Разные точки зрения на движение

Чемодан лежит на полке вагона. В то же время он движется вместе с поездом. Дом стоит на Земле, но вместе с ней и движется. Про одно и то же тело можно сказать: движется прямолинейно, покоится, вращается. И все суждения будут верны, но с разных точек зрения.

Не только картина движения, но и свойства движения могут быть совсем разными, если их рассматривать с разных точек зрения.

Вспомните, что происходит с предметами на пароходе, попавшем в качку. До чего они непослушны! Пепельница, поставленная на стол, опрокинулась и стремительно понеслась под кровать. Плещется вода в графине, и лампа колеблется, словно маятник. Без каких-либо видимых причин одни предметы приходят в движение, другие останавливаются. Основной закон движения, мог бы сказать наблюдатель на таком пароходе, состоит в том, что в любой момент времени незакрепленный предмет может отправиться в путешествие в любом направлении с самой различной скоростью.

Этот пример показывает, что среди различных точек зрения на движение имеются явно неудобные.

Какая же точка зрения наиболее «разумная»?

Если бы вдруг, ни с того ни с сего, лампа на столе наклонилась или пресс-папье подпрыгнуло, то вы подумали бы сначала, что это вам почудилось. Если бы эти чудеса повторились, вы настойчиво стали бы искать причину, которая выводит эти тела из состояния покоя.

Поэтому совершенно естественно считать рациональной точкой зрения на движение такую, при которой покоящиеся тела не сдвигаются с места без действия силы.

Такая точка зрения кажется весьма естественной: покоится тело – значит, сумма сил, действующих на него, равна нулю. Сдвинулось с места – это произошло под действием силы.

Точка зрения предполагает наличие наблюдателя. Однако нас интересует не сам наблюдатель, а место, где он находится. Поэтому вместо «точка зрения на движение» мы будем говорить: «система отсчета, в которой рассматривается движение», или просто «система отсчета».

Для нас, обитателей Земли, важной системой отсчета является Земля. Однако зачастую системами отсчета могут служить и движущиеся по Земле тела, скажем, пароход или поезд.

Возвратимся теперь к «точке зрения» на движение, которую мы назвали рациональной. У этой системы отсчета есть имя – она называется инерциальной.

Откуда взялся этот термин, мы увидим немного ниже.

Свойства инерциальной системы отсчета, следовательно, таковы: тела, находящиеся в состоянии покоя по отношению к этой системе, не испытывают действия сил. Значит, в этой системе ни одно движение не начинается без действия силы. Простота и удобства такой системы отсчета очевидны. Ясно, что ее стоит взять за основу.

Чрезвычайно важно то обстоятельство, что система отсчета, связанная с Землей, не очень отличается от инерциальной системы. Мы можем поэтому приступить к изучению основных закономерностей движения, рассматривая их с точки зрения Земли. Однако надо помнить, что, строго говоря, все, что будет сказано в следующем параграфе, относится к инерциальной системе отсчета.

 

Закон инерции

Не приходится спорить – инерциальная система отсчета удобна и обладает неоценимыми преимуществами.

Но единственная ли это система или, может быть, существует много инерциальных систем? Древние греки, например, стояли на первой точке зрения. В их сочинениях мы находим много наивных размышлений о причинах движения. Эти представления находят завершение у Аристотеля. По мнению этого философа, естественным положением тела является покой, – конечно, по отношению к Земле. Всякое же перемещение тела по отношению к Земле должно иметь причину – силу. Если же причины двигаться нет, то тело должно остановиться, перейти в свое естественное состояние. А таковым является покой по отношению к Земле. Земля с этой точки зрения есть единственная инерциальная система.

Открытием истины и опровержением этого неверного, но очень близкого наивной психологии мнения мы обязаны великому итальянцу Галилео Галилею (1564–1642).

ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ (1564–1642) – великий итальянский физик и астроном, впервые применивший экспериментальный метод исследования в науке. Галилей ввел понятие инерции, установил относительность движения, исследовал законы падения тел и движения тел по наклонной плоскости, законы движения при бросании предмета под углом к горизонту, применил маятник для измерения времени. Впервые в истории человечества он направил зрительную трубу на небо, открыл множество новых звезд, доказал, что Млечный путь состоит из огромного числа звезд, открыл спутники Юпитера, солнечные пятна, вращение Солнца, исследовал строение лунной поверхности. Галилей активно поддерживал запрещенную в те времена католической церковью гелиоцентрическую систему Коперника. Гонения со стороны инквизиции омрачили последние десять лет жизни великого ученого.

Задумаемся над аристотелевым объяснением движения и поищем в знакомых нам явлениях подтверждения или опровержения мысли о естественном покое тел, находящихся на Земле.

Представим, что мы находимся в самолете, отбывшем из аэропорта на рассвете. Солнце не нагрело еще воздуха, нет «воздушных ям», причиняющих многим пассажирам неприятности. Самолет движется плавно, неощутимо. Если не смотреть в иллюминатор, то и не заметишь, что летишь. На свободном кресле лежит книга, на столике покоится яблоко. Все предметы внутри самолета неподвижны. Так ли должно быть, если прав Аристотель? Конечно, нет. Ведь естественным положением тела является, по Аристотелю, покой на Земле. Почему же тогда все предметы не собрались у задней стенки самолета, стремясь отстать от его движения, «желая» перейти в состояние «истинного» покоя? Что заставляет лежащее на столе яблоко, едва соприкасающееся с поверхностью стола, двигаться с огромной скоростью в несколько сот километров в час?

Каково же правильное решение вопроса о причине движения? Поинтересуемся сначала, почему движущиеся тела останавливаются. Например, почему останавливается катящийся по земле шар. Чтобы дать правильный ответ, следует подумать, в каких случаях шар останавливается быстро, а в каких медленно. Для этого не нужны специальные опыты. Из житейской практики превосходно известно: чем более гладкой является поверхность, по которой движется шар, тем дальше он катится. Из этих и подобных опытов вырастает естественное представление о силе трения как о помехе движению, как о причине торможения предмета, катящегося или скользящего по земле. Различными способами можно уменьшить трение. Гладкость дороги, хорошая смазка, совершенные подшипники позволяют движущемуся телу пройти свободно без действия силы тем больший путь, чем больше мы потрудимся над уничтожением всяческих сопротивлений движению.

Возникает вопрос: а что бы произошло, если бы сопротивления не было, если бы силы трения отсутствовали? Очевидно, в этом случае движение продолжалось бы бесконечно, с неизменной скоростью и вдоль одной и той же прямой линии.

Мы сформулировали закон инерции примерно в той форме, как он был дан впервые Галилеем. Инерция есть краткое обозначение этой способности тела двигаться прямолинейно и равномерно… без всякой причины вопреки Аристотелю. Инерция есть неотъемлемое свойство каждой частички во Вселенной.

Каким же образом проверить справедливость этого замечательного закона? Ведь невозможно создать такие условия, при которых на движущееся тело не действовали бы никакие силы. Это верно, но зато можно проследить обратное. В любом случае, когда тело изменяет скорость или направление движения, всегда можно найти причину – силу, которой это изменение обязано. Тело приобретает скорость, падая на Землю; причина – сила притяжения Земли. Камень крутится на веревке, описывая окружность; причина, отклоняющая камень от прямолинейного пути, – натяжение веревки. Оборвется веревка – и камень улетит прочь в том направлении, в котором он двигался в момент обрыва веревки. Замедляется движение автомобиля, бегущего с выключенным мотором; причина – сопротивление воздуха, трение шин о дорогу и несовершенство подшипников.

Закон инерции есть тот фундамент, на котором покоится все учение о движении тел.

 

Движение относительно

Закон инерции приводит нас к выводу о множественности инерциальных систем.

Не одна, а множество систем отсчета исключают «беспричинные» движения.

Если одна такая система найдена, то сразу же найдется и другая, движущаяся поступательно (без вращения), равномерно и прямолинейно по отношению к первой. При этом одна инерциальная система ничуть не лучше других, ничем не отличается от других. Нельзя никак отыскать среди множества инерциальных систем одну наилучшую. Законы движения тел во всех инерциальных системах одинаковы: тела приходят в движение лишь под действием сил, тормозятся силами, а при отсутствии действия сил или покоятся, или движутся равномерно и прямолинейно.

Невозможность какими-либо опытами выделить чем-либо одну инерциальную систему по отношению к другим составляет суть так называемого принципа относительности Галилея – одного из важнейших законов физики.

Но хотя точки зрения наблюдателей, изучающих явления в двух инерциальных системах, вполне равноправны, суждения их об одном и том же факте различны. Скажем, один из наблюдателей скажет, что стул, на котором он сидит в движущемся поезде, находится все время в одном месте пространства, другой же наблюдатель, находящийся на платформе, станет утверждать, что этот стул перемещается из одного места в другое. Или один наблюдатель, выстрелив из ружья, скажет, что пуля вылетела со скоростью 500 м/с, а другой наблюдатель, если он находится в системе, движущейся в том же направлении со скоростью 200 м/с, скажет, что пуля летит значительно медленнее – со скоростью 300 м/с.

Кто же из двоих прав? Оба. Ведь принцип относительности движения не позволяет отдать предпочтение какой-либо одной инерциальной системе.

Выходит, что о месте в пространстве и о скорости движения нельзя выносить общих, безоговорочно справедливых, как говорят, абсолютных суждений. Понятия места пространства и скорости движения относительны. Говоря о таких относительных понятиях, необходимо указывать, какая инерциальная система отсчета имеется в виду.

Таким образом, отсутствие одной-единственной «правильной» точки зрения на движение приводит нас к признанию относительности пространства. Пространство можно было бы назвать абсолютным лишь в том случае, если бы удалось найти покоящееся в нем тело – покоящееся с точки зрения всех наблюдателей. Но это как раз и невозможно.

Относительность пространства означает, что пространство нельзя представлять себе как что-то такое, во что вкраплены тела.

Относительность пространства была признана наукой не сразу. Даже такой гениальный ученый, как Ньютон, считал пространство абсолютным, хотя и понимал, что установить это никак нельзя. Неверная точка зрения была распространена среди значительной части физиков вплоть до конца XIX века. Причины этого имеют, видимо, психологический характер: уж очень мы привыкли видеть вокруг себя незыблемые «те же места пространства».

Теперь нам надо разобраться, какие абсолютные суждения можно выносить о характере движения.

Если тела движутся по отношению к одной системе отсчета со скоростями v1 и v2, то их разность (разумеется, векторная) v1 − v2 будет одинакова для любого инерциального наблюдателя, так как обе скорости v1 и v2 при изменении системы отсчета меняются на одинаковую величину.

Итак, векторная разность скоростей двух тел абсолютна. Если так, то и вектор приращения скорости одного и того же тела за определенный промежуток времени абсолютен, т.е. величина его одинакова для всех инерциальных наблюдателей.

Так же, как и изменение скорости, абсолютный характер имеет и вращение тела. Направление вращения и число оборотов в минуту будут одинаковы с точки зрения всех инерциальных систем.

 

Точка зрения звездного наблюдателя

Мы решили изучать движение с точки зрения инерциальных систем. Не придется ли тогда отказаться от услуг земного наблюдателя? Ведь Земля вращается вокруг оси и вокруг Солнца, как доказал Коперник. Сейчас читателю, может быть, трудно почувствовать революционность открытия Коперника, трудно представить себе, что, отстаивая справедливость его идей, Джордано Бруно пошел на костер, а Галилей терпел унижение и ссылку.

В чем же подвиг гения Коперника? Почему открытие вращения Земли можно ставить в один ряд с идеями человеческой справедливости, за которые передовые люди были способны отдать жизнь?

Галилей в своем «Разговоре о двух главных системах мира, птоломеевой и коперниковой», за написание которого он подвергся гонениям церкви, дал противнику коперникианской системы имя Симпличио, что значит «простак».

Действительно, с точки зрения простого непосредственного восприятия мира, того, что не очень удачно называют «здравым смыслом», система Коперника кажется дикой. Как так Земля вертится? Ведь я ее вижу, она неподвижна, а вот Солнце и звезды, действительно, движутся.

Отношение богословов к открытию Коперника показывает такое заключение собрания теологов (1616 г.):

«Учение, что Солнце находится в центре мира и неподвижно, ложно и нелепо, формально еретично и противно священному писанию, а учение, будто Земля не лежит в центре мира и движется, вдобавок обладая суточным вращением, ложно и нелепо с философской точки зрения, с богословской же по меньшей мере ошибочно».

Это заключение, в котором непонимание законов природы и вера в непогрешимость догматов религии перемешаны с ложным «здравым смыслом», лучше всего свидетельствует о силе духа и разума Коперника и его последователей, столь решительно порвавших с «истинами» XVII века.

Но вернемся к поставленному выше вопросу.

Если скорость движения наблюдателя меняется или если наблюдатель вращается, то он должен быть выведен из числа «правильных» наблюдателей. А ведь именно в таких условиях находится наблюдатель на Земле. Однако если изменение скорости или поворот наблюдателя за время, пока он изучает движение, невелики, то такого наблюдателя можно условно считать «правильным». Будет ли это относиться к наблюдателю на земном шаре?

За одну секунду Земля повернется на 1/240 долю градуса, т.е. примерно на 0,00007 радиана. Это не так уж много. Поэтому по отношению к очень многим явлениям Земля – вполне инерциальная система.

Однако при длительных явлениях забывать про вращение Земли уже нельзя.

Под куполом Исаакиевского собора в Ленинграде одно время был подвешен громадный маятник. Если привести этот маятник в колебательное движение, то через непродолжительное время можно заметить, что плоскость его колебания медленно поворачивается. Через несколько часов плоскость колебания повернется на заметный угол. Такой опыт с таким маятником впервые проделан французским ученым Фуко и с тех пор носит его имя. Опыт Фуко наглядно показывает вращение Земли (рис. 13).

Итак, если наблюдаемое движение продолжается долгое время, то мы вынуждены отказаться от услуг земного наблюдателя и взять за основу систему отсчета, связанную с Солнцем и звездами. Такой системой пользовался Коперник, считавший Солнце и окружающие нас звезды неподвижными.

Однако в действительности система Коперника не вполне инерциальна.

Вселенная состоит из множества звездных скоплений – островов Вселенной, которые называются галактиками. В той галактике, куда входит наша солнечная система, имеется примерно сто миллиардов звезд. Вокруг центра этой галактики Солнце вращается с периодом около 180 миллионов лет со скоростью 250 км/с.

Какая же ошибка будет сделана, если считать солнечного наблюдателя инерциальным?

Для сравнения достоинств земного и солнечного наблюдателей подсчитаем, на какой угол повернется солнечная система отсчета за одну секунду. Если полный оборот совершается за 180·106 лет (6·1015 с), то за одну секунду солнечная система отсчета повернется на 6·10−14 градуса или на угол в 10−15 радиана. Можно сказать, что солнечный наблюдатель в 100 миллиардов раз «лучше» земного.

Желая еще больше приблизиться к инерциальной системе, астрономы берут за основу систему отсчета, связанную с несколькими галактиками. Такая система отсчета – наиболее инерциальная из всех возможных. Лучшую систему найти уже невозможно.

Астрономы могут быть названы звездными наблюдателями в двух смыслах: они наблюдают звезды и описывают движения небесных светил с точки зрения звезд.

 

Ускорение

Для того чтобы охарактеризовать непостоянство скорости, физика пользуется понятием ускорения.

Ускорением называют изменение скорости за единицу времени. Вместо того чтобы говорить: «скорость тела изменилась на величину a за 1 секунду», мы говорим короче: «ускорение тела равно a».

Если мы обозначим через v1 скорость прямолинейного движения в первый момент времени, а через v2 скорость в последующий, то правило расчета ускорения a выразится формулой

где t – время, в течение которого нарастала скорость.

Скорость измеряется в см/с (или м/с и т.д.), время – в секундах. Значит, ускорение измеряется в см/с за секунду. Число сантиметров в секунду делится на секунды. Таким образом, единица ускорения будет см/с2 (или м/с2 и т.д.).

Разумеется, ускорение может меняться во время движения. Однако мы не будем этим непринципиальным обстоятельством усложнять изложение. Будем молчаливо предполагать, что во время движения скорость набирается равномерно. Такое движение называется равномерно-ускоренным.

Что такое ускорение криволинейного движения?

Скорость есть вектор, изменение (разность) скоростей есть вектор, значит, и ускорение – тоже вектор. Для того чтобы найти вектор ускорения, надо разделить векторную разность скоростей на время. А как строить вектор изменения скорости, мы уже говорили.

Шоссе делает поворот. Отметим два близких положения автомашины и скорости ее представим векторами (рис. 14). Вычитая векторы, мы получим величину, вовсе не равную нулю; деля ее на промежуток времени, найдем величину ускорения. Ускорение имело место и тогда, когда величина скорости при повороте не менялась. Криволинейное движение всегда ускоренное. Неускоренное только равномерное прямолинейное движение.

Говоря о скорости движения тела, мы все время оговаривали точку зрения на движение. Скорость тела относительна. С точки зрения одной инерциальной системы она может быть большой, с точки зрения другой инерциальной системы – малой. Не нужно ли делать такие же оговорки, когда мы говорим об ускорении? Конечно, нет. Ускорение в противоположность скорости абсолютно. С точки зрения всех мыслимых инерциальных систем ускорение будет одним и тем же. Действительно, ведь ускорение зависит от разности скоростей тела в первый и второй момент времени, а эта разность, как мы уже знаем, будет одинаковой со всех точек зрения, т.е. является абсолютной.

 

Ускорение и сила

Если на тело силы не действуют, то оно может двигаться только без ускорения. Напротив, действие на тело силы приводит к ускорению, и при этом ускорение тела будет тем большим, чем больше сила. Чем скорее мы хотим привести в движение тележку с грузом, тем больше придется напрягать свои мускулы. Как правило, на движущееся тело действуют две силы: ускоряющая – сила тяги, и тормозящая – сила трения или сопротивления воздуха.

Разность этих двух сил, так называемая результирующая сила, может быть направлена вдоль или против движения. В первом случае тело убыстряет движение, во втором – замедляет. Если эти две противоположно действующие силы равны одна другой (уравновешиваются), то тело движется равномерно, так, как если бы на него вообще не действовали силы.

Как же связаны сила и создаваемое ею ускорение? Ответ оказывается очень простым. Ускорение пропорционально силе:

(Знак означает «пропорционально».)

Но остается решить еще один вопрос: как влияют свойства тела на его способность ускорять движение под действием той или иной силы? Ведь ясно, что одна и та же сила, действуя на различные тела, придает им разные ускорения.

Ответ на поставленный вопрос мы найдем в том замечательном обстоятельстве, что все тела падают на Землю с одинаковым ускорением. Это ускорение обозначают буквой g. В районе Москвы ускорение g = 981 см/с2.

Непосредственное наблюдение, на первый взгляд, не подтверждает одинаковости ускорения для всех тел. Дело в том, что при падении тел в обычных условиях, кроме силы тяжести, на них действует и «мешающая» сила – сопротивление воздуха. Различие в характере падения легких и тяжелых тел весьма смущало философов древности. Кусок железа падает быстро, пушинка парит в воздухе. Медленно опускается на Землю раскрытый лист бумаги, однако, свернутый в комок, этот же лист падает значительно быстрее. То, что воздух искажает «истинную» картину движения тела под действием Земли, понимали уже древние греки. Однако Демокрит думал, что, если даже удалить воздух, тяжелые тела будут всегда падать быстрее, чем легкие. А ведь сопротивление воздуха может привести и к обратному – скажем, листок алюминиевой фольги (широко развернутой) будет падать медленнее, чем шарик, скомканный из точно такого же кусочка фольги.

Кстати говоря, сейчас изготовляется металлическая проволока такой тонины (несколько микрон), что она парит в воздухе, как пушинка.

Аристотель считал, что в вакууме все тела должны падать одинаково. Однако из этого умозрительного заключения он делал следующий парадоксальный вывод: «падение разных тел с одинаковой скоростью настолько абсурдно, что ясна невозможность существования вакуума».

ИСААК НЬЮТОН (1643–1727) – гениальный английский физик и математик, один из величайших ученых в истории человечества. Ньютон сформулировал основные понятия и законы механики, открыл закон всемирного тяготения, создав тем самым физическую картину мира, остававшуюся неприкосновенной до начала XX века. Он разработал теорию движения небесных тел, объяснил важнейшие особенности движения Луны, дал объяснение приливов и отливов. В оптике Ньютону принадлежат замечательные открытия, способствовавшие бурному развитию этого раздела физики. Ньютон разработал могучий метод математического исследования природы: ему принадлежит честь создания дифференциального и интегрального исчисления. Это оказало громадное влияние на все последующее развитие физики, способствовало внедрению в нее математических методов исследования.

Никто из ученых древних и средних веков не догадался проверить на практике, с разными или одинаковыми ускорениями падают на Землю тела. Лишь Галилей своими замечательными опытами (он исследовал движение шаров по наклонной плоскости и падение тел, сбрасываемых с вершины наклонной Пизанской башни) показал, что все тела, вне зависимости от массы, падают в одном и том же месте земного шара с одинаковым ускорением. В настоящее время эти опыты весьма просто продемонстрировать при помощи длинной трубки, из которой выкачан воздух. Пушинка и камень падают в такой трубке совершенно одинаково: на тела действует лишь одна сила – вес, сопротивление воздуха сведено к нулю. При отсутствии сопротивления воздуха падение любых тел является равномерно-ускоренным движением.

Теперь вернемся к вопросу, поставленному выше. Как способность тела ускорять движение под действием заданной силы зависит от его свойств?

Закон Галилея говорит, что все тела, вне зависимости от их массы, падают с одним и тем же ускорением; значит, масса m кг под действием силы в m кГ движется с ускорением g.

Теперь предположим, что речь идет не о падении тел и на массу m кг действует сила в 1 кГ. Так как ускорение пропорционально силе, то оно будет в m раз меньше g.

Мы пришли к выводу, что ускорение тела a при заданной силе (в нашем примере в 1 кГ) обратно пропорционально массе.

Объединяя оба вывода, мы можем записать:

т.е. при неизменной массе ускорение пропорционально силе, а при неизменной силе обратно пропорционально массе.

Закон, связывающий ускорение с массой тела и действующей на него силой, был открыт великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643–1727) и носит его имя.

Ускорение пропорционально действующей силе и обратно пропорционально массе тела и не зависит ни от каких других свойств тела. Из закона Ньютона следует, что именно масса является мерой «инертности» тела. При одинаковых силах труднее ускорить тело большей массы. Мы видим, что понятие массы, с которой мы ознакомились как со «скромной» величиной, определяемой взвешиванием на рычажных весах, приобрело новый глубокий смысл: масса характеризует динамические свойства тела.

Закон Ньютона мы можем записать так:

kF = mа,

где k – постоянный коэффициент. Этот коэффициент зависит от выбранных нами единиц.

Вместо того, чтобы пользоваться уже имевшейся у нас единицей силы (кГ), поступим иным образом. Как это часто стараются делать физики, подберем единицу силы так, чтобы коэффициент пропорциональности в законе Ньютона равнялся единице. Тогда закон Ньютона примет такой вид:

F = ma.

Как мы уже говорили, в физике принято измерять массу в граммах, путь – в сантиметрах и время – в секундах. Систему единиц, основанную на этих трех основных величинах, называют системой CGS (произносится «це-же-эс») или по-русски СГС.

Теперь подберем, пользуясь сформулированным выше принципом, единицу силы. Очевидно, сила равна единице в том случае, если она массе в 1 г придает ускорение, равное 1 см/с2. Такая сила получила в этой системе название дины.

Согласно закону Ньютона, F = ma, сила выражается в динах, если m граммов будет умножено на a см/с2. Поэтому пользуются такой записью:

Вес тела обозначается обычно буквой P. Сила P дает телу ускорение g, и, очевидно, в динах

P = mg.

Но у нас уже была единица силы – килограмм (кГ). Связь между новой и старой единицей находим сразу же из последней формулы:

1 килограмм (веса) = 981000 дин.

Дина – очень маленькая сила. Она равна примерно одному миллиграмму веса.

Мы упоминали уже о новой системе единиц (СИ), разработанной совсем недавно. Название для новой единицы силы ньютон (Н) вполне заслужено. При таком выборе единицы написание закона Ньютона будет наиболее простым, а определяют эту единицу так:

т.е. 1 ньютон – это сила, которая сообщает массе в 1 кг ускорение 1 м/с2.

Нетрудно связать эту новую единицу с диной и с килограммом:

1 ньютон = 100000 дин = 1/9,8 кГ.

 

Прямолинейное движение с постоянным ускорением

Такое движение возникает, согласно закону Ньютона, тогда, когда в сумме на тело действует постоянная сила, подгоняющая или тормозящая тело.

Хотя и не вполне точно, такие условия возникают довольно часто: тормозится под действием примерно постоянной силы трения автомашина, идущая с выключенным мотором, падает с высоты под действием постоянной силы тяжести увесистый предмет.

Зная величину результирующей силы, а также массу тела, мы найдем по формуле a = F/m величину ускорения. Так как

где t – время движения, v – конечная, а v0 – начальная скорость, то при помощи этой формулы можно ответить на ряд вопросов такого, например, характера: через сколько времени остановится поезд, если известна сила торможения, масса поезда и начальная скорость? До какой скорости разгонится автомашина, если известна сила мотора, сила сопротивления, масса машины и время разгона?

Часто нам бывает интересно знать длину пути, пройденного телом в равномерно-ускоренном движении. Если движение равномерное, то пройденный путь находится умножением скорости движения на время движения. Если движение равномерно-ускоренное, то подсчет величины пройденного пути производится так, как если бы тело двигалось то же время t равномерно со скоростью, равной полусумме начальной и конечной скоростей:

Итак, при равномерно-ускоренном (или замедленном) движении путь, пройденный телом, равен произведению полусуммы начальной и конечной скоростей на время движения. Такой же путь был бы пройден за то же время при равномерном движении со скоростью (1/2)(v0 + v). В этом смысле про (1/2)(v0 + v) можно сказать, что это средняя скорость равномерно-ускоренного движения.

Полезно составить формулу, которая показывала бы зависимость пройденного пути от ускорения. Подставляя v = v0 + at в последнюю формулу, находим:

или, если движение происходит без начальной скорости,

Если за одну секунду тело прошло 5 м, то за две секунды оно пройдет (4×5) м, за три секунды – (9×5) м и т.д. Пройденный путь возрастает пропорционально квадрату времени.

По этому закону падает с высоты тяжелое тело. Ускорение при свободном падении равно g, и формула приобретает такой вид:

если t подставить в секундах.

Если бы тело могло падать без помех каких-нибудь 100 секунд, то оно прошло бы с начала падения громадный путь – около 50 км. При этом за первые 10 секунд будет пройдено всего лишь (1/2) км – вот что значит ускоренное движение.

Но какую же скорость разовьет тело при падении с заданной высоты? Для ответа на этот вопрос нам понадобятся формулы, связывающие пройденный путь с ускорением и скоростью. Подставляя в S = (1/2)(v0 + v)t значение времени движения t = (v − v0)/a, получим:

или, если начальная скорость равна нулю,

Десять метров – это высота небольшого двух- или трехэтажного дома. Почему опасно прыгнуть на Землю с крыши такого дома? Простой расчет показывает, что скорость свободного падения достигнет значения v = sqrt(2·9,8·10) м/с = 14 м/с ≈ 50 км/ч, а ведь это городская скорость автомашины.

Сопротивление воздуха не намного уменьшит эту скорость.

Выведенные нами формулы применяются для самых различных расчетов. Применим их, чтобы посмотреть, как происходит движение на Луне.

В романе Уэллса «Первые люди на Луне» рассказывается о неожиданностях, испытанных путешественниками в их фантастических прогулках. На Луне ускорение тяжести примерно в 6 раз меньше земного. Если на Земле падающее тело проходит за первую секунду 5 м, то на Луне оно «проплывет» вниз всего лишь 80 см (ускорение равно примерно 1,6 м/с2).

Написанные формулы позволяют быстро подсчитать лунные «чудеса».

Прыжок с высоты h длится время t = sqrt(2h/g). Так как лунное ускорение в 6 раз меньше земного, то на Луне для прыжка понадобится в sqrt(6) ≈ 2,45 раз больше времени. Во сколько же раз уменьшается конечная скорость прыжка (v = sqrt(2gh))?

На Луне можно безопасно прыгнуть с крыши трехэтажного дома. В шесть раз возрастает высота прыжка, cделанного с той же начальной скоростью (формула h = v2/(2g)). Прыжок, превышающий земной рекорд, будет под силу ребенку.

 

Путь пули

Задача бросить предмет как можно дальше решается человеком с незапамятных времен. Камень, брошенный рукой или выпущенный из рогатки, стрела, вылетевшая из лука, ружейная пуля, артиллерийский снаряд, баллистическая ракета – вот краткий перечень успехов в этой области.

Брошенный предмет движется по кривой линии, называемой параболой. Ее можно построить без труда, если движение брошенного тела рассматривать как сумму двух движений – по горизонтали и по вертикали, происходящих одновременно и независимо. Ускорение силы тяжести вертикально, поэтому летящая пуля движется по горизонтали по инерции с постоянной скоростью и одновременно по вертикали с постоянным ускорением падает на Землю. Как же сложить эти два движения?

Начнем с простого случая – начальная скорость горизонтальна (скажем, речь идет о выстреле из ружья, ствол которого горизонтален).

Возьмем лист миллиметровой бумаги и проведем вертикальную и горизонтальную линии (рис. 15). Так как оба движения происходят независимо, то через t секунд тело переместится на отрезок v0t вправо и на отрезок gt2/2 вниз. Отложим по горизонтали отрезок v0t и из конца его – вертикальный отрезок gt2/2. Конец вертикального отрезка укажет точку, в которой окажется тело через t секунд.

Это построение надо сделать для нескольких точек, т.е. для нескольких моментов времени. Через эти точки пройдет плавная кривая – парабола, изображающая траекторию тела. Чем чаще будут отложены точки, тем точнее будет построена траектория полета пули.

На рис. 16 построена траектория для случая, когда начальная скорость v0 направлена под углом.

Вектор v0 следует прежде всего разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. На горизонтальной линии будем откладывать vгорt – путь, на который сдвинется пуля вдоль горизонтали через t секунд.

Но пуля совершает одновременно движение вверх.

Через t секунд тело поднимется на высоту h = vвертt − gt2/2.

По этой формуле, подставляя в нее интересующие нас моменты времени, надо рассчитать вертикальные смещения и отложить их на вертикальной оси. Сначала величины h будут возрастать (подъем), а затем убывать.

Теперь остается нанести на график точки траектории так же, как мы это сделали в предыдущем примере, и провести через них плавную кривую.

Если держать ствол ружья горизонтально, то пуля быстро зароется в землю; при вертикальном положении ствола она упадет на то место, откуда был произведен выстрел. Значит, чтобы стрелять как можно дальше, нужно ствол ружья установить под каким-то углом к горизонту. Но под каким?

Используем опять тот же прием – разложим вектор начальной скорости на две составляющие: по вертикали скорость равна v1, а по горизонтали – v2. Время от момента выстрела до момента достижения пулей наивысшей точки пути равно v1/g. Обратим внимание на то, что столько же времени пуля будет падать вниз, т.е. полное время полета до падения пули на землю есть 2v1/g.

Так как движение по горизонтали равномерное, то дальность полета равна

(при этом мы пренебрегли высотой ружья над уровнем земли).

Мы получили формулу, которая показывает, что дальность полета пропорциональна произведению составляющих скорости. При каком же направлении выстрела это произведение будет наибольшим? Этот вопрос можно выразить на языке геометрии. Скорости v1 и v2 образуют прямоугольник скоростей; диагональю в нем служит полная скорость v. Произведение v1v2 равно площади этого прямоугольника.

Наш вопрос сводится к следующему: при заданной длине диагонали какие надо взять стороны, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей? В геометрии доказывается, что этому условию удовлетворяет квадрат. Значит, дальность полета пули будет наибольшей, когда v1 = v2, т.е. тогда, когда прямоугольник скоростей обращается в квадрат. Диагональ квадрата скоростей образует с горизонталью угол в 45° – под таким углом и надо держать ружье, чтобы пуля летела как можно дальше.

Если v – полная скорость пули, то в случае квадрата v1 = v2 = v/sqrt(2). Формула дальности полета для этого лучшего случая выглядит так: S = v2/g, т.е. дальность будет вдвое больше, чем высота подъема при выстреле вверх с той же начальной скоростью.

Высота подъема при выстреле под углом в 45° будет h = v12/2g = v2/4g, т.е. в четыре раза меньше дальности полета.

Надо признаться, что формулы, которыми мы оперировали, дают точные результаты лишь в случае, довольно далеком от практики, – при отсутствии воздуха. Сопротивление воздуха во многих случаях играет решающую роль и в корне меняет всю картину.

 

Движение по окружности

Если точка движется по окружности, то движение является ускоренным, уже хотя бы потому, что в каждый момент времени скорость меняет свое направление. По величине скорость может оставаться неизменной, и мы остановим внимание именно на подобном случае.

Будем рисовать векторы скорости в последовательные промежутки времени, помещая начала векторов в одну точку. (Мы имеем на это право.) Если вектор скорости повернулся на небольшой угол, то изменение скорости, как мы знаем, изобразится основанием равнобедренного треугольника. Построим изменения скорости за время полного оборота тела (рис. 17). Сумма величин изменений скорости за время полного оборота будет равна сумме сторон изображенного многоугольника. Строя каждый треугольничек, мы молчаливо предполагали, что вектор скорости изменился скачком, на самом же деле направление вектора скорости меняется непрерывно. Совершенно ясно, что ошибка будет тем меньше, чем меньше мы будем брать угол треугольничка. Чем меньше стороны многоугольника, тем он теснее прижимается к окружности радиуса v. Поэтому точным значением суммы абсолютных величин изменений скорости за время оборота точки будет длина окружности 2πv. Величина ускорения найдется делением ее на время полного оборота T.

Итак, величина ускорения в равномерном движении по окружности выражается формулой а = 2πv/T.

Но время полного оборота при движении по окружности радиуса R может быть записано в виде T = 2πR/v.

Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим для ускорения: a = v2/R.

При неизменном радиусе вращения ускорение пропорционально квадрату скорости. При данной скорости ускорение обратно пропорционально радиусу.

Это же рассуждение показывает нам, как направлено в каждое данное мгновение ускорение кругового движения. Чем меньше угол при вершине равнобедренных треугольников, которые мы использовали для доказательства, тем ближе к 90° угол между приростом скорости и скоростью.

Значит, ускорение равномерного кругового движения направлено перпендикулярно к скорости; а как же скорость и ускорение направлены по отношению к траектории? Поскольку скорость есть касательная к пути, то ускорение направлено по радиусу и притом к центру окружности. Эти соотношения хорошо видны на рис. 18.

Попробуйте покрутить камень на веревке. Вы отчетливо ощутите необходимость для этого мускульного усилия. Зачем же нужна сила? Ведь тело движется равномерно? Вот в том-то и дело, что нет. Тело движется с неизменной по величине скоростью, но непрерывное изменение направления скорости делает это движение ускоренным. Сила необходима для того, чтобы отклонить тело от инерциального прямого пути. Сила нужна для того, чтобы создать то ускорение v2/R, которое мы только что вычислили.

Согласно закону Ньютона, куда направлено ускорение, туда смотрит и сила. Значит, тело, вращающееся по окружности с неизменной скоростью, должно находиться под действием силы, направленной по радиусу к центру вращения. Сила, действующая на камень со стороны веревки, и обеспечивает ускорение v2/R. Значит, величина этой силы есть mv2/R.

Веревка тянет камень, камень тянет веревку. Мы узнаем в этих двух силах «предмет и его изображение в зеркале» – силы действия и противодействия. Часто силу, с которой камень действует на веревку, называют центробежной. Центробежная сила равна, разумеется, mv2/R и направлена по радиусу от центра вращения. Центробежная сила приложена к тому телу, которое противодействует инерциальному стремлению вращающегося тела двигаться прямолинейно.

Сказанное относится и к случаю, когда роль «веревки» играет сила тяжести. Луна вращается вокруг Земли. Что удерживает нашего спутника? Почему, следуя закону инерции, он не уходит в межпланетное путешествие? Земля держит Луну «невидимой веревкой» – силой притяжения. Эта сила равна mv2/R, где v – скорость движения по лунной орбите, а R – расстояние до Луны. Центробежная сила приложена в этом случае к Земле, но благодаря большой массе Земли она лишь незначительно влияет на характер движения нашей планеты.

Положим, что требуется вывести искусственный спутник Земли на круговую орбиту на расстоянии 300 км от земной поверхности. Какова должна быть скорость такого спутника? На расстоянии 300 км ускорение силы тяжести немного меньше, чем на поверхности Земли, и равно 8,9 м/с2. Ускорение движущегося по окружности спутника равно v2/R, где R – расстояние от центра вращения (т.е. от центра Земли) – примерно равно 6600 км = 6,6·106 м. С другой стороны, это ускорение равно ускорению силы тяжести g. Следовательно, g = v2/R, откуда находим скорость движения спутника по орбите:

v = sqrt(gR) = sqrt(8,9·6,6·106) = 7700 м/с = 7,7 км/с.

Минимальная скорость, необходимая для того, чтобы горизонтально брошенное тело стало спутником Земли, называется первой космической скоростью. Из приведенного примера видно, что эта скорость близка к 8 км/с.