ГАУСС

 (1777—1855)

Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге, в средней Германии; отец его был водопроводчиком. Необыкновенные способности сына проявились рано: в отличие от большинства математиков молодой Гаусс блестяще владел устным счетом. Он учился сначала в Брауншвейге, в Карловой школе, преобразованной впоследствии в Политехнический институт. Гаусс самостоятельно изучил труды Ныотона, Эйлера, Лагранжа. Когда Гауссу было 18 лет, оп перешел в Геттингенский университет, и последующее десятилетие было, быть может, наиболее плодотворным в его жизни.

К этому времени относятся замечательные работы Гаусса в области арифметики и геометрии. Уже тогда оп допускал возможность иной геометрии, чем эвклидова; однако по этому вопросу он ничего не публиковал. Его результаты в области теории чисел были опубликованы лишь в 1801 г. в «Арифметических исследованиях», в этой, по мнению мпогих, одной из самых замечательных математических книг. В 1807 г. Гаусс получил кафедру математики и астропомип и пост директора обсерватории в Геттингене, где он работал и прожпл практически безвыездно до конца жпзтпх.

Круг работ Гаусса очень широк. В области небесной механики он создал методы расчета орбит планет по малому числу паблюдешш, первым результатом которых бы-до обнаружение потерянного астероида Цереры, открытого в 1801 г. В течение многих лет Гаусс был советником правительств Ганновера и Дании по вопросам картографии. Работы по геодезии привели его к важнейшим результатам в области дифференциальной геометрии и теории поверхностей. Гаусс был прекрасным наблюдателем. Совместно с Вебером Гаусс предпринял цикл абсолютных измерений электрических и магнитных единиц, а также систематические измерения элементов магнитного поля, приведшие при их обработке к важным результатам в теории потенциала. Созданные им способы обработки измерений лежат в основе современных методов статистической теории ошибок.

Гаусс обладал колоссальной работоспособностью; но он не спешил с публикацией своих работ. Многие результаты, полученные Бесселем, Гамильтоном, Абелем. Якоби, Коши, были затем обнаружены в записках и письмах Гаусса, при публикации 12 томов его полного собрания сочинений. Для Гаусса математика была единой, и он, так же как Эйлер, не проводил резкой границы между чистой и прикладной математикой. Однако, в отличие от Эйлера, работы Гаусса написаны так, что подходы к задаче, развитие идеи ее решения ускользают от читателя, отражая, быть может, его скрытный и замкнутый характер. Гаусс более всего был заинтересован в решении определенных проблем; обоснование анализа, предпринятое в ту пору Коши, его мало беспокоило.

Ниже мы приводим предисловие к «Арифметическим исследованиям» (1801).

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Содержащиеся в этом сочинении исследования относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми чпслами, в то время как дробные числа остаются вне рассмотрения в большинстве случаев, а мнимые — всегда. Так называемый неопределенный или диофантов анализ, представляющий собой учение о том, как из бесконечного числа решений,, удовлетворяющих неопределенному уравнению, выбрать те, которые являются целочисленными или хотя бы рациональными (а в большинстве случаев еще и положительными), не исчерпывает этой дисциплины, а представляет собой лишь очень специальную ее часть, которая относится ко всей дисциплине приблизительно так же, как учение о преобразовании и решении уравнений (алгебра) относится к анализу в целом. Именно, как все исследования, которые касаются общих свойств числовых величин и связей между ними, принадлежат к области анализа, так целые числа (а также и дробные, поскольку они определяются через целые) составляют предмет изучения арифметики. Но так как то, что обычно принято называть арифметикой, почти не выходит за пределы искусства считать и вычислять (т.е. представлять числа в определенном виде, например, в десятичной системе, и производить над ними арифметические операции) с добавлением еще некоторых вопросов, которые или вовсе не относятся к арифметике, как, например, учепие о логарифмах, или имеют силу не только для целых чисел, но и для любых числовых величин, то представляется целесообразным различать две частя арифметики и только что упомянутое причислять к элементарной арифметике, а все общие исследования о внутренних связях между целыми числами относить к высшей арифметике, о которой одной здесь и будет идти речь.

К высшей арифметике относится то, что Эвклид с присущими древним изяществом и строгостью изложил в «Началах», в книге VII и следующих; однако это представляет собой лишь первые шаги этой науки. Знаменитое сочинение Диофанта, целиком посвященное проблемам неопределенного анализа, содержит много исследований, которые вследствие их трудности и красоты методов свидетельствуют об уме и проницательности их автора, особенно, если учесть незначительность вспомогательных средств, находившихся в его распоряжении. Так как, однако, эти задачи больше требуют находчивости и сообразительности чем глубоких методов, и, кроме того, являются слишком специальными и редко приводят к более общим выводам, то эта книга рассматривается как эпоха в развитии математики скорее потому, что она содержпт в себе первые следы искусства, характерного для алгебры, а не потому, что она обогатила новыми открытиями высшую арифметику. Главным образом более поздним исследователям, правда, немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу,— таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой Зожественной науки и показали, какими богатствами она наполнена.

однако, не буду здесь перечислять, какие открытия принадлежат каждому из этих математиков в отдельности, так как это можно узнать [з предисловия к дополнениям, которыми Лагранж снабдил «Алгебру» Эйлера, и из недавно вышедшего сочинения Лежандра, о котором ско-ю будет упоминаться; кроме того, об этом говорится в соответствующих юстах настоящих «Арифметических исследований».

Целью этот труда, издать который я обещал еще пять лет н!азадт •ыло довести до общего сведения те исследования по высшей арифме-пке, которыми я занимался частью ранее, частью позже указанного рока. Однако, чтобы никто не удивлялся, что я здесь повторяю предмет :очтн с самого начала и заново произвожу многие исследования, кото-ыми уже занимались другие, я считаю необходимым указать на то, то когда я в начале 4795 г. впервые принялся за исследования та-ого рода, я ничего не знал о том, что было сделано за последнее ремя в этой области, и все средства, при помощи которых я получал вой результаты, я изобретал сам. Именно, занимаясь в то время другой аботой, я случайно натолкнулся на одну изумительную арифметпче-чую истину (если не ошибаюсь, она изложена в виде теоремы i* п. 108), и так как она пе только показалась мне прекрасной сама по себе, но и навела на мысль, что она связана и с другими выдающимся фактами, я со всей энергией взялся за то, чтобы выяснить принципы, па которых она основывается, и получить строгое ее доказательство. После того как это желание, наконец, осуществилось, прелесть этих исследований настолько увлекла меня* что я уже не мог их оставить; так и получилось, что в то время как одни все время про-лагали дорогу другим в том, что изложено в первых четырех разделах этого труда, я сам имел о подобных работах других математиков лишь приблизительное представление. Когда же мне, наконец, представилась возможность ознакомиться с работами этих выдающихся умов, то я понял, что большая часть моих рассуждений была посвящена уже давно известным вещам, но с тем большей охотой решился я следовать по стопам этих ученых, которые двигали арифметику вперед; так возникли различные исследования, часть которых составляют разделы V, VI, VII. Когда я, спустя некоторое время, принял решение опубликовать результаты моих усилий, то я, идя навстречу желаниям многих, тем охотнее решил не выбрасывать ничего также и из указанных более ранних исследований, что, во-первых, в то время еще не было книги, по которой можно было бы ознакомиться с рассеянными по академическим изданиям работами других математиков по этому вопросу; затем, потому, что многие из этих исследований были совершенно новыми и проводились новыми методами, и, наконец, потому, что все они так тесно переплетались как между собой, так и с более поздними исследованиями, что новые неудобно было бы изложить достаточно ясно без того, чтобы сначала не напомнить некоторые другие вещи.

Тем временем появилось сочинение уже и до того имевшего большие заслуги в высшей арифметике Лежандра («Essai d’une theorie des nombres, год VI), в котором он не только тщательно обработал и привел в порядок все, что было сделано в этой науке до сих пор, но и привнес очень мпого своего собственного. Так как эта книга попала ко мне в руки слишком поздно, когда большая часть моего сочинения была уже готова, я ее нигде не упоминал в тех случаях, когда аналогия рассматриваемых вопросов могла бы дать к этому повод; лишь в отношении нескольких ее мест я счел необходимым сделать некоторые замечания в дополнениях, которые, как я надеюсь, любознательный читатель не оставит без внимания.

Во время печатания этого сочинения, которое несколько раз прерывалось и из-за многочисленных задержек растянулось на четыре года, я не только продолжал далее те исследования, которые начал еще ранее, но опубликование которых решил отложить до другого случая, чтобы не делать книгу слишком объемистой, но и принялся 8а многпе новые исследования. Кроме того, несколько исследований, которые я по той же причине только вскользь упоминал, так как более подробное расмотрение представлялось мне необходимым (например, те, о которых говорится в п. п. 37, 82 и следующих, и в других местах), в дальнейшем были продолжены и дали повод к болео общим исследованиям, которые представляются достойными опубликования (ср. также сказанное в дополнениях относительно п. 306). Наконец, так как книга вследствие значительного размера раздела V оказалась гораздо объемистее, чем я ожидал,— многое, что первоначально для нее предназначалось, и в частности весь восьмой раздел (который в этом сочинении уже упоминается в нескольких местах, и который содержит общее изложение теории алгебраических сравнений любой степени), пришлось выбросить. Все эти вещи, которые легко могут заполнить том, равносильный настоящему, я опубликую, как только для этого представится случай.

То, что во многих трудных исследованиях я пользовался синтетическими доказательствами и опускал анализ, при помощи которого они были найдены, объясняется главным образом требованиями краткости, которым я, насколько это возможно, должен был стремиться удовлетворить.

Теория деления круга или теория правильных многоугольников, которая рассматривается в разделе VII, сама по себе не принадлежит арифметике; однако ее принципы следует черпать только в высшей арифметике; это будет для математиков, быть может, столь же неожиданным, сколь, надо надеяться, приятными бывают для них обычно истины, черпаемые из этого источника.

На это я хотел обратить внимание читателя. О самом предмете судить не мне. Я ничего не желаю столь горячо, как того, чтобы эти исследования понравились тем, кто принимает близка к сердцу успехи науки, как те, которые восполняют имевшиеся до сих пор пробелы, так и те, что открывают путь к новому.

 

КОШИ

(1789—1857)

Огюстен Луи Коши родился в Париже. Отцу он обязан как бескомпромиссной набожностью, так и прекрасным классическим образованием, которое тот, по совету Лагранжа, дал своему сыну. В 1810 г. Коши окончил Политехническую школу по Отделению мостов и дорог. К этому же времени относятся его первые работы по математике, включая знаменитое исследование о многогранниках. Три года Коши работал военным инженером в Шербуре, а затем начал преподавать в ряде высших учебных заведений Парижа. В 1816 г. Коши стал профессором математики в Политехнической школе и в том же году был назначен членом Академии наук на место, освободившееся после исключения Мошка.

После июльской революции 1830 г. Коши эмигрировал в Турин, где король Сардинии создал для него кафедру теоретической физики. Коши был воспитателем герцога Бордосского и в течение нескольких лет путешествовал с наследником Карла X по Европе. В 1838 г. он вернулся в Париж и с 1842 по 1852 гг. был профессором астрономии университета.

Его биограф аббат Муано писал: «Коши был роста выше среднего, тонок и очень строен. Походка была скорая; так как он дорожил временем и пе желал т«?рять минуты, ему часто приходилось бегать. Его волосы, бровп и борода былп редки, что придавало ему вид несколько юный. Лоб его был высокий и очень открытый, глаза немного томные с несколько блуждающим взглядом, но полные жизни и ума. Нос его длинный и тонкий, губы открытые, рост немного велик, голос сильный и пе совсем обыкновенный, произношение его парижское и до крайности картавое, цвет лица бледный и немного болезненный; будучи на вид слабый, он редко болел».

По своему характеру Коши был человеком с несколько упрощенным отношением ко всему тому, что не касалось науки; а его клерикальные и монархические убеждения вызывали антипатию многих. Исключительно работоспособный и продуктивный ученый, Коши написал более 700 работ почти во всех областях современной ему физики и, особенно, математики. Здесь мы не можем дать даже беглый обзор его работ. Заметим только, что вместе с Гауссом он развил теорию функций комплексного переменного, им систематически изучены задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений — то, что теперь мы называем задачей Коши.

Значительное влияние на всю математику оказали новые требования к строгости доказательств и точности выводов, которые проводились Коши, хотя современники обвиняли его в недостаточной законченности его собственных работ. Учебники, где Коши систематически использует понятие предела, послужили образцом для построения курсов высшей математики позднейшего времени. Мы приводим предисловие к «Курсу алгебраического анализа» Коши, впервые изданному в 1821 г.

КУРС АЛГЕБРАИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Некоторые лица, которые так охотно руководили мною в начале моего поприща (среди них я с особой признательностью назову Лапласа и Пуассона), выразили желание видеть в печати курс анализа, читанный мной} в Политехнической школе. Для пользы слушателей я решил написать этот курс, что и составило данную книгу, в которую вошла его первая часть — алгебраический анализ. В этой части курса рассматриваются различные виды вещественных и мнимых функций, сходящиеся и расходящиеся ряды, решение уравнений и разложения рациональных дробей.

Говоря о непрерывности функций, я не мог оставить без внимания главные свойства бесконечно малых величин и именно те свойства, на которых основаны дифференциальное и интегральное исчисления. Наконец, во введении и в примечаниях, помещенных в конце сочинения, ириведены те сведения, которые могут быть полезны как для преподавателей и слушателей наших учебных заведений, так и для тех, кто желает специально изучить анализ.

Что касается способа изложения, то я старался придать выводам ту строгость, которая требуется в геометрии, совершенно избегая сужде-нип, полученных из алгебраических обобщений. Хотя подобные суждения и допускаются, особенно при переходе от сходящихся рядов к расходящимся и от вещественных выражений к мнимым, но мне кажется, что их молото принять лишь за наведения, посредством которых, и то не всегда, только угадывается истина, что совершенно не удовлетворяет той строгости, которой гордятся математические науки. К тому же наведения могут дать безграничный простор алгебраическим формулам, между тем как в действительности большая часть этих формул справедлива только при известных условиях и лишь при некоторых значениях входящих в них величин. Определяя эти условия и эти значения и устанавливая точный смысл знакоположений, которые много используются, я устраняю всякую неопределенность. Таким образом, эти различные формулы выражают отношения между вещественными величинами и эти отношения всегда легко проверить путем подстановки чисел вместо самих величин. Правда, для того чтобы оставаться верным этим принципам, я должен был допустить многие предположения, которые с первого взгляда поражают. Так например, в VI главе я говорю, что расходящиеся ряды не имеют суммы, в VII главе — что мнимое уравнение есть только символическое изображение двух уравнений между вещественными величинами. В IX главе: если постоянная или переменная какой-либо функции из вещественных по условию станут мнимыми, то обозначение, принятое для выражения функции, может быть сохранено только при новом условии, дающем возможность выразить смысл такого обозначения, сообразный с последним предположением и т.д. Впрочем я надеюсь, что нашп читатели сами лично убедятся, что подобные предположения, которые вызывают потребность в большей отчетливости и с пользой ограничивают обобщение, не только служат делу анализа, но и дают новые материалы для весьма важных исследований. Так, прежде чем отыскивать сумму какого-либо ряда, я должен был рассмотреть: в каких случаях ряды могут суммироваться, т.е. в чем заключается условие их сходимости. Относительно этого я нашел общие правила, которые, по моему мнению, заслуживают некоторого внимания.

Наконец, если, с одной стороны, я заботился о усовершенствовании математического анализа, то, с другой стороны, от меня была далека мысль, что сам анализ должен вполне удовлетворять всем наукам философского содержания. Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям. Но было бы большим заблуждением допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указании наших чувств. Хотя до сих пор никто посредством анализа не пытался доказать существование Августа или Людовика XIV, но каждый здравомыслящий согласится с тем, что в действительном существовании этих лиц он убежден так же, как и в справедливости теоремы Пифагора или Мак-лорена. Более того, я замечу, что доказательство последней теоремы доступно пониманию, да и сами ученые еще не во всем согласны, в каких пределах она справедлива, между тем, как все хорошо знают, кто царствовал во Франции в XVII столетии и этому нельзя разумно возражать. То, что я сказал относительно исторического факта, в такой же степени может быть применено к множеству других религиозных, нравственных и политических вопросов. Итак, мы должны четко сознавать, что существуют истины и кроме алгебраических и что есть действительность, которая существует независимо от предметов познаваемых чувствами. Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространять их значение за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.

Заканчивая это предисловие, я считаю себя обязанным сказать о большой пользе, которую мне принесли советы и знания многих лиц, особенно Пуассона, Ампера и Кориолиса. У последнего, между прочим, я заимствовал правило о сходимости произведений, составленных из бесконечного числа сомножителей. Я также воспользовался как многочисленными замечаниями, так и тем способом, который Ампер развил в своих «Уроках анализа».

 

ЛОБАЧЕВСКИЙ

(1792—1856)

Николай Иванович Лобачевский родился под Нижпим Новгородом. Отец его был мелким чиновником в межевой конторе; он умер, когда Николаю было 6 дет. Мать Николая Ивановича, овдовев в возрасте 25 лет, жила с тремя сыновьями в небольшом имении. Судьба Лобачевского неразрывно связана с Казанью, где с 10 лет он вместе с братьями учился в Казанской гимназии, а затем — в только что основанном Казанском университете. Лобачевский учился блестяще, однако поведение его отмечалось как неудовлетворительное: «вольнодумство, мечтательное о себе самомнение, упорство...»

Профессором, оказавшим большое влияние на развитие пауки в Казани, был Бартельс, хороший математик, друживший с Гауссом; лекции по астрономии читал профессор Литтров. Лобачевский получил отепень магистра в 1811 г.; вскоре он стал адъюнктом и затем профессором и с 1823 г. уже заведовал кафедрой математики университета. Еще раньше Лобачевский начал работать над основаниями геометрии, и повод для его размышлений дало преподавание математики на курсах усовершенст-вования младших чиновников. После ряда безуспешных попыток исключения аксиомы о параллельных Лобачевский пришел к выводу о возможности создания новой непротиворечивой геометрии, «воображаемой геометрии», как он ее назвал. Последующие годы жизни оп в значительной мере посвятил детальной разработке этой области математики. Лобачевскому принадлежат также важные исследования в области анализа и алгебры.

В 1827 г. Лобачевский избирается ректором университета; этот пост оп занимал до 1846 г., когда, вопреки желанию Совета университета, был уволен в отставку по возрасту. Каванский университет в года ректорства Лобачевского сильно расширился и укрепился как научный центр. Лобачевский был прекрасным администратором, сильным в проведении решений и независимым в своих суждениях. В то же время, по свидетельству современников, он обладал чувством доброго юмора. Умер Лобачевский под Нижним Новгородом в имении матери. За год до смерти Лобачевский опубликовал «Пангеометршо), подытоживающую результаты по созданию нм новой геометрии; последние ее главы он уже диктовал, так как под конец жизни ослеп.

Величие открытия Лобачевского было оценено далеко не сразу: в России даже такой математик, как Остроградский не принял его работ, и из всех современников лишь Гаусе понимал значение и глубину этих идей. Гаусс представил Лобачевского к избранию в Ганноверскую Академию наук, единственную научную почесть, оказанную, по выражению английского математика Клиффорда, этому «Копернику геометрии». Лобачевский, как и Гаусс, в наблюдениях астрономии и геодезии искал пределы области применимости геометрии Эвклида к реальному миру,— проблема, которая ныне решается в релятивистской космологии, в общей теории относительности — теории пространства, времени и тяготения.

Мы приводим вступление к первой работе Лобачевского «О началах геометрии», опубликованной в 1829 г. в Вестнике Казанского университета.

О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ [77]

Кажется, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным! истинам в природе; так не как она возрастает в другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми познаниями. Вот почему трудности в Геометрии должны принадлежать, во-первых, самому предмету. Далее, средства, к которым надобно прибегнуть, чтобы достигнуть здесь последней строгости, едва ли могут отвечать цели и простоте сего учения. Те, которые хотели удовлетворить сим требованиям, заключили себя в такой тесный круг, что все усилия их не могли быть вознаграждены успехом. Наконец, скажем и то, что со времени Ньютона и Декарта, вся Математика, сделавшись Аналитикой, пошла столь быстрыми шагами вперед, что оставила далеко за собой то учение, без которого могла уже обходиться и которое с тем вместе перестало обращать на себя внимание, какое прежде заслуживало. Эвклидовы начала, таким образом, несмотря на глубокую древность их, несмотря на все блистательные успехи наши в Математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки.

В самом деле, кто не согласится, что никакая Математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Эвклида, начинаем мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий. Правда, что против ложных заключений от неясности первых и общих понятий в Геометрии предостерегает нас представление самых предметов в нашем воображении, а в справедливости принятых истин без доказательства убеждаемся простотою их и опытом, например астрономическими наблюдениями; однако ж все это нисколько не может удовлетворить ум, приученный к строгому суждению. К тому и не вправе пренебрегать решением вопроса, покуда оно неизвестно и покуда не знаем, не послужит ли оно еще к чему другому.

Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в Геометрии. Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в повом виде всей науки. О прочих недостатках Геометрпи, менее важных по затруднению, не почитаю нужным говорить подробно. Ограничусь одним только замечанием, что они относятся к способу преподавания. Никто не помышляет отделить то, что исключительно принадлежит Геометрии, от того, где наука сия становится уже другою, т.е. Аналитикой.

Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить.

Ничего не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаем легко, что всё в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано. Не таковы положения Механики: человек с помощью одних ежедневных своих опытов не мог бы прийти к ним. Вечность и одинаковость раз сообщенного движения, где скорость служит мерою оного и массы различных тел — такого рода истины, которые требовали времени, пособия других познаний и ожидали гения...

 

БУЛЬ

(1815-1864)

Джордж Буль родился в Линкольне (средняя Англия) в семье мелкого лавочника. Буль получил только среднее образование и, блестяще окончив школу, стал учителем в предместьях Лондона. Он самостоятельно изучил высшую математику, европейские языки; латынь и греческий он знал еще со школы.

Одна из ранних работ Буля по анализу была послана в Лондон. В силу неизвестности автора и сложности вопроса ее чуть не отклонили от публикации в «Известиях Королевского общества». Однако через два года за эту работу это же общества присудило Булю Королевскую медаль. В 1849 г. Буль стал профессором математики в колледже в Корке (Ирландия), где он и прожил до конца своей жизни. Сорока лет Буль женился на Мэри Эверест. У Буля было 5 дочерей, из которых младшая, Этель Войнич, известна как автор замечательного романа «Овод».

Буль отличался большой независимостью и оригинальностью ума, но при жизни оп был мало известен и понят немногими. Основные его труды посвящены высшей алгебре, теории вероятностей и теории дифференциальных уравнений, исчислению конечных разностей. Но наибольшее значение имеет созданная Будем символическая математическая логика. Изобретенная Булем алгебра — булева алгебра — стала уни-нереальным языком для описания всех логических процессов, в том числе и современных логических автоматов и электронных вычислительных машин.

В 1854 г. появилось знаменитое теперь сочинение Буля «О законах мышления». Однако раньше в 1847 г. было опубликовано первоначальное изложение этого крута вопросов в книге «Математический анализ логики», предисловие к которой мы и приводим.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛОГИКИ Предисловие

Представляя это сочинение вниманию читателей, я считаю не лишним заметить, что соображения, подобные тем, которые в нем изложены, занимали мои мысли в различные времена. Весной этого года мое внимание к этому вопросу было привлечено сэром В. Гамильтоном и профессором де Морганом. Я был вдохновлен тем интересом, который они возбудили во мне, и возобновил почти забытую цепь ранее проведенных исследований. Мне казалось, что хотя логика и может рассматриваться по отношению к понятию количества, в ней также содержится другая и более глубокая система взаимоотношений. Если законно рассматривать логику извне, через ее связь посредством числа с понятиями пространства и времени, то также законно рассматривать ее изнутри, на основе понятий другого порядка, которые находят свое место в строении ума. В представленном трактате содержатся следствия этих воззрений и исследований, которые они подсказали.

Обычно не принято автору указывать на то, как следует судить его труд. Есть однако два условия, которые я осмелюсь поставить перед теми, кто предпримет оценку данной работы. Во-первых, никакие предвзятые представления о невозможности цели этой работы не должны мешать искренности и беспристрастности исследования того, что требует истина. Во-вторых, суждение о системе в целом не должно быть основано на рассмотрении только ее части, или на согласии с уже принятой системой, полагаемой за общепринятую, и истинность которой не подлежит пересмотру. Именно в общих теоремах, содержащихся в наиболее полном виде в последних главах этого сочинения,— которым нет по существу ничего подобного,— утверждается сущность метода анализа дедуктивного мышления.

"У меня нет ни желания, ни права предсказывать конечную оценку значимости этой системы. Оценка теории определяется не только ее правильностью. Она также зависит от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть еще место свободным суждениям человека. Если бы польза от математических формул для науки логики была лишь вопросом обозначений, я был бы удовлетворен тем, чтобы положиться па защиту этого подхода, сформулированную ныне живущим способным автором: «Во всех случаях, когда природа вопроса допускав безопасное проведение процесса мышления механически, следует построить язык по возможности опирающимся на механические принципы. В противном случае язык следует строить так, чтобы возникали все возможные препятствия к его механическому использованию». В одном смысле наука логики отличается от всех других наук. Совершенство ее метода в основном ценно как свидетельство мысленной истинности ее принципов. Превзойти ее путем использования здравого смысла или же подвергать ее испытаниям в техническом совершенстве было бы последним желанием того, кто знает цену того умственного труда и той борьбы, которые придают уму атлетическую силу и учат его бороться с трудностями и полагаться на себя в минуты тревоги.

Линкольн,

29 октября 1847 г.

 

ПУАНКАРЕ

(1854—1912)

Анри Пуанкаре родился в Нанси, в состоятельной буржуазной семье; его отеп был профессором медицины. Первоначальное образование он сначала получил дома, затем — в Лицее; девятнадцати лет он поступил в Политехническую школу.

Академическая жизнь Анри Пуанкаре началась рано и протекала блестяще. Тридцати лет он стал профессором Сорбонны, в 32 года — членом Парижской Академии, а к сорока годам — членом почти всех ученых обществ мира. Большую часть жизни Пуанкаре провел в Париже, покидая его на время бесчисленных путешествии. Каждый год, начиная читать лекции, Пуанкаре приступал к изложению нового раздела физики или математики. Большинство этих лекций издано и они составляют обширнейшую часть творческого наследия ученого. Более 500 научных работ и 30 книг, написанных им, посвящены разнообразнейшим проблемам математики, астрономии, физики, космогонии, геодезии. Пуанкаре много писал по философии и методологии науки. Он был женат на правнучке знаменитого биолога Жоффруа Сент-Илера, а его двоюродный брат Раймон Пуанкаре был в 1913—1920 гг. президентом Французской республики. Анри Пуанкаре умер 58 лет после неудачной операции.

Очень трудно, по существу невозможно, дать даже беглый обзор творчества этого глубокого и разностороннего ученого. Основные его работы посвящены созданию новых, качественных методов в математике и механике. В математике Пуанкаре развил теорию групп и заложил основы топологии. Сочинение Пуанкаре «Новые методы в небесной механике» (1892), удостоенное конкурсной премии Шведской Академии наук, положило начало развитию нелинейной механики. Анализ физических основ механики электрона и электродинамики непосредственно привел Пуанкаре к концепциям теории относительности, одним из творцов которой он является. Быть может, творчество Пуанкаре точнее всего отмечает рубеж, отделяющий эпоху классической физики и математики — механики Ньютона и анализа бесконечно малых — от современной. Глубокая критика некоторых сторон философских представлений Пуанкаре была дана В. И. Лениным в книге «Материализм и эмпириокритицизм».

Мы приводим вступление к мемуару Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1889) и предисловие к его кпиге «Новые методы в небесной механике» (1892).

О КРИВЫХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

ПЕРВЫЙ МЕМУАР

Полная теория функции, определяемых дифференциальными уравнениями, была бы чрезвычайно полезна для большого числа вопросов математики и механики. К сожалению, сразу видно, что в громадном большинстве случаев, с которыми нам приходится иметь дело, эти уравнения не могут быть проинтегрированы с помощью уже известных нам функций, например, с помощью функций, определяемых квадратурами. И если бы мы захотели ограничиться только теми случаями, которые можно изучить при помощи определенных или неопределенных интегралов, то область наших исследований оказалась бы чрезвычайно суженной, и огромное большинство вопросов, встречающихся в приложениях, осталось бы нерешенным.

Необходимо, следовательно, изучать функции, определяемые дифференциальными уравнениями сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям, так же, как это было сделано по отношению к алгебраическим функциям, которые сначала пытались свести к радикала^ а теперь изучают непосредственно, так же, как это было сделано по отношению к интегралам от алгебраических дифференциалов после долгих попыток выразить их в конечном виде.

Таким образом, исследование свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями,— задача, представляющая величайший интерес. Первый шаг на этом пути уже был сделан, когда было изучено поведение функции, определяемой дифференциальным уравнением, в окрестности какой-либо заданной точки плоскости. Задача, стоящая теперь перед нами,— это пойти дальше и изучить поведение этой функции на всем протяжении плоскости. В этом исследовании нашей отправной точкой, очевидно, будут служить уже известные результаты, относящиеся к поведению такой функции в некоторой области плоскости.

Полное исследование функций состоит из двух частей:

1) качественной (если можно так выразиться) части, или геометрического изучения той кривой, которая определяется этой функцией;

2) количественной части, или вычисления численных значений функции.

Так, например, для того чтобы исследовать алгебраическое уравнение, мы сначала определяем, с помощью теоремы Штурма, число действительных корней — это качественная часть; затем находим числовые значения этих корней — в этом заключается количественное изучение уравнения. Точно так же, для того чтобы изучить алгебраическую кривую, мы начинаем с построения этой кривой (как принято выражаться в соответствующих математических курсах), т.е. определяем наличие замкнутых ветвей, бесконечных ветвей и т.д.

После этого качественного изучения кривой можно точно определить некоторое число ее точек.

Естественно, что именно в качественной части должно начинаться исследование всякой функции, и поэтому проблема, которая в первую очередь встает перед нами,— это построение кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.

Это качественное исследование, когда оно будет полностью выполнено, будет очень полезно для вычисления численных значений искомой функции и позволит более просто установить сходящийся ряд, изображающий искомую функцию в некоторой части плоскости, и главная трудность заключается именно в отыскании надежного критерия для перехода от одной области, где функция определена одним сходящимся рядом, к другой области, где она выражается с помощью другого ряда.

С одной стороны, это качественное исследование и само по себе представляет первостепенный интерес. К нему могут быть сведены различные, исключительно важные вопросы анализа и механики. Возьмем в качестве примера задачу трех тел. Разве нельзя поставить вопрос, будет ли одно из этих тел всегда оставаться в некотором участке неба гогп оно сможет удалиться в бесконечность? Или вопрос о том, будет ли расстояние между двумя из этих тел неограниченно убывать, или. напротив, это расстояние будет всегда заключено в определенных пределах? Разве нельзя поставить тысячу вопросов такого рода, и все эти вопросы будут разрешены, как только мы сумеем качественно построить траектории этих трёх тел. И если рассматривать большее число тел, то чем иным является вопрос о неизменности элементов планет, как не подлинным вопросом качественной геометрии? Так как показать, что большая ось не имеет вековых изменений, это значит обнаружить, что она постоянно колеблется между некоторыми определенными границами.

Таково обширное поле открытий, простирающееся перед взорами математика. Я не претендовал на то, чтобы пройти его полностью, но я хотел по крайней мере переступить его границы; я ограничился одним весьма частным случаем, тем, который естественно представлялся первым,— именно изучением дифференциальных уравнений первого порядка и первой степени.

НОВЫЕ МЕТОДЫ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

Предисловие

Задача трех тел настолько важна для астрономии и в то же время настолько трудна, что все усилия геометров уже давно устремлены в этом направлении. Полное и точное интегрирование является, очевидно, невозможным и потому пришлось прибегнуть к приближенным методам. Сначала были использованы методы, состоящие в разложении в ряды по степеням масс. В начале нашего века достижения Лагранжа и Лапласа, а позднее вычисления Леверрье довели эти методы до такой степени совершенства, что до настоящего времени они были достаточны для всех практических нужд. Я мог бы добавить, что они будут достаточны, несмотря на некоторые расхождения в деталях, еще в течение долгого времени, однако не вечно, как это легко себе уяснить.

Конечная цель небесной механики состоит в разрешении великого вопроса: может ли закон Ньютона, и только он один, объяснить все астрономические явления; единственным способом разрешения этого вопроса является проведение насколько возможно точных наблюдений и сравнение их с результатами вычислений. Эти вычисления могут быть лишь приближенными и, кроме того, нет никакого смысла вычислять большее количество десятичных знаков, чем могут дать наблюдения. Поэтому бесполезно требовать от вычислений большей точности, чем от наблюдений, но нельзя от вычислений требовать и меньшей точности. Поэтому приближение, которое мы можем считать удовлетворительным сегодня, окажется недостаточным через несколько веков. Действительно, даже если сделать весьма маловероятное предположение, что измерите л ьпые приборы^не будут более совершенствоваться, уже одно накопление наблюдений в течение нескольких веков позволит определить с большей точностью коэффициенты различных неравенств. Эта эпоха, когда придется отказаться от старых методов, конечно, еще очень далека, но теоретик должен ее предвидеть, так как труды теоретика должны опережать, и часто на много лет, труды вычислителей.

Не нужно думать, что для получения эфемерид с большой точностью в течение длинного ряда лет достаточно вычислить бблыпее число членов в рядах, к которым приводят старые методы. Действительно, методы, состоящие в разложении координат небесных тел по степеням масс, носят общие черты, которые мешают их применению для вычисления эфемерид на долгий срок. Полученные ряды содержат члены, называемые вековыми, в которых время входит вне знака синуса или косинуса. Отсюда следует, что сходимость этих рядов может стать сомнительной для больших значений времени t.

Наличие этих вековых членов связано не с природой задачи, а только с применяемым методом. Действительно, легко видеть, что если истинное выражение координаты содержит член с sin amt, где а — константа, am — одна из масс, то при разложении по степеням т появятся вековые члены

amt-(a 3 m 3 t 3 )/6 + ...

 и присутствие этих членов дает весьма ложное представление о настоящем виде изучаемой функции.

Все астрономы уже давно ощущают это. Сами создатели небесной механики во всех случаях, когда требовалось получить формулы, пригодные на длительный срок, как, например, для вычисления вековых неравенств, должны были действовать иначе и отказаться от разложений просто по степеням масс. Таким образом, изучение вековых неравенств при помощи системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно считать относящимся скорее к новым, чем к старым методам.

Точно так же все усилия геометров во второй половине века имеют •своей главной целыо устранение вековых членов. Первый серьезный шаг в этом направлении был сделан Делоне, чей метод, безусловно, принесет еще много пользы.

Мы упомянем далее исследования Хилла по теории Луны (American Journal of Mathematics, v. I, Acta Mathematica, t. VIII). В этой работе, к сожалению, неоконченной, можно увидеть зачатки большей части достижений науки, сделанных с того времени.

Но ученым, который оказал этой ветви астрономии самые важные услуги, является, несомненно, Гильден. Его работы касаются всех сторон небесной механики, он умело использует все возможности современного -анализа. Гильден добился того, что из его разложений совершенно исчезли все вековые члены, которые так затрудняли его предшественников.

С другой стороны, Линдштедт предложил иной метод, значительно более простой, чем метод Гильдена, но менее общий, поскольку его невозможно применить при наличии членов, которые Гильден назвал критическими.

Благодаря усилиям этих ученых, трудности, происходящие от вековых членов, могут считаться полностью преодоленными, и новые методы, вероятно, будут еще долго удовлетворять требованиям практики.

Однако не все еще сделано. Большая часть этих разложений не сходится в том смысле, в котором геометры понимают это слово. Конечно в настоящее время это не имеет большого значения, поскольку мы уверены, что вычисление первых членов дает весьма удовлетворительное приближение. Но не менее верно и то, что эти разложения не могут давать сколь угодно точное приближение. Поэтому наступит момент, когда они станут неудовлетворительными. Краме того, некоторые теоретические выводы, которые можно было бы сделать па основании вида этих рядов, не будут законными вследствие их расходимости. Так, например, они не могут служить для разрешения вопроса об устойчивости солнечпой системы. Исследование сходимости этих разложений должно привлечь внимание геометров по причинам, которые я изложил и, кроме того, по следующей причине: цель небесной механики не будет достигнута, если мы вычислим эфемериды более пли менее приближенно, не отдавая себе отчета в степени полученной точности. Действительно, если мы обнаружим расхождение между этими эфемеридами и наблюдениями, необходимо, чтобы можно было установить, виноват ли в этом закон Ньютона или все можно объяснить несовершенством теории. Поэтому важпо определить верхний предел допущенной ошибки, на что, может быть, недостаточно обращали внимание до последнего времени.

Оказывается, методы, которые позволяют исследовать сходимость, дают нам в то же время этот верхний предел, что повышает их значение и практическую ценность.

Поэтому не следует удивляться, что я отвожу этим методам такое большое место в этой книге, хотя, быть может, я извлек из них не все, что они могут дать.

Я сам занимался этими вопросами и посвятил им мемуар, который появился в XIII томе «Acta Mathematica»; в особенности я старался осветить те немногочисленные результаты, относящиеся к задаче трех тел, которые могут быть установлены с абсолютной строгостью, требуемой математикой. Только эта строгость придает некоторую ценность моим теоремам о периодических, асимптотических и двоякоасимптотических решениях. Действительно, здесь можно будет найти твердую основу, на которую можно спокойно опереться, а это представляет ценность для всех исследований, даже для тех, где не требуется такой строгости.

С другой стороны, мне казалась, что мои результаты позволили мне объединить в некий синтез большинство новых, недавно предложенных методов, и это побудило меня предпринять настоящий труд.

В предлагаемом первом томе я должен был ограничиться изучением периодических решений первого рода, доказательством несуществования однозначных интегралов, а также изложением и обсуждением методов Линдштедта.

Следующие тома я посвящу обсуждению методов Гильдена, теории интегральных инвариантов, вопросам устойчивости, изучению периодических решений второго рода, асимптотических и двоякоасимптотических решений и, наконец, новым результатам, которые я смогу получить к моменту опубликования этих томов.

Кроме того, я буду принужден, без сомнения, вернуться в последующих томах к вопросам, рассмотренным в I томе. Правда, логика при этом немного пострадает, но нельзя поступать иначе в отрасли науки, которая находится в стадии становления и в которой новые достижения следуют непрерывно одно за другим. Поэтому я заранее прошу извинить меня.

Последнее замечание: обычно результаты представляют в форме, наиболее удобной для вычисления эфемерид, выражая координаты в виде явных функций времени. Этот путь представляет, очевидно, значительные преимущества, и большею частью я по возможности ему следовал; однако я так поступал не всегда и часто представлял результаты в форме интегралов, т.е. в виде неявных соотношений между коордипа-тами пли между координатами и временем. Прежде всего, эти соотношения можно использовать для проверки формул, дающих координаты в явном виде. Но это не все; истинная цель небесной механики состоит пе в вычислении эфемерид, так как в этом случае можно было бы удовлетвориться предвидением на короткий срок, а в том, чтобы убедиться, достаточно ли закона Ньютона для объяснения всех явлений. С этой точки зрения неявные соотношения, о которых я говорил выше, могут оказаться столь же полезными, как и явные формулы. Действительно, достаточно в них подставить наблюденные значения координат и проверить, удовлетворяются ли они.

 

ГИЛЬБЕРТ

(1862—1943)

Давид Гильберт родился в Восточной Пруссии. В отличие от обычпых для немецких студентов того времени, скитающихся из одного университета в другой, Гильберт получил образование и первые ученые степени в родном Кенигсберге. Основное значение для Гильберта имела сохранившаяся на всю жизнь дружба с Минковским и Адольфом Гурвпцем. В беседах с ними, часто во время долгих прогулок, больше, чем от занятий с кппгами, лекций и семинаров, сформировался Гильберт как ученый: в дальнейшем оп всегда предпочитал устное слово печатному.

В 1895 г. по инициативе Клейна Гильберт был приглашен в Геттинген, и именно с Готтингеном неразрывно связана вся дальнейшая жизнь Гильберта. В 1930 г. Гильберт по возрасту оставил кафедру, кафедру, которую некогда занимали Гаусс и Риман.

Творчество Гильберта охватывало по существу всю математику. Он обычно выделял одну область, в которой сосредоточенно и целеустремленно работал в течение нескольких лет, а затом переходил к другой; таким путем Гильберт стал мате-матпком-упиверсалом. Академик А. Н. Колмогоров намечает восемь таких периодов: теория инвариантов (1885—1893), теория алгебраических числовых полей (1893— 1898), основания геометрии (1898—1902), проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906)* интегральные уравнения (1900—1910), решение уравнения Варинга в теории чисел (1908—1909), математическая физика (1910—1922) и, наконец, логические основы математики (1922—1939). В работах по основаниям математики Гильберт считал возможным достичь непротиворечивого обоснования математики на основе канторовой теории множеств. Убеждение Гильберта привело к возникновению так называемого формалистического направления в математике. Однако последующие работы Геделя по логической незамкнутости арифметики сильно поколебали веру в этот подход.

Быть может, еще большее значение, чем собственные перворазрядные творческие достижения Гильберта, имело влияние стиля его мышления, те требования ясности и определенности результатов, которые он ставил, то сочетание простоты и строгости, которых он добивался от своих учеников.

Гильберт возглавил обширную школу, оказавшую сильное влияние на всю мате* матику и физику начала XX века. После прихода к власти Гитлера «чистка» германских университетов больше всего коснулась учеников Гильберта. Вейль и Курант покинули родину, другие потеряли свое место, некоторые погибли в концлагерях. Последние годы жизни для Гильберта были трагическими годами одиночества; на его глазах разрушалась германская культура, блестящим представителем которой он был. Гильберт умер в Геттингене на 81-м году жизни; на его могиле написано:

Wir miissen wissen

Wir werden wissen

(мы должны знать — мы будем знать).

приводим вступительную часть речи Гильберта на II Международном съезде математиков в Париже в 1900 г. В этой знаменитой речи Гильберт сформулировал 23 проблемы. Последующее развитие математики показало всю глубину его интуицпп и понимания путей развития математики. Мы приводим также предисловие к «Основаниям геометрии» (1930), первоначально вышедшим в 1899 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ

Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особые цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?

История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или .решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным. Ведь большие даты не только заставляют нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее.

Невозможно отрицать глубокое значение, какое имеют определенные проблемы для продвижения математической науки вообще, и важную роль, которую они играют в работе отдельного исследователя. Всякая научная область жизнеспособна, пока в ней избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание или прекращение самостоятельного развития. Как вообще каждое человеческое начинание связано с той или иной целью, так и математическое творчество связано с постановкой проблемы. Сила исследователя познается в решении проблем: он находит новые методы, новые точки зрения, он открывает более широкие и свободные горизонты.

Трудно, а часто и невозможно заранее правильно оценить значение отдельной задачи; ведь в конечном счете ее ценность определится пользой, которую она принесет науке. Отсюда возникает вопрос: существуют ли общие признаки, которые характеризуют хорошую матемдтическую проблему? ^

Один старый французский математик сказал: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному». Это требование ясности и легкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы, если она претендует на. совершенство; ведь ясность и легкая доступность нас привлекают, а усложненность и запутанность отпугивают.

Математическая проблема, далее, должна быть настолько трудно#,* чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными наши усилия; она должна быть путеводным знаком на запутанных тропах, ведущих к сокрытым истинам; и она' затем должна награждать нас радостью найденного решения.

Математики прошлого столетия со страстным рвением отдавались решению отдельных трудных задач; они знали цену трудной задаче. Я напомню только поставленную Иоганном Бернулли задачу о линии быстрейшего падения. «Как показывает опыт,— говорит Бернулли, оповещая о своей задаче,— ничто с такой силой не побуждает высокие умы к работе над обогащением знания, как постановка трудной и в то же время по-' лезной задачи». И поэтому он надеется заслужить благодарность математического мира, если он,— следуя примеру таких мужей, как Мерсенн, Паскаль, Ферма, Вивиаии и другие, которые (до него) поступали так' же,— предложит задачу выдающимся аналитикам своего времени, чтобы они могли на ней, как на пробном камне, испытать достоинства своих методов и измерить свои силы. Этой задаче Бернулли и другим аналогичным задачам обязано своим зарождением вариационное исчисление.

Известно утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение

х п + у п = z n

неразрешимо в целых числах х, у, z, если не считать известных очевидных исключений. Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

Напомню еще об одной интересной проблеме — задаче трех тел. То обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение и значительно продвинул эту трудную задачу, привело к плодотворным методам и далеко идущим принципам, введенным этим ученым в небесную механику, методам и принципам, которые сейчас признаются и применяются также и в практической астрономии.

Обе упомянутые проблемы — проблема Ферма и проблема трех тел — являются в нашем запасе проблем как бы противоположными полюсами: первая представляет свободное движение чистого разума, принадлежащее области абстрактной теории чпсел, вторая выдвинута астрономией и необходима для познания простейших основных явлений природы.

Однако часто случается, что одна и та же специальная проблема появляется в весьма различных областях математики. Так, проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, теории кривых и поверхностей, механике и вариационном исчислении. А как убедительно демонстрирует Ф. Клейн в свсхей книге об икосаэдре, проблема о правильных многогранниках имеет важное значение одновременно для элементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и теории линейных дифференциальных уравнений!

Чтобы осветить важность отдельных проблем, я позволю себе еще сослаться на Вейерштрасса, считавшего большой удачей для себя то стечение обстоятельств, которое позволило ему в начале своей научной деятельности заняться такой значительной проблемой, как проблема Якоби об обращении эллиптического интеграла.

После того как мы рассмотрели общее значение проблемы в математике, обратимся к вопросу о том, из какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы каждой математической области знания возникли из опыта и поставлены над миром внешних явлении. Даже иршикп счета с целыми числами были открыты на этом пути еще на ранней ступени культурного развития человечества так же, как и теперь ребенок познает применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым проблемам геометрии — пришедшим к нам из древности задачам удвоения куба, квадратуры круга, а также к старейшим проблемам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, но говоря уже о всем богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.

При дальнейшем развитии какой-либо математической дисциплины человеческий ум, обнадеженный удачами, проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления, обобщения, специализирования, удачного расчленения и группировки понятий и выступает затем сам на первый план как постановщик задач. Так возникли задача о простых числах и другие задачи арифметики, теория Галуа, теория алгебраических инвариантов, теория абелевых и автоморфных функций и так возникали почти все тонкие вопросы современной теории чисел и теории функций.

А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем наилучшпм образом продвигаем вперед старые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленная гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знания.

Остановимся еще кратко на вопросе о том, каковы могут быть общие требования, которые мы вправе предъявить к решению математической проблемы. Я имею в виду прежде всего требования, благодаря которым удается убедиться в правильности ответа с помощью конечного числа заключений и притом на основании конечного числа предпосылок, которые кладутся в оспову каждой задачи и которые должны быть в каждом случае точно сформулированы. Это требование логической дедукции с помощью конечного числа заключений есть не что иное, как требование строгости проведения доказательств. Действительно, требование строгости, которое в математике уже вошло в поговорку, соответствует общей философской потребности нашего разума; с другой стороны, только выполнение этого требования приводит к выявлению полного значения существа задачи и ее плодотворности. Новая задача, особенно если она вызвана к жизни явлениями внешнего мира, подобна молодому побегу, который может расти и приносить плоды, лишь если он будет заботливо и по строгим правилам искусства садоводства взращиваться на старом стволе — твердой основе нашего математического знания.

Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость в доказательстве — это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств. Это же стремление часто прокладывает путь к методам, которые оказываются более плодотворными, чем старые менее строгие методы. Так, теория алгебраических кривых благодаря более строгим методам теории функций комплексного переменного и целесообразному применению трансцендентных средств значительно упростилась и приобрела большую цельность. Далее, доказательство правомерности применения четырех элементарных арифметических действий к степенным рядам, а также почленного дифференцирования и интегрирования этих рядов и основанное на этом признание степенного ряда, несомненно, значительно упростили весь анализ, в частности, теорию исключения и теорию дифференциальных уравнений (вместе с ее теоремами существования).

Но особенно разительный пример, иллюстрирующий мою мысль, представляет вариационное исчисление. Исследование первой и второй вариаций определенного интеграла приводило к крайне сложным вычислениям, а соответствующие исследования старых математиков были лишены необходимой строгости. Вейерштрасс указал нам путь к новому и вполне надежному обоснованию вариационного исчисления. На примере простого и двойного интеграла я вкратце намечу в конце моего доклада, как следование этому пути приводит в то же время к поразительному упрощению вариационного исчисления вследствие того, что для установления необходимых и достаточных критериев максимума и минимума становится излишним вычисление второй вариации и даже частично отпадает необходимость в утомительных умозаключениях, относящихся к первой вариации. Я уже не говорю о тех преимуществах, которые возникают оттого, что исчезает надобность рассматривать лишь те вариации, для которых значения производных функций меняются незначительно.

Предъявляя к полному решению проблемы требование строгости в доказательстве, я хотел бы, с другой стороны, опровергнуть мнение о том, что совершенно строгие рассуждения применимы только к понятиям анализа или даже одной лишь арифметики. Такое мнение, поддерживаемое иногда и выдающимися умами, я считаю совершенно ложным. Такое одностороннее толкование требования строгости быстро приводит к игнорированию всех понятий, возникших из геометрии, механики, физики, приостанавливает приток нового материала из внешнего мира и, в конце концов, приводит даже к отбрасыванию понятия континуума и иррационального числа. А существует ли более важный жизненный

нерв, чем тот, который был бы отрезан от математики, если из нее изъять геометрию и математическую физику? Я, напротив, считаю, что всякий раз, когда математические понятия зарождаются со стороны теории познания или в геометрии, или в естественнонаучных теориях, перед математикой возникает задача исследовать принципы, лежащие в основе этих понятий, и так обосновать эти понятия с цомощью полной и простой системы аксиом, чтобы строгость новых понятий и их применимость к дедукции ни в какой мере не уступали старым арифметическим понятиям.

К новым понятиям относятся также новые обозначения. Мы их выбираем таким образом, чтобы они напоминали те явления, которые послужили поводом для образования этих понятий. Так, геометрические фигуры являются образами для напоминания пространственных представлений и в качестве таковых применяются всеми математиками. Кто не связывает с двумя неравенствами а > Ъ > с между тремя величинами а, 6, с образ тройки прямолинейно расположенных и следующих друг за другом точек в качестве геометрической интерпретации понятия «между»? Кто не пользуется образом вложенных друг в друга отрезков и прямоугольников, если нужно провести полное и строгое доказательство трудной теоремы о непрерывности функций или существования предельной точки? Кто может обойтись без фигуры треугольника, окружности с заданным центром или без тройки взаимно перпендикулярных осей? Илп кто хотел бы отказаться от образа некоторого поля или семейства кривых, или поверхностей с их огибающей — понятий, которые играют такую существенную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основах вариационного исчисления и в других чисто математических областях знания?

Арифметические знаки — это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы, и никакой математик не мог бы обойтись без этих нарисованных формул, так же как и не мог бы отказаться при счете от заключения в скобки или их раскрытия или применения других аналитических знаков.

Применение геометрических фигур в качестве строгого средства доказательства предполагает точное знание и полное владение темп аксиомами, которые лежат в основе теории этих фигур, и поэтому для того, чтобы эти геометрические фигуры можно было включить в общую сокровищницу математических знаков, необходимо строгое аксиоматическое исследование их наглядного содержания. Подобно тому как при сложении двух чисел нельзя подписывать цифры слагаемых в неверном порядке, а нужно строго следовать правилам, т.е. тем аксиомам арифметики, которым подчиняются арифметические действия, так и операции над геометрическими образами определяются теми аксиомами, которыо лежат в основе геометрических понятий и связей между ними.

Сходство между геометрическим и арифметическим мышлением проявляется также и в том, что в арифметических исследованиях мы также мало, как и при геометрических рассмотрениях, прослеживаем до конца цепь логических рассуждений, вплоть до аксиом. Напротив, в особенности при первом подходе к проблеме, мы и в арифметике, совершенно так же как и в геометрии, сначала пользуемся некоторым мимолетным, бессознательным, не вполне отчетливым комбинированием, опирающимся на доверие к некоторому арифметическому чутью, к действенности арифметических знаков,— без чего мы не могли бы продвигаться в арифметике точно так же, как мы не можем продвигаться в геометрии, не опираясь на силы геометрического воображения. Образцом арифметической теории, оперирующей строгим образом с геометрическими понятиями и знаками, может служить работа Минковского «Геометрия чисел» (Лейпциг, 1896).

Сделаем еще несколько замечаний относительно трудностей, которые могут представлять математические проблемы, и о преодолении этих трудностей.

Если нам не удается найти решение математической проблемы, то часто причина этого заключается в том, что мы не овладели еще достаточно общей точкой зрения, с которой рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным звеном в цепи родственных проблем. Отыскав эту точку зрения, мы часто не только делаем более доступной для исследования данную проблему, но и овладеваем методом, применимым и к родственным проблемам. Примерами могут служить введенное Коши в теорию определенного интеграла интегрирование по криволинейному пути и установление Куммером понятия идеала в теории чисел. Этот путь нахождения общих методов наиболее удобный и надежный, ибо, если шцут общие методы, не имея в виду какую-нибудь определенную задачу, то эти поиски, по большей части, напрасны.

При исследовании математических проблем специализация играет, как я полагаю, ещё более важную роль, чем обобщение. Возможно, что в большинстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что еще не разрешены или не полностью решены более простые и легкие проблемы, чем данная. Тогда все дело заключается в том, чтобы найти эти более легкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, при помощи понятий, поддающихся обобщению. Это правило является одним из самых мощных рычагов для преодоления математических трудностей, и мне кажется, что в большинстве случаев этот рычаг и приводят в действие, подчас бессознательно.

Вместе с тем бывает и так, что мы добиваемся ответа при недостаточных предпосылках, пли идя в неправильном направлении, и вследствие этого пе достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость данной проблемы при принятых предпосылках и выбранном направлении. Такие доказательства невозможности проводились еще старыми математиками, например, когда они обнаруживали, что отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число. В новейшей математике доказательства невозможности решений определенных проблем играют выдающуюся роль; там мы констатируем, что такие старые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах, получили все же строгое, вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось.

Этот удивительный факт наряду с другими философскими основаниями создает у нас уверенность, которую разделяет, несомненно, каждый математик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством,— уверенность в том, что каждая определенная математическая проблема непременно должна быть доступна строгому решению или в том смысле, что удается получить ответ на поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет установлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее решить. Представим себе какую-либо нерешенную проблему, скажем, вопрос об иррациональности константы С Эйлера — Маскерони или вопрос о существовании бесконечного числа простых чисел вида 2л + 1. Как ни недоступными представляются нам эти проблемы и как ни беспомощно мы стопм сейчас перед ними, мы имеем все же твердое убеждение, что их решение с помощью конечного числа логических заключений все же должно удасться.

Является ли эта аксиома разрешимости каждой данной проблемы характерной особенностью только математического мышления или, быть может, имеет место общий, о,тносящийся к внутренней сущности нашего разума закон, по которому все вопросы, которые он ставит, способны быть им разрешимы? Встречаются ведь в других областях знания старые проблемы, которые были самым удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки разрешены путем доказательства невозможности их решения. Я вспоминаю проблему perpetuum mobile (вечный двигатель) . После напрасных попыток конструирования вечного двигателя стали, наоборот, исследовать соотношения, которые должны существовать между силами природы, в предположении, что perpetuum mobile невозможен. И эта постановка обратной задачи привела к открытию закона сохранения энергии, из которой и вытекает невозможность perpetuum mobile в первоначальном понимании его смысла.

Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не существует Igno-rabimus!

Неизмеримо множество проблем в математике, и как только одна проблема решена, на ее место всплывают бесчисленные новые проблемы. Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки.

Обратимся к основам анализа и геометрии. Наиболее значительными ii важными событиями последнего столетия в этой области являются, как мне кажется, арифметическое овладение понятием континуума в работах Коши, Больцано, Кантора и открытие неэвклидовой геометрии Гауссом, Бойяи и Лобачевским. Я привлекаю поэтому Ваше внимание к некоторым проблемам, принадлежащим к этим областям.

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Геометрия,— так же как и арифметика,— требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времен Эвклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.

Настоящее исследование представляет собой новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вынести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.

***

Настоящая работа представляет собой критическое исследование основ геометрии; в этом исследовании нами руководил принцип разбирать каждый представившийся вопрос так, чтобы при этом исследовать, можно ли получить на него ответ на предначертанном заранее пути при помощи определенных ограниченных вспомогательных средств. Этот принцип содержит, как мне кажется, общее и естественное положение, когда мы при наших математических исследованиях встречаемся с некоторой проблемой или предполагаем справедливость некоторой теоремы, то наше стремление к познанию бывает удовлетворено лишь после того, как нам удастся полностью решить проблему и строго доказать теорему, или после того, как нами полностью осознается невозможность такого реше-пия (или доказательства) и тем самым становится очевидным, что все такие попытки неминуемо обречены на неудачу.

Поэтому-то в новой математике вопрос о невозможности определенных решений или неразрешимости некоторых задач играет выдающуюся роль, и стремление ответить на подобного рода вопрос часто служило толчком для открытия новых и плодотворных областей исследования. Напомним только о доказательстве Абеля невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, далее, о выяснении недоказуемости аксиомы о параллельных и, наконец, о теоремах Эрмита и Линдеман-на — о невозможности построить числа е я и алгебраическим путем.

Тот принцип, в силу которого следует повсюду выяснять условия возможности доказательства, теснейшим образом связан также с требованием «чистоты» методов доказательства — требованием, энергично выдвигаемым многими математиками. Это требование, в сущности, есть не что иное, как субъективное выражение принципа, которому мы здесь следовали. В настоящем геометрическом исследовании мы всюду стремились установить, какие аксиомы, предположения или вспомогательные средства необходимы для доказательства некоторой истины элементарной геометрии; какой метод доказательства следует предпочесть исходя из принятой только что точки зрения.

 

РАССЕЛ

(1872—1970)

Бертран Артур Вильям Рассел родился в Лопдоне в аристократической семье. Он получил прекрасное домашнее образование, затем оп поступил в Кембриджский университет, который с блеском окончил в 1894 г. Несколько месяцев он был атташе в Британском посольстве в Париже; год провел в Берлине, занимаясь историей немецкой социал-демократии. Возвратившись в Кембридж, он начинает работать в области оснований математики и математической логики. В 1903 г. Рассел публикует «Основы математики», а через два года выходит монография «Principia Mathematica», нанисапная совместно с Уайтхедом. Главным результатом этих исследований стало обнаружение противоречивости оснований теории множеств, сформулированной Расселом в виде его известных парадоксов. Сложность решения этой проблемы была сформулирована Расселом афористически: «Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим».

В последующие годы Рассел по существу оставляет математику и основные силы уделяет фхглософпи, теории познания, этической и общественно-политической проблематике. Здесь невозможно дать даже краткое резюме исключительно раз-нообразпого и противоречивого творчества этого выдающегося мыслителя. Его деятельность была отмечена Нобелевской премией по литературе в 1954 г.

Жизнь Рассела так же полна противоречий, как и его работы. Во время первой мировой воины оп был исключен из колледжа и заключен в тюрьму за антивоенные выступления. Его взгляды на мораль и религию привели к высылке из США, куда он был приглашен читать лекции. После второй мировой войны Рассел, четко поняв всю опасность, которая угрожает человечеству в случае ядерного конфликта, активно выступил в защиту мира. В 1955 г. Рассел составил обращение к правительствам стран мира, подписанное вместе с Эйнштейном. Известие о его подписи Рассел получил вместе с сообщением о смерти своего друга.

Рассел дожил до глубокой старости: он умер на 98-м году жизни. За два года до этого он еще участвовал в сидячей демонстрации защитников мира па улицах Лондона.

Мы приводим предисловие к первому изданию «Основ математики» (1903).

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

У данной работы две главные цели. Одна состоит в доказательстве того, что вся чистая математика рассматривает исключительно только понятия, определенные через очень небольшое число основных логических понятий, и что все ее положения выводятся из очень небольшого числа основных логических принципов. Эта цель рассмотрена в II— YII частях этого тома и будет доказана путем строгого символического мышления во втором томе. Доказательство этого тезиса обладает, если только я не ошибаюсь, всей определенностью и точностью, на которую способно математическое доказательство. Поскольку этот тезис лпшь недавно появился среди математиков и почти полностью отрицается философами, в этом томе я предпринял защиту разных сторон этого тезиса по мере необходимости против тех теорий, которые наиболее распространены пли же наиболее трудны для опровержения. Я также попытался представить на возможно менее специализированном языке основные этапы рассуждений, которыми этот тезис устанавливается.

Другая цель этой работы, которой посвящена часть I, заключается в объяснении фундаментальных понятий, которые математика принимает как неопределяемые. Это чисто философский труд, и я не могу себе льстить тем, что сделал больше, чем только указал на обширную область исследований и дал примеры тех методов, которыми эти исследования можно вести. Обсуждение неопределяемых понятий — в чем заключена основная часть философской логики — представляет попытку увидеть ясно и заставить уяснить других рассматриваемые вещи так, чтобы они предстали разуму с той же полнотой и наглядностью, как цвет или вкус ананаса. Когда неопределяемые, как в данном случае, получаются первоначально как неизбежный остаток в процессе анализа, то часто проще знать, что такие понятия должны существовать, чем их действительно познать. Этот процесс аналогичен тому, который привел к открытию Нептуна, с той лишь разницей, что заключительная стадия — поиски с помощью мысленного телескопа вещей, о существовании которых сделано предположение,— часто бывает наиболее трудной частью всего исследования. Я должен признать, что в случае классов я не смог предложить какого-либо понятия, удовлетворяющего условиям, сформулированным для понятия класса. И противоречие, обсуждаемое в X главе, показывает на то, что что-то упущено, однако, что именно, я до сих пор не смог установить.

Второй том, к работе над которым мне удалось привлечь А. Уайтхеда, будет обращен исключительно к математикам. В нем будут содержаться цепочки рассуждений, начинающиеся с посылок символической логики и ведущие через арифметику как конечного, так и бесконечного к геометрии в том же порядке, как это принято и в настоящем томе. В нем будут содержаться также различные оригинальные выводы, в которых метод профессора Пеано, дополненный логикой отношений, показал себя могучим инструментом исследований.

Данный том, который можно рассматривать либо «как комментарий, либо как введение ко второму тому, в равной мере адресован философу и математику. В некоторых своих частях он будет более интересен одному, а в других — другому. Математикам, если только они не заинтересованы специально в символической логике, я могу посоветовать начать с части IV и обращаться к начальным главам толькб по мере необходимости. Более философский характер имеют следующие разделы: часть I (без главы II); часть И: главы XI, XV, XVI, XVII; часть III; часть IV: § 207, главы XXVI, XXVII, XXXI; часть V: главы XLI, XLII, XLIII; часть VI: главы I, LI, LII; часть VII: главы LIII, HV, LV, LVII, LVIII, а также два приложения, относящиеся к части I, которые следует читать в связи с ними. Работа профессора Фреге, которая в значительной мере предвосхищает мою, была гае большей частью неизвестной, когда началось печатание данного труда. Я видел его «Основы арифметики»; однако нз-за большой трудности его символики я не мог ни оценить ее важность, ни принять ее содержание. Единственный способ, на столь поздней стадии, отдать должное его работам состоял в том, чтобы посвятить им приложение. Но в некоторых пунктах взгляды, содержащиеся в приложении, отличаются от тех, которые даны в главе VI, особенно в §§ 71, 73, 74. Я обнаружил ошибки в вопросах, рассматриваемых в этих параграфах, уже после того, как материал поступил в печать. Эти ошибки, из которых основная заключается в отрицании нулевого класса и отождествлении элемента с классом, единственным элементом которого он является, исправлены в приложениях. Рассматриваемые вопросы столь трудны*, что я не стал бы настаивать на настоящих своих мнениях и рассматриваю всякие выводы, которых можно придерживаться как существенно гипотетических.

Важность рассматриваемых вопросов могут помочь понять несколько cjtob о происхождении данной работы. Шесть лет тому назад я предпринял исследование философских основ динамики. Я столкнулся с трудностью, заключающейся в том, что, когда на частицу действует несколько сил, ни одна из составляющих ускорения не реализуется, а реализуется только результирующее ускорение, частями которого они но являются. Этот факт делает иллюзорным всякое причинение частичного от частичного, как это утверждается, на первый взгляд, законом тяготения. Казалось также, что проблема абсолютного движения неразрешима в рамках теории относительности пространства. От этих двух вопросов я пришел к пересмотру понятий геометрии, а затем к философским вопросам непрерывности и бесконечности, а затем к смыслу слова всякий, к символической логике. Окончательный результат, что касается философии динамики, наверное довольно скромен; причина этого состоит в том, что почти все проблемы динамики кажутся мне лишь эмпирическими и потому лежащими вне пределов данной работы. Пришлось опустить также много интересных вопросов, особенно в частях VI и VII, как не относящихся к моей цели и которые, с тем, чтобы избежать непонимания, лучше всего объяснить здесь.

Когда рассматриваются действительные предметы, или же когда геометрия и динамика применяются к действительно существующему пространству или материи, или же когда любым другим образом математические рассуждения применяются к тому, что существует, то же рассуждение, которое используется, применяется в виде, не зависящем от объектов, к которым они применяются, полагая, что эти объекты именно таковы, какими они есть, и обладают определенными общими свойствами. В чистой математике нет вопроса о действительных предметах реального мира, в ней идет речь только о гипотетических объектах, имеющих общие свойства, от которых зависят любые рассматриваемые заключения. Эти общие свойства всегда будут выражаться в терминах фундаментальных понятий, которые я назвал логическими константами. Так, когда в чистой математике мы говорим о пространстве и движении, мы не говорим о действительном пространстве и’ действительном движении, какие мы знаем из опыта, мы говорим о вещах, обладающих теми абстрактными общими свойствами пространства и движения, которые используются в геометрических и динамических рассуждениях. Вопрос о том, относятся ли эти свойства в действительности к реальному пространству и материи, не имеет никакого отношения к чистой математике и тем самым к данной работе. С моей точки зрения — это чисто эмпирический вопрос, который следует исследовать в лаборатории или обсерватории. Косвенно, правда, рассуждения, связанные с чистой математикой, имеют очень большое отношение к таким эмпирическим вопросам, поскольку математические пространство и движение считаются многими,

31 Жизнь науки быть может и большинством философов, внутренне противоречивыми И потому по необходимости отличающимися от действительного пространства и движения, тогда как, если взгляды, излагаемые па следующих страницах, верны, то никаких внутренних противоречий в математических пространстве и движении не должно усматриваться. Однако такие соображения, лежащие вне математики, практически полностью исключены из данной работы.

По основным вопросам философии в своих главных чертах я следую Дж. Э. Муру. Я заимствую у него идею неэкзистенциального характера высказываний (за исключением утверждений существования) и их независимости от любого познающего разума. Я также принял плюрализм, рассматривающий мир, как сущего, так и сущностей, состоящим из бесконечного числа взаимно независимых сущностей, отношения которых яв-ляются исчерпывающими и не сводятся к чему-либо, зависящему от их элементов или того целого, которое они составляют. До того, как я усвоил эти взгляды от него, я был совершенно не в состоянии построить какую-либо философию арифметики, в то время как их принятие привело к немедленному освобождению от большого числа трудностей, трудностей, которые я считал непреодолимыми. Только что упомянутое учение, с моей точки зрения, совершенно необходимо для всякой сколько-нибудь удовлетворительной философии математики, что, как я надеюсь, будет видно из следующих страниц. Однако я должен предоставить моим читателям судить о том, в какой мере мои рассуждения опираются на эти принципы и в какой мере они, эти принципы, подтверждаются. Формально мои посылки просто постулируются. Но тот факт, что они позволяют математике быть истинной, чего не допускает большинство философских теорий, является сильнейшим доводом в их пользу.

В математике я больше всего обязан, как это, наверное, очевидно, Георгу Кантору и профессору Пеано. Если бы я был ранее знаком с работами профессора Фреге, то я многим был бы обязан и ему, хотя я и независимо получил ряд результатов, которые он уже установил. На каждом этапе моей работы мне помогали замечания, пример и великодушная поддержка А. Н. Уайтхеда. Он также был настолько любезен, что прочел корректуру и значительно улучшил окончательный вид очель многих мест. Ряду полезных замечаний я обязан также В. Э. Джонсону. Помимо общих положений, лежащих в основе целого, в более философских частях книга я многим обязан Дж. Э. Муру.

В попытке охватить столь обширную область невозможно было достичь исчерпывающего знакомства с литературой и несомненно есть ряд важных работ, с которыми я незнаком. Однако тогда, когда труд по размышлению и написанию по необходимости поглощает столько времени, такое незнакомство невозможно избежать, как бы печально оно ни было.

В изложении многие слова будут определяться в смысле, отличающемся от общепринятого в обиходе. Такие отступления, и я должен просить читателя этому поверить, .не являются произвольными и сделаны

по необходимости. В философских вопросах это происходит по двум причинам. Во-первых, часто бывает, что рассматривают два известных понятия и что язык имеет два названия для одного и ни одного для другого. В таких случаях в высшей степени удобно установить различие между двумя названиями, которые обычно рассматриваются как синонимы, оставив одно для обычного, а другое для дотоле безыменного понятия. Во-вторых, это идет от философских разногласий с установленными точками зрения. Когда два качества обычно получаются раздельно связанными, а здесь полагаются раздельными, название, которое обычно прилагалось к их сочетанию, будет применимо к одному пли другому. Например, утверждения обычно принимаются как: 1) истинные или ложные; 2) мыслимые. Полагая, как это делаю я, что то, что истинно или ложно, не является вообще мыслимым, я требую названия для истинного или ложного как такового и это название едва ли может быть иным, чем утверждением. В таком случае расхождение с общеупотребительным ни в коей мере не произвольно. Что касается математических терминов, то необходимость установления в каждом случал теорем существования — иными словами, доказательства того, что существую? рассматриваемые сущности, привело ко многим определениям, которые кажутся существенно отличными от понятий, обычно приписываемых рассматриваемым терминам. Таковы, например, определения кардинальных, обычных и комплексных чисел. Определение первых двух, а также ряда других случаев, определение класса (множества), полу-' ченное на основе принципа исчерпания, просто опирается на факт того, что здесь нет сомнений в теоремах существования. Однако во многих случаях такого кажущегося отличия от общеупотребительного можно сомневаться в том, насколько было бы возможным увеличить точность понятий, которые до сих пор были более или менее расплывчатыми.

При публиковании работы, содержащей столько непреодолимых трудностей, я должен принести извинения за то, что исследования не обнаружили сколько-нибудь близкую возможность удовлетворительного решения противоречий, обсужденных в главе X, или возможности лучшег® проникновения в природу множеств. Повторяющееся обнаружение ошибок в решениях, которые в свое время меня удовлетворяли, привело к тому, что эти проблемы стали казаться таквгми, что в них только скрывается кажущаяся удовлетворительной теория, которая при достаточно долгом размышлении могла быть создана. Поэтому я считаю более правильным просто отметить трудности, чем ждать, пока я буду убежден в истинности некоторых, возможно полностью неверных, положений.

Я должен выразить свою благодарность директору Университетского издательства и его секретарю г-ну Р. Т. Райту за помощь !и содействие в отношении данного томо.

Лондон, декабрь 1902 г.

 

ВЕЙЛЬ

(1885-1955)

Гермап Вейль родился в небольшом городке Эльмсхорн вблизи Гамбурга, в семье адвоката. Директором гимназии, где он учился, был двоюродный брат Давида Гильберта; именно в Геттингенский университет, где профессором был Гильберт, поступил в 1904 г. Вейль. Оп учился четыре года, а затем стал приват-доцентом университета. Один год Вейль провел в Мюнхене, у Клейна и Зоммерфельда; однако, женившись в 1913 г., Вейль переехал в Цюрих, где получил кафедру в Высшей федеральной технической школе.

Разносторонний по интересам Вейль интенсивно работал в различных областях математики. Вместе с голландским математиком Броуэром Вейль возглавил так называемое интуиционистское направление в математике, противостоящее формализму Гильберта. Быть может, наибольшее конкретное значение имеют работы Вейля по теории групп и инвариантов. Ныне эта область математики получила исключительное значение дли фивики, когда наиболее общие физические законы мы стремимся связывать со свойствами симметрии частиц, пространства и времени. В физике Вейль работал в области теории относительности и квантовой механики. Владея блестящим литературным стилем, Вейль много писал по методологии науки и философским проблемам естествознания. В 1930 г. Вейль принял кафедру Гильберта в Геттингене. Но это время — время наступления фашизма — было тяжким для него. В 1933 г. Вейль покидает Германию и переезжает в США. Там он становится сотрудником Института перспективных исследований в Принстоне, где уже работали Эйпштейп, Вигнер и Нейман.

В 1951 г. Вейль вернулся в Европу, в Цюрих, и его лебединой песней стала его замечательная популярная книга «Симметрия» (1952). Вскоре после своего 70-летнего юбилея Вейль умер.

Мы приводим предисловие к книге Вейля «Теория групп и квантовая механика» (1928) и предисловие к его итоговой монографии «Классические группы, их инварианты и представления» (1939).

ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

В последнее время все более и более признается важность теоретпко-группового подхода к общим законам квантовой теории. Поскольку в течение ряда лет я был глубоко поглощен теорией представлений непрерывных групп, мне казалось существенным и важным представить отчет о достижениях математиков, работающих в этой области, в виде, соответствующем требованиям квантовой физики. Дополнительный толчок этому дает тот факт, что с чисто математической точки зрения уже невозможно проводить столь резкой грани между конечными и непрерывными группами при обсуждении теории их представлений так, как ято до сих пор делалось. Желание показать на примерах некоторых наиболее важных случаев, как возникающие в теории групп понятия находят свое приложение к физике, привело к необходимости включить короткое введение в основы квантовой физики, поскольку ко времени написания этой книги не было такого изложения, к которому я мог бы отослать читателя. Эта книга, если она достигнет своей цели, должна дать читателю возможность изучить основы теории групп и квантовой механики, так же как и понять отношение, существующее между этими двумя предметами. Математические части книги написаны, имея в виду интересы физика, так же как и обратное. Я специально подчеркиваю «взаимность» между представлениями симметричных групп перестановок и полной линейной группой. Этой зависимостью в физической литературе до сих пор пренебрегали, несмотря на то, что она естественно следует из концептуальной структуры квантовой механики.

Существует, по-моему, четко различимая параллель между современными достижениями математики и физики. Математика Запада за последние века отошла от точки зрения греков и пошла по пути, который, по-видимому, возник в Индии и был затем передан нам, с некоторыми добавлениями, арабами. В этом подходе понятие числа логически предшествует понятиям геометрии. В результате мы систематически прилагаем это далеко развитое понятие о числе ко всем отраслям науки, безотносительно к тому, насколько оно соответствует таким частным приложениям. Однако совремепная тенденция в математике несомненно направлена в сторону возврата к позициям греков. Теперь мы смотрим на каждую отрасль математики, как определяющую собственную область количественных понятий. Современный алгебраист рассматривает континуум вещественных или комплексных чисел лишь как одно «поле» среди многих. Современная аксиоматика проективной геометрии может рассматриваться как соответственное проявление той Яче тенденции в области геометрии. Эта новая математика, включающая современную теорпю групп и «абстрактную алгебру», движется силой, отличной от духа «классической математики», высшее выражение которой мы находим в теории функций комплексного переменного. Континуум вещественных чисел сохранил свою древнюю прерогативу в физике для выражения результатов физических измерений. Но справедливо можно утверждать, что сущность новой квантовой механики Гейзенберга — Шредингера — Дирака заключается в том, что она связывает с каждой физической системой набор величин, составляющих некоммутативную алгебру в точном математическом смысле, элементами которой являются сами физические величины.

Цюрих, август 1928 г.

КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, ИХ ИНВАРИАНТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

С тех пор как мне удалось в 1925 г., комбинируя инфинитезимальныс методы Э. Картана и интегральный метод И. Шура, определить характеры полупростых непрерывных групп, я поставил своей целью вывести главные результаты для наиболее важных из этих групп, в частности, для полной группы невырожденных линейных преобразований и для ортогональной группы, прямым алгебраическим построением. Благодаря, главным образом, работам и сотрудничеству Р. Броуэра в течение последних нескольких лет, я в настоящее время обладаю всеми необходимыми для этого средствами. Задачу можно точно охарактеризовать следующим образом: разложить пространство тензоров заданного ранга на его неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований в полояхениом в основу векторном пространстве. Другими словами, предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся «величин», которые можно приготовить из материала тензоров прп режиме той или иной группы. Такова проблема, образующая один из стержней этой книги, и, в соответствии с алгебраическим подходом, решение ее разыскивается не только в поле вещественных чисел, на котором анализ и физика разыгрывают свои сражения, но и в произвольном поле характеристики нуль. Однако я не пытался охватить поля простой характеристики.

Понятие алгебраического инварианта абстрактной группы у не может быть сформулировано, покуда мы не владеем понятием представления Я группы линейными преобразованиями, или эквивалентным понятием «величины типа St». Поэтому проблема нахождения всех представлений или величин группы у должна логически предшествовать проблеме нахождения алгебраических инвариантов этой группы. (По поводу понятии величин и инвариантов более общего характера и их тесной взаимосвязи отсылаем читателя к главе I, где эрлангенская программа Клейна пересказана в несколько более абстрактных терминах.) Второй моей целью является — дать современное введение в теорию инвариантов. Уже давно пора омолодить классическую теорию инвариантов, впавшую почти в окаменелое состояние. Оправданием тому, что я придерживался значительно более копсервативпого стиля, чем это, вероятно, казалось бы желательным нашему молодому поколению алгебраистов, является нежела-ппе жертвовать прошлым; но даже при этом, надеюсь, я достаточно решительно прокладывал путь к современным концепциям. Я не претендовал на то, чтобы написать монографию по современной теории инвариантов: систематическое руководство должно было бы содержать много вещей, обойденных здесь молчанием.

Как видно из предшествующего описания, предмет этой кпиги довольно специальный. Как бы важны ни были общие понятия и предложения, которыми одарило нас современное деятельное увлечение аксиоматизированием и обобщениями, распространенное в алгебре, быть может, больше, чем в какой бы то ни было другой области,— все же я убежден в том, что именно специальные проблемы во всей их сложности составляют опору и стержень математики; и преодоление их трудностей требует, вообще говоря, наиболее серьезных усилий. Разумеется, линия раздела здесь неопределенна и текуча. Однако общей теории представлений групп совершенно сознательно посвящено едва лп более двух страниц, тогда как применение этой теории к рассматриваемым группам частного вида занимает по крайней мере в пятьдесят раз больше места. Общие теории показаны здесь в их возникновении из специальных проблем, анализ которых приводит к этим теориям как действенному инструменту решения, с почти принудительной необходимостью; но однажды появившись, этп теории освещают широкую область за пределами ограниченного участка их возникновения. В этом духе мы изложим, среди прочих вещей, учение об ассоциативных алгебрах, возвысившееся в последнее десятилетие до руководящего положения в математике.

Связи с другими частями математики подчеркнуты здесь всюду, где к этому представляется случай, и несмотря на алгебраический, в основном, характер книги, не обойдены ни инфинитезимальный, ни топологический методы. Опыт подсказывает мне, что борьба с опасностью слишком сильной специализации и технизации математического исследования особенно важна в Америке. Строгая точность, достижимая математическим мышлением, привела многих авторов к манере изложения, которая должна произвести па читателя такое впечатление, как если бы он был заключен в ярко освещенную камеру, где каждая деталь выделяется с одинаково ослепляющей ясностью, но без рельефности. Я предпочитаю открытый ландшафт под ясным небом с его глубиной перспективы, где обилие отчетливо очерченных близких деталей постепенно сходит на нет по мере удаления к горизонту. В частности, горный массив топологии лежит для этой книги и ее читателя у горизонта, и потому те его части, которые следовало поместить в картину, даны лишь в грубых чертах. От читателя ожидается здесь готовность переключаться на точки зрения, отличные от принятых в алгебраических частях, и добрая воля к сотрудничеству.

Книга предназначена, главным образом, для тех, кто скромно хочет узнать изложенные в ней новые вещи, а не для гордых ученых, уже знакомых с предметом и желающих лишь получить быструю и точную справку о той или иной детали. Она не является ни монографией, ни элементарным учебником. В том же духе составлены и ссылки на литературу.

Боги наложили на мои писания путы чужого языка, не звучавшего у моей колыбели:

«Was dies heissen will, weiss jeder,

Der im Traum pferdlos geritten» [80]

— хотелось бы мне сказать вместе с Готфридом Келлером. Никто более меня не почувствует связанной с этим утраты силы, легкости и ясности выражения. Если, все же, удалось избежать хотя бы грубейших ошпбок, то этим относительным достижением я целиком обязан преданному сотрудничеству моего ассистента, д-ра Альфреда Клиффорда; но еще более ценной, чем лингвистическая, была для меия его математическая критика.

Принстон, Нью-Джерси, сентябрь 1938 г.

БУРБАКИ [81]

Под именем Никола Бурбаки известна группа ученых, доставивших себе целью дать систематическое изложение всей современной математики, следуя аксиоматическому методу. Эта идея, восходящая еще к Давиду Гильберту, была осуществлена в серии монографий «Элементы математики», которая начала выходить с 1939 года. За 30 лет таким образом было написано более 40 книг. Точный состав группы, в которую входят в основном французские математики — главным образом питомцы Нормальной школы, держится в тайне. Одпако представление как об идейных истоках, так и о составе группы Бурбаки можно получить из следующего иронпческого траурного сообщения, разосланного в 1969 г. по ведущим математическим институтам мира в связи с предполагаемым прекращением деятельности этого уникального творческого коллектива. Ниже следует перевод текста, полученного в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР:

"Семейства Кантор, Гильберт, Нётер; семейства Картан, Шеваллье, Дьедонне, Вейль; семейства Брюа, Диксмье, Годеман, Самюэль, Шварц; семейства Демазюр, Дуадн, Жиро, Вердье; семейства, фильтрующиеся вправо, и строгие эпиморфизмы мадемуазели Адель и Идель с прискорбием сообщают о кончине господина Никола Бур-баки, соответственно их отца, брата, сына, внука, правнука и внучатого племенника, почившего в бозе 11 ноября 1968 года в День Победы в своем имении в Нанкаго.

Погребение состоится в субботу 23 ноября 1968 года, в 15 часов, на кладбище Случайных функций (станция метро Марков и Гедель).

Сбор перед баром «У прямых произведений», перекресток Проективных резольвент (бывшая площадь Кошуля).

По воле покойного, мессу в Соборе Богоматери универсальных проблем отслужит Его Преосвященство кардинал Алеф Первый, в присутствии уполномоченных представителей всех классов эквивалентности и слоев замкнутых отображений. Память покойного минутой молчания почтят воспитанники Высших Нормальных школ и Классов Черна.

Цветы, венки и сплетения просьба не возлагать.

«Ибо, Господь есть Александровская компактификация Вселенной» (Евангелие от Гротендика, гл. IV, стр. 22)»“.

Ниже следует введение к первому тому «Элементов математики» — «Теории множеств» (1938), где формулируется точка зрения авторов этого всеохватывающего труда.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Введение

Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство». Некоторые сомневаются даже, что вне математики имеются доказательства, в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой мы хомм придать ему здесь. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в наших глазах; а в эпоху, когда понятие доказательства было под угрозой утраты и математика находилась из-за этого в опасности, образцы искали именно у греков. Однако к столь славному наследию в течение последнего века прибавились новые важные завоевания.

Действительно, анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точка зрения как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке, который содержит лишь небольшое число неизменных «слов», соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным. Запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации и таблица логарифмов »суть формализованные тексты* Формулы обычного алгебраического псчисления т&кже будут формализованными текстами, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от них.

Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимапия, так как единственные возможные источники ошибок — это длпна или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. Напротив, в неформализованном тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Однако в действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, «строгости», доказательства или теории, отнюдь не прибегает к одной из тех полных формализаций, которыми мы сейчас располагаем, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другпмн подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением (быть может, очень тягостным) в терпении. Если, как нередко бывает, возникают сомнения, то в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации — употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Если оставить в стороне последний случай, то непременно рано или поздно сомнения преодолеваются тем, что текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы пе станет излишним. Иными слрвамн, правильность математического текста всегда проверяется более или менее явным сравнением с правилами какого-либо формализованного языка.

Аксиоматический метод, собственно говоря, есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима. Он не является новым изобретением, но его систематическое употребление в качестве инструмента открытий составляет одну из оригинальных черт современной математики. В самом деле, и. при записи, и при чтении формализованного текста совершенно несущественно, приписывается ли словам и знакам этого текста то или ипое значение или даже не приписывается никакого,— важно лишь точное соблюдение правил синтаксиса. Именно поэтому алгебраические вычисления, как знает каждый, могут служить для решения задач о килограммах или о франках, о параболах или о равномерно ускоренных движениях. Таким же преимуществом — и по тем же причинам — обладает и всякий текст, составленный по аксиоматическому методу. Коль скоро теоремы Общей топологии установлены, их можно применять по желанию и к обычному пространству, и к гильбертову, равно как и ко многим другим пространствам. Эта возможность придавать разнообразное содержание словам или первичным понятиям теории составляет вместе с тем важный источник обогащения интуиции математика, которая отнюдь не обязательно имеет пространственную или чувственную природу, как часто думают, а скорее представляет собой некоторое знание поведения математических объектов, часто прибегающее к помощи образов самой различной природы, vio основанное прежде всего на повседневном знакомстве с этими объектами. На таком пути нередко открывалась возможность плодотворного изучения в какой-либо теории свойств, которые в ней по традиции оставались без внимания, но которые систематически изучались в общей аксиоматической теории, охватывающей данную теорию как частную модель (например, свойств, ведущих свое историческое происхождение от другой частной модели этой общей теории). Более того,-— и это нам особенно важно в настоящем Трактате — аксиоматический метод позволяем когда дело касается сложных математических объектов, расчленить пх свойства и перегруппировать эти свойства вокруг немногих понятий, 1. е., если воспользоваться словом, которое далее получит точное определение, он позволяет классифицировать свойства по структурам, которым они принадлежат (одна и та же структура, разумеется, может фигурировать в связи с разными математическими объектами). Так, среди свойств сферы одни являются топологическими, другие — алгебраическими, а третьи могут рассматриваться как относящиеся к дифференциальной геометрии или к теории групп Ли. Каким бы искусственным этот принцип классификации ни становился иногда по мере переплетения структур, именно он лежит в основе распределения по книгам материала, составляющего предмет настоящего Трактата.

Подобно тому как искусство правильно говорить на живом языке существовало еще до грамматики, так и аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков. Однако его сознательное применение может основываться только на знании общих принципов, управляющих этими языками, и их соотношений с обычными математическими текстами. Мы намереваемся в этой книге Трактата дать сначала описание одного такого языка вместе с изложением общих принципов, применяемых ко многим другим подобным языкам. Однако для наших целей будет достаточно лишь одного-единственного языка. В самом деле, если прежде могли думать, что каждая отрасль математики зависит от специфических интуиций, дающих ей первичные понятия и истины, и потому для каждой отрасли необходим с£ой cue-цифический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника — Теории множеств. Таким образом, нам будет достаточно изложить принципы какого-то одного формализованного языка, рассказать, как сформулировать на этом языке Теорию мпожеств, а затем постепенно, по мере того как наше внимание будет направляться на различные отрасли математики, показывать, как они включаются в Теорию множеств. Поступая так, мы не намереваемся давать законы на вечные времена. Может случиться, что когда-нибудь математики согласятся использовать способы рассуждения, не поддающиеся формализации в излагаемом здесь языке. Тогда придется если и не полностью изменить этот язык, то по крайней мере расширить правила синтаксиса. Решение принадлежит будущему.

Само собой разумеется, описание формализованного языка делается на обычном языке, подобно описанию правил игры в шахматы; мы не входим в обсуждение психологических или метафизических проблем, связанных с применимостью обычного языка в таких обстоятельствах (например, возможности опознать, что какая-нибудь буква алфавита является «той же самой» в двух различных местах страницы, и т.д.). Равным образом невозможно выполнить такое описание без того, чтобы не применять нумерацию; хотя строгие умы могли бы почувствовать затруднение при этом и даже найти здесь логическую ошибку, тем не менее ясно, что в данном случае цифры используются лишь как опознавательные метки (впрочем, заменимые другими знаками, например цветами и ли буквами) и что подсчет знаков в выписанной формуле еще не составляет никакого математического рассуждения. Мы не будем обсуждать возможность обучить принципам формализованного языка существа, умственное развитие которых не доходило бы до умения читать, писать и считать.

Если бы формализованная математика была так же проста, как игра в шахматы, то, составив описание выбранного нами формализованного языка, мы должны были бы затем лишь излагать наши доказательства на этом языке, подобно тому как автор шахматного трактата записывает в своей нотации партии, которым он хочет научить, сопровождая пх в случае необходимости комментариями. Однако вопрос решается отнюдь не столь легко, и не требуется большого опыта, чтобы убедиться в абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков для своей полной формализации. Поэтому, уже начиная с книги I настоящего Трактата, возникает настоятельная необходимость сокращать формализованный текст введением новых слов (называемых «сокращающими символами») и дополнительных правил синтаксиса (называемых «дедуктивными критериями») в довольно значительном количестве. Поступая так, мы получаем языки, гораздо более удобные, чем формализованный язык в собственном смысле, и относительно которых любой мало-мальски опытный математик будет убежден, что их можно рассматривать как стенографические транскрипции формализованного языка. Но мы уже не будем иметь увсрепности, что переход от одного из* этих языков к другому может быть сделан чисто мехадичеекдм образом. Чтобы обрести эту уверенность, пришлось бы настолько усложнить правила синтаксиса, управляющие употреблением новых слов, что польза от этих слов стала бы иллюзорной. Здесь, как и в алгебраическом исчислений и при употреблении почти любых обозначений, которыми обычно пользуются математики, удобный инструмент предпочитается другому, теоретически более совершенному, но слишком громоздкому.

Как увидит читатель,-введение этого сжатого языка сопровождается «рассуждениями» особого типа, принадлежащими к так называемой Метаматематике. Эта дисциплина, абстрагируясь полностью от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает эти тексты как особые простые объекты, как собрания некоторых заранее данных объектов, для которых важен лпшь порядок их расположения. И как трактат по химии заранее объявляет результат эксперимента, производимого при данных условиях, так и математические «рассуждения» будут обычно устанавливать, что после некоторой последовательности операций над текстом данного типа окончательный текст будет текстом другого* данного типа. В простейших случаях такие утверждения, по правде говоря, являются чистыми трюизмами (их можно было бы сравнить, например, со следующим утверждением: «Когда в мешке с шарами, содержащем черные шары и шары белые, заменят все черные шары белыми, в мешке останутся только белые шары»). Но очень скоро мы встречаем примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Если выше мы устранили возражение против употребления нумерации при описании формализованного языка, то теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку теперь как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания. На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддающиеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы черпаем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном омысле. Проще, по-видимому, сказать, что можно было бы обойтись без математических рассуждений, если бы формализованная математика была действительно записана: вместо использования «дедуктивных критериев» мы каждый раз вновь начинали бы последовательности операций, которые мы теперь хотим сократить тем, что предсказываем их результат. Но формализованная математика ие может быть записана вся полностью, и потому в конце концов приходится питать доверие к тому, что можпо назвать здравым смыслом математика,— доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле пля численной таблице и которое в конечном счете основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами.

Итак, мы очень скоро покинем формализованную математику, но тем не менее будем заботиться о том, чтобы отмечать дорогу, по которой к ней можно вернуться. Льготы, приносимые первыми же «вольностями речи» такого рода, позволят нам написать остальную часть Трактата (и, в частности, сводку результатов книги I) так, как пишутся на практике все математические тексты, т.е. отчасти обычным языком, отчасти с помощью формул, составляющих частичные формализации, специальные и неполные, из которых алгебраическое исчисление может служить наиболее известным примером. Часто даже мы будем пользоваться обычным языком еще более смело, с произвольно вводимыми вольностями речи, с полным опущением мест, относительно которых предполагается,, что мало-мальски искушенный читатель способен их легко восстановить, с указаниями, не переводимыми на формализованный язык и служащими для облегчения этого восстановительного процесса. Другие места, равно непереводимые, будут содержать комментарии, назначение которых, сделать более ясным развитие идей, с обращением в случае необходимости к интуиции читателя; использование риторических средств становится поэтому законным, лишь бы оставалась неизменной возможность-формализации текста. Первые примеры такого стиля будут даны уже в: этой книге Трактата, в гл. III, излагающей теорию целых и кардинальных чисел.

Итак, написанный по аксиоматическому методу и сохраняющий всюду в виду, как некий горизонт, возможность полной формализации, наш Трактат претендует на полную строгость — претензия, которую не опровергают нп изложенные выше соображения, пи списки опечаток, с помощью которых мы исиравляли и будем исправлять ошибки, время от времени вкрадывающиеся в текст. Благодаря тому, что мы постоянно стараемся держаться настолько близко к формализованному тексту, насколько это представляется возможным без невыносимых длиннот, проверка в принципе легка; ошибки (неизбежные при подобном предприятии) можно обнаружить без больших затрат времени, и риск, что они сделают недействительными главу или целую книгу Трактата, остается весьма незначительным.

В том же реалистическом духе мы рассматриваем здесь вопрос о непротиворечивости — один из вопросов, наиболее занимающих современных логиков и в той или иной мере встающих уже с самого начала*, при создании формализованных языков (см. «Исторический очерк»). Та или иная математическая теория называется противоречивой, если какая—либо теорема доказывается в пей вместе со своим отрицанием. Тогда из обычных правил умозаключения, лежащих в основе правил синтаксиса формализованных языков, можно вывести следствие, что любая теорема одновременно и истинна, и ложна в этой теории, теряющей тем самым всякий интерес. Если, таким образом, мы нечаянно придем к противоречию, то мы не можем оставить его существовать далее, не обесценивая теории, в которой оно возникло.

Можно ли приобрести уверенность, что этого никогда не случится? Не пускаясь по этому поводу в выходящие за пределы нашей компетенции споры о самом понятии уверенности, заметим, что математика может попытаться рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. В самом деле, сказать, что некоторая теория противоречива, сводится к тому, чтобы сказать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением 0=7^0. Но метаматематика может пытаться с помощью способов рассуждения, заимствованных у математики, изучить строение этого формализованного текста, предполагаемого записанным, и в итоге ухитриться «доказать» невозможность такого текста. В самом деле, такие «доказательства» были даны для некоторых частных формализованных языков, менее богатых, чем тот, который мы хотим ввести, но достаточно богатых для того, чтобы на них можно было записать значительную часть классической математики. Можно спросить, правда, что именно «доказывается» таким путем; ведь если бы математика была противоречива, то некоторые ее применения к материальным объектам, и в частности к формализованным текстам, рисковали бы стать иллюзорными. Чтобы избежать этой дилеммы, было бы необходимо, чтобы непротиворечивость формализованного языка можно было «доказать» посредством рассужде-ппй, формализуемых в языке, менее богатом и тем самым более достойном доверия. Но знаменитая теорема математики, принадлежащая Гёделю, говорит, что это невозможно для языка того типа, который мы хотим описать, т.е. для языка, достаточно богатого аксиомами, чтобы допускать формулировку результатов классической арифметики.

С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т.е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) метаматематическая часть рассуждения (ср. гл. 1, § 2, п° 4) настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть ее сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, еще ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда.

Если бы дело и сложилось иначе, то, конечно, замеченное противоречие было бы внутренне присуще самим принципам, положенным в основание Теории множеств, а потому нужно было бы видоизменить эти принципы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми мы наиболее дорожим. И ясно, достичь этого тем болео легко, что применение аксиоматического метода и формализованного языка позволит формулировать эти принципы более четко и отделять от них следствия более определенно. Впрочем, приблизительно это д произошло недавно, когда устранили «парадоксы» Теории: множеств принятием формализованного языка, по существу эквивалентного с описываемым здесь нами. Подобную ревизию следует предпринять и в случае, когда этот язык окажется в свою очередь противоречивым.

Итак, мы верим, что математике суждено выжить ж что никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вслед-ствпо внезапного выявления противоречия; но мы не утверждаем, что ато мнение основано на чем-либо, кроме опыта. Этого мало, скажут некоторые. Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно.

 

НЕЙМАН

(1903-1957)

Джои (Янош) фон Нейман родился в Будапеште. Там же он в 1926 г. окончил университет. В течение нескольких лет он преподавал в Берлине; в 1930 г. Нейман эмигрировал в США. Через три года он стал сотрудником Принстонского института перспективных исследований, и с этим научным центром, в котором в ту пору работали Эйнштейн, Вигнер, Вейль, связана последующая научная жизнь Неймапа.

В годы создания и развития квантовой механики Нейман выступил с книгой «Математические принципы квантовой механики» (1932). Однако основные работы Неймана посвящены математике. В области чистой математики интересы Неймапа весьма разнообразны; его работы посвящены функциональному анализу, топологии, теорпи групп, математической логике. В 1944 г. совместно с экономистом Оскаром Моргенштерном Нейман написал капитальную монографию «Теория игр и экономическое поведение». С начала второй мировой войны Нейман становится консультантом различных военных учреждений. Он принимает активное участие в работах по созданию атомной бомбы, и с 1954 г. он — член Американской комиссии по атомной энергии. С 1945 по 1955 г. Нейман возглавлял работы по созданию быстродействующих электронных вычислительных машин и быть может больше, чем кто-либо другой в США, сделал для развития этого направления науки и техники. В ЭВМ Нейман видел не только новый могучий инструмент для математических расчетов; он считал, что изобретение ЭВМ и развитие круга вопросов, который Винер назвал кибернетикой, повлияет на саму математику и на наше мышление в целом.

Мы приводим краткое предисловие и введение к книге Дж. Неймана и О. Мор-генштерна «Теория игр и экономическое поведение». Следует подчеркнуть, что авторы этой книги пишут не о создании научной системы политической экономии, которая была создана К. Марксом, а о применении математических методов в экономике и имеют в виду разработку формальной модели экономики. Мы приводим также введение к небольшой брошюре Неймана «Вычислительная машина и мозг», написанной им незадолго до смерти.

ТЕОРИЯ ИГР И ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ

Предисловие

Эта книга содержит изложение математической теории игр и различных ее приложений. Теория игр развивалась одним из нас начиная с 1928 г* и теперь впервые публикуется во всей своей полноте. Приложения имеют двоякий характер: с одной стороны, к играм в собственном смысле слова, с другой стороны, к экономическим и социологическим проблемам. Мы надеемся показать, что подход к ним с этого направления является наилучшим.

Приложения, которые мы будем развивать применительно к играм, будут служить как для подкрепления самой теории, так и для исследования этих игр. Характер этих взаимных отношений станет ясным по ходу исследования. Наши основные интересы лежат, разумеется, в экономическом и социологическом направлениях. Здесь тл сможем рассмотреть лишь простейшие вопросы. Однако эти вопросы имеют фундаментальный характер.

Кроме того, наша цель состоит прежде всего в том, чтобы показать, что существует строгий подход к вопросам, охватывающим проблемы совпадающих или противоположных интересов, полной или неполной информации, свободных разумных решений или случайных воздействий.

Принстон, январь 1943 г.

Глава I

ФОРМУЛИРОВКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

§ I. Математический метод в экономике

1.1. Вводные замечания

1.1.1. Целью настоящей книги является рассмотрение некоторых фундаментальных вопросов экономической теории, требующих изучения, от-личного от того, которое до сих пор проводилось в литературе. Дальнейший анализ будет затрагивать некоторые основные проблемы, возникающие при изучении экономического поведения, которые в течение долгого времени находились в центре внимания экономистов. Эти проблемы имеют в своей основе попытки точного описания стремления индивидуума к извлечению максимальной пользы или, в случае предпринимателя, к получению максимальной прибыли. Общеизвестно, сколь значительны — а фактически и непреодолимы — встречающиеся на пути решения этой задачи трудности, имеющие место даже при ограниченном числе типичных ситуаций, как, например, в случаях прямого или непрямого обмена товарами между двумя или более лицами, двусторонней монополии, дуополии, олигополии и свободной конкуренции. Будет выяснено, что структура этих проблем, известных каждому изучавшему экономику, является во многих отношениях существенно иной, чем это представлялось до сих пор. Кроме того, окажется, что точная постановка и последующее решение этих задач могут быть достигнуты только при помощи таких математических методов, которые существенным образом отличаются от технических средств, применявшихся экономистами-мате-матикамп прошлого и современности.

1.1.2. Наши рассмотрения приведут к приложению математической теории «стратегических игр», развитой одним из авторов последовательно в несколько приемов в 1928 и в 1940—1941 гг. После пзложенпя этой теории будет предпринято ее приложение к экономическим задачам в указанном выше смысле. Будет выяснено, что теория игр дает новый подход к ряду еще не решенных к настоящему времени экономических вопросов.

Сначала нам следует выяснить, каким образом эту теорию можно поставить в соответствие экономической теории и что общее имеется у этих теорий. Наилучший путь для этого состоит в кратком описании природы некоторых фундаментальных экономических проблем с тем, чтобы это общее стало очевидным.

После того, как это будет сделано, станет ясным, что в установлении этого соответствия не только нет ничего искусственного, но что, напротив, теория стратегических игр является адекватным аппаратом для развития теории экономического поведения.

Было бы неправильным считать целью наших рассуждений одно лишь установление аналогии между двумя указанными теориями. После разбора нескольких правдоподобных систематизаций мы надеемся достаточно удовлетворительно показать, что типичные задачи экономического поведения оказываются вполне тождественными с математическими понятиями соответствующих стратегических игр.

1.2. Трудности в применении математического метода

1.2.1. Уместно начать с некоторых замечаний, касающихся природы экономической теории, и кратко обсудить вопрос о роли, которую может сыграть математика в ее развитии.

Прежде всего отдадим себе отчет в том, что в настоящее время в экономической теории не существует универсальной системы и что если она и будет создана, то едва ли это произойдет в ближайшее время. Причина этого кроется просто в том, что экономика является слишком сложной наукой для того, чтобы можно было быстро осуществить построение такой системы, особенно если иметь в виду крайнюю ограниченность знаний, а также несовершенство описания фактов, с которыми приходится иметь дело экономисту. Только тот, кто недооценивает эти обстоятельства, может склоняться к попыткам построения универсальной системы. Даже в науках, ушедших по сравнению с экономикой далеко вперед, как, например, в физике, в настоящее время нет универсальной системы.

Продолжим сравнение с физикой. Иногда кажется, будто та или иная физическая теория дает базис для универсальной системы; однако каждый раз вплоть до настоящего времени такие иллюзии сохранялись в лучшем случае в течение десятка лет. Повседневная работа физиков, конечно, не связана со столь высокими целями, а касается скорее тех задач, которые уже достаточно «созрели». По-видимому, в физике вообще не было бы прогресса, если бы делались серьезные попытки форсированно принуждать физиков к построению общей теории. Работа физиков связана с решениями конкретных задач большей или меньшей практической значимости. Этот стиль работы дополняется обт^единением отраслей науки, считавшихся прежде разобщенными и далекими друг от друга. Однако явления последнего типа редки и происходят лишь после того, как каждая из отраслей уже оказывается достаточно изученной. Учитывая тот факт, что экономика является значительно более трудной и менее изученной наукой, находящейся к тому же на гораздо более ранней ступени своего развития, чем физика, не следует ожидать в экономике большего, чем разработок указанного типа.

Отметим, далее, что различия в научных вопросах делают необходимым использование различных методов, которые в дальнейшем могут быть отброшены, как только будут предложены лучшие. Отсюда вытекают два следствия. В некоторых отраслях экономики наиболее плодотворным является тщательное, заботливое описание фактов; действительно, это является наиболее обширной областью исследования как в настоящее время, так и в ближайшем будущем. С другой стороны, уже может оказаться возможным развитие точной теории, и для этого требуется использование математики.

Фактически математика уже использовалась в экономической теории, быть может, даже в большей степени, чем это следовало бы. Во всяком случае, ее использование не было особенно успешным. Это явление противоположно тому, что наблюдалось в других науках, где математика применялась с большим успехом, так что большинство наук теперь едва ли может успешно развиваться без ее применения. Однако объяснить это явление можно совсем просто.

1.2.2. Дело отнюдь не в том, что существуют какие-то кардинальные причины, по которым математику нельзя использовать в экономике. Часто аргументация против применения математики состоит из ссылок на субъективные элементы, психологические факторы и т.п., а также на то, что для многих важных факторов до сих пор нет способов количественного измерения. Эту аргументацию следует отбросить, как совершенно ошибочную. Почти все эти возражения уже приводились или моглп приводиться несколько столетий тому назад по поводу тех наук, в которых ныне математика является основным средством анализа. Выражение «могли приводиться» понимается в следующем смысле. Представим себе, что мы живем в период, предшествующий математической или почти математической фазе развития физики, т.е. в XVI веке, илп в аналогичную эпоху для химии и биологии, т.е. в XVIII веке.

Для тех, кто относится скептически к применению математики в экономике, заметим, что положение дел в физических или биологических науках на этих ранних этапах едва ли было лучше, чем в настоящее время в экономике.

По поводу отсутствия способов измерения большинства важных факторов достаточно сослаться на пример теории теплоты, который является наиболее поучительным; до развития математической теории возможности количественных измерений здесь были еще менее благоприятными, чем теперь в экономике. Точные измерения количества и качества тепла (энергия и температура) были следствием, а не предпосылкой математической теории. Это должно представляться особенно наглядным при сопоставлении с тем фактом, что количественные и точные понятия цен, денег и процента с капитала выработались уже несколько столеннй тому назад.

Следующая группа возражений против возможностей количественных измерений в экономике сосредоточивается вокруг невозможности безграничного дробления экономических величин. Это, дескать, несовместимо с применением инфинитезммальных исчислении и, следовательно (I), математики. Трудно поверить, что эти возражения поддерживаются одновременно с существованием атомистических теорий в физике и химии, кваптовой теории в электродинамике и т.д. и наличием общеизвестных успехов математики в этих дисциплинах.

Здесь же уместно упомянуть другой часто встречающийся в экономической литературе аргумент, который также можно рассматривать как возражение против математических методов.

1.2.3. Для освещения концепций, которые мы будем прилагать к экономике, мы приводим и будем приводить далее некоторые иллюстрации из физики. Многие социолога возражают против проведения таких параллелей по различным причинам, среди которых обычно приводится и утверждение о том, что экономические теории не могут моделироваться по образцу физических, так как в них приходится принимать в расчет психологические факторы и т.д. Подобные утверждения по меньшей мере незрелы. Несомненно, представляется разумным вскрыть, что именно привело к прогрессу в других науках, и исследовать, почему применение этих принципов не может привести к прогрессу и в экономике. Если же действительно возникнет необходимость приложения к экономике каких-то иных принципов, то это может обнаруягаться только в процессе фактического развития экономической теории. Это само по себе будет переворотом в науке. Но так как почти наверно мы еще такого состояния не достигли и никоим образом не ясно, что возникает необходимость использования совершенно новых научных принципов, было бы неразумным рассматривать что-либо иное, чем трактовку задач, тем способом, который уже привел к построению физической науки.

1.2.4. Итак, причины, в силу которых применение математики к экономике пе давало успеха, лежат в чем-то другом. В значительной мере отсутствие реальных успехов в этом направлении объясняется комбинацией неблагоприятных обстоятельств, части которых мы будем постепенно касаться. Начнем с того, что экономические задачи не формулируются ясно, а приводятся часто в столь неопределенных терминах, что их математическая трактовка априори становится безнадежной, так как неясно даже, о какой проблеме идет речь. Точки приложения точных методов не может быть там, где нет ясности пи в концепциях, ни в вопросах, к которым эти методы должны прилагаться. Следовательно, первая задача состопт в прояснении знаний о предмете посредством дальнейшей тщательной описательной работы. Однако даже в тех разделах экономики, в которых задача описания разрешалась более удовлетворительпо, математический аппарат редко используется адекватно. Либо он применяется несоответствующим образом (например, в попытках определить общее экономическое равновесие путем простого подсчета числа уравнений и числа неизвестных), либо он сводится к простому переводу с литературного языка математических символов без последующего математического анализа.

Далее, эмпирическая основа экономической науки совершенно неудовлетворительна. Наши знания о существенных фактах в области экономики несравненно меньше, чем знания, которыми мы располагали в физике к тому моменту, когда была достигнута ее математизация. В самом деле, решающий перелом, который произошел в физике в XVII веке (особенно в механике), был возможен единственно благодаря предшествующему развитию астрономии. Он опирался на несколько тысячелетий систематических научных астрономических наблюдений, достигших апогея в таком несравненном наблюдателе, как Тихо Браге. Ничего подобного в экономической науке не происходило. В физике было бы абсурдным ожидать появления Кеплера и Ньютона без Тихо,— и нет никаких оснований надеяться на более легкое развитие в экономике.

Эти очевидные соображения пе следует рассматривать как дискредитацию статистико-экономических исследований, которые дают реальную надежду на прогресс в соответствующих направлениях.

Вследствие перечисленных выше обстоятельств математическая экономика не достигла особенно многого. Лежащие в существе дела неопределенность и незнание не были рассеяны неадекватны^ и не соответствующим делу использованием мощного инструмента, с которым к тому же очень трудно работать.

В свете этих замечаний мы можем описать нашу позицию следующим образом. Цель настоящей книги далека от направления эмпирических исследований. Прогресс этой стороны экономической науки в необходимом направлении, очевидно, является задачей весьма большой важности. Можно надеяться, что в результате успехов научной методики, а также опыта, полученного в других областях, развитие описательной экономики не потребует такого большого времени, как это может показаться, если иметь в виду пример астрономии. Однако, во всяком случае, представляется, что эта задача по своей трудности превосходит пределы любой индивидуально планируемой программы.

Мы попытаемся воспользоваться некоторым общественным опытом, касающимся человеческого поведения, который поддается математической интерпретации и важен с экономической точки зрения.

Мы считаем, что возможность математического истолкования этих явлений опровергает «фундаментальные» возражения, приведенные в п. 1.2.2.

Однако далее будет видно, что этот процесс математизации вовсе не является тривиальным. Действительно, приведенные выше возражения отчасти имеют своим источником очевидные трудности, которые возникают при всяком непосредственном математическом подходе. Мы считаем необходимым изложить математический аппарат, не употреблявшийся до сих пор в математической экономике, и может случиться, что дальнейшие исследования в этой области приведут в будущем к созданию новых математических дисциплин.

В заключение отметим, что чувство неудовлетворенности матемяти-ческими интерпретациями экономической теории в значительной степени объясняется тем, что они часто дают не столько доказательства, сколько утверждения, которые не лучше, чем те же утверждения, высказанные в словесной форме. Обычно доказательства отсутствуют потому, что математический аппарат применяется к областям, которые настолько обширны и сложны, что еще в течение долгого времени — до тех пор, пока не будет накоплено больше эмпирических фактов,— едва ли можно ожидать серьезного прогресса от одного только увеличения дозы математики. Тот факт, что эти области атакуются таким путем (например, теория экономических флуктуаций, временная структура производства и т.д.) г показывает только, что сопровождающие этот процесс трудности недооцениваются. В действительности эти трудности огромны, и мы не чувствуем себя достаточно подготовленными для их преодоления.

1.2.5. Мы останавливались на природе и возможностях тех изменений: в математическом аппарате — и, по существу, в самой математике,— которые может вызвать успешное приложение математики к новым предметам. Представляется важным бросить перспективный взгляд на эти изменения.

Не следует забывать, что эти изменения могут быть весьма значительными. Решающая фаза приложений математики в физике — создание-Ньютоном рациональной механики — пе может быть отделена от открытия инфинитезимальных исчислений. (Имеются и другпе примеры, хотя ни один из них не является более ярким.)

Важность социальных явлений, обилие и многообразие их проявлений, а также сложность их структуры по меньшей мере такие же, как и в физике. Поэтому следует ожидать (или опасаться), что для достижения в этой области решающих успехов потребуются математические открытия, сопоставимые с открытием инфинитезимальных исчислении. (Между прочим, с этой точки зрения наши предлагаемые попытки должны рассматриваться с известной скидкой.) Тем более маловероятно, чта простое повторение тех математических приемов, которые нам помогали в физике, поможет нам и в экономике. Вероятность этого покажется еще меньше, когда мы увидим, что в наших рассуждениях появляются математические задачи, совершенно отличные от*задач, встречающихся в физике.

Эти соображения следует иметь в виду в связи с имеющим место в паши дни злоупотреблением в использовании дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений и т.д. как основного-метода в математической экономике.

1.3. Необходимые ограничения целей исследования

1.3.1. Вернемся к высказанному ранее положению о том, что необходимо начинать с тех задач, которые описаны отчетливо, даже если они окажутся не столь уж важными с любой другой точки зрения. Кроме того, следует добавить, что изучение этих «удобоваримых» эадач может привести к результатам, которые уже хорошо известны, но точные доказательства которых тем не менее не были еще найдены. Пока эти доказательства не даны, соответствующая теория попросту пе существует как научная теория. Движения планет были известны задолго до того, как их траектории были вычислены и объяснены теорией Ныотона. То же справедливо для многих более узких и менее драматических ситуация. Аналогично этому многие результаты экономической теории — скажем, неопределенность двусторонней монополии — могут быть уже известны. Тем не менее весьма интересно вывести их снова из некоторой точной теории. То же самое может и должно быть сказано практически обо всех установленных к настоящему времени экономических теоремах.

1.3.2. Наконец, можно было бы добавить, что мы но предлагаем поднимать вопрос о практической значимости рассматриваемых проблем. Это согласуется с тем, что было сказано выше о выборе областей для приложения теории. Здесь положение дел не отличается от положения в .других науках. В них наиболее важные с практической точки зрения вопросы также могли оставаться вне сферы досягаемости в течение длительных и плодотворных периодов развития этих наук. Подобное положение, конечно, все еще имеет место и в экономике, где проблемами первостепенной важности являются стабилизация занятости, увеличение национального дохода или его справедливое распределение. Никто не может по-настоящему ответить на эти вопросы, и мы не должны претендовать на то, чтобы дать на них научно обоснованные ответы уже в ближайшее время.

Подлинный прогресс в любой науке наступал рогда, когда в ходе изучения задач, которые были скромными по сравнению с окончательными целями, развивались методы, которые можно было обобщать все дальше и дальше. Свободное падение является весьма простым физическим явлением; однако именно изучение этого чрезвычайно простого факта и его сравнение с накопленным в астрономии материалом вызвало к жизни механику.

Нам кажется, что к экономике следует подходить с таким же уровнем скромности. Было бы несерьезно пытаться объяснить и притом «систематическим» образом — все экономическое. Правильный подход состоит в том, чтобы добиться сначала наибольшей возможности точности л совершенства в некоторой ограниченной области, затем перейти к другой, несколько более широкой области и т.д. Это покончило бы также с нездоровой практикой применения так называемых теорий к экономическим и социальным реформам, где они никоим образом не могут быть полезными.

Мы считаем, что необходимо знать как можно больше о поведении индивидуума и о простейших формах обмена. Эта точка зрения была в действительности принята с примечательным успехом основателями школы материальной полезности, но тем не менее она не является общепринятой. Экономисты часто нацеливаются на более широкие, более жи-•вотрепещущие проблемы и отмахиваются от всего, что мешает им высказывать утверждения относительно этих проблем. Опыт более развитых наук, например фпзнкп, показывает, что подобное нетерпение только тормозит продвижение вперед, включая продвижение в исследовании этих животрепещущих проблем. Нет никаких оснований предполагать существование коротких путей.

1.4. Заключительные замечания

1.4. Важно осознать, что экономисты не могут надеяться на более легкую судьбу, чем та, которая постигла ученых других специальностей. Представляется разумным ожидать, что они должны будут прежде всего рассмотреть проблемы, заключающиеся в самых простых фактах экономической жизни, и пытаться построить теории, объясняющие пх и действительно соответствующие нормам научной строгости. Мы можем иметь достаточную уверенность в том, что, начав с этого, экономическая наука будет развиваться дальше, постепенно охватывая области все болое значительные по сравнению с теми, с которых нужно начинать .

Область, охватываемая этой книгой, весьма ограниченна, и мы подходим к ней со всей скромностью. Мы совершенно не заботимся о том, согласуются ли результаты наших исследований со взглядами, высказанными недавно или принятыми в течение долгого времени, ибо по-настоящему важным является постепенное развитие теории, основанное на тщательном анализе обычной повседневной интерпретации экономических фактов. Этот предварительный этап по необходимости является эвристическим. Иначе говоря, он состоит в переходе от нематематических правдоподобных рассмотрений к формальному математическому аппарату. Полученная в результате теория должна быть математически строгой и концептуально целостной. Ее первые приложения необходимо должны ограничиваться элементарными задачами, в которых окончательный результат не подвергается никакому сомнению и где фактически никакой теории не требуется. На этом раннем этапе приложения служат лишь для подтверждения теории. Следующий этап начинается, когда теорию применяют к несколько более сложным ситуациям; здесь теория уже в определенных пределах может вывести за рамки очевидного и привычного. И уже вслед за этим простирается область подлинного успеха — правильные теоретические предсказания. Хорошо известно, что все математизированные науки прошли через эти последовательные этапы развития.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА И МОЗГ

Введение

Поскольку я не невролог и не психиатр, а математик, предлагаемая работа нуждается в известном объяснении и оправдании. Это — подход к пониманию нервной системы с. точки зрения математика. Однако обе части этой формулировки следует тут же уточнить.

Во-первых, в словах «подход к пониманию» кроется некоторое преувеличение; это просто до известной степени систематизированные соображения о том, как Должен осуществляться такой подход. Иначе говоря, я пытаюсь угадать, какие из возможных математически намечаемых направлений выглядят — в той туманной дали, в какой предстает перед нами большинство из них,— многообещающими и какие заведомо невыгодными. Я представлю также некоторые рациональные обоснования этих догадок.

Во-вторых, выражение «точка зрения математика» в данном контексте должно пониматься не так, как обычно: на первый план здесь выступают логические и статистические аспекты, а не общематематический аппарат. Кроме того, логика и статистика будут рассматриваться здесь по преимуществу — хотя и не исключительно — как основные орудия «теории информации». Предметом этой «теории информации» по большей части будет та совокупность опытных данных, которая накопилась в связи с проектированием и расчетом сложных логических и математических автоматов и программированием задач для них. Наиболее типичным, хотя и не единственным примером таких автоматов являются, конечно, большие электронные вычислительные машины.

Замечу, между прочим, что было бы очень хорошо, если бы можно было говорить о «теории» таких автоматов. К сожалению, то, что существует в настоящее время —и к чему я вынужден буду обращаться, представляет собой всего лишь слабо связанную и недостаточно формализованную «совокупность опытных данных».

Наконец, главная моя цель состоит в том, чтобы выявить совсем другой аспект рассматриваемой проблемы. Мне кажется, что более глубокое математическое исследование нервной системы — «математическое» в указанном выше смысле — повлияет на наше понимание тех сторон самой математики, которые будут затронуты этим исследованием. Фактически оно может изменить нашу точку зрения на собственную математику и логику. Ниже я попытаюсь обосновать это мнение.