Рассмотрим рис. 116, а, и увидим, что условие соприкосновения двух веток состоит в простом требовании, чтобы сумма всех горизонтальных длин постоянно уменьшающихся веток с длинами начиная от f 3 была равна горизонтальной составляющей большой ветки длиной f. Все горизонтальные составляющие – это общая длина, умноженная на косинус угла, величиной 30 градусов. Поэтому получаем

f× cos 30° = f3 × cos 30° + f4 × cos 30° + f5 × cos 30° + …

Поделим это выражение на cos 30° – и получим

f= f3 + f4 + f 5 + f6 + …

Сумма правой части – это сумма бесконечной геометрической прогрессии, то есть каждый ее член равен предыдущему, умноженному на константу, в которой первый член – это f 3, а отношение двух последовательных членов равно f. В целом сумма S бесконечной геометрической прогрессии с первым членом а и отношением последовательных членов q равна

Например, сумма прогрессии

где a = 1 и q = 1/2, равна

В нашем случае из вышеприведенного уравнения следует

Делим обе части на f и получаем

Умножаем на (1–f), сокращаем и получаем квадратное уравнение

f2 + f – 1 = 0,

положительный корень которого равен

То есть 1/φ.