Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта, также называемая проекцией Архимеда (возможно, она была уже известна этому греческому математику), — одна из семи проекций, предложенных математиком Иоганном Генрихом Ламбертом в книге «Примечания и комментарии о составлении земных и небесных карт» (1772). Возможно, эта книга стала первым математическим трудом, в котором были подробно исследованы картографические проекции с применением нового метода — математического анализа. В ней были представлены следующие проекции (перечислим их под современными названиями в том же порядке, что и в книге Ламберта).

1. Равноугольная коническая проекция Ламберта.

2. Проекция Лагранжа.

3. Поперечная проекция Меркатора.

4. Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта.

5. Равновеликая цилиндрическая поперечная проекция.

6. Равновеликая азимутальная проекция Ламберта.

7. Равновеликая коническая проекция Ламберта.

Проекции номер 1, 3 и 6 используются в последнем столетии наиболее часто. Хотя равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта не представляет особого интереса в картографии, на ее основе созданы другие, более популярные проекции.

Важность проекции Ламберта обусловлена скорее ее простотой и множеством геометрических свойств, поэтому именно она чаще всего используется в книгах по картографии в качестве примера равновеликой проекции.

Определение и картографические свойства

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта при проецировании сферы на касающийся ее цилиндр определяется так: проекция любой точки сферы А — это точка цилиндра А' такая, что она является точкой пересечения поверхности цилиндра с прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной оси цилиндра, как показано на рисунке. Эта проекция, очевидно, является геометрической, а Землю мы представляем как полупрозрачный пластиковый шар. Проекция земной поверхности на поверхность цилиндра образуется, если мы поместим источник света вдоль всей оси цилиндра, окружив ее линзой, которая пропускает только лучи света в горизонтальной плоскости, то есть перпендикулярно оси цилиндра.

В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта  точки земной сферы горизонтально проецируются на поверхность цилиндра, касающегося сферы. Затем цилиндр разрезается по меридиану и разворачивается на плоскости.

* * *

ИОГАНН ГЕНРИХ ЛАМБЕРТ (1728–1777)

Иоганн Генрих Ламберт родился в немецком городе Мюльхаузен в провинции Эльзас (в настоящее время — Мюлуз, Франция), куда члены его семьи переехали по религиозным причинам: они были кальвинистами. В 12 лет Ламберту пришлось оставить школу и помогать отцу-портному, но в свободное время Ламберт продолжал учиться самостоятельно. Позднее он работал клерком в сталелитейной мастерской, а в 1746 году занял должность частного секретаря швейцарского философа Исаака Изелина (1728–1782) в Базеле. Двумя годами позже он стал преподавателем в доме графа Питера фон Салиса в Куре. В этой должности у него оставалось достаточно свободного времени, чтобы заниматься математикой, астрономией и философией, а также пользоваться книгами из превосходной графской библиотеки.

Ламберт был исключительным математиком: он доказал иррациональность числа  π и предположил, что числа е и  π трансцендентны, то есть их нельзя представить как корни многочлена с целыми коэффициентами. Он одним из первых изучил проблему, связанную с пятым постулатом Евклида. Ламберт предположил, что пятый постулат ложен, и получил результаты, относящиеся к неевклидовой геометрии. Он занимался гиперболическими функциями, проводил важные исследования в сферической геометрии, картографии и науке о перспективе, а также совершил важные открытия в теории вероятностей. Интересы Ламберта не ограничивались исключительно математикой: он также был автором важных работ по физике, астрономии и философии.

* * *

Если мы примем радиус земной сферы равным единице и будем считать, что цилиндр касается ее в точках, лежащих на экваторе, то ось цилиндра будет проходить через Северный и Южный полюса. После построения проекции сферы на поверхность цилиндра он разрезается по меридиану и разворачивается на плоскости. Эта развертка цилиндра на плоскости является изометрической и сохраняет все интересующие нас метрические свойства. Первую карту мира в этой проекции составил Иоганн Генрих Ламберт в 1772 году.

Карта, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта (1772).

Далее перечислены некоторые свойства карты, выполненной в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта.

1. Она имеет прямоугольную форму, как и все карты, выполненные в цилиндрических проекциях.

2. Меридианы и параллели отображаются как прямые, они имеют равную длину (но не равны между собой) и перпендикулярны друг другу.

3. Меридианы распределены равномерно вследствие того, что масштаб во всех точках каждой параллели постоянен, однако масштабы на разных параллелях отличаются. Параллели распределены неравномерно и сближаются друг с другом по мере приближения к полюсам.

4. Так как проекция является равновеликой, она сохраняет площади (с учетом коэффициента масштаба поверхности). Этот коэффициент возникает при уменьшении размеров земной сферы (то есть при гомотетии) и постоянен во всех точках карты. Однако величины углов и геодезические линии не сохраняются.

3. Искажение форм, углов и расстояний вблизи экватора очень мало и растет по мере приближения к полюсам.

Вернемся к основному вопросу этой главы — как изменяются площади, углы и геодезические линии в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта? Чтобы доказать, что эта проекция сохраняет площади, достаточно показать, что она сохраняет площади «прямоугольных» (достаточно малых, то есть бесконечно малых) участков, сторонами которых являются меридианы и параллели.

Как показано на следующем рисунке, для данной точки сферы на широте φ отображением меридиана (достаточно малого) длины l будет отрезок прямой на поверхности цилиндра длиной l' = l·cos φ, а отображением параллели (достаточно малой) длины k будет дуга окружности на поверхности цилиндра, длина которой будет равна k' = k/cos φ. Следовательно, бесконечно малый «прямоугольник» с основанием k и высотой l на поверхности сферы, площадь которого равна l·k, преобразуется в «прямоугольник» с основанием k' = k/cos φ и высотой l' = l·cos φ. Площадь полученного прямоугольника также будет равна l·k. Как следствие, проекция Архимеда сохраняет площади неизменными.

Напомним, что в этой книге мы приводим только интуитивно понятные доказательства в духе классической геометрии. Более строгое доказательство требует использования дифференциальной геометрии и методов математического анализа.

Проекция  Архимеда является равновеликой.

Тем не менее величины углов на карте, выполненной в проекции Ламберта, не сохраняются. Чтобы убедиться в этом, посмотрите на предыдущий рисунок. В силу искажений меридианов (они сжимаются) и параллелей (они расширяются) угол между основанием и диагональю прямоугольника на сфере будет больше, чем этот же угол в проекции прямоугольника на плоскость. Однако прямые углы между меридианами и параллелями сохраняются. Из вышеизложенного можно сделать вывод о необходимых и достаточных условиях сохранения величин углов.

1. Должны сохраняться углы между меридианами и параллелями (эти углы прямые, то есть равны 90°).

2. Искажение в направлении меридианов μ должно быть равно искажению в направлении параллелей λ.

По теореме Пифагора, если оба этих свойства выполняются, то искажения в любом направлении всегда будут одинаковыми. В частности, мы показали, что для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта искажение в направлении меридианов равно μ = cos φ, искажение в направлении параллелей — λ = 1/cos φ, а круг, центром которого является точка на сфере, в этой проекции преобразуется в эллипс на плоскости, вытянутый в направлении «запад — восток». На следующей иллюстрации изображены эллипсы, построенные в различных участках Земли, которые позволяют увидеть искажения на различных широтах.

Индикатриса Тиссо , или эллипс искажения — один из способов графического изображения искажений на карте. В разных участках земной поверхности строятся небольшие окружности, после чего по их проекциям на карте можно увидеть проективные искажения в различных участках карты. Так, если мы примем радиус окружности равным  λ , она преобразуется в эллипс, длины полуосей которого будут равны λ и  μ . Если  λ  =  μ , то эллипсы примут форму окружностей, а отображение будет конформным. При λ = 1/  μ отображение будет равновеликим. На иллюстрации представлена индикатриса Тиссо для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта .

Наконец, очевидно, что эта проекция не сохраняет геодезические линии, за исключением меридианов и экватора. Вывод таков: равновеликие проекции могут не быть изометрическими, и одного лишь сохранения площадей для создания точной карты Земли недостаточно.

Цилиндрические и псевдоцилиндрические проекции

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта — это геометрическая цилиндрическая проекция, определяемая как геометрическая проекция земной сферы на касающийся ее цилиндр (как правило, точки касания лежат на экваторе) с последующим развертыванием цилиндра на плоскости (для этого цилиндр разрезается вдоль одного из меридианов, то есть вертикально). В картах, созданных с использованием этой проекции, искажения возникают на первом этапе построения, так как развертывание цилиндра на плоскость является изометрическим преобразованием и не искажает размеры. Если изменить диаметр основания цилиндра, то есть уменьшить его так, чтобы он рассекал сферу, или же сменить его положение либо проекцию лучей, то мы получим различные геометрические цилиндрические проекции.

Другими проекциями этого же типа являются центральная цилиндрическая проекция и стереографическая проекция Брауна. В центральной цилиндрической проекции «лучи света» распространяются из центра сферы на ее поверхность и на поверхность цилиндра. Искажения у полюсов, вносимые этой проекцией, очень велики и даже больше, чем искажения в проекции Меркатора. В стереографической проекции Брауна, разработанной в 1867 году, центром проекции для произвольной точки меридиана служит противолежащая точка экватора на этом же меридиане.

Эта проекция, как и в свое время стереографическая проекция Галла, была создана в попытках устранить излишние искажения у полюсов, возникающие при использовании проекции Меркатора.

Сечения для некоторых геометрических цилиндрических проекций, показывающие разницу размеров и внешнего вида карт, созданных с использованием этих проекций.

Мы считаем, что цилиндр касается сферы на экваторе, но также можем рассмотреть случаи, когда цилиндр рассекает сферу вдоль двух параллелей, симметричных относительно экватора. Так, если цилиндр рассекает сферу вдоль параллелей 30° с. ш. и ю. ш., то равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта станет эквивалентна проекции Бермана (1910) или проекции Галла — Петерса (1833 и 1967), если цилиндр рассекает сферу вдоль параллелей 45° с. ш. и ю. ш. Если в стереографической проекции Брауна цилиндр рассекает сферу вдоль 45-х параллелей, имеем стереографическую проекцию Галла (1885).

Карта, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Бермана , при которой цилиндр рассекает сферу вдоль 30-х параллелей.

Понятие цилиндрической проекции охватывает не только геометрические, но и алгоритмические проекции, которые обладают некоторыми общими свойствами с описанным выше геометрическими проекциями.

1. Линии координатной сетки, то есть меридианы и параллели, являются прямыми и перпендикулярны друг другу.

2. Масштаб вдоль каждой параллели постоянен (для разных параллелей он отличается), следовательно, меридианы равноудалены друг от друга. Длины всех меридианов и всех параллелей одинаковы.

Карты мира, созданные с помощью этих проекций, прямоугольные, а их метрические свойства симметричны относительно экватора. В качестве примеров можно привести цилиндрическую равнопромежуточную проекцию, цилиндрическую проекцию Миллера и проекцию Меркатора. В простой цилиндрической равнопромежуточной проекции, которую ввел Эратосфен, масштаб карты неизменен вдоль каждого меридиана, следовательно, параллели равноудалены друг от друга. Частным случаем является plate саrréе — проекция, в которой меридианы и параллели образуют

квадратную сетку (расстояния между ними одинаковы). Математическая формулировка этой проекции проще, так как всего лишь представляет на плоскости широту φ и долготу θ. Цилиндрическая проекция Миллера была создана в 1942 году в попытках сохранить внешний вид проекции Меркатора и уменьшить искажения у полюсов, однако она не является ни равновеликой, ни конформной, то есть не сохраняет ни площади, ни углы. О проекции Меркатора мы подробно расскажем в главе 9.

На рисунке вы можете видеть, как распределяются параллели в Северном полушарии при использовании разных цилиндрических проекций с одинаковым масштабом у экватора, и оценить вносимые искажения.

Сравнение расположения параллелей в некоторых цилиндрических проекциях.

Кроме того, можно рассмотреть разновидности картографических проекций (прямые, поперечные и косые), которые отличаются расположением плоскости, цилиндра или конуса проекции относительно земной сферы. В этих проекциях сетка меридианов и параллелей выглядит по-разному. Прямые цилиндрические проекции (геометрические и алгоритмические) — это проекции, в которых цилиндр касается сферы на экваторе или рассекает ее вдоль двух параллелей — этот случай мы рассмотрели выше. В поперечных цилиндрических проекциях цилиндр касается меридиана или рассекает сферу вдоль окружностей, параллельных меридиану. В косой проекции точки касания расположены на большом круге, который не является ни меридианом, ни экватором, либо линии пересечения цилиндра и сферы являются окружностями, параллельными большому кругу сферы. Поперечные и косые цилиндрические проекции удобно использовать, когда необходимо заострить внимание на какой-либо области, расположенной вдоль меридиана, так как искажение вблизи линий касания цилиндра и сферы меньше.

На схемах вверху представлены различные цилиндрические проекции. На рисунке снизу изображена равновеликая цилиндрическая поперечная проекция  Ламберта с касательным меридианом 90° западной долготы, пересекающим Северную Америку с севера на юг.

Прямые цилиндрические проекции сильно искажают формы и очень часто искажают площади участков вблизи полюсов. Прямоугольные карты мира, составленные с помощью этих проекций, рисуют нам неверную картину мира.

В псевдоцилиндрических проекциях предпринята попытка решить эти проблемы путем сближения параллелей по мере приближения к полюсам. Прямые псевдоцилиндрические проекции, в которых линия касания сферы и цилиндра проходит по экватору, обладают следующими свойствами.

1. Параллели изображаются горизонтальными прямыми, необязательно равноудаленными друг от друга.

2. Меридианы изображаются произвольными кривыми, отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние вдоль каждой параллели.

Следовательно, как и в цилиндрических проекциях, масштаб псевдоцилиндрических проекций вдоль параллелей постоянен. Но так как меридианы и параллели пересекаются не под прямым углом, ни одна из таких проекций не может быть конформной. В атласах часто используются две равновеликие проекции: проекция Моллвейде (в 1805 году в этой проекции была выполнена эллиптическая карта мира, на которой меридианы имеют форму эллипсов) и синусоидальная проекция Сансона — Флемстида (возможно, первым ее использовал Меркатор), в которой меридианы изображаются синусоидальными кривыми. В псевдоцилиндрических проекциях также были составлены карта Колиньона (1865; в вариантах этой карты, имеющих форму треугольника и ромба, меридианы изображены наклонными прямыми. Эти карты сохраняют площади, но очень сильно искажают формы), шесть карт Эккерта (1906; карты с четными номерами являются равновеликими, в картах с нечетными номерами параллели равноудалены друг от друга, в первой паре карт меридианы изображены прямыми, во второй паре — окружностями, в третьей паре — эллипсами) и карта в проекции Робинсона (1974; эта проекция используется при составлении карт мира Национальным географическим обществом вместо проекции Меркатора).

Карта мира, выполненная в синусоидальной проекции, или проекции Сансона — Флемстида . Эта проекция также известна как равновеликая проекция  Меркатора , так как Меркатор использовал ее в некоторых своих картах.

Использование равновеликих проекций

Мы уже говорили, что равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта вызывает умеренный интерес при составлении карт мира, так как она вносит огромные искажения в зонах, близких к полюсам. Эта проекция описывается исключительно в книгах по картографии и дифференциальной геометрии как простой пример проекции, сохраняющей площади. Больший интерес представляют некоторые варианты прямой разновидности этой проекции, например проекция Галла — Петерса (о ней мы подробно расскажем в главе 9) или проекция Бермана.

Из-за умеренных искажений в зонах вблизи касательной эллипса и сферы прямая разновидность проекции Ламберта подходит для карт тропических областей нашей планеты или карт мира, в которых основное внимание уделяется этим областям. Это могут быть, например, карты, на которых изображаются данные о мировом производстве каучука, древесины, риса, тростника и других продуктов, производимых преимущественно в тропиках. Поперечная разновидность этой проекции используется при составлении карт регионов, протяженных с севера на юг, а для областей, простирающихся вдоль большого круга земной сферы, больше подойдет косая разновидность проекции. Последняя неоднократно использовалась при составлении карт Евразии и Африки, при прокладке маршрутов самолетов в странах Содружества наций.

Карта, показывающая области густых лесов Африканского континента, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта .

Свойство сохранения площадей, очевидно, имеет первостепенную важность при составлении карт, на которые наносится информация, связанная с площадями различных регионов. Так, эту проекцию необходимо использовать, если мы хотим подсчитать процент территории амазонских джунглей, пострадавших от вырубки леса, если мы дробим сельскохозяйственные угодья на земельные участки или если хотим составить карту плотности населения на квадратный километр. На картах такого типа площади областей изображаются в масштабе, и если нам известен масштаб поверхности, то мы легко можем вычислить площадь произвольного участка, умножив его площадь на карте на коэффициент масштаба. Напомним, что масштаб поверхности не следует путать с обычным масштабом, который показывает отношение линейных размеров. Так, в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта в разных частях карты этот масштаб отличается: длина всех параллелей на этой карте одинакова, в то время как в реальности параллели имеют разную длину.

Тем не менее, за исключением особых случаев, площади с помощью карт не вычисляются. Карты, выполненные в этой проекции, интересны тем, что позволяют сравнивать площади разных территорий, сопоставлять площади регионов, стран и континентов.

Так как карты — это инструмент, позволяющий представлять информацию быстрее, нагляднее и понятнее, чем таблицы с цифрами, важно, чтобы при составлении карт распространения — будь то распространение различных видов растений, животных, школ, аэропортов, уровень производства того или иного продукта, уровень загрязнения, уровень распространения религии или любой другой показатель, который используется в научных или научно-популярных публикациях, средствах массовой информации или учебниках, — применялись эквивалентные проекции. Чтобы статистическая информация, с которой мы работаем, оказалась для нас более полезной, важно, чтобы рассматриваемые территории были отображены на карте в соответствии с их реальными площадями — в противном случае информация может быть интерпретирована неверно. Также желательно, чтобы искажения форм в таких картах были как можно меньше. Однако, как вы уже видели на примере равновеликой цилиндрической проекции Ламберта, искажение форм очень заметно, особенно вблизи полюсов (это справедливо и для многих других равновеликих проекций).

В образовательных целях важно, чтобы на картах не искажались площади и формы (как вы увидите далее, это невозможно), так как школьные карты формируют у детей образ нашей планеты, континентов и стран, и при неправильно выбранной проекции этот образ может оказаться искаженным, что было отмечено еще В 1907 году в статье Королевского географического общества. Следовательно, в школах необходимо использовать либо равновеликие карты, искажение форм в которых минимально, либо другие карты, в которых искажения площадей и форм невелики, как, например, в проекции Робинсона и тройной проекции Винкеля.

* * *

КАРТОГРАММЫ

Картограммы — это карты, на которых размеры стран или регионов изменены в соответствии с численностью их населения или другим аналогичным показателем (уровнем рождаемости или смертности, заболеваемости, уровнем производства, загрязнения, тем или иным экономическим показателем, долей населения за чертой бедности и другими данными). Существуют различные приемы и методы составления картограмм, однако, как правило, различные регионы должны адекватно «склеиваться» (хотя существуют и картограммы, где страны и регионы изображаются не соединенными друг с другом), а искажение форм должно быть минимальным.

На этой картограмме представлено распределение населения Земли по странам. Площадь поверхности стран зависит от численности их населения

(Источник: SASI Group, Университет Шеффилда).

Картограммы позволяют быстро и наглядно сравнить анализируемые показатели для разных территорий. Результаты подобного сравнения, безусловно, привлекают внимание читателя, однако не лишены недостатков: на картограммах теряется реалистичность, их сложнее «читать», создается впечатление, что они неполны (возможно, ввиду заметных искажений), поэтому картограммы удобно дополнять картами, выполненными в равновеликой проекции.

* * *

Другие равновеликие проекции — это равновеликая коническая проекция Альберса (1805), проекция Моллвейде (1805), ортографическая проекция Галла — Петерса (1855 и 1967), проекция Eckert IV (1906), равновеликая азимутальная проекция Ламберта (1772), синусоидальная проекция, или проекция Сансона — Флемстида (1650 и 1729), и многие другие.

В 1906 году немецкий картограф Макс Эккерт описал шесть псевдоцилиндрических проекций. Четные номера имеют равновеликие проекции, например проекция Eckert IV, представленная на иллюстрации.

К сожалению, в учебниках, научно-популярной литературе и СМИ не уделяется особого внимания выбору проекции карт (похоже, сейчас ситуация постепенно меняется). С другой стороны, для манипуляции общественным мнением авторы карт могут сознательно применять проекции, не сохраняющие площади. Например, такие карты могут использоваться в пропаганде, чтобы сделать страну или регион «важнее» и тем самым продемонстрировать ее политическое, экономическое или военное влияние, оказать психологическое воздействие на жителей других территорий. Многие страны при изготовлении пропагандистских карт в разное время пользовались проекцией Меркатора. Например, Британская империя на английских картах была окрашена в красный цвет, символизирующий силу и могущество. Гринвичский меридиан и, следовательно, Англия на этих картах располагались в центре, а английские колонии — в тех частях карты, где в силу проективных искажений их площадь увеличивалась. В некоторых случаях Австралия и Новая Зеландия изображались с обеих сторон карты одновременно.

Карта Британской империи 1907 года.

В Российской империи и позднее в Советском Союзе карты мира также часто составлялись в проекции Меркатора, так как на них Россия выглядела преувеличенно большой. Некоторые политические партии, предупреждавшие об опасности красной угрозы, то есть установления коммунизма во всем мире, также использовали карты в этой проекции, на которых СССР и Китай были выделены агрессивным ярко-красным цветом. В Европе и США аналогично использовались карты, выгодно представлявшие их на мировой арене.

Та или иная страна может изображаться на картах в уменьшенном виде, чтобы показать давление, которое оказывают на нее другие страны. Так, в книге «Как обманывать с помощью карт» (How to Lie with Maps) Марк Монмонье приводит пример карты, опубликованной в 1973 году Еврейским национальным фондом Канады. На ней для демонстрации «арабской лжи» об израильской агрессии Израиль был изображен белым цветом на фоне арабского региона, закрашенного черным, который простирался от Марокко на севере Африки до Саудовской Аравии. Карта говорила о протяженности этих территорий, но не об их технологической, экономической и военной мощи или поддержке со стороны международного сообщества. Нацисты, которые умело использовали политическую пропаганду, применили этот же прием на карте под заголовком «Германия — нация-агрессор?», где территория Германии сравнивалась с территорией Британской империи.

Это лишь немногие примеры пропагандистского использования карт, которые хранит история картографии.