Мы вкратце рассмотрели равновеликую цилиндрическую проекцию Ламберта, центральную и стереографическую проекцию — три важные картографические проекции, которые помогли нам лучше понять некоторые аспекты картографии. Однако вернемся к главному вопросу этой книги: существуют ли правильные карты земной поверхности? Как построить правильную карту?

Чтобы не потерять нить рассуждений, напомним, что идеальная карта должна сохранять неизменными (за исключением масштаба) такие метрические свойства, как площади, углы, геодезические линии, формы и в целом длины кривых и расстояния. Иными словами, искомая картографическая проекция должна быть изометрической. Чтобы упростить поиски точной карты Земли, мы задались вопросом: достаточно ли свойства сохранения площадей для того, чтобы равновеликая проекция была изометрической? Положительный ответ значительно упростил бы задачу: мы смогли бы ограничиться рассмотрением только тех проекций, которые сохраняют площади.

Однако после изучения трех проекций стало понятно: чтобы проекция была изометрической и подходила для составления идеальной карты, сохранения только одного из метрических свойств (площадей, углов или формы геодезических линий) недостаточно.

Равноугольные равновеликие проекции

Итак, наша первая попытка построить идеальную карту завершилась неудачей. Тогда рассмотрим следующий вопрос: достаточно ли сохранения двух из трех метрических свойств, чтобы проекция была изометрической?

Начнем с того, что рассмотрим проекцию сферы на плоскость, сохраняющую углы и площади, и попытаемся определить, будет ли эта проекция изометрической. Для этого используем результаты, изложенные в предыдущих главах. В них мы рассмотрели искажения, вносимые проекциями, которые оставляют площади и величины углов неизменными. Как вы знаете из главы 5, если проекция является конформной (равноугольной), искажения в направлении меридианов μ равны искажению в направлении параллелей λ:

μ = λ

С другой стороны, в этой же главе мы показали, что для равновеликих проекций величина искажения вдоль меридианов обратна величине искажения вдоль параллелей, что обеспечивает сохранение площадей:

μ = 1/λ

С учетом обоих равенств имеем:

μ = λ = 1

Иными словами, если проекция будет одновременно равновеликой и конформной, в ней не будет наблюдаться никаких искажений: ни вдоль меридианов, ни вдоль параллелей, ни в каком-либо другом направлении. Следовательно, эта проекция будет изометрической. Читатель может спросить: как быть с масштабом? Напомним, что мы рассматриваем сферическую модель Земли, следовательно, линейное изменение размеров никак не влияет на решение задачи.

Эврика! Точную карту Земли можно построить с помощью проекции, которая сохраняла бы одновременно величины углов и площади. Создание такой проекции нетривиально, ведь она должна сохранять все метрические свойства: геодезические линии, формы, длины кривых и расстояния.

Существует ли правильная карта Земли?

Прежде чем начать поиски равновеликой конформной проекции, на основе которой можно составить идеальную карту Земли, продолжим двигаться намеченным путем и рассмотрим проекции, сохраняющие два других метрических свойства, например величины углов и геодезические линии.

Аналогично треугольнику на плоскости, который определяется как область, ограниченная тремя попарно пересекающимися прямыми, точки пересечения которых не лежат на одной прямой, сферический треугольник определяется как часть сферы, ограниченной тремя дугами попарно пересекающихся больших кругов, при этом точки пересечения не лежат на одном большом круге. Так как рассматриваемые нами проекции сохраняют геодезические линии, то проекцией сферического треугольника будет треугольник на плоскости. Поскольку эти проекции конформны, они сохраняют величины углов треугольников и их сумму. Из классической геометрии известно, что сумма углов треугольника равна π (180°). Чему будет равна сумма углов сферического треугольника? Будет ли она также равна π (180°), как и следовало ожидать?

Рассмотрим конкретный пример. Представим сферический треугольник, образованный дугой меридиана, заключенной между Северным полюсом и экватором, и другой, похожей, дугой, отстоящей на угол π/2 (90°) от первой, как

Сферический треугольник, три угла которого равны 90°, следовательно, их сумма равна 270°.

Сумма углов этого сферического треугольника будет равна 3π/2 (270°), а не π (180°), как мы ожидали. Следовательно, не существует проекций сферы на плоскость, которые сохраняли бы величины углов и геодезические линии одновременно. Из этого утверждения следует: не существует изометрических проекций сферы на плоскость, то есть

ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Более того, это утверждение касается не только всей сферы, но и любого ее участка. Локальную изометрию сферы на плоскости построить невозможно, следовательно, точную карту даже малой части земной поверхности построить также нельзя.

Чтобы доказать это, рассмотрим сумму углов произвольного сферического треугольника. Ее значение находится на интервале между π и 3π (не включая границы). Так как каждый сферический угол меньше π, очевидно, что сумма трех углов будет меньше 3π. Мы можем неограниченно приближаться к этому значению: достаточно рассмотреть треугольник, две вершины которого лежат на экваторе, а третья находится вблизи экватора так, что сферический треугольник покрывает почти все полушарие. Можно рассмотреть еще один предельный случай, когда две вершины треугольника лежат на экваторе, а третья совпадает с Северным полюсом так, что дуги меридианов будут образовывать сколь угодно малый угол. Сумма углов такого треугольника будет близка к π. Можно доказать, что для любого сферического треугольника выполняется равенство:

Площадь сферического треугольника = R 2  (сумма углов треугольника — π ),

где R — радиус сферы. Так как сумма углов сферического треугольника произвольной формы и размера всегда больше π, не существует проекций участков сферы на плоскость, в которых сохранялись бы углы и геодезические линии. Следовательно, локальные изометрии также не существуют. Ожидания, которые мы возлагали на построение равновеликой конформной проекции, оказались напрасными.

Хотя в разные годы картографы неизменно терпели неудачу в попытках построить идеальную карту Земли, они не могли доказать, что эта задача не имеет решения. Доказательство принадлежит швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, который изложил приведенные выше рассуждения в работе «О представлении сферической поверхности на плоскости«(De repraesentatione superficiei sphaericae super piano), представленной в Петербургской академии наук в 1775 году и опубликованной в 1778 году в «Журнале Императорской Санкт-Петербургской академии наук».

* * *

ФОРМУЛА СУММЫ УГЛОВ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пусть дана сфера радиуса R . Ее часть, заключенная между двумя большими кругами (сферический двуугольник), которые пересекаются под углом α радиан, имеет площадь, равную площади поверхности сферы, взятой α /2 π раз, то есть

( α /2 π )·(4 πR 2 ).

Обозначим вершины сферического треугольника через А , В ,  С , углы — через α ,  β  и γ . Если мы рассмотрим большие круги, на которых лежат стороны  АВ и  АС , по приведенной выше формуле получим:

t + a = 2 αR 2

Аналогично имеем:

t +  b = 2 βR 2  и t +  c = 2 γR 2

Сложив эти три равенства, имеем:

3 t + a  + b + c = 2 R 2 ( α + β + γ ).

Получается, что t +  а + Ь +  с равно площади поверхности полусферы (заметим, что для каждой вершины, например  А , существуют два равных двуугольника с углами α ; каждый из них состоит из двух областей площадью t и а ). Как следствие,

2 t + 2 πR 2 = 2 R 2 ( α + β + γ ).

Упростив равенство, получим

t  = R 2 ( α + β + γ — π ).

* * *

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Эйлер считается самым плодовитым математиком всех времен. Он опубликовал свыше 500 книг и статей, а с учетом трудов, напечатанных посмертно (до 1911 года), их число достигает 866. В 1911 году было начато издание полного собрания его сочинений, которое, как планировалось, должно было составить 90 томов.

Эйлер родился в Базеле. Его отец, пастор-кальвинист, хотел, чтобы сын изучал богословие, но Эйлер остановил свой выбор на математике. В 19 лет он опубликовал первый научный труд, посвященный оптимальному расположению мачт и парусов на корабле, при этом он ни разу не видел парусника своими глазами. С 1727 по 1740 год Эйлер жил в Санкт-Петербурге и работал в Петербургской академии наук. По прибытии Эйлер обнаружил, что император совершенно не интересовался науками, и, чтобы заработать на жизнь, в течение трех лет занимался делами русского флота. Он женился на Катарине Гзель, которая родила ему 13 детей. Эйлер говорил, что совершил многие открытия, держа кого-нибудь из детей на руках. В эти же годы ученый ослеп на правый глаз.

В 1741–1766 годах он работал в Берлинской академии наук. Из-за экономического кризиса в первые годы жизни в Берлине Эйлер зарабатывал тем, что учил математике членов знатных семейств. Отношения с королем Фридрихом II не складывались — монарх дал ученому прозвище Математик-циклоп и поручал ему не связанные с наукой задачи: в частности, Эйлеру пришлось возглавить работы по выравниванию Финов-канала, руководить соляной шахтой и решать различные финансовые вопросы. Когда Эйлер вернулся в Санкт-Петербург, Екатерина II отнеслась к нему совершенно иначе, и между ними сложились теплые личные отношения. В конце жизни Эйлер полностью ослеп, однако почти половина его работ была написана именно в этот период.

* * *

Повторим, ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Любая карта Земли или какой-нибудь ее части будет в некотором смысле неточной. Вывод Эйлера подтверждают следующие эксперименты. Возьмем пластиковый шар и разрежем его пополам, после чего попытаемся развернуть одну из половин на плоскости. Станет очевидно, что при этом поверхность шара либо растянется, либо сморщится, в итоге расстояния между различными точками поверхности изменятся. Даже если перед этим мы сделаем несколько радиальных разрезов, это не решит проблему.

Аналогичная трудность поджидает нас и в обратном случае: если мы, например, захотим завернуть апельсин в лист бумаги, на ней образуется множество складок. Поэтому при использовании карт, выполненных в различных проекциях и охватывающих различные участки Земли (в том числе весь земной шар), важно выделить те, которые максимально точно удовлетворяют конкретным требованиям. Если вам понадобится карта, важно не то, насколько она известна, как она называется и рекомендует ли ее какое-нибудь международное агентство. Делайте свой выбор в зависимости от того, сохраняет ли карта необходимые вам метрические свойства.

Кривизна Гаусса и возвращение к картографической задаче

Задачу о составлении точной карты Земли картографы стремились решить во все времена. Следуя путем Эйлера, мы доказали, что эта задача не имеет решения. Но если на минуту забыть об этом, можно задаться вопросом: почему построить такую карту невозможно, почему нельзя преобразовать сферу в плоскость с сохранением метрических свойств? Разумеется, если читатель вспомнит наш эксперимент с пластиковым шаром, то придет к выводу: сфера — искривленная поверхность, а плоскость — нет. Однако этот вывод верен лишь отчасти. Цилиндр и конус — также искривленные поверхности, но тем не менее их можно развернуть на плоскости, сохранив при этом метрические свойства. В чем же разница между сферой, цилиндром и конусом? Быть может, их кривизна чем-то отличается или проблема кривизны вообще не так уж и важна? Действительно, не все поверхности искривлены одинаково. Понятие кривизны, применимое к точке поверхности, показывает, насколько далека данная поверхность от плоскости в рассматриваемой точке. Однако кривизну необходимо как-то измерить, выразить количественно.

Два важных элемента локального анализа поверхности — это плоскость, касающаяся поверхности в точке р , и нормальный вектор поверхности  N ( p ), выходящий из точки р , перпендикулярный касательной плоскости.

Для этого рассмотрим плоскость, касающуюся поверхности S в точке р. Это плоскость, ближайшая к поверхности в указанной точке. Вектор, перпендикулярный касательной плоскости, исходящий из точки р, называется нормальным вектором (см. рисунок). Чтобы определить кривизну поверхности в данной точке, нужно изучить, как изменяется положение касательной плоскости (или нормального вектора) в окрестности этой точки. В математике этот процесс называется дифференцированием. Результатом операции будет математический объект под названием дифференциальная форма (мы не будем приводить здесь точного определения, так как интересующийся читатель найдет его в любой книге по дифференциальной геометрии), который содержит всю информацию о кривизне поверхности. На основе дифференциальной формы определяются две различные кривизны: так называемая кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н.

Примеры поверхностей, на которых оттенками серого обозначены различные значения кривизны  Гаусса  и средней кривизны. Плоскость ( К = Н  = 0), цилиндр с радиусом основания r ( К = 0; Н  = 1/2 r ), сфера радиуса r ( К = 1/ r2 ,  Н = -1/ r ), псевдосфера ( К = -1; наибольшая средняя кривизна ближе к краю псевдосферы, на рисунке оттенками серого представлены значения средней кривизны), тор (на внешней части поверхности кривизна положительная, на внутренней — отрицательная; средняя кривизна для разных участков отличается, оттенками серого на рисунке представлены значения кривизны Гаусса); катеноид ( Н  = 0; оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса), седловая поверхность (оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса).

Есть и другой, возможно, более геометрический способ определить эти понятия: для данной точки р поверхности S, для которой мы хотим рассчитать кривизну, рассмотрим нормальный вектор N(р) и семейство плоскостей П(р)» проходящих через р и содержащих N(р). Для каждой плоскости семейства П(р) рассмотрим ее линию пересечения с поверхностью S. Этой линией будет кривая, проходящая через р. Измерим кривизну этой кривой в данной точке. Полученное значение и будет мерой кривизны кривой в точке. Таким образом мы получим ряд значений кривизны поверхности в точке р и сможем рассчитать кривизну поверхности. На множестве этих значений кривизны найдем максимальное значение k 1 и минимальное значение k 2 — так называемые главные кривизны, то есть максимальные и минимальные значения «направленной» кривизны поверхности в точке р. На их основе можно рассчитать кривизну Гаусса и среднюю кривизну:

Цилиндр и два основных его направления, кривизна которых равна k 1 = 1/ r и k 2 = 0. Следовательно, К = 0, Н  = 1/2.

Великий математик Карл Фридрих Гаусс в работе «Общие исследования кривых поверхностей» (1827) показал, что, вопреки определению, величина, впоследствии получившая название кривизны Гаусса, зависит исключительно от метрических свойств поверхности, то есть выступает неотъемлемым элементом геометрии этой поверхности. Это утверждение называется Theorema Egregium — основная теорема теории поверхностей. Как следствие, кривизна Гаусса описывает внутреннюю кривизну поверхности. Эту кривизну может ощутить наблюдатель, находящийся на плоскости и не выходящий за ее пределы. Следовательно, если две поверхности изометричны, то есть если существует изометрическое преобразование, позволяющее преобразовать одну из этих поверхностей в другую, то кривизна Гаусса должна быть одинаковой в точках, соответствующих по изометрии. Это утверждение справедливо и для части поверхности, то есть оно выполняется, если изометрическое преобразование можно определить только для какой-то части поверхности.

Таким образом, решение картографической задачи можно рассматривать как частный случай Teorema Egregium. Так как сфера имеет постоянную положительную кривизну Гаусса (для сферы единичного радиуса кривизна Гаусса равна 1; сфера искривлена во всех точках и вдоль всех направлений одинаково), а плоскость имеет нулевую кривизну, не существует изометрического преобразования (в том числе локального), позволяющего преобразовать сферу в плоскость.

Более того, в дифференциальной геометрии, которая носит более общий характер, чем математическая картография (в дифференциальной геометрии рассматриваются произвольные поверхности), в силу Teorema Egregium кривизна Гаусса препятствует построению изометрии двух поверхностей. Если использовать термины картографии, для построения карты одной поверхности на другой необходимо, чтобы кривизна Гаусса для обеих поверхностей была одинаковой. Ключевой вопрос, связанный с теоремой Гаусса, таков: является ли полученный нами результат не только необходимым, но и достаточным? Иными словами, будут ли изометричными, как минимум локально, две поверхности с одинаковой кривизной Гаусса? Российский математик немецкого происхождения Фердинанд Миндинг (1806–1885) , который провел обширные исследования в области дифференциальной геометрии поверхностей, доказал, что если две поверхности имеют одинаковую кривизну Гаусса и она одинакова для всей поверхности, то для этих поверхностей существует локальная изометрия. Так как кривизна Гаусса для цилиндра (или конуса) постоянна, а кривизна Гаусса для плоскости равна нулю, эти поверхности локально изометричны. Однако если кривизна Гаусса не является постоянной, утверждение, доказанное Миндингом, не выполняется.

Рассмотренную выше формулу суммы углов сферического треугольника можно обобщить для произвольной поверхности, что доказал Гаусс, связав изменение углов геодезического треугольника относительно π с кривизной Гаусса:

Формулу суммы углов треугольника на плоскости или на поверхности сферы можно обобщить для любой поверхности. Это так называемая формула Гаусса — Бонне , в которой используется кривизна Гаусса.

Разумеется, приведенная выше формула выполняется для сферы радиуса R. Так как кривизна Гаусса для этой сферы равна 1/R2, имеем

Однако мы определили две кривизны, поэтому возникает вопрос: каков же смысл средней кривизны? Отношения поверхности и окружающего ее трехмерного пространства рассматриваются во внешней геометрии поверхности. Характеристикой кривизны поверхности в трехмерном пространстве и будет средняя кривизна.

Глобус земного шара

Составить точную карту Земли невозможно. Наиболее точное представление о нашей планете дает глобус, сохраняющий все интересующие нас метрические свойства с учетом коэффициента масштаба. Единственное искажение на глобусе — это коэффициент масштаба, неизменный во всех его точках. В этой модели мы смело можем прокладывать морские и воздушные маршруты, так как румбы и расстояния на глобусе сохраняются. Для определения расстояния между двумя точками земной поверхности, например между двумя городами, нужно построить на глобусе большой круг (это нетрудно сделать с помощью натянутой веревки), затем измерить длину веревки и, наконец, вычислить реальное расстояние с помощью коэффициента масштаба. Аналогично на глобусе можно измерить и другие величины, при этом результат будет точнее, чем при использовании плоской карты. Ошибки измерений на глобусе будут вызваны неточностями, допущенными при измерениях, а не погрешностями, внесенными при изготовлении самого глобуса (при условии, что он был построен правильно). Однако, как вы увидите далее, построить глобус сложно, и при этом все же возникают ошибки.

Современный глобус.

* * *

ИСТОРИЯ ГЛОБУСОВ

Первые глобусы создали греки, которым было известно, что Земля имеет сферическую форму. Первый глобус, о котором сохранились документальные упоминания, был сконструирован грамматиком и философом-стоиком Кратетом Малльским около 150 года до н. э. В то время Америка, Австралия и часть Африканского континента еще не были открыты, и на глобусе были изображены четыре части суши, из которых известной (ойкуменой) была всего одна. Глобусы Земли и звездного неба создавали и использовали греки, римляне и, позднее, арабы.

Первый глобус Земли, дошедший до наших дней, создал немецкий географ Мартин Бехайм в 1492 году. Эпоха Возрождения стала золотым веком в изготовлении глобусов. Немецкий картограф  Мартин Вальдземюллер (ок. 1470 — ок. 1520) совершил прорыв в массовом изготовлении глобусов: он первым использовал отпечатанную развертку глобуса.

Факсимиле глобуса  Вальдземюллера (1507).

Изучив глобусы, созданные в разное время, можно увидеть, как при их создании использовались все более совершенные технологии и новая географическая информация. Перелом в усовершенствовании процесса изготовления глобусов, а также в развитии научных теорий, связанных с задачей о построении точной карты, произошел благодаря фламандскому картографу Герарду Меркатору. Он стремился создать глобус, который могли бы использовать мореплаватели и студенты, изучающие навигацию, поэтому на глобусах Меркатора были изображены, в частности, локсодромы. Однако многие созданные им глобусы стали всего лишь изысканными предметами интерьера в домах знати.

КАК СКОНСТРУИРОВАТЬ ГЛОБУС?

Хотя сфера — это, по сути, единственное геометрическое тело, позволяющее точно представить земную поверхность, конструирование сферической модели Земли связано с рядом технических проблем. Первая из них — размер: глобусы слишком малы, чтобы на них можно было рассмотреть все детали. Так, если бы на поверхности глобуса был изображен рельеф земной поверхности в масштабе, то гора Эверест имела бы высоту всего 0,28 мм. Вторая проблема — выбор материала для изготовления основы глобуса. В древности глобусы были полнотелыми и изготавливались из стекла, мрамора, дерева или металлов (золота, серебра, бронзы или свинца), однако начиная с Меркатора картографы стали изготавливать полые глобусы, например из бумажно-гипсовой массы, нанесенной на деревянный каркас. Современные глобусы попрежнему полые, однако технологии их изготовления непрерывно совершенствуются. Сегодня их изготавливают из бумаги, пластика или металла.

Начиная с Вальдземюллера используются отпечатанные развертки глобусов в виде склеенных сферических двуугольников, которые затем наклеиваются на поверхность сферы. При этом возникает та же проблема, что и при составлении карт: на плоском листе бумаги нужно отпечатать изображение, которое затем будет нанесено на поверхность глобуса. Обычно развертка глобуса состоит из 12 сферических двуугольников, центры которых лежат на экваторе. Развертка выполняется в видоизмененной синусоидальной проекции. Сегодня чаще используют две развертки из 12 треугольных секторов, центры которых совпадают с одним из полюсов. Каждая развертка полностью покрывает полушарие. Современные технологии позволяют наносить сферические двуугольники сразу на материал основания глобуса.

Развертка глобуса Мартина Вальдземюллера (1507).

* * *

Глобусы широко используются в картографии, географии, мореходном деле, геодезии, океанографии, климатологии, сейсмографии и других науках. Они позволяют получить реальное представление о том, как выглядит Земля, какую форму она имеет, как ее континенты расположены относительно друг друга. Поэтому важно, чтобы во всех школах и во всех домах был хотя бы один глобус, позволяющий увидеть, как на самом деле выглядит наша планета. Кроме того, благодаря особой конструкции подставки глобуса, мы можем наблюдать за вращением Земли: та часть глобуса, которую мы видим, будет соответствовать той части планеты, где сейчас день, невидимая часть глобуса — той части, где сейчас ночь.

Хотя в теории глобус — это идеальная модель Земли, ввиду некоторых непреодолимых ограничений иногда его использование невозможно (даже если сам глобус сконструирован безупречно).

1. Глобусы хрупкие и объемные, поэтому их сложно хранить, перевозить, а иногда с ними неудобно работать.

2. Производство глобусов очень дорого (особенно это касается моделей большого размера), при этом они недостаточно удобны для изучения деталей.

3. На них сложно выполнять измерения и оценивать величины углов.

4. Глобус позволяет рассматривать только одно полушарие одновременно.

5. Изготовить печатную или электронную репродукцию части глобуса нельзя.

Равнопромежуточные проекции

В завершение этой главы мы расскажем еще об одной группе проекций, обладающих общими метрическими свойствами. Как мы уже говорили, каждый картограф мечтает о карте с постоянным масштабом (коэффициентом уменьшения), единственным искажением которой будет равномерное изменение размера. Однако мы доказали, что построить такую карту невозможно: масштаб любого изображения Земли на плоскости не является постоянным и отличается в разных точках и направлениях, поскольку любая картографическая проекция неизбежно вносит искажения. Тем не менее существуют проекции, в которых некоторое семейство кривых будет иметь постоянный масштаб, а их длина будет пропорциональна длине этих кривых, начерченных на поверхности Земли (такие кривые называются стандартными). Проекции, обладающие этим свойством, называются равнопромежуточными. Рассмотрим три примера проекций этой группы: цилиндрическую, азимутальную и коническую.

Цилиндрическая равнопромежуточная проекция

С математической точки зрения эта проекция тривиальна. В простейшем случае, когда линия касания проходит по экватору, широта и долгота точки интерпретируются как ее декартовы координаты (см. следующий рисунок). В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта участки земной поверхности, расположенные на высоких широтах, словно сжимаются, в проекции Меркатора — расширяются, а в цилиндрической равнопромежуточной проекции все параллели равноудалены друг от друга. Вдоль меридианов и экватора масштаб остается постоянным (в этом случае сетка меридианов и параллелей будет квадратной: такая проекция носит название plate саrréе). Кроме того, искажения отсутствуют вдоль меридианов и любых двух параллелей, равноудаленных от экватора (такая проекция называется равнопрямоугольной). Авторство этой проекции обычно приписывают Эратосфену, хотя Птолемей указывает, что ее создал Марин Тирский примерно в 100 году н. э. Начиная с этого времени цилиндрическая равнопромежуточная проекция благодаря простоте построения использовалась весьма часто, особенно в навигации. Она очень удобна для составления карт городов и любых малых участков земной поверхности.

Эта проекция используется в простых картах мира и в картах регионов, не содержащих много географических данных. Однако для составления более или менее подробных карт эта проекция в XX веке практически не применяется. Геологическая служба США и другие агентства обычно используют ее для индексных карт, на которых схематично указываются различные карты, включенные в сборник или атлас, и страница, на которой они находятся.

Карта, выполненная в проекции plate саrréе. Эта проекция — частный случай равнопрямоугольной проекции, в которой стандартной параллелью является экватор.

Азимутальная равнопромежуточная проекция

Это четвертая классическая азимутальная проекция. В отличие от трех вышеупомянутых она не является геометрической. Как и в других азимутальных проекциях, геодезические линии, то есть большие круги, проходящие через точку касания сферы и плоскости, изображаются на плоскости прямыми, проходящими через центр карты, при этом угол между геодезическими линиями сохраняется. Эта проекция обладает частным свойством: ее масштаб не изменяется вдоль прямых, проходящих через центр карты (это стандартные линии равнопромежуточной проекции). Иными словами, в этой проекции сохраняются расстояния от любых точек до центра карты. Кроме того, азимутальная равнопромежуточная проекция позволяет представить на одной карте поверхность всего земного шара, однако при выходе за пределы большого круга — границы полушария, проходящей через точку касания сферы и плоскости, — искажения становятся очень велики. Эта карта имеет одну особую точку, которая становится «центром мира». Все расстояния до этой точки сохраняются.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в Северном полюсе. Справа — флаг ООН.

В полярной разновидности этой проекции меридианы изображаются прямыми, исходящими из центра карты — проекции точки касания. Параллели изображаются в виде концентрических окружностей, равноудаленных друг от друга. Карта, выполненная в проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом, прекрасно нам знакома — ее можно увидеть на флаге и эмблеме Организации Объединенных Наций (ООН). Вместо Антарктиды на флаге ООН изображена оливковая ветвь. Так как построение полярной азимутальной равнопромежуточной проекции очень просто, логично предположить, что эта проекция использовалась с древности. Считается, что древние египтяне с ее помощью строили карты звездного неба, однако древнейшая из известных нам карт, выполненных в этой проекции, была изготовлена Конрадом де Диффенбахом в 1426 году. При составлении карты Земли первым эту проекцию применил Меркатор в своей знаменитой карте мира 1569 года. На ней были изображены два круга с изображениями приполярных областей. Позднее эта проекция использовалась для решения самых разных задач: она широко применяется при составлении карт отдельных полушарий и всей земной поверхности, также ее можно встретить во множестве атласов приполярных зон, изданных в последние два столетия. В этой проекции строятся карты приполярных областей, помещаемые рядом с картами мира, выполненными в других проекциях, как, например, на картах в проекции Ван дер Гринтена, выпускаемых Национальным географическим обществом, или в картах Геологической службы США.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции, с центром в Кабуле — столице Афганистана.

Так как построить косую и экваториальную разновидности этой проекции сложно, до XIX века они не рассматривались. Косая азимутальная равнопромежуточная проекция используется для составления карт континентов и карт мира с центрами в крупных городах, в отличие от экваториальной разновидности этой проекции — возможно, потому что экватор не проходит через какие-либо «важные», по мнению составителей карт, города или страны.

Эта проекция представляет большой интерес в ситуациях, когда необходимо рассмотреть расстояния или кратчайшие пути из данной точки. Например, карту в этой проекции может использовать командующий военной базы, чтобы определить, какие города попадают в зону поражения ракет, капитан корабля или самолета — чтобы определить фиксированный курс из порта или аэропорта отправления до различных частей света или, совместно с картами в проекции Меркатора (о них мы поговорим в главе 9), для прокладки курса между двумя точками. Эта проекция используется не только в навигации, но и при изучении землетрясений. Применяют ее и радисты, работающие с направленными антеннами, для определения направлений сигнала.

Коническая равнопромежуточная проекция

Как и в любой другой прямой конической проекции, полученная карта имеет форму сектора кольца, в котором меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, и разделены интервалами с одинаковыми угловыми размерами. Параллели изображаются дугами концентрических окружностей, пересекающими меридианы под прямым углом, при этом они обладают дополнительным свойством, вносимым равнопромежуточной проекцией: параллели равноудалены друг от друга, поэтому масштаб будет неизменным вдоль всех меридианов, которые, таким образом, будут стандартными кривыми этой проекции. Эта проекция не является ни конформной, ни равновеликой и не сохраняет формы.

Как и другие конические проекции, она подходит для изображения регионов с умеренным климатом. Если линия касания конуса и сферической модели Земли проходит вдоль параллели, проекция будет удобной для изображения стран и территорий, расположенных вблизи этой параллели. Для составления карт протяженных регионов, например России, Европы или Северной Америки, удобнее использовать разновидность этой проекции с двумя стандартными параллелями, проходящими по изображаемой территории.

В первой карте Птолемея использована проекция, напоминающая коническую равнопромежуточную. С севера карта Птолемея обрезана вдоль параллели легендарного острова Туле, с юга — вдоль экватора.