Логицизм и интуиционизм — два направления, возникшие в первые годы XX в. и придерживавшиеся диаметрально противоположных взглядов на основания математики, — были лишь первыми признаками надвигающейся бури. Третье направление — формализм — сформировал и возглавил Давид Гильберт. Родоначальником четвертого (теоретико-множественного) направления в основаниях математики стал Эрнст Цермело.

В своем докладе [51]Лобачевский и Гаусс независимо осознали, что геометрия реального (физического) пространства может быть как евклидовой, так и неевклидовой. (Бойаи, заинтересованного в первую очередь в, так сказать, «логическом статусе» новой геометрии, эта постановка вопроса занимала меньше.)
на II Международном математическом конгрессе, проходившем в 1900 г. в Париже (гл. VIII), Гильберт подчеркнул важность доказательства непротиворечивости математики. Он указал также, что желательно получить прямое доказательство полной упорядоченности вещественных чисел. Но из работ Цермело мы знаем, что полное упорядочение эквивалентно аксиоме выбора. Гильберт обратил также внимание математиков на необходимость доказательства гипотезы континуума, согласно которой не существует (количественного) трансфинитного числа, большего N0 и меньшего c. Еще до того, как обрели известность парадоксы теории множеств, доставившие немало хлопот математикам, и возникла дискуссия по поводу аксиомы выбора, Гильберт предвидел насущную необходимость решения всех этих проблем.

Суть своего подхода к основаниям математики, в том числе и к доказательству ее непротиворечивости, Гильберт изложил в 1904 г. в докладе на III Международном конгрессе математиков в Гейдельберге. Тогда он еще не имел серьезных работ, реализующих намеченную им программу. В последующие 15 лет логицисты и интуиционисты развили бурную деятельность в направлении, указанном этим докладом; однако Гильберт, мягко говоря, не был удовлетворен предложенными ими решениями проблем, потрясающих сами основания математики.

С логицизмом Гильберт разделался довольно спокойно. Его главное возражение против логицизма в докладе на конгрессе и в работе, опубликованной в том же 1904 г., сводилось к тому, что в ходе длительного и сложного развития логики целые числа оказались, хотя и неявно, вовлеченными в присущую ей систему понятий. Следовательно, занимаясь построением понятия числа, логика в действительности ходит по замкнутому кругу. Критиковал Гильберт и задание множеств по их свойствам: при таком определении множеств возникала необходимость различать высказывания и пропозициональные функции по типам, а теория типов требовала принятия сомнительной аксиомы сводимости. Гильберт разделял мнение Рассела и Уайтхеда о необходимости включения в математику бесконечных множеств. Но для этого потребовалась бы аксиома бесконечности, а Гильберт вместе с другими не считал ее аксиомой логики.

С другой стороны, философия интуиционизма также не устраивала Гильберта, поскольку интуиционисты отвергали не только бесконечные множества, но и обширные разделы анализа, опирающиеся на чистые теоремы существования, и он яростно нападал на интуиционизм. В 1922 г. он обвинил интуиционистов в том, что они «стремятся разрушить и изуродовать математику». В статье 1927 г. он выразил свой протест против интуиционизма следующим образом: «Отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользование кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки» ([50]И даже никакими экспериментами тоже; утверждение о существовании одной или многих прямых, проходящих через точку P  и не пересекающих AB, апеллирует к представлению о всем (бесконечном!) пространстве и потому непроверяемо; опыты же с измерением суммы углов треугольника в принципе могут помочь установить отличие этой суммы от 180°, но никогда — равенство 180°; ведь всегда можно опасаться, что полученное нами значение столь близко к 180° лишь потому, что выбранный треугольник слишком мал.
, с. 383).

По поводу отношения Гильберта к интуиционизму Вейль сказал в 1927 г.: «То, что с этой [интуиционистской] точки зрения надежна лишь часть классической математики, причем далеко не самая лучшая, — горький, но неизбежный вывод. Гильберту была невыносима мысль об этой ране, нанесенной математике».

И логицизм, и интуиционизм Гильберт обвинял в том, что они не смогли доказать непротиворечивость математики. В работе 1927 г. Гильберт торжественно заявил:

Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе боге, ни, как Пуанкаре [который считал, что доказать непротиворечивость системы, использующей математическую индукцию, невозможно], в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции способности нашего разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, наконец, ни, как Рассел и Уайтхед, в аксиомах бесконечности, редукции [сводимости] или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе не правдоподобными.

([50], с. 383.)

В 20-е годы XX в. Гильберт сформулировал свой собственный подход к обоснованию математики и до конца жизни работал над ним. Среди работ, опубликованных Гильбертом в 20-е годы и в начале 30-х годов, особое место по богатству идей занимает работа «О бесконечности» ([44]Истории проблематики, связанной с пятым постулатом Евклида, посвящена, в частности, книга Роберто Бонолы «Неевклидова геометрия», впервые вышедшая в 1906 г. на итальянском языке. Английский перевод: Bonola R. Non-euclidean geometry.  — N.Y. Dover Publ., 1955 ([26]; см. также [27]).
*, 1925), где он формулирует замысел своей теории: «Эта теория ставит своей целью установить определенную надежность математического метода» ([50]И даже никакими экспериментами тоже; утверждение о существовании одной или многих прямых, проходящих через точку P  и не пересекающих AB, апеллирует к представлению о всем (бесконечном!) пространстве и потому непроверяемо; опыты же с измерением суммы углов треугольника в принципе могут помочь установить отличие этой суммы от 180°, но никогда — равенство 180°; ведь всегда можно опасаться, что полученное нами значение столь близко к 180° лишь потому, что выбранный треугольник слишком мал.
, с. 340).

Первый из тезисов Гильберта состоял в том, что, поскольку логика, развиваясь, непременно включает в себя математические идеи и поскольку для сохранения классической математики нам неизбежно приходится привлекать внелогические аксиомы типа аксиомы бесконечности, правильный подход к математике должен включать понятия и аксиомы не только логики, но и математики. Кроме того, логика должна чем-то оперировать, и это «что-то» состоит из внелогических конкретных понятий (таких, как понятие числа), воспринимаемых интуитивно еще до того, как мы начинаем рассуждать логически.

Принятые Гильбертом логические аксиомы несущественно отличаются от аксиом Рассела, хотя Гильберт ввел больше аксиом, поскольку его не интересовало построение наиболее экономной системы аксиом логики. Но так как, согласно Гильберту, математика невыводима из логики (математика не следствие логики, а автономная научная дисциплина), то аксиоматика как логики, так и математики должна включать математические и логические аксиомы. Гильберт считал также, что математику надежнее всего рассматривать не как фактическое знание, а как формальную, т.е. абстрактную, дисциплину, занимающуюся преобразованием символов безотносительно к их значению (хотя неформально значение символов и их отношение к реальности также учитываются). Доказательства теорем должны сводиться к преобразованиям символов, производимым по определенным правилам логического вывода.

Чтобы избежать неоднозначности языка и бессознательного использования интуитивных представлений, приводящих к одним парадоксам, исключить другие парадоксы и достичь строгости доказательств и объективности, Гильберт счел необходимым записать все утверждения логики и математики в символической форме. Хотя символы и могли иметь некоторое интуитивно воспринимаемое значение, в предложенной Гильбертом трактовке математики они не нуждались в интерпретации. Некоторые символы могли даже означать бесконечные множества, поскольку Гильберт намеревался включить их в свою теорию, но в таком случае они оказались бы лишенными интуитивного образа. Такие «идеальные элементы», как их называл Гильберт, необходимы для построения всей математики; поэтому их введение обоснованно, хотя сам Гильберт считал, что в реальном мире существует лишь конечное число объектов: материя состоит из конечного числа элементов.

Суть рассуждений Гильберта можно понять, если воспользоваться следующей аналогией. Иррациональное число лишено интуитивного смысла. Хотя мы можем построить отрезки, длины которых выражаются иррациональными числами, эти длины сами по себе еще не создают никакого интуитивного представления об иррациональных числах. Тем не менее иррациональные числа как идеальные элементы с необходимостью входят даже в элементарную математику. Именно поэтому математики и шли на использование иррациональных чисел, хотя те до 70-х годов XIX в. не имели логического обоснования. Гильберт занял аналогичную позицию в отношении комплексных чисел, т.е. чисел, содержащих выражение √−1. Комплексные числа не имеют прямых аналогов среди вещественных чисел, тем не менее они позволяют сформулировать некоторые общие теоремы, например теорему о том, что каждое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней, и делают возможной теорию функций комплексного переменного, оказавшуюся необычайно полезной даже в физических исследованиях. Независимо от того, означают ли символы объекты, имеющие интуитивный смысл или лишенные его, все знаки и символы понятий и операций рассматриваются как чисто формальные элементы той системы, которую мы строим. По мнению Гильберта, при обосновании математики элементами математического мышления следует считать символы и высказывания, т.е. комбинации (или строки) символов. Формалисты надеялись «купить» определенность за подходящую цену, и этой ценой было манипулирование символами, лишенными всякого смысла.

К счастью, символика логики была разработана в конце XIX — начале XX вв. (гл. VIII), поэтому у Гильберта с самого начала было под рукой все необходимое. В частности, он располагал такими символами, как — ~ (не), ∙ (и), \/ (или),  (следует),  (существует). Все они были первичными, или неопределяемыми, понятиями. Что же касается самой математики, то для нее символические обозначения были разработаны давно.

По замыслу Гильберта из выбранных им аксиом логики должны были следовать все законы логики Аристотеля. Применимость этих аксиом вряд ли вызывала у кого-нибудь сомнения, например, если X, Y и Z — высказывания, то одна из аксиом Гильберта гласит: «Если X, то X \/ Y» (иными словами, «Если истинно X, то истинно также X или Y»). Другая аксиома сводится к неформальному утверждению о том, что если из X следует Y, то из «Z или X» следует «Z или Y». Особое место в логике Гильберта занимает схема заключения. На неформальном уровне она утверждает, что если формула А верна и если из формулы А следует формула В, то формула В верна. В аристотелевой логике этот закон называется modus ponens (модус поненс). Гильберт не хотел также отказываться от закона исключенного третьего и с помощью специального приема записал в символическом виде и этот закон. Тот же прием позволил формализовать и аксиому выбора, которая, несомненно, принадлежит к числу математических аксиом. Подобный прием позволял избегать явного употребления слова «все» — Гильберт надеялся, что это поможет ему обойти все парадоксы.

В любой области математики, имеющей дело с числами, существуют (в соответствии с программой Гильберта) аксиомы арифметики. Например, существует аксиома «из a = b следует a' = b'», утверждающая, что если два целых числа a и b равны, то числа, непосредственно следующие за ними (интуитивно — ближайшие большие a, соответственно b, целые числа), также равны. В аксиомы арифметики входит и аксиома математической индукции (ср. [72]Так называемая формула Кардано для корня (точнее, для трех корней) кубического уравнения  x 3 + px + q = 0  (найдена она была несколько раньше, но опубликована впервые в «Великом искусстве» Кардано, который, впрочем, и не претендовал здесь на приоритет) имеет вид:
FB2Library.Elements.ImageItem
при этом если все три корня уравнения являются вещественными ( неприводимый случай решения рассматриваемого уравнения), то (q/2) 2 + (p/3) 3  < 0 — и правильный ответ можно получить из этой формулы лишь при умении извлекать кубические корни из комплексных чисел (как это сделать, впервые объяснил Р. Бомбелли).
). Как правило, аксиомы имеют отношение к нашему опыту, связанному с наблюдением явлений природы, или к миру уже существующих математических знаний.

Формальная система, представляющая теорию множеств, должна содержать (записанные в виде комбинаций символов) аксиомы, которые указывают, какие множества допустимо образовывать. Например, подобные аксиомы могут допускать составление множества, являющегося объединением двух множеств, и множества всех подмножеств данного множества.

Записав все математические и логические аксиомы в виде символических формул, Гильберт подготовил все необходимое для ответа на главный вопрос: что следует понимать под объективным доказательством? По Гильберту, строгое доказательство складывается из трех этапов: 1) предъявление некоторой формулы; 2) утверждение, что из предъявленной формулы следует другая формула, и 3) предъявление второй формулы. Последовательность из этих трех этапов, в которой вторая предъявляемая формула является следствием из принятых ранее аксиом или ранее выведенных заключений, и является доказательством теоремы. Допустимой операцией считается также подстановка одного символа или группы символов вместо другого символа или группы символов. По Гильберту, вывод формулы сводится к применению логических аксиом для манипуляции с символами ранее выведенных формул или аксиом.

Формула истинна в том и только том случае, если ее можно получить как последнее звено последовательности формул, каждый член которой либо представляет собой аксиому формальной системы, либо выведен с помощью одного из правил вывода. При желании можно проверить, является ли данная формула заключительным звеном соответствующей цепочки дедуктивных выводов, поскольку доказательство по существу представляет собой механическое преобразование символов. Мы видим, что, с точки зрения формалиста, доказательство и строгость — понятия вполне определенные и объективные.

Собственно математику формалист рассматривает как набор формальных систем, каждая из которых имеет свою логику, обладает своими собственными понятиями, своими аксиомами, своими правилами дедуктивного вывода и своими теоремами. Развитие каждой из этих формальных систем и составляет задачу математики.

Такова была предложенная Гильбертом программа построения собственно математики. Но свободны ли от противоречий выводимые из аксиом заключения? Поскольку предыдущие доказательства непротиворечивости основных областей математики проводились в предположении, что арифметика непротиворечива (более того, как показал сам Гильберт, непротиворечивость евклидовой геометрии сводится к непротиворечивости арифметики), вопрос о непротиворечивости последней приобрел решающее значение. По словам Гильберта, «в геометрии и физической теории доказательство непротиворечивости достигается путем сведения к непротиворечивости арифметики. Подобный метод явно непригоден для доказательства непротиворечивости самой арифметики». Гильберта волновал вопрос абсолютной, а не относительной непротиворечивости. На этой проблеме он сосредоточил свои усилия, утверждая, что нельзя подвергать себя риску столкнуться в будущем с неприятными сюрпризами, подобными тем, которые возникли в математике начала XX в.

Непротиворечивость «не видна снаружи». Невозможно предвидеть все следствия из аксиом. Но Гильберт, как и почти все математики, занимавшиеся проблемами оснований математики, использовал понятие материальной импликации (гл. VIII), в которой из ложного высказывания следует что угодно. Если в системе существует противоречие, то по закону противоречия одно из каких-то двух высказываний должно быть ложным, а если существует ложное высказывание, то из него следует, что 1 = 0. Следовательно, для доказательства непротиворечивости необходимо лишь убедиться в том, что мы нигде не придем к утверждению 1 = 0. Тогда, заметил Гильберт в работе 1925 г., «то, что мы пережили дважды — сначала с парадоксами дифференциального исчисления, а затем с парадоксами теории множеств — не произойдет в третий раз и не повторится никогда».

В серии работ, выполненных в период 1920-1930 гг., Гильберт и его ученики Вильгельм Аккерман (1896-1962), Пауль Бернайс (1888-1978) и Джон фон Нейман (1903-1957), постепенно создали метод, получивший название гильбертовской Beweistheorie [теории доказательства] или метаматематики, — метод доказательства непротиворечивости любой формальной системы (ср. [73]Характерно, что при всей глубине и тонкости мысли, отражением которых явились статьи «Предел» и «Дифференциал» в знаменитой «Энциклопедии» (по существу впервые обосновавшие математический анализ почти на уровне построений Огюстена Коши) или статья «Размерность» (впервые провозгласившая, что мы живем в четырехмерном мире: три измерения — пространственные, четвертое — временное), к вопросу о введении в математику отрицательных чисел Д'Аламбер подходил с большой робостью, а комплексные числа вообще полностью игнорировал.
, [74]Эйлер использует здесь так называемую тригонометрическую, или полярную, форму комплексного числа; здесь ρ = √(x 2 + y 2 ), φ — угол, образуемый с положительным направлением оси  x отрезком, проведенным из начала координат в точку x + iy (при y = 0, угол φ также равен 0). При этом x + iy = ρ (cos φ + ί sin φ ) = ρe iφ .
). Суть основной идеи метаматематики можно пояснить с помощью следующей аналогии. Допустим, вы захотели бы изучить выразительные возможности японского языка и решили бы проводить этот анализ на японском языке — тогда ваши результаты оказались бы в значительной мере ограничены возможностями самого японского языка. Но если считать, что английский язык выразителен, то при изучении возможностей японского языка целесообразно было бы воспользоваться английским.

В метаматематике Гильберт предложил использовать особую логику, которая не вызывала бы никаких возражений. Истинность ее законов должна быть настолько очевидной, что всякий мог бы принять их без тени сомнения. По существу эти идеи Гильберта были весьма близки принципам интуиционизма. Все спорные моменты — доказательство существования от противного, трансфинитная индукция, актуально бесконечные множества, непредикативные определения — старательно изгонялись. Доказательства существования должны были быть конструктивными. Поскольку формальная система может продолжаться неограниченно, метаматематика не могла обойти вниманием понятия и проблемы, по крайней мере относящиеся к потенциально бесконечным системам. Но ссылки на бесконечное число структурных свойств формулы или использование бесконечного числа производимых над формулами операций объявлялись недопустимыми. Рассматривать формулы, в которые входят символы, означающие актуально бесконечные множества, не запрещалось, но сами множества могли входить лишь как символы в формулах. Математическая индукция по натуральным (положительным целым) числам считалась допустимой, поскольку она доказывает утверждение для любого конечного n; однако не следовало понимать этот метод так, будто он позволяет доказывать утверждение сразу для всего бесконечного множества натуральных чисел.

Понятия и методы метаматематического доказательства Гильберт назвал финитными. Строгого определения этого термина дано не было. В работе 1925 г. смысл финитности Гильберт пояснил на следующем примере. Высказывание «Если p — простое число, то существует простое число, которое больше p» не финитно, так как представляет собой утверждение о всех целых числах, которые больше p. Высказывание же «Если p — простое число, то существует простое число, которое больше p и меньше p! + 1 (p — факториал плюс единица)» финитно, так как при любом простом p нам необходимо лишь убедиться, существует ли простое число среди конечного множества чисел, заключенных между p и p! + 1.

В книге, написанной вместе с Бернайсом и опубликованной в 1934 г., Гильберт описывает финитность следующим образом:

…Мы будем говорить о финитных понятиях и утверждениях, подчеркивая всюду словом «финитный», что рассматриваемое рассуждение, утверждение или определение придерживаются рамок принципиальной представимости объектов и принципиальной выполнимости операций, а тем самым происходят в рамках конкретного рассмотрения.

([75], т. I, с. 59.)

В тех случаях, когда это не могло привести к недоразумениям, формалисты использовали язык и некоторые обозначения интуитивной, или неформальной, математики.

Выступая с докладом о своей метаматематической программе на Международном математическом конгрессе 1928 г., Гильберт с уверенностью заявил: «Не сомневаюсь, что наш новый подход к основаниям математики, который можно было бы назвать теорией доказательства, позволит навсегда покончить со всеми проблемами обоснования математики». В частности, Гильберт выражал надежду на то, что ему удастся доказать непротиворечивость математики и решить проблему полноты. Иначе говоря, все высказывания, имеющие смысл, будут либо доказаны, либо опровергнуты. Не останется ни одного неразрешимого утверждения.

Как и следовало ожидать, формалистская программа вызвала критику со стороны представителей соперничающих направлений. Во втором издании «Принципов математики» (1937) Рассел заметил, что используемые формалистами аксиомы арифметики не задают однозначно значения символов 0, 1, 2, …, с тем же успехом счет можно было бы начать и с того, что мы интуитивно понимаем под числами 100, 101, 102, …. Поэтому утверждение «Апостолов было 12» с точки зрения формализма лишено смысла. «Формалисты напоминают часовщика, который настолько озабочен тем, как выглядят выпускаемые им часы, что забыл об их прямом назначении — измерять время — и не вставил в корпус механизм». Логицистское определение числа вкладывает смысл в связь этого понятия с реальным миром; формалистская теория лишает такую связь всякого смысла.

Рассел подверг критике и формалистское понятие существования. Гильберт считал приемлемыми бесконечные множества и другие идеальные элементы и утверждал, что если аксиомы какой-либо области математики, включающие закон исключенного третьего и закон противоречия, не приводят к противоречию, то тем самым гарантируется существование объектов; удовлетворяющих этим аксиомам. Такую трактовку существования Рассел назвал метафизической. Кроме того, он обратил внимание на то, что число непротиворечивых аксиоматических систем, которые можно придумать, неограниченно, но интерес представляют лишь такие системы, которые согласуются с эмпирическим материалом.

Критика Рассела напоминает поговорку «Не смейся, горох, ты не лучше бобов». Должно быть, к 1937 г. он успел основательно подзабыть то, что писал сам в 1901 г.: «Математику можно определить как предмет, в котором никогда не известно ни то, о чем мы говорим, ни истинно или ложно то, что мы говорим».

Формалистская программа была неприемлема и для интуиционистов. Помимо основных различий во взглядах на бесконечность и закон исключенного третьего интуиционисты неоднократно подчеркивали, что они полагаются на смысл математики и стремятся установить, насколько его можно считать здравым, в то время как формалисты (и логицисты) имеют дело с идеальными, или трансцендентальными, мирами, лишенными всякого смысла. Брауэр еще в 1908 г. показал, что в некоторых утверждениях классического математического анализа, в том числе в теореме Больцано — Вейершрасса (носящей сугубо специальный характер и утверждающей, что у любого ограниченного бесконечного множества существует по крайней мере одна предельная точка), логика и здравый смысл находятся в вопиющем противоречии. Мы должны выбирать, заявил Брауэр, между нашим априорным понятием положительного целого числа и неограниченным использованием закона исключенного третьего в тех случаях, когда последний применяется к любому утверждению, не поддающемуся проверке за конечное число шагов. Некритическое использование аристотелевой логики привело к появлению формально правильных, но бессмысленных утверждений. Порывая со смыслом во многих логических построениях, классическая математика тем самым порывала с реальностью.

Критика Брауэра заставила многих осознать неправильность казавшегося ранее бесспорным мнения о том, что великие математические теории правильно отражают некое заложенное в них реальное содержание. Разумеется, создатели математических теорий мыслили их как идеализации реальных вещей и явлений. Но впоследствии, особенно в XIX в., многие понятия математического анализа утратили какую бы то ни было интуитивную подоплеку, и в глазах интуиционистов они не выглядели логически удовлетворительными. Принять взгляды Бауэра означало отвергнуть значительную часть классической математики на том основании, что она лишена интуитивного смысла.

Современные интуиционисты заявляют, что формализованная математика бессодержательна, даже если бы Гильберту и удалось доказать ее непротиворечивость. Вейль сетовал на то, что Гильберт «спас» классическую математику «ценой коренного пересмотра ее содержания», формализовав и выхолостив ее и «тем самым в принципе превратив из системы с интуитивно воспринимаемыми результатами в игру с формулами по определенным, раз и навсегда установленным правилам… Вполне возможно, что математика Гильберта представляет собой великолепную игру с формулами, более увлекательную, чем шахматы. Но что, спрашивается, дает такая игра нашему разуму, если ее формулы умышленно лишены материального содержания, посредством которого они могли бы выражать интуитивные истины?» В защиту формалистской философии следует заметить, что Гильберт свел математику к бессодержательным формулам только во имя высокой цели: доказательства непротиворечивости, полноты и других не менее важных свойств. Что же касается математики в целом, то даже формалисты никогда не считали ее «просто игрой», а рассматривали как вполне содержательную научную дисциплину.

Как и Рассел, интуиционисты возражали против формалистской интерпретации существования в математике. Гильберт утверждал, что существование любого математического объекта гарантируется непротиворечивостью той области математики, в которой он был введен. Такая интерпретация существования была неприемлема для интуиционистов. Непротиворечивость отнюдь не гарантирует истинности чистых теорем существования. Возражение против принятия формалистской интерпретации существования было выдвинуто двести лет назад Кантом в его «Критике чистого разума»: «Бесплодная попытка подменить логическую возможность понятия (поскольку понятие не противоречит само себе) трансцендентальной возможностью вещей (поскольку понятию соответствует предмет) может обмануть и удовлетворить разве только неискушенного человека» ([18]В то время как математика и философия древних греков были метафизичны — они ограничивались рассмотрением застывших состояний и игнорировали (текущие) процессы, — картезианская философия (этот термин идет от латинизированной формы фамилии Декарта — Картезий) была диалектична, что и сделало возможным возникновение дифференциального и интегрального исчислений.
, т. 3, с. 364).

Яростный спор между формалистами и интуиционистами происходил в 20-е годы нашего столетия. В 1923 г. с критикой формалистского направления в основаниях математики выступил Брауэр. Как утверждал Брауэр, формалистский подход позволяет избежать противоречий, но не дает ничего, что обладало бы хоть какой-то математической ценностью. «Некорректная математическая теория, даже если ее нельзя отвергнуть, ссылаясь на какое-нибудь опровергающее ее противоречие, все же остается некорректной, подобно тому как преступление остается преступлением независимо от того, удастся ли суду оправдать преступника.» В лекции, прочитанной в 1912 г. в Амстердамском университете, Брауэр саркастически заметил: «На вопрос, где следует искать математическую строгость, две группировки дают два различных ответа. Интуиционисты отвечают, что в человеческом разуме, формалисты — что на бумаге».

В свою очередь Гильберт обвинил Брауэра и Вейля в том, что те пытаются выбросить за борт все им не подходящее и наложить диктаторские запреты на многие плодотворные области науки. В работе 1925 г. Гильберт назвал интуиционизм изменой науке. Тем не менее Вейль считал, что в метаматематике Гильберт, по существу, ограничил свои принципы интуционистскими.

Нужно сказать, что принципы метаматематики также подверглись критике. Предполагалось, что принципы метаматематики ни у кого не встретят возражений. Но сами формалисты оказались весьма разборчивыми. Почему же их интуиция должна быть пробным камнем? Почему в таком случае не применить интуиционистский подход целиком ко всей математике? Разумеется, высшим критерием допустимости того или иного метода в метаматематике должна быть его убедительность, но убедительность для кого?

Хотя формалисты могли ответить далеко не на все критические замечания, с начала 30-х годов у них появился весомый аргумент, существенно подкреплявший их позицию. К этому времени Рассел и его коллеги-логицисты признали, что аксиомы логики не являются универсальными истинами и поэтому их непротиворечивость отнюдь не гарантирована автоматически, а интуиционисты могли лишь утверждать, что надежной гарантией непротиворечивости служит сама интуиция. Между тем формалисты располагали тщательно продуманной процедурой доказательства непротиворечивости, которая с успехом применялась к простым системам; это вселяло в формалистов уверенность, что им удастся доказать непротиворечивость арифметики, а тем самым и всей математики. Однако мы на время оставим формалистов в этой сравнительно благоприятной для них позиции и обратимся к еще одному конкурирующему направлению в основаниях математики.

Представители этого направления, получившего название теоретико-множественного, сначала не формулировали в явном виде свою философию — и сторонников, и явно сформулированную программу это направление обрело позднее. Ныне теоретико-множественное направление по числу своих приверженцев успешно конкурирует с логицизмом, интуиционизмом и формализмом.

Истоки теоретико-множественного направления можно проследить в работах Дедекинда и Кантора. Хотя оба этих математика занимались главным образом изучением бесконечных множеств, они приступили к теоретико-множественному обоснованию обычных целых (натуральных) чисел, прекрасно понимая, что если бы им удалось обосновать целые числа, то тем самым была бы обоснована и вся математика (гл. VIII).

Когда обнаружились противоречия в канторовской теории множеств (трудности, связанные с понятиями наибольшего кардинального и наибольшего ординального числа) и противоречия типа парадоксов Рассела и Ришара, также имеющие непосредственное отношение к теории множеств, некоторые математики решили, что парадоксы обусловлены неформальным введением множеств. Кантор смело высказывал новые идеи, но его изложение далеко не соответствовало требованиям математической строгости. Он дал несколько словесных определений множества в 1884, 1887 и 1895 гг. Под множеством Кантор, по существу, понимал любой набор вполне определенных предметов, доступных нашей интуиции или мысли. Иначе говоря, по Кантору, множество определено, если относительно любого предмета x мы знаем, принадлежит он множеству или нет. Оба варианта определения множества не отличаются строгостью, и теорию множеств в том виде, как ее изложил Кантор, ныне нередко называют наивной. По мнению представителей теоретико-множественного направления, тщательный выбор аксиоматической основы должен был избавить теорию множеств от парадоксов, подобно тому как аксиоматизация геометрии и системы чисел позволила разрешить все связанные с ними логические проблемы.

Хотя теория множеств была составной частью логистического направления в математике, представители теоретико-множественной школы предпочитали прямой аксиоматический подход к теории множеств. Аксиоматизацию теории множеств впервые предпринял Эрнест Цермело в работе 1908 г. Причину парадоксов он видел в том, что Кантор не уточнил понятие множества. Поэтому, как полагал Цермело, ясные и явно сформулированные аксиомы могли бы прояснить, что следует понимать под множеством и какими свойствами оно должно обладать. В частности, Цермело намеревался ограничить размеры допустимых множеств. Цермело не придерживался какой-либо последовательной философии, а лишь стремился избежать противоречий. Предложенная Цермело система аксиом оставляла неопределенными фундаментальные понятия множества и отношение включения одного множества в другое. Эти неопределяемые понятия и другие, заданные явными определениями, должны были удовлетворять утверждениям, содержащимся в аксиомах. Не допускалось использование никаких других свойств множеств, кроме тех, что перечислены в аксиомах. Аксиомы гарантировали существование бесконечных множеств и выполнимость таких операций, как объединение множеств и образование подмножеств. Цермело использовал также аксиому выбора.

Система аксиом Цермело была усовершенствована несколько лет спустя (1922) Абрагамом А. Френкелем (1891-1965). Цермело не проводил различия между свойством, задающим множество, и самим множеством. Эти понятия для Цермело были синонимичны. Различие между свойствами множества и множеством было введено Френкелем в 1922 г. Система аксиом, в наше время наиболее часто используемая специалистами по теории множеств, известна как система Цермело — Френкеля. Оба автора опирались на самую изощренную и стройную математическую логику, какая только существовала в их время, но не указывали явно логические принципы. Цермело и Френкель считали их лежащими за пределами математики и применяли столь же уверенно, как в XIX в. математики пользовались логикой.

Назовем некоторые из аксиом Цермело — Френкеля, взяв на себя смелость привести их в словесной формулировке.

1. Два множества тождественны, если они состоят из одних и тех же элементов. (Интуитивно это определяет множество.)

2. Существует пустое множество.

3. Если x и y — множества, то неупорядоченная пара {x, y} также множество.

4. Объединение любого множества множеств есть множество.

5. Существуют бесконечные множества. (Пятая аксиома делает допустимыми трансфинитные кардинальные числа. Это имеет решающее значение, поскольку не подлежит проверке опытом.)

6. Любое свойство, формализуемое на языке теории, может быть использовано для определения множества.

7. Допускается образование множества подмножеств любого множества, т.е. набор всех подмножеств данного множества есть множество. (Процесс образования множества подмножеств можно повторять любое число раз, т.е. рассматривать множество всех подмножеств любого данного множества как некое новое множество; множество подмножеств этого множества также является множеством и т.д).

8. Аксиома выбора.

9. x не принадлежит x.

Нельзя не отметить одну замечательную особенность аксиом Цермело — Френкеля: они не допускают к рассмотрению множество, которое содержит все множества, и тем самым, возможно, позволяют избежать парадоксов. В то же время аксиомы Цермело — Френкеля вместе со следствиями из них адекватно отражают все понятия и теоремы теории множеств, необходимые для построения классического математического анализа. Построить теории натуральных чисел на основе теории множеств несложно. Кантор утверждал в 1885 г., что чистая математика сводится к теории множеств, и канторовская программа была осуществлена Расселом и Уайтхедом, хотя их подход к теории множеств отличался гораздо большей сложностью. А если воспользоваться методом координат, то из математики чисел (т.е. из арифметики) следует вся математика, включая геометрию. Тем самым теория множеств становится основанием всей математики.

Можно сказать, что надежда избежать противоречий в случае аксиоматизации теории множеств была основана на ограничении типов допустимых множеств, причем если налагаемые ограничения не слишком жестки, то система аксиом оказывается достаточной для обоснования математического анализа. Аксиомы теории множеств позволили до такой степени избежать парадоксов, что никому не удавалось получить их в рамках теории. Цермело заявил, что ни один парадокс не может возникнуть в аксиоматической теории множеств. Более поздние представители теоретико-множественного направления пребывали и продолжают пребывать в полной уверенности, что ни один парадокс не может быть выведен в теории, поскольку Цермело и Френкель тщательно построили иерархию множеств, исключив все неоднозначности, существовавшие в более ранних работах о множествах и их свойствах. К подобным заявлениям представителей теоретико-множественной школы никто из их идейных противников не относился всерьез. Пуанкаре не без сарказма заметил: «Мы возвели ограду вокруг стада, чтобы защитить его от волков, но нам не известно, нет ли волков внутри ограды».

Теоретико-множественное направление, как, впрочем, и все другие направления в основаниях математики, также не избежало критики. Многие считали недопустимым использование аксиомы выбора. Другие критики усматривали признак слабости теоретико-множественного направления в том, что его представители обходили молчанием вопрос о логических основах своей теории. Сама логика и ее отношение к математике явились предметом подробного обсуждения уже в первом десятилетии XX в. Представители же теоретико-множественного направления довольно небрежно обращались с логическими принципами. Их уверенность в непротиворечивости аксиоматической теории множеств считалась проявлением наивности (критики не без яда напоминали, что и Кантор был наивен до тех пор, пока не столкнулся с трудностями, гл. IX). Некоторые критики находили, что аксиомы теории множеств весьма произвольны и носят искусственный характер. Аксиомы Цермело — Френкеля предназначены для того, чтобы избежать парадоксов, но некоторые из этих аксиом неестественны или не основаны на интуитивных представлениях. Коль скоро представители теоретико-множественного направления принимают логические принципы как нечто очевидное, то почему бы не начать с арифметики, спрашивали критики.

Несмотря на все критические замечания, аксиоматика Цермело — Френкеля до сих пор используется некоторыми математиками как надежное основание для построения всей математики. Теория множеств Цермело — Френкеля — самая общая и фундаментальная теория, на которой и ныне строятся математический анализ и геометрия. Число приверженцев других направлений в основаниях математики возрастало по мере того, как их лидеры развивали и пропагандировали свои взгляды. Аналогичная история произошла и с теоретико-множественным подходом. Некоторые логицисты, например, Уиллард Ван Орман Куайн, выступили в поддержку теории множеств. В этой связи нельзя не упомянуть (нарушая хронологическую последовательность изложения) о группе известных и весьма уважаемых математиков, объединившихся под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки. В 1936 г. эта группа поставила перед собой задачу доказать во всех деталях то, в чем были глубоко убеждены многие математики: если принять аксиоматику теории множеств Цермело — Френкеля (в переработке Бернайса и Гёделя) и некоторые принципы логики, то на них можно построить всю математику. Но для бурбакистов логика подчинена аксиомам собственно математики. Логика не определяет ни того, что такое математика, ни того, чем занимаются математики.

Свои взгляды на логику бурбакисты выразили в статье, опубликованной в Journal of Symbolic Logic (1949): «Иначе говоря, логика, если говорить о математиках, представляет собой не больше и не меньше, как грамматику языка, которым мы пользуемся, языка, который должен был существовать еще до того, как могла быть построена грамматика». Последующее развитие математики может потребовать новых модификаций логики. Так случилось с введением бесконечных множеств и, как мы увидим при обсуждении нестандартного анализа (гл. XIII), будет происходить в дальнейшем. Школа Бурбаки отвергла Фреге, Рассела, Брауэра и Гильберта. Ее представители используют аксиому выбора и закон исключенного третьего, хотя выводят его с помощью приема, предложенного Гильбертом. Группу Бурбаки не заботит проблема непротиворечивости. По поводу нее бурбакисты утверждают: «Мы просто отмечаем, что все эти трудности могут быть преодолены способом, позволяющим избежать всех возражений и не оставляющим сомнений в правильности рассуждений». Противоречия возникали в прошлом, и каждый раз их удавалось успешно разрешить. То же будет происходить и впредь. «Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно» ([2]Здесь и далее ссылки на литературу, помеченные звездочкой, относятся к авторскому списку «Избранная литература».
, с. 30). Бурбаки выпустил около тридцати томов «Элементов математики», построенных на основе теоретико-множественного подхода.

Итак, к тридцатым годам XX в. сложились четыре различных, так или иначе конфликтующих подхода к математике, и сторонники различных направлений, не будет преувеличением сказать, вели между собой ожесточенную борьбу. Никто не мог более утверждать, что такая-то и такая-то теорема доказана правильно: в 30-е годы непременно следовало пояснить, каким стандартам правильности удовлетворяет данное доказательство. Проблема непротиворечивости математики — основная проблема, стимулировавшая появление и развитие не одного нового подхода, — не ставилась совсем (исключение, быть может, составляют интунционисты, считавшие, что человеческая интуиция служит надежной гарантией непротиворечивости).

Та самая наука, которая в начале XIX в., несмотря на все зигзаги логического развития, была провозглашена совершеннейшей из наук, та самая наука, в которой теоремы доказывались с помощью неопровержимых, безупречных рассуждений, та самая наука, утверждения которой были не только неопровержимыми, но и считались истинами об окружающем нас мире и, по мнению некоторых, остались бы истинами в любом из возможных миров, не только отказалась от всяческих притязаний на истину, но и запятнала себя конфликтами между различными школами в основаниях и взаимоисключающими утверждениями о правильных принципах логики. Гордость человеческого разума была глубоко уязвлена.

Положение, сложившееся в 30-е годы, красочно описал математик Эрик Темпл Белл:

Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надежным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения… Знания как в некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам обоснования математики, по-видимому, не существует… Ясно одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений, хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на универсальность, общность или неоспоримость.

Что могла ожидать математика от будущего? Как мы увидим, будущее принесло множество новых, не менее серьезных проблем.