§ 46. Атом водорода

Все знают, что свет излучается атомами раскаленного вещества (достаточно взглянуть на угли горящего костра). Несмотря на очевидность факта, атомную физику преподают после оптики. На наш взгляд, логичнее сначала объяснить, как устроен атом, а уже потом рассказывать, как он излучает свет. Исторически так сложилось, что Герц завершил электромагнитную теорию Максвелла задолго до того, как Резерфорд открыл, а Бор объяснил устройство атома водорода. В университетах сразу начали преподавать волновую теорию света, которая объясняла интерференцию, дифракцию, в общем, то, что было известно еще Ньютону. Потом была открыта линейчатость атомных спектров, фотоэффект и многое другое, что волновая теория объяснить не могла. Появилась новая, квантовая теория света. Тем не менее, вклад Максвелла и Герца в физику был настолько велик, что отказ от электромагнитной теории света стал бы неприличным. Так сложилась традиция сначала читать классическую волновую оптику и только потом – новую теорию квантов.

Неудобства такой методики очевидны. Сам Фейнман, оказавшись заложником традиции, был вынужден остановиться посередине своего знаменитого курса лекций и сказать: «Извините ребята, но все, о чем мы до сих пор говорили, это неправда». И перешел к теории квантов.

Возникает вопрос, зачем время терять? Перепрыгнув через тупик «ультрафиолетовой катастрофы», куда неизбежно заводит волновая теория света, мы сразу начнем с устройства атома. Надеемся, свет появится в конце тоннеля.

Согласно теории Резерфорда, атом любого вещества состоит из ядра с положительно заряженными протонами, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Простейшим из атомов является атом водорода. Он содержит один протон и один электрон. Возникает вопрос, как мог образоваться такой атом? Ученые утверждают, что на заре времен, сразу после Большого взрыва, атомов не существовало. Вместо них в вакууме клубилась первичная плазма. Так называют электронно-протонный газ, в котором частицы носятся с огромными скоростями. По мере расширения Вселенной скорости частиц уменьшались, пока энергия электронов не сравнялась с энергией кулоновского притяжения.

Представим, что электрон пролетает мимо протона. Известно, масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона. Если скорость электрона невелика, массивный протон захватывает легкий электрон и заставляет вращаться вокруг благодаря силе кулоновского притяжения: F = -e2/4πε0r2 (46.1). Простейшей из орбит является окружность. Попробуем вычислить ее радиус r. Обозначим скорость электрона через v, тогда его кинетическая энергия равна: Ек = mv2/2 (46.2), где m – масса электрона. Но электрон в поле протона имеет еще и потенциальную энергию Ep = Fr (46.3). Подставляя (46.1) в (46.3), получим: Ep = -e2/4πε0r (46.4). Знак минус указывает, что потенциальная энергия электрона внутри атома отрицательна. Выразим кинетическую энергию электрона через параметры кулоновского поля. Мы знаем, что центростремительная сила при движении по окружности равна: Fцс = ma = mv2/r (46.5). В нашем случае это сила связи F = e2/4πε0r2 (46.6). Приравняв (46.5) и (46.6), получим: mv2/r = e2/4πε0r2, или mv2 = e2/4πε0r, или mv2/2 = e2/8πε0r = Ek (46.7). Знак плюс в (46.7) означает, что кинетическая энергия положительна. Сложив (46.7) и (46.4), мы получаем полную энергию электрона в атоме: E = e2/8πε0r – e2/4πε0r = -e2/8πε0r (46.8). Знак минус в (46.8) указывает, что полная энергия электрона в атоме отрицательна. Таким образом, радиус орбиты электрона зависит от его полной энергии: r = e2/8πε0E (46.9). Знак минус не пишем, так как радиус орбиты не может быть отрицательным. Заметим, мы вынуждены жонглировать знаками «плюс» и «минус» потому, что силе притяжения в законе Кулона принято приписывать знак минус, а силе притяжения в законе тяготения Ньютона – знак плюс. Это тоже своего рода традиция.

Из уравнения (46.8) следует, что при уменьшении радиуса орбиты энергия электрона, с учетом знака, тоже уменьшается. В глубоком космосе, при абсолютном нуле, электрон в атоме водорода имеет минимальную энергию. Это значит, что он вращается по орбите с минимальным радиусом. Можно предположить, что до рождения звезд весь водород в нашей Вселенной находился в таком состоянии.

Представим, в откачанную от воздуха колбу впустили немного атомарного водорода и закрыли. Кто-то скажет, что атомы водорода легко связываются в пары, образуя молекулы. Это верно, но молекулу водорода так же легко можно разложить на атомы. Нас интересует именно атомарный газ водорода. Если пропускать через атомарный водород электрические разряды, газ засветится красновато-оранжевым цветом. Что происходит с атомом водорода? Часть энергии генератора, очевидно, передается электрону через электрическое поле. С увеличением энергии электрона радиус его орбиты увеличивается. Такой атом называют возбужденным. Известно, любая система стремится избавиться от излишка энергии. В перерывах между разрядами электрон излучает излишек энергии в виде короткого импульса энергии и возвращается в исходное состояние. Измерения показывают, что процесс излучения занимает всего 10-8 с. Это немного.

Излученный электроном излишек энергии принято называть квантом. Очевидно, квант имеет электрическую природу, так как он передался электрону от электроискрового генератора через электрическое поле. Кванты, которые человек может видеть, называют фотонами. Атомы водорода излучают фотоны нескольких видов. Одни видны как вспышки красного цвета, другие – как синего. Если искры пропускать достаточно часто, отдельные вспышки сливаются в непрерывное свечение. Человек может видеть фотоны разных цветов, от красного до фиолетового. Возбужденный атом водорода может излучать также и невидимые кванты.

 

§ 47. Разрешенные орбиты

В § 46 выяснилось, что с увеличением энергии радиус орбиты электрона возрастает. Возникает вопрос, изменяются ли энергия и радиус непрерывно, или некоторые их значения запрещены? Вспомним, в кристаллах электроны, связанные с атомами, имеют отрицательную энергию, а свободные – положительную. Между ними существует зона запрещенных энергий. Возможно, для электрона в атоме водорода какие-то значения энергии тоже запрещены? Ответ может дать только опыт.

Если внутрь нашей колбы поместить плоский конденсатор и соединить с генератором постоянного напряжения, получится встроенный источник электрического поля. Начнем постепенно увеличивать напряжение генератора. В определенный момент амперметр покажет скачок тока, который вскоре упадет до нуля. Что же случилось? Мы знаем, что нейтральный газ не проводит ток. Зато известно, что плазма хорошо проводит ток. Очевидно, как только напряжение достигло величины, достаточной для отрыва электрона от ядра, атомы водорода начали распадаться на электроны и протоны. Такой процесс называют ионизацией, так как нейтральный атом превращается в ион. Протоны и электроны начинают перемещаться к пластинам конденсатора, создавая кратковременный ток (плоский конденсатор удобен тем, что он создает однородное электрическое поле, которое легко измерять). В результате опытов, проведенных в различных условиях ионизации, выяснилось следующее.

При сверхнизкой температуре ионизация атома происходит при напряжении генератора U, равном 13.6 В (для удобства будем округлять до десятых долей вольта). До этого ток отсутствует, газ остается нейтральным. При нормальной температуре ионизация происходит дважды: при U = 13.6 и U =3.4 (В). При высокой температуре ионизация возникает трижды: при U = 13.6, 3.4 и 1.5 (В). В горячем газе ионизация происходит четырежды: при U = 13.6, 3.4, 1.5 и 0.85 (В). Наконец, в раскаленном газе ионизация возникает пять раз: при напряжении U, равном: 13.6, 3.4, 1.5, 0.85 и 0.5 (В) (47.1). Попробуем объяснить полученные результаты.

Вспомним, что при движении заряда q в поле совершается работа А = q U (47.2). Заменяя в (47.2) q на заряд электрона e, получим: А = e U (47.3). Очевидно, работа (47.3), необходимая для ионизации атома, численно равна энергии электрона на данной орбите. Значит, значения напряжения из ряда (47.1) соответствуют ионизации атомов водорода при отрыве электронов с пяти различных орбит.

Для удобства пронумеруем их цифрами от 1 до 5.

При сверхнизкой температуре электроны в атомах находятся только на орбитах № 1. При этом их энергия равна, согласно (47.1): Е1 = -13.6 эВ. Как только напряжение генератора достигает 13.6 В, электроны отрываются от протонов и между пластинами конденсатора появляется облачко плазмы. Амперметр сначала показывает ток, но после разделения и поглощения заряженных частиц обкладками конденсатора ток падает до нуля.

При нормальной температуре атомы водорода двигаются быстрее и могут соударяться между собой. Если энергия удара достаточна велика, один из электронов может перескочить на орбиту № 2, где его энергия, очевидно, равна Е2 = -3.4 эВ (см. 47.1). Таким образом, при нормальной температуре в колбе имеются два вида атомов. В одних электроны находятся на орбитах № 1, в других – на орбитах № 2. Электроны сначала отрываются от орбит № 2, когда напряжение генератора равно U = 3.4 В. В этот момент возникает первый скачок тока. Затем, когда напряжение генератора поднимается до величины 13.6 В, начинается ионизация атомов, в которых электроны находятся на орбитах № 1. В этот момент возникает второй скачок тока, который регистрирует амперметр.

Легко представить, что при дальнейшем повышении температуры в колбе появляются атомы, где электроны могут вращаться по орбитам № 3. Это значит, что в колбе одновременно присутствуют атомы трех видов. В одних электроны находятся на орбитах № 1, в других – на орбитах № 2. В атомах третьего вида электроны вращаются по орбитам № 3, где их энергия равна -1.5 (эВ). В этих условиях ионизация начинается с орбиты № 3, при напряжении генератора, равном 1.5 В.

В газе, температуру которого можно назвать очень горячей, одновременно могут быть атомы четырех видов. Поэтому здесь ионизация происходит четыре раза, начиная с напряжения генератора U = 0.85 В. Наконец, в раскаленном газе могут быть атомы пяти видов. В разных атомах электроны могут занимать места на разных орбитах, с первой по пятую. Поэтому в раскаленном газе ионизация происходит пять раз, начиная с самой верхней, пятой орбиты, при напряжении генератора всего U = 0.5 В.

Из опыта следует, что кроме данных (47.1) других значений напряжения ионизации нет. Это означает, что электроны в атоме водорода могут вращаться только по определенным орбитам, где они имеют энергию, соответствующую данным (47.1). Других орбит в атоме водорода нет. При еще более высоких температурах электроны могут располагаться на орбитах № 6, № 7 и так далее. Отметим, чем больше номера орбит, тем меньше расстояние между ними. Так, 10-я и 11-я орбиты энергетически различаются на 0.1 эВ. Это совсем немного. Правда, чтобы «загнать» электрон на орбиту № 11 потребуются звездные температуры. На Земле осуществить это непросто. Поэтому мы пока ограничимся полученными результатами и попробуем вычислить радиусы первых пяти разрешенных орбит, используя уравнение (46.9).

Для упрощения расчетов заменим Е на eU, а U возьмем из опытных данных (47.1).Тогда для радиуса r имеем: r = e2/8πε0eU, или r = e/8πε0U (47.4). Подставляя значения U в вольтах, получаем радиус ближайшей к ядру первой орбиты: r1 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х13.6 = 0.0529 (нм). Этот радиус называют «первым боровским» в честь Н. Бора, который раньше других предположил, что для электрона в атоме водорода разрешены не любые орбиты. Для следующих орбит имеем соответственно:

r2 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12х3.4 = 0.213 (нм), r3 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х1.5 = 0.477 (нм), r4 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х0.85 = 0.849 (нм), r5 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х0.5 = 1.334 (нм).

Выясняется, что электрон в атоме водорода может вращаться только по некоторым разрешенным орбитам, радиусы которых можно вычислить по формуле (47.4). Таким образом, спектр энергии электрона в атоме водорода состоит из дискретного набора чисел. Этим газ отличается от твердого вещества. В кристаллах и жидкостях энергия электрона в разрешенной зоне может изменяться непрерывно. Теоретически, по меньшей мере.

 

§ 48. Энергия кванта

Электрон, вращающийся на орбите № 1, пребывает на низшем энергетическом уровне, так как он обладает минимально возможной энергией, равной – 13.6 эВ. Такой электрон не может излучать энергию, как не может разуться босоногий. Если внешнее поле отсутствует, как например, в глубоком космосе, то электрон на этом уровне может оставаться сколько угодно, хоть миллиард лет. По этой причине орбиту № 1 принято называть стационарной. Очевидно, чтобы излучить энергию, сначала ее надо получить. Например, от Солнца. Если электрон поглотит солнечный квант с энергией 10.2 эВ, он окажется на втором энергетическом уровне (орбита № 2), где его энергия равна – 3.4 эВ. Это легко проверить: Е2 – Е1 = –13.6 + 10.2 = – 3.4 (эВ) (48.1).

В возбужденном состоянии электрон будет недолго. Через долю секунды он излучит квант с энергией 10.2 эВ и вернется обратно на первый уровень. Возникает вопрос: может ли электрон захватить любой квант? Очевидно, нет. Представим разрешенные уровни энергии в виде ступенек лестницы. Поднимаясь по лестнице, мы должны ставить ногу точно на ступеньку, иначе рискуем оступиться и упасть. Так и электрон. Чтобы очутиться на более высокой орбите, он должен «поглотить» квант с энергией, в точности равной разности между конечным и исходным уровнями. Ведь других промежуточных орбит в атоме не существует.

Правда, могут быть варианты. Например, если электрон на орбите № 1 захватит квант с энергией, равной 12.1 эВ, то он перепрыгнет на орбиту № 3, минуя орбиту № 2. Это как если человек бежит вверх, перепрыгивая через ступеньки.

В принципе, электрон может оставаться на высшем уровне достаточно долго. Это случается, когда окружающее пространство заполнено излучением и электрону трудно отдать излишек энергии. Например, атом находится внутри раскаленной солнечной короны. Возможно, электрон излучает квант в пространство, но он тут же получает его обратно. В этом смысле все разрешенные орбиты тоже можно называть стационарными, так как, находясь на них, электрон сохраняет энергию. Это противоречит теории Максвелла, исходя из которой, электрон при непрерывном вращении должен постоянно излучать энергию, уменьшая радиус вращения, пока не упадет на ядро. Это не соответствует практике: ведь атомы стабильны. Очевидно, электрон излучает излишек энергии только при переходе с высшего уровня на низший. Как он это делает – тайна века! Фейнман говорил, что самая большая загадка электрона в том, что он имеет массу покоя. Действительно, свободный электрон имеет массу, это признак частицы. Но, находясь внутри атома, он легко поглощает и генерирует фотоны, которые не имеют массы покоя. Здесь есть о чем подумать.

Мы уже говорили, что электрон излучает квант в течение 10-8 с независимо от величины его энергии. Это интересно. Допустим, электрон перескочил с уровня № 3 на № 2. В этом случае энергия кванта составит: Е3 – Е2 = -1.5 – (-3.4) = 1.9 (эВ) (48.2). Получается, что при переходе 2→1 энергия излучения в пять раз больше, чем при переходе 3→2, хотя время излучения одинаково. Это возможно, если скорость излучения в первом случае больше. Но скорость излучения есть энергия, деленная на время. Выходит, энергия кванта пропорциональна параметру, который измеряется в с-1.

Такую размерность имеет частота, которую в квантовой физике принято обозначать как ν.

Обозначим энергию излученного кванта как εmn = Em – En (48.3), где m, n – номера разрешенных уровней (m>n). Эта энергия пропорциональна некоей величине, измеряемой в с-1, как частота ν. Но мы не можем просто написать: ε=ν. Энергия измеряется в джоулях, а частота в герцах. Нужен переходный коэффициент. Обозначим его h. Тогда: ε = hν (48.4). Уравнение (48.4) определяет энергию кванта излучения. Величину h называют постоянной Планка. Интересно выяснить ее физический смысл. Перепишем (48.4) в виде h = ε/ν (48.5). Из уравнения (48.5) следует, что постоянная Планка численно равна энергии кванта при ν=1 с-1. Очевидно, в микромире 1 Гц это частота, которой соответствует минимальный квант энергии. Постоянную Планка h еще называют квантом действия. Расчеты показывают, что величина h = 4.114х10-15 эВ с. Это действительно очень маленькая величина. Подчеркнем, что в теории квантов ν – это просто число, на которое нужно умножить h, чтобы получить энергию кванта.

Зная энергию кванта, легко вычислить его частоту. Перепишем (48.4) в виде: ν = ε21/h (3.6). Тогда для кванта ε21 = 10.2 (эВ) имеем: ν = 10.2/4.14х10-15 = 2.47х1015 (Гц). Это большая величина, если под ν понимать частоту колебаний поля. Из теории Максвелла следует существование электромагнитной волны, которая перемещается со скоростью света. Герц опытами доказал, что такие волны существуют, по крайней мере, в диапазоне радиочастот. Предположим, что квант излучения есть фрагмент этой волны, причем частота кванта совпадает с частотой волны. Вычислим длину этого фрагмента. Если скорость кванта равна скорости света с = 2.99х108 м/с, а время излучения равно 10-8 с, то расстояние между началом и концом кванта равно: L = 2.99х108 х10-8 = 2.99 (м). По сравнению с диаметром орбиты электрона эти три метра огромная величина, почти бесконечность. В таком случае при изучении квантов мы можем использовать некоторые методы теории Максвелла-Герца, которая описывает идеальные бесконечные электромагнитные волны света.

Световые волны, согласно Герцу, занимают диапазон от 380 нм (фиолетовый край) до 760 нм (красный край). Попробуем вычислить «длину» волны для кванта с энергией ε21 = 10.2 эВ. Согласно теории волн: λ = сТ = с/ν = 2.99х108/2.47х10-15 = 1.21х10-7 = 121 (нм). Выходит, квант с длиной волны 121 нм попадает за фиолетовый край, видеть его нельзя. Такой свет называют ультрафиолетовым. Кванты от переходов электрона с еще более высоких уровней на первый имеют еще большую частоту и, следовательно, еще меньшую длину волны. Значит, все они находятся в ультрафиолетовой зоне и тоже невидимы.

Возникает вопрос, какие кванты из спектра водорода может видеть человек? Для этого надо вычислить «длину» волны, соответствующую квантовому переходу, и сравнить её с диапазоном Герца. Попробуем вычислить λ для кванта, излучаемого при переходе с 3-го уровня на 2-й: ε32 = – 1.5 – (– 3.4) = 1.9 (эВ). Соответствующая частота ν32 = 1.9/4.14х10-15 = 0.45х1015 (Гц), тогда λ32 = 2.99х108/0.45х10-15 = 664 (нм). В справочнике по оптике находим, что эта длина волны соответствует красному цвету. Аналогичные расчеты дают: для кванта ε42 длина волны λ42 = 613 нм, что соответствует оранжевому цвету, для кванта ε52 длина волны λ52 = 433 нм, что соответствует темно-синему цвету. Из справочника известно, что атом водорода также испускает излучение с длиной волны 410 нм, имеющее фиолетовый цвет. Очевидно, оно соответствует кванту ε62. Следующие кванты серии εm2 уже попадают в ультрафиолетовую область. С другой стороны, расчеты показывают, что при переходе электрона с четвертой орбиты на третью кванту ε43 соответствует длина волны 1880 нм. Это лежит за инфракрасной границей. Кванту ε53 отвечает длина волны 1278 нм, это тоже в инфракрасной области.

 

§ 49. Оптические спектры

Оптическим спектром называют картинку, которая получается при разложении света на составные части. Для измерения спектров используют приборы спектрометры. Спектры дают истинную информацию о строении материи. Если теория света противоречит результатам спектрометрии, значит, она неверна.

Картинку солнечного спектра получить нетрудно. Закроем окно старой черной шторой, в которой проделаем отверстие диаметром около 1 см (старую штору не жалко). Солнечный луч впустим через отверстие и направим на боковую грань треугольной стеклянной призмы, поставленную на её основание. Параллельно другой грани призмы установим белый экран. При определенном угле падения невидимого луча света (если в комнате нет пыли) световое пятнышко на экране растянется в радужную полоску шириной 1 см и длиной около 5 см. Это и есть солнечный спектр, известный со времен Ньютона. Если призма стоит острым углом влево, то цвета в полоске располагаются слева направо в следующем порядке: красный, оранжевый, желтый и т. д., до фиолетового. Согласно теории Максвелла-Герца, каждому оттенку цвета в полоске соответствует электромагнитная волна определенной частоты (или длины волны). Такую волну называют монохроматической (одноцветной) в том смысле, что одна частота отвечает за один оттенок цвета. Считается, что Солнце излучает электромагнитные волны всех частот. Поэтому в солнечном спектре оттенки цветов непрерывно переходят один в другой.

Изменим опыт: между призмой и экраном поставим колбу с атомарным водородом. Мы увидим, что в солнечном спектре места некоторых цветов заняли вертикальные черные линии. Фраунгофер первым догадался, что это «тени» от атомов водорода и назвал их «линиями» поглощения водорода. Заметим, термин «линия поглощения» означает не геометрическую линию, а определенную частоту. Так, если отверстие в шторе уменьшить до 1 мм, радужная полоска на экране сузится в черту, а линии поглощения станут черными точками. Если в солнечном спектре в данном месте появилась черная линия, значит, фотоны с данной частотой поглощены атомами водорода (вот откуда термин «поглощение»).

Кирхгоф доказал, что водород поглощает только те линии, какие может излучать сам. Бальмер показал, что расположение линий поглощения в спектре водорода подчиняется правилу: ν = R(1/4 – 1/m2) (49.1), где ν – частота по Герцу, R – постоянная Ридберга: R=3.29*1015 с-1. Учитывая, что 4 = 22, формулу (49.1) можно переписать в виде: ν = R(1/n2 – 1/m2) (49.2). Тогда линии Бальмера (серия линий) получаются из (49.2) при n = 2. При других значениях n получаются, очевидно, другие серии линий поглощения. Действительно, когда изобрели ультрафиолетовые спектрометры, Лайман открыл в спектре водорода серию линий, отвечающих уравнению (49.2) при n = 1. Её назвали серией Лаймана.

Докажем, что линии поглощения спектра водорода соответствуют квантам излучения атома водорода. Для первой линии серии Лаймана (n=1, m=2) частота ν = R(1/12– 1/22)=3R/4. Подставляя R, получим: ν =3.29*0.75*1015=2.47*1015 (с-1). Энергия кванта равна hν. Подставим значения: hν = 4.136*10-15*2.47х1015 = 10.2 (эВ). Это полностью совпадает с энергией излучения при переходе электрона со второго уровня на первый: E2—E1= – 3.4 – (-13.6) = 10.2 (эВ). Для второй линии расчет даёт 12.1 эВ, что совпадает с энергией излучения водорода при переходе с 3-го уровня на 1-й: E3 – E1= – 1.5 – (-13.6) = 12.1 (эВ). Следовательно, правило Кирхгофа подтверждает теорию квантов.

Задача. Предлагаем читателю вычислить энергию поглощения для третьей линии Лаймана (n=1, m=4) и сравнить её с энергией излучения ε = E4 – E1 из данных (47.1).

 

§ 50. Спектр атома водорода

Для полноты картины рассмотрим спектральную серию III. Чтобы узнать, куда попадают линии этой серии, вычислим для них наибольшую частоту. Она получается из (49.2) при n = 3 и m = ∞. Тогда имеем: ν∞3 =3.29*1015/9 = 0.363х1015 (Гц). Это соответствует классической длине волны (λ = c/ν): λ∞3 = 2.99х108/0.363х1015 = 824 (нм). Известно, что видимый свет занимает диапазон примерно от 400 до 800 (нм). Следовательно, все линии серии III находятся в инфракрасной области, т. е. они невидимы. Серия № 3 носит имя Пашена. Имея инфракрасный спектрометр, можно выявить в этой области также серию Брэкета (n=4), Пфунда (n=5) и другие, представляющие скорее теоретический интерес. Таким образом, из всего спектра атома водорода человек может видеть только несколько фотонов из серии Бальмера (n = 2).

Полученные результаты будут более наглядны, если линии спектра водорода свести в таблицу. Во избежание путаницы, номера энергетических уровней (n, m) в атоме водорода взяты в круглые скобки. Значения энергии квантов поглощения, образующих серии (числа без скобок), посчитаны до серии № 6 (серия Хэмфри).

Таблица 1. Спектр поглощения атома водорода

Задача. Предлагается рассчитать по формуле (49.2) серию линий для n=8 (вдруг серию № 7 уже кто-то посчитал). Получится серия № 8, которая будет лежать в очень далекой инфракрасной области (энергия квантов будет составлять сотые доли эВ). Эту серию читатель может назвать своим именем.

Следует заметить, что не все линии поглощения, указанные в таблице 1, можно увидеть даже при помощи спектрометра. Многое зависит от интенсивности – вероятности перехода электрона между конкретными орбитами. Если вероятность перехода мала, например, один-два в месяц, то это слишком мало, чтобы получилась четкая линия Фраунгофера.

Докажем, что теория квантов подтверждается спектральными данными, конкретно, значением постоянной Ридберга. Для этого умножим обе части уравнения (49.2) на h: hν = hR(1/n2 – 1/m2) = hR/n2 – hR/m2 (50.1). Из теории квантов: hν = Em – En (50.2). Подставив (50.2) в (50.1), получаем: Em – En = hR/n2 – hR/m2 (50.3). Уравнение (50.3) будет верно, если Em = – hR/m2 (50.4), и En = – hR/n2 (50.5). Уравнение (50.5) показывает, что энергия электрона зависит от обратного квадрата номера его орбиты. Подставляя R в (50.5), получаем для первой орбиты (n=1): Е1=-4.136*10-15*3.29*1015 = – 13.6 (эВ), что прекрасно совпадает с опытными данными (47.1). Если пойти дальше, то для n = 2: E2 = E1/4 = -13.6/4 = -3.4 (эВ), для № 3: E3 = -13.6/9 = -1.5, что полностью соответствует (47.1).

Мы доказали, что теория квантов объясняет линейчатость атомных спектров. Классическая теория МаксвеллаГерца не смогла это сделать.

 

§ 51. Фотоэффект

Фотоэффектом называется явление, в котором свет выбивает электроны из вещества. Фотоэффект открыл Герц, когда проводил опыты с искровым разрядником для создания электромагнитных импульсов. В полупроводниках фотоэффект может быть еще и внутренним, когда электроны, выбитые светом из узлов решетки, остаются внутри кристалла, повышая его электропроводность. Очевидно, скорость фотоэлектронов зависит от энергии света. Но что такое – «энергия света»? Следует заметить, что Герц открыл много физических эффектов, большую часть которых объяснить не смог. Ирония судьбы в том, что, доказывая существование электромагнитных волн, Герц нечаянно сделал открытие, которое первым нанесло удар по его волновой теории света. Разберемся по порядку.

Из теории Максвелла-Герца следует, что из двух световых волн с одинаковой частотой волна, имеющая большую амплитуду, переносит больше энергии. Для механических волн это оправдано: чем больше амплитуда волны прибоя, тем дальше на берег она выкинет бутылку с запиской. Из электромагнитной теории света следует, что освещенность пропорциональна амплитуде световой волны. Это значит, чем больше освещенность поверхности образца, тем больше энергии ему передается, тем больше должна быть скорость выбитых фотоэлектронов. В опытах Герца это предположение не подтвердилось.

Столетов доказал, что скорость фотоэлектронов зависит от частоты (цвета) света, а от степени освещенности образца зависит количество фотоэлектронов. Более того, если частоту света плавно уменьшать (цвет смещать в сторону красного), то наступает момент, когда свет не может выбить из вещества ни одного электрона даже при повышенной освещенности. Частоту отсечки фотоэффекта Столетов назвал его красной границей. Существование красной границы фотоэффекта стало для Герца полной неожиданностью. Он так и не смог ее объяснить.

С похожей проблемой столкнулся Планк, пытаясь теоретически вычислить долю энергии излучения Солнца, приходящуюся на любой из цветов радуги. Планк опирался на теорию Максвелла-Герца. У него все время получалось, что с увеличением частоты энергия излучения должна расти. Вывод был таков, что в ультрафиолетовом диапазоне, где частота очень велика, Солнце излучает такую немыслимо гигантскую энергию, что давно должно погаснуть. Ироничный Джинс назвал полученный Планком результат «ультрафиолетовой катастрофой».

Но Планку было не до смеха. В ответ он выдвинул идею, что атомы излучают световые волны не непрерывно, а порциями (квантами), при этом энергия кванта зависит только от его частоты: ε = hν (51.1). Опираясь на уравнение (51.1), Планк получил формулу, из которой следовало, что максимум излучения энергии Солнца приходится на зеленый цвет, а ближе к ультрафиолетовой границе энергия излучения резко падает.

Эйнштейн пошел еще дальше. Предположив, что свет не только излучается, но и распространяется в виде частиц фотонов, он легко объяснил особенности фотоэффекта (чем навлек на себя немилость Герца). Согласно теории Эйнштейна, один фотон выбивает один электрон, а освещенность поверхности пропорциональна количеству фотонов. Если частота фотона больше частоты красной границы, фотон может выбить электрон из образца. Чем больше освещенность, тем больше фотонов, тем больше электронов будет выбито. Если свет монохроматический, все фотоны имеют одинаковую энергию. Значит, все выбитые электроны будут иметь одинаковую скорость, независимо от степени освещенности. Теория Эйнштейна полностью подтверждается опытами Столетова.

Эйнштейн предложил простое уравнение для фотоэффекта: hν = A+mv2/2 (51.2), где v – скорость выбитого электрона, А – работа выхода электрона из данного вещества. Из (51.2) следует, что если энергия фотона hν больше работы выхода А, то фотон не только выбивает электрон, но и дополнительно придает ему скорость v. Если энергия hν равна или меньше А, то электрон останется внутри вещества. В металлах всегда много свободных электронов, Поэтому работа выхода для металла равна потенциальной энергии электрона проводимости внутри слитка. Измерения показывают, что эта работа равна от трёх до пяти эВ.

Фотоэффект более интересен в полупроводнике, например, в кристалле кремния, где свободных электронов немного. Здесь процесс происходит в два этапа. Сначала фотон выбивает электрон из атома кремния в узле кристаллической решетки. Если энергия фотона достаточно велика, электрон сразу вылетает из кристалла и получается внешний фотоэффект. Если нет, электрон остается внутри. Поэтому работа выхода для электрона из полупроводника состоит из двух частей: A = A1+A2 (5.3). Здесь A1 это работа, направленная на отрыв электрона от узла решетки. Поэтому ее величина должна быть больше ширины запрещенной зоны. Тогда A2 – это работа по выбиванию электрона из полупроводника. Поэтому ее величина должна быть больше потенциальной энергии электрона проводимости в кристалле. Эти величины проще определить опытным путем.

Важное практическое применение имеет внутренний фотоэффект, так как он изменяет электрические свойства полупроводника. Если подобрать полупроводник с небольшой шириной запрещенной зоны, скажем, меньше, 1.0 эВ, то такой кристалл будет чувствителен к квантам инфракрасного диапазона. При попадании на кристалл таких квантов выбитые из атомов электроны остаются внутри, резко увеличивая число электронов проводимости. При этом сопротивление кристалла резко падает, а ток в цепи вырастает. На этом принципе основана работа инфракрасных датчиков, пультов управления телевизором, ракетных головок самонаведения, а также инфракрасных очков и биноклей, которые так полезны разведчикам и другим работникам невидимого фронта.

 

§ 52. В атоме водорода

Мы уже знаем, что в атоме водорода электрон может находиться только на определенных расстояниях от ядра. Эти расстояния определяют уровни энергии электрона внутри атома согласно уравнению (46.8). Возникает вопрос, какова форма орбит электрона? Резерфорд считал их плоскими окружностями, как у планет солнечной системы (планетарная модель атома). С этим вряд ли можно согласиться. Планета удерживается возле Солнца полем гравитации, а электрон – кулоновским полем. Эти поля разные и действуют они по-разному. Для планет не имеет значение вращение Солнца. В нашем случае вращением ядра пренебрегать нельзя. Протон заряжен, а при вращении заряженной частицы возникает циркуляция тока, которая создаёт поток поля. Это поле аналогично полю рамки Фарадея с током B = I S, где B – магнитная индукция. Очевидно, поток поля ядра должен, по правилу Лоренца, влиять на траекторию вращения электрона. Рассмотрим подробнее.

Мысленно охватим протон сферой радиуса r. На сфере обозначим экватор и нулевой меридиан. Точка их пересечения имеет нулевую долготу. Для простоты предположим, что электрон начинает вращение вокруг ядра из нулевой точки вдоль нулевого меридиана к северному полюсу сферы. Без учета силы Лоренца электрон должен прокатиться по меридиану и вернуться в нулевую точку. Но поток поля ядра влияет на движение электрона. Структура потока, как уже говорилось, приблизительно совпадает с полем витка с током, осью которого является ось вращения протона. Из магнитной теории следует, что магнитная индукция поля протона приблизительно описывается уравнением B = 2Pm/r3 (52.1), где Pm – магнитный момент ядра: Pm = eћ/2mp (52.2), где mp – масса протона. Решение уравнения (52.1) является непростой задачей. К счастью, нам это не требуется. Считается, что магнитное поле действует перпендикулярно скорости электрона (сила Лоренца). Вовторых, сила Лоренца невелика, так как масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона, а это значит, что индукция поля ядра мала. Так как сила Лоренца не влияет на величину скорости электрона, радиус r не изменится, хотя орбита электрона уже не будет простой окружностью.

Допустим, скорость электрона в начальный момент направлена вдоль меридиана. Сила Лоренца, согласно правилу правой руки, действует на электрон перпендикулярно его скорости. Поэтому электрон сойдёт с нулевого меридиана, пролетит мимо северного полюса, затем, повернув на юг, пролетит мимо южного полюса, направится на север и пересечёт экватор уже на некотором расстоянии λ от нулевой точки. Заметим, в этот момент скорость электрона уже не перпендикулярна экватору, а составляет с ним угол α. Таким образом, первый виток траектории электрона получился незамкнутым: он больше похож на виток спирали с шагом λ. После второго витка электрон пересечет экватор уже на расстоянии 2 λ от нулевой точки, а угол α станет ещё меньше. Через n витков электрон пересечет экватор в точке с долготой, равной n λ/r (рад). При некотором n = n1 угол α будет равен нулю. В этот момент скорость электрона направлена по касательной к экватору. Легко понять, что α = 0, когда n1 λ/r = π/2. Далее, наступит момент, когда при n = n2, n2λ/r = π, а угол α = – π/2. При n = n3, когда n3 λ/r = 3π/2, угол α снова равен нулю. Наконец, при n = n4, когда n4 λ/r = 2π, угол α опять равен π/2, как в начале движения. Если в этот момент электрон попадёт в нулевую точку, в дальнейшем его движение повторится. Очевидно, такая траектория будет стабильна. Следовательно, условие стабильности можно записать в виде: n λ = 2πr (52.3).

Перепишем (52.3) в виде: r = n λ/2π (52.4). Так как n – целое число, из уравнения (52.4) следует, что радиусы r (а значит, и уровни энергии электрона), должны быть кратными определённой величине. Таким образом, из условия стационарности (52.4) орбиты электрона вытекает линейчатость спектра атома водорода, которая была открыта опытным путем. Величина λ пропорциональна, очевидно, магнитной индукции B поля ядра на расстоянии r и обратно пропорциональна скорости электрона v = ωr. Это можно записать в виде уравнения: λ = k В/ωr (52.5), где k – некоторый коэффициент. Подставляя (52.1) в (52.5), получаем (с учётом 52.2): λ = keћ/mpωr4 (52.6). Решая уравнения (52.6), можно вычислить значения λ для разных орбит.

Нам удалось выяснить, что орбита электрона в атоме водорода не является плоской окружностью. Так и должно быть, поскольку мы живем в трехмерном мире и даже такой микрообъект, как атом водорода, должен занимать какой-то объем. Орбита электрона в атоме водорода скорее напоминает нить, намотанную, как клубок, на поверхность воображаемой сферы, причем конец нити совпадает с её началом. Назовем эту воображаемую геометрическую фигуру «сфераль». Если бы электрон оставлял след, то, двигаясь по сферали, он за долю наносекунды «заштриховал» бы вокруг ядра сферу радиуса r. Человек, не различающий промежутки времени меньше 0.01 с, должен воспринимать эту траекторию как сплошную поверхность, поскольку электрон успевает побывать во всех её точках меньше, чем за один миг. Можно сказать, электрон на стационарной орбите создаёт сплошную оболочку. Если электрон поглощает или излучает фотон, радиус электронной оболочки меняется, принимая одно из разрешенных значений (47.4).

 

§ 53. Атом гелия и другие

Курс элементарной физики принято заканчивать атомом водорода, хотя во Вселенной существуют гелий, литий и другие атомы. Рассмотрим коротко устройство атома гелия, который по-своему интересен. Известно, что ядро гелия содержит два протона и два нейтрона. Физики называют его α-частицей. Атом гелия должен содержать два электрона, чтобы компенсировать двойной положительный заряд ядра. Гелий образуется примерно так. Сначала в результате каких-то ядерных реакций возникает свободная α-частица. Попав в облако электронов, α-частица захватывает электрон, который начинает вращаться вокруг неё по сферали, разрешённой для атома гелия. При этом образуется ион гелия, состоящий из ядра и одного электрона. Это напоминает атом водорода, но с другими уровнями энергии для электрона. Такое водородоподобное состояние длится недолго. Вскоре ион гелия захватывает второй электрон, чтобы стать нейтральным атомом. Возникает вопрос, на какой сферали будет находиться второй электрон, ведь первая уже как бы занята?

Спектральные измерения показали, что атом гелия имеет водородоподобный спектр. Это вызвало недоверие у теоретиков, поскольку два электрона не могут находиться на одной орбите. Действительно, применение более точных спектрометров выявило, что линии гелия являются дублетными (двойными) – при оптическом увеличении они расщепляются на две. Это означает, что электроны в атоме гелия вращаются на разных орбитах, хотя и очень близких по радиусу. Как такое могло случиться? Ответ подсказывает «магнитная» теория. Электрон, как и протон, тоже вращается вокруг своей оси. Это вращение создает для него собственный «магнитный» момент, который взаимодействует с полем ядра. Так на фоне относительно сильного кулоновского притяжения возникает более слабое магнитное взаимодействие электрона и ядра. Магниты могут притягиваться или отталкиваться. Предположим, электрон вращается вокруг своей оси так, что его магнитное поле отталкивается от поля ядра. Значит, радиус орбиты электрона станет немного больше. Такой электрон создаёт оболочку с несколько большим радиусом, чем следует из теории Бора. Очевидно, α-частица может захватить второй электрон, если его вращение противоположно вращению первого электрона. Тогда его магнитное поле будет притягиваться к ядру. Радиус второго электрона будет немного меньше, чем следует из теории Бора. У атома гелия образуется двухслойная электронная оболочка с небольшим зазором между слоями. Этот зазор определяет ширину расщепления линий гелия в спектре. Благодаря яркой дублетной линии в видимой части спектра гелий был сначала обнаружен в спектре Солнца и только потом, как вещество, на Земле. Этим гелий и интересен.

Из квантовой теории следует вывод, что линии водорода тоже должны быть дублетными, поскольку протону при захвате электрона безразлично направление вращения последнего. Поэтому в любой порции водорода присутствуют атомы, где ядро и электрон вращаются в одну сторону, и атомы, где они вращаются в разные стороны. При наложении спектров этих атомов их линии попадают на близкие, но разные участки. Для выявления такого расщепления требуются чувствительные спектрометры.

Из курса химии известно, что за гелием следует атом лития, который в нейтральном состоянии содержит три электрона. Два из них, имеющие противоположные магнитные моменты, образуют внутреннюю двойную оболочку, как у гелия. Для третьего электрона здесь места уже нет. Поэтому третий электрон занимает место на внешней сферали, образуя наружную сферическую оболочку. Эта структура, похожая на атом водорода, должна иметь водородоподобный спектр. Так как связь внешнего электрона с ядром ослаблена, линии спектра лития должны быть смещены в инфракрасную область.

С увеличением порядкового номера атомов вещества возрастает его плотность. В плотном (сконденсированном) состоянии внешние оболочки атомов начинают влиять друг на друга так, что меняется их форма. Так в атоме углерода (порядковый номер 6) четыре внешних электрона образуют не сферические, а веретенообразные оболочки. Это как если взять слабо надутый воздушный шар и растянуть его вдоль диаметра. Характеристикой такой оболочки является длинная ось. Атом углерода интересен тем, что длинные оси четырех оболочек внешних электронов располагаются в пространстве симметрично вдоль воображаемых диагоналей куба. Этим объясняется твердость алмаза, так как куб раздавить нелегко.

 

§ 54. Опыт Тейлора

Мы уже говорили о волне как о форме передачи энергии через материальную среду. При определенных условиях можно наблюдать, как волны, например, на воде, усиливают или гасят друг друга. Это явление называют интерференцией. По направлению колебаний частиц среды волны могут быть продольными или поперечными. Например, при накачивании колеса ручным насосом возникают продольные волны, так как частицы воздуха колеблются вдоль движения поршня. В волнах на воде частицы среды колеблются поперек направления волны. Как это происходит? Свежий ветер морщинит водную поверхность, вздымая гребни. За каждым гребнем следует впадина. Чем выше гребень, тем больше он давит весом на поверхность воды. Когда давление ветра сравнивается с давлением воды на дне впадины, рост гребня прекращается. Так энергия ветра переходит в энергию поперечной волны (напомним, что в физике волной называют всю последовательность гребней и впадин). Энергия волны пропорциональна весу гребня, умноженному на одну треть его высоты. В этой «картине маслом» ясно одно: волна на воде поперечна потому, что её снизу подпирает давление глубины. Гребню просто некуда деваться, как выпучиваться вверх, в воздух. Очевидно, поперечная волна возникает только на границе между средами с разными плотностями. В однородной среде таких волн быть не может. Возникает естественный вопрос: при чём тут свет? Обратимся к истории.

Кто-то из корифеев (наверное, Джинс) сказал, что свет – это самое тёмное место в физике. Ещё Ньютон установил, что при определённых условиях лучи света могут усиливать или гасить друг друга. Считалось, что свойство волн. Затем Максвелл предсказал существование электромагнитных волн, перемещающихся со скоростью света. Из его теории следовало, что свет – это электромагнитная волна. Пропуская луч света через особые кристаллы, ученые доказали, что если свет это волна, то волна поперечная. Возникает вопрос: что за среда колеблется при переносе электромагнитной энергии? Сначала предположили, что колеблется эфир – прозрачное однородное невесомое вещество, в которое погружены все тела. Майкельсон поставил эксперимент, который прямо показал, что «эфира» вокруг Земли не существует.

Тогда ученые предположили, что электромагнитная волна сама себе среда, а перемещается она следующим образом. В течение первого полупериода волны колебание потока электрического поля создаёт колебание циркуляции магнитного поля. Во время второго полупериода колебание циркуляции магнитного поля создаёт перед собой колебание потока электрического поля. Затем всё повторяется. Так в вакууме выстраивается дорожка света. Эта теория была признана и вошла в учебники, хотя вопрос, почему электрическое поле колеблется поперек движения волны, остался без ответа. Проблема обострилась, когда Эйнштейн легко объяснил свойства фотоэффекта, предположив, что луч света является не волной, а потоком фотонов. Вопрос был поставлен ребром: свет это волна или частица ? Волновую теорию пытались дополнить, предположив, что фотоны так взаимодействуют в потоке, что их плотность меняется волновым образом.

Тогда Тейлор взял установку для демонстрации дифракции света и немного доработал её. Напомним, что дифракцией называют свойство волны огибать препятствия. Например, морская волна легко проходит сквозь рыбачью сеть и огибает столбики. Ничего особенного в этом нет. Но если волна мелкая и частая, а столбик толстый, он разделяет волну на две части, которые сходятся за столбиком. Если при схождении частей волны гребень попадает на гребень, получается гребень двойной высоты. Если впадина попадает на впадину, получается впадина двойной глубины. Если гребень попадает во впадину, поверхность воды сглаживается. Таким образом, дифракцией называют явление, когда на некотором участке за препятствием для волны получается устойчивое чередование гребней и впадин, причем непосредственно за препятствием (где для потока частиц должна быть мертвая зона и гладь), при схождении полуволн образуется самый высокий гребень. Похожая картина возникает, когда волну заставляют проходить через ряд близко расположенных щелей. Это явление принято называть дифракцией на щелях. Заметим, щели можно рассматривать как промежутки между близко расставленными столбиками, а дифракцию на столбике мы уже «проходили».

В установке Тейлора имелась лампочка, луч света от которой направлялся на экран. Препятствием для луча служила очень тонкая иголочка. На экране получалась дифракционная картина. Прямо напротив иглы на экране возникала светлая полоска, как при складывании гребней волны. В стороны от неё чередовались темные (впадины) и светлые (гребни) полоски, чем дальше, тем слабее.

«Если свет это поток фотонов», – подумал Тейлор, – «Я смогу сделать его ничтожно редким». Он уменьшил накал лампочки до минимума и установил перед иглой несколько светофильтров. По расчетам Тейлора, в секунду на иголку попадало не больше одного фотона. Значит, ни о каком коллективном взаимодействии частиц не могло быть и речи. Он поместил установку в светонепроницаемый кожух, установил вместо экрана фотопластинку, повесил табличку «Не выключать!», взял отпуск и уехал кататься на яхте. Когда Тейлор вернулся через месяц, отдохнувший и загорелый, он проявил фотопластинку и увидел, что следы двух миллионов фотонов, поочередно попадавших в мишень в течение месяца, сложились на фотопластинке в классическую дифракционную картину. Для тех, кто успел поверить в теорию квантов, это был настоящий шок.

 

§ 55. Волна-частица или частица-волна?

Опыт Тейлора показал, что даже одиночные фотоны создают дифракционную картину. Выходит, один фотон тоже обладает свойствами волны. Напомним, что ещё до теории Максвелла было доказано, что если свет и является волной, то эта волна поперечная. В таких волнах частицы среды колеблются «поперёк» направления переноса энергии, которая сконцентрирована в гребнях. Известно, что частота света составляет (по Максвеллу) в среднем 6*1014 Гц. С другой стороны, расстояние между началом и концом фотона равно почти 3 м. Легко подсчитать, что фотон, допустим, зеленого цвета должен содержать 6*106 гребней. Это очень много. Даже волны в океане имеют гребней в тысячи раз меньше. Следует вывод, что каждый фотон сам себе волна. Очевидно, в опыте Тейлора игла разделяла каждый фотон-волну на две полуволны. Затем эти полуволны сходились и складывались на фотопластинке, создавая чередование светлых и темных полос, причем напротив иглы получалась светлая полоска, ведь именно там сходились гребни. Так возникла классическая дифракционная картинка. Опыт Тейлора серьёзно укрепил позиции сторонников волновой теории света.

Но вот за дело взялся Комптон, который незадолго до этого получил доступ к новейшему рентгеновскому спектрографу. Комптон поставил опыт, где рентгеновское излучение (частота до 1019 Гц – дальше уже начинается область гамма-лучей) пропускалось через пластинку графита, где имеется довольно много свободных электронов. После выхода из графита икс излучение направлялось в рентгеновский спектрограф. Опыт показал, что рентгеновский луч ведет себя как поток квантов, которые рассеиваются свободными электронами в графите. При этом в ряде случаев частота рассеянных квантов уменьшалась. Это явление назвали «покраснением квантов» в том смысле, что их частота смещалась в красную часть спектра. При этом в графите обнаружились электроны, у которых скорость превышала значение, среднее для данной температуры по тепловой теории. Измерения показали, что количество «горячих» электронов равно числу «покрасневших» квантов. Тогда Комптон предложил теорию, согласно которой при рассеивании кванта на свободном электроне последний забирает часть импульса у кванта. Таким образом, из теории Комптона следует, что кванты рентгеновского излучения, хотя не имеют массы покоя, обладают импульсом, аналогично импульсу электрона p=mev.

После работ Комптона «маятник» качнулся в обратную сторону. Свет снова стали трактовать как поток частиц, обладающих импульсом, как до Максвелла. Заметим, что Комптон ввел понятие «импульс кванта» чисто формально, чтобы в его теории выполнялся закон сохранения импульса. В академическом мире сложилась непростая ситуация, в которой растерявшиеся профессора не знали, как преподавать теорию света. Попробуем разобраться.

Из теории Планка следует существование квантов с энергией ε = hν, где ν – параметр, имеющий размерность частоты. Согласно опыту Комптона, рентгеновский квант (далее – просто квант), сталкиваясь с электроном, теряет часть энергии Δε = hΔν. При этом частота кванта уменьшается на величину Δν, что приводит к «покраснению» кванта. Опыт Тейлора доказал, что фотон это волна, которая «обтекает» препятствие. Опыт Комптона показал, что квант это частица, которая отталкивается от препятствия. Легко понять, что разница между фотоном и квантом только в частоте. Нетрудно подсчитать, что число гребней в кванте в тысячи раз больше, чем в фотоне. Так как энергию переносят гребни, значит, плотность энергии в кванте в тысячи раз больше, чем в фотоне, ведь размеры их равны. Очевидно, чем выше плотность энергии кванта, тем ближе он по свойствам к частице. Этим можно объяснить упругое столкновение кванта с электроном. Чем выше плотность энергии, тем труднее кванту «обтекать» электрон. А это уже свойство частицы. Таким образом, рентгеновский квант можно представить в виде вибрирующей струны с незакрепленными концами. Столкнувшись с электроном, струна сминается, отдавая часть энергии, и отлетает в сторону, как частица.

Следует заметить, что струна, вибрирующая с определенной частотой, это воображаемый математический образ. В реальности кванты, даже полученные за счет одинаковых переходов электронов внутри атомов, несколько отличаются по частоте, так как их энергия чуть различается за счёт магнитного взаимодействия с ядром. Именно поэтому спектральные линии имеют видимую ширину. Дело в том, что фотоны с близкой, но различной частотой, пройдя сквозь спектрометр, попадают в близкие, но всё же разные места на экране. Поэтому линия в спектре получается широкой.

Используя чувствительный спектрометр в комбинации с мощным магнитом, Зееман сумел «расщепить» широкую спектральную линию натрия на две тонкие с зазором между ними. Штарк проделал то же самое, воздействуя на источник спектра мощным электрическим полем. Эти блестящие опыты, как и опыт Комптона, невозможно объяснить при помощи волновой теории света Максвелла-Герца. Зато их объясняет квантовая теория Планка-Эйнштейна.

 

§ 56. Гипотеза де Бройля.

Опыт Комптона породил одну довольно странную, на первый взгляд, теорию. Во всяком случае, Эйнштейн, прочитав работу де Бройля, назвал её бредом сумасшедшего. Потом он изменил своё мнение, но сказанного ведь не вернёшь. Возможно, поэтому теорию де Бройля до сих пор называют гипотезой, как бы отстраняясь от неё. Обратимся к фактам.

Луи де Бройль (младший из братьев де Бройль), узнав о теории Комптона, решил «развернуть» её в обратную сторону. Если электромагнитное излучение с явно волновыми свойствами (опыт Тейлора) с увеличением частоты начинает вести себя как поток частиц (опыт Комптона), то возможно, предположил Луи де Бройль, электроны и протоны это тоже своего рода волны, только с большей частотой, которая придает им «жесткость» частиц. Возникает вопрос: какова, допустим, у электрона, частота по де Бройлю?

Неприязнь Эйнштейна к термину «частота электрона» в общем понятна. Фотоны, которые он придумал, это, по сути, фрагменты волн. Но волна существует, пока движется. Электрон, как принято считать, имеет массу покоя. Поэтому покоящийся электрон физически не может быть волной. Но, признаться, где он, этот покой? В природе всё движется и понятие «покой» имеет относительный смысл. Кому, как не автору теории относительности, не знать этого? Попробуем изучить опытные данные, приняв точку зрения де Бройля.

Разумеется, квант не имеет массы покоя. Зато он имеет энергию, как и электрон. По Планку энергия кванта равна: Е = hν (56.1). По Эйнштейну полная энергия электрона равна Е = mc2 (56.2). Допустим, ν – частота электрона по де Бройлю. Тогда (56.1) можно приравнять к (56.2). Напишем: hν = mc2 (56.3), где m – масса покоя электрона. Отсюда частота электрона: ν = mc2/h (56.4). Подставим числа в (56.4), тогда: ν = 0.91*10-30 *9*1016/6.63*10-34 = 1.2*1020 (Гц). Получается, что частота электрона, хотя попадает в область гамма-лучей, по де Бройлю всего в 12 раз больше частоты рентгеновского кванта. Возможно, поэтому они так активно взаимодействуют в опыте Комптона. Если длина волны электрона в 12 раз меньше длины волны кванта, которая равна: λ = c T = c/ν = 3*108/1019 = 3*10-11 (м), то по де Бройлю длина волны электрона λe = 3*10-11 /12 = 2.5*10-12 (м) (56.5). Вспомним, что радиус атома водорода по Бору составляет 0.053 нм. Выходит, по де Бройлю длина волны электрона в 40 раз меньше атома водорода.

Из гипотезы де Бройля следует, что электроны должны создавать дифракционную картинку, если их пропустить через ряд щелей с шириной, соответствующей длине волны (56.5). Щели с шириной меньше диаметра атома могут существовать только на субатомном уровне, например, как промежутки между узлами в кристаллической решетке. Значит, для опытной проверки гипотезы де Бройля требуются две вещи. Сначала нужно найти кристалл с подходящей решеткой. Во-вторых, электроны нужно как следует разогнать, чтобы они не застревали между узлами решетки, а выскакивали и попадали в прибор, аналогичный спектрометру.

Известно, что электроны хорошо разгоняются электрическим полем. Тогда энергию электрона Еe лучше выразить через напряжение поля U: Еe = e U. В этом случае (56.3) переходит в уравнение: hν = e U (56.6), где e – заряд электрона. Расчеты показывают, что при U = 100 В длина волны электрона λe, соответствующая частоте ν = 100 e/h, равна 1.22*10-10 (м). Это почти равно диаметру атома водорода. Зазоры такой ширины между атомами следует искать в кристаллах тяжёлых металлов.

Девиссон и Джермер использовали монокристалл никеля, который они облучали пучком электронов, плавно изменяя напряжение поля. Дифракционная картинка от электронов получилась у них при напряжении U = 54 В, что соответствует λe = 1.67*10-10 м. Эти данные были сразу проверены на рентгеновском спектрометре. Облучая монокристалл квантами, ученые получили аналогичную картину при длине волны излучения λ = 1.65*10-10 м, что практически полностью совпадает. Так гипотеза де Бройля получила первое опытное подтверждение. Тартаковский изменил методику опыта. Он пропускал по очереди электроны и кванты через золотую фольгу и сравнивал получающиеся дифракционные картинки. Совпадение картинок при энергии электронов Е = 54 эВ было полным.

Результаты этих опытов оказалось настолько поразительными, что весь научный мир вздрогнул. Теория де Бройля (будем называть её так) показала, что в наномире, где расстояния меньше, чем 10-9 м, стирается последняя грань между частицами и квантами. Де Бройлю почти сразу присудили Нобелевскую премию, а учёные Франции избрали его президентом Академии наук пожизненно.

 

§ 57. Море Дирака

Когда Чедвик открыл нейтрон, который входит в состав почти всех атомов, выяснилось, что свободный нейтрон существует около 15 минут, затем распадается на части. Затем были открыты другие частицы, которые «жили» какие-то доли секунды. Известно, что ограниченное время жизни характерно для волн, которые довольно быстро распадаются. Возникает встречный вопрос, могут ли волны, в свою очередь, создавать относительно долгоживущие и компактные объекты? Оказывается, могут. Например, во время спуска по горной реке можно наблюдать в воде устойчивые образования, которые инструкторы по рафтингу называют водоворотами, котлами и расческами. Один настойчивый водоворот диаметром около 5 см сопровождал наш рафт в течение почти 15 секунд. По сравнению со временем жизни сигма-нуль-гиперона, равному 10-20 с, это все равно, что возраст Вселенной по отношению к среднему возрасту человека. Расческой назывался участок реки площадью около 20 м2, покрытый пляшущими столбиками воды размером с карандаш. Очевидно, это был результат дифракции волн на россыпи булыжников под водой. Инструктор утверждал, что «расческа» будет держаться неделю, пока не спадет уровень воды. Выходит, волны могут образовывать компактные и долгоживущие объекты? Де Бройль называл это свойство материи дуализмом (двойственностью). Возможно, электрон это тоже своего рода волновой объект в какой-то текучей среде?

Из теории колебаний известно, что при сложении поперечных волн с достаточно близкими частотами возникает объект, который принято называть волновым пакетом или цугом волн. Цуг волн напоминает волну цунами, где очень высокий гребень посередине сопровождается парой-тройкой гребней спереди и сзади. Ближе к концам цуга высота гребней резко снижается, так что энергия концентрируется в основном в центральном гребне. Такой волновой пакет из воды вполне устойчив и способен переносить энергию на значительные расстояния. Так энергия, выделившаяся при подводном землетрясении 2004 г. в океане, была перенесена цунами к берегам Индии, где произвела огромные разрушения. Возникает вопрос: как фотон, по сути, фрагмент поперечной волны, может существовать и двигаться в космической «пустоте»? Обратимся к фактам.

Считается, что фотон не имеет массы покоя. Следовательно, если фотон и является колебаниями какой-то среды, то эта среда не имеет массовой плотности. Зато она может иметь энергетическую плотность. Нас это не должно удивлять. В физике уже давно принято массу элементарных частиц выражать в единицах энергии. Например, в справочнике по элементарной физике написано, что масса покоя электрона равна 0.51*106 эВ или 0.51 МэВ. Так обеспечивается равноправие между частицами и квантами, причем этот подход – энергетический! Возникает сразу два вопроса: какая среда имеет нулевую массовую плотность и как в этой среде могут возникать поперечные волны? На первый вопрос ответить легко. Эта среда – вакуум. Для ответа на второй вспомним известные результаты.

В нашем макромире мы встречаемся с тремя уровнями плотности. Так, литр воды имеет массу 1 кг, литр воздуха при нормальном давлении имеет массу 10-3 кг, литр газа при давлении 1 мм рт. ст. имеет массу 10-6 кг. Последнюю плотность среды можно назвать техническим вакуумом. Наконец, массовая плотность космического вакуума, где в литре пространства может быть одна – две молекулы газа, практически равна нулю. Напомним, поперечные волны возникают на границе между средами с различной плотностью. Так морские волны возникают на границе между водой и воздухом. В воздухе, на границе между плотным холодным и теплым разреженным слоями, тоже могут возникать поперечные волны. Известно явление «зарница», когда после ухода грозы вдали сверкает молния, а гром не слышен. Это объясняется тем, что воздух у поверхности земли, охлажденной дождем, имеет большую плотность, чем на высоте птичьего полета. Раскаты грома сверху отражаются от плотного слоя и уходят обратно, не достигая наших ушей. При этом на границе между слоями воздуха возникают поперечные волны инфразвуковой частоты, которые мы не слышим.

Возможно, вакуум это не просто однородная «великая пустота», как считали древние греки. Напротив, в вакууме могут быть зоны с различной плотностью. Только плотность эта не массовая, а энергетическая. Мы ее не ощущаем, как не ощущаем электрическое поле. На границе между зонами с разной энергетической плотностью могут возникать поперечные волны. Складываясь, энергетические волны могут образовывать пакеты энергетических волн. Эти пакеты волн наши макроприборы регистрируют как фотоны, электроны и другие частицы.

Эта идея не такая уж бредовая. Вспомним теорию полупроводников. Электронные оболочки, которые связывают атомы в кристалл, образуют зону отрицательной энергии. Электроны проводимости перемещаются в зоне положительной энергии между узлами кристаллической решетки. Теория энергетических зон в кристаллах подтверждена опытами и принята всеми учеными. Если из опытов следует, что фотоны, эти поперечные волны, могут перемещаться в вакууме, значит, вакуум должен иметь, как минимум, две зоны с различной энергетической плотностью, между которыми должна быть достаточно резкая граница.

Дирак, составляя уравнение для движения электрона почти со скоростью света, использовал методы теории квантов. Решая уравнение (уравнение Дирака), он получил для свободного электрона два значения энергии, положительное и отрицательное. О положительной энергии мы знаем. Это энергия электрона, которую он имеет, например, в опыте Комптона. Но что такое «свободный электрон с отрицательной энергией»? Коллеги Дирака отнеслись с недоверием к полученному результату и предложили его отбросить, как не имеющий физического смысла. Но Дирак не согласился, Он предположил, что в вакууме, кроме зоны с положительной энергией частиц, дополнительно существует скрытая зона отрицательных энергий. Свободный электрон, имеющий по Дираку положительную энергию, может производить работу, что регистрируется нашими приборами. В зоне отрицательных энергий электрон связан. Такой электрон не производит работу и не регистрируется приборами.

Из теории Дирака следует, что если гамма – квантом достаточной энергии подействовать на связанный электрон, он может перейти в свободное состояние. Тогда в вакууме образуется вакансия – дырка. Но в дырке от электрона должен быть положительный заряд. Вывод таков, что после облучения квантами вакуума в пространстве должны появиться, кроме электронов, частицы с массой электрона, но с положительным зарядом. Эти частицы могут совершать работу. Забегая вперед, скажем, что такого рода объекты называются античастицы. Античастицу для электрона назвали позитроном. При столкновении электрона с позитроном электрон занимает место «дырки», т. е. позитрона. При этом с экранов приборов исчезают сразу обе частицы, зато в зоне наблюдения (т. е. в нашей зоне) появляется квант с энергией, равной двум массам покоя электрона (или позитрона).

Теория Дирака была настолько необычной, что большинство физиков не приняли её. Но, как говорил Эйнштейн, лучший судья – это эксперимент. Первым Андерсен обнаружил позитроны в составе космических лучей. Затем было показано, что, облучая гамма-квантами технический вакуум, при определенных условиях можно наблюдать рождение пар электрон-позитрон. Прямые измерения показали, что это происходит при энергии квантов, равной 1.02 Мэв. Это значение в точности равно удвоенной массе покоя электрона, равной 0.51 МэВ.

После работ Андерсена многие физики кинулись искать антипротоны. Эти поиски увенчались успехом. Со временем были найдены античастицы практически для всех частиц, за исключением фотона. Квант света оказался единственной частицей, не имеющей своей античастицы. Этот научный факт заставляет задуматься.

Из теории Дирака следует, что между отрицательной и положительной зоной существует энергетический зазор, своего рода запрещенная зона. При этом масса покоя любой свободной частицы не должна иметь значение из этой зоны. Но фотоны не имеют массы покоя. Мы не знаем, какие процессы происходят в зоне отрицательных энергий. Возможно, колебания отрицательной энергии в море Дирака рождают поперечные волны, гребни которых перемещаются по запрещенной зоне. Мы, обитатели зоны положительных энергий (как нам кажется), наблюдаем эти волны как фотоны, стабильные частицы со свойствами поперечных волн. В запрещенной зоне, с нулевой во всех отношениях плотностью, которая не производит ни малейшего сопротивления движению материи, эти фотоны носятся со скоростью света, недостижимой для всех других частиц, имеющих массу покоя. Возможно, именно поэтому фотон не имеет античастицы, так как он рождается и перемещается в запрещенной зоне, которая отделяет наш мир от антимира.

Вероятно, при более сильных колебаниях в отрицательной энергетической зоне верхушки энергетических волн выплескиваются в положительную зону вакуума. Аналогичные выбросы электронов в зону проводимости известны в полупроводниках. Возможно, свободные электроны это просто верхушки энергетических вихрей, заброшенных в наше пространство. Если такой заброс происходит через какие-то промежуточные уровни в запрещенной зоне, то в нашей Вселенной вместо позитронов могут возникать и другие античастицы. Этим можно объяснить, почему в нашей Вселенной позитронов меньше, чем электронов.

 

§ 58. Как проектировали лазер

В заключительной главе принято подводить итоги. Но мы не будем тратить время на перечисление вопросов, которые не успели рассмотреть. Расскажем лучше о лазерах, которые являются самым ярким воплощением квантовой теории. Лазеры относятся к пионерским изобретениям. Так называются изобретения, которые не имеют аналогов. Хотя в рекламе можно встретить фразу типа, «новый телевизор не имеет аналогов», на самом деле это не так. У любого телевизора есть аналог, так как даже новейший телеприёмник обязан принимать стандартный сигнал от телестудии. Пионерским является изобретение, работающее на новых научных принципах, которые еще нужно открыть. К примеру, пароход изобрели в начале 19-го века. Но это изобретение нельзя назвать пионерским, так как паровоз изобрели ещё в 18-м веке. Вообще говоря, паровую машину могли собрать ещё древние греки, которые имели представление об энергии пара. Лазер – другое дело. Чтобы изобрести лазер, потребовалось сначала создать новый раздел физики – квантовую электронику. Это было сделано уже в 20-м веке. Обратимся к фактам.

Всем известна обыкновенная линза. Она преломляет лучи света, сводя их в крошечное пятнышко. Лучом от линзы можно поджечь бумагу или сухую траву. Но лист металла этим лучом прожечь невозможно, энергия недостаточно сконцентрирована. Дело в том, что преломление лучей зависит от частоты света. Именно по этой причине солнечный луч распадается в спектрометре в радужную полоску. Поэтому, как ни шлифуй линзу, фотоны разного цвета будут попадать в разные места и большой концентрации световой энергии не получить. Вот если бы все фотоны имели одинаковую частоту. Тогда их можно было бы сфокусировать в одну точку на мишени, где плотность энергии выросла бы в сотни тысяч раз. Таким лучом можно прожигать оболочки ракет или сбивать спутники с орбиты. Возникает вопрос, где взять источник света, который выдал бы в нужный момент нужное количество фотонов с одинаковой частотой? До сих пор мы убеждались, что атомы излучают фотоны, какие поглощают сами. Этого требует классический принцип теплового равновесия.

Предположим, что создана неравновесная среда, которая поглощает фотоны, но не излучает сразу, а хранит энергию некоторое время в одинаковых возбужденных электронных оболочках. Такое продлённое состояние возбуждения называют метастабильным. Если все метастабильные оболочки, как по команде, излучат разом одинаковые фотоны, то это будет то, что нужно. Следует заметить, что в водородоподобном атоме метастабильное состояние невозможно. Сферическая оболочка такого атома не способна «задерживать дыхание», она сразу излучает избыток энергии. Очевидно, здесь нужен твердый прозрачный кристалл, с примесью атомов, у которых электронные оболочки могут раздуваться, как грибообразное облако, над оболочками основных атомов. Оболочки основных атомов будут подпирать грибообразные оболочки примеси, не позволяя им достаточно долго вернуться в исходное состояние. Допустим, такой кристалл мы нашли. Но где тот «спусковой» механизм, который заставил бы все метастабильные оболочки разом излучить одинаковые фотоны?

Его нашел Эйнштейн. Изучая в научных отчетах расхождение баланса между атомами среды и внешними фотонами (из отчетов следовало, что некоторые образцы излучают больше фотонов, чем поглощают), он пришел к выводу, что кроме классического теплового излучения света в веществе присутствует дополнительный квантовый механизм, который создает избыток фотонов. Представим, что в водородоподобном атоме разрешены уровни энергии со следующими значениями: Е = -10, -6, -3, -1, -0.5 и т. д. (эВ). При высокой температуре в образце имеется достаточно атомов, в которых электроны находятся на 2-м уровне: Е2= -6 эВ. Допустим, в данный атом попадает фотон с энергией hν = 4 эВ. Согласно теории квантов, атом не может поглотить этот фотон, чтобы электрон перешел на более высокий уровень. Для 3-го уровня это много (нужно ровно 3 эВ). Для 4-го уровня это мало (требуется ровно 5 эВ). Зато энергия этого фотона в точности равна избытку энергии электрона относительно первого уровня Е1 = -10 эВ. Получив «удар» именно от фотона 4 эВ, электрон может сбросить излишек энергии 4 эВ в виде кванта 4 эВ и вернуться на 1-й уровень. В результате из атома вылетят два фотона с одинаковой энергией hν = 4 эВ.

Эйнштейн назвал этот механизм «вынужденным излучением», так как чужой фотон вынуждает возбуждённый электрон излучить свой фотон. Если эти два фотона попадут в два других атома, где имеются такие же возбужденные электроны, то после двух столкновений в пространстве появятся четыре фотона с одинаковой частотой. Учитывая скорости фотонов, за долю секунды произойдет лавинообразное размножение фотонов, причем все они будут иметь одинаковую частоту. Если эти фотоны собрать в пучок вогнутыми зеркалами и пропустить через систему линз, то теоретически все излучение будет бить в одну точку и прожигать всё на свете. Дело за малым, нужно подобрать подходящий кристалл.

Мейман использовал кристалл рубина, который состо ит из окиси алюминия с примесью хрома. Особенность рубина в том, что он содержит хром в виде трехвалентных ионов, в то время как обычно хром имеет валентность шесть. При поглощении света рубином три внешние оболочки хрома расширяются, занимая место отсутствующих. Разбухшие оболочки хрома подпираются оболочками алюминия, которые препятствуют их возвращению в исходное положение. Так обеспечивается метастабильное состояние оболочек хрома. За счет эффекта запирания время жизни метастабильных оболочек в рубине увеличивается в сто тысяч раз! Появилась надежда, что почти все атомы хрома успеют принять участие в размножении фотонов. Проблема в том, что к.п. д лазера ограничен концентрацией хрома. Она не должна быть чрезмерной, чтобы кристалл не потерял прозрачность. Поэтому мы не вправе ждать большой мощности от такого лазера. Но здесь дело принципа. Впервые в науке появилась возможность создать монохромный луч не фильтрацией солнечного света, а при помощи квантового механизма вынужденного излучения, предсказанного Эйнштейном.

В качестве источника энергии накачки Мейман использовал мощную импульсную ксеноновую лампу, изготовленную в виде трубки, завитой в спираль. Кристалл рубина в виде цилиндрика размером с карандаш закрепили внутри спирали. Зеркала для фотонов напылили на торцы кристалла. В одном из зеркал оставили окошечко для выходного луча. Лампу обмотали фольгой для лучшего отражения света внутрь. Опыт начался.

После мощнейшей вспышки лампы практически все валентные электроны атомов хрома, поглотив фотоны с длиной волны 694 нм (красный свет), перешли в метастабильное состояние, где были заперты оболочками алюминия на период времени 10-3 с. Но, согласно принципам квантовой теории, как минимум один возбужденный электрон почти сразу (через 10-8 с) должен был просочиться через электронный барьер и вернуться на нижний уровень. При этом атом хрома должен излучить фотон красного цвета, который начнёт лавинообразный процесс генерации излучения. Всё так и случилось. Уже через 10-4 с после момента вспышки все метастабильные электроны вынужденно излучили мириады фотонов и вернулись в исходное состояние. Фотоны, концентрируясь, метались вдоль оси кристалла между зеркалами, пока не сжались в сверхтонкий луч, который вышел через окно на торце рубина и прожёг дырку в мишени. Весь процесс генерации лазерного монохромного луча занял меньше одной миллисекунды. Успех был очевиден. В дальнейшем Мейман организовал коммерческое производство лазеров и стал состоятельным человеком.

Первый лазер имел небольшую мощность, всего несколько ватт. В настоящее время изобретены другие лазеры, в тысячи раз мощнее. В качестве рабочей среды в них используют кристаллы, органические жидкости и даже газы. Новые лазеры применяются для резки металла, керамики, в хирургической практике. В печати иногда появляются сообщения о боевых лазерах, но эти проекты пока находятся на стадии опытных разработок. Проблема в том, что для сбивания ракеты требуется лазерный луч с мощностью не менее 100 кВт. Это значит, что для надежной работы боевого лазера нужен генератор энергии с мощностью порядка 10 МВт. Такие генераторы имеются, но они так громоздки, что вся лазерная система пока не помещается ни в самолете, ни на танке.

 

§ 59. Отвечая на вероятные вопросы

Вероятны по меньшей мере два вопроса: почему нет главы о тепловой энергии и на каком основании автор позволяет себе усреднять данные, чтобы получить результат?

По первому вопросу напомним, что классическая те ория тепла (термодинамика) основана на уравнении PV = RT (59.1), где P – давление в тепловой машине, V – рабочий объем машины, T – рабочая температура машины, R – переходный коэффициент, измеряется в джоулях на градус. Учитывая, что давление измеряют в Н/м2, а объём – в м3, легко показать, что размерность [PV] = [Н/м2* м3] = [Н*м] = [Дж]. Таким образом, левая часть уравнения (59.1), которая характеризует тепловую машину, имеет размерность энергии. Это значит, что основатели тепловой теории, применив энергетический подход, получили прекрасный результат, учитывая разнообразие созданных тепловых машин, от мопедов до космических ракет. В принципе, нам к этому добавить нечего.

По второму вопросу ответ прост: на основании теоремы о среднем. Заметим, цель любых расчётов – получить число. В высшей математике этим числом является определённый интеграл. Для его вычисления принято сначала дифференцировать, затем интегрировать, искать пределы интегрирования, подставлять в формулу и т. д. Это долго и сложно. С другой стороны, известно, что определённый интеграл численно равен площади под графиком функции. Эта площадь равна произведению основания на среднюю высоту, в этом суть теоремы о среднем. А средняя высота равна половине суммы наибольшего и наименьшего значения. Элементарная геометрия понятнее высшей алгебры. Ведь наш курс называется «Понятная физика».