ЭЙЛЕР

(1707—1783)

Леонард Эйлер родился в Базеле в семье пастора. Своим начальным образованием он обязан в значительной мере отцу. Высшее образование Эйлер получил в Базельском университете; там он познакомился с братьями Бернулли. Помимо математики, которую читал их отец, Иоганн Бернулли, Эйлер изучал богословие, восточные языки, физиологию. Когда Эйлеру было 20 лет, по приглашению Екатерины I он прибыл в Петербург в незадолго до этого основанную по указу Петра I Петербургскую Академию наук, где уже работал его друг Даниил Бернулли. В 1741 г. вследствие сложной политической обстановки в России, Эйлер покинул Петербург и переехал в Берлин, став членом Берлинской Академии наук. Однако в 1766 г., по настоянию Екатерины II, Эйлер вернулся в Петербург, где он работал до конца жизни; ныне его прах находится в Ленинградском некрополе.

В жизни Эйлер был скромным и тихим человеком; современники свидетельствуют даже об ограниченности его интересов вне области науки, которая всецело его поглощала. Он был счастливо женат и имел 13 детей, из которых 5 пережили отца. Под конец жизни Эйлер ослеп, но это мало повлияло на его научную продуктивность. Всего им было написано более 800 работ; полное собрание его сочинений — более 80 томов — издается еще до сих пор Швейцарской Академией и Академией наук-СССР. Парижская Академия наук 20 раз удостаивала его премий (на общую сумму около 30 000 ливров), больше, чем кого бы то ни было из современников.

Дать даже краткий обзор научного наследия Эйлера невозможно. Мы отметим его работы по анализу, где он не только придал дифференциальному и интегральному исчислению вид, близкий к современному, но и решил множество частных задач. Замечательное по своей ясности общедоступное изложение современного ему естествознания было дано Эйлером в «Письмах к некой германской принцессе» (племяннице Фридриха II), собранных в трех томах; при жизни Эйлера эти «Письма» издавались более 20 раз практически на всех языках Европы.

Велик был вклад Эйлера в астрономию и прикладную механику. С именем Эйлера связаны основные уравнения движения твердого тела и жидкости. Им было создано вариационное исчисление, и Эйлера по праву можно считать основателем математической физики в современном смысле слова. Его вклад в чистую математику, в такие ее обрасти, как алгебра, теория чисел, геометрия, был очень значителен. Для Эйлера математика была едина: в ней он видел как цель исследований, так и могучий метод решения конкретных задач.

Из всего обширного наследия Эйлера мы приводим предисловия к его «Механике», опубликованной в С.-Петербурге в 1736 г., и к «Введению в анализ бесконечно малых» (1748), сыгравшему исключительную роль в развитии анализа. После первых исследований Ныотона, Лейбница, братьев Бернулли, Лопиталя, основы дифференциального и интегрального исчисления были изложены как единая система.

МЕХАНИКА

Термин «механика» задолго до нашего времени приобрел двоякое значение, и даже теперь этим словом называются две науки, совершенно различные между собой как по своим принципам, так и по предмету своего исследования. Слово «механика» обычно прилагается как к той науке, которая трактует о равновесии сил и их взаимном сравнении, так и к той, в которой исследуется сама природа движения, его происхождение и изменение. Хотя и в этой последней дисциплине главным образом рассматриваются также силы, так как ими производится и изменяется движение, однако метод трактовки этого вопроса сильно отличается от первой науки. Поэтому во избежание всякого недоразумения лучше будет ту науку, в которой рассматривается равновесие сил и их сравнение, называть статикой, другой же науке — науке о движении — дать наименование «механика»; ведь в таком смысле эти термины обычно употреблялись повсюду и раньше.

Кроме того, между этими дисциплинами лежит огромное различие во времени. Если статику стали разрабатывать еще до Архимеда, то первые основы механики заложены только Галилеем, его исследованиями о падении тяжелых тел.

В последнее время, после открытия анализа бесконечно малых, обе эти науки настолько обогатились, что все добытое с таким трудом раньше за столь долгий промежуток времени, можно сказать, почти исчезло сравнительно с этим новым материалом. Однако все эти столь многочисленные открытия, которыми эти науки к нашему времени так сильно обогатились и так далеко продвинулись вперед, рассеяны в столь многочисленных журналах и отдельных работах, что для человека, занимающегося этими вопросами, является делом крайне трудным все это найти и пересмотреть. Кроме того,— что создает особые затруднения,— некоторые из них предложены без всякого анализа и доказательств, другие подкреплены доказательствами, чрезмерно запутанными и составленными по образцу древних, иные, наконец, выведены из чужих и менее естественных принципов, так что понять и объяснить их можно только ценой величайшего труда и огромной потери времени.

Что касается статики, то почти полную и во всех отношениях прекрасную работу издал на французском языке Вариньон в двух солидных томах. Хотя эта работа носит заглавие «Механика», она вся посвящена определению равновесия сил, приложенных к разного рода телам; в ней нет почти ничего, что касалось бы движения и той науки, которую здесь мы назвали механикой. Точно так же известный ученый Вольф в своих «Началах наук», особенно в новейшем их издании, дал много блестящих страниц в «Элементах механики», касающихся как статики, так и механики; но он соединил их вместе и не делал никакого различия между этими двумя науками. Намеченные границы и самый характер произведения, по-видимому, не позволили ему разграничить эти науки между собой и, с другой стороны, достаточно полно изложить каждую из них. Я не знаю, вышла ли в свет какая-либо другая работа, кроме «Форономии» Эрмана, в которой это учение о движении было бы разобрано совершенно отдельно и обогащено столь многими блестящими вновь открытыми положениями. Эрман и сам внес в эту науку много нового; вместе с тем он прибавил и собрал здесь все то, что за это время было открыто стараниями других ученых. Но так как он хотел охватить в этом не очень большом труде, кроме механики, еще и другие смежные науки, а именно статику и гидростатику вместе с гидравликой, то ему оставалось очень мало места для изложения механики; вследствие этого все то, что касается этой науки, он вынужден был изложить в краткой и отрывочной форме. Кроме того,— что особенно мешает читателю,— все это он провел по обычаю древних при помощи синтетически геометрических доказательств и не применил анализа, благодаря которому только и можно достигнуть полного понимания этого предмета. Приблизительно таким же образом написана работа Ньютона «Математические начала натуральной философии», благодаря которой наука о движении получила наибольшее развитие.

Однако, если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом. Это как раз случилось со мной, когда я начал знакомиться с «Началами» Ньютона и «Форономией» Эрмана; хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач, однако задач, чуть отступающих от них, я уже решить не мог. И вот тогда-то я попытался, насколько умел, выделить анализ из этого синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проработать аналитически; благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса. Затем таким же образом я исследовал и другие работы, относящиеся к этой науке, разбросанные по многим местам, и лично для себя изложил их планомерным и однообразным методом и привел в удобный порядок. При этих занятиях я не только встретился с целым рядом вопросов, ранее совершенно не затронутых, которые я удачно разрешил, но я нашел много новых методов, благодаря которым не только механика, но и самый анализ, по-видимому, в значительной степени обогатился. Таким образом и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что нашел у других в их работах о движении тел, так и то, что получил в результате своих размышлений.

В основу разделения этого сочинения я положил как различие тел, которые движутся, так и их состояние — свободное или несвободное Самый характер тел дал мне это разделение, так что сначала я стал исследовать движение тел бесконечно малых и как бы точек, а затем я перешел к телам конечной величины,— и при этом или к твердым, или к гибким, или состоящим из частей, которые совершенно расходятся друг с другом.

Подобно тому как в геометрии, в которой излагается измерение тел, изложение обыкновенно начинается с точки, точно так же и движение тел конечной величины не может быть объяснено, пока не будет тщательно исследовано движение точек, из которых, как мы понимаем, -составлены тела. Ведь нельзя наблюдать и определить движения тела, имеющего конечную величину, не определив сначала, какое движение имеет каждая его маленькая частичка или точка. Вследствие этого изложение вопроса о движении точек есть основа и главная часть всей механики, на которой основываются все остальные части. Для исследования вопроса о движении точек я предназначил эти два первых тома; в первом я рассмотрел свободные точки, во втором — несвободные. Но то, что я изложил в этих книгах, часто идет дальше, чем исследованне об одних точках, и из него зачастую можно определить движение конечных тел,— разумеется, не всякое, а то, благодаря которому отдельные части движутся совместно. Ведь из того положения, что брошенная в пустоте точка описывает параболу, можно также сделать вывод, что всякое конечное тело, если оно будет брошено, должно двигаться по параболе; однако отсюда еще не следует закона о движении отдельных частей, и этот последний вопрос будет специально разобран в следующих книгах, в которых определяется движение конечных тел. Равным образом то, что Ньютон доказал относительно движения тел, побуждаемых центростремительными силами, имеет значение только для точек, а между тем он правильно применил эти предложения также и к движению планет.

Итак, в этом первом томе я подвергаю исследованию свободные точки и наблюдаю, какое изменение движения вызывают в них любые движущие их силы; свободным же, с моей точки зрения, тело является тогда, если ему ничто не мешает, чтобы оно двигалось с той скоростью и в том направлении, которое оно должно иметь как вследствие присущего ему движения, так и вследствие движущих его сил. Так, говорят, что планеты и тела на Земле, падающие или брошенные вверх, движутся свободно, так как при этом движении они следуют как врожденной силе, так и действию движущих сил; напротив, тело, падающее по наклонной плоскости, или качающийся маятник, движется несвободно, так как находящаяся внизу плоскость или нить маятника, прикрепленная другим концом, препятствует телу падать прямо, как этого требует сила тяжести.

В первой главе я излагаю основные свойства движения и то, что обычно говорят о скорости, о пути и о времени. Затем я указываю всеобщие законы природы, которым следует свободное тело, не подверженное действию сил. Тело подобного рода, раз оно находится в состоянии покоя, должно вечно пребывать в покое; если же оно имело движение, оно вечно должно двигаться с той же скоростью по прямому направлению. Оба эти закона наиболее удобно можно представить под именем закона сохранения состояния. Отсюда вытекает, что сохранение состояния является существенным свойством всех тел и что все тела, пока они остаются таковыми, имеют стремление или способность навсегда сохранять свое состояние, а это есть не что иное, как сила инерции. Правда, не очень удачно причине этого сохранения дано имя силы, так как она неравноценна другим собственно так называемым силам, каковы, например, сила тяжести, и с ними не может сравниваться. В эту ошибку обычно впадали многие и прежде всего метафизики, обманутые двусмысленностью этого слова. Так как всякое тело по своей природе пребывает в том же состоянии или покоя, или движения, то если тело не следует этому закону, но движется или неравномерно, или по кривой,— это нужно приписать действию внешних сил. Такого рода внешними силами являются силы, о равновесии и сравнении которых трактуется в статике и которые, воздействуя на тело, изменяют его состояние, или приводя его в движение, или ускоряя, или замедляя, или же, наконец, меняя его направление.

Во второй главе я исследую, какого рода действие должна проявлять каждая сила по отношению к свободной точке, либо находящейся в покое, либо движущейся. Отсюда выводятся истинные принципы механики, которыми должно объяснить все, что касается изменения движения. Так как до сих пор они были подкреплены слишком слабыми доказательствами, я доказал их так, чтобы для всякого было ясно, что они не только достоверны, но с полной необходимостью являются истинными.

Изложив принципы, на основании которых можно понять, каким образом, с одной стороны, сохраняется движение, с другой,— оно возникает или изменяется под влиянием сил, я перехожу к определению и исследованию самого движения тел, как-либо приведенных в движение яри помощи сил. И прежде всего, конечно, я рассматриваю прямолинейное движение как самое легкое для определения; оно возникает, если под действием одной только силы свободная точка либо бывшая в состоянии покоя приводится в движение, либо находящаяся уже в движении, ускоряется или замедляется в направлении действующей силы. Этому исследованию я посвятил третью и четвертую главы. В первой из них я исследую прямолинейное движение в пустом пространстве, во второй—то же прямолинейное движение в так или иначе сопротивляющейся среде. Хотя сопротивление можно свести к собственно так называемым силам, в этом сочинении мне показалось полезным изложить учение об изменении движения отдельно от сопротивления как по примеру других, которые писали по этому вопросу, так и вследствие существенной разницы, которая существует между абсолютными силами и сопротивлением. Ведь абсолютная или собственно так называемая сила имеет определенное, от движения тела не зависящее направление и сверх того одинаково воздействует как на тело, находящееся в движении, так и на тело, находящееся в покое; наоборот, направление сопротивления всегда совпадает с направлением самого движущегося тела и его величина зависит от скорости тела. Хотя в природе не встречается другого сопротивления, кроме того, которое пропорционально квадрату скорости, но я рассмотрел еще некоторые другие виды сопротивлений как для того, чтобы дать решение большего количества задач, касающихся движения в сопротивляющейся среде, так и, главным образом, для того, чтобы иметь случай предложить много прекрасных примеров вычисления.

Наконец, в двух последних главах я рассмотрел криволинейные движения тел, которые возникают, когда направление движущих сил не совпадает с направлением брошенного тела. В этом случае тело постоянно отвлекается от прямого пути и принуждено двигаться по кривой. В пятой главе я изложил подобного рода криволинейное движение в пустоте, в шестой я рассмотрел его же в сопротивляющейся среде. Главные задачи, которые даны в этих главах, заключаются в том, чтобы определить кривую, по которой может двигаться любое брошенное тело, подверженное действию каких угодно сил, и вместе с тем дать скорость тела в отдельных точках этой кривой,— причем как в пустоте, так и в сопротивляющейся среде. Из этих основных предложений возникли тогда и другие, где или по данной кривой, описанной телом, или по тому или иному данному виду движения требуется найти как движущие силы, так и сопротивление. И в этом случае я прежде всего стремился к тому, чтобы охватить все относящиеся сюда задачи, разобранные Ньютоном и другими авторами, и дать настоящие решения на основе аналитического метода. На этом заканчивается первый том, который, равно как и второй, я составил так, чтобы человек, имеющий достаточный опыт в анализе конечных и бесконечных, мог с поразительной легкостью все это понять и все это произведение прочесть без чьей бы то ни было помощи.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Нередко мне приходилось замечать, что большая часть трудностей, на которые наталкиваются в анализе бесконечно малых изучающие математику, возникает от того, что, едва усвоив элементарную алгебру, они направляют свои мысли к этому высокому искусству; вследствие чего они не только как бы остаются стоять на пороге, но и составляют себе превратные представления о той бесконечно малой величине, идея которой призывается на помощь. Хотя анализ бесконечно малых не требует совершенного знания элементарной алгебры и всех сюда относящихся искусств, однако есть много вопросов, разрешение которых важно для подготовки начинающих к более высокой науке и которые, однако, в элементарной алгебре либо пропускаются, либо рассматриваются не достаточно обстоятельно. Поэтому я не сомневаюсь, что содержание этих книг сможет восполнить с избытком указанный пробел. Я приложил старание не только к тому, чтобы пространнее и отчетливее, чем обычно, изложить все, чего безусловно требует анализ бесконечно малых; я рассмотрел также довольно много вопросов, благодаря которым читатели незаметно и как бы сверх ожидания могут освоиться с идеей бесконечного. Много вопросов, разрабатываемых обычно в анализе бесконечно малых, я здесь разрешил при помощи правил элементарной алгебры, чтобы тем лучше выявилась сущность того и другого метода.

Труд этот делится на две книги: в первой из них я охватил то, что относится к чистому анализу, во второй изложено все, что необходимо знать из геометрии, так как анализ бесконечно малых часто излагается так, что одновременно показывается и его приложение к геометрии. В обеих книгах опущены первоначальные элементы, и ведется изложение лишь, того, что либо в других местах вовсе не рассматривается пли рассматривается менее удобно, либо требуется по тем или иным соображениям.

Учение о функциях особенно обстоятельно изложено в первой книге, так как весь анализ бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и их функций. Там показано как преобразование функций, так и разложение их, а также развертывание в бесконечные ряды. Перечисляются многие виды функций, относительно которых речь должна идти преимущественно в высшем анализе. Прежде всего я разделил их на алгебраические и трансцендентные; первые из них образуются из переменных количеств путем алгебраических действий; вторые же составляются иными способами или посредством тех же действий, повторяемых бесконечное множество раз. Алгебраические функции разделяются прежде всего на рациональные и иррациональные; я показываю разложение первых из них как на более простые части, так и на множители; эта операция оказывает весьма большую помощь в интегральном исчислении. Для вторых я указываю способ приведения их к рациональной форме путем удобных подстановок. Развертывание в бесконечные ряды касается в одинаковой степени обоих видов; к трансцендентным функциям оно применяется обычно с огромной пользой, а в какой степени учение о бесконечных рядах расширило высший анализ,— это всем известно.

Поэтому я прибавил несколько глав, где рассматриваются свойства, а также суммы многих бесконечных рядов. Некоторые из них таковы, что вряд ли могли бы быть найдены без помощи анализа бесконечно малых. К рядам этого рода относятся те, суммы коих выражаются или посредством логарифмов, или при помощи круговых дуг [аркусов]; количества эти, будучи трансцендентными, так как они выражаются путем квадратуры гиперболы и круга, по большей части рассматриваются лишь в анализе бесконечно малых. Затем я перехожу от степеней к показательным количествам, представляющим не что иное, как степени с переменными показателями. От преобразований их я перехожу к весьма естественной и богатой идее логарифмов; отсюда не только вытекает, само собой, их весьма обширное применение, но также можно получить все те бесконечные ряды, посредством которых обычно представляются упомянутые количества. Из этого выясняется весьма простой способ составления логарифмических таблиц. Подобным образом я занимался рассмотрением дуг круга; этот род величин хотя и очень отличается от логарифмов, однако связан с ними настолько тесно, что, когда один из них получает мнимый вид, то переходит в другой. Повторив затем из геометрии относящееся к нахождению синусов и косинусов кратных и дробных дуг, я вывел из синуса любой дуги синус и косинус минимальной и как бы исчезающей дуги, и тем самым все свелось к бесконечным рядам. Отсюда, так как исчезающе малая дуга равна своему синусу, а косинус ее равен радиусу, я мог сравнить любую дугу с ее синусом и косинусом посредством бесконечных рядов. Здесь я получил столь разнообразные как конечные, так и бесконечные выражения для количеств этого рода, что исчислению бесконечно малых не придется более широко заниматься исследованием их природы. Подобно тому как логарифмы требуют особого алгоритма, в котором ощущается крайне настоятельная потребность во всем анализе, так и круговые функции я привел к некоторому определенному алгоритму; таким образом, при вычислениях и логарифмы, и сами алгебраические количества могут применяться одинаково удобно. Как велика проистекающая отсюда польза для решения труднейших вопросов, ясно показывают как некоторые главы этой книги, так и весьма многие примеры из анализа бесконечно малых, которые можно было бы привести, если бы они не были уже достаточно известны и не увеличивались в числе с каждым днем.

Это исследование принесло весьма большую помощь при разложении дробных функций на вещественные множители; этот вопрос я рассмотрел подробнее, так как такое разложение совершенно необходимо в интегральном исчислении. Далее я подверг изучению бесконечные ряды, которые возникают из разложения функций этого рода и носят название рекуррентных. Здесь я вывел как их суммы, так и общие члены, а также другие замечательные их свойства; так как к этому привело разложение на множители, то я разобрал и обратную проблему, каким образом произведения многих, даже бесконечного числа, множителей путем перемножения развертываются в ряды. Это не только открывает путь к изучению бесчисленного количества рядов; так как этим способом можно разлагать ряды в произведения из бесконечного числа сомножителей, то я нашел довольно удобные числовые выражения для нахождения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Кроме того, я вывел из того же источника решение многих вопросов, которые могут возникнуть при разбиении чисел на слагаемые; вопросы подобного рода без помощи этих приемов, по-видимому, превышают силы анализа.

Такое разнообразие материала легко могло разрастись на много томов; но я дал все, по мере возможности, настолько сжато, что всюду излагается— весьма, впрочем, ясно — лишь основное; более же подробная разработка предоставляется трудолюбию читателей, дабы они имели на чем упражнять свои силы, чтобы еще шире раздвинуть границы анализа. Не боюсь открыто заявить, что в этой книге не только содержится много совершенно нового, но также указаны источники, откуда можно черпать многие значительные открытия.

Точно так же я поступил и во второй книге, где исследовал вопросы, обычно относимые к высшей геометрии. Однако прежде чем приступить к коническим сечениям, к которым в других курсах обычно сводится вся эта часть, я изложил теорию кривых линий вообще, которая затем могла бы быть с пользой применена для изучения природы каких бы то ни было кривых линий. При этом я не пользуюсь никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии, и показываю, как из этого уравнения можно вывести как вид кривой, так и ее основные свойства. Это особенно важно, как мне кажется, в применении к коническим сечениям, которые до сих пор изучались либо только при помощи геометрии, либо хотя и при помощи анализа, но весьма несовершенным и неестественным путем. Сперва я изложил общие свойства линий второго порядка, исходя из общего уравнения для этих линий; затем подразделил их на роды или виды, руководствуясь тем, имеют ли они ветви, уходящие в бесконечность, или же кривая заключена в конечном промежутке. В первом случае пришлось, сверх того, принять во внимание, сколько ветвей уходит в бесконечность и какова природа каждой из них, а также имеют ли они асимптотические прямые или нет. Так я получил три обычных вида конических сечений, из коих первый — эллипс, целиком заключенный в конечном промежутке, второй — гипербола, имеющая четыре бесконечные ветви, стремящиеся к двум асимптотическим кривым; третьим же видом является парабола, имеющая две бесконечные ветви, у коих отсутствуют асимптоты.

Далее, я сходным образом подверг исследованию линии третьего порядка, которые, изложив их общие свойства, я разделил на 16 родов, отнеся к этим родам все 72 вида, найденные Ньютоном. Самый же метод я настолько отчетливо описал, что деление по родам можно осуществить без труда для каждого из последующих порядков линий. Соответствующий опыт я и проделал применительно к линиям четвертого порядка.

Покончив с этими исследованиями, относящимися к порядку линий, я вернулся к описанию общих свойств всех линий. Я изложил метод определения касательных к кривым, их нормалей, а также и самой кривизны, выражаемой через радиус соприкасающегося круга. Все эти вопросы в настоящее время по большей части решаются с помощью дифференциального исчисления; однако я изложил их здесь только на основе общей алгебры, дабы сделать затем более легким переход от анализа конечных величин к анализу бесконечно малых. Я исследовал также точки перегиба кривых, угловые, двойные и кратные точки и изложил способ, при помощи которого все эти точки могут быть найдены из уравнений без всякого труда. Впрочем, я не отрицаю, что эти вопросы значительно легче разрешаются с помощью дифференциального исчисления. Я коснулся также спорного вопроса об угловой точке второго порядка в случае, когда обе дуги, сходящиеся в угловой точке, имеют кривизну, обращенную в одну и ту же сторону, и изложил этот вопрос так, что впредь он уже не может вызывать каких-либо сомнений.

Затем я прибавил несколько глав, в которых показываю, как найти кривые линии, обладающие заданными свойствами, и, наконец, дал решение ряда задач, касающихся отдельных рассечений круга.

Таковы те отделы геометрии, которые, по-видимому, наиболее полезны для изучения анализа бесконечно малых. В качестве приложения я изложил еще из области стереометрии вычислительную теорию тел и их поверхностей и показал, каким образом природа каждой поверхности мо-. жет быть выражена уравнением с тремя переменными. Разделив затем, подобно линиям, и поверхности на порядки сообразно числу измерений, которые имеют переменные в уравнении, я показал, что в первом порядке содержится только плоская поверхность. Поверхности же второго по-рядка, приняв во внимание части, простирающиеся в бесконечность, я разделил на шесть родов. Подобным же образом может быть произведено, деление и для остальных порядков. Я подверг рассмотрению также и линии пересечения двух поверхностей; так как эти линии по большей части кривые, не лежащие в одной плоскости, я показал, как такие кривые могут быть выражены уравнениями. Наконец, я определил положение касательных плоскостей и прямых, являющихся нормалями к поверхностям.

Впрочем, так как многое, здесь встречающееся, описывалось уже другими, то мне надлежит просить снисхождения в том, что не везде я почтил упоминанием тех, кто до меня работал в этой области. Моей задачей было изложить все как можно короче; история же каждой проблемы сильно увеличила бы объем труда. Однако многие вопросы, решение которых можно найти также в иных местах, здесь разрешены исходя на других принципов; таким образом, немалая часть приходится и на мою долю. Надеюсь, что как это, так особенно и то совершенно новое, что. здесь сообщается, будет принято с благодарностью большинством тех, кто находит вкус в этих занятиях.

 

Д. БЕРНУЛЛИ

(1700—1782)

К семейству Бернулли принадлежит ряд ученых, занимающих видное место в развитии математики и физики на рубеже XVII и XVIII веков. Происходящие из семьи состоятельных голландских купцов Бернулли переехали в Базель еще в XVI веке. Два старших брата, Яков (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), наиболее известны работами в области анализа и теории вероятностей. Сыновья Иоганна Николай (1695— 1726) и Даниил, родившийся в Гронингене, учились вместе с Эйлером и вместе с ним были приглашены в Академию наук в С.-Петербурге. Основанная Петром I Петербургская Академия в ту пору стала замечательным научным центром, а ее Комментарии, в первую очередь благодаря трудам Эйлера и Бернулли, привлекли к себе внимание всей ученой Европы.

Старший брат, Николай Бернулли, вскоре после прибытия в Петербург умер. Даниил, младший и более известный из двух братьев, работал в России в течение восьми лет, и именно в это время им была написана «Гидродинамика». Бернулли также работал в области анализа; в теории вероятностей им введено понятие морального ожидания. Но, может быть, наиболее значительными после работ по гидродинамике (термин, предложенный Бернулли) были исследования по механике, в первую очередь, по теории колебаний,

В 1733 г. Даниил Бернулли вернулся в родной Базель, где стал сначала профессором анатомии и ботаники, затем — физики. Он получил 10 премий Парижской Академии наук. Даниил Бернулли умер в возрасте 82 лет, оставив свою кафедру только за 5 лот до смерти.

Мы приводим краткое предисловие к «Гидродинамике» (1738). В этом замечательном сочинении были даны физические основы механики жидкости, оказавшие очень большое влияние на развитие этой области физики. В 10-й главе «Гидродинамики» Бернулли также четко сформулировал основные идеи кинетической теории газов. К сожалению, эти идеи были забыты и предложены вновь уже только в XIX веке, а затем развиты в трудах Клаузиуса и Максвелла.

ГИДРОДИНАМИКА ИЛИ ЗАПИСКИ О СИЛАХ И ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТЕЙ

Наконец, выходит в свет наша «Гидродинамика», после того как были преодолены все препятствия, задерживающие ее напечатание в течение почти восьми лет; возможно, что ей и не привелось бы увидеть света, если бы вся эта работа пришлась исключительно на мою долю. Я охотно объявляю, что главнейшая часть этой работы обязана руководству, замыслам и поддержке со стороны Петербургской Академии наук. Повод для написания этой книги дало постановление Академии, в котором первых профессоров, собравшихся для ее создания, обязали и затем определенно побуждали, чтобы они писали рассуждения на какую-нибудь полезную и, насколько возможно, новую тему. Всякий легко согласится с тем, что теория о силах и движениях жидкостей, если только она не создана против воли Минервы, не является ни бесполезной, ни тривиальной. Для того чтобы рассеять скуку у читателя, я подверг рассмотрению разнообразные вопросы, в особенности в последних пяти частях, а также включил примеры аналитические, физические, механические как теоретические, так и практические, некоторые геометрические, мореходные астрономические и иные. Введение таких примеров представляется мне не только допустимым, но прямо вытекающим из существа предпринятой работы. Беспристрастный и сведущий в этих вопросах читатель легко исправит ошибки, которые могли проскочить при спешке. Настоящая моя работа преследует единственную цель: принести пользу Академии, все усилия которой направлены к тому, чтобы содействовать росту и общественной пользе благих наук.

 

ЛОМОНОСОВ

(1711—1765)

«Ломоносов был великий человек. Между Петром I и Екатериной II он одни является самобытным сподвижником просвещения. Он со:дал первый университет. Он, лучше сказать, сам был первым нашим университетом»,— писал Пушкин в «Мыслях на дороге». Михайло Васильевич Ломоносов родился в селе Холмогоры, на севере России, в топ части нашей страны, где не было ни крепостного права, ни татарского нашествия. Его отец, помор, владел несколькими рыболовными судами; мать была дочерью дьякона.

Самостоятельно изучив все доступные ему книги, девятнадцатилетний Ломоносов ушел в Москву. Выдав себя за холмогорского дворянина, он поступил в Заиконоспасскую Славяно-греко-латинскуго академию, первое высшее учебное заведение Москвы. Ломоносов собирался продолжить свое образование по богословию в Киеве. Однако в 1736 г. он был направлен в числе лучших студентов в Петербург, в только что основанный при Академии наук университет. Через несколько месяцев его послали за границу для изучения химии, металлургии, горного дела. Большую часть из пят» лет, проведенных в Западной Европе, Ломоносов находился в Марбурге у знаменитого Христиана Вольфа. В 1741 г. Ломоносов вернулся в Петербург, где началась его поразительно разнообразная и неуемная научная, литературная и организационная деятельность. Больше оп никогда Россию не покидал.

Ломоносов как истинный сын своего времени интересовался всеми проблемами современного ему естествознания. Физика, химия, геология и астрономия в равной мере занимают его универсальный гений. Напомним о его открытии атмосферы Венеры и о первом наблюдении затвердевания ртути, об объяснении явлений атмосферного электричества, работах по геологии, идеи которых далеко опережали его время, Ломоносов сформулировал закон сохранения массы в химии. Он также занят вопросами практического применения науки, возможности которой блестяще пропагандировал в своих знаменитых одах. Мысли о промышленном развитии России и необходимости всестороннего исследования естественных ресурсов страны указывают на государственный ум этого человека. Его литературные сочинения оставили исключительный след в развитии русского языка. Здание Академии наук в Ленинграде украшено грандиозной мозаикой, сделанной его рукой. Ломоносов одно время был вице-президентом Петербургской Академии, он также был почетным членом Академии художеств в Петербурге, членом Болонской Академии наук и Шведской Академии наук.

Ломоносов обладал богатым воображением, ярким и образным мышлением; но, несмотря на долгую дружбу с Эйлером, его мало интересовали точные категории математических наук. Вспыльчивый и самолюбивый характер создал Ломоносову много врагов, справиться с которыми не помогала даже его исключительная физическая сила.

К сожалению, научное наследие Ломоносова не смогло оказать того влияния па дальнейшее развитие науки в России, которое соответствовало его громадному значению. Политическая обстановка во второй полов пне XVIII века не благоприятствовала росту науки и культуры. Академия наук, членами которой некогда были Лома носов, Эйлер, Крашенинников, Бернулли, потеряла свое значение. На многие годы геннй Ломоносова оказался забытым.

Мы приводим предисловие Ломоносова к «Экспериментальной физике» (1746) его учителя Христиана Вольфа.

ВОЛЬФИАНСКАЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА С НЕМЕЦКОГО ПОДЛИННИКА НА ЛАТИНСКОМ ЯЗЫКЕ СОКРАЩЕННАЯ, С КОТОРОГО НА РОССИЙСКИЙ ЯЗЫК ПЕРЕВЕЛ МИХАЙЛО ЛОМОНОСОВ, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ ЧЛЕН И ХИМИИ ПРОФЕССОР

Предисловие

Мы живем в такое время, в которое науки, после своего возобновления в Европе, возрастают и к совершенству приходят. Варварские веки, в которые купно с общим покоем рода человеческого и науки нарушались и почти совсем уничтожены были, уже прежде двухсот лет окончились. Сии наставляющие нас к благополучию предводительницы, а особливо

философия, не меньше от слепого прилепления ко мнениям славного человека, нежели от тогдашних неспокойств претерпели. Все, которые в оной упражнялись, одному Аристотелю последовали и его мнения за неложные почитали. Я не презираю сего славного и в свое время отменитого от других философа, но тем не без сожаления удивляюсь, которые про смертного человека думали, будто бы он в своих мнениях не имел никакого погрешения, что было главным препятствием к приращению философии и прочих наук, которые от ней много зависят. Чрез сие отнято было благородное рвение, чтобы в науках упражняющиеся один перед другим старались о новых и полезных изобретениях. Славный и первый из новых философов Картезий осмелился Аристотелеву философию опровергнуть и учить по своему мнению и вымыслу. Мы, кроме других его заслуг, особливо за то благодарны, что тем ученых людей ободрил против Аристотеля, против себя самого и против прочих философов в правде спорить, и тем самым открыл дорогу к вольному философствованию и к вящему наук приращению. На сие взирая, коль много новых изобретений искусные мужи в Европе показали и полезных книг сочинили! Лейбниц, Кларк, Локк, премудрые рода человеческого учители, предложением правил, рассуждение и нравы управляющих, Платона и Сократа превысили. Мальпигий, Бойль, Герике, Чирнгаузен, Штурм и другие, которые в сей книжице упоминаются, любопытным и рачительным исследованием нечаянные в натуре действия открыли и теми свет привели в удивление. Едва понятно, коль великое приращение в астрономии неусыпными наблюдениями и глубокомысленными рассуждениями Кеплер, Галилей, Гюйгенс, де ла Гир и великий Невтон в краткое время учинили: ибо толь далече познание небесных тел открыли, что ежели бы ныне Гиппарх и Птолемей читали их книги, то бы они тое же небо в них едва узнали, на которое в жизнь свою толь часто сматривали. Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то бы едва в целом свете столько рогатого скота сыскалось. Словом, в новейшие времена науки столько возросли, что не токмо за тысячу, но и за сто лет жившие едва могли того надеяться.

Сие больше от того происходит, что ныне ученые люди, а особливо испытатели натуральных вещей, мало взирают на родившиеся в одной голове вымыслы и пустые речи, но больше утверждаются на достоверном искусстве. Главнейшая часть натуральной науки, физика, ныне уже только на одном оном свое основание имеет. Мысленные рассуждения произведены бывают из надежных и много раз повторенных опытов. Для того начинающим учиться физике наперед предлагаются ныне обыкновенно нужнейшие физические опыты, купно с рассуждениями, которые из оных непосредственно и почти очевидно следуют. Сии опыты описаны от разных авторов на разных языках, то на всю физику, то па некоторые ее части.

В числе первых почитается сия книжица, в которой все опыты, к истолкованию главных натуральных действий нужнейшие, кратко описаны. Описатель оных есть господин барон Христиан Вольф, королевский прусский тайный советник, в Галлском университете канцлер и в оном стар-ший профессор юриспруденции, здешней Императорской Академии наук, также и королевских Академий наук Парижской и Берлинской и королевского ж Лондонского ученого собрания член, который многими изданными от себя философскими и математическими книгами в свете славен. Сочиненная им экспериментальная физика на немецком языке состоит в трех книгах в четверть дести. Профессор Тиммиг. его ученик, сократил всю его философию на латинском языке, и купно с нею, как оныя часть, экспериментальную физику, которая вся содержится в сей книжице.

Я уповаю, что склонный читатель мне сего в вину не поставит, ежели ему некоторые описания опытов не будут довольно вразумительны: ибо сия книжица почти только для того сочинена и ныне переведена на российский язык, чтобы по ней показывать и толковать физические опыты; и потому она на латинском языке весьма коротко и тесно писана, чтобы для удобнейшего употребления учащихся вместить в ней три книги немецких, как уже выше упомянуто. Притом же, сократитель сих опытов в некоторых местах писал весьма неявственно, которые в российском переводе по силе моей старался я изобразить яснее. Сверх сего принужден я был искать слов для наименования некоторых физических инструментов; действий и натуральных вещей, которые хотя сперва покажутся несколько странны, однако надеюсь, что они со временем чрез употребление знакомее будут.

Оканчивая сие, от искреннего сердца желаю, чтобы по мере обширного сего государства высокие науки в нем распространились и чтобы в сынах российских к оным охота и ревность равномерно умножилась.

Писано 1746 года.

 

Д’АЛАМБЕР

(1717—1783)

Будущий механик, математик и энциклопедист, Жан ле Рои Д'Аламбер, рожденный внебрачным сыном генерала Детуш и канонессы Тансен, был оставлен на ступеньках церкви св. Жана ле Рон в Париже. Его детство прошло в семье стекольщика, Двенадцати лет, по протекции деда, Д’Аламбер поступил в привилегированный колледж Мазарини, покровительствуемый янсенистами. Там его готовили сначала к ад-вокатуре, затем к медицине. Однако вопреки планам воспитателей, Д’Аламбера больше всего интересовала математика, и ее он изучал самостоятельно.

Его первые работы по анализу получили признание, и он рано стал адъюнктом Парижской Академии. В 25 лет он публикует «Динамику» (1742), где формулирует принцип, позволивший задачи динамики свести к задачам о равновесии сил. Этот принцип, впоследствии названный принципом Д’Аламбера, позволил по-новому написать уравнения гидродинамики и исследовать движение твердого тела. Большое значение имела работа Д’Аламбера в области небесной механики, где вслед за Эйлером и Клеро он развил теорию движения Луны. В теории колебании Д’Аламбером было дано полное решение задачи о струне на основе волнового уравнения.

В 1751 г. Д’Аламбер совместно с Дидро предпринимает издание «Энциклопедии, или толкового словаря по паукам, искусствам и ремеслам». В век, справедливо названный веком Просвещения, в канун Великой Французской революции Энциклопедия стала выдающимся явлением в области развития культуры. Многие статьи по физике, философии, литературе в атом 28-томном издании написаны Д’Аламбером, Им также было написано обширное предисловие к Энциклопедии — «Очерк о происхождении и развитии науки». Недаром после смерти Вольтера Д’Аламбера считали первым философом Франции; его резкие антиклерикальные статьи создали ему много врагов. В 1754 г. после трех неудачных попыток Д’Аламбер был, наконец, выбран членом Парижской Академии, и то, правительство с неохотой утвердило решение о его избрании.

Литературная деятельность Д’Аламбера была отмечена избранием в члены Французской Академии, в число «бессмертных». Несмотря на заманчивые приглашения в Петербург от Екатерины II и от Фридриха II в Берлин, он не покинул своей родины. Д’Аламбер был прост в обращении, жил он очень скромно, много помогал своим ученикам и заботился о своей приемной матери до конца ее жизни.

В последние годы жизни Д’Аламбер обратился к истории науки, написал биографии многих членов Парижской Академии. Его также интересовали вопросы теории музыки, и он принял активное участие в острой дискуссии о жанре и форме оперы.

Мы приводим начало введения к «Динамике» Д’Аламбера.

ДИНАМИКА

Введение

Достоверность математики является тем ее преимуществом, которым она обязана главным образом простоте своего предмета. Более того, нужно признать, что поскольку не все отделы математики имеют одинаковый по простоте предмет, постольку и достоверность в собственном смысле слова,— достоверность, основывающаяся на принципах, являющихся необходимо истинными и очевидными сами по себе,— присуща различным ее отделам не в одинаковой степени и не одинаковым образом. Многие отделы математики, опирающиеся или на физические принципы, т.е. на опытные истины, или же на простые гипотезы, обладают, так сказать, лишь достоверностью опыта или даже достоверностью чистого допущения. Строго говоря, обладающими полной очевидностью можно считать только те отделы математики, которые имеют дело с исчислением величин и с общими свойствами пространства: таковы алгебра, геометрия и механика. Даже и здесь в степени ясности, которую наш ум находит в этих науках, можно заметить своего рода градацию и, если можно так выразиться, те или иные оттенки. Чем шире тот предмет, который ими охватывается, и чем более обща и абстрактна та форма, в которой он в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания. Именно по этой причине геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра.

Этот парадокс перестает казаться парадоксом для тех, кто изучал эти науки как философ: для них наибольшей ясностью обладают именно те наиболее абстрактные понятия, которые обычно считаются наиболее недоступными. Наоборот, нашими мыслями овладевает мрак по мере того, как мы сталкиваемся в том или ином объекте с чувственными свойствами. Так, прибавляя к понятию протяженности непроницаемость, мы, мне кажется, лишь увеличиваем тайну; природа движения является загадкой для философов; не менее скрыто от них и метафизическое начало законов соударения. Одним словом, чем более углубляют они образующееся у них понятие о материи и о свойствах, ее представляющих, тем более это понятие затемняется, как будто стремясь ускользнуть от них, и тем более они убеждаются, что о внешних объектах наименее несовершенным образом мы знаем лишь одно,— это их существование, да и оно опирается на сомнительное свидетельство наших чувств.

Из этих соображений следует, что наилучший метод в любом отделе математики (можно даже сказать: в любой науке) состоит в том, чтобы не только вводить туда и максимально применять знания, полученные из более абстрактных, а следовательно, и более простых наук, но и самый объект данной науки рассматривать наиболее абстрактным и наиболее простым из всех возможных способов, ничего не предполагать и ничего не приписывать объекту данной науки, кроме тех свойств, из которых, как из предпосылки, исходит сама данная наука. Отсюда вытекают два преимущества: во-первых, принципы получают всю возможную для них ясность; во-вторых, эти принципы оказываются сведенными к наименьшему числу, выигрывая тем самым в своей общности, так как, поскольку предмет науки необходимо определен, принципы этой науки тем плодотворнее, чем меньше их число.

С давних пор намеревались, причем не без успеха, выполнить по отношению к математике некоторую часть того плана, который нами только что намечен: алгебру удачно применяли к геометрии, геометрию к механике и каждую из этих трех наук ко всем остальным наукам, основанием и фундаментом которых они являются. Однако при этом не заботились ни о сведении принципов этих наук к наименьшему числу, ни о том, чтобы придать этим принципам всю ту ясность, которой можно было бы желать. Особенно пренебрегали этой задачей, мне кажется, в механике: большинство ее принципов либо неясных самих по себе, либо неясно сформулированных и доказанных, давали повод к ряду трудных вопросов. Вообще, до сих пор занимались больше увеличением здания, чем освещением входа в него. Думали, главным образом, над тем, как бы возвысить его, не заботясь о том, чтобы придать необходимую прочность его основанию.

В настоящем сочинении я поставил себе двоякую цель: расширить рамки механики и сделать подход к этой науке гладким и ровным. При этом я больше всего заботился о том, чтобы одна задача решалась с помощью другой, т.е. я стремился не только вывести принципы механики из наиболее ясных понятий, но и расширить область их применений. Наряду с этим я стремился показать как бесполезность многих принципов, употреблявшихся до сих пор в механике, так и выгоды, которые-можно получить для прогресса этой науки от объединения остальных. Одним словом, я стремился расширить область применения принципов, сокращая в то же время их число.

Таковы были мои намерения в настоящем сочинении. Для того чтобы ознакомить читателя со средствами, при помощи которых я старался осуществить эти намерения, может будет не лишним заняться логическим» анализом науки, которую я взялся излагать...

 

ЛАГРАНЖ

(1736—1813)

Жозеф Луи Лагранж родился в Турине. Его мать была итальянкой. Отец, французский дворянин, был военным казначеем; некогда состоятельный, он разорился из-за бесчисленных финансовых спекуляций, что, впрочем, мало волновало сына. Позднее Жозеф писал: «Если я был бы богат, я, вероятно, не достиг бы моего положения в математике; и в какой другой области я добился бы тех же успехов?»

Семнадцати лет Лагранж увлекся математикой, прочитав мемуар астронома Галлея «О преимуществах аналитического метода». Уже тогда геометрия классических авторов его мало привлекала и впоследствии в «Аналитической механике» он заметит, что в этой книге нет ни одного чертежа. В 17 лет Лагранж стал преподавателем Артиллерийской школы в Турине. Там же он организует научное общество, впоследствии выросшее в известную Туринскую Академию наук. В трудах общества Лагранж публикует свои ранние работы по изопериметрическим кривым и вариационному исчислению, вызвавшие восторженные отзывы Эйлера. По рекомендации Эйлера Лагранж был выбран иностранным членом Берлинской Академии и в 1766 г. переезжает в Берлин.

Последующие 20 лет были годами интенсивного творчества, завершившегося созданием «Аналитической механики». Однако в 1786 г. покровительствующий Лагранжу Фридрих II умер, время «просвещенного абсолютизма» кончилось. Тогда Лагранж по приглашению Людовика XVI переехал в Париж. В 1788 г. ему, наконец, удалось и:дать свою великую книгу. Ее написание настолько опустошило Лагранжа, что он впал в состояние глубокой депрессии.

Во время Великой Французской революции жизнь Лагранжа как иностранца была в опасности; однако от ареста его спас Лавуазье. Вскоре Лагранж был назначен членом Комиссии по изобретениям и ремеслам, а затем председателем Комиссии по установлению метрической системы мер и весов. Лагранж активно содействовал созданию новой системы и внедрению ее революционных принципов в жизнь.

В период Империи Наполеон сделал Лагранжа князем. Лагранж принимал деятельное участие в организации высших учебных заведений нового типа — Эколь Нормаль (Нормальной школы), а затем Политехнической школы. Он преподавал математику и написал три книги по анализу. Его попытка обоснования исчисления бесконечно малых была неудачной, но эти работы инициировали исследования Коши.

Лагранж был мягким и деликатным человеком. Крайне мнительный, он сильно заботился о своем здоровье, и лечащие врачи 29 раз подвергали его кровопусканию. Он не пил вина и был вегетарианцем. В последние годы жизни он отошел от математики и механики, оставил занятия химией и обратился к ботанике, языкознанию, философии.

Сочинения Лагранжа, совершенные по форме и исключительные ко глубине и широте охвата проблем современной ему математики, астрономии и механики, составляют 14 томов. Ниже следует предисловие к первому изданию «Аналитической механики», а также краткие введения, которыми автор предваряет основные части этого сочинения: «Статику» и «Динамику».

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Предисловие

Существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил своей целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи. Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставит желать чего-либо лучшего.

Кроме того, эта работа принесет пользу и в другом отношении: она объединит и осветит с единой точки зрения различные принципы, открытые до сих пор с целью облегчения решения механических задач, укажет их связь и взаимную зависимость и даст возможность судить об их правильности и сфере их применения.

Я делю эту работу на две части: на статику, или теорию равновесия, и на динамику, или теорию движения; в каждой из этих частей я отдельно рассматриваю твердые и жидкие тела.

В этой работе совершенно отсутствуют какие бы то ни было чертежи. Излагаемые мною методы не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения.

О РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ СТАТИКИ

Статика — это наука о равновесии сил. Под силой мы понимаем, вообще говоря, любую причину, которая сообщает или стремится сообщить движение телам, к которым мы представляем себе ее приложенной; поэтому силу следует оценивать по величине движения, которое она вызывает или стремится вызвать. В состоянии равновесия сила не производит реального действия; она вызывает лишь простое стремление к движению; но ее следует всегда измерять по тому эффекту, какой она вызвала бы, если бы она действовала при отсутствии каких-либо препятствий. Если принять в качестве единицы какую-либо силу или же ее действие, то выражение для любой другой силы представит собою не что иное, как отношение, т.е. математическую величину, которая может быть выражена с помощью чисел пли линий; с этой именно точки зрения и следует в механике рассматривать силы.

Равновесие получается в результате уничтожения нескольких сил, которые борются и взаимно сводят на нет действие, производимое ими друг на друга; статика имеет своей целью дать законы, согласно которым происходит это уничтожение. Эти законы основаны на общих принципах, которые можно свести к трем: принципу рычага, принципу сложения сил и принципу виртуальных скоростей.

О РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ДИНАМИКИ

Динамика —это наука об ускоряющих и замедляющих силах и о переменных движениях, которые они должны вызывать. Эта наука целиком обязана своим развитием новейшим ученым, и Галилей является тем лицом, которое заложило первые ее основы. До него силы, действующие на тела, рассматривали только в состоянии равновесия, и хотя ускоренное падение твердых тел и криволинейное движение брошенных тел не могли приписать какой-либо иной причине, кроме постоянного действия тяжести, тем не менее никому до Галилея не удалось определить законов этих повседневных явлений — несмотря на то, что причина их столь проста. Галилей первый сделал этот важный шаг и этим открыл новый и необозримый путь для прогресса механики. Его открытие было изложено с развито в работе, озаглавленной: «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отделов науки», появившейся впервые в Лейдене в 1638 г. Однако у современников эта работа не доставила Галилею столько славы, сколько открытия, произведенные им на небе; в настоящее же время она составляет наиболее падежную и существенную часть славы этого великого человека.

Открытия спутников Юпитера, фаз Венеры, солнечных пятен я т.д. потребовали лишь наличия телескопа и известного трудолюбия; но ну-жен был необыкновенный гений, чтобы открыть законы природы в таких явлениях, которые всегда пребывали перед глазами, но объяснение которых тем не менее всегда ускользало от изысканий философов.

Гюйгенс, которого сама судьба как будто предназначила для усовершенствования и дополнения большинства открытий Галилея, прибавил к теории ускоренного движения весомых тел теорию движения маятника и теорию центробежных сил и таким образом подготовил почву для. великого открытия всемирного тяготения. В руках Ньютона механика превратилась в новую науку; его «Начала», появившиеся впервые в 1687 г., составили эпоху этого превращения.

Наконец, открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям; после этого исследование сил и вызываемых ими движений явилось главнейшим предметом их работ.

Я поставил себе здесь целью предоставить в распоряжение математиков новое средство для облегчения подобного рода исследований; однако будет небесполезно сначала изложить те принципы, которые лежат в основании динамики, и показать последовательное развитие тех идей, которые больше всего способствовали расширению и усовершенствованию этой отрасли науки.

 

ГАЛЬВАНИ

(1737-1798)

Жизнь Луиджи Гальвани прошла в Болонье на севере Италии, где он родился. Гальвани учился в Болонском университете, занимаясь сначала богословием, затем физиологией и анатомией. Получив первую ученую степень за исследования о костях, Гальвани стал преподавать медицину; в 1775 г., после смерти своего тестя и учителя профессора Галеацци, он занял кафедру практической анатомии и гинекологии. Гальвани был блестящим лектором и успешно практикующим врачом. Ему принадлежат интересные работы по строению уха у птиц. Десятилетнее исследование по возбуждению нервов под влиянием статического электричества привели его к открытию так называемого животного электричества, опубликованному в 1791 г. в знаменитом «Трактате о силах электричества при мышечном сокращении».

Последние годы жизни Гальвани были несчастными. Умерла его горячо любимая жена и помощник Лючия, умер его брат. После Великой Французской революции, когда наполеоновская армия захватила Болонью, Гальвани отказался присягнуть новой власти и вынужден был покинуть кафедру. Однако из глубокого уважения к ученому правительство Цизальпинской республики восстановило его в должности, но вскоре Гальвани умер.

Соотечественник Гальвани — Алессандро Вольта показал, что электричество, открытое Гальвани, зависит только от контакта разнородных металлов и непосредственно не связано с живыми тканями, как думал Гальваны. В первый год XIX века Вольта изобрел гальваническую батарею — вольтов столб; это открыло дорогу стремительному развитию физики и техники электричества.

Мы приводим краткое предисловие Гальвани к его «Трактату».

ТРАКТАТ О СИЛАХ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ПРИ МЫШЕЧНОМ ДВИЖЕНИИ

Желая, чтобы открытия, которые мне удалось сделать с немалым трудом после многих опытов в нервах и мышцах, принесли пользу, и чтобы стали известны, если это возможно, и их скрытые свойства, и мы вернее могли бы лечить их болезни, я не видел ничего более подходящего для исполнения подобного желания, чем опубликовать, наконец, эти открытия, каковы бы они ни были. Таким образом, выдающиеся ученые будут в состоянии, читая нас, своими размышлениями и своими опытами не только сделать больше в этой области, но также достигнуть того, чего пытались достигнуть и мы, но к чему нам, быть может, весьма мало удалось приблизиться.

Правда, я желал бы вынести на общее суждение труд, если и не вполне совершенный и законченный, чего, быть может, я никогда не был бы в состоянии сделать, то по крайней мере такой, который не был бы сырым или даже едва начатым; но так как я полагал, что для его завершения у меня нет ни достаточно времени, ни досуга, пи способностей, то я, конечно, предпочел отказаться скорее от моего столь справедливого желания, чем от пользы дела.

Итак, я считал, что сделаю нечто ценное, если я кратко и точно изложу историю моих открытий в таком порядке и расположении, в каком мне их доставили отчасти случай и счастливая судьба, отчасти трудолюбие и прилежание. Я сделаю это не только для того, чтобы мне не приписывалось больше, чем счастливому случаю или счастливому случаю больше, чем мне, но для того, чтобы дать как бы факел тем, которые пожелают пойти по тому же пути исследования, или, по крайней мере, чтобы удовлетворить благородное желание ученых, которые обычно находят удовольствие в познании начала и сути вещей, заключающих в себе нечто новое.

К изложению опытов я прибавлю кое-какие пояснения, кое-какие предположения и гипотезы, главным образом с тем намерением, чтобы несколько расчистить путь для новых предстоящих опытов, идя по которому, мы могли бы если и не достичь истины, то по крайней мере увидеть к ней новый подход.

Итак, после всего изложенного выше, начинаю.

 

МОНЖ

(1746-1818)

Гаспар Монж родился в Боне, в бедной семье, и начальное образовал не получил в местном лицее. Затем Монж учился в Военной Академии в Мезьере, в которой с 1768 г. уже преподавал. Именно там им были созданы методы и развиты приемы начертательной геометрии; однако из-за практической и военной значимости эта дисциплина была засекречена и Монж свою «Начертательную геометрию» смог опубликовать только в 1795 г.

В том же году он был назначен первым начальником Нормальной школы. Это знаменитое высшее учебное заведение, давшее Франции и миру выдающихся ученых, военных и государственных деятелен, было рождено революцией. Нормальная школа и организованная вскоре из нее Политехническая школа, стали высшими учебными заведениями нового типа, ибо старые не смогли отвечать требованиям нового общественного развития.

Политехническая школа, вместе со своими отделами — Школой шоссе и дорог. Школой военных инженеров и артиллерии, Горного дела, сохранилась до сих пор как закрытое учебное заведение повышенного типа, готовящее инженеров на широтой физико-математической основе. Нормальная школа превратилась в своего рода педагогический институт, готовящий научные кадры высшей квалификации. Здесь преподавали многие выдающиеся математики Франции.

В эпоху революции Монж был близок к Наполеону. При нем он стал военно-морским министром, а затем министром вооружения. Монж принимал участие в египетском походе. Во время Империи он получил титул князя Пелузы. После Реставрации Монж был лишен всех званий и исключен из Академии. Он умер в нищете. По свидетельству современников, Монж был сильным бескомпромиссным человеком больших творческих и административных способностей.

Помимо работ по дифференциальным уравнениям и дифференциальной геометрии, оказавших глубокое влияние на развитие этой части математики, Монж первый обратился к тому, что теперь мы называем исчислением операций при решении транспортной задачи строительства укреплений.

Законы перспективы, оказавшие существенное влияние не только на живопись, но и на архитектуру и технику своего времени, были сформулированы еще Леонардо да Винчи. Следующий шаг в этом направлении был сделан Монжем, создавшим начертательную геометрию, которая и поныне лежит в основе образования и труда инженера и архитектора.

Мы приводим предисловие к «Начертательной геометрии» Монжа, которое он назвал «Программой»,—тезисы речи, произнесенной при открытии Нормальной школы.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Программа

Чтобы освободить французский народ от иностранной промышленной зависимости, в которой он до сих пор находился, надо прежде всего направить народное образование к познанию объектов, требующих точности, что было в полном пренебрежении до нашего времени, и приучить наших специалистов к пользованию всевозможными инструментами, предназначенными для того, чтобы вносить точность в работу и измерять ее степень: тогда потребители, поняв необходимость точности выполнения, начнут требовать ее в разных работах и соответственно их оценивать; и наши специалисты, привыкнув к точности с молодых лет, будут в состоянии ее достигнуть.

Во-вторых, надо расширить знание многих явлений природы, необходимое для прогресса промышленности, и воспользоваться для развития общего образования народа тем счастливым обстоятельством, что она имеет в своем распоряжении главнейшие ресурсы, которые ей требуются.

Наконец, надо распространить среди наших специалистов знание способов, применяемых в искусствах, и знание машин, предназначенных для того, чтобы либо сократить ручную работу, либо внести в результаты работы больше однородности и точности; надо сознаться, что в этом отношении мы должны еще многое заимствовать у других народов.

Всем этим требованиям можно удовлетворить, только дав новое направление народному образованию.

Прежде всего нужно приучить пользоваться начертательной геометрией всех способных молодых людей как богатых, для того чтобы они были в состоянии употреблять свои капиталы с пользой — равно для себя и для государства, так и тех, у которых образование является единственным богатством, для того чтобы они могли увеличить цену своего труда.

Эта наука имеет две главные цели.

Первая — точное представление на чертеже, имеющем только два измерения объектов трехмерных, которые могут быть точно заданы.

С этой точки зрения, это — язык, необходимый инженеру, создающему какой-либо проект, а также всем тем, кто должен руководить его осуществлением, и, наконец, мастерам, которые должны сами изготовлять различные части.

Вторая цель начертательной геометрии — выводить из точного описания тел все, что неизбежно следует из их формы и взаимного расположения. В этом смысле это — средство искать истину; она дает бесконечные примеры перехода от известного к неизвестному; и поскольку она всегда имеет дело с предметами, которым присуща наибольшая ясность, необходимо ввести ее в план народного образования. Она пригодна не только для того, чтобы развивать интеллектуальные способности великого народа и, тем самым, способствовать усовершенствованию рода человеческого, но она необходима для всех рабочих, цель которых придавать телам определенные формы; и именно, главным образом, потому, что методы этого искусства до сих пор были мало распространены пли даже совсем не пользовались вниманием, развитие промышленности шло так медленно.

Народному образованию будет дано полезное направление, если наши молодые специалисты привыкнут применять начертательную геометрию к графическим построениям, необходимым во многих областях, и пользоваться ею для построения и определения элементов машин, при помощи которых человек, используя силы природы, оставляет за собой только работу разума.

Не менее полезно распространять знания о явлениях природы, которые тоже можно заставить служить на пользу дела.

Очарование, сопровождающее науку, может победить свойственное людям отвращение к напряжению ума и заставить их находить удовольствие в упражнении своего разума,— что большинству людей представляется утомительным и скучным занятием.

Итак, в Нормальной школе должен быть курс начертательной геометрии.

Но так как мы не имеем до сих пор в этой области науки ни одного хорошо написанного элементарного труда,— потому ли, что наши ученые слишком мало ею интересовались, или потому, что она применялась туманным образом лицами недостаточно образованными, не умевшими излагать результаты своих размышлений,— простои устный курс был бы абсолютно бесцельным.

Лекционное изложение методов начертательной геометрии необходимо сопровождать практическими занятиями.

Поэтому ученики должны упражняться в графических построениях по начертательной геометрии. В графических искусствах применяются общие методы, с которыми можно освоиться, пользуясь только циркулем и линейкой.

Среди различных возможных применений начертательной геометрии имеются два замечательных как по своим обобщениям, так и по своей изобретательности: это построение перспективы и точное определение теней на рисунке. Эти два вопроса могут быть рассмотрены как дополнение к искусству описания предметов.

 

ЛАПЛАС

(1749—1827)

Пьер Симон Лаплас родился на севере Франции в Нормандии, в бедной крестьянской семье. Благодаря помощи состоятельных соседей, обративших внимание на способности молодого Лапласа, ему удалось окончить школу Ордена Бенедиктинцев в Кане. Затем он стал преподавателем в военной школе в родном городе Бомон. Когда Лапласу было 18 лет, он отправился в Париж с письмом к Д’Аламберу; но только представив ему работу по основам механики, Лапласу удалось обратить на себя внимание и получить место преподавателя в военной школе в Париже. С тех пор Лаплас не покидал этого города, пережив Великую Французскую революцию, эпоху Наполеона и реставрацию Бурбонов.

Лаплас был членом Комиссии мер и весов, разработавшей метрическую систему, и членом Бюро долгот. Он был профессором Нормальной школы с самого ее основания. При Директории Лаплас добивался и получил пост министра внутренних дел. Однако вскоре он был уволен, так как, по словам Консула: «...он вносил слишком много бесконечно малых в дела государства». Министром стал брат Наполеона, а Лапласа в утешение сделали членом вновь образованного Сената.

Во время Империи он стал офицером Почетного легиона и графом, но это не помешало ему в 1814 г. голосовать за низложение Наполеона. После Реставрации Лаплас стал пэром и получил титул маркиза. В 1816 г. Лапласа избрали членом Французской Академии, «бессмертным», главным образом за блестящие литературные достоинства его небольшой книги «Изложение системы мира» (1796), содержащей в виде приложения знаменитую космогоническую гипотезу, обычно называемую небулярной гипотезой Канта — Лапласа,

По свидетельству современников, Лаплас был малоприятным и политически беспринципным человеком. Он голосовал за исключение Монжа из Академии, не выносил деликатного и веротерпимого Лагранжа и хорошо относился только к Д’Аламберу. Несмотря на религиозное воспитание, Лаплас был убежденным атеистом. Когда Наполеон спросил его, есть ли у него место в «Небесной механике» для Бога, ученый ответил: «Ваше Величество, я не нуждаюсь в этой гипотезе...»

Мы приводим предисловия к «Изложению системы мира», а также к первому (1799) и к третьему (1805) томам «Небесной механики».

С именем Лапласа связан тот детерминизм, который был столь характерной чертой естественнонаучных представлений его эпохи. Тем не менее Лапласу принадлежит и знаменитое сочинение по теории вероятностей; мы заключаем этот раздел предисловием к его «Аналитической теории вероятностей» (1812).

ИЗЛОЖЕНИЕ СИСТЕМЫ МИРА

Предисловие

Из всех естественных наук астрономия представлена нам самым длинным сцеплением открытий. Чрезвычайно далеко от первого взгляда на небо до общего воззрения, которым теперь обнимают прошедшее и будущее состояние мира. Чтобы прийти к этим воззрениям, нужно наблюдать светила в течение многих веков; понять, как по их кажущимся движениям узнать истинное движение Земли, как перейти от законов планетных движений к началу всемирного тяготения и, наконец, от этого начала к полному объяснению всех небесных явлений в их малейших подробностях. Ум человеческий совершил это дело в астрономии.

Изложение последовательности этих открытий и простейшего способа их происхождения представляет двойную выгоду — познание большого количества занимательных фактов и истинные методы исследования законов природы. Этому предмету посвящено сочинение, лежащее перед читателем.

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

Предисловие к I тому

В конце прошлого века Ньютон опубликовал свое открытие всемирного тяготения. С тех пор математикам удалось все известные явления мироздания свести к этому великому закону природы, и таким образом достичь в астрономических теориях и таблицах неожиданной точности. Моя цель состоит в том, чтобы представить с единой точки зрения теории, рассеянные по разным работам, соединив вместе все результаты по равновесию и движению твердых и жидких тел, из которых построена наша Солнечная система и подобные системы, раскинутые в просторах Вселенной, и построить таким путем небесную механику.

Астрономия, рассмотренная наиболее общим образом, есть великая проблема механики, которая состоит в определении небесных движений произвольного вида. В то же время ее решения зависят от точности наблюдений и полноты анализа. Необычайно важно поэтому исключить из нее все эмпирические утверждения, так чтобы из наблюдений брать только самые необходимые сведения. В той степени, насколько возможно в данной работе, я пытался это осуществить, и я надеюсь, что математики и астрономы отнесутся с сочувствием к трудности этого положения и, если они найдут представленные результаты достаточно простыми, то смогут использовать их в своих исследованиях.

Сочинение будет разделено на две части. В первой я даю методы и формулы, определяющие движение центров тяжести небесных тел, форму этих тел, колебания жидкостей, которые их покрывают, и их движение относительно собственного центра тяжести. Во второй части сочинения формулы, полученные в первой, будут применены к планетам, спутникам и кометам. Я заключаю эту часть исследованием различных вопросов, имеющих отношение к мирозданию, и даю исторический обзор математических работ, посвященных этому предмету.

Я принял десятичную систему деления прямого угла и дня. В линейных измерениях я исхожу из длины метра, который определен дугой земного меридиана между Дюнкерком и Барселоной.

Предисловие к III тому

БОНАПАРТУ — ЧЛЕНУ НАЦИОНАЛЬНОГО ИНСТИТУТА, ГРАЖДАНИНУ ПЕРВОМУ КОНСУЛУ — РАЗРЕШИТЕ МНЕ ПОСВЯТИТЬ ЭТОТ ТОМ— ГЕРОИЧЕСКОМУ УМИРОТВОРИТЕЛЮ ЕВРОПЫ...

В первой части данного труда выведены общие принципы равновесия и движения тел. Приложение этих принципов к движению небесных тел привело нас, путем чисто математических рассуждений, без введения гипотез, к закону всемирного тяготения. Действие тяжести, движение снарядов у поверхности Земли составляют частные случаи этого закона. Далее мы рассмотрели системы тел, подверженных этому великому закону природы, и вывели, исключительно путем анализа, общие выражения для их движений, формы и колебаний покрывающих их жидкостей. Из этих зависимостей мы получили все известные нам явления приливов и отливов, изменение длины градусной дуги меридиана и силы тяжести на поверхности Земли, предварение равноденствий, либрацию Луны, форму и движение колец Сатурна и указали на причину, по которой эти кольце неизменно остаются в плоскости экватора Сатурна. Более того, мы вывели, исходя из той же теории тяготения, основные уравнения движения планет, в особенности Сатурна и Юпитера, главные неравенства которых имеют периоды больше девятисот лет. Неравенства движений Юпитера и Сатурна вначале представляли для астрономов только лишь аномалию, законы и причины которой были неизвестны. В течение долгого времени эти неправильности казались несовместимыми с теорией тяготения. Однако более внимательное рассмотрение показало, что они могут быть выведены из теории тяготения, и тем самым эти движения стали одним из самых поразительных ее доказательств. Мы развили теорию вековых движений элементов планетной системы, при которых она возвращается в то же состояние лишь по прошествии многих столетий. Среди всех изменений элементов мы обнаружили постоянство средних движений и средних размеров орбит. По-видимому, природа их первоначально установила для вечного продолжения, имея в виду те же цели, с которыми так дивно устроена Земля для сохранения особей и продолжения видов. Из одного того, что все движения происходят в одну сторону, в плоскостях, лишь слабо наклоненных, следует, что орбиты планет и спутников всегда были почти круговыми и лишь мало наклоненными друг к другу. Таким образом, изменения наклона эклиптики, которая всегда была заключена в узких пределах, никогда не приведут к вечной весне на Земле.

Мы показали, что сфероид Земли, постоянно притягивающий к своему центру обращенное к нам полушарие Луны, передает вращательному движению спутника вековые вариации своего собственного движения и таким образом всегда уводит из нашего поля зрения другое полушарие. Наконец, мы показали, что в движении первых трех спутников Юпитера имеет место замечательная закономерность, следующая из их взаимного притяжения: средняя долгота первого спутника, видимая из центра Юпитера, за вычетом одной трети долготы второго спутника и в сумме с удвоенной долготой третьего спутника, всегда точно равна двум прямым углам. Следовательно, эти спутники никогда не могут одновременно находиться в затмении.

В последующем нам предстоит особо рассмотреть возмущения планет и комет при их движении вокруг Солнца, движения Луны вокруг Земли и спутников вокруг планет. В этом состоит цель второй части этого труда, в котором особое внимание уделено улучшению астрономических таблиц. Эти таблицы следовали развитию науки, которая служит им основанием. В начале этот прогресс был исключительно медленным и в течение очень долгого времени люди следили только за видимым движением светил. Эта эпоха, начало которой затеряно в глубокой древности, может рассматриваться как детство астрономии. Ей принадлежат труды Гиппарха и Птолемея, а также наблюдения индусов, арабов и персов. Система Птолемея, которую они последовательно приняли, по существу является ничем иным, как способом представления видимых движений, и на этом основании она была полезна науке. Слабость человеческого ума часто требует помощи гипотезы для установления взаимосвязи, фактов. Если мы ограничиваем гипотезу таким ее применением и позаботимся о том, чтобы не приписывать ей того реального значения, которым она не обладает, и будем затем часто поправлять ее новыми наблюдениями, то мы сможем в конце концов обнаружить истинные причины или, по крайней мере, законы этих явлений. История, философии науки может представить много примеров тех преимуществ, которые можно извлечь из заранее принятой гипотезы, и тех ошибок, которым мы подвержены, полагая, что она соответствует истинному объяснению природы. В середине шестнадцатого века Коперник пришел к выводу, что кажущиеся движения небесных тел указывают нам на истинное движение Земли вокруг Солнца и вокруг своей оси. Таким образом, он показал нам мир с новой точки зрения, и тем самым изменил облик астрономии. Замечательная совокупность открытий навсегда оставит в нашей памяти, в истории науки, столетие, последовавшее за открытием Коперника, эпоху, которая также отмечена шедеврами литературы и искусства.

Кеплер указал законы движения планет по эллипсу. Телескоп, изобретенный благодаря счастливому случаю, был тут же усовершенствован Галилеем. Ему он позволил увидеть на небе новые неравенства и новые миры. Применение маятника в часах Гюйгенсом и телескопа к астрономическому квадранту придало точность измерениям времени и углов и тем самым сделало ощутимыми малейшие неравенства небесных движений. В то время как наблюдения представляли человеческому уму новые явления, для их объяснения и расчета были созданы новые инструменты мышления. Непер изобрел логарифмы. Анализ кривых и основы динамики были созданы трудами Декарта и Галилея. Ньютон открыл дифференциальное исчисление, разложил луч света и возвел тяготение до общего принципа. За только что прошедший век преемники этого-великого человека закончили здание, фундамент которого заложил он. Был усовершенствован анализ бесконечно малых, изобретено исчисление частных производных как бесконечно малых, так и конечных. Вся механика сведена теперь к формулам. Применением этих открытий к закону тяготения были рассчитаны все небесные явления, что придало теориям и астрономическим таблицам необыкновенную точность; этому в значительной мере мы обязаны трудам французских математиков и тем премиям, которые учреждались Академией наук. К указанным открытиям следует прибавить аберрацию звезд и нутацию земной оси, обнаруженные Брадлеем, и многочисленные измерения длины градусной дуги меридиана и длины маятника, пример которых подала Франция, послав членов своей Академии на север, на экватор и в южное полушарие. Произведенное с большой точностью измерение длины дуги меридиана между Дюнкерком и Барселоной было положено в основу наиболее простой и естественной метрической системы мер. Были предприняты многочисленные экспедиции для исследования различных частей земного шара и для наблюдений прохождения Венеры через диск Солнца. Результатом этих путешествий стало точное определение размеров Солнечной системы. Мы должны указать на открытие Гершелем планеты Уран и его спутников, а также двух новых спутников Сатурна. Наконец, мы должны прибавить к этим открытиям изобретение такого замечательного и полезного на море прибора, как секстанта, астрономического телескопа, меридианного круга, пассажного инструмента и хронометра. Мы можем быть удовлетворены, что с точки зрения прогресса человеческого ума прошедший век достоин предшествующего. Век, в который мы только вступили, начался с очень обещающих астрономических предзнаменований. Его первый день был отмечен открытием планеты Церера. Вскоре последовало открытие планеты Паллада, с почти тем же средним расстоянием до Солнца. Близость Юпитера к этим двум, ничтожно малым телам, большая величина эксцентриситета и наклонения их переплетающихся орбит, должны привести к значительным неравенствам в их движении, которые прольют новый свет на теорию всемирного тяготения и послужат для дальнейшего ее усовершенствования.

Главным образом, благодаря применению математического анализа к системе мира, мы поняли все могущество этого замечательного инструмента, без которого невозможно было бы раскрыть механизм столь сложный по своим действиям, но столь простой по своим причинам. В свои формулы математик теперь включает всю планетную систему, ее последовательные изменения. Он может мысленно оглядываться на различные состояния, через которые эта система прошла в наиболее удаленные от нас века, и может предсказать, что в грядущем развернется перед наблюдателем. Он видит эту величественную картину, охватывающую несколько миллионов лет, повторенную благодаря быстроте обращения за несколько веков в системе спутников Юпитера и воспроизводящую замечательные явления, подобные тем, которые давно подозревались астрономами в движении планет, но которые были слишком сложны и замедленны для того, чтобы установить их точные законы. Теория тяготения благодаря многим приложениям стала средством открытий, столь же верных, как сами наблюдения. Теория обнаружила ряд новых неравенств в движении небесных тел и позволила предсказать возвращение кометы 1759 года, обращения которой благодаря притяжению Юпитера и Сатурна очень нерегулярны. Таким путем математик может извлечь из наблюдений, как из богатого рудника, большое число ценных и тонких данных, которые без анализа были бы навсегда скрыты. Таковы относительные значения масс Солнца, планет и спутников, определенные по обращению этих тел, их периодическим и вековым неравенствам; скорость света и эллипсоидальность Юпитера, которую можно определить по затмениям его спутников точнее, чем прямыми наблюдениями; период вращения и сплюснутость Урана и Сатурна, вычисленные из предположения о том, что тела, обращающиеся вокруг этих планет, находятся соответственно в одной плоскости, следует еще назвать параллаксы Солнца и Луны, а также фигуру самой Земли, определенную по некоторым неравенствам Луны. Мы увидим в дальнейшем, что движение Луны, по мере усовершенствования астрономии, указывает на малую эллиптичность сфероида Земли, округлость которой стала известна первым астрономам по затмению этого светила.

Наконец, благодаря счастливому сочетанию расчета и наблюдений, то светило, которое придано Земле с тем, чтобы освещать его ночью, стало также вернейшим проводником для мореплавателя, защищающим от опасностей, вечно его подстерегавших из-за ошибок при определении места на море. Совершенствование теории и таблиц Луны, которым мореплаватель обязан точности определения места, есть плод деятельности математиков и астрономов за последние полвека. В них объединено все то, что придает ценность открытиям, величие и полезность цели, плодотворность приложениям и достоинство преодоленным трудностям. Именно таким путем наиболее абстрактные теории, применение которых рассеяно по многочисленным явлениям природы и инженерного искусства, стали неиссякаемым источником удобства и радости даже для тех, кто с ними совершенно незнаком.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

НАПОЛЕОНУ ВЕЛИКОМУ

В этом сочинении я предполагаю изложить анализ и принципы, необходимые для решения проблем, касающихся вероятностей. В основе анализа лежат две теории, которые были мною опубликованы еще 30 лет тому назад в мемуарах Академии наук. Одна из них —это теория производящих функций, другая — теория приближенных формул для функций больших чисел. Они являются предметом первой книги, в которой я излагаю их в еще более общей форме, чем в упомянутых мемуарах. Их сопоставление наглядно показывает, что вторая работа есть развитие первой и что их можно рассматривать как два раздела одного и того же исчисления, которое я называю исчислением производящих функций. Это исчисление лежит в основе той теории вероятностей, которая является предметом второй книги. Вопросы, относящиеся к случайным событиям, чаще всего сводятся к линейным дифференциальным уравнениям с простыми пли частными производными и первый отдел исчисления производящих функций дает общий метод для интегрирования уравнении такого рода. Но когда рассматривается большое число событии, то выражения, которые их описывают, состоят из большого числа членов и множителей так, что их численный расчет практически невозможен и потому так необходим способ, который преобразует такие ряды в сходящиеся. Это и осуществляется во второй части исчисления производящих функций с тем большим успехом, чем больше в нем необходимость.

Моя цель состоит в представлении методов и общих результатов теории вероятностей и именно поэтому я рассматриваю самые тонкие вопросы, трудные и в то же время очень полезные для этой теории. В особенности я стремлюсь определить вероятность причин и следствий при большом числе указанных событий и отыскать законы, согласно которым эта вероятность приближается к своему пределу по мере того, как множатся эти события. По тому анализу, который они требуют, данные исследования заслуживают внимания математиков, и именно здесь находит свое самое важное применение теория приближенных формул для функций больших чисел. И, наконец, эта теория заслуживает внимания философов, показывая, как в конце концов устанавливается закономерность даже в тех вещах, которые кажутся нам обязанными случаю, и обнаруживаются скрытые, но постоянные причины, от которых зависит эта закономерность. Именно на закономерности этих средних результатов, выступающей при большом числе событий, основаны различные предприятия, такие, как пожизненная рента, пенсии, страхование. Вопросы, близкие к последнему, а также оспопрививание и голосование на выборных собраниях, не представляют никаких трудностей для их объяснения, если следовать моей теории. В этом сочинении я ограничиваюсь решением самых общих вопросов, по важность этих вопросов в гражданской жизни и моральные соображения, связанные с ними и усложняющие их, а также многочисленные наблюдения, которых они требуют, вызывают необходимость в самостоятельном сочинении.

Если принять во внимание аналитические методы, которые уже породила теория вероятностей, и те, которые она еще может дать, безошибочность принципов, которые служат ей базой, строгую и тонкую логику, требующую их применения при решении задач, полезность общественных учреждений, опирающихся на нее, и если затем обратить внимание на то, что даже в предметах, которые не могут быть точно рассчитаны, эта теория указывает наиболее верный путь в достижении решений и, что она помогает нам избежать иллюзий, которые часто вводят нас в заблуждения, то мы увидим, что нет науки, более достойной наших размышлений и результаты которой были бы более полезны. Теория вероятностей обязана появлением на свет двум французским математикам XVII века, века столь обильного великими людьми и великими открытиями, и века, который больше всех столетий делает честь человеческому разуму. Паскаль и Ферма поставили и решили несколько задач теории вероятностей. Гюйгенс в небольшом трактате на эту тему обобщил их и расширил. Далее эта проблематика в более общей форме была рассмотрена Бернулли, Монмортом и Муавром и многими другими знаменитыми математиками последнего времени.