса катушки. Параметр L назвали индуктивностью катушки, а единицу ее измерения – генри (Гн). Из (41.4) следует, что индуктивность катушки равна 1 Гн, если она оказывает сопротивление 1 Ом переменному току с частотой 1 Гц. Подставляя (41.4) в (41.3), получим: Z = R + ωL (41.5).

 

§ 42. Индукция и самоиндукция

Измерения показывают, что переменный ток в соленоиде достигает максимального значения на четверть периода позже относительно напряжения. Попробуем разобраться в этом явлении. Допустим, напряжение описывается функцией u = U sin ωt (42.1), где частота ω равна 50 Гц. Это значит, что период напряжения равен 20 мс, а одна четверть периода равна 5 мс. Для электрона это приличное время. В первую миллисекунду после включения генератора ток в обмотке, конечно, есть. Этот циркулирующий ток создает поток поля внутри соленоида. Фарадей называл его магнитным, но суть от этого не меняется. Главное, что поле действует на электроны проводимости по правилу Лоренца. Легко определить, что сила Лоренца вытесняет электроны (т. е. породивший её ток) на поверхность провода обмотки. Электроны вместо того, чтобы двигаться вдоль оси провода, расходятся к поверхности под углом, который зависит от частоты генератора. Величина тока в проводе падает, что равносильно появлению сопротивления XL = ωL. С другой стороны, при этом растёт концентрация электронов в приповерхностном слое провода. Здесь возникает собственное электрическое поле, которое усиливается пропорционально концентрации электронов. Напряженность этого поля растет, пока кулоновская сила отталкивания между электронами не сравняется с концентрирующей силой Лоренца. Возникает динамическое равновесие, при котором небольшой ток протекает через тонкий слой провода у его поверхности. Назовем этот ток током утечки.

Во второй четверти периода напряжение генератора начинает уменьшаться в соответствии с функцией синуса (42.1). Вместе с напряжением уменьшается ток утечки. Слабеющая сила Лоренца не может больше удерживать электроны в тонком слое провода. Теперь собственное кулоновское поле выталкивает электроны вглубь провода, а напряжение генератора перемещает их вдоль оси в прямом направлении. Так в проводе появляется дополнительный ток, направление которого совпадает с током утечки. Э. Ленц назвал его током самоиндукции, полагая, что этот ток индуцировало собственное магнитное поле соленоида. Мы знаем, что это не так – дополнительные электроны появились из тонкого приповерхностного слоя провода, куда их согнала «сила» Лоренца. Тем не менее, мы будем придерживаться термина «ток самоиндукции» из уважения к выдающемуся физику Ленцу. Сила тока самоиндукции достигает максимума в конце второй четверти периода, когда напряжение генератора падает до нуля. Это доказывает, что источником тока самоиндукции является не «магнитное» поле соленоида, которое исчезло вместе с током от генератора, а кулоновское поле зарядов, запасенных, как в конденсаторе, в приповерхностном слое.

В третьей четверти периода напряжение генератора меняет знак. Теперь ток утечки направлен в обратную сторону, но в проводе все еще существует прямой «ток самоиндукции», так как его поддерживает собственное кулоновское поле. По этой причине амперметр показывает прямой ток в проводе, хотя напряжение генератора уже пять миллисекунд, как направлено в обратную сторону. Ток самоиндукции начинает быстро падать до нуля, когда в третьей четверти периода в приповерхностном слое провода доминирует обратный ток утечки за счет обратного напряжения генератора. В начале четвертой четверти периода обратное напряжение генератора начинает уменьшаться. Обратный ток утечки падает, вместе с ним слабеет магнитное поле. С этого момента в проводе появляется обратный ток самоиндукции, который четверть периода будет поддерживать слабеющей обратный ток утечки. Поэтому амперметр покажет наличие обратного тока, несмотря на падение обратного напряжения генератора. Обратный ток, поддерживаемый зарядами из приповерхностного слоя, достигнет максимума в конце четвертой четверти периода, когда напряжение генератора и индуцируемая им сила Лоренца упадут до нуля. Поэтому в первой четверти второго периода амперметр покажет в проводе наличие обратного тока, хотя напряжение генератора уже действует в прямом направлении.

Для объяснения этих «странных» явлений Ленц ввел понятие «э.д.с. самоиндукции», которая всегда направлена против напряжения генератора. Максвелл в своей теории ввел понятие «ток смещения». Заметим, что разность потенциалов Фарадея, э.д.с. Ленца, напряжение Ома, ток смещения Максвелла – все эти величины о в принципе имеют одну и ту же природу, так как все они измеряются в вольтах. Эти величины характеризуют, в разных условиях, работу электрического поля по перемещению заряженной частицы. Разнообразие терминов, отражающее исторические вклады гениев в теорию электромагнетизма, не всегда помогает понять природу электричества. Можно проще объяснить результаты опытов Фарадея и Ленца, не отступая при этом от общепризнанных принципов Максвелла.

 

§ 43. Принципы Максвелла

Обратимся к закону Ома (41.2). Перепишем его в виде: u = iZ, или, с учетом (41.3): u = i (R + XL) = iR + iXL = iR + iωL (43.1). Заметим, что в (43.1) слева стоит мгновенное значение напряжения генератора. Значит, справа находится сумма двух величин, измеряемых в вольтах. Нас интересует второе слагаемое, которое зависит от частоты тока и индуктивности соленоида. Обозначим его как: uL = iωL (43.2). Слева в (43.2) стоит величина, измеряемая в вольтах, пропорциональная частоте, индуктивности, току. Очевидно, это и есть э.д.с. самоиндукции Ленца, причина тока самоиндукции. Принимая во внимание, что электроны колеблются в проводе линейно, заменим круговую частоту ω на линейную f = 1/T. Кроме того, мы должны учесть, что э.д.с. самоиндукции всегда направлена против напряжения генератора. Тогда уравнение (43.2) принимает вид: uL = – ifL = – Li/T (43.3). Мы получили уравнение, которое показывает, что изменяющийся во времени ток i/T в среднем за период T создает в проводнике встречное электрическое поле -u. Величина i/T измеряется в амперах в секунду. Очевидно, это есть скорость тока i/t, о которой писал Фарадей, когда записывал уравнение для э.д. с самоиндукции в виде: Є = – Li/t (43.4). Позже Максвелл ввел понятие магнитного потока Ф = Li (43.5). В его теории уравнение Фарадея выглядит как: Є = – Ф/t (43.6). Заметим, по Ленцу закон самоиндукции имеет вид: e = – Li/t (43.7), что выглядит ближе к уравнению (43.4).

В предыдущем параграфе мы выяснили, что источником тока самоиндукции является разность потенциалов между поверхностью провода и его средней частью. Выберем единый термин для э.д. с самоиндукции, измеряемой в вольтах. Лучше принять термин «напряжение», который уже использовался в разделе о постоянном токе. Тогда уравнение (43.4) принимает вид: uL = – Li/t (43.8), где uL – напряжение самоиндукции.

Мы составили уравнение (43.8), исходя из закона Ома для переменного тока. Обобщим наши результаты в виде двух принципов электродинамики Максвелла и соответствующей энергетической схемы.

1. Переменное электрическое напряжение u от внешнего генератора создает в витке провода циркуляцию переменного тока i. Циркуляция переменного тока i создает внутри витка провода поток переменного поля Ф = Li.

2. Поток переменного поля Ф создает в проводе переменное напряжение самоиндукции uL = – Ф/t, которое направлено против напряжения генератора u.

3. Учитывая, что напряжение характеризует работу поля, преобразование энергии в соленоиде происходит по следующей схеме: напряжение генератора (u) → циркуляция тока (i) → поток поля (Ф) → напряжение самоиндукции (-uL) → ток самоиндукции (-iL).

 

§ 44. Реактивные сопротивления

Реактивными называют индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора.

С индуктивным сопротивлением мы знакомы. Чтобы понять, что такое ёмкостное сопротивление, проделаем опыт. Установим на генераторе переменное напряжение u = 40 В и присоединим к нему конденсатор ёмкостью С = 250 мкф. После включения генератора амперметр покажет, что в цепи появился ток: i = 0.5 А. Значит, конденсатор проводит переменный ток, оказывая ему определенное сопротивление. Обозначим его XC. По закону Ома i = u/ XC, откуда: XC = u/i ((44.1). Подставляя данные измерения в (44.1), получим: XC = 40/0.5 = 80 Ом. Величину XC называют ёмкостным сопротивлением.

Результат может показаться удивительным, ведь конденсатор не должен пропускать ток. Правда, раньше речь шла о постоянном токе. Значит, переменный ток создает в конденсаторе нечто такое, что воспринимается как сопротивление XC. Опыты показывают, что емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости и частоте: XC = 1/ ωC (44.2). Чтобы понять природу емкостного сопротивления, попробуем выяснить, что происходит, когда конденсатор включают в цепь переменного тока.

В первую четверть периода генератор направляет электроны в конденсатор и в цепи наблюдается прямой ток. Это ток зарядки. Во второй четверти напряжение генератора начинает уменьшаться (падать). Так как напряжение на заряженном конденсаторе теперь больше падающего напряжения генератора, в цепи сразу возникает обратный ток. Заметим, если в цепи было бы только активное сопротивление, обратный ток появился только бы в третьей четверти. Значит, в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на четверть периода. Напомним, в цепи с индуктивным сопротивлением ток отставал от напряжения.

Что будет, если к генератору подключить включить катушку, конденсатор, а затем плавно изменять частоту? В данном случае сопротивление нагрузки равно сумме трех сопротивлений: Z = R+XL—Xc. На определенной частоте сопротивления XL и Xc должны сравняться и компенсировать друг друга. Опыт показывает, что это действительно так. Можно подобрать частоту резонанса ω = ωR такую, что ωRL = 1/ωRC (44.3). Отсюда следует, что ωR2 = 1/LC (44.4). На частоте ω = ωR ток достигает максимума: i = u/R. Формула (44.4) играет важную роль в радиотехнике.

Из опытов следует, что реактивное сопротивление не является сопротивлением в прямом смысле, ведь активные сопротивления при складывании не уничтожают друг друга. Вспомним, активное сопротивление возникает потому, что электроны налетают на кристаллическую решетку проводника и отдают ей свою энергию, которая превращается в тепловые колебания. Это безвозвратные потери энергии. Реактивное сопротивление создается быстропеременным полем внешнего генератора. В катушке индуктивности поле генератора смещает электроны к поверхности обмотки, создавая напряжение самоиндукции, уменьшающее ток. В конденсаторе поле генератора деформирует структуру диэлектрика между обкладками конденсатора.

Заметим, заряженный конденсатор сам становится источником напряжения, когда возвращает энергию в цепь генератора. Это значит, из конденсатора не сделать кипятильник, так как в конденсаторе энергия поля не преобразуется в тепло. Фактически, реактивное сопротивление есть реакция связей внутри вещества, которая приводит к повышению внутренней потенциальной энергии. При этом избыточная энергия, запасённая в связях, как в пружинах, возвращается в генератор после снятия внешнего поля. Нас не должно смущать, что деформация вещества характеризуется в омах. К примеру, если единицу ёмкости фараду перевести в природные величины, получится, что ёмкость измеряется в метрах: размерность [С] = [L]. Все зависит от выбора системы измерений, а это дело вкуса.

Возможно существование реактивных сопротивлений в других структурах, например, реактивное сопротивление электролита переменному току протонов. Ввиду большой массы протона этот эффект должен быть слабо выражен и практическое значение иметь вряд ли сможет, даже если будет обнаружен.

 

§ 45. Проектируем трансформаторы

Самым наглядным и живым воплощением теории электрического магнетизма является трансформатор – устройство для преобразования электрического напряжения. Попробуем спроектировать трансформатор для питания самодельного гитарного усилителя.

В простейшем трансформаторе на железный сердечник наматывают две обмотки из изолированного провода. Первичную обмотку подключают к источнику переменного напряжения, например к бытовой электросети 220 В. В обмотке возникает переменный ток, который создает переменный поток поля Ф (см. § 43). Этот переменный поток охватывает вторичную обмотку. В ней возникает напряжение самоиндукции: uL = – Ф/t. Если к концам вторичной обмотки подключить нагрузку, в ней возникнет ток i = uL/Z. Следует подчеркнуть, что обмотки трансформатора изолированы друг от друга. Энергия из одной обмотки передаётся в другую через поток поля, который зависит от толщины сердечника. Напряжение во вторичной обмотке зависит от её индуктивности, в основном, от числа витков (см. 37.1). Изменяя количество витков, можно получить нужное напряжение на выходе. Из справочника узнаем следующие рекомендации для конструирования бытовых трансформаторов.

Сердечник собирают в виде пакета из плоских Ш – образных пластин или из многослойных штамповок З – образного профиля.

Каркас с обмотками надевают на среднюю стойку пластин «Ш» или на перемычку «З».

Сначала наматывают вторичную обмотку, затем поверх неё – первичную.

Для вторичной обмотки рекомендовано оптимальное напряжение 36 вольт.

Допустим, гитарный усилитель должен иметь максимальную мощность 17 Вт (такой усилитель продавался в магазине музыкальных инструментов).

По формуле P = IU определяем максимальные токи в обмотках:

I1 = P/U1 = 17/220 = 0.03 А; I2 = P/U2 = 17/36 = 0.47 А (почти 0.5 А).

По справочнику находим сечения проводов для токов 0.03 А и 0.5 А, и сечение сердечника для мощности 17 Вт. Практика показывает, что не всегда на складе имеется то, что предписано справочником. Можно брать материалы из тех, что есть, но с запасом прочности. Если на полке вы обнаружили пару заводских бобин с проводами диаметром 0.15 и 0.5 мм, и готовый Ш-сердечник с сечением от 6 до 9 см2, то в принципе это то, что нужно. Для экономии провода можно принять n1 = 1760 (по 8 витков на 1 вольт сети). Тогда n2 = 36 х 8 = 288 (витков). Добавив 12 витков на компенсацию потерь, получим: n2 = 300 (витков). На простейшем станке, снабженном счетчиком витков, намотать обмотки для трансформатора не составит особого труда. Согласно рекомендациям, на картонный каркас сначала наматываем 300 витков из провода диаметром 0.5 мм. Затем поверх наматываем 1760 витков из провода диаметром 0.15 мм. Концы проводов припаиваем к контактным площадкам на каркасе, который надеваем на среднюю стойку Ш – пластины.

Если первичную обмотку трансформатора соединить с сетью 220 В, а к вторичной подключить вольтметр, прибор покажет, что она генерирует напряжение 38 вольт. Это то, что надо. Лишние 2 вольта «упадут» на схемах выпрямителя, а к усилителю поступят 36 вольт постоянного напряжения. При максимальной громкости гитары ток на выходе усилителя будет: I = 0.5 А. Умножая силу тока на напряжение U = 36 В, получим максимальную мощность P = I U = 0.5 х 36 = 18 (Вт). Это даже больше, чем заказывал гитарист. Поклонники рок-музыки должны помнить, что рокн-ролл жив благодаря Майклу Фарадею, который первым сформулировал принципы электрического магнетизма.