В некотором царстве, в некотором государстве, в стране, где обитают не люди, а числа, живет маленький, но любознательный Нулик. Никогда не упускает он случая разузнать что-нибудь новое о своих соотечественниках, об их удивительных свойствах и отношениях и потому много путешествует. Однажды он даже нанялся юнгой на фрегат отважного капитана Единицы, который не один год плавал по математическим морям и океанам.
Долгие беседы с мудрым капитаном, необычайные встречи и приключения принесли Нулику огромную пользу, и он подробно описал их в судовом журнале, куда, как известно, ежедневно заносятся все путевые происшествия. Я читал его записки не раз и всегда с превеликим удовольствием. Мне даже посчастливилось издать их.
Но одна из этих записей заслуживает, по-моему, особого внимания, потому что касается музыки, а музыку я люблю не меньше математики. Тем более, что они, оказывается, тесно связаны. Да, музыка и числа — близкие родственники. Между ними много общего. Вы удивлены? Вы ждете разъяснений? Тогда загляните в записки Нулика. Они вам все объяснят не хуже меня.
16 нулял я
За одну ночь наш волшебный фрегат перенесся почти на две с половиной тысячи лет назад, и мы очутились в Древней Греции, на острове Математа.
— Опять что-то математическое! — подумал я, но тут же у пристани увидел здание с колоннами, на фронтоне которого было написано: ПИФАГОРЕЙСКАЯ МУЗЫКАЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА.
Вот это здорово! Что может быть лучше музыки? Я готов ее слушать с утра до вечера. Особенно ноктюрны Шопена. Одно непонятно: почему школа музыкально-математическая? Ведь все знают, что математика и музыка совсем разные вещи.
— Ошибаешься, — сказал капитан Единица, услыхав мои рассуждения. — В Древней Греции слово математика, вернее математа означает наука. Не какая-нибудь одна, а наука вообще. И пифагорейцы, последователи древнегреческого ученого Пифагора, занимались четырьмя науками: астрономией, геометрией, арифметикой и музыкой.
— Ну! — удивился я. — А я-то думал, музыка — искусство.
— Конечно, искусство, — подтвердил капитан, — искусство, основанное на гармонии. Но…
— Не только на гармони, — перебил я. — И на рояле, и на скрипке, и еще на этом… как его… саксофоне…
Капитан засмеялся. Оказывается, он имел в виду не гармонь— музыкальный инструмент, а гармонию — науку о созвучиях, то есть о соразмерном слиянии музыкальных звуков.
Слияние музыкальных звуков! Красиво сказано. Но при чем тут математика?
— Да при том, что гармония без математики не обходится, — пояснил капитан, — что и показал Пифагор.
— Выходит, чтобы играть на скрипке, надо знать таблицу умножения?
Капитан проворчал, что это в любом случае не помешает, и тут же спросил:
— Задумывался ты когда-нибудь, отчего звучит скрипичная струна?
— Что тут думать! Водят по струне смычком, она и звучит.
Капитан усмехнулся.
— Очень просто у тебя все получается. Да будет тебе известно: струна звучит потому, что ее заставляет колебаться смычок. Колебания струны, в свою очередь, заставляют колебаться воздух, отчего возникают звуковые волны. Звуковые волны попадают к нам в уши и колеблют барабанные перепонки…
— Вот оно что! — обрадовался я. — Теперь я понимаю, почему мама говорит: «Ах, эта музыка так меня взволновала!» Всему причиной звуковые волны.
Капитан расхохотался. Но долго смеяться ему не пришлось, потому что я забросал его вопросами.
— Почему одни звуки бывают тонкие, — спросил я, — а другие толстые?
— Ты хочешь сказать — низкие, — поправил капитан. — Высота звука зависит от многих причин. От толщины струны, от ее длины. Чем струна короче, тем звуки тоньше или, как говорят, выше.
— Вот и нет! — не согласился я. — У рояля струны и впрямь разной длины, зато у скрипки одна и та же струна издает самые разные звуки: писклявые — и-и-и-и! — или густые — у-у-у-у!
— Не утруждайся, пожалуйста, я уже понял, — поморщился капитан. — Лучше скажи, неужели ты не заметил, что скрипач, играя, прижимает струну пальцем? И звучит при этом, стало быть, не вся струна, а только часть ее.
— Правда? А я и не знал…
— Эх ты! Это еще в Древнем Вавилоне знали.
— А Древний Вавилон древнее Древней Греции?
— Намного.
— Так при чем же здесь Пифагор?
Капитан поднял палец:
— А при том, что он первый вычислил, на какие части надо делить струну, чтобы получать звуки разной высоты. И помогли ему арифметика и геометрия.
Тут капитан подвел меня к какому-то юному древнему греку, который раскладывал на столе орехи. Я спросил, чем он занимается.
— Гармонией, — ответил юный древний грек. — Строю треугольник. Равносторонний треугольник из десяти орехов.
— Почему так мало? Я бы съел побольше, — сострил я.
— С меня хватит и десяти, — улыбнулся тот. — Десять — замечательное число. Оно есть сумма первых четырех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 и относится к треугольным числам.
— Отчего же не к круглым? — фыркнул я.
— Оттого, что из слагаемых его можно построить треугольник. Видишь, — мальчик быстро разложил орехи треугольником, — в первом ряду — один орех, во втором — два, в третьем — три и, наконец, в четвертом — четыре.
Треугольник как треугольник. Но при чем здесь все-таки гармония? Так я этого и не выяснил, потому что капитан подвел меня к следующему столу, где другой юный древний грек делил натуральные числа. Выяснилось, что и он занимается гармонией: ищет гармонию числовых отношений. По словам этого «гармониста», в числах тоже, видите ли, есть своя гармония, основанная на отношениях все тех же четырех чисел: 1, 2, 3 и 4. И обнаружил эти гармонические отношения все тот же Пифагор.
Пифагор, Пифагор… У меня от него уже в ушах стреляет: пиф-паф, пиф-паф! И я очень обрадовался, когда капитан потащил меня к третьему столу. Длинному-предлинному. Здесь работал уже не мальчик, а самый что ни на есть древний грек с пышной курчавой бородой.
— Гиппáс, ученик Пифагора, — представился он.
Опять Пифагор! Я только вздохнул.
Побеседовав со стариком, мы узнали, что он возглавляет сейчас пифагорейскую школу и тоже изучает гармонию, на сей раз — звуков.
На столе у него лежала длинная линейка. На линейку была натянута струна. Бородач ущипнул ее, и она издала низкий гудящий звук. Потом он прижал струну пальцем посередине и предложил мне ущипнуть одну из половинок. Я не заставил себя упрашивать. Звук получился потоньше.
— Выше на целую октаву, — сказал капитан Единица.
— Как вы говорите? — переспросил Гиппас. — На октаву? Мы, греки, называем это иначе, но не в том суть.
Он разделил половинку струны снова пополам и предложил мне ущипнуть одну из четвертушек. Струна зазвучала еще выше, и опять на целую октаву. Потом мы заставляли звучать одну восьмую, одну шестнадцатую струны и каждый раз получали звук октавой выше предыдущего.
Было очень интересно, и я щипал вовсю, даже палец заболел. Пришлось спросить: долго это будет продолжаться? Но старик сказал — совсем недолго, если, конечно, щипать по одному разу, а не по двадцать, ибо Пифагор (слава Зевсу!) разделил струну всего на семь октав.
Тут я не выдержал и спросил:
— Уважаемый Гиппас, скажите, наконец, кто вы? Музыкант или математик?
— И то и другое вместе, — ответил он, пожав плечами. — Все мы здесь музыканты-математики. Ведь музыка построена на соотношении чисел. Я уже добрых полчаса об этом толкую. Октава, например, получается при делении струны пополам. Стало быть, это отношение двух к одному — 2 : 1…
— Допустим, — сказал я, — но что общего между музыкой и отношением чисел в ореховом треугольнике?
— Очень много, и сейчас ты в этом убедишься.
Гиппас прижал струну пальцем на расстоянии одной трети от края.
— Видишь, — пояснил он, — струна разделена на две неодинаковые части. Одна из них равна двум третям, другая — одной трети. Значит, длина всей струны относится к большей ее части как три к двум — 3: 2. Тронем большую часть струны — она зазвучит выше, чем вся струна…
— И теперь уже не на октаву, а всего лишь на квинту, — вставил капитан.
— Да, да, — закивал Гиппас, — по-вашему это называется квинтой. Снова отложим на меньшем отрезке струны две трети — получим…
— Опять квинту! — подхватил я.
— Ты определенно делаешь успехи! — просиял Гиппас. — Еще раз разделим таким же способом меньшую часть струны и так далее… Пока не дойдем до конца. И окажется, что на струне, состоящей из семи октав, укладывается двенадцать квинт.
— Подумать только! Точно двенадцать! — восхитился я.
— Гм… — Гиппас помедлил. — В том-то и беда, что не совсем точно. Двенадцать квинт чуть-чуть длиннее семи октав. Правда, разность между ними совсем ничтожна. Это легко подсчитать. Сложим семь октав — семь отрезков струны:
А теперь сложим двенадцать отрезков, образующих квинты:
— Остается вычесть из большей суммы меньшую, — сказал я. — 0,99999 — 0,99218 = 0,00781. Да, разность и в самом деле пустяшная.
Гиппас посмотрел куда-то вбок и вздохнул.
— Так-то оно так, и все же… Иногда пустяки портят всю музыку, — невесело пошутил он.
Я хотел спросить, что его так огорчает, да побоялся показаться невежей и поскорее перевел разговор на другую тему.
— Помнится, в ореховом треугольнике есть еще число 4. О нем вы пока ничего не сказали.
— В самом деле, — встрепенулся старик. — Между тем, отношение четырех к трем — 4 : 3 — тоже великолепное. Оно дает… Как это по-вашему? — обернулся он к капитану.
— Кварту, — подсказал тот.
Гиппас поблагодарил его кивком головы и продолжал:
— Так вот, чтобы получить эту самую кварту, надо заставить звучать три четверти струны. И заметьте: октава больше квинты как раз на кварту.
— Ну, это еще надо проверить, — усомнился я.
Бородач насмешливо улыбнулся.
— Кто ж тебе мешает? Раздели отношение 2 : 1 на 3 : 2.
Ну, я, понятно, разделил и получил четыре третьих, чем
очень обрадовал старика.
— Теперь, надеюсь, — сказал он, — ты не сомневаешься, что все четыре числа этого орехового или совершенного, как называл его Пифагор, треугольника находятся между собой в великолепнейших гармонических отношениях.
— Не сомневаюсь, не сомневаюсь, — бодро заверил я, — но что такое октава, кварта и квинта? До конца я этого так и не понял.
Гиппас почесал переносицу.
— Гм, как тебе сказать… Представь себе, что струна это лесенка из сорока двух ступенек. Представил? Прекрасно. Так вот октава — всего лишь восемь ступенек этой лестницы. Оттого, собственно, ее и называют октавой. От латинского окто — восемь. Кварта состоит из четырех ступенек, квинта— из пяти. Названия эти идут опять-таки от латинского кварто и квинто — четыре и пять. А вот разность между квинтой и квартой условились принимать за один музыкальный тон.
— А тон тоже можно выразить числовым отношением? — поинтересовался я.
Оказалось, очень даже можно: стоит только вычислить, во сколько раз квинта (3 : 2) больше кварты (4 : 3 ). Ну, это нам пара пустяков! Я молниеносно разделил отношение 3 : 2 на отношение 4 : 3 и во всеуслышание объявил, что одному музыкальному тону соответствует отношение 9 : 8.
Гиппас назвал меня гениальным ребенком и тут же сообщил, что числа 8 и 9 тоже замечательные. Они входят в другую четверку натуральных чисел — 6, 8, 9 и 12, не менее удивительную, чем 1, 2, 3, 4. Он уж хотел перейти к объяснениям, но я опередил его. Мне захотелось самому разобраться в этой новой четверке, и я довольно быстро подсчитал, что отношение 12 : 6 равно отношению 2 : 1, то есть октаве. Отношение 12 : 8 равно отношению 3 : 2, а это квинта. И, наконец, 12 : 9 равно 4 : 3, или кварте.
После этого Гиппас окончательно расчувствовался.
— Спасибо, друг! Утешил старика! Дай я тебя поцелую,— бормотал он, утирая слезы умиления. — Жаль только, что ты ничего не сказал о числе 9. А ведь это не что иное, как среднее арифметическое между шестью и двенадцатью: 
Да и 8 тоже число ничего себе. Можно сказать, превосходное число, хоть и среднее…
— Среднее геометрическое? — предположил я, сгорая от любопытства.
— Среднее гармоническое! — торжественно заявил Гиппас. — Да, есть и такое «среднее» в математике. Иначе говоря, удвоенное произведение двух чисел, деленное на их же сумму. Так вот, 8 — это среднее гармоническое шести и двенадцати: 
Я хотел поблагодарить его за новость, но тут он вспомнил, что ничего не сказал о числе 12, тоже весьма любопытном. Потому что именно двенадцать квинт уложил Пифагор в семи октавах. Кажется, он хотел сказать еще что-то, но вдруг спохватился и посмотрел на меня виноватыми глазами:
— Ты устал. Надоел я тебе со своими числами…
— Что вы, что вы! — горячо запротестовал я. — Без числовых отношений мне теперь музыка не музыка!
Не без сожаления покинули мы словоохотливого Гиппаса и отправились обратно на фрегат.
Всю дорогу сопровождала нас чудесная мелодия. Такая плавная, нежная. Жаль, среди приятных звуков нет-нет да попадались фальшивые, вроде волчьего воя. Потом музыка смолкла и голос откуда-то с облаков объявил:
— По просьбе богини Артемиды дельфийской секстет монохордисток исполнил Ноктюрн Пифагора.
— Все-таки молодчина этот Пифагор! — сказал я. — Математик и композитор. Ноктюрны сочинял. Только почему в этом ноктюрне волки завывают?
— Неужели не понимаешь? Все дело в разности, — объяснил капитан. — В маленькой разности между семью октавами и двенадцатью квинтами.
— Но почему волки завывают только в ноктюрнах Пифагора? — не отставал я. — В ноктюрнах Шопена, помнится, никаких волков нет.
Капитан и тут оказался на большой музыкально-математической высоте. По его словам, Шопен писал музыку совсем для другого музыкального строя.
Дело в том, что музыканты давным-давно стремились избавиться от неприятных завываний. Им помогали многие известные математики: Кеплер, Паскаль, Лейбниц, Лаплас, Эйлер…
Но лучше всех справился с задачей органист Андрей Веркмейстер в XVII веке. Он вышел из положения просто и остроумно: чуть-чуть укоротил квинту. И все двенадцать квинт точно уложились в семи октавах. А еще Веркмейстер выровнял интервалы между тонами. Иначе говоря, расположил их равномерно. Это называется темперацией. Так вот, темперация Веркмейстера и стала основой современного музыкального строя.
Первым темперацию принял великий немецкий музыкант Иоганн Себастьян Бах: все знают его замечательное сочинение «Хорошо темперированный клавир». С тех пор новым музыкальным строем стали пользоваться почти все крупные композиторы.
— Почему же «почти», а не все до единого? — заинтересовался я.
— Новое всегда с трудом пробивает себе дорогу, — вздохнул капитан. — Великий Бах принял темперацию сразу, а великий Гендель так никогда и не признал ее.
Как только мы вернулись на фрегат, капитан повел меня в салон и открыл рояль, на котором охотно играл в свободное время.
— Вот инструмент современного строя. Здесь разность звучания между двумя любыми соседними струнами соответствует одному полутону. Квинта, как видишь, состоит из семи полутонов, то есть из трех с половиной тонов. — Он одновременно нажал две клавиши: до и соль. — А в октаве двенадцать полутонов или шесть целых тонов. Если шесть умножить на семь, то есть на число пифагорейских октав, получится 42. То же число получится, если 12 — то есть число квинт в пифагорейской струне — умножить на 3, 5. Вот и выходит, что двенадцать квинт точно укладываются в семи октавах. А теперь давай-ка отложим все двенадцать квинт одну за другой, начиная с нижнего до.
Так мы и сделали. И что бы вы думали? Через каждые три с половиной тона мы попадали на новую, ранее неиспользованную нами ноту: до — соль — ре — ля — ми — си — фа-диез — до-диез — соль-диез — ре-диез — ля-диез — фа и, наконец, снова до!
— Если все тона этих двенадцати квинт свести в одну октаву, получится двенадцать полутонов хроматической гаммы, — заключил капитан. — Но несмотря на то, что пифагорейский музыкальный строй дошел до нас в измененном виде, мы все равно чтим того, кто его изобрел. Ведь он первый заставил математику служить музыке и объединил таким образом искусство и науку.
В ту ночь мне привиделся странный сон: Иоганн Себастьян Бах в длинном пудреном парике и бархатном кафтане сражался со стаей волков, яростно размахивая дирижерской палочкой. Волки жалобно выли.
