В основной текст книги я храбро включил несколько формул: пару авторства Эйнштейна и несколько выражений для энтропии в разных контекстах. Уравнение — это мощный символический объект, передающий огромный объем информации в невероятно компактной форме. Бывает полезно посмотреть на формулу, для того чтобы с восхищением понять ее смысл как точного выражения какой-то особенности нашего мира.

Однако давайте начистоту — формулы могут пугать. В этом приложении вы найдете очень краткое введение в экспоненцирование и логарифмирование — ключевые математические операции, которые применяются для описания энтропии на количественном уровне. Ничто из приведенного ниже в действительности не требуется для понимания основного содержания книги; встретив слово логарифм, просто смело идите вперед.

 

Возведение в степень

Эти две операции — возведение в степень и взятие логарифма — одинаково просты или сложны для понимания, ведь между ними много общего. На самом деле они противоположны друг другу: одна операция отменяет другую. Если выбрать какое-то число, возвести его в степень, а затем взять логарифм от результата, то мы получим то самое число, с которого начали. Как бы то ни было, со степенями мы в повседневной жизни сталкиваемся намного чаще, поэтому они нас не так ужасают. Начнем с них.

Операция возведения в степень означает, что мы берем некое число, называемое основанием, и возводим его в степень другого числа. То есть попросту умножаем основание само на себя ровно столько раз, в какую степень его требуется возвести. Основание записывается в виде обычного числа, а степень — в виде индекса сверху. Вот несколько простых примеров:

2 2 = 2 ∙ 2 = 4,

2 5 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32,

4 3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64

(Мы используем точку для обозначения операции умножения, а не символ ×, так как его очень легко перепутать с буквой x.) Один из самых удобных случаев возведения в степень — тот, когда в качестве основания берется число 10; в этом случае степень соответствует просто-напросто числу нулей справа от единицы:

10 1 = 10,

10 2 = 100,

10 9 = 1 000 000 000,

10 21 = 1 000 000 000 000 000 000 000

В этом и заключается идея возведения в степень. Если говорить конкретно о показательной функции, то здесь мы имеем в виду, что фиксируем какое-то определенное основание и позволяем степени, в которую возводится это основание, быть переменной величиной. Если обозначить основание через a, а степень — через x, то получим:

a x = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a … a ∙ x раз

К сожалению, это определение может создавать впечатление, что показательная функция имеет смысл только в том случае, если степень x — это положительное целое число. Как умножить число на само себя минус два раза? Или 3,7 раза? Здесь вам остается только верить, что магия математики позволяет определять показательную функцию для любого значения x. Результатом является гладкая функция с очень маленьким значением, когда x — отрицательное число, но резко возрастающая, когда x становится положительным, как показано на рис. П1.

Рис. П1. Показательная функция 10x. Обратите внимание, что она возрастает так быстро, что совершенно невозможно изобразить ее для больших значений x.

Что касается показательных функций, есть две важные вещи, о которых необходимо помнить. Любое основание, возведенное в степень 0, равно 1, а любое основание, возведенное в степень 1, равно самому себе. Для основания 10 это выглядит так:

10 0 = 1, 10 1 = 10

Если степень — это отрицательное число, то результатом операции является число, обратное результату возведения в соответствующую положительную степень:

10 –1 = 1/10 1 = 0,1, 10 –3 = 1/10 3 = 0,001

То, что вы видите выше, — это всего лишь конкретные примеры из более общих свойств, которым подчиняется показательная функция. Одно из этих свойств является невероятно важным: если умножить два числа, представляющих собой одно и то же основание, возведенное в разные степени, то при перемножении степени складываются, а основание остается тем же самым:

10 x ∙ 10 y = 10 (x+y)

То же верно и в обратную сторону: показательная функция от суммы степеней равна произведению двух чисел, равных основанию, возведенному в эти степени.

 

Большие числа

Нетрудно понять, почему показательная функция так полезна: числа, с которыми нам приходится иметь дело, иногда бывают чрезвычайно большими, а с помощью возведения в степень вы можете превратить число средней величины в просто огромное. Как мы обсуждали в главе 13, количество различных состояний, необходимых для описания возможных конфигураций нашего сопутствующего объема Вселенной, равно примерно

10 10^120

Это число настолько неимоверно, невообразимо огромное, что было бы совершенно непонятно, с какой стороны вообще подступиться к его описанию, если бы на помощь не пришло возведение в степень.

Давайте рассмотрим несколько других больших чисел, для того чтобы оценить, насколько огромно это. Один миллиард равен 109, тогда как один триллион — это 1012; с этими значениями мы хорошо знакомы благодаря обсуждениям экономики и правительственных трат. Количество частиц в нашей наблюдаемой Вселенной составляет около 1088; настолько же велика была энтропия в ранние времена. Теперь, когда у нас есть черные дыры, энтропия наблюдаемой Вселенной равна приблизительно 10101, хотя вполне могла бы дорасти до 10120. (Это число, 10120, также представляет собой отношение предсказываемого значения плотности энергии вакуума к наблюдаемой плотности.)

Для сравнения, энтропия макроскопического объекта, такого как чашка кофе, — где-то 1025. Это значение сравнимо с числом Авогадро, которое равно 6,02 ∙ 1023 — примерно столько атомов составляют один грамм водорода. Число песчинок на всех пляжах Земли — приблизительно 1020. Число звезд в типичной галактике — около 1011, а число галактик в наблюдаемой Вселенной — около 1011, то есть в наблюдаемой Вселенной существует примерно 1022 звезд — немного больше, чем песчинок на Земле.

Базовые единицы измерения, используемые физиками, — это единицы времени, длины и массы; используются также их комбинации. Самый короткий интервал времени, представляющий интерес, — это планковское время, примерно 10–43 секунд. Предположительно инфляция продолжалась около10–30 секунд или меньше, хотя это значение чрезвычайно неточно. Вселенная создала гелий из протонов и нейтронов где-то через 100 секунд после Большого взрыва, а прозрачной стала в момент рекомбинации, 380 000 лет (1013 секунд) спустя. (В одном году около 3 ∙ 107 секунды.) Сейчас наблюдаемой Вселенной 14 миллиардов лет (примерно 4 ∙ 1017 секунды.) Еще через 10100 лет или около того все черные дыры практически полностью испарятся, оставив после себя холодную и пустую Вселенную.

Самая маленькая длина — это планковская длина, около 10–33 сантиметров. Размер протона — примерно 10–13 сантиметров, а размер человеческого существа — примерно 102 сантиметров (это очень низкое человеческое существо, но мы сейчас оперируем приблизительными значениями). Расстояние от Земли до Солнца — около 1013 сантиметров; расстояние до ближайшей звезды — около 1018 сантиметров, а размер наблюдаемой Вселенной — около 1028 сантиметров.

Планковская масса — это примерно 10–5 граммов; для отдельной частицы это было бы невероятно много, но по макроскопическим стандартам — совсем нет. Самые легкие частицы с ненулевой массой — нейтрино; мы даже пока не знаем точно, какова их масса, но минимальная вроде бы составляет около 10–36 граммов. Масса протона — приблизительно 10–24 граммов, а человеческого существа — примерно 105 граммов. Солнце весит около 1033 граммов, галактика — около 1045 граммов, а масса, содержащаяся в пределах наблюдаемой Вселенной, составляет около 1056 граммов.

 

Логарифмы

Логарифмическая функция — самая простая вещь на свете: она всего лишь отменяет показательную функцию. Если у нас есть какое-то число, которое может быть выражено в форме 10x, а это возможно для любого положительного числа, то логарифм этого числа равен просто.

lg(10 x ) = x

Что может быть проще? Точно так же возведение в степень отменяет логарифм:

10 lgx = x

Можно также думать об этом так: если число представляет собой целую степень десяти (например, 10, 100, 1 000 и т. п.), то логарифм — это просто-напросто число нулей справа от единицы:

lg(10) = 1,

lg(100) = 2,

lg(1000) = 3

Рис. П2. Логарифмическая функция lg( x ). Она не определена для отрицательных значений x , и по мере приближения x к нулю справа значение логарифма стремится к минус бесконечности.

Однако так же как и показательная функция, логарифм — это гладкая функция, как показано на рис. П2. Логарифм числа 2,5 равен 0,3979, логарифм 25 равен примерно 1,3979, логарифм 250 — примерно 2,3979 и т. д. Единственное ограничение заключается в том, что невозможно взять логарифм от отрицательного числа, и это разумно, так как логарифм отменяет показательную функцию, а получить отрицательное число в результате операции возведения в степень невозможно. Грубо говоря, для больших чисел логарифм — это просто «количество цифр в числе».

Логарифм демонстрирует свойство, аналогичное тому, с которым мы уже познакомились выше для возведения в степень (результат возведения в степень, равную сумме чисел, равен произведению соответствующих степеней): логарифм произведения равен сумме логарифмов, то есть

log(x ∙ y) = log(x) + log(y)

Это чудесное свойство делает логарифмы невероятно полезными для изучения энтропии. Как мы обсуждали в главе 8, физическое свойство энтропии заключается в том, что энтропия двух систем после объединения равна сумме энтропий этих систем по отдельности. Но число возможных состояний объединенной системы равно произведению количеств возможных состояний двух систем. Поэтому Больцман сделал вывод о том, что энтропия должна быть равна логарифму числа состояний, а не самому числу состояний. В главе 9 мы рассказали схожую историю, но уже для информации: Шэннон хотел найти меру информации, для которой общая информация, переданная в двух независимых сообщениях, была бы равна сумме количеств информации в каждом из сообщений, и он также прибегнул к помощи логарифма.

Проще говоря, логарифмы обладают таким милым свойством, что они берут огромные числа и стачивают их до управляемых размеров. Беря логарифм от такого тяжеловесного числа, как миллиард, мы получаем симпатичную девятку. Логарифм — функция монотонная, то есть его значение всегда увеличивается по мере увеличения значения, от которого берется логарифм. Таким образом, логарифм предоставляет специфическую меру того, насколько число велико, но при этом сжимает громадные числа до разумных размеров, что чрезвычайно полезно в таких областях, как космология, статистическая механика и даже экономика.

В заключение необходимо отметить, что, так же как и степенная функция, логарифмы могут браться по разным основаниям. «Логарифм по основанию b» числа x — это степень, в которую необходимо возвести b, для того чтобы получить x:

log 2 (2 x ) = x,

log 12 (12 x ) = x

и т. д. Если мы не записываем основание явно, то подразумевается, что оно равно 10, потому что именно таким количеством пальцев обладает большинство людей. Однако ученые и математики частенько используют нечто странное, а именно натуральный логарифм, который часто записывается как ln(x) и основанием в котором служит число Эйлера:

ln(x) = log e (x), e = 2,7182818284…

Число Эйлера — это иррациональное число, как π или квадратный корень из двух, так что в десятичной записи, которая частично показана выше, оно продолжается бесконечно. На первый взгляд кажется, что использовать нечто подобное в качестве основания логарифма невероятно странно. Но в действительности если углубиться в математику, то выяснится, что число e обладает множеством приятных свойств: в математическом анализе, например, функция ex — единственная (за исключением вырожденной функции, всегда равной нулю), которая равна своей производной, а также интегралу от себя самой. В этой книге все наши логарифмы брались по основанию 10 и обозначались lg, но если вы решите взяться за физику и математику на высшем уровне, то будете постоянно встречаться с натуральными логарифмами.