Предисловие

Главная цель этой книги — рассказать о геометрии карт. Однако сначала следует ответить на вопрос: что же такое карта? В любом словаре написано, что карта — это «чертеж части земной поверхности с преимущественным учетом, согласно правилам картографии, тех или иных специальных признаков (народонаселения, почвы и пр.); чертеж звездного неба».

Впрочем, думаю, читатель согласится со мной, если я скажу, что для ответа на этот вопрос совершенно не обязательно обращаться к словарю. Карты знакомы всем нам. Все мы видим их чуть ли не каждый день. Часто карты украшают стены школ, и, повзрослев, мы с теплотой вспоминаем их. Если вы возьмете в руки банкноты евро, то увидите, что на них изображена карта Европы, которая символизирует единство государств, образующих Европейский Союз. Читая газеты или слушая новости, мы встречаем бесчисленное множество карт. Это могут быть карты мира с информацией о расах, религиях, языках и численности населения, карты, на которых изображены уровни загрязнения или число происшествий, экономические карты разных стран или регионов, карты вооруженных конфликтов. Мы очень часто обращаемся к карте погоды, а в любом документальном фильме о природе, истории или географии, в специализированных или научно-популярных изданиях поясняющие карты помогают нам понять, о чем идет речь, и расставить все по своим местам.

Карты можно увидеть в фантастических книгах (вспомните карту вымышленной местности во «Властелине колец» и «Острове сокровищ»), в приключенческих и военных фильмах (например, в фильме «Касабланка» или «Военные игры»), а герои мультфильма «Похождения императора» в буквальном смысле идут по особой, развлекательной карте. Можно привести немало примеров, которые встречаются в искусстве: начиная от выразительных карт голландского художника эпохи барокко Яна Вермеера и заканчивая «Картой на основе мира Димаксиона» современного американского художника Джаспера Джонса и картами мира, выполненными итальянским художником Алигьеро Боэтти.

Мы запасаемся картами, планируя отпуск: они помогают нам определить маршруты, организовать поездку и, наконец, просто не потеряться. Отправляясь в автопутешествие, мы не можем обойтись без карты автомобильных дорог, а в незнакомом городе нам обязательно понадобится карта улиц. Если вы пройдетесь по своему родному городу, то увидите карты в рекламе некоторых компаний, в витринах туристических агентств, в магазинах детской одежды или в книжных магазинах в начале учебного года.

Карты — очень важный инструмент для представителей множества профессий.

Человечество использует морские и авиационные карты, политические карты, карты городов, автомобильных и железных дорог, топографические, морфологические, научные карты разных видов (ботанические, геологические, климатические, географические, океанографические, сейсмические), экономические и статистические, кадастровые карты, на которых изображены земельные участки и записаны их собственники, и многие, многие другие виды карт. Как видите, с картами прекрасно знаком каждый, мы работаем с ними каждый день и используем для решения самых разных задач.

Лучше всего нам знакома карта мира, изображенная ниже (эта карта выполнена в проекции Меркатора, о которой мы расскажем в главе 9), — мы привыкли к ней с самого детства, и наш разум воспринимает ее почти бессознательно, как данность.

Как мы все «знаем», это хорошая, правильная карта, или, как я услышал в одном разговоре, «настоящая карта». Однако посмотрим на нее снова и попытаемся ответить на несколько простых вопросов: каков кратчайший путь из Мадрида (или, например, Баку) в Вашингтон? Так как кратчайший путь между двумя точками на плоскости — это прямая, то он, по всей видимости, будет пролегать вдоль 40-й параллели северной широты. Но в главе 3 вы увидите, что кратчайший путь между двумя любыми точками сферы лежит на большом круге, проходящем через эти точки, и в нашем примере ее отображением на плоскости будет не 40-я параллель северной широты. Это одна из причин, по которой самолеты, летящие из Мадрида в Вашингтон, следуют не вдоль 40-й параллели, а сначала смещаются ближе к северу, а затем движутся на юг (путь из Баку до Вашингтона будет проходить почти через Северный полюс). Таким образом, наша карта мира не сохраняет кратчайшие расстояния.

Кроме того, в легенде любой карты обычно указывается ее масштаб. Каково расстояние между двумя точками Земли? Казалось бы, чтобы ответить на этот вопрос, нужно взять линейку, измерить расстояние между этими точками на карте и пересчитать полученную величину с учетом масштаба. Но, как мы уже отмечали, в этом случае нужно измерить длину не прямой, соединяющей две точки, а воображаемой кривой (части большой окружности). Причем даже если мы измерим длину кривой, результат по-прежнему будет неверным, так как наша карта не сохраняет неизменными длины кривых и расстояния, а ее масштаб в разных частях отличается. Продолжим наши рассуждения и поставим еще один вопрос: сохраняются ли в проекции Меркатора площади? Как нам хорошо известно, изображение Гренландии на этой карте даже чуть больше, чем изображение Африки. Но в действительности площадь Гренландии равна примерно 2175600 км2, площадь Африки — 29800000 км2.

Следовательно, контуры стран на карте также очень сильно искажены. Наконец, зададимся вопросом: сохраняются ли на картах румбы, направления и углы? Углы между меридианами и параллелями равны 90°, как и на нашей карте. Но если мы посмотрим на карту на следующей странице, то увидим, что это не так — углы не сохраняются. Эта карта выполнена в одной из классических проекций, которая называется ортографической, и показывает Землю так, как будто мы смотрим на нее из бесконечно удаленной точки.

Следовательно, карты не обладают ни одним из ожидаемых свойств: они не сохраняют расстояния, кратчайшие пути, площади и углы. Может быть, нам не хватает каких-то знаний? Так, существует целое множество картографических проекций: кроме упомянутых проекции Меркатора и ортографической проекции, используются равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта, равновеликая коническая проекция Альберса, проекция Моллвейде, ортографическая проекция Галла — Петерса, проекция Eckert IV, центральная, стереографическая, равноугольная коническая проекция Ламберта, биполярная косая равноугольная коническая проекция, цилиндрическая равнопромежуточная, азимутальная равнопромежуточная, тройная проекция Винкеля, проекция Ван дер Гринтена, UTM, проекция Бонне, проекции Eckert I–IV, гомолосинусоидальная проекция Гуда, Хаммера, Вернера, Бризмейстера, равновеликая цилиндрическая проекция Бермана, проекция Робинсона и многие другие. Картограф Джон Снайдер в своей книге «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth) описывает свыше 300 картографических проекций. Возникает вопрос: почему существует столько карт? Насколько они точны? Какая — точнее всех? Как нарисовать точную карту Земли? И наконец, какую карту можно считать точной?

В этой книге мы постараемся ответить на эти вопросы, а также подробно рассказать о картах, которые мы видим каждый день. При изучении карт не обойтись без дифференциальной геометрии, которая входит в курсы картографии для таких специальностей, как география, судовождение, океанология и другие. Однако мы стремимся избежать специальных терминов и рассказать о картах с интуитивно понятной, «геометрической» точки зрения, поэтому будем использовать только методы классической геометрии (в частности, геометрии Евклида и тригонометрии). Приближенные равенства, которые мы будем приводить во многих рассуждениях, исчезают при переходе к пределу, однако в этом случае мы применим лишь самые основы дифференциального и интегрального исчисления, относящиеся к дифференциальной геометрии.

 

Глава 1

Форма Земли

Перед тем как приступить к составлению или изучению карт планеты, на которой мы живем и которая поэтому представляет для нас наибольший интерес, следует изучить ее форму и размеры. Так мы научимся определять положение точек на ее поверхности и отметим некоторые геометрические особенности Земли, которые интересовали ученых начиная с глубокой древности. Уже Клавдий Птолемей в «Географии» писал: «…Первое, что следует изучить [для того, чтобы создать карту мира] — это форма, размер и положение Земли относительно ее окрестностей [неба] так, чтобы мы смогли говорить об известной ее части, сколь велика бы она ни была […]. Эти деяния принадлежат к числу благороднейших и прекраснейших умственных занятий — узнаванию посредством математики… [природы] Земли по ее изображению…»

Именно в этом состоит цель геодезии. Слово «геодезия» происходит от греческого «гео» («земля») и «даио» («делю»), оно означает «деление Земли». Геодезия — это наука, изучающая форму и размеры планеты, ее поле тяготения и траекторию движения. В геодезии нельзя обойтись без геометрии — само сходство этих слов говорит о важной связи между ними: «геометрия» происходит от греческого «гео» («земля») и «метриа» («измерять»), то есть означает «измерение Земли».

* * *

КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ (ОК. 90-170 ГОДЫ)

О жизни этого астронома, математика и географа известно немногое. Мы знаем, что он был римским гражданином греческого или египетского происхождения, жил и работал в Александрии. Он был автором двух трактатов, оказавших огромное влияние на европейскую и мусульманскую науку: «Альмагеста» (от арабского «Великое построение») и «Географии». В «Альмагесте», в котором прослеживается влияние Гиппарха, Птолемей собрал и расширил знания греков об астрономии, а также описал соответствующие математические методы. В этом трактате он подробно изложил математическую теорию, описывающую движение Солнца, Луны и планет.

Его модель мира была геоцентрической и описывала движение сферических небесных тел с помощью эпициклов, сочетавших в себе несколько видов кругового движения. Кроме того, в «Альмагесте» приводился каталог звезд. Более популярным языком Птолемей изложил свои идеи в труде «Планетные гипотезы». Его «География» представляет собой сборник знаний о географии мира того времени. В трактате описаны способы создания карт мира («ойкумены») и римских провинций с помощью координатной сетки. Карты Птолемея (дошедшие до нас благодаря репродукциям XV века) обладали важным достоинством: они были созданы с применением геометрических проекций. Тем не менее эти карты были очень неточными, ведь в те годы знания о землях за пределами Римской империи и даже о некоторых римских провинциях были ошибочными. Кроме того, размеры Земли, вычисленные Птолемеем, были намного меньше реальных. В своих книгах «Аналемма» и «Планисфера» Птолемей объясняет соответственно ортографическую и стереографическую проекции. Также ему принадлежат трактаты «Гармоника» — о музыке, «Оптика» и «Четверокнижие», посвященные астрологии.

Восстановленный вариант одной из карт мира, приведенных в «Географии»  Птолемея . Эта карта также дана в «Космографии» Йоханнеса Армсшейна и Николаса Германуса (1482).

* * *

Три первые главы этой книги посвящены изучению Земли, ее форм и размеров, географических координат и больших кругов.

Круглая или плоская?

Сегодня вопрос о том, какую форму имеет Земля, может показаться даже несколько оскорбительным: как все мы знаем, наша планета круглая, подобно мячу, и сплюснута у полюсов (то есть, говоря математическим языком, ее форма ближе к эллипсоиду). Также в школе нас учили: люди были убеждены в том, что земля плоская, пока Христофор Колумб не доказал современникам, что она имеет форму шара.

Спутниковые снимки Земли доказывают, что наша планета круглая, а не плоская.

В нашем сознании настолько укоренилась мысль о том, что Земля круглая, что мы и не думаем спорить с этим. Но каковы прямые доказательства того, что Земля на самом деле круглая? Одним из них могут служить многочисленные спутниковые снимки, на которых видно, что наша планета имеет форму шара. Но даже если отбросить маловероятную теорию заговора, согласно которой эти изображения — подделка, все же проверить подлинность спутниковых снимков мы не можем. Как писал древнегреческий философ Аристотель (384 год до н. э. — 322 год до н. э.) в своем трактате «О небе», нам нужны «явления, доступные ощущениям».

Многие народы, населявшие Землю еще примерно 2300 лет назад — египтяне, вавилоняне, китайцы и даже греки, — считали, что Земля совершенно плоская.

Первые описания формы Земли в Древней Греции принадлежат Гомеру (IX век до н. э.), собравшему воедино знания о географии и космологии своего времени. Греки считали, что Земля — это плоский диск, висящий в воздухе, на котором располагается известная в то время суша, окруженная великим океаном, и его воды переливаются через края Земли. Это представление о мире разделяли последователи ионийской школы философии, в частности Анаксимандр (ок. 610 года до н. э. — ок. 546 года до н. э.) , ученик Фалеса Милетского, который был автором первой известной нам карты мира.

Реконструкция карты  Гекатея , созданной на основе карты Анаксимандра . Это древнейшее из дошедших до нас изображений ойкумены — мира, известного древним.

* * *

ЗЕМЛЯ В КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МИФАХ

Все древние народы (вавилоняне, египтяне, китайцы, греки, американские индейцы и другие) в своих мифах о происхождении мира представляли Землю более или менее плоской. По их верованиям, Земля покоилась в океане, висела в воздухе или находилась на спине огромного мифологического существа.

Для вавилонян Земля была плоским диском, который плавал на поверхности океана и был покрыт небесным сводом — металлической полусферой, на которой располагались звезды. Над небесным сводом находились высшие воды, которые иногда просачивались сквозь него, и тогда на Земле шел дождь. В африканских мифах Земля покоилась на змее, плавающей в океане.

Индусы считали, что Землю поддерживают четыре слона, стоящие на огромной черепахе, которая также плавает в океане. Египтяне и китайцы считали, что земля имеет прямоугольную форму и плавает в воде, а небесный свод покоится на двух горных цепях или четырех горах, находящихся в углах мира.

В мифах индейцев майя и других американских культурах мир изображался в виде плоского прямоугольного листа, над которым находилось небо, образованное тринадцатью наложенными друг на друга горизонтальными плоскостями. На вершине этой пирамидальной структуры восседало главное божество. Под землей находился подземный мир, состоявший из девяти горизонтальных слоев, расположенных в форме перевернутой пирамиды. Вертикально расположенные плоские миры, параллельные друг другу, описываются и в буддийской космологии.

* * *

Древнегреческому математику и философу Пифагору (ок. 570 года до н. э. — ок. 500 года до н. э.) , пусть и не безоговорочно, приписывают авторство гипотезы о шарообразной форме Земли. Неизвестно, на чем была основана его гипотеза: на физических наблюдениях или философских рассуждениях (философы считали шар самой совершенной из фигур, следовательно, наша планета, населенная людьми и сотворенная богами, должна была иметь форму шара). Платон в своем диалоге «Федон, или О бессмертии души» также упоминает, что земля имеет форму шара. Но раньше всех эту гипотезу излагает Аристотель в трактате «О небе», приводя при этом некоторые физические и логические аргументы в ее пользу. Он же первым заговорил о радиусе Земли: «Все математики, которые пытаются вычислить размер окружности Земли, говорят, что он равен 400000 стадиев».

Впрочем, размеры земного шара мы обсудим в следующей главе.

Прямые доказательства сферической формы Земли

Так как приведенные Аристотелем аргументы в пользу того, что Земля имеет форму шара, верны и сегодня, мы можем с их помощью ответить на вопрос, заданный в начале главы: каковы же прямые доказательства того, что Земля круглая? Посмотрев на небо, мы, подобно древним грекам, обнаружим первое доказательство этому: небесные тела — Солнце, Луна и планеты — имеют круглую форму. Тень, которую отбрасывает Земля на Луну во время лунного затмения, также круглая.

Лунные затмения предоставляют еще одно доказательство, пусть и не столь очевидное: они наблюдаются во всех частях Земли в один и тот же день, но в разное время. Чем дальше на восток находится наблюдатель, тем позже он увидит затмение. Так, максимальная фаза полного лунного затмения, произошедшего ночью с 20 на 21 февраля 2008 года, наблюдалась в 3 часа 26 минут по мировому времени (то есть по времени Гринвичского меридиана). Следовательно, полное лунное затмение в Испании, Франции, Алжире и Ливии наблюдалось 21 февраля в 4:26, в Англии, Мавритании и Сенегале — в 3:26, в Гренландии, на Атлантическом побережье Бразилии и в Аргентине — в 0:26, на Атлантическом побережье США, в Колумбии и Эквадоре — в 22:46 днем раньше, а в Мексике и центральной части США — в 21:26. Если бы Земля была плоской, лунные затмения наблюдались бы во всех ее частях в одно и то же время, ведь в этом случае время во всех ее частях было бы одинаковым. Это связано с тем, что время на Земле определяется в зависимости от положения солнца на небе. Полдень, то есть период, когда Солнце находится выше всего над горизонтом, в разных частях Земли наступает в разное время, так как Земля круглая, но если бы наша планета была плоской, полдень везде наступал бы одновременно.

На небе можно увидеть еще одно, очень убедительное доказательство: когда путешественник движется на север, звезды и созвездия смещаются на юг и постепенно скрываются за горизонтом. При этом на севере постепенно появляются другие звезды, которые путешественник никогда не смог бы увидеть в начальной точке своего вояжа. Так, если мы находимся в Южном полушарии, Полярная звезда будет нам не видна. Но когда мы начнем двигаться на север и пересечем экватор, она появится над горизонтом и постепенно будет подниматься все выше и выше. Когда мы достигнем Северного полюса, Полярная звезда окажется точно у нас над головой.

В плоском мире этого бы не произошло — во всех его уголках на небе были бы видны одни и те же созвездия.

Путешественник, который находится в Южном полушарии, не сможет увидеть Полярную звезду (а). Если он начнет двигаться на север, то в момент пересечения экватора (b). Полярная звезда взойдет над горизонтом. Если путешественник продолжит двигаться на север, то увидит, как Полярная звезда поднимается все выше и выше. Так, над Северным тропиком, широта которого равна 23,5°, Полярная звезда расположена под углом 23,5° к горизонту (с). На Северном полюсе путешественник увидит Полярную звезду точно над головой (d).

Если мы опустим взгляд и сфокусируем его на горизонте, то также увидим доказательства того, что Земля круглая (лучше всего при этом находиться на побережье или на корабле в открытом море). Мы увидим, что линия горизонта искривляется к краям — в плоском мире она не была бы так искривлена.

Но вот вам и самое убедительное и неоспоримое доказательство того, что Земля круглая. Допустим, что мы стоим на пляже и смотрим, как парусник движется от нас в сторону горизонта. Если бы Земля была плоской, парус становился бы все меньше и меньше, пока не стал бы совершенно неразличимым. Но в действительности так не происходит: когда корабль уплывает вдаль, сначала из виду пропадает его корпус, затем — палуба, паруса и, наконец, вершина самой высокой мачты с маленьким флагом, развевающимся на ветру. Причина этому — кривизна земного шара. Мы наблюдаем подобную картину, когда смотрим, как путник скрывается за холмом: сначала из вида пропадают его ноги, затем — туловище и, наконец, голова. Более того, именно благодаря этому эффекту горизонт выглядит как тонкая линия между морем и небом — если бы Земля была плоской, зона между морем и небом была бы нечеткой, и различить линию горизонта было бы нельзя.

* * *

НА КАКОМ РАССТОЯНИИ НАХОДИТСЯ ГОРИЗОНТ?

Когда мы перестаем видеть флаг на вершине мачты корабля, уходящего в море? Ответить на этот и другие подобные вопросы поможет знаменитая теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с выполняется равенство с 2  = а 2 + Ь 2 ».

Сначала узнаем, на каком расстоянии от нас находится горизонт. Для этого предположим, что глаза наблюдателя, который смотрит на линию, разделяющую небо и море, находятся на высоте h = 1,70 м. Так как свет распространяется прямолинейно, то линия зрения, обращенная к горизонту, будет касательной к Земле. Учитывая, что, согласно простой теореме геометрии, «касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу, проведенному в точку касания» (см. рис. на следующей странице), имеем прямоугольный треугольник, катетами которого будут линия зрения, направленная к горизонту (обозначим длину этого катета через d ), и радиус Земли R (будем рассматривать радиус на экваторе, равный 6378137 м). Гипотенузой треугольника будет отрезок, соединяющий глаза наблюдателя с центром Земли. Длина гипотенузы равна R + h . По теореме Пифагора получим, что расстояние до горизонта равно почти 5 км:

Прямоугольный треугольник, катетами которого являются линия зрения, направленная к горизонту (длина этого катета равна d ), и радиус Земли  R , а гипотенузой — отрезок, соединяющий глаза наблюдателя с центром Земли. Длина этого отрезка равна R +  h .

Если мы проведем аналогичные рассуждения, рассмотрев наблюдательную площадку на вершине мачты корабля (примем ее высоту равной h  = 15 м), получим, что для моряка на мачте горизонт находится в 13832,73 м. Сложив полученные результаты, имеем: в момент, когда мачта корабля скрывается из вида, корабль находится от нас на расстоянии 18489,52 м, то есть более 18 км.

* * *

Средневековая мысль

Несмотря на все вышесказанное, на Западе распространено мнение, согласно которому весь средневековый мир верил, что Земля плоская, и только Христофор Колумб (1451–1506) убедил современников в обратном. Этот миф, по всей видимости, происходит из книги «История жизни и путешествий Христофора Колумба» американского писателя Вашингтона Ирвинга (1783–1859) .

Вере в то, что Земля плоская, предположительно способствовало дословное толкование Библии. Например, в Книге пророка Даниила (глава 4, стих 8) говорится: «Большое было это дерево и крепкое, и высота его достигала до неба, и оно видимо было до краев всей земли», в Книге Даниила, глава 2, стих 35: «Камень, разбивший истукана, сделался великою горою и наполнил всю землю». Если бы Земля не была плоской, это было бы невозможно. В Первой Книге Царств (глава 2, стих 8) и Книге Иова (глава 9, стих 6) говорится о столбах, на которых стоит Земля. Кроме того, дословное толкование Библии определило и форму средневековых карт: они были прямоугольными, согласно словам Исаии (глава 11, стих 12) или Откровению Иоанна Богослова (глава 20, стих 7): «… на четырех углах Земли», или круглыми и даже овальными, согласно изречению «над кругом Земли» (Книга пророка Исаии, глава 40, стих 22). В центре карт, согласно Книге пророка Иезекииля (глава 5, стих 5), как правило, изображался Иерусалим. Эти представления вкупе с общей космологической системой, пришедшей на смену идеям Птолемея и его предшественников, обрели популярность с выходом знаменитой «Христианской топографии», написанной греческим монахом Козьмой Индикоплевстом (VI век). Плоская форма «круга земного» (Orbis Terrarum) стала частью официальной догмы, которую отстаивали многие христианские богословы и власти предержащие. Простолюдины были убеждены в том, что эта догма истинна, так как иные знания были им недоступны. Козьма Индикоплевст, следуя буквальному толкованию Библии, описывал мир как огромную Скинию, где находится плоская прямоугольная Земля, окруженная океаном.

Карта мира Козьмы Индикоплевста . Север изображен вверху, а Земля имеет форму четырехугольника, окруженного Океаном. В левой части изображено Средиземное море, в которое впадает река Нил, берущая начало в Океане. Справа вверху находится Каспийское море, внизу — Персидский и Арабский залив (Красное море). В Персидский залив впадают реки Тигр и Евфрат.

В Средневековье были распространены так называемые «карты Т и О», названные по первым буквам Orbis Terrarum — «круг земной». На этих картах был изображен известный мир, окруженный океаном в форме буквы О. Буква Т обозначала Средиземное море, делившее Землю на три части: Азию — вверху, Европу — слева и Африку — справа. Некоторые карты были очень простыми, другие — более сложными, как, например, карта Херефорда (вверху), выполненная Ричардом из Халдингэма , или карта Эбсторфа авторства Гервасия Тильберийского . Обе эти карты были созданы в XIII веке.

Однако образованные люди никогда не отказывались от веры в то, что Земля круглая. Так, указания на это можно найти в книге одного из отцов католической церкви Аврелия Августина (354–430) : он был убежден, что Земля круглая, однако сомневался, что противоположная сторона Земли обитаема. Эта же концепция излагается в энциклопедическом труде Исидора Севильского (ок. 560–636) — «Этимологиях», где были собраны все знания того времени («Этимологии» были одной из самых используемых энциклопедий в школах и университетах), и в его же книге «О природе вещей». Аналогичные описания встречаются в «Божественной комедии» итальянского поэта Данте Алигьери (1265–1321) и в «Трактате о сфере» английского астронома Иоанна Сакробоско (1195–1256)  — важнейшем учебнике в истории, по которому астрономия преподавалась на протяжении пяти столетий. В своем трактате Сакробоско изложил идеи из «Альмагеста» Птолемея, дополнив их новыми знаниями и устранив некоторые термины, чтобы сделать труды Птолемея по географии и космологии более понятными для современников.

От эллипсоидной модели к геоидной

До XVII века считалось, что Земля — идеальная сфера. Английский физик и математик  Исаак Ньютон (1643–1727) вывел из своего закона всемирного тяготения такое следствие: Земля должна быть слегка сплюснута у полюсов и немного шире у экватора. Центробежная сила, возникающая при вращении Земли, имеет наибольшую величину у экватора и убывает по мере приближения к полюсам, где равна нулю. Поскольку эта сила компенсирует действие силы тяжести, на экваторе сила тяжести будет меньше. Как следствие, более точной моделью нашей планеты является эллипсоид вращения.

Однако теорию Ньютона, согласно которой Земля была слегка сплюснута у полюсов, разделяли не все ученые того времени. Так, результаты измерений, которые провели итальянский математик и астроном Джованни Доменико Кассини (1625–1712) , глава Парижской обсерватории, и его сын, Жак Кассини (1677–1756) , в разных точках одного и того же меридиана, заставили их думать, что Земля вытянута у полюсов и сплюснута у экватора. Эти расхождения вызвали жаркие споры, которые вылились в противостояние английской и французской науки и разделили Парижскую академию наук на два непримиримых лагеря. Чтобы положить конец разногласиям, примерно в 1735 году академия приняла решение отправить две экспедиции в разные точки земного шара для измерения дуги, соответствующей одному градусу широты у полюса и у экватора.  Мопертюи (1698–1759) и Клеро  (1713–1765) отправились в Лапландию, Годен (1704–1760),  ла Кондамин (1701–1774) и Бугер  (1698–1758) , при содействии испанцев Хорхе Хуана (1713–1773)  и Антонио де Ульоа (1716–1795) , — в Перу. Результаты измерений в конечном итоге подтвердили правоту Ньютона. Вольтер, сторонник Ньютона, сказал о Мопертюи: «Он расплющил Землю и Кассини».

Более поздние измерения позволили определить эллипсоид, максимально точно описывающий форму земной поверхности. Последними результатами, полученными с помощью спутниковых технологий, стали эллипсоид GRS (от англ. Geodetic Reference System — «геодезическая справочная система») 1980 года, используемый Международным геодезическим и геофизическим союзом, и WGS (от англ. World Geodetic System — «всемирная геодезическая система») 1984 года, ставший мировым стандартом. В системе GPS (от англ. Global Positioning System — «система глобального позиционирования») эта модель используется для вычисления широты, долготы и высоты.

* * *

ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Запуск космических ракет всегда производится на широтах, близких к экватору. Корабли NASA стартуют с мыса Канаверал в штате Флорида, ракеты Европейского космического агентства (ESA) — из космодрома близ города Куру во Французской Гвиане. Россия и Япония не имеют территорий на этой широте, поэтому производят запуски севернее или применяют промежуточные решения, например арендуя площадки у других стран или используя плавучие космодромы в Тихом океане. Вызвано это тем, что сила тяготения вблизи экватора меньше, так как радиус Земли в этих широтах больше, а сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли. Кроме того, по мере приближения к экватору возрастает и центробежная сила вращения Земли, так что при запуске с космодрома, расположенного вблизи экватора, ракетам для выхода на орбиту требуется меньше топлива.

Воздействие силы тяготения проявляется и в спорте. Так как сила тяжести у экватора ниже, метатели и прыгуны в высоту показывают более высокие результаты вблизи экватора, а не на севере Европы. А вот в соревнованиях по горным лыжам, где главную роль играет скорость, благодаря большей силе тяготения на севере Европы рекорды ставятся чаще, чем в странах, находящихся ближе к экватору.

* * *

Картографы в зависимости от решаемой задачи используют сферическую модель Земли либо одну из эллипсоидных моделей. Сфера используется в качестве модели при составлении карт в мелком масштабе, то есть карт стран, континентов или крупных регионов. В этом случае различия между упомянутыми моделями будут незаметны, однако при использовании эллипсоида сложность картографических уравнений намного выше. А вот в картах крупного масштаба, на которых изображаются более мелкие территории, например в топографических или навигационных, различия между моделями будут существенными, при этом использование сферической модели влечет значительные ошибки в расстояниях, площадях и углах, поэтому при составлении таких карт картографы используют эллипсоид.

Утверждая, что земная поверхность имеет форму эллипсоида, мы хотим сказать, что форму эллипсоида имеет воображаемая поверхность, обозначающая средний уровень моря во всех точках земного шара, включая районы, находящиеся над поверхностью воды (как если бы существовал воображаемый канал, соединяющий их с морем). Тем не менее геодезические измерения показывают, что описанная нами поверхность — не эллипсоид, так как уровень моря в разных областях отличается ввиду локальных отклонений силы тяготения, вызванных неоднородностью земной коры и другими факторами. Чтобы учесть эти отклонения, была создана новая модель — геоид (этот термин происходит от греческого «гео» — «Земля» и «оид» — форма»). Геоид — это трехмерная фигура, приближенно описывающая средний уровень моря. Ее можно представить как поверхность спокойного моря, в каждой точке которой сила тяготения (или направление отвеса) перпендикулярна поверхности. Если использовать совсем уж научные термины, то геоид — это эквипотенциальная поверхность земного поля тяготения, которая используется в альтиметрии для определения высот различных участков земной поверхности.

В этой книге мы будем считать, что Земля имеет форму сферы, то есть будем использовать сферическую модель.

Математическая модель, описывающая земную поверхность.

 

Глава 2

Размеры Земли

Одновременно с проблемой определения формы нашей планеты возник вопрос о ее размерах. Когда стало понятно, что Земля имеет форму сферы, потребовалось определить ее радиус, так как длина окружности (когда речь идет о сфере, имеется в виду длина любого из ее больших кругов) равна 2πr.

Оценки Евдокса и Архимеда

И вновь ответ на вопрос дали древние греки. Как мы рассказали в предыдущей главе, Аристотель в своем трактате «О небе» отмечал, что математики вычислили длину окружности земли — 400000 стадиев. По-видимому, здесь он цитирует греческого математика и астронома Евдокса Книдского (ок. 400 года до н. э. — ок. 347 года до н. э.) , который считается создателем математической астрономии.

Следующая оценка размеров нашей планеты содержится в книге «Исчисление песчинок», написанной величайшим греческим математиком Архимедом  (ок. 287 года до н. э. — ок. 212 года до н. э) . В этой книге он оценивает число песчинок во Вселенной, предварительно вычислив ее размеры. На одном из промежуточных этапов Архимед отмечает, что «периметр Земли равен 3000000 стадиев и не больше», хотя признает, что некоторые оценивают размеры Земли в 300 000 стадиев. Эта цифра казалась Архимеду заниженной — он, как и Платон, считал, что наша планета имеет огромные размеры.

Измерения  Эратосфена

Самое известное измерение размеров Земли в древности принадлежит Эратосфену Киренскому (276 год до н. э. — 194 год до н. э.) . Чтобы узнать размеры Земли, Эратосфен измерил угол и длину дуги меридиана Александрии. Он определил, что длина всего меридиана равна 252 тысячи стадиев — как вы увидите далее, это очень точный результат. Метод Эратосфена известен нам благодаря греческому астроному Клеомеду (ок. 10 — ок. 70) , а также таким классическим авторам, как Герои, Страбон, Плиний и Витрувий.

Эратосфен учел, что Земля имеет форму сферы, а лучи Солнца, достигающие ее поверхности, можно считать параллельными, так как Солнце находится от нас на огромном расстоянии. Ученый провел измерения в Александрии и Сиене (современный Асуан), которые находятся на одном меридиане, определив тем самым дли¬ ну дуги этого меридиана.

Эратосфен определил, что расстояние между Александрией и Сиеной равно 5 тысяч стадиев. Для этого он обратился к погонщикам караванов, которые рассказали ему, что верблюд проходит в день примерно 100 стадиев, а путь от Александрии до Сиены занимает 50 дней. Весьма вероятно, что Эратосфен опирался не только на слова погонщиков верблюдов, а, как хороший ученый, сопоставил их с данными, приведенными в книгах Александрийской библиотеки.

* * *

ЭРАТОСФЕН КИРЕНСКИЙ (276 ГОД ДО Н.Э. — 194 ГОД ДО Н. Э.)

Эратосфен был разносторонним ученым: он занимался географией, математикой, астрономией, философией, хронологией, грамматикой, был литературным критиком и даже писал стихи, за что товарищи наградили его титулом пентатл — «пятиборец», имея в виду пентатлон — состязания в пяти дисциплинах. Было у него и другое прозвище — Бета, то есть «второй». Его можно понимать как намек на то, что Эратосфен, который занимался многими науками, ни в одной из них не достиг совершенства, хотя, отметим, все равно был одним из великих мудрецов Античности. В 30 лет он был назначен главой Александрийской библиотеки и занимал этот пост на протяжении 45 лет, до самой смерти.

* * *

Кроме того, Эратосфен учел, что через Сиену проходит Северный тропик, то есть в полдень в день летнего солнцестояния (примерно 21 июня) солнечные лучи падают на город вертикально. Любой житель и гость Сиены мог подтвердить, что в этот день лучи солнца освещали глубокие колодцы до самого дна.

Схематичное изображение Александрии, Сиены и солнечных лучей, освещающих эти города в день летнего солнцестояния. Эратосфен при измерении размеров Земли использовал похожую схему.

Чтобы измерить угол, определяемый дугой меридиана, Эратосфен также использовал гномон — простой инструмент, представляющий собой вертикальный столб, перпендикулярный горизонтальному основанию. Рассказывают, что в качестве гномона ученый использовал большой обелиск.

С помощью гномона Эратосфен измерил угол наклона Солнца относительно вертикали в полдень в день летнего равноденствия. По его подсчетам, этот угол составил 1/50 окружности, то есть 360°/50 = 7,2°. А поскольку в полдень этого же дня лучи Солнца падают на Сиену вертикально, угол дуги меридиана между Александрией и Сиеной равен α, то есть 7,2°.

* * *

ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА ГНОМОНА

Зафиксировав гномон в одном положении, мы можем наблюдать движение его тени по мере того, как солнце движется по небу. Так, можно определить, когда наступает полдень — в этот момент Солнце находится в наивысшей точке над горизонтом, а тень гномона будет самой короткой. Гномон можно использовать и в качестве простого компаса, так как в полдень его тень указывает направление «север — юг».

В полдень, когда длина тени гномона наименьшая, он указывает направление «север — юг». В течение дня тень гномона описывает гиперболу, симметричную относительно направления «север — юг», за исключением 20 марта и 22 сентября, — в эти дни тень гномона движется по прямой, указывающей направление «запад — восток».

Если мы будем наблюдать за гномоном, расположенным на одном и том же месте, в течение года, то сможем также определить дни летнего и зимнего солнцестояния. Если в каждый день года мы будем отмечать конец тени в полдень, то увидим, что зимой, когда Солнце находится ниже всего над горизонтом, тени будут длиннее, чем в остальные времена года. День зимнего солнцестояния — это день, когда тень гномона будет самой длинной. День года, когда тень гномона будет самой короткой, — это день летнего солнцестояния.

Гномон также можно использовать для определения угловой высоты Солнца. Чтобы измерить угол, определяющий высоту Солнца (см. рисунок ниже), нужно всего лишь измерить длину гномона и его тени. Говоря современным языком, соотношение между длиной гномона и его тени будет равно тангенсу искомого угла. Аналогично можно определить угол между гномоном и лучами Солнца, указывающий, насколько Солнце отстоит от вертикали. Этот угол будет дополнительным к первому, то есть сумма этих углов будет равна 90°.

Гномон и его тень позволяют определить угловую высоту Солнца.

* * *

Путем несложных рассуждений можно прийти к выводу: если дуга меридиана имеет длину в 5000 стадиев и ей соответствует угол в 7,2°, то длина полной окружности, то есть 360°, будет равна

В полдень, в день летнего солнцестояния, лучи Солнца освещают Сиену вертикально, достигая дна самых глубоких колодцев. В этот же день и час лучи Солнца освещают Александрию под углом 7,2° относительно вертикали.

По-видимому, Эратосфен провел несколько измерений и в итоге получил окончательный результат в 252 тысячи стадиев. Его метод, который можно использовать и в наши дни, очень прост и эффективен. К сожалению, мы не можем точно перевести стадии в привычные нам метры: во времена Эратосфена не существовало единой системы мер, поэтому в точности неизвестно, какой была длина стадия, использованного ученым. Если мы рассмотрим египетский стадий, равный 157,5 м, то результат Эратосфена составит 39690 км. Эта цифра очень близка к 40030,2 км — именно столько составляет длина окружности Земли в сферической модели (полученной на основе эллипсоида WGS 84).

Хотя почти все оценки, которые привел Эратосфен, были слегка неточными, ошибки наблюдений и измерений компенсировали друг друга, и полученный результат был очень близок к реальному. Александрия и Сиена не располагаются в точности на одном меридиане, определить точное расстояние между ними в то время было невозможно, а гномон позволял лишь приближенно измерить угол между лучами Солнца и вертикалью.

Измерения  Посидония и ошибка  Колумба

Еще один важный результат, связанный с измерением земной окружности в древнем мире, принадлежит греческому философу-стоику Посидонию  (ок. 130 года до н. э. — 30 год до н. э.), одному из великих географов своего времени. Его результаты также дошли до нас благодаря трудам различных классических авторов. Как и Эратосфен, Посидоний измерил дугу меридиана, на этот раз — между Родосом и Александрией. В своей обсерватории на Родосе философ обнаружил, что звезда Канопус, вторая по яркости на звездном небе, находится в точности над горизонтом, а при наблюдении из Александрии угловая высота этой звезды равна 1/48 земной окружности (см. следующую иллюстрацию). Согласно Клеомеду, Посидоний посчитал, что длина дуги меридиана между Родосом и Александрией равна 5 тысячам стадиев, таким образом, длина окружности Земли составляет 48·5000 = 240000 стадиев. Однако греческий географ и историк Страбон (63 год до н. э. — 24 год н. э.) приводит более позднюю оценку Посидония: 180 тысяч стадиев, то есть 28350 км (если использовать египетские стадии). Этот результат ученый получил, уточнив расстояние между Родосом и Александрией: оно составило 3750 стадиев. Таким образом, Земля стала меньше.

Схема измерений размеров Земли, проведенных Посидонием . Если при наблюдении из Родоса звезда Канопус находится точно над горизонтом, то для наблюдателя в Александрии она располагается на небосводе под углом  θ к горизонту, равным углу между Родосом и Александрией.

Метод Посидония для оценки размеров Земли также был остроумным, простым и геометрически безупречным, однако философ не учел преломление света в земной атмосфере, из-за которого при наблюдении небесных тел вблизи горизонта мы видим их выше, чем они располагаются на самом деле. Если бы лучи света не преломлялись, Канопус находился бы ближе к горизонту и, как следствие, реальная величина угла была бы меньше вычисленной Посидонием.

Клавдий Птолемей, как и Страбон, и другие, считал результат Посидония корректным и привел его в своей «Географии». Таким образом, представление о малых размерах Земли было популярным среди географов и картографов до XV века. Именно поэтому итальянский математик и картограф Паоло Тосканелли (1397–1482) , составивший мореходную карту Атлантического океана, считал, что можно проплыть из Европы в Азию, а Христофор Колумб верил, что существует неизвестный путь доставки специй в Европу через Атлантический океан.

Реконструкция карты Тосканелли , на которой изображены более или менее реалистичные очертания Американского континента.

Метод триангуляции

Позднее для измерения меридианов Земли, а следовательно, для вычисления ее размеров использовалась триангуляция. Этот метод заключается в разделении местности на треугольники, максимально точном измерении углов триангуляции и длины одной из сторон исходного треугольника, называемого базовым, и последующем вычислении длин остальных сторон с помощью тригонометрии. Измерить длины сторон треугольников напрямую из-за неровностей рельефа довольно сложно, особенно если речь идет о больших расстояниях. Однако измерить с большой точностью углы вполне возможно.

Вверху — общая триангуляция Франции, проведенная в период с 1818 по 1845 год.

В истории об измерении размеров Земли с помощью метода триангуляции нам встретятся труды французского астронома Жана Пикара (1620–1682) (вычисленную им длину земного меридиана использовал Ньютон для подтверждения своего закона всемирного тяготения) и Жана-Доминика Кассини — первого директора Парижской обсерватории, который сделал ее ведущим мировым центром астрономии и картографии и попытался составить точную карту Франции. Вы также узнаете об экспедициях в Лапландию и Перу, организованных Парижской академией наук с целью определить, какова форма нашей планеты у полюсов — приплюснутая или вытянутая; об измерении меридиана между Дюнкерком и Барселоной, которое провели французские ученые Жан-Батист-Жозеф Деламбр (1749–1822) и Пьер Мешен (1744–1804) , что привело к определению метра как единицы длины.

Карта побережий Франции (1682), составленная по результатам научных измерений (с помощью триангуляции), проведенных Пикаром , де Ла Гиром и  Кассини . На этой карте вы можете видеть береговую линию Франции до измерений (более широкую) и после (более точную). Увидев эту разницу, Людовик XIV сказал Кассини: «Ваше путешествие стоило мне части моего королевства!»

* * *

МЕТР

Единицей длины в Международной системе единиц является метр, который сегодня определяется как расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1/299 792458 секунды (примерно 3,34 наносекунды, то есть 3,34 миллиардных (10 -9 ) частей секунды).

В разное время метр определялся по-разному, однако началом его использования в качестве универсальной единицы длины мы обязаны Великой французской революции. В 1790 году для унификации единиц мер была создана Комиссия по мерам и весам. Было поставлено два условия: единицы измерения должны быть универсальными, то есть применяться повсеместно, и они не должны быть выбраны произвольно. В соответствии с этими условиями новая единица длины, метр, была определена как одна десятимиллионная часть расстояния от Северного полюса до экватора, измеренного вдоль меридиана. В самый разгар революционных потрясений было организовано две экспедиции для измерения длины парижского меридиана между Дюнкерком и Барселоной. Экспедицию, которая направилась в Дюнкерк, возглавил Деламбр, барселонскую экспедицию — Мешен. В ходе измерений с помощью триангуляции, которые длились 7 лет, ученые пережили всевозможные тяготы и многочисленные приключения. Этим событиям посвящен очень интересный роман Дэниса Гейджа «Измерение мира» (« The Measure of the World »).

 

Глава 3

Меридианы, параллели и большие круги

В нашем рассказе о картографии не обойтись без географических координат — широты и долготы, которые позволяют однозначно определить положение любой точки земной поверхности. Познакомьтесь с координатной сеткой, образованной двумя почтенными семействами сферических кривых — параллелями и меридианами, которые являются кривыми постоянной широты и долготы. Мы настолько привыкли к тому, что кратчайшим путем между двумя точками является прямая, что сложно представить, что на поверхности сферы это не так. Однако это действительно не так, хотя бы потому, что на поверхности сферы нельзя провести прямую. Следующий вопрос кажется очевидным: какие кривые играют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости? Точнее, каков кратчайший путь между двумя точками сферической поверхности? Ответом на этот вопрос будет еще одно интересное семейство сферических кривых — большие круги.

Широта и параллели

Чтобы определить географические координаты, нужно учесть вращение Земли вокруг воображаемой оси, проходящей через ее центр. Северный и Южный полюс — это точки пересечения оси с земной поверхностью, а также единственные точки, которые при вращении Земли остаются неподвижными. Если мы рассмотрим сферическую модель нашей планеты, то параллели будут окружностями, полученными сечением сферы плоскостями, перпендикулярными ее оси вращения (см. следующий рисунок). Существует особая параллель, экватор, которая находится на полпути между Северным и Южным полюсом. Экватор определяется сечением земного шара плоскостью, перпендикулярной его оси вращения и проходящей через центр нашей планеты. Экватор — это самая длинная параллель.

Схема, на которой изображены пять главных параллелей и широта точки Р .

Широта произвольной точки земной поверхности определяется как угол наклона относительно плоскости экватора, то есть угол между отрезком, соединяющим центр земли с рассматриваемой точкой, и плоскостью экватора (на предыдущей схеме этот угол обозначен буквой φ). Например, город Бильбао расположен на 43°15′52″ северной широты, то есть в 43 градусах 15 минутах и 52 секундах к северу от экватора. Широта принимает значения от 90° ю. ш. (в Южном полушарии) до 90° с.ш. (в Северном полушарии). Следовательно, параллели — это кривые, образованные точками с одинаковой широтой.

Данное нами определение широты верно для сферической модели Земли, которую мы рассматриваем в этой книге. Для эллипсоидной модели требуется более общее определение геодезической широты, которая понимается как угол между плоскостью экватора и перпендикуляром к прямой, касательной к меридиану эллипсоида, проходящему через данную точку (см. следующий рисунок).

Понятие геодезической широты обобщает понятие широты для эллипсоидной модели земной поверхности.

* * *

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

Карту известной части мира, на которой можно увидеть неправильную сетку меридианов и параллелей, составил еще Эратосфен, однако систему меридианов и параллелей, разделенных равными интервалами, первым предложил греческий астроном Гиппарх Никейский (ок. 180 года до н. э. — ок. 120 года до н. э.) . В своих картах он разделил обитаемый мир одиннадцатью параллелями и предложил определять широту, одновременно наблюдая лунные затмения. Кроме того, Гиппарх первым в Древней Греции, вслед за вавилонянами, стал делить окружность на 360°, каждый градус — на 60 минут, каждую минуту — на 60 секунд.

Карта  Эратосфена с неравномерной сеткой меридианов и параллелей.

ОСОБЫЕ ПАРАЛЛЕЛИ

Земля, и в частности ее центр, вращаются вокруг Солнца по эллиптической орбите, форма которой очень близка к окружности. Орбита Земли лежит в плоскости, называемой плоскостью эклиптики, относительно которой земная ось наклонена на 23°30′. В один из дней года (примерно 21 июня), когда земная ось указывает на Солнце, Северное полушарие находится ближе всего к Солнцу, и этот день, который называется днем летнего солнцестояния, становится самым длинным в году. В Южном полушарии этот же день будет самым коротким. В полдень дня летнего солнцестояния Солнце находится точно над параллелью, расположенной на 23°30′ северной широты, которая называется Северным тропиком. В день зимнего солнцестояния (22 декабря) земная ось, напротив, указывает в противоположную от Солнца сторону, и в Северном полушарии этот день — самый короткий в году.

Схема движения Земли, на которой отмечены дни равноденствия и солнцестояния.

Южный тропик — параллель, расположенная на 23°30′ южной широты. Солнце находится точно над этой параллелью ровно в полдень в день зимнего солнцестояния. В дни весеннего и осеннего равноденствия земная ось указывает соответственно либо вправо, либо влево от Солнца, и в полдень солнечные лучи падают на экватор. Так как в день летнего солнцестояния солнечные лучи падают перпендикулярно Северному тропику (23°30′ северной широты), то в тех частях нашей планеты, которые отстоят от Северного тропика больше чем на 90°, то есть находятся южнее 66°30′ южной широты, в этот день все 24 часа будет темно. К северу от 66°30′ северной широты в этот день все 24 часа светит Солнце. В день зимнего солнцестояния все происходит с точностью до наоборот.

В день зимнего солнцестояния к северу от параллели 66°30′ северной широты (Северного полярного круга) ночь длится 24 часа.

* * *

Математическое определение широты корректно и понятно, но как определить широту в открытом море или на суше, вдали от цивилизации? Сейчас для этого используется технология GPS, однако раньше людям приходилось прибегать к более естественным решениям. Чтобы определить широту, нужно учесть, что угол φ равен разности между углом, под которым Солнце находится в полдень, в точке, широту которой мы хотим определить, и углом, под которым расположено Солнце относительно экватора в полдень того же дня. Эти углы можно определить, например, с помощью гномона.

Широта φ точки  Р на поверхности Земли равна разности между углом α р , под которым солнечные лучи освещают точку  Р в полдень, и углом α Е между солнечными лучами и экватором в полдень того же дня.

Если мы из города, широта которого известна, отправимся в другой город, то мы сможем определить широту последнего, сравнив углы, под которыми солнечные лучи освещают Землю в полдень одного и того же дня. Ночью для определения широты можно использовать Полярную звезду (она указывает направление на Северный полюс с погрешностью ровно в 1° и почти не меняет своего положения на небе) или любую другую яркую звезду. В течение многих веков широту определяли с помощью таблиц-альманахов, в которых указывалось положение Солнца и других небесных тел в различные дни и часы, а также с помощью инструментов, позволявших измерять угловую высоту небесных тел: астролябии, квадранта или поперечного жезла (позднее на смену ему пришел секстант). Все эти способы можно использовать и сейчас.

Долгота и меридианы

Если широта указывает положение в направлении «север — юг», то долгота — в направлении «запад — восток». Сначала рассмотрим окружности, получаемые сечением земной сферы плоскостями, содержащими ось вращения земли (см. следующий рисунок). Меридианами будут полуокружности, заключенные между полюсами. Над всеми точками одного меридиана астрономический, или солнечный полдень наступает в одно и то же время. Слово «меридиан» происходит от латинского meridianus, что означает «полуденный».

На схеме слева изображены меридианы — большие круги земной сферы, проходящие через полюса. На схеме справа показано, как определяется долгота произвольной точки Р .

Первое важное отличие меридианов от параллелей заключается в том, что не существует какого-то особого меридиана, который можно было бы считать нулевым. Эратосфен считал нулевым меридиан Александрии, Птолемей — меридиан островов Фортуны (Канарских островов и острова Мадейра), который был западной границей известного в то время мира. По патриотическим и религиозным причинам в качестве нулевого меридиана в разное время выбирались меридианы Мекки, Иерусалима, Парижа, Рима, Мадрида, Копенгагена, Кабо-Верде и другие, что вызывало большую путаницу. Наконец в XVIII веке, после того как в 1767 году был опубликован самый полный на тот момент морской астрономический альманах, Гринвичская королевская обсерватория в Англии стала всеобщей точкой отсчета.

В результате в 1884 году на международной конференции в Вашингтоне (США) в качестве нулевого меридиана был выбран именно меридиан Гринвича. Долгота точки земной поверхности — это угол поворота относительно Гринвичского меридиана, то есть угол между меридианом рассматриваемой точки, точнее плоскостью этого меридиана и плоскостью, в которой лежит нулевой меридиан (этот угол на рисунке выше обозначен буквой θ). Долгота Бильбао равна 2°55′43″ западной долготы, то есть Бильбао отстоит от Гринвичского меридиана на 2° 55 минут и 43 секунды на запад. Долгота принимает значения от —180° до 180°, то есть от 180° восточной долготы до 180° западной долготы.

За 24 часа Земля совершает полный оборот вокруг своей оси, то есть поворот на 360°. Таким образом, каждый час Земля поворачивается на 15°. Рассмотрим пример. Житель Бильбао пообщался со своим другом из Рима и оказалось, что солнечный полдень в Риме (Рим находится на востоке от Бильбао) наступает примерно на час позже. Следовательно, разница в долготе между этими городами будет равна примерно 15° (точная долгота Рима равна 12°30′ восточной долготы). Иными словами, чтобы определить долготу точки, нужно знать разницу во времени между этой точкой и Гринвичским меридианом. Как мы уже говорили, эту разницу проще всего определить в полдень.

Задача об определении долготы

Аналогично задаче об определении широты можно поставить задачу об определении долготы произвольной точки Земли. И вновь для того, чтобы найти решение, необходимо взглянуть на небо, хотя определить долготу будет намного сложнее: в течение дня, то есть по мере того как Земля вращается вокруг своей оси, одни небесные тела на востоке скрываются, другие, на западе, появляются. Следовательно, определить положение «запад — восток» по звездам сложнее. Поиски решения задачи о долготе продолжались четыре столетия. Великие морские державы, например Испания, Нидерланды, Англия и Франция, предлагали внушительные премии (не будем забывать, насколько важным было мореходство для этих стран в XV веке), а великие ученые, такие как Галилео Галилей, Жан-Доминик Кассини, Христиан Гюйгенс, Исаак Ньютон и Эдмунд Галлей, активно участвовали в поисках решения. Крупнейшей премией, возможно, была премия, учрежденная в 1714 году британским парламентом и составлявшая 20 тысяч фунтов.

* * *

ПЕРВОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ КОЛУМБА

3 августа 1492 года Христофор Колумб отправился в путешествие по Атлантическому океану в поисках Азии. Сначала флотилия Колумба из 90 моряков на трех судах — «Пинта», «Нинья» и «Санта-Мария» (размеры последней составляли около 22 м в длину и 7,5 м в ширину) — направилась в сторону Канарских островов. От Канарских островов 6 сентября корабли отплыли на запад, следуя примерно вдоль прямой линии (для простоты курс был проложен вдоль одной параллели) между 26-й и 30-й параллелями. По оценкам Колумба, через 25–30 дней экспедиция должна была достичь Японии. 12 октября (21 октября по современному календарю) Колумб высадился на острове Сан-Сальвадор (туземцы называли его Гуанахани) и начал обследовать окрестности, посчитав, что достиг островов у берегов Японии.

* * *

Как предполагал еще Гиппарх, для определения долготы можно было использовать некое астрономическое явление, которое позволило бы оценить разницу во времени между двумя точками. Предположим, что в Бильбао солнечное затмение наблюдалось в полдень, но моряк, находящийся на корабле в Атлантическом океане, для которого затмение произошло в то же самое время, наблюдал его спустя четыре часа после того, как для него наступил полдень. Следовательно, разница в долготе между Бильбао и кораблем составляет 60°, то есть долгота корабля примерно равна 63° западной долготы. Однако солнечные и лунные затмения происходят крайне редко (в среднем примерно четыре раза в год), следовательно, их нельзя постоянно использовать для определения долготы.

Можно было решить задачу о долготе, зная относительное положение разных небесных тел. Так, астроном Иоганнес Вернер (1468–1522) предложил составить карту положений звезд, чтобы предсказать, когда Луна будет находиться рядом с теми или иными небесными телами в разные годы. Этот метод очень помог бы мореплавателям, однако он был небезупречен: положения звезд были известны неточно, не существовало инструментов для измерения расстояний между звездами и Луной, а траектория движения спутника Земли была изучена не до конца, поэтому точно предсказать положение Луны на небе также было очень сложно.

Галилео Галилей (1564–1642)  в качестве астрономических часов предложил использовать затмения лун Юпитера, которые наблюдались тысячу раз в год, и предсказать их было очень легко. Однако эта идея также была принята не слишком тепло. Кроме того, точные наблюдения Юпитера в те годы были проблематичны.

Ученые предлагали все новые и новые методы. Одни из них были безрассудными, другие — более серьезными, например предлагалось использовать компас и учитывать изменения земного магнетизма в разных точках нашей планеты. Позднее ученые вновь обратились к методу определения долготы по положению Луны и расстояниям от нее до звезд. Это стало возможным благодаря усовершенствованию навигационных измерительных инструментов, в частности квадрантов и секстантов, развитию астрономии и публикации подробного альманаха по данным наблюдений в новой Гринвичской королевской обсерватории. Кроме того, с помощью теории тяготения Ньютона была получена более точная информация о движении Луны.

Секстант — важный инструмент морской навигации. Он позволяет измерять углы между двумя звездами или двумя точками побережья, а также высоту звезд на небосводе.

Наиболее удачное решение задачи об определении долготы предложил английский часовщик Джон Гаррисон (1693–1776) , который сконструировал морской хронометр высокой точности, позволявший, находясь в любой точке мира, вычислять время в порту отплытия и, соответственно, долготу. Мореплаватель в открытом море должен был всего лишь определить по солнцу, когда наступит полдень, посмотреть, какое время показывает хронометр (а он показывал время в порту отплытия), рассчитать разницу во времени между портом и кораблем, умножить число часов на 15° и получить разницу в долготе относительно порта отплытия. Такое механическое решение задачи о долготе не обрадовало ни ученых того времени, ни членов Комитета по долготе, учрежденного английским парламентом. Чиновники всячески оттягивали выплату часовщику Джону Гаррисону причитающейся ему премии, надеясь, что свое решение предложат астрономы. Однако в конечном итоге всем пришлось признать, что морские хронометры Гаррисона позволяли определить долготу с требуемой точностью.

В результате всего изложенного можно сказать, что любая точка земной сферы однозначно задается параллелью и меридианом, проходящими через нее, или, что аналогично, широтой и долготой, которые называются географическими координатами.

Хронометр Джона Гаррисона Н5. С помощью хронометра Н4, сконструированного этим английским часовщиком, удалось решить задачу об определении долготы. Н4 выглядел как карманные часы большого размера и имел примерно 13 см в диаметре. Его эффективность была доказана во время путешествия корабля «Дептфорд» на Ямайку. По прибытии в Порт-Ройал два месяца спустя хронометр Н4 отстал всего на 5 секунд. Обратный путь выдался невероятно трудным, и общее расхождение за все время путешествия возросло до 1 минуты 54 секунд. Несмотря на это ошибка при вычислении долготы по-прежнему была меньше, чем требовал Декрет по долготе. Джон Гэррисон все-таки получил причитавшиеся ему 20 тысяч фунтов премии, хотя и спустя много лет.

* * *

ГИБЕЛЬ «ТИТАНИКА»

Каждый из нас видел хотя бы один художественный или документальный фильм, посвященный гибели «Титаника». Возможно, именно поэтому мы хорошо знаем историю этого роскошного корабля, который был создан с использованием новейших технологий своего времени. «Титаник» был гордостью владельцев, ему было суждено стать флагманом трансатлантических путешествий начала XX века. Тем не менее ночью 14 апреля 1912 года корабль столкнулся с айсбергом и затонул. Спасти уцелевших пассажиров удалось благодаря тому, что были известны географические координаты места крушения. С «Титаника» по радио был отправлен сигнал SOS: «Столкнулись с айсбергом. Тонем. «Титаник». 41°16′ северной широты, 50°14′ западной долготы. Срочно пришлите помощь». Корабль «Карпатия», находившийся ближе всего к месту катастрофы, получил сообщение и быстро направился в точку с указанными географическими координатами. «Карпатия» прибыла вовремя, удалось спасти более 700 человек (большинство из них составляли женщины и дети), находившихся в шлюпках.

* * *

Большие круги, геодезические линии сферы

Расстояние между двумя точками произвольной поверхности можно определить как длину кратчайшей из кривых, соединяющих эти две точки (именно так поступают геометры). По сути этим расстоянием будет длина кратчайшего пути между двумя рассматриваемыми точками, при условии что такой путь вообще существует. В геометрии кривые, указывающие кратчайший путь на поверхности, называются геодезическими линиями. Впрочем, это понятие несколько шире и включает кривые, определяющие «локальный» кратчайший путь. Что это означает? Это означает, что мы можем выбрать две точки поверхности, соединенные геодезической линией, так, что она не укажет наименьшее расстояние между ними. Однако если мы выберем две произвольные промежуточные точки геодезической линии, близкие друг к другу, то кратчайшим путем между ними всегда будет соединяющая их часть геодезической линии, как показано на рисунке.

Геодезические линии указывают кратчайшее расстояние между соседними точками, однако в общем случае это не так. Например, часть меридиана, соединяющего Лондон и город Гао в Мали и проходящего через Северный полюс, Атлантический океан и Южный полюс, — это геодезическая линия, но она не соответствует кратчайшему пути из Лондона в Гао. Однако эта геодезическая линия соответствует кратчайшему пути между близлежащими точками, например между Гао и городом Аккра в Гане или между Лондоном и Северным полюсом.

Как всем хорошо известно, геодезическими линиями плоскости являются прямые. Тем не менее минимальное расстояние между точками на сфере указывают большие круги — кривые, получаемые сечением сферы плоскостями, проходящими через ее центр. Примерами больших кругов сферы являются меридианы. Единственная параллель, которая является большим кругом, — это экватор.

На иллюстрации показаны большие круги Земли.

Проведем эксперимент. Допустим, что мы хотим провести прямую, проходящую через две точки плоской поверхности. Для этого мы можем соединить эти точки простой веревкой и сильно натянуть ее. Веревка примет форму прямой, соединяющей две точки. Теперь рассмотрим земной шар. Чтобы определить кратчайший путь между двумя точками земного шара, например между Барселоной и Аделаидой, соединим указанные точки веревкой и натянем ее. Мы получим кривую наименьшей длины, соединяющую два указанных города (то есть геодезическую линию), которая будет частью большого круга, проходящего через эти города, как показано на иллюстрации.

Натянутая веревка соответствует кратчайшему пути между двумя точками.

На интуитивном уровне можно сформулировать следующее доказательство. Допустим, даны две точки на сфере, и мы хотим найти кривую, которая определяет кратчайший путь между ними. Кажется логичным предположить, что мы можем ограничиться рассмотрением окружностей сферы, которые проходят через эти точки и образуются сечением сферы плоскостями, проходящими через две данные точки. Кроме того, в силу свойств симметрии, четко видно, что дуга окружности, полученной сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы, соответствует кратчайшему пути между точками, что показано на предыдущем рисунке. В итоге большие круги являются геодезическими линиями сферы, или кривыми, указывающими наименьшее расстояние.

Дуга большого круга, заключенная между между двумя точками, имеет наименьшую длину среди всех дуг окружностей, соединяющих данные точки.

* * *

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КУПОЛА

Одно из самых впечатляющих сооружений сферической формы, созданных в XX веке, — это геодезические купола Ричарда Бакминстера Фуллера (1895–1983). Мы могли бы многое сказать об этом гениальном изобретателе, архитекторе, инженере, математике, поэте и космологе, провидце, который опередил свое время и смог поставить науку и технику на службу обществу. Величайшим его творением, несомненно, являются геодезические купола.

Американский павильон на Всемирной выставке 1967 года в Монреале, построенный по проекту Ричарда Бакминстера Фуллера . Позднее в павильоне разместился музей воды и окружающей среды

(фотография: Филипп Хайнсторфер ).

Геодезический купол — это сферическая структура, образованная сеткой больших кругов (геодезических линий). Треугольники, из которых состоит сетка, придают структуре жесткость. Для построения классического геодезического купола рассматривается икосаэдр, вписанный в сферу, как показано на иллюстрации. Затем каждая грань икосаэдра делится на треугольники, которые проецируются на сферу, образуя сетку геодезических линий.

Преимущества геодезического купола следующие.

1. Он покрывает обширное пространство и не требует поддерживающих конструкций в середине.

2. Для геодезического купола характерно оптимальное соотношение объема к площади поверхности, иными словами, он покрывает пространство максимального объема при наименьшей площади поверхности.

3. Пространство внутри купола нетрудно обогревать, так как потери тепла зависят от соотношения между объемом и площадью поверхности, которое является оптимальным.

4. Геодезические купола благодаря своей структуре и распределению нагрузки обладают высокой жесткостью.

5. Геодезические купола имеют малый вес и просты в сборке.

* * *

Кривизна больших кругов

Прямые также можно определить как кривые, обладающие нулевой кривизной. Можно ли дать похожее определение большим кругам сферы? Кажется очевидным, что окружность, будучи плоской кривой, имеет одинаковую кривизну во всех точках, и эта кривизна ненулевая. Кроме того, чем больше радиус окружности, тем более вытянутой она будет, и тем меньше будет ее кривизна (см. иллюстрацию на следующей странице). Геометрически кривизна окружности радиуса r равна 1/r. Следовательно, чем больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна. Изменение кривизны окружности в зависимости от ее радиуса можно почувствовать, если проехать на велосипеде по кругу: в зависимости от радиуса круга нужно будет поворачивать руль на больший или меньший угол. Когда мы не поворачиваем руль, велосипед движется по «прямой», то есть по большому кругу, имеющему наименьшую кривизну. Следовательно, большие круги имеют наименьшую кривизну, а их радиус будет наибольшим.

Чем больше радиус окружности r , тем меньше ее кривизна k .

В действительности геометры определили новую величину, которую можно назвать кривизной кривой на заданной поверхности. Это так называемая геодезическая кривизна, которая указывает степень кривизны кривой на поверхности, которой она принадлежит. В качестве окружающего пространства рассматривается именно эта поверхность, а не трехмерное пространство.

Геодезическая кривизна геодезических линий, в частности больших кругов сферы, равна нулю, что является обобщением кривизны прямой на плоскости.

 

Глава 4

В поисках правильной карты Земли

Картография — это наука, изучающая графическое изображение Земли и ее частей, а также других небесных тел. В картографии главным образом рассматриваются карты, а также рельефные модели и глобусы. В эру компьютеров и интернета карты и глобусы могут быть очень сложными, интерактивными, созданными с помощью новых способов изображения земной поверхности.

Карты выполняют две основные функции: они используются для хранения и представления полезной географической информации, а также помогают понять пространственные соотношения и осознать всю сложность мира, в котором мы живем.

Картография делится на три основные части. Первая — это сбор, анализ и обработка географической информации, которая затем используется при составлении карт. Источниками географической информации обычно служат: наблюдения в поле (традиционный источник информации на протяжении всей истории картографии, применяющийся до сих пор), данные аэрофотосъемки и космической съемки со спутников (фотографии, данные, полученные с помощью радаров и датчиков), уже существующие карты и базы данных, а также статистические данные.

Вторая часть картографии — математическая картография. Она занимается изучением проекций, то есть геометрических и математических преобразований, позволяющих изобразить искривленную земную поверхность на плоскости. Именно проекции определяют, какую форму будут иметь страны и континенты на картах. Термин «математическая картография» имеет очень широкое значение. Если говорить коротко, то математическая картография занимается формированием и изучением математических основ составления карт, а также охватывает теоретические и практические вопросы в смежных научных дисциплинах: уже упомянутой картографии, геодезии, географии, навигации и других науках. Один из важнейших инструментов математической картографии — дифференциальная геометрия.

Основной задачей картографии является изучение проекций. В этой главе мы подробнее расскажем о проекциях, лежащих в основе карт. Мы приведем их классификацию по форме построения, геометрическим свойствам, изучим характерные особенности, в частности искажения, возникающие при использовании разных проекций, а также рассмотрим основные результаты математической картографии и их применение при составлении реальных карт.

Третья и последняя часть картографии — это дизайн и составление карт. Традиционно карты имеют бумажную основу. В прошлом они рисовались вручную, позднее, с изобретением книгопечатания, стали изготавливаться печатным способом, и качество карт неуклонно возрастало. Сегодня благодаря новым технологиям стало возможным публиковать цифровые карты и карты других форматов. Любой, кто работает с такой картой, может не просто пассивно получать информацию, но и взаимодействовать с ней и даже принимать участие в ее создании.

Еще две важные части картографии — это история картографии, а также изучение способов применения карт. Изучение истории карт помогает лучше разобраться в них, осознать их роль в истории человечества и понять, как выглядел мир в разные времена для разных народов. Не следует забывать, что зная прошлое, мы сможем понять будущее и сделать его лучше. Наконец, изучение способов применения карт позволяет сделать их намного эффективнее, создавать новые методы, новые проекции, которые помогут решить текущие задачи.

Что такое «правильная» карта

В ходе истории картографы и математики работали над созданием совершенной карты, стремясь найти такую проекцию земной поверхности на плоскость, которая позволила бы составить наиболее точную карту нашей планеты. В этой главе мы вновь рассмотрим вопросы, перечисленные в предисловии. Их можно свести к одному, главному вопросу: как составить правильную карту Земли? Однако вначале следует выяснить, какую карту можно считать «правильной».

* * *

КАРТЫ ДЛЯ РАЗГАДКИ ЗАГАДОК

Иногда представление статистических данных на карте помогает совершить открытие. Карта позволяет увидеть закономерности, не столь заметные при ином способе представления данных. Простой пример этого — карта эпидемии холеры, составленная Джоном Сноу в 1854 году. В середине XIX века причины возникновения холеры и других инфекционных заболеваний были неизвестны. Возбудителями подобных заболеваний считались «миазмы» — вредоносные субстанции, передающиеся по воздуху. За несколько лет Лондон пережил множество вспышек холеры, унесших тысячи жизней. Английский математик  Джон Сноу (1813–1858) считал: «людей убивает вода». В конце лета 1854 года в районе Сохо разразилась эпидемия холеры. За первые несколько дней скончалось более 100 человек, за 10 дней — свыше 500, к концу эпидемии — 616. Сноу, который был свидетелем эпидемии 1831 года, жил в Сохо. Он заподозрил, что источником инфекции могла быть колонка с питьевой водой. Жители района брали воду из уличных колонок, вода в которые поступала из загрязненной Темзы. Сноу составил карту, на которой отметил местоположение колонок с водой и дома, где жили жертвы холеры. Он заподозрил, что причиной эпидемии была колонка на улице Броуд, вокруг которой, как было видно на карте, проживали заболевшие, которые действительно брали воду именно в этой колонке. В итоге Сноу удалось добиться закрытия колонки, и лишь спустя несколько лет было обнаружено, что причиной заболевания являются бактерии.

Карта очага эпидемии холеры, составленная Джоном Сноу , на которой отмечены случаи заболевания холерой в Лондоне в 1854 году. Точки указывают место жительства заболевших, крестами отмечены колонки с питьевой водой. Точки сконцентрированы вблизи колонки на улице Броуд.

* * *

Мы можем использовать карты в разных целях: для поиска кратчайшего пути до точки назначения, определения расстояний, измерения длин рек, газопроводов или линий связи; для определения зоны поражения боевой ракеты, области утечки газа или радиационного заражения. С помощью карт можно определить направление ветра, задать курс при путешествии в открытом море, на земле или в воздухе, вычислить площадь определенной территории, проанализировать географическую информацию, представленную на карте (уровень жизни, плотность населения, экономические данные или данные об уровне производства товаров и т. д.). Для решения последней задачи важно, чтобы карта сохраняла площадь и, если возможно, форму, то есть общий вид рассматриваемых территорий. Карты позволяют изучать особенности рельефа местности, например бассейны рек, горные хребты, долины и побережья; при этом очень важно, чтобы на карте сохранялись их реальные очертания. По сути, при работе с картой нас интересуют вопросы измерения расстояний, длин кривых, поиск кратчайших путей (геодезических линий), определение направлений, углов, площадей и форм. Следовательно, при построении математических проекций земной поверхности на плоскости мы хотим, чтобы проекции сохраняли указанные параметры.

Остановимся на мгновение и подумаем о проблеме составления карты земной поверхности на бытовом уровне, не обращаясь к методам дифференциальной геометрии, необходимым, чтобы ответить на вопрос со всей точностью. Несложно увидеть две основные трудности, возникающие при составлении карт. Одна из них заключается в том, что, в зависимости от задачи, карты должны иметь разные размеры и на них должны быть изображены участки земли разной площади. Вторая трудность — различие между геометрической формой самой Земли и карты, на которой она изображается: Земля имеет форму сферы, а карта плоская.

Двойная задача: выбор масштаба и картографической проекции

Из всего сказанного следует, что математические проекции, используемые при составлении карт, становятся понятны, если рассмотреть построение карт как двухэтапный процесс. Сначала земная сфера проецируется на сферический глобус, уменьшенный (в масштабе) до выбранного нами размера. Эта часть проекции заключается в простом уменьшении изображения земной поверхности. Затем уменьшенное изображение проецируется на плоскость, в результате чего появляется нужная нам карта.

* * *

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КАРТЫ

Если мы нарисуем карту нашего дома, квартала или района, на ней не будет сохранен ни один из привычных параметров. Точно такими же были первые карты, созданные человеком, например вавилонская карта VI века до н. э., изображенная на глиняной табличке. Это так называемые топологические карты, на которых основное значение имеют отношения вида «близко — далеко», «вместе — раздельно», а также порядок и непрерывность. На топологических картах обычно изображают взаимосвязи между элементами местности. Хрестоматийным примером таких карт служат схемы метро, так как для тех, кто ими пользуется, важнее не расстояние между станциями, а их число и схемы пересадок.

К топологическим картам относятся так называемые фэнтези-карты вымышленных миров, например карта Средиземья из «Властелина колец» Дж. Р. Р. Толкиена (1954) или «живописные карты», которые можно увидеть, например, в парках аттракционов. К этому же виду относятся карты нейронных сетей и другие карты, используемые в информатике, а также карты, связанные с графами.

* * *

Описанная выше сферическая модель Земли — это идеальная модель земной поверхности, которая отличается от нее только размером, но не формой. Масштаб указывает разницу в размерах между Землей и сферой. Определить его можно, разделив радиус сферы на радиус Земли. Рассмотрим глобус радиусом 25 см. Радиус Земли будем считать равным 6371 км (если использовать размеры эллипсоида WGS84). В этом случае масштаб равен

Этот масштаб, который обычно записывается как 1:25484000, означает, что каждый сантиметр глобуса соответствует 25484000 см, то есть 254,84 км земной поверхности.

На многих древних картах масштаб указывался с помощью изображения компаса, как можно видеть на этой карте Магелланова пролива (1606), выполненной  Йодокусом Хондиусом . На карте изображены и другие типичные элементы карт того времени, в частности роза ветров и фантастические животные.

Как влияет это уменьшение в размерах на метрические параметры карт, о которых мы говорили выше? Расстояния и длины кривых уменьшаются линейно в соответствии с масштабом, то есть каждый сантиметр глобуса соответствует 254,84 км земной поверхности. Следовательно, если мы хотим измерить расстояние от Барселоны до Аделаиды, нужно всего лишь измерить это расстояние на сферической модели Земли и умножить результат в сантиметрах на 254,84. Площади участков земной поверхности и масштаб карты связаны квадратичной зависимостью: каждый квадратный сантиметр на глобусе будет соответствовать 254,842 = 64943,4256 км2.

Большие круги, указывающие кратчайшие пути, станут большими кругами на сферической модели, поэтому геодезические линии также останутся неизменными. Сохранятся также углы и направления. Как видим, преобразование, которое заключается в уменьшении размеров Земли, не изменяет метрические параметры, масштаб во всех точках сферической модели остается постоянным.

Математически это можно выразить следующим образом. Будем считать, что Земля и ее сферическая модель имеют общий центр, который мы примем за начало нашего трехмерного пространства . Следовательно, наше математическое преобразование будет отображением Земли (S 1 ), которая является сферой радиуса 6371 км, на сферическую модель (S 2 ) радиусом 25 см φ: S 1  —> S 2 , определяемым как φ(х) = е·х. На языке геометрии это отображение называется гомотетией (при е > 1 исходные фигуры увеличиваются, при е < 1, как в нашем случае, — уменьшаются). Это простое преобразование, которое однозначно определяется свойством пропорционального уменьшения размеров фигур.

Теперь, когда вопрос об изменении размеров решен, осталось решить проблему изменения формы. Как вы увидите, она намного сложнее, и именно здесь в действительности скрывается святой Грааль картографии — идеальная карта. Чтобы решить эту проблему, нужно изучить математические проекции сферы на плоскость и рассмотреть, как они изменяют различные метрические свойства. Это центральная тема математической картографии и настоящей главы. Как мы упоминали в предисловии, существует множество математических преобразований сферы в плоскость и, как следствие, множество разных проекций, на основе которых можно составить столь же большое число самых разных карт. Далее для простоты мы будем понимать картографические проекции как отображения сферы единичного радиуса на плоскость  Кроме того, с математической точки зрения проекции должны обладать некоторыми естественными свойствами: в частности, они должны быть непрерывными и дифференцируемыми. Это означает, что сфера должна проецироваться на плоскость разумным образом, то есть без складок, разрезов и наложений.

Как мы уже отмечали, важно знать, как изменяются основные метрические свойства при использовании тех или иных проекций. Поэтому начнем наши поиски точной карты земной сферы с того, что докажем следующее утверждение: в проекции, сохраняющей расстояния между точками (такие отображения называются изометрическими), также сохраняются кратчайшие пути (геодезические линии), углы и площади. Кроме того, сохранение расстояний эквивалентно сохранению длин кривых. Предыдущие утверждения — не более чем частный случай анализа дифференцируемых отображений между регулярными поверхностями применительно к их метрическим свойствам (доказательство этого утверждения методами дифференциальной геометрии можно найти в любом классическом учебнике по этой дисциплине).

Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и кратчайшие пути

Далее мы докажем, что любая проекция сферы на плоскость, сохраняющая расстояния (это означает, что расстояние между двумя произвольными точками сферы будет равно расстоянию между отображениями этих точек на плоскости), также сохраняет кратчайшие пути, иными словами, отображением больших кругов сферы будут прямые на плоскости.

Докажем это утверждение методом от противного, который заключается в том, что мы считаем утверждение, которое хотим доказать, ложным, и путем логических рассуждений приходим к противоречию, затрагивающему исходную гипотезу. Следовательно, утверждение, которое мы хотим доказать, будет истинным. В нашем случае предположим, что проекцией больших кругов не всегда будет прямая.

Если бы рассматриваемая проекция в самом деле не сохраняла кратчайшие пути, то существовали бы две точки сферы А и В и точка С, лежащая на кратчайшем пути между ними (то есть на большом круге, проходящем через А и В), такая, что ее отображение на плоскость С' не лежало бы на кратчайшем пути (прямой), соединяющем отображения точек А и В — А' и В' соответственно.

Имеем: так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то расстояние между отображениями А' и В' равно расстоянию между исходными точками А и В:

d(A, B) = d(A', B').

Так как точка С лежит на кратчайшем пути между А и В, расстояние между этими точками будет равно сумме расстояний между А и С и между С и В:

d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).

Тем не менее точка С не лежит на прямой, соединяющей А' и В', следовательно:

d(A', B') < d(A', C') + d(C', B').

Но так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то последняя сумма будет равна d(A, С) + d(С, В). Имеем противоречие: мы доказали, что

d(A, B) < d(A, B).

Это очевидно ложное утверждение означает, что проекция не сохраняет кратчайшие пути.

Сохранение расстояний в проекции означает сохранение длин кривых

Используем утверждение из предыдущего раздела (проекции, сохраняющие расстояния, сохраняют и кратчайшие пути), чтобы доказать, что в этом случае кривые на сфере преобразуются в кривые на плоскости, имеющие ту же длину. Почему это утверждение верно? Во-первых, любую кривую на сфере можно приближенно представить в виде конечного (но достаточно большого) числа дуг больших кругов. Концы этих дуг р 0 , р 1 , р 2 , …, р n-1 , p n   лежат на кривой, как показано на иллюстрации.

Следовательно, длину кривой можно приближенно представить как сумму длин этих дуг, или, иными словами, как сумму расстояний между их концами. Так как речь идет о дугах больших кругов, это будут кратчайшие расстояния, соединяющие концы дуг:

l(α) = d(р 0 , р 1 ) + d(р 1 , p 2 ) + …+ d(р n-1 , р n ).

Во-вторых, кривую на плоскости, которая является отображением исходной кривой на сфере, можно приближенно представить с помощью множества отрезков, которые будут отображениями дуг больших кругов (об этом мы рассказали в прошлом разделе), а длину плоской кривой — как сумму длин расстояний между концами этих отрезков р' 0 , р' α , р' 2 , …, p' n   :

l(α') = d(р' 0 , р' 1 ) + d(р' 1 , p' 2 ) + … + d(р' n-1 , р' n ).

В-третьих, так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то расстояние между концами отрезков, составляющих исходную кривую на поверхности сферы, будет равно расстоянию между отображениями этих точек, которые будут концами отрезков, составляющих проекцию этой кривой:

d(p i , p i+1 ) = d(p i , p i+1 ), i = 0, …, n-1.

Учитывая три приведенных утверждения, можно сказать, что проекция преобразует кривую на сфере в плоскую кривую той же длины.

* * *

СКОЛЬКО КРАСОК НУЖНО, ЧТОБЫ РАСКРАСИТЬ КАРТУ?

Когда мы были детьми, то наверняка рисовали карты, которые требовалось закрасить так, чтобы области одного цвета не имели общих границ. Возможно, кто-то даже смог увидеть, что для раскраски такой карты достаточно четырех красок. Именно эта мысль в середине XIX века пришла в голову брату одного из студентов Огастеса де Моргана — Фрэнсису Гутри (позднее он стал математиком и ботаником), когда он рассматривал карту графств Англии. Де Морган рассказал об этой гипотезе своим коллегам-математикам.

В 1879 году адвокат сэр Альфред Брей Кемпе, ученик математика Артура Кэли, предложил доказательство гипотезы о четырех красках. К сожалению, его доказательство оказалось ошибочным, хотя содержало интересные и глубокие идеи. Лишь в 1976 году Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен опубликовали окончательное доказательство теоремы о четырех красках. В нем исходная теорема была выражена на языке теории графов. Аппель и Хакен пошли от противного и предположили, что исходная гипотеза ложна и что существуют карты (графы), которые нельзя раскрасить четырьмя красками, затем они показали, что в таких картах существуют определенные «неизбежные конфигурации» и, наконец, что все подобные конфигурации на самом деле можно раскрасить четырьмя красками. Объем вычислений, которые потребовалось провести на последнем этапе доказательства, был столь велик, что пришлось прибегнуть к помощи компьютера, и это вызвало широкую полемику в математическом сообществе. Можно ли считать доказательство корректным, если оно включает вычисления, выполненные на компьютере, при этом предполагается, что любое доказательство должно быть убедительным, формализуемым и, что самое главное, проверяемым?

Карта мира, раскрашенная четырьмя красками: красной, синей, зеленой и желтой (на иллюстрации они представлены различными оттенками серого). Этих четырех красок достаточно, чтобы никакие две области, имеющие общую границу, не были окрашены в один цвет.

* * *

Читатель, знакомый с дифференциальной геометрией или анализом бесконечно малых, возможно, заметил, что в более строгом варианте представленного выше доказательства не обойтись без методов математического анализа.

Утверждение, обратное тому, что мы доказали, также будет верным: проекции сферы на плоскость, сохраняющие длины кривых, сохраняют и расстояния между точками. Причина в том, что расстояние между двумя точками — это длина кратчайшей кривой, их соединяющей.

Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и углы

Читатель, возможно, понимает, что означает сохранение величин углов между двумя произвольными направлениями. Но чтобы лучше понять, как отображения сферы на плоскость изменяют углы, нужно подробнее рассмотреть используемые понятия, хотя при этом придется применить некоторые термины.

Рассмотрим произвольную точку сферы р, два направления, проходящие через эту точку, то есть два касательных вектора v 1 и v 2 а также угол θ между ними. Чтобы рассчитать, как изменятся касательные векторы и, следовательно, величина угла, будем действовать следующим образом. Рассмотрим две кривые на поверхности сферы, α 1 : (— ε, ε) —> S 2 и α 2 : (— ε, ε) —> S 2 , которые проходят через точку р. Их касательными векторами в этой точке будут v 1 и v 2 (если говорить математическим языком, то α' 1 (0) = v1, α' 2 (0) = v2 геометрический смысл этих равенств представлен на следующей иллюстрации). Далее рассмотрим плоские кривые, которые будут отображениями этих кривых: , а также касательные векторы этих кривых в точке пересечения  то есть 

Эти векторы будут отображениями векторов v 1 и v 2 полученными проекцией φ. Если угол между w 1 и w 2   вновь будет равен θ, то проекция φ будет сохранять углы между векторами v 1 и v 2 (а также между кривыми а 1 и а2 соответственно). Интересный момент: векторы w 1 и w 2   которые являются отображениями векторов v 1 и v 2 полученными проекцией φ, не зависят от исходных кривых а 1 и а2 , следовательно, они также не зависят от угла между этими кривыми. Это позволяет, например, выбрать в качестве кривых а 1 и а2 дуги больших кругов, проходящие через точку р, и касательные векторы v 1 и v 2 которые определяются единственным образом.

Следовательно, интуитивно понятно, что изометрические преобразования сохраняют величины углов. Если для двух больших кругов сферы, которые пересекаются в точке, мы рассмотрим окружность достаточно малого радиуса r с центром в этой точке (иными словами, эта окружность будет образована точками сферы, удаленными от центра окружности на некоторое расстояние r), то угол θ между двумя большими кругами (равный углу между их касательными векторами) будет приблизительно равен отношению длины дуги окружности, определяемой двумя большими кругами, и ее радиусом, умноженным на 2π.

Далее, если мы рассмотрим отображение, полученное проекцией, сохраняющей расстояния, то увидим, что проекциями больших кругов будут прямые (так как изометрические проекции сохраняют геодезические линии), а окружность радиуса r на сфере перейдет в окружность радиуса r, центр которой будет располагаться в точке пересечения полученных прямых на плоскости. Следовательно, так как проекция сохраняет расстояния, а формула, приведенная на предыдущей иллюстрации, выполняется на плоскости, угол между большими кругами также будет сохраняться.

Отображения, сохраняющие величины углов, называются равноугольными, конформными или изогональными. Последний термин напрямую указывает на то, что проекция сохраняет величины углов неизменными, а термин «конформный» означает «имеющий одинаковую форму» или «имеющий правильную форму». Таким образом, проекции, сохраняющие углы, сохраняют и формы, однако лишь для достаточно малых областей, что можно увидеть на картах в проекции Меркатора, о которых упоминалось в предисловии. На них по мере приближения к полюсам искажения становятся очень заметными.

Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и площади

Это утверждение основано на том, что любую ограниченную область на поверхности сферы можно покрыть конечным числом областей, границами которых будут меридианы и параллели. Эти области можно считать прямоугольными, а их число будет достаточно большим, следовательно, их размеры невелики. Площадь исходной области можно будет приближенно выразить как сумму площадей этих «прямоугольников» (их площадь будет равна произведению основания на высоту). Отображением этой области будет прямоугольник на плоскости, покрытый множеством прямоугольников. Так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, площадь этого прямоугольника будет равна площади исходной области.

Площадь произвольной территории, например Китая, можно представить как сумму площадей «прямоугольных» областей, ограниченных меридианами и параллелями. Чем меньше будут эти области, тем точнее мы сможем вычислить площадь искомой территории.

Проекции, сохраняющие площади, называются равновеликими, или гомолографическими. Следовательно, мы доказали, что отображения сферы на плоскость, сохраняющие расстояния (или длины кривых), оставляют неизменными площади, геодезические линии и величины углов — все интересующие нас метрические параметры.

Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод: чтобы построить точную карту мира, нужно найти математическую проекцию сферы на плоскость, которая была бы изометрической. Приступим же к поискам.

В поисках изометрической проекции

Теперь, говоря о точной карте земного шара или его части, мы будем знать, что это означает и что требуется для построения такой карты. Остановимся и подумаем, какой должна быть корректная проекция земной сферы на плоскость, то есть изометрическая проекция, сохраняющая все интересующие нас метрические свойства. Логично предположить, что искомую карту следует составить на основе фотографий, сделанных с самолета или спутника.

Спутниковый снимок Европы.

Может показаться удивительным, но карты, созданные на основе спутниковых снимков, неточны: они не сохраняют ни одно из метрических свойств, указанных выше. Для нашей задачи не имеет значения величина ошибки, возникающая при построении этих карт. Более того, нас интересует адекватное изображение Земли из космоса, которое (если говорить о карте мира) напомнит, что Земля имеет круглую форму (работая с некоторыми картами Земли, мы забываем об этом). На спутниковых снимках земная поверхность представлена в центральной (перспективной), или сценографической проекции. Эта проекция не является изометрической, так как меридианы в ней не изображаются прямыми линиями, следовательно, эта проекция не сохраняет геодезические линии. Она также не сохраняет углы, так как проекции меридианов и параллелей не пересекаются под прямыми углами. Аналогично можно показать, что проекция не сохраняет и площади и, как следствие, не сохраняет длины кривых и расстояния.

Наша попытка построить точную карту с использованием сценографической проекции провалилась. Продолжим поиски изометрических проекций сферы на плоскость. Мы можем строить различные картографические проекции, сначала геометрически, затем — алгоритмически, пока не получим изометрическую проекцию, которая позволит создать заветную совершенную карту Земли. Это всем известный метод проб и ошибок, который имеет свои недостатки. В частности, число вариантов, которые потребуется рассмотреть, будет очень большим или даже бесконечно большим.

Вместо того чтобы создавать картографические проекции напрямую, изучать их свойства и отвергать их, если они окажутся неизометрическими (найти такую проекцию будет равносильно поискам иголки в стоге сена), попробуем несколько сузить поле поиска. Для этого сначала рассмотрим, достаточно ли построить отображение сферы на плоскость, которое априори сохраняет только один из параметров, рассмотренных выше, то есть только углы, только площади или только геодезические линии.

С формальной точки зрения это равносильно тому, чтобы ответить на вопрос: являются ли отношения следования, обозначенные стрелками на диаграмме на странице 58, отношениями эквивалентности? Иными словами, возможно ли, чтобы все преобразования, сохраняющие величины углов (конформные проекции), также сохраняли расстояния, то есть являлись бы изометрическими? Будет ли аналогичное утверждение справедливо для площадей и геодезических линий?

С практической точки зрения это упростит задачу, так как мы сможем ограничиться рассмотрением исключительно конформных проекций (то есть равновеликих проекций и проекций, сохраняющих геодезические линии). Иными словами, нас будет интересовать только сохранение одного из упомянутых геометрических атрибутов.

* * *

ПЕРСПЕКТИВНАЯ ПРОЕКЦИЯ

Эта проекция была известна древним грекам и египтянам более 2 тысяч лет назад, однако не вызывала особого внимания до XVIII века, за исключением частных случаев этой проекции: ортографической, стереографической и гномонической. Если центр проекции лежит на вертикальной линии, проходящей через центр Земли, такая проекция называется вертикальной, в противном случае — наклонной. В этой проекции центральный меридиан и центральная параллель представлены в виде прямых, а все остальные меридианы и параллели изображаются в виде прямых, дуг окружностей, эллипсов и даже парабол и гипербол в зависимости от вида проекции (полярная, экваториальная или наклонная). В этой проекции не сохраняются метрические свойства. Искажения вблизи центра малы, у краев карты — велики. Проекция практически не использовалась, за исключением случаев, когда требовалось изобразить вид Земли из космоса. С началом космической гонки в середине XX века перспективная проекция вызвала определенный интерес, так как изображения Земли и других планет стали составляться с использованием именно этой проекции. Карты с прогнозом погоды, которые мы видим в газетах и на телевидении, обычно изображаются в наклонной перспективе. Эта же перспектива используется в компьютерных изображениях и на фотографиях в интернете, в частности в программе «Google Планета Земля» ( Google Earth ).

Слева — схема перспективной проекции (вертикальной или наклонной). Справа — карта, выполненная с использованием вертикальной перспективной проекции.

* * *

В следующих главах мы продемонстрируем некоторые конкретные примеры конформных и равновеликих проекций, а также проекций, сохраняющих геодезические линии, и увидим, как они изменяют различные метрические свойства. Так мы сможем определить, существует ли проекция, позволяющая составить точную карту Земли, а также рассмотрим три примера известных старинных карт мира, сохраняющих углы, площади и кратчайшие пути. В частности, вы познакомитесь с проекцией Архимеда, сохраняющей площади, центральной, или гномонической проекцией, сохраняющей геодезические линии, и стереографической проекцией, сохраняющей углы. Однако ни одна из этих трех проекций не является изометрической. Как следствие, мы не сможем ограничиться рассмотрением исключительно конформных проекций (равновеликих проекций или проекций, сохраняющих геодезические линии).

* * *

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

В основе первой классификации картографических проекций лежит метод их построения. По этому признаку проекции можно разделить на геометрические и алгоритмические («искусственные», аналитические или математические). Геометрические проекции — это проекции, которые с геометрической точки зрения можно интерпретировать как лучи света, которые исходят из точки, бесконечно удаленного источника или прямой и освещают Землю (ее можно представить как прозрачный пластиковый шар, на поверхности которого изображены континенты) согласно законам перспективы. Результатом этих проекций является изображение на плоской или промежуточной поверхности, например на поверхности цилиндра или конуса, которые затем разворачиваются на плоскости.

Геометрические проекции можно разделить на классы в зависимости от формы поверхности: это может быть плоскость, поверхность цилиндра или конуса. Такие проекции называются азимутальными, цилиндрическими и коническими соответственно. В качестве примеров геометрических проекций можно привести гномоническую, стереографическую, равновеликую цилиндрическую проекцию Ламберта или равновеликую коническую проекцию Альберса.

Карта, выполненная в равновеликой конической проекции Альберса (1805). Это геометрическая проекция, получаемая при проецировании сферической модели Земли на поверхность конуса, которая затем разворачивается на плоскости.

Тем не менее многие картографические проекции не имеют прямой геометрической трактовки и описываются с помощью математических формул, — они называются алгоритмическими. Среди них выделяются те, что основаны на принципах геометрии или являются производными от них, как, например, проекция Меркатора или Хаммера — Айтоффа. Существуют и чисто алгоритмические проекции, в числе которых выделяются знаменитые проекции Моллвейде, синусоидальная проекция Сансона — Флемстида, проекция Робинсона и тройная проекция Винкеля.

Деление на подклассы в зависимости от используемой вспомогательной поверхности (это может быть плоскость, цилиндр или конус) проводится, главным образом, среди алгоритмических проекций.

Карта, выполненная в проекции  Моллвейде (1805). Это алгоритмическая проекция — она описывается чисто математическими выражениями. Она является равновеликой, в ней используется эллипс с соотношением длин осей 2:1. Параллели в этой проекции изображаются параллельными линиями.

ОРТОФОТОГРАФИЯ

При составлении небольших культурных или туристических карт городов очень часто используется ортофотография. При взгляде на ортофотографии большинство людей думают, что эти фото сделаны с самолета или спутника, то есть представляют собой карту в вертикальной перспективной проекции. Но это не совсем так. Ортофотография — это фотографическое изображение города, полученное из нескольких фотографий, сделанных с воздуха и скорректированных так, чтобы итоговое изображение соответствовало ортогональной проекции. Эта проекция строится с использованием параллельных лучей, идущих в одном направлении, и ее можно считать частным случаем вертикальной перспективной проекции, фокус которой расположен на бесконечности. Именно благодаря использованию ортогональной проекции при совмещении нескольких фотографий не возникает искажений.

Ортофотография города Саламанка

(источник: SIGPAC).

 

Глава 5

Проекция 

Архимеда

, или равновеликая цилиндрическая проекция 

Ламберта

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта, также называемая проекцией Архимеда (возможно, она была уже известна этому греческому математику), — одна из семи проекций, предложенных математиком Иоганном Генрихом Ламбертом в книге «Примечания и комментарии о составлении земных и небесных карт» (1772). Возможно, эта книга стала первым математическим трудом, в котором были подробно исследованы картографические проекции с применением нового метода — математического анализа. В ней были представлены следующие проекции (перечислим их под современными названиями в том же порядке, что и в книге Ламберта).

1. Равноугольная коническая проекция Ламберта.

2. Проекция Лагранжа.

3. Поперечная проекция Меркатора.

4. Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта.

5. Равновеликая цилиндрическая поперечная проекция.

6. Равновеликая азимутальная проекция Ламберта.

7. Равновеликая коническая проекция Ламберта.

Проекции номер 1, 3 и 6 используются в последнем столетии наиболее часто. Хотя равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта не представляет особого интереса в картографии, на ее основе созданы другие, более популярные проекции.

Важность проекции Ламберта обусловлена скорее ее простотой и множеством геометрических свойств, поэтому именно она чаще всего используется в книгах по картографии в качестве примера равновеликой проекции.

Определение и картографические свойства

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта при проецировании сферы на касающийся ее цилиндр определяется так: проекция любой точки сферы А — это точка цилиндра А' такая, что она является точкой пересечения поверхности цилиндра с прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной оси цилиндра, как показано на рисунке. Эта проекция, очевидно, является геометрической, а Землю мы представляем как полупрозрачный пластиковый шар. Проекция земной поверхности на поверхность цилиндра образуется, если мы поместим источник света вдоль всей оси цилиндра, окружив ее линзой, которая пропускает только лучи света в горизонтальной плоскости, то есть перпендикулярно оси цилиндра.

В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта  точки земной сферы горизонтально проецируются на поверхность цилиндра, касающегося сферы. Затем цилиндр разрезается по меридиану и разворачивается на плоскости.

* * *

ИОГАНН ГЕНРИХ ЛАМБЕРТ (1728–1777)

Иоганн Генрих Ламберт родился в немецком городе Мюльхаузен в провинции Эльзас (в настоящее время — Мюлуз, Франция), куда члены его семьи переехали по религиозным причинам: они были кальвинистами. В 12 лет Ламберту пришлось оставить школу и помогать отцу-портному, но в свободное время Ламберт продолжал учиться самостоятельно. Позднее он работал клерком в сталелитейной мастерской, а в 1746 году занял должность частного секретаря швейцарского философа Исаака Изелина (1728–1782) в Базеле. Двумя годами позже он стал преподавателем в доме графа Питера фон Салиса в Куре. В этой должности у него оставалось достаточно свободного времени, чтобы заниматься математикой, астрономией и философией, а также пользоваться книгами из превосходной графской библиотеки.

Ламберт был исключительным математиком: он доказал иррациональность числа  π и предположил, что числа е и  π трансцендентны, то есть их нельзя представить как корни многочлена с целыми коэффициентами. Он одним из первых изучил проблему, связанную с пятым постулатом Евклида. Ламберт предположил, что пятый постулат ложен, и получил результаты, относящиеся к неевклидовой геометрии. Он занимался гиперболическими функциями, проводил важные исследования в сферической геометрии, картографии и науке о перспективе, а также совершил важные открытия в теории вероятностей. Интересы Ламберта не ограничивались исключительно математикой: он также был автором важных работ по физике, астрономии и философии.

* * *

Если мы примем радиус земной сферы равным единице и будем считать, что цилиндр касается ее в точках, лежащих на экваторе, то ось цилиндра будет проходить через Северный и Южный полюса. После построения проекции сферы на поверхность цилиндра он разрезается по меридиану и разворачивается на плоскости. Эта развертка цилиндра на плоскости является изометрической и сохраняет все интересующие нас метрические свойства. Первую карту мира в этой проекции составил Иоганн Генрих Ламберт в 1772 году.

Карта, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта (1772).

Далее перечислены некоторые свойства карты, выполненной в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта.

1. Она имеет прямоугольную форму, как и все карты, выполненные в цилиндрических проекциях.

2. Меридианы и параллели отображаются как прямые, они имеют равную длину (но не равны между собой) и перпендикулярны друг другу.

3. Меридианы распределены равномерно вследствие того, что масштаб во всех точках каждой параллели постоянен, однако масштабы на разных параллелях отличаются. Параллели распределены неравномерно и сближаются друг с другом по мере приближения к полюсам.

4. Так как проекция является равновеликой, она сохраняет площади (с учетом коэффициента масштаба поверхности). Этот коэффициент возникает при уменьшении размеров земной сферы (то есть при гомотетии) и постоянен во всех точках карты. Однако величины углов и геодезические линии не сохраняются.

3. Искажение форм, углов и расстояний вблизи экватора очень мало и растет по мере приближения к полюсам.

Вернемся к основному вопросу этой главы — как изменяются площади, углы и геодезические линии в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта? Чтобы доказать, что эта проекция сохраняет площади, достаточно показать, что она сохраняет площади «прямоугольных» (достаточно малых, то есть бесконечно малых) участков, сторонами которых являются меридианы и параллели.

Как показано на следующем рисунке, для данной точки сферы на широте φ отображением меридиана (достаточно малого) длины l будет отрезок прямой на поверхности цилиндра длиной l' = l·cos φ, а отображением параллели (достаточно малой) длины k будет дуга окружности на поверхности цилиндра, длина которой будет равна k' = k/cos φ. Следовательно, бесконечно малый «прямоугольник» с основанием k и высотой l на поверхности сферы, площадь которого равна l·k, преобразуется в «прямоугольник» с основанием k' = k/cos φ и высотой l' = l·cos φ. Площадь полученного прямоугольника также будет равна l·k. Как следствие, проекция Архимеда сохраняет площади неизменными.

Напомним, что в этой книге мы приводим только интуитивно понятные доказательства в духе классической геометрии. Более строгое доказательство требует использования дифференциальной геометрии и методов математического анализа.

Проекция  Архимеда является равновеликой.

Тем не менее величины углов на карте, выполненной в проекции Ламберта, не сохраняются. Чтобы убедиться в этом, посмотрите на предыдущий рисунок. В силу искажений меридианов (они сжимаются) и параллелей (они расширяются) угол между основанием и диагональю прямоугольника на сфере будет больше, чем этот же угол в проекции прямоугольника на плоскость. Однако прямые углы между меридианами и параллелями сохраняются. Из вышеизложенного можно сделать вывод о необходимых и достаточных условиях сохранения величин углов.

1. Должны сохраняться углы между меридианами и параллелями (эти углы прямые, то есть равны 90°).

2. Искажение в направлении меридианов μ должно быть равно искажению в направлении параллелей λ.

По теореме Пифагора, если оба этих свойства выполняются, то искажения в любом направлении всегда будут одинаковыми. В частности, мы показали, что для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта искажение в направлении меридианов равно μ = cos φ, искажение в направлении параллелей — λ = 1/cos φ, а круг, центром которого является точка на сфере, в этой проекции преобразуется в эллипс на плоскости, вытянутый в направлении «запад — восток». На следующей иллюстрации изображены эллипсы, построенные в различных участках Земли, которые позволяют увидеть искажения на различных широтах.

Индикатриса Тиссо , или эллипс искажения — один из способов графического изображения искажений на карте. В разных участках земной поверхности строятся небольшие окружности, после чего по их проекциям на карте можно увидеть проективные искажения в различных участках карты. Так, если мы примем радиус окружности равным  λ , она преобразуется в эллипс, длины полуосей которого будут равны λ и  μ . Если  λ  =  μ , то эллипсы примут форму окружностей, а отображение будет конформным. При λ = 1/  μ отображение будет равновеликим. На иллюстрации представлена индикатриса Тиссо для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта .

Наконец, очевидно, что эта проекция не сохраняет геодезические линии, за исключением меридианов и экватора. Вывод таков: равновеликие проекции могут не быть изометрическими, и одного лишь сохранения площадей для создания точной карты Земли недостаточно.

Цилиндрические и псевдоцилиндрические проекции

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта — это геометрическая цилиндрическая проекция, определяемая как геометрическая проекция земной сферы на касающийся ее цилиндр (как правило, точки касания лежат на экваторе) с последующим развертыванием цилиндра на плоскости (для этого цилиндр разрезается вдоль одного из меридианов, то есть вертикально). В картах, созданных с использованием этой проекции, искажения возникают на первом этапе построения, так как развертывание цилиндра на плоскость является изометрическим преобразованием и не искажает размеры. Если изменить диаметр основания цилиндра, то есть уменьшить его так, чтобы он рассекал сферу, или же сменить его положение либо проекцию лучей, то мы получим различные геометрические цилиндрические проекции.

Другими проекциями этого же типа являются центральная цилиндрическая проекция и стереографическая проекция Брауна. В центральной цилиндрической проекции «лучи света» распространяются из центра сферы на ее поверхность и на поверхность цилиндра. Искажения у полюсов, вносимые этой проекцией, очень велики и даже больше, чем искажения в проекции Меркатора. В стереографической проекции Брауна, разработанной в 1867 году, центром проекции для произвольной точки меридиана служит противолежащая точка экватора на этом же меридиане.

Эта проекция, как и в свое время стереографическая проекция Галла, была создана в попытках устранить излишние искажения у полюсов, возникающие при использовании проекции Меркатора.

Сечения для некоторых геометрических цилиндрических проекций, показывающие разницу размеров и внешнего вида карт, созданных с использованием этих проекций.

Мы считаем, что цилиндр касается сферы на экваторе, но также можем рассмотреть случаи, когда цилиндр рассекает сферу вдоль двух параллелей, симметричных относительно экватора. Так, если цилиндр рассекает сферу вдоль параллелей 30° с. ш. и ю. ш., то равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта станет эквивалентна проекции Бермана (1910) или проекции Галла — Петерса (1833 и 1967), если цилиндр рассекает сферу вдоль параллелей 45° с. ш. и ю. ш. Если в стереографической проекции Брауна цилиндр рассекает сферу вдоль 45-х параллелей, имеем стереографическую проекцию Галла (1885).

Карта, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Бермана , при которой цилиндр рассекает сферу вдоль 30-х параллелей.

Понятие цилиндрической проекции охватывает не только геометрические, но и алгоритмические проекции, которые обладают некоторыми общими свойствами с описанным выше геометрическими проекциями.

1. Линии координатной сетки, то есть меридианы и параллели, являются прямыми и перпендикулярны друг другу.

2. Масштаб вдоль каждой параллели постоянен (для разных параллелей он отличается), следовательно, меридианы равноудалены друг от друга. Длины всех меридианов и всех параллелей одинаковы.

Карты мира, созданные с помощью этих проекций, прямоугольные, а их метрические свойства симметричны относительно экватора. В качестве примеров можно привести цилиндрическую равнопромежуточную проекцию, цилиндрическую проекцию Миллера и проекцию Меркатора. В простой цилиндрической равнопромежуточной проекции, которую ввел Эратосфен, масштаб карты неизменен вдоль каждого меридиана, следовательно, параллели равноудалены друг от друга. Частным случаем является plate саrréе — проекция, в которой меридианы и параллели образуют

квадратную сетку (расстояния между ними одинаковы). Математическая формулировка этой проекции проще, так как всего лишь представляет на плоскости широту φ и долготу θ. Цилиндрическая проекция Миллера была создана в 1942 году в попытках сохранить внешний вид проекции Меркатора и уменьшить искажения у полюсов, однако она не является ни равновеликой, ни конформной, то есть не сохраняет ни площади, ни углы. О проекции Меркатора мы подробно расскажем в главе 9.

На рисунке вы можете видеть, как распределяются параллели в Северном полушарии при использовании разных цилиндрических проекций с одинаковым масштабом у экватора, и оценить вносимые искажения.

Сравнение расположения параллелей в некоторых цилиндрических проекциях.

Кроме того, можно рассмотреть разновидности картографических проекций (прямые, поперечные и косые), которые отличаются расположением плоскости, цилиндра или конуса проекции относительно земной сферы. В этих проекциях сетка меридианов и параллелей выглядит по-разному. Прямые цилиндрические проекции (геометрические и алгоритмические) — это проекции, в которых цилиндр касается сферы на экваторе или рассекает ее вдоль двух параллелей — этот случай мы рассмотрели выше. В поперечных цилиндрических проекциях цилиндр касается меридиана или рассекает сферу вдоль окружностей, параллельных меридиану. В косой проекции точки касания расположены на большом круге, который не является ни меридианом, ни экватором, либо линии пересечения цилиндра и сферы являются окружностями, параллельными большому кругу сферы. Поперечные и косые цилиндрические проекции удобно использовать, когда необходимо заострить внимание на какой-либо области, расположенной вдоль меридиана, так как искажение вблизи линий касания цилиндра и сферы меньше.

На схемах вверху представлены различные цилиндрические проекции. На рисунке снизу изображена равновеликая цилиндрическая поперечная проекция  Ламберта с касательным меридианом 90° западной долготы, пересекающим Северную Америку с севера на юг.

Прямые цилиндрические проекции сильно искажают формы и очень часто искажают площади участков вблизи полюсов. Прямоугольные карты мира, составленные с помощью этих проекций, рисуют нам неверную картину мира.

В псевдоцилиндрических проекциях предпринята попытка решить эти проблемы путем сближения параллелей по мере приближения к полюсам. Прямые псевдоцилиндрические проекции, в которых линия касания сферы и цилиндра проходит по экватору, обладают следующими свойствами.

1. Параллели изображаются горизонтальными прямыми, необязательно равноудаленными друг от друга.

2. Меридианы изображаются произвольными кривыми, отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние вдоль каждой параллели.

Следовательно, как и в цилиндрических проекциях, масштаб псевдоцилиндрических проекций вдоль параллелей постоянен. Но так как меридианы и параллели пересекаются не под прямым углом, ни одна из таких проекций не может быть конформной. В атласах часто используются две равновеликие проекции: проекция Моллвейде (в 1805 году в этой проекции была выполнена эллиптическая карта мира, на которой меридианы имеют форму эллипсов) и синусоидальная проекция Сансона — Флемстида (возможно, первым ее использовал Меркатор), в которой меридианы изображаются синусоидальными кривыми. В псевдоцилиндрических проекциях также были составлены карта Колиньона (1865; в вариантах этой карты, имеющих форму треугольника и ромба, меридианы изображены наклонными прямыми. Эти карты сохраняют площади, но очень сильно искажают формы), шесть карт Эккерта (1906; карты с четными номерами являются равновеликими, в картах с нечетными номерами параллели равноудалены друг от друга, в первой паре карт меридианы изображены прямыми, во второй паре — окружностями, в третьей паре — эллипсами) и карта в проекции Робинсона (1974; эта проекция используется при составлении карт мира Национальным географическим обществом вместо проекции Меркатора).

Карта мира, выполненная в синусоидальной проекции, или проекции Сансона — Флемстида . Эта проекция также известна как равновеликая проекция  Меркатора , так как Меркатор использовал ее в некоторых своих картах.

Использование равновеликих проекций

Мы уже говорили, что равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта вызывает умеренный интерес при составлении карт мира, так как она вносит огромные искажения в зонах, близких к полюсам. Эта проекция описывается исключительно в книгах по картографии и дифференциальной геометрии как простой пример проекции, сохраняющей площади. Больший интерес представляют некоторые варианты прямой разновидности этой проекции, например проекция Галла — Петерса (о ней мы подробно расскажем в главе 9) или проекция Бермана.

Из-за умеренных искажений в зонах вблизи касательной эллипса и сферы прямая разновидность проекции Ламберта подходит для карт тропических областей нашей планеты или карт мира, в которых основное внимание уделяется этим областям. Это могут быть, например, карты, на которых изображаются данные о мировом производстве каучука, древесины, риса, тростника и других продуктов, производимых преимущественно в тропиках. Поперечная разновидность этой проекции используется при составлении карт регионов, протяженных с севера на юг, а для областей, простирающихся вдоль большого круга земной сферы, больше подойдет косая разновидность проекции. Последняя неоднократно использовалась при составлении карт Евразии и Африки, при прокладке маршрутов самолетов в странах Содружества наций.

Карта, показывающая области густых лесов Африканского континента, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта .

Свойство сохранения площадей, очевидно, имеет первостепенную важность при составлении карт, на которые наносится информация, связанная с площадями различных регионов. Так, эту проекцию необходимо использовать, если мы хотим подсчитать процент территории амазонских джунглей, пострадавших от вырубки леса, если мы дробим сельскохозяйственные угодья на земельные участки или если хотим составить карту плотности населения на квадратный километр. На картах такого типа площади областей изображаются в масштабе, и если нам известен масштаб поверхности, то мы легко можем вычислить площадь произвольного участка, умножив его площадь на карте на коэффициент масштаба. Напомним, что масштаб поверхности не следует путать с обычным масштабом, который показывает отношение линейных размеров. Так, в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта в разных частях карты этот масштаб отличается: длина всех параллелей на этой карте одинакова, в то время как в реальности параллели имеют разную длину.

Тем не менее, за исключением особых случаев, площади с помощью карт не вычисляются. Карты, выполненные в этой проекции, интересны тем, что позволяют сравнивать площади разных территорий, сопоставлять площади регионов, стран и континентов.

Так как карты — это инструмент, позволяющий представлять информацию быстрее, нагляднее и понятнее, чем таблицы с цифрами, важно, чтобы при составлении карт распространения — будь то распространение различных видов растений, животных, школ, аэропортов, уровень производства того или иного продукта, уровень загрязнения, уровень распространения религии или любой другой показатель, который используется в научных или научно-популярных публикациях, средствах массовой информации или учебниках, — применялись эквивалентные проекции. Чтобы статистическая информация, с которой мы работаем, оказалась для нас более полезной, важно, чтобы рассматриваемые территории были отображены на карте в соответствии с их реальными площадями — в противном случае информация может быть интерпретирована неверно. Также желательно, чтобы искажения форм в таких картах были как можно меньше. Однако, как вы уже видели на примере равновеликой цилиндрической проекции Ламберта, искажение форм очень заметно, особенно вблизи полюсов (это справедливо и для многих других равновеликих проекций).

В образовательных целях важно, чтобы на картах не искажались площади и формы (как вы увидите далее, это невозможно), так как школьные карты формируют у детей образ нашей планеты, континентов и стран, и при неправильно выбранной проекции этот образ может оказаться искаженным, что было отмечено еще В 1907 году в статье Королевского географического общества. Следовательно, в школах необходимо использовать либо равновеликие карты, искажение форм в которых минимально, либо другие карты, в которых искажения площадей и форм невелики, как, например, в проекции Робинсона и тройной проекции Винкеля.

* * *

КАРТОГРАММЫ

Картограммы — это карты, на которых размеры стран или регионов изменены в соответствии с численностью их населения или другим аналогичным показателем (уровнем рождаемости или смертности, заболеваемости, уровнем производства, загрязнения, тем или иным экономическим показателем, долей населения за чертой бедности и другими данными). Существуют различные приемы и методы составления картограмм, однако, как правило, различные регионы должны адекватно «склеиваться» (хотя существуют и картограммы, где страны и регионы изображаются не соединенными друг с другом), а искажение форм должно быть минимальным.

На этой картограмме представлено распределение населения Земли по странам. Площадь поверхности стран зависит от численности их населения

(Источник: SASI Group, Университет Шеффилда).

Картограммы позволяют быстро и наглядно сравнить анализируемые показатели для разных территорий. Результаты подобного сравнения, безусловно, привлекают внимание читателя, однако не лишены недостатков: на картограммах теряется реалистичность, их сложнее «читать», создается впечатление, что они неполны (возможно, ввиду заметных искажений), поэтому картограммы удобно дополнять картами, выполненными в равновеликой проекции.

* * *

Другие равновеликие проекции — это равновеликая коническая проекция Альберса (1805), проекция Моллвейде (1805), ортографическая проекция Галла — Петерса (1855 и 1967), проекция Eckert IV (1906), равновеликая азимутальная проекция Ламберта (1772), синусоидальная проекция, или проекция Сансона — Флемстида (1650 и 1729), и многие другие.

В 1906 году немецкий картограф Макс Эккерт описал шесть псевдоцилиндрических проекций. Четные номера имеют равновеликие проекции, например проекция Eckert IV, представленная на иллюстрации.

К сожалению, в учебниках, научно-популярной литературе и СМИ не уделяется особого внимания выбору проекции карт (похоже, сейчас ситуация постепенно меняется). С другой стороны, для манипуляции общественным мнением авторы карт могут сознательно применять проекции, не сохраняющие площади. Например, такие карты могут использоваться в пропаганде, чтобы сделать страну или регион «важнее» и тем самым продемонстрировать ее политическое, экономическое или военное влияние, оказать психологическое воздействие на жителей других территорий. Многие страны при изготовлении пропагандистских карт в разное время пользовались проекцией Меркатора. Например, Британская империя на английских картах была окрашена в красный цвет, символизирующий силу и могущество. Гринвичский меридиан и, следовательно, Англия на этих картах располагались в центре, а английские колонии — в тех частях карты, где в силу проективных искажений их площадь увеличивалась. В некоторых случаях Австралия и Новая Зеландия изображались с обеих сторон карты одновременно.

Карта Британской империи 1907 года.

В Российской империи и позднее в Советском Союзе карты мира также часто составлялись в проекции Меркатора, так как на них Россия выглядела преувеличенно большой. Некоторые политические партии, предупреждавшие об опасности красной угрозы, то есть установления коммунизма во всем мире, также использовали карты в этой проекции, на которых СССР и Китай были выделены агрессивным ярко-красным цветом. В Европе и США аналогично использовались карты, выгодно представлявшие их на мировой арене.

Та или иная страна может изображаться на картах в уменьшенном виде, чтобы показать давление, которое оказывают на нее другие страны. Так, в книге «Как обманывать с помощью карт» (How to Lie with Maps) Марк Монмонье приводит пример карты, опубликованной в 1973 году Еврейским национальным фондом Канады. На ней для демонстрации «арабской лжи» об израильской агрессии Израиль был изображен белым цветом на фоне арабского региона, закрашенного черным, который простирался от Марокко на севере Африки до Саудовской Аравии. Карта говорила о протяженности этих территорий, но не об их технологической, экономической и военной мощи или поддержке со стороны международного сообщества. Нацисты, которые умело использовали политическую пропаганду, применили этот же прием на карте под заголовком «Германия — нация-агрессор?», где территория Германии сравнивалась с территорией Британской империи.

Это лишь немногие примеры пропагандистского использования карт, которые хранит история картографии.

 

Глава 6

Центральная, или гномоническая проекция

Центральная, или гномоническая, проекция считается самой древней. Ее авторство обычно приписывается Фалесу Милетскому, который, как считается, использовал косую гномоническую проекцию для создания карт звездного неба. Эта азимутальная проекция земного шара на касающуюся его плоскость в древности называлась horologium («часы») и «гороскоп», так как гномон был частью солнечных часов. В солнечных часах гномон располагается под наклоном и указывает на Северный полюс. Тень гномона указывает время в течение дня, когда Солнце движется по небу. Углы между делениями, обозначавшими часы, на циферблате солнечных часов, размеченном для определенной широты, равны углам между меридианами в гномонической проекции, центр которой располагается на этой же широте. При этом 15° долготы равносильны разнице во времени ровно в один час.

Происхождение термина «центральная проекция» неизвестно. Термин «гномическая проекция» первым использовал английский математик Уильям Эмерсон в 1749 году. Позднее, в 1836 году, британский математик Огастес де Морган ввел современный термин «гномоническая проекция». Богатство геометрических свойств этой проекции основано на том, что кривые, указывающие кратчайшие пути (то есть геодезические линии), также называемые ортодромами, изображаются прямыми. Слабое место этой проекции заключается в том, что по мере удаления от точки касания (центра карты) искажения сильно возрастают, что делает проекцию неудобной для составления карт мира. Однако ее можно использовать в других целях.

* * *

ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ (ОК. 624 ГОДА ДО Н. Э. — ОК. 547 ГОДА ДО Н. Э.)

О жизни и творчестве этого греческого философа и математика мало что известно. Сведения о нем дошли до нас благодаря работам более поздних философов и историков, в частности Аристотеля, Геродота и Диогена Лаэртского. Фалес, учитель Пифагора, считался первым философом Античности и первым из семи мудрецов Греции. Ему приписывается ряд геометрических открытий, два из которых объединены общим названием «теорема Фалеса».

1. Угол, вписанный в полуокружность, прямой.

2. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько пропорциональных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные между собой отрезки.

Хотя мы не можем точно утверждать, каков на самом деле был вклад Фалеса в науку, достоверно известно одно: он был первым математиком, которому присваивались конкретные математические открытия. Фалес считается создателем дедуктивной геометрии; различные источники приписывают ему авторство решений множества практических задач. Так, Фалес измерил размеры египетских пирамид по длине их тени с помощью вертикально расположенной палки, предсказал солнечные затмения и вычислил расстояние от корабля до берега с помощью подобия треугольников. Благодаря Аристотелю нам известно, как Фалесу удалось разбогатеть. Ученый, применив знания астрономии, предсказал высокий урожай оливок и взял под контроль маслобойни в Милете и на Хиосе. Несколько месяцев спустя, когда урожай был собран, Фалес смог диктовать покупателям свои цены. В результате он разбогател и посрамил всех, кто попрекал его бедностью и называл его философию бесполезной.

* * *

Определение и картографические свойства

Рассмотрим сферу и касательную ей плоскость. Отображением точки А на поверхности сферы, полученным с помощью центральной проекции, будет точка А' на плоскости, определяемая как пересечение прямой, проходящей через точку А и центр сферы, с этой плоскостью.

Схема центральной, или гномонической, проекции и карта, выполненная в этой проекции (центр проекции расположен на экваторе).

Это очевидно геометрическая проекция. Если мы вновь представим Землю как шар из полупрозрачного пластика, на поверхности которого нарисованы континенты, то сможем увидеть его гномоническую проекцию, если поставим шар на белый стол и разместим в центре шара точечный источник света.

Если точкой касания шара и плоскости является один из полюсов, то меридианы отображаются в виде радиальных равномерно распределенных прямых, исходящих из центра карты, где будет изображен полюс. Экватор в этом случае бесконечно удален, и его нельзя представить на карте. На такой бесконечной карте нельзя изобразить и полушарие целиком. Другие параллели будут иметь вид концентрических окружностей, центр которых совпадает с полюсом.

Карта, выполненная в полярной гномонической проекции. Центром проекции является Северный полюс.

Если точка касания шара и плоскости располагается на экваторе, то меридианы будут отображаться в виде параллельных прямых, распределенных неравномерно. Экватор в этой проекции будет выглядеть как прямая, перпендикулярная меридианам, а остальные параллели примут форму гипербол.

Если точкой касания шара и плоскости выбрать любую произвольную точку сферы, то меридианы будут изображаться в виде радиальных неравномерно распределенных прямых, указывающих на полюс. Экватор будет изображен в виде прямой, перпендикулярной только меридиану, проходящему через точку касания. Другие параллели, близкие к полюсу, примут форму эллипсов, параллель, проходящая через точку касания, будет изображена в виде параболы, остальные параллели — в виде гипербол.

Карта, выполненная в косой гномонической проекции с центром в Японии.

Вот некоторые свойства карты в гномонической проекции.

1. Как правило, круглая форма (возможно, обрезанная тем или иным способом), карта охватывает лишь часть одного из полушарий.

2. Большие круги, проходящие через точку касания, отображаются как радиальные равномерно распределенные прямые (если мы рассмотрим несколько больших кругов, отстоящих друг от друга на равные углы), а точки, удаленные от точки касания на одинаковое расстояние, примут форму окружностей с центром в этой точке.

3. Форма и распределение меридианов и параллелей будут выглядеть так, как мы описали выше. Искажение в направлении меридианов будет равно μ = 1/sin2 φ, в направлении параллелей — λ = 1/sin φ.

4. Гномоническая проекция сохраняет геодезические линии, но не сохраняет расстояния, площади и величины углов.

5. Искажение площадей, форм и углов, наименьшее в точке касания (в центре карты), будет увеличиваться по мере удаления от этой точки.

Доказать геометрическими методами, что гномоническая проекция сохраняет геодезические линии, очень просто. Геодезические линии сферы, большие круги, получаются сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Следовательно, изображением большого круга в центральной проекции будет прямая, вдоль которой пересекаются плоскость, определяющая большой круг, и касательная плоскость, как показано на рисунке. Это доказывает, что гномоническая проекция преобразует геодезические линии сферы (ее большие круги) в геодезические линии плоскости (прямые).

Гномоническая проекция сохраняет геодезические линии и преобразует большие круги сферы в прямые на плоскости.

Кроме того, можно доказать, что это по сути единственная картографическая проекция, обладающая подобным свойством. Если говорить о сохранении площадей или углов, то этим свойством обладает множество проекций.

Чтобы определить, сохраняет ли гномоническая проекция площади и (или) углы, вычислим искажения, возникающие при ее использовании на меридианах и параллелях. Для этого построим индикатрису Тиссо для произвольной точки сферы, то есть рассмотрим окружность достаточно малого размера (в действительности она будет бесконечно малой, поэтому можно считать, что окружность располагается на плоскости, касающейся сферы в этой точке) и рассчитаем размеры эллипса, в который преобразуется эта окружность в гномонической проекции.

Представим Землю как сферу единичного радиуса. Рассмотрим плоскость проекции Т, которая касается сферы (допустим, точка касания расположена в Северном полушарии). На эту плоскость мы спроецируем часть полусферы, при этом центр проекции будет совпадать с центром сферы. Пусть А — точка сферы с широтой φ, D — диск достаточно малого радиуса r, который касается сферы в точке А.

Построим проекцию этого диска на плоскость проекции Т в два этапа. На первом этапе диск D преобразуется в диск D', который лежит в плоскости, параллельной D. Центром этого диска является точка А' — отображение точки А, полученное с помощью гномонической проекции. В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса), как вы можете видеть на следующем рисунке, радиус r' диска D' удовлетворяет соотношению

По правилам элементарной тригонометрии

sinφ = 1/|OA'|

Имеем:

Первый этап построения гномонической проекции.

Искомым отображением будет проекция диска D' на касательную плоскость Т — уже не диск, а эллипс. В направлении «запад — восток» диск D' пересекает плоскость Т, следовательно, проекция не изменит его размеров, и длина соответствующей полуоси эллипса будет равна уже вычисленному радиусу:

r' = r/sinφ

Итак, искажение вдоль параллели будет равно:

λ = 1/sinφ

Посмотрим, как изменится диск в направлении «север — юг», и рассчитаем искажение вдоль меридиана. Так как радиус r' очень мал по сравнению с расстоянием между А' и центром проекции О, угол А'ВС (см. след, рисунок) будет очень близок к прямому углу. Так как r достаточно мал, этот угол можно считать прямым. Как следствие, проекцией отрезка длиной r', лежащего в направлении «север — юг», будет отрезок на плоскости Т длиной r":

r" = r'/sinφ = r/sin2φ

согласно правилам элементарной тригонометрии. Искажение вдоль меридиана будет равно:

Второй этап построения гномонической проекции.

Как следствие, отображением D" окружности D радиуса r в центральной проекции будет эллипс, а длины его полуосей равны:

r' = r/sinφ и r" = r/sin2φ

Можно сделать вывод: центральная проекция не сохраняет площади, поскольку, как мы уже отмечали, искажение вдоль меридианов

μ = 1/sin2φ

должно быть обратным искажению вдоль параллелей

λ = 1/sinφ

Это соотношение не выполняется:

Гномоническая проекция также не сохраняет углы, поскольку искажение вдоль меридианов и параллелей отличается.

Азимутальные проекции

В зависимости от того, какая вспомогательная поверхность используется в проекции: плоскость, цилиндр или конус — геометрические проекции делятся на азимутальные, цилиндрические (о них мы рассказали в прошлой главе) и конические. Использование цилиндра и конуса обусловлено тем, что эти поверхности являются развертывающимися, то есть их можно развернуть на плоской поверхности без изменения метрических свойств.

Проекции делятся на азимутальные, цилиндрические и конические в зависимости от того, какая поверхность используется в качестве вспомогательной: плоскость, цилиндр или конус.

Помимо этих основных поверхностей, могут использовать и другие, необязательно развертывающиеся: так, в проекции «броненосец» (Эрвин Райш, 1943) сфера проецируется на поверхность тора (напомним, что тор — поверхность в форме бублика), после чего строится ее ортогональная проекция на плоскость.

Хотя алгоритмические проекции описываются математическими формулами и не имеют геометрической интерпретации, они, как правило, также делятся на азимутальные, цилиндрические и конические в зависимости от своих свойств.

Но вернемся к азимутальным проекциям. Живительно, что они не называются просто «планарными» или «плоскими». Откуда взялось слово «азимутальный»?

Для данной точки А земной поверхности и других двух точек, В и С, азимут, взятый из точки В на точку С, — это угол, образованный кривыми наименьшей длины, соединяющими точки А и В и А и С. Этими кривыми наименьшей длины, как известно, будут дуги больших кругов сферы. Иными словами, азимут — это угол, на который наблюдатель, находящийся в точке А и смотрящий в точку В, должен повернуться, чтобы увидеть точку С, как показано на рисунке.

Понятие азимута возникло в астрономии и навигации и обозначает угол, или длину дуги математического горизонта, измеренный от точки севера (или точки юга) до вертикальной проекции небесного тела на горизонт наблюдателя. Следовательно, по своей сути азимутальные проекции — это проекции, сохраняющие азимут, взятый из фиксированной точки отсчета, которой является центр карты. Как следствие, эти проекции сохраняют направления до других произвольных точек, но необязательно сохраняют расстояния. Проекции, которые мы хотели назвать «планарными», называются азимутальными потому, что получаются путем прямой проекции на касательную плоскость земного шара (также можно рассмотреть вариант с секущей плоскостью).

Все азимутальные проекции, центры которых совпадают с Северным или Южным полюсом, обладают следующими свойствами.

1. Меридианы изображаются равномерно распределенными прямыми (если рассматривается сетка меридианов, отстоящих друг от друга на равные углы), проходящими через центр карты.

2. Параллели изображаются концентрическими окружностями с центром в точке касания. Следовательно, различные азимутальные проекции определяются тем, как распределяются окружности параллелей.

Сравнение расположения параллелей в полярных разновидностях различных азимутальных проекций.

В этой проекции радиальные прямые, исходящие из центра карты, являются отображениями дуг больших кругов, проходящих через точку касания земного шара и плоскости. Однако в общем случае расстояния от этой точки не сохраняются (за исключением азимутальной равнопромежуточной проекции). Остальные геодезические линии, не проходящие через точку касания, как правило, также не сохраняются, за исключением рассматриваемого частного случая.

* * *

КАРТЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ НА МЕККУ

Мусульмане должны молиться пять раз в день, обратившись в сторону Каабы — священного куба, расположенного в Мекке и символизирующего дом Бога. Мечети также должны располагаться соответствующим образом. Но как мусульманин или строитель мечети в любой точке мира может узнать, в каком направлении находится Мекка? Можно построить карту в стереографической проекции, в центре которой будет изображена Мекка. Так как эта проекция является азимутальной и конформной, на карте можно будет провести прямую между мечетью и Меккой, затем вычислить угол между этой прямой и меридианом. До начала молитвы мусульманин должен будет встать лицом к северу, а затем повернуться на этот угол. Один из недостатков карты заключается в том, что меридианы изображены кривыми линиями, а это усложняет вычисление угла.

Возможен и другой вариант: можно рассмотреть ретроазимутальные проекции, то есть проекции, сохраняющие направление из любой точки Земли в фиксированную точку (но не наоборот, как в случае с азимутальными проекциями). В ретроазимутальной проекции, предложенной британским картографом Джеймсом Крейгом в 1910 году, меридианы изображаются параллельными равномерно распределенными прямыми. Карта в этой проекции, в центре которой будет изображена Мекка, прекрасно подойдет для определения киблы — направления на Мекку.

* * *

Искажения, вызываемые этим классом проекций (искажения геодезических линий, площадей, углов и форм), вблизи точки касания (или вблизи круга, образованного сечением сферы плоскостью) малы и увеличиваются по мере удаления от нее. При этом изображение близко к виду Земли из космоса. Классические геометрические проекции этого класса — ортографическая, гномоническая и стереографическая проекции. Другими, более сложными, являются азимутальная равнопромежуточная и равновеликая азимутальная проекция Ламберта. Такие карты используются в океанографии, на кораблях дальнего плавания, в туризме и в военном деле, так как в их центре изображается конкретное место, а геодезические линии, проходящие через него, сохраняются. Искажения на этих картах слишком велики, чтобы их можно было использовать в качестве обычных географических карт.

Учитывая вышесказанное, чтобы изобразить сетку меридианов и параллелей на карте, выполненной в полярной азимутальной проекции, нужно определить центр проекции (Северный или Южный полюс), провести ряд равномерно распределенных прямых, проходящих через центр карты, которые будут соответствовать меридианам, а затем изобразить ряд концентрических окружностей, которые будут обозначать параллели. Следовательно, необходимо определить, на каком расстоянии друг от друга должны располагаться эти окружности. Мы можем вычислить это расстояние, например, для гномонической проекции.

Выберем в качестве точки отсчета Южный полюс. Для данной точки А широтой φ и ее отображения А' определены два подобных прямоугольных треугольника, как показано на рисунке выше. Длины катетов малого треугольника таковы (напоминаем, что здесь φ принимает отрицательные значения):

Длины катетов большого треугольника равны R и r(φ) — расстояние от точки А' до центра. По теореме Фалеса имеем:

откуда

Следовательно, теперь мы можем изобразить сетку меридианов и параллелей центральной проекции.

Использование карт, выполненных в гномонической проекции

Как мы уже отмечали, центральная проекция не подходит для составления карт мира, но часто используется при составлении карт полярных регионов. Чтобы изобразить на такой карте весь мир, потребовалась бы двойная круговая карта, на каждой половине которой было бы представлено по одному полушарию. Однако изобразить на каждой половине карты полушарие целиком невозможно. Более того, по мере удаления от центра карты и увеличения охватываемой территории искажения расстояний, площадей и форм растут — это заметно на любой карте, выполненной в гномонической проекции. Однако для углового расстояния менее 30°, считая от точки касания, карта в этой проекции будет достаточно точной.

Несмотря на вышесказанное, гномоническая проекция неоднократно использовалась при составлении карт больших участков земной поверхности. Например, в 1844 году Обществом распространения полезных знаний Великобритании (SDUK) был опубликован атлас карт в двух томах. Планировалось, что этот недорогой атлас будет использоваться в образовательных целях. В издании гномоническая проекция применялась при составлении карт звездного неба и в шести картах, охватывающих весь земной шар (Африка и Средиземноморье, Америка, Азия и часть Австралии, Океания и полюса). Эти шесть карт соответствовали шести граням куба, в который был вписан земной шар. Далее были построены проекции земного шара на грани этого куба с центром проекций в центр сферы. Другой пример атласа мира из шести карт, составленных аналогичным образом, был издан в Веймаре в 1803 году картографом Христианом Готтлибом Рейхардом (1758–1837). Сам математик Огастес де Морган в 1836 году опубликовал книгу с длинным и не требующим дополнительных пояснений названием «Объяснение гномонической проекции сферы и тех аспектов астрономии, что наиболее необходимы при использовании астрономических карт, и описание построения и использования больших и малых карт звездного неба, равно как и шести карт Земли».

Можно составить карту мира, спроецировав сферическую модель Земли на описанный вокруг нее куб с помощью гномонической проекции, а затем развернув этот куб на плоскости.

Как бы то ни было, важнейшее свойство гномонической проекции, которое делает ее незаменимой в навигации, заключается в сохранении геодезических линий, то есть ортодромы сферы на плоскости карты изображаются прямыми линиями. Если, например, капитану корабля или пилоту самолета потребуется определить кратчайший путь между двумя точками нашей планеты, ему достаточно будет взять карту, выполненную в гномонической проекции, и провести прямую, соединяющую выбранные точки. Морские карты в гномонической проекции можно увидеть в любом магазине и на любом интернет-сайте, посвященном навигационным картам.

Гидрографическая служба США использовала гномоническую проекцию при создании подобных карт всех океанов. Ее примеру при составлении карт следуют гидрографические службы многих других стран, а в учебниках по навигации объясняются методы прокладки курса «вдоль больших кругов» и алгоритмы расчета расстояний по навигационным картам в гномонической проекции.

Карты для морской и воздушной навигации должны обладать двумя основными свойствами: во-первых, ортодромы должны быть представлены в виде прямых линий, во-вторых, на карте должны сохраняться углы и румбы. Именно поэтому задача о создании идеальной карты, сохраняющей все метрические свойства, так важна для навигации. Как вы увидите в следующей главе, в отсутствие точной карты Земли моряки одновременно используют карту в гномонической проекции и карту в проекции Меркатора — она является конформной, а кривые, пересекающие все меридианы под постоянным углом (локсодромы), изображаются на ней прямыми линиями. Благодаря тому что большие круги сферы изображаются в виде прямых, центральная проекция применяется в минералогии и сейсмологии, так как сейсмические волны распространяются вдоль больших кругов, подобно радиоволнам. Карты, выполненные в центральной проекции, также используют радисты кораблей, а подобные карты звездного неба применяются при наблюдении метеоритов, которые также движутся вдоль больших кругов.

Хотя гномоническая проекция — одна из самых древних, в эпоху Возрождения она использовалась редко и вновь стала популярной в начале XVII века, особенно при составлении карт звездного неба. Немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) при составлении карты звездного неба в 1606 году применил экваториальную разновидность этой проекции; австрийский астроном Кристоф Гринбергер (1561–1636) использовал различные варианты этой проекции в своем атласе созвездий 1616 года, а итальянский математик и астроном Орацио Грасси (1583–1654)  — в картах звездного неба в 1618 году. С этого времени гномоническая проекция стала одной из самых популярных при составлении карт звездного неба: звезды, которые располагались на большом круге небесной сферы, а визуально находились на одной прямой, в этой проекции изображались на одной линии. Определять местоположение звезд и изучать звездное небо по таким картам было проще.

Центральная проекция чаще остальных использовалась при изготовлении многогранных карт и их разновидностей. Для этого земной шар (сферическая модель Земли) вписывается в многогранник, а затем проецируется на поверхности его граней. В случае с простой гномонической проекцией центр проекции совпадает с центром сферы. Таким образом получается изображение Земли на плоских гранях многогранника. Далее можно либо рассмотреть карту в форме многогранника, либо развернуть ее на плоскости. В многогранных картах чаще всего используются Платоновы тела (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), гранями которых являются равные между собой правильные многоугольники, однако могут применяться и такие фигуры, как усеченный октаэдр, кубооктаэдр и другие. Искажения на таких картах возрастают по мере приближения к вершинам и ребрам и уменьшаются вблизи центров граней — точек касания сферы и многогранника. В качестве примеров многогранных карт, выполненных в гномонической проекции, можно привести шесть граней карты Рейхарда или карты Общества распространения полезных знаний Великобритании, карту Кэхилла в форме бабочки (1909), которая представляет собой развернутый на плоскости октаэдр, или карту Димаксион, созданную американским дизайнером и архитектором Ричардом Бакминстером Фуллером. Проекция Фуллера представляет собой разновидность проекции на икосаэдр, и о ней мы поговорим в главе 9.

Восьмигранная карта  Кэхилла в форме бабочки, выполненная путем гномонической проекции сферической модели Земли на грани октаэдра. Если сложить октаэдр заново, получится восьмигранная модель Земли.

* * *

КАРТЫ ЗВЕЗДНОГО НЕБА, ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

Помимо карт земной поверхности, существуют и другие карты, игравшие важную роль на протяжении всей истории человечества. Речь идет о картах звездного неба, начиная от составленных в Древнем Китае, Индии, Месопотамии и Египте и до европейских. В XVII и XVIII веке в Европе издавалось множество атласов звездного неба. Созвездия при этом изображались в виде героев греческой мифологии, реальных и фантастических животных и различных предметов. В ту эпоху небо имело большое значение в европейской культуре, причем не только в навигации, но и в астрологии, которой зарабатывали себе на жизнь многие астрономы.

Первым полным атласом небесного свода, изданным еще до изобретения телескопа и задавшим направление развития карт звездного неба и астрономии в целом, стала «Уранометрия» (1603) баварского адвоката и издателя Иоганна Байера (1572–1625) , созданная на основе каталога звезд датского астронома  Тихо Браге (1546–1601) .

Первый телескоп сконструировал итальянский математик и астроном Галилео Галилей (1564–1642) в 1609 году. Двумя шедеврами этой эпохи небесной картографии стали «Гармония макрокосмоса» ( Harmonia Macrocosmica , 1660) немецкого математика и картографа  Андреаса Целлариуса (ок. 1596–1665)  — самый знаменитый атлас XVII века и, по мнению некоторых специалистов, красивейший сборник карт звездного неба всех времен, и «Небесный атлас» ( Atlas Coelestis , 1729) английского астронома Джона Флемстида (1646–1719)  — первого королевского астронома и директора Гринвичской обсерватории.

Иллюстрация из «Гармонии макрокосмоса» Андреаса Целлариуса 1708 года.

 

Глава 7

Стереографическая проекция

Стереографическая проекция — возможно, наиболее часто применяемая и самая известная азимутальная картографическая проекция. Ее авторство обычно приписывается Гиппарху Никейскому, хотя, возможно, она была известна еще древним египтянам. Проекция впервые упоминается в трактате Птолемея «Планисферий». Оригинал этого документа на древнегреческом языке утерян, до нас он дошел в арабском переводе, автором которого был математик Маслама. Впервые труд Птолемея был напечатан в виде приложения к его «Географии» в 1507 году. В работе была описана астролябия — инструмент для определения положения звезд на небесной сфере с использованием стереографической проекции. Птолемей называл эту проекцию планисферной, и это название сохранилось до XVI века (термин «планисфера» стали применять по отношению к картам звездного неба, так как для их изготовления использовалась именно эта проекция). В Средневековье стереографическая проекция также называлась проекцией астролябии. Название «стереографическая» ввел бельгийский математик Франсуа д’Агильон (1567–1617) , который в своем труде «Шесть книг по оптике, полезные для философов и математиков» (Opticorum libri sex philosophis juxta ас mathematicis utiles) изучил свойства ортографической и стереографической проекций. Название «стереографическая» происходит от греческого «стерео» — «твердое тело» и «графиа» — «рисунок, изображение».

* * *

МАСЛАМА (ОК. 950-1007)

Абу аль-Касим Маслама ибн Ахмад аль-Фаради аль-Хасиб аль-Куртуби аль-Майрити родился в Мадриде в середине X века (аль-Майрити в его имени означает «родом из Мадрида»). В юном возрасте он переехал в Кордову, где познакомился с учеными, которые способствовали распространению достижений греческой науки в Андалусии. Со временем Маслама основал в Кордове собственную научную школу. Она стала настолько известной (Масламу называли андалусским Евклидом и королем андалусских математиков), что в нее стремились ученые со всей Андалусии и других регионов. Одно из достижений Масламы — перевод «Планисферия» Птолемея на арабский, который, как и оригинал, был утерян, однако успел лечь в основу последующих переводов книги на латынь и иврит, при этом сохранились комментарии самого Масламы к Птолемею. Кроме этого, Маслама занимался разработкой методов конструирования астролябии, которым он посвятил небольшую книгу; корректировкой таблиц Аль-Хорезми и Ал-Баттани для меридиана Кордовы (Маслама сделал их более удобными и точными); он написал учебник по арифметике в торговле и трактат по астрономии, а также определил долготу звезды Кальб Аль-Асад (сегодня она называется Регул).

* * *

Хотя полярная версия этой проекции была известна уже в Античности и использовалась при составлении карт звездного неба, в конце XVI и в XVII–XVIII веках проекция применялась для изображения Земли в виде двух отдельных полушарий.

Карта мира Vera totius expeditionis nauticae («Изображение всех морских экспедиций») (1595) Йодокуса Хондиуса (1563–1612) выполнена в стереографической проекции. На карте отмечены маршруты первых кругосветных путешествий, совершенных англичанами — сэром Фрэнсисом Дрейком в 1577–1580 годах и  Томасом Кавендишем в 1586–1588 годах.

Определение и картографические свойства

Стереографическая проекция строится следующим образом: рассмотрим сферу и плоскость, которая касается сферы в точке S (например, в Южном полюсе), и построим проекцию из диаметрально противоположной точки N (в нашем случае — Северного полюса). Отображением точки А на поверхности сферы, полученным с помощью стереографической проекции, будет точка А' на плоскости, определяемая как пересечение прямой, проходящей через точки А и N, с этой плоскостью, как показано на рисунке. Иными словами, если мы представим Землю как пластиковый шар, лежащий на столе так, что точкой касания шара и стола будет Южный полюс, то эта проекция будет тенью точки, освещаемой источником света, находящимся на Северном полюсе.

Слева — определение стереографической проекции. Справа — карта, выполненная в полярной стереографической проекции (центр проекции совпадает с Южным полюсом).

Стереографическая проекция имеет следующие свойства.

1. Так как она является азимутальной, карта в этой проекции имеет форму круга и охватывает всего одно полушарие. При изображении в этой проекции больших участков земной поверхности искажения слишком велики.

2. Искажение на меридианах и параллелях равно

Следовательно, эта проекция конформна, то есть сохраняет величины углов.

Однако она не сохраняет ни геодезические линии, ни площади, ни расстояния.

3. Так как эта проекция является азимутальной, она сохраняет геодезические линии, проходящие через точку касания сферы и плоскости. Иными словами, если центр проекции совпадает с одним из полюсов, меридианы изображаются прямыми, проходящими через центр карты.

4. Все меридианы и параллели (точнее все окружности сферы, в том числе большие круги) изображаются окружностями на плоскости, за исключением окружностей, проходящих через точку касания — они изображаются прямыми (это особенность отображений, называемых инверсиями, а стереографическая проекция является результатом инверсии).

5. Локсодромы (кривые на поверхности сферы, пересекающие меридианы под постоянным углом) изображаются в виде логарифмических спиралей.

6. Искажение площадей, форм и размеров вблизи точки касания невелико и возрастает по мере удаления от нее. При выходе за границы полушария, где расположена точка касания (то есть при пересечении экватора в полярных версиях проекции), искажения становятся слишком велики.

Локсодрома на земном шаре и на карте, выполненной в стереографической проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом.

Далее мы аналогично центральной проекции рассчитаем искажения, возникающие при использовании стереографической проекции. Рассмотрим диск D достаточно малого (бесконечно малого) радиуса r, касающийся сферы в точке А широтой φ.

Примем радиус сферы равным 1, так как речь идет о сферической модели Земли. Посмотрим, как построенный нами диск изменится в стереографической проекции, и определим, какие искажения она вносит.

* * *

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Все мы знаем, что сумма углов произвольного треугольника равна 180° (или  π радиан) — половине полного оборота вокруг оси. Этот классический результат евклидовой геометрии упоминается уже в «Началах» (предложение 32 книги I), созданных греческим математиком Евклидом Александрийским (ок. 325 года до н. э. — ок. 265 года до н. э) . Доказательство этого утверждения отличается простотой и изяществом. В данном треугольнике  АВС через вершину С проводится линия, параллельная АВ , как показано на рисунке. Так как эта прямая параллельна АВ , обе они образуют равные углы с прямой АС (угол α ). По этой же причине они образуют равные углы с прямой ВС (угол  β ). Так как прямые  АС и ВС пересекаются, угол  γ и противолежащий ему равны как вертикальные. Сумма трех углов при вершине С равна сумме углов треугольника α , β и  γ , то есть развернутому углу — 180°.

* * *

Перед построением стереографической проекции диска на следующем рисунке обозначим через ψ угол ONA, равный углу OAN, и, поскольку сумма углов треугольника равна π, имеем:

С другой стороны, расстояние между N и А равно |NA| = 2 cosψ по тригонометрической теореме косинусов (для данного треугольника со сторонами а, b и с и углом α, противолежащим стороне а, выполняется равенство а2 = Ь2 + с2 — 2Ьс·cosα). По определению косинуса имеем, что расстояние между N и А' — стереографической проекцией точки А — равно:

Чтобы лучше понять, как изменяется диск в стереографической проекции, проведем построение в два этапа. На первом этапе диск преобразуется в диск D', лежащий в плоскости, параллельной D. Центром диска будет точка А' — стереографическая проекция точки А (см. следующий рисунок). В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса) имеем:

Первый этап построения стереографической проекции.

Второй этап заключается в построении проекции диска D' радиуса r' на плоскость проекции Т. В направлении «запад — восток» диск D' и плоскость Т пересекаются, следовательно, проекция отрезка будет иметь ту же длину, что и сам отрезок. Это означает, что искажение вдоль параллелей равно

так как мы вычислили искажение бесконечно малого отрезка длины r, расположенного вдоль параллели.

Рассмотрим, что произойдет с отрезками, расположенными в направлении «север — юг», и рассчитаем при этом искажение вдоль меридианов (см. следующий рисунок). Сначала заметим, что угол SA'N равен (π/2) — ψ. Если мы будем считать, что |NA'| очень велико по сравнению с r' (изначально мы приняли размеры диска D бесконечно малыми), то можно предположить, что проекционные лучи параллельны. Следовательно, проекцией отрезка А'В' будет отрезок А'С, а отрезок В'С параллелен NA'. Угол А'СВ', равно как и угол А'В'С, равен — (π/2) — ψ. Следовательно, треугольник В'А'С равнобедренный. Как следствие, |А'С| = |А'В'| = r'. Таким образом, искажение вдоль меридианов и параллелей будет одинаковым. Более того, оно будет одинаковым во всех направлениях, а значит, стереографической проекцией D будет диск радиуса:

Это указывает, что стереографическая проекция является изогональной, то есть сохраняет величины углов.

Второй этап построения стереографической проекции.

В 1695 году английский математик и астроном Эдмунд Галлей (1656–1742) опубликовал первое доказательство конформности стереографической проекции.

Как мы уже указывали, конформные проекции сохраняют формы лишь на небольших участках, но не на всей карте. Форма границы страны или русла реки на карте определяется изменением направления, в котором мы проводим изображаемую линию. Если говорить математическим языком, их очертания определяет изменение касательного вектора рассматриваемой кривой. По этой причине сохранение величин углов обеспечивает локальное сохранение форм. Наглядным примером станет Гренландия, реальные очертания которой очень отличаются от изображения в проекции Меркатора. Однако если мы рассмотрим небольшие участки на побережье Гренландии, различия будут незначительными.

Задача изображения сетки меридианов и параллелей на карте, выполненной в полярной стереографической проекции, сводится к расчету расстояния от центра, на котором должны располагаться окружности, соответствующие параллелям, поскольку в азимутальных проекциях меридианы изображаются равномерно распределенными прямыми, проходящими через центр карты. Так, радиус окружности — проекции параллели, расположенной на широте φ, — равен

где R — радиус сферической модели Земли. Чтобы рассчитать это расстояние, нужно воспользоваться определением тангенса угла SNA (см. рисунок на стр. 109).

Использование карт, выполненных в стереографической проекции

С древних времен до наших дней стереографическая проекция используется при составлении карт звездного неба. Полярная стереографическая проекция использовалась исключительно в этих целях со времен Древней Греции до, возможно, 1507 года, когда она впервые была применена при составлении карты Земли. Как отмечает Джон Снайдер в книге «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth), эту карту изготовил Вальтер Людд из Сан-Дье. Первые печатные карты звездного неба, созданные с помощью полярной стереографической проекции, принадлежат знаменитому немецкому художнику Альбрехту Дюреру (1471–1528): в 1515 году он создал карту Северного полушария небесной сферы Imagines coeli septentrionales cum duodecim imaginibus zodiaci («Изображение северного звездного неба с двенадцатью зодиакальными созвездиями») и карту Южного полушария небесной сферы Imagines coeli meridionales («Изображение южного звездного неба»). Центры проекций этих карт располагались в Северном и Южном полюсах эклиптики соответственно. За ними последовали многие другие, например карты полушарий небесной сферы, выполненные Галлеем примерно в 1678 году, или опубликованная в «Бюллетене Французской академии наук» в 1756 году «Карта мира, содержащая небесные созвездия» (Planisphere contenant les constellations celestes) французского астронома Никола Луи де Лакайля (1713–1762) , на которой изображены звезды, видимые в Южном полушарии. Карта Лакайля была включена в знаменитый атлас звездного неба Флемстида 1776 года.

Многие другие карты звездного неба в полярной стереографической проекции были созданы в золотой век небесной картографии великими астрономами, картографами и математиками: Иоганном Доппельмайером, Пьером Шарлем Ле Моннье, Жаном Домиником Кассини и многими другими.

Карта звездного неба Альбрехта Дюрера «Изображение северного звездного неба», на которой изображено Северное полушарие небесной сферы.

Полярная стереографическая проекция начала использоваться для составления карт Земли в начале XVI века. Немецкий гуманист Грегор Рейш (ок. 1470–1525) использовал ее в своей энциклопедии «Жемчужина философии» (1512) при составлении простой карты с центром в Северном полюсе. Немецкий картограф Петер Апиан (1495–1552) включил в свою «Космографию» (1524) небольшую карту Северного полушария до 25-го градуса южной широты. Французский картограф Гийом Делиль (1675–1726) в своем «Новом атласе, содержащем все части мира» (1730) привел карты Северного и Южного полушария, выполненные в полярной стереографической проекции. Аналогичные карты создал его племянник, картограф Филипп Буше (1700–1773) . Так, ему принадлежит знаменитая «Карта южных земель между тропиком Козерога и Антарктическим полюсом, изображающая новые земли к югу от мыса Доброй Надежды, открытые в 1739 году». Существует два варианта этой карты: в одном из них отсутствует Антарктида, в другом на ее месте изображены две большие части суши. Последний вариант был составлен задолго до подробных исследований Австралийского континента, поэтому ее порой использовали, чтобы доказать существование Атлантиды.

Вслед за этими картами были созданы многие другие похожие карты двух полушарий, а также разработаны карты, на которых полушария изображались совместно, например «Карта магнитных меридианов и параллелей» (Karte Der Magnetischen Meridiane und Parallel-Kreise) и другие, включенные в «Физический атлас» (Physikalischer Atlas, 1848) немецкого картографа Генриха Бергхауза (1797–1884) . Эти карты использовались в качестве иллюстраций к труду «Космос, или Физическое мироописание» немецкого натуралиста и путешественника Александра фон Гумбольдта (1769–1859) .

«Карта магнитных меридианов и параллелей», на которой изображены два полушария в стереографической проекции, составленная немецким географом  Генрихом Бергхаузом .

* * *

КАРТЫ ЗВЕЗДНОГО НЕБА, ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Звезды на небе располагаются равномерно, и когда мы смотрим на них ночью, то кажется, что они закреплены на огромной сфере, заключающей в себе наш мир. Причина в том, что звезды находятся очень далеко от нас. Идеальная сфера неопределенного радиуса, центр которой совпадает с центром Земли и на которой, как нам кажется, находятся звезды, называется небесной сферой.

Существует две системы небесных координат, аналогичных земным, с небесным экватором, Северным и Южным полюсами мира, небесными меридианами и параллелями и углами, определяющими положение каждой звезды на небосводе подобно широте и долготе. Первая система небесных координат, которая чаще применялась в Античности, — это эклиптическая система. В ней за основу взята плоскость эклиптики — плоскость вращения Земли вокруг Солнца, которая играет роль небесного экватора. В основе второй, более современной системы координат, находится земной экватор. Зенит — это наивысшая точка небесной сферы над головой наблюдателя, надир — точка, диаметрально противоположная зениту.

Небесную сферу, для которой известны положения звезд и созвездий в этих координатах, можно спроецировать на плоскую поверхность и получить карту звездного неба подобно тому, как строятся карты Земли. При создании карт звездного неба применяются те же проекции, что и при составлении карт Земли. Однако в картах звездного неба чаще всего используются гномоническая, стереографическая и равнопромежуточная проекции. С их помощью можно создать карты, центром которых будет зенит, так как в этих проекциях искажения вокруг центра одинаковы. Кроме того, с помощью этих азимутальных проекций проще определить направление, вдоль которого следует смотреть, чтобы увидеть определенную звезду. Подходящая проекция выбирается в зависимости оттого, чего мы хотим: чтобы звезды, находящиеся на одном большом круге, были изображены на одной прямой; чтобы карта сохраняла углы; чтобы искажения были не слишком велики.

Карта участка небесной сферы вблизи Южного полюса мира, составленная Никола Луи де Лакайлем , приведенная в четвертом издании атласа звездного неба Флемстида .

* * *

Полярная стереографическая проекция достаточно часто используется при составлении карт приполярных территорий, так как если не рассматривать участки, далекие от центра проекции, общие искажения очень малы. Эту проекцию часто используют при составлении карт Антарктиды и территорий, лежащих за Северным полярным кругом, Геологическая служба США и многие другие международные агентства, например Центр изучения снега и льда (The National Snow and Ice Data Center) и Национальное управление океанических и атмосферных исследований США (National Oceanic and Atmospheric Administration). Применяется она и в случае, когда необходимо использовать конформную проекцию, например при составлении метеорологических карт, карт ветров Антарктиды и других.

Эта проекция лежит в основе системы координат UPS (универсальной полярной системы координат), которая вместе с системой UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора) представляет собой систему координат, или проекций, для изображения всей земной поверхности. Система определяет ряд зон среднего размера, которые можно изобразить в выбранной проекции с очень малыми искажениями. Благодаря этому систему UPS использует большинство картографических служб мира при составлении карт определенных размеров. Мы вернемся к этой системе координат в главе 9, посвященной проекции Меркатора.

Полярная стереографическая проекция также применяется при составлении карт областей среднего размера, близких к полюсам: в картах России, Европы или некоторых европейских стран, в частности Швеции, а также в картах Австралии и Северной Америки.

Погодная карта Европы, выполненная в полярной стереографической проекции.

Еще одна разновидность стереографической проекции — экваториальная, в которой точка касания сферы и плоскости проекции, то есть центр карты, находится на экваторе. Эту проекцию использовал арабский математик Аз-Заркали при конструировании астролябии, а для создания карт Земли она начала применяться с XVI века. Старейшая карта в этой проекции, дошедшая до наших дней, — это простая карта двух полушарий, составленная французским картографом Жаном Ротцем.

* * *

АЗ-ЗАРКАЛИ (ОК. 1029–1100)

Абу Исхак Ибрахим ибн Яхья ан-Наккаш аз-Заркали родился в Толедо. Прозвище Арзахель (латинизированный вариант имени «аз-Заркали») означает «голубоглазый». По некоторым источникам, он был подмастерьем в мастерской своего отца и не получил образования (некоторые историки отмечают, что он был неграмотным). Арзахель начал изготавливать измерительные инструменты, в частности астролябии, для астрономов тайфы Толедо и постепенно самостоятельно изучил астрономию. После завоевания Толедо Альфонсо VI в 1085 году аз-Заркали переехал в Кордову, где и умер в 1100 году. Он известен благодаря созданию измерительных инструментов, составлению астрономических таблиц и различным теоретическим исследованиям. Самый известный из созданных им инструментов — заркала, универсальная астролябия, которую можно было использовать на любой широте. Заркала применялась в Европе вплоть до XVI века. Он также сконструировал водяные часы, установленные на берегу реки Тахо, которые позволяли определять время днем и ночью. Аз-Заркали был автором нескольких трактатов по конструированию и применению инструментов, в частности уже упомянутой заркалы, экваториума, армиллярной сферы и других. Исследователь откорректировал астрономические таблицы Аль-Хорезми и Ал-Баттани для меридиана Толедо, создав так называемые Толедские таблицы; он также провел собственные наблюдения и включил в свой «Альманах» исправленные астрономические данные, которые впервые были получены древними греками. Эти данные позволяли определять положение планет, Солнца, Луны и других небесных тел напрямую, не прибегая к объемным вычислениям, а также предсказывать солнечные и лунные затмения. Аз-Заркали написал несколько трактатов, в которых изложил результаты своих наблюдений Солнца, Луны и Меркурия, проведенных им в течение жизни.

* * *

Экваториальная стереографическая проекция в течение нескольких столетий была стандартной для изготовления карт мира благодаря Румольду Меркатору, сыну и наследнику Герарда Меркатора, который использовал ее в карте «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587), включенной в издание Атласа Меркатора 1595 года.

В зависимости от того, на какой части экватора располагается центр одного из полушарий (центром второго полушария будет диаметрально противоположная точка небесной сферы), карта мира будет выглядеть по-разному. На картах Румольда Меркатора, в «Новом и точнейшем представлении о мире» (Nova et accuratissima terrarum orbis tabula, 1664) голландского картографа Яна Блау (1596–1673) , сына картографа Виллема Блау, или в «Новом точнейшем представлении мира» (Orbis terrarum nova et accuratissima tabula, 1666) Петера Гооса (на этих картах Калифорния изображена как остров, и эта картографическая ошибка повторяется на многих картах XVII и XVIII веков), центр расположен на меридиане Каспийского моря, поэтому на одном из полушарий изображены Европа, Африка, Азия и часть Океании, на другом — Тихий океан и Америка.

Карта двух полушарий «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587)  Румольда Меркатора , выполненная в экваториальной стереографической проекции. На карте можно увидеть, как картографы того времени представляли себе Америку и Антарктиду.

Другие картографы, подобно Иодокусу Хондиусу (он в своем «Изображении всех морских экспедиций» (Vera totius expeditionis nauticae, стр. 106) отметил маршруты кругосветных путешествий Фрэнсиса Дрейка и Томаса Кавендиша), строили эту проекцию с поворотом на 90° и располагали центры полушарий в Атлантическом и Тихом океане соответственно. Некоторые изображали Европу и Африку в центре одного из полушарий — такую карту составил немецкий картограф Филипп Эккебрехт (1594–1667)  в 1630 году для трактата по астрономии, написанного немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630) .

Начиная с этого времени экваториальная стереографическая проекция стала использоваться для составления карт различных участков земного шара. Так, немецкий картограф Иоганн Баптист Гоманн (1664–1724) использовал эту проекцию не только в типичной для того времени карте мира, разделенной на два полушария, но и в картах Европы, Азии, Африки и Америки. По его стопам пошли и другие картографы, например Йодокус Хондиус, применивший эту проекцию для «Вновь начерченной карты Америки» (America noviter delineata, 1640).

Косую стереографическую проекцию первым использовал при составлении карт звездного неба в IV веке н. э. греческий математик и астроном Теон Александрийский, возможно, последний управитель Александрийской библиотеки и отец известной женщины-математика Гипатии. Сегодня стереографическая проекция указывается в числе рекомендуемых для составления карт звездного неба наряду с другими азимутальными проекциями, гномонической и равнопромежуточной.

Использовать косую стереографическую проекцию для составления карт Земли предложил австрийский картограф Иоганнес Стабиус (1450–1522) . Эта проекция стала популярной благодаря немецкому математику Иоганнесу Вернеру (1468–1522) , который включил ее в перевод «Географии» Птолемея на латынь. Следует учесть, что одной из основных задач, связанных с использованием новых проекций, было не их геометрическое определение, а создание методов их построения, что в те годы происходило вручную. Так, в книге Джона Снайдера «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth) приведены некоторые методы построения стереографической и других картографических проекций.

В XVI и XVII веках эта проекция использовалась очень редко. Одним из исключений стал атлас мореплавателя и космографа Жака де Воля (ок. 1555–1597 ), который в 1583 году построил карту двух полушарий в этой проекции. Центр первого полушария располагался в Париже, центр второго, с изображением Антарктиды, был диаметрально противоположен ему. Эта проекция также использовалась в картах Европы и Азии английского историка Джона Спида (1552–1629) . Хотя косая стереографическая проекция не снискала большой популярности, она применяется до сих пор: в публикации «Картографические проекции Европы» (Map Projections for Europe, 2003) Института экологии и окружающей среды ЕС (Institute for Environment and Sustainability) отмечается, что эта проекция используется, например, при составлении карт Нидерландов, Польши и Румынии. Применяла ее и Геологическая служба США при составлении карт Луны, Марса и Меркурия. Кроме того, на основе этой проекции Анри Руссель в 1922 году создал новую проекцию, которая использовалась в СССР и Геологической службой США.

Благодаря богатству геометрических свойств стереографическая проекция нашла применение во многих областях науки, в частности в таких разделах математики, как комплексный анализ, неевклидова геометрия, дифференциальная геометрия, аналитическая геометрия и топология. Эта проекция используется в физике, структурной геологии и инженерном деле, а также применяется в кристаллографии для изучения свойств симметрии кристаллов, так как благодаря конформности она сохраняет углы между гранями и ребрами кристаллов. В фотографии эта проекция используется при конструировании широкоугольных объективов типа «рыбий глаз» с максимально широким углом обзора.

Фотографии, выполненные в стереографической проекции широкоугольным объективом типа «рыбий глаз», стали популярными в фотоискусстве

(источник:  Александр Дюре-Лутц ).

Конформные проекции особенно удобны, когда важны углы или направления (румбы), например в морской и воздушной навигации. Помимо уже упомянутых ортодром, в навигации важную роль играют локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом), так как при прокладке курса вдоль локсодромы нужно всего лишь держаться одного и того же румба, указываемого, например, стрелкой компаса. По этой причине сохраняется актуальность проекции Меркатора, в которой локсодромы изображаются прямыми, следовательно, их можно легко начертить на карте. Так как эти проекции сохраняют величины углов, они также применяются в геодезии, метеорологии (для изображения, например, направлений ветров или перпендикулярных им изобар) и океанографии. Они также находят применение при анализе распространения волн, например сейсмических или радиоволн, которое, как известно, происходит радиально: не будем забывать, что в конформных проекциях окружности изображаются как окружности или прямые. Наконец, как показала американский биоматематик Моника Хёрдал из Университета штата Флорида, конформные проекции важно использовать при составлении карт мозга.

Квинкунциальная проекция  Пирса — это конформная проекция, определяемая с помощью методов комплексного анализа на основе стереографической проекции. В квинкунциальной проекции Пирса сфера принимает форму квадрата.

Наконец, так как конформные проекции сохраняют формы на локальном уровне, они удобны для составления карт небольших участков земли.

Чаще всего используются следующие конформные проекции: уже рассмотренная нами стереографическая проекция, проекция Меркатора, равноугольная коническая проекция Ламберта и биполярная косая равноугольная коническая проекция. Существуют и другие конформные проекции, например проекция Лагранжа, представленная Ламбертом в 1772 году, проекции Августа и Айзенлора, представленные около 1870 года, квинкунциальная проекция Пирса, в которой Земля изображена в виде квадрата (1879), и квадратная проекция Гойю (1887).

Конические проекции

Важнейшая конформная проекция после стереографической, о которой мы только что рассказали, и проекции Меркатора, о которой мы поговорим в главе 9, — это равноугольная коническая проекция Ламберта, которая, как следует из названия, относится к третьей группе картографических проекций после азимутальных и цилиндрических. В геометрических (а следовательно, и алгоритмических) конических проекциях сферическая модель Земли проецируется на касающийся ее или пересекающий ее конус, который затем разворачивается на плоскости. Чтобы развернуть конус на плоскости, его нужно разрезать вдоль меридиана. Конус, подобно цилиндру, используется потому, что его можно развернуть на плоскости так, что его метрические свойства останутся неизменными. Кроме того, окружности сечения конуса сферой являются стандартными линиями, то есть линиями, изображаемыми на карте в реальном масштабе. Иными словами, масштаб карты вдоль этих линий является линейным.

Изображение, спроецированное на поверхность конуса и развернутое на плоскости.

Все прямые конические проекции, то есть проекции, в которых вершина конуса лежит на оси «север — юг», а линия касания конуса и сферы проходит вдоль параллели, обладают следующими свойствами.

1. Меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, и разделены интервалами, имеющими одинаковые угловые размеры. Угловое расстояние между меридианами уменьшается в фиксированном масштабе.

2. Параллели отображаются в виде дуг концентрических окружностей, пересекающих меридианы под прямым углом. Искажения вдоль каждой параллели постоянны.

Эти свойства означают, что карта в конической проекции имеет форму кольцевого сектора, а положение меридианов и параллелей задается угловым расстоянием между меридианами и расстоянием между параллелями. Эти параметры, а также стандартная параллель (параллели) и определяют внешний вид карты.

В конических проекциях сетка меридианов и параллелей имеет характерную форму. Примером конической проекции является равновеликая коническая проекция  Альберса (1805).

Искажения, вносимые коническими проекциями, вблизи стандартной параллели (или параллелей) невелики и возрастают по мере приближения к полюсам. В силу этого конические проекции обычно используются для карт стран, регионов и территорий с умеренным климатом, в то время как азимутальные и цилиндрические проекции, как правило, применяются при построении карт полярных и экваториальных территорий соответственно. Так, конические проекции подходят для изображения участков земли, заключенных между двумя не слишком удаленными друг от друга меридианами: например для карт Испании, Франции, Монголии или Аляски. В этой же проекции можно составлять карты более широких областей, простирающихся в направлении с востока на запад, например карты России, Европы или США.

Кроме стандартных, или полярных, конических проекций, также существуют экваториальные и косые конические проекции. Если не соблюдать условия построения конических проекций, мы получим так называемые псевдоконические (на них меридианы изображаются кривыми) и поликонические (где параллели не являются концентрическими окружностями) проекции.

Карта полуострова Флорида, выполненная в равновеликой конической проекции Альберса .

Птолемей создал две конические проекции (хотя в их описании он ни разу не упоминает конус), на которых параллели изображались дугами концентрических окружностей. В первой проекции меридианы изображались прямыми линиями (см. иллюстрацию на стр. 126), во второй — дугами окружности (стр. 12). Труды Птолемея оказали большое влияние на картографию Возрождения: в частности, с начала XVI века конические и псевдоконические проекции постепенно начали изучать и использовать видные картографы: Герард и Румольд Меркаторы, Виллем Блау, Иодокус Хондиус, Гийом Делиль, Джон Спид и другие. Некоторые из этих проекций имели очень любопытную форму, например, Иоганнес Вернер или французский картограф Ригобер Бонне (1727–1795) создали проекции в форме сердца, а французский математик и картограф Оронций Финеус (1494–1555)  — проекции в форме двойного сердца.

Вверху — карта мира, составленная Птолемеем в конической проекции. Внизу — карта, созданная на основе проекции в форме двойного сердца, разработанной  Оронцием Финеусом (1538).

Равноугольная коническая проекция Ламберта

Цилиндр и плоскость можно рассматривать как предельные случаи конуса: чтобы получить цилиндр, необходимо удалить вершину конуса на бесконечно большое расстояние, а плоскость образуется, если вершина конуса принадлежит его основанию. Ламберт использовал все доступные ему математические инструменты (математический анализ, геометрию, алгебру и тригонометрию) для создания семейства конформных конических проекций с двумя стандартными параллелями. Предельными случаями этих проекций являются стереографическая проекция (азимутальная) и проекция Меркатора (цилиндрическая).

Затем эта проекция была забыта, и о ней вновь вспомнили во Франции во время Первой мировой войны. Позднее равноугольная коническая проекция Ламберта стала одной из самых популярных для составления карт большого масштаба, уступая лишь проекции Меркатора. Ее используют Геологическая служба США и многие международные агентства, а Европейская комиссия рекомендует применять эту проекцию для составления конформных карт Европы в масштабах, меньших или равных 1:500000. Часто она используется и при составлении навигационных карт.

Политическая карта Европы, выполненная в равноугольной конической проекции  Ламберта .

Перечислим некоторые другие конические проекции. Во-первых, это косая биполярная проекция, предложенная в 1941 году Осборном Миллером и Уильямом Бризмейстером из Национального географического общества для создания карты всего Американского континента. В этой проекции, которая широко используется до сих пор, были применены две разновидности косой равноугольной конической проекции Ламберта. Во-вторых, это равновеликая коническая проекция Альберса, созданная немецким картографом Хейнрихом Альберсом в 1805 году, а также коническая равнопромежуточная проекция, напоминающая ту, что используется в карте Птолемея, и поликоническая проекция, авторство которой обычно приписывают швейцарскому топографу Фердинанду Хасслеру (1770–1843) . В поликонической проекции используются различные конусы, а карта в этой проекции внешне схожа с нефроидой — кривой, по форме напоминающей почку.

Карта Америки, выполненная в биполярной косой проекции.

 

Глава 8

Что 

Эйлер

сказал картографу

Мы вкратце рассмотрели равновеликую цилиндрическую проекцию Ламберта, центральную и стереографическую проекцию — три важные картографические проекции, которые помогли нам лучше понять некоторые аспекты картографии. Однако вернемся к главному вопросу этой книги: существуют ли правильные карты земной поверхности? Как построить правильную карту?

Чтобы не потерять нить рассуждений, напомним, что идеальная карта должна сохранять неизменными (за исключением масштаба) такие метрические свойства, как площади, углы, геодезические линии, формы и в целом длины кривых и расстояния. Иными словами, искомая картографическая проекция должна быть изометрической. Чтобы упростить поиски точной карты Земли, мы задались вопросом: достаточно ли свойства сохранения площадей для того, чтобы равновеликая проекция была изометрической? Положительный ответ значительно упростил бы задачу: мы смогли бы ограничиться рассмотрением только тех проекций, которые сохраняют площади.

Однако после изучения трех проекций стало понятно: чтобы проекция была изометрической и подходила для составления идеальной карты, сохранения только одного из метрических свойств (площадей, углов или формы геодезических линий) недостаточно.

Равноугольные равновеликие проекции

Итак, наша первая попытка построить идеальную карту завершилась неудачей. Тогда рассмотрим следующий вопрос: достаточно ли сохранения двух из трех метрических свойств, чтобы проекция была изометрической?

Начнем с того, что рассмотрим проекцию сферы на плоскость, сохраняющую углы и площади, и попытаемся определить, будет ли эта проекция изометрической. Для этого используем результаты, изложенные в предыдущих главах. В них мы рассмотрели искажения, вносимые проекциями, которые оставляют площади и величины углов неизменными. Как вы знаете из главы 5, если проекция является конформной (равноугольной), искажения в направлении меридианов μ равны искажению в направлении параллелей λ:

μ = λ

С другой стороны, в этой же главе мы показали, что для равновеликих проекций величина искажения вдоль меридианов обратна величине искажения вдоль параллелей, что обеспечивает сохранение площадей:

μ = 1/λ

С учетом обоих равенств имеем:

μ = λ = 1

Иными словами, если проекция будет одновременно равновеликой и конформной, в ней не будет наблюдаться никаких искажений: ни вдоль меридианов, ни вдоль параллелей, ни в каком-либо другом направлении. Следовательно, эта проекция будет изометрической. Читатель может спросить: как быть с масштабом? Напомним, что мы рассматриваем сферическую модель Земли, следовательно, линейное изменение размеров никак не влияет на решение задачи.

Эврика! Точную карту Земли можно построить с помощью проекции, которая сохраняла бы одновременно величины углов и площади. Создание такой проекции нетривиально, ведь она должна сохранять все метрические свойства: геодезические линии, формы, длины кривых и расстояния.

Существует ли правильная карта Земли?

Прежде чем начать поиски равновеликой конформной проекции, на основе которой можно составить идеальную карту Земли, продолжим двигаться намеченным путем и рассмотрим проекции, сохраняющие два других метрических свойства, например величины углов и геодезические линии.

Аналогично треугольнику на плоскости, который определяется как область, ограниченная тремя попарно пересекающимися прямыми, точки пересечения которых не лежат на одной прямой, сферический треугольник определяется как часть сферы, ограниченной тремя дугами попарно пересекающихся больших кругов, при этом точки пересечения не лежат на одном большом круге. Так как рассматриваемые нами проекции сохраняют геодезические линии, то проекцией сферического треугольника будет треугольник на плоскости. Поскольку эти проекции конформны, они сохраняют величины углов треугольников и их сумму. Из классической геометрии известно, что сумма углов треугольника равна π (180°). Чему будет равна сумма углов сферического треугольника? Будет ли она также равна π (180°), как и следовало ожидать?

Рассмотрим конкретный пример. Представим сферический треугольник, образованный дугой меридиана, заключенной между Северным полюсом и экватором, и другой, похожей, дугой, отстоящей на угол π/2 (90°) от первой, как

Сферический треугольник, три угла которого равны 90°, следовательно, их сумма равна 270°.

Сумма углов этого сферического треугольника будет равна 3π/2 (270°), а не π (180°), как мы ожидали. Следовательно, не существует проекций сферы на плоскость, которые сохраняли бы величины углов и геодезические линии одновременно. Из этого утверждения следует: не существует изометрических проекций сферы на плоскость, то есть

ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Более того, это утверждение касается не только всей сферы, но и любого ее участка. Локальную изометрию сферы на плоскости построить невозможно, следовательно, точную карту даже малой части земной поверхности построить также нельзя.

Чтобы доказать это, рассмотрим сумму углов произвольного сферического треугольника. Ее значение находится на интервале между π и 3π (не включая границы). Так как каждый сферический угол меньше π, очевидно, что сумма трех углов будет меньше 3π. Мы можем неограниченно приближаться к этому значению: достаточно рассмотреть треугольник, две вершины которого лежат на экваторе, а третья находится вблизи экватора так, что сферический треугольник покрывает почти все полушарие. Можно рассмотреть еще один предельный случай, когда две вершины треугольника лежат на экваторе, а третья совпадает с Северным полюсом так, что дуги меридианов будут образовывать сколь угодно малый угол. Сумма углов такого треугольника будет близка к π. Можно доказать, что для любого сферического треугольника выполняется равенство:

Площадь сферического треугольника = R 2  (сумма углов треугольника — π ),

где R — радиус сферы. Так как сумма углов сферического треугольника произвольной формы и размера всегда больше π, не существует проекций участков сферы на плоскость, в которых сохранялись бы углы и геодезические линии. Следовательно, локальные изометрии также не существуют. Ожидания, которые мы возлагали на построение равновеликой конформной проекции, оказались напрасными.

Хотя в разные годы картографы неизменно терпели неудачу в попытках построить идеальную карту Земли, они не могли доказать, что эта задача не имеет решения. Доказательство принадлежит швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, который изложил приведенные выше рассуждения в работе «О представлении сферической поверхности на плоскости«(De repraesentatione superficiei sphaericae super piano), представленной в Петербургской академии наук в 1775 году и опубликованной в 1778 году в «Журнале Императорской Санкт-Петербургской академии наук».

* * *

ФОРМУЛА СУММЫ УГЛОВ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пусть дана сфера радиуса R . Ее часть, заключенная между двумя большими кругами (сферический двуугольник), которые пересекаются под углом α радиан, имеет площадь, равную площади поверхности сферы, взятой α /2 π раз, то есть

( α /2 π )·(4 πR 2 ).

Обозначим вершины сферического треугольника через А , В ,  С , углы — через α ,  β  и γ . Если мы рассмотрим большие круги, на которых лежат стороны  АВ и  АС , по приведенной выше формуле получим:

t + a = 2 αR 2

Аналогично имеем:

t +  b = 2 βR 2  и t +  c = 2 γR 2

Сложив эти три равенства, имеем:

3 t + a  + b + c = 2 R 2 ( α + β + γ ).

Получается, что t +  а + Ь +  с равно площади поверхности полусферы (заметим, что для каждой вершины, например  А , существуют два равных двуугольника с углами α ; каждый из них состоит из двух областей площадью t и а ). Как следствие,

2 t + 2 πR 2 = 2 R 2 ( α + β + γ ).

Упростив равенство, получим

t  = R 2 ( α + β + γ — π ).

* * *

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Эйлер считается самым плодовитым математиком всех времен. Он опубликовал свыше 500 книг и статей, а с учетом трудов, напечатанных посмертно (до 1911 года), их число достигает 866. В 1911 году было начато издание полного собрания его сочинений, которое, как планировалось, должно было составить 90 томов.

Эйлер родился в Базеле. Его отец, пастор-кальвинист, хотел, чтобы сын изучал богословие, но Эйлер остановил свой выбор на математике. В 19 лет он опубликовал первый научный труд, посвященный оптимальному расположению мачт и парусов на корабле, при этом он ни разу не видел парусника своими глазами. С 1727 по 1740 год Эйлер жил в Санкт-Петербурге и работал в Петербургской академии наук. По прибытии Эйлер обнаружил, что император совершенно не интересовался науками, и, чтобы заработать на жизнь, в течение трех лет занимался делами русского флота. Он женился на Катарине Гзель, которая родила ему 13 детей. Эйлер говорил, что совершил многие открытия, держа кого-нибудь из детей на руках. В эти же годы ученый ослеп на правый глаз.

В 1741–1766 годах он работал в Берлинской академии наук. Из-за экономического кризиса в первые годы жизни в Берлине Эйлер зарабатывал тем, что учил математике членов знатных семейств. Отношения с королем Фридрихом II не складывались — монарх дал ученому прозвище Математик-циклоп и поручал ему не связанные с наукой задачи: в частности, Эйлеру пришлось возглавить работы по выравниванию Финов-канала, руководить соляной шахтой и решать различные финансовые вопросы. Когда Эйлер вернулся в Санкт-Петербург, Екатерина II отнеслась к нему совершенно иначе, и между ними сложились теплые личные отношения. В конце жизни Эйлер полностью ослеп, однако почти половина его работ была написана именно в этот период.

* * *

Повторим, ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Любая карта Земли или какой-нибудь ее части будет в некотором смысле неточной. Вывод Эйлера подтверждают следующие эксперименты. Возьмем пластиковый шар и разрежем его пополам, после чего попытаемся развернуть одну из половин на плоскости. Станет очевидно, что при этом поверхность шара либо растянется, либо сморщится, в итоге расстояния между различными точками поверхности изменятся. Даже если перед этим мы сделаем несколько радиальных разрезов, это не решит проблему.

Аналогичная трудность поджидает нас и в обратном случае: если мы, например, захотим завернуть апельсин в лист бумаги, на ней образуется множество складок. Поэтому при использовании карт, выполненных в различных проекциях и охватывающих различные участки Земли (в том числе весь земной шар), важно выделить те, которые максимально точно удовлетворяют конкретным требованиям. Если вам понадобится карта, важно не то, насколько она известна, как она называется и рекомендует ли ее какое-нибудь международное агентство. Делайте свой выбор в зависимости от того, сохраняет ли карта необходимые вам метрические свойства.

Кривизна Гаусса и возвращение к картографической задаче

Задачу о составлении точной карты Земли картографы стремились решить во все времена. Следуя путем Эйлера, мы доказали, что эта задача не имеет решения. Но если на минуту забыть об этом, можно задаться вопросом: почему построить такую карту невозможно, почему нельзя преобразовать сферу в плоскость с сохранением метрических свойств? Разумеется, если читатель вспомнит наш эксперимент с пластиковым шаром, то придет к выводу: сфера — искривленная поверхность, а плоскость — нет. Однако этот вывод верен лишь отчасти. Цилиндр и конус — также искривленные поверхности, но тем не менее их можно развернуть на плоскости, сохранив при этом метрические свойства. В чем же разница между сферой, цилиндром и конусом? Быть может, их кривизна чем-то отличается или проблема кривизны вообще не так уж и важна? Действительно, не все поверхности искривлены одинаково. Понятие кривизны, применимое к точке поверхности, показывает, насколько далека данная поверхность от плоскости в рассматриваемой точке. Однако кривизну необходимо как-то измерить, выразить количественно.

Два важных элемента локального анализа поверхности — это плоскость, касающаяся поверхности в точке р , и нормальный вектор поверхности  N ( p ), выходящий из точки р , перпендикулярный касательной плоскости.

Для этого рассмотрим плоскость, касающуюся поверхности S в точке р. Это плоскость, ближайшая к поверхности в указанной точке. Вектор, перпендикулярный касательной плоскости, исходящий из точки р, называется нормальным вектором (см. рисунок). Чтобы определить кривизну поверхности в данной точке, нужно изучить, как изменяется положение касательной плоскости (или нормального вектора) в окрестности этой точки. В математике этот процесс называется дифференцированием. Результатом операции будет математический объект под названием дифференциальная форма (мы не будем приводить здесь точного определения, так как интересующийся читатель найдет его в любой книге по дифференциальной геометрии), который содержит всю информацию о кривизне поверхности. На основе дифференциальной формы определяются две различные кривизны: так называемая кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н.

Примеры поверхностей, на которых оттенками серого обозначены различные значения кривизны  Гаусса  и средней кривизны. Плоскость ( К = Н  = 0), цилиндр с радиусом основания r ( К = 0; Н  = 1/2 r ), сфера радиуса r ( К = 1/ r2 ,  Н = -1/ r ), псевдосфера ( К = -1; наибольшая средняя кривизна ближе к краю псевдосферы, на рисунке оттенками серого представлены значения средней кривизны), тор (на внешней части поверхности кривизна положительная, на внутренней — отрицательная; средняя кривизна для разных участков отличается, оттенками серого на рисунке представлены значения кривизны Гаусса); катеноид ( Н  = 0; оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса), седловая поверхность (оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса).

Есть и другой, возможно, более геометрический способ определить эти понятия: для данной точки р поверхности S, для которой мы хотим рассчитать кривизну, рассмотрим нормальный вектор N(р) и семейство плоскостей П(р)» проходящих через р и содержащих N(р). Для каждой плоскости семейства П(р) рассмотрим ее линию пересечения с поверхностью S. Этой линией будет кривая, проходящая через р. Измерим кривизну этой кривой в данной точке. Полученное значение и будет мерой кривизны кривой в точке. Таким образом мы получим ряд значений кривизны поверхности в точке р и сможем рассчитать кривизну поверхности. На множестве этих значений кривизны найдем максимальное значение k 1 и минимальное значение k 2 — так называемые главные кривизны, то есть максимальные и минимальные значения «направленной» кривизны поверхности в точке р. На их основе можно рассчитать кривизну Гаусса и среднюю кривизну:

Цилиндр и два основных его направления, кривизна которых равна k 1 = 1/ r и k 2 = 0. Следовательно, К = 0, Н  = 1/2.

Великий математик Карл Фридрих Гаусс в работе «Общие исследования кривых поверхностей» (1827) показал, что, вопреки определению, величина, впоследствии получившая название кривизны Гаусса, зависит исключительно от метрических свойств поверхности, то есть выступает неотъемлемым элементом геометрии этой поверхности. Это утверждение называется Theorema Egregium — основная теорема теории поверхностей. Как следствие, кривизна Гаусса описывает внутреннюю кривизну поверхности. Эту кривизну может ощутить наблюдатель, находящийся на плоскости и не выходящий за ее пределы. Следовательно, если две поверхности изометричны, то есть если существует изометрическое преобразование, позволяющее преобразовать одну из этих поверхностей в другую, то кривизна Гаусса должна быть одинаковой в точках, соответствующих по изометрии. Это утверждение справедливо и для части поверхности, то есть оно выполняется, если изометрическое преобразование можно определить только для какой-то части поверхности.

Таким образом, решение картографической задачи можно рассматривать как частный случай Teorema Egregium. Так как сфера имеет постоянную положительную кривизну Гаусса (для сферы единичного радиуса кривизна Гаусса равна 1; сфера искривлена во всех точках и вдоль всех направлений одинаково), а плоскость имеет нулевую кривизну, не существует изометрического преобразования (в том числе локального), позволяющего преобразовать сферу в плоскость.

Более того, в дифференциальной геометрии, которая носит более общий характер, чем математическая картография (в дифференциальной геометрии рассматриваются произвольные поверхности), в силу Teorema Egregium кривизна Гаусса препятствует построению изометрии двух поверхностей. Если использовать термины картографии, для построения карты одной поверхности на другой необходимо, чтобы кривизна Гаусса для обеих поверхностей была одинаковой. Ключевой вопрос, связанный с теоремой Гаусса, таков: является ли полученный нами результат не только необходимым, но и достаточным? Иными словами, будут ли изометричными, как минимум локально, две поверхности с одинаковой кривизной Гаусса? Российский математик немецкого происхождения Фердинанд Миндинг (1806–1885) , который провел обширные исследования в области дифференциальной геометрии поверхностей, доказал, что если две поверхности имеют одинаковую кривизну Гаусса и она одинакова для всей поверхности, то для этих поверхностей существует локальная изометрия. Так как кривизна Гаусса для цилиндра (или конуса) постоянна, а кривизна Гаусса для плоскости равна нулю, эти поверхности локально изометричны. Однако если кривизна Гаусса не является постоянной, утверждение, доказанное Миндингом, не выполняется.

Рассмотренную выше формулу суммы углов сферического треугольника можно обобщить для произвольной поверхности, что доказал Гаусс, связав изменение углов геодезического треугольника относительно π с кривизной Гаусса:

Формулу суммы углов треугольника на плоскости или на поверхности сферы можно обобщить для любой поверхности. Это так называемая формула Гаусса — Бонне , в которой используется кривизна Гаусса.

Разумеется, приведенная выше формула выполняется для сферы радиуса R. Так как кривизна Гаусса для этой сферы равна 1/R2, имеем

Однако мы определили две кривизны, поэтому возникает вопрос: каков же смысл средней кривизны? Отношения поверхности и окружающего ее трехмерного пространства рассматриваются во внешней геометрии поверхности. Характеристикой кривизны поверхности в трехмерном пространстве и будет средняя кривизна.

Глобус земного шара

Составить точную карту Земли невозможно. Наиболее точное представление о нашей планете дает глобус, сохраняющий все интересующие нас метрические свойства с учетом коэффициента масштаба. Единственное искажение на глобусе — это коэффициент масштаба, неизменный во всех его точках. В этой модели мы смело можем прокладывать морские и воздушные маршруты, так как румбы и расстояния на глобусе сохраняются. Для определения расстояния между двумя точками земной поверхности, например между двумя городами, нужно построить на глобусе большой круг (это нетрудно сделать с помощью натянутой веревки), затем измерить длину веревки и, наконец, вычислить реальное расстояние с помощью коэффициента масштаба. Аналогично на глобусе можно измерить и другие величины, при этом результат будет точнее, чем при использовании плоской карты. Ошибки измерений на глобусе будут вызваны неточностями, допущенными при измерениях, а не погрешностями, внесенными при изготовлении самого глобуса (при условии, что он был построен правильно). Однако, как вы увидите далее, построить глобус сложно, и при этом все же возникают ошибки.

Современный глобус.

* * *

ИСТОРИЯ ГЛОБУСОВ

Первые глобусы создали греки, которым было известно, что Земля имеет сферическую форму. Первый глобус, о котором сохранились документальные упоминания, был сконструирован грамматиком и философом-стоиком Кратетом Малльским около 150 года до н. э. В то время Америка, Австралия и часть Африканского континента еще не были открыты, и на глобусе были изображены четыре части суши, из которых известной (ойкуменой) была всего одна. Глобусы Земли и звездного неба создавали и использовали греки, римляне и, позднее, арабы.

Первый глобус Земли, дошедший до наших дней, создал немецкий географ Мартин Бехайм в 1492 году. Эпоха Возрождения стала золотым веком в изготовлении глобусов. Немецкий картограф  Мартин Вальдземюллер (ок. 1470 — ок. 1520) совершил прорыв в массовом изготовлении глобусов: он первым использовал отпечатанную развертку глобуса.

Факсимиле глобуса  Вальдземюллера (1507).

Изучив глобусы, созданные в разное время, можно увидеть, как при их создании использовались все более совершенные технологии и новая географическая информация. Перелом в усовершенствовании процесса изготовления глобусов, а также в развитии научных теорий, связанных с задачей о построении точной карты, произошел благодаря фламандскому картографу Герарду Меркатору. Он стремился создать глобус, который могли бы использовать мореплаватели и студенты, изучающие навигацию, поэтому на глобусах Меркатора были изображены, в частности, локсодромы. Однако многие созданные им глобусы стали всего лишь изысканными предметами интерьера в домах знати.

КАК СКОНСТРУИРОВАТЬ ГЛОБУС?

Хотя сфера — это, по сути, единственное геометрическое тело, позволяющее точно представить земную поверхность, конструирование сферической модели Земли связано с рядом технических проблем. Первая из них — размер: глобусы слишком малы, чтобы на них можно было рассмотреть все детали. Так, если бы на поверхности глобуса был изображен рельеф земной поверхности в масштабе, то гора Эверест имела бы высоту всего 0,28 мм. Вторая проблема — выбор материала для изготовления основы глобуса. В древности глобусы были полнотелыми и изготавливались из стекла, мрамора, дерева или металлов (золота, серебра, бронзы или свинца), однако начиная с Меркатора картографы стали изготавливать полые глобусы, например из бумажно-гипсовой массы, нанесенной на деревянный каркас. Современные глобусы попрежнему полые, однако технологии их изготовления непрерывно совершенствуются. Сегодня их изготавливают из бумаги, пластика или металла.

Начиная с Вальдземюллера используются отпечатанные развертки глобусов в виде склеенных сферических двуугольников, которые затем наклеиваются на поверхность сферы. При этом возникает та же проблема, что и при составлении карт: на плоском листе бумаги нужно отпечатать изображение, которое затем будет нанесено на поверхность глобуса. Обычно развертка глобуса состоит из 12 сферических двуугольников, центры которых лежат на экваторе. Развертка выполняется в видоизмененной синусоидальной проекции. Сегодня чаще используют две развертки из 12 треугольных секторов, центры которых совпадают с одним из полюсов. Каждая развертка полностью покрывает полушарие. Современные технологии позволяют наносить сферические двуугольники сразу на материал основания глобуса.

Развертка глобуса Мартина Вальдземюллера (1507).

* * *

Глобусы широко используются в картографии, географии, мореходном деле, геодезии, океанографии, климатологии, сейсмографии и других науках. Они позволяют получить реальное представление о том, как выглядит Земля, какую форму она имеет, как ее континенты расположены относительно друг друга. Поэтому важно, чтобы во всех школах и во всех домах был хотя бы один глобус, позволяющий увидеть, как на самом деле выглядит наша планета. Кроме того, благодаря особой конструкции подставки глобуса, мы можем наблюдать за вращением Земли: та часть глобуса, которую мы видим, будет соответствовать той части планеты, где сейчас день, невидимая часть глобуса — той части, где сейчас ночь.

Хотя в теории глобус — это идеальная модель Земли, ввиду некоторых непреодолимых ограничений иногда его использование невозможно (даже если сам глобус сконструирован безупречно).

1. Глобусы хрупкие и объемные, поэтому их сложно хранить, перевозить, а иногда с ними неудобно работать.

2. Производство глобусов очень дорого (особенно это касается моделей большого размера), при этом они недостаточно удобны для изучения деталей.

3. На них сложно выполнять измерения и оценивать величины углов.

4. Глобус позволяет рассматривать только одно полушарие одновременно.

5. Изготовить печатную или электронную репродукцию части глобуса нельзя.

Равнопромежуточные проекции

В завершение этой главы мы расскажем еще об одной группе проекций, обладающих общими метрическими свойствами. Как мы уже говорили, каждый картограф мечтает о карте с постоянным масштабом (коэффициентом уменьшения), единственным искажением которой будет равномерное изменение размера. Однако мы доказали, что построить такую карту невозможно: масштаб любого изображения Земли на плоскости не является постоянным и отличается в разных точках и направлениях, поскольку любая картографическая проекция неизбежно вносит искажения. Тем не менее существуют проекции, в которых некоторое семейство кривых будет иметь постоянный масштаб, а их длина будет пропорциональна длине этих кривых, начерченных на поверхности Земли (такие кривые называются стандартными). Проекции, обладающие этим свойством, называются равнопромежуточными. Рассмотрим три примера проекций этой группы: цилиндрическую, азимутальную и коническую.

Цилиндрическая равнопромежуточная проекция

С математической точки зрения эта проекция тривиальна. В простейшем случае, когда линия касания проходит по экватору, широта и долгота точки интерпретируются как ее декартовы координаты (см. следующий рисунок). В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта участки земной поверхности, расположенные на высоких широтах, словно сжимаются, в проекции Меркатора — расширяются, а в цилиндрической равнопромежуточной проекции все параллели равноудалены друг от друга. Вдоль меридианов и экватора масштаб остается постоянным (в этом случае сетка меридианов и параллелей будет квадратной: такая проекция носит название plate саrréе). Кроме того, искажения отсутствуют вдоль меридианов и любых двух параллелей, равноудаленных от экватора (такая проекция называется равнопрямоугольной). Авторство этой проекции обычно приписывают Эратосфену, хотя Птолемей указывает, что ее создал Марин Тирский примерно в 100 году н. э. Начиная с этого времени цилиндрическая равнопромежуточная проекция благодаря простоте построения использовалась весьма часто, особенно в навигации. Она очень удобна для составления карт городов и любых малых участков земной поверхности.

Эта проекция используется в простых картах мира и в картах регионов, не содержащих много географических данных. Однако для составления более или менее подробных карт эта проекция в XX веке практически не применяется. Геологическая служба США и другие агентства обычно используют ее для индексных карт, на которых схематично указываются различные карты, включенные в сборник или атлас, и страница, на которой они находятся.

Карта, выполненная в проекции plate саrréе. Эта проекция — частный случай равнопрямоугольной проекции, в которой стандартной параллелью является экватор.

Азимутальная равнопромежуточная проекция

Это четвертая классическая азимутальная проекция. В отличие от трех вышеупомянутых она не является геометрической. Как и в других азимутальных проекциях, геодезические линии, то есть большие круги, проходящие через точку касания сферы и плоскости, изображаются на плоскости прямыми, проходящими через центр карты, при этом угол между геодезическими линиями сохраняется. Эта проекция обладает частным свойством: ее масштаб не изменяется вдоль прямых, проходящих через центр карты (это стандартные линии равнопромежуточной проекции). Иными словами, в этой проекции сохраняются расстояния от любых точек до центра карты. Кроме того, азимутальная равнопромежуточная проекция позволяет представить на одной карте поверхность всего земного шара, однако при выходе за пределы большого круга — границы полушария, проходящей через точку касания сферы и плоскости, — искажения становятся очень велики. Эта карта имеет одну особую точку, которая становится «центром мира». Все расстояния до этой точки сохраняются.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в Северном полюсе. Справа — флаг ООН.

В полярной разновидности этой проекции меридианы изображаются прямыми, исходящими из центра карты — проекции точки касания. Параллели изображаются в виде концентрических окружностей, равноудаленных друг от друга. Карта, выполненная в проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом, прекрасно нам знакома — ее можно увидеть на флаге и эмблеме Организации Объединенных Наций (ООН). Вместо Антарктиды на флаге ООН изображена оливковая ветвь. Так как построение полярной азимутальной равнопромежуточной проекции очень просто, логично предположить, что эта проекция использовалась с древности. Считается, что древние египтяне с ее помощью строили карты звездного неба, однако древнейшая из известных нам карт, выполненных в этой проекции, была изготовлена Конрадом де Диффенбахом в 1426 году. При составлении карты Земли первым эту проекцию применил Меркатор в своей знаменитой карте мира 1569 года. На ней были изображены два круга с изображениями приполярных областей. Позднее эта проекция использовалась для решения самых разных задач: она широко применяется при составлении карт отдельных полушарий и всей земной поверхности, также ее можно встретить во множестве атласов приполярных зон, изданных в последние два столетия. В этой проекции строятся карты приполярных областей, помещаемые рядом с картами мира, выполненными в других проекциях, как, например, на картах в проекции Ван дер Гринтена, выпускаемых Национальным географическим обществом, или в картах Геологической службы США.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции, с центром в Кабуле — столице Афганистана.

Так как построить косую и экваториальную разновидности этой проекции сложно, до XIX века они не рассматривались. Косая азимутальная равнопромежуточная проекция используется для составления карт континентов и карт мира с центрами в крупных городах, в отличие от экваториальной разновидности этой проекции — возможно, потому что экватор не проходит через какие-либо «важные», по мнению составителей карт, города или страны.

Эта проекция представляет большой интерес в ситуациях, когда необходимо рассмотреть расстояния или кратчайшие пути из данной точки. Например, карту в этой проекции может использовать командующий военной базы, чтобы определить, какие города попадают в зону поражения ракет, капитан корабля или самолета — чтобы определить фиксированный курс из порта или аэропорта отправления до различных частей света или, совместно с картами в проекции Меркатора (о них мы поговорим в главе 9), для прокладки курса между двумя точками. Эта проекция используется не только в навигации, но и при изучении землетрясений. Применяют ее и радисты, работающие с направленными антеннами, для определения направлений сигнала.

Коническая равнопромежуточная проекция

Как и в любой другой прямой конической проекции, полученная карта имеет форму сектора кольца, в котором меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, и разделены интервалами с одинаковыми угловыми размерами. Параллели изображаются дугами концентрических окружностей, пересекающими меридианы под прямым углом, при этом они обладают дополнительным свойством, вносимым равнопромежуточной проекцией: параллели равноудалены друг от друга, поэтому масштаб будет неизменным вдоль всех меридианов, которые, таким образом, будут стандартными кривыми этой проекции. Эта проекция не является ни конформной, ни равновеликой и не сохраняет формы.

Как и другие конические проекции, она подходит для изображения регионов с умеренным климатом. Если линия касания конуса и сферической модели Земли проходит вдоль параллели, проекция будет удобной для изображения стран и территорий, расположенных вблизи этой параллели. Для составления карт протяженных регионов, например России, Европы или Северной Америки, удобнее использовать разновидность этой проекции с двумя стандартными параллелями, проходящими по изображаемой территории.

В первой карте Птолемея использована проекция, напоминающая коническую равнопромежуточную. С севера карта Птолемея обрезана вдоль параллели легендарного острова Туле, с юга — вдоль экватора.

 

Глава 9

Проекция

Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора, несомненно, знакома многим из нас (по крайней мере, людям определенного возраста) лучше всех остальных карт. Можно сказать, что на протяжении почти четырех веков это название было нарицательным. В эпоху далеких путешествий и великих географических открытий, в XVI веке, мореплавателям и торговцам требовалась карта, которую можно было бы использовать для навигации. Такую карту создал фламандский ученый и картограф Герард Меркатор.

Созданная им проекция остается самой удобной и популярной до сих пор, недаром она легла в основу системы UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора). Эту систему используют почти все международные агентства при составлении карт большого масштаба, то есть карт участков небольшой протяженности.

Определение и картографические свойства

Средневековые карты, не имевшие научной основы и составленные без использования математических проекций, были абсолютно бесполезны в навигации и не могли применяться для каких-либо измерений. Их использование нередко вело к тому, что корабли очень сильно отклонялись от курса и даже заплывали на совершенно неизвестные территории.

* * *

ГЕРАРД МЕРКАТОР (1512–1594)

Герард Меркатор был выдающимся человеком. Он занимался как практическими дисциплинами (его можно назвать картографом, географом, каллиграфом, гравером, изготовителем измерительных инструментов и редактором), так и теоретическими науками (Меркатор проявлял интерес к математике, астрономии, космографии, изучению земного магнетизма, истории, философии и богословию). В числе разработанных им карт выделяются карта Палестины 1537 года, очевидно, созданная по причинам религиозного характера, его первая карта мира, выполненная в проекции в форме двойного сердца (автором этой проекции был Оронций Финеус), карта Европы 1554 года, выполненная в проекции Вернера, карта Меркатора 1569 года, а также глобус, датируемый 1541 годом, — самый подробный глобус того времени. Последним проектом Меркатора стала работа над картой мира, состоящей из отдельных карт разных регионов. Меркатор опубликовал первую часть своего атласа (он первым использовал термин «атлас» для обозначения собрания карт «…в честь титана Атласа, царя Мавритании, большого философа, математика и астронома») в 1585 году. В сборник вошла 51 карта. Основное внимание уделялось картам Германии, Франции и Нидерландов. В следующий том, изданный в 1589 году, Меркатор добавил 23 карты Италии и Греции. Его сын Румольд опубликовал «Атлас Меркатора» в 1595 году, добавив в него еще 28 карт различных частей Европы. В атласе Меркатора использовались самые разные картографические проекции: конические, стереографическая, проекция Сансона — Флемстида, проекции Вернера, Меркатора и многие другие.

Портрет Герарда Меркатора , выполненный в 1574 году немецким художником  Франсом Хогенбергом (1535–1590).

* * *

Первую попытку составить карты, которые можно было бы использовать в навигации, предприняли сами мореплаватели. Созданные ими карты, которые назывались портуланы, были основаны на заметках, сделанных во время путешествий, на данных астрономических наблюдений и на результатах измерений углов и румбов. При их создании использовались циркуль, транспортир, линейка и компас. Однако в портуланах не учитывались геометрические особенности сферы, то есть ее форма и кривизна, и при их составлении не применялась какая-либо картографическая проекция.

Попытки решить проблему составления навигационных карт с научной точки зрения предприняли Меркатор, Абрахам Ортелий и другие картографы того времени. Целью Герарда Меркатора было составить карту мира, пригодную для использования в навигации. Для этого карта должна была сохранять румбы (иными словами, используемая в ней проекция должна была быть конформной), а локсодромы — линии румба — должны были изображаться прямыми.

Португальский астроном и математик Педру Нуниш (1502–1578) описал и подробно изучил локсодромы (на поверхности Земли они имеют форму спиралей, закручивающихся к полюсам) в своем «Трактате о навигации» (1537). В этой книге Нуниш опроверг распространенное убеждение, согласно которому при сохранении неизменного румба судно двигалось вдоль дуги большого круга, то есть вдоль кривой минимальной длины. При прокладке курса между двумя точками Земли мореплаватели пытались следовать кратчайшему пути — ортодроме. Однако для этого требовалось постоянно изменять румб, из-за чего было нетрудно сбиться с курса. Вдоль локсодромы двигаться было удобнее — достаточно выдерживать постоянный румб, однако путь при этом получался длиннее. Уже в 1541 году Меркатор изобразил на созданном им глобусе множество локсодром.

Для построения навигационной карты требовалось решить геометрическую задачу: найти конформную проекцию, в которой локсодромы изображались бы прямыми на плоскости. Меридианы и параллели на карте должны были изображаться перпендикулярными прямыми. При подробном анализе проекции Ламберта, описанном в главе 5, мы выяснили, что равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта не является конформной, так как вносимые ею искажения вдоль меридианов, равные cosφ, не равны искажениям в направлении параллелей, 1/cosφ = secφ, где φ — широта рассматриваемой точки. Необходимо было изменить карту так, чтобы искажения вдоль меридианов и параллелей совпадали. В частности, карту в проекции Ламберта нужно «растянуть» в направлении «север — юг». Карта станет не сжатой (искажение вдоль меридианов равно cosφ, а вытянутой (новое искажение будет равно 1/cosφ = secφ). В этом заключается основная идея построения нужной карты. Если мы выразим это искажение математически, получим выражение, описывающее искомую проекцию — проекцию Меркатора:

где θ — долгота (θ 0 — долгота центрального меридиана карты), φ — широта, а для сферической модели Земли R = 1.

Современная карта, выполненная в проекции  Меркатора .

Именно это и сделал Меркатор при создании карты «Новое и улучшенное описание мира с исправлениями для использования в навигации» (Nova et aucta or bis terrae descriptio ad usum navigatum emendate accommodata) 1569 года: он построил сетку перпендикулярных друг другу меридианов и параллелей, а затем раздвинул параллели, чтобы компенсировать искажения вдоль меридианов. В результате искажения вдоль меридианов и параллелей на карте Меркатора оказались одинаковыми.

* * *

ПОРТУЛАНЫ

Карты мира, созданные в позднем Средневековье, были совершенно бесполезны для навигаторов. Мореплаватели полагались на собственные заметки, где описывались морские пути между портами, проложенные по результатам измерений, астрономических наблюдений и рекогносцировки побережий. После изобретения в XII веке компаса эти заметки стали более точными, начали появляться штурманские книги, в которых приводилась подробная информация о расстояниях и румбах. В какой-то момент на основе этих заметок начали создаваться карты побережий с информацией для мореплавателей — так называемые портуланы, которые стали первыми навигационными картами. На портуланах подробно описывались побережья и самым тщательным образом изображались порты, элементы рельефа и все, что представляло опасность для мореплавателей. Географические названия записывались перпендикулярно линии побережья, внутренние территории, как правило, оставались пустыми. На портуланах также изображались компасы и розы ветров, в которых сходились многочисленные линии румбов, внешне напоминавшие паутину, а также указывался масштаб карты. Мореплаватель с помощью линейки проводил прямую, соединявшую порт отплытия и порт назначения, после чего посредством параллельного переноса построенной прямой до ближайшей розы ветров определял румб, которым нужно было следовать. Хотя эти карты, в особенности карты средиземноморского побережья, были достаточно точными, картографическая информация в них была, очевидно, приближенной. На портуланах не учитывалась кривизна Земли, а при их построении не применялась какая-либо картографическая проекция.

Карта Европы и Средиземного моря из «Каталанского атласа» 1375 года. На иллюстрации представлена копия, выполненная в XIX веке.

* * *

Оригинальная карта  Меркатора 1569 года.

В статье Джерома Сакса «Любопытная смесь карт, дат и имен» (A Curious Mixture of Maps, Dates, and Names, 1987) отмечается, что хотя в математическом уравнении проекции Меркатора используется логарифм, Джон Непер опубликовал свой труд о логарифмах лишь в начале XVII века. Кроме того, чтобы вывести уравнения проекции Меркатора, требовалось использовать методы математического анализа и дифференциальной геометрии, однако Ньютон и Лейбниц родились спустя 50 лет после смерти Меркатора, а Гаусс создал дифференциальную геометрию лишь в начале XIX века. Как же Меркатор составил свою карту в 1569 году? Видимо, не располагая методами, которые появились в математике позднее, он обладал обширными знаниями в области картографии и, как следствие, развитой интуицией.

Методы Меркатора были чисто практическими и основывались на огромных таблицах с данными. При этом он не оставил никаких технических описаний процесса построения карты и соответствующих навигационных таблиц и тем более не создал практического руководства по использованию его карты для навигации. Возможно, по этой причине, а также потому, что мореплаватели считали Меркатора представителем чуждого им мира ученых, эта карта обрела широкую популярность лишь 300 лет спустя. До этого карта Меркатора использовалась считанное число раз: так, друг Меркатора, картограф Абрахам Ортелий, включил в свой атлас «Зрелище шара земного» (Teatrum orbius terrarum, 1570) восемь карт, выполненных в проекции Меркатора.

Математическое описание этой проекции дал кембриджский математик Эдвард Райт (1561–1615) . В книге «Ошибки в навигации, обнаруженные и исправленные» (1599, в 1610 году было выпущено дополненное издание) он не только привел новые навигационные таблицы и инструкции по определению фиксированных румбов на картах, составленных в проекции Меркатора, но и объяснил построение подобных карт. Он представлял сферическую модель Земли как полый шар, заключенный внутри цилиндра, касающегося шара на экваторе. Затем в этот шар закачивают воздух так, что он всё больше соприкасается с поверхностью цилиндра. Точки соприкосновения шара и цилиндра являются проекциями точек земной сферы.

Проекция Меркатора распространялась довольно медленно. Голландский картограф Петер Планциус использовал ее в 1594 году при составлении навигационных карт, а Иодокус Хондиус — при построении карты «Изображение всего круга земного» (Typus totus orbis terrarum, 1597) и других. И лишь в 1646–1647 годах в этой проекции Робертом Дадли был создан первый в истории морской атлас.

Карта «Изображение всего шара земного» (Typus totus orbis terrarum, 1597), также известная как «карта рыцаря Христова»  Йодокуса Хондиуса , выполненная в проекции Меркатора . В средней части карты вы можете видеть рыцаря Христова, который сражается с Грехом, Сладострастием, Дьяволом и Смертью. Кроме того, Мир подносит ему чашу с ядом вавилонской блудницы, которая иногда использовалась как символ католической церкви.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЕКЦИИ МЕРКАТОРА

Чтобы оценить, на каком расстоянии от экватора должны изображаться параллели в проекции Меркатора, будем постепенно увеличивать широту, на которой мы будем применять соответствующий коэффициент масштаба. Если мы начнем отсчет с параллели широтой  φ  и будем откладывать небольшие интервалы длиной t , получим последовательность точек широтой t , 2 t ….,  φ — t , φ  , через которые будут проходить параллели. Так как искажение в направлении меридиана для широты α , как мы уже отмечали, должно равняться искажению вдоль параллели, равному sec  φ , то искажение вдоль вертикали в отмеченных нами точках будет равно sec t , sec (2 t ),  sec ( φ — t ), sec φ . Так как длина дуги сферы, заключенной между отмеченными точками, равна t , то высота, на которой будет проходить параллель широтой φ , будет равна:

t · sec t + t · sec (2 t ) +… + t · sec ( φ — t ) + t · sec φ .

Допустим, мы хотим оценить высоту, на которой будет проходить параллель широтой φ  = 60°. Предположим, что выбранные интервалы имеют величину t  = 10°. Так как sec 10° = 1,0154, sec 20° = 1,0642, sec 30° = 1,1547, sec 40° = 1,3055, sec 50° = 1,5557 и sec 60° = 2,0000, умножив эти числа на 10 и сложив полученные значения, получим 80,955. Иными словами, параллель широтой 60° должна будет проходить на высоте, на которой располагалась бы параллель широтой 80,955°, если бы параллели были равноудалены друг от друга.

Именно так рассуждал Эдвард Райт, можно предположить, что похожие рассуждения провел и Меркатор. Рассмотрим задачу в более современном виде. Для цилиндрической проекции, 30° в которой экватор является осью х , а параллель широтой  φ — горизонтальной линией, проходящей на высоте у  = h ( φ ), коэффициент масштаба (искажения) в направлении меридианов  λ должен быть равен коэффициенту масштаба вдоль параллелей  μ  = 1/cos  φ = sec  φ . Получим:

Имеем

* * *

Вернемся к проекции Меркатора и напомним, что карта, выполненная в этой проекции, имеет следующие свойства.

1. Она имеет прямоугольную форму, так как выполнена в цилиндрической проекции.

2. Меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами.

3. Карта выполнена в конформной проекции, которая не сохраняет расстояния, площади, геодезические линии и формы протяженных участков.

4. Искажения площадей, форм и расстояний вблизи экватора очень малы (в этой части карты используется реальный масштаб), но они значительно возрастают по мере приближения к полюсам, поэтому проекция Меркатора удобна для составления карт территорий, расположенных вблизи экватора.

5. Локсодромы, или линии румба, изображаются в виде прямых линий.

Сравнение локсодромы (линии румба) и ортодромы (линии наименьшего расстояния) между Рио-де-Жанейро и Сеулом на карте Меркатора .

С созданием этой карты мечта Меркатора исполнилась. Если мореплаватель хотел попасть из точки А в точку В, он должен был всего лишь провести на карте, выполненной в проекции Меркатора, прямую, соединяющую эти точки, и измерить румб, соответствующий этой прямой, после чего ему оставалось всего лишь точно соблюдать курс. Однако вы уже знаете, что локсодромы — это не ортодромы, и хотя они указывают простейший курс (нужно всего лишь выдерживать постоянный румб), путь вдоль локсодромы не является кратчайшим. Двигаться вдоль ортодромы сложнее, так как для этого необходимо постоянно менять румб. Мореплаватели и пилоты самолетов в конечном итоге нашли промежуточное решение этой проблемы. Чтобы попасть из пункта отправления в пункт назначения, нужно выполнить следующее.

1. Провести геодезическую линию (прямую) на карте, выполненной в центральной или азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в пункте назначения.

2. Разбить геодезическую линию на фрагменты и определить тем самым последовательность стратегических точек.

3. Перенести эти точки на карту, выполненную в проекции Меркатора, и соединить их прямыми. Построенные прямые будут локсодромами и укажут румб, который нужно выдерживать в каждой из стратегических точек.

Метод приближения большого круга с помощью локсодром, который используется в навигации по карте Меркатора, а также, например, карты, выполненной в гномонической проекции.

Нет никаких сомнений в том, что проекция Меркатора была и остается лучшей для составления навигационных карт с момента своего появления в XVII веке. Эту проекцию используют Национальная служба по исследованию океана США (с 1910 года), Гидрографический институт Испании и многие другие авторитетные организации.

Проекция Меркатора играла огромную роль в эпоху морских путешествий. Она очень часто использовалась при составлении карт мира и была одной из самых популярных картографических проекций вплоть до начала XX века, хотя она и вносит очень большие искажения в областях, близких к полюсам. Сегодня на основе этой проекции изготавливаются настенные карты, карты в учебниках и атласах, в научно-популярных публикациях, в газетах и журналах. Американский картограф Джон Снайдер (1926–1997) из Геологической службы США, изучив различные атласы мира, опубликованные в США, Великобритании, Франции и Германии в XIX веке, определил, что чаще всего в них использовалась проекция Меркатора. Однако похожее исследование, проведенное в XX веке, показало, что начиная с 1940-х годов эта проекция практически перестала использоваться. Ей на смену пришли такие проекции, как гомолосинусоидальная проекция Гуда, тройная проекция Винкеля, проекция Робинсона, Eckert IV, проекция Ван дер Гринтена и другие.

* * *

ПУТЕШЕСТВИЕ ЧАРЛЬЗА ЛИНДБЕРГА

Американский авиатор  Чарльз Линдберг (1902–1974) стал известен во всем мире как первый человек, перелетевший в одиночку Атлантический океан. В 1919 году богатый владелец нью-йоркского отеля предложил премию в 25 тысяч долларов пилоту, который первым совершит одиночный беспосадочный перелет из Нью-Йорка в Париж. Линдберг верил, что если у него будет подходящий самолет, он сможет выиграть приз, и убедил нескольких бизнесменов из Сент-Луиса спонсировать предприятие, включавшее постройку особого самолета «Дух Сент-Луиса» под руководством самого Линдберга.

20 мая 1927 года Линдберг отправился в полет с аэродрома на Лонг-Айленде, «взяв с собой четыре сэндвича, две фляжки с водой и 1700 литров бензина. Спустя 33,5 часа и 3610 миль (около 5800 км) он приземлился в Париже на глазах ожидавшей его стотысячной толпы. Линдберг, получивший прозвище Одинокий Орел, стал известен во всем мире. Свой полет он тщательно спланировал с помощью навигационных карт. Вот его слова: «…большую часть времени, когда строился самолет, я занимался навигацией и прокладывал курс будущего полета на картах. После того как я определил курс на картах, выполненных в гномонической проекции и проекции Меркатора, я вновь проверил весь путь между Нью-Йорком и Парижем по навигационным таблицам. Я начертил большой круг, соединявший Нью-Йорк и Париж. Чтобы следовать этим курсом, требовалось менять румб каждые 500 миль».

* * *

Поскольку в проекции Меркатора экваториальные зоны изображаются практически без искажений, она очень удобна для составления карт этих областей. Она использовалась в морских картах, составленных лейтенантом американского флота Мэтью Фонтеем Мори (1806–1873) . В этих картах содержалась информация о погоде, ветрах, течениях и другие результаты гидрологических и метеорологических наблюдений, а также были указаны морские пути.

Наконец, укажем, что проекция Меркатора используется при построении карт мира в некоторых современных интернет-проектах, в частности «Картах Google» и Virtual Earth. Пользователь этих интерактивных карт может просматривать увеличенное изображение малых областей, которые отображаются практически без искажений. Причина в том, что проекция Меркатора является конформной, то есть на локальном уровне, для небольших областей, вносимые ею искажения невелики.

Поперечная проекция Меркатора

Если мы повернем цилиндр, на который проецируется сфера, на 90° так, что линией касания будет меридиан, то получим поперечную проекцию Меркатора с центром на этом меридиане. Эта проекция также будет конформной и не будет вносить больших искажений в областях, близких к касательному меридиану. Поперечная проекция очень удобна для изображения участков Земли, протяженных с юга на север, например Американского континента или Индии.

Эту картографическую проекцию впервые описал Ламберт в 1772 году. Позднее, в 1822 году, эллипсоидную разновидность этой проекции изучили Карл Фридрих Гаусс и математик и топограф Луис Крюгер (1857–1923) , поэтому она также называется проекцией Гаусса — Крюгера. Она обладает следующими свойствами.

1. Меридианы, параллели и, в общем случае, локсодромы изображаются кривыми линиями.

2. Проекция конформна: она сохраняет углы и формы на локальном уровне.

3. Искажения в областях, близких к центральному меридиану, очень малы (вдоль центрального меридиана искажения отсутствуют) и постепенно растут по мере удаления от него.

Карта Америки, выполненная в поперечной проекции  Меркатора . Это изображение привел Ламберт  в качестве примера созданной им проекции.

Как следствие, эта проекция идеально подходит для составления карт участков, протяженных с севера на юг, а также для небольших областей — достаточно правильно выбрать центральный меридиан, проходящий через изображаемую территорию. Именно эта проекция использовалась в различных атласах при составлении карт Северной Америки, западной части бывшего СССР, Индии, стран Востока, Юго-Восточной Азии, восточной части Австралии и Африки. Она широко применяется почти всеми европейскими странами. Так как проекция прекрасно подходит для изображения небольших территорий, она легла в основу системы топографических координат, в частности британской системы координат (1919) и американской системы SPCS (1930). В своем окончательном виде, который на сегодняшний день является универсальным, система координат была разработана в 1947 году Картографической службой армии США. Эта система получила название UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора).

В UTM поверхность земного шара между 84° с.ш. и 80° ю.ш. разделена на 60 зон по 6° долготы. При изображении каждой из этих зон используется поперечная проекция Меркатора, центральный меридиан которой проходит по центру изображаемой территории. Зоны пронумерованы от 1 до 60. С севера на юг земная поверхность разделена на 20 зон по 8° широты, которые обозначены буквами. Так, Бильбао находится в зоне UTM ЗОТ, Нью-Йорк — в зоне 18Т, Сидней — в зоне 56Н, Александрия — в зоне 35R. Для приполярных областей, расположенных севернее 84° с.ш. и южнее 80° ю.ш., используется система UPS (универсальная полярная система координат).

Систему UTM использует большинство топографических, геодезических, картографических служб мира, военных и морских министерств для составления карт в масштабе 1:500000 и более. В национальной топографической карте Испании, составленной Национальным географическим институтом и являющейся основой для всех карт страны, используется система UTM для карт в масштабе 1:200000, 1:50000, 1:25000 и более. Геологическая служба США (USGS) использует эту систему координат с 1977 года.

Карта зон UTM. Если мы хотим составить топографическую карту местности, где мы находимся, нужно посмотреть, в какой зоне UTM она располагается, чтобы правильно выбрать проекцию Меркатора .

Косая проекция Меркатора

Можно рассмотреть и косую проекцию Меркатора, в которой линия касания цилиндра и сферической модели Земли проходит вдоль произвольного большого круга, который не является экватором или меридианом. Косая проекция Меркатора, очевидно, также конформна: искажения в областях, близких к большому кругу касания, малы. Благодаря этому свойству проекция подходит для изображения областей, протяженных вдоль выбранного большого круга.

Происхождение этой проекции не вполне ясно. Первыми ее использовали Макс Розенмунд при составлении карты Швейцарии в 1903 году и Жан Лабор при составлении карты Мадагаскара в 1928 году. Начиная с этого времени косая проекция Меркатора используется на картах Американского континента и его частей, картах Евразии, Австралазии и более мелких регионов, в частности Вест-Индии (Багамских и Антильских островов), Гавайских островов, Новой Зеландии, Италии и Аляски. Эту проекцию применяют Национальное географическое общество и другие службы.

XX век стал периодом развития грузового и пассажирского транспорта. Все новые и новые авиакомпании покрывали огромные расстояния и даже предлагали клиентам трансатлантические перелеты. Эти маршруты по возможности прокладывались вдоль больших кругов — чтобы сократить время в пути и сэкономить горючее.

Аэронавигационные карты — это, как правило, складные карты, ориентированные вдоль направления, соединяющего аэропорт вылета и аэропорт прилета, на которых узкой полосой показаны территории, расположенные вдоль маршрута, поэтому с точки зрения картографии они не очень интересны. Косая проекция Меркатора по своим свойствам идеально подходит для прокладки курсов самолетов вдоль больших кругов. Так, в 1947 году Национальная служба по исследованию океана США применила эту проекцию для составления первой аэронавигационной карты маршрута, проходившего вдоль большого круга и соединявшего Чикаго и Гандер. В те времена аэропорт города Гандер на острове Ньюфаундленд был обязательным местом дозаправки при трансатлантических перелетах. На этой карте был не только изображен маршрут вдоль ортодромы — ее также можно было использовать для прокладки нового курса и измерения расстояний по маршруту, так как искажения расстояний и углов на этой карте были невелики.

Аэронавигационная карта маршрута Чикаго — Гандер, выполненная в косой проекции Меркатора .

С началом запуска спутников NASA в 1972 году эта картографическая проекция получила новое применение. Спутники, которые движутся по орбите, близкой к большому кругу земного шара, начали делать снимки земной поверхности. Эти снимки отличались от полученных при аэрофотосъемке и представляли собой результат сложного анализа земной поверхности. Огромные массивы полученной информации требовалось преобразовать в плоские изображения, то есть карты, с минимально возможными искажениями. Чтобы решить задачу составления карт на основе спутниковых изображений, Джон Снайдер, Алден Колвокорессес и Джон Джанкинс из USGS в 1976 году разработали космическую косую проекцию Меркатора на основе обычной косой проекции Меркатора.

Петерс против Меркатора

История, которой мы закончим эту книгу, началась примерно в 1967 году, когда немецкий историк Арно Петерс представил на конгрессе Венгерской академии наук свою «новую» проекцию. Расскажем немного о ней.

Шотландский священник Джеймс Галл (1808–1895) на конференции 1855 года описал проекцию, идентичную проекции Петерса, которая известна как ортографическая проекция Галла, и опубликовал описание этой и двух других картографических проекций своего авторства в «Шотландском географическом журнале» в 1885 году. Галл разрешил бесплатно использовать все три созданные им проекции при условии указания авторства.

Карта, выполненная в ортографической проекции Галла , или  Галла — Петерса , и изображение секущего цилиндра, на поверхность которого проецируется поверхность сферы.

Эта проекция строится аналогично равновеликой цилиндрической проекции Ламберта, которую мы рассмотрели в главе 5, с одним отличием: вместо цилиндра, касающегося сферической модели Земли вдоль экватора (в прямой разновидности этой проекции), используется цилиндр, рассекающий сферу вдоль двух параллелей. В ортогональной проекции Галла, которая в конечном итоге стала называться проекцией Галла — Петерса, параллели пересечения цилиндра и сферы, которые являются стандартными линиями карты, отстоят от экватора на 45° широты. Эта проекция является равновеликой, подобно другим похожим проекциям, которые отличаются от нее расположением стандартных параллелей. Так, в проекции Бермана 1910 года стандартные параллели отстоят от экватора на 30°, в проекции Тристана Эдвардса 1953 года — на 37° и 52°, в проекции Хобо — Дайера 2002 года — на 37°.

* * *

АРНО ПЕТЕРС (1916–2002)

Согласно записи в метрической книге, Арно Петерс родился в Берлине в 1916 году. Он изучал историю, историю искусства и журналистику в Берлинском университете. В бурные 1930-е годы Петерс работал режиссером, в 1945 году получил степень доктора, защитив диссертацию о политической пропаганде под названием «Использование кино как средства пропаганды», а также работал журналистом. Петерс вошел в историю как создатель «справедливой» и точной карты мира — знаменитой карты Петерса, подробно описанной в его книге «Новая картография». Главной работой Петерса, не относящейся к картографии, стал труд «Синхронно-оптическая история мира», в котором он изложил историю человечества, посвятив каждому столетию одинаковое число страниц. В 1974 году он стал сооснователем Бременского института всеобщей истории.

* * *

Цилиндрические равновеликие проекции. Стандартные параллели расположены на разных широтах в зависимости от того, как цилиндр проекции рассекает сферическую модель Земли.

Арно Петерс представил свою проекцию как оригинальную. Когда ему напомнили, что Галл создал аналогичную проекцию на сто лет раньше него, Петерс возразил, что создал ее самостоятельно и совершенно независимо от кого бы то ни было. Научное сообщество не уделило проекции Петерса особого внимания, но не по личным причинам, а потому, что она не была принципиально новой либо оригинальным вариантом одной из уже существующих проекций. В науке ценится нечто исключительно новое — теоремы, гипотезы или доказательства. Например, ученые часто приводят новые доказательства уже доказанных математических теорем, более простые и понятные, чем исходные, либо сформулированные с использованием каких-то новых методов.

В 1973 году, когда Петерс рассказал о своей проекции на пресс-конференции в Бонне, история получила продолжение. Петерс передал журналистам копии своей карты мира и брошюру «Европоцентричная природа нашего изображения мира и его завоеваний», представив свою карту как единственно правильную с точки зрения социологии и картографии в отличие от проекции Меркатора. Основной аргумент Петерса заключался в том, что проекция Меркатора искажает площади различных частей земного шара, и страны так называемого третьего мира (Африка, Центральная и Южная Америка) на ней выглядят меньше, чем государства так называемого первого мира (Северная Америка, Европа и Россия). Страны третьего мира населяют люди с темным цветом кожи, страны первого мира — люди с белым цветом кожи, поэтому проекция Меркатора является расистской и от нее следует отказаться, утверждал Петерс. После этого Петерс представил «свою» карту мира как единственно возможную альтернативу.

Пресс-конференция дала начало дебатам, в ходе которых средства массовой информации (сравнивавшие Петерса с Давидом, вышедшим на бой против Голиафа) и некоторые гуманитарные и религиозные организации, не принимая в расчет научные критерии, отстаивали правильность карты Петерса. Несколько лет спустя такие организации, как Всемирный совет церквей, Лютеранская церковь Америки, различные агентства Организации Объединенных Наций и некоторые международные негосударственные организации начали использовать проекцию Петерса и способствовать ее распространению. Выдвигались следующие мнения:

«Проекция Меркатора переоценивает белого человека и искажает изображение мира в пользу сторонников колониализма» (Петерс);

«Это карта будущего справедливого мира»;

«[Петерс,] неизменно движимый стремлением к справедливости, выбрал путь картографии, чтобы создать образ мира, в котором каждый народ занимает соответствующее место как с географической, так и с политической точки зрения»;

«В карте Петерса исправлены ошибки карты Меркатора […] она точнее с научной точки зрения».

Петерс воспользовался доверчивостью людей и отсутствием у них даже начальных знаний о картографии. В результате его карта стала считаться «единственной справедливой картой» и, что еще хуже, «единственной точной картой» с точки зрения математики и картографии.

Искажение площадей в областях, близких к полюсам, в проекции  Меркатора очень велико. К примеру, Гренландия выглядит больше, чем Африка, хотя площадь Гренландии составляет всего лишь около 2175 000 км 2 по сравнению с площадью африканского континента, равной 29 800 000 км 2 .

Петерс, который был докой в пропаганде, свел обсуждение к противостоянию между «расистской» картой Меркатора и своей «справедливой» картой, умолчав о более сложных картографических аспектах, в том числе о научном подходе к составлению карт и о существовании сотен различных проекций, которые можно использовать в разных целях и многие из которых являются равновеликими. Кроме того, в книге «Новая картография» (1983) Петерс поместил истинные утверждения (например, что карта Меркатора искажает площади и центральным в ней является Гринвичский меридиан или что проекция Петерса является равновеликой) рядом с ложными (так, он указывал, что равновеликие проекции, созданные до него, «были столь неудобны и содержали столько ошибок…» или что карта Петерса обладает «достоверностью масштаба»), применив псевдонаучный язык.

В то время общество уже было готово использовать карты мира, составленные в проекциях, отличных от проекции Меркатора: картографы прекрасно понимали, что эта проекция превосходна, но не подходит для изображения всей планеты из-за больших искажений в определенных областях. Петерсу удалось положить конец многолетней популярности проекции Меркатора и вывести на первый план свою карту, оставив в стороне широчайший спектр картографических проекций, сохраняющих площади (например, гомолосинусоидальную проекцию Гуда, проекцию Моллвейде, синусоидальную проекцию Сансона-Флемстида и проекцию Eckert IV), другие параметры (например, равнопрямоугольную проекцию Миллера) и иные компромиссные варианты с очень малыми вносимыми искажениями (например, проекции, использованные Национальным географическим обществом, проекция Артура Робинсона 1961 года и тройная проекция Винкеля 1921 года).

Тройная проекция  Винкеля — это компромиссное решение: она не сохраняет ни одно из метрических свойств, однако вносимые ею искажения невелики.

* * *

ПРОЕКЦИЯ ДИМАКСИОН

Ричард Бакминстер Фуллер, создатель геодезического купола, разработал собственную картографическую проекцию. Его идея заключалась в проецировании земной поверхности на правильный или полуправильный многогранник с последующим развертыванием этого многогранника на плоскости. В проекции Димаксион (от англ.  DYnamics MAXimum tensiON — «максимальное динамическое растяжение»; это название не является торговой маркой, а выражает основной принцип, которым руководствовался Фуллер), запатентованной в 1946 году, Фуллер использовал кубоокгаэдр (многогранник, имеющий восемь треугольных и шесть квадратных граней), а в версии этой проекции от 1954 года он применил слегка видоизмененный икосаэдр (многогранник, имеющий 20 треугольных граней). Использованная Фуллером проекция не является гномонической, а определяется построением, подобным тому, что используется при изображении геодезического купола. Для карты, составленной в проекции Димаксион, характерны малые искажения площадей и форм. Кроме того, вносимые ею искажения достаточно равномерны. Хотя многогранник, используемый в этой проекции, можно развернуть на плоскости разными способами, как правило, используется развертка, в которой Северный полюс оказывается примерно в центре карты. На карте в проекции Димаксион изображен мир, в котором нет ни севера, ни юга. Эту карту можно рассматривать с любой стороны, а континенты выглядят не разделенными частями суши, а скорее островами посреди океана.

Карта в проекции Димаксион , выполненная на основе икосаэдра. Пунктиром отмечены линии сгиба.

* * *

Возмущение научного мира было вызвано, с одной стороны, тем, что общество пренебрежительно отнеслось к их работам в области картографии, с другой стороны — тем, что Петерс при защите своей проекции умело манипулировал аргументами. Существование проекций, сохраняющих площади, доказывается в статье Ламберта от 1772 года, в которой он представил свою равновеликую цилиндрическую проекцию, а также еще одну, азимутальную. Позднее было описано множество других равновеликих проекций. Кроме того, проекция Галла — Петерса сохраняет площади, однако искажение форм на ней очень велико: территории, изображенные в центре карты, значительно вытягиваются в направлении «север — юг», а участки земной поверхности, расположенные севернее 45° с.ш. и южнее 45° ю. ш. — сжимаются. По иронии, искажение форм заметнее всего проявляется на территории Африки, Центральной и Южной Америки, а на территории Европы, США и Канады, которые находятся ближе к параллели 45° с.ш., искажения меньше. Приведем несколько любопытных цитат и карту в проекции Снайдера:

«[Карта мира в проекции Петерса] не лучше других, похожих карт, которые использовались последние 400 лет»;

«Проекция Петерса, по-видимому, перешла в ту же плоскость, что и «единственная вера» или «лекарство от всех болезней». В попытках привлечь интерес общества к своей карте Петерс забыл об объективности и важных научных фактах».

Карта мира, выполненная в гомолосинусоидальной проекции Гуда , сохраняющей площади, начала использоваться в атласах мира, а также в научных и научно-популярных публикациях, в СМИ и в учебниках. Эта проекция остается популярной и сегодня.

Карта Снайдера, представленная на иллюстрации, не без доли юмора и иронии показывает, что одного лишь сохранения площадей на карте недостаточно: необходимо учитывать и другие параметры. Кроме этого, важно уделять внимание сохранению форм стран и континентов.

Как бы то ни было, в этой книге мы доказали, что точных карт Земли не существует: все они вносят те или иные искажения. Существует несколько сотен различных проекций: так, в книге «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth) Джона Снайдера описывается порядка 300 их вариантов. При составлении атласа мира, содержащего карты в различных масштабах (то есть карты мира и отдельных континентов, стран и мелких регионов), для каждой карты в отдельности следует выбрать наиболее подходящую проекцию.

 

Эпилог

В последние годы в картографии наблюдается значительный прогресс благодаря использованию спутниковых снимков, GPS-навигаторов и множества средств, доступных в интернете, начиная от всем известных и очень подробных «Карт Google» и заканчивая интересным проектом SIGPAC (Система геоинформации о земельных участках Министерства окружающей среды, сельского хозяйства и морского транспорта Испании). И мы еще не говорим о других, менее известных проектах, например OpenStreetMap, Bing Maps, Yahoo Local Maps или Mappy.com. Теперь многие полагают, что «мир карт мертв». Те, кто разделяет эту точку зрения, думают, что с появлением современных компьютерных карт классические бумажные карты устарели. Они считают, что для создания компьютерных карт не нужны картографические проекции.

Однако это совершенно не так. Новые доступные нам средства предоставляют широчайшие, немыслимые возможности, о которых в эпоху бумажных карт никто и не подозревал. Компьютерные инструменты, как правило, интерактивны, ими можно пользоваться где угодно. Однако их создание было бы невозможным без всех открытий, совершенных картографами. Для создания любой современной цифровой карты по-прежнему необходимо использовать картографические проекции и картографические методы. Например, спутниковые изображения, которые мы видим, — это не фотографии, сделанные из космоса. Эти изображения создаются следующим образом: сначала спутник сканирует земную поверхность и собирает множество данных, на основе которых формируется изображение в одной из картографических проекций (будь то космическая косая проекция Меркатора или любая из тех, о которых мы рассказали в этой книге). В «Картах Google» используется проекция Меркатора, поскольку она является конформной и сохраняет формы на локальном уровне, а это очень удобно при создании интерактивных карт, в которых пользователи могут просматривать отдельные участки в увеличенном виде. Карты, встроенные в GPS-навигаторы, в свою очередь, построены в системе проекций UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора) или с использованием любой другой картографической проекции.

Новые цифровые карты — это мощные средства передачи картографической информации. Однако информация, которая в них содержится, по сути, осталась прежней. Новые средства цифровой картографии — это всего лишь последний, хотя, возможно, наиболее заметный этап прогресса в картографии.

 

Библиография

DILLER, A., «The Ancient Measurements of the Earth», Isis, vol. 40, n°1 (feb. 1949), págs. 6–9.

FEEMAN, T.G., Portraits of the Earth, A mathematician Looks at Maps, AMS, Providence, 2002.

FURUTI, C., Map projections (página web):

IbÁNEZ, R., «Lo que Euler le dijo al cartógrafo» (1a  parte), Revista SIGMA, n° 27, págs. 81-106, 2005.

MONMONIER, M., Rumb lines and map wars, Chicago, The University of Chicago Press, 2004.

OSSERMAN, R., La poesía del universo, Barcelona, Crítica, 1997.

PETERS, A., La nueva cartografía, Barcelona, Vicens Vives, 1992.

POLKING, J.C., Mapping the Sphere, Houston, Rice University (página web):

RAISZ, E., Cartografía General, Barcelona, Omega, 1985.

RICKEY, V.F., «How Columbus Encountered America», Washington, Mathematics Magazine, 65, n° 4 (oct.1992), págs. 219–225.

ROBINSON, A.H. ET AL., Elements of Cartography, New Jersey, John Wiley and Sons, 1953 (sexta edición, 1995).

ROMERO, F., Benavides, R., Mapas antiguos del mundof Madrid, Edimat Libros, 1998.

RUIZ MORALES, M., RUIZ BUSTOS, M., Forma у dimensiones de la Tierra: síntesis у evolución histórica, Barcelona, Ediciones del Serbal, 2000.

SNYDER, J.P., Map Projections, A Working Manual, Reston, USGS Professional Paper 1395,1987.

—: Flattening the Earth, Two Thousand Years of Map Projections, Chicago, The University of Chicago Press, 1993.

SOBEL, D., Longitud, Madrid, Debate, 1997.

TAYLOR, A., El mundo de Gerard Mercator, el cartóografo que revolucionoó la geografía, Barcelona, Ed. Juventud, 2007.

VV.AA., Maps, Introduction to Pure Mathematics M203, Open University (vídeo).

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 26

Рауль Ибаньес

Мечта об идеальной карте. Картография и математика

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор:  Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Выпускающий редактор: Людмила Виноградова

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу:  Михаил Ткачук

Менеджер по продушу: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт , по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:

8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей:  Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30, «Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение:

ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг н по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт , по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей: 

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»

Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: (+375 17) 331-94-41

Телефон «горячей линии» в РБ:

+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 28.05.2014

Дата поступления в продажу на территории России: 15.07.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5.

Усл. печ. л. 7,128.

Тираж: 34 600 экз.

© Raul Ibanez, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2011

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0721-2 (т. 26)