Евклид дал определение золотому сечению, поскольку был заинтересован в применении этой несложной пропорции для построения правильного пятиугольника и пентаграммы. Если бы практическое применение золотого сечения этим и ограничивалось, я не стал бы писать эту книгу. Золотое сечение приносит нам столько радости и сегодня во многом потому, что не скупится на сюрпризы. Оказалось, что золотое сечение, с одной стороны, самая простая из непрерывных дробей (и при этом «самое иррациональное» из всех иррациональных чисел), а с другой – сущность бесконечного множества сложнейших природных явлений. Золотое сечение выскакивает, как чертик из табакерки, всякий раз, когда пересекается простое и сложное, Евклидова геометрия и геометрия фракталов.
Пожалуй, удовольствие от нежданных появлений золотого сечения на удивление близко к чувственному визуальному удовольствию от произведения искусства. А это заставляет задаться вопросом, какого рода эстетические критерии применимы в математике, а конкретнее – что, собственно, имел в виду знаменитый английский математик Годфри Гарольд Харди (1877–1947), когда сказал: «У математика, как и у поэта и у живописца, должны получаться красивые узоры».
Вопрос этот не из простых. Когда я рассказывал о психологических экспериментах, изучавших визуальную привлекательность золотого сечения, то умышленно избегал слова «красивый». Ту же линию поведения я изберу и здесь, поскольку определение красоты связано с неопределенностью. В какой степени глаз взирающего на математические выкладки воспринимает их красоту, прекрасно видно на примере истории, которую рассказали Филипп Дж. Дэвис и Реубен Херш в своей прекрасной книге «Опыт общения с математикой» (Philip J. Davis, Reuben Hersh. The Mathematical Experience, 1981).
В 1976 году делегация выдающихся математиков из США была приглашена в КНР, чтобы выступить с циклом лекций и провести ряд неофициальных встреч с китайскими математиками. Впоследствии делегация опубликовала доклад под названием «Чистая и прикладная математика в КНР». Под «чистой» математикой сами математики обычно подразумевают те области этой науки, которые, по крайней мере на сторонний взгляд, не имеют прямого отношения к миру вне разума ученого. В то же время нам следует понимать, что мозаики Пенроуза и случайные последовательности Фибоначчи, в частности, представляют собой два из великого множества примеров, когда «чистая» математика превращается в «прикладную». В докладе был приведен диалог между принстонским математиком Джозефом Дж. Коном и одним из китайских математиков, которые принимали делегацию. Диалог был о «красоте математики» и произошел в шанхайском университете Хуа Тун.
Кон: Неужели вы не должны демонстрировать красоту математики? Разве она не вдохновляет студентов? Остается ли место для красоты в науке?
Ответ: Главное требование – производительность.
Кон: Это не ответ.
Ответ: Геометрия была разработана в практических целях. Эволюция геометрии не могла удовлетворить нужды науки и технического прогресса, и в XVII веке Декарт открыл аналитическую геометрию. Он анализировал поршни и токарные станки и одновременно – принципы аналитической геометрии. Труды Ньютона обусловлены развитием промышленности. Ньютон сказал: «Основа любой теории – общественная практика». Общепринятой теории красоты не существует. Одним кажется красивым одно, другим – другое. Социалистическое строительство – это очень красиво, это вдохновляет наш народ. До Культурной революции некоторые из нас верили в красоту математики, однако не могли решить практических задач, а теперь мы имеем дело с газовыми и водопроводными трубами, с кабелями и прокатными станами. Мы делаем это на благо страны, и рабочие это ценят. Это чувство и есть настоящая красота.
Поскольку, как недвусмысленно заявлено в этом диалоге, едва ли существуют официальные, общепризнанные критерии красоты в математике и правила, согласно которым их следует применять, я и предпочту говорить лишь об одной конкретной составляющей математики, которая неизменно доставляет удовольствие как специалистам, так и неспециалистам: о способности изумлять.
Математика должна изумлять
В письме, написанном 27 февраля 1818 года, английский поэт-романтик Джон Китс (1795–1821) писал: «Поэзия должна изумлять отточенным превосходством, а не оригинальностью, она должна изумлять читателя, будто воплощение в словах его собственных высочайших помыслов, и казаться чуть ли не воспоминанием». Математика, в отличие от поэзии, вызывает восторг скорее тогда, когда приводит к неожиданным результатам, чем когда подтверждает ожидания читателя. Кроме того, удовольствие, которое доставляет математика, во многих случаях как раз связано с неожиданностью, когда получаешь совершенно непредвиденные результаты и выявляешь поразительные соотношения. Прелестный пример математического соотношения, в истории которого сочетаются все эти элементы, что и приносит огромное удовольствие – это так называемый «закон Бенфорда».
Заглянем, к примеру, в ежегодник «World Almanac», где собраны примечательные факты и всевозможная статистика, и найдем там таблицу «Рынок фермерских товаров в США по штатам» за 1999 год. Там есть колонки «Зерновые культуры» и «Продукты животноводства». Данные приведены в долларах. Наверное, вы считаете, что числа, начинающиеся с цифр от 1 до 9, встречаются среди этих данных примерно с одинаковой частотой. То есть числа, запись которых начинается с 1, составят приблизительно одну девятую всех приведенных чисел, как и числа, запись которых начинается с 9. Однако если их подсчитать, то окажется, что цифра 1 на первой позиции появляется в 32 % случаев, а не в 11, как было бы, если бы цифры появлялись с равной частотой. Цифра 2 также появляется чаще, чем ей полагалось бы – в 19 % случаев. А вот цифра 9 встречается лишь в 5 % случаев, реже, чем ожидается. Вы скажете, что подобная картина в одной случайно выбранной таблице – это странно и даже курьезно, но не то чтобы изумляет; однако стоит вам изучить еще несколько страниц ежегодника (вышеуказанные данные взяты из издания за 2001 год), и впечатление изменится. Заглянем, например, в таблицу, где сведены данные о жертвах «Самых крупных землетрясений» – и обнаружим, что числа, начинающиеся с 1, составляют примерно 38 % всех чисел, а начинающиеся с 2–18 %. Если взять совсем другую таблицу – например, с данными о жителях штата Массачусетс, обитающих в городах с населением свыше 5000 человек, – числа, начинающиеся с 1, составят 36 %, а числа, начинающиеся с 2, примерно 16,5 %. С другой стороны, цифра 9 на первой позиции появляется в этих таблицах лишь примерно в 5 % случаев, гораздо меньше, чем ожидаемые 11 %. Как же получается, что таблицы, в которых приведены столь разнообразные и, очевидно, несвязанные данные, обладают общим свойством, что цифра 1 на первом месте появляется в 30 с чем-то процентах случаев, а цифра девять – приблизительно в 18 % случаев? Ситуация еще сильнее запутывается, если изучить более объемные базы данных. Например, преподаватель бухгалтерского дела Марк Нигрини из школы бизнеса имени Кокса при Южном методистском университете в Далласе изучил население 3141 округов по данным переписи населения США за 1990 год. Он обнаружил, что цифра 1 появляется на первом месте приблизительно в 32 % случаев, 2 – примерно в 17 %, 3 – в 14 %, а 9 – менее чем в 5 %. Аналитик Эдуардо Лей из организации «Resources for the Future» («Ресурсы для будущего») в Вашингтоне обнаружил очень похожую статистику в промышленном индексе Доу-Джонса за 1990 и 1993 годы. Но этого мало, есть и еще один поразительный факт. Если исследовать список, скажем, первых двух тысяч чисел Фибоначчи, то обнаружится, что цифра 1 на первом месте появляется в 30 % случаев, цифра 2 – в 17,65 %, 3 – в 12,5 % – и это количество продолжает падать: число 9 на первом месте появляется всего в 4,6 % случаев. То есть числа Фибоначчи чаще всего начинаются с 1, а другие цифры на первом месте теряют популярность в точности по той же закономерности, что и только что описанные случайные выборки чисел!
«Феномен первой цифры» первым отметил астроном и математик Саймон Ньюкомб (1835–1909) в 1881 году. Он обратил внимание, что в логарифмических таблицах в библиотеке, которыми тогда пользовались при вычислениях, страницы, где были напечатаны числа, начинающиеся с 1 и 2, значительно грязнее последующих, а к концу таблицы становятся все чище и чище. Если бы это были скверные романы, которые читатели бросали на середине, это еще можно было бы понять, однако в случае математических таблиц это очевидно показывало, что числа, начинающиеся с 1 и 2, встречаются чаще других. Однако Ньюкомб не просто установил этот факт, а пошел гораздо дальше – он вывел формулу, которая должна была показывать, с какой вероятностью случайное число начинается с конкретной цифры. Эта формула – она дана в Приложении 9 – дает для 1 вероятность в 30 %, для 2 – примерно 17,6 %, для 3 – около 12,5 %, для 4 – около 9,7 %, для 5 – примерно 8 %, для 6 – приблизительно 6,7 %, для 7 – где-то 5,8 %, для 8 – приблизительно 5 % и для 9 – примерно 4,6 %. Статья Ньюкомба, опубликованная в 1881 году в «American Journal of Mathematics», и открытый им «закон» остались совершенно незамеченными, однако миновало целых 57 лет, и физик Фрэнк Бенфорд из «General Electric» заново открыл этот закон – надо полагать, независимо – и проверил его на огромных массивах данных о речных бассейнах, бейсбольной статистике и даже числах, которые мелькают в статьях в «Reader’s Digest». Все эти данные поразительно точно соответствовали выведенной формуле, и теперь она известна как закон Бенфорда.
Однако закону Бенфорда подчиняются не все списки чисел. Например, телефонные номера обычно начинаются с определенного кода, соответствующего региону. Даже таблицы квадратных корней не подчиняются этому закону. С другой стороны, не исключено, что если собрать все числа, появившиеся в передовицах нескольких местных газет в вашем городе за неделю, они будут распределяться по этой формуле. Но почему же так получается? Что общего у городского населения в штате Массачусетс со смертностью от землетрясений во всем мире и с числами из статей в «Reader’s Digest»? И почему этому же правилу подчиняются числа Фибоначчи?
Строго доказать закон Бенфорда математическими методами оказалось совсем не просто. Одним из главных препятствий стал именно тот факт, что подчиняются этому закону не все перечни чисел – и даже приведенные примеры из ежегодника «World Almanac» не вполне ему соответствуют. В статье об этом законе в журнале «Scientific American», опубликованной в 1969 году, математик Ральф А. Райми из Рочестерского университета сделал вывод, что «ответ остается неясным».
Объяснить этот закон удалось лишь в 1995–1996 годах, и сделал это математик из Технологического института в Джорджии Тед Хилл. Хилл заинтересовался законом Бенфорда в начале девяностых, когда готовил доклад о сюрпризах вероятности. Вот как он вспоминал об этом в беседе со мной: «Я начал работать над этой задачей для развлечения, однако многие коллеги предупреждали меня, что надо быть осторожным, поскольку закон Бенфорда вызывает наркотическое привыкание». После нескольких лет работы Теда наконец осенило, что не нужно рассматривать числа из одного конкретного источника: главное – это смесь данных. Хилл переформулировал закон Бенфорда статистически в новой форме: «Если распределения подбираются случайно (любым непредвзятым способом) и из каждого распределения выбираются случайные образцы, то частота встречаемости цифр на значимом месте в смеси образцов сходится к распределению Бенфорда, даже если некоторые отдельные выбранные распределения не подчиняются этому закону». Иными словами, предположим, что вы собрали случайный набор чисел из мешанины распределений – например, из таблицы квадратных корней, таблицы смертности в сенсационных авиакатастрофах, населения округов и расстояний между теми или иными городами на планете по воздуху. Некоторые эти распределения сами по себе не будут подчиняться закону Бенфорда, но Хилл доказал, что чем больше вы соберете подобных чисел, тем ближе встречаемость цифр в этих числах будет к предсказанной законом Бенфорда. Так почему же этому закону подчиняются и числа Фибоначчи? Ведь они-то строго определены рекурсивным соотношением, это не случайные образцы из случайных распределений.
Так вот, в этом случае выясняется, что соответствие закону Бенфорда свойственно не только числам Фибоначчи, но и другим подобным последовательностям. Если исследовать большой массив различных степеней двойки (21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 и т. д.), станет видно, что они тоже подчиняются закону Бенфорда. Удивляться этому не следует, если учесть, что сами по себе числа Фибоначчи – это степени золотого сечения (вспомним, что n-ное число Фибоначчи близко к φn /√5). В сущности, можно доказать, что закону Бенфорда подчиняются последовательности, заданные большим классом рекурсивных соотношений.
Закон Бенфорда – очередной поразительный пример того, как чистая математика превращается в прикладную. В числе прочих занятных способов применения этого закона – выявление подделки и фабрикации данных в бухгалтерии и при уклонении от налогов. Данные из самых разных финансовых документов всегда очень хорошо соответствуют закону Бенфорда. А сфабрикованные данные – очень редко. Хилл доказал, как работает этот метод выявления мошенничества, на одном простом примере при помощи теории вероятности. На первом занятии своего курса по теории вероятностей Хилл просит студентов провести эксперимент. Если девичья фамилия их матери начинается с букв от А до L, они должны подбросить монетку 200 раз и записать результат – сколько было орлов и сколько решек. Остальным студентам предлагается подделать результат 200 бросков монетки, то есть создать случайную последовательность орлов и решек. На следующем занятии Хилл собирает результаты и очень быстро определяет, где результат подлинный, а где поддельный, и в 95 % случаев не ошибается. Как ему это удается? В любой последовательности из 200 бросков монетки, если ее действительно бросали, с большой вероятностью попадается по шесть орлов или шесть решек подряд. А когда кто-то пытается подделать последовательность из 200 бросков монетки, им кажется, что такого уж точно не может быть.
Недавно закон Бенфорда применили для выявления финансовых махинаций в одном американском туристическом бюро. Директор по аудиту обнаружил что-то странное в отчете начальника отдела медицинского страхования компании. Первые две цифры в суммах выплат на медицинскую страховку, когда эти данные проверили на соответствие закону Бенфорда, почему-то тяготели к 65 (более подробно о том, как закон предсказывает и вторую и далее цифры, см. в Приложении 9). Тщательный аудит выявил тринадцать поддельных чеков на суммы от 6500 до 6599 долларов. В управлении окружного прокурора в нью-йоркском районе Бруклин при помощи проверок на основе закона Бенфорда также выявили бухгалтерские подделки в семи нью-йоркских фирмах.
Закон Бенфорда состоит именно из тех ингредиентов, которые так по вкусу большинству математиков. Он отражает простой, но поразительный факт: распределение цифр на первом месте в числе подчиняется вполне конкретной закономерности. Более того, этот факт еще и трудно объяснить. Но иногда числа приносят радость, которой не приходится долго ждать. Например, многие математики, как любители, так и профессионалы, очень увлекаются простыми числами. Почему же простые числа так важны? Потому что «Фундаментальная теорема арифметики» гласит, что любое целое число больше единицы можно выразить произведением простых чисел (обратите внимание, что 1 считается простым числом). Например, 28 = 2 × 2 × 7, а 66 = 2 × 3 × 11 и т. д. Простые числа так глубоко укоренились в человеческом понимании математики, что Карл Саган (1934–1996) в своей книге «Космос», когда ему надо было описать, какого типа сигнал разумная цивилизация передала бы в космос, избрал для этого, в частности, последовательность простых чисел: «Крайне маловероятно, чтобы какой-нибудь естественный физический процесс генерировал радиосообщение, содержащее только простые числа. Получив подобное сообщение, мы можем заключить, что где-то есть цивилизация, которая любит простые числа» (пер. А. Сергеева). Великий Евклид более двух тысяч лет назад доказал, что простых чисел существует бесконечно много (это изящное доказательство приведено в Приложении 10). Однако большинство любителей простых чисел согласны, что среди них попадаются особенно интересные. Некоторые математики, например, француз Франсуа Ле Лионне и американец Крис Колдуэлл, вели списки «примечательных» или «титанических» чисел. Приведу несколько занятных примеров из великой сокровищницы простых чисел.
– Число 1 234 567 891, представляющее собой «цикл» всех цифр, – тоже простое число.
– 230-е простое число, в котором 6400 цифр, состоит из 6399 девяток и всего одной восьмерки.
– Число, состоящее из 317 повторений цифры 1, простое.
– 713-е простое число можно записать как 101951 × (101975 + 1991991991991991991991991) + 1, и открыли его – вы угадали – в 1991 году.
В контексте этой книги особенно интересно проследить связь между простыми числами и числами Фибоначчи. Все простые числа в последовательности Фибоначчи, кроме 3, стоят в ряду на местах, чей номер – тоже простое число. Например, число Фибоначчи 213 – простое число и в последовательности занимает тринадцатое место – тоже простое число. А вот обратное неверно: если номер числа в последовательности Фибоначчи – простое число, само оно не обязательно простое. Например, 19 член последовательности (19 – простое число) – это число 4181, а 4181 не простое число, оно равно 113 × 37.
Количество простых чисел Фибоначчи, которые нам удалось узнать, с годами неуклонно растет. В 1979 самое большое простое число Фибоначчи занимало 531 место в последовательности. К середине девяностых самое большое известное простое число Фибоначчи было уже на 2971 месте, а в 2001 году было доказано, что член последовательности номер 81 839, состоящий из 17 103 цифр, тоже простое число. Так что же, выходит, простых чисел Фибоначчи бесконечно много, как бесконечно много простых чисел как таковых? Это неизвестно – и, пожалуй, это величайшая математическая загадка без ответа, связанная с числами Фибоначчи.
Непостижимое могущество математики
Философско-эстетические взгляды великого поэта и драматурга Оскара Уайлда (1854–1900) отражены в сборнике диалогов «Замыслы». Особенно провокационное изложение идей Уайлда о «новой эстетике» мы находим в диалоге «Упадок искусства лжи». В заключение диалога Вивиан, героиня диалога, подводит его итог следующим образом:
Жизнь имитирует Искусство куда больше, чем Искусство – Жизнь. Это происходит не только из-за природной тяги Жизни к подражанию, но также из-за осознанного стремления Жизни к самовыражению при том, что Искусство дает ей определенный набор красивых форм для реализации этой энергии. Эта теория еще никем не выдвигалась, но она необычайно продуктивна и позволяет увидеть историю Искусства в совершенно новом свете.(Пер. А. Махлиной)
Очевидным следствием этого утверждения является то, что внешняя Природа также подражает Искусству. Она может показать нам только те эффекты, которые мы сначала увидели в картинах или стихах. В этом заключается секрет очарования Природы и объяснение ее слабости.
Мы вполне могли бы заменить в этом отрывке слово «Искусство» словом «Математика» – и получить утверждение, отражающее реальность, которой отчаянно сопротивляются многие выдающиеся умы. Дело в том, что слишком уж эффективна математика на первый взгляд. По словам Эйнштейна, «Как так получается, что математика, продукт человеческой мысли, независимой от опыта, так прекрасно соответствует объектам физической реальности?» Другой выдающийся физик Юджин Вигнер (1902–1995), известный своим огромным вкладом в ядерную физику, в 1960 году прочитал знаменитую лекцию под названием «Непостижимое могущество математики в естественных науках». Например, нам стоит задаться вопросом, почему же так вышло, что планеты, как выяснилось, вращаются вокруг Солнца по кривой (эллипсу), которую изучили греческие геометры задолго до открытия законов Кеплера, и почему объяснение существования квазикристаллов опирается на золотое сечение, то есть на концепцию, которую Евклид придумал для чисто математических целей. И разве не поразительно, что структуры многих галактик, состоящих из миллиардов звезд, достаточно точно повторяют любимую кривую Бернулли – величественную логарифмическую спираль? И самое поразительное: как так получается, что законы физики вообще можно выразить математическими уравнениями?
Но это далеко не все. Например, математик Джон Форбс Нэш, прославившийся на весь мир как герой книги и биографического фильма «Игры разума», в 1994 году получил Нобелевскую премию по экономике за диссертацию по математике, которую написал в 21 (!) год. В этой диссертации Нэш рассказал о «Равновесии Нэша», которое описывает стратегические некооперативные игры, которые вызвали революцию в самых разных сферах – от экономики и эволюционной биологии до политологии. Почему же математика так замечательно оправдывает себя на практике?
Признание необычайной «эффективности» математики проникло даже в гомерически смешной отрывок из романа Сэмюэля Беккета «Моллой», с которым лично у меня связана забавная история. Дело было в 1980 году, и мы с двумя коллегами из Флоридского университета писали статью о нейтронных звездах – это необычайно компактные и плотные космические объекты, возникающие в результате гравитационного коллапса ядер массивных звезд. Статья была в большей степени математическая, чем принято в высшем обществе астрономических статей, и поэтому мы решили снабдить первую страницу соответствующим эпиграфом. Эпиграф гласил:
Удивительно, насколько математика способствует…Сэмюэль Беккет. «Моллой» (Здесь и далее пер. М. Кореневой)
Мы снабдили эту строчку ссылкой на первый роман из трилогии «Моллой», «Мэлоун умирает» и «Неназываемый» прославленного писателя и драматурга Сэмюэля Беккета (1906–1989). Кстати, во всех трех романах речь идет о поисках себя – о том, как писатели пишут в погоне за собственной самостью. Нас подталкивают к наблюдению за характерами в разной степени разложения, которые заняты поисками смысла существования.
Эпиграфы у статей по астрофизике бывают очень редко. Так что мы получили письмо от редактора «The Astrophysical Journal», где он сообщал, что хотя и сам любит и ценит Беккета, однако не видит особой необходимости включать в статью эпиграф. Мы ответили, что предоставляем ему решать, печатать эпиграф или нет, и в результате статья вышла с эпиграфом – это было в выпуске от 15 декабря 1980 года. А вот как выглядит отрывок из «Моллоя» в неурезанном виде:
Зимой я ходил укутанный под пальто газетами, сбрасывая их вместе с пробуждением земли, окончательным, в апреле. Лучше всего подходило для этого литературное приложение к «Таймсу», благодаря своей неслабеющей прочности и герметичности. Даже газы мои не причиняли ему вреда. С газами я бороться не могу, они вырываются из моего зада по малейшему поводу и без повода, придется, время от времени, об этом говорить, несмотря на все мое отвращение к ним. Однажды я взялся их считать. Триста пятнадцать раз за девятнадцать часов, в среднем по шестнадцать в час. В конце концов, не так много. Четыре раза каждые четверть часа. Совсем ничего. Не выходит и по разу за четыре минуты. Просто невероятно. Черт побери, я почти не воняю, незачем было и вспоминать. Удивительно, насколько математика способствует самопознанию.
История математики знает по крайней мере две попытки – совсем разные с философской точки зрения – ответить на вопрос о поразительной мощи этой науки. Ответы эти также связаны с фундаментальным вопросом о подлинной природе математики. Всестороннее обсуждение этих тем потребовало бы нескольких томов и, конечно, далеко выходит за рамки этой книги. Поэтому я лишь кратко опишу несколько основных направлений мышления и изложу собственное мнение на этот счет.
Один взгляд на природу математики, традиционно именуемый платоническим, состоит в том, что математика вечна и всеобъемлюща и ее существование есть объективный факт, не зависящий от нас, людей. Согласно этому платоническому представлению математика была всегда, существовала в некоем абстрактном мире, а люди просто открыли ее, примерно как Микеланджело считал, что его скульптуры заключены внутри мраморных глыб и ему остается лишь убрать все лишнее. Золотое сечение, числа Фибоначчи, Евклидова геометрия и уравнения Эйнштейна – все это составные части платонической реальности, которая превосходит пределы человеческого разума. Сторонники платоновской точки зрения считают, что известный австрийский логик Курт Гёдель также был всей душой предан платонизму. Они подчеркивают, что он не просто говорил о математических понятиях, что и «они тоже могут отражать тот или иной аспект объективной реальности», но и его «теоремы о неполноте» сами по себе могут служить доводами в пользу платонического мировоззрения. Эти теоремы – вероятно, самые знаменитые результаты во всей истории логики – показывают, что для любой формальной системы аксиом (например, теории чисел) существуют утверждения, формулируемые на ее собственном языке, которые она не в состоянии ни доказать, ни опровергнуть. Иначе говоря, теория чисел, например, «неполна» в том смысле, что существуют истинные постулаты теории чисел, которые нельзя доказать методами, основанными на теории чисел. Чтобы доказать их, мы вынуждены перескочить в другую систему, богаче и выше уровнем, где опять же можно сформулировать истинные постулаты, которые нельзя доказать, не выходя из ее рамок, и так до бесконечности. Специалист по информатике и писатель Дуглас Р. Хофштадтер сухо сформулировал это в своей блистательной книге «Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда»: «Понятие доказуемости у́же понятия истины». В этом отношении никогда не будет формального способа определить, взяв конкретное математическое утверждение, абсолютно ли оно истинно – точно так же как невозможно определить, верна ли та или иная физическая теория. Роджер Пенроуз, математик из Оксфорда, принадлежит к тем, кто уверен, что теоремы Гёделя – мощный довод в пользу существования платонического математического мира. В своей чудесной книге «Тени разума», которая подталкивает к интереснейшим размышлениям, Пенроуз говорит: «Гёдель доказал не то, что математика… – это произвольные поиски, направление которых определяется прихотью Человека; он доказал, что математика – это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но открывать… ни одна система “искусственных” правил не способна сделать это за нас». И добавляет: «Такая платоническая точка зрения была существенна для Гёделя» (Пер. А. Р. Логyнова и Н. А. Зубченко). Английский математик XX века Г. Г. Харди также был убежден, что функция человека – «открывать или наблюдать» математику, а не изобретать ее. Иначе говоря, абстрактный пейзаж математики существовал всегда и только и ждал, когда исследователи-математики его обнаружат.
Одна из предлагаемых разгадок этой тайны – почему математика так хорошо объясняет явления природы – опирается на интереснейшую модификацию идей Платона. Этот «модифицированный платонизм» отстаивает ту точку зрения, что законы физики выражаются математическими уравнениями, структура вселенной фрактальна, галактики самоорганизуются в логарифмические спирали и т. д. потому, что математика есть язык вселенной. А конкретнее, по-прежнему предполагается, что математические объекты существуют объективно и зависят отнюдь не от наших знаний о них, однако вместо того, чтобы выводить математику целиком и полностью в какой-то мифический абстрактный план, сторонники этой точки зрения считают, что она хотя бы отчасти находится в реальном мироздании. Если мы хотим наладить общение с разумными цивилизациями, от которых до нас 10 000 световых лет, нам нужно всего-навсего передать им число 1,6180339887… – и можно не сомневаться, что они поймут, что мы имеем в виду, поскольку Вселенная, несомненно, навязала и им точно такую же математику. Да, Бог – математик.
Такой модифицированный платонизм был, очевидно, присущ и Кеплеру (хотя у него он был подкрашен религиозностью), и именно его он выражал, когда писал, что геометрия «снабдила Бога образцами для сотворения мира и передала их Человеку наравне с образом и подобием Божиим, и воспринята она была, по сути дела, не глазами». Подобные же мысли были и у Галилео Галилея:
Философия записана в этой великой книге – я имею в виду Вселенную – которая постоянно раскрыта у нас перед глазами, однако понять ее невозможно, если не научиться прежде понимать язык и толковать буквы, которыми она написана. А написана она на языке математики, и буквы ее – треугольники, круги и прочие геометрические фигуры, без которых человек никогда не сможет понять ни единого слова, без них будто блуждаешь в темном лабиринте.
Несколько другое представление о боге-математике было у мистика, поэта и художника Уильяма Блейка. Блейк питал глубочайшее презрение к научному объяснению природы. Для него Ньютон и его ученые последователи создали заговор с целью расплести радугу, подчинить правилам все тайны человеческого бытия. Вот и на мощной гравюре Блейка «Ветхий днями» (рис. 128, хранится в Библиотеке Пьерпонта Моргана, Нью-Йорк) изображен злой Бог, который при помощи циркуля не учреждает вселенский порядок, а скорее подрезает крылья воображению.
Рис. 128
Однако Кеплер и Галилей были вовсе не последними из математиков, принявших «модифицированное» платоновское мировоззрение, и подобные взгляды отнюдь не ограничивались кругом тех, кто, подобно Ньютону, воспринимал существование Божественного Разума как данность. Великий французский математик, астроном и физик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) писал в 1812 году в своей «Аналитической теории вероятностей» (Pierre-Simon de Laplace. Théorie Analitique des Probabilités):
Если бы нам был хотя бы на мгновение дарован разум, который понимает, какие силы движут природой и каково взаимное расположение сущностей, ее составляющих, и если бы этот разум обладал к тому же достаточной широтою, чтобы подвергнуть эти данные анализу, он охватил бы одной единой формулой движение и крупнейших тел во вселенной, и легчайшего атома.
И это тот самый Лаплас, который на замечание Наполеона Бонапарта, что в большой книге Лапласа о небесной механике ни словом не упомянут творец, ответил: «Сир, мне нет нужды в подобной гипотезе»!
Совсем недавно математик компании IBM и автор книг Клиффорд А. Пиковер в своей увлекательной книге «Божий ткацкий станок» (Clifford A. Pickover. The Loom of God) писал: «Не знаю, математик ли Бог, однако именно математика – тот ткацкий станок, на котором Господь ткет ткань вселенной… Тот факт, что эту реальность можно описать и достаточно точно вычислить при помощи простых математических выражений, по-моему, означает, что в основе природы заложена математика».
Сторонники «модифицированного платонического представления» о математике любят подчеркивать, что на протяжении столетий математики создавали (либо «открывали») многочисленные чисто математические объекты, не имея в виду никакого практического применения. Проходили десятилетия, и оказывалось, что эти математические конструкции и модели помогают решить физические задачи. Прекрасные свидетельства подобных процессов, когда математика неожиданно для всех вносила свой вклад в физику, – это плитки Пенроуза и неевклидовы геометрии, однако таких историй на самом деле гораздо больше.
Кроме того, есть много случаев и обратной связи между физикой и математикой, когда физическое явление вдохновляло на создание какой-то математической модели, а потом оказывалось, что эта модель объясняет совершенно иное физическое явление. Превосходный пример – феномен под названием «броуновское движение». В 1827 году английский ботаник Роберт Броун (1773–1858) заметил, что если развести пыльцу в воде, отдельные пылинки начинают оживленно двигаться. Этот эффект объяснил Эйнштейн в 1905 году: броуновское движение – результат столкновений коллоидных частиц с молекулами окружающей жидкости. Каждое столкновение в отдельности настолько слабенькое, что им можно пренебречь, поскольку частички пыльцы в миллионы раз массивнее молекул воды, однако постоянная бомбардировка оказывает кумулятивное воздействие. Так вот, представьте себе, что ту же модель мы обнаруживаем в движении звезд в звездных скоплениях! Там броуновское движение вызвано кумулятивным воздействием множества звезд, проходящих мимо данной конкретной звезды – и каждый проход чуть-чуть влияет на ее движение (посредством гравитации).
Однако существует и совершенно иное – не такое, как «модифицированное платоническое» – представление о природе математики и о причине ее могущества. Согласно этому представлению (оно сложным образом связано с догмами, которые в философии математики клеймят «формализмом» и «конструктивизмом»), математика существует исключительно в человеческом сознании. Математика, какой мы ее знаем, не более чем человеческое изобретение, а разумные цивилизации в других уголках Вселенной вполне могли разработать совершенно иные концепции. Математические объекты в объективной реальности не существуют, это плоды воображения. По словам великого немецкого философа Иммануила Канта, конечная истина математики лежит в вероятности, что ее концепции способен сконструировать человеческий разум. Иначе говоря, в математике Кант подчеркивает свободу– свободу постулировать и изобретать структуры и закономерности.
Подобное представление о математике как об изобретении человека особенно распространено у современных психологов. Например, французский писатель и исследователь Станислас Дехене в своей интересной книге «Чувство числа» (Stanislas Dehaene. The Number Sense, 1997) пишет, что «интуиционизм [для автора – синоним человеческого изобретения], как мне кажется, лучше всего описывает отношения между арифметикой и мозгом человека». О чем-то подобном говорит и последнее предложение книги лингвиста Джорджа Лакоффа и психолога Рафаэля Э. Нуньеса «Откуда взялась математика», которую издал Калифорнийский университет в Беркли в 2000 году (George Lakoff, Rafael E. Nüсez. Where Mathematics Comes From): «У портрета математики человеческое лицо». В основном эти выводы основываются на результатах психологических экспериментов и на неврологических исследованиях функционирования мозга. Эксперименты показывают, что у младенцев есть врожденные механизмы распознавания небольших наборов чисел и что дети спонтанно овладевают простыми арифметическими навыками даже без специального обучения. Кроме того, выявлено, что кора теменной доли головного мозга отвечает за способность обрабатывать числа и символы и обладает соответствующей нейронной структурой. Эта область в обоих полушариях анатомически расположена в месте, где пересекаются нервные связи осязания, зрения и слуха. Существует редкая форма эпилепсии, при которой припадки у больных случаются при попытке совершать арифметические действия, она так и называется epilepsia arithmetices, и электроэнцефалограмма у таких больных показывает аномалии именно в коре теменной доли. А повреждение этого участка влияет на способности к математике, письму и ориентации в пространстве.
Даже если согласиться с представлением о математике как об изобретении человеческого разума, не имеющем отношения к реальности, которое основано исключительно на физиологии и психологии, все равно придется отвечать на два интересных вопроса: почему математика так замечательно описывает Вселенную и как так вышло, что даже продукты чистейшей математики зачастую соответствуют физическим явлениям – более того, идеально к ним подходят?
Ответ, который дают на оба эти вопроса сторонники теории «человеческого изобретения», также основан на биологической модели: дело в эволюции и естественном отборе. Идея в том, что прогресс в понимании Вселенной и формулировании математических законов, описывающих происходящие в ней явления, достигается посредством масштабного и мучительного эволюционного процесса. Нынешняя модель Вселенной – результат долгой эволюции, в которой было множество фальстартов и тупиков. Естественный отбор уничтожил математические модели, не соответствовавшие наблюдениям и экспериментам, и оставил только удачные. Согласно этой точке зрения все «теории» Вселенной на самом деле не более чем «модели», качества которых определяются исключительно тем, насколько им удается соответствовать данным наблюдений и экспериментов. Безумная модель солнечной системы Кеплера, о которой он написал в своей «Mysterium Cosmographicum», была вполне приемлемой, пока объясняла и предсказывала поведение планет.
То, как часто и с каким успехом результаты чистой математики переходят в область математики прикладной, согласно этой картине, отражает всего лишь перепроизводство концепций, из которых физика отбирает самые подходящие для своих нужд: вот оно, выживание сильнейших! Вот и Годфри Г. Харди, как подчеркивают сторонники теории человеческого изобретения, гордился, что за всю жизнь «не сделал ничего «полезного». Такое представление о математике разделяет, очевидно, и Мэрилин вос Савант, обладательница самого высокого в мире IQ – целых 228! Часто цитируют ее слова: «Я склонна думать, что можно изобрести математическое объяснение чего угодно, и материя – не исключение».
По моему скромному мнению, исчерпывающего ответа на загадку эффективности математики не дает ни модифицированная платоническая точка зрения, ни теория естественного отбора (по крайней мере, в традиционной формулировке).
Утверждать, будто математика – изобретение чисто человеческое и так замечательно объясняет явления природы исключительно благодаря эволюции и естественному отбору, значит упускать некоторые важные факты, относящиеся как к природе математики, так и к истории теоретических моделей вселенной. Во-первых, хотя математические законы – например, аксиомы геометрии или теории множеств – и в самом деле творения человеческого разума, однако, сформулировав эти законы, мы сразу же теряем свободу. Определение золотого сечения берется из аксиом Евклидовой геометрии, определение чисел Фибоначчи – из аксиом теории чисел. Однако тот факт, что отношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению, нам некоторым образом навязан, мы, люди, здесь ничего не решаем и не обладаем свободой выбора. А следовательно, математические объекты, пусть и воображаемые, все же обладают реальными свойствами. Во-вторых, объяснение непостижимого могущества математики нельзя основывать исключительно на эволюции в узком смысле слова. Например, когда Ньютон выдвинул теорию гравитации, данные, которые он пытался истолковать, были точны в лучшем случае до третьего знака после запятой. Однако его математическая модель силы, возникающей между двумя массами во Вселенной, обладает необычайной точностью – больше одной миллионной. Получается, что эта модель не была навязана Ньютону имеющимися на тот момент измерениями движения планет, с одной стороны, а с другой – Ньютон не втискивал природное явление в уже имеющийся математический паттерн. Более того, естественный отбор в общепринятой интерпретации этой концепции здесь вообще ни при чем: дело не в том, что соревновались пять теорий и Ньютонова победила. Нет – теория Ньютона была единственной!
Однако и модифицированное платоническое представление тоже не без изъянов.
Во-первых, важный принципиальный момент: модифицированное платоническое представление о математике на самом деле никак не объясняет, почему математика так замечательно описывает Вселенную. Она лишь подменяет этот вопрос аксиомой, убеждением, что математика лежит в основе физического мира. Просто предполагается, что математика – это символическая копия Вселенной. Роджер Пенроуз – как я уже отмечал, горячий сторонник платонического мира математических форм, – соглашается, что то, «какую именно поразительную роль играет платонический мир математики в физическом мире», остается загадкой. Физик из Оксфордского университета Дэвид Дойч некоторым образом выворачивает этот вопрос наизнанку. В своей книге «Структура реальности» (1997) он спрашивает: «Откуда же берется математическая точность в реальности, состоящей из физики и толкуемой естественнонаучными методами?» Пенроуз добавляет к загадочной эффективности математики еще две тайны. В своей книге «Тени разума» он задается вопросами: «Каким образом столь выдающийся феномен, как разум, может быть объяснен в понятиях материального физического мира?» и «Как вышло, что разум способен «создавать» математические концепции из своего рода умственной модели?» Эти интересные вопросы, совершенно выходящие за рамки нашей книги, имеют отношение к происхождению сознания и к поразительной способности наших довольно-таки примитивных ментальных орудий пробивать дорогу в платонический мир, который для Пенроуза и составляет объективную реальность.
Вторая проблема, связанная с модифицированным платоническим представлением, – это вопрос универсальности. До какой степени мы уверены, что законы, которым обязана подчиняться Вселенная, обязательно следует представлять в виде математических уравнений именно того типа, в каком мы их формулируем? Пожалуй, большинство физиков на Земле до последнего времени твердо заявили бы, что история показала, что математические уравнения – единственный способ, которым можно формулировать законы физики. Однако все может измениться благодаря книге «Новый вид науки» Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram. A New Kind of Science). Вольфрам – один из самых оригинальных мыслителей в области теории комплексных систем и научных компьютерных расчетов, и главное его детище – «Mathematica», пакет компьютерных программ, позволяющих производить некоторые вычисления, которые до него было невозможно делать с помощью компьютера. После создания этого пакета Вольфрам десять лет молчал, а затем представил публике провокационную книгу, где смело претендует на то, чтобы сменить самую инфраструктуру науки. В мире, где все уже более трехсот лет привыкли, что базовый строительный материал для моделей природы в естественных науках – это математические уравнения, Вольфрам предлагает перейти на простые компьютерные программы. Он предполагает, что главная тайна природы – это применение простых программ для генерирования сложности.
Сейчас, когда я пишу эти строки, книга Вольфрама еще в печати (она вышла в 2002 году. – Прим. перев.), однако мы с ним долго беседовали, и из этого разговора и интервью, которое он дал популяризатору науки Маркусу Чоуну, можно уверенно заключить, что выводы из трудов Вольфрама будут весьма и весьма далеко идущие. Однако если ограничиться лишь тем, как идеи Вольфрама соотносятся с платоническими, можно сказать, что тот математический мир, который, по мнению многих, существует независимо от нас и, как полагают, лежит в основе физической реальности, весьма вероятно, не единственный, и это еще мягко сказано. Иначе говоря, определенно возможны описания природы, радикально отличающиеся от того, которым мы располагаем. Математика в своем нынешнем виде охватывает лишь крошечный уголок в обширном пространстве всех возможных наборов правил и законов, которые могли бы описывать устройство мироздания.
Если же ни платоническое мировоззрение, ни теория естественного отбора не могут объяснить, почему математика так замечательно объясняет устройство Вселенной, существует ли точка зрения, дающая исчерпывающий ответ на этот вопрос?
Лично я убежден, что ответ должен опираться на концепции, позаимствованные из обеих систем представлений, а не из какой-то одной. Это очень напоминает историю попыток объяснить физическую природу света. И этот исторический урок настолько важен, что я позволю себе вкратце изложить, как было дело.
Первая научная работа Ньютона была по оптике, и эту тему он разрабатывал почти всю жизнь. В 1704 году он опубликовал первое издание своей книги «Оптика», которую затем трижды пересматривал и дорабатывал. Ньютон предложил корпускулярную теорию света: согласно его гипотезе, свет состоит из крошечных твердых частиц, а их движение подчиняется тем же законам, что и движение бильярдных шаров. Вот как он об этом писал: «Даже лучи света – это, по-видимому, твердые тела». В начале ХХ века были проведены два знаменитых эксперимента, в которых былы обнаружены фотоэффект и эффект Комптона, и которые стали веским доводом в пользу корпускулярной теории света. Фотоэффект – это процесс, при котором электроны в металле поглощают из падающего на него света столько энергии, что это позволяет им вырваться на свободу. В 1905 году Эйнштейн предложил объяснение этого эффекта, за что в 1922 году получил Нобелевскую премию по физике: свет передает электронам энергию словно бы по зернышку, неделимыми единицами. Так был открыт фотон – частица света. Физик Артур Холли Комптон (1892–1962) с 1918 по 1925 год и экспериментально, и теоретически анализировал рассеяние рентгеновских лучей. Этот труд, за который Комптон в 1927 году получил Нобелевскую премию по физике, подтвердил существование фотона. Однако существовала и другая теория света, волновая теория, согласно которой свет вел себя словно волны воды в пруду. Особенно горячим сторонником этой теории был голландский физик Христиан Гюйгенс (1629–1695). Волновая теория света была не особенно популярна, пока физик и врач Томас Юнг (1773–1829) в 1801 году не открыл интерференцию. Само по себе это явление совсем несложное. Представьте себе, что вы периодически макаете в воду в пруду кончики указательных пальцев. От каждого пальца будут расходиться концентрические волны, то есть гребни волны и впадины будут образовывать все расширяющиеся круги. Там, где гребень волны, отходящей от одного пальца, пересечется с гребнем волны, отходящей от второго, волны усилят друг дружку («конструктивная интерференция»). А там, где гребень волны перекроется со впадиной, они друг друга погасят («деструктивная интерференция»). Тщательный анализ неподвижного узора на воде, который образуется вдоль центральной линии между двумя пальцами, показывает, что там возникает конструктивная интерференция, а по обе стороны от нее линии деструктивной интерференции перемежаются с линиями конструктивной интерференции.
В случае света деструктивная интерференция означает попросту темную полосу. Юнг – вундеркинд, к шестнадцати годам говоривший на одиннадцати языках – проделал эксперимент, при котором свет проходил через две щели, и показал, что свет на экране «перемежался темными полосами».
Результаты Юнга, за которыми в 1815–1820 годах последовали солидные теоретические труды французского инженера Огюстена Френеля, склонили многих физиков на сторону волновой теории света. Дальнейшие эксперименты, которые провели в 1850 году французский физик Леон Фуко и в 1883 году американский физик Альберт Майкельсон, недвусмысленно показали, что рефракция света, проходящего сначала через воздух, а затем через воду, происходит в точном соответствии с волновой теорией. А главное – шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) в 1864 году опубликовал всеобъемлющую теорию электромагнетизма, которая предсказала существование электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света. Далее Максвелл предположил, что и свет сам по себе тоже электромагнитная волна. Наконец в 1886–1888 годах немецкий физик Генрих Герц экспериментально доказал, что свет и в самом деле электромагнитная волна, как и предсказывал Максвелл.
Так что же такое свет? Только бомбардировка частицами (фотонами) или только волна? На самом деле, ни то, ни другое. Свет – более сложное физическое явление, чем в состоянии описать каждая из этих концепций в отдельности, поскольку обе они основаны на классических физических моделях. Чтобы описать распространение света и понять явления вроде интерференции, мы можем опереться на теорию электромагнитных волн – и без нее нам не обойтись. Однако если нам надо обсудить взаимодействие света с элементарными частицами, придется описывать фотоны. Такая картина, где описания света как волны и как частицы дополняют друг друга, получила название корпускулярно-волнового дуализма. Современная квантовая теория света свела классические представления о волнах и частицах в единую вероятностную концепцию. Электромагнитное поле описывается волновой функцией, которая отражает вероятность застать поле в том или ином состоянии. А фотон – это энергия, связанная с этими состояниями.
Теперь вернемся к вопросу о природе математики и причинах ее эффективности; по моему мнению, здесь следует применить комплементарность такого же типа. Да, математика была изобретена в том смысле, в каком «правила игры» – наборы аксиом – заданы человеком. Однако стоило нам ее изобрести, и она зажила собственной жизнью, и людям пришлось, и до сих пор приходится, исследовать все ее свойства – сообразно духу платонизма. Бесконечный перечень внезапных появлений золотого сечения, бесчисленные математические связи чисел Фибоначчи и тот факт, что мы до сих пор не знаем, бесконечно ли количество простых чисел Фибоначчи, – свидетельства этого поиска открытий.
Вольфрам придерживается очень похожих взглядов. Я спрашивал его, как он считает, «изобрели» математику или «открыли». Он ответил: «Если бы не было особого выбора и нам пришлось принять именно эту систему законов и правил, имело бы смысл говорить, что ее открыли, но поскольку выбор был, и еще какой, а наша математика основана исключительно на исторической договоренности, я бы сказал, что ее изобрели». Ключевые слова – «историческая договоренность»: они заставляют предположить, что система аксиом, на которых основана наша математика, возникла случайно на основе арифметики и геометрии древних вавилонян. Это тут же наталкивает на два вопроса: (1) Почему вавилоняне развивали именно эти дисциплины, а не стали разрабатывать другие наборы правил? И, перефразируя вопрос о том, как математика описывает мироздание: (2) Почему эти дисциплины и их следствия вообще пригодились в физике?
Интересно, что ответы на оба вопроса, вероятно, взаимосвязаны. Возможно, математику как таковую породило наше субъективное восприятие устройства природы. Не исключено, что геометрия попросту отражает человеческую способность легко распознавать линии, грани и кривые. А арифметика – человеческую способность группировать дискретные объекты. При такой картине мира математика, которой мы располагаем, – следствие биологического устройства человека и того, как люди воспринимают мироздание. Таким образом, математика и вправду в некотором смысле представляет собой язык вселенной – но вселенной в человеческом восприятии. Если во Вселенной есть другие разумные цивилизации, они, вероятно, разработали совсем другие системы законов, ведь у них, наверное, совсем другие механизмы восприятия. Скажем, если капля воды сливается с другой каплей или молекулярное облако в галактике сливается с другим облаком, они составляют одну каплю и одно облако, а не два. Так что если существует цивилизация, где тела в основном жидкие, а не твердые, один плюс один для нее не обязательно равняется двум. Такая цивилизация, возможно, не знает, что такое простые числа и золотое сечение. Другой пример: едва ли можно сомневаться, что если бы гравитация на Земле была гораздо сильнее, вавилоняне и Евклид сформулировали бы не Евклидову геометрию, а какую-нибудь другую. Общая теория относительности Эйнштейна научила нас, что в очень сильном гравитационном поле пространство вокруг нас искривилось бы, перестало быть плоским: лучи света шли бы по кривой, а не по прямой линии. Геометрия Евклида – всего-навсего плод наблюдений за слабым гравитационным полем Земли (другие геометрии – на искривленных поверхностях – были открыты и разработаны только в XIX веке).
Эволюция и естественный отбор, несомненно, сыграли важнейшую роль в наших теориях мироустройства. Именно поэтому мы в наши дни больше не придерживаемся физических взглядов Аристотеля. Однако я не имею в виду, что эволюция всегда идет плавно и непрерывно. Биологической эволюции на Земле это отнюдь не было свойственно. Извилистый путь жизни на Земле то и дело формировался под воздействием внешних причин, например, массовой гибели того или иного вида. Влияние астрономических тел – комет или астероидов по нескольку миль в диаметре – истребило динозавров и проложило млекопитающим путь к доминированию. Эволюция теорий об устройстве Вселенной то и дело двигалась рывками благодаря квантовым скачкам в научной мысли. Прекрасные примеры подобных блистательных рывков – Ньютонова теория всемирного тяготения и теория общей относительности Эйнштейна («До сих пор не понимаю, как он до нее додумался», – говорил покойный физик Ричард Фейнман). Как же объяснить подобные чудесные открытия? Никак. В том же смысле, как невозможно объяснить, каким образом в мире шахмат, привыкшем к победам с перевесом в пол-очка, Бобби Фишер на пути к мировому первенству в 1971 году ни с того ни с сего разгромил гроссмейстеров Марка Тайманова и Бента Ларсена со счетом шесть – ноль. И так же трудно разобраться, как натуралисты Чарльз Дарвин (1809–1882) и Альфред Рассел Уоллес (1823–1913) независимо друг от друга вывели концепцию эволюции как таковой – что вдохновило их, что подтолкнуло к мысли, что вся жизнь на земле произошла из общего источника, развивавшись разными путями? Нужно просто признать, что кое-кто на голову выделяется из толпы и ему приходят в голову фантастические мысли. Но вписываются ли исполины-новаторы вроде Ньютона и Эйнштейна в теорию эволюции и естественного отбора? Да, вписываются, однако для этого приходится толковать естественный отбор несколько иным, не общепринятым способом. У теории всемирного тяготения во времена Ньютона не было конкуренток, однако она не дожила бы до наших дней, не будь она «самой приспособленной». Напротив, Кеплер предложил модель взаимодействия Солнца и планет, которая протянула совсем недолго: согласно этой модели Солнце, вращаясь вокруг своей оси, испускает лучи магнетической силы. Предполагалось, что эти лучи цепляются за планеты и подталкивают их по круговым орбитам.
Если принять общие определения эволюции, допускающей квантовые скачки, и естественного отбора, действующего в течение длительного времени, то, пожалуй, можно найти объяснение «непостижимой» эффективности математики. Наша математика – символическая репрезентация вселенной в том виде, в каком мы ее воспринимаем, и могущество математики постоянно растет благодаря изысканиям человека.
Джеф Раскин, создатель компьютера «Макинтош» в корпорации «Эппл», подчеркивает иной аспект – эволюцию человеческой логики. В эссе об эффективности математики, опубликованном в 1998 году, Раскин приходит к выводу, что «человеческая логика [курсив мой. – М. Л.] навязана нам физическим миром и поэтому соответствует ему. Математика выведена из логики. Вот почему математика точно описывает физический мир».
В пьесе «Тамерлан великий», где идет речь о герое-злодее маккиавеллиевского толка, который одновременно может быть и нежной душой, и жестоким убийцей, великий английский драматург Кристофер Марло (1564–1593) признает страсть человека к познанию Вселенной:
Золотое сечение есть продукт геометрии, которую изобрели люди. Однако люди не представляли себе, в какую волшебную страну заведет их это изобретение. Если бы мы не изобрели геометрию, то, вероятно, вообще не знали бы ничего о золотом сечении. Однако – кто знает? – возможно, мы получили бы его в результате работы короткой компьютерной программы.