Как только ребенок понимает, что все числа делятся на три группы «один, два и много», он тут же пытается выяснить: насколько бывает много, чем много отличается от очень много, и может ли оказаться так много, что больше не бывает.
Наверняка в детстве вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника, то он всегда выигрывал, на каждый «миллион» отвечая «два миллиона», а на «миллиард» — «два миллиарда» или «миллиард плюс один».
Уже к первому классу школы каждый знает — чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются, и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать «плюс один» и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого- то количества предметов или же описывают некое явление.
Выдумать длиннющее число, которое ничего собой не представляет, кроме набора долго звучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество. Наука, в какой- то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.
И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое большое число, которое что-то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом числом Грэма, хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое известное, можно сказать «на слуху» у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову.
Рональд Грэм.
Числовой ликбез
Прежде чем переходить к числам-монстрам, потренируемся для начала на кошках. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т. н. экспоненциальным способом записи.
Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никто не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 1021 штук. Значит, общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т. е. «1 000 000 000 000 000 000 000».
Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной «1 564 861 615 140 168 357 973», а может «9 384 684 643 798 468 483 745». А то и «3 333 333 333 333 333 333 333», почему и нет…
В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 1021. Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени, столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по-простому, а не по-научному.
У некоторых чисел существуют «человеческие названия», например 103 мы называем «тысяча», 106 — «миллион», а 109 — «миллиард», а у некоторых нет. Скажем у 1059 нет общепринятого названия. А у 1021, кстати, есть — это «секстиллион».
Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (109) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду «один, два, три, четыре…» и не спать, не пить, не есть, а только считать-считать-считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.
7 миллиардов — количество людей планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течение человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.
100 миллиардов (1011) — столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998 году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце — одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.
Триллион (1012) — число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд Человек состоит из 10 триллионов клеток. От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда-либо опубликованных книгах.
Квадриллион (1015, миллион миллиардов) — столько всего муравьев на планете.
Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали «квадриллион чего-то»?
Квинтиллион (1018, миллиард миллиардов) — столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3x3x3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.
Секстиллион (1021) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врёт.
10 секстиллионов (1022) — количество молекул в грамме воды.
1024 — масса Земли в килограммах.
1026 — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет.
Размерами большими, чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда-нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть, в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. У ученых есть кое-какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.
Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего-то другого, чем метры.
1051 атомов составляют планету Земля.
1080 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.
1090 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.
10100 — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое.
10122 протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, протончик к протончику, впритык.
10185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10-35 метра) наша наука не знает.
Так выглядит небольшая часть звёзд (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.
Получается, что 1085 или около того — наибольшее число, которое в принципе может что-то значить в современной науке.
В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Наука здесь, конечно же, не заканчивается, но дальше уже идут вольные теории или догадки. Например, существует инфляционная теория, согласно которой наша Вселенная лишь часть более общей Мультивселенной, в которой этих вселенных как пузырей в океане шампанского.
Возможно вы слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10500 конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.
Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объемы числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук — Математика. В ней ограничений нет, пиши нули хоть до упаду. Упомяну лишь известный многим гуголплекс. Число, у которого гугол цифр, десять в степени гугол или десять в степени десять в степени сто:
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Гуголплекс не значит абсолютно ничего.
Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать «нано-ручкой» прямо по вакууму. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики гуголплексом только разминаются. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, насколько вы ошибаетесь.
За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь математика Рональда Грэма.
Визуализация космических масштабов.
Цветные гиперкубы
Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории математика, Франка Рамсея.
Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями-отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены они и раскрашены в случайном порядке.
Трёхмерный куб в теории Франка Рамсея .
Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два — красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:
Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих — 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.
А что, если у нас больше измерений?
Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т. е. тессеракт?
Четырёхмерный куб — тессеракт.
Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?
У четырехмерного куба 16 вершин и 120 отрезков их соединяющих. Количество комбинаций раскраски в четырехмерном случае гораздо больше, чем в трехмерном, но и тут не сильно сложно посчитать. Короче выяснить, что в четырехмерном пространстве тоже можно так исхитриться с раскраской отрезков у гиперкуба, что все линии одного цвета, соединяющие 4 вершины, не будут лежать в одной плоскости.
В пятимерном? И в пятимерном, там, где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно. И в шестимерном тоже.
А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и у девятимерного и так далее. Но данное «и так далее», оказалось, не уходит в бесконечность. а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали «числом Грэма».
То есть существует какая-то минимальная размерность гиперкуба, при которой условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, где четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.
А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным языком математики.
Его величественное число Грэма
В 1971-м году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008-м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет…
С 70-х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи, в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число-монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980-м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как «самое большое число, когда-либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве» на тот момент.
Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой-то физический смысл 10185, а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что-то соизмеримое с гуголплексом.
Представляете себе эту громаду? Вперед, назад, вверх, вниз, насколько хватает глаз и насколько хватает телескопа Хаббл, и даже насколько не хватает, до самых далеких галактик и заглядывая за них — цифры, цифры, цифры размером много меньше протона.
Число действительно огромно, рвет мозг. Число содержит 10185 цифр, его можно изобразить как 1010 в степени 185.
Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить 1010 в степени 185 таких пузырьков?
Представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим 1010 в степени 185 х 1010 в степени 185. Представляете себе такое?
Но даже это не идёт ни в какое сравнение с числом Грэма. Если его представить в виде палки, растянутой во всю Обозримую Вселенную, то, 1010 в степени 185 х 1010 в степени 185 окажется засечкой толщиной недостойной упоминания.
Мультивселенная, где каждый пузырёк представляет собой отдельную вселенную.
Проблема записи
Тут возникает проблема — как же число Грэма записать на бумаге? Для этого существует так называемая стрелочная нотация Кнута.
Начнём с мелочи. Например g1 = З↑↑↑↑З
Что это значит? Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.
2↑2 = 22 = 4
З↑З = З3 = 27
4↑4 = 44= 256
10↑10 = 1010 = 10 000 000 000
Две стрелочки означают возведение в степень степени.
Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят «башня») выстраивается из первого числа.
Например. 5↑↑8 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.
Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет «высоту башни высоты башни»?
Какой-там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни.
То есть З↑↑↑З образует башню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Значит, башня из троек, написанная обычным двенадцатым шрифтом, протянется примерно до Марса. Обращаю внимание, что это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты.
Пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.
Переходим к четырем стрелочкам. Тут просто приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое следующее число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней… и так до самозабвения.
Рассчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно представить, его невозможно описать. Можно говорить, что оно огромно, что грандиозно, что монументально и заглядывает за горизонт событий. То есть придать ему какие-то словесные эпитеты. Но визуализация, даже вольная и образная — невозможна. Если с тремя стрелочками еще хоть что-то удавалось сказать, нарисовать башню от Земли до Марса, как-то с чем-то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может. Попробуйте вообразить себе тонкую башню из троек от Земли до Марса, рядом еще одну почти такую же и еще одну, и еще… Бескрайнее поле башен уходит вдаль, в бесконечность, башни повсюду, башни везде. И, что самое обидное, эти башни даже отношения к числу не имеют, они лишь определяют высоту других башен, которые нужно построить, чтобы получить высоту башен, чтобы получить высоту башен… чтобы через невообразимое количество времени и повторений получить само число.
Вот, что такое q1, вот что такое 3↑↑↑↑3.
Теперь от q1, с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?
3↑3 = 27
3↑↑3 = 7 625 597 484 987
3↑↑↑3 = башня, высотой от Земли до Марса.
3↑↑↑↑3 = число, которое невозможно ни представить, ни описать.
А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять?
Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число q2. в котором количество этих стрелок оказывается равно q1, то есть = 3↑↑↑↑3.
Все, что было написано до сих пор, все эти расчеты, степени и башни не помещающиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы показать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе q2!!!
Тут уже можно ничего не считать, можно просто рассмеяться и махнуть рукой.
А ведь есть ещё q3, в котором содержится q2 стрелок Есть еще число q4, в котором содержится q3 стрелочек между тройками. Есть так же q5, есть q6 и q7 и q17 и q43… итак до q64. Это и есть число Грэма.
То есть число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница.
Прошлое и будущее
Все, теперь можно расслабиться. Опытный читатель, прочитав написанное, поймет, что число Грэма — надуманная величина. Все эти безразмерные гиперкубы и абстрактные плоскости, кому они нужны? И это в то время когда ученым не хватает денег на приборы, не решена мировая энергетическая проблема, а у кого-то все еще туалет во дворе, а у кого и в поле.
Но знаете, есть такая теория, тоже весьма эфемерная и философская — все, что человек мог себе представить или вообразить обязательно когда-нибудь воплотится. Потому что развитие цивилизации определяется по тому, насколько она смогла воплотить в реальность фантазии прошлого.
Истории человеческой цивилизации 10000 лет. Задумайтесь, человечеству всего 10 000 лет! Хотя отдельному человеку в виде прямоходящей обезьяны без хвоста дают 4 миллиона. Все эти 4 миллиона лет спустившаяся с деревьев обезьяна училась держать палку и добывать огонь. Только десять тысяч лет назад появилось какое-то первое подобие общества, человек вышел из пещер и начал строить дома и деревни.
Герой того времени (уже довольно цивилизованный по современным меркам) не мог посчитать дальше сотни тысяч (а просто нечего было считать больше такого количества), не имел понятия о среднем арифметическом и не знал суммы квадратов катетов. Этого великого открытия нужно было дожидаться много веков.
4000 лет назад человек был уверен, что молнии в небе происходят лично от Зевса.
2000 лет назад считал, что можно развести руками воды моря. 500 лет назад человек доказал, что Земля круглая, 400 — что вертится вокруг Солнца. 200 лет назад узнал о свойствах пара приводить в движение мертвый металл, а около 100 лет назад был уверен, что полеты на аппаратах тяжелее воздуха невозможны. 70 лет назад человечество догадалось, как расщепить атом, 60 лет назад вышло в космос, а еще через 15 открыло для себя число Грэма. 20 лет назад мы увидели самую далекую, одну из самых первых сформировавшихся после Большого Взрыва галактик и тогда же примерно запустили общемировую информационную сеть, выведя цивилизацию на следующий качественный уровень развития. Десять лет назад к этой сети подключилась половина населения планеты.
Никто не знает, что ждет нас в будущем.
У человеческой цивилизации есть тысячи способов закончиться: ядерные войны, экологические катастрофы, смертоносные пандемии, астероид из глубин космоса…
Развитие человечества может остановиться само собой, вдруг есть такой закон, что по достижению определенного уровня развитие просто прекращается и все. Или прилетят представители межгалактического союза и остановят это развитие силой.
Но есть все-таки, и не маленький, шанс, что развитие человечества продолжится без остановки. Пусть даже не такое головокружительно быстрое, как в последние 100 лет, главное, что движение вперед, главное, что поступательное.
У природы есть один незыблемый закон, известный нам с самой давней древности.
Число 3↑↑↑↑3 образует башню из троек, высотой в 7 триллионов штук, которая протянется примерно до Марса.
Как бы ни было, что бы ни случилось, что бы мы себе ни думали, но время никуда не денется, оно пройдет. Хотим мы этого или не хотим, с нами или без — пройдут и тысяча и 10 тысяч лет.
200 лет назад ковер-самолет (обычный самолет), волшебное зеркало (телевизор) или тридевятое царство (поверхность планеты Марс) казались несбыточной сказкой.
Вы можете сказать, что будет доступно человеку через 200 лет? Через 2000, через 20000 лет?
Выживет ли человечество, будет ли это вообще человечество с приставкой "чело-", а может к тому времени и этап Искусственного Интеллекта закончится, порождая какие-то эфирные энергетические субстанции особой категории осознанности?
А если пройдет миллион лет?
Я верю, что через какое-то время человек дотянется до числа Грэма, дотронется до него рукой, или что у него к тому времени будет вместо руки. Это не обоснованная, научно доказанная мысль, это действительно всего лишь надежда, то, что меня вдохновляет. Не Вера с большой буквы, не религиозный экстаз, не учение и не духовная практика. Это то, чего я жду от человечества. В чем стремлюсь, в меру сил, помочь. Хоть и продолжаю из осторожности причислять себя к агностикам.
Артём Прохоров