Мы живем в двухстороннем мире, привыкли к нему, прекрасно ориентируемся в нем и умеем использовать. Лист бумаги имеет «лицо» и «оборот», труба — внешнюю и внутреннюю поверхности, одно от нас налево, другое — направо…

Между тем в 1858 году немецкий математик и геометр Август Фердинанд Мебиус (1790–1868) установил существование другого мира — одностороннего. Представление о нем можно получить, если соединить, сделав полуоборот, противоположные концы бумажной ленты. Полученное таким образом кольцо будет иметь лишь один край и одну сторону (см. рис. 1 а, б, в).

В этом легко убедиться, если проследить линию края кольца. Она охватывает его, подобно линии круга, но представляет собой пространственную петлю. Аналогичной линией будет являться и средняя линия кольца (рис. 1 в).

С ее помощью можно обойти всю единственную поверхность этого объекта.

В честь своего открывателя объект получил название «лист Мебиуса». Известно, что такая односторонняя поверхность — самая простая из целого семейства подобных. Простейший путь их получения — это замыкание бумажной ленты в кольцо с оборотом тот, где n = 1, 3… — нечетные числа.

Спустя полвека другой немецкий математик, Феликс Клейн (1849–1925) , так расширил «границы» этой односторонности, что она стала бескрайней. Эта бескрайняя односторонность получила название «бутылка Клейна» (см. рис. 2 а, б).

Действительно, «бутылка» не имеет края и этим подобна обычной сфере. Однако на этом сходство кончается. В отличие от последней у нее нет ни внешней, ни внутренней стороны. И все же в эту своеобразную бутылку можно налить воды.

Однако этот односторонний мир, или, точнее, некоторые его проявления и свойства были известны задолго до Мебиуса и Клейна. Но начнем по порядку, постепенно углубляясь в тысячелетия.

Сохранились свидетельства, что в Средние века цех парижских портных, принимая в свои ряды новичка, поручал ему подшить подол юбки кольцом перекрученной вполоборота тесьмы. История умалчивает о том, как справлялся с этой задачей-шуткой кандидат в мастера. Но сам факт говорит о некотором знакомстве с односторонностью.

Подтверждение еще более ранних представлений об односторонности обнаружила сотрудница Массачусетского университета (США) Л.Ларисон. В небольшом музее французского города Арля хранится позднеримская мозаика начала нашей эры. На ней, кроме основного изображения (Орфей), дважды используется мотив перекрученной замкнутой ленты (см. рис. 3 а, б).

Рис. 3

Видимо, автор прекрасно знал об удивительных свойствах такой ленты. Свое знание он подчеркнул, проведя посредине ленты нигде не прерывающуюся черную линию. Что интересно, лента перекручена пять раз, и ни в одной из известных в наши дни римских мозаик подобный мотив больше не встречается.

Историки техники прекрасно знают о том, что передача крутящего момента между двумя перпендикулярно расположенными валами с помощью ремня, перекрученного по одностороннему принципу, известна со времен Древней Греции (см. рис. 4).

Рис. 4

Но если переместиться из Европы в Древний Китай на пять тысяч лет, во времена легендарного правителя Фу Си (2852–2737 до н. э.) , мы обнаружим древний иероглиф, обозначающий родовое имя Гун (см. рис. 5).

Он демонстрирует две руки, готовые совершить полуоборот хвоста змеи так, чтобы она замкнулась в одностороннем образовании.

«Происхождение этого образа еще не прослежено окончательно, но ясно, что оно теряется в глубочайшей древности…» Не добавляет ясности в происхождение этого мотива и ассоциация с молнией, что послужило причиной возникновения термина «дейвень» — «громовой узор». В доказательство можно привести древнее начертание иероглифа «молния» (см. рис. 6).

Чтобы не отвлекаться от избранной тематики, мы не будем дальше погружаться в глубины формирования китайской письменности и символики, стоящей почти за каждым ее знаком. Что же касается показанных изображений, то они имели свое развитие, трансформировавшись в облик дракона, кусающего собственный хвост (см. рис. 7).

Этот дракон обычно представляется в незавершенном движении замыкания в кольцо с полуоборота. Это происхождение, как считают специалисты, отличает и знаменитый на весь мир в наши дни круг «Ян-Инь».

Оказывается, что и «бутылка Клейна» давно известна человеку и используется им в своей повседневной практике. Для осознания этого достаточно сопоставить между собой топологический эквивалент «бутылки Клейна» — ограненную бутылку и схему обычной печки, находящейся в помещении (см. рис. 8 а, б).

Рис. 8

Конечно, этот факт, видимо, относится к разряду стихийно-опытного постижения оптимальной формы организации теплового потока в виде вихря, но тем не менее он имеет место.

Эти примеры демонстрируют неослабевающий на протяжении истории в разных частях света интерес людей к односторонности. Однако, не находя конкретного и широкого использования односторонности в повседневной жизни, человечество забывает о ней, чтобы снова открыть и удивиться ее необычности. Не избежали этой участи и Мебиус, и Клейн, что ни в коей мере не умаляет ни их славы первооткрывателей, ни значимости самого явления. Однако и в наши дни «лист Мебиуса» и другие односторонние фигуры рассматриваются как забавные игрушки из разряда головоломок. Но вспомним: более полутора тысяч лет потребовалось, чтобы человек осознал, что Земля имеет форму шара.

Только кругосветное путешествие Колумба подтвердило утверждение Платона о том, что Земля круглая. Да и этот факт поначалу приняли лишь просвещенные умы. Конечно, за прошедшие века люди узнали новое о замечательных свойствах односторонности и даже нашли кое-чему применение (это главным образом касается теоретических положений математики — топологии, стереологии), однако осознание односторонности как явления объективной действительности, его освоение и непосредственное использование у человечества еще впереди.

А. ЧЕРЕНКОВ