Скорость – это всего лишь темп изменения положения, а ускорение – темп изменения скорости. В терминах дифференциального исчисления скорость – это первая производная положения, а ускорение – вторая. Важное свойство классической механики состоит в том, что положение и скорость полностью задают состояние частицы, ускорение же определяется локальными условиями и соответствующими законами физики.
Вернуться
62
Упражнение для читателей: можно ли вообразить мир, в котором абсолютная ориентация в пространстве поддается точному определению? А как насчет мира, в котором нельзя определить абсолютное положение, скорость и ускорение, но зато темп изменения ускорения является наблюдаемым?
Вернуться
63
Проигрывая возможные ситуации, постарайтесь все же не слишком увлекаться. Сегодня мы твердо убеждены, что никакой среды, пронизывающей все пространство и относительно которой мы могли бы измерять нашу скорость, не существует. Однако в конце XIX века люди верили в ее существование, называя такую среду эфиром. С другой стороны, мы верим в существование в каждой точке пространства полей, причем некоторые поля (например, поле Хиггса) в пустом пространстве могут даже иметь ненулевые значения. Сегодня мы верим, что волны – электромагнитные и иные – это распространяющиеся колебания этих полей. Однако поле не считается настоящей «средой» по двум причинам: во-первых, оно может иметь нулевое значение, а во-вторых, невозможно измерить скорость по отношению к нему. Кроме того, вполне вероятно, что мы многого не знаем. Некоторые отличающиеся богатым воображением физики-теоретики всерьез задаются вопросом, а нет ли вокруг нас каких-то новых полей, которые задают абсолютную систему координат, относительно которой мы могли бы измерять свою скорость (см., например: Mattingly, D. Modern Tests of Lorentz Invariance // Living Reviews in Relativity, 2005, 8, p. 5). Подобные поля иронично называют «эфиром», но это совершенно не тот эфир, о котором говорилось в XIX веке. В частности, они никак не связаны с распространением электромагнитных волн и прекрасно согласуются с основными принципами теории относительности.
Вернуться
64
Некоторую историческую информацию вы найдете в книге Miller, A. I. Albert Einstein’s Special Theory of Relativity. Emergence (1905) and Early Interpretation (1905–1911). Reading: Addison-Wesley, 1981.
Вернуться
65
Для того чтобы в реальности испытать сокращение длины или растяжение времени, нам потребуются либо невероятно точные измерительные приборы, либо аппарат, позволяющий перемещаться со скоростью, близкой к скорости света. В нашей жизни ни подобные приборы, ни подобные аппараты на каждом углу не встречаются, из-за чего вся эта специальная теория относительности кажется нам такой нелогичной и непонятной. Несомненно, тот факт, что большинство окружающих нас объектов движутся с малыми относительными скоростями по сравнению со скоростью света, – интересная особенность окружающего мира, и полная теория Вселенной должна попытаться ее объяснить.
Вернуться
66
Вероятно, вам кажется, что этот пример не доказывает невозможность движения со скоростью, превышающей скорость света, – только невозможность разогнать медленный объект, то есть придать ему ускорение, позволяющее достигнуть и превысить скорость света. Возможно, существуют какие-то объекты, всегда движущиеся со скоростью выше скорости света, и их даже не требуется для этого как-то специально ускорять. Такая логическая возможность действительно существует; соответствующие гипотетические частицы называют тахионами. Однако, насколько нам известно, в реальном мире тахионы не существуют, и это даже хорошо: возможность отправлять сигналы со скоростью выше скорости света подразумевала бы возможность отправлять сигналы в прошлое, а это бы повергло в хаос все наши представления о причинно-следственных связях.
Вернуться
67
Иногда вам будут попадаться утверждения о том, что специальная теория относительности не способна справиться с ускорением тел и для того, чтобы учесть ускорение, требуется общая теория относительности. Это полная чепуха. Необходимость в общей теории относительности возникает тогда (и только тогда), когда важную роль начинает играть сила притяжения, а пространство – время искривляется. Вдалеке от любых гравитационных полей, когда пространство – время плоское, прекрасно действуют законы специальной теории относительности, независимо от того, что происходит с участниками событий, – пусть даже они ускоряются. Траектории равномерного прямолинейного движения (без ускорения) в специальной теории относительности действительно имеют особый статус, так как все они равноправны. Однако совершенно недопустимо на основании этого делать вывод о том, что траектории движения с ускорением вообще не поддаются описанию на языке специальной теории относительности.
Вернуться
68
Прошу прощения за некрасивое проявление временно́го шовинизма (в моем предположении, что человек движется вперед во времени), не говоря уже о том, что я не устоял перед метафорой «движения» сквозь время. Фраза «каждый объект движется сквозь пространство – время» полна предвзятости, и гораздо правильнее было бы сказать «история каждого объекта описывает мировую линию, протянувшуюся сквозь пространство – время». Однако иногда такая педантичность попросту надоедает.
Вернуться
69
Один из способов связать общую теорию относительности с ньютоновским пространством – временем – вообразить, что скорость света внезапно стала бесконечно большой. В этом случае световые конусы на нашей схеме расширятся до предела, а пространственноподобная область сожмется и превратится в поверхность – в точности как в ньютоновском случае. Это соблазнительный путь, но все же неприемлемый. Как минимум, мы всегда можем выбрать такие единицы измерения, в которых скорость света будет равна единице; просто попробуйте измерять время в годах, а расстояние – в световых годах. В действительности в этой ситуации мы пытаемся изменить все существующие в природе константы, для того чтобы остальные скорости по сравнению со скоростью света уменьшились. Даже если бы нам это удалось, процесс был бы неоднозначным, ведь мы выбрали предел, переводящий световые конусы в какие-то конкретные поверхности постоянного времени.
Вернуться
70
Имеется в виду, что у пространства не менее трех измерений. Вполне возможно (и считается само собой разумеющимся в некоторых сообществах физиков-теоретиков), что в пространстве существуют дополнительные измерения, невидимые для нас, по крайней мере при низких энергиях, которые могут непосредственно наблюдаться. Дополнительные измерения могут быть спрятаны несколькими способами, см., например: Greene, B. The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. New York: Vintage, 2000; Randall, L. Warped Passages: Unraveling the Mysteries of the Universe’s Hidden Dimensions. New York: HarperCollins, 2005. Существование скрытых времениподобных измерений куда менее вероятно, однако ничего нельзя утверждать наверняка.
Вернуться
71
Оба повторно опубликованы в сборнике: Einstein, A., ed. The Principle of Relativity / Translated by W. Perrett and G. B. Jeffrey. Mineola: Dover, 1923.
Вернуться
72
Специальная теория относительности появилась вследствие несовместимости ньютоновской механики с максвелловской электродинамикой, а общая теория относительности, в свою очередь, родилась благодаря несочетаемости специальной теории относительности с ньютоновской силой тяготения. Сегодня физика решает очередной вопрос критической несовместимости, и на этот раз в главных ролях общая теория относительности и квантовая механика. Мы искренне надеемся, что однажды у нас получится объединить их в общей теории квантовой гравитации. По состоянию на текущий момент самый обнадеживающий кандидат – теория струн, однако до конца еще ничего не ясно.
Вернуться
73
Кажется нелогичным, что натяжение, заставляющее вещи стягиваться все ближе друг к другу, также ответственно за ускорение Вселенной, вследствие которого они разлетаются. Все очень просто: натяжение темной энергии одинаково во всех точках пространства, так что прямой эффект стягивания отсутствует. Мы имеем дело всего лишь с косвенным влиянием темной энергии на искривление пространства – времени, заключающимся в постоянном подталкивании Вселенной (мы знаем, что плотность темной энергии не уменьшается).
Вернуться
74
Можно думать об этом так: тот факт, что в ньютоновской механике энергия остается постоянной, отражает базовую симметрию этой теории – инвариантность относительно сдвига во времени. Фоновое пространство – время, в котором движутся частицы, зафиксировано раз и навсегда. Однако в общей теории относительности это уже не так: пространство становится динамическим и принимается подталкивать вещи то туда, то сюда, меняя их энергию.
Вернуться
75
См. Michell, J. Philosophical Transactions of the Royal Society (London), 74 (1784), p. 35–57; эссе Лапласа переиздано в форме приложении к книге Hawking, S. W., Ellis, G. F. R. The Large-Scale Structure of Spacetime – Cambridge: Cambridge University Press, 1974. Многие ученые любят напоминать (под многозначительный шепот и выразительное поднимание бровей) о том, что радиус «черной звезды», вычисленный в ньютоновской гравитации, в точности совпадает с гравитационным радиусом черной дыры (радиусом Шварцшильда) в общей теории относительности (2GM/c2, где G – ньютоновская гравитационная постоянная, M – масса объекта, а c – скорость света). Это совпадение абсолютно случайно и образовалось в основном потому, что существует не так много способов сконструировать величину размерности длины, используя только G, M и c.
Вернуться
76
В целях этой главы мы будем считать истинной классическую общую теорию относительности. В то же время мы прекрасно понимаем, что для объяснения сингулярностей ее необходимо заменить новой, более общей теорией. Подробнее об этом говорится в книгах Hawking, S. W. A Brief History of Time: From the Big Bang to Black Holes. – New York: Bantam, 1988; Thorne, K. S. Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. – New York: W. W. Norton, 1994.
Вернуться
77
Совсем недавно, уже после публикации этой книги на английском языке, некоторые ученые неожиданно изменили свое мнение – см., например, работу Almheiri A., Marolf D., Polchinski J., Sully J. Black Holes: Complementarity or Firewalls? JHEP 1302 (2013) 062. Информационный парадокс, связанный с физикой черных дыр, заставил их предположить, что старые (существующие уже некоторое время) черные дыры покрыты огненными стенами – пучками высокоэнергичных частиц, движущихся вдоль горизонта. Если это предположение верно, то наблюдатель, падающий в черную дыру, сгорит в момент пересечения горизонта. – Примеч. науч. ред.
Вернуться
78
Какую мораль из этого извлечь – решать вам.
Вернуться
79
Как вы догадались, мы намекаем на машины времени из снятого в 1960 году Джорджем Палом по роману Герберта Уэллса фильма «Машина времени», из фильма Роберта Земекиса «Назад в будущее» (1985 год) и из давнишнего сериала BBC «Доктор Кто» соответственно.
Вернуться
80
В интересах нашей истории мы относимся к тахионам не совсем беспристрастно. Допущение о существовании объектов, путешествующих быстрее света, открывает двери для парадоксов – но мы не обязаны проходить сквозь них. Мы можем в своем воображении строить модели, включающие в том числе и тахионы, но только если они не будут содержать противоречий. Некоторые подробности вы найдете в работах: Feinberg, G. Possibility of Faster-Than-Light Particles // Physical Review, 1967, 159, p. 1089–1105; Nahin, P. J. Time Machines: Time Travel in Physics, Metaphysics, and Science Fiction. New York: Springer-Verlag, 1999. Чтобы еще больше запутать ситуацию, в квантовой теории поля термин «тахион» часто используют для описания мгновенной нестабильной конфигурации поля, в которой в действительности ничего не движется со скоростью, превышающей скорость света.
Вернуться
81
Gödel, K. An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein’s Field Equations of Gravitation // Reviews of Modern Physics, 1949, 21, p. 447–450. Проводя исследования в ходе подготовки к написанию своего грандиозного учебного пособия «Гравитация» (1973), Чарльз Мизнер, Кип Торн и Джон Уилер посетили Гёделя с намерением побеседовать об общей теории относительности. Однако Гёделя в первую очередь интересовало, позволили ли современные астрономические наблюдения обнаружить какие-либо доказательства вращения Вселенной. Ему все так же хотелось знать, насколько его решение применимо к реальному миру.
Вернуться
82
Kerr, R. P. Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics // Physical Review Letters, 1963, 11, p. 237–238. Решение Керра на техническом уровне разбирается во всех современных учебниках по общей теории относительности, а популярную интерпретацию можно найти в книге Thorne, K. S. Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. New York: W. W. Norton, 1994. Торн рассказывает о том, чем закончилось представление Керром своего решения на первом Техасском симпозиуме по релятивистской астрофизике: присутствующие астрофизики полностью (и можно даже сказать весьма грубо) его проигнорировали, чрезмерно увлекшись спорами о квазарах. Справедливости ради заметим, что в то время сам Керр не понимал, что это решение описывает черную дыру, хотя у него не вызывало сомнений, что это вращающееся решение уравнения Эйнштейна. Позднее астрофизики поняли, что квазары питаются энергией вращающихся черных дыр, описываемых пространством – временем Керра.
Вернуться
83
Tipler, F. J. Rotating Cylinders and the Possibility of Global Causality Violation // Physical Review, 1974, D 9, p. 2203–2206. Решение для кривизны пространства – времени вокруг бесконечного цилиндра в действительности было найдено в 1937 году Виллемом Якобом ван Стокумом, нидерландским физиком (и пилотом бомбардировщика). Однако ван Стокум не заметил, что его решение содержит замкнутые времениподобные кривые. Превосходный разбор обоих исследований, возможности существования машины времени в общей теории относительности, а также образа путешествий во времени в художественной литературе можно найти в книге Nahin, P. J. Time Machines: Time Travel in Physics, Metaphysics, and Science Fiction. New York: Springer-Verlag, 1999.
Вернуться
84
Эрвин Шрёдингер, один из пионеров квантовой механики, предложил знаменитый мысленный эксперимент, иллюстрирующий экстравагантную природу квантового принципа суперпозиции. Вообразите, что кота поместили в герметичную камеру, содержащую радиоактивное вещество, которое с вероятностью 50 % через какой-то фиксированный интервал может распасться и активировать источник, выпускающий в камеру ядовитый газ. Согласно традиционным представлениям квантовой механики, полученная в результате система представляет собой равную суперпозицию «живого кота» и «мертвого кота», по крайней мере до тех пор, пока кто-то не откроет камеру и не проверит состояние животного. Подробнее об этом говорится в главе 11.
Вернуться
85
Кип Торн заметил, что «парадокс дедушки» кажется чрезмерно изощренным – с этим дополнительным поколением и прочими сложностями, не говоря уже о том, что он совершенно точно патриархален. Торн предложил вместо этого рассматривать парадокс «матереубийства».
Вернуться
86
Это правило иногда повышают до статуса принципа; см. обсуждение в книгах: Новиков И. Д. Эволюция вселенной. – М.: Наука, 1983. или Horwich, P. Asymmetries in Time: Problems in the Philosophy of Science. Cambridge, MA: MIT Press, 1987. Такие философы, как Ганс Рейхенбах («Философия пространства и времени». Либроком, 2009) и Хилари Патнэм (Putnam, H. It Ain’t Necessarily So // Journal of Philosophy 59, no. 22 (1962): 658–71), также подчеркивали, что замкнутые времениподобные кривые не обязательно провоцируют возникновение парадоксов, – при условии, что события в пространстве – времени согласованы между собой. Действительно, это всего лишь здравый смысл. Совершенно очевидно, что в реальном мире парадоксов не бывает; вопрос лишь в том, как Природе удается их избегать.
Вернуться
87
В главе 11, когда мы будем обсуждать квантовую механику, мы немного отойдем от этого утверждения. Квантовая механика предполагает, что в реальном мире может быть несколько классических историй, а не одна-единственная. Дэвид Дойч («Структура реальности» / Пер. с англ. М.; Ижевск, 2001) предложил использовать существование множества историй в своих интересах, выбрав одну, в которой мы прошли через Ледниковый период, и другую, в которой мы в него не попадали (а также бесконечное число иных).
Вернуться
88
«Назад в будущее» – вероятно, один из наименее правдоподобных фильмов о путешествии во времени среди всех, когда-либо снятых. Марти Макфлай переносится из 1980-х годов обратно в 1950-е и начинает менять прошлое направо и налево. Хуже того, каждый раз, когда он вмешивается в события, которые, предположительно, уже произошли, последствия этих изменений «моментально» распространяются в будущее, отражаясь даже на семейной фотографии, которую Марти носит с собой. Трудно представить, каким разумным способом можно было бы объяснить принцип «моментальности». Не то чтобы это было невозможно, но пришлось бы положить в основу объяснения существование дополнительного измерения, обладающего многими свойствами обычного времени. Сквозь это измерение индивидуальное сознание Марти будет проходить вследствие совершения им разнообразных действий. Наверняка кто-то должен был написать докторскую диссертацию на тему «К согласованной онтологии времени и памяти в трилогии “Назад в будущее” и далее». Непонятно только, на каком факультете ее можно было бы защитить.
Вернуться
89
Более или менее окончательное слово о самосогласованных историях в присутствии замкнутых времениподобных кривых было сказано Робертом Хайнлайном в книге «Все вы зомби…» (1959). Путем нескольких прыжков во времени и одной операции по смене пола главный герой умудряется стать собственным отцом, матерью и вербовщиком временных войск. Обратите внимание, однако, на то, что история жизни героя не замкнута в цикл: по ходу изложения он стареет.
Вернуться
90
Обсуждение этого утверждения вы найдете в работе Friedman, J. et al. Cauchy Problem in Space-times with Closed Timelike Curves // Physical Review, 1990, D 42, p. 1915–1930.
Вернуться
91
На самом деле, мы и есть убежденные детерминисты. Человеческие существа состоят из частиц и полей, беспрекословно подчиняющихся законам физики, и в теории (но точно не на практике) мы могли бы забыть о своих человеческих качествах и рассматривать себя как сложные наборы элементарных частиц. Однако это не означает, что нам остается лишь сложить оружие перед лицом причудливой проблемы свободной воли в присутствии замкнутых времениподобных кривых.
Вернуться
92
Это несколько более самоуверенное заявление, чем то, что физики способны доказать в действительности. В некоторых сильно упрощенных ситуациях можно продемонстрировать, что будущее полностью определяется предшествующими событиями, – даже в присутствии замкнутых времениподобных кривых (см. Friedman, J., Higuchi, A. Topological Censorship and Chronology Protection // Annalen der Physik, 2006, 15, p. 109–128). Кажется (по крайней мере, мне) весьма вероятным, что в более реалистичных и сложных моделях такого счастья нам не будет; но все же окончательного ответа у нас пока нет
Вернуться
93
Иногда можно нарезать пространство – время на моменты постоянного времени даже в присутствии замкнутых времениподобных кривых: например, это возможно в простой Вселенной с циклическим временем. Однако это совершенно уникальный случай, а в произвольном пространстве – времени с замкнутыми времениподобными кривыми было бы невозможно найти такой вариант «нарезки», который бы обеспечил последовательное деление всей Вселенной.
Вернуться
94
Исключение, очевидно, составляет вращающаяся черная дыра. Не составляет труда вообразить создание подобной дыры в результате коллапса вращающейся звезды, однако встает другая проблема: замкнутые времениподобные кривые скрыты за горизонтом событий. Получается, что невозможно попасть на такую кривую, не покинув раз и навсегда внешний мир. Далее мы обсудим, можно ли считать это вариантом эвакуации при чрезвычайных обстоятельствах. Пожалуй, еще важнее то, что найденное Керром решение, описывающее вращающуюся черную дыру, применимо только в идеализированной ситуации, когда пространство – время не содержит вообще никакого вещества. Черной дырой должно быть все пространство – время – это не одна из тех черных дыр, которые получаются в результате коллапса звезды. Большинство экспертов по общей теории относительности полагают, что в реальном мире ни одна схлопнувшаяся звезда не способна породить замкнутые времениподобные кривые, даже за горизонтом событий.
Вернуться
95
Abbot, E. A. Flatland: A Romance of Many Dimensions. Cambridge: Perseus, 1899; также см. Randall, L. Warped Passages: Unraveling the Mysteries of the Universe’s Hidden Dimensions. New York: HarperCollins, 2005.
Вернуться
96
Название «Флатландия» образовано от английского flat – плоский. – Примеч. пер.
Вернуться
97
Первоначальное описание решения приведено в работе Gott, J. R. Closed Timelike Curves Produced by Pairs of Moving Cosmic Strings: Exact Solutions // Physical Review Letters, 1991, 66, p. 1126–1129. Также перу автора принадлежит научно-популярная книга на ту же тему: Gott, J. R. Time Travel in Einstein’s Universe: The Physical Possibilities of Travel Through Time. Boston: Houghton Mifflin, 2001. Почти во всех расчетах, с которыми вы познакомитесь в этих работах, говорится не о «массивных телах, перемещающихся во Флатландии», а об «идеально прямых параллельных космических струнах, движущихся в четырехмерном пространстве – времени». Однако суть в том, что эти ситуации абсолютно равнозначны. Космическая струна – это гипотетический реликтовый объект, зародившийся еще в ранней Вселенной, который может быть микроскопически тонким, но растянутым на космологические расстояния. Идеализированная струна может быть абсолютно прямой и бесконечной, однако в реальном мире космические струны должны извиваться и изгибаться разными сложными способами. Но если бы струна была идеально прямой, то в пространстве-времени существовало бы направление, совпадающее с направлением этой струны, вдоль которого вообще ничего бы не менялось. Говоря языком физиков, пространство – время было бы инвариантным относительно переноса и буста вдоль струны. По сути, это означает, что направление вдоль струны не играет абсолютно никакой роли, и мы можем с чистым сердцем его игнорировать. Если отбросить одно измерение, то бесконечно длинная струна в трехмерном пространстве превратится в двумерную точечную частицу. То же самое относится к набору из нескольких струн – при условии, что все они идеально прямые и на всем своем протяжении остаются параллельными друг другу. Разумеется, мысль поиграть с бесконечно длинными и идеально прямыми струнами почти так же экстравагантна, как предложение вообразить, что мы живем в трехмерном пространстве – времени. Но это нормально. Мы всего лишь делаем нереалистичные предположения, чтобы приблизить наши теории к краю постижимого и чтобы отделить то, что невозможно в принципе, от того, что пока что недостижимо вследствие технических сложностей.
Вернуться
98
Вскоре после публикации статьи Готта известный физик Курт Катлер (Cutler, C. Global Structure of Gott’s Two-String Spacetime // Physical Review D 45 (1992): 487–94) доказал, что замкнутые времениподобные кривые должны простираться до бесконечности, – еще одно свидетельство того факта, что данное решение в действительности нельзя считать построением машины времени (поскольку «построение» для нас – это действие, совершаемое в некоей локальной области). Дезер, Джакив и ’т Хоофт (Deser, S., Jackiw, R., and ’t Hooft, G. Physical Cosmic Strings Do Not Generate Closed Timelike Curves // Physical Review Letters 68 (1992): 267–69.) исследовали решение Готта и обнаружили, что соответствующий суммарный импульс должен быть равен импульсу тахиона. Мы вместе с Фари, Гутом и Олумом (Carroll, S. M., Farhi, E., and Guth, A. H. An Obstacle to Building a Time Machine // Physical Review Letters 68 (1992): 263–66; Erratum-Ibid., 68 (1992): 3368; Energy Momentum Restrictions on the Creation of Gott Time Machines // Physical Review D 50 (1994): 6190–6206) показали, что в открытой Вселенной Флатландии никогда бы не нашлось достаточно энергии, чтобы с нуля создать машину времени Готта. ’т Хоофт (’t Hooft, G. Causality in (2+1)-Dimensional Gravity // Classical and Quantum Gravity 9 (1992): 1335–48) доказал, что закрытая Вселенная Флатландии схлопнется в сингулярность еще до того, как у замкнутой времениподобной кривой появится шанс на зарождение.
Вернуться
99
Farhi, E., Guth, A. H., Guven, J. Is It Possible to Create a Universe in the Laboratory by Quantum Tunneling? // Nuclear Physics, 1990, B 339, p. 417–490.
Вернуться
100
Представьте себе плоскость: при взгляде из любой конкретной точки она простирается вокруг на 360 градусов. Во Флатландии каждая дополнительная порция энергии уменьшает общий угол этой «развертки». Будем говорить, что любое материальное тело связано с «дефицитом угла»; наличие такого материального тела «вычитает» из развертки соответствующий угол. Чем больше тело, тем больший угол вычитается. Получившаяся геометрическая фигура на большом удалении выглядит как конус, а не как плоский лист бумаги. Однако больше 360 градусов мы вычесть не сможем, поэтому общая энергия, которая может существовать в открытой Вселенной, ограничена снизу.
Вернуться
101
Мы говорим «выглядит как», потому что речь идет о топологии пространства, а не его геометрии. Не следует понимать, что кривизна пространства – времени всегда соответствует идеальной сфере, – мы лишь утверждаем, что его можно плавно преобразовать в сферу. Сферическая топология подразумевает, что «дефицит угла» равен в точности 720 градусам – вдвое больше верхнего предела открытой Вселенной. Представьте себе куб (являющийся топологическим эквивалентом сферы). У него восемь вершин, каждой из которых соответствует дефицит угла 90 градусов, – итого 720.
Вернуться
102
Sagan, C. Contact. New York: Simon and Schuster, 1985. Историю о том, как вопросы Сагана вдохновили Кипа Торна на исследование кротовин и путешествий во времени, вы найдете в работе Thorne, K. S. Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. New York: W. W. Norton, 1994.
Вернуться
103
Если свериться с датами, станет очевидно, что исследование машины времени на основе кротовой норы предшествовало работам, связанным с изучением Флатландии. Однако оно описывает немного более непривычную физику, чем использовалась для описания идеи Готта, поэтому логично обсуждать эти гипотезы именно в таком порядке. Первоначальные сведения о кротовых норах, служащих машинами времени, вы найдете в статье Morris, M. S., Thorne, K. S., Yurtsever, U. Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition // Physical Review Letters 61 (1988): 1446–49. Подробное исследование, насколько непротиворечивыми были бы путешествия во времени, использующие кротовые норы, приводится в работе Friedman, J. et al. Cauchy Problem in Space-times with Closed Timelike Curves // Physical Review, 1990, D 42, p. 1915–1930, а на популярном уровне история изложена в книге Thorne, K. S. Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. New York: W. W. Norton, 1994.
Вернуться
104
Однажды мне выпала честь представлять Боба Героша аудитории перед одним из его выступлений. В такой ситуации полезно рассказать о человеке какую-нибудь забавную историю, поэтому я заранее воспользовался помощью Google. Мне повезло: я наткнулся на замечательную вещь – сайт фанатов сериала «Звездный путь», на котором была размещена карта галактики. В глаза сразу же бросался объект под ярким названием «Кротовая нора Героша». (Судя по всему, этот объект соединял квадрант «Бета» с квадрантом «Дельта» и стал причиной неприятной стычки с ромуланцами.) Я распечатал копию карты на прозрачке и продемонстрировал ее во время вступления, немало развеселив аудиторию. Позднее Боб признался, что решил поначалу, будто бы я сам все это выдумал и нарисовал, и что ему было приятно увидеть подтверждение того, что его исследование кротовых нор принесло практическую пользу внешнему миру. Прочитать о том, почему для создания кротовой норы сперва необходимо сконструировать замкнутую времениподобную кривую, можно в работе Geroch, R. P. Topology Change in General Relativit // Journal of Mathematical Physics, 1967, 8, p. 782.
Вернуться
105
Hawking, S. W. The Chronology Protection Conjecture // Physical Review, 1991, D 46, p. 603. В заключение Хокинг также заявляет о наличии эмпирических данных, доказывающих невозможность путешествия назад во времени, приводя в качестве одного из доказательств тот факт, что наше время не наводнено учеными-историками из будущего. Он пошутил (во всяком случае, я так думаю). Даже если бы построение замкнутых времениподобных кривых с нуля было возможно, мы не смогли бы с помощью них попасть в прошлое – в то время, когда замкнутых времениподобных кривых еще не существовало. Таким образом, нельзя говорить об эмпирических доказательствах невозможности построения машины времени – а всего лишь об отсутствии доказательств того, что кому-то это уже удалось.
Вернуться
106
См. O’Connor, J. J., Robertson, E. F. Pierre-Simon Laplace. MacTutor History of Mathematics Archive, 1999. (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/ Laplace.html); Rouse Ball, W. W. A Short Account of the History of Mathematics. Mineola, NY: Dover, 1908; 4-е изд., 2003. Вы должны помнить Лапласа как одного из тех людей, кто начал говорить о черных дырах задолго до появления общей теории относительности.
Вернуться
107
Очевидно, Наполеон нашел это чрезвычайно забавным. Он передал остроумные слова Лапласа Жозефу Лагранжу, другому выдающемуся физику и математику того времени. Лагранж ответил: «О, но это же превосходная гипотеза; она объясняет так много всего» (Rouse Ball, W. W. A Short Account of the History of Mathematics. Mineola, NY: Dover, 1908; издание 4-е, 2003).
Вернуться
108
Лаплас П. С. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908, с.9 (Laplace, P.-S. A Philosophical Essay on Probabilities / Trans. by F. W. Tuscott, F. L. Emory; переиздание. New York: Cosimo Classics, 2007).
Вернуться
109
Не стоит беспокоиться, будто демон Лапласа может жить где-то во Вселенной, самодовольно предсказывая каждое наше движение. Как минимум, он должен быть размером со всю Вселенную и обладать такими же вычислительными возможностями, как Вселенная в целом.
Вернуться
110
Стоппард Т. Аркадия / Пер. с англ. // ИЛ. 1996. № 2 (Stoppard, T. Arcadia, in Plays: Five. London: Faber and Faber, 1999). Валентайн, по всей видимости, имеет в виду, что идея детерминизма подрывается таким явлением, как хаос. Хаотическое движение, которое реально и существует в нашем мире, происходит, когда небольшие возмущения в начальных условиях приводят к огромным изменениям в дальнейшей эволюции. На практике это означает, что предсказание будущего для хаотичных систем (не все системы являются таковыми) превращается в невероятно трудную задачу, так как в понимание текущего состояния системы непременно будут закрадываться ошибки – хотя бы самые ничтожные. Не уверен, что этот довод имеет смысл использовать в спорах относительно демона Лапласа. С практической точки зрения невозможно даже предполагать, что мы когда-либо сможем получить полную информацию о состоянии всей Вселенной, не говоря уже о том, чтобы научиться предсказывать будущее. Эта концепция всегда была и останется лишь мысленным экспериментом. И перспектива хаотического развития совершенно не меняет картину.
Вернуться
111
Согласен, мы никогда не встретили бы настоящих физиков на подобной шахматной доске – их появление там невозможно по вполне понятной антропологической причине: условия в постановке задачи слишком просты для зарождения и развития сложных структур, которые мы могли бы назвать разумными наблюдателями. Эта удушающая простота выражается в том числе в отсутствии интересных «взаимодействий» между разными элементами. В тех шахматных мирах, которые мы будем рассматривать, основную роль будут играть простые предметы одного вида (например, вертикальные или диагональные линии), которые не меняются на своем протяжении. Интересный мир – это такой, в котором предметы могут существовать в течение более или менее длительного периода, постепенно меняясь под воздействием других предметов из этого же мира или вследствие взаимодействия с ними.
Вернуться
112
Сценарий, в котором мы продвигаемся «по одному моменту времени за раз», далек от идеала. Реальный мир (насколько нам известно) не делится на дискретные моменты времени. Время непрерывно, оно плавно течет из одного момента в другой, проходя через все моменты, заключенные между ними. Однако это нам не мешает; у нас есть подходящие математические инструменты, позволяющие продвигаться вперед во времени «шаг за шагом», несмотря на то что само время не дискретно.
Вернуться
113
Обратите внимание на то, что перенос в пространстве и пространственная инверсия (зеркальное отражение) также являются идеальными симметриями. При взгляде на картинку это кажется неочевидным, но лишь потому, что сами состояния (шаблоны из нулей и единицы) не инвариантны относительно смещений и отражений в пространстве. Чтобы вы не думали, что эти симметрии взяты с потолка, замечу, что некоторые виды симметрии, которые вроде бы и могли существовать в рассматриваемом мире, в действительности отсутствуют. Невозможно, например, поменять ролями время и пространство. В целом чем больше симметрий существует в системе, тем она проще.
Вернуться
114
Глобальная идея, одной из частных реализаций которой являются миры шахматной доски, носит название клеточных автоматов. Клеточный автомат – это дискретная решетка, на которой состояние следующей строки можно определить в соответствии с определенными правилами исходя из состояния предыдущей строки. Клеточные автоматы начал изучать еще в 1940-х годах Джон фон Нейман, математик, одним из достижений которого стала догадка о том, как энтропия должна вести себя в квантовой механике. Множество причин делает клеточные автоматы захватывающей темой для исследований, и большая их часть никак не связана со стрелой времени. Клеточные автоматы – чрезвычайно сложные системы, способные функционировать как универсальные компьютеры. См.: Poundstone, W. The Recursive Universe: Cosmic Complexity and the Limits of Scientific Knowledge. New York: W. W. Norton, 1984; Shalizi, C. R. Notebooks, 2009. http://www.cscs.umich.edu/~crshalizi/notebooks/. Мы не только проявляем крайнее неуважение к клеточным автоматам, всего лишь используя их для иллюстрации парочки несложных свойств течения времени и сохранения информации, но также отказываемся говорить на традиционном языке знатоков клеточной автоматизации. Как минимум, в этой области направлением течения времени принято считать направление сверху вниз. Но ведь это безумие! Каждый знает, что на диаграммах время увеличивается снизу вверх. Более того, хотя мы и утверждаем, что каждый квадратик может находиться лишь в одном состоянии – «белый» или «серый», мы только что сами признали, что для надежного прогнозирования будущего в примере B необходимо хранить намного больше информации. Однако это не проблема; это означает лишь то, что мы имеем дело с автоматом, где «клетки» могут находиться более чем в двух состояниях. Можно было бы даже выйти за пределы набора из двух цветов и допустить существование клеток четырех разных цветов. Но для наших текущих целей это слишком высокий уровень сложности, и мы не будем его явно вводить.
Вернуться