Нет никаких сомнений, что каждый, кто воспитан в западной или ближневосточной цивилизации, во всем, что касается математики, естественных наук, философии, литературы и искусства, является учеником древних греков. Немецкий поэт Гёте писал: «Именно греки умели мечтать о жизни слаще всех народов», и это лишь скромная дань уважения отважным первопроходцам и всем открытиям, которые сделали греки в различных областях знания, ими же разработанных и названных.
Однако даже самые блестящие достижения греков во всех прочих сферах меркнут рядом с их головокружительными открытиями в математике. К примеру, всего за четыреста лет – от Фалеса Милетского (ок. 600 г. до н. э.) до «великого геометра» Аполлония Пергского (ок. 200 г. до н. э.) греки полностью сформировали основы геометрической теории.
Успехи греков в математике во многом были прямым следствием страсти к познанию ради познания, а не ради практических целей. Рассказывают, что один ученик Евклида, изучив вместе с ним некую теорему, спросил: «А что я с этого получу?» Евклид приказал рабу дать мальчику медную монету, чтобы тот увидел, что наука и в самом деле занятие прибыльное.
Образование государственного деятеля во времена Платона должно было включать в себя арифметику, геометрию, стереометрию, астрономию и музыку – и все это, как рассказывает нам пифагореец Архит, подпадало под общее название «математика». По легенде, когда Александр Великий спросил своего учителя Менехма (которому приписывают открытие эллиптической кривой, параболы и гиперболы), нельзя ли изучить геометрию как-нибудь поскорее, получил ответ: «О повелитель, в странствиях по нашему царству можно найти дороги для царей и дороги для простых граждан, однако в геометрию нет царского пути».
Платон
В таком интеллектуальном окружении и вырос Платон (428/427 г. до н. э. – 348/347 г. до н. э.), один из самых влиятельных умов Древней Греции и западной цивилизации в целом. Считается, что Платон изучал математику у пифагорейца Феодора Киренского, который первым доказал, что не только √2, но и √3, √5 и так далее вплоть до √17 – иррациональные числа. Почему он остановился на 17, никто в точности не знает, однако общего доказательства он, очевидно, вывести не сумел. Некоторые исследователи утверждают, что Феодор, вероятно, приводит самое легкое доказательство несоизмеримости, опираясь на понятие золотого сечения (идея примерно та же, что и в Приложении 2).
В своем «Государстве» Платон пишет, что математику совершенно необходимо включать в программу образования всех философов и государственных деятелей. Подобным же образом надпись над входом в его школу (Академию) гласила: «Не геометр да не войдет!» Историк математики Дэвид Юджин Смит в своей книге «Наш долг перед Грецией и Римом» (David Eugene Smith. Our Debt to Greece and Rome) называет это первым требованием к абитуриентам в истории. Восхищение математикой очевидно и тогда, когда Платон не без зависти пишет об отношении к математике в Египте, где на потеху детишкам изобрели арифметические игры, которые они изучают с удовольствием и забавы ради.
Оценивая роль Платона в развитии математики в целом и в понимании золотого сечения в частности, мы должны будем изучить не только его вклад в собственно математику, достаточно скромный, но и последствия его влияния на математические изыскания других ученых и в его собственном, и в последующих поколениях, и поддержки, которую он оказывал науке в целом. В некотором смысле Платона можно считать одним из первых чистых теоретиков. Примером его теоретических наклонностей может служить отношение к астрономии, где он предпочитал не наблюдать движение светил, а советовал «оставить небеса в покое» и сосредоточиться на более абстрактных математических небесах. Согласно Платону, настоящие звезды – это всего лишь отображение математических небес, подобно тому как геометрические чертежи – отображение абстрактных понятий точки, линии и окружности. Любопытно, что в своей выдающейся книге «История греческой математики» (Thomas Heath. A History of Greek Mathematics), изданной в 1921 году, сэр Томас Хит пишет: «Трудно разобраться, что же имел в виду Платон, когда проводил различие между видимой небесной тканью (то есть видимыми звездами, их расположением и движением), которая, безусловно, прекрасна, и подлинной небесной тканью, которым видимые небеса лишь подражают и которые бесконечно чудеснее и прекраснее».
Как астрофизик-теоретик я должен отметить, что Платон в неявном виде высказывает некоторые соображения, которым я симпатизирую. Здесь проводится различие между красотой космоса как такового и красотой теории, которая объясняет устройство Вселенной. Для наглядности приведу принцип, который открыл великий немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471–1528).
Сложим шесть правильных пятиугольников (рис. 19) так, чтобы получился один большой пятиугольник с пятью отверстиями в форме золотых треугольников (равнобедренных треугольников с отношением стороны к основанию, равным φ). Шесть таких пятиугольников, в свою очередь, образуют еще один правильный пятиугольник, большой и более дырчатый – и так до бесконечности.
Думаю, все согласятся, что получившаяся фигура (рис. 19) удивительно красива. Однако у нее есть и обаяние другого рода – математическое: оно состоит в простоте принципа, по которому она строится. Так вот, мне кажется, это и есть математические небеса, о которых говорил Платон.
Не приходится сомневаться, что общее руководство научными изысканиями, которое осуществлял Платон в годы своего правления, гораздо важнее его непосредственного вклада в исследования. В тексте, который приписывают Филодему и относят к первому веку, мы читаем: «В те времена в математике [был достигнут] большой прогресс, и Платон им руководил и задавал задачи, которые математики ревностно решали».
Рис. 19
Тем не менее, Платон и сам очень интересовался свойствами чисел и геометрических фигур. В частности, в «Законах» он предполагает, что оптимальное число граждан в государстве – 5040, поскольку это число (а) делится на 12, 20 и 21, (б) его двенадцатая часть тоже делится на 12, (в) у него 59 делителей, в том числе все целые числа от 1 до 12, кроме 11, зато на 11 делится практически соседнее число 5038. Выбор этого числа с его свойствами позволил Платону разработать свою социально-экономическую утопию. Скажем, земля в государстве делится на 5040 наделов, а 420 из них составляют территорию каждой из двенадцати «фил». Сами жители государства делятся на четыре общественные категории – класса: свободные граждане с женами и детьми, их рабы, поселенцы-иностранцы и разнообразные заезжие гости. При выборах совета члены каждого из четырех классов избирают из своей среды по девяносто человек.
С Платоном связано и еще одно число – 216. Его он упоминает в «Государстве» в довольно-таки темном отрывке, где речь идет о том, что 216 – это шесть в кубе, а 6 – это одно из чисел, символизирующих брак (поскольку это произведение женского числа 2 и мужского числа 3). Платон и сам был учеником пифагорейцев и прекрасно знал, что сумма кубов сторон знаменитого пифагорейского треугольника – 3–4–5 – тоже равна 216.
Золотое сечение интересовало Платона, поскольку его очень занимали две темы: несоизмеримость и платоновы тела. В «Законах» Платон признается, что ему неловко, что с идеей несоизмеримости длин и с иррациональными числами он познакомился сравнительно поздно, и сокрушается, что многие греки его поколения до сих пор о них не знают.
В диалоге «Гиппий Больший» Платон признает, что подобно тому, как любое четное число может быть суммой либо двух четных, либо двух нечетных чисел, так и сумма двух иррациональных чисел может быть и иррациональной, и рациональной. Поскольку мы уже знаем, что φ – число иррациональное, рациональный отрезок прямой (то есть отрезок единичной длины), разделенный в соответствии с золотым сечением, служит примером последнего случая, хотя Платон этого, возможно, и не знал. Некоторые ученые придерживаются той точки зрения, что Платон интересовался золотым сечением как таковым. В доказательство они приводят слова Прокла Диадоха (ок. 411–485), который в «Комментарии к I книге «Начал» Евклида» пишет: «Евдокс… взяв у Платона начала сечений, разработал множество их видов» (здесь и далее пер. А. Щетникова), и полагают, что здесь говорится о том, что Платон (и Евдокс) занимались золотым сечением. Однако такое толкование вызывает серьезные сомнения со второй половины XIX века, когда многие исследователи сделали вывод, что слово «сечение», вероятно, не имеет здесь никакого отношения к золотому сечению – Прокл говорит о сечениях геометрических тел или вообще о разделении отрезков. Так или иначе, не приходится сомневаться, что основы для того, чтобы сформировать понятие о золотом сечении и вывести его определение, были заложены в годы, предшествующие открытию Платоновской Академии в 386 г. до н. э., и за время ее существования. Вероятно, ключевой фигурой и движущей силой при выведении теорем, относящихся к золотому сечению, был Теэтет (ок. 417 г. – ок. 369 г. до н. э.), который, согласно византийской энциклопедии «Суды», «первым построил пять так называемых правильных геометрических тел». Математик Папп, живший в IV веке, пишет, что Теэтет к тому же «отличал соизмеримые длины от несоизмеримых». Теэтет не принадлежал к Академии непосредственно, однако наверняка поддерживал с ней неофициальные связи.
В диалоге «Тимей» Платон берет на себя сложнейшую задачу – рассказывает о происхождении и устройстве космоса. В частности, он пытается объяснить структуру материи на примере пяти правильных многогранников, которые уже были в некоторой степени изучены пифагорейцами и подробно – Теэтетом. Пять платоновых тел (рис. 20) отличаются следующими свойствами: это единственные геометрические тела, у каждого из которых все грани – равные и равносторонние и которые можно вписать в сферу (то есть поместить все их вершины на поверхность сферы). Платоновы тела – это тетраэдр (рис. 20, а, с четырьмя гранями в виде равносторонних треугольников), куб (рис. 20, b, шесть квадратных граней), октаэдр (рис. 20, с, восемь треугольных граней), додекаэдр (рис. 20, d, двенадцать граней в виде правильных пятиугольников) и икосаэдр (рис. 20, е, двадцать треугольных граней).
Рис. 20
Платон свел воедино идеи Эмпедокла (ок. 490–430 гг. до н. э.), согласно которому материя состоит из четырех стихий – земли, воды, огня и воздуха, – и «атомарную» теорию материи (существование невидимых частиц), которую выдвинул Демокрит из Абдеры (ок. 460 г. – ок. 370 г. до н. э.). «Единая» теория Платона предполагала, что каждой из четырех стихий соответствует своя фундаментальная частица и одно из платоновых тел. Надо понимать, что за исключением некоторых подробностей, пусть и заметных, основная идея, на которой основана теория Платона, не слишком отличается от того, как формулировал суть современной химии в XIX веке Джон Дальтон. Согласно Платону, стихия земли связана с устойчивым кубом, «всепроникающее» свойство огня – с относительно простым заостренным тетраэдром, воздух с его «подвижностью» – с октаэдром, а многоликая вода – с многогранным икосаэдром. А пятый правильный многогранник – додекаэдр – символизирует по Платону (или Тимею) Вселенную в целом или, по его словам, «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» (пер. С. Аверинцева). Вот почему художник Сальвадор Дали решил включить в композицию своей «Тайной Вечери» парящий над столом огромный додекаэдр (см. рис. 5).
Некоторые последователи Платона никак не могли примириться с отсутствием фундаментальной стихии, которая была бы связана с додекаэдром, и кое-кто постулировал существование пятой стихии. Например, Аристотель считал, что пятая вселенская стихия (квинтэссенция) – это эфир, материал, из которого созданы небесные тела и который, по мнению Аристотеля, пронизывал всю Вселенную. Аристотель утверждал, что пятая стихия, пронизывающая всю материю, обеспечивает движение и изменение в соответствии с законами природы. Идея субстанции, пропитывающей пространство и служащей средой для распространения света, доминировала в науке вплоть до 1887 года, когда американский физик Альберт Абрахам Майкельсон и химик Эдвард Уильямс Морли провели свой знаменитый опыт и доказали, что такой среды не существует (согласно современной теории света, она и не нужна). В сущности, в ходе опыта ученые измерили скорость двух лучей света, направленных в разные стороны. Ожидалось, что поскольку Земля движется сквозь эфир, скорости двух лучей окажутся разными, однако опыт однозначно показал, что это не так. Результат опыта Майкельсона-Морли натолкнул Эйнштейна на поиски теории относительности.
Затем события приняли неожиданный поворот: в 1998 году две группы астрономов обнаружили, что наша Вселенная не просто расширяется (что уже доказал астроном Эдвин Хаббл в двадцатые годы), но расширяется с ускорением. Это открытие вызвало настоящее потрясение, поскольку астрономы, естественно, полагали, что расширение должно замедляться из-за силы тяготения. Ведь если бросить мяч вверх, стоя на поверхности Земли, его движение будет замедляться, поскольку на него действует сила тяготения, которая в конце концов и заставит его изменить направление движения на противоположное, – так и сила тяготения всей материи во Вселенной, казалось бы, должна замедлить скорость космического расширения. Открытие, что расширение не замедляется, а ускоряется, наводит на мысль о существовании какой-то «темной энергии», которая проявляется как отталкивающая сила, которая в нашей нынешней Вселенной пересиливает силу тяготения. Физики еще спорят о том, каков источник и природа этой «темной энергии». Согласно одной гипотезе эта энергия связана с квантовым полем, пронизывающим весь космос наподобие знакомого нам электромагнитного поля. Это поле очень похоже на невидимую среду Аристотеля и даже иногда называется «квинтэссенция». Кстати, в научно-фантастическом фильме Люка Бессона «Пятый элемент» «пятой стихией» – «квинтэссенцией» – была названа сила самой жизни, то, что оживляет неживое.
Теория Платона отнюдь не сводилась к символической связи фигур и стихий. Он отметил, что грани первых четырех правильных многогранников можно составить из двух видов прямоугольных треугольников: равнобедренного, с углами 45°–90°–45°, и треугольника с углами 30°–90°–60°. Далее Платон объясняет, как при помощи этих свойств можно объяснить основные «химические реакции». Например, согласно платоновой «химии», когда огонь нагревает воду, получается две частицы пара (воздуха) и одна частица огня. Формулу этой реакции можно записать так:
[вода] → 2 [воздух] + [огонь]
А если сбалансировать количество участвующих в реакции граней платоновых тел, которые соответствуют этим стихиям, то получится 20 = 2 × 8 + 4. Хотя это, конечно, никак не соответствует современному пониманию структуры материи, основная идея, что большинство фундаментальных частиц в нашей Вселенной и их взаимодействия можно описать математической теорией, которой свойственна некоторая симметрия, – краеугольный камень современных исследований в области физики частиц.
Сложные явления, которые мы наблюдаем во Вселенной, для Платона не играли существенной роли: он считал, что подлинно фундаментальна именно лежащая в их основе симметрия, а она не меняется. Это представление отнюдь не противоречит современным представлениям о законах природы. Ведь эти законы, в частности, одинаковы во всех уголках Вселенной. По этой причине законы, которые мы выводим из лабораторных экспериментов, можно применить, скажем, при изучении атома водорода и здесь, на Земле, и в галактике, лежащей в миллиардах световых лет от нас. Эта симметрия законов природы проявляется и в том, что величина, которую мы называем импульсом (равная произведению массы тела и его скорости и имеющая направление), сохраняется, то есть имеет одно и то же значение что сегодня, что через год. Подобным же образом, поскольку законы природы с течением времени не меняются, сохраняется и величина, которую мы называем энергией. Энергию невозможно получить из ничего. Вот почему современные теории, основанные на симметриях и на законах сохранения, – законы подлинно платонические.
Вероятно, интерес к многогранникам у пифагорейцев был первоначально вызван наблюдениями над кристаллами пирита в Южной Италии, где находилась пифагорейская школа. Кристаллы пирита, он же серный колчедан, часто имеют в форму додекаэдра. Однако платоновы тела, их красота и математические свойства поражали воображение ученых и спустя много столетий после Платона – и упоминания о них мы встречаем в самых неожиданных местах. Например, в научно-фантастическом романе Сирано де Бержерака (1619–1655) «Иной мир» автор строит летательный аппарат в виде икосаэдра, чтобы сбежать из башни, где он заточен, и приземлиться на Солнце.
Золотое сечение, число φ, играет важнейшую роль в пропорциях и симметрических свойствах некоторых платоновых тел. В частности, додекаэдр с длиной ребра (места, где сходятся две грани) в одну единицу, имеет площадь поверхности в 15 × φ / (√3 – φ) и объем 5 × φ3 / (6–2 × φ). Подобным же образом икосаэдр с длиной ребра в одну единицу имеет объем (5 × φ5)/6.
Из симметрии платоновых тел можно вывести интересные следствия. Например, у куба и октаэдра одинаковое число ребер – 12, – однако число граней и вершин взаимно обратное – у куба шесть граней и восемь вершин, а у октаэдра восемь граней и шесть вершин. То же самое можно сказать о додекаэдре и икосаэдре – у обоих по 30 ребер, но у додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у икосаэдра – наоборот. Это симметрическое сходство платоновых тел позволяет очень интересно вписывать правильный многогранник в его «двойник». Если соединить центры граней куба, получится октаэдр (рис. 21), а если соединить центры граней октаэдра, получится куб. Ту же самую процедуру можно проделать, чтобы вписать икосаэдр в додекаэдр и наоборот – а соотношение длин ребер каждого многогранника (одного в другом) опять же можно выразить при помощи золотого сечения: это φ2/√5. А тетраэдр – сам себе «двойник»: если соединить четыре центра граней тетраэдра, получится другой тетраэдр.
Рис. 21
Хотя в античности были известны не все свойства платоновых тел, ни от Платона, ни от его последователей не скрылась их красота. В некотором смысле даже трудности при построении этих фигур, которые поначалу возникали (пока не были выведены методы, связанные с золотым сечением), можно считать их имманентными свойствами. Ведь последние слова диалога «Гиппий Больший» гласят: «Прекрасное – трудно». Греческий историк Плутарх (ок. 46 – ок. 120) в своем сочинении «Об упадке оракулов» пишет: «Пирамида [тетраэдр], октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, все первоначальные фигуры, которые предсказывает Платон, прекрасны благодаря симметрии и равенствам в их отношениях, и ничего лучше и даже ничего сопоставимого с ними Природа не создала».
Рис. 22
Как уже упоминалось, икосаэдр и додекаэдр тесно связаны с золотым сечением, и связей этих несколько. Например, 12 вершин икосаэдра можно объединить в три группы по четыре, и вершины из каждой группы будут лежать на углах золотого прямоугольника, то есть прямоугольника, у которого длины сторон соотносятся как φ. Прямоугольники перпендикулярны друг другу, а единственная их общая точка лежит в геометрическом центре икосаэдра (рис. 22). Подобным же образом центры 12 пятиугольных граней додекаэдра можно объединить в три группы по четыре, и каждая из этих групп также составит золотой прямоугольник. Тесные связи между некоторыми плоскими фигурами, скажем, правильным пятиугольником и пентаграммой, и золотым сечением привели к неизбежному выводу, что интерес греков к золотому сечению начался, вероятно, с попыток построить подобные плоские фигуры и геометрические тела. Подобные математические изыскания велись примерно в начале IV века до н. э. Однако до нас дошли и многочисленные утверждения, что на основе золотого сечения создан и архитектурный проект Парфенона, который был построен и украшен в 447–432 годах до н. э., в правление Перикла. Насколько обоснованны подобные заявления?
Обитель Девы
Храм Парфенон (по-гречески «Обитель Девы») был выстроен на Афинском Акрополе для отправления культа Афины Парфенос (Афины Девы). Зодчих звали Иктин и Калликрат, а Фидию с учениками и помощниками было поручено обеспечить храм скульптурами. Фронтоны с западной и восточной стороны здания украшали скульптурные группы. На одной из них изображалось рождение Афины и состязание между Афиной и Посейдоном. Со своей кажущейся простотой Парфенон по сей день остается одним из прекраснейших шедевров архитектуры, идеалом единства и ясности линий. Двадцать шестого сентября 1687 года при попытке отбить Афины у Османской Империи Парфенон был разрушен прямым попаданием венецианского снаряда; турки устроили в храме пороховой склад. Разрушения были очень велики, однако основная конструкция здания осталась нетронутой. Генерал Кёнигсмарк, сопровождавший главнокомандующего, вспоминал: «Как огорчила его светлость гибель прекрасного храма, простоявшего три тысячи лет!» В дальнейшем, особенно после окончания турецкого владычества (в 1830 году), были предприняты многочисленные попытки выявить математические и геометрические принципы, которые, предположительно, легли в основу проекта Парфенона и обеспечили его совершенную красоту. В большинстве книг о золотом сечении утверждается, что параметры Парфенона – когда треугольные фронтоны были еще целы – идеально соответствовали золотому прямоугольнику. Обычно в доказательство приводят чертеж наподобие того, что мы видим на рис. 23. Считается, что золотое сечение соблюдено и в других параметрах Парфенона. Например, одна из самых дотошных монографий о золотом сечении – «Золотое сечение» Адольфа Цайзинга (Adolph Zeising. Der Goldener Schnitt, 1884) – сообщает, что высота фасада от вершины тимпана (внутреннего поля фронтона) до подножия пьедестала под колоннами разделяется вершиной колонн в соответствии с золотым сечением. Это утверждение повторяется во множестве книг, в том числе, например, в достаточно известном и авторитетном труде Матилы Гика «Золотое сечение» (Matila Ghyka. Le Nombre d’or, 1931). Другие авторы, например, Милутин Бориссавлевич в книге «Золотое сечение и научная эстетика архитектуры» (Miloutine Borissavlievitch. The Golden Number and the Scientific Aesthetics of Architecture, 1958), хотя и не отрицают наличие числа φ в дизайне Парфенона, предполагают, что своей красотой и гармонией храм обязан скорее правильному ритму, который обеспечивается повторением одинаковых колонн.
Рис. 23
Серьезные сомнения в проявлении золотого сечения в Парфеноне высказал математик из Университета штата Мэн Джордж Марковски в статье «Заблуждения относительно золотого сечения», которая была опубликована в «College Mathematics Journal» в 1992 году. Марковски прежде всего указывает на то, что те или иные детали Парфенона (например, края пьедестала под колоннами, рис. 23) неизменно выдаются за границы золотого прямоугольника, однако все горячие сторонники золотого сечения закрывают глаза на это обстоятельство. А главное, параметры Парфенона в разных источниках указываются по-разному – вероятно, потому, что при измерениях использовались разные опорные точки. Это очередной пример подтасовки чисел, которой так часто грешат теории, основанные исключительно на измерениях длин. Лично я отнюдь не убежден, что параметры Парфенона имеют какое бы то ни было отношение к золотому сечению; скажем, если взять за основу числа, которые приводят Марвин Трахтенберг и Изабель Хайман в книге «Архитектура с доисторических времен до постмодернизма» (Marvin Trachtenberg, Isabelle Hyman. Architecture: From Prehistory to Post-Modernism, 1985), получается вот что. Эти авторы сообщают, что высота Парфенона – 45 футов 1 дюйм, а ширина фасада – 101 фут 3,75 дюйма. Такие величины дают соотношение ширины к высоте примерно в 2,25, то есть очень далеко от золотого сечения – 1,618… Марковски подчеркивает, что даже если бы мы взяли высоту вершины фронтона от пьедестала, на котором стоит череда колонн – а Стюарт Росситер в своей книге «Греция» (Stuart Rossiter. Greece, 1977) утверждает, что она составляла 59 футов, – все равно у нас получится соотношение ширины к высоте примерно 1,72, что, конечно, ближе к φ, но все же существенно отличается от него. Другие исследователи также скептически относятся к роли φ в дизайне Парфенона. Кристина Флон в своей книге «Архитектурный атлас мира» (Christine Flon. The World Atlas of Architecture, 1984) отмечает, что хотя «вполне вероятно, что некоторые зодчие… хотели бы основывать свои творения на строгой системе соотношений… обобщать было бы неверно».
Так использовалось ли золотое сечение при проектировании Парфенона? Точно сказать трудно. Хотя большинство математических теорем, имеющих касательство к золотому сечению (или к делению «в крайнем и среднем отношении»), видимо, были сформулированы уже после постройки Парфенона, однако пифагорейцы располагали значительными познаниями в этой области. Следовательно, зодчие Парфенона могли бы решить, что его конструкция будет основана на каком-то принципе эстетического канона. Однако это отнюдь не так очевидно, как убеждают нас многие книги, и не очень хорошо подтверждаются размерами, которыми обладает Парфенон в действительности. Учитывалось золотое сечение при строительстве Парфенона или нет, неизвестно, зато мы точно знаем, что сводом всех математических «программ», связанных с золотым сечением и выведенных древними греками в IV веке до н. э., стали «Начала» Евклида, вышедшие в свет примерно в 300 году до н. э. И в самом деле, с точки зрения логики, глубины и последовательности «Начала» издавна считались апофеозом достоверности человеческого познания.
В крайнем и среднем отношении
В 336 году до н. э. двадцатилетний Александр Македонский унаследовал трон, а затем одержал череду блистательных побед, завоевал большую часть Малой Азии, Сирию, Египет и Вавилон и стал правителем Персидской империи. За несколько лет до безвременной смерти – Александр умер в тридцать три года – он основал величайший памятник самому себе: город Александрию в устье Нила.
Александрия располагалась на пересечении трех великих цивилизаций – египетской, греческой и иудейской. В результате она превратилась в незаурядный интеллектуальный центр, просуществовавший много сотен лет и давший жизнь выдающимся открытиям и шедеврам – в том числе «Септуагинте» («переводе семидесяти»), переводу Ветхого Завета на древнегреческий, который, согласно легенде, выполнили 72 переводчика. Работа началась в III веке до н. э. и продолжалась в несколько этапов свыше ста лет.
После смерти Александра власть над Египтом и африканскими владениями Александра получил Птолемей I, и в числе первых его распоряжений было учреждение в Александрии подобия университета (Музейона). В него входила и библиотека; на ее комплектацию были брошены значительные силы, и считается, что в определенный момент в ней хранилось 700 000 книг (некоторые были конфискованы у незадачливых заезжих иностранцев). В первый штат преподавателей Александрийской школы входил и Евклид, автор «Начал», самой прославленной книги за всю историю математики. Хотя Евклид был «автором бестселлера» (по количеству проданных экземпляров «Начала» до ХХ века уступали лишь Библии), весьма вероятно, что он учился в Афинах у кого-то из учеников Платона. Прокл, в частности, пишет о Евклиде: «Этот муж жил при Птолемее I… Он моложе окружения Платона и старше Эратосфена и Архимеда».
«Начала», тринадцатитомный труд по геометрии и теории чисел, настолько колоссален по размаху, что мы иногда забываем, что Евклид написал еще с десяток книг на самые разные темы – от музыки до механики и оптики. До нас дошли лишь четыре его трактата: «О делении», «Оптика», «Явления» и «Данные». В «Оптике» содержатся некоторые первые исследования перспективы. Едва ли кто-нибудь станет спорить, что «Начала» – величайший и авторитетнейший учебник математики в истории человечества. Рассказывают, что Авраам Линкольн, желая разобраться, что на самом деле значит слово «доказательство» в юридическом контексте, изучал «Начала» в своей хижине в Кентукки. Знаменитый английский философ и логик Бертран Рассел описывает в автобиографии свое знакомство с «Началами» Евклида (в одиннадцать лет!) и говорит, что это была «величайшая веха в моей жизни, событие ослепительное, словно первая любовь».
При прочтении «Начал» складывается впечатление, что автор этого труда – человек совестливый, почитающий традиции и очень скромный. Евклид нигде не пытается присвоить себе чужие мысли и достижения. В сущности, он вообще не претендует на оригинальность, несмотря на совершенно очевидный факт, что он предлагает множество новых доказательств, совершенно иначе организует знания, которым другие ученые посвятили целые тома, и самостоятельно продумывает структуру своего труда. Дотошность, честность и скромность Евклида снискали восхищение Паппа Александрийского, который около 340 года н. э. составил «Математическое собрание» – бесценный обзор многих аспектов греческой математики.
В «Началах» Евклид делает попытку охватить основную часть всего свода математических знаний своего времени. Книги I–VI посвящены геометрии плоских фигур, которую мы теперь изучаем в школе и которая получила название в честь Евклида – евклидова геометрия. Из них в книгах I, II, IV и VI говорится о линиях и плоских фигурах, в книге III собраны теоремы об окружности, а в книге V подробно рассказывается о следствиях из предположения, которое сделал Евдокс Книдский (408–355 г. до н. э.). Книги VII–X посвящены теории чисел и основам арифметики. В частности, в книге Х подробно рассказывается об иррациональных числах, и ее содержание в основном посвящено трудам Теэтета. В книге XI излагаются основы стереометрии, в книге XII, где в основном разобраны труды Евдокса, дана теорема о площади круга, а в книге XIII, также основанной на трудах Теэтета, рассказано, как построить пять платоновых тел.
Еще в античности к «Началам» писали комментарии – этим занимались Герон (I в. н. э.), Папп (IV в.) и Прокл (V в.) – все из Александрии – и Симпликий Афинский (VI в.). В IV в. н. э. появилась новая редакция труда, выполненная Теоном Александрийским; именно с нее делались все переводы вплоть до XIX века, когда в Ватикане была обнаружена рукопись с несколько иным текстом. В Средние века «Начала» трижды переводили на арабский. Первый из переводов выполнил Аль-Хаджжадж ибн Юсуф по заказу халифа Гарун-аль-Рашида (правил в 786–809 гг.), о котором мы знаем по сказкам из «Тысячи и одной ночи». В Европе «Начала» стали известны в латинских переводах арабской версии. Арабский текст получил в свое распоряжение английский монах-бенедиктинец Аделард (Аделяр) Батский (ок. 1070–1145), который, как рассказывают, путешествовал по Испании, называясь студентом-магометанином; около 1120 года он выполнил перевод на латынь. Этот перевод лег в основу всех европейских изданий вплоть до XVI века. Затем последовали переводы на многие современные языки.
Сам Евклид, вероятно, и не был величайшим математиком в истории, однако нет никаких сомнений, что как преподавателю математики ему не было и нет равных. Его учебником практически в неизменном виде пользовались больше двух тысяч лет, до середины XIX века. Даже сыщик Шерлок Холмс, плод воображения Артура Конан-Дойла, в «Этюде в багровых тонах» утверждает, что его выводы, сделанные методом дедукции, «безошибочны, как теоремы Евклида» (пер. Н. Треневой).
Речь о золотом сечении заходит в «Началах» несколько раз. Первое определение золотого сечения («в крайнем и среднем отношении») мы встречаем в книге II, где оно применяется к площадям и о нем говорится несколько расплывчато. Второе, более четкое определение – применительно к пропорциям – дано в книге VI. Евклид опирается на золотое сечение, в частности, при построении правильного пятиугольника (в книге IV), додекаэдра и икосаэдра (в книге XIII).
Рис. 24
Давайте при помощи самой простой геометрии изучим определение Евклида и поймем, почему золотое сечение играет такую важную роль в построении пятиугольника. На рис. 24 изображен отрезок АВ, разделенный на две части точкой С. Евклидово определение из книги IV, где говорится о крайнем и среднем отношении, означает, в сущности, что (длинная часть) / (короткая часть) = (целый отрезок/длинная часть). Иначе говоря, на рис. 24:
AC/CB = AB/AC
Так как же подобное деление отрезка связано с пятиугольником? У любой правильной плоской фигуры (то есть с равными сторонами и внутренними углами, такие фигуры еще называют правильными многоугольниками) сумма углов равна 180 × (n–2), где n – число сторон. Например, у треугольника n = 3, и сумма всех углов равна 180 градусам. У правильного пятиугольника n = 5, и сумма всех углов, следовательно, равна 540 градусов. Значит, каждый угол правильного пятиугольника равен 540/5 = 108 градусов. А теперь представим себе, что мы проводим из одного угла пятиугольника две диагонали, как на рис. 25, а, и у нас получается три равнобедренных треугольника. Поскольку два угла при основании любого равнобедренного треугольника равны, углы при основании треугольников по бокам равны 36 градусов каждый: (180–108)/2.
Рис. 25
Поэтому получается, что углы среднего треугольника равны 36–72–72, как помечено на рис. 25, а. Если разделить любой из 72-градусных углов при основании треугольника (как на рис. 25, b) биссектрисой, получится маленький треугольник DBC с такими же углами (36–72–72), как и большой треугольник ADB. При помощи самой элементарной геометрии мы можем показать, что по определению Евклида точка С делит сторону АВ в золотом сечении. Более того, отношение AD к DB также равно золотому сечению (краткое доказательство приводится в Приложении 4). Иначе говоря, отношение длины диагонали к длине стороны у правильного пятиугольника равно числу φ. Этот факт показывает, что умение разделить отрезок в золотом сечении дает нам еще и простой способ построить правильный пятиугольник. Необходимость построить правильный пятиугольник и была главной причиной интереса древных греков к золотому сечению. Треугольник, который на рис. 25, а находится в середине – с отношением стороны к основанию, равным φ – известен также как золотой треугольник, а два треугольника по сторонам от него, у которых отношение стороны к основанию равно 1/φ, называют иногда золотыми гномонами. Рис. 26 иллюстрирует уникальное свойство золотых треугольников и золотых гномонов: их можно рассекать на треугольники поменьше, которые также будут представлять собой золотые треугольники и золотые гномоны.
Связь золотого сечения с правильными пятиугольниками, пятисторонняя симметрия и платоновы тела представляют интерес сами по себе, и их, конечно, было бы более чем достаточно, чтобы возбудить любознательность древних греков. Пифагорейцы были прямо-таки очарованы правильным пятиугольником и пентаграммой, а Платон пристально интересовался правильными многогранниками и был убежден, что они служат отражением фундаментальных вселенских сущностей; поэтому поколения математиков, не покладая рук, трудились над формулировкой многочисленных теорем, имеющих отношение к φ. Однако золотое сечение никогда не заняло бы такого видного места и не снискало бы почтения на грани поклонения, если бы не некоторые его алгебраические свойства, поистине уникальные. Но чтобы понять, каковы эти свойства, нам нужно сначала точно вычислить значение φ.
Снова рассмотрим рис. 24; возьмем длину короткой части СВ за единицу, а длину длинной части АС за х единиц. Если отношение х к 1 таково же, как (х +1) – то есть длины отрезка АВ – к х, значит, отрезок разделен в крайнем и среднем отношении. Мы можем легко найти значение x в золотом сечении. По определению крайнего и среднего отношения
х/ 1 = ( х + 1) / x.
Умножим обе части на х; тогда у нас получится х2 = х + 1, или простое квадратное уравнение
х 2 – х – 1 = 0.
Если вы вдруг подзабыли, как решать квадратные уравнения, в Приложении 5 приведена краткая памятка. Два корня уравнения золотого сечения равны
х1 = (1 + √5) /2
х2 = (1 – √5) /2.
Положительный корень х1 = (1 + √5)/2 = 1,6180339887… и дает нам значение золотого сечения. Теперь очевидно, что число φ – иррациональное, поскольку представляет собой половину суммы 1 + √5. Тут можно сразу заподозрить, что у этого числа есть интересные свойства; для этого нам понадобится простой карманный калькулятор. Введите число 1,6180339887 и нажмите клавишу [х2]. Ну как, ничего удивительного не замечаете? Теперь снова введите то же самое число и на сей раз нажмите клавишу [1/х]. Поразительно, правда? Квадрат числа 1,6180339887… дает 2,6180339887…, его обратное число («один к х») равно 0,6180339887… – знаки после запятой полностью совпадают! Золотое сечение обладает уникальными свойствами – чтобы получить его квадрат, достаточно прибавить к нему 1, а чтобы получить число, ему обратное, – вычесть 1. Кстати, отрицательный корень уравнения х2 = (1 – √5)/2 равен в точности –1/φ.
Пол С. Брукманс из города Конкорд в штате Калифорния в 1977 году опубликовал в журнале «Fibonacci Quarterly» забавный стишок под названием «Constantly Mean», что можно перевести и как «Постоянное Среднее» (здесь он называет золотое сечение золотым средним):
Итак, мы получили алгебраическое выражение золотого сечения и теперь можем, в принципе, вычислить его с высокой точностью. Именно это и проделал М. Берг в 1966 году, когда он за 20 минут на большом компьютере IBM 1401 вычислил число φ с точностью до 4599 знака после запятой (результат был опубликован в «Fibonacci Quarterly»). Сегодня можно проделать то же самое практически на любом персональном компьютере меньше чем за две секунды. Более того, в декабре 1996 года золотое сечение было вычислено до десятимиллионного знака после запятой, и ушло на это около получаса. Для подлинных любителей интересных чисел на следующем развороте приведено значение числа φ до 2000 знака после запятой (справа для удобства – указаны номера десятичных позиций).
Конечно, все вышеприведенные свойства числа φ весьма интересны, однако читатель вправе решить, что они едва ли оправдывают звание «золотого» или «божественного» числа – и будет, конечно, прав. Однако пока что мы лишь стоим на пороге поразительных чудес.
Значение числа φ до 2000 знака после запятой
Сокровищница сюрпризов
Всем знакомо это восхитительное чувство, когда мы приходим на вечеринку, где, как мы были твердо убеждены, никого не знаем, и вдруг узнаем лицо старого друга. Такой же наплыв эмоций возникает, когда на выставке сворачиваешь за угол и вдруг видишь свою любимую картину. Близкие устраивают нам приятные сюрпризы именно потому, что нежданная радость многим из нас приносит колоссальное удовольствие. А у математики и, в частности, у золотого сечения в запасе полным-полно сюрпризов.
Представьте себе, что мы хотим вычислить значение вот такого необычного выражения, состоящего из бесконечного числа квадратных корней:
Как тут вообще подступиться к ответу? Есть один довольно-таки громоздкий метод: сначала вычислить, что даст нам √2=1,414…, затем вычислить и т. д., уповая на то, что рано или поздно значения начнут быстро сходиться к какому-то числу. Но ведь, возможно, есть и другой метод вычисления, проще и изящнее. Обозначим искомую величину х. Тогда у нас получается
Теперь возведем в квадрат обе части равенства. В левой получим х2, а при возведении в квадрат правой части мы просто уберем тот квадратный корень, под которым стоит все выражение (по определению квадратного корня), и получим
Однако обратите внимание, что поскольку выражение в правой части нашего равенства тянется до бесконечности, оно равно нашему первоначальному х. Поэтому у нас получается квадратное уравнение: х2 = 1 + х. Но ведь это и есть равенство, которое описывает золотое сечение! А следовательно, мы выяснили, что наше бесконечное равенство в точности равно числу φ!
А теперь рассмотрим совсем другое бесконечное выражение, на сей раз – с дробями:
Это особое математическое понятие, известное как цепная или непрерывная дробь; такие дроби довольно часто используются в теории чисел. Как же нам подсчитать значение этой непрерывной дроби? В принципе, можно понемногу отсечь единицы снизу доверху, надеясь нащупать предел, к которому сходится непрерывная дробь. Однако опыт уже научил нас, что лучше начать с того, чтобы приравнять это выражение к х. Итак,
Однако отметим, что поскольку непрерывная дробь тянется бесконечно, знаменатель второго слагаемого в правой части равен х. И вот мы получаем выражение
х = 1+ 1/ х
Умножим обе части на х – и получим х2 = 1 + х, а это опять же равенство, определяющее золотое сечение! Смотрите-ка, удивительная непрерывная дробь тоже равна числу φ. Об этом свойстве тоже упоминается в стихотворении Пола С. Брукманса:
Поскольку непрерывная дробь, соответствующая золотому сечению, состоит из одних единиц, она очень медленно сходится. В этом отношении золотое сечение «труднее» выразить в виде непрерывной дроби, нежели любое другое иррациональное число: воистину оно самое иррациональное из всех иррациональных чисел!
Рис. 26
Теперь оставим бесконечные выражения и обратимся к золотому прямоугольнику с рис. 26. Длины сторон этого прямоугольника соотносятся друг с другом в соответствии с золотым сечением. Теперь предположим, что мы отрезаем от этого прямоугольника квадрат, как показано на рисунке. У нас останется прямоугольник поменьше, и это тоже будет золотой прямоугольник. Габариты этого «производного» прямоугольника меньше, чем у «исходного», с коэффициентом ровно φ. Теперь отрежем квадрат от «производного» золотого прямоугольника – и у нас получится еще один золотой прямоугольник с габаритами, которые опять же меньше с коэффициентом φ. Этот процесс можно продолжать до бесконечности, создавая золотые прямоугольники все меньше и меньше (каждый раз их габариты «сдуваются» на множитель φ). Если бы мы изучали все уменьшающиеся по размеру золотые прямоугольники в лупу, причем брали бы линзу все сильнее и сильнее, они были бы все одинаковые. Золотой прямоугольник – единственный прямоугольник, обладающий таким свойством, что если отрезать от него квадрат, получится подобный прямоугольник. Проведите диагонали в любой паре из «исходного» и «производного» треугольника из этой череды, как на рис. 26, и они все пересекутся в одной точке. К этой недостижимой точке и сходятся уменьшающиеся прямоугольники. Благодаря «божественным» качествам, приписываемым золотому сечению, математик Клиффорд А. Пиковер предложил назвать эту точку «Оком Господним».
Если у вас не идет кругом голова при одной мысли, что во всех этих математических обстоятельствах, таких разных, мы приходим к одному и тому же числу φ, возьмите простенький карманный калькулятор, и я покажу вам потрясающий фокус. Выберите два любых числа (число разрядов не имеет значения) и запишите их подряд. Теперь при помощи калькулятора (или в уме) составьте (и запишите) третье число, сумму первых двух. Теперь составьте четвертое число – прибавив к получившейся сумме третье, пятое – прибавив четвертое к третьему, шестое – сложив пятое с четвертым и т. д., пока у вас не получится последовательность из двадцати чисел. Скажем, если первыми числами у вас были 2 и 5, у вас должна получиться последовательность 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131… Теперь при помощи калькулятора поделите двадцатое число на девятнадцатое. Узнаете результат? Разумеется, это φ. К этому фокусу и его «разоблачению» я вернусь в главе 5.
Мрачное Средневековье
Когда Евклид в «Началах» давал определение золотого сечения, его интересовала в первую очередь геометрическая интерпретация этого понятия и его применение в построении правильного пятиугольника и некоторых платоновых тел. Греческие математики следующих столетий вывели еще несколько геометрических результатов, связанных с золотым сечением. Например, в дополнительной книге к «Началам» Евклида (ее иногда так и называют книгой XIV «Начал») содержится важная теорема о додекаэдре и икосаэдре, вписанных в одну и ту же сферу. Текст книги XIV приписывают Гипсиклу Александрийскому, который, вероятно, жил во II веке н. э., однако считается, что в ней содержатся также теоремы Аполлония Пергского (ок. 262–190 до н. э.), одного из трех светил Золотого Века греческой математики (приблизительно 300–200 годы до н. э.) наряду с Евклидом и Архимедом. После этого к изучению золотого сечения возвращались лишь от случая к случаю, и эти исследования были связаны в основном с именами Герона (I в. н. э.), Птолемея (II в. н. э.) и Паппа (IV в. н. э.). Герон в своей «Метрике» предлагает формулы для приближенного вычисления площади поверхности правильного пятиугольника и правильного десятиугольника и объема икосаэдра и додекаэдра, однако умалчивает о том, как эти формулы были получены.
Птолемей (Клавдий Птолемей) жил примерно в 100–179 г. н. э., однако о его жизни практически ничего неизвестно, кроме того, что работал он в основном в Александрии. На основании своих собственных астрономических наблюдений, а также знаний, полученных его предшественниками, Птолемей разработал знаменитую геоцентрическую модель Вселенной, согласно которой солнце и небесные тела вращаются вокруг Земли. Конечно, в рассуждениях Птолемея была фундаментальная ошибка, однако при помощи этой модели удалось объяснить наблюдаемое движение планет (хотя бы в первом приближении), и идеи Птолемея определяли ход мыслей астрономов в течение тринадцати веков.
Собственные астрономические изыскания Птолемей согласовал с выводами других греческих астрономов, в особенности Гиппарха Никейского, и свел весь корпус знаний воедино в своем энциклопедическом тринадцатитомном труде «Великое математическое построение по астрономии», или попросту «Великое» (по-гречески «мегисте»), которое в Европе стало известно под арабизированным названием «Альмагест» – «мегисте» с приставкой «аль-» – определенным артиклем. Кроме того, Птолемею принадлежат важные заслуги и в географической науке, он написал авторитетный труд «Руководство по географии».
В «Альмагесте» и «Руководстве по географии» Птолемей приводит один из самых ранних эквивалентов тригонометрической таблицы для множества углов. В частности, он вычислил длины хорд, соединяющих две точки на окружности под разными углами, в том числе под углами 36, 72 и 108 градусов: эти величины, если вы помните, появляются и в правильном пятиугольнике, а следовательно, тесно связаны с золотым сечением.
Последним великим греческим геометром, который занимался теоремами, связанными с золотым сечением, был Папп Александрийский. В своем «Математическом собрании» (ок. 340 г. н. э.) Папп предлагает новый метод построения додекаэдра и икосаэдра, а также сравнивает объемы платоновых тел, и во всех этих выкладках присутствует золотое сечение. Комментарии Паппа к евклидовой теории иррациональных чисел сохранились в арабских переводах трудов Паппа и прекрасно отражают историческое развитие представлений об иррациональных числах. Однако эти героические усилия остановить общий упадок и разложение математики и, в частности, геометрии оказались безуспешны, и после смерти Паппа интерес к золотому сечению угас на долгие годы, что, впрочем, соответствовало общей тенденции: Запад утратил интерес к науке. Великая Александрийская библиотека была уничтожена в несколько этапов, сначала римлянами, а затем христианами и магометанами. Даже Платоновской Академии пришел конец – это случилось в 529 году, когда византийский император Юстиниан распорядился закрыть все греческие учебные заведения. Последовало мрачное Средневековье, и французский историк и епископ Григорий Турский (538–594) сокрушался, что «ученость среди нас погибла». В сущности, научно-исследовательская жизнь в Европе заглохла, и интеллектуальное первенство осталось за Индией и арабским миром. Знаменательным событием в этот период стало введение так называемых индо-арабских цифр и десятичной позиционной системы счисления. Виднейшим индийским математиком VI века был Ариабхата (476–ок. 550). Самая известная его книга называется «Ариабхатия», и там мы находим следующую фразу: «От разряда к разряду каждое в десять раз больше предыдущего», что свидетельствует о введении разрядов чисел, то есть записи, где важно положение цифры. Сохранилась индийская надпись, относящаяся к 595 году, где содержится запись даты индийскими цифрами в десятичной позиционной системе, а значит, к этому времени подобная запись уже была в ходу. Первым признаком того, что индийские цифры проникают на Запад (хотя тогда они еще не прижились), можно считать их упоминание в трудах Севера Себохта, жившего в Кенешре на реке Евфрат. В 662 году он писал: «Не стану обсуждать индийскую науку… и их ценные методы вычисления, которые превосходят всяческие описания. Скажу лишь, что они производят вычисления посредством девяти знаков».
По мере того, как набирал силу ислам, важным центром математических исследований становился магометанский мир. Если бы не интеллектуальный подъем в мусульманских странах в VIII веке, до нас не дошли бы труды большинства античных математиков. В частности, халиф аль-Мамун (786–853) учредил в Багдаде Бейт аль-хикма («Дом мудрости»), похожий на знаменитый александрийский университет – Музейон. В сущности, Аббасидский халифад по крупицам собирал остатки александрийской учености. Легенда гласит, что калифу во сне явился Аристотель, после чего он решил перевести все греческие ученые труды на арабский.
Важнейшие изыскания магометанских ученых в основном касались алгебры и если и затрагивали золотое сечение, то лишь весьма поверхностно. Тем не менее, следует упомянуть по меньшей мере троих математиков: это аль-Хорезми и Абу Камил Шуджа, жившие в IX веке, и Абу-л-Вафа, живший в Х веке.
Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми работал в Багдаде и примерно в 825 году написал здесь книгу, которая считается самым авторитетным трудом по алгебре той эпохи – «Книга восполнения и противопоставления», «Kitab al-jabr wa al-muqabalah». От ее названия – «аль-джебр» – пошло привычное для нас название науки «алгебра», поскольку это был первый учебник по этой дисциплине в Европе. Более того, слово «алгоритм», которым называется любой особый метод решения математической задачи при помощи набора определенных шагов-процедур, тоже происходит от искаженного «аль-Хорезми». «Книга восполнения» на несколько столетий стала синонимом теории уравнений. Уравнение, которое требовалось для решения одной задачи, представленной аль-Хорезми, очень похоже на уравнение-определение золотого сечения. Аль-Хорезми говорит: «Я поделил десять на две части; первую я умножил на десять, вторую – на саму себя, и результаты оказались одинаковыми». Неизвестную величину аль-Хорезми обозначил как «шай» – «вещь». Следовательно, первая часть условия вышеприведенной задачи сводится к фразе «умножаешь “вещь” на десять, получается десять “вещей”». Таким образом, первое уравнение выглядит так: 10 × x = (10 – x)2, то есть формула для вычисления меньшей части отрезка длиной в 10 единиц, разделенного в золотом сечении. Вопрос в том, имел ли аль-Хорезми в виду золотое сечение, когда формулировал эту задачу. Под влиянием аль-Хорезми неизвестную стали в ранних латинских работах называть «res», а в переводах на итальянский – «cosa» («вещь, дело»). Соответственно, алгебра прославилась как «l’arte della cosa» («искусство вещи», «искусство неизвестной»). Иногда ее называли также «ars magna» – «великое искусство» – в противоположность арифметике, которая считалась не таким великим искусством.
Другой арабский математик, внесший свой вклад в историю золотого сечения, – это Абу Камил Шуджа по прозвищу аль-Хасиб аль-Мисри, что значит «вычислитель из Египта». Родился он около 850 года, вероятно, в Египте, а умер около 930 года. Он написал много книг, некоторые из которых, в том числе «Книга об алгебре», «Книга о редкостях искусства арифметики» и «Книга о геометрии», дошли до нас. Возможно, Абу Камил был первым математиком, который не просто искал решения задачи, а интересовался поиском всех возможных решений. В своей книге «О редкостях искусства арифметики» он даже описывает задачу, к которой нашел 2678 решений! Однако с точки зрения истории золотого сечения главное – что книги Абу Камила стали основой для некоторых книг итальянского математика Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи, с которым мы скоро познакомимся. Трактат Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике» содержит двадцать задач с решениями, где ученый вычисляет площади фигур, длины их сторон и радиусы описанных вокруг них окружностей. В некоторых этих вычислениях, но не везде, он применяет и золотое сечение. Несколько алгебраических задач из «Алгебры» Абу Камила, вероятно, тоже вдохновлены понятием золотого сечения.
Последний исламский математик, которого мне хочется здесь упомянуть, – Мухаммад Абу-л-Вафа (940–998). Абу-л-Вафа родился в Бузгане на территории современного Ирана и жил в правление династии Буидов в западном Иране и Ираке. Эта династия достигла расцвета в царствование Адуда аль-Давла, который был горячим поклонником и покровителем математики, естественных наук и искусств. Абу-л-Вафа был среди математиков, которых в 959 году пригласили в Багдад ко двору Адуда аль-Давла. В его первом солидном труде – книге «О том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики», по словам самого ученого, «содержатся все арифметические знания, которые необходимы ученику, подчиненному или начальнику». Интересно, что хотя сам Абу-л-Вафа был специалистом в применении индийских цифр, весь текст его книги написан вообще без цифр, одними словами, а вычисления проводятся только в уме. К Х веку индийские цифры еще не нашли применения в деловых кругах. То, что Абу-л-Вафа интересуется золотым сечением, видно из другой его книги – «О том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений». В этой книге Абу-л-Вафа приводит изобретательные методы построения правильного пятиугольника и десятиугольника, вписывания правильных многоугольников в окружности и в другие многоугольники. Уникальную черту его работы составляет серия задач, которые он решает при помощи линейки (прямой, без делений) и циркуля, в котором угол между ножками зафиксирован (так называемый «ржавый циркуль»). Возможно, на этот жанр ученого вдохновило «Собрание» Паппа, однако не исключено, что такие решения просто отражают подход Абу-л-Вафы к практическим задачам: решения при помощи циркуля с фиксированным углом между ножками более точны.
Книги этих и других арабских математиков несколько углубили знания о золотом сечении, и их открытия сыграли важную, хотя и не очень большую роль. Как часто бывает в науке, подобные подготовительные периоды медленного прогресса необходимы для следующего прорыва. Великий драматург Джордж Бернард Шоу как-то выразил свое представление о прогрессе следующими словами: «Разумный человек приспосабливается к миру; неразумный – упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неразумных людей». В случае золотого сечения квантовый скачок дожидался появления одного из самых выдающихся математиков Средневековой Европы – Леонардо Пизанского.