Кроме головоломных задач с подвохами и ловушками, существует множество логических задач. Для их решения требуются те самые интеллектуальные способности, которые мы упоминали в книге «Зачем надо думать»: логичность, пытливость, глубина ума, гибкость и подвижность ума и т. д.
Можно выделить несколько типичных видов логических задач и рассмотреть методы решения каждого вида.
Интересная математика
Кто есть кто
Пересечения
Взвешивания
Переливания
Ось времени
Истина – ложь
Существуют определенные приемы решения логических задач:
метод рассуждений, с помощью которого решаются самые простые логические задачи. В ходе решения используются рассуждения, последовательно учитывающие все условия задачи, которые постепенно приводят к выводу и правильному ответу.
метод таблиц, применяемый при решении текстовых логических задач. Решение логических задач заключается в построении таблиц, которые позволяют наглядно представить условие задачи, контролировать процесс рассуждений и помогают сделать правильные логические выводы.
метод графов состоит в переборе возможных вариантов развития событий и окончательном выборе единственно верного решения.
метод блок-схем – метод, широко используемый в решении логических задач на переливание. Он заключается в том, что сначала в виде блоков выделяются операции, затем устанавливается последовательность выполнения этих операций.
метод кругов Эйлера используется для решения задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Интересная математика
Математические задачи – самая обширная категория среди логических задач. Обычно сложность заключается не в математических вычислениях, а в трудности выбора способа вычисления. Иногда авторы математических задач специально запутывают условия, но чаще задачи основаны на невозможности закостенелого мышления среднестатистического человека изменить привычные шаблоны.
Решение математических задач поможет вам избавиться от этой закостенелости.
Маша и медведи
Маша принесла своим друзьям медведям торт. Известно, что старший медведь съедает торт за 2 дня, средний медведь – за 3 дня, младший медведь – за 6 дней. За сколько дней три медведя вместе съедят торт?
Решение
Используем метод рассуждений.
Так как старший медведь съедает торт за 2 дня, то за 1 день он съедает 1/2 торта.
Так как средний медведь съедает торт за 3 дня, то за 1 день он съедает 1/3 торта.
Так как младший медведь съедает торт за 6 дней, то за 1 день он съедает 1/6 торта.
Вместе все три медведя за 1 день съедят 1/2+1/3+1/6=1, то есть один торт.
Ответ . За 1 день.
Туристы
Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?
Решение
Используем метод рассуждений, но решаем задачу с конца.
Так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять 2/3 последнего остатка. Тогда сам последний остаток будет равен
32 : 2/3 = 48 (км).
Эти 48 км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен
48 : 2/3 = 72 (км).
Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км). Задача решена.
Ответ. 108 км
Можно решать такие задачи табличным методом, но заполнять таблицу надо также с конца.
Обратите внимание: каждый день туристы проходят треть пути, в две трети остаются. Значит, остаток каждый день в 2 раза больше, чем пройденный путь.
Если остаток третьего дня 32 км, то пройденный путь 16 км.
Тогда остаток второго дня 48 км (32км+16км), а пройденный путь 24 км.
Соответственно, остаток первого дня 72 км, пройденный путь 36 км, а весь маршрут составлял 108 км.
Муха
Два поезда, находящиеся на расстоянии 200 км, движутся навстречу друг другу со скоростью 50 км/ч каждый. Муха берёт старт с одного из поездов и летит по направлению к другому со скоростью 75 км/ч. Долетев до другого поезда, муха разворачивается и летит назад к первому. Так она летает туда и обратно, пока два поезда не сталкиваются, и насекомое погибает.
Какое расстояние успела пролететь муха?
Решение
Используем метод рассуждений.
Есть два способа решить эту задачу, один – простой, другой – тяжёлый. Тяжёлый способ решения задачи: просчитать каждый отрезок пути. «Мы пойдем другим путем».
Поезда сближаются друг с другом со скоростью 100 км/час, значит, через 2 часа они столкнутся. За это время муха успеет налетать 150 км.
Ответ. 150 км
Задачи для тренировки.
1. Уравнять дыню
Арбуз и лимон весят столько, сколько дыня.
Два арбуза весят столько, сколько дыня и лимон вместе.
Сколько надо лимонов, чтобы уравнять в весе дыню?
2. Побег из тюрьмы
Опасный преступник по кличке Бешеный Джо ночью сбежал из тюрьмы. Охранники обнаружили это только спустя полчаса после побега и бросились в погоню вместе со сторожевым псом. Джо бежал со скоростью 3 мили в час, а его преследователи – 4 мили в час. Пес со скоростью 12 миль в час носился взад-вперед между охранниками и беглецом. Наконец, преступник был схвачен.
Сколько миль за это время успел набегать неутомимый пёс?
3. Гуси
Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?
4. Вес семьи
Мама и две ее дочери весят – 140 кг. Мама весит на 10кг больше, чем старшая дочь, а вместе на 80 кг больше, чем младшая. Сколько весит младшая дочь?
5. Ступеньки
Лена живет на четвертом этаже. При этом, поднимаясь к себе, домой, она проходит по лестнице 60 ступенек. Юля живет в этом же подъезде на втором этаже. Сколько ступенек проходит Юля, поднимаясь к себе, домой на второй этаж?
6. Диофант
Мало что известно о жизни одного греческого математика из Александрии, которого называют родоначальником алгебры. Предполагается, что он жил в 3-м веке нашей эры. По рассказам, на его надгробии была высечена следующая эпитафия:
«Детство Диофанта 1/6 жизни заняло; 1/12 жизни Диофант бороду растил; ещё 1/7 жизни Диофанта прошла до того, как он женился. Через 5 лет после свадьбы у Диофанта родился сын, который прожил только половину лет, что прожил его отец. А через 4 года после смерти сына умер Диофант»
Сколько лет прожил Диофант?
7. Грибы
Грибник собрал 100 килограммов грибов. Влажность грибов была 99% (они на 99% состояли из воды). Решил их подсушить и через некоторое время грибы усохли до влажности 98%. Сколько стали весить грибы после сушки?
8. Коровы на лугу
Шесть коров съедают всю траву на лугу за 12 дней, а 5 коров – за 16 дней. Сколько коров съедят всю траву на лугу за 24 дня?
Подсказка: трава ежедневно прирастает на одну и ту же величину.
9. Ведро воды
Папе ведра воды хватает на две недели, а если вместе с сыном, то на 10 дней. Вопрос: на сколько дней хватит сыну ведра воды, если он будет пить один?
10. Яблоки
У двух девочек есть по несколько яблок. Если одна даст другой 2 яблока, то у нее их станет в 2 раза меньше. А если вторая девочка даст первой 2 яблока, то у них станет поровну.
Сколько яблок у девочек?
11. Зубчатые колеса
Сколько оборотов сделает каждое из колес находящихся в сцеплении до возвращения в исходное положение, если у одного 12 зубьев, а у другого 54?
12. Если бы…
Если бы четверть от 20 была равна 4, то чему бы была равна треть от 10?
13. Завещание
Завещание в пользу жены и ребенка, который должен родиться: если родиться мальчик, то он получает 2/3, а жена 1/3. Если родится девочка, то она получает 1/3, а мать 2/3.
На свет появились близнецы – девочка и мальчик. Как разделить наследство?
14. Близнецы
В одном удивительном классе вместе учатся четыре пары близнецов! Однажды на школьный праздник вместе с детьми этого класса пришли все мамы и папы. Вместе их получилось 85 человек.
Сколько учеников в классе?
15. 120
Чему равна одна треть от одной четвёртой от одной пятой от половины от 120?
16. Стоимость книги
За книгу заплатили тысячу рублей. Осталось заплатить столько, сколько бы осталось заплатить, если б за неё заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько она стоит?
Кто есть кто
Задачи типа «Кто есть кто?» – это настоящие логические задачи. Смысл таких задач в том, что даны отношения между предметами, и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату.
Задачи типа «Кто есть кто?» решаются разными методами – метод графов, методом таблиц, несложные задачи поддаются даже методу рассуждений.
Футбол
Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Марк.
Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:
а) Зенит не тренируется у Марка и Антонио.
б) Милан обещал никогда не брать Марка главным тренером.
Решение
Используем метод графов.
Исходя из условий задачи, получаем следующий граф.
Сразу можем сделать вывод, что российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго. Чертеж примет следующий вид:
Теперь получили, что итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая. Внесем и эти изменения в чертеж, получим:
Приходим к выводу, что английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио и испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.
Ответ . Российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго; итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая; английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио; испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.
Соревнование по фехтованию
Атос, Портос и Арамис в соревновании по фехтованию заняли три первых места. Какое место занял каждый из них, если Портос занял не второе и не третье место, а Арамис – не третье?
Решение
Условия задачи достаточно просты, чтобы воспользоваться методом рассуждений.
Портос занял не не второе и не третье место, значит он – первый. Из оставшихся мест Арамис – не третий, т. е. он второй. Атосу осталось третье место.
Ответ . Портос – первый, Арамис – второй, Атос – третий.
Напитки
В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся «Пепси», «Кока-кола», квас и «Спрайт». Известно, что «Спрайт» и «Пепси» не в бутылке, сосуд с «Кока-колой» находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не «Кока-кола» и не «Спрайт». Стакан находится около банки и сосуда с «Пепси». Как распределены эти жидкости по сосудам?
Решение
Воспользуемся табличным методом.
Из условий задачи получаем таблицу с запретами:
Так как каждая жидкость находится только в одном сосуде, то в в каждой строчке и каждом столбце может стоять только один «+». Взглянув на таблицу, можно сделать вывод, что «Пепси» в кувшине, а квас в банке. Получаем новую таблицу:
Теперь можно сказать, что «Спрайт» – в стакане, а «Кока-кола» в бутылке.
Ответ . Квас в банке; «Пепси» в кувшине; «Кока-кола» в бутылке; «Спрайт» в стакане.
Задачи для тренировки
1. Три поросенка
Жили-были на свете три поросёнка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет и какие цветы выращивает.
2. Кто с кем танцевал
Валентин, Николай, Владимир и Алексей пошли как-то со своими женами на танцы. Во время первого танца каждый из них танцевал не со своей женой. Лена танцевала с Валентином, Аня с мужем Наташи, Оля танцевала с мужем Ани, Николай с женой Владимира, а Владимир танцевал с женой Валентина..
Кто на ком женат? Кто с кем танцевал?
3. Офицеры
На одном вечере среди гостей оказалось пять офицеров: пехотинец, артиллерист, лётчик, связист и сапер. Один из них был капитаном, трое – майорами и один – подполковник. Также известно, что:
1. У Яноша такое же звание, как и у сапера и ещё одного офицера, который служит в другом роде войск;
2. Офицер связист и Ференц – неразлучные друзья;
3. На днях офицер-лётчик вместе с Белой и Лайошем побывал у кого-то в гостях;
4. Недавно у артиллериста перестал работать радиоприёмник и он попросил Лайоша помочь связисту устранить неисправность;
5. Ференц чуть было не стал лётчиком, но потом по совету своего друга сапера избрал другой род войск;
6. Янош по званию старше Лайоша, а Бела – старше Ференца;
7. Пятый офицер, Андраш, накануне вечера был в гостях у Лайоша.
Определите имя каждого офицера, его звание и род войск, в котором он служит.
4. Мушкетеры
Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:
• Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.
• Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.
• Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.
• Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.
Кто чем занимается?
5. Студенты
Дина, Соня, Коля, Рома и Миша учатся в институте. Их фамилии – Бойченко, Карпенко, Лысенко, Савченко и Шевченко.
Рома никогда не видел своей мамы.
Родители Дины никогда не встречались с родителями Коли.
Студенты Шевченко и Бойченко играют в одной баскетбольной команде.
Услышав, что родители Карпенко собираются поехать в город, мать Шевченко пришла к матери Карпенко и попросила, чтобы та отпустила своего сына к ним на вечер, но оказалось, что отец Коли уже договорился с родителями Карпенко и пригласил их сына к Коле.
Отец и мать Лысенко – хорошие друзья родителей Бойченко. Все четверо очень довольны, что их дети собираются пожениться.
Установите имя и фамилию каждого из молодых людей и девушек.
6. Семейные пары
Восемь семейных пар встретились, чтобы обменяться книгами. Мужья и жены, как это принято, носили одну и ту же фамилию, впридачу имели одинаковые профессии и водили одинаковые марки авто. У каждой пары был свой любимый цвет. И кроме того:
Маша Иванова и ее муж работали продавцами-консультантами
Книгу «Турецкий Гамбит» принесла пара, у которых были «хонды» и оба они любили красный цвет.
Сережа и Катя, его жена, любили коричневый.
Люба и Юра Егоровы обожали белый.
Света Петрова и ее муж работали логистами и водили «шкоды».
Наташа и ее муж Игорь взяли почитать «Ярмарку тщеславия».
Саша и его жена любили розовый и принесли «Пеппи длинный чулок».
Ира и Данила – менеджеры.
«Алису в зазеркалье» позаимствовала пара, которая водит «форды».
Зайцевы – юристы. Они принесли «Парфюмера».
Сидоровы – врачи. Они взяли «Фиесту».
Иван и его жена любят зеленый цвет.
Галине Соловьевой и ее мужу нравится синий.
Константин и его жена принесли «Фиесту». Они водят «лексусы».
Одна пара принесла книгу «Три мушкетера», а взяли почитать «Пеппи длинный чулок».
Пара, которая водит субару, любит фиолетовый.
Бухгалтеры взяли почитать «Три мушкетера».
Кассиры водят «нисан».
Анна и ее муж водят «опель» и принесли «Ярмарку тщеславия».
Они же взяли почитать книгу, которую принесли Хабаровы.
Коля и его жена любят желтый. Они взяли почитать «Сто лет одиночества».
Кривцовы работают программистами.
«Сто лет одиночества» была принесена парой, которая водит лады.
Вопрос:
Как зовут супругов в каждой паре, их фамилии, марки машин, какой цвет любят, какую книгу принесли, а какую взяли почитать, кем они работают?
Пересечения
Это тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Метод Эйлера является незаменимым при решении таких задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.
Иностранные языки
В туристической группе было 24 человека. Шесть из них не знали ни одного иностранного языка. Из остальных тринадцать знали английский язык. Четыре туриста, которые знали английский, могли говорить и по-немецки.
Сколько туристов знали только немецкий?
Решение
Задача достаточно проста, ее можно решить арифметически.
(24 – 6) – 13 = 5
Ответ. 5 туристов знали только немецкий язык.
Любимые мультфильмы
Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок».
Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма.
Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма.
Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение.
В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:
38– (11 +3 +1 +6 +2 +7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны». Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 +2 +1 +6 = 17 человек.
Ответ . 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
Задачи для тренировки
1. Волшебные книги
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
2. Пионерский лагерь
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
3. Экстрим
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
4. Помогите разобраться
В классе 15 человек говорят по-английски, 20 – по-итальянски, 8 – по-немецки; 3 – по-немецки и по-английски; 5 – по-немецки и по-итальянски; 6 – по-итальянски и по-английски. Сколько человек в классе, если всеми тремя языками владеет 1 человек?
Взвешивания
Задачи на взвешивание – весьма распространённый вид математических задач.
В таких задачах требуется обнаружить отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем сравнения между собой как отдельных предметов, так и целых групп.
Фальшивая монета
Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В нашем распоряжении лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.
Решение
Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся монеты и выявляем фальшивую (более легкую).
Если же одна группа из трех монет легче другой, значит именно в ней есть фальшивая монета. Из этой, более легкой группы кладем на весы две монеты и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит фальшивая третья монета, а если нет, то та, которая легче.
Мешки с золотом
Есть 10 мешков с золотом. В каждом по 10 монет. В девяти мешках монеты настоящие, а в одном – все фальшинвые. Одна настоящая монета весит 5 грамм, а фальшивая – 4 грамма. Есть весы, показывающие вес в граммах.
Необходимо за одно взвешивание точно определить, в каком мешке фальшивые монеты.
Мешки можно раскрывать и вытаскивать монеты
Решение
Пронумеруем мешки от 1 до 10. Вытащим из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее. Затем возьмем всю эту кучу монет и положим на весы. Если бы они все были настоящие, то общий вес составил бы 275 грамм (т. к. мы вытащили в общей сложности 55 монет).
Но в одном из мешков были фальшивые монеты. Если это был первый мешок, то вес будет на 1 грамм меньше (т. к. мы взяли оттуда 1 монету). Если фальшивые были во втором мешке, то на 2 грамма меньше. И так далее.
101 монета
Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.
Решение
Взвешиваем 50 и 50 монет: возможны 2 варианта.
Вариант 1. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку, вместо одной из имеющихся там:
а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;
б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.
Вариант 2. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:
а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;
б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
Задачи для тренировки
1. Буратино
У Буратино есть 27 золотых монет. Известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?
2. Ткань
Эта задача, хоть и совсем не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как у других задач этого раздела. Как от куска ткани, площадью в 2/3 кв. метра, отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?
3. Развесить чай
Как развесить 20 кг чая в 10 коробок по 2 кг в каждой за девять развесов, имея только гири на 5 и на 9 кг?
4. Спасение семейства
Король, его сын-принц и дочь-принцесса находились в темнице высокой башни. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно.
Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к концам длинного каната. Канат был перекинут через балку, вбитую под самой крышей. Получалось так, что, когда одна корзина находилась на земле, вторая находилась на уровне оконца в камере пленников. Эти корзины оставались единственной надеждой на спасение.
Естественно, как только одна корзина становилась тяжелее другой, она опускалась. Однако, если разница в весе превышала 15 фунтов, корзина стремительно неслась вниз.
Единственное, что помогло бы пленникам бежать, было находившееся в камере пушечное ядро весом 75 фунтов – его можно было использовать как противовес. Как пленникам удалось бежать?
5. Гвозди на весах
В коробке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?
6. Взвесить слона
Сможете ли вы повторить действия, которые предпринял в одной древней легенде восточный мудрец? Попробуйте. Вот условие.
Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы?
7. Весы затопило
На обыкновенных весах лежат: на одной чаше гранитный булыжник, весящий 2 кг, на другой – железная гиря в 2 кг. Останутся ли чашки весов в равновесии, если весы погрузить в воду?
8. Зарплата работника
Один из ваших работников настаивает на том, чтобы ему платили золотом. У вас есть золотой слиток, стоимость которого соответствует семидневной зарплате этого сотрудника. Он уже размечен на семь равных кусков. Если вам разрешили сделать всего два разреза слитка, а работнику нужно платить в конце каждого дня, как можно решить эту проблему?
Переливания
Рассмотрим еще один тип логических задач. Это задачи на переливания, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.
Карлсон и варенье
У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка – 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в маленькое ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.
Решение
Как получить 1 литр варенья: надо вылить лишнее варенье из четырехлитрового ведра в трехлитровое.
Шаг 1: из 7-литрового ведра наполняем 4-литровое ведерко. В большом ведре остается 3 литра.
Шаг 2: из 4-литрового ведерка наполняем 3-литровое. Остается искомый 1 литр варенья.
Шаг 3: из 3-литрового ведерка выливаем все варенье в большое ведро, где уже было 3 л. Теперь там 6 л варенья.
Можно оформить решение в виде таблицы:
Вино и вода
Перед вами два одинаковых фужера. В одном из них вино, в другом вода. Зачерпните чайную ложку воды и вылейте в фужер с вином. Хорошенько размешайте. А затем зачерпните чайную ложку полученной смеси и вылейте в фужер с водой. Чего больше: вина в фужере с водой или воды в фужере с вином?
Решение
Допустим, что в фужере 100 частей жидкости, а в ложке – 10 частей.
Берем из фужера 10 частей воды, переливаем в фужер с вином и перемешиваем. В фужере с водой осталось 90 частей.
В фужере с вином стало 100 +10 = 110 частей жидкости. А в ложке смеси из этого фужера одна одиннадцатая часть объема смеси. Следовательно, в ложке смеси содержится 9 1/11 часть вина и 10/11 частей воды. Все это переливаем в фужер с водой.
Теперь в фужере с водой 90 +10/11 частей воды и 91/11 часть вина, что в сумме дает 100 частей жидкости.
В фужере с вином осталось 9010/11 частей вина и 9 1/11 частей воды, что в сумме также составляет 100 частей жидкости.
Ответ: Обмен равноценный.
Этот же ответ можно получить и простым рассуждением: т. к. объем жидкости в обоих фужерах не изменился, то, какой объем воды перешел в другой фужер, такой же объем вина перешел обратно.
Ямайский ром
В одном порту моряк пришел в лавку с пустым бочонком на пять галлонов и попросил лавочника налить туда четыре галлона отборного ямайского рома. К несчастью, единственным сосудом для измерения был старый оловянный кувшин на три галлона. Как лавочник сумел точно отмерить четыре галлона с помощью этих двух емкостей?
Решение
Попробуем решить эту задачу методом блок-схем, результаты переливаний записываются в таблицу.
Ответ: за 8 шагов лавочник налил в бочонок 4 галлона рома.
Гарри Потер
У Гарри Потера имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Волшебное зелье должно варится 15 минут. Как сварить его Гарри Потеру, перевернув часы минимальное количество раз?
Решение
15 = (11 – 7) +11.
Нужно одновременно перевернуть часы, через 7 минут Гарри начинает варить зелье. После 4 минут (песок в часах на 11 минут закончится) вновь перевернуть часы на 11 минут.
Задачи для тренировки
1. Том Сойер
Тому Сойеру нужно покрасить забор. У него есть 12 л краски. Том хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью 8 л, а другой – 5 л.
Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?
2. Два шнура
У Вас есть два шнура (фитиля). Каждый шнур, подожженный с конца, полностью сгорает дотла ровно за один час, но при этом горит с неравномерной скоростью. Как при помощи этих шнуров и зажигалки отмерить время в 45 минут?
3. Винни-Пух
Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?
4. Как отлить половину воды
В кастрюлю правильной цилиндрической формы налита до верху вода. Каким образом, не имея под рукой никаких мерок и приспособлений, отлить из кастрюли такое количество воды, чтобы в ней осталось половина ее содержимого?
5. Вино
Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?
6. Три литра сока
Имеются трёхлитровая банка сока и две пустые банки: одна – литровая, другая – двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трёх банках было по одному литру?
7. Пельмени
Есть 5 кастрюль. Из них – четыре по 4 литра и одна 2-литровая. В первой кастрюле 1 литр воды, во второй 2 литра, в третьей 3 литра, в четвёртой 4 литра, а пятая кастрюля (которая вмещает 2 литра) пустая.
Как за 4 шага перелить кипящую воду для варки пельменей так, чтобы во всех кастрюлях было по 2 литра?
8. Отмерить время
При помощи только 4– и 7-минутных песочных часов точно отмерьте девять минут.
Ось времени
В этом разделе собраны логические задачи о времени. Вычислить дату, используя подсказки, вспомнить закономерность работы часов или определить чей-то возраст лишь по намекам – вот суть задач этой рубрики.
Когда?
«Когда послезавтра станет вчера», – сказал Андрей, – «то сегодня будет столь же далеко от воскресенья, как и тот день, который был сегодня, когда позавчера было завтра»
В какой день недели была произнесена эта фраза?
Решение
День, когда произносится эта фраза, считается «сегодня».
Отложим на оси времени 7 дней относительно «сегодня».
«Когда послезавтра станет вчера», то «сегодня» будет день №7.
«Когда позавчера было завтра», то «сегодня было днем №1.
Эти дни находятся на одинаковом расстоянии от дня №4, который является воскресеньем.
Ответ: эта фраза была произнесена в воскресенье.
Утро математика
– Доброе утро. Который сейчас час?
– Сложи четверть времени, прошедшего с полуночи до сейчас, с половиной времени от сейчас до полуночи.
– Спасибо я понял.
Так который сейчас час?
Решение
От полуночи до полуночи проходит 24 часа.
Если время с полуночи до сейчас = х, то время от сейчас до полуночи = 24 – х.
Получается уравнение
1/4 х +1/2 (24 – х) = х
х = 9.6 часа
Ответ: сейчас 9 часов 36 минут.
Задачи для тренировки
1. Часовой парадокс
Как можно объяснить, что в исправных часах за одну секунду минутная стрелка прошла 6 минут.
2. Что это за день?
Если этот день не идет вслед за понедельником и не перед четвергом, а завтра не воскресенье и вчера было не воскресенье, а послезавтра будет не суббота и позавчера была не среда, то что это за день?
3. Пять дней
Назовите пять дней, не называя чисел (напр., 1, 2, 3,..) и названий дней (напр., понедельник, вторник, среда…).
4. Инструмент для измерения времени
Инструмент для измерения времени с минимальным количеством движущихся элементов – это солнечные часы. Какой инструмент для измерения времени имеет максимальное количество подвижных элементов?
5. Жук
Жук ползет вверх по дереву, при этом в течении суток утром, днем и вечером он заползает на высоту 5 метров, а ночью спускается на 2 метра. Вопрос: в какой день и час жук заползет на высоту 9 метров, если начал он заползать на дерево в воскресенье в 6 часов утра?
6. Что было вчера?
Какой день недели был вчера, если четверг был за 4 дня до послезавтра.
7. Преподаватель логики повесил на дверь своего класса следующую записку: «Сегодняшний урок отменяется. Следующий урок состоится в час дня по прошествии трех дней со дня, который наступит на два дня раньше дня, который будет на день раньше завтра». Так когда же будет следующий урок?
8. Ваш босс уехал за город. Его секретарь за что-то сердит на вас. Поэтому он говорит вам: «Босс хочет видеть вас у себя в кабинете в 8.30 утра через два дня после дня, который будет перед днем после завтрашнего». В какой день недели вы в 8.30 утра появитесь в кабинете своего босса, если сегодня вторник?
9. Веревочная лестница
Недалеко от берега стоит корабль со спущенной веревочной лестницей. У лестницы 15 ступеней. Расстояние между ступенями45 см. Самая нижняя ступень касается поверхности воды. Вдруг начинается прилив, благодаря которому уровень воды поднимается каждый час на 15 см. Вопрос: через какой промежуток времени уровень воды достигнет третьей ступени?
10. Дан ряд букв: А Б В Г Д Е Ж З
Какая буква стоит на две буквы левее буквы, которая находится сразу слева от четвертой буквы направо от буквы, которая находится слева от буквы, которая на две буквы левее буквы Г?
Истина – ложь
Истинностные задачи – это задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний.
Город лжецов и правдивых
Два близлежащих города. В одном все лжецы, а в другом правдолюбы. И те, и другие приезжают друг к другу в гости. Какой нужно задать единственный вопрос прохожему, что бы узнать, в каком вы находитесь городе?
Решение
Надо спросить: Вы здесь в гостях?
Если ответ «да», то вы в городе лжецов. А если ответ «нет», то в городе правдолюбов.
Угонщик велосипедов
Колю, Сашу и Юру допрашивали в милиции в связи с кражей велосипеда. Коля сказал, что велосипед украл Саша. Саша заявил, что он невиновен. Юра сказал, что и он не вор. Милиционер знал, что только один из них говорит правду. Кто украл велосипед?
Решение
Если велосипед украл Коля, то Саша и Юра говорят правду. Если украл Саша, то и Коля и Юра говорят правду. Если украл Юра, то правду говорит только Саша. Значит вор – Юра.
Волшебная фраза
Один путешественник был захвачен племенем, вождь которого решил, что тот должен умереть. Вождь был очень мудрым человеком и дал путешественнику право выбора. Путешественник должен был сказать одну фразу. Если фраза оказывалась правдивой, то его сбрасывали с высокой скалы. Если она была лживой, то путешественника должны были растерзать львы. Но путешественник сказал такую фразу, после которой его отпустили. Какую?
Решение
Он сказал: «Меня растерзают львы». Теперь, если бы вождь отдал его на растерзание львам, то эта фраза оказалась бы правдивой, и путешественника должны были бы сбросить со скалы. Но если его сбросят со скалы, то фраза окажется лживой. Вождь признал, что единственно правильным решением будет отпустить путешественника.
Задачи для тренировки
1. Лживые и правдивые школьники
В одном классе ученики разделились на две группы. Одни должны были всегда говорить только правду, а другие – только неправду. Все ученики класса написали сочинение на свободную тему, которое должно было заканчиваться фразой «Всё здесь написанное, правда» или «Всё здесь написанное, ложь». В классе было 17 правдолюбцев и 18 лжецов. Сколько получилось сочинений с утверждением о правдивости написанного?
2. Обсуждение ответа
Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.
Коля сказал: «Это число 9».
Роман: «Это простое число».
Катя: «Это четное число».
А Наташа сказала, что это число – 15.
Назовите это число, если ошиблись одна из девочек и один из мальчиков.
3. Кто разбил окно?
Пять мальчиков играли во дворе в футбол и разбили мячом окно.
Ваня сказал: «Это или Паша, или Денис».
Паша сказал: «Это сделал не я и не Вова».
Митя сказал: «По-моему, один из них говорит правду, а другой – нет».
А Вова сказал: «Митя, ты ошибаешься».
А бабушка сидела на лавочке и всё видела. Она сказала, что только один мальчик сказал неправду, но не выдала того, кто разбил окно.
Но ведь вы и сами догадаетесь.
4. Алиса, Лев и Единорог
Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом. Странные это были существа. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Единорог же вел себя иначе: он лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни недели. Они высказали следующие утверждения:
Лев. Вчера был один из дней, когда я лгу.
Единорог. Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.
Из этих двух высказываний Алиса сумела вывести, какой день недели был вчера.
Что это был за день?
5. Расстрелять или повесить
Один преступник был отдан под суд. В процессе суда он оказался перед нелегким выбором. «Суд признает вас виновным», – услышал подсудимый. «Прежде чем приговор будет приведен в исполнение, вам предоставляется последнее слово. Все зависит от вас: если вы скажете правду, вас повесят, а если солжете – вас расстреляют». Преступник, не задумываясь, выпалил: «Меня расстреляют». Обдумайте его ответ и скажите, какую участь уготовила ему судьба.
6. Кто есть кто?
Представьте, что вы пришли устраиваться в маленькую, но подающую большие надежды компанию. Директор решает познакомить вас со своей командой. Он зовет троих сотрудников: дизайнера, программиста и админа.
Первый заходит и с порога бодро заявляет: «Я дизайнер». Следом второй, таинственно улыбаясь: «Я не дизайнер». Через минуту входит третий, усталый на вид и, покачивая головой, отнекивается: «Я не программист».
Директор, откидываясь на спинку кресла и растягиваясь в хитрой улыбке, замечает: «Только один правду сказал! Как тут догадаться кто из них кто?»
7. Торговцы и гончары
В одном городе все люди были торговцами или гончарами. Торговцы всегда говорили неправду, а гончары – правду. Когда все люди собрались на площади, каждый из собравшихся сказал остальным : «Вы все торговцы!» Сколько гончаров было в этом городе?
Умственные (интеллектуальные) способности и инерция мышления человека находятся в прямой взаимозависимости друг от друга.
Умственные способности в своем развитии поднимают человека на новый уровень, помогают овладеть новыми высотами. А инерция мышления тянет вниз, старается задержать человека в прежнем, уже привычном состоянии.
Чем сильнее психологическая инерция, тем меньше развиты интеллектуальные способности. И наоборот, чем сильнее логичность, гибкость, диалектичность, глубина ума и прочие качества мышления, тем легче и успешней мы вырываемся из ограничительных барьеров.
Как и в любом виде спорта, умственные тренировки позволяют нарастить интеллектуальные «мускулы», но для большей надежности хорошо бы еще ослабить тягу инерции.
Этой цели служит методика РТВ – развитие творческого воображения.
Умение фантазировать – очень важное и совершенно необходимое качество креативности.
В полной мере этим качеством владеют маленькие дети. Со временем школа, семья, условия жизни в технически развитом обществе накладывают свои ограничения. Человек начинает понимать, что «так не бывает».
В конце 19 века французский психолог Т. Рибо провел исследование уровня воображения у детей и подростков. Оказалось, что наивысшего уровня достигает воображение 14—15-летних подростков. Затем наступает спад, и устанавливается некоторый постоянный уровень.
Обследование советских школьников второй половины 20 века по материалам газеты «Пионерская правда» показало, что пик фантазии наступает гораздо раньше, в 11—12 лет, а минимум воображения приходится на время окончания ВУЗа.
Современные дети начала 21 века уже в первом-втором классе отлично знают, «как должно быть» и «как не бывает», что сильно ограничивает полет фантазии и способность к генерированию новых идей.