Мой маленький сын спросил меня, нужно ли учить математику.

Зачем, мог бы я ответить — что два куска хлеба больше, чем один ты узнаешь и так.

Да, — отвечаю я, — учи математику, учи французский, учи историю.

Б. Брехт

Сегодня я в очередной раз обдумываю, как читать лекции по математике студснтам-физикам. Это — моя основная работа, за нее мне платят зарплату, которая хотя и остается вызывающе маленькой, но год от года постепенно становится все более приличной. На самом деле делать только эту работу в принципе нельзя. Для того чтобы чему-то научить студентов, ты должен сам работать в науке. Это не называется основной работой — считал наш незабвенный декан советских времен Василий Степанович Фурсов, "Университет не научноучебное, а учебно-научное учреждение" — и за это прямо зарплату не платят. Но на самом деле наука — тоже главное, а может быть и главнее лекций. Таково одно из основных противоречий преподавания, но о нем в другой раз. А пока все же как ответить на вопрос, чему же, собственно, учить студентов?

Вообще-то, самое трудное в процессе обучения — передать студенту способность взглянуть на мир, на науку хоть в какой-то мере твоими глазами. Он должен почувствовать, что ты на самом деле интересуешься тем, о чем рассказываешь, и заранее не знаешь ответа на те вопросы, которые пытаешься решить. Другими словами, нужно убедить, что ты на самом деле интересуешься наукой, а не имитируешь этот интерес. Не могу не рассказать тут две истории из жизни. Как-то приходит ко мне студентка-дипломница с дружественной кафедры и говорит: "Хочу к Вам в аспирантуру. У Вас интереснее, чем на нашей кафедре". Поступать на другую кафедру можно, хотя и нужно приложить гораздо больше усилий, чем оставаясь в аспирантуре на родной кафедре. Значит, человек интересуется наукой, ему не все равно, чему учиться. Пришлось потерять время на улаживание проблемы. Чтобы хоть как-то компенсировать потери времени, прошу ее тоже мне помочь и занести к начальству мой научный отчет о работе за год. Через несколько дней — очередной тур переговоров и я спрашиваю заодно, занесла ли она отчет. "Да, — говорит, — да я его заодно полистала, и он меня удивил. Вы, оказывается, статьи научные пишете". А чем бы я еще мог заниматься в науке? Ведь научный результат не существует вне публикаций!

А теперь другая история, в которой я сам занимаю место наивной дипломницы. Я должен сделать доклад о своей работе на семинаре крупного научного администратора. Это нужно для подразделения, в котором я делал работу, а мне самому, в общем, не очень нужно. Но чтобы время не пропадало даром, я решаю попросить, если доклад пройдет успешно, представить мою работу в журнал, где такое представление требуется. Я, честно говоря, думаю, что администратору нет ни времени, ни желания вникать в ту конкретную проблему, которую я излагаю. Важно только, что на новой аппаратуре действительно сделана какая-то актуальная работа, а детали не важны. Доклад идет успешно, и в конце я прошу написать представление. И тут я с изумлением убеждаюсь, что занятый человек действительно отлично вник в то, о чем я говорил. Статью опубликовали за месяц. Теперь я уже умнее и с большим доверием слушаю выступления героя моего рассказа.

Таких взаимных непониманий в жизни гораздо больше, чем хотелось бы. Поэтому и стоит рассказать о том, как сомневается лектор перед лекцией.

Вообще-то главная проблема, над которой бьешься — зачем мы вообще учим студентов. В идеале нужно, чтобы ответ на этот вопрос давало государство или общество в целом. Все- таки хочется верить, что мы не просто растим себе смену, чтобы умение заниматься наукой не пресеклось с нашим поколением. Надеешься, что это еще кому-то и зачем-то нужно и хочешь соотнести стратегию обучения с этим запросом. Но страна на этот вопрос ответа не дает. После некоторых размышлений понимаешь, что она так просто этого ответа дать и не может. Ну не ждешь же ты, в самом деле, что этот ответ прозвучит как откровение из интервью президента. Он как-то должен быть подготовлен в самом обществе. Отчасти поэтому я и пишу эти размышления.

Потом ты переходишь к более конкретным мыслям и смотришь, что советует имеющаяся научно-педагогическая традиция. Ну, здесь ответ имеется: "Главное — не сумма знаний. Главное — научить учиться. Студент не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь!" Кто будет с этим спорить...

Но что же значат эти мудрые слова конкретно? Очевидно, нужно не просто натаскивать студентов на решение заковыристых задач, а лучше рассказать им, как в целом устроена та математическая теория (математический анализ), с которой я их должен познакомить. Какие в ней тенденции, как смотрели на эту науку раньше, как на нее смотрят теперь, что ожидается в будущем. Какие здесь есть сомнения и проблемы. Нужно объяснить, почему один автор учебника делает акцент на одной стороне вопроса, а другой — на иной. Тогда, наверное, хороший студент сможет сам вычитать детали и книг, а плохому они и не понадобятся.

Это—хорошие намерения, но задачи-то нужно уметь решать или нет? Ведь теория выросла из решения задач и нужна для того, чтобы их решать. Может быть, лучше поменьше говорить об обших вопросах, а решить побольше задач и объяснить на примерах, как нужно подходить к разным конкретным вопросам? Нужно ли доказывать все те теоремы, которые есть в курсе, или достаточно доказать только некоторые, научить студентов, как вообще доказывают теоремы, а деталей не надо. Опять же, хорошие студенты прочитают доказательства в книгах, а плохим все равно ничего не поможет.

Лекция в университете. Миниатюра из книги XIV вена

Конечно, обе крайности вредны, но мне ближе первая точка зрения. Я — представитель традиционной школы математического образования. Мне кажется странным не объяснять студенту, что такое интеграл, а сказать скороговоркой, что интеграл — это площадь под кривой и нечего тут особенно обсуждать, а давайте порешаем задачи. Вместо этого я не жалею времени на рассказ о том, что впервые понятие интеграла (ну конечно, как площади под кривой) начало формироваться у Архимеда. Из идей Архимеда выросло то, что называется определенным интегралом. Его четко описал в XIX веке немецкий ученый Б.Риман, а в начале XX века эту конструкцию кардинально улучшил французский ученый А. Лебег[* Неплохо написать их фамилии Riemann и Lebesgue па доске, а также объяснить, почему в написании латиницей инициал у Лебега Н, а не А, как можно было бы подумать. Вообще, занятия физикой и математикой способствуют расширению кругозора в иностранных языках.]. Для хороших студентов лучше хоть как-то объяснить, в чем разница между этими конструкциями (Риман подсчитывал площадь вертикальных столбиков, вписанных в график интегрируемой функции, а Лебег — горизонтальных и так оказалось гораздо лучше). Здесь место рассказать о том, что про определенный и итеграл можно доказать полезные и интересные теоремы, например, о том, что все приличные (непрерывные) функции интегрируемы, а плохие функции бывают и неинтегрируемыми. Для этих доказательств нужна достаточно развитая теория, она называется, по имени ее автора, теорией сумм Дарбу. Я, конечно, понимаю, что для студента, который будет физиком-экспериментатором, эта теория сложновата. Я думаю, что этому горю можно помочь путем разумного построения экзамена, на котором будут спрашивать про все, вошедшее в курс, но в разной мере. Зато по дороге выплывут понятия верхнего и нижнего интегралов Дарбу, которые настоящими интегралами не являются, зато полезны для доказательства теорем. Здесь, конечно, нужно вспомнить ученика Конфуция Гуньсунь Луня, который в древнем Китае размышлял о том, является ли белая лошадь лошадью (он опасался, что признак белизны примешивается к признаку лошадности и портит его). Жалко, конечно, Гуньсунь Луня, который потратил свою жизнь на эти размышления, но в излагаемой теории мы как раз и встречаемся с подобной же фигурой мысли!

Теперь время рассказать, что всем хорош определенный интеграл в теории, но вычислить его сам по себе трудно. Архимеду удалось вычислить парочку простых интегралов, а дальше дело застопорилось из-за того, что администрация Сиракузского университета не уделяла достаточного внимания закупкам компьютеров, с помощью которых интегралы отлично считаются. С хорошими компьютерами, возможно, развитие науки пошло бы по другому пути, а в реальности пришлось подождать чуть ли не два тысячелетия до того, как у Ньютона и Лейбница сформировалось понятие неопределенного интеграла (операции, обратной дифференцированию). Это понятие отвратительно с точки зрения теории. Оставаясь в его рамках невозможно догадаться, есть ли у данной функции интеграл до тех пор, пока ты его не вычислил. Зато для очень многих функций эти интегралы легко (а иногда и трудно) подбираются. Здесь неплохо вспомнить о великой книге Рыжика и Градштейна, в которой собран мировой опыт вычисления неопределенных интегралов. Неплохо рассказать, что одно из английских изданий этой книги — непосредственное воспроизведение русского издания с английским предисловием. Интерес был столь велик, что читатели мирились с непонятными русскими комментариями, благо что в справочнике их немного. Сказать, что книга есть в любой научной библиотеке мира, в которой есть хоть что-то математическое. Думаю, что студентам полезно узнать, что "Рыжик, автор первого и второго издания этих таблиц, погиб во время Великой Отечественной войны". Не только же о смерти Архимеда рассказывать. А дальше нужно говорить о формуле Ньютона- Лейбница, которая связывает два понятия интеграла, и о современных пакетах программ формульного интегрирования, которые вырастают из книги Рыжика и Градштейна. В общем, я склонен думать, что даже если из студента и не получится физика, а он будет работать в банке, знать про все это ему полезно. Ну, хотя бы будет понимать, что математика как-то вписывается в исторический контекст и будет способен провести грань между историческими бреднями Фоменко и его математическими работами.

Но в то же время я прекрасно знаю, что этот рассказ совсем не всем кажется обязательным. Недавно встретил знакомого. Оказалось, что его дочка слушает мои лекции, и они ей нравятся. "Приходит, — говорит, — с лекций с горящими глазами. Ну, ты им, наверное, про всякие там теоремы не рассказываешь — зачем они физикам, а задачи решаешь". Не стал я его огорчать, тем более что и многие корифеи науки так думали.

Да и просто не исключено, что студент знает классический анекдот о великом американском математике Марке Каце, который на склоне лет приехал в Киев, город своей молодости. Время было советское и пришлось согласиться на плотное сопровождение экскурсовода, которая город знала плохо и рассказывала неинтересно. Наконец, старик не выдержал и сказал: "Однажды бабушка подарила внуку книгу о пингвинах. Хороший мальчик пишет ей благодарственное письмо: Спасибо, дорогая бабушка! Из твоей книги я узнал о пингвинах намного больше, чем хотел бы о них знать..." А вдруг и студенты думают о моих рассказах нечто в таком духе?

Но это на самом деле это цветочки. Бывает гораздо хуже. Этой зимой был в Индии, в университетском городе. Работал с моим индийским коллегой, писали статью, написали и уже напечатали. Но в процессе работы говорит он мне: "Давай прервемся на пару дней. Мне нужно дочке помочь подготовиться к контрольной по математике. Она у меня на первом курсе технического университета учится". Ну, мне, конечно, захотелось посмотреть, чему они там за несколько месяцев научились. Посмотрел я на образец этой контрольной, и у меня волосы дыбом встали. В контрольной полно задач, причем задач сложных и разнообразных. Я бы такую контрольную ни за что в нашем университете не рискнул дать. "Неужели, — говорю, — они все это действительно за три месяца изучили?" "Да нет, конечно, — отвечает, — им рассказали вкратце и показали, как решать задачи. Вот я теперь с ней еще позанимаюсь. Она, конечно. всего решить не сможет, но требуемый балл, думаю, наберет". Так и случилось.

Здесь мы сталкиваемся с совершенно иной стратегией преподавания. Как говорят знающие люди, наша традиция восходит к старой немецкой системе, а это — англосаксонская в индийской редакции.

Забавно, что сама Германия свою образовательную традицию во многом утратила. Хорошо помню трагический рассказ моего немецкого друга и коллеги. Его дочь училась в 12-ом (!) классе средней школы и ей нужно было постоянно писать рефераты, темы которых хорошо подходили для докторских диссертаций по разнообразным областям науки, но школьникам были совершенно недоступны. В результате вместо интереса школа вызывала откровенную ненависть. Мой друг бился над тем, как довести дело хоть до аттестата зрелости. У нас тоже случается нечто в таком роде, но масштаб все же не тот. В норме, чем лучше вуз, тем цельнее, яснее и проще для восприятия учебный план. Вспоминаю ужас, который я испытал перед расписанием одного провинциального университета (теперь он стал зарубежным). Студентам предлагалось в рамках одного семестра изучать такие "родственные" предметы, как квантовую химию и животноводство.

В методическом плане опасность "англо-индийского" подхода кажется очевидной (о достоинствах — а они, конечно, тоже есть — пусть напишет сторонник подхода). Преподаватель и не рассчитывает, что студент поймет детали теории. Важно, чтобы задачи решались. Но тогда остается непонятным, когда можно применять изучаемый прием. Ведь теория-то и развилась потому, что люди попадали в разнообразные ловушки рассуждений, ошибались и постепенно строили здание теории, которое от таких ловушек защищает. Конечно, можно полагать, что хорошие студенты попадут несколько раз в эти ловушки, а потом возьмут хорошие книги и сами во всем разберутся. Но читать так лекции как-то не хочется.

Однако на ситуацию можно посмотреть и совсем с другой стороны. Вот приходят наш и индийский выпускник наниматься на работу в какую- нибудь фирму. Хозяин фирмы интересуется, знают ли они, например, что такое метод Зейделя. Я, честно говоря, сомневаюсь, что наш выпускник бодро ответит на этот очень частный вопрос. Его-то больше учили общим вопросам теории. Конечно, он возьмет учебник и разберется. Ответ на этот вопрос есть в самом стандартном учебнике — я проверил. А ответы на чуть более сложные вопросы есть в более специальных книгах. Он их легко найдет в интернете, а потом, если нужно, то купит у метро компакт- диск с пиратским изданием математической литературы и прочтет там нужную справку. Я, конечно, посоветовал бы ему сходить в библиотеку, но в целом это как раз то, чему мы учим. Беда лишь в том, что на все это уйдет несколько дней. Зато индийский выпускник, наверное, слышал об этом методе и сможет сказать несколько слов о нем, а может быть и написать какие- то формулы. Не думаю, что работодатель заведомо отдаст предпочтение нашему выпускнику. Конечно, если бы речь шла о поступлении в аспирантуру или о приеме на работу в научный институт, то, прежде всего, поинтересовались бы мнением научного руководителя и списком печатных работ, если они уже есть. И тут мы снова возвращаемся к исходному вопросу — кого мы учим и для чего...

Я не знаю правильного ответа на весь этот клубок вопросов. Точнее, я думаю, что простого и однозначного ответа тут просто нет. По этому поводу я всегда рассказываю студентам о стихотворении не очень популярного сейчас Владимира Маяковского "Пиво и социализм". Пастернак считал, что хороша только лирика Маяковского, а заказные рекламные стихи Маяковского ему не нравились. А мне это заказное стихотворение 1927 г. из журнала "Бузотер" кажется очень поучительным. В нем рассказывается о конфликте, возникшем после открытия пивзавода им. Бебеля. Мужья стали злоупотреблять пивом, а жены стали им указывать на неправомерность злоупотребления именами классиков марксизма. На что получили от мужей ответ: "Для вас, мол, Бебель — "Женщина и социализм" (была у него такая книга, известная в 20-е годы), а для нас — пиво и раки". Вот и в нашей жизни часто встречаются ситуации, когда существуют два плохо совместимых взгляда на вещи, за каждым из которых есть своя правда.

Хочется думать, что из борьбы этих плохо совместимых тенденций и вырастает развитие. Видишь, что мы, оставаясь приверженцами первой тенденции, постепенно включаем в свои методики что-то и от другой тенденции, и надеешься, что твои лекции стали хоть чуть-чуть лучше от этого. Мы регулярно собираемся и обсуждаем эти вопросы на кафедре. Поскольку вопросы вечные и неразрешимые, у каждого есть свой взгляд на них. Хорошо помню случаи, когда наш уровень толерантности оказывался недостаточным, и мы в сердцах говорили друг другу резкие слова, а потом, конечно, переживали и старались принять во внимание чужую правду.

Надеюсь, что студенты, которые — чем черт не шутит — прочитают эту заметку, будут теперь лучше понимать, о чем думает лектор перед лекцией, а их родители — в чем вообще состоит университетское образование.