* Сергей Николенко — аспирант Петербургского отделения Математического института им. Стеклова РАН.

В № 4 журнала за 2007 год была опубликована статья профессора МГУ Дмитрия Дмитриевича Соколова «Что есть истина в физике и математике?». Не буду вступать в острую полемику по поводу содержания статьи, хотя, конечно, за филологию обидно. Молчу уж о презрительном тоне автора, но разве можно сравнивать литературоведческие работы Лотмана с математической лингвистикой по критерию «используется ли там математика»? На мой взгляд, упрекать Лотмана за то, что у него нет математики — это все равно, что упрекать какой-нибудь раздел физики за то, что там не используются квантовые группы и группы Шевалле типа E8: вот, теоретики-суперструнщики уже доросли до последних алгебраических достижений, а вы как же? Да и за философию обидно — жаль, что автор не раскрыл, за что же физики так не любят философов, а просто походя посмеялся неизвестно над чем. Возможно, с Дмитрием Дмитриевичем можно было бы начать конструктивный диалог на эти темы, тем более что возможность «полемизировать на страницах журнала» наполняет мою душу почти священным трепетом.

Но сейчас речь не о том. В статье «Что есть истина в физике и математике?» много и по делу было сказано об истине в физике, а вот проблемы математической истины остались практически не освещенными. Может показаться (и неспециалистам часто кажется), что в математике с истиной все в полном порядке: у нас есть четкое общепринятое понятие доказательства. Доказательства эти ясны и легко проверяются специалистами, да и речь идет не об окружающем мире, на который априори может быть много разных точек зрения, а об идеальных объектах, свойства которых напрямую (хотя и нетривиально) следуют из определений.

Здесь хочется процитировать автора, которого уважает даже Дмитрий Дмитриевич. Иммануил Кант называл математику «гордостью человеческого разума» и говаривал: «В любой науке столько истины, сколько в ней математики». В «Критике чистого разума» Кант раскрывает свою мысль подробнее:

«Разум в своем эмпирическом применении не нуждается в критике, потому что его основоположения постоянно проверяются критерием опыта; точно так же не нужна критика его и в математике, где понятия должны тотчас же быть показаны in concrete в чистом созерцании и тем самым все необоснованное и произвольное сразу обнаруживается... Математика дает самый блестящий пример чистого разума, удачно расширяющегося самопроизвольно, без помощи опыта. Примеры заразительны, особенно для одной и той же способности, которая, естественно, льстит себя надеждой достигнуть и в других случаях такого же успеха, какой выпал на ее долю в одном случае. Поэтому чистый разум надеется в трансцендентальном применении столь же удачно и основательно расшириться, как это ему удалось в математике, в особенности если он применит тот же метод, который принес столь очевидную пользу в математике».

Суть ясна: для Канта математика — очевидный и первейший пример торжества «чистого разума», и он надеется поднять остальные методы рассуждений до этого идеала. Однако так ли все безупречно, как нам хотелось бы верить? Примем, что понятие истины в математике действительно не имеет отношения к описанию окружающего мира, а фактически сводится к понятию математического доказательства; если мы сейчас ударимся в обсуждение соотношения реального и идеального миров, мы не то что до истины, а и до конца статьи добраться не сможем. Но даже с доказательствами, увы, все не так очевидно. Чтобы понять, как сейчас обстоят дела и куда мы катимся, придется начать с самого начала.

Доказательства до логики

Математикам (как и представителям всех остальных областей знания) требуется передавать информацию о своих достижениях окружающим, причем достижения эти зачастую не так уж непосредственно очевидны. Иными словами, математик должен доказывать свои утверждения. Что же это значит? Хотя доказательство — центральное понятие математики, точного и универсального определения не найти; можно определить математическую модель доказательства так, как это обычно делают в матлогике, но ведь на самом деле доказательство — это социокультурный, психологический феномен. На этом, самом базовом, уровне понятие доказательства напрямую связано с понятием убедительности: задача доказательства в том, чтобы убедить воспринявшего доказательство поверить в то, что исходное утверждение верно. Более того, желательно убедить настолько хорошо, чтобы поверивший сам смог убеждать других.

Психологическая убедительность зависит и от эпохи, и от социальной среды, и от того миллиона других факторов, которые влияют на мировоззрение человека. Для средневекового схоласта убедительность имела совсем другую природу, чем для натуралиста Нового времени, хотя логика у них была общая, аристотелевская. Поэтому неудивительно, что и в математике доказательства и доказательность радикально изменялись со временем.

История западного научного знания началась в Древнем Египте. Там математические тексты представляли собой изложение материала вообще безо всякого доказательства в современном понимании. Проще говоря, в египетском тексте говорится, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный, но никакой попытки как-то обосновать это сомнительное утверждение не делается. Многие исследователи полагают, что для египтян с их сильной теократией и замкнутой кастой образованных людей достаточно убедительным был сам факт того, что утверждение записано на папирусе. Помимо траты ценного материала, запись сама по себе служила гарантией, что она исходит от авторитетного человека. Запомните это — к египетскому понятию убедительности мы еще вернемся.

А пока — лирическое отступление. Запись доказательства в Древней Индии чем-то напоминает египетскую, но под ней чувствуется куда более живая традиция. Сохранившиеся тексты и иллюстрации подчеркивают роль озарения и наглядности в их математике (или, по крайней мере, в обучении математике). Например, традиционный индийский текст по геометрии — это рисунок с лаконичным комментарием: «Смотри!» Это «Смотри!» и есть суть восточного подхода: убедительность достигается через наглядность (на рисунке обычно уже есть все вспомогательные построения), детали же собственно умозаключений не выписаны, а оставлены читателю (точнее, зрителю) «в качестве упражнения». Хочется вспомнить умное слово «суггестивность» и связать все это с восточной (особенно китайской) созерцательной традицией в искусстве, но здесь я боюсь что-либо утверждать. Порох, однако же, китайцы придумали с практическими целями, да и теорему об остатках во вполне современном виде Сунь Цзы излагал во времена если не Платона, то Плотина.

Аристотель

Триумф дедуктивного метода: все строже и строже

Логика — одна из самых древних наук. По современным представлениям, рождение логики связано с деятельностью софистов в Древней Греции в IV — V веках до новой эры: они создали логику как науку и активно использовали ее, в частности, для обучения ведению судебных споров. К этой же эпохе относится и деятельность первого ученого, систематизировавшего разрозненные логические знания — «отца логики» (да и вообще отца научного метода) Аристотеля.

В Древней Греции, где египетское доверие к априорным авторитетам было уже изрядно подорвано (его в республике с открытой судебной системой, где красноречие ценилось выше многих других достоинств, и быть не могло), записать что-нибудь на папирусе было явно недостаточно. Нужно было формулировать свои мысли так, чтобы они звучали убедительно, причем слушатель имел возможность сравнить аргументацию разных ораторов. Отсюда происходит зарождение логики у Сократа и окончательное оформление ее в виде науки у Аристотеля, а греческие представления о доказательстве, по сути, мало отличаются от современных: греки заложили основу дедуктивного метода (не путать с Шерлоком Холмсом — у него метод как раз индуктивный, Конан Дойль, как известно, перепутал).

Однако дедуктивный вывод должен был на что-то опираться; отсюда в Греции возникает идея аксиом — тех утверждений, из которых должны следовать все остальные. Убедительно (следовательно, доказуемо) то, что может быть получено «законным рассуждением» из аксиом, которые очевидны и общепризнанны.

Греки развили этот метод настолько удачно, что в течение следующих двух тысяч лет понятие доказательности как в жизни, так и в математике, оставалось неизменным. Логический аппарат долгое время считался более или менее завершенным; средневековые теологи и схоласты использовали работы Аристотеля (относясь к ним как к догме, уступающей разве что Писанию, да и то в попытках их примирить приходилось идти на взаимные уступки) и не ожидали, что к этому стройному и законченному зданию понадобится что-то еще пристраивать.

Однако в конце XIX — начале XX века логика пережила невиданную по своим масштабам и значению перестройку. Вначале преобразования казались несущественными и заключались в активном использовании символьной записи в логических исследованиях. Разработанная в 1840-х — 1870-х годах позапрошлого века Джорджем Булем и затем развитая другими учеными (например, Георгом Кантором) символьная запись логических рассуждений оказалась очень удобной и быстро завоевала популярность, превратив формальную логику в символьную.

Символьная «революция» в логике совпала по времени со столь же революционными преобразованиями в математике (очевидно, это не было случайным совпадением, но что было причиной, а что следствием — сказать трудно). Основным признаком этих преобразований стало качественное повышение требований к строгости доказательств.

Эйлер, как известно, очень вольно обходился со сходимостями рядов. Гюйгенс и даже Ньютон не очень старались представить доказательство в современном виде — они искали конструкцию решения, а затем приводили некоторые соображения в пользу того, что конструкция эта решает поставленную задачу. И если Эйлер и Ньютон обычно бывали правы — их математической интуиции можно только позавидовать, — то у простых смертных такие «прыжки веры» могли привести к печальным последствиям. Поэтому Карл Вейерштрасс выступил инициатором абсолютной логической стройности математических определений доказательств. Именно тогда сложилось современное понятие математического доказательства, современные стандарты убедительности и строгости математического труда.

Обратите внимание: только в середине XIX века! К тому времени уже был разработан математический анализ, вовсю решались дифференциальные уравнения, математика уже стала основой физики, Максвелл примерно в то же время писал свои уравнения... А строгих доказательств до сих пор не было. «Эпсилон-дельта нотацию» ввел в анализ Огюст Коши незадолго до Вейерштрасса. До этого в трудах даже ведущих математиков нередко встречались, по современным критериям, «расплывчатые соображения» и нестрогие рассуждения — то, что Дмитрий Дмитриевич называет «филологией».

Значит ли это, что до XIX века математики не существовало? Конечно, нет. Значит ли это, что до XIX века она была (большей частью) нестрогой и не имела доказательной силы? Здесь, подозреваю, мнения могут разойтись. На мой взгляд, все было в порядке. Доказательства выполняли свою основную функцию: они убеждали других математиков, что тот или иной факт верен, и позволяли им пользоваться этим фактом для дальнейшего развития теории.

Поиск блох попал в повестку дня только тогда, когда блохи совсем уж начали заедать: тот же Вейерштрасс был автором многих «странных» примеров, вроде примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции. Один из величайших гениев в истории математики Анри Пуанкаре, кстати, очень не любил такие примеры, называл их «язвой», а кантовскую теорию множеств — естественное продолжение нового уровня строгости — считал «смертельной болезнью математики». Пуанкаре, конечно, простительно, хотя и он не без греха: четыре года был уверен, что доказал свою знаменитую гипотезу, и только потом нашел ошибку.

Не будем дальше излагать здесь историю понятия математического доказательства: к XX веку она плавно перетекает в историю матлогики, и не о ней сейчас речь, хотя история преинтересная, и в другой раз мы обязательно к ней вернемся. История попыток создания логических оснований математики — это даже не детектив, а остросюжетный триллер: Рассел пишет письмо Фреге, из-за которого последнему приходится срочно переписывать уже почти сданную в печать книгу, Гильберт прерывает курс матлогики, узнав о теореме Геделя о неполноте... но хватит, увлекся. Вернемся к нашим математикам, которых нужно убедить в истинности того или иного утверждения. В последнее время понятие доказательности снова начинает меняться...

Карл Вейерштрасс

Анри Пуанкаре

Доказательность сегодня: «записано на папирусе»?

Совершенно очевидно, что любое нетривиальное математическое доказательство опирается на массу утверждений, доказанных ранее, и прямое сведение к аксиомам обычно крайне трудно. Вообще говоря, в большинстве случаев это и не нужно: для доказательства утверждение сводят к уже доказанным фактам. Ключевой фактор для психологической убедительности такого метода состоит в том, что любой желающий может при желании разобраться до конца; конечно, под «любым желающим» уже давно подразумевается квалифицированный математик, но это не важно.

Важно другое. Современные математические доказательства становятся все сложнее и сложнее; они из явлений индивидуального опыта постепенно становятся явлениями опыта коллективного. Само понятие убедительности начинает терять этот индивидуальный оттенок — «если я захочу, я смогу разобраться до конца» — и все больше приобретает характер «коллективной убедительности». Доказательство становится убедительным не для отдельного математика, а для некоторого научного коллектива. Я могу проверить эту часть доказательства, но она опирается на утверждения, доказательства которых мне неизвестны; они известны другим моим коллегам, и я верю им, что эти доказательства правильны. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части доказательства найдется свой «отвечающий за нее» член коллектива, для которого непосредственно убедительна именно эта часть (а другие участники полагаются на него в данном вопросе).

Непревзойденный пример такого доказательства — теорема о классификации конечных простых групп. Хотя отдельные небольшие кусочки этого доказательства несложно проверить квалифицированному алгебраисту, полностью его до недавнего времени понимали чуть ли не только его авторы. Однако приходилось верить, а иногда и пользоваться этим результатом.

Но и это еще не все. В наше время представления о доказательствах изменились еще и под влиянием вычислительной техники. Теперь мы умеем производить на свет доказательства, которые требуют перебора столь большого числа вариантов, что этот перебор становится недоступным человеку — а компьютеру доступен; либо же требуемые вычисления чересчур сложны, чтобы делать их вручную. Первым примером такого доказательства стало решение знаменитой проблемы четырех красок.

Даже в моей небогатой научной практике было уже два случая, когда в доказательстве математических фактов помогал компьютер. В одном случае мы написали программу, которая проводила вычисления в достаточно хитром кольце (через сведение к кольцу многочленов, конечно, но сведение тоже проводил компьютер). По результатам этих вычислений мы пришли к неким математическим выводам. Другой случай был даже более рафинированным: компьютер перебирал все возможные случаи, и на основе этого полного перебора, опираясь на то, что действительно все варианты были исследованы, мы доказали требуемую нижнюю оценку.

Можно ли считать, что в этих случаях мы получили доказательство? Бог с ними, с другими людьми, я сам, автор, могу быть уверен, что доказал что-то? А если я ошибся, когда писал программу? Программисты знают: вопрос не в том, есть ли в программе баги, а в том, когда они обнаружатся. А специалисты по верификации знают, что доказать корректность компьютерной программы зачастую гораздо сложнее, чем убедиться в корректности математического доказательства. Здесь не надо путать корректность алгоритма (как математического объекта) с корректностью самого кода программы: если проверить алгоритм обычно можно теми же методами, что и обычное доказательство, то анализ кода — очень сложная задача. И чтобы быть уверенным, что моя программа работает правильно, проверять надо именно код, а не идею алгоритма (она-то, конечно, и проверена, и в статьях изложена).

Под влиянием всех этих факторов у некоторых исследователей создается впечатление, что с развитием математики (в частности, с появлением все более и более сложных и длинных доказательств) доказательства теряют свое главное свойство — убедительность. Что же тогда остается от доказательства: ведь убедительность, казалось бы, — единственное, что от него требуется? Кроме того, с усложнением доказательства возрастает его элемент субъективности: математик уже не просто по собственной лености верит и не проверяет — он физически не способен этого сделать. Получается, что хотя все доказательства должны, по определению, быть убедительными, на деле одни из них (более простые) убедительнее других (более сложных). То есть простые доказательства как бы «в большей степени являются доказательствами», чем сложные! Из-за этого некоторые авторы начинают говорить чуть ли не о «болезни» современной математики (о кантовской болезни, продиагностированной Пуанкаре, они уже не вспоминают — видимо, перешла в хроническую фазу и лечению не подлежит).

А ведь и это еще не все. Можно вспомнить все увеличивающийся вал публикаций. Можно покритиковать современное рецензирование: проверять детали доказательств не все готовы (с другой стороны, не всегда это так уж просто, а тратить огромное количество времени и сил на эту «общественно полезную деятельность» мало кто готов). Можно пройтись по «национальной науке»: известно, например, что алгебраисты очень подозрительно относятся к статьям на китайском языке, в которых часто объявляются сенсационные результаты... и гибнут, похороненные в труднодоступных китайских журналах без дальнейшего перевода на английский. Можно вспомнить совсем уж фантасмагорические случаи с коммерческими конференциями, на которые принимались статьи, порожденные автоматическим генератором псевдонаучного бреда.

И можно в итоге сделать неутешительный вывод: с чего начали, к тому и возвращаемся. Записано на папирусе авторитетным человеком — значит, верно. Проверять доказательства люди по большому счету разучились и, раз джинн выпущен из бутылки, уже не научатся. Выше я писал о классификации конечных простых групп; прелесть ситуации в том, что на эту теорему, метко прозванную «the enormous theorem», с 1983 года, когда она была полностью опубликована, до 2003 года ссылались с опаской. Прошло двадцать лет, а это доказательство (записанное даже без ссылок на компьютерные вычисления!), ключевое для целых немаленьких областей науки, по большому счету оставалось непроверенным, и находились математики, которые в него не верили. Причем не какие-нибудь маргиналы — в классификацию не верил, например, один из величайших алгебраистов современности Жан-Пьер Серр. Лишь в 2003 году вышла статья Ашбахера, окончательно расставившая все точки над i. О какой же математической истине можно вообще говорить в наше время?

Но не хочется завершать статью на такой неутешительной ноте. Я все-таки верю, что действительно убедительное доказательство и сегодня должно оставаться математически строгим от начала до конца, а ошибки рано или поздно будут найдены или сами себя найдут. Вот видите, теорему о классификации конечных простых групп в конце концов все-таки смогли проверить до конца. Компьютеры могут помогать в порождении доказательства, но должны быть разработаны методы строго доказывать, что они делают это правильно. Я верю, что рано или поздно мы научим одни компьютеры проверять другие компьютеры, которые проверяют третьи компьютеры... да что уж там, научим компьютеры доказывать теоремы, и дело с концом — первые шаги к этому уже давно сделаны. А что тогда останется человеку? Правильно, останется филология. Она вечна и неисчерпаема, как множество возможных строчек из букв русского алфавита. Шучу, Дмитрий Дмитриевич, шучу...