История

Не задумываясь, мы проводим операции вида +а — а = 0. Никому в голову не приходит, что здесь три полярности +, -, 0.

Всякий раз совершается «срез», когда появляется «два обратных элемента», таких, что, например, + 6–4 = + 2. Здесь +4–4 = 0. Куда исчезли +4 и -4?

[править]Плоскостная поляризация

Такая лока имеет три полярности. Обозначим их А, В, С. Четвертого не дано.

Теорема 3.

В трёхполярной локе законы отношений будут:

а) А + В = С, А + С = А, В + С = В.

b) С + С = С.

Доказательство.

1. Если, согласно аксиомам 2 и 3, А + В = А или В, то эти полярности принимают роль 0. Остаётся А + В = С.

2. Точно так же, если А + С = С, то А принимает роль нуля, но ноль уже определён. Если А + С = В, то 2А = С и 2А = В. Остаётся А + С = А.

3. Подобными рассуждениями получим В + С = В.

4. И окончательно из п.1, п.2 и п.3 будет С + С = С. А + А = В, иначе, если А + А = А, то А превращается в 0, если А + А = С, то это противоречит п.1.

5. Следовательно, А + А + А = 0.

6. Такими же рассуждениями В + В = А и В + В + В = 0.

7. В дальнейшем 3A = 0, 3B = 0, 4А = А, 4В = В.

8. В общем (2n + 3)A = 0, (2n + 3)B = 0, (2n+ 4)A = A, (2n + 4)B = B, но так, что каждые 2А = В, 2В = А.

 

История

Хотя в алгебре «действительных чисел» используются отношения а) (+)*(+) = +, б) (+)*(-) = —, в) (-)*(+) = —, г) (-)*(-) = +, но в теории групп уже появляется три полярных объекта а/а = е. Здесь е — единица такая, что (е)*(е) = е, (е)*(а) = а.

Если посмотреть внимательно, то + выполняет роль единицы, но в двухполярном отношении, так, что (+)*(+) = +.

Конечно, в теорию групп вошли понятия из «арифметического опыта», но то, что деление «растягивает» пространство, увеличивая его на одну полярность, никто не заметил. Если бы это математики заметили, то алгебра трёхполярных отношений выглядела бы иначе, чем алгебра действительных чисел. Кстати, именно, на связь с действительным миром нацелились теория групп, кольцо, поле, тело и прочие изобретения «опосля», то есть после опыта в арифметике.