1

Куда можно поместить еще одну звезду первой величины?

Эта необычная головоломка связана с недавним заявлением одного астронома о том, что он обнаружил новую звезду первой величины.

На приведенном здесь рисунке вы видите этого высокоученого профессора, знакомящего со своим открытием собратьев-астрономов. Он уже изобразил на доске, как расположены пятнадцать звезд различной величины, и теперь собирается показать, где именно находится открытая им новая звезда.

Сумеете ли вы нарисовать пятиконечную звезду, которая была бы больше любой другой из изображенных на рисунке звезд и не касалась бы при этом ни одной из них?

2

Укажите путь от Филадельфии до Эри, проходящий по одному разу через все города

На карте показаны 23 города штата Пенсильвания, соединенные между собой дорогами, которые образуют довольно причудливый рисунок. Задача проста садитесь на велосипед и поезжайте из Филадельфии в Эри, посещая каждый город по одному разу и не пользуясь никакой дорогой дважды. Вот и все.

Города пронумерованы для того, чтобы проще было проследить путь. В данном случае вы избавлены от часто встречающегося требования найти наикратчайший из всех возможных путей. Ваша задача добраться до цели, не заботясь о проделанных милях.

3

Поменяйте местами штырьки за наименьшее число ходов

Я пользуюсь случаем, чтобы обратить ваше внимание на истоки одной неплохой игры-головоломки, разновидности солитера, весьма популярной в Европе. Это английское изобретение, ибо головоломку придумал один тамошний моряк, который сорок лет жизни провел в приюте для моряков на Стейтен-Айленд и страшно гордился, что в свое время плавал с капитаном Рэнделлом, основателем этого заведения.

Орудуя морским ножом, старый моряк вырезал эти головоломки и тут же продавал их, добывая таким путем себе «немного лишней мелочишки», как он сам это называл. Игра стала широко известна в Лондоне и получила распространение в Европе как английская игра в шестнадцать, но ей не довелось пересечь океан.

В головоломке требуется поменять местами белые и черные штырьки за наименьшее число ходов. Штырек можно перемещать с одной клетки на другую, соседнюю пустую клетку или им можно перепрыгнуть через рядом стоящий штырек (независимо от его цвета), если клетка за ним свободная. Причем штырьки разрешается перемещать только по горизонтали и вертикали (подобно шахматной ладье), но не по диагонали.

По словам очевидцев, старый моряк очень гордился тем, что нашел способ, как можно выполнить задание за наименьшее число ходов. Но либо он ошибался, либо его решение следует считать утраченным. И хотя мир с того времени ушел вперед, решения, которые приводятся в английских сборниках головоломок и математических работах как наикратчайшие, содержат погрешности; во всяком случае, их можно сократить на несколько ходов.

4

Ярмарочная игра в кости

Игра в кости, о которой пойдет речь, весьма популярна на ярмарках и карнавалах, но, поскольку игроки редко приходят к согласию относительно своих шансов на выигрыш, я предлагаю ее в форме простой задачи по теории вероятностей.

На прилавке лежат шесть квадратов, помеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Игрокам предлагается на любой из квадратов положить любое количество денег. Затем бросаются три кости. Если номер вашего квадрата выпадает только на одной из костей, то вы получаете ваши деньги назад, и к ним прибавляется еще такая же сумма. Если ваш номер выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваши деньги плюс сумму, вдвое большую, чем та, которую вы ставили на квадрат. Если же ваш номер выпадает на всех трех костях, то кроме ваших денег вы получаете сумму, втрое превышающую вашу ставку. Разумеется, если номер вашего квадрата не выпадает ни на одной из костей, то все деньги забирает владелец аттракциона.

Поясним это на примере. Допустим, вы поставили 1 доллар на квадрат № 6. Если на одной из костей выпадает 6, то вы получаете назад ваш доллар да еще 1 доллар впридачу. Если 6 выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваш доллар плюс еще 2 доллара. Если же 6 выпадает на всех трех костях, то вы забираете назад ваш доллар и получаете еще 3 доллара.

Игрок может рассуждать так: шанс моего числа выпасть на одной кости составляет 1/6, но поскольку костей три, то он повышается до 3/6, то есть до 1/2; значит, эта игра честная. Разумеется, в интересах владельца аттракциона, чтобы так думал каждый.

У кого в этой игре предпочтительнее шансы – у владельца аттракциона или у игрока, и насколько они велики?

5

С помощью двух прямолинейных разрезов разделите подкову на семь частей так, чтобы в каждой части было по дырке для гвоздя

Эта головоломка ведет свое начало от сказки о золотой подкове. В этой сказке рассказывается о том, как золотую подкову двумя сабельными ударами разрубили на семь частей, в каждой из которых оказалось по дырке для гвоздя, в дырки продели семь ленточек и кусочки подковы повесили на счастье на шеи семерым детям.

После первого разреза получившиеся части разрешается сложить стопкой, а уж затем проводить второй разрез. Но оба разреза должны быть прямыми и бумагу не разрешается ни перегибать, ни даже просто изгибать. Я предложил эту головоломку одному жокею. Он вырезал бумажную подкову, сделав первый разрез, разделил ее на три части, сложил эти части и после второго разреза получил шесть частей. Но задача-то состоит в том, чтобы получить семь частей. Хотя эта головоломка довольно проста, она все же достаточно интересна и, на мой взгляд, заслуживает внимания.

Решив ее, вы можете испытать свои силы в более трудном случае. Какое наибольшее число частей можно получить с помощью двух разрезов? Условия задачи остаются прежними, только теперь вы можете не обращать внимания на дырки для гвоздей.

6

Виноградник Марты

Во времена колонизации Америки один упорный колонист, который взял на себя тяжкий труд по возделыванию каменистой почвы на одном из островов у побережья Новой Англии, попытался с помощью своей маленькой дочери Марты посадить виноградник. Дабы ободрить девочку, лишенный возможности вознаградить ее иным способом, он разрешил ей возделать свой маленький квадратный участок, содержащий ровно 1/16 акра земли.

Рассказывают, что Марта посадила свои виноградные лозы как обычно, рядами, на расстоянии 9 футов друг от друга, и возделывала их так же, как это делали другие. Но, согласно преданию, ее маленькое и довольно рискованное предприятие увенчалось успехом, и виноградник Марты стал известен в округе. Она собирала с акра больше винограда, чем любой виноградарь этого острова, и вырастила много новых и ценных сортов.

Вот и вся история, если ограничиться лишь голыми фактами. Тем не менее, не ставя под сомнение ни таланты Марты, ни миловидность девочки, которая сообщала лишь дополнительный аромат взращенным ею гроздьям, я хотел бы, так сказать, привить одну практическую задачу к ее винограднику, которая могла бы объяснить причину удивительного успеха.

Сколько виноградных лоз можно посадить на квадратном участке в 1/16 акра так, чтобы лозы отстояли друг от друга не менее чем на 9 футов.

Эта задача удачно подобрана, дабы подвергнуть испытанию изобретательность наших математиков, напомним лишь, что у квадрата площадью в 1 акр сторона равна 208 710/1000 фута, а значит, сторона квадрата площадью в 1/16 акра составляет 52 фута 2 дюйма. Это несколько отличается от принятых в сельской местности измерений, где квадрат со стороной в 210 футов полагается равным 1 акру.

7

Одним росчерком пера нарисуйте эмблему, сделав наименьшее число поворотов

Просматривая фотографии древних греческих руин, обнаруженных во время недавних раскопок, я обратил внимание на неоднократно повторяющуюся высеченную на камнях эмблему – треугольники в круге. Не вдаваясь в дискуссию относительно интерпретации этого знака, которой сведущие люди посвятили не один том, я просто хочу обратить ваше внимание на математическую или головоломную его особенность.

Этот знак стоит после некоторых надписей и, очевидно, выполняет роль печати или подписи. Не без удовольствия я обнаружил, что эмблему можно нарисовать, не отрывая пера или карандаша от бумаги и не проходя дважды по одной линии. Однако, приняв условие, разрешающее проходить по начерченным линиям неограниченное число раз, не отрывая карандаша от бумаги, но с наименьшим возможным числом поворотов, вы в силу ряда странных особенностей этой головоломки обнаружите, что она в своем роде весьма занятна.

8

Помогите фермеру и его жене поймать цыплят

Наблюдая прыжки игривых щенков, котят и других домашних животных, мы часто поражаемся тому, как, войдя во вкус, они наслаждаются самим процессом игры. Но что касается озорного непослушания, или «дьявольского упрямства» животных, как это зачастую называют их хозяева, то я не видел ничего, что могло бы сравниться с поведением двух непослушных цыплят, которых выгоняют или выманивают из огорода. Они никогда не летают и не убегают стремглав, а просто топчутся рядом, держась недалеко от своих преследователей, но так, чтобы их нельзя было достать. Более того, когда неудачливые «охотники» удаляются, цыплята сами превращаются в преследователей и идут буквально по пятам, с кудахтаньем, полным открытого неповиновения и презрения.

На одной из ферм в штате Нью-Джерси, где проводила лето группа горожан, охота на цыплят стала каждодневно практикуемым видом спорта. В огороде всегда находилась пара цыплят, явно бросавших вызов любому, кто захотел бы их поймать. Это напомнило мне игру с металлическим колечком, которым надлежит подцепить рыбку, и натолкнуло на мысль предложить любопытную головоломку, которая, как я с удовлетворением думаю, озадачит не одного из наших экспертов.

Требуется показать, за сколько «ходов» добрый фермер и его жена смогут схватить двух цыплят.

Огород разбит на 64 квадратных участка, размеченных кукурузными побегами. Допустим, что разыгрывается некая партия, где фигуры передвигаются между рядами кукурузных побегов из одного квадрата в другой по прямой вверх или вниз, вправо или влево.

Ходят по очереди. Сначала пусть мужчина и женщина передвинутся каждый на один квадрат. Затем делает ход каждый из цыплят. Игра продолжается до тех пор, пока цыплят удастся перевести в такие положения, что оба они окажутся загнанными в угол и будут схвачены. Цыплята считаются схваченными, когда фермер или его жена могут ступить на квадрат, занятый цыпленком. За сколько ходов вы добьетесь такого положения?

В эту игру можно играть на любой шахматной доске, представив фермера и его жену шашками одного цвета, а петушка с курочкой – другого.

9

Из Биксли в Квиксли

Вот одна любопытная задача, которую я придумал, пока трясся из Биксли в Квиксли верхом на длинноухом муле. Я спросил дона Педро, моего проводника и уроженца этих мест, который шел впереди и тянул мула за повод, может ли мой скакун двигаться с другой скоростью. Он сказал, что может, но та, другая, скорость гораздо меньше этой, так что я продолжал свое путешествие, не пытаясь ничего изменить. Дабы подбодрить дона Педро, который в нашем предприятии служил главным двигателем, я сказал, что нам следовало бы заглянуть по дороге в Пиксли и подкрепиться свежей порцией горючего; естественно, с этого момента дон Педро не мог думать уже ни о чем другом, кроме Пиксли.

Проехав 40 минут, я спросил, какой путь мы проделали, на что дон Педро ответил:

– Ровно вдвое меньше, чем отсюда до Пиксли.

Преодолев еще 7 миль, я спросил:

– Далеко ли до Квиксли?

Он ответил, как и прежде:

– Ровно вдвое меньше, чем отсюда до Пиксли.

Еще через час мы прибыли в Квиксли, что побуждает меня спросить вас, чему равно расстояние от Биксли до Квиксли?

10

Два индюка

– Вот эти два индюка вместе весят двадцать фунтов, – сказал мясник. – Однако фунт мяса индюшонка стоит на два цента дороже, чем фунт мяса крупного индюка.

Миссис Смит купила индюшонка за 82 цента, а миссис Браун заплатила 2 доллара 96 центов за большого индюка. Сколько весил каждый индюк?

11

Закройте паланкин, разрезав его на возможно меньшее число частей

– Что касается транспорта в Китае, – говорит один писатель, который большую часть жизни провел в Поднебесной, – то там очень скоро привыкаешь передвигаться в паланкине, что гораздо удобнее и быстрее наемного экипажа. Эти паланкины сплетены из ивовых прутьев и напоминают маленькие китайские коробочки из цветной соломки, сделанные так искусно, что вам никак не удается обнаружить места соединения.

Этот рассказ породил головоломку. Дело в том, что во время дождя паланкины закрываются, причем таким образом, что при самом внимательном изучении не удается найти места соединения отдельных частей. Вам предлагается разрезать изображенный на рисунке паланкин на возможно меньшее число частей, сложив которые нужным образом, вы получите правильный квадрат.

12

Какой убыток понес лавочник?

Торговля пеньковыми веревками и канатами издавна служила важной статьей дохода на Филиппинах и в значительной степени контролировалась китайскими экспортерами, которые развозили эти товары на своих судах по всему свету. Местными же лавками владели главным образом японцы, которые вели дела на свой собственный оригинальный манер. Отсутствие твердых цен очень часто приводило к спорам. Вот как это обычно выглядело.

Китайский моряк, войдя в лавку, спрашивает (мы не могли не заменить в этом диалоге сочных местных эпитетов):

– Не могли бы вы указать мне приличный магазин, где продаются хорошие веревки?

Лавочник-японец, проглотив оскорбление, отвечает:

– У меня продается только отборный товар, но, видно, самые худшие из моих веревок лучше того, что вам нужно.

– Покажите мне ваши самые лучшие. Они могут пригодиться, пока я не найду что-нибудь поприличнее. Сколько вы просите за этот канат?

– Семь долларов за бухту в сто футов.

– Это слишком много и слишком дорого. Я никогда не плачу больше доллара за бухту хорошего товара, а этот канат-то гнилой.

– Стандартный канат, – отвечает лавочник, показывая пломбу, гарантирующую длину и качество. – Если у вас не хватает денег, возьмите сколько вам нужно по два цента за фут.

– Отрежьте двадцать футов, – говорит моряк, доставая из кармана золотую монету в пять долларов, чтобы показать, что у него есть чем платить.

Лавочник отмеряет 20 футов, он делает это с таким тщанием, якобы у него и в мыслях нет обмерить покупателя. Моряк замечает, однако, что деревянный ярд, которым пользуется лавочник, на 3 дюйма короче обычного и кончается на отметке 33 дюйма. Подождав, пока канат будет отрезан, моряк холодно указывает на длинный конец и говорит:

– Я беру вот этот кусок в восемьдесят футов. Нет, вам не нужно его посылать, я заберу его сам.

Затем он кидает на прилавок фальшивую монету в 5 долларов, которую лавочник идет менять к соседу. Получив сдачу и ухватив канат под мышку, моряк уходит. Головоломка состоит в том, чтобы выяснить, какой убыток понес на этой операции лавочник, если учесть, что впоследствии сосед потребовал заменить фальшивую монету и что фут каната и в самом деле стоит 2 цента?

13

На торгах

Описывая, что произошло с ним на торгах, Смит сказал, что за полчаса он спустил половину своих денег и у него осталось столько же центов, сколько было первоначально долларов, и ровно вдвое меньше долларов, чем было первоначально центов. Сколько денег Смит истратил на торгах?

14

Какой величины точильный круг достался второму компаньону?

Рассказывают, что два честных сирийца, сложив свои сбережения, купили точильный круг. Поскольку они жили в нескольких милях друг от друга, то решили, что сначала кругом будет пользоваться старший из владельцев, а когда круг уменьшится ровно вдвое, он передаст его второму компаньону.

Круг имел в диаметре ровно 22 дюйма, в середине его имелось отверстие для оси диаметром 3 1/7 дюйма, как показано на рисунке. Чему должен равняться диаметр круга, когда его получит второй компаньон?

15

Кто выиграет в забеге?

Много лет назад, когда цирк Барнума действительно был «самым захватывающим зрелищем в мире», знаменитый мастер шоу попросил меня приготовить для него в рекламных целях серию призовых головоломок. Они стали широко известны благодаря крупным призам, предлагавшимся каждому, кто сумеет с ними справиться, и получили название загадок Сфинкса.

Барнум был особенно доволен задачей о состязании кошки с собакой. Он широко оповестил всех и вся, что в первый день апреля огласит ответ и раздаст призы или, по его словам, «вынет кота из мешка».

Головоломка формулировалась следующим образом.

Специально обученные собака и кошка участвуют в забеге: 100 футов вперед по прямой и обратно. Собака преодолевает за один прыжок 3 фута, а кошка – только 2; но зато она делает 3 прыжка в то время, как ее соперник делает 2. Скажите, каков при этих обстоятельствах возможный исход состязания?

Того факта, что оглашение ответа назначалось на первое апреля, и намека на «кота в мешке» было достаточно, чтобы заподозрить со стороны великого мастера зрелищных аттракционов какую-то ловушку.

16

Расположите эти десять частей так, чтобы змея кусала свой хвост

Профессор фон Шафскопфен, известный натуралист, был весьма озадачен противоречивыми рассказами о змее-обруче, названной так потому, что она имела обыкновение передвигаться довольно странным образом: взяв в рот конец своего хвоста, змея катилась словно обруч. Эта особенность подотряда Ophidia описана многими натуралистами, а один профессор колледжа утверждает, что видел трех змей, образовавших один большой обруч, который пронесся, как молния, а потом исчез, ибо змеи проглотили друг друга.

Никто не отрицает возможность такого исчезновения, но возникают сомнения относительно существования змеи-обруча. Профессор Шафскопфен рыскал по всей стране, пока, наконец, в дебрях Обручевых гор не нашел великолепный экземпляр окаменевшей змеи-обруча, которая так и погибла с кончиком своего хвоста во рту. Пользуясь острой пилой, профессор распилил змею на 10 частей, бережно обложил их ватой, упаковал и с триумфом привез свою добычу домой. Вот тут-то он и потерпел полный крах в попытках сложить части так, чтобы хвост оказался во рту.

Математики утверждают, что из этих десяти частей можно сложить 362 882 различные змеи, ни одна из которых не будет представлять собой замкнутый обруч. Это дало повод скептикам поставить 362 882 против 1 за то, что такая змея никогда и не существовала!

17

Чему равен доход?

Один делец продал велосипед за 50 долларов, затем выкупил его назад за 40 долларов, что, очевидно, принесло ему доход в 10 долларов, поскольку в итоге у него оказался тот же велосипед да еще 10 долларов впридачу. Далее, выкупив велосипед за 40 долларов, он перепродал его за 45 долларов, получив дополнительный доход в 5 долларов, так что общий доход составил 15 долларов.

– Постойте, – сказал бухгалтер. – Но ведь человек начал с велосипеда стоимостью в 50 долларов, а после вторичной продажи у него осталось 55 долларов. Как же он умудрился получить доход, превышающий 5 долларов? Ведь продав велосипед за 50 долларов, он просто совершил обмен, не получив дохода и не понеся убытков. Когда же он купил его за 40, а продал за 45 долларов, то получил при этом доход в 5 долларов. Вот и все.

– А я полагаю, – возразил счетовод, – что когда он продал велосипед за 50 долларов, а выкупил его за 40 долларов, то совершенно ясно, он получил доход в 10 долларов, ибо имел после этого тот же самый велосипед да еще 10 долларов. Но вот когда он вновь продал велосипед за 45 долларов, то просто совершил уже упомянутый ранее обмен, так что на этой операции у него не было ни дохода, ни убытков. Причем последняя операция не затронула первый доход; поэтому в итоге доход человека оказался равным 10 долларам.

Все эти операции крайне просты; относящиеся сюда подсчеты может сделать в уме любой первоклассник. И тем не менее перед нами – три разных ответа! Который из них, по вашему мнению, правильный?

18

Какова наиболее экономичная форма бака вместимостью 1000 кубических футов?

Вот практический урок, который заинтересует тех, у кого есть склонность к математике. Водопроводчики и жестянщики считают, что 7 1/2 галлонов равны 1 кубическому футу. Разумеется, математик нам скажет, что в кубическом футе содержится 1728 кубических дюймов, ибо 12 х 12 х 12 = 1728, тогда как в 7 1/2галлонах содержится 173 1/2 кубических дюйма. Но водопроводчики народ покладистый, и они бодро отбрасывают эти 4 1/2 лишних дюйма.

Некий жестянщик хотел оценить наименьшую возможную стоимость медного бака вместимостью 1000 кубических футов. Сделать бак следовало из медных листов по 3 квадратных фута в каждом, причем 1 квадратный фут стоил 1 доллар. Таким образом, задача состоит в том, чтобы определить размеры наиболее экономичного прямоугольного бака вместимостью 1000 кубических футов.

Само собой разумеется, что если взять кубический бак размером 10 × 10 х 10, то он как раз и будет обладать нужной вместимостью.

Так-то это так, да вот уйдет на такой бак 500 квадратных футов меди (100 на дно и столько же на каждую из четырех боковых сторон). Нам же надо определить наиболее экономичные размеры бака, при которых на него уйдет наименьшее возможное количество меди.

Это простое задание, взятое из повседневной жизни, и любой механик справился бы с ним по своим представлениям вполне удовлетворительно, но математики обнаружили бы, что попутно он совершил «удвоение куба».

19

Отыщите звезду

Можете ли вы обнаружить на приведенном здесь рисунке правильную пятиконечную звезду?

20

Разделите греческий крест на возможно меньшее число частей, из которых можно было бы сложить два греческих креста одинаковых размеров

Во всем огромном царстве головоломок трудно найти что-либо более захватывающее, чем задачи о греческом кресте и его взаимосвязях с квадратом, параллелограммом и другими симметричными фигурами.

Широко известна задача о превращении греческого креста в квадрат с помощью наименьшего числа разрезов, но мы хотим привлечь ваше внимание к другой любопытной задаче, где речь идет о превращении одного греческого креста в два других.

Представьте себе раненого, который возвращается домой после того, как его вернула к жизни самоотверженная сестра милосердия из Красного Креста. Он просит подарить ему на счастье красный крест с ее рукава. Как всегда преисполненная доброты, сестра берет ножницы и, взмахнув ими несколько раз, разрезает крест на части, из которых можно сложить два креста одинаковых размеров.

Это простой, но красивый трюк, и, добравшись до решения, вы не можете не испытать чувства удовлетворения.

21

Передвиньте кубики так, чтобы их номера располагались в правильном порядке

Старые обитатели страны головоломок, наверное, помнят, как в начале семидесятых годов я свел с ума весь мир маленькой коробочкой, заполненной небольшими кубиками, которая называлась игрой в 14–15. Пятнадцать перенумерованных кубиков лежали в квадратной коробке в правильном порядке, за исключением кубиков с номерами 14 и 15, которые поменялись местами, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы, передвигая по очереди по одному кубику, добиться того, чтобы номера 14 и 15 поменялись местами и чтобы все кубики лежали по порядку, причем после всех перестановок правый нижний угол должен остаться свободным, как в начале игры.

Приз в 1000 долларов, предлагавшийся за первое правильное решение, никогда никому не был присужден, хотя тысячи людей утверждали, будто они решили задачу.

Люди буквально помешались на этой головоломке. Из уст в уста передавались удивительные рассказы о лавочнике, забывшем открыть свой магазинчик, об одном почтенном священнике, простоявшем под уличным фонарем долгую зимнюю ночь в надежде вспомнить, как ему удалось решить задачу. Таинственная особенность данной головоломки состоит в том, что, видимо, никто не в состоянии вспомнить последовательность ходов, тогда как многие совершенно уверены, что они добились успеха. Говорят, лоцманы сажали свои корабли на рифы, а паровозные машинисты проносились мимо станций. Один известный издатель из Балтимора отправился в полдень на ленч и лишь после полуночи был обнаружен сбившимися с ног и отчаявшимися сотрудниками газеты сидящим за столом и гоняющим по подносу маленькие кусочки пирога! Да что там, фермеры забывали о своем плуге! Подобную ситуацию вы видите на рисунке.

Несколько новых задач, представляющих собой дальнейшее развитие этой головоломки, стоят того, чтобы над ними подумать.

Вторая задача. Начиная с расположения, указанного на картинке, передвиньте кубики так, чтобы они расположились в правильном порядке, причем пустой квадратик должен оказаться в левом верхнем, а не в правом нижнем углу:

Третья задача. Начиная с того же расположения кубиков, что и в предыдущем случае, поверните коробочку на четверть оборота и передвиньте кубики так, чтобы они расположились следующим образом:

Четвертая задача. Начиная с прежнего расположения, передвиньте кубики так, чтобы они образовали «магический квадрат», у которого сумма чисел вдоль каждой вертикали, горизонтали и каждой из двух диагоналей равнялась бы 30.

22

Больной племянник

Вот одна небольшая и довольно странная задача о родственных отношениях, которая имеет любопытный ответ. Дядя Ройбен навестил в большом городе свою сестру Мэри Энн. Гуляя вместе по одной из улиц, они подошли к скромному отелю.

– Прежде, чем мы пойдем дальше, – сказал Ройбен своей сестре, – я должен заглянуть сюда, чтобы справиться о здоровье моего больного племянника, который живет в этом отеле.

– Хорошо, – ответила Мэри Энн, – поскольку у меня нет больного племянника, я сейчас пойду домой, а потом, после полудня, мы продолжим нашу прогулку.

Каковы родственные отношения Мэри Энн и загадочного племянника?

23

Как разделить заработок?

Эта простая головоломка настолько лишена математических трудностей, что я даже колебался, стоит ли ее предлагать вниманию читателей. И все же я верю, что она может открыть двери интересной дискуссии.

За 5 долларов Хоббс и Ноббс согласились посадить картошку на поле фермера Сноббса. Ноббс может засадить картошкой борозду за 40 минут и с той же скоростью засыпать борозду землей. Хоббс же способен засадить картошкой борозду всего за 20 минут, но зато, пока он засыпает землей 2 борозды, Ноббс засыпает целых 3.

Хоббс и Ноббс работали все время с постоянной скоростью, пока не обработали все поле, причем каждый из них и сажал картошку, и засыпал ее землей. Зная, что на поле сделано 12 борозд, как показано на рисунке, скажите, каким образом следует разделить 5 долларов, чтобы каждый получил свою долю пропорционально проделанной им работе?

24

Куда исчезает квадратный дюйм?

Эта головоломка наглядно показывает, как просто надуть человека, приобретающего золотой кирпич. Большой квадрат на рисунке изображает золотой кирпич, который фермер захотел купить у незнакомца в шляпе. Стороны квадрата разделены каждая на 24 равные части.

Если сторона квадрата содержит 24 дюйма, то площадь самого квадрата должна равняться 24 х 24 = 576 квадратным дюймам. Обратите внимание на диагональ, которая идет из одного угла в другой. Разрезав квадрат вдоль этой диагонали и передвинув верхнюю часть на одно деление вверх вдоль разреза, мы получим маленький треугольник А, который высунется справа. Если мы отрежем его и поместим в положение В в левом верхнем углу, то получим прямоугольник шириной в 23 и высотой в 25 дюймов. Но 23, умноженное на 25, даст только 575 квадратных дюймов. Куда же исчез квадратный дюйм?

Говорят, что последний том «Начал» Евклида был целиком посвящен геометрическим заблуждениям такого рода; другими словами – задачам и головоломкам, содержащим умно спрятанные ошибки. К несчастью, этот том утерян, но, без сомнений, это была величайшая из написанных автором книг.

25

Чему равна глубина озера?

Поэт Г. Лонгфелло был прекрасным математиком и не раз отмечал, сколь плодотворное воздействие на фантазию студента оказывают привлекательные одежды, в которые, не в пример сухому языку учебников, можно облечь математические задачи.

Задача о водяной лилии – одна из задач, которые Лонгфелло ввел в свой роман «Каванаг». Она столь проста, что по силам всякому даже не очень сведущему в математике человеку, но столь ярко иллюстрирует важный геометрический факт, что он становится памятен уже навсегда. Я не помню, как дословно сформулировал эту задачу в нашей беседе Лонгфелло, но суть ее сводилась к следующему. Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого, требовалось определить глубину озера.

Предположим, что, как это показано на рисунке, лилия на 10 дюймов поднимается над поверхностью воды, а если ее потянуть в сторону, то она исчезнет под водой в точке, отстоящей на 21 дюйм от того места, где она находилась первоначально. Чему равна глубина озера?

26

Сколько ступеней в старой башне?

Отдыхающим летом на побережье в Джерси знакомы развалины старой башни Бэкон, служившей некогда маяком. Вы видите здесь реконструкцию этой башни, сделанную на основе старинного рисунка полувековой давности, который сохранился у одного местного жителя (ему самому пошел уже девяносто шестой год). Он помнит, как строилась эта башня, когда он был мальчиком. Все графство было взбудоражено этим событием, и вряд ли кто из окрестных жителей сомневался в том, что библейская Вавилонская башня была не выше ее.

Теперь от башни Бэкон ничего не осталось, кроме обгорелого столба примерно шестидесяти футов высотой, ступеньки разрушились при пожаре около двадцати лет назад. Но рисунок, равно как и хроники графства, подтверждают, что первоначально высота башни составляла 300 футов.

Тогда это была весьма внушительная высота. Ведь более века мерилом недосягаемой высоты был шпиль у Тринити Черч. Но времена изменились, и совсем недавно почтенный служащий церкви Тринити жаловался, что ребята из соседнего дома норовят бросать вниз на церковный шпиль камешки.

Основу башни Бэкон составляли массивные столбы, искусно соединенные в одну колонну, которую спиралью обвивала винтовая лестница с железными перилами. Лестница делала вокруг колонны ровно четыре оборота, как показано на рисунке. На каждой ступеньке имелся поддерживавший перила стержень. Поскольку эти стержни отстояли друг от друга ровно на 1 фут, то нетрудно было подсчитать, сколько ступенек придется преодолеть на пути к вершине башни. И все же, как сказал капитан Хафф, владелец рисунка, поведавший нам историю башни:

– Я не встречал ни одного горожанина, который смог бы правильно подсчитать число ступенек.

Итак, башня от земли до верхней площадки, образовывавшей последнюю ступеньку, имела 300 футов. Лестница обвивалась вокруг башни четыре раза, а поддерживавшие перила стержни имелись на каждой ступеньке и отстояли друг от друга ровно на 1 фут. К этому мы должны добавить, что диаметр всей башни (то есть диаметр воображаемого цилиндра, на котором располагались перила) равнялся 23 футам 10 1/2 дюйма. Сколько ступенек было у винтовой лестницы?

27

Продажа цыплят

Некий фермер вместе со своей славной женой приехал на рынок, дабы обменять домашнюю птицу на скот из расчета по 85 цыплят за лошадь и корову. Известно, что 5 лошадей стоят ровно столько же, сколько и 12 коров.

– Джон, – сказала жена, – давай возьмем еще столько же лошадей, сколько мы уже выбрали. Тогда зимой нам придется кормить только 17 лошадей и коров.

– Я думаю, нам стоит взять побольше коров, – ответил супруг. – И знаешь, я обнаружил, что если мы удвоим число коров, которых уже купили, то всего у нас окажется 19 коров и лошадей, а цыплят как раз хватит, чтобы совершить эту сделку.

Эта бесхитростная деревенская пара ничего не смыслила в алгебре, и все же им было точно известно, сколько у них цыплят и сколько им нужно приобрести коров и лошадей. Мы просим наших любителей головоломок определить, пользуясь приведенными здесь данными, сколько цыплят привезли фермер и его жена на рынок?

28

Сколько всего различных путей и какой из них наикратчайший!

Вот одна любопытная головоломка, примечательная не только общим принципом, лежащим в ее основе, но также и тем, что она достаточно древняя и связана с некой забавной историей. Некогда город Кенигсберг, разделенный рекой Прегель на четыре части, включая остров Кнайпхоф, имел восемь мостов. Вот с этими-то мостами и связана старая головоломка, озадачивавшая его славных жителей более двух веков назад.

Прогулка по всем мостам всегда была приятным развлечением для молодежи. Согласно преданиям, размышления о том, насколько длинным окажется путешествие по всем мостам, привели к поразительному выводу, что совершить прогулку по всем мостам, не пройдя по какому-то из них более одного раза, невозможно.

История сохранила упоминание о том, как группа молодежи в 1735 г. посетила математика Леонарда Эйлера с просьбой внести в это дело ясность. Год спустя Эйлер представил Российской Академии наук внушительный отчет, в котором утверждалось, что данная задача неразрешима. Этот отчет появился в трудах Академии за 1741 г. и был переиздан на французском и английском языках, поскольку речь шла о принципе, применимом в случае любого числа мостов.

Профессор У. Роуз Болл из Тринити-колледж, обсуждая древность и достоинство этой задачи, заблуждается, приписывая ее авторство самому Эйлеру, кроме того, он утверждает, что, согласно картам Бедекера, мостов в Кенигсберге было тогда семь. Но в старых записях говорится о восьми мостах, а наша карта аккуратно перерисована из Бедекера.

В данной задаче мы не касаемся вопросов возвращения в исходную точку. Нужно просто доказать, что, начав с какого-то произвольного места в городе, можно попасть в некую его точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Мы просим читателя ответить, сколькими различными путями это можно сделать и какой из этих путей наикратчайший?

29

Полковник-шахматист

Один генерал, любитель шахмат, рассказал мне, как во время войны он командовал военным лагерем, в котором одновременно формировалось 20 полков. Ежедневно к каждому полку добавлялось по 100 человек. В последний день каждой недели полк, в котором оказывалось больше всего солдат, отправлялся на фронт.

Как-то оказалось, что в первом полку было 1000 человек, во втором – 950, в третьем – 900 и т. д., в каждом следующем полку было на 50 человек меньше, чем в предыдущем, а в последнем, двадцатом, полку было всего 50 солдат. Генерал обнаружил, что полковник, командовавший пятым полком (где было 800 солдат), – прекрасный шахматист. И вот, чтобы подольше удержать достойного партнера в лагере (иначе он должен был покинуть лагерь через пять недель), генерал еженедельно добавлял в его полк по 30 человек вместо 100, которые добавлялись в другие полки.

Предположим, что 20 полков бесперебойно пополняются рекрутами. Можете ли вы сказать, сколько недель пройдет, прежде чем наш полковник-шахматист отправится в пекло войны?

30

Сколько различных цепочек для карманных часов можно сделать из пяти частей?

Как-то мне показали любопытную цепочку для карманных часов, которая состояла из четырех монет и брелока в виде фигурки орла. В монетах, как показано на рисунке, имелось соответственно пять, четыре, три и две дырки, так что монеты можно было соединить между собой проволочками в большом числе комбинаций.

Итак, из этих четырех монет можно составлять разнообразные цепочки, соединяющие часы с брелоком; по существу, это задача о нахождении числа возможных размещений пяти частей так, чтобы ни одно из размещений не повторяло в точности никакое другое. Сколько, по-вашему, разных цепочек можно получить из пяти частей?

31

Переправа через реку четырех ревнивых пар

Разумеется, все любители головоломок знают старую задачу про волка, козу и капусту, которых надо было переправить через реку, причем лодочник мог взять с собой в лодку либо одного волка, либо одну козу, либо только капусту. К тому же типу задач принадлежит и столь же старая история о четырех парах влюбленных, однако в ней столько путаницы, что математики, видимо, просмотрели самое лучшее (то есть кратчайшее) решение.

Рассказывают, что четверо мужчин отправились со своими возлюбленными на загородную прогулку, но неожиданно у них на пути оказалась река. У берега молодые люди обнаружили лодку, однако она вмещала только двоих. Посреди реки, как вы видите на рисунке, имелся небольшой островок. Все мужчины в компании были страшно ревнивы, и никто из них не соглашался, чтобы его будущая невеста хоть ненадолго осталась один на один с другим мужчиной (или мужчинами), если только его самого не будет рядом.

Никто из мужчин не должен был также садиться в лодку один, если какая-либо другая девушка, кроме его невесты, оставалась одна на берегу или на острове. Это условие наводит на мысль, что девушкам тоже ревности было не занимать и они явно опасались за своих возлюбленных. Ну, как бы там ни было, а задача состоит в том, чтобы найти самый быстрый способ переправить все четыре пары на другой берег реки.

Предположим, что река имеет 200 ярдов в ширину, что остров расположен посередине и что на нем может поместиться любое число людей. Сколько ездок нужно совершить лодке, чтобы переправить через реку все четыре пары при соблюдении заданных условий?

32

Эксцентричный учитель

Вот замечательная задача, которая, я уверен, доставит удовольствие молодежи и в то же самое время послужит пищей для размышлений умудренным опытом статистикам.

Один изобретательный, а может быть эксцентричный, учитель, желая собрать в организуемом им классе школьников постарше, объявил, что он ежедневно будет вручать приз всем мальчикам или всем девочкам, пришедшим на занятия, в зависимости от того, в какой группе суммарный возраст окажется наибольшим.

Ну так вот, на первое занятие пришли только один мальчик и одна девочка, а поскольку мальчик оказался ровно вдвое старше девочки, то он и получил приз.

На следующий день девочка привела в класс свою сестру. Оказалось, что их суммарный возраст ровно вдвое превышает возраст мальчика; поэтому девочки и поделили приз между собой.

Однако на третий день мальчик пришел в школу вместе с одним из своих братьев. Выяснилось, что суммарный возраст двух мальчиков ровно вдвое превышает суммарный возраст двух девочек, так что право поделить между собой приз досталось на этот раз мальчикам.

Разгорелась настоящая борьба, и на четвертый день две девочки появились в сопровождении своей старшей сестры, противопоставив свой суммарный возраст возрасту мальчиков. Девочки, разумеется, победили, ибо их суммарный возраст ровно вдвое превысил возраст мальчиков. Эта борьба продолжалась до тех пор, пока учитель не набрал полностью нужное число учеников, но мы не будем более вникать в ее подробности. Назовите возраст самого первого мальчика, если известно, что последняя юная леди пришла в класс в тот день, когда ей исполнился 21 год.

Это простая, но довольно занятная головоломка, требующая скорее изобретательности, чем математических выкладок, и легко поддающаяся методам решения головоломок.

33

Покажите, каким образом полк солдат может войти в ворота M 1, промаршировать по всем 64 квадратам и, не миновав триумфальной арки, выйти через ворота № 2

Многим памятно, какую сенсацию вызвали слова генерала Винфилда Скотта, обращенные к военному министру Стэнтону:

– Хотя у нас есть десятки командиров, которые могут привести полк солдат в парк, но ни один из них не разбирается в военной тактике настолько, чтобы вывести этих солдат обратно!

Это замечание было воспринято как ядовитая критика. Я знал генерала Скотта как умелого шахматиста и сейчас вспомнил одну любопытную шахматную головоломку, которую собирался предложить ему при случае.

Для решения этой головоломки не требуется разбираться в шахматах, просто, дабы облегчить пояснения, я позволил себе разбить парк на квадраты, уподобив его шахматной доске. Однако задача весьма занимательна. Покажите, каким образом полк солдат мог бы войти в ворота № 1, промаршировать по всем квадратам, пройти под триумфальной аркой и выйти через ворота № 2, сделав наименьшее возможное число поворотов. Все движение должно происходить ходом шахматной ладьи, и никакой квадрат нельзя посещать более одного раза.

Нарисуйте на бумаге сетку из 64 клеток 8 × 8, а затем карандашом нанесите путь, проходящий через каждую клетку, который начинался бы и заканчивался в указанных местах и не миновал бы клетку, где помещается арка. Вероятнее всего вы все же сделаете несколько попыток, прежде чем получите наилучший результат, который выглядит настолько красиво, что вы его сразу же узнаете.

34

Кто перетянет канат в последнем случае?

35

Каков диаметр футбольного мяча?

У меня нет патентованного чугунного носа, поэтому я не буду подвергать смертельной опасности этот важный орган, влезая в непривычную для себя игру. Бронированные ребра и мягкие прокладки на голенях не были популярны в мои студенческие годы. Мы обычно играли в футбол ногами, как то подразумевает само название игры, и никогда не пытались убить или искалечить игроков команды соперников.

Однако моя головоломка не имеет ничего общего со всеми этими бросками, ударами и «подковыванием» противника. Она просто навеяна воспоминаниями о тех днях, когда деревенским мальчишкой я любил гонять по зеленым лужайкам старомодный мягкий резиновый мяч.

Мы жили тогда в провинции и обычно заказывали мяч по почте, причем каталог спортивного магазина рекомендовал в соответствии с размерами мяча указывать точно требуемое число дюймов. Именно с этим и связана наша задача.

Нам нужно было указать требуемое число дюймов, но мы не знали, идет ли речь о площади резиновой оболочки или же об объеме воздуха, заключенного внутри мяча. Поэтому мы решили заказать мяч, у которого число квадратных дюймов, выражающее площадь поверхности, равнялось числу кубических дюймов, выражающему объем!

Сумеют ли наши любители головоломок назвать диаметр заказанного мяча?

36

Сколько акров содержится во внутреннем треугольном озере?

Недавно я отправился в Лейквуд, чтобы посетить аукцион, где продавался участок земли, однако не совершил никаких покупок из-за одной необычной задачи, возникшей по ходу дела.

На афише, которую приклеивают к забору, вы видите план участка площадью в 560 акров, в него входит и треугольное озеро. Три квадратных поля на плане дают в совокупности 560 акров без озера, но, поскольку озеро включалось в распродажу, я, как и другие потенциальные покупатели, хотел знать, действительно ли площадь озера была вычтена из площади всего земельного участка.

Аукционер гарантировал «приблизительно» 560 акров. Это не удовлетворило покупателей, так что мы удалились, предоставив аукционеру возможность рассказывать свои басни кузнечикам и выкрикивать цены толстым жабам на озере, которое на поверку оказалось просто болотом.

Вопрос, который я хотел бы теперь задать любителям головоломок, состоит в том, чтобы определить, сколько акров должно содержаться в озере, окруженном квадратными полями площадью соответственно 370, 116 и 74 акра. Эта задача представляет особый интерес для тех, у кого есть математические наклонности, поскольку в ней содержится положительный и вполне определенный ответ. При обычных подходах ответ сводится к одной из неограниченно продолжающихся, но никогда не кончающихся десятичных дробей

37

Не нарушая рисунка, разрежьте данную фигуру на три части, из которых удалось бы сложить разбитый на клеточки квадрат

Когда мадам Пифагор спросила своего супруга, как лучше сделать квадратным остаток клетчатой афинской циновки, показанный на рисунке, знаменитый философ дал следующие пояснения.

Пунктирная линия на циновке равна, очевидно, гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого совпадают со сторонами двух квадратов, которые в совокупности и образуют весь остаток. Согласно великой теореме Пифагора, эта прямая должна быть стороной квадрата, площадь которого равна сумме площадей двух упомянутых выше квадратов. (Теорема проиллюстрирована в правом верхнем углу рисунка.) Определив эту длину, мы можем разрезать остаток циновки, как показано, двумя сплошными линиями и сложить затем из трех полученных частей нужный квадрат. Этим способом можно воспользоваться, чтобы сделать правильный квадрат из любых квадратных кусков. Послушай, Фаг, – сказала мадам Пифагор, ибо дома она всегда называла мужа этим уменьшительным именем. – Я боюсь, что если циновку разрезать наклонно, то она разлохматится. А мне бы хотелось обойтись без этих неуклюжих, словно гиппопотам, прямых. Правда, можно было бы поступить и вот так: вырезать длинный кусок А, поставить его вертикально, а затем сдвинуть на одну ступеньку вниз часть С; при этом получится хороший правильный квадрат 13 х 13. Но этот способ, Фаг, мне не по душе, – продолжала она. – Видишь ли, рисунок на этом длинном куске пойдет не совсем правильно. Не смог бы ты найти такой способ, чтобы не пришлось поворачивать клеточки?

В этом и состоит головоломка мадам Пифагор.

[Чтобы задача стала яснее, обратите внимание на то, что штриховка черных клеточек идет, так сказать, с юго-запада на северо-восток. После того как мы поставим часть А вертикально, штриховка на ее черных клеточках пойдет уже с северо-запада на юго-восток. Мадам Пифагор хотела бы знать решение из трех частей, в котором не нарушились бы ни взаимное расположение черных и белых клеточек, ни наклон штриховки. – М. Г.]

38

Три невесты

Один старый денежный мешок сделал достоянием гласности, что он даст в приданое за каждой из своих дочерей столько золота, сколько весит она сама. Так что в мгновение ока у каждой из девиц появился подходящий поклонник. Все дочери вышли замуж в один и тот же день, а прежде, чем взвеситься, отведали очень тяжелого свадебного торта, отчего радостно забились сердца их суженых.

Все вместе невесты весили 396 фунтов, однако Нелли весила на 10 фунтов больше, чем Китти, а Минни весила на 10 фунтов больше, чем Нелли. Один из женихов, Джон Браун, весил ровно столько же, сколько и его невеста, тогда как Вильям Джонс весил в полтора, а Чарльз Робинсон – в два раза больше своих невест. Вместе женихи и невесты весили 1000 фунтов. Назовите имя и фамилию каждой из девушек, после того как они вышли замуж.

39

Угадайте размер двух камней, которые обменяли на пару сережек

Не лишне знать, что цена бриллиантов возрастает согласно квадрату, а цена рубинов – согласно кубу их веса. Так, если бриллиант в один карат стоит 100 долларов, то камешек того же качества в два карата будет стоить уже 400 долларов, а бриллиант той же чистоты весом в три карата будет стоить 900 долларов. С другой стороны, если хороший восточный рубин весом в один карат стоит 200 долларов, то такой же камень в два карата будет стоить уже 1600 долларов.

Один известный торговец, который вел дела с бразильскими алмазными копями, показал мне пару бриллиантовых сережек, которые он обменял на два бриллианта разных размеров на условиях, приведенных выше. Не могли бы вы угадать размеры этих камней разной величины, которые он выменял на пару одинаковых сережек? Разумеется, существует много ответов, но вам предлагается найти наименьшие возможные размеры этих двух камней разной величины, причем в ответе не должны участвовать дробные доли карата.

40

Разрежьте доску на минимальное число частей, из которых можно было бы сложить правильный квадрат

Те, кто изучает геометрию, найдут здесь интересную элементарную задачу, которую лучше всего решать экспериментальным путем, хотя правильный ответ можно найти и теоретически, пользуясь неким приемом, весьма напоминающим знаменитое седьмое предложение Евклида.

У столяра была доска длиной в 4 и шириной в 2 фута со срезанным углом. Эту доску требовалось разрезать на минимальное число частей без всяких отходов так, чтобы из них можно было сложить правильную квадратную крышку стола, показанного на рисунке.

В данном конкретном случае недостающий кусок доски срезан под углом 15°, но когда вы решите головоломку, то обнаружите, что способ ее решения годится как в случае большей, так и меньшей величины угла.

41

Сумеете ли вы восстановить стершиеся цифры?

Археолог, которого вы видите на рисунке, обнаружил на глыбе песчаника какие-то вычисления Под многолетними климатическими воздействиями большинство цифр стерлось, однако, к счастью, все же удалось установить, что это – деление столбиком, более того, восемь цифр оказались различными, что позволяет вам восстановить недостающие цифры.

Похоже, что у этой задачи есть несколько правильных ответов, и все же до сих пор, насколько мне известно, было предложено только одно правильное решение

42

Полицейский-математик

– Доброе утро, сержант, – сказал мистер Мак-Гуир. – Не скажете ли, который час?

– Это очень просто узнать, – ответил сержант Клэнси, который в полицейском участке был признанным математиком. – Просто сложите четверть времени, прошедшего с полуночи до настоящего момента, с половиной времени от настоящего момента до полуночи, и вы получите точное время.

Сможете ли вы узнать точное время, когда происходил этот разговор?

43

Стая морских змеев

Приплод морских змеев в этом году был необычайно велик, их новые разновидности можно было даже видеть на приморских курортах. От рассказов шкиперов, если учесть древность этой темы, просто оторопь берет. Однако басни старых просоленных морских волков и записи вахтенных журналов больше не принимаются на веру, если к ним не приложена пачка фотографий.

Один капитан утверждал, что, когда он бросил якорь у Кони-Айленда, судно окружила стая морских змеев, многие из которых были слепы.

– Три змея ничего не видели у себя по правому борту, – рассказывал он, – а три ничего не видели по левому. Три змея видели по правому борту, три видели по левому; три видели как по правому, так и по левому борту, тогда как у трех вся их оптика вышла из строя.

Рассказ капитана был должным образом занесен в вахтенный журнал вместе с записью о том, что «всего в поле зрения находилось восемнадцать змеев».

Но пара прожженных фотолюбителей, находившихся на борту, успела щелкнуть своими камерами. Проявленные негативы бросили негативный отсвет и на всю эту историю, сведя число змеев к минимально возможному. Сколько змеев было в стае?

44

Когда две стрелки сольются в следующий раз?

Кто не слышал про знаменитое состязание в беге Ахиллеса и черепахи? Ахиллес бегает в 20 раз быстрее черепахи, поэтому древнегреческий философ Зенон, устроив состязание, дал черепахе фору в 20 миль. Зенон утверждал, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, ибо, когда он пробежит 20 миль, черепаха продвинется на 1 милю. Далее, когда Ахиллес пробежит эту милю, черепаха продвинется на 1/20 мили и т. д. Между бегунами всегда будет оставаться некое расстояние, хотя со временем оно будет становиться все меньше и меньше.

Разумеется, мы все знаем, что Ахиллес догонит черепаху; правда, при подобных обстоятельствах не всегда легко определить точно время, когда это произойдет.

Томми, которого вы видите на рисунке, обнаружил сходство между знаменитым забегом и движениями стрелок на часах. Сейчас часы показывают ровно полдень, так что стрелки слились. Томми как раз и размышляет над тем, когда они сольются вновь. (Нас интересует точное время, вплоть до долей секунды.)

Это крайне интересная задача, на основе которой создано много замечательных головоломок с часами, а поэтому мы рекомендуем всем серьезным любителям головоломок как следует разобраться в ее основных принципах.

45

Расположите шесть частей таким образом, чтобы получился наилучший рисунок лошади

Много лет назад, когда я возвращался из Европы вместе с Эндрю Г. Кертином, военным губернатором штата Пенсильвания (он ехал из России, дабы выставить свою кандидатуру на пост президента США), мы обсуждали любопытный памятник белой лошади, который выложен на Апингтонском холме в английском графстве Беркшир.

Если вам ничего не известно про этот странный памятник эпохи древних саксов, то приведенный здесь рисунок поможет вам получить о нем некоторое представление. Это огромная фигура белой лошади, имеющая несколько сот футов в длину, которая видна на склоне горы примерно в 1000 футов над уровнем моря, ее можно легко разглядеть с расстояния около 15 миль. Этому памятнику более тысячи лет, и, как предполагают, он создан солдатами Этельреда и Альфреда (белая лошадь была эмблемой саксов) после победы над датчанами. То, что на склоне горы выглядит снежным сугробом, на самом деле получилось в результате удаления дерна и обнажения белой меловой породы под ним на участке, которому придана форма лошади.

Разговор о белой лошади губернатор закончил довольно неожиданно:

– Лойд, а не повод ли это для головоломки?

Идеи многих хороших головоломок возникли в результате таких вот советов. Не откладывая дела в долгий ящик, я вооружился ножницами и листом черной бумаги и быстро вырезал фигурку пони.

Было не слишком сложно внести улучшения в отдельные части и в общую форму этой старой лошади, что я и сделал в том варианте, который впоследствии опубликовал. И все же я больше люблю того старого пони, которого придумал первоначально, со всеми его недостатками.

Мир менялся стремительно, и любители головоломок стали куда более проницательными, чем прежде. В те времена мало кто (меньше чем один из тысячи) справлялся с этой головоломкой. Она могла бы послужить неплохим тестом, иллюстрирующим сравнительную остроту ума в прошлом и нынешнем поколениях.

Изображение белой лошади и точная копия моего пони приведены на рисунке. Скопируйте пони на бумагу, вырежьте шесть частей и попытайтесь расположить их таким образом, чтобы получилась наилучшая из возможных фигура лошади. Вот и все! Однако весь мир смеялся целый год над теми гротескными фигурами, которые получались из этих шести частей. Было продано более миллиарда экземпляров этой головоломки.

46

Покажите, каким образом большой линкор может потопить 63 вражеских судна и вернуться в исходную точку за наименьшее возможное число прямых курсов

На рисунке матрос поднимает сигнал, который означает «Помни об океане!» Командир, как видно, составляет план атаки, цель которой – протаранить и потопить флотилию вражеских судов.

Начиная с того места, где обозначен линкор, вычеркните одной непрерывной линией 63 маленьких судна, сделав при этом наименьшее возможное число «прямых» ходов, как мы называем это на языке головоломок

47

Сколько должна заплатить леди за ожерелье?

Хочу предупредить: хотя некоторые из моих головоломок хорошо известны, это не означает, что каждый знаком с их ответами. Правильные ответы на некоторые наиболее популярные из головоломок не были опубликованы и, насколько мне известно, никогда и не были найдены. Я хочу проиллюстрировать это на примере настоящей головоломки, ознакомившись с которой, каждый считает, что решит ее немедленно. Однако я не припомню никого, кто бы действительно нашел правильный ответ.

Головоломка основана на обычной деловой операции, одной из тех, которые совершаются ежедневно, а цель ее состоит в том, чтобы показать, как обычный смертный начинает принимать ложные решения там, где требуются минимальные математические познания или способности. В головоломке нет ни намека на какую-либо ловушку или трюк, нет в ней также и никакой тайны «пропавшего звена» или чего-нибудь подобного. Эта головоломка предлагалась всем известным ювелирам Нью-Йорка, которые говорили, что не стали бы держать у себя продавца или служащего, который не смог бы разобраться в такой простой операции, и все же ни один из них не дал правильного ответа.

Некая леди купила 12 кусочков цепочки, которые показаны на рамке приведенного здесь рисунка, и захотела сделать из них замкнутое ожерелье в 100 звеньев. Ювелир сказал, что распилить и вновь спаять маленькое звено стоит 15 центов, а такая же операция с большим звеном обойдется в 20 центов.

Сколько леди придется заплатить, чтобы сделать нужное ожерелье?

48

Корова, коза и гусь

Один датчанин с козой на веревке и гусем под мышкой повстречал молочницу, которая вела корову. Вдруг девушка испуганно вскрикнула.

– Ты чего? – спросил Ганс.

– Так ты же хотел поцеловать меня против моей воли, – ответила скромница.

– Как бы я мог это сделать с этими вот строптивыми животными? – кивнул Ганс на козу и гуся.

– А что мешает тебе воткнуть посох в землю, привязать к нему козу, а гуся посадить под мое ведро? – настаивала девушка.

– Да твоя корова косится на меня и в это время меня бы неприменно боднула, – оправдывался Ганс.

– О, эта глупая корова не бодается, а что, если ты вдруг возьмешь и выгонишь всех троих на мое пастбище? – не унималась девушка.

Вот здесь-то и возникает одна крайне интересная головоломка, ибо во время последовавшего затем разговора оказалось, что коза и гусь вместе съедают столько же травы, сколько и корова. Поэтому скажите, если данное пастбище прокормит корову и козу в течение 45 дней, либо корову и гуся в течение 60 дней, либо козу и гуся в течение 90 дней, то сколько дней на нем смогут одновременно пастись корова, коза и гусь? Требуется ответить поскорее, потому что Ганс и Кристина вот-вот заведут общее хозяйство.

49

Разделите поле

Название города Фор Оке (Четыре дуба) связано с тем обстоятельством, что один из первых его жителей, владевший большим участком земли, оставил завещание, согласно которому этот участок следовало разделить в равных пропорциях между четырьмя сыновьями «в соответствии с расположением четырех старых дубов, всегда служивших земельными вехами».

Сыновья не смогли поделить между собой землю мирным путем, ибо расположение четырех деревьев практически не дало им в руки никакого ключа для этого. Поэтому они обратились к закону и в судебных тяжбах, известных как «драка вокруг четырех дубов», спустили все свое состояние. Человек, поведавший мне эту историю, полагал, что она могла бы послужить основой для хорошей головоломки, и не ошибся, во всяком случае в том, что касается темы.

На рисунке изображено квадратное поле с четырьмя старыми дубами, находящимися на равных расстояниях друг от друга вдоль прямой, которая проходит через середины двух противоположных сторон поля. Поле было оставлено четырем сыновьям, которые должны были разделить его на четыре части одинаковых размеров и формы так, чтобы в каждой из этих частей оказалось по одному дереву. Эта головоломка создавалась экспромтом, поэтому она не очень трудна. Все же стоит предупредить читателей, что не каждый найдет наилучший ответ.

50

Сколько весит ребенок?

Миссис О'Тул была довольно экономной особой, а потому за один цент решила взвесить не только своего ребенка, но и себя и свою собаку. Сколько весил маленький херувим, если известно, что миссис О'Тул весит на 100 фунтов больше, чем ребенок и собака, вместе взятые, и что собака весит на 60 % меньше, чем ребенок?

51

Составьте из восьми частей правильную шахматную доску

Рассказывают об одном забавном историческом эпизоде. Будто бы французский дофин, играя с герцогом Бургундским в шахматы и желая спастись от неминуемого мата, разбил шахматную доску на восемь частей о голову герцога. Эту историю часто цитируют авторы всевозможных книг о шахматах в назидание тем, кто единственной целью в этой игре считает выигрыш; она явилась также исходным моментом одной из разновидностей атаки в шахматной игре, известной как «королевский гамбит».

Шахматная доска, разломанная на восемь частей, поразила некогда мое юное воображение, ибо она содержала в себе зерно некой важной задачи. Ограничение числа частей восемью не дает достаточного простора ни для того, чтобы возникли большие трудности, ни для того, чтобы задача отличалась большим разнообразием решений. Однако, не чувствуя себя вправе пренебрегать исторической точностью, я хочу предложить нашим любителям головоломок небольшую задачку, которая как раз подходит для того, чтобы поразмыслить над ней во время летнего отдыха. Покажите, каким образом из восьми изображенных на рисунке частей можно сложить правильную шахматную доску 8 × 8.

Эта головоломка достаточно проста, и я привел ее здесь для того, чтобы познакомить читателей с одним ценным правилом, которое можно использовать при создании головоломок такого типа. Поскольку никакие две части не имеют одинаковой формы, решение становится единственным, а отыскать его сложнее, чем без этого дополнительного условия.

52

Каким образом поступить торговцу напитками?

Наверное, все помнят задачу о человеке, который шел с бочонком меда и повстречал покупателя с кувшинами вместимостью 3 и 5 кварт, желавшего купить 4 кварты меда. Это довольно просто сделать, манипулируя с двумя мерами до тех пор, пока вы не получите четыре требуемые кварты; и все же испытайте свои способности, прикинув, за какое минимальное число операций можно выполнить такое задание.

Эта хорошо известная головоломка подготовит вас к тому, чтобы взяться за следующую довольно запутанную задачу. Каким образом торговец, у которого на телеге бочка яблочной водки и бочка сидра (по 31 1/2 галлона в каждой бочке), может отлить покупателю на 21 доллар 6 центов напитка «Утренняя роса», который представляет собой не что иное, как смесь водки и сидра. У продавца есть только меры в 2 и 4 галлона, а покупателю нужно наполнить свой бочонок вместимостью 26 галлонов.

Сначала определите, какие пропорции яблочной водки и сидра в 26 галлонах «Утренней росы» стоят ровно 21,06 доллара, а затем выясните, за какое наименьшее число манипуляций продавец может наполнить бочонок покупателя требуемым количеством напитка.

53

Подставьте другие значения в равенства а × b = у и а + b = у

Учитель, изображенный на рисунке, объясняет своим ученикам тот странный факт, что если 2 умножить на 2 и к 2 прибавить 2, то получатся одинаковые результаты.

Хотя 2 – единственное число, обладающее этим свойством, тем не менее существует много пар разных чисел, которые можно подставить вместо а и b в уравнения, выписанные справа на доске. Сумеете ли вы найти такую пару? Разумеется, эти числа могут быть и дробными, но равенства должны выполняться абсолютно точно.

54

Выберите слово из 12 букв и измените его расположение за наименьшее число шагов

Вот интересная головоломка, напоминающая игру в 15. На каждом из 12 кубиков, помещенных в вертикальный желоб, который вы видите на рисунке, имеется по букве. При чтении сверху вниз они образуют правильное слово Требуется переместить кубики в горизонтальный желоб так, чтобы и при чтении слева направо это слово не нарушилось.

Легко понять, что задача решается с любым словом из 12 букв, но результаты в каждом случае будут различными. Некоторые слова ведут себя лучше других, и делом везенья и опыта будет установить, с каким из слов задача решается при наименьшем числе манипуляций.

55

Кому из игроков следует платить?

Три человека начали игру в бильярд и, как общепринято, решили, что платить за пользование бильярдом будет проигравший. Игрок № 1, мастер своего дела, взялся уложить в лузу столько же шаров, сколько и игроки № 2 и № 3, вместе взятые. Едва они начали игру, как вошел четвертый человек и присоединился к играющим. Поскольку он был посторонним, то не получил форы и играл на равных с тремя остальными игроками.

На рисунке показана полка, на которой лежат шары, забитые каждым из игроков. По окончании игры возник спор, кто именно проиграл.

Головоломка состоит в том, чтобы выяснить, кто из игроков должен платить в соответствии с заключенным соглашением. Эта задача не так проста, как кажется на первый взгляд. Игрокам для ее решения пришлось привлекать посторонних арбитров. Итак, кто из игроков должен платить и почему?

56

Как выбить ровно 50 очков?

Прогуливаясь как-то с приятелем по Кони-Айленд, я набрел на довольно забавный аттракцион. На полках были расставлены, как показано на рисунке, десять кукол, на каждой из которых было обозначено число очков. Требовалось попасть в них небольшими мячиками. Зазывала объяснял:

– Бросайте мячики столько раз, сколько захотите, по центу за каждый бросок и подходите к куклам так близко, как пожелаете. Складывайте очки на сбитых вами куклах, и, как только сумма окажется равной 50, не больше и не меньше, вы получите великолепную сигару с золотым ободком стоимостью 25 центов.

Наши деньги кончились прежде, чем мы поняли, как следует играть, и мы заметили, что большинство игравших курило столько же 25-центовых сигар, сколько и мы. Сможете ли вы показать, каким образом нужно играть, чтобы выбить ровно 50 очков?

57

Сколько человек участвовало в параде?

Во время недавнего парада по случаю дня святого Патрика возникла довольно любопытная головоломка. Главный маршал, как обычно, заметил, «что члены благородного и древнего ордена святого Патрика проведут парад после полудня, если дождь пойдет утром, но парад состоится утром, если дождь пойдет после полудня». Это замечание привело ко вполне сложившемуся мнению о том, что в день святого Патрика о дожде можно судить со всей определенностью. Кейси похвалялся, что «вот уже четверть века он участвует в каждом параде по случаю дня святого Патрика». Однако возраст и пневмония одолели наконец Кейси и вырвали его из рядов этой славной процессии. Когда парни вновь собрались 17 мая, дабы оказать честь себе и святому Патрику, то обнаружили в своих рядах брешь, которую оказалось трудно заполнить. На самом деле брешь была столь велика, что парад превратился буквально в объятую паникой похоронную процессию.

Согласно обычаю, парни шли шеренгами по 10 человек, только в последней шеренге, где обычно находился Кейси – из-за своей левой хромой ноги, – было 9 человек. Они прошли уже квартал или два в этом порядке, как звуки оркестра прямо-таки потонули в криках зрителей: «Куда делся низенький хромой парень?» Пришлось срочно перестраивать колонну в шеренги по 9 человек, поскольку шеренги из 11 человек не подходили.

Но Кейси-то все равно не было с ними, и процессия остановилась, когда обнаружилось, что в последней шеренге идут только 8 человек. Колонну срочно перестроили в шеренги по 8 человек, но тогда в последней шеренге оказалось 7 человек. Та же самая история происходила с шеренгами по 7, 6, 5, 4, 3 и даже по 2 человека: всегда в последней шеренге оставалось вакантное место для Кейси. И хотя мы-то понимали, что это лишь глупое суеверие, но по рядам пошел шепот, что на марше слышен «припадающий» шаг хромой ноги Кейси. Парни были так твердо убеждены в том, что вместе с ними марширует призрак Кейси, что ни один не хотел оказаться в замыкающей шеренге.

Однако главный маршал оказался человеком сообразительным и выстроил всех в колонну по одному; так что если дух Кейси и присутствовал на параде, то он замыкал самую длинную процессию, которая когда-либо устраивалась в честь его святого покровителя.

Принимая, что число участников парада не превосходит 7000, определите, сколько человек участвовало в процессии.

58

Три салфетки

Возьмите три одинаковые квадратные салфетки со стороной в 1 фут каждая и скажите, насколько большой квадратный стол можно покрыть ими.

Не следует делать никаких разрезов. Просто положите салфетки на стол, их можно загибать и складывать. Какой наибольший квадрат удается покрыть таким образом?

59

Как пику превратить в черву, разрезав ее на три части?

Во время недавнего визита в шахматный клуб города Кресчент-Сити-Вист мое внимание привлекло странное изображение масти пик на одном из окон приемной. Оно было красного цвета. Витраж был привезен из Дрездена и, как обычно, представлял собой большое число маленьких кусочков стекла, плотно подогнанных друг к другу.

Никто не объяснял и даже не спрашивал, чем вызвано такое несоответствие рисунка и цвета. Сначала на это смотрели как на ошибку, сделанную по недосмотру, а затем стали считать это удачей, поскольку черный знак масти пик пропускал бы в комнату слишком мало света.

Услышав, однако, что при изготовлении витража допущена ошибка, так как эмблемой клуба должен был быть червовый туз, я стал внимательно изучать окно. Знак пик был составлен из трех частей, и я быстро обнаружил, что эти части можно было расположить таким образом, чтобы получился червовый туз, как и мыслилось первоначально.

Члены клуба настолько привыкли (чтобы не сказать больше: полюбили) к этой единственной в своем роде эмблеме, что не соглашались ее изменять. Тем не менее головоломка состоит в том, чтобы выяснить, каким образом это можно было бы сделать.

60

Исчезнувшие пенни

Вот головоломка, известная как задача Ковент-Гарден, которая появилась в Лондоне полвека назад. Как это ни странно, уверяли, что она озадачила лучших английских математиков. Эту задачу нередко можно встретить в иной форме, но с теми же уверениями, однако последнее делается ради придания ей большей пикантности. Даже школьники встретятся здесь со столь небольшими затруднениями, что единственной причиной, по которой я представляю данную головоломку, служит желание дать возможность любителям потренироваться в решении задач из практической жизни.

Рассказывают, что две торговки продавали на рынке яблоки, когда миссис Смит (по причине, которая, видимо, и могла так озадачить математиков) куда-то позвали. Она попросила другую торговку, миссис Джонс, продать за нее остаток яблок.

Оказалось, что у каждой из женщин было одинаковое число яблок, но у миссис Джонс яблоки были крупнее, и она продавала их по 2 штуки за пенни, тогда как яблоки миссис Смит шли по цене 3 штуки за пенни. Взяв на себя ответственность за яблоки подруги и желая быть беспристрастной, миссис Джонс смешала все яблоки вместе и стала продавать их по 5 штук за 2 пенса.

Когда миссис Смит вернулась на следующий день, все яблоки были проданы, но, начав делить выручку, женщины обнаружили, что не хватает 7 пенсов. Вот эта-то недостача и нарушила равновесие математиков.

Предположим, что торговки поделили деньги поровну. Скажите тогда, какую сумму потеряла миссис Джонс из-за своего неудачного партнерства?

61

Каковы шансы у жирафа?

Ради того чтобы показать, сколь небольшое число болельщиков, азартно увлеченных всякого рода соревнованиями, действительно разбираются в теории вероятностей, мы просим ответить на следующий простой вопрос.

Если шансы проиграть соревнование для гиппопотама составляют 2 к 1, а для носорога 3 к 2, то каковы шансы проиграть у жирафа при условии, что в Стране головоломок все происходит честно?

Вот вторая головоломка, связанная с той же самой картинкой.

Если в двухмильном забеге жираф может выиграть у носорога 1/8 мили, а носорог способен опередить гиппопотама на 1/4 мили, то на какое расстояние жираф мог бы опередить гиппопотама?

62

Марки на доллар

Некая леди, протянув почтовому служащему один доллар, сказала:

– Дайте мне двухцентовых марок в десять раз больше одноцентовых, а на остальное – пятицентовых марок.

Как служащий сумел выполнить это довольно головоломное задание?

63

Сколькими акрами земли владеет Пит?

Вот неплохая головоломка о «диком западе», которая связывает знаменитую старую задачу с одним эпизодом из американской истории.

Техас был практически заселен, а точнее кишел американскими поселенцами уже к 1830 г. Однако потребовалось еще 15 лет, прежде чем он был присоединен к США. Вскоре после этого был издан знаменитый закон об оседлости, по которому поселенец считался собственником земли, огороженной или обработанной им в течение года с того момента, когда он завладел ею.

Некоторым из первых поселенцев пришлось хлебнуть горя, зато потомки тех, кому удалось «огородиться», как они это называли, стали буквально мясными королями. Среди крупнейших ранчо Запада, владельцы которых не испугались бы и стад «белых и пятнистых быков, что паслись на равнинах Сицилии», как высокопарно описывал их Архимед, можно упомянуть и ранчо некоего Пита. Он был одним из первых, кто получил землю по закону об оседлости. Согласно его собственному рассказу (а он здоровый и сердечный человек, хотя ему давно уже перевалило за семьдесят), они с женой получили всю землю, которую сумели огородить забором в три жерди за двенадцать месяцев, так что целый год супруги только и делали, что строили эту изгородь. Из этого рассказа мы извлечем следующую любопытную задачу. Предположим, что участок земли имеет квадратную форму и что он огорожен забором в три жерди, как показано на рисунке, причем длина каждой жерди составляет ровно 12 футов. Предположим далее, что число огороженных акров земли совпадает с числом жердей в заборе (вспомним, кстати, что в одном акре содержится 43 560 квадратных футов). Скажите тогда, сколькими акрами земли владеет техасский Пит?

64

Система лорда Рослина

Недавнее сообщение о том, что некто выиграл в Монте-Карло 777 777 франков, невольно вызывает в памяти ранее обнародованную систему лорда Рослина.

Не вдаваясь в детали игры в рулетку, примем к сведению, что система лорда Рослина основывалась на принципе ставок на числа, кратные 7, и попросим наших любителей головоломок разобраться в следующей простой задачке.

Предположим, что игрок ставит просто на красное или черное, где шансы равны, монету в 1 франк 7 раз подряд, а затем вне зависимости от выигрыша или проигрыша повышает ставку до 7 франков и снова играет 7 раз. Затем он 7 раз ставит 49 франков; далее 7 раз ставит 343 франка; затем 7 раз – 2401 франк; потом 7 раз – 16 807; далее тоже 7 раз – 117 649 франков. Если теперь, сделав ставку 49 раз, он выигрывает 777 777 франков, то сколько раз за всю игру ему сопутствовала удача?

Это довольно просто и тем не менее интересно как иллюстрация полной абсурдности пресловутой системы Рослина.

Если вам не удастся получить сумму, в точности равную 777 777 франкам, то несколько экспериментальных попыток покажут, что данная головоломка носит не столь математический характер, как это кажется с первого взгляда.

65

Как может всегда выигрывать первый игрок?

Недавно я обнаружил одно весьма живое описание того, как в XV веке страстно увлекались азартными играми. Среди упомянутых там игр, требовавших умения или слепого везения, в которые смело и безрассудно бросались знатные кавалеры, была и игра с куриными яйцами. По-видимому, именно здесь следует искать истоки известной истории про колумбово яйцо, которая, несмотря на всю содержащуюся в ней поучительную мораль, кажется слишком постной и бесцветной для того кипевшего страстями времени. Я обратил внимание на любопытный принцип, который лежит в основе этой игры и требует изобретательности и оригинальности мышления.

В игре участвуют двое. Игроки выкладывают по очереди яйца одинаковых размеров на квадратную салфетку. После того как яйцо положено на стол, его нельзя больше ни передвигать, ни касаться другим яйцом. Так продолжается до тех пор, пока вся салфетка не будет настолько густо покрыта яйцами, что на ней не останется места для очередного яйца. Последний, кому удалось положить яйцо, выигрывает, а поскольку размеры салфетки или яиц, так же как и меняющиеся расстояния между яйцами, роли не играют, то кажется, что выигрывает просто тот, кому больше повезет. И все же первый игрок может всегда выиграть, если он выберет правильную стратегию, которая, как заметил великий мореплаватель, «проще простого, если вы знаете, в чем тут дело»!

66

Насколько большими станут их стада?

Древние греки столь слепо полагались на оракулов своих богов, что ни одно дело, от объявления войны до продажи коровы, не совершали без обращения к ним за советом. Так, если вы помните знаменитую картину «Юпитер в Додоне», то представьте себе двух крестьян, которые пришли спросить совета у оракула и которых повелительно направляют к зеркалу. Мы, в свою очередь, показали на рисунке двух бедных крестьян, желающих узнать, улыбнется ли им Юпитер в деле приобретения ягненка и козы.

– Они будут увеличиваться, – изрек оракул, – до тех пор, пока овцы, умноженные на коз, не дадут произведение, которое, будучи отраженным в священном зеркале, покажет число животных во всем стаде!

Конечно, слова оракула столь же таинственны, сколь и двусмысленны, но тем не менее мы предлагаем нашим любителям головоломок поразмыслить над ними.

67

Какое время показала яхта-победительница?

На рисунке показаны две участвующие в гонках яхты, которые находятся на первой прямой треугольного замкнутого пути от А к А через В и С.

Три сухопутных увальня с лидирующей яхты попытались записывать скорость своего судна, но, жестоко страдая от морской болезни, безвозвратно погубили записи. Смит заметил, что яхта прошла первые 3/4 пути за 31/2 часа. Джонс указал только, что последние 3/4 пути яхта преодолела за 41/2 часа. А Брауну до того хотелось поскорее ступить на сушу, что он лишь отметил, что средний участок пути (от В до C)занял на 10 минут больше времени, чем первый.

Допустим, что буи отмечают равносторонний треугольник и что скорость яхты на каждом прямолинейном участке постоянна. Можете ли вы сказать, какое время показала яхта-победительница?

68

Сколько человек было в армии Гарольда?

Те, кто изучал историю, наверное, знают, насколько таинственны и неопределенны детали знаменитой битвы при Гастингсе, которая произошла 14 октября 1066 г. В нашей головоломке речь пойдет об одном любопытном эпизоде в ходе этой битвы, который, к сожалению, не привлек к себе должного внимания историков.

Вот что донесло до нас предание: «Люди Гарольда, сомкнувшись тесными рядами согласно своему обычаю, образовали тринадцать квадратов по одинаковому числу человек в каждом, и горе было тому норману, который дерзал пробиться внутрь – одного удара саксонского боевого топора было достаточно, чтобы переломить его копье и прорвать кольчугу… Когда Гарольд бросился в гущу сражения, саксы образовали один могучий квадрат, оглашая воздух боевыми кличами "Ут!", "Оликросс!", "Годемит!"».

Современные авторитеты подтверждают, что саксы действительно сражались такими плотными рядами.

Если силы Гарольда были разбиты на 13 квадратов, которые вместе с самим славным предводителем удалось расположить в виде одного большого квадрата, то сколько человек было у него под началом? Эта головоломка весьма трудна; очевидно, лишь немногим удастся получить на нее правильный ответ.

69

Марсианские каналы

Здесь представлена карта вновь открытых городов и каналов нашего собрата по Солнечной системе Марса. Начните с города, отмеченного буквой 3 и расположенного на южном полюсе Марса, и посмотрите, сможете ли вы прочитать фразу, следуя путем, где все города посещаются ровно по одному разу, и вернувшись в исходную точку.

Когда эта головоломка впервые появилась в журнале, то более пятидесяти тысяч читателей написали в редакцию: «Здесь нет никакого пути». И все же это очень простая головоломка.

70

В какой пропорции смешан чай?

На Востоке искусство смешивания различных сортов чая не пренебрегает миллионными долями унции! Говорят, секреты некоторых смесей сохранялись в глубокой тайне и веками их не удавалось повторить.

Дабы проиллюстрировать, сколь сложно проникнуть в тайну искусства смешивания чая, мы предлагаем вашему вниманию одну простую головоломку, где смешиваются только два сорта.

Составитель смесей получил два ящика чая. Оба они были кубической формы, но имели разные размеры. В большем ящике находился черный чай, а в меньшем – зеленый. Смешав содержимое этих ящиков, человек обнаружил, что полученной смесью удалось заполнить ровно 22 коробки кубической формы и одинакового размера. Допустим, что внутренние размеры коробок выражаются конечной десятичной дробью. Сумеете ли вы определить, в какой пропорции в данную смесь входили черный и зеленый чай? [Другими словами, найдите два различных рациональных числа, таких, чтобы при сложении их кубов получился результат, который после деления на 22 и последующего извлечения кубического корня привел бы тоже к рациональному числу, – М. Г.]

71

Сколько кубов в монументе и его квадратном основании?

Стала классической легенда, связанная с задачей об удвоении поверхности куба. Филопон рассказывает, как афиняне, напуганные эпидемией чумы 432 г. до н. э., обратились за советом к Платону. Но прежде чем прийти к великому философу, они воззвали к Аполлону, который устами Дельфийского оракула повелел им вдвое увеличить размеры золотого алтаря в своем храме. Однако афиняне оказались неспособными это сделать. Платон сказал, что несчастье постигло их из-за злостного пренебрежения возвышенной наукой геометрией, и посетовал, что среди них не нашлось ни одного человека, достаточно мудрого, чтобы решить эту задачу.

Задача Дельфийского оракула, где речь идет просто об удвоении куба, так тесно связана с задачей о кубах Платона, что не слишком искушенные в математике авторы их часто путают. Последнюю задачу называют также задачей о геометрических числах Платона, утверждая обычно, что об истинных ее условиях почти ничего не известно. Некоторые считают даже, что ее условия утеряны.

Существует древнее описание массивного куба, воздвигнутого в центре выложенной плитами площадки, и не требуется большого воображения, чтобы связать этот монумент с задачей Платона. На рисунке вы видите Платона, созерцающего такой массивный мраморный куб, который сложен из некоторого числа меньших кубов. Монумент возвышается в центре квадратной площадки, выложенной такими же малыми мраморными кубами. Число кубов в площадке и в монументе одинаково. Скажите, сколько кубов требуется, чтобы построить монумент и квадратную площадку, и вы решите великую задачу о геометрических числах Платона.

72

Дэдвудский экспресс

Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной юной леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.

Дело в том, что проводник хотел взять плату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!

Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.

Самое странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.

Каковы размеры двух ящиков?

Эта простая, но и достаточно интересная головоломка заставит вас подумать, прежде чем вы найдете правильный ответ.

73

Передвигая одновременно по два бокала, за четыре хода измените их расположение так, чтобы пустые бокалы чередовались с полными

Для читателей, интересующихся трюками, которые можно было бы продемонстрировать в гостиной, мы предлагаем позабавящую гостей головоломку. Вам нужны для этого восемь бокалов – четыре пустых и четыре полных.

Здесь, как и при демонстрации многих других трюков такого типа, все зависит от умения и ловкости рук. Вы должны тщательно подготовиться, чтобы быстро и легко проделывать нужные манипуляции как в ту, так и в другую сторону. Если вы к тому же будете отвлекать зрителей разговором, создастся впечатление, что повторить этот маленький трюк очень просто. Каждый не откажется продемонстрировать свою сноровку, однако девяносто девять человек из ста не справятся с заданием.

Итак, передвигая одновременно по два бокала, за четыре хода измените расположение восьми бокалов так, чтобы пустые бокалы стали чередоваться с полными. На рисунке бокалы для удобства пронумерованы.

74

Найдите путь к опушке леса!

Великий математик Эйлер открыл правило, позволяющее решать все виды головоломок с лабиринтами, которые, как известно, зависят главным образом от движения в обратном направлении. Однако к настоящей головоломке правило Эйлера неприменимо. Попытки, предпринимающиеся до сих пор, заставляют думать, что, вероятно, это единственная головоломка, не поддающаяся его методу.

Начинайте с сердечка в центре рисунка. Пройдите три шага по прямой в любом из восьми направлений: на север, юг, восток, запад или на северо-восток, северо-запад, юго-восток или юго-запад. Сделав три шага, вы окажетесь в квадрате с номером, который показывает, сколько шагов вы должны сделать по прямой «на следующий день» в любом из восьми направлений. Из этой новой точки двигайтесь снова в соответствии с новым числом и т. д., пока не окажетесь в квадрате, из которого сделаете ровно один шаг на опушку леса. Тогда вы выберетесь из леса и можете кричать от радости сколько угодно, ибо вы решили головоломку!

75

Поссорившиеся пары

Я полагаю, что все любители головоломок, как молодые, так и умудренные опытом, сумеют переправить через речку волка, козу и капусту в двухместной лодке.

Вот другой вариант этой задачи. Три супружеские пары, возвращаясь с пикника, вышли к реке, через которую они должны переправиться в маленькой лодке. Лодка одновременно вмещает только двоих, и ни одна из женщин не умеет грести.

Случилось так, что приходский священник Синч поссорился с двумя другими джентльменами. В результате и миссис Синч перестала разговаривать с остальными леди.

Каким образом все участники пикника сумеют переправиться через реку так, чтобы никакие два участника, находящиеся в ссоре, не переправлялись одновременно и даже не находились одновременно на одном и том же берегу. Еще одна любопытная особенность этих натянутых отношений состоит в том, что ни один джентльмен не должен оставаться ни на каком берегу одновременно с двумя леди.

Головоломка состоит в том, чтобы показать, каким образом все участники пикника могут переправиться в двухместной лодке на другой берег. Хочу заметить, что ни один человек из тысячи не сумеет решить Эту задачу без помощи карандаша и бумаги, хотя научиться этому не сложно

76

На какое наименьшее число квадратов, содержащих одну или несколько клеточек, можно разрезать одеяло?

На рисунке вы видите членов общества «Добровольные работники», которые свою признательность объединившему их приходскому священнику облекли в форму красивого лоскутного одеяла. Каждый член общества пришил к одеялу один правильный квадратный лоскут, содержащий одну или несколько маленьких клеточек.

Каждая леди тут же покинула бы общество, если бы ее лоскут оказался пропущенным или болтался сбоку. Поэтому было крайне важно рассчитать, каким образом из всех этих квадратных лоскутов следовало сшить одно большое квадратное одеяло. Поскольку каждый лоскут имеет форму квадрата, вы сумеете определить, сколько в обществе было членов, если узнаете, на какое наименьшее число квадратных кусков можно разрезать одеяло. Эта простая головоломка дает большой простор изобретательности, но требует терпения.

77

Какие два удара позволят закончить игру быстрее всего?

Ныне каждый играет в гольф, и даже те ленивцы, которые еще совсем недавно заявляли, что куда как лучше покачиваться где-нибудь в прохладе в гамаке, заразились спортивной лихорадкой и гоняют мяч от лунки к лунке. Сам я играю в гольф не слишком-то блестяще, но как-то встретил гениального игрока, у него своя система игры, основанная на математике. Он говорит:

– Используйте всего две разновидности ударов разной длины, «прогон» и «подход», и бейте прямо по направлению к лунке так, чтобы комбинация этих двух расстояний привела мяч прямо в лунку.

Какую длину следует выбрать для подхода и для прогона, чтобы потребовалось наименьшее число ударов на курсе с девятью лунками: 150, 300, 250, 325, 275, 350, 225, 400 и 425 ярдов? Мяч при каждом ударе должен проходить соответствующее расстояние полностью, однако при любом ударе вы можете сделать так, чтобы мяч прошел над лункой, а затем послать мяч назад по направлению к лунке. Все удары производятся по прямой в направлении лунки.

78

Разрежьте мозаику на части, из которых можно было бы сложить два квадрата

Далеко не все знают, что знаменитая мозаика работы Доменикино из коллекции Гвидо – головы римлян – долгое время была разделена на две квадратные части, обнаруженные в разное время. Они были собраны вместе в своем, как полагают, первоначальном виде в 1671 г. Очевидно, случайно обнаружилось, что каждый квадрат состоял из частей, которые удалось сложить в правильный квадрат 5x5, как показано на рисунке.

Эту головоломку, подобно многим другим головоломкам, допускающим математическую формулировку, можно решать, двигаясь в обратном направлении. Мы обратим задачу и попросим вас разделить большой квадрат на минимальное число частей, из которых можно было бы сложить два квадрата.

Известно, конечно, что два квадрата с помощью диагональных прямых можно разрезать на части, из которых удается сложить один большой квадрат Пифагора, и наоборот; однако в данном случае головы не должны быть повреждены, и поэтому разрезать квадрат можно только вдоль линий соединения. Заметим кстати, что студентам, знакомым с задачей Пифагора, не составит большого труда определить, сколько голов должно содержаться в меньших квадратах.

Задачи такого рода, где речь идет о наилучшем ответе, содержащем наименьшее число частей, дают большой простор для изобретательности. В этой задаче при наилучшем решении ни одна голова не разрушается и не переворачивается вверх ногами.

79

Укажите размеры креста, площадь которого равнялась бы площади остальной части флага

На датском флаге изображен белый крест на красном фоне; правила требуют, чтобы площадь белого креста составляла ровно половину всей площади флага. Допустим, что длина флага составляет 7 1/2фута, а ширина – 5 футов. Интересно, сколько любителей головоломок определят толщину белого креста при условии, что его площадь составляет половину площади всего флага?

80

Фальшивые весы

Оперировать деньгами, которые чеканились прежде на Востоке в виде монет различного размера и веса, чтобы легче било обманывать путешественников, слишком сложно для наших математиков; поэтому, описывая тамошние сделки, мы ради удобства будем говорить о долларах и центах.

Верблюжью шерсть, используемую при выделке шалей и дорогих ковров, крестьяне обычно продают крупным торговцам при посредстве перекупщиков. Дабы не прогореть, перекупщик никогда не покупает шерсть про запас, однако, как только поступает заказ от торговца, он всегда находит желающего продать шерсть и берет как с покупателя, так и с торговца по 2 % комиссионных, зарабатывая таким образом 4 % на всей операции. Более того, с помощью жульнических манипуляций с весами перекупщику всегда удается увеличить свой доход, особенно если ему попадается неопытный клиент, который доверчив настолько, что верит его словам и клятвенным заверениям.

Я хочу предложить вам одну забавную головоломку, связанную с подобной сделкой, которая показывает, насколько просты методы перекупщика. Приобретая шерсть, перекупщик помещал ее на короткий рычаг своих весов, что давало ему лишнюю унцию шерсти на каждый фунт веса, а продавая шерсть, он менял рычаги местами и недодавал по одной унции на каждый фунт. Благодаря этому он получил лишних 25 долларов.

Эта задача выглядит (и является на самом деле) очень простой, ее условия ясны и вполне достаточны для решения. Тем не менее человеку, искушенному в книжной премудрости, придется поломать голову, прежде чем он определит, сколько заплатил перекупщик за верблюжью шерсть.

81

Какая разница в весе между шестью дюжинами дюжин фунтов перьев и полудюжиной дюжин фунтов золота?

Вот одна из тех старых задач, которые передаются из поколения в поколение, и никто не дерзает усомниться в их общепринятых ответах. Но тут совсем недавно некоему юному любителю головоломок из Бостона его дедушка задал один из таких древних вопросов. Ответ внука был настолько неожиданным, что дедушка едва не свалился бездыханным.

Большинство людей так хорошо знакомы с вопросом, какова разница в весе между шестью дюжинами дюжин фунтов перьев и полудюжиной дюжин фунтов золота, что не колеблясь отвечают:

– Фунт одного не может весить иначе, чем фунт другого. Шесть дюжин – это 864 фунта, а полдюжины дюжин – 72 фунта; значит, разница в весе составляет 792 фунта.

И все же мы со всей серьезностью вновь ставим этот вопрос. Если вы как следует над ним подумаете, то обнаружите, что никто не отвечал на него правильно с того момента, как он впервые был задан в 1614 году.

82

Сварливые соседи

Эта маленькая головоломка принадлежит к числу самых ранних моих изобретений. Приведенный здесь рисунок воспроизводит мои художества, сделанные еще в девятилетнем возрасте.

Рассказывают, что три соседа, владевшие сообща небольшим парком, который вы видите на рисунке, однажды перессорились между собой. Владелец большого дома, жалуясь, что его беспокоят соседские куры, проложил огороженную дорожку от своей двери к калитке внизу рисунка. Тогда человек, живущий в правом домике, проложил дорожку к левой калитке, а человек из левого домика проложил дорожку к калитке справа. Ни одна из дорожек не пересекалась с другими. Не сумеете ли вы правильно нарисовать эти дорожки?

83

Сколько воды добавил молочник в каждый бидон молока?

Рассказывают, что один молочник, который весьма гордился своей честностью и умением угодить покупателям, однажды утром, к своему великому огорчению, обнаружил, что у него не хватит молока, чтобы удовлетворить все заказы, а добыть еще молока ему неоткуда.

Понимая, сколь пагубно это может отразиться на его делах и репутации, молочник все же придумал, как выйти из положения.

Обязательность не позволяла молочнику обделить кого-либо из покупателей, поэтому он решил не обделить молоком ни одного своего клиента, но для того, чтобы молока хватило всем, понадобилось разбавить его водой.

После тщательных поисков молочник обнаружил ключ с кристально чистой водой и налил в один из бидонов столько галлонов воды, сколько недоставало молока, чтобы удовлетворить все заказы.

Однако обычно молочник продавал молоко двух сортов, одно по 8, а другое по 10 центов за кварту, поэтому он составил две смеси и сделал это довольно изобретательным способом.

Из бидона № 1, содержавшего чистую воду, он перелил ее столько, чтобы удвоить содержимое бидона № 2, где находилось молоко. Затем из бидона № 2 он перелил назад в бидон № 1 столько смеси, сколько воды оставалось в бидоне № 1. Далее, чтобы обеспечить нужную пропорцию, молочник перелил назад из бидона № 1 столько смеси, сколько ее требовалось, чтобы удвоить содержимое бидона № 2. При этом, как можно легко показать, в каждом бидоне оказалось равное число галлонов жидкости, но в бидоне № 2 воды было на 2 галлона больше, чем молока.

Это все не так запутанно, как кажется, ибо достаточно трех переливаний, чтобы объем содержимого в двух бидонах уравнялся. Не скажете ли вы, сколько молока и воды оказалось в итоге в каждом бидоне?

84

Зарплата стенографистки

Вот задача из повседневной деловой жизни, которая, как правило, никого не оставляет равнодушным. Однажды босс, будучи в хорошем расположении духа, сказал своей стенографистке:

– Ну, Мэри, учитывая, что вы никогда не берете отпусков, я решил каждый год увеличивать вашу зарплату на 100 долларов. С сегодняшнего дня в течение ближайшего года вы еженедельно будете получать зарплату из расчета 600 долларов в год; в следующем году ваша зарплата составит 700 долларов; в следующем – 800 долларов и т. д., то есть через каждый год она будет возрастать на 100 долларов.

– Мое слабое сердце, – ответила благодарно молодая женщина, – не выдержит столь резких изменений. Пусть начиная с этого дня зарплата мне, как вы и сказали, выплачивается из расчета 600 долларов в год, но пусть в конце шестого месяца моя годовая зарплата увеличится на 25 долларов и продолжает возрастать на 25 долларов через каждые шесть месяцев до тех пор, пока моя работа будет вас удовлетворять.

Босс милостиво улыбнулся своей преданной стенографистке и согласился на ее вариант, но блеск его глаз побудил одного из клерков подсчитать, мудро ли он поступил, приняв предложение своей служащей. А как считаете вы?

85

Сколько лет матери?

Старые головоломки часто оказывают завораживающее действие. Как правило, они крайне просты, но их условия так скудны, а ответ столь отличен от ожидаемого, что они не могут не позабавить.

У одного из трех лиц, которых вы видите на рисунке, сегодня день рождения. Это вызвало любопытство Томми, весьма заинтересованного возрастом своих родных. В ответ на его вопросы отец Томми сказал:

– Так вот, Томми, мамин, твой и мой возраст в сумме составляют семьдесят лет. На сегодняшний день я ровно в шесть раз старше тебя, а вот когда я буду только вдвое старше тебя, то наш общий возраст окажется вдвое большим, чем теперь. Зная это, не сумеешь ли ты мне сказать, сколько лет маме?

Томми, ловко орудовавший числами, быстро решил задачу, но ведь он знал, сколько лет ему самому, а потому довольно точно определил возраст родителей. А смогут ли любители головоломок сказать, сколько лет матери Томми?

86

Покажите, как выбить 96 тремя «дублетами»

Как человек, не раз участвовавший в соревнованиях по стрельбе, я был весьма заинтересован недавним матчем такого рода, который происходил между американцами и французами. Стреляли одновременно по обе стороны океана, а результаты передавались по телеграфу, что делало матч особенно захватывающим. Американцы победили с небольшим преимуществом: 4889: 4821.

Меня позабавили комментарии непосвященных, которых весьма озадачил язык стрелков. Казалось, что участники соревнования постоянно говорят о времени дня, причем в странном противоречии с истинным временем суток. Нашлись болельщики, которые поясняли, что тут дело в разнице часовых поясов Нью-Йорка и Парижа.

– В какое время ты стрелял? – спрашивал один участник матча другого.

– В половину шестого, но я попробую в половину пятого.

На самом же деле при стрельбе необходимо делать поправку на расстояние и ветер. Поэтому, рассматривая свои мишени как циферблат часов, стрелки могут указывать характер поправок. Так, если, целясь в яблочко, стрелок попадает в то место, где на циферблате находится цифра 5, то, чтобы добиться успеха, ему следует целиться в 11 часов.

Вот тут и родилась задача, которая, я надеюсь, заинтересует наших любителей головоломок.

Один стрелок шестью выстрелами выбил 96 очков, но потребовалось тщательно исследовать мишени, прежде чем удалось установить, что он сделал это тремя «дублетами» – так называют две пули, прошедшие сквозь одну дырку.

На мишени, которую изучают судьи, показано распределение очков по кольцам. Сумеете ли вы определить, куда попали три дублета, давшие в сумме 96 очков?

87

Странный план

Нередко задачи задает нам повседневность. Вот одна из таких задач, которая по силам каждому независимо от того, разбирается ли он в математике.

Один человек, желая приобрести некую собственность, но обладая лишь скромной суммой и питая отвращение ко всякого рода цифрам, закладам и процентам, заявил, что совершит покупку только в том случае, если будут приняты его условия. Согласно этим условиям, человек обязуется выплатить сразу 1000 долларов, а затем еще пять раз уплатить по 1000 долларов через каждые 12 месяцев. Эти выплаты должны были покрыть полную стоимость приобретения, включая проценты, набегавшие к моменту каждой выплаты.

Сделка была заключена на этих условиях, а поскольку известно, что рассрочка дается из расчета 5 % годовых, то спрашивается, чему равна собственная стоимость покупки?

88

Как взобраться на лестницу за наименьшее число шагов?

Мальчик, которого вы видите на рисунке, только что задал рабочему следующую необычную задачу.

Начиная с земли, двигайтесь по лестнице попеременно вверх и вниз, перемещаясь за каждый шаг на одну перекладину, до тех пор, пока вы не окажетесь в конце концов на верхней перекладине. Но при этом вы должны еще один раз оказаться на земле, всего лишь дважды ступить на верхнюю перекладину, а на всех остальных перекладинах побывать одинаковое число раз.

Если бы вы сразу взобрались наверх, затем спустились вниз, а затем вновь взобрались наверх, то соблюли бы все условия, но совершили 27 шагов. Вам же предлагается решить задачу за наименьшее число шагов. Думаю, вам придется немало полазать по этой лестнице, прежде чем вы найдете правильный ответ!

89

Как ворам удалось по справедливости разделить пустые и полные бутылки?

Вот одно небольшое упражнение на вычитание и деление, которое лишний раз показывает, что от элементарной арифметики никуда не деться. Правда, здесь скорее потребуются способности Шерлока Холмса, чем математические познания.

Случилось так, что грабители унесли из винного погребка, принадлежавшего некоему джентльмену, две дюжины бутылок вина, которые им удалось бы сохранить, если бы они столь же хорошо умели делить, как и отнимать.

Воры украли дюжину кварт и дюжину пинт шампанского, но, найдя свой груз слишком тяжелым, решили уменьшить его вес, выпив 5 кварт и 5 пинт за успех своих кандидатов на следующих муниципальных выборах. Дабы не оставлять следов и не терять на стоимости посуды, они забрали бутылки с собой. Встретившись опять в укромном месте, воры никак не могли поделить по справедливости 7 полных и 5 пустых кварт и 7 полных и 5 пустых пинт так, чтобы каждому досталась одинаковая ценность в бутылках и вине. Дележ, быть может, не оказался бы столь трудным, не затумань они себе мозги вином.

Едва ворочая языком, что немаловажно в данном случае, они все же сумели поссориться, подняв изрядный шум. Это привлекло внимание двух полисменов; они нагрянули на воров и… выпили все шампанское, которое спасли. Но ни этот факт, ни судьба пустых бутылок, ни состояние голов с похмелья не имеют отношения к задаче.

Не вдаваясь в подробности происшедшего, я прошу вас ответить, сколько было воров и как они могли разделить между собой поровну 7 кварт и 7 пинт вина, а также 5 пустых бутылок по кварте и 5 пустых бутылок по пинте каждая. Разумеется, вино не должно переливаться из одной бутылки в другую – всякий уважающий себя вор знает, что с шампанским так не обращаются, поэтому трюки с переливанием исключаются.

90

Подсчитайте голоса

Вот простая, но любопытная головоломка, явившаяся следствием недавних выборов, где за четырех кандидатов было подано 5219 голосов. Победитель опередил своих соперников соответственно на 22, 30 и 73 голоса, и все же ни один из претендентов не знал, как подсчитать точно число голосов, полученных каждым.

Не смогли бы вы рекомендовать простое правило, позволяющее получить нужную информацию?

91

Как лучше играть?

Вот одна игра-головоломка, привезенная с Востока и весьма напоминающая известную игру в крестики-нолики. Одна из китаянок выписывает на доске в четыре ряда 16 букв, как показано на рисунке. Проведя прямую линию от А к В, она передает доску своей сопернице, которая соединяет Е с А. Если первая китаянка соединит теперь Е с F, то вторая соединит В с F, выиграв тем самым одну ячейку, и получит право сделать еще один ход. Но обе китаянки играли так хорошо, что, сделав по шесть ходов, ни одна из них не выиграла ни одной ячейки. Далее игра вступила в критическую фазу, когда один из игроков должен выиграть, ибо в ней не бывает ничьих.

Сейчас должна ходить девушка, сидящая справа, если она соединит M с N, то ее соперница выиграет подряд 4 ячейки, а затем, обретя право еще на один ход, соединит H с L, что обеспечит ей выигрыш и всех остальных ячеек. Как бы вы посоветовали играть девушке справа и сколько ячеек можно выиграть при наилучшей игре соперницы?

Помните, что, выиграв ячейку, игрок обязан ходить. Допустим, игрок соединяет D с H, тогда второй игрок соединяет H с L, и что бы ни делал первый игрок, второй игрок выигрывает все 9 ячеек подряд. Сыграв несколько раз, вы обнаружите, что эта игра требует большого мастерства.

92

Жены датчан

В Дании долгое время сохранялись старые обычаи. Так, рогатый скот и домашнюю птицу там продавали нечетным числом голов, яйца – двумя десятками, одни предметы – дюжинами, другие – бушелями, сахар – тремя с половиной фунтами и т. п. Одна любопытная задача, опубликованная больше двух веков назад, иллюстрирует этот запутанный способ. В ней говорится: «Пришли ко мне три знакомых датчанина, Хендрик, Клаас и Корнелиус, со своими молодыми женами. Жен их звали Геертринг, Катрюн и Анна, но я запамятовал, как именно звали жену каждого. Молодые люди рассказали, что были на рынке, где покупали свиней, причем каждый из них приобрел столько свиней, сколько крон платил за одно животное. Хендрик купил на 23 свиньи больше, чем Катрюн, а Клаас купил на 11 свиней больше, чем Геертринг. Они также сказали, что каждый из мужчин выложил на 63 кроны больше, чем его жена. А мне хотелось бы выяснить, возможно ли, зная все это, сказать, как звали жену каждого датчанина?»

Надо думать, веселая компания изрядно налилась пивом, если не так-то просто оказалось определить пары. Это любопытная задача, решаемая экспериментальным методом.

93

Разрежьте бумажную митру на минимальное число частей, из которых можно было бы сложить правильный квадрат

Каждый, кто когда-либо демонстрировал друзьям головоломку или фокус, непременно сталкивался с каким-нибудь Алеком – молодым человеком, который все обо всем знает. Если ему известна головоломка, о которой идет речь, он спешит тут же назвать ответ, лишив окружающих удовольствия испытать свои силы, если головоломка оказывается для него новой, он все равно не успокоится, пока не продемонстрирует свое превосходство. Как не вспомнить при этом персидскую поговорку: «Невыносим тот, кто не знает и не способен осознать, что он этого не знает». Такого Алека особенно приятно бывает посадить в калошу.

Однажды Гарри едва только начал показывать своим юным друзьям интересную головоломку на разрезание, как его бестактно перебил Алек. Он полагал, что речь идет о широко известной старой задаче про митру, которую я предложил вниманию публики более пятидесяти лет назад и в которой требовалось разрезать изображенный на рисунке лист бумаги в форме митры на четыре части одинаковых размеров и формы, и тут же бесцеремонно предложил ее объяснить.

– Прекрасно! – нашелся Гарри. – Головоломка состоит в том, чтобы разрезать митру на минимальное число частей, из которых можно было бы сложить правильный квадрат. Я, к сожалению, запамятовал, как это делается, но вот Алек вам все растолкует.

Стоит ли говорить, что Алек был посрамлен, но пошло ли это ему впрок?

Головоломка эта не так проста, как может показаться на первый взгляд, и даже поднаторевшему знатоку придется изрядно поломать над ней голову. Разумеется, существует бесчисленное количество способов решить задачу, разрезав лист бумаги на множество частей, но, чтобы добраться до минимального ответа, потребуются недюжинные усилия.

94

Путь кометы

Извилистый путь некой кометы начинается от малой белой звезды в центре рисунка. Комета разрушает все созвездие из 62 темных звезд и заканчивает свой путь взрывом большой белой звезды. Начав с малой белой звезды, проведите ломаную линию с минимальным числом звеньев, которая проходила бы через каждую из черных звезд и заканчивалась бы на большой белой звезде.

95

Помогите разойтись поездам

Вы видите на рисунке участок одноколейной железной дороги, на котором встретились паровозы с четырьмя и тремя вагонами. Задача состоит в том, чтобы найти самый быстрый способ развести составы. Боковой тупик может принять одновременно либо один паровоз, либо один вагон.

Использование канатов, шестов или перекидных мостиков исключается; кроме того, вагон нельзя цеплять к паровозу спереди. Сколько раз потребуется изменить направление движения паровозов, чтобы поезда разошлись? Каждая перемена направления паровоза считается одним ходом.

96

Разместите уток в пять рядов по четыре утки в каждом

Предмет данной головоломки хорошо знаком любителям утиной охоты в окрестностях Баззардзского залива.

С этим видом охоты связаны тысяча и одна головоломка, но я познакомлю читателей лишь с одной небольшой задачкой, которая характерна именно для моей манеры охотиться на уток. Разумеется, поразить несколько уток одним выстрелом – это уже подвиг. Совершить его можно лишь в случае, если несколько уток располагаются на одной прямой.

Я заметил, что утки над Баззардзским заливом обычно летят двумя рядами с птицами-капралами по сторонам, как показано на рисунке. Поэтому через стаю можно провести три прямые по четыре утки в каждой. И вот однажды я навел ружье вдоль такой прямой из четырех птиц, надеясь уложить одним выстрелом нескольких уток, и спустил курок. Я мог бы на худой конец просто попасть в пару уток, но мое честолюбивое желание сбить либо всех четырех, либо ни одной привело меня к следующему интересному открытию. Как только рассеялся пороховой дым, я увидел, что птицы изменили направление полета. Но что показалось мне действительно странным, так это то, что хотя утки шли на меня тремя рядами по четыре в каждом, удалялись они уже пятью рядами по четыре в каждом. Как именно они перестроились, мне помешал разглядеть дым, однако я заметил, что положение в строю изменило минимальное число птиц.

На рисунке показано 10 уток, приближающихся тремя рядами по четыре утки в каждом. Измените положение минимального числа уток так, чтобы птицы расположились пятью рядами по 4 утки в каждом. Кстати, это позволит вам также узнать, сколько уток из стаи оказалось у меня в ягдташе.

Задачу можно решить с помощью фишек, передвигая их до тех пор, пока вы не добьетесь нужного расположения.

97

Домашние осложнения

Вот одно небольшое затруднение, какое в минуту разрешит хорошая хозяйка, но которое может поставить в тупик математика.

Смит, Джонс и Браун были большими друзьями. После того как умерла жена Брауна, хозяйство стала вести его племянница. Смит, также овдовев, жил со своей дочерью. Когда Джонс женился, то они с женой предложили жить всем вместе. Каждый член этого нового коллектива (мужчина и женщина) должен был ежемесячно первого числа вносить по 25 долларов на расходы; оставшуюся же по истечении месяца сумму они делили поровну.

В первый месяц расходы составили 92 доллара. После раздела остатка каждый получил по целому четному числу долларов. Сколько денег получил каждый из членов коллектива и почему?

98

Когда часы в следующий раз покажут правильное время?

Те, кто путешествовал по Швейцарии, возможно, узнают на нашем рисунке заброшенную церковь в безлюдных окрестностях Цюриха и вспомнят историю о ее заколдованных часах. Опуская подробности этой истории, скажу лишь, что церковь была построена в середине XV века. Часы для нее сделал старейший житель этих мест, имя которого было известно далеко за пределами его округи, мастер Йоргенсен.

Часы были пущены в ход в шесть утра после соответствующей церемонии, которой в Швейцарии сопровождалось каждое мало-мальски значительное событие. К несчастью, перепутали при сборке часов шестерни, к которым крепятся стрелки, в результате чего часовая стрелка «побежала», а минутная стала вращаться с достоинством часовой. Когда о странном поведении часов сообщили больному мастеру, он потребовал, чтобы его поднесли к церкви, дабы он смог все увидеть собственными глазами. Однако благодаря поразительному совпадению, когда мастера доставили на место, часы показывали правильное время. Это так подействовало на старика, что он не смог пережить своей радости. Часы же продолжали вести себя странным образом, и окрестные жители стали считать их заколдованными. Никто не осмеливался не только чинить их, но и чистить. Естественно, часы заржавели, встали и о них забыли, осталась в памяти лишь предлагаемая вам задача.

Если часы были запущены в шесть часов, как показано на рисунке, и если часовая стрелка двигалась в двенадцать раз быстрее минутной, то когда часы в первый раз покажут правильное время?

99

Сколько лет будет Смиту?

Смит служил клерком в страховой компании и был так напичкан всякого рода датами и цифрами, что мало о чем другом мог говорить или думать. Он всегда торопился домой, чтобы в кругу семьи предложить какую-нибудь статистическую задачу. Особое удовольствие доставляло ему поставить в тупик свою жену, о математических способностях которой он отзывался не без пренебрежения. Однако жене удалось как-то посрамить своего супруга, а возможно, и вылечить от дурной привычки третировать семью своими задачами.

Однажды этот глава семейства хвастливо заявил, что если его дражайшая половина сумеет задать ему такую задачу о датах и возрастах, которую он не сумеет решить за десять минут, то до следующего такого же дня он не предложит больше ни одной задачи. Вероятно, он имел в виду тот же день через год, но разговор происходил 29 февраля 1896 года, так что у женщины соблазн заставить мужа замолчать до следующего високосного года был очень велик.

Задача, которой супруга сумела сразить своего «головоломного» спутника жизни, выглядела так:

– Допустим, Том, что ты был втрое старше меня, когда мы впервые встретились, и что мне сейчас столько же лет, сколько тебе было тогда, и что, когда я буду втрое старше, чем сейчас, наш суммарный возраст составит сто лет. Скажи-ка мне, сколько в таком случае тебе будет лет ближайшего 29 февраля?

100

На сколько частей следует разрезать крышку стола?

Картинка говорит сама за себя, и не надо быть Шерлоком Холмсом, дабы понять, что ребята нашли на чердаке старый ящик с инструментом, а их мать ушла по своим делам. Труднее представить себе, как Таузер сможет выбраться из будки через маленькую дверцу, когда ребята приколотят к конуре последнюю стенку. Однако предоставим Таузера самому себе и не будем тратить времени на несущественные для нас бытовые подробности.

Как лучше всего разрезать на минимальное число частей квадратную крышку кухонного стола, чтобы из них можно было сколотить недостающую стенку конуры?

101

Если бы луна была из зеленого сыра, то на сколько частей смогли бы вы ее разделить, проведя ножом пять прямых разрезов?

«Лечение болезни концентрированным усилием воли, – писал один известный в свое время медик, – связано с самовнушением, а оно может быть весьма велико. Известны случаи, когда альпийские пастухи с наслаждением жевали свою краюху кислого хлеба, воображая, будто то кусок лунного серпа из зеленого сыра!».

Эти слова навели меня на мысль, связанную со следующей головоломкой.

Отнесемся снисходительно к глупым фантазиям людей, изображенных на рисунке, и представим себе, что предстоит разрезать лунный серп пятью прямыми взмахами ножа на предельно большее количество кусков. Достаточно ли вы умелы, чтобы им помочь?

С помощью карандаша и линейки проведите на изображенном здесь серпе пять прямых линий и посмотрите, сколько кусков вам удастся получить.

102

Разрежьте этот пряник в виде собачьей головы на две части, имеющие одинаковую форму

Тудлис получила в подарок пряник в виде собачьей головы и решила разделить его поровну со своим младшим братом. Желая быть справедливой, она хотела бы знать, каким образом это сделать, чтобы обе части были одинаковых размеров и формы.

103

Кто выиграет?

В добрые старые времена ни один сельский праздник не обходился без картофельных состязаний, а кое-где они и поныне популярны среди молодежи. Сотню картофелин выкладывают по одной вдоль прямой на расстоянии 10 футов друг от друга. В 10 футах от первой картофелины помещается корзина. Двое соперников стартуют у корзины и бегут к первой картофелине. Тот, кому удается ее схватить, несет картофелину к корзине, а второй участник бежит к следующей картофелине. Таким образом картофелины по одной переносятся в корзину, а тот, кто сумеет первым положить в корзину 50 картофелин, выигрывает.

Первый наш вопрос состоит в следующем: какое расстояние необходимо пробежать, если стартовать от корзины и перенести в нее по одной все 100 картофелин.

Наша вторая и гораздо более трудная задача касается соревнований между Томом и Гарри. Поскольку Том бегает на 2,04 % быстрее Гарри, он разрешает Гарри выбрать одну картофелину и положить ее в корзину до начала соревнований. Другими словами, чтобы выиграть, Том должен собрать 50 картофелин прежде, чем Гарри сумеет собрать свои оставшиеся 49. На рисунке вы видите, как Гарри кладет выбранную картофелину в корзину. Результат соревнований в значительной мере будет зависеть от того, какую именно картофелину выберет Гарри. Вам предлагается определить, какую картофелину следует выбрать Гарри, чтобы максимально увеличить свои шансы на выигрыш, и каков будет результат соревнований, если сделать правильный выбор.

104

105

Как записать 1906 год в восьмеричной системе счисления?

Дабы показать, насколько трудно бывает неискушенному человеку при решении простой задачи покинуть проторенный путь, я предлагаю вам бросить взгляд на привычную нам десятичную систему счисления. Обычно большинство людей пользуются ею не задумываясь. Они знают, что при сложении столбиком каждую колонку можно заполнять вплоть до 9, а если сумма получается больше 9, то следует перейти в колонку слева. Однако все это далеко не так просто.

Первобытный человек, подобно каждому из нас, учился считать на пальцах обеих рук – вот отсюда и возникла десятичная система счисления. Не исключено, что если бы человек произошел от обезьяны с четырехпалыми конечностями, то нам пришлось бы пользоваться «восьмеричной» системой. С математической точки зрения десятичная система не столь уж и совершенна, для некоторых целей, например, лучше подходит «семеричная» система, где в каждом разряде может стоять любая из семи цифр от 0 до 6. В этой системе 66 означает 6 семерок и 6 единиц, так что если к данному числу прибавить 1, то получится 100, или 49 в десятичной системе.

Дело в том, что, прибавив 1 к 6, мы получили бы 7. Поэтому мы пишем в младшем разряде 0, а в следующий разряд добавляем 1 и получаем там снова 7; так что во втором разряде мы опять записываем 0, а в третьем разряде пишем 1. В результате и получается число 100, которое в десятичной системе записывается как 49. Аналогичным образом 222 в десятичной системе запишется как 114: две единицы, две семерки и дважды по 49.

Представьте, что нашими предками были четырехпалые обезьяны и наши предтечи считали до восьми и ничего не знали о девятках и десятках; как бы мы тогда в восьмеричной системе записали 1906 год? Эта задача поможет вам понять некоторые элементарные принципы, лежащие в основе перехода от одной системы счисления к другой.

106

Ежегодный пикник

Компания отправилась на большой ежегодный пикник. В каждом экипаже находилось одинаковое число пассажиров. На полпути вышли из строя 10 экипажей, так что в каждый оставшийся экипаж пришлось пересесть по одному лишнему пассажиру.

На обратном пути из строя вышло еще 15 экипажей; теперь в каждом экипаже ехало на 3 пассажира больше, чем их было, когда компания поутру тронулась в путь. Сколько человек участвовало в ежегодном пикнике?

107

Сколько монахинь проживало в монастыре и как они размещались?

Задачу о монахинях из монастыря Монте-Маладетта можно встретить почти во всех старых сборниках головоломок, но она очень примитивна. Я помню, что в свое время ее ответ просто разочаровал меня. Говорили об испанском происхождении этой головоломки, якобы она основана на историческом эпизоде. Недавно мне в руки попал сборник старых испанских сказаний, в одном из которых я нашел краткое упоминание о монастыре Монте-Маладетта, расположенном в горном массиве Пиренеев, носящем то же название. Речь там шла о захвате этой части страны французами, которые в конце концов были изгнаны.

Прямое отношение к головоломке имела, однако, та часть текста, где говорилось: «Многих монахинь франки увели с собой, видно, отсюда и пошла известная задача о монахинях монастыря Монте-Маладетта». Поскольку никаких письменных свидетельств о головоломке не сохранилось, а ее популярный вариант весьма сомнителен из-за двойственности решения, я беру на себя смелость представить ее в форме, сохраняющей дух задачи, но свободной от неоднозначности решения.

Монастырь, как это показано на рисунке, представлял собой квадратное трехэтажное здание с шестью окнами на каждой стороне верхних этажей. Ясно, что на каждом из верхних этажей было по 8 комнат, что вполне согласуется со старой историей. По преданию, верхние этажи использовались под кельи. В кельях самого верхнего этажа кроватей было больше, чем в кельях второго этажа, так что на нем и монахинь помещалось вдвое больше.

Мать-настоятельница следила за тем, чтобы каждая келья непременно была занята. Причем на третьем этаже должно жить вдвое больше монахинь, чем на втором, а в шести комнатах, выходящих на каждую из четырех сторон здания, их должно проживать ровно по 11. Задача относится только к двум верхним этажам, нижний этаж занимала трапезная.

Ну, так вот, после отступления французских войск через ближайшее ущелье обнаружилось, что исчезло 9 самых молодых и хорошеньких монахинь. Очевидно, их во всех смыслах пленили французские солдаты. Однако, дабы не огорчать случившимся мать-настоятельницу, монахини скрыли потерю, по-новому переселившись в своих кельях.

Монахини умудрились расселиться таким образом, что во время своего ежевечернего обхода мать-настоятельница не заметила никаких изменений: все кельи были заняты, на каждой стороне проживало по 11 монахинь и на третьем этаже монахинь было вдвое больше, чем на втором. И все же 9 монахинь отсутствовало! Сколько монахинь проживало в монастыре и как они размещались по кельям?

Изюминка задачи содержится в парадоксальных условиях, которым на первый взгляд удовлетворить невозможно. Тем не менее головоломка вполне поддается решению.

108

Как торговец отмерял вино и воду?

Однажды один торговец из Багдада, который снабжал своими товарами паломников, пересекавших пустыню, столкнулся с трудноразрешимой задачей. К нему пришел хозяин каравана, чтобы купить про запас вина и воды. Он принес с собой 3 кувшина в 10 галлонов каждый и попросил налить в первый кувшин 3 галлона вина, во второй – 3 галлона воды, а в третий – смесь из 3 литров воды и 3 литров вина; кроме того, он хотел, чтобы и каждый из 13 верблюдов получил по 3 галлона воды.

Поскольку, согласно восточным обычаям, вино и вода продавались лишь четным числом галлонов, у торговца были меры в 2 и 4 галлона. Тут-то и возникла трудность. Тем не менее, не прибегая ни к каким трюкам, уловкам или приспособлениям, торговец безо всяких потерь налил нужные порции воды из большой бочки в 63 галлона и вина из малой бочки в 31 1/2 галлона. За сколько операций ему удалось это сделать, если операцией считать каждое переливание жидкости из одного сосуда в другой?

109

Сколькими способами вы сумеете прочитать фразу?

Помните эпизод из «Алисы в Стране Чудес» Льюиса Кэрролла, где Алиса встречается с Чеширским котом? Этот удивительный кот мог исчезнуть, но улыбка его оставалась. Впервые увидев своего приятеля из семейства кошачьих, Алиса захотела узнать, что это за животное, а поскольку в Стране Чудес вопросы всегда задавались в письменной форме, она сделала то же самое. Но в Стране Чудес читали и задом наперед, и снизу вверх, и сверху вниз, поэтому она записала свой вопрос так, как показано на рисунке. Это позволяет читателю начинать и заканчивать фразу, где он пожелает.

Задача состоит в следующем. Сколькими различными способами вы сумеете прочитать вопрос Алисы: WAS IT A CAT I SAW? (He кота ли я видела?) Начинайте с любого W и переходите к соседней букве, от нее – к следующей и т. д., пока не доберетесь до С, а затем возвращайтесь назад к границе. Вы можете двигаться вверх и вниз, влево и вправо.

110

Кто победит и сколько времени для этого потребуется?

Жители Сиама – прирожденные игроки, готовые ставить на последние лохмотья. Сами они не очень-то воинственны, но весьма любят наблюдать схватки между самыми разными животными. Никого не удивят петушиные или собачьи бои, но ни в одной другой стране вы не встретите бои рыбьи!

Там есть два вида рыб, которые, несмотря на свои вкусовые достоинства, ценятся исключительно за бойцовые качества. Рыбы одного вида, называемые королевскими, крупны и имеют белую чешую, а рыбы другого вида, называемые дьявольскими или черными карпами, маленькие и черные. Между этими видами существует столь сильная антипатия, что, едва завидев друг друга, рыбы тут же бросаются в атаку и бьются насмерть.

Королевская рыба за считанные секунды способна уничтожить пару маленьких рыб, но дьявольские рыбы столь проворны и действуют столь слаженно, что три такие рыбки с успехом противостоят одной большой и битва между ними может продолжаться часами. Они так сообразительны и подвижны, что 4 маленькие рыбки убивают большую рыбу ровно за 3 мин, а 5 рыбок могут нанести coup de grace за пропорционально более короткое время – 2 мин и 24 с (соответственно 6 рыбок – за 2 мин и т. д.).

Эти комбинации противостоящих сил столь точны и надежны, что можно вычислить точное время, за которое определенное число рыб одного вида уничтожит определенное число своих врагов.

На нашем рисунке показаны 4 королевские рыбы, противостоящие своим 13 маленьким противникам. Кто победит? И сколько времени понадобится одной стороне, чтобы уничтожить другую?

[Дабы избавиться от двусмысленности, содержащейся в условии С. Лойда, стоит подчеркнуть, что дьявольские рыбы всегда атакуют одну королевскую рыбу стайками не менее трех рыб и не отступают от нее до полного уничтожения. Так, мы не можем считать, что пока 12 маленьких рыб блокируют четырех больших, тринадцатая дьявольская рыба шныряет туда и обратно и «прикладывает руку» к гибели всех своих противниц. Исходя из того, что 4 дьявольские рыбы убивают одну королевскую за 3 мин, мы могли бы сказать, что 13 дьявольских рыб прикончат одну королевскую за 12/13 мин, а четырех королевских рыб – за 48/13 мин (3 мин 41 7/13 с). Однако такие же рассуждения приводят и к заключению, что 12 дьявольских рыб убьют одну королевскую за 1 мин и четырех королевских рыб за 4 мин даже без помощи тринадцатой рыбы – вывод, который, очевидно, нарушает предположение Лойда о том, что 3 маленькие рыбы не способны убить одну большую. – М. Г.]

111

Сколько монет нужно уплатить за щенка?

Китайцы стали чеканить монеты за тысячелетия до нашей эры, но так и не постигли основных принципов монетного дела. Так, в Поднебесной империи при крупных сделках оперировали золотыми слитками, на которых имелось клеймо с датой и именем банкира, однако в широком обращении находились таели – монеты переменного достоинства. Таели делались все тоньше и тоньше, пока стопка из 2000 монет не достигла в высоту меньше 3 дюймов. Аналогичным образом переменную толщину имела и обычная мелочь из медных монет с круглой, квадратной или треугольной дыркой в середине. Китайцы носили эти монеты нанизанными на ниточку, чтобы удобнее было при расчетах отмерить стопку нужной высоты. Стоимость стопки выражалась в битах.

Допустим, что 11 монет с круглой дыркой стоят 15 бит, 11 монет с квадратной дыркой – 16 бит, а 11 монет с треугольной дыркой – 17 бит. Скажите, сколько монет каждого вида потребуется для того, чтобы купить маленького упитанного щенка, стоящего 11 бит (собачье мясо весьма ценится в тех краях)?

112

Сколько кусков сыра получается после шести плоских разрезов?

Поводом для хорошей головоломки может послужить все новое, что так или иначе привлечет ваше внимание, однако придется еще немало поработать, прежде чем эта головоломка примет окончательную форму. Иногда вас может озадачить что-то в повседневной жизни, тогда вы начинаете думать, а как увеличить трудность решения этой задачи, поглубже скрыв лежащий в ее основе принцип, то есть придав ей форму истинной головоломки.

Задача должна быть поставлена мягко, картинка может помочь объяснить условия, но вместе с тем реальные трудности должны маскироваться убаюкивающей простотой всей истории. Можно постараться отвлечь внимание от основного трюка, ибо, как сказал один великий философ еще за тысячелетия до открытия Америки, Ars est celare artem. Не иначе как для любителей головоломок он хотел подчеркнуть, что истинное искусство состоит в том, чтобы сделать его незаметным. Именно тут кроется основное различие между головоломками нового и старого времени.

Мне случилось как-то в военном лагере наблюдать, как один солдат делил круг сыра. Я поразился той изобретательности, с которой он это делал. Чем больше я об этом размышлял, тем больше убеждался, что напал на удачную идею, которая наконец выкристаллизовалась в форме головоломки. Я поздравил квартирмейстера с таким умелым солдатом, на что тот ответил:

– Ну, это что! Видели бы вы, как он режет пирог! Разрезая пирог, мы имеем дело только с поверхностью и не идем дальше квадратов или квадратных корней, как сказал бы математик. При делении же сыра мы спускаемся глубже поверхности, используя свойства глубины и привлекая кубические уравнения.

Можете ли вы сказать, на сколько частей разделен круг сыра с помощью указанных здесь шести прямых разрезов?

113

Перепутанные шляпы

Весьма интересные головоломки могут возникнуть в любой момент, следуя перипетиям нашей бренной жизни. Вот что рассказывает старый и весьма респектабельный гардеробщик Джордж Вашингтон Джонсон.

В конце вечера на вешалке оставалось ровно 6 шляп, но пришедшие за ними джентльмены настолько захмелели, что ни один из них не мог ни достать свой номерок, ни даже просто узнать собственную шляпу. В совершенном отчаянии Джонсон вынужден был позволить каждому выбрать ту шляпу, какую он пожелает. С точки зрения любителя головоломок, было бы интересно определить вероятность того, что ни один из шестерых не возьмет свою собственную шляпу.

114

Как восемь ворон могут сесть на хлебное поле, чтобы никакие три из них не оказались на одной прямой?

Известный орнитолог, описывая привычки и смекалку птиц, рассказывает, что он был свидетелем того, как стая ворон опустилась на хлебное поле и расположилась на нем в полном соответствии с правилами военной тактики. Каждая птица уселась таким образом, чтобы видеть каждого из своих товарищей, дабы по малейшему движению любого из них судить о приближающейся опасности.

Не пытаясь вдаваться в тайны вороньего беспроволочного телеграфа, заметим, что само расположение ворон на поле приводит к очень любопытной задаче. Пусть центры клеток шахматной доски 8 x 8 изображают 64 снопа пшеницы, показанные на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы посадить на эти точки 8 ворон, причем никакие две вороны не должны находиться в одном ряду или на одной диагонали. Кроме того, требуется, чтобы человек с ружьем, обходя поле, не мог попасть в трех из них, расположенных на одной прямой.

Эта головоломка тесно связана с моей задачей о расположении восьми ферзей на шахматной доске, при котором ни один из них не атаковал бы другого, но здесь сделано некое улучшение. В прежней задаче было 12 различных ответов, а в этой – только один.

115

Разделите квадратный лист бумаги на две половины, которые можно было бы сложить, как показано на рисунке

Колодки, надетые на несчастного осужденного, которые показаны на рисунке, делались из квадратной доски, разделенной на две части. Здесь возникают две взаимосвязанные математические задачи: сделать колодки, разделив квадрат на две части, или разделить пополам колодки так, чтобы из половинок можно было сложить квадрат.

Возьмите квадратный лист бумаги; не допуская никаких отходов, разрежьте его на две части, из которых можно было бы сложить указанные на рисунке колодки с дырами для головы и рук. Эти две части, образующие колодки, можно всегда переложить так, чтобы дыры закрылись и снова получился правильный квадрат. Здесь применяется довольно любопытный трюк, связанный с точно указанным расположением дыр.

116

Батчер Бой

Моя история касается одного случая, о котором рассказал Айк Рид, совладелец компании «Джонсон энд Рид», занимающейся сбытом лошадей. Во время своего последнего президентского срока генерал Грант, вернувшись с послеобеденной прогулки, рассказал полковнику Шедвику, что по пути его обогнала коляска мясника, которая мчалась так быстро, что по сравнению с ней экипаж самого президента, казалось, стоял на месте. Генерал Грант хотел узнать, кому принадлежит лошадь и можно ли ее приобрести.

Лошадь быстро нашли и купили у одного ничего не подозревавшего немца за половину той суммы, которую он мог бы получить, знай, что его покупателем является сам президент Соединенных Штатов Америки. Лошадь была светлой масти и полюбилась Гранту, который нарек ее Батчер Бой.

И вот несколько лет спустя после катастрофы на Уоллстрит, расстроившей финансы семьи Грантов, Батчер Бой вместе с лошадью, которая ходила с ним в паре, были проданы с молотка компанией «Джонсон энд Рид» за 493,68 доллара. Мистер Рид сказал, что он мог бы получить за коня вдвое больше, если бы намекнул, кто был его владельцем, но генерал Грант категорически запретил упоминать об этом.

– Тем не менее, – сказал Рид, – вы получили 2 % прибыли, ибо заработали 12 % на Батчер Бое и 10 % потеряли на второй лошади.

– Я думаю, кто-нибудь сумеет это подсчитать, – ответил генерал; но его смех явно свидетельствовал о том, что он разбирается в цифрах. Я предлагаю любителям головоломок определить, сколько генерал Грант получил за каждую лошадь, если он на одной из них потерял 10 %, на другой заработал 12 %, а на всей операции получил 2 % прибыли.

117

Освободите ножницы, не разрезая веревки

Конечно, теперь уже не исправишь несправедливости, которая выпала на долю бедного Гордия. Однако мы можем осудить высокомерие, с которым Александр Македонский, вызванный на состязание в сообразительности, назначил себя судьей и сам себе присудил приз за свое абсурдное решение. Этот опасный прецедент послужил началом «головоломного» разбоя, конца которому не видно и в наши дни. Все еще встречаются юные александры, которые решают всякого рода задачи по своему разумению и берут призы разбойничьим способом.

Гордий был бесхитростным сельским жителем, он разводил овец и растил виноград, пока благодаря своей мудрости не стал фригийским царем. Рассказывают, что, приняв скипетр, он завязал свою былую утварь в то, что позже получило название гордиева узла. Сделал он это столь искусно, что никто этот узел не мог распутать, а прорицание оракулов гласило, что сумевший это сделать станет императором.

Рассказывают также, что Александр Македонский в безуспешных попытках развязать узел пришел в ярость и разрубил веревку, воскликнув: «Так следует получать то, что ты хочешь!» Странно, что даже те, кто хорошо знаком с этой историей и ее достойным презрения финалом, справившись с каким-то трудным делом, не без гордости восклицают: «Я разрубил гордиев узел!»

Согласно свидетельствам литературных памятников, узел был завязан без каких-либо нечестных уловок. Предпринимались попытки восстановить его. Были предложены любопытные и сложные узлы. Интересно, насколько удовлетворил бы их авторов метод решения Александра? Протест против подобного подхода заключен в следующих строках, имеющих, без сомнения, весьма древнее происхождение.

Прежде чем представить на суд любителей эту головоломку, я перерыл множество справочников. Все авторы сходятся на том, что гордиев узел был завязан так, что концов веревки нельзя было отыскать, а домашняя утварь была привязана к скобе на вратах храма. Я принял замечание Латтимера, что предметы утвари могли быть привязаны по отдельности, а его ссылку на садовые ножницы счел заслуживающей иллюстрации.

Эта головоломка особенно подходит для летнего отдыха, так как решать ее следует терпеливо, вдумчиво и спокойно – «вдали от шума городского».

Возьмите кусок веревки длиной около метра и свяжите вместе его концы, чтобы получилось кольцо. Далее возьмите обычные ножницы и привяжите их, как показано на рисунке, только вместо дверной скобы используйте шейку какой-нибудь юной леди, сидящей в удобной позе; не исключено, что, освободив ножницы, она поможет вам завоевать корону Азии.

118

Что происходит с грузом?

Рассказывают, что эта странная задача из области механики, несмотря на кажущуюся простоту, причинила немало беспокойства Льюису Кэрроллу. Не известно, сам ли прославленный автор «Алисы в Стране Чудес», который был профессором математики в Оксфорде, придумал ее, но не в добрый час ему захотелось получить на нее ответ.

Если к веревке, пропущенной через блок, подвешен груз, который в точности уравновешивает обезьяну, находящуюся на том же уровне на другом конце веревки, то что произойдет с грузом, когда обезьяна начнет карабкаться вверх по веревке?

«Удивительно, – писал Кэрролл, – насколько разные ответы дают хорошие математики. Прайс считает, что груз начнет подниматься с возрастающей скоростью. Клифтон (и Харкурт) полагает, что он будет двигаться вверх с той же скоростью, что и обезьяна, тогда как Сэмпсон убежден, что груз будет опускаться».

Один инженер-механик говорит, что «это окажет не больший эффект, чем муха, взбирающаяся по веревке», а некий ученый утверждает, что «груз будет подниматься или опускаться в зависимости от величины, обратной скорости, с которой обезьяна ест яблоко», откуда, однако, следует вычесть квадратный корень из ее хвоста. Если говорить серьезно, то эта задача весьма любопытна и заслуживает пристального внимания. Кроме того, она обнаруживает тесную взаимосвязь головоломок с задачами из механики.

[Ради простоты допустим, что как веревка, так и блок невесомы и трение при движении отсутствует. – М. Г.]

119

Головоломка с гамаком

На рисунке изображен в проекции грубо сделанный гамак. Чему равно наименьшее число веревок, разрезав которые сверху вниз, вы разделите его на две части? Разрезы должны проходить по отрезкам веревок между узлами.

120

Цена яиц

– Я заплатил бакалейщику за яйца 12 центов, – рассказывал повар. – Но поскольку они были очень мелкими, я заставил его добавить сверх того еще два яйца. После этого стоимость каждой дюжины яиц уменьшилась на один цент.

Сколько яиц купил повар?

121

Решите задачи Беппо

История повествует о том, что однажды Евклид попытался объяснить Птолемею, как следует делить круг. Раздраженный монарх воскликнул:

– Я устал от сих скучных уроков и не стану засорять свою голову дурацкими правилами!

– Тогда, – ответил великий математик, – ваше величество великодушно позволит мне уйти с поста верховного советника, ибо только дураку известен королевский путь в математику.

– Совершенно верно! – поспешил вмешаться в разговор придворный шут Беппо. – Дабы оправдать доверие, которое ты, Евклид, мне столь любезно оказал, я покажу сейчас, как можно изучить великие принципы математики, пользуясь способами, понятными младенцам.

Философы считают, что все то, что познается с удовольствием и интересом, никогда не забывается, но знания нельзя вбивать в голову дубиной. Учитель, заставляющий зазубривать правила, годен лишь для попугаев!

Так вот, с милостивого дозволения вашего величества, я сейчас поясню деление круга, попросив придворного глашатая показать, на сколько частей можно разрезать круглый пирог семью прямыми взмахами ножа.

Более того, желая добавить еще один штрих к истории о дамокловом мече, который, как вы видите, висит на ниточке над нашими головами, мы попробуем накрепко запечатлеть его в памяти вопросом: «Почему его лезвие кривое?»

Глядя на рисунок, иллюстрирующий знаменитое сорок седьмое предложение моего уважаемого предшественника о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, я попрошу его сказать нам, сколько потребуется жердей равной длины, чтобы огородить поле в форме прямоугольного треугольника, одна из сторон которого имеет в длину 47 жердей? [То есть найдите прямоугольный треугольник с целыми сторонами, одна из которых равна 47. – М. Г.]

Сорок седьмое предложение покажет, без сомнения, что многим хорошим математикам есть еще о чем подумать в связи с этой восхитительной теоремой Пифагора.

122

Добросовестный молочник

Один добросовестный молочник ежедневно, прежде чем отправиться к своим постоянным клиентам, живущим на четырех разных улицах, наполнял цельным молоком 2 больших бидона по 16 галлонов. На каждой улице молочник оставлял одинаковое число кварт молока.

Обслужив первую улицу, он шел к колонке с водой, и… его бидоны были снова полны до краев! Затем он обслуживал вторую улицу и снова шел к колонке, дабы пополнить, как и раньше, свои бидоны. Так он продолжал действовать и дальше до тех пор, пока все его счастливые клиенты не были удовлетворены.

Скажите, сколько молочник продал цельного молока на каждой из улиц, если после всех операций у него осталось в бидонах 40 кварт и 1 пинта?

123

Как Рип ван Винкль может выиграть партию?

В старой датской игре, положившей начало современной игре в кегли, в ряд располагаются 13 деревянных кеглей. Одним ударом шара можно сбить либо одну, либо две соседние кегли. Для того чтобы это сделать, не требуется много умения. Игроки бросают поочередно по одному шару, а цель игры состоит в том, чтобы сбить последнюю кеглю.

Горный гном, с которым Рип ван Винкль играет эту партию, только что сбил кеглю № 2. Рип должен выбрать одну из 22 возможностей: сбить одну из 12 кеглей или метнуть шар в один из 10 открытых промежутков, чтобы сбить пару соседних кеглей. Как лучше поступить Рипу, чтобы выиграть партию? Предполагается, что оба игрока могут сбить любую кеглю или любую пару соседних кеглей и что каждая из сторон располагает наилучшей стратегией.

124

Распределите свиней по четырем загонам

Отвечая на старый вопрос о том, как рождаются головоломки, приходят ли они внезапно, как озарение, или являются плодом долгой и напряженной работы, я бы сказал, что, подобно другим изобретениям, они создаются и тем, и другим способом. Но почти всегда основная идея возникает благодаря какому-нибудь случайному происшествию.

Так, во время своего летнего путешествия на велосипеде я повстречал одного доброго фермера, чей яблоневый сад и родник с холодной водой сделали его маленькую ферму поистине оазисом. Хозяин ее был человеком весьма оригинальным, с неистощимым запасом острот, так что вряд ли кто из нас мог с ним потягаться. В своей обычной серьезной манере он спросил меня, знаю ли я, для чего ирландец всегда строит загон для свиней под окном своей гостиной. После того как я перебрал все возможные объяснения, он сообщил мне конфиденциальным шепотом, который был слышен за милю.

– Он строит его, чтобы держать там свиней.

Фермер просил меня не сообщать эту причину остальным членам нашей компании, которые могут принять ее за шутку. По пути домой не один из них свалился с велосипеда, вспоминая задачу Пэта.

Все это навело меня на мысль о следующей головоломке. Предположим, что у Пэта есть 21 свинья. Он держит животных в прямоугольном загоне и хочет разделить его внутренними изгородями так, чтобы свиньи распределились по четырем новым загонам. При этом внутри каждой из новых изгородей должно находиться четное число пар плюс одна дополнительная «нечетная» свинья. Не можете ли вы показать, как это нужно сделать?

125

Поросенок в саду

Калитка осталась открытой, и поросенок вбежал в сад там, где вы видите заштрихованную клетку, отмеченную стрелкой. Он посетил каждую клетку сада, поворачивая только под прямым углом, а затем выбежал через белую клетку у открытой калитки. Всего поросенок сделал 20 поворотов под прямым углом.

Головоломка состоит в том, чтобы определить путь с наименьшим числом поворотов. Поросенок должен входить и выходить через те же самые клетки, посетить каждую клетку, поворачивая только под прямым углом, и не должен пересекать черную изгородь в верхнем левом углу сада.

126

Пять разносчиков газет

Пять смекалистых мальчишек, разносчиков газет, заключили между собой соглашение по совместной реализации своего товара. Том Смит продал на одну газету больше четверти общего количества, Билли Джонс продал на одну газету больше' четверти остатка, Нед Смит продал на одну газету больше четверти того, что осталось, а Чарли Джонс продал на одну газету больше четверти остатка. К этому моменту оба Смита вместе продали на сто газет больше, чем оба Джонса. Маленький Джимми Джонс, самый младший в группе, продал теперь все оставшиеся газеты.

Трое братьев Джонс продали больше газет, чем двое братьев Смит, но на сколько именно больше?

127

Сколько лет Мэри?

В добавление к своей задаче «Сколько лет Энн?» и дабы принести извинения ее сестре Мэри, которая оставалась в тени во время публичных дебатов относительно возраста ее сестры, я предлагаю вам следующую задачу.

– Видите ли, – заметил дедушка, – суммарный возраст Мэри и Энн составляет 42 года, а Мэри вдвое старше, чем была Энн, когда Мэри была вдвое моложе, чем будет Энн, когда Энн станет втрое старше, чем была Мэри, когда Мэри была втрое старше Энн. Сколько лет Мэри?

128

Усталый Вилли

Усталый Вилли, сезонник, закончивший работу в Джойтауне, отправился в Плезантвилль одновременно с тем, как Дасти Роудс вышел из Плезантвилля. Они встретились и обменялись братским рукопожатием в тот момент, когда Вилли прошел на 18 миль больше, чем Дасти. После трогательного расставания Вилли потребовалось 13 1/2 часа, чтобы добраться до Плезантвилля, а Дасти – 24 часа, чтобы прийти в Джойтаун. Допустим, что каждый из них шел с постоянной скоростью. Сколько миль от Плезантвилля до Джойтауна?

129

Чему равна длина проволоки?

Во всем, что касается Луны, всегда есть какое-то неотразимое очарование. Когда в начале прошлого века на публику обрушились сенсационные «лунные» сообщения, люди готовы были поверить любым россказням. Мистификация основывалась на наблюдениях, которые велись с помощью нового телескопа якобы небывалой силы. Публика отнеслась к сообщениям с такой доверчивостью, что мистификаторы дошли до детального описания обитателей Луны и восхитительных предметов, их окружающих. Несмотря на всю экстравагантность этих описаний, тысячи людей принимали их за чистую монету.

С состоянием дел на Луне нас знакомили многие авторы. Ариосто в своем «Неистовом Роланде» послал Астольфо в рискованное путешествие на Луну, и его описание того, что он увидел в Долине потерянных вещей, обмануло многих. Путешествие на Луну Сирано де Бержерака представляет собой не менее занятный вклад в литературу, не говоря уже о романе Жюля Верна. Но именно подробное описание такого путешествия, принадлежащее Эдгару По, столь сильно подействовало на некоего профессора по фамилии Спирвуд, что он снарядил экспедицию и на самом деле предпринял попытку добраться до Луны на воздушном шаре. Представленный здесь рисунок сделан по описаниям, опубликованным во время этого подъема. Воздушный шар был привязан к клубку проволоки, которая имела в толщину 0,01 дюйма. Предположим, что клубок имел первоначально 2 фута в диаметре и что проволока была намотана так плотно, что в клубке не оставалось зазоров. Сможет ли кто-нибудь из наших любителей головоломок сказать, чему равна общая длина проволоки?

В ответе я объясню, как можно решить эту задачу, не беспокоясь о точном значении числа π.

130

Пуля убийцы

На рисунке вы видите циферблат часов, пробитый пулей из пистолета убийцы. Пуля попала точно в его центр, выведя часы из строя. Стрелки часов спаялись вместе, образовав одну прямую линию. Очевидно, они повернулись вокруг своей оси, поскольку не могли одновременно показывать на 3 и 9.

Можете ли вы сказать, сколько было времени, когда пуля попала в часы?

131

Чему равна ширина реки?

Два парома отчаливают в одно и то же мгновение от противоположных берегов Гудзона, один паром идет из Нью-Йорка в Джерси, а другой – из Джерси в Нью-Йорк. Один паром идет быстрее другого, так что они встречаются в 720 ярдах от ближайшего берега.

Прибыв к месту назначения, каждый паром стоит 10 минут, чтобы дать сойти пассажирам и принять на борт новых людей; затем он отправляется в обратный путь. Паромы вновь встречаются в 400 ярдах от другого берега. Чему равна ширина реки?

132

Положите девять спичек так, чтобы получилось десять, и шесть спичек – чтобы получилось ничто

Гарри дал своей сестре девять спичек и попросил ее положить их так, чтобы они выглядели как десять. Она, в свою очередь, дала ему шесть спичек, которые он должен сделать похожими вообще на ничто. Природа этих простых трюков не носит математического характера, но они могут позабавить юных читателей.

133

Джек Спрэт

Согласно сказкам Матушки-Гусыни, Джек Спрэт не мог есть жирного, а его жена не могла есть постного.

Вместе они могли бы съесть бочонок жирной свинины за 60 дней, тогда как одному Джеку, чтобы справиться с ней, потребовалось бы 30 недель. В то же время бочонок постной свинины вместе они подчистили бы за 8 недель, хотя жена Спрэта в одиночку справилась бы с ней не менее чем за 40 недель.

Допустим, что Джек всегда ест постную свинину, когда у него имеется выбор, и что его жена, напротив, всегда выбирает жирную свинину. Спрашивается, за сколько времени они оба съедят бочонок наполовину жирной и наполовину постной свинины?

134

Сколько золота у скупца?

Один скупец, прежде чем умереть голодной смертью, мог бы похвастать неким количеством 5-, 10– и 20-долларовых золотых монет. Он хранил их в пяти одинаковых мешках, причем в каждом из мешков было по одному и тому же числу золотых монет одного и того же достоинства.

Любимым занятием скупца было перебирать свои сокровища. Он высыпал все монеты на стол, а затем делил их на 4 кучки, в каждой из которых содержалось одинаковое число монет одного достоинства. Затем он брал любые 2 из этих кучек, смешивал их и вновь делил монеты на 3 кучки опять по одинаковому числу монет разного достоинства в каждой. Зная все это, попробуйте определить наименьшее число монет, которым мог обладать этот несчастный старик.

135

Разрежьте полумесяц, чтобы получился крест

Как это ни удивительно, полумесяц достаточно разрезать всего на 6 частей, чтобы сложить из них правильный греческий крест. Форму креста вы видите на головном уборе изображенной здесь богини. Складывая крест, одну из частей приходится перевернуть обратной стороной кверху. [Обратите внимание на прямолинейный участок в каждом углу полумесяца и на то, что обе дуги полумесяца являются дугами окружности одного радиуса. – М. Г.]

136

Перенесите один кружок, чтобы провести четыре прямые

Дженни, самая сообразительная девочка в школе, предложила решить головоломку своему приятелю Джо. Нарисовав на заборе 6 маленьких кружков, она сказала:

– Сейчас ты можешь провести только две прямые через три кружка. А я хочу, чтобы ты стер один из кружков и нарисовал его в другом месте так, чтобы можно было провести четыре прямые через три кружка.

137

Стоимость контрактов

Один человек собирался построить дом и выяснил, что ему придется заплатить:

1100 долларов обойщику и маляру,

1700 долларов маляру и жестянщику,

1100 долларов жестянщику и электрику,

3300 долларов электрику и плотнику,

5300 долларов плотнику и каменщику,

3200 долларов каменщику и маляру.

Сколько запросил каждый из мастеров за свою работу?

138

Который час?

Чаще всего на часах, изображенных у витрин ювелирных магазинов, стрелки показывают время около 8 часов 20 минут, как это показано на рисунке. Предположим, что обе стрелки находятся на одинаковом расстоянии от 6-часовой отметки. Тогда скажите точно, какое время показывают бутафорские часы?

139

Джек и Джилл

Вот одна недурная головоломка, позаимствованная у Матушки-Гусыни. Джек и Джилл соревнуются в беге вверх и вниз по склону холма, у которого расстояние от подножия до вершины равно 440 ярдам. Джек добрался до вершины первым, немедленно побежал вниз и встретился с Джиллом в 20 ярдах от вершины. У подножия он опередил Джилла на полминуты. Четких записей этих состязаний не велось, но что доподлинно известно, так это то, что каждый из соревнующихся под гору бежал в полтора раза быстрее, чем в гору. Требуется узнать, за сколько времени Джек пробежал все расстояние в 880 ярдов?

140

Отмерьте по две кварты молока для каждой леди

Честный Джон любил повторять:

– Нет ничего, касающегося молока, чего бы я не знал.

Но вот однажды он был поставлен в тупик двумя леди, которые попросили его налить им по две кварты молока в пяти– и четырехквартовые кастрюли. У Джона же были только два полных бидона молока по 10 галлонов в каждом. Каким образом ему все же удалось отмерить каждой леди по две кварты молока?

Следует заметить, что для того, чтобы отмерить нужные две кварты молока, пользуясь только двумя кастрюлями и двумя бидонами, не требуется ничего, кроме сообразительности.

141

Как поезда сумеют разойтись?

Вот одна практическая задача тех дней, когда железные дороги находились в состоянии младенчества и не было еще двухколейных путей, поворотных платформ и автоматических стрелок. Леди, снабдившая меня сюжетом этой головоломки, основывалась на личном опыте, приобретенном, по ее собственному признанию, «некогда».

– Однажды, прибыв на разъезд, – рассказывала она, – где обычно расходятся поезда, мы узнали, что труба у нашего паровоза перегрелась и находится при последнем издыхании, а починить ее в обозримое время нет никакой надежды.

На рисунке вы видите экспресс с вышедшим из строя паровозом и приближающийся с противоположной стороны состав из Вэйбека, который во что бы то ни стало должен разъехаться с неподвижным поездом.

Участки разъезда, обозначенные буквами А, B,C и D, могут принять одновременно только один вагон или паровоз. Разумеется, вышедший из строя паровоз не может двигаться собственными силами, его следует тянуть или толкать, как если бы он был вагоном. Вагоны можно перевозить по одному или вместе, сцепив их в любом количестве, причем цеплять к паровозу их можно как спереди, так и сзади.

Задача состоит в том, чтобы помочь поезду из Вэйбека разъехаться с экспрессом наиболее рациональным способом, оставив в итоге экспресс на прямолинейном пути, причем так, чтобы паровоз и вагоны оказались в первоначальном порядке и смотрели в первоначальном направлении. Под «наиболее рациональным способом» мы понимаем наименьшее число изменений в направлении движения паровоза из Вэйбека.

Вам легче будет решить головоломку, нарисовав участок пути на листе бумаги и двигая по нему вырезанные из картона фишки, изображающие вагоны и паровозы.

142

Цепь

У фермера было 6 кусков цепи по 5 звеньев в каждом, из которых он хотел сделать одну замкнутую цепь, состоящую из 30 звеньев.

Если разрезать одно звено стоит 8 центов, а вновь соединить его – 18 центов и если новую замкнутую цепь можно купить за полтора доллара, то сколько денег может сэкономить фермер?

143

Разрежьте пряник на две части, из которых можно сделать квадрат

Владелица кондитерской показывает детям большой пряник, разделенный на маленькие квадратики, которые продаются по 1 пенни за штуку. Сможете ли вы, не нарушая квадратиков, разделить пряник на две части, из которых затем удалось бы сложить квадрат 8x8?

[Лойд приводит здесь и вторую задачу, но она не совсем четко сформулирована, а отсутствие на нее ответа не позволяет до конца понять вопрос с помощью решения. Я могу лишь предположить, что Лойд просил своих читателей вырезать из пряника, не нарушая квадратиков, две возможно большие части одинакового размера и формы. В любом случае это интересная задача. Мы считаем, что две части имеют одинаковые форму и размер, если перевернув одну из них обратной стороной кверху и наложив на вторую часть, мы получим их точное совпадение. – M. L.]

144

Техасские ковбои

Три техасских ковбоя, встретившись на большой дороге, стали торговаться.

Вот и говорит Хэнк Джиму:

– Я дам тебе шесть свиней за лошадь; тогда в твоем стаде будет вдвое больше голов, чем в моем.

А Дьюк говорит Хэнку:

– Я дам тебе четырнадцать овец за лошадь; тогда у тебя будет втрое больше голов, чем у меня.

А Джим говорит Дьюку:

– Я дам тебе четыре коровы за лошадь; тогда у тебя будет в шесть раз больше голов, чем у меня.

Зная эти любопытные факты, не могли бы вы сказать, сколько животных было в каждом из трех стад?

145

Том, сын трубача

Герой одной из сказок Матушки-Гусыни Том, сын трубача, решил украсть свинью. Когда он побежал за свиньей, то находился в 250 ярдах к югу от нее. И свинья, и Том побежали одновременно с постоянными скоростями. Свинья бежит в восточном направлении. Вместо того чтобы бежать по прямой на север, Том сгоряча бежит так, что в каждый момент движется точно на свинью.

Предположим, что Том бежит в 1 1/3 раза быстрее, чем свинья. Тогда скажите, как далеко убежала свинья, прежде чем ее удалось схватить? Простое правило, позволяющее решать задачи такого типа, основано на элементарной арифметике, однако оно может оказаться новым для многих любителей головоломок.

146

Сколько лет Бидди?

Бидди была очень чувствительна ко всему, что касалось ее возраста. В последние сорок лет на все вопросы, касающиеся срока ее пребывания на грешной земле, она неизменно отвечала следующими строками:

Эти незатейливые стишки, без сомнения, говорили правду, когда Бидди прочитала их в первый раз. Но не могли бы вы сказать, сколько лет Бидди в настоящее время?

147

Подсчитайте цыплят

– Ну, Мэри, – сказал фермер Джонс своей жене, – если бы мы продали семьдесят пять цыплят, как предлагаю я, то корма хватило бы на двадцать дней дольше, а если бы мы купили лишнюю сотню цыплят, как это предлагаешь ты, то корм кончился бы на пятнадцать дней раньше.

– Скажи-ка, Джо, – озабоченно спросила жена, а сколько же у нас сейчас цыплят?

Вот в чем задача. Сколько у них было цыплят?

148

Сколько пролетит мячик?

Если уронить мячик с падающей Пизанской башни на высоте 179 футов над землей и если при каждом отскоке этот мячик будет подниматься ровно на 1/10 предыдущей высоты, то какое расстояние он проделает, прежде чем ляжет на землю?

149

Найдите лучший путь для Клэнси

Вот одна задача, которая ставит Клэнси в тупик с тех самых пор, как он пришел служить в полицию. Клэнси патрулирует 49 домов, которые вы видите на плане, начиная и заканчивая свой путь в точке возле конца его дубинки. Прежде чем сделать поворот, полицейский должен пройти нечетное число домов на любом проспекте или улице, кроме того, он не имеет права проходить дважды по одному и тому же участку пути.

Пунктирная линия показывает путь, которым Клэнси следует обычно. При этом он проходит мимо 28 «белых» домов. Не могли бы вы помочь Клэнси найти путь, который удовлетворял бы всем нужным требованиям и проходил бы мимо максимального числа домов? Как и ранее, путь должен начинаться и заканчиваться в месте, которое показывает Клэнси.

150

Три задачи с греческим крестом

Существует много интересных задач на разрезание, где участвует греческий крест, изображенный на рисунке. Вот три из них:

1) разрежьте греческий крест на четыре части, из которых можно сложить правильный квадрат;

2) разрежьте греческий крест на три части, из которых можно сложить ромб;

3) разрежьте греческий крест на три части, из которых можно сложить прямоугольник, длина которого ровно вдвое превышает ширину.

151

Торговец Пит

Владелец мелочной лавки Пит совершенно запутался в своих расчетах. А все из-за тех странных покупок, что сделала одна немолодая и весьма эксцентричная леди. Сначала она купила несколько шнурков для ботинок. Потом она купила в 4 раза больше коробочек с булавками. Наконец, она купила носовых платков в 8 раз больше, чем шнурков. Всего она истратила 3,24 доллара, заплатив за вещь каждого наименования столько центов, сколько вещей этого наименования она купила. Пит хочет узнать, сколько именно носовых платков купила эта леди-оригиналка.

152

Переставьте бутылку и щетку

На рисунке вы видите пару, которая только что перебралась в уютную шестикомнатную квартирку. Из мебели у них есть только пять крупных предметов: кровать, стол, софа, холодильник и бюро. Эти предметы настолько громоздки, что никакие два из них не влезают в одну комнату. Случилось, однако, так, что грузчики, перевозившие мебель, поставили холодильник и кровать не в те комнаты, в которые следовало. И вот хозяин и его добрая жена уже несколько часов тщетно бьются над тем, как исправить положение.

Будучи человеком обстоятельным, хозяин нарисовал на столе план квартиры и поместил на нем мелкие вещи, которые олицетворяют собой предметы, подлежащие перестановке. Бутылка из-под виски изображает кровать, а одежная щетка – холодильник. Вам предлагается поменять местами эти две вещи, передвигая каждый раз по одному предмету в пустую комнату.

Разумеется, это простое задание можно выполнить тысячью и одним способом, однако, учитывая тяжесть и громоздкость мебели, его следует решить за наименьшее число «ходов».

153

Чему равна длина окружности?

Как-то, прогуливаясь с приятелем на лоне природы, мы повстречали его сына на четырехколесном шарабане. Шарабан сделал крутой поворот, который казался опасным как для него самого, так и для нервов отца. По возвращении домой между отцом и сыном разгорелась довольно живая дискуссия на тему, способен ли шарабан совершать столь крутые повороты.

На рисунке вы видите сына, демонстрирующего свое умение вести шарабан по кругу. Колеса шарабана насажены на оси на расстоянии 5 футов друг от друга, причем колеса, которые находятся на внешней стороне круга, совершают два оборота в то время, как колеса на внутренней стороне делают только один. Задача состоит в том, чтобы найти длину окружности, описываемой внешними колесами.

154

Сколько лет мисс Покахонт?

У фермера Смита и его жены 15 детей родились с интервалом в один год. Покахонт, старший ребенок, считает, что она в 8 раз старше Капитана Джона-младшего, самого юного из детей. Сколько лет мисс Покахонт?

155

Какая бочка осталась?

Каждая бочка, изображенная на рисунке, содержит либо масло, либо уксус. Галлон масла стоит вдвое дороже галлона уксуса. Покупатель приобрел все бочки, кроме одной, заплатив за масло и уксус по 14 долларов. Какую бочку он оставил?

156

Шляпа, которую не удавалось продать

Не продав шляпу за 20 долларов, галантерейщик понизил цену на нее до 8 долларов. Шляпу снова никто не купил, так что пришлось опять снизить цену до 3,2 доллара и, наконец, до 1,28 доллара. Еще одно снижение цен – и галантерейщик будет продавать шляпу по себестоимости. Предположим, что, снижая цены, он следует определенной системе. Не сможете ли вы сказать, какой должна быть следующая цена?

157

Найдите наилучшие пути

Томми Загадочник показывает королю Страны Головоломок знаменитую задачу о лондонском Тауэре. Пять стражей представлены на плане башни буквами А, В, С, D, Е. Тотчас после выстрела пушки, возвещающей о заходе солнца, страж А удаляется через выход А, страж В – через В, С – через С и D – через выход Д тогда как Е переходит из камеры, где он находится, в камеру F. Задача состоит в том, чтобы определить, каким образом каждый страж может пройти своим путем, причем так, чтобы ни разу не пересечь пути своего собрата. Другими словами, через каждую камеру может проходить не более одного пути. Стражи проходят из камеры в камеру через двери, указанные на плане. Томми говорит, что это очень просто, если вам известен ответ.

У Томми есть и вторая головоломка, не хуже первой. Каждую ночь в полночь тюремщик входит в дверь, обозначенную буквой W, и медленно обходит все 64 камеры, заканчивая свой путь в черной комнате, где, по преданию, были убиты юные принцы, сыновья Эдуарда IV. Благодаря своей многолетней практике тюремщик обнаружил, как можно совершить обход, не побывав в одной и той же камере дважды и сделав наименьшее возможное число поворотов. Сумеет ли кто-нибудь из любителей головоломок найти этот путь?

158

Сделайте так, чтобы из круга вылетели мальчики

Многие любители головоломок знакомы с древней историей про 15 христиан и 15 турок, попавших в сильный шторм, и про то, как капитан решил выбросить за борт половину пассажиров, дабы спасти корабль. Будучи человеком смышленым и справедливым, он решил поставить 30 пассажиров в круг и затем считать «на вылет», удаляя из круга каждого тринадцатого, пока не отберет 15 несчастных смертников. Как повествует история, один из христиан был математиком; человек набожный, он полагал, что не иначе как провидение послало его, дабы спасти верующих и покарать неверных. И вот он расположил 30 пассажиров таким образом, что по мере счета каждым тринадцатым неизменно оказывался турок.

Эту головоломку можно представить с помощью карт, используя 15 карт красной масти и 15 черной. Задача состоит в том, чтобы расположить карты по кругу таким образом, дабы, считая вновь и вновь по кругу и удаляя каждую тринадцатую карту, убрать в итоге все карты черной масти. Решить эту головоломку просто: положите 30 карт по кругу и, удаляя каждую тринадцатую карту, добейтесь того, чтобы остались только 15 карт. Затем положите на место оставшихся карт карты красной масти, а на пустые места – черной, и головоломка решена!

Все это преамбула к ситуации, представленной на рисунке. Случилось однажды, что 10 детей (5 мальчиков и 5 девочек), возвращаясь из школы, нашли 5 пенни. Деньги заметила маленькая девочка, но Томми заявил, что, раз они шли все вместе, находку следует поделить между всеми. Он знал головоломку про христиан и турок, поэтому решил, что будет здорово расположить всех по кругу и дать по пенни первым пяти вылетевшим. На рисунке показано, как Томми расставил девочек. Начав с верхней девочки без шляпки и считая по часовой стрелке, мы обнаружим, что каждым тринадцатым ребенком окажется девочка. Разумеется, каждый вылетевший выходит из круга и при дальнейшем счете не учитывается. План Томми состоял в том, чтобы отдать 5 пенни пяти мальчикам, но он забыл, что деньги должен был получать каждый вылетевший, так что деньги получили девочки, а тумаки от мальчиков Томми.

Задача состоит в том, чтобы определить, каким наименьшим числом вместо 13 следовало воспользоваться Томми, дабы вылетели 5 мальчиков. Необходимо также найти подходящую исходную точку для счета.

159

Разрежьте гуся на три части

Разрежьте гуся на три части таким образом, чтобы из них можно было сложить яйцо, размер и форма которого указаны на рисунке.

160

Поездка в город

Дядюшка Рубен и тетушка Синтия поехали в город за покупками. Рубен купил пиджак и шляпу за 15 долларов. Синтия заплатила за свою шляпку столько же, сколько Рубен за свой пиджак; оставшиеся деньги она потратила на новое платье.

По дороге домой Синтия обратила внимание Рубена на то обстоятельство, что его шляпа стоила на 1 доллар больше ее платья. Потом она добавила:

– Если бы мы распределили наши шляпные деньги иначе, так, чтобы моя шляпа стоила в полтора раза дороже твоей, то каждый из нас истратил бы одинаковую сумму.

– В этом случае, – ответил дядюшка Рубен, – сколько стоила бы моя шляпа?

Сможете ли вы ответить на вопрос дядюшки Рубена и сказать, какую сумму истратила вместе эта пара?

161

Сколько овец у мисс Ку-Ку?

Согласно свидетельству Матушки-Гусыни, плотник, строивший мисс Ку-Ку загон для овец, обнаружил, что он мог бы сэкономить два столба, сделав поле квадратным, а не продолговатым.

– И так, и эдак уместится одинаковое число овец, – говорил он, – но на квадратном поле для каждого столба найдется по овце, которую можно будет к нему привязать.

Сколько овец было в этом знаменитом стаде? Допустим, что столбы в обоих случаях находились на одинаковом расстоянии друг от друга, что площади квадратного и продолговатого полей были одинаковыми и что в стаде находилось меньше трех дюжин овец.

162

Сколько лет Фидо?

Едва Чарли собрался задать матримониальный вопрос своей подруге, как в комнату вбежал ее маленький брат с собакой.

– Возраст собаки по годовым кольцам на ее хвосте не определишь, – сказал этот ужасный ребенок, – но пять лет назад моя сестра была в пять раз старше Фидо, а сейчас она только втрое старше его!

Помогите Чарли узнать возраст Фидо.

163

Сколько весит кубик?

Инспектор Джонс, долг которого состоит в проверке правильности всех рычажных весов в городе, только что обнаружил «жульнические» весы. Один рычаг у них был длинней другого, но чаши мошенники сумели подобрать так, что весы находились в равновесии. (Вас не должен вводить в заблуждение приведенный здесь рисунок, ибо, пользуясь авторской привилегией, я специально нарисовал весы так, чтобы не дать ключа к решению.)

Когда инспектор положил 3 пирамидки на чашу длинного рычага, то они уравновесились с 8 кубиками на чаше короткого рычага. Но когда он положил 1 кубик на чашу длинного рычага, он уравновесил 6 пирамидок на другой чаше! Полагая, что истинный вес пирамидки составляет 1 унцию, скажите, чему равен истинный вес кубика? Сколько потребуется пирамидок, чтобы уравновесить 8 кубиков на нормальных весах?

164

Разместите шестнадцать пешек

Вот одна странная маленькая задачка из области военной тактики, которую можно представить на обычной шахматной доске с 64 клетками. Головоломка состоит в том, чтобы разместить 16 пешек на доске, причем на каждой вертикали, горизонтали и диагонали должно находиться не более двух пешек. Правда, есть еще одно дополнительное условие. Первые две пешки должны располагаться на двух из четырех центральных клеток.

Если считать, что пешки изображают солдат и что они расставлены правильно, то снаряд, пущенный с любой стороны, не сможет убить более двух человек. Эта головоломка несколько напоминает известную задачу о размещении восьми ферзей на шахматной доске, при котором ни один ферзь не может атаковать другого.

165

Какова скорость велосипедиста в безветренную погоду?

Велосипедист, двигаясь по ветру, проезжает милю за 3 минуты, а на обратном пути против ветра он преодолевает милю за 4 минуты. Допустим, что он все время крутит педали с одинаковой силой, тогда сколько ему понадобится времени, чтобы проехать милю при отсутствии ветра?

166

Сколько детей на карусели?

Наслаждаясь быстрой ездой на карусели, Сэмми предложил следующую задачу:

– Если к одной трети числа ребят, что едут впереди меня, прибавить три четверти тех, которые едут сзади, то получится точное число детей, катающихся сейчас на карусели.

Сколько детей каталось на карусели?

167

Превратите знамя «неверных» в знамя крестоносцев

На рисунке вы видите эпизод одной из жарких битв, в которой участвовали крестоносцы. Случилось так, что после захвата турецкой крепости «они сбросили сарацин с укреплений и на виду у противостоящих армий сменили знамена на стенах».

Не иначе в этой истории содержится намек на то, что есть простой способ превратить знамя «неверных» в знамя крестоносцев. Допустим, что изображенный здесь турецкий флаг состоит из сшитых вместе темного и белого полотнищ. В темном материале вырезаны две дыры в форме звезды и полумесяца. Разрежьте темное полотнище на минимальное число частей, которые удалось бы расположить таким образом, чтобы получился белый крест, похожий на тот, что изображен на щите рыцаря.

168

Капуста миссис Виг

Миссис Виг сказала милой Мэри, что в этом году она засадила капустой большее квадратное поле, чем в прошлом, поэтому и выросло у нее на 211 кочанов больше. Многие ли из наших математиков и агрономов сумеют определить, сколько кочанов капусты вырастила миссис Виг в этом году?

169

Расположите цифры и точки таким образом, чтобы сумма равнялась 100

Когда в Филадельфии праздновалось столетие независимости, я предложил маленькую арифметическую головоломку, которая вызвала заметную дискуссию. Требовалось расположить 10 цифр и 4 точки таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100. [Запрещается использование каких-либо других математических символов, однако точки можно использовать как для отделения дробной части в десятичном представлении числа, так и для указания на период десятичной дроби. (Например, запись 1 указывает на число 0,1111…, которое равно, разумеется, 1/9.) – М. Г.]

170

Сколько каштанов получила каждая девочка?

Собрав 770 каштанов, три маленькие девочки разделили их пропорционально своему возрасту. Всякий раз, как Мэри брала 4 каштана, Нелли брала 3, а на каждые 6 каштанов, полученных Мэри, Сузи досталось 7. Сколько каштанов получила каждая девочка?

171

Угадайте высоту столба

На этой моментальной фотографии, сделанной некогда в Кони-Айленд, мальчик пытается взобраться на верхушку скользкого столба, чтобы получить приз в 10 долларов. Зная, что ширина трамвайного пути равна 4 футам 8 дюймам, не смогут ли наши любители головоломок достаточно точно оценить высоту столба?

172

От Инвернесс до Глазго

Отправляясь из Инвернесс в Глазго, расстояние между которыми составляет 189 миль, я должен был сделать выбор: либо долго петлять по живописной железной дороге, либо трястись на старом громоздком дилижансе. Я выбрал последнее, ибо в этом случае путешествие длилось на 12 часов меньше. И вот тут-то мне и пришла на ум одна из самых интересных, на мой взгляд, головоломок о путешествиях.

Мой дилижанс отправился из Инвернесс в то самое время, когда поезд вышел из Глазго. Когда по пути мы встретились, то наше расстояние от Инвернесс превосходило наше расстояние от Глазго на число миль, в точности равное числу часов, прошедших с начала путешествия.

Как далеко мы были от Глазго в момент встречи с поездом?

173

Каким образом выиграть?

Летом 1865 года, путешествуя с группой туристов по швейцарским Альпам, от Альтдорфа до Флулена, мы повстречали крестьянскую девочку, собиравшую маргаритки. Желая развлечь ребенка, я показал ей, как можно узнать ее будущее, отрывая лепестки цветка, дабы выяснить, чьей невестой она станет: «богача, бедняка, нищего или вора». Она сказала, что эта игра хорошо известна местным девушкам с той лишь разницей, что здесь в нее играют двое. Каждый игрок может оторвать по желанию либо один, либо два соседних лепестка. Игра продолжается до тех пор, пока победитель не сорвет последний лепесток, оставляя тем самым своего партнера, называемого «старой девой», в проигрыше.

К нашему изумлению, маленькая Гретхен, которой не было и десяти лет, обыграла подряд всю нашу компанию независимо от того, кто начинал игру. Я не мог понять, в чем здесь дело, до самого возвращения в Люцерн, но компания так на меня насела, что мне пришлось исследовать эту игру всерьез.

Кстати замечу, что несколько лет спустя мне довелось вернуться в Альтдорф и я посетил место моего бесславного поражения. Мне было бы приятно, если бы я смог придать этой истории большую романтичность, сказав, что я нашел маленькую Гретхен, превратившуюся к этому времени в прекрасную fräulein с феноменальными математическими способностями. И все же я видел ее, ибо все женское население как раз собралось в тот момент на посевную. Все женщины выглядели старше своих лет и походили друг на друга как две капли воды. И мне показалось, что я узнал мою прежнюю приятельницу, запряженную вместе с коровой в плуг, за которым шел ее благородный супруг.

Игра представлена на рисунке в виде маргаритки с тринадцатью лепестками. В нее можно играть двум игрокам, которые по очереди делают на лепестках небольшие отметки. При каждом ходе можно помечать либо один лепесток, либо два смежных. Тот, кто отметит последний лепесток, оставит прозвище «старой девы» для своего партнера.

Может ли кто-нибудь из наших любителей головоломок сказать, кто должен выигрывать в этой игре, первый или второй игрок, и какой системе он должен следовать, чтобы добиться выигрыша?

174

Сколько весит кирпич?

Если целый кирпич уравновешивается 3/4 кирпича и 3/4 фунта, то сколько он весит?

175

Передвиньте 4 корабля, чтобы получилось 5 рядов по 4 корабля в каждом

На рисунке показано 10 боевых кораблей, расположенных в два ряда. При подходе неприятеля 4 корабля меняют свои позиции так, чтобы образовалось 5 рядов по 4 корабля в каждом. Как это происходит? Решая головоломку, можно воспользоваться 10 монетами.

176

Разрежьте две доски на части, чтобы составить один круг

Почти каждый сборник головоломок содержит некую задачу о столяре, который захотел сделать из круглой крышки стола две овальные крышки для табуреток с прорезями в центре, как показано на рисунке. Головоломку требуется выполнить с наименьшим числом частей.

Обычно в ответе содержится 8 частей. Круг разрезается, как показано на рис. 1, а затем составляются две крышки для табуреток, как показано на рис. 2.

Пользуясь методом, в котором участвует китайская монада (символ Инь-Ян), эту задачу можно решить, разрезав круглую крышку всего на 6 частей. Задача представлена здесь в обратной форме. Разрежьте каждую овальную крышку на 3 части так, чтобы из полученных 6 частей образовать круглую крышку стола без дыр.

177

Сколькими способами сумеете вы прочитать палиндром?

В прежние времена, когда модны были лингвистические головоломки, многие занимались придумыванием слов и предложений, которые можно читать в прямом и обратном направлениях. Они известны как палиндромы. Существует много таких слов в английском языке, например level (уровень), eve (канун), gig (кабриолет); но всегда стараются построить предложения-палиндромы вроде слов, обращенных Адамом к Еве: Madam I'm Adam (Мадам, я Адам) или Name no one man (He называй ни одного человека). Палиндромы имеют очень древнее происхождение, и в латинском и французском языках существуют классические и часто цитируемые примеры.

На рисунке вы видите палиндромическую головоломку, которую я в годы своей юности придумал для одной организации, проповедовавшей умеренность в употреблении спиртных напитков, и которая может служить испытанием терпения и смекалки наших любителей головоломок. Задача состоит в том, чтобы определить, сколькими различными способами можно прочитать предупреждение Red Rum amp; Murder (Красный ром и смерть), не впав при этом в delirium tremens. [18]Белая горячка (лат.).
Начинайте с любого R, включая и те, что расположены внутри, и читайте фразу, переходя вверх и вниз, влево и вправо или по диагонали к соседней букве.

178

Как следует разделить монаду?

Монада, или Инь-Ян, – один из древнейших религиозных символов мира. Вряд ли можно более наглядно и изящно изобразить противоположные начала, действующие в природе: добро и зло, мужчину и женщину, интегрирование и дифференцирование и т. п.

Один автор, рассматривая великую китайскую монаду, пришел к выводу, что в этом знаке заключен некий скрытый математический смысл. Он цитирует древнюю китайскую рукопись, где говорится: «Безграничное порождает великий предел. Великий предел порождает два принципа. Два принципа порождают четыре четверти, и от четырех четвертей мы производим квадратуру восьми диаграмм Фей-хи». Эти слова, написанные более трех тысяч лет назад, навели меня на мысль о следующих трех головоломках:

1. Это простая головоломка для наиболее юных читателей. Разделите с помощью одной непрерывной линии черную (Инь) и белую (Ян) части монады так, чтобы круг разделился на четыре части одинаковых размеров и формы.

2. С помощью одного прямолинейного разреза разделите Инь и Ян на две равные по площади части.

3. Разрежьте каждую из двух подковообразных фигур, изображенных на рисунке (темную и светлую), на две части так, чтобы из получившихся четырех частей удалось сложить монаду.

179

Далеко ли до Пайктауна?

Одному туристу, попавшему на Дикий Запад, в гостинице сказали, что до Пайктауна он может добраться четырьмя различными способами:

1) доехать дилижансом; при этом будет одна 30-минутная остановка на придорожной станции;

2) дойти пешком; при этом если он отправится из гостиницы одновременно с дилижансом, то при въезде в Пайктаун дилижанс опередит его на одну милю;

3) дойти пешком до станции и там сесть в дилижанс; если он выйдет из гостиницы одновременно с дилижансом, то дилижанс приедет на станцию, когда турист пройдет 4 мили. Но из-за 30-минутной остановки он придет на станцию как раз к моменту отправки оттуда дилижанса, так что сумеет сесть на него и далее ехать в Пайктаун;

4) доехать на дилижансе до станции, а остальную часть пути пройти пешком. Этот способ самый быстрый, ибо позволяет туристу прийти в Пайктаун на 15 минут раньше дилижанса.

Далеко ли от гостиницы до Пайктауна?

180

Сколько стаканов уравновесят бутылку?

181

Чему равен доход?

Вот одна элементарная головоломка из области бухгалтерского учета, которая не вызовет затруднения у тех, кто разбирается в доходах и расходах. Она основана на реальном случае, когда ко мне обратились за советом. Поскольку мнения участников мероприятия разошлись, я думаю, это неплохая тема для головоломки.

Один городок в штате Нью-Хэмпшир, ограничивавший продажу алкогольных напитков, назначил своего агента, который в течение года был единственным лицом, имевшим право продавать спиртное. Власти выдали ему разменной монеты на сумму 12 долларов и напитков на сумму 59,5 доллара. Представив в конце года отчет, агент указал дополнительные закупки спиртного на сумму 283,5 доллара. Общая стоимость проданных напитков поднялась до 285,8 доллара, откуда в качестве зарплаты агент взял себе 5 % комиссионных.

На рисунке вы видите агента, который вместе с городской комиссией подводит итоги торговли за год. На каждом наименовании остатка указана продажная цена. Головоломка состоит в том, чтобы выяснить, какой доход получил город от продажи спиртного. Необходимо, разумеется, выяснить, на сколько процентов увеличил для этого агент общую стоимость напитков.

182

Трое нищих

Одна леди, занимавшаяся благотворительностью, повстречала бедняка, которому она отдала на 1 цент больше, чем половина суммы, лежавшей у нее в кошельке. Бедняк оказался членом тайного общества нищих и незаметно сделал на ее одежде меловую отметку «хороший клиент». Поэтому во время прогулки леди представился не один случай проявить благотворительность.

Второму просителю она отдала на 2 цента больше, чем половина оставшейся суммы. Третьему нищему она пожертвовала на 3 цента больше половины остатка. Теперь у нее остался 1 цент.

Сколько денег было у леди, когда она вышла на прогулку?

183

Головоломный лепет

Двое детей, совершенно запутавшихся в подсчете дней недели, остановились по дороге в школу, чтобы во всем разобраться.

– Когда «послезавтра» станет «вчера», – сказала Присилла, – то «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как и тот день, который был «сегодня», когда «позавчера» было «завтра».

В какой день недели произносился этот головоломный лепет?

184

Телеграфные столбы

Однажды я ехал на автомобиле вдоль линии телеграфных столбов длиной 35/8 мили. С помощью секундомера я определил, что число столбов, которое я миновал за одну минуту, умноженное на 35/8, равнялось числу миль, которые я проезжал за один час. Допустим, что столбы располагались на равных расстояниях друг от друга и что я ехал с постоянной скоростью. Каково тогда расстояние между двумя соседними столбами?

185

Удивительная ловушка

Попросите ваших приятелей выписать 5 нечетных цифр, сумма которых составила бы 14. Любопытно понаблюдать, как много потратят они времени, решая эту на первый взгляд простую задачу. Однако следует быть внимательным и говорить «цифры», а не «числа».

186

Как сгруппировать деревья?

Я знавал одного пожилого эксцентричного садовника, который имел обыкновение размещать в своем саду саженцы фруктовых деревьев так, чтобы никто, кроме него самого, не сумел определить, где какое дерево. Объясняя эту странность, он говорил, что занят опытами с прививками и не хочет, чтобы посетители и даже его рабочие знали все его секреты.

Последний раз я видел этого человека, когда он только что высадил 60 молодых деревьев на участке, прилегающем к дому, как показано на рисунке. Эти молодые деревья он хотел использовать просто для прививки к ним некоторых видов фруктовых деревьев. Обычно он прививал один вид на 10 стволов таким образом, чтобы он образовал 5 прямых рядов по 4 ствола в каждом. Садовник спросил меня, возможно ли это сделать с четырьмя различными видами фруктовых деревьев – персиками, грушами, абрикосами и сливами, – и я нашел, что это неплохая головоломка.

Эту головоломку удобно решать, нарисовав шахматную доску 8 х 8 на большом листе бумаги. Удалите 4 клетки, где стоит дом садовника. Вместо четырех видов деревьев воспользуйтесь 40 игральными картами, по 10 карт каждой масти. Теперь посмотрите, сможете ли вы расположить 40 карт на 60 клетках шахматной доски так, чтобы каждая масть образовала 5 прямых рядов по 4 карты в каждом ряду. Разумеется, на каждой клетке может располагаться не более одной карты.

187

Распилите шахматную доску

Этот сноровистый молодой плотник получил в подарок ящик с инструментом и немедленно приступил к работе, дабы сделать шахматную доску в подарок чемпиону мира по шахматам доктору Ласкеру. Конечно, доктор Ласкер – крупный математик и мастер головоломок, равно как и превосходный шахматист, но сумеет ли он победить наших любителей головоломок, пытаясь определить наибольшее число различных частей, из которых плотник сделал свою доску?

Каждая часть должна состоять из одной или нескольких клеток и по форме или чередованию их цветов отличаться одна от другой. Так, одна часть может состоять из единственной черной или из единственной белой клетки. Только одна часть может состоять из двух клеток, поскольку все двуклеточные части одинаковы. Но уже трех-клеточных частей может быть 4: прямая полоска с белой клеткой в центре, прямая полоска с черной клеткой в центре, Г-образная часть с одной черной клеткой и Г-образная часть с одной белой клеткой. Когда вы разделите доску на максимальное число различных частей, вы решите головоломку.

188

Какой должна быть крышка котла?

Изображенный на рисунке медник только что закончил плоскодонный котел ровно на 25 галлонов, глубина которого 12 дюймов. Многие ли из наших читателей смогут назвать нам (с точностью до дюйма) диаметр крышки котла, считая, что его обод вдвое превышает диаметр дна?

189

Благотворительность

Одна леди, которая каждую неделю жертвовала некую сумму нуждающимся, намекнула получавшим это «пособие», что каждый из них имел бы на 2 доллара больше, будь их на 5 человек меньше. Каково же было общее разочарование, когда на встрече в конце недели обнаружилось, что кроме всех прежних явилось еще четверо новых просителей. В результате каждый человек получил на доллар меньше.

Считая, что сумма, которую еженедельно раздавала леди, одинакова, скажите, чему она была равна?

190

Расположите тома так, чтобы получилось 9 различных дробей

Когда я был мальчиком, мне подарили 9 огромных томов «Истории Англии» Хьюма, пообещав надарить еще кучу всяких прекрасных вещей, если я проштудирую эти книги. Должен признаться, что все, чего я не знаю об истории Англии, по объему раза в два превышает объем средней библиотеки, но я обнаружил, что с этими увесистыми томами связаны некоторые интересные головоломки.

Например, я установил, что если расположить тома на двух полках, как показано на рисунке, то получится дробь 6729/13458, в точности равная 1/2. Возможно ли с помощью всех девяти томов устроить и другие расположения, которые были бы эквивалентны дробям 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8 и 1/9

191

На что смотрит народ?

Юный Гарри был столь недоверчив, что не спешил платить деньги за вход в цирк, не разузнав о нем все, что можно. На рисунке вы видите, как он расспрашивает служителя, сколько в цирке лошадей, наездников и разных животных.

Служитель, слегка смущенный тем, насколько жалкой выглядит горстка посетителей внутри по сравнению с яркой рекламой снаружи, притворился, что не знает точного числа захватывающих аттракционов. Он объяснил, что в дополнение к лошадям и наездникам, у которых вместе 100 ног и 36 голов, имеется зверинец с дикими африканскими животными, так что общая сумма всех голов составляет 56, а всех ног 156.

Мы просим наших читателей назвать число лошадей и наездников в цирке, а также сказать, что за аттракцион расположен в клетке слева, которую вы видите на рисунке, где, как видно, находится самая интересная часть зверинца.

192

Сколько денег выручил фермер?

В Стране Головоломок ни одна деловая операция не совершается просто. Вот, например, фермер Джонс избавился от своих дынь следующим любопытным образом. Сначала он продал первому покупателю половину всех дынь да еще полдыни. Затем второму покупателю он продал треть остатка плюс еще треть дыни. Следующему покупателю он продал четверть остатка и четверть дыни. Потом он продал пятую часть остатка плюс пятую часть дыни. Все эти дыни он продавал по доллару за дюжину. Наконец, весь остаток он продал по цене 1 доллар за 13 дынь. Предположим, что вначале у фермера было менее 1000 дынь Не могли бы вы сказать, сколько денег он получил за все свои дыни?

Мальчик, которого вы видите на рисунке справа, складывает пирамиду из небольших круглых дынь. Он хочет сложить две треугольные пирамиды (то есть два правильных тетраэдра, у которых боковые грани и основания представляют собой правильные треугольники) таких размеров, чтобы, объединив затем все составляющие их дыни без остатка, сложить из них одну большую треугольную пирамиду. Каких размеров будут его пирамиды?

[Лойд не дает ответа на задачу о пирамидах. Из рисунка видно, что мальчик складывает пирамиду с квадратным основанием. Если Лойд имел в виду два тетраэдра, из которых можно сложить пирамиду с квадратным основанием, то ответ найти не сложно. Из любых двух тетраэдров, стороны которых выражаются последовательными числами, можно сложить одну пирамиду с квадратным основанием. (Например, из тетраэдра, содержащего 4 дыни, и тетраэдра, составленного из 10 дынь – их стороны равны соответственно 2 и 3, – можно сложить пирамиду, содержащую 14 дынь, с квадратным основанием из 9 дынь.)

Если же задача Лойда поставлена правильно, то простейшим ответом будет: две пирамиды по 10 дынь, из которых можно сложить одну пирамиду, содержащую 20 дынь. Однако что будет простейшим решением в случае, если Лойд имел в виду две малые пирамиды разных размеров? – М. Г.]

193

Система лорда Рослина

Два молодых человека, располагая одинаковыми суммами денег, отправились на скачки. Здесь они стали делать ставки, пользуясь системой лорда Рослина, то есть они ставили на слабейшую лошадь столько долларов, до какой суммы долларов против одного доллара поднималась ставка против этой лошади на ипподроме.

Джим поставил на то, что Кохинор выиграет, а Джек поставил на то, что он займет не меньше второго места. Поскольку соответствующие ставки были различными, то приятели поставили разные суммы, хотя их суммарная ставка составляла половину их суммарного капитала. Оба они выиграли, но, произведя подсчеты, обнаружили, что у Джима денег оказалось вдвое больше, чем у Джека.

Теперь, памятуя о том, что ставки всегда делаются в целых долларах (никаких долей доллара не допускается), не смогли бы вы сказать, сколько выиграл каждый из молодых людей?

194

Разрежьте кусок ткани на три части, из которых можно сложить квадрат

Леди собирается разрезать кусок ткани необычной формы на 3 части, из которых можно было бы сложить правильный квадрат. Помогите ей.

Этот кусок мог иметь и любую из двух форм, которые вы видите на помещенном ниже рисунке, и все же задачу можно было бы по-прежнему решить, разрезав его на три части.

195

Сколько тыкв потеряют незадачливые фермеры?

Два старых «земляных крота», которые не имеют представления о том, что в одном акре земли содержится 43 560 квадратных футов, обсуждают одно дельце, которое они сейчас обстряпали с молодым Сайксом, только что закончившим колледж. Они обменяли свое поле с тыквами, план которого нарисовали на правой половине дверей сарая, на его поле с тыквами, план которого нарисовали на левой половине. Фермеры думают, что они ловко провели мальчишку Сайкса, раз их бывшее поле огорожено меньшим числом жердей, чем его.

Как вы можете заметить, их бывшее поле огорожено 140 жердями с одной стороны и 150 – с другой, что в сумме дает 580 жердей. Поле же, которым они только что завладели, имеет стороны в 110 и 190 жердей, а всего в его ограде – 600 жердей. Разумеется, молодой Сайке достаточно хорошо разбирается в элементарной геометрии, чтобы сообразить, что, чем ближе пропорции прямоугольника к квадратным, тем большую по отношению к своему периметру площадь он занимает. Поэтому в данном случае он получил поле несколько большее, чем отдал взамен.

Допустим, что на обоих полях на одном акре растет 840 тыкв. Можете ли вы точно сказать, сколько тыкв с одного акра потеряют на всей операции незадачливые фермеры?

196

Чему равен вес каждого из четырех колец?

Однажды мне попал в руки дневник некоего путешественника, где описан ряд методов, практиковавшихся некогда при сделках на Филиппинах. Торговец, изображенный на рисунке, пользуется примитивными рычажными весами, а вместо гирь употребляет четыре металлических кольца. Кольца имеют разную форму и размеры, и торговец обычно носит их на руке наподобие браслетов. С помощью этих колец можно взвесить все что угодно в пределах от четверти фунта до десяти фунтов. Манипуляции с гирями на рычажных весах часто встречаются в головоломках, но они не столь хитроумны, как в данном случае, где торговец способен с точностью до четверти фунта определить любой вес в указанных пределах.

Чему равен вес каждого из четырех колец?

197

Двое часов

Пустив в одно и то же время двое часов, я обнаружил, что одни из них отстают на 2 минуты в час, а другие спешат на 1 минуту в час. Когда я вновь посмотрел на часы, то увидел, что спешившие часы ушли по сравнению с отстававшими на 1 час вперед. Сколько времени шли часы?

198

Сколько яиц можно поместить в коробку?

Курица, которую вы видите на рисунке, пытается выяснить, сколько яиц она может снести в коробку так, чтобы в каждом из рядов, включая диагональные, оказалось не более двух яиц. Два яйца уже находятся в коробке, так что на эту большую диагональ яйца больше помещать нельзя.

199

Карточный проигрыш

Во время путешествия на пароходе я был посвящен в тайны одной карточной игры. В первой партии я проиграл барону фон Д. и графу де С, каждый из которых выиграл достаточно, чтобы удвоить свои фишки.

Во второй партии я оказался на равных с бароном, что позволило нам удвоить наши капиталы. Затем я и граф выиграли третью партию и удвоили свои фишки. Таинственная особенность сложившейся ситуации состояла в том, что каждый из игроков дважды выиграл и один раз проиграл, в результате чего у всех оказалось одинаковое число фишек.

Я обнаружил, что проиграл 100 долларов. С какой суммой я начал игру?

200

Сколько лет мальчику?

– Сколько лет этому мальчику? – спросил кондуктор.

Польщенный тем интересом, который был проявлен к его семье, житель пригорода ответил:

– Мой сын в пять раз старше моей дочери, а моя жена в пять раз старше сына, а я вдвое старше моей жены, тогда как бабушка, которая столь же стара, как и мы все вместе взятые, сегодня отмечает свой 81 день рождения.

Сколько лет было мальчику?

201

Пчелы

Вот одна задача из древнего индийского трактата: – Если 1/5 пчелиного роя полетела на цветы ладамбы, 1/3 – на цветы слэндбары, утроенная разность этих чисел полетела на дерево, а одна пчела продолжала летать между ароматными кетаки и малати, то сколько всего было пчел?

202

Обычные вклады

– Джентльмены, – сказал на собрании директоров Чаунси, – нынешний доход от железной дороги позволил бы нам выплатить 6 % годовых от общей суммы вкладов, но поскольку 4 000 000 долларов составляют льготные вклады, по которым мы выплачиваем 7 1/2 % годовых, то по общим вкладам мы в состоянии оплатить только 5 % годовые.

Чему равнялась сумма обычных вкладов?

203

Грязное белье

Чарли и Фредди отдали свои засаленные воротнички и манжеты, всего 20 штук, в китайскую прачечную. Когда несколько дней спустя Фредди развернул полученный пакет, то обнаружил там половину всех манжет и треть воротничков, за стирку которых он заплатил 27 центов. Стирка четырех манжет стоила столько же, сколько и стирка пяти воротничков. Сколько заплатил за оставшуюся часть белья Чарли?

204

Чему должна равняться ширина полосы?

Люди, которые не очень-то сильны в математике, порою на практике справляются с очень трудными задачами.

Так, у одного владельца ранчо в Техасе земли было больше, чем он мог обработать, поэтому он решил сдать в аренду своему соседу половину одного из полей, которое имело в длину 2000 и в ширину 1000 ярдов. Однако из-за некоторых неровностей почвы было решено не делить это прямоугольное поле пополам, а провести вдоль его края полосу постоянной ширины, площадь которой составила бы половину всей площади поля.

Мне кажется, любителям головоломок не составит труда определить длину граничной полосы, проведенной вокруг участка, содержащего ровно половину всего урожая. Существует простое правило, применимое к любому прямоугольному полю.

205

Когда остановились часы?

Существует предание, связанное с известной песней о больших старинных дедушкиных часах, которые были «слишком высоки, чтобы стоять на полке, и девяносто лет покоились на полу». У этих часов была неисправимая привычка останавливаться, как только минутная стрелка переходила через часовую. По мере того как шли годы, старый джентльмен становился все более раздражительным, и однажды, когда стрелки слились в очередной раз и часы остановились, его охватила такая ярость, что он упал замертво.

Мне показали фотографию этих остановившихся часов с классической женской фигурой, символизирующей время, и меня поразило одно обстоятельство: зная, что минутная и часовая стрелки слились, можно по расположению одной лишь секундной стрелки, изображенной на рисунке, восстановить точное время.

Так когда же остановились часы?

206

Сколько потребуется стрел, чтобы выбить ровно 100 очков, стреляя по этой мишени?

207

Еще три задачи с греческим крестом

Вот еще три задачи на разрезание, где участвует греческий крест, то есть крест, образованный пятью одинаковыми квадратами. Именно он используется как символ организации Красный Крест. Сестры милосердия, изображенные на рисунке, должны нарезать красные фланелевые кресты для нарукавных повязок, а поскольку количество ткани весьма ограничено, им необходимо свести до минимума отходы. В процессе работы у них возникли следующие задачи:

1) разрезать квадрат на 5 частей, из которых без всяких отходов можно было бы сшить 2 греческих креста одинаковых размеров;

2) разрезать квадрат на 5 частей, из которых можно было бы сшить 2 греческих креста разных размеров;

3) разрезать греческий крест на 5 частей, из которых можно было бы сделать два меньших греческих креста одинаковых размеров. Это одна из наиболее красивых задач на разрезание, в которых участвует греческий крест.

Помогите сестрам милосердия.

208

Каково расстояние между мостами?

Хотя ребята на рисунке и бегут в противоположных направлениях, но цель у них одна – побыстрее добраться до места, отмеченного флагом в верхнем левом углу. Бегущий вправо, достигнув моста, повернет под прямым углом влево, пересечет канал и помчится по дороге прямо к цели. Бегущий влево совершит поворот под острым углом, как только достигнет другого моста, не видного на рисунке. Далее он побежит по тропинке через поле прямо к флагу.

Правому бегуну осталось пробежать 250 ярдов до поворота да еще 600 ярдов по прямой, прежде чем он доберется до флага. Если бы он развернулся и побежал другим путем, то ему пришлось бы проделать точно такое же расстояние. Это означает, что у бегуна слева имеется преимущество, и если бы он смог бежать со скоростью правого бегуна, то легко выиграл бы состязание.

Задача состоит в том, чтобы выяснить, чему равно расстояние в ярдах между мостами. Предположим, что соперники сейчас бегут в противоположных направлениях по катету прямоугольного треугольника, вершинами которого служат два моста. Тогда левый бегун, достигнув не видимого нами моста, побежит по гипотенузе этого треугольника.

209

Сколько яблок и цветов получила каждая?

Древнегреческий миф о том, как Грации и Музы разделили между собой золотые яблоки и цветы, относят к разным векам и приписывают разным авторам. Считается, что математическую сторону вопроса осветили Евклид и Архимед, хотя известно, что Гомер поведал о дочерях Зевса с их цветами и яблоками на много веков раньше.

Лучше всего было бы привести оригинальный греческий текст, однако у меня нет его под рукой. Поэтому я ограничусь тем, что может быть названо весьма вольным переводом с древнегреческого.

Дабы сделать задачу еще более ясной, скажем, что 3 Грации, у каждой из которых были розовые, белые, красные и голубые цветы, встретили 9 Муз с золотыми яблоками. Каждая Грация дала несколько цветков каждой Музе, а каждая Муза, в свою очередь, дала каждой Грации несколько яблок. Теперь у каждой девушки оказалось одинаковое число яблок и цветков каждого цвета. Более того, число яблок у каждой девушки равнялось числу цветков, которыми она обладала.

Каково наименьшее количество яблок и цветков каждого цвета, удовлетворяющее этим условиям?

210

«Тупая» головоломка

Каким образом могут расположиться эти трое мальчишек, чтобы цифры на их одеждах образовали число, которое делилось бы без остатка на 7?

211

Из одного квадратного одеяла – два!

Муж с женой, изображенные на рисунке, обсуждают вопрос о том, как разрезать это стеганое квадратное одеяло, чтобы из него получилось два меньших квадратных одеяла. Поскольку одеяло составлено из квадратных лоскутов, разрезать его можно только по вертикальным или горизонтальным их границам. Задача состоит в том, чтобы разрезать одеяло на минимальное число частей, из которых можно сшить два квадратных одеяла.

212

Состояние О'Шогнесси

В избытке радости от приятной перспективы стать на склоне лет счастливым отцом О'Шогнесси поклялся переписать 2/з состояния на имя «мальчика» и 1/3 на имя матери; в случае же если бы «мальчик» оказался девочкой, то 2/3 состояния должны были перейти матери, а 1/3 – дочери. Когда подошло время, то выяснилось, что «мальчик» оказался парой близнецов обоего пола. О'Шогнесси теперь никак не может решить, как следует поступить, чтобы точнее всего выполнить данное ранее обещание.

А что бы могли посоветовать незадачливому О'Шогнесси наши читатели? Как ему следует по справедливости разделить свое состояние?

213

Сколько сыновей было у фермера?

Один фермер с Дальнего Запада, занимавшийся на своем ранчо разведением скота, почувствовал, что жизнь его клонится к закату. Он позвал всех своих сыновей и сказал им, что решил еще при жизни разделить между ними свои стада.

– Ну, Джон, – сказал он старшему, – ты можешь взять столько коров, сколько, на твой взгляд, сумеешь обиходить, а твоя жена Нэнси может забрать девятую часть оставшихся коров.

Второму сыну он сказал:

– Сэм, ты можешь взять столько же коров, сколько и Джон, да еще одну, раз уж Джон выбирает первым. Тебе же, милая Сэлли, я дам одну девятую того, что останется после твоего Джона.

Третьему сыну он сказал то же самое. Он мог взять на одну корову больше, чем второй сын, а его жене причиталась девятая часть остатка. Так же фермер поступил и с остальными сыновьями. Каждый из них брал на одну корову больше, чем его ближайший старший брат, а жена каждого сына брала девятую часть остатка.

После того как младший сын забрал своих коров, его жене не досталось ни одной коровы. Тогда фермер сказал:

– Поскольку лошади стоят вдвое дороже коров, мы поделим лошадей так, чтобы каждая семья получила скота на одинаковую сумму.

Задача состоит в том, чтобы выяснить, сколько коров было у фермера и сколько у него было сыновей?

214

Укажите недостающую цифру

Китайцы – большие мастаки во всем, что касается манипуляций с цифрами. Профессор, изображенный на рисунке, попросил меня выписать любые два числа при условии, что при записи я использую только девять цифр и нуль. Например, я мог записать:

Каждую цифру следовало использовать один и только один раз. Затем меня попросили сложить два числа. Наконец, мне сказали, чтобы я стер оба числа и одну цифру в ответе. Профессор посмотрел на ответ и быстро сказал, какую цифру я стер.

На доске в руках профессора вы видите мой ответ. Не могли бы вы назвать недостающую цифру и объяснить, каким образом профессор быстро определил ее.

215

Насколько быстро бежит лошадь?

Однажды на бегах с участием королевы ипподрома Лу Диллон мне в голову пришла довольно странная задача, которая оказалась слишком трудной для не очень-то поднаторевших в математике судей. Случилось так, что один из судей засек время, которое понадобилось Лу, чтобы пробежать только первые 3/4 мили, тогда как второй – только ее последние 3/4. Лошадь пробежала первые 3/4 за 81 3/8 с, а последние 3/4 – за 81 1/4 с. Предположим, что лошадь пробежала первую половину мили за то же самое время, что и вторую. Многие ли из наших любителей головоломок сумеют определить, за сколько времени лошадь пробежала всю милю?

216

Поместите слона в центре флага

Сиамский король, который домогается руки принцессы Загадки, показывает королю Страны Головоломок одну задачу, связанную со своим национальным флагом. Задача состоит в том, чтобы разрезать флаг на минимальное число частей, которые можно было бы вновь сложить таким образом, дабы белый слон оказался в центре флага. Не поможете ли вы королю?

Принцесса Загадка, в свою очередь, хочет испытать сообразительность своего королевских кровей поклонника, показывая ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево на плане изображено в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей». Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который проложил сиамский король.

217

Велика ли ферма?

Фермер Сайке жаловался, что он должен отдавать ежегодно 80 долларов и определенное число бушелей пшеницы в уплату за аренду своей фермы. Это, объяснял он, составляет ровно по 7 долларов с акра, когда пшеница продается по 75 центов за бушель. В нынешнем же году пшеница поднялась в цене до 1 доллара за бушель, так что он вынужден платить по 8 долларов с акра – слишком большую, по его мнению, сумму. Велика ли была ферма Сайкса?

218

Индюки против гусей

Миссис О'Флаерти купила несколько индюков по 24 цента за фунт и столько же по весу гусей по 18 центов за фунт. Миссис Смит сказала ей, что она могла бы приобрести 2 лишних фунта, если бы следовала правилу, изложенному в книге «Советы домашним хозяйкам», которое гласит: «На рождество потратьте деньги поровну на индюков и гусей».

На какую сумму сделала покупки миссис О'Флаерти?

219

За сколько был продан костюм?

– Джонни, мальчик мой, – сказал удачливый торговец своему сыну, – хороший бизнес определяется не тем, сколько мы платим за товар, а тем, сколько мы на нем зарабатываем. Я вот заработал 10 % на этом прекрасном костюме, который только что продал, хотя если бы я купил его на 10 % дешевле и продал, получив прибыль в 20 %, то он оказался бы продан на 25 центов дешевле. А теперь скажи, сколько я получил за этот костюм?

220

Сколько лет Джимми?

– Видите ли, – сказала миссис Мерфи, – Пэдди теперь в 1 1/3 раза старше, чем он был, когда начал петь, а маленькому Джимми, которому было 40 месяцев, когда Пэдди начал петь, теперь на два года больше, чем была половина моего возраста, когда Пэдди начал петь, так что когда маленькому Джимми будет столько же, сколько было Пэдди, когда он начал петь, то сумма наших трех возрастов составит ровно сотню лет.

Сколько лет маленькому Джимми?

221

Каким образом фермер может схватить индюка?

Вот одна неплохая игра, которая одновременно является и головоломкой. Поставьте шашку, изображающую индюка, на ячейку 7, а другую шашку, изображающую фермера, – на ячейку 58. Один игрок ходит за индюка, а другой – за фермера. Они ходят по очереди, передвигая свои шашки в любом направлении по прямой как угодно далеко. Но если шашка остановится на прямой, находящейся под контролем второго игрока, или если она пересечет такую прямую, то она может быть схвачена. Например, если индюк вначале ходит из ячейки 7 на ячейку 52, то фермер его немедленно схватит. А если фермер сначала пойдет с ячейки 58 на ячейку 4, то на ячейке 12 его может схватить индюк, ибо эта ячейка находится под контролем индюка. Цель игры – схватить вашего соперника. Вне зависимости от того, кто начинает игру, фермер всегда может схватить индюка. Какой стратегии он должен придерживаться, чтобы выиграть?

Во второй головоломке начинайте, как и прежде, с ячеек 7 (индюк) и 58 (фермер). Индюк не движется. Каким образом фермер может схватить его за 24 хода, побывав ровно по одному разу в каждой ячейке доски?

222

Мошенник-ювелир

В одном из рассказов Дюма о знаменитых преступниках упоминается о некоем ювелире, который не у одной знатной леди украл ее лучшие бриллианты. Мошенник столь искусно менял расположение камней, что исчезновение нескольких из них трудно было обнаружить.

Дабы проиллюстрировать один хитроумный прием этого негодяя, давайте рассмотрим изображенную на этом рисунке старинную булавку, которая содержит 25 бриллиантов. Леди, владевшая этой драгоценностью, привыкла пересчитывать камни сверху вниз до центра, а затем продолжала счет влево, вправо и вниз. Во всех трех случаях получалось число 13.

Эта леди совершила большую ошибку, не только доверив вышеупомянутому ювелиру починить ее булавку, но и неосторожно показав ему свою систему пересчета камней. Возвращая украшение, ювелир вежливо пересчитал камни в присутствии заказчицы. В течение многих лет леди все так же, как и прежде, продолжала пересчитывать бриллианты тремя различными способами, и всегда у нее при этом получалось число 13. И все же два лучших бриллианта из булавки были украдены! Каким образом этот отъявленный жулик расположил камни, чтобы скрыть свое преступление?

223

Разрежьте куски, чтобы получился квадрат

Купив кусок линолеума, миссис Уайт обнаружила внутри рулона еще и небольшой треугольный кусочек. С помощью своего мужа она пытается придумать, как, разрезав эти две части надлежащим образом, составить из них квадрат. Это можно сделать, разрезав большой квадрат на три части, а треугольник – всего лишь на две. Здесь замешан один любопытный геометрический закон, который не проходят в школе. Помогите миссис Уайт.

224

Красные бананы

– Как это получается, – сказала миссис О'Нейл математически одаренному полисмену Клэнси, – что, когда я покупаю желтые бананы по 30 центов за гроздь и такое же число красных бананов по 40 центов за гроздь, я получаю на две грозди меньше, чем если бы я поделила все деньги поровну на приобретение желтых и красных бананов?

– А сколько денег вы тратите на всю покупку? – спросил Клэнси.

– Вот именно это я и хотела бы услышать от вас!

225

Каков кратчайший путь Джоко?

Шарманка Тони совершенно расстроена, но упорство его поистине неистощимо, и лишь небольшое вознаграждение от каждого жильца, изображенного на рисунке, может заставить его перебраться в другое место.

Теперь, когда уже вся аудитория в сборе и готова капитулировать, не могли бы вы указать обезьянке Джоко кратчайший путь от окна к окну, каким она может собрать в свою кружку все причитающееся? Обезьянка должна начать с того места, где она сейчас находится, и закончить путь, усевшись на плечо своего хозяина.

226

Решите головоломку за наименьшее число ходов

Во время каждых президентских выборов я принимал участие в предвыборной кампании, выпуская головоломки, которые в больших количествах расходились по всей стране. На рисунке показана головоломка, которую я приготовил в качестве сувенира к выборам 1908 года. В свое время она имела большой успех.

Каждый человек на доске – кандидат в президенты. Следует удалить 8 человек из 9, оставив одного на центральной клетке. Это должно быть сделано за наименьшее число ходов. Ход может состоять либо из передвижения фигурки на соседнюю клетку, вверх и вниз, влево и вправо или по диагонали, либо из прыжка, подобного шашечному, при котором «перепрыгиваемый» удаляется, с той разницей, что его также можно выполнять вверх и вниз, влево и вправо или по диагонали. При решении головоломки удобно заменить фигурки пуговицами или монетками.

Вот пример решения в 10 ходов: 1) Фербенкс перепрыгивает через Лаффолета; 2) Тафт перепрыгивает через Хьюга; 3) Джонсон перепрыгивает через Нокса; 4) Тафт перепрыгивает через Джонсона; 5) Кэннон перепрыгивает через Тафта; 6) Кэннон перепрыгивает через Грея; 7) Фербенкс перепрыгивает через Кэннона; 8) Брайен перепрыгивает через Фербенкса; 9) Брайен движется по диагонали вниз и вправо; 10) Брайен движется в центральную клетку. Сумеете ли вы решить головоломку за меньшее число ходов?

227

Птенец и яйцо

Как бы вы разрезали этого маленького птенчика на две части, из которых можно было бы сложить яйцо правильной формы?

228

Как дикарь считает до пяти?

Вы видите на рисунке, как король Страны Головоломок играет с дикарем в кости. Это необычная игра. В ней один игрок, подбросив кость, складывает число, выпавшее на верхней грани, с любым числом на одной из четырех боковых граней. А его соперник складывает все остальные числа на трех боковых гранях. Число на нижней грани не учитывается. Это простая игра, хотя математики расходятся во мнениях относительно того, какое именно преимущество имеет бросающий кость над своим соперником. В настоящий момент дикарь бросает кость, в результате этого броска король опередил его на 5 очков. Скажите, какое число должно было выпасть на кости?

Принцесса Загадка ведет счет выигрышам дикаря. Если это число перевести в привычную для дикаря бунгалозскую систему, то оно окажется еще больше. У дикарей из Бунгалозии, как нам хорошо известно, на каждой руке только по три пальца, так что они привыкли к шестеричной системе счисления. Отсюда возникает одна любопытная задача из области элементарной арифметики: мы просим наших читателей перевести число 109 778 в бунгалозскую систему, дабы дикарь узнал, сколько золотых монет он выиграл.

229

Разрежьте доску так, чтобы получился квадрат

У плотника есть кусок доски, содержащий ровно 81 квадратный дюйм. Маленький квадратный кусочек вверху имеет сторону в 1 дюйм. Он примыкает к квадрату, содержащему 16 квадратных дюймов, который, в свою очередь, примыкает к большему квадрату в 64 квадратных дюйма, так что всего получается 81 квадратный дюйм. Плотник хочет сделать квадратную ставню 9x9 для своего окна. Каким образом он сможет распилить для этого доску на минимальное число частей?

230

Двадцать конфет

Томми, Уилли, Мэгги и Энн купили на 20 центов 20 конфет. Шоколадные конфеты стоят 4 цента штука, леденцы продаются по цене 4 штуки на цент, а шоколадные драже стоят 1 цент пара.

Сколько конфет каждого сорта купили дети?

231

Сколько рыбы выудил каждый мальчик?

Вот одна любопытная задачка из области рыбной ловли.

Пять мальчиков, которых мы назовем А, В, С, D и Е, однажды отправились ловить рыбу. А и В вместе поймали 14 рыб, В и С – 20, С и D – 18, D и Е – 12, тогда как А и Е поймали одно и то же число рыб каждый.

Затем пять мальчиков разделили свою добычу следующим образом. С объединил свой улов с В и D, а затем каждый из них взял ровно 1/3.Каждый из остальных четверых мальчиков сделал то же самое, то есть каждый объединил свой улов с двумя соседними партнерами, а затем этот объединенный улов делился на 3 части. D объединился с С и Е, Е – с D и А, А – с Еи Ви В объединился с А и С. Во всех случаях рыба делилась на 3 равные части, причем ни одну рыбу не пришлось разрезать на куски. В конце дележа у всех пяти мальчиков рыбы оказалось поровну.

Не могли бы вы подсчитать, сколько рыб поймал каждый мальчик?

232

Разрежьте шестиугольник

Наружный контур ящика, возле которого стоит Жак, образует неправильный шестиугольник. Можете ли вы разрезать этот шестиугольник на две части, из которых получился бы квадрат?

233

Сколько частей можно получить с помощью шести разрезов?

Тетушка Мэри, экономка в меблированных комнатах, попросила повара показать постояльцам, как следует разрезать пирог на максимальное число частей шестью прямыми разрезами ножа. Чему, по-вашему, равно это число?

234

В галантерейной лавке

– Дайте мне три мотка шелка и четыре – шерсти, – сказала маленькая Сузи, положив на прилавок 31 цент.

Когда продавец пошел за товаром, Сузи воскликнула:

– Я передумала! Я возьму четыре мотка шелка и три – шерсти.

– Но тогда у вас немного не хватает, – заметил продавец. – Вам следует добавить еще один цент.

– О нет, – возразила Сузи и, забрав мотки, выскользнула из лавки. – Это у вас немного «не хватает».

Сколько стоил моток шелка и сколько моток шерсти?

235

Что не так на этой картинке?

Рождественский индюк гоняет доброго старого Санта Клауса по полю, как это видно по следам на снегу. Вы можете заметить, что они начинаются в правом нижнем углу рисунка и описывают несколько лихих петель, прежде чем доходят до места, изображенного на рисунке. Мы просим наших читателей хорошенько разобраться в ситуации и сказать, не находят ли они на этом рисунке нечто весьма странное с математической точки зрения. Если да, то не могли бы вы дать достаточно приемлемое объяснение этой странности, имея в виду, что художник не совершил ошибки?

236

Как Вильгельм Телль выбил 100 очков?

На рисунке показан Вильгельм Телль, который стоит в 35 ярдах от столба и собирается показать свое умение, целясь в те яблоки, что держит Томми Загадочник. Не могли бы вы сказать, в какие яблоки он должен попасть, чтобы выбить 100 очков? В одно и то же яблоко можно попадать неоднократно. А второй вопрос состоит в том, чтобы определить высоту столба.

337

Тандем

Три человека хотят преодолеть 40 миль на велосипеде-тандеме, на котором одновременно помещаются два человека. Третий путешественник в это время идет пешком. Один человек, назовем его А, проходит 1 милю за 10 мин, второй, назовем его В, проходит 1 милю за 15 мин, а третий, С, – за 20 мин. Велосипед движется со скоростью 40 миль в час независимо от того, кто на нем сидит. За какое наикратчайшее время все трое могут закончить путешествие при условии, что они воспользуются наиболее рациональной комбинацией велосипедной езды и пешего хода?

238

Укажите размеры треугольника

На рисунке вы видите, как шахтеры спорят по поводу своих участков. Каждый участок имеет форму прямоугольного треугольника. Размеры этих треугольников не совпадают, но площади у них у всех одинаковы и составляют точно 3360 квадратных футов.

Катеты одного треугольника равны 140 и 48, а его гипотенуза – 148. У второго треугольника катеты равны 80 и 84, а гипотенуза – 116. Можете ли вы указать длины сторон третьего треугольника при условии, что они выражаются целыми числами, а площадь этого треугольника равна площади первых двух треугольников?

239

Чашки и блюдца

На воскресной распродаже, где все стоит на 2 цента дешевле, миссис Барджейн, завсегдатай такого рода торгов, купила тарелки, заплатив за них 1,3 доллара. В понедельник утром она вернула эти тарелки по обычной цене и обменяла их на чашки с блюдцами. Одна тарелка стоила столько же, сколько и чашка с блюдцем, так что предприимчивая миссис вернулась домой, имея на 16 предметов больше, чем ранее. Поскольку блюдца стоили только 3 цента, она взяла на 10 блюдец больше, чем чашек. Сколько чашек могла купить миссис Барджейн на воскресной распродаже за свои 1,3 доллара?

240

Что за молоко в бидоне?

– В одном бидоне у меня налита чистая ключевая вода, – объяснял молочник двум школьникам. – А в другом бидоне у меня находится молоко, оно настолько жирное, что требует разбавки водой до соответствующей кондиции. Я это и делаю. Сначала я наливаю из бидона А в бидон В столько жидкости, чтобы удвоить содержимое В, а затем я наливаю из В в А столько жидкости, чтобы удвоить содержимое А. Наконец, я снова наливаю жидкость из А в В, пока содержимое В не удвоится. Теперь в каждом бидоне содержится одинаковое количество Жидкости, а в В молока оказывается на один галлон меньше, чем воды. С какого количества воды и молока я начал и сколько воды и молока оказалось в итоге в каждом бидоне?

241

Ночной экспресс

Инженер ночного экспресса рассказал:

– Через час после отправления у нас полетел цилиндр, и нам пришлось двигаться со скоростью, составляющей 3/5 прежней. В результате на следующую станцию мы прибыли на два часа позже. А вот если бы поломка произошла на 50 миль дальше, то поезд прибыл бы на станцию на 40 минут раньше.

Чему равно расстояние между станциями?

242

Разрежьте крест на части, которые образовали бы квадрат

Существует легенда о том, как однажды император Август, проезжая на колеснице, заметил однорукого воина, который просил милостыню. Император остановился и спросил ветерана, почему он не получил крест славы и пенсию, которая полагается искалеченным в битвах легионерам.

– Великий император, – ответил Тит, – я всего лишь простой воин, при раздаче пенсий и наград меня так просто не заметить.

Услышав это, Август снял с себя крест святого Андрея и повесил его на грудь Тита.

– Если бы ты потерял обе руки, – сказал он, – то стал бы основателем нового ордена.

Услышав это, воин тут же упал на свой обнаженный меч и отсек себе вторую руку!

Мы не станем здесь обсуждать странности подобного подвига, а обратим внимание на крест, который Тит носит на своей груди и который следует преобразовать в новый орден. Задача состоит в том, чтобы разрезать этот крест на минимальное число частей, из которых можно было бы сложить квадрат.

243

Дележ яблок

Восемь детей разделили между собой 32 яблока следующим образом. Энн получила 1 яблоко, Мэй – 2, Джейн – 3 и Кэт – 4. Нед Смит взял столько же яблок, сколько и его сестры, Тому Брауну досталось вдвое больше яблок, чем его сестре, Биллу Джонсу – втрое больше, чем его сестре, и, наконец, Джек Робинсон получил яблок вчетверо больше, чем его сестра. Назовите фамилии четырех девочек.

244

Игра в шарики

Гарри и Джим, два завзятых игрока в шарики, в начале игры имели их в одинаковом количестве. Гарри выиграл 20 шариков в первом туре, но потерял 2/3 всех своих шариков в матч-реванше. При этом у Джима осталось вчетверо больше шариков, чем у Гарри.

Сколько шариков было у каждого мальчика перед началом игры?

245

Чайная смесь

Лавочник из Гонконга продавал пользовавшуюся большим спросом смесь двух сортов чая. Один сорт чая обходился ему в 5 битов за фунт, а второй – в 3 бита. 40 фунтов смеси он продал по 6 битов за фунт, получив при этом прибыль в 33 1/3%.

Сколько фунтов 5-битового чая находилось в смеси?

246

Сколько лет боссу?

– Шестую часть своей жизни я провел мальчиком в Старом Свете, – заметил босс. – Двенадцатую – занимался бизнесом в Нью-Йорке, а седьмую да еще пять лет я был занят политикой и супружескими делами, после чего как раз и родился Джимми. Четыре года назад его выбрали в муниципалитет, возраст его тогда составлял ровно половину моего настоящего возраста.

Сколько лет боссу?

247

Разгадайте головоломки Колумба

Однажды Христофор Колумб задал королю Страны Головоломок две задачи. В первой требовалось расположить 9 яиц на столе таким образом, чтобы получилось максимальное число рядов по 3 яйца в каждом прямолинейном ряду. Королю удалось построить 8 таких рядов, но курица уверяет, что любой смышленый цыпленок справился бы с задачей лучше.

Старый смешной король пытается теперь решить вторую головоломку, где нужно провести непрерывную ломаную линию с минимальным числом отрезков, проходящую через центры всех яиц. Он выполнил задание, проведя 6 звеньев, но по выражению лица Томми Загадочника видно, что это далеко не лучший ответ.

Обе задачи ничуть не хуже, если не лучше, головоломки с поставленным вертикально яйцом, которая наряду с открытием Америки увековечила имя великого мореплавателя.

248

Сколько земли можно огородить?

Парнишка спросил однажды у мистера Линкольна, сколько земли можно огородить дюжиной жердей.

– Все зависит, – ответил мистер Линкольн, – от длины жерди.

Допустим, что каждая жердь имеет в длину 16 футов. Какова максимальная площадь участка, который можно огородить с помощью 12 таких жердей? Так, если расположить жерди в форме квадрата, то они огородят участок в 2304 квадратных фута. Однако можно поступить гораздо лучше.

249

Убывающая скорость

Месье Де Фуа Грас, знаменитый французский шофер, упомянул как-то, что во время одной поездки его автомобиль прошел 135 миль за первые два часа и 104 мили в течение следующих двух часов. Предположим, что скорость в течение этих четырех часов с каждым часом уменьшалась на одно и то же число миль. Скажите тогда, какое расстояние прошел автомобиль за каждый из этих четырех часов?

250

Насколько близко сумеете вы подобраться к 82?

Вот знаменитая задача, которую я опубликовал в 1882 году, предложив приз в 1000 долларов за лучшее решение. Задача состоит в том, чтобы расположить 7 цифр и 8 точек таким образом, чтобы сумма полученных цифр оказалась как можно ближе к 82. Точки можно использовать в качестве символа десятичной точки и в качестве символа периода десятичной дроби. Например, дробь 1/3 можно записать в виде 3. Точка над цифрой означает, что 3 повторяется бесконечное число раз. Если период десятичной дроби содержит несколько цифр, то точка используется, чтобы отметить его начало и конец. Так, дробь 1/7 можно записать в виде •142857.

Из нескольких миллионов ответов только два оказались правильными.

251

Определите время

Дженни и Мод разъехались на милю друг от друга по глади замерзшего озера, а затем решили поменяться местами. Благодаря сильному попутному ветру Дженни добралась до места, где прежде стояла подруга, в 2 1/2 раза быстрее, чем Мод, опередив последнюю на 6 минут. Сколько времени потратила каждая девушка на преодоление мили?

252

Полярная невеста

Во время недавней экспедиции к Северному полюсу один из членов группы попытался по пути умыкнуть на одном из островов невесту. Все местные жители спят там в мешках из медвежьих шкур, и существует обычай, согласно которому влюбленный парень должен пробраться ночью и утащить мешок с невестой.

В данном случае влюбленному пришлось преодолеть изрядное расстояние, но он шел туда со скоростью 5 миль в час, а возвращался со своей ношей со скоростью 3 мили в час, затратив на все путешествие ровно 7 часов. Когда наш влюбленный открыл мешок, чтобы похвастаться перед товарищами своей ценной добычей, то оказалось, что похитил… дедушку своей избранницы.

Эта история, без сомнения, сильно преувеличена, но не могли бы наши читатели сказать, какое расстояние преодолел незадачливый исследователь Арктики во время этого памятного путешествия?

253

Найдите скорость козлов

«Однажды мне довелось стать свидетелем смертельной схватки двух козлов, – пишет профессор Блюмгартен, – которая оказалась связанной с одной любопытной математической задачей. У моего соседа был козел, который в течение нескольких сезонов слыл общепризнанным чемпионом окрестных скал; потом у кого-то еще в округе появился козел, который был на 3 фунта тяжелее соседского. Соседский козел весил 54 фунта, а новый – 57.

Какое-то время козлы гармонично сосуществовали, Но вот однажды более легкий козел, встав на вершине холма, издал угрожающее блеяние, вызывая соперника на бой. Соперник бросился вверх по холму, а задира ринулся ему навстречу. Как это ни печально, при столкновении оба козла погибли.

Джордж Аберкромби, который написал внушительную работу о козлиных боях, говорит: «В результате повторных экспериментов я выяснил, что сила удара, соответствующая количеству движения, которое развивают 30 фунтов, падающих с высоты в 20 футов, как раз достаточна, чтобы проломить череп козла и тем самым привести к летальному исходу».

Допустим, что это так и есть. Тогда чему должна равняться минимальная относительная скорость двух наших козлов, достаточная для того, чтобы они проломили черепа друг другу?»

254

Как поскорее спустить семью?

Лучшее средство для спасения при пожаре – перекинутая через блок веревка с большими корзинами по концам. Когда одна корзина опускается, другая поднимается. Поместив какой-то предмет в одну из корзин в качестве противовеса, более тяжелый предмет можно затем спустить вниз в другой корзине. Автор этого патентованного изобретения считает, что такое приспособление необходимо установить с внешней стороны каждой спальни во всем мире. В одном из наших отелей попробовали испытать его, однако нашлись постояльцы, которые не преминули воспользоваться им для того, чтобы покидать отель ночью вместе с имуществом, не заплатив по счету. Естественно, после этого приспособление перестало пользоваться популярностью у владельцев отелей.

На рисунке показано это приспособление, приделанное у окна фешенебельного летнего отеля. Если одна из корзин пуста, то в другой можно безопасно спустить предмет весом не более 30 фунтов. Если же обе корзины нагружены, то безопасная разница в весе между ними также равна 30 фунтам.

Когда однажды ночью в отеле вспыхнул пожар, все постояльцы, за исключением ночного сторожа и его семьи, благополучно спаслись. Последних не удалось разбудить до тех пор, пока все пути к спасению, кроме патентованного приспособления, не оказались отрезанными. Сторож весил 90, его жена – 210, собака – 60 и младенец – 30 фунтов.

Каждая корзина достаточно велика, чтобы вместить всех четверых, но никаких дополнительных грузов использовать нельзя – в спуске участвуют только сторож, жена, собака и младенец. Предполагается, что ни собака, ни младенец не могут влезть в корзину или выбраться из нее без посторонней помощи. Каким образом все четверо смогут поскорее спуститься вниз?

255

Орел Эзопа

В одной из басен Эзопа рассказывается о честолюбивом орле, который решил долететь до солнца. Каждое утро, когда солнце всходило на востоке, орел летел по направлению к нему до полудня, затем, когда солнце начинало клониться к западу, орел, продолжая свою бессмысленную погоню, тоже поворачивал на запад. В тот момент, когда солнце исчезало за горизонтом, орел оказывался как раз в том месте, откуда утром начинал свой полет.

Эта поучительная история обнаруживает некоторые нелады Эзопа с математикой. В первой половине дня орел и солнце движутся навстречу друг другу. Послеполуденная же часть пути окажется длиннее, и орел с каждым днем будет перемещаться все дальше к западу.

Допустим, что орел стартует с купола Капитолия в Вашингтоне, округ Колумбия, где Земля имеет в окружности 19500 миль. Орел летит на некоторой высоте над землей, что не влияет существенно на это расстояние, и каждый день он кончает свой полет на 500 миль западнее точки, из которой он отправился утром.

Сколько суток пройдет в Капитолии с момента, когда орел улетел, до момента, когда он, облетев земной шар в западном направлении по кругу, вновь сядет на прежнее место?

256

Сколько треугольников изображено на печати?

Вы видите на рисунке, как король Страны Головоломок и принцесса Загадка исследуют тайны знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице. Король пытается подсчитать, сколько на этом рисунке можно обнаружить различных равносторонних треугольников. А как полагаете вы?

257

Заяц и черепаха

Юный заяц-спортсмен и черепаха бегут в противоположных направлениях по круговой дорожке, диаметр которой 100 ярдов. Они начали свой забег в одном и том же месте, но заяц не бежал до тех пор, пока черепаха не прошла 1/8 часть всей дистанции (то есть окружности данного круга). Заяц придерживается столь невысокого мнения о спортивных качествах своей соперницы, что он лениво бежит, пощипывая травку, до тех пор, пока не встречается с черепахой. К этому времени он проходит 1/6 всей дистанции. Во сколько раз быстрее, чем до сих пор, придется теперь бежать зайцу, чтобы он выиграл этот забег?

258

Решите задачи с флагом

Эта хорошенькая швейцарка очень искусна в решении геометрических головоломок на разрезание. Она сумела найти способ, с помощью которого кусок красных обоев, что находится в ее правой руке, можно разрезать на две части, чтобы сложить из них швейцарский флаг. Вы видите его в левой руке девушки, белый крест в центре флага образует дыра. Разрез должен идти вдоль прямых, указанных на обоях.

Кроме того, швейцарка просит вас разрезать флаг, который она держит в левой руке, на две части, из которых можно было бы сложить прямоугольник размером 5x6.

259

Сколько потребуется провода?

Однажды я повстречал электрика, который сделал что-то вроде распределительного щита и хотел определить наиболее экономный способ протянуть хороший дорогой провод через все его контакты. Щит содержал несколько сот контактов, но я хочу познакомить читателей с самой идеей их соединения, а потому ограничусь участком 8x8, содержащим 64 контакта, который и показан на рисунке.

Задача состоит в том, чтобы определить кратчайшую длину провода, который должен из точки В протянуться в центр маленького квадратика, обозначенного буквой А, через центры всех 64 маленьких квадратиков. Сторона каждого квадратика равна 1 дюйму, а расстояние между центрами двух соседних квадратиков равно 3 дюймам. Каждый раз при изменении направления провод необходимо обернуть вокруг угла квадратика; на эту операцию уходит 2 дюйма провода. Никакие соединения по диагонали не допускаются.

Предположим, что для соединения точки В с центром ближайшего квадратика расходуется 2 дюйма провода. Можете ли вы определить наикратчайшую длину провода, необходимого для того, чтобы соединить В с A?

260

Какое расстояние проезжает курьер?

В старой задаче, которую можно найти во многих сборниках головоломок, речь идет об армейской колонне длиной в 50 миль. Пока колонна движется вперед с постоянной скоростью, курьер скачет из арьергарда в авангард, чтобы передать пакет, а затем возвращается обратно. Назад он прибывает как раз в тот момент, когда колонна прошла 50 миль. Какое расстояние проделал курьер?

Если бы колонна стояла на месте, то, очевидно, он бы проделал 50 миль туда и 50 миль, обратно. Но поскольку она движется вперед, всадник должен проделать более 50 миль, пока доберется до головы колонны, а возвращаясь назад, он проедет меньше 50 миль, ибо колонна движется ему навстречу. Предполагается, конечно, что скорость курьера постоянна.

Более трудная разновидность этой головоломки состоит в следующем. Армия, построившись вкаре 50 х 50 миль, проходит 50 миль вперед. Курьер, выехав из середины заднего ряда, пока армия движется вперед, объезжает вокруг всего каре и возвращается в исходную точку. Какое расстояние проезжает курьер?

261

Образуйте 6 фигур из пяти частей

Беппо, королевский шут, объясняет Птолемею, как разрезать фигуру, напоминающую трапецию, на 5 частей, которые можно использовать в шести восхитительных головоломках. Нарисуйте такую фигуру на куске картона, разрежьте ее на 5 частей, а затем попытайтесь из них сложить:

1) квадрат,

2) греческий крест;

3) ромб;

4) прямоугольник;

5) прямоугольный треугольник;

6) исходную трапециевидную фигуру. Первые 5 фигур показаны на рисунке справа. При складывании каждой из шести фигур должны быть использованы все 5 частей.

262

Какова вместимость каждой банки?

Миссис Хуббард придумала оригинальную систему хранения банок с ежевичным джемом. Она расположила их в своем буфете таким образом, что на каждой полке находится по 20 кварт джема. Банки же в ее хозяйстве трех размеров. Можете ли вы сказать, сколько кварт содержится в банке каждого размера?

263

Как кратчайшим путем проложить провод?

Электрика пригласили провести звонок в зале для собраний. Звонок должен быть в середине стены за президиумом, а кнопка его – у входной двери, дабы удобнее было напоминать разболтавшимся ораторам, что пора заканчивать выступление. Длина провода, необходимого для такой проводки, породила жаркую дискуссию, к которой привлекли и меня.

Зал, как показано на рисунке, имел в длину 30, а в ширину и высоту – 12 футов. Провод должен идти от звонка, который расположен в 3 футах от потолка в середине дальней стены, к кнопке, расположенной в 3 футах от пола в середине ближней стены. Провод может проходить по стенам, полу и потолку. Задача состоит в том, чтобы определить наикратчайший путь, по которому можно проложить провод. Толщиной стен и кнопки следует пренебречь.

264

Щенки и крысы

Один мелкий торговец из Кантона купил некоторое количество толстых щенков и вдвое меньше пар крыс. Он заплатил 2 бита за каждого щенка и такую же сумму за каждую пару крыс. Затем он продал этих животных на 10 % дороже, чем купил.

Когда торговец продал всех животных, кроме семи, он обнаружил, что выручил ровно такую же сумму, какую потратил на приобретение всех животных. Следовательно, его доход равен цене семи оставшихся животных.

Какие это семь животных?

265

Дележ капитала

В старой фирме «Браун энд Джонс» капитал Брауна в полтора раза превышал долю Джонса. Было решено принять в долю и Робинсона при условии, что он внесет 2500 долларов, которые следовало разделить между старыми владельцами так, чтобы доли всех трех партнеров при прежнем суммарном капитале оказались равными. Как именно следовало разделить 2500 долларов?

266

Полотно миссис Хогэн

Миссис Хогэн вместе со своей подругой Мэри О'Нейл купили 100 футов полотна. Свою покупку они оплачивали вместе. Поскольку миссис Хогэн принадлежала большая часть уплаченной суммы, то кусок Мэри составил лишь 5/7 длины куска миссис Хогэн. Сколько футов было в куске каждой из подруг?

267

Коровы Джонса

Фермер Джонс продал пару коров за 210 долларов. На одной корове он заработал 10 %, а на другой – 10 % потерял. Всего доход Джонса составил 5 %. Во сколько первоначально обошлась ему каждая корова?

268

Найдите наибыстрейший путь к флагу

Эта небольшая задача, где речь идет о скачках с препятствиями, вероятно, заинтересует как поклонников скачек, так и любителей головоломок. Похоже, что на рисунке дело уже близится к финишу, осталось преодолеть всего лишь 1 3/4 мили; но лидеры идут тесной плотной группой, так что, видимо, победа достанется тому, кто найдет кратчайший путь к флагу. Как видно на рисунке, финишный флаг развевается в дальнем углу прямоугольного поля, по краю которого проходит дорога. Один участок дороги имеет в длину милю, а другой – 3/4 мили.

Следовательно, по дороге путь до флага составляет 1 3/4 мили, все лошади могут преодолеть его за 3 мин. Однако всадники вольны скакать через поле, но зато по рыхлому грунту скорость будет ниже на 25 %.

В каком месте одномильного участка пути лошадь должна перепрыгнуть через изгородь и ринуться прямо к флагу, чтобы закончить скачку в наименьшее время?

269

Увеличьте число четных рядов

Эти веселые монахи положили 10 монет (по одной монете в клетку) так, что получилось 10 рядов, в каждом из которых находится четное число монет. Ряды считаются по горизонтали, вертикали и диагонали. Головоломка состоит в том, чтобы переложить монеты, увеличив тем самым в максимальной степени количество рядов с четным числом монет.

270

Тенистая роща

Мистер и миссис Смит собирались приобрести домик в пригороде.

– Если ты дашь мне 3/4 твоих денег, – сказал мистер Смит, – то я прибавлю их к своим деньгам и смогу купить дом стоимостью в 5000 долларов. У тебя же останется при этом достаточная сумма, чтобы купить тенистую рощу и ручей, которые находятся позади дома.

– Нет-нет, – ответила «прекрасная половина». – Дай мне 2/3 твоих денег, я прибавлю их к своим деньгам, и у меня будет сумма, достаточная, чтобы купить дом, а у тебя как раз останется достаточная сумма, чтобм приобрести эту рощу вместе с журчащим ручейком.

Не сможете ли вы определить цену этих угодий?

271

Как поймать всех мышей?

Дик Виттингтон выдрессировал своего кота так, что тот мог пройти от мыши А (в левом верхнем углу) к мыши Z (в правом нижнем углу) по кратчайшему пути вдоль черных линий, схватив при этом всех мышей.

В то время как король Страны Головоломок пытается решить эту задачу, Дик, указывая на часы лондонского Тауэра, спрашивает у принцессы Загадки.

– Если для того, чтобы пробить 6, часам требуется 6 секунд, то сколько им понадобится времени, чтобы пробить 11?

272

Продажа лошади

По тем или иным причинам мне никогда не везло в торговле лошадьми. Так, я купил в Техасе одну клячу за 26 долларов Мне пришлось какое-то время платить за ее содержание, пока я наконец не продал ее за 60 долларов На первый взгляд может показаться, что я получил прибыль, однако стоимость содержания была таковой, что я потерял на всей операции сумму, равную половине цены, за которую мне досталась кляча, плюс четверть стоимости ее содержания Не могли бы вы сказать, сколько денег я потерял?

273

Три квадрата из 8 брусков

С помощью 8 деревянных брусков Маленькая Пастушка построила два квадратных загона для двух ее маленьких игрушечных ягнят. Некий поклонник только что подарил ей третьего ягненка, поэтому девушке хочется, переложив бруски, сделать из них три квадратных загона.

Вырежьте из картона 8 узких полосок, причем 4 из них должны быть вдвое короче остальных четырех, как показано в нижней части рисунка. Головоломка состоит в следующем: расположите 8 полосок на плоской поверхности таким образом, чтобы они образовали 3 квадрата одинаковых размеров.

274

Быстрая сделка

Во время бума, связанного с продажей пригородных участков, один спекулянт недвижимостью, сойдя не на той станции и дожидаясь следующего поезда, сумел провернуть выгодное дельце. Купив участок земли за 24$ доллара, он поделил его на меньшие участки равной величины, которые продал по 18 долларов за участок, закончив всю операцию до прихода поезда. На этом деле он заработал сумму, в точности равную той, в какую ему первоначально обошлись 6 меньших участков.

Сколько малых участков содержалось в большом, купленном спекулянтом?

275

Отделите мальчиков от девочек

Вы видите на рисунке, как выстроились в ряд 8 уличных шалопаев и их подруг. Задача состоит в том, чтобы переставить мальчиков и девочек так, дабы 4 солдата оказались с одной стороны, а 4 сестры милосердия с другой, оставаясь все, как и прежде, в плотном строю. Перестановку следует сделать всего за 4 хода, а каждый ход состоит в передвижении какой-нибудь пары стоящих рядом детей.

При решении головоломки удобно вместо мальчиков взять монетки одного достоинства, а вместо девочек – другого. Затем, передвигая пару соседних монет одновременно, попытайтесь собрать все монетки одного достоинства с одной стороны, а другого – с другой, причем все это следует выполнить за 4 хода. Помните: передвигать можно только пару соседних монет, но отнюдь не переставлять монеты внутри этой пары. Например, вы можете передвинуть D и Е (буквы указаны на шапках) на левый край шеренги, но не разрешается переставить их так, чтобы D оказалась слева от Е.

276

Угадайте фамилию каждого наследника

Когда капитан Джон Смит, уважаемый и богатый гражданин, умер в Глочестере в 1803 году, оказалось, что весь свой нажитый на контрабанде и торговле рабами капитал он оставил 9 наследникам: сыну, его жене и ребенку, а также дочери, ее мужу и ребенку, а также побочному сыну, у которого тоже были жена и ребенок.

Капитан указал в завещании, чтобы каждый муж получил больше своей жены, а каждая жена – больше своего ребенка. В каждом из этих шести случаев разность сумм должна быть одинаковой. Другими словами, сумма, которую получал каждый муж, превосходила сумму его жены на такую же величину, на какую сумма, полученная каждой женой, превосходила сумму, полученную ее ребенком. Все завещанные деньги были в однодолларовых купюрах. Каждый получил свою долю в пакете, содержащем запечатанные конверты, причем в каждом конверте было столько долларовых купюр, сколько конвертов находилось в пакете.

В завещании также говорилось, что «Мэри и Сара вместе получают столько же, сколько вместе получают Том и Билл, а Нед, Билл и Мэри получают вместе на 299 долларов больше Хэнка. Учитывая денежные затруднения семейства Джонсов, они вместе получают на 1/3 больше Браунсов».

Портреты, которые вы видите на рисунке, не дают никакого представления об относительном возрасте всех наследников, но, исходя из данных, содержащихся в завещании, любители головоломок непременно определят фамилию каждого наследника и сумму, которую он получил.

277

Сколько булочек получил каждый ребенок?

Нередко общеизвестные детские стишки скрывают в себе некие загадки или головоломки, достойные внимания тех, кто уже вышел из детского возраста. Возьмем, например, зазывный крик Продавца Горячих Булочек.

Вполне очевидно из слов Продавца, что торгует он булочками трех сортов: штука на пенни, две штуки на пенни и три штуки на пенни. Число мальчиков в его семье равно числу девочек, и вместе они получили 7 пенни. Предположим, что каждый ребенок получил одинаковое число и одинаковые сорта булочек. Не могли бы вы сказать, сколько булочек получил каждый из ребят?

278

Билл Лежебока

Я спросил Билла Лежебоку, не хочет ли он поработать.

– А зачем? – удивился он.

– Чтобы заработать деньги, – ответил я.

– А какая в этом польза? – спросил он.

– Деньги можно копить, – нашелся я.

– А для чего мне копить деньги?

– Для того, чтобы, состарившись, ты смог уйти на отдых.

– Но я старею так быстро, как мне нравится, – ответил он. – И что за польза работать для того, чтобы отдыхать, когда я могу начать отдых прямо сейчас.

Я оставил свои попытки убедить Билла, но мне все же удалось договориться, чтобы он поработал 30 дней, получая по 8 долларов в день. Однако было оговорено, что за каждый день прогула он будет оштрафован на 10 долларов. В конце месяца ни он, ни его работодатель не были должны друг другу ни цента, что окончательно убедило Билла в бесполезности работы.

Сколько дней Билл работал, а сколько дней прогулял?

279

Закройте все кружочки, кроме одного

Среди выдающихся людей нашего времени, известных тем, как они сумели, преодолев все препятствия, пробить себе путь к успеху, покойный Генри Джордж, безусловно, заслуживает того, чтобы отметить его особо. Благодаря глубокому изучению налоговой системы Генри Джордж настолько дотошно знал каждую деталь своего предмета, что в спорах оставался совершенно неуязвимым.

Одно время мы едва ли не ежедневно встречались с ним в пресс-клубе, и мистер Джордж буквально замучил меня своими великими проблемами из области политической экономии. Я отплатил ему тем, что предложил придуманную мной головоломку.

Головоломка состоит в том, чтобы поместить 12 шашек на 13 кружков, которые образуют рамку вокруг портрета Генри Джорджа. Каждую шашку следует поместить на свободный кружок, а затем передвинуть вдоль любой из двух прямых на другой пустой кружок и оставить там. Например, вы можете первую шашку поставить на кружок 2 и передвинуть ее на кружок 4 или 13. После того как шашка передвинута, ее больше нельзя трогать и ни одну шашку нельзя помещать (до или после передвижения) на кружок, уже занятый другой шашкой.

280

Корова Кейси

– У некоторых коров больше здравого смысла, чем у обыкновенного человека, – сказал фермер Кейси. – Вот как-то стояла моя пеструха на мосту в пяти футах от его середины и мирно смотрела в воду. Внезапно она заметила экспресс, который находился на расстоянии в две длины моста от ближайшего конца этого сооружения и летел прямо на нее со скоростью 90 миль в час. Не теряя ни мгновения на бесполезные размышления, корова сделала прыжок навстречу приближавшемуся поезду и спаслась, проскочив в 1 футе от него. Если бы она последовала человеческому инстинкту и бросилась бежать с той же скоростью наутек от поезда, то три дюйма от ее задней части осталось бы на мосту!

Чему равны длина моста и скорость коровы Кейси?