Мы хотим доказать, что для любых целых чисел p и q, таких, что p > q, три числа: p2 – q2; 2pq; p2 + q2 формируют пифагорову тройку. Иначе говоря, нам надо доказать, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего.

Для этого мы обратимся к общим формулам сокращенного умножения, справедливым для любых a и b:

(a + b)2 = (a + b) × (a + b)= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab +  b2

(a – b)2 = (a – b) × (a – b)= a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab – b2.

На основании этих формул квадрат первого числа равен

(p2 – q2)2 = p4 – 2p2q2 + q4.

Сумма первых двух квадратов равна

p4 – 2p2q2 + q4 + 4p2q2 = p4 + 2p2q2 + q4.

Квадрат третьего числа равен

(p2 + q2)2 = p4 + 2p2q2 + q4.

Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.