1. На приведенном рисунке показано, как астрономы расположили вновь найденную звезду, которая оказалась прямо-таки «сверхзвездой» и затмила остальные звезды.

2. Единственный возможный путь, удовлетворяющий условиям задачи, таков: Филадельфия, далее 15, 22, 18, 14, 3, 8, 4, 10, 19, 16, 11, 5, 9, 2, 7, 13, 17, 21, 20, 6, 12 и, наконец – Эри.

3. [Лойд не приводит решения данной головоломки. Он лишь сообщает, что большинство сборников головоломок дают решение в 52 хода, тогда как эту головоломку можно решить за 47 ходов. Г. Э. Дьюдени, известный английский мастер головоломок, опередил Лойда на один шаг, сведя число ходов к 46. – M.Г.]

4. Из 216 равновероятных исходов бросания трех костей вы выиграете только в 91 случае и проиграете в остальных 125. Таким образом, ваш шанс выиграть по крайней мере столько же, сколько вы поставили (то есть вероятность выигрыша), равен 91/216,тогда как шанс проиграть равен 125/216.

Если бы на костях всегда выпадали различные числа, то игра стала бы честной. Предположим, что на каждом квадрате лежит по 1 доллару. Тогда, выбросив три кости, на каждой из которых выпадают разные числа, владелец аттракциона получит 3 доллара и заплатит тоже 3 доллара. Но на двух одинаковых числах владелец зарабатывает 1 доллар, а на трех одинаковых числах – 2 доллара. Если игра длится достаточно долго, то владелец аттракциона может надеяться на каждом долларе игрока независимо от того, куда и сколько денег тот ставит, заработать около 7,8 цента. Таким образом, в среднем доход владельца аттракциона составляет 7,8 % общей суммы ставок.

5. Сначала проведите разрез AB, затем сложите 3 образовавшиеся части так, чтобы разрезы CD и EF можно было сделать одновременно.

На соседнем рисунке показано, как с помощью двух прямолинейных разрезов можно разделить подкову на 9 частей. Сначала проведите разрез AB, а затем сложите три части вместе так, чтобы остальные три можно было сделать одновременно (одним взмахом ножниц).

6. Проведем диагонали квадрата и параллельные им прямые, как показано на рисунке; тогда посаженные в точках пересечения виноградные лозы будут отстоять друг от друга на расстояние, чуть превышающее 9 футов, располагаясь рядами внутри изгороди, ограничивающей данный участок; всего их окажется 41.

7. Греческую эмблему можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и сделав 13 поворотов, как показано на рисунке.

8. Любопытная особенность этой головоломки состоит в том, что, как бы вы ни ходили, «мужчина» никогда не сможет схватить «петушка», а «женщина» – «курочку», ибо, как принято говорить при игре в шахматы или шашки, петушок «обладает преимуществом в один ход»… по отношению к мужчине, и по тем же причинам женщина никогда не сможет оказаться в «соприкосновении» с курочкой. Но вот если мужчина погонится за курочкой, а женщина – за петушком, то они легко сумеют поймать цыплят! Одного из цыплят можно схватить на восьмом ходу, а другого – на девятом.

9. [В ответе Лойд использует два временных интервала, указанных в условии задачи, но эти интервалы на самом деле для решения не нужны. Пусть х означает точку (между Биксли и Пиксли), где был задан первый вопрос, а у – точку (между Пиксли и Квиксли), где был задан второй вопрос. Нам известно, что расстояние между х и у равно 7 милям. Поскольку расстояние от х до Пиксли равно 2/3 расстояния между Биксли и Пиксли, а расстояние от у до Пиксли составляет 2/3 расстояния между Пиксли и Квиксли, то из этого следует, что расстояние между х и у, то есть 7 миль, равно 2/3 всего пути. Значит, полное расстояние между Биксли и Квиксли равно 101/2 мили. – М. Г.]

10. Большой индюк весил 16 фунтов, а индюшонок – 4 фунта.

11. [Это первая из многих задач на разрезание, включенных в данный сборник. Читателю будет, наверное, небезынтересно узнать, что известный немецкий математик Давид Гильберт впервые доказал теорему, которая утверждает, что любой многоугольник, если его разрезать на конечное число частей, можно превратить в любой другой многоугольник, равновеликий первому. Подобные разрезания, однако, малоинтересны, если число частей не будет достаточно малым, чтобы решение стало элегантным и неожиданным. Почти все правильные многоугольники (за исключением пентаграммы, или пятиконечной звезды, которая доставляет массу трудностей) были использованы в весьма изобретательных головоломках на разрезание. – M. Г.]

12. Среди первых 18 футов каната, измеренных лавочником, каждый ярд (то есть 3 фута) оказался короче своей истинной величины на 3 дюйма; значит, общая недостача на 18 футов составила 18 дюймов, или V/ 2 фута. В оставшихся 2 футах потерь не было, поскольку для их измерения деревянный ярд использовался не на полную длину (потребовалось только 24 дюйма, а в нем было 33 дюйма). Следовательно, длина полученного моряком каната 81У2 фута, что при цене 2 цента за фут составляет 1 доллар 63 цента. Лавочник же получил лишь 1 доллар 60 центов (80 футов по 2 цента за фут), да и то фальшивой пятидолларовой монетой (он дал моряку сдачу 3 доллара 40 центов). Таким образом, общая сумма убытка составляет 5 долларов 3 цента. Тот факт, что сосед разменял ему золотую монету, на доходе или убытке не отражается.

13. Смит должен был начать с 99 долларов 98 центов, а осталось у него только 49 долларов 99 центов.

14. Лучший способ решения этой задачи основан на том факте, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров. Если мы впишем квадрат ABCD в исходный круг и забудем об отверстии в центре, то площадь круга Е, вписанного в этот квадрат, как раз и составит половину исходной площади.

Теперь к кругу Е надо добавить половину площади отверстия. Мы впишем в отверстие квадрат, а затем в этот квадрат впишем новый круг. Площадь меньшего круга, следовательно, составит половину площади отверстия. Поместим теперь маленький круг в G так, чтобы его диаметр стал стороной прямоугольного треугольника, основанием которого служит диаметр круга Е. Гипотенуза HI будет тогда диаметром круга, площадь которого равна сумме площадей круга Е и маленького круга в G. Этот круг, показанный пунктирной линией, и дает искомый размер точильного круга после того, как последний сточится ровно наполовину. Его диаметр можно подсчитать следующим образом.

Диаметр круга Е совпадает с длиной стороны наибольшего квадрата. Зная, что диагональ этого квадрата равна 22 дюймам, мы находим, что его сторона, а значит, и диаметр круга E равны квадратному корню из 242. Аналогичным образом находим, что диаметр наименьшего круга составляет – квадратный корень из 242/49 дюйма.

Квадрат диаметра пунктирного круга равен сумме квадратов двух найденных диаметров, то есть 242 + 242/49 – 12100/49. Извлекая отсюда квадратный корень, мы и находим искомую величину, равную 110/7 – 155/7 дюйма. Таков должен быть диаметр точильного круга, когда его получит второй компаньон.

15. Разумеется, выиграет кошка. Чтобы пробежать все расстояние и вернуться, ей нужно сделать ровно 100 прыжков. Собака, напротив, вынуждена проделать 102 фута и вернуться обратно. На своем 33-м прыжке она достигнет отметки 99 футов, и поэтому ей необходимо сделать еще один прыжок, который приведет ее на 2 фута дальше нужной отметки. Таким образом, чтобы пройти всю дистанцию, собака должна сделать 68 прыжков. Но частота ее прыжков составляет только 2/3 от частоты прыжков кошки, так что на 100 прыжков кошки приходится лишь неполных 67 прыжков собаки.

Но у Барнума в кармане была возможность сыграть первоапрельскую шутку. Допустим, что кошку (а точнее, кота) зовут Васькой, а собаку – Жучкой! Тогда фразу «она делает 3 прыжка, в то время как ее соперник делает 2» следует понимать так, что собака пробегает расстояние в 9 футов, когда кот пробегает 4 фута. Таким образом, когда собака финиширует, сделав 68 прыжков, кот преодолеет расстояние всего лишь в 90 футов и 8 дюймов.

[Эта же самая головоломка вызвала в Лондоне чувство разочарования, когда Г. Э. Дьюдени опубликовал ее 1 апреля 1900 г. в еженедельнике The Weekly Dispatch. В варианте Дьюдени в беге состязались садовник (женщина) и повар (мужчина). – М. Г.]

16. Ответ приведен на рисунке.

17. На эту задачу нет однозначного ответа, если только вы не знаете, сколько заплатил делец за свой велосипед первоначально. А раз в условии это не сказано, то и решить задачу удовлетворительным образом невозможно.

18. Бак с квадратным дном, ширина которого вдвое меньше глубины, имеет самые экономичные размеры. Если куб со стороной, близкой к 12,6 фута, вмещает 2000 кубических футов, то вдвое меньшая глубина приводит как раз к искомой 1000 кубических футов.

[Точные размеры искомого бака не выражаются в рациональных числах, поскольку они связаны с половиной «удвоенного куба». Если воспользоваться иррациональными числами, то длина и ширина искомого бака окажутсяравнымитогда как его высота составит

19. На рисунке искомая пятиконечная звезда окрашена целиком.

20. На рисунке показано, как можно разрезать греческий крест на пять частей, из которых удается сложить два креста одинаковых размеров. Проведите разрезы, как показано на кресте, изображенном слева, а затем сложите маленькие части, как показано на рисунке справа.

21. [Исходную головоломку решить невозможно, если не прибегнуть к мошенничеству, перевернув кубики с цифрами 6 и 9 вверх ногами. Одна из особенностей этой головоломки состоит в том, что любая подобная перестановка двух кубиков сразу же делает задачу разрешимой. Фактически любое нечетное число перестановок дает тот же самый эффект, тогда как любое их четное число оставляет, как и прежде, головоломку неразрешимой. Читателей, которых заинтересует математическая структура, лежащая в основе этой головоломки, мы отсылаем к классической работе W. W. Johnson, W. Е. Story. Notes on the 15-Pnzzle (American Journal of Mathematics, v. 2, 1879, p. 397), а также сборникам по занимательной математике. – M. Г.]

Остальные три задачи решаются следующим образом.

Вторая задача. К расположению, указанному в условии, можно прийти за 44 хода: 14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7, 4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14, 10, 6, 2, 1.

Третья задача. К расположению, приведенному в условии, удается прийти за 39 ходов: 14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.

Четвертая задача. Магический квадрат удается получить за 50 ходов: 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.

22. Мэри Энн была матерью больного мальчика.

23. Если Ноббс может засадить борозду картошкой за 40 мин, то 6 борозд он засадит за 240 мин. Поскольку он засыпает картошку землей с той же скоростью, то он в состоянии полностью обработать 6 борозд за 480 мин, или за 8 ч. Хоббс, работая с другими шестью бороздами, засеет их за 120 мин (одну борозду – за 20 мин), а засыплет за 360 мин, что в сумме даст 480 мин, или 8 ч. Таким образом, проработав 8 ч, каждый из них сделает одинаковый объем работы; поэтому каждому из них следует получить по 2 доллара 50 центов.

24. Тайна золотого кирпича объясняется тем обстоятельством, что истинные размеры нового прямоугольника составляют не 23 × 25, а 23 × 25 1/23, дюйма, а это как раз и приводит к прежней площади в 5/6 квадратных дюймов.

[Относительно разнообразных «геометрических исчезновений» такого рода см. мою книгу «Mathematics Magic and Mistery» (Dover. Publ., 1956). – M. Г.]

25. Согласно Евклиду, если две хорды пересекаются внутри круга, произведение длин частей одной из них равно произведению длин частей другой хорды. На рисунке поверхность воды образует хорду, а поскольку обе части этой хорды равны 21 дюйму, то их произведение равно 441.

Прямая, проходящая вдоль стебля лилии, образует другую пересекающуюся хорду, у которой над водой возвышается участок в 10 дюймов. Произведение частей этой хорды тоже обязано равняться 441. Поэтому, разделив 441 на 10, мы находим, что длина второго участка этой хорды составляет 44,1 дюйма. Прибавив к этому значению 10 дюймов, мы находим, что длина всей хорды от А до F (диаметр круга) равна 54,1 дюйма. Значит, радиус круга равен 27,05 дюйма. Если мы вычтем отсюда 10 дюймов, то и найдем длину части стебля, находящейся под водой, то есть глубину озера; она составляет 17,05 дюйма.

26. Если вы проведете диагональ у прямоугольного листа бумаги, а затем свернете из этого листа цилиндр, то диагональ превратится в спираль, обвивающую цилиндр. Другими словами, спираль, обвивающую колонну, можно рассматривать как гипотенузу некоего прямоугольного треугольника. В данном случае это треугольник, который четыре раза оборачивается вокруг колонны. Основание этого треугольника в 4 раза больше длины окружности цилиндра (или в 4π раз больше его диаметра), что, как можно подсчитать, превышает 300 футов на пренебрежимо малую величину. Но этой же величине равна и высота башни, что является просто совпадением, поскольку высота вовсе на участвует в решении данной задачи.

Нам не нужно также исследовать длину лестницы. Ибо если стержни отстоят друг от друга на расстояние в 1 фут, когда мы измеряем его вдоль основание прямоугольного треугольника, то на такое же расстояние они будут отстоять друг от друга и вдоль гипотенузы, какую бы длину она ни имела. Поскольку основание нашего прямоугольного треугольника имеет в длину 300 футов, то у винтовой лестницы 300 ступенек.

27. В этой головоломке о продаже цыплят каждому фермеру ясно, что корова оценивается в 25 цыплят, а лошадь – в 60. Наша пара должна была ко времени разговора приобрести 5 лошадей и 7 коров общей стоимостью в 475 цыплят; а поскольку у них как раз хватило цыплят на то, чтобы купить еще 7 коров, то у супругов оставалось 175 цыплят. Всего же на рынок они привезли 650 цыплят.

28. Существует 416 способов выполнить это задание. Наикратчайшим будет путь O – P, D – C, E – F, H – G, I – J, L – K, N– M и А – В; но поскольку существует миллион неподходящих нам путей, то такой малостью, как 416, можно смело пренебречь.

[Читатель не должен всерьез принимать слова Лойда относительно числа мостов, ему, разумеется, было известно, что Эйлер изучал случай семи мостов и эта знаменитая работа явилась первой публикацией по топологии. – М. Г.]

29. Девятнадцать полков уйдут на фронт, оставив в лагере пятый полк в составе полковника-шахматиста и его 1370 солдат. Кроме того, потребуется еще 18 недель, чтобы, увеличиваясь на 30 человек еженедельно, пятый полк достиг нужного состава в 1900 человек. Таким образом, наш шахматист, имея под началом 1900 человек, уйдет на фронт через 37 недель.

30. Математики и знатоки головоломок, коим ведомы тайны перестановок, подсчитали, что из четырех монет и брелока в виде орла можно сделать не менее 92 160 различных цепочек так, чтобы никакие две из них не оказались полностью одинаковыми.

Очевидно, что большую монету можно зацепить за любую из пяти дырок и повернуть к нам любой стороной, что дает 10 комбинаций. Поскольку следующая монета может быть соединена восемью способами, то общее число комбинаций из двух первых монет равно 80. Если это умножить на 6 комбинаций следующей по размеру монеты, на 4 комбинации последней монеты и на 2 положения орла, то, располагая монеты, как показано на рисунке, по уменьшающимся размерам, мы получим 3840 комбинаций. Поскольку мы можем переставить между собой 4 монеты 24 способами, то общее число всевозможных комбинаций равно, как и утверждалось, 92 160.

31. Гуляющие пары смогут переправиться за 17 ездок. Пусть А, В, С, D – мужчины, а а, b, с, d – девушки. Все они первоначально находятся на одном берегу. Переправляться им следует по следующей схеме:

[Существуют и другие способы решения данной задачи за 17 ходов; но, как объясняет Г. Э. Дьюдени, это решение содержит наименьшее число «посадок» и «высадок». Если имеются три пары, то остров не является необходимым, однако в случае четырех пар решить задачу при заданных условиях без острова невозможно. – М. Г.]

32. Возраст первой девочки составлял 638 дней, а мальчику было вдвое больше, то есть 1276 дней. На следующий день самой юной девочке было 639 дней, а ее вновь пришедшей в класс сестре – 1915 дней, что в сумме составляет 2554 дня и ровно вдвое превышает возраст мальчика, равный 1277 дням. На следующий день мальчик, которому было уже 1278 дней, привел своего старшего брата в возрасте 3834 дней, так что их суммарный возраст составил 5112 дней; а это вдвое больше возраста девочек, равного уже 640 + 1916 = 2556 дням.

На другой день возраст каждой девочки увеличился на 1, что в сумме дает 2558 дней, а вместе со старшей сестрой, которой было 7670 дней, их суммарный возраст составил 10228 дней, что ровно вдвое больше возраста мальчиков, достигшего в этот день 5114 дней.

Таким образом, мы подошли к 7670 дням. Юная леди достигла 21-летнего возраста; 21 х 365 = 7665 плюс 4 дня, добавленные на високосные годы, да еще один день, который явился ее 21-м днем рождения.

Читатели, которые полагали, что возраст мальчика равнялся 31/2 годам, проглядели то обстоятельство, что возраст учеников увеличивался с каждым днем.

33. Существует только один способ выполнить данное задание за 14 поворотов, хотя с еще одним лишним поворотом таких способов будет тысяча и один.

34. Объединенная «тяга» четырех тучных парней в точности равна тяге пяти пышных сестер. Поскольку на втором рисунке показано, что пара тощих близнецов равна по силе одному тучному парню и двум пышным девицам, мы можем упростить задачу, заменив на третьем рисунке двух тощих близнецов их «тяговым эквивалентом», то есть поставив вместо них толстого парня и двух пышных девиц.

Теперь у нас пять пышных сестер и один тучный парень противостоят одной пышной девице и четырем тучным парням. Мы можем удалить четырех тучных парней с одной и пять пышных девиц с другой стороны каната, ибо, согласно первому рисунку, их силы равны. При этом слева останется один тучный парень, а справа – одна пышная девица. Таким образом, выиграет левая команда, поскольку ее тяговая сила на 1/5 силы парня больше, чем у правой команды,

35. Можно представить себе, что объем, заключенный внутри мяча, разбит на огромное число узеньких пирамид, все вершины которых расположены в центре мяча, а основания лежат на его поверхности. Мы знаем, что объем пирамиды равен произведению площади ее основания на 1/3 высоты. Следовательно, объем шара равен сумме площадей оснований пирамид, то есть сферы, умноженной на 1/3постоянной высоты (радиуса). Поскольку объем шара численно равен площади сферы, отсюда следует, что 1/3 радиуса равна 1. Значит, радиус футбольного мяча равен 3, а его диаметр – 6 дюймам.

36. Озеро содержало ровно 11 акров; ответ «около 11 акров» не достаточно правилен. Точный ответ получается с помощью известной теоремы Пифагора, утверждающей, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

На рисунке у треугольника ABD длина катета AD равна 9, а длина BD – 17, поскольку 9 × 9 + 17 × 17 = 370, что составляет площадь наибольшего поля. АЕС – прямоугольный треугольник, а равенство 52 + 72 = 74 показывает, что квадрат со стороной АС имеет площадь в 74 акра. CBF – также прямоугольный треугольник. Складывая квадраты его катетов, мы находим, что квадратное поле со стороной ВС имеет площадь, разную 42 + 102 =116 акрам. Площадь нашего исходного треугольника ABD, очевидно, составляет половину от 9 × 17, то есть равна 76,5 акра. Поскольку суммарная площадь прямоугольника DECF и двух прямоугольных треугольников АЕС и CBF равна, как легко подсчитать, 65,5 акра, то, вычитая эту величину из 76,5, мы находим, что площадь треугольного озера составляет в точности 11 акров.

37. Решения показаны на рисунках.

38. После замужества три невесты стали носить имена: Китти Браун, Нелли Джонс и Минни Робинсон, Китти весила 122, Нелли – 132, а Минни – 142 фунта.

39. Каждый камень в сережках весил 5 каратов, так что стоил он 2500 долларов, а цена обоих камней составляла 5000 долларов. Вес камней различной величины составил соответственно 1 карат (100 долларов) и 7 каратов (4900 долларов), а их суммарная стоимость также равна 5000 долларов.

40. В наилучшем решении требуется провести всего лишь два прямых разреза и перевернуть одну часть другой стороной кверху – прием, обычный в столярном деле, о котором не подумал ряд почитателей Евклида.

Не играет роли, если угол, образованный отрезком BD со стороной доски, окажется более или менее острым. Нужно просто провести прямую из середины левой стороны доски Е в середину BD. Затем следует опустить перпендикуляр из угла G на ЕС. Перевернув теперь часть А другой стороной кверху, можно сложить квадрат, как показано на рисунке.

41.

42. Разговор происходил в 9 ч 36 мин утра. Одна четверть времени, прошедшего с полуночи до момента разговора, равна 2 ч 24 мин, а половина времени от момента разговора до полуночи составляет 7 ч 12 мин; в сумме как раз и получается 9 ч 36 мин.

Если бы Мак-Гуир не пожелал Клэнси доброго утра (это указывает на то, что разговор происходил до полудня), то правильным ответом могло быть в равной мере и 7 ч. 12 мин. вечера.

43. Если минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, то они сливаются 11 раз в течение каждого 12-часового периода. Приняв одиннадцатую часть 12 ч за нашу основную константу, мы находим, что слияние стрелок будет происходить через каждые 65 5/11 мин, или через каждые 65 мин 27 3/11 с. Следовательно, в следующий раз стрелки сольются в 1 ч 5 мин и 27 3/11 с.

Ниже приведены моменты 11 слияний стрелок в течение каждого 12-часового периода.

12 ч 00 мин 00 с

1 ч 05 мин 27 3/11 с

2 ч 10 мин 54 6/11 с

3 ч 16 мин 21 9/11 с

4 ч 21 мин 49 1/11 с

5 ч 27 мин 16 4/11 с

6 ч 32 мин 43 7/11 с

7 ч 38 мин 10 10/11 с

8 ч 43 мин 38 2/11 с

9 ч 49 мин 05 5/11 с

10 ч 54 мин 32 8/11 с

[Теперь, когда вы освоились с техникой решения задач такого типа, вы можете попытаться решить следующую, по-видимому, более трудную головоломку. Предположим, что у часов – три стрелки, слившиеся в полдень. Третья стрелка, конечно, секундная. Когда в следующий раз сольются три стрелки?

На самом деле с помощью приведенной выше таблицы и некоторой проницательности задача решается гораздо легче, чем может показаться на первый взгляд. – М.Г.]

44. Черные бумажные кусочки – это не более чем ловушка. Их следует сложить таким образом, чтобы в центре получилась маленькая белая лошадь, как показано на рисунке.

Именно этот трюк с белой апингтонской лошадью сделал популярным выражение: «О, но это же лошадь другой масти!»

45. Всего было три полностью слепых змея и три змея полностью зрячих.

46. Существует много простых способов выполнить задание за 15–18 ходов, но план, приведенный на рисунке, где мы возвращаемся в исходную точку через 14 ходов, кажется наилучшим возможным ответом.

47. Решая задачу с ожерельем, всякий ювелир, так же как и 99 человек из 100, предложит распилить маленькие звенья на концах всех частей, что снизит цену всей работы до 1 доллара 80 центов. Однако правильным будет распилить все 10 звеньев в тех двух маленьких кусочках, которые состоят из пяти звеньев и содержат по 3 маленьких и 2 больших звена. Этими десятью звеньями можно соединить остальные части в замкнутое ожерелье. Стоимость всей работы окажется тогда равной 1 доллару 70 центам, что совпадает с наименьшим возможным ответом.

48. В головоломке с пастбищем необходимо учесть ежедневный прирост травы. Нам известно, что корова ест столько же, сколько коза и гусь. Следовательно, если корова и коза съедают всю траву да еще 45-дневный прирост за 45 дней, то ясно, что две козы и гусь съедят ту же траву за то же самое время. Поскольку коза и гусь съедают всю траву за вдвое большее время, мы видим, что одна коза съест всю траву за 90 дней и что гусь может питаться только приростом травы. Следовательно, если корова съедает 1/60 исходного запаса травы в день, а гусь 1/90, то вместе они съедят 1/36.Таким образом, корова и коза съедят первоначальный запас травы за 36 дней, а гусь в то же самое время позаботится об уничтожении ее прироста.

49. Ответ показан на рисунке.

50. Миссис О'Тул весит 135, ребенок – 25, а собака – 10 фунтов.

51. Ответ ясен из рисунка.

52. Старую задачу, где требуется отмерить четыре кварты 5– и 3-квартовым кувшинами, можно решить за 6 операций:

1) наполните большой кувшин;

2) наполните маленький кувшин из большого, оставив в большом кувшине 2 кварты;

3) вылейте содержимое малого кувшина назад в бочку;

4) перелейте 2 кварты в маленький кувшин;

5) наполните большой кувшин из бочки;

6) наполните маленький кувшин из большого, причем в большом кувшине останется 4 кварты.

Что касается второй задачи, то с помощью элементарной алгебры мы находим, что при заданных ценах 26 галлонов «Утренней росы» должны содержать 24 8/17 галлона яблочной водки и 1 9/17 галлона сидра на общую сумму в 21,06 доллара. Чтобы получить такую смесь наискорейшим образом, необходимо предпринять следующее:

1) наполнить обе меры яблочной водкой;

2) вылить водку из бочки в бочонок покупателя;

3) вылить содержимое обеих мер обратно в бочку для яблочной водки;

4) перелить 2 галлона из бочонка в бочку с водкой;

5) перелить 2 галлона сидра из бочки с сидром в бочонок;

6) наполнить обе меры смесью из бочонка; при этом смесь, оставшаяся в бочонке, будет содержать 1 9/17 галлона сидра;

7) наполнить бочонок из бочки с яблочной водкой.

53. Существует бесконечно много пар чисел, сумма которых совпадает с их произведением. Если одно из этих чисел равно а, то второе получается с помощью деления а на а – 1. Например, 3 х 1 1/2 = 4 1/2 и 3 + + 1 1/2 = 4 1/2.

54. В оригинальной китайской головоломке использовалось предложение из 12 слов, ибо в китайском языке каждый иероглиф обозначает не букву, а целое слово.

Счастливым словом в английском языке оказалось interpreting (перевод); его удается перевести в «горизонтальное состояние» безо всяких хлопот за 12 ходов.

55. Лучший игрок утверждал, что поскольку он опередил игрока № 4, то тем самым он и не проиграл. Однако игрок № 4, обойдя игрока № 3, считал, что платить должен не он. Игрок же № 3 настаивал на том, что вместе с игроком № 2 они побили игрока № 1, и, следовательно, согласно предварительной договоренности, их нельзя назвать проигравшими.

Существуют и другие обстоятельства, запутывающие все дело. Поскольку игрок № 4 пришел со стороны, он не был ограничен никакими частными соглашениями и, забив 4 шара против 2 шаров игрока № 3, надел шляпу и ушел домой. Игрок же № 1 должен был выполнять предварительное соглашение; и когда он забил 5 шаров против 6 шаров его двух соперников, то поражение, которое при обычных условиях не миновало бы игрока № 3, перешло на игрока № 1. Поэтому платить следовало игроку № 1.

Однако есть и другая точка зрения, противоположная первой. Игроки № 2 и № 3 играли против игрока № 1 при специальном соглашении. Но поскольку игрок № 1 опередил игрока № 4, с него снимается всякая ответственность. А так как игроки № 2, № 3 и № 4 играли на равных, без всякого дополнительного соглашения, то игрок № 3 проиграл.

[Эта задача, очевидно, носит семантический характер и не имеет однозначного ответа. Как только в игру вступил четвертый игрок, следовало непременно пересмотреть предварительное соглашение относительно того, кого считать «проигравшим». Поскольку такого соглашения не было, при данных обстоятельствах этот термин не имеет точного смысла. Но подобно старому вопросу о том, обходит ли охотник «вокруг» белки, сидящей на дереве, бильярдная задача Лойда способна вызвать забавные споры. – М. Г.]

56. Пятьдесят очков можно выбить, поразив куклы с номерами 25, 6 и 19.

57. При живом Кейси число участников делилось на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Взяв наименьшее общее кратное этих чисел, 2520, и вычитая из него 1, мы получим число участников без Кейси. Этот ответ был бы хорош, если бы не ловушка, содержащаяся в словах условия «поскольку шеренги из 11 человек не подходили». Но раз 2519 делится на 11, мы должны взять следующее по величине общее кратное указанных чисел, то есть 5040, и вычесть из него 1. В результате получится число 5039, которое не делится на 11. Следующее по величине общее кратное превосходит 7000 – значит, правильным ответом будет 5039 человек.

58. Тремя квадратными салфетками со стороной в 1 фут (12 дюймов) можно покрыть квадратный стол со стороной в 15 1/4дюйма. Поместите одну из салфеток в угол стола так, чтобы ее стороны совместились со сторонами столешницы, тогда оставшуюся часть можно легко покрыть двумя другими салфетками.

59. Ответ ясен из рисунка.

60. Если яблоки продаются по 1/3 пенни и 1/2 пенни за штуку, то легко показать, что средняя цена составляет 5/6 пенни за два яблока, или 25/60 пенни за яблоко. Поскольку яблоки продавались по цене 5 штук за 2 пенса, то продажная цена одного яблока составляла 2/5 = 24/60 пенни. Значит, на каждом яблоке терялось по 1/60пенни.

Известно, что общий убыток составил 7 пенсов. Следовательно, умножив 60 на 7, мы узнаем, что всего было 420 яблок, из которых каждая торговка владела 210 яблоками. Миссис Джонс за свои 210 яблок должна была выручить 105 пенсов, но поскольку она получила половину общей выручки (то есть 84 пенса), то ее убыток составил 21 пенс. Миссис Смит, которая должна была выручить за свои яблоки 70 пенсов, в действительности получила 84 пенса.

61. Вероятность выигрыша для гиппопотама составляет 1/3, а для носорога – 2/5. Поскольку в сумме три вероятности выигрыша должны равняться 1, мы делаем вывод, что для жирафа вероятность выигрыша составляет 4/15, то есть его шансы проиграть равны 11 к 4.

Что касается второй задачи, то жираф может опередить гиппопотама на 23/64 мили. Допустим, что жираф пробегает 2 мили в час; тогда носорог за то же самое время пробежит 1 7/8 мили, то есть он преодолевает 2 мили за 16/15 часа. За то время, когда носорог пробежит эти 2 мили, гиппопотам преодолевает 1 3/4 мили, то есть он бежит со скоростью 105/64 мили в час. Поскольку 2 мили – это то же самое, что и 128/64 мили, нам остается вычесть отсюда 105/64 и получить ответ. Если мы положим скорость жирафа равной другой величине, то на окончательный ответ это, разумеется, не повлияет.

62. 5 двухцентовых марок, 50 одноцентовых и 8 пятицентовых марок вместе стоят ровно 1 доллар.

63. Удивительным образом искомое число акров совпадает с числом квадратных футов в 1 акре, а именно оно равно 43 560. Такое число жердей в три ряда огораживает квадратное поле в 43 560 акров.

64. Существуют один-два способа, позволяющие варьировать ответ, но основной принцип, который приводит к нужному результату, остается неизменным.

Вначале игрок проигрывает 7 однофранковых ставок подряд, затем проигрывает 3 семифранковые ставки и выигрывает 4 семифранковые ставки, так что его суммарный проигрыш к этому моменту равен выигрышу.

Далее он дважды выигрывает по 49 франков, проигрывает 5 раз ту же сумму, а затем 7 раз выигрывает по 343 франка.

Теперь он 3 раза проигрывает и 4 раза выигрывает по 2401 франку, а потом дважды выигрывает и 5 раз проигрывает по 16 807 франков. Наконец, он выигрывает все 7 ставок по 117649 франков. Всего он выигрывает 869 288 франков и проигрывает 91 511 франков, так что чистый выигрыш составляет ровно 777 777 франков.

65. Секрет состоит в том, что первое яйцо нужно поместить точно в центр салфетки. Тогда, что бы ни делал ваш противник, точно повторяйте его ходы с противоположной стороны на прямой, проходящей через яйцо № 1. Цифры на рисунке обозначают номер соответствующего хода, помогая понять начало партии.

Просто положив яйцо в центр стола, вы рискуете проиграть, ибо противник может положить свое яйцо в непосредственной близости от вашего, как показано на рисунке, а из-за неправильной формы яйца вам не удастся в точности повторить его ход.

Следовательно, единственный способ выиграть наверняка состоит в том, чтобы, подобно великому мореплавателю, надбив конец яйца, поставить его вертикально.

66. Можно смело сказать, что крестьяне, так же как и сообразительные любители головоломок, некоторое время поупражнялись перед зеркалом, прежде чем добрались до ответа: 9 овец и 9 коз. Произведение этих чисел, 81, будучи отраженным в зеркале, превращается в 18, что как раз и совпадает с общим числом животных в стаде.

67. Первый участок пути яхта прошла за 80, второй – за 90 и последний участок – за 160 минут, что в сумме составляет 5 1/2 часа.

[Ответ можно получить алгебраически, если разбить весь путь на 12 равных частей и первые 4 части обозначить через х, средние 4 части – через х + 10 и последние 4 части – через у. Наши данные (выраженные в минутах) позволят теперь выписать следующие два уравнения, из которых уже легко определить х и у.

х/4 + x + 10 + y = 270,

у/4 + х + 10 + х = 210.

68. Силы Гарольда располагались 13 квадратами, каждая сторона которых имела по 180 человек, что в сумме составляло 421 200 воинов. После того как в их ряды встал и сам Гарольд, воинов стало 421 201, так что они смогли расположиться в виде большого квадрата со стороной в 649 человек.

[Позаимствовав эту головоломку у Генри Э. Дьюдени, Лойд подверг задачу существенным изменениям, сделав ее более легкой и исторически правдоподобной. У Дьюдени речь шла о 61 квадрате вместо 13. Прежде чем вы попытаетесь решить головоломку, позвольте мне заметить, что в этом случае наименьшее возможное число людей составляет 3 119 882 982 860 264 400 (каждая сторона квадрата состоит из 226 153 980 человек). Вместе с Гарольдом они могли бы образовать квадрат со стороной в 1 766 319 049 человек. Общая задача, говорит Дьюдени, частным случаем которой является данная головоломка, была поставлена Ферма, хотя соответствующее уравнение известно как уравнение Пелля. – М. Г.]

69. Читатели, которые написали «Здесь нет никакого пути», решили головоломку, ибо эта фраза и определяет тот путь, при котором все марсианские города посещаются по одному разу!

70. У куба с ребром в 17,299 дюйма и у куба с ребром в 25,469 дюйма суммарный объем (21 697,794418608 кубического дюйма) в точности равен суммарному объему 22 кубов с ребром в 9,954 дюйма каждый. Следовательно, зеленый и черный чай были смешаны в пропорции (17 299)3 к (25 469)3

71. В задаче нужно найти число, которое, будучи возведенным в куб, даст точный квадрат. Так происходит, оказывается, с любым числом, которое само является квадратом. Наименьший квадрат (если не считать 1) равен 4, так что монумент мог содержать 64 малых куба (4 × 4 × 4) и стоять в центре квадрата 8 × 8. Конечно, это не согласуется с пропорциями, приведенными на рисунке. Поэтому мы испробуем следующий квадрат, 9, что приводит к монументу из 729 кубов, стоящему на квадрате 27 × 27. Это и есть правильный ответ, ибо только он согласуется с рисунком.

72. Ребро большого ящика должно иметь в длину 13,856 дюйма, а ребро маленького ящика – 6,928 дюйма. Суммарная длина ящиков составляет 20,784 дюйма, то есть 1,732 фута, так что если брать по 5 долларов за погонный фут, то цена составит 8,66 доллара. Оба ящика вместе содержат чуть больше 2992 кубических дюймов, то есть 1,732 кубического фута. При стоимости провоза в 5 долларов за кубический фут цена составит 8,66 доллара.

73. Эту маленькую перестановку четырех пустых и четырех полных бокалов легко запомнить: один длинный ход, два коротких, затем снова один длинный ход. Сначала передвиньте бокалы 2 и 3 на дальний конец, затем заполните образовавшуюся брешь бокалами 5 и 6. Заполните новую брешь бокалами 8 и 2 и, наконец, переместите бокалы 1 и 5.

74. Тому, кто не сумел выбраться из бесконечного водоворота чисел, мы скажем, что кратчайший выход из леса совершается с помощью любопытного движения туда и обратно вдоль единственной диагонали.

Ходы таковы: в направлении ЮЗ – на 4, в направлении ЮЗ – на 6, в направлении СВ – на 6, в направлении СВ – на 2, в направлении СВ – на 5, в направлении ЮЗ – на 4, в направлении ЮЗ – на 4, в направлении ЮЗ – на 4 и затем краткий рывок на СЗ к свободе!

75. Все участники пикника сумеют переправиться через реку за 17 рейсов:

1) переправляются мистер и миссис Синч;

2) мистер Синч возвращается один обратно;

3) мистер Синч берет с собой вторую леди;

4) мистер Синч возвращается со своей женой;

5) мистер Синч берет с собой еще одну леди;

6) мистер Синч возвращается один;

7) два джентльмена переправляются на другой берег;

8) возвращается джентльмен с женой;

9) переправляются мистер и миссис Синч;

10) возвращается джентльмен с женой;

11) два джентльмена переправляются на другой берег;

12) мистер Синч возвращается один;

13) мистер Синч перевозит леди;

14) мистер и миссис Синч возвращаются;

15) мистер Синч перевозит леди;

16) мистер Синч возвращается один;

17) мистер Синч переправляется вместе с женой.

76. На приведенном рисунке показано, каким образом квадратное одеяло 13 х 13 можно разрезать на II малых квадратов – наименьшее число квадратных лоскутов, на которые удается разрезать одеяло, не нарушая его «клетчатую структуру». Эта головоломка на самом деле оказалась трудной, и те, кому удалось найти правильный ответ, заметили, вероятно, что здесь применяется некий математический принцип, имеющий отношение к квадратным корням.

77. Игру можно закончить за 26 ударов, используя прогон в 150 ярдов и подход в 125 ярдов:

150 ярдов: 1 прогон;

300 ярдов: 2 прогона;

250 ярдов: 2 подхода;

325 ярдов: 3 прогона и 1 обратный подход;

275 ярдов: 1 прогон и 1 подход;

350 ярдов: 4 подхода и 1 обратный прогон;

225 ярдов: 3 подхода и 1 обратный прогон;

400 ярдов: 1 прогон и 2 подхода;

425 ярдов: 2 прогона и 1 подход.

78. Ответ ясен из рисунка.

79. Есть много чисто математических способов решения этой задачи, но ради простоты я посоветовал бы вычесть половину длины диагонали из 1/4 периметра флага. Периметр составляет ровно 25 футов, а длина диагонали равна 9,01388. Значит, мы должны из 6,25 вычесть 4,50694, получив 1,74306 фута – искомую толщину креста.

80. Если перекупщик, взвешивая шерсть, на каждый фунт получил лишнюю унцию, то в его «фунте» содержалось 17 унций. Когда же он продавал шерсть, то в его новом «фунте» оказывалось 15 унций, а излишек шерсти составлял 2 унции. Если эти две лишние унции продавались по той же самой цене, причем дополнительный доход от такой жульнической операции составил 25 долларов, то ясно, что эти 25 долларов относятся ко всей сумме, полученной от продажи шерсти, по 15 унций на 1 фунт, как 2 к 15. Поскольку на 1/15 приходится 12,5 доллара, то вся сумма, или 15/15, составляет 187,5 доллара. Именно такую сумму заплатил бы перекупщик, если бы он не получал никаких комиссионных.

Однако мы находим, что, взимая по 2 % с продавца и торговца, он получил соответственно 3,75 и 4,25 доллара, что составило 8 долларов комиссионных в дополнение к 25 долларам жульнического дохода. Далее, если бы он действовал честно, то платил бы за 17 унций, что дало бы (если говорить точно) в сумме 199,21875 доллара. Следовательно, его комиссионные на всей сделке составили бы только 7,96875 доллара, так что из-за своего жульничества он получил дополнительно 3 1/8 цента. Поскольку было сказано, что с помощью жульничества он получил лишних ровно 25 долларов, то мы должны уменьшить сумму в 187,5 доллара, чтобы жульнический доход составил точно 25 долларов.

Далее, поскольку 3 1/8 цента составляют ровно 1/801 часть от 25,03125 доллара, то мы должны уменьшить 187,5 доллара на 1/801 часть этой суммы, что даст 187,27 доллара. Поэтому он получил жульнический доход в 25 долларов и 0,0006 цента. Ради еще большей точности я бы предположил, что продавцу шерсти перекупщик заплатил 187,2659176029973125 доллара минус 2 % комиссионных, или 3,745 доллара.

81. Раскусить этот старый орешек не удастся, если не знать, что в Англии и США для измерения веса большинства товаров используется коммерческая система мер, тогда как при взвешивании драгоценных металлов там пользуются тройской системой. Поэтому вес перьев определяется по первой, а вес золота – по второй системе.

Иногда считают, что в обеих системах фунт весит одинаково, но в коммерческой системе он делится на 16 унций, а в тройской – на 12, а иногда полагают, что при переходе от одной системы к другой не меняется унция, зато фунт в коммерческой системе весит 16 унций, а в тройской – только 12. Ни то, ни другое не верно. Истина состоит в том, что 1 фунт в коммерческой системе весит 7000 гранов, а в тройской – только 5760 гранов.

Таким образом, шесть дюжин дюжин фунтов перьев в коммерческой системе весят 864 фунта, а полдюжины дюжин, или 72 фунта, в тройской системе при переводе в коммерческую систему составляют лишь 59 фунтов 3 унции и 407,5 грана. Поскольку 864 фунта равны 863 фунтам 15 унциям и 437,5 грана, то, вычитая отсюда 59 фунтов 3 унции и 407,5 грана, мы получим 804 фунта 12 унций и 30 гранов. Так выглядит ответ в коммерческой системе мер.

82. Сварливые соседи проложили свои дорожки, как показано на рисунке.

83. У честного молочника вначале было 5 галлонов молока в бидоне № 2 и 11 галлонов воды в бидоне № 1. В результате проведенных манипуляций в бидоне № 1 оказалось 6 галлонов воды и 2 галлона молока, а в бидоне № 2–5 галлонов воды и 3 галлона молока.

84. В первый год стенографистка выгадывает 12,5 доллара, но затем неуклонно теряет некую сумму. Иногда любители головоломок попадают в ловушку, добавляя всю прибавку к текущей сумме в конце каждых шести месяцев, в то время как годовая зарплата, возрастая каждый раз на 25 долларов, дает каждые 6 месяцев прибавку в 12,5 доллара. Разумеется, при ежегодном увеличении зарплаты на 100 долларов за 5 лет стенографистка получила бы 600 + 700 + 800 + 900 + 1000 = 4000 долларов. Вместо этого, согласно своему предложению, она за то же время получит на 437,5 доллара меньше, что видно из следующей таблицы:

85. Матери – 29 лет и 2 месяца, Томми – 5 лет и 10 месяцев, а его отцу – 35 лет.

86. Три дублета таковы: дважды стрелок попал в кольцо 25, дважды в кольцо 20 и дважды в кольцо 3.

87. Вот простой способ решения задачи, основанный на здравом смысле. Воспользовавшись движением вспять, применяемым при решении ряда головоломок, следует проанализировать последнюю выплату, определив, от какой суммы 1000 долларов составляют 105 %. Разделив 1000 на 105, мы устанавливаем, что последняя выплата состоит из 952,3809 доллара стоимости плюс 5 %.

Двигаясь назад, мы выясняем, от какой суммы 1952,3809 доллара составляют 105 %, и получаем 1859,4103 доллара. Добавляя новую выплату в 1000 долларов, мы получим, что предыдущая сумма составляла 2723,2479 доллара, а новое деление приводит к 3545,9503 доллара. Еще раз добавив 1000 долларов и вновь разделив их на 105, мы приходим к сумме 4329,4764 доллара, которая является исходной для вычисления процентов после первой выплаты в 1000 долларов. Таким образом, истинная стоимость покупки составляла 5329,4764 доллара, поскольку, начисляя от нее по 5 % годовых, мы и получим 6 выплат по 1000 долларов, как и оговаривалось в соглашении.

88. Задание можно выполнить за 19 шагов следующим образом: поднимитесь на перекладину 1, затем спуститесь снова на землю, а далее совершайте последовательно шаги на перекладине 1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 7, 8, 9, 8, 9.

89. На рисунке к условию задачи изображены два грабителя, но не требуется быть Шерлоком Холмсом, чтобы понять, что грабителей было трое. Ведь требовалось разделить 21 пинту вина, 12 больших бутылок и 12 маленьких, а только 3 являются общим делителем этих чисел.

Один грабитель берет 3 полные кварты, 1 пустую кварту, 1 полную пинту и 3 пустые пинты. Каждый из двух оставшихся воров забирает 2 полные и 2 пустые кварты, 3 полные и 1 пустую пинты. Таким образом, каждый грабитель получает по 3,5 кварты вина и по 4 большие и 4 малые бутылки.

90. Сложите разницы в голосах с общим числом голосов и разделите на число кандидатов. Результат будет равен числу голосов, полученных победителем, откуда очевидным образом с помощью вычитания получатся и остальные числа. Таким образом, за кандидатов было подано соответственно 1336, 1314, 1306 и 1263 голоса.

91. Эта игра-головоломка дает широкий простор для неожиданных сюрпризов и красивых комбинаций. Первый игрок может выиграть 7 ячеек, соединив G с Н. Если второй игрок соединит J с К, топервый выиграет две ячейки, соединив К с О и Р с L, а затем сделает выжидающий ход от L к Я, вместо того чтобы выиграть еще 2 ячейки. Другой игрок выигрывает теперь 2 ячейки, соединив G с К, после чего он вынужден сделать еще один ход, который приносит первому игроку выигрыш остальных 5 ячеек.

Если после того, как первый игрок пойдет G – H, второй сделает ход D – Н, то первый ходит С – G, B – F, Е – F, a затем делает выжидающий ход M – N, врезультате чего ему обеспечен выигрыш еще четырех ячеек. Именно искусная тактика, когда жертвуют двумя ячейками, чтобы выиграть больше, придает особую пикантность этой игре.

[Эта головоломка, известная американским школьникам как «Точки и квадраты», являет собой самый простой пример топологической игры. Разумеется, в нее можно играть на прямоугольных полях различных размеров и форм. Квадратное поле с девятью точками проанализировать легко, но 16-точечная доска уже достаточно сложна. Мне не известны публикации, где бы анализировалась выигрышная стратегия первого или второго игрока (игра не может закончиться вничью, поскольку число нечетно).

В 1951 г. Ричард Хейнс придумал интересный трехмерный вариант этой игры, названный им «(Q-биклы». В эту игру можно играть также на двумерной решетке с треугольными или шестиугольными ячейками. – М. Г.]

92. Геертринг купила 1 поросенка за 1 крону, а ее муж, которым обязан быть Корнелиус, купил 8 свиней по 8 крон каждая. Катрюн купила 9 свиней по 9 крон, а ее муж Клаас купил 12 свиней по 12 крон. Анна купила 31 борова по 31 кроне, а ее славный муж Хендрик купил 32 свиньи по 32 кроны каждая.

93. Чтобы решить задачу с минимальным числом частей, вначале отрежьте треугольники 7 и 2 и заполните ими выемку в центре. Сделав затем зигзагообразный разрез, передвиньте часть 4 на одну ступеньку вниз, в результате чего у вас получится правильный квадрат.

[По иронии судьбы, разделывая под орех «сообразительного Алека», С. Лойд сам допустил грубую ошибку. Как это подробно объяснил Генри Э. Дьюдени, только прямоугольники определенных пропорций можно преобразовать в квадрат подобным ступенчатым способом.

В данном же случае стороны прямоугольника находятся в отношении 3:4, что не позволяет совершить нужное ступенчатое преобразование. Аккуратное решение с пятью частями дал Г. Э. Дьюдени. Решения с четырьмя частями до сих пор не было найдено.

Даже старая задача Лойда, в которой лист бумаги, имеющий форму митры, требуется разрезать на четыре части одинаковых размеров и формы, решается лишь при неудовлетворительном допущении, что части, обозначенные одинаковыми буквами, соединяются в уголках и, следовательно, могут рассматриваться как одна часть! Лойд опубликовал также более приемлемое решение, содержащее 8 частей. – М. Г.]

94. Задача решается с помощью ломаной из 14 звеньев, показанной на рисунке.

95. 1. Паровоз П (правый) отгоняет свои вагоны далеко вправо.

2. Паровоз П заходит в тупик.

3. Паровоз Л (левый) проезжает вместе с тремя вагонами вправо.

4. Паровоз П возвращается на основной путь.

5. Паровоз П перегоняет влево от тупика три вагона.

6. Паровоз Л заходит в тупик.

7. Паровоз П движется с вагонами вправо.

8. Паровоз П перегоняет 7 вагонов влево»

9. Паровоз Л возвращается на основной путь.

10. Паровоз Л возвращается к поезду.

11. Паровоз Л тянет 5 вагонов вправо от тупика.

12. Паровоз Л загоняет последний вагон в тупик.

13. Паровоз Л тянет 4 вагона вправо.

14. Паровоз Л толкает 4 вагона влево.

15. Паровоз Л один отъезжает вправо.

16. Паровоз Л возвращается к тупику.

17. Паровоз Л выводит вагон из тупика на основной путь.

18. Паровоз Л возвращается влево.

19. Паровоз Л идет вперед с шестью вагонами.

20. Паровоз Л загоняет задний вагон в тупик.

21. Паровоз Л движется вправо с пятью вагонами.

22. Паровоз Л отгоняет 5 вагонов влево.

23. Паровоз Л движется вправо с одним вагоном.

24. Паровоз Л возвращается к тупику.

25. Паровоз Л движется вправо с двумя вагонами.

26. Паровоз Л возвращается влево от тупика.

27. Паровоз Л тянет 7 вагонов вправо от тупика.

28. Паровоз Л загоняет последний вагон в тупик.

29. Паровоз Л движется вправо с шестью вагонами.

30. Поезд П движется вправо.

31. Поезд П забирает свои 4 вагона и уезжает.

32. Поезд Л движется к тупику.

33. Поезд Л забирает свой третий вагон и бодро движется своим путем.

96. Задачу можно решить, изменив положение двух уток, как показано на рисунке. При этом получается 5 рядов по 4 утки в каждом, а в ягдташе оказывается одна утка.

97. Миссис Джонс была дочерью Смита и племянницей Брауна, так что всего было 4 человека. Вклад составил 100 долларов, израсходовано было 92 доллара, а каждый получил в конце месяца по 2 доллара.

98. Странные часы следующий раз покажут правильное время в 7 ч 5 мин 27 3/11 с.

[Лойд не объясняет, как он пришел к этому ответу, но мы не можем удержаться от того, чтобы не указать, сколь простой становится эта задача после того, как вы решите задачу 43. Допустим, что у заколдованных часов четыре стрелки: одна пара их движется правильно, а скорости движения в другой паре переставлены. В переставленной паре стрелки покажут правильное время только тогда, когда они совпадут с соответствующими стрелками правильной пары – часовая с часовой, а минутная с минутной. Поскольку одна пара стрелок переставлена, мы можем рассматривать две стрелки, показывающие 12, как часовую и минутную стрелки и поставить вопрос, когда эти две стрелки совпадут в следующий раз. А в этом как раз и состоял вопрос задачи 43, где ответом было 12 ч 45 мин 27 3/11 с Однако в данном случае это дает нам положение лишь заколдованной минутной стрелки.

Теперь обратим внимание на пару часовых стрелок, указывающих на 6. Ситуация здесь будет аналогичной. Поскольку одна из этих стрелок движется как минутная, две стрелки встретятся на таком же расстоянии после 6, на каком предыдущая пара встречается после 12. Отсюда и получается приведенный выше ответ. – М. Г.]

99.Когда Смит впервые встретился со своей будущей женой, он был втрое старше ее, но в день, о котором шла речь, 29 февраля 1896 года, ей было столько же лет, сколько ему было в момент их первой встречи. Значит, в момент первой встречи Тому было 15 лет, а его возлюбленной – 5, так что 29 февраля 1896 года ей должно быть 15 лет, а ему – 25. Следовательно, когда ей исполнится 45 лет, ему будет 55, что в сумме как раз и составит 100 лет.

Однако кое-кто, определив, что Тому 29 февраля 1896 года было 25 лет, впал в ту же ошибку, что и сам Том, утверждая, что в следующем високосном 1900 году ему исполнится 29 лет. На самом же деле ввиду одной из особенностей календаря 1900 год не високосный. Следующим високосным оказывается 1904 год, когда Тому исполняется 33 года.

100. Ответ ясен из рисунка.

101. Полумесяц можно разрезать на 21 кусочек.

[Известно, что в случае круга с помощью п прямых разрезов можно получить максимум (п2 + п)/2 + 1 частей. Однако в случае полумесяца это число возрастает до (п2+ 3п)/2+ 1. – М. Г.]

102. Ответ показан на рисунке.

103. Для того чтобы собрать 100 картофелин, необходимо преодолеть расстояние в 101 000 футов, или чуть больше 19 миль!

Для Гарри лучшая стратегия состоит в том, чтобы выбрать 99-ю картофелину. Том, бегая быстрее Гарри на 2,04 %, возьмет первую картофелину, Гарри – вторую, Том – третью и т. д. Однако Том бегает не настолько быстрее Гарри, чтобы забрать две соседние картофелины. Гарри потребуется преодолеть 49 980 футов, чтобы принести свои 49 картофелин. За то же самое время Том пробежит 50 999,592 фута, а поскольку для того, чтобы собрать все 50 картофелин, он должен покрыть расстояние в 51 000 футов, Гарри выиграет с преимуществом менее полуфута!

104. В этом простом примере «алгебры в картинках» мывстречаемся с фундаментальными принципами подстановки и добавления одинаковых величин в обе части равенства, не нарушающих, так сказать, равновесия. Это показывает справедливость аксиомы, что две какие-то величины, равные порознь третьей величине, равны и между собой.

На первом рисунке мы видим, что волчок и 3 кубика равны 12 шарикам. Из второго рисунка явствует, что один волчок равен по весу кубику и 8 шарикам. Добавим теперь 3 кубика на каждую чашу вторых весов. Поскольку добавление равных по весу количеств к обеим сторонам не нарушает равновесия, мы все еще имеем равенство в весе двух чаш. Но теперь левая чаша весов идентична левой чаше весов, расположенных выше. Следовательно, мы должны сделать вывод, что веса двух правых чаш также равны между собой, то есть что 4 кубика и 8 шариков весят столько же, сколько и 12 шариков. Значит, 4 кубика весят столько же, сколько и 4 шарика. Короче говоря, вес кубика совпадает с весом шарика. Второй рисунок говорит нам о том, что волчок уравновешивается кубиком и 8 шариками; поэтому мы заменяем кубик на шарик и находим, что вес волчка равен весу 9 шариков.

105. В восьмеричной системе 1906 запишется как 3562, то есть 2 единицы, 6 восьмерок, 5 раз по 64 и 3 раза по 512. Самый простой способ перехода к этой записи состоит в том, что сначала мы делим 1906 на 512 и получаем 3 и 370 в остатке. Далее мы делим 370 на 64, получая 5 и 50 в остатке. Затем мы делим 50 на 8, получая 6 и последний остаток – 2, последнюю цифру ответа. Выписывая все результаты деления слева направо, мы и получаем искомую запись. Если бы мы захотели записать 1906 в семеричной системе, то нужно было бы делить это число на соответствующие степени семерки.

106. В путь отправилось 900 участников, которые разместились в 100 вагонах по 9 человек в каждом.

107.

После того как исчезли 9 монахинь, остальные расположились следующим образом:

108. Число в конце каждого абзаца означает количество операций, совершенных в этом абзаце.

В большой бочке содержится 63 галлона воды, а в малой – 31 1/2 галлона вина. Наполняем 3 кувшина в 10 галлонов вином, выливаем остальные 1 1/2 галлона в 2-галлонную меру, опустошив тем самым малую бочку (4).

С помощью 4-галлонной меры наполняем малую бочку из большой, оставляя в итоге 1/2 галлона в 4-галлонной мере. Отдаем эти 1/2 галлона верблюду № 1. С помощью 4-галлонной меры возвращаем 28 галлонов воды из малой бочки в большую. Выливаем 1/2 галлона вина из 2-галлонной меры в 4-галлонную. Выливаем 2 галлона воды из малой бочки в 2-галлонную меру и возвращаем их в большую бочку. Переливаем оставшиеся 1/2 галлона воды из малой бочки в 2-галлонную меру и даем их верблюду № 2. Переливаем 1 1/2 галлона вина из 4-галлонной меры в 2-галлонную (37).

Повторяем все операции предыдущего абзаца еще 11 раз, так что 6 верблюдов получат по две полугаллонные порции воды каждый, а 6 других получат по две полуторагаллонные порции. Однако при 10-м и 11-м повторении вместо того, чтобы возвращать 2 галлона в большую бочку, отдадим их любым двум верблюдам, которые уже получили по две полугаллонные порции. Теперь уже 8 верблюдов получили по 3 галлона, а 4 верблюда – по 1 галлону; кроме того, в большой бочке осталось 35 галлонов (407).

Наполним малую бочку из большой с помощью 4-галлонной меры и дадим 1/2 галлона верблюду № 13. Переливаем 3 галлона из большой бочки в 4-галлонную меру (18).

Возвращаем все вино в большую бочку. Опустошаем малую бочку, перелив ее содержимое в три 10-галлонных кувшина, а оставшиеся 1/2 галлона перельем в 2-галлонную меру. Вернем содержимое трех кувшинов в малую бочку и перельем 1 1/2 галлона из 2-галлонной меры в кувшин № 1 (12).

Наполним 2-галлонную меру из 4-галлонной, оставляя 1 галлон в 4-галлонной мере. Наполним малую бочку из 2-галлонной меры и дадим оставшиеся 1/2 галлона верблюду № 13. Дадим пяти верблюдам по 2 галлона каждому, после чего все верблюды будут напоены (13).

Наполним 2 пустых кувшина из малой бочки и перельем оставшиеся 1 / 2 галлона в кувшин № 1. Вернем содержимое кувшинов № 2 и 3 в малую бочку (5).

Перельем 1 галлон из 4-галлонной меры в кувшин № 2. Нальем 6 галлонов вина в кувшин № 3 с помощью 2-галлонной и 4-галлонной мер. Выльем 1 галлон из кувшина № 2 в 4-галлонную меру и наполним эту меру вином из кувшина № 3. Выльем содержимое 4-галлонной меры в кувшин № 2. Перельем 2 галлона воды из малой бочки в кувшин № 2 (10).

Теперь каждый из 13 верблюдов получил по 3 галлона воды, один из 10-галлонных кувшинов содержит 3 галлона воды, второй – 3 галлона вина и третий – смесь из 3 галлонов воды и 3 галлонов вина. В большой бочке находится 25 1 / 2 галлонов вина, а в малой – 18 галлонов воды. Общее число операций составляет 506.

[В одном из своих интервью Генри Э. Дьюдени упоминает о том, как С. Лойд в связи с этой задачей обращался к нему за помощью. Дело в том, что Лойд предложил своим читателям денежный приз за лучшее ее решение и хотел избежать выплаты, найдя собственное решение, превосходящее все им полученные. Дьюдени нашел решение в 521 ход. В дальнейшем он снизил число ходов до 506, так что Дьюдени сэкономил Лойду немалую сумму. – М. Г.]

109. Многие даже искушенные математики нередко впадают в ошибку, исходя из того, что имеются 24 отправные и 24 конечные точки. Они утверждают, что правильным ответом будет (24)2 = 576 способов. Однако они проглядели разветвляющиеся пути, которые дают 252 способа достигнуть центра С и столько же способов вернуться назад к граничным W. Поэтому правильным ответом будет (252)2 = 63 504 способа.

110. Если бы в сиамском аквариуме было столько рыб, сколько я получил различных ответов, то там разыгралась бы битва века!

Я склонен считать правильным следующее решение. Три маленькие рыбы отвлекают внимание каждой из трех больших рыб, а остальные 4 дьявольские рыбы в 3 мин уничтожают четвертую королевскую рыбу. Затем 5 маленьких рыб набрасываются на одну большую и убивают ее за 2 мин 24 с, пока остальные маленькие рыбы сражаются с другими большими.

Очевидно, что если бы каждой из оставшихся групп помогла еще одна рыба, они бы закончили свое дело за то же самое время, так что у каждой большой рыбы сил осталось бы ровно столько, чтобы привлекать внимание маленькой рыбы в течение 2 мин 24 с. Следовательно, если большую рыбу атакуют 7 маленьких рыб вместо одной, то им потребуется 1/7 этого времени, или 20 4/7 с.

Если распределить теперь силы маленьких рыб для атаки на оставшихся двух больших рыб (7 на одну и 6 на другую королевскую рыбу), то для уничтожения последней большой рыбы в конце 20 4/7 с потребуется усилие, с которым сможет справиться одна маленькая рыба. Но поскольку вместо одной маленькой рыбы. На последнюю королевскую рыбу набросятся все 13 дьявольских рыб, они справятся с ней за 713 этого времени, то есть за 153/91 с.

Складывая теперь все промежутки времени (3 мин, 2 мин 24 с, 204/7 с, 153/91 с), мы получим продолжительность всей битвы – 5 мин 462/13 с.

111. Согласно заданным условиям, одна монета с круглой дыркой стоит 15/11 бит, одна монета с квадратной дыркой стоит 16/11 бит и одна монета с треугольной дыркой стоит 17/11 бит. Щенка стоимостью в 11 бит можно, следовательно, купить за одну монету с квадратной дыркой и 7 монет с круглыми дырками.

112. Круг сыра делится на 2 части с помощью одного разреза, на 4 – с помощью второго, на 8 – с помощью третьего, на 15 – с помощью четвертого, на 26 – с помощью пятого и на 42 части – с помощью шестого разрезов.

[Эти числа равны максимальному количеству частей, порождаемых каждым последовательным разрезом выпуклого тела. С помощью этой последовательности нетрудно вывести следующее кубическое уравнение, выражающее максимальное число частей как функцию числа разрезов п: (п 3 +5п) /6+ 1= число частей. – М. Г.]

113. Вероятность того, что ни один из шести человек не возьмет свою собственную шляпу, равна 265/720. [Это получается следующим образом. Число способов, которыми можно выбрать п шляп случайным образом так, чтобы ни один человек не выбрал собственной шляпы, равно n!×(1–1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! -…+– 1/n!).

Поделив это выражение на п! (общее число способов, которыми можно выбрать п шляп), мы и получим ответ. С ростом п ответ стремится к пределу, равному 1/е, давая тем самым забавный эмпирический способ определения трансцендентного числа е. Анализ этой задачи и подобных вопросов дается в книге Ball R. Mathematical Recreations, p. 46. – M. Г.]

114. На рисунке показан единственный правильный способ расположить 8 ворон на снопах пшеницы так, чтобы никакие две птицы не оказались в одном ряду или на одной диагонали. Кроме того, сторож не сможет найти точку, с которой ему удалось бы прицелиться сразу в трех ворон.

115. «Любопытный трюк» состоит в том, что два выступа в кромке средней дыры не видны за головой осужденного! На рисунке показано, как именно следует разрезать доску.

116. Батчер Бой стоил 264 доллара и был продан за 295,68 доллара, что дало прибыль в 12 %. Вторая лошадь стоила 220 долларов и была продана за 198 долларов, так что потери составили 10 %. Общая стоимость двух лошадей составляла 484 доллара, а проданы они были за 493,68 доллара; при этом общая прибыль составила 2 %.

117. Ножницы можно освободить, продвигая конец с петлей назад вдоль двойной веревки: сначала через левое кольцо, затем через правое, далее снова через левое, а потом опять через правое. Теперь перекиньте петлю через все ножницы, и они окажутся свободными, если только в процессе работы вы не запутаете веревку, перекрутив ее неудачным образом.

118. [Независимо от способа передвижения обезьяны (быстро, медленно или прыжками) груз и обезьяна всегда будут находиться на одном уровне. Обезьяна не сможет оказаться выше или ниже груза, даже если она, отпустив веревку, станет падать вниз, а затем снова за нее уцепится.

Льюис Кэрролл ставит эту задачу в своем «Дневнике»; ее обсуждению посвящена обширная литература. – М. Г.]

119.Вы можете разделить гамак на две части, проведя 12 разрезов, как показано на рисунке.

120. Повар купил 16 яиц, но бакалейщик добавил ему еще 2 яйца, так что всего у повара оказалось 18 яиц.

121. Круглый пирог с помощью семи прямых разрезов можно разделить на 29 частей.

Искомый прямоугольный треугольник имеет стороны длиной в 47, 1104 и 1105 жердей. Шут не случайно назвал именно цифру 47, так как только она дает ответ в целых числах. Если бы он назвал цифру 48, то число ответов равнялось бы 10.

Я буквально краснею, приводя ответ шута относительно дамоклова меча: он кривой потому, что должен подходить к своим ножнам.

122. Молочник продал 32 кварты цельного молока на первой улице, 24 кварты – на второй, 18 – на третьей и 13 1/2 кварт – на четвертой, что в сумме составляет 87 1/2 кварт.

123. Для того чтобы выиграть, Рип должен сбить кеглю № 6. При этом кегли разобьются на группы из одной, трех и семи штук. Далее, как бы ни играл противник Рипа, он безусловно проиграет, если Рип станет придерживаться наилучшей стратегии. Чтобы выиграть, его противник должен был бы сбить с самого начала кеглю № 7, дабы разбить кегли на две группы по 6 штук. Затем, что бы ни сбивал Рип в одной из групп, гном должен повторять его ходы в другой группе, пока не выиграет.

[Замечание Лойда об истории игры в кегли не следует принимать всерьез. Рип может выиграть также, сбив кеглю № 10, ибо при этом снова получатся группы по 1, 3 и 7 штук. Относительно анализа этой игры см. задачу № 73 в сборнике Г. Дьюдени «Кентерберийские головоломки» (М.: Мир, 1978). – М. Г.]

124. «Свинскую» задачу Пэта можно решить только с помощью трюка, поместив один загон внутри другого, как показано на рисунке.

125. Путь, указанный на рисунке, содержит только 14 поворотов под прямым углом.

126. Джонсы продали на 220 газет больше, чем Смиты. Первоначальное число газет равнялось 1020.

127. Мэри 27 лет и 6 месяцев.

128. Расстояние между Плезантвиллем и Джойтауном составляет 126 миль. [Пусть х – расстояние от места встречи до Плезантвилля, а х + 18 – расстояние от Джой-тауна до места встречи. Тогда скорость Вилли равна х, деленному на 13 1/2, а скорость Дасти составляет (х + 18), деленное на 24. Время, за которое Вилли прошел х + 18 миль, равно этому расстоянию, деленному на скорость Вилли. Оно, как мы знаем, равно времени, за которое Дасти прошел х миль, равному, в свою очередь, х, деленному на скорость Дасти. Это приводит к квадратному уравнению, что дает для х значение в 54 мили. То есть точка встречи находится в 54 милях от Плезантвилля и в 72 милях от Джойтауна. – М. Г.]

129. Дабы решить эту задачу, не привлекая число я, необходимо напомнить замечательное открытие Архимеда, состоящее в том, что объем шара равен 2/3 объема цилиндрического ящика, в который шар как раз помещается. Диаметр клубка проволоки равен 24 дюймам; значит, его объем равен объему цилиндра с диаметром основания в 24 дюйма и высотой в 16 дюймов.

Далее, проволока – это всего лишь очень тонкий и длинный цилиндр. Сколько кусков проволоки длиной в 16 дюймов и с диаметром основания в 0,01 дюйма равны по объему цилиндру высотой в 16 дюймов и с диаметром основания в 24 дюйма? Площади кругов относятся, как квадраты их диаметров. Квадрат 0,01 равен 0,0001, а квадрат 24 равен 576. Поэтому объем цилиндра равен суммарному объему 5 760 000 кусков нашей проволоки, каждый из которых имеет в длину 16 дюймов. Следовательно, общая длина проволоки составляет 5 760 000×16 = 92 160 000 дюймов, что равно 1454 милям и 2880 футам.

130. После 12 ч две стрелки впервые указывают в противоположных направлениях в 12 ч 32 8/11, мин и далее через интервалы в 1 ч 5 5/11 мин. Положение секундной стрелки показывает, что пуля должна была попасть в циферблат в 10 ч 21 9/11 мин (49 и 1/11 с).

131. Когда паромы встречаются в точке X (см. рисунок), то они находятся на расстоянии в 720 ярдов от одного из берегов. Суммарное расстояние, которое они прошли к этому моменту, равно ширине реки. Когда они достигают противоположных берегов, суммарное расстояние, пройденное ими, составляет удвоенную ширину реки. На обратном пути они встречаются в точке Z, пройдя к этому времени утроенную ширину реки, так что каждый паром прошел теперь в три раза большее расстояние, чем к моменту их первой встречи.

При первой встрече один паром прошел 720 ярдов, так что когда он достигает Z, то проходит к этому моменту втрое большее расстояние, то есть 2160 ярдов. Как видно из рисунка, это расстояние на 400 ярдов превышает ширину реки, и, значит, нам остается только вычесть 400 из 2160, чтобы получить ответ, равный 1760 ярдам, то есть ровно 1 миле.

Время, которое каждый паром затрачивает на перевозку пассажиров, не влияет на ответ.

132. Девять спичек располагают таким образом, чтобы они образовали английское слово TEN (десять), а из шести спичек следует составить слово NIX (ничто).

133. Из условий задачи вытекает, что Джек ест постную свинину со скоростью 1 бочонок за 10 недель; значит, полбочонка постной свинины он «порешит» за 5 недель. За то же самое время его жена (которая ест жирную свинину со скоростью 1 бочонок за 12 недель) справится с 5/12 бочонка жирной свинины. Поэтому им обоим останется съесть 1/12 бочонка жирной свинины со скоростью 1 бочонок за 60 дней. Супруги справятся с таким заданием за 5 дней, так что всего им потребуется 35 дней плюс 5 дней, или 40 дней.

134. Поскольку скупец мог разделить монеты каждого достоинства поровну на 4, 5 и 6 частей, у него должно было быть не менее 69 монет каждого достоинства, что в сумме составляет 2100 долларов.

135. [Решение Лойда, содержащее 6 частей, показано на рисунке. Совершенно другое решение из 10 частей приведено у Генри Э. Дьюдени в «Кентерберийских головоломках» (М.: Мир, 1978), задача 37. – М. Г.]

136. Хитрость Дженни состояла в том, чтобы один кружок слева перенести далеко вправо, как показано на рисунке.

137. Каждый из рабочих запросил следующую сумму (в долларах):

138. Точное время равно 8 ч 186/13 мин, или 8 ч 18 мин 279/13 с.

139. [Общее время, которое затрачивает на весь путь вверх и вниз по склону Джек, составляет ровно 6,3 мин, то есть 6 мин 18 с. Задача решается алгебраически. Положим, что скорость Джека в гору составляет 2х, его скорость под гору – Зд:, скорость Джилла в гору – 2у и скорость его под гору – 3у. Приравняем время, прошедшее до встречи Джека и Джилла. Затем общее время Джека плюс полминуты приравняем к общему времени Джилла. Теперь, решив систему из двух уравнений, находим х и у.  – М. Г.]

140. Обозначим один 10-галлонный бидон через Л, а второй – через 2?. Далее будем действовать следующим образом:

наполним 5-квартовую кастрюлю из бидона А,

наполним 4-квартовую кастрюлю из 5-квартовой, оставив в последней 1 кварту,

выльем содержимое 4-квартовой кастрюли в бидон А,

перельем 1 кварту из 5-квартовой в 4-квартовую кастрюлю,

наполним 5-квартовую кастрюлю из бидона А,

наполним 4-квартовую кастрюлю из 5-квартовой, оставив в последней 2 кварты,

выльем содержимое 4-квартовой кастрюли в бидон В, дольем из 4-квартовой кастрюли бидон А доверху, оставив в ней 2 кварты.

Каждая кастрюля содержит теперь по 2 кварты, бидон А полон, а в бидоне В не хватает 4 кварт.

141. Обозначим вагоны и паровозы слева направо через A, B, C, D,E, F, G, Н, I. Е – это вышедший из строя паровоз, a F – паровоз, который выполняет всю работу. Задача решается за 31 изменение в направлении движения паровоза следующим образом.

Паровоз F движется прямо к паровозу Е, цепляет его и тянет на участок D разъезда (1 изменение).

F проходит через разъезд, цепляет D и тянет его на участок D разъезда, толкая в то же время вправо Е (3 изменения).

F снова проходит через разъезд, цепляет С и тянет его на участок Д толкая вправо вагон D (3 изменения).

F проходит через разъезд, цепляет В и тянет его на участок Д толкая вправо вагон С (3 изменения).

F проходит через разъезд, цепляет А и тянет его на участок Д толкая вправо вагон В (3 изменения).

F проходит через разъезд, затем движется вправо, подгоняя А к B. Вагоны A, B, C, D,E, G сцеплены (3 изменения).

F перегоняет вагоны A, B, C, D,E, G влево, затем толкает G на участок разъезда А (2 изменения).

F тянет вагоны A, B, C, D,Е влево, затем толкает их вправо (2 изменения).

F один движется влево, вспять и цепляет G, тянет его влево (3 изменения).

F движется вправо, толкая G к A. G прицеплен к А, затем F тянет весь состав из вагонов и паровоза влево (2 изменения).

F вспять отгоняет H и I на,участки А и В разъезда, тянет G, A, B, C, D,Е влево, затем толкает их всех вправо (3 изменения).

F тянет G влево, движется вспять и цепляет G и Н, тянет G, H, I, влево и продолжает движение. При этом экспресс вместе со своими вагонами, расположенными позади паровоза в прежнем порядке, остается на прямолинейном пути справа от разъезда (3 изменения).

142. Самый рациональный способ сделать цепь из 6 кусков по 5 звеньев состоит в том, чтобы распилить все 5 звеньев одного куска и с их помощью соединить остальные 5 кусков. При этом общая стоимость работы составит 1 доллар 30 центов, что на 20 центов дешевле стоимости новой цепи.

143. Решение первой задачи показано на рисунке.

[Наилучшее решение второй задачи следующее.

Каждая из частей содержит по 29 маленьких квадратиков. Если кто-либо из читателей сумеет улучшить это решение, я буду рад об этом узнать. – М. Г.]

144. У Хэнка было 11 голов скота, у Джима – 7 и у Дьюка – 21, а вместе это составляет 39 голов.

145. В решении задач такого типа сначала следует определить расстояние, которое пробежал бы человек до того, как схватить свинью, если бы свинья и человек бежали вперед по прямой. К этому расстоянию надо прибавить расстояние, которое пробежал бы человек до того, как схватить свинью, если бы оба бежали по прямой, но уже навстречу друг другу. Разделив полученный результат на 2, вы найдете искомое расстояние.

В нашем случае свинья находится от человека на расстоянии 250 ярдов, а скорости человека и свиньи относятся как 4: 3. Поэтому если бы оба они бежали вперед по прямой, то человек до того, как поймает свинью, пробежал бы 1000 ярдов. Если бы они бежали навстречу друг другу, то человек пробежал бы 4/7 от 250 ярдов, то есть 142 6/7 ярда. Сложив эти два расстояния и разделив их на 2, мы получим 571 3/7 ярда. Это и есть искомое расстояние, которое пробежал человек. Поскольку скорость свиньи составляет 3/4 скорости человека, то она проделала за то же время 428 4/7 ярда.

[Если бы свинья бежала с той же скоростью, что и человек, или быстрее, то, пользуясь правилом Лойда, можно легко показать, что Тому никогда не удалось бы схватить ее. Но если скорость человека превосходит скорость животного, то свинью можно схватить всегда. Путь человека дает один из простейших примеров так называемой «линии погони», изучение которой составляет интересный раздел того, что можно было бы назвать «развлекательным анализом». – М. Г.]

146. Сорок лет назад Бидди было 18 лет, а сейчас ей 58.

147. У Джона и Мэри должно было быть 300 цыплят, которым хватало корма на 60 дней.

148. Мячик пройдет расстояние в 218,77777… футов, то есть в 218 футов 9 1/3 дюйма.

149. На рисунке показан путь, при котором Клэнси сможет пройти мимо всех домов.

150. Существует бесконечно много способов, позволяющих разделить греческий крест на части, из которых удается сложить правильный квадрат. На рис. 1 показан один из них. Самое поразительное что если вы проведете любые два прямых разреза, параллельные данным, то результат не изменится. Из получившихся при этом четырех частей всегда можно сложить квадрат!

Ответы на следующие вопросы вы видите на рис. 2 и 3.

151. Если леди купила x шнурков, то она должна была купить 4x коробочек с булавками и 8x: платков. Сумма квадратов этих величин равна 3,24 доллара, откуда x = 2. Таким образом, леди купила 2 шнурка, 8 коробочек с булавками и 16 платков.

152. Бутылку и щетку можно переставить за 17 ходов, действуя следующим образом:

1) бутылка,

2) щетка,

3) утюг,

4) бутылка,

5) перечница,

6) мышеловка,

7) бутылка,

8) утюг,

9) щетка,

10) перечница,

11) утюг,

12) бутылка,

13) мышеловка,

14) утюг,

15) перечница,

16) щетка,

17) бутылка.

153. Поскольку колеса на внешней стороне круга вращаются вдвое быстрее колес на внутренней стороне, длина внешней окружности должна вдвое превышать длину внутренней окружности. Следовательно, 5 футов между внутренними и внешними колесами должны равняться половине радиуса внешней окружности. Другими словами, диаметр внешней окружности равен 20 футам, а ее длина составляет 20π, или около 62,832 фута.

154. Мисс Покахонт 24 года, а маленькому Капитану Джону 3 года.

155. Покупатель приобрел бочки с маслом в 13 и 15 галлонов, заплатив по 50 центов за галлон, и бочки с уксусом в 8, 17 и 31 галлон, заплатив по 25 центов за галлон. При этом осталась бочка в 19 галлонов, которая может содержать либо масло, либо уксус.

156. Каждая следующая цена составляет 2/5 предыдущей, так что после очередного снижения шляпа будет продаваться за 51,2 цента.

157. На верхнем рисунке показаны пути пяти стражей, а на нижнем отмечено, как тюремщик добирался до черной камеры, сделав всего лишь 16 поворотов.

158. Пять мальчиков вылетят, если вместо числа 13 взять 14, а счет начинать по-прежнему с девочки без шляпки, двигаясь по часовой стрелке.

159.Ответ ясен из рисунка.

160. [Пусть х – стоимость купленной шляпы Рубена, а у – стоимость его пиджака. Шляпка, купленная Синтией, также стоит у, а ее платье х – 1. Мы знаем, что х + у = 15. Поэтому если 15 долларов, которые они истратили на шляпы, разделить на две части, из которых одна в полтора раза больше другой, то мы получим, что новые цены шляп составляют соответственно 6 и 9 долларов. Исходя из условий задачи, мы можем составить следующее уравнение:

9 + х – 1 = 6 + 15 – x.

Отсюда х = 6,5 доллара – цена, которую Рубен заплатил за шляпу. Значит, за пиджак он заплатил 8,5 доллара, а Синтия заплатила 8,5 доллара за шляпу и 5,5 доллара за платье. Общая сумма, истраченная парой, составляет 29 долларов. – М. Г.]

161. В стаде мисс Ку-Ку было 8 овец. Изгородь из 8 столбов, расположенных в виде квадрата, ограничивает поле той же площади, что и продолговатая изгородь из 10 столбов, у которой на длинной стороне находится 5, а на короткой 2 столба.

162. Фидо 10 лет, а сестре 30.

163. Хорошее правило, которое может пригодиться при обращении с «жульническими» весами рычажного типа, состоит в следующем. Взвесьте интересующий вас предмет сначала на одной чаше весов, а затем на другой, перемножьте полученные результаты и извлеките из произведения квадратный корень; при этом вы получите истинный вес предмета.

Зная, что пирамидка весит 1 унцию, мы в результате первого взвешивания устанавливаем, что кубик вееит 3/8 унции. Второе взвешивание дает для него значение в 6 унций. Далее, 6 х 3/8 = 18/8 = 9/4. Квадратный корень из этого числа равен 3/2. Следовательно, кубик весит 1 1/2 унции, и на нормальных весах 8 кубиков уравновесили бы 12 пирамидок.

164. На рисунке показано, каким образом следует расположить 16 пешек, чтобы удовлетворялись все условия задачи. Условие, согласно которому две пешки должны занимать клетки в центре, позволяет отбросить многие решения, в противном случае также оказавшиеся бы справедливыми.

165. Обычно, отвечая на вопрос этой задачи, берут среднее арифметическое обеих скоростей, поскольку полагают, что ветер в одном направлении замедляет скорость велосипедиста настолько же, насколько увеличивает ее в противоположном. Это не верно, ибо ветер помогает велосипедисту только 3 мин, а мешает ему 4 мин. Если за 3 мин, двигаясь по ветру, он проезжал 1 милю, то за 4 мин он преодолевал 1 1/3 мили. Возвращаясь против ветра, он за те же 4 мин проезжал 1 милю. Таким образом, за 8 мин велосипедист мог преодолеть 2 1/3 мили, двигаясь половину времени по ветру, а половину – против него. Значит, действием ветра можно пренебречь, и, следовательно, в отсутствие ветра велосипедист проезжал бы 2 1/3 мили за 8 мин, или 1 милю за 3 3/7 мин.

166. Число детей, катавшихся на карусели, включая самого Сэмми, равно 13.

167. Задание можно выполнить, сделав один прямой разрез через центр звезды, соединяющий концы полумесяца и передвинув темную часть А (см. рисунок) вправо.

168. В прошлом году миссис Виг вырастила 11 025 кочанов капусты на квадратном поле со стороной в 105 кочанов. В этом году она вырастила 11 236 кочанов на квадратном поле со стороной в 106 кочанов.

169. [Лойд в своем ответе приводит решения, которые нельзя считать верными. Например,

Здесь вопреки условиям требуются два сложения.

Лойд также приводит 6 ответов с дробями (где, очевидно, две точки используются вместо черты в записи правильной дроби). Например,

Однако если использовать точки для указания периода десятичных дробей, как это делает сам Лойд в «Задаче Колумба», то головоломку можно решить следующим образом

– М. Г.]

170. Из того, как делились каштаны, мы знаем, что возраст девочек находится в отношении 9: 12: 14. Следовательно, младшая девочка получила 198, средняя – 264 и старшая – 308 каштанов. Что касается возраста девочек, то он не определяется однозначно. Зная отношение их возрастов и глядя на рисунок, можно предположить, что более всего подходят 4 1/2, 6 и 7 лет.

171. Любителям головоломок следовало бы знать, что высоту башни или столба можно оценить по длине отбрасываемой ими тени. Подтверждение тому мы находим в романе Артура Конан-Дойля «Белый отряд».

«Седой лучник взял у своих товарищей несколько кусков веревки и, связав их вместе, вытянул вдоль длинной тени, которую в лучах восходящего солнца отбрасывала хмурая башня. Затем он поставил вертикально древко своего лука и измерил длинную, темную прямую, которую оно отбрасывало на землю. "Древко в шесть футов отбрасывает двенадцатифутовую тень, – пробормотал он. – А башня отбрасывает тень в шестьдесят футов, значит, веревки в тридцать футов будет достаточно"».

В этом весь секрет головоломки. Все тени на рисунке находятся в одинаковом отношении к высоте предметов, которые их отбрасывают. Вертикальная прямая, проведенная от кончика пальца человека, который показывает на мальчика, говорит нам о том, что длина теней составляет треть высоты соответствующих предметов. Следовательно, высота столба втрое превышает длину тени от центра его основания до конца. Измерив ширину трамвайного пути в месте, где падает тень, и помня, что эта ширина составляет 4 фута 8 дюймов, нетрудно догадаться, что высота столба близка к 19 футам 8 дюймам.

172. [К решению этой маленькой сбивающей с толку задачи можно подойти многими путями. Так, мы можем обозначить через t скорость поезда, через с – скорость дилижанса и через х – расстояние от Глазго до места встречи. Тогда расстояние от Инвернесс до места встречи будет равно 189 – х. Время, за которое дилижанс добрался от Инвернесс до места встречи, составит 189 – 2х (разность в милях между указанными двумя расстояниями). Но, в свою очередь, это равно времени, за которое поезд дошел от Глазго до места встречи. Отсюда мы можем определить, что скорость дилижанса на 1 милю в час превосходила скорость поезда.

Теперь, учитывая, что дилижанс преодолевает 189 миль на 12 ч быстрее поезда, мы находим, что скорость дилижанса составляет 4 1/2 мили в час. Следовательно, скорость поезда равна 3 1/2 мили в час. После этого ничего не стоит определить, что расстояние от места встречи до Глазго составляет ровно 82 11/16 мили. – М. Г.]

173. Второй игрок всегда может выиграть, действуя так, чтобы делить лепестки на 2 равные группы. Например, если первый игрок берет 1 лепесток, то второй игрок берет 2 противолежащих лепестка, оставляя 2 группы по 5 лепестков в каждой. Если же первый игрок берет 2 лепестка, то второй игрок берет 1 противолежащий лепесток, добиваясь того же самого результата. Далее он просто повторяет действия первого игрока. Если первый игрок берет 2 лепестка, оставляя в одной из групп комбинацию 2–1, то второй игрок берет соответствующие 2 лепестка, оставляя такую же комбинацию 2–1 во второй группе. Действуя таким образом, он обязательно выиграет последний ход.

174. Груз в 3/4 фунта, очевидно, равен 1/4 кирпича; соответственно кирпич должен весить 12/4 = 3 фунта.

175. Четыре корабля перемещаются к центру, как показано на рисунке, дабы образовалось 4 ряда по 4 корабля в каждом. Пятый ряд – это нижняя горизонталь.

176. Каждая овальная крышка разрезается соответственно рис. 3, а затем 6 частей складываются вместе, как показано на рис. 4.

[Еще одно решение с шестью частями предложил Генри Э. Дьюдени. Позднее С. Лойд нашел решение с четырьмя частями для случая с поперечными, а не продольными отверстиями. – М. Г.]

177. Можно обнаружить, что существует 372 способа прочитать Red Rum, заканчивая чтение в центре квадрата. Здесь вступает в силу любопытная особенность данной головоломки (хотя и очевидная), что существует ровно столько же способов прочитать Red Rum, сколько есть способов прочитать Murder. Следовательно, общее число способов, с помощью которых можно прочитать всю фразу, равно (372)2 – 138 384.

178. [Решение С. Лойда к первой головоломке с монадой показано на рисунке в центре. Крайние рисунки показывают решение третьей головоломки. Что касается его ответа на вторую головоломку, то Лойд ограничивается замечанием, что нужно провести прямой разрез от А к 2? как показано на среднем рисунке. Каким образом найти точки А и В и как доказать, почему при этом Инь и Ян делятся на две равные по площади части, подробно разобрал Генри Э. Дьюдени. – М. Г.]

179. [Составить уравнения к этой задаче труднее, чем может показаться на первый взгляд. Если х – расстояние от гостиницы до придорожной станции, то пока дилижанс стоит на станции 30 мин, человек проходит х – 6 миль. Следовательно, скорость человека составляет 2х – 8 миль в час. Поскольку человек проходит 4 мили за то время, пока дилижанс проезжает х миль, мы можем выразить скорость дилижанса в виде х(х-4)/2.

Теперь, обозначив через у расстояние от станции до Пайктауна, мы можем выписать два уравнения относительно х и у. В первом уравнении мы приравняем время, которое требуется человеку, чтобы пройти все расстояние минус 1 милю, ко времени, которое нужно дилижансу, чтобы проехать все расстояние плюс 30 мин. Во втором уравнении мы приравняем время перехода человека от станции до Пайктауна плюс 15 мин ко времени, за которое дилижанс преодолеет то же самое расстояние плюс 30 мин. Решая уравнения, мы получим для х значение, равное 6, а для у – равное 3, так что расстояние от гостиницы до Пайктауна составляет 9 миль. Дилижанс едет со скоростью 6 миль в час, а скорость человека равна 4 милям в час. – М. Г.]

180.Два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами, так что вес одного блюдца равен 2/3 веса кувшина. Теперь добавим на каждую чашу весов второго рисунка по стакану; при этом в левой чаше окажутся те же предметы, что и в левой чаше первого рисунка. Это означает, что вес кувшина равен весу блюдца и двух стаканов, а поскольку вес блюдца равен 2/3 веса кувшина, то вес двух стаканов равен оставшейся 1/3 Следовательно, вес каждого стакана равен 1/6 веса кувшина.

На первом рисунке мы видим, что стакан (1/6 веса кувшина) и бутылка уравновешивают кувшин; отсюда мы находим, что вес бутылки составляет 5/6 веса кувшина. Таким образом, чтобы уравновесить бутылку на последнем рисунке, требуется 5 стаканов.

181. Дополнительное количество спиртного, купленное агентом, увеличило стоимость всего запаса до 343 долларов. К этой сумме он сделал надбавку в 10 %, что привело к общей продажной стоимости, равной 377,3 доллара. Агент продал спиртного на 285,8 доллара, а на руках у него осталось напитков на 91,5 доллара, как и показано на рисунке. Стоимость этого остатка без 10 %-й надбавки составляет 83,18 доллара. Вычитая ее из 343 долларов (общей стоимости спиртного), мы находим стоимость проданного спиртного – 259,82 доллара. Мы вычитаем это значение из общей продажной стоимости в 285,8 доллара и находим, что доход города на продаже спиртного составил 25,98 доллара.

Это можно проверить следующим образом. Доход в 25,98 доллара плюс аванс в 12 долларов и 59,5 доллара стоимости напитков дают в сумме 97,48 доллара. Отсюда мы вычитаем комиссионные агента, равные 14,29 доллара, что дает стоимость оставшегося спиртного в 83,19 доллара и показывает, что расчеты агента были правильными в пределах 2 центов.

182. У леди в начале прогулки было 42 цента.

183. Дети были настолько не в ладах с календарем, что отправились в школу воскресным утром!

184.[Пусть х означает общее число столбов, а у – число часов, за которое автомобиль проезжает 3 5/8 мили. Автомобиль минует х столбов за у часов, то есть х/у столбов в час, или х/60у столбов в минуту. Поскольку нам известно, что число столбов, мимо которых автомобиль проезжает за минуту, умноженное на 3 5/8, равно его скорости, выраженной в милях в час, мы можем составить следующее уравнение: 35/8х / 60у = 35/8 / у.

Произведя сокращение на общий множитель в левой и правой частях, мы находим, что х = 60.

Поскольку линия длиной в 3 5/8 мили, или в 19 140 футов, содержит 60 столбов, то, разделив 19 140 на 60, мы находим, что расстояние между двумя соседними столбами составляет 319 футов. Скорость автомобиля, как и длина линии, оказывается не существенной. Однако решение задачи не единственно, если только мы не предположим, что счет столбов, проезжаемых за минуту, начинается и заканчивается в точке, расположенной в промежутке между столбами, и что аналогично определяется и длина телеграфной линии. – М. Г.]

185. Вот эти 5 нечетных «цифр», которые в сумме дают 14:

186. На рисунке показан ответ к этой удивительно трудной головоломке.

187. Шахматную доску можно разделить на 18 различных частей, как показано на рисунке.

[Существует много разных способов, какими можно разделить доску на 18 различных частей. В качестве интересного упражнения читатель может попытаться найти доказательство того, что 18 – действительно максимальное число. – М. Г.]

188. Котелок, подобно абажуру, имеет форму усеченного конуса, у которого верхушка отрезана плоскостью, параллельной основанию. Объем такой фигуры можно найти, вычитая из объема конуса объем отрезанной части, или проще по формуле:

πh/3(R2 + r2 + Rr).

В этой формуле h означает высоту усеченного конуса, а r и R – соответственно радиусы верхнего и нижнего оснований. В нашем случае высота котла равна 12 дюймам, и один из радиусов вдвое больше другого. Если мы через R обозначим радиус дна, то радиус крышки будет равен 2R, а объем – 28π/R2. Поскольку объем равен 25 галлонам, то есть 5775 кубическим дюймам, легко найти диаметр обода, а тем самым и крышки – он чуть превышает 32 дюйма.

189. Каждую неделю добрая леди тратила на благотворительные цели 120 долларов. Первоначально еженедельное «пособие» получали 20 человек.

190. Один из способов образовать нужные 8 дробей состоит в следующем (некоторые из чисел можно слегка изменять и все же получить те же самые дроби).

191. В цирке было 14 лошадей и 22 наездника. Таким образом, на долю зверинца приходится 56 ног и 20 голов. На рисунке можно насчитать 10 животных и 7 птиц, что дает 17 голов и 54 ноги. Значит, остаются неучтенными 3 головы и 2 ноги. Не требуется особенно живого воображения, чтобы понять: в клетке, привлекшей столько народу, должен находиться индийский заклинатель змей с двумя кобрами.

192.Фермер Джонс начал торговлю, имея 719 дынь. Из них 576 дынь он продал по 1 доллару за дюжину (48 долларов), а оставшиеся 143 – по одному доллару за 13 штук (11 долларов), что принесло ему доход в 59 долларов за все 719 дынь.

[Треугольную пирамиду из 120 дынь вместе с треугольной пирамидой из 560 дынь можно превратить в одну треугольную пирамиду, содержащую 680 дынь. Общая формула для этих тетраэдрических чисел имеет вид 1/6n(n + l)(n + 2). – M. Г.]

193. Каждый из молодых людей начал с 25 долларов. Джим поставил 15 долларов при общей ставке 15 против 1 и выиграл 225 долларов, так что его капитал вырос до 250 долларов. Джек поставил 10 долларов при общей ставке 10 против 1 и выиграл 100 долларов, что принесло ему капитал в 125 долларов, то есть ровно половину капитала Джима.

194. Ответ показан на рисунке.

195. Поскольку нам не сказано, чему равна длина жерди, мы не можем определить число акров для каждого поля. Однако, дабы решить нашу задачу, это и не обязательно знать. Отношение площадей двух полей равно 209:210; следовательно, фермеры теряют на всей операции 1/210 площади своего прежнего поля. При этом они теряют такую же долю тыкв. Поскольку 1 /210 от 840 тыкв составляет 4 штуки, мы делаем вывод, что с каждого акра они теряли по 4 тыквы.

196. Четыре кольца весят соответственно 1/4, 3/4, 21/4 и 6 3/4 фунта. Умело пользуясь этими кольцами и помещая их, если потребуется, на оба рычага весов, можно измерить любой вес от 1/4 фунта до 10 фунтов с точностью до 1/4 фунта.

197. Одни часы опережали другие на 3 мин в час; так что по прошествии 20 ч расхождение в их показаниях составило 1 ч.

198. В коробке можно разместить дюжину яиц, как показано на рисунке.

199. Задачу легко решить, двигаясь в обратную сторону. Я начал с 260 долларов, у барона было 80, а у графа – 140 долларов.

200. Мальчику было 5 лет.

201. Всего было 15 пчел.

202. Сумма обычных вкладов составляла 6 000 000 долларов.

203. Всего молодые люди отдали в прачечную 12 манжет и 18 воротничков. Стирка воротничка обходилась в 2 цента, а стирка манжеты в 2 1 / 2 цента, так что Чарли заплатил 39 центов.

204.В этой интересной задаче, где уборка зерна производится вдоль полосы, идущей по краю поля, до тех пор, пока не будет убрана половина урожая, я нашел, что фермеры прибегли к одному простому правилу: «Четверть разницы между путем напрямик через поле и окружным путем по дороге». Выражаясь языком математики, это значит: из суммы двух сторон вычтите диагональ поля и поделите разность на 4.

Поле имело в длину 2000, а в ширину – 1000 ярдов. С помощью рулетки эти честные фермеры нашли, что диагональ, проведенная из одного угла поля в противоположный, чуть превосходит 2236 ярдов. «Кружной путь по дороге» составил, разумеется, 3000 ярдов, так что разность оказалась чуть меньше 764 ярдов. Четверть этой величины отличалась на самую малость от 191 ярда (190,983), что и следовало принять за ширину полосы.

205. Дедушкины часы остановились точно в 9 ч 49 мин 5 1/11 с.

206. С помощью 6 стрел можно выбить 100 очков, послав их соответственно в 17, 17, 17, 17, 16, 16.

207.На помещенном ниже рисунке слева показано, как можно разрезать квадрат на 5 частей, из которых удается сложить 2 греческих креста одинаковых размеров. Одна из частей имеет форму креста, а из остальных четырех частей складывается второй крест. После того как эта головоломка стала хорошо известной, я нашел способ добиться того же результата, разрезав квадрат только на 4 части, как показано в центре рисунка. Из этих частей можно сложить 2 креста, изображенные справа.

Для того чтобы разрезать квадрат на 5 частей, из которых можно сложить 2 греческих креста различных размеров, разрежьте его, как показано на помещенном ниже рисунке слева. Часть А представляет собой меньший крест, а из четырех других частей можно сложить большой крест, как показано на рисунке справа.

На помещенном ниже рисунке показано, каким образом греческий крест можно разрезать на 5 частей, из которых удается сложить 2 креста одинаковых размеров. Одна часть совпадает с искомым крестом. Из оставшихся частей можно сложить второй крест.

208. Существует простой способ решения этой задачи, где не приходится возиться с квадратными корнями. Сначала разделим 600 на 250 и прибавим 2, что дает 4,4. Разделив 600 на 4,4, мы получим расстояние от правого бегуна до моста слева, равное 136 4/11 ярда. Если мы сложим это значение с 250 (расстоянием от того же самого бегуна до моста справа), то получим 386 4/11 ярда, что и будет ответом к задаче.

[В этом способе, применимом к любому прямоугольному треугольнику, озадачивает прибавление двойки.

Предположим, что а – расстояние от правого бегуна до левого моста, b – расстояние от него же до правого моста, с – катет треугольника длиной в 600 ярдов и d – гипотенуза. По теореме Пифагора (а + b) 2 + с2 = d 2 . Мы знаем также, что а + d = b + с, то есть d =b + с – д. Подставляя это в предыдущее равенство, мы найдем, что все квадраты сократятся и получится формула a = bc/(2b + c) = c/(c/b + 2) – M.Г.]

209. У каждой Музы вначале было 48 яблок, а у каждой Грации 144 цветка, по 36 штук каждого цвета. Каждая Муза дала каждой Грации по 4 яблока, а каждая Грация дала каждой Музе дюжину цветков (по 3 каждого цвета). После такого обмена у каждой девушки оказалось по 36 яблок и по 36 цветков (по 9 штук каждого цвета).

210. Мальчишка с цифрой 6 должен встать на голову с другой стороны так, чтобы получилось число 931.

211. Ответ вы видите на рисунке.

212. О'Шогнесси решил дать матери вдвое больше, чем дочери, а сыну вдвое больше, чем матери. Этим условиям легко удовлетворить, если передать дочери 1/7, матери – 2/7, а сыну – 4/7 всего состояния.

213. У фермера было 7 сыновей и 56 коров. Старший сын взял две коровы, а его жена взяла 6 коров. Следующий сын взял 3 коровы, а его жена – 5. Следующий сын взял 4 коровы и его жена – 4 и т. д., пока седьмой сын не взял 7 коров, ничего не оставив своей жене. Любопытно, что у каждой семьи оказалось теперь по 8 коров; поэтому каждая семья взяла по одной лошади, и в результате у всех оказалось скота на одинаковую сумму.

214. Сумма девяти цифр равна 45 и, следовательно, делится на 9. Вне зависимости от расположения в двух числах этих цифр и нуля сумма двух чисел также должна делиться на 9.

Более того, когда вы складываете цифры в любом числе, кратном 9, результат тоже всегда будет кратен 9. Поэтому, чтобы определить недостающую цифру, мы должны сложить сохранившиеся цифры ответа; при этом получается 10. Затем мы вычитаем это число из 18 (наименьшее число, кратное 9 и превосходящее 10) и получаем 8. Это и есть недостающая цифра.

215. Лошадь пробежала следующие друг за другом четверти мили соответственно за 27 ł/4, 27, 27 1/8 с, а всю милю – за 1 мин 48 1/2 с.

216. Для того чтобы поместить слона в центр сиамского флага, разрежьте его на две части, как показано на рисунке, а затем переверните внутреннюю ромбовидную часть.

Наикратчайший путь на плане сада такой: 15, 16, 12, 11, 10, 14, 13, 9, 5, 1, 2, 6, 7, 8, 4, 3, «сердечко».

217. [Пусть х – число акров, а у – число бушелей, тогда можно составить следующие уравнения:

(3/4у + 80)/ x = 7,

(y + 80)/x = 8

Решая их, мы находим, что фермер отдавал ежегодно в уплату за аренду 80 бушелей, а на его ферме было 20 акров земли. – М. Г.]

218. [Если х – вес (в фунтах) индюков, купленных миссис О'Флаерти, равный по условию весу гусей, то можно составить уравнение

21x/24 + 21x/18 = 2x + 2

Отсюда х = 18. Следовательно, миссис О'Флаерти потратила 11,52 доллара на индюков и 8,64 доллара на гусей, то есть общая сумма затрат составила 20,16 доллара. – M Г.]

219. Костюм был продан за 13,75 доллара.

220. Джимми 10лет и 16/21 года.

221. [Сам С. Лойд не объясняет выигрышной стратегии этой игры. Стратегия фермера состоит в том, чтобы ходить в диагонально противоположные углы квадратов до тех пор, пока он не загонит индюка к краю доски, после чего он уже легко может выиграть. Если фермер ходит первым, он должен ходить на ячейку 35. Индюк не может добиться преимущества, поскольку место между ячейками 9 и 10 пусто. Следующая типичная игра прояснит стратегию:

– М. Г.]

Вторая головоломка решается в 24 хода следующим образом: 52, 14, 15, 8, 9, 16, 18, 10, 11, 42, 39, 31, 33, 25, 22, 45, 50, 4, 5, 64, 60, 2, 3, 7.

222. На рисунке видно, что ювелир украл из каждого горизонтального ряда по камню, а затем переставил нижний камень на самый верх.

223. [Практически это разновидность задачи 194. Приложив треугольник к квадрату, как показано на первом рисунке к решению задачи 194, данную задачу можно решить с пятью частями. Поскольку в данной задаче треугольник составляет меньшую часть квадрата, чем в задаче 194, другие два способа решения последней здесь неприложимы. – M. Г.]

224. Миссис О'Нейл потратила на бананы 33,6 доллара. На эти деньги она могла купить по 48 гроздей красных и желтых бананов, а всего – 96 гроздей. Но поделив всю сумму пополам и затратив 16,8 доллара на красные и 16,8 доллара на желтые бананы, она могла бы купить 42 грозди красных и 56 гроздей желтых бананов, то есть всего 98 гроздей.

225. Джоко движется от окна к окну в следующем порядке: 10, 11, 12, 8, 4, 3, 7, 6, 2, 1, 5, 9. Этот путь проходит по широкому пространству между нижним и средним рядами окон только дважды.

226. Головоломку можно решить за 8 ходов следующим образом: Тафт перепрыгивает последовательно через Нокса, Джонсона, Лаффолета и Кэннона. Грей перепрыгивает через Фербенкса. Хьюг перепрыгивает через Брайена. Грей перепрыгивает через Хьюга. Тафт перепрыгивает через Грея.

[Если мы будем рассматривать серию последовательных прыжков одного человека как один ход, то в решении Лойда требуется 5 ходов. Однако задачу можно решить всего за 4 хода. – M Г.]

227. Ответ ясен из рисунка.

228. Кость должна выпасть единицей вверх. Если прибавить сюда 4 на боковой грани, то это дает сумму, равную 5. Сумма оставшихся чисел на боковых гранях (5, 2 и 3) равна 10, что дает другому игроку преимущество в 5 очков.

В шестеричной системе число 109 778 запишется как 2 204 122. Цифра справа представляет единицы, следующая цифра дает число шестерок, третья справа цифра означает число «тридцатишестерок», четвертая цифра показывает число «порций» по 216 и т. д. Эта система основана на степенях 6 вместо степеней 10, как это имеет место в десятичной системе счисления.

229. Задачу плотника можно решить, распилив доску на 3 части, как показано на рисунке.

230. Дети купили 3 шоколадные конфеты, 15 шоколадных драже и 2 леденца.

231. С первого взгляда кажется, что общий улов может выражаться любым числом от 33 до 43, поскольку А может получить от 0 до 11 рыб, и доли других становятся очевидными. Однако, поскольку в итоге каждый мальчик получил одинаковое число рыб, ясно, что общая сумма должна равняться 35 или 40. Если мы возьмем последнее значение, то обнаружим, что выполнены все условия. А поймал 8 рыб, В – 6, С – 14, D – 4 и E -8 рыб. После того как В, С и D объединили свой улов и взяли по одной трети, у каждого из них оказалось по 8 рыб. Независимо от того, как мальчики объединяли и делили свою добычу, доля каждого останется равной 8 рыбам.

232. Ответ показан на рисунке.

233. Пирог тетушки Мэри можно разрезать на 22 части, как показано на рисунке.

[Эта классическая задача представляет дополнительный интерес для тех, кого интересует формула, по которой можно вычислять максимальное число частей при заданном числе разрезов. – М. Г.]

234. Шелк продавался по цене 5 центов за моток, а шерсть – по 4 цента за моток.

235. В начале пути следы левой и правой ног Санта Клауса легко различимы. Проследив за их последовательностью, вы обнаружите, что след левой ноги Санта Клауса оказывается там, где должен быть след правой. Другими словами, Санта Клаус где-то сделал лишний шаг. Наиболее подходящее объяснение состоит в том, что он пробежал по первому маленькому кругу дважды, ступая точно в свой след.

236. Телль выбивает 100 очков, попав дважды в 11 и 6 раз в 13. Тень столбика от сетки у ноги Телля равна половине высоты столбика. Тень столба имеет в длину 35 ярдов, так что сам столб должен быть высотой в 70 ярдов, или 210 футов.

237. [У С. Лойда нет ответа на эту трудную задачу. Лучший способ поскорее закончить путешествие, согласующийся с подходом к аналогичным задачам Генри Э. Дьюдени, по-видимому, следующий.

Самый медленный пешеход С всю дорогу едет на тандеме. Вместе с А, самым быстрым пешеходом, он проезжает 31,04 мили, пока В идет пешком. Затем А слезает с велосипеда, а С возвращается, подбирает В в месте, расположенном в 5,63 мили от старта. Оставшуюся часть пути В и С проезжают на тандеме, прибывая в конечный пункт одновременно с А. Общее время путешествия составит чуть менее 2,3 часа.

Задачу можно решить алгебраическим путем, обозначив через х расстояние, пройденное 2? а через у расстояние, пройденное А. Приравнивая время, за которое В проходит х, ко времени, за которое велосипед доезжает до места высадки А и возвращается к В, мы получим одно уравнение, Второе уравнение удается получить, приравнивая время, за которое А проходит у, ко времени, за которое велосипед проделывает остальную часть путешествия. Мы решаем эти два уравнения, а остальное уже очевидно. – М. Г.]

238. У третьего треугольника катеты равны 30 и 224, а гипотенуза – 226. [Не существует ограничений на число различных прямоугольных треугольников со сторонами, выраженными целыми числами, обладающих равной площадью. Относительно простого способа, позволяющего получить такие треугольники, см. задачу 107 из книги Генри Э. Дьюдени «Кентерберийские головоломки» (М.: Мир, 1979). – M. Г.]

239. На воскресной распродаже миссис Барджейн купила 10 тарелок по 13 центов за штуку. Она обменяла их в понедельник утром на 18 блюдец по 3 цента каждое и 8 чашек по 12 центов за штуку – всего на сумму 1,5 доллара (она вернула 10 тарелок по 15 центов). В воскресенье на свои 1,3 доллара она могла бы купить 13 чашек по 10 центов.

240. Молочник начал с 5 1/2 галлонов воды в бидоне А и 2 1/2, галлонов молока в бидоне В. В конце его операций в бидоне А оказалось 3 галлона воды и 1 галлон молока, а в бидоне В – 2 1/2 галлона воды и 1 1/2 галлона молока.

[Лойд не объясняет, как он получил эти числа, но задачу можно решить следующим образом. Пусть х – исходное количество жидкости в бидоне А, а у – в бидоне В. Легко определить алгебраически, что х относится к у, как 11 к 5, но мы еще не знаем, отношение ли это воды к молоку или молока к воде. Допустим последнее и начнем наши операции по переливанию с 11 единиц молока и 5 единиц воды. В конце мы получим 3 единицы воды и 5 молока в бидоне В, но это противоречит условию, согласно которому в итоге в бидоне В воды на 1 галлон больше, чем молока. Отсюда следует, что было 11 единиц воды и 5 единиц молока. В результате тех же операций мы получим 3 единицы молока и 5 воды в бидоне В. Поскольку количество воды превосходит количество молока на 1 галлон, 5 единиц минус 3 единицы должно равняться 1 галлону, то есть наша единица равна 1/2 галлона. Тогда 11 единиц воды составят 5 1/2 галлонов, а 5 единиц молока – 2 1/2 галлонов. – М. Г.]

241. Расстояние между станциями составляет 200 миль.

[Это решение легко получить алгебраическим путем, обозначив через х расстояние, пройденное за первый час, а через у – оставшееся расстояние. Нормальная скорость поезда в милях в час будет равна х, замедленная скорость окажется равной Зх/5, а нормальное время пути составит (х + у)/х.

Эти данные позволяют составить следующие два уравнения:

Отсюда

Вычитая из первого уравнения второе, мы находим, что х = 50, у = 150, так что суммарное расстояние составляет 200 миль. – М. Г.]

242. Ответ, содержащий 4 части, показан на рисунке.

243. Четырех девочек звали Энн Джонс, Мэй Робинсон, Джейн Смит и Кэт Браун.

244. У каждого из мальчиков было по 100 шариков.

245. Лавочник составил свою смесь из 30 фунтов 5-битового чая и 10 фунтов чая по 3 бита.

246. Боссу теперь 84 года.

247. На левом рисунке показано, как можно расположить 9 яиц, чтобы получилось 10 рядов по 3 яйца в каждом. На правом рисунке видно, как можно вычеркнуть 9 яиц ломаной из четырех отрезков.

[Вторая задача представляет собой классическую геометрическую головоломку, психологи нередко используют ее в качестве примера того, каким образом разум стремится наложить ненужные ограничения на способы решения задач. – М. Г.]

248. Расположив жерди в форме правильного 12-угольника, мы получим максимальную площадь, немного превышающую 2866 квадратных футов.

249. Автомобиль прошел за первый час 71 3/8 мили, за второй час – 63 5/8 мили, за третий час – 55 7/8 мили и за четвертый час – 48 1/8 мили. Разность между любыми двумя последовательными расстояниями составляет 7 3/4 мили.

[Задачу можно решить, обозначив через х число миль, пройденных в последний час, а через х + у – число миль, пройденных за третий час. Тогда за второй час автомобиль прошел х + 2у миль, а за первый час – (х + 3у) миль. Теперь мы получаем два линейных уравнения:

2х+5у = 135,

2х + у = 104,

откуда и находим ответ. – M. Г.]

250.

251. [Пусть время, за которое Мод проделала милю, равно 1/х Тогда время Дженни будет равно 1/2,5х, и мы сможем составить следующее уравнение:

1/x – 1/2,5x = 6

Отсюда х = 0,1, так что Дженни затратила 4 мин, а Мод – 10 мин. – М. Г.]

252. [С. Лойд не приводит ответа к этой задаче, но ее легко решить алгебраически. Пусть х – расстояние от лагеря полярников до невесты, у – время пути туда и z – время обратного пути. Тогда мы знаем, что х/у = 5, x/z = 3 и y + z = 7. Из этих уравнений мы находим, что в оба конца путешественник проделал 26 1/4 мили. – М. Г.]

253. [Падая с высоты в 20 футов, тело развивает в конце пути скорость 35,777 фута в секунду (квадрат скорости падающего тела равен удвоенному произведению ускорения на высоту). Тело в 30 фунтов, падая с такой высоты, разовьет, следовательно, кинетическую энергию, равную 1073,31. Суммарная масса козлов составляет 111 фунтов. Значит, для того чтобы развить «черепо-ломное» количество движения 1073,31, они должны двигаться с относительной скоростью не меньшей 9,669 фута в секунду. – M. Г.]

254. Сторож, жена, младенец и собака должны спасаться следующим образом:

1) спустить младенца,

2) спустить собаку, поднять младенца,

3) спустить сторожа, поднять собаку,

4) спустить младенца,

5) спустить собаку, поднять младенца,

6) спустить младенца,

7) спустить жену, поднять всех остальных,

8) спустить младенца,

9) спустить собаку, поднять младенца,

10) спустить младенца,

11) спустить сторожа, поднять собаку,

12) спустить собаку, поднять младенца,

13) спустить младенца.

[Это упрощенный вариант одной задачи, предложенной Льюисом Кэрроллом. – М. Г.]

255. Орел закончит путешествие за 39 своих полетов от восхода до заката (таких, какими они видны орлу). Но за это время Земля повернется 39 1/2 раз, так что в Вашингтоне между отлетом и возвращением орла пройдет 39 1/2 суток.

256. На печати царя Соломона можно обнаружить 31 равносторонний треугольник.

257. Диаметр круговой дорожки не влияет на ответ. В момент встречи заяц прошел 1/6 дистанции, а черепаха – 17/24. Следовательно, черепаха двигалась в 17/4 раза быстрее зайца. Зайцу предстоит пройти теперь 5/6 дистанции по сравнению с 1/6 для черепахи, так что он должен бежать в 5 раз быстрее, чем черепаха, то есть в 85/4 раза быстрее, чем раньше.

258. Ответ показан на рисунке.

259. На рисунке показано, каким образом можно соединить В и А, истратив 233 дюйма провода.

260. [С. Лойд приводит лишь ответы на обе части задачи, но не объясняет их получения.

Первую часть можно решить следующим образом. Пусть длина колонны и время, за которое армия проходит эту длину, равно 1. Скорость движения армии также будет равна 1. Пусть далее х – расстояние, которое проезжает курьер в обе стороны, а также его скорость. На пути в голову колонны его скорость относительно колонны будет равна х – 1. На обратном пути его относительная скорость будет равна х + 1. По отношению к колонне на пути туда и обратно всадник должен преодолеть расстояние, равное 1, и весь этот путь совершается за время, равное 1. Поэтому мы можем составить следующее уравнение: 1/ (x-1) + 1/(x+1) = 1 которое легко преобразовать к виду х2 – х = 0.

Поскольку х – положительно, то

Умножив эту величину на 50, мы и получим ответ в милях, равный приближенно 120,7. Другими словами, курьер проезжает расстояние, равное длине колонны плюс та же самая длина, умноженная на квадратный корень из двух.

Аналогичным образом можно решить и вторую часть задачи. В этом случае скорости курьера относительно движущейся армии будут соответственно равны: х-1 на пути вперед, х + 1 на пути назад и

на двух диагональных участках. (Поскольку место, с которого курьер начнет свой путь, роли не играет, мы ради простоты предполагаем, что он начинает свой путь в конце заднего ряда, а не в его середине.)

Как и прежде, каждый участок пути курьера относительно каре равен 1, а поскольку все четыре участка он проезжает за единичное время, мы можем записать:

Это уравнение можно записать в виде х4 – 4х 3 – 2x 2 + 4х + 5 = 0, и только один его корень, равный приближенно 4,18112, удовлетворяет условиям задачи. Умножив эту величину на 50, мы получим ответ, равный 209,056 мили. – М. Г.]

261. Ответ показан на рисунке.

262. Зная, что на каждой полке содержится ровно 20 кварт, начнем решать задачу, убрав 6 маленьких банок с каждой из двух нижних полок. У нас остаются 2 большие банки на средней полке и 4 средние банки на нижней полке, откуда видно, что 1 большая банка содержит столько же джема, сколько и 2 средние.

Возвратим убранные банки, а затем удалим 2 большие банки со средней полки и их эквиваленты с верхней полки: 1 большую и 2 средние банки. При этом на верхней полке останутся 1 средняя и 3 маленькие банки, а на средней – 6 маленьких банок, откуда видно, что 1 средняя банка содержит столько же джема, сколько и 3 маленькие.

Теперь заменим все большие банки парами средних; затем заменим все средние банки тройками маленьких. При этом всего получится 54 маленькие банки. Если 54 маленькие банки содержат 60 кварт, то 1 маленькая банка будет содержать 1 1/9 кварты, средняя банка – 3 1/3 кварты, а большая – 6 2/3 кварты.

263.Кратчайшим для провода будет путь по полу, ближней и дальней стенам зала и по боковой стене. Если мы представим себе комнату в виде картонной коробки, которую можно разрезать и развернуть на плоскость, как показано на рисунке, то кратчайшим путем окажется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами в 39 и 15 футов. Длина такого пути окажется чуть больше 41,78 фута.

[Это лойдовский вариант известной головоломки Генри Э. Дьюдени «Паук и муха». Изменив размеры комнаты, Лойд так преобразовал задачу, что в ней приходится совершенно иначе разрезать и разворачивать комнату на плоскость. – М. Г.]

264. [Хотя С. Лойд уделяет этой головоломке мало внимания и приводит ответ, не объясняя способа решения, это одна из наиболее интересных задач в его сборнике, где приходится сочетать алгебраические и диофантовы методы.

Один из способов решения состоит в следующем. Пусть х – число первоначально купленных щенков, а также число крыс. Число щенков среди семи оставшихся животных обозначим через у, тогда число оставшихся крыс будет равно 7 – у. Число проданных щенков (по 2,2 бита за каждого, учитывая 10 %-ную надбавку) будет х – у, а число проданных крыс (по 2,2 бита пара, или по 1,1 бита за штуку) составит х – 7 – у.

Выражая условия задачи в форме уравнений и упрощая их, мы приходим к следующему диофантову уравнению с двумя неизвестными, которое нужно решить в целых числах: 3х= 11у+77.

Кроме того, нам известно, что у не превосходит 7.

Испробовав 7 возможных значений у, мы находим, что только при у = 5 и 2 величина х оказывается положительной. Эти значения привели бы к двум различным решениям задачи, если бы не то обстоятельство, что крысы покупались парами. Если у = 2, то число купленных крыс, 33, оказалось бы нечетным. Следовательно, мы должны исключить эту возможность и сделать вывод, что у =5.

Теперь можно восстановить всю картину. Торговец купил 44 щенка и 22 пары крыс, заплатив всего 132 бита. Он продал 39 щенков и 21 пару крыс, за которых получил 132 бита. У него осталось 5 щенков ценой в 11 битов (с учетом надбавки) и 2 крысы ценой в 2,2 бита. Цена всех 7 животных составила, таким образом, 13,2 бита, что как раз и равно 10 % от 132 битов. – М. Г.]

265. Мы должны принять, что Робинсон, внеся 2500 долларов, оплатил третью часть капитала фирмы «Браун энд Джонс», который, следовательно, до вступления в дело Робинсона составлял 7500 долларов. Поскольку доля Брауна в 1 1/2 раза превышала долю Джонса, то доля Брауна составляла 4500 долларов, а доля Джонса – 3000 долларов. Взнос Робинсона в 2500 долларов следовало разделить таким образом, чтобы доли всех партнеров оказались равными при прежнем суммарном капитале, то есть составляли 2500 долларов. Значит, Браун получил из взноса Робинсона 2000 долларов, а Джонс – 500 долларов.

266. Кусок миссис Хогэн содержал 58 1/3 фута, а в куске Мэри О'Нейл было 41 2/3 фута.

267. Одна корова стоила 15, другая – 50 долларов.

268. [Эта головоломка С. Лойда представляет собой разновидность известной задачи, которую можно встретить во многих учебниках. (Обычно в ней речь идет о человеке в лодке, который гребет до некоторой точки на берегу, где высаживается, а потом идет к цели с большей скоростью.)

Задачу можно решить следующим образом. Обозначим через х расстояние от поворота дороги до того места, где лошади перепрыгивают через стену; тогда расстояние от этого места до столба с отметкой «1 миля» равно 1-х. Мы знаем, что скорость лошади составляет 35 миль в час по дороге и 26 /4 мили в час по рыхлому грунту. Общее время, затраченное на такой срезанный путь, будет равно

Вопрос состоит в том, при каком значении х эта величина будет минимальной? Дифференцируя данное выражение по х и приравнивая его к нулю, мы находим, что это значение приблизительно равно 0,85 мили, то есть лучшее место, где следует перепрыгнуть через изгородь, расположено в 0,15 (или чуть более У7) мили от столба с отметкой «1 миля». – М. Г.]

269. Десять монет можно расположить так, как показано на рисунке, в результате чего получится 16 рядов с четным числом монет.

270. [Если мы через х обозначим деньги миссис Смит, а через у – деньги ее супруга, то цена рощи окажется равной у/3, а также х/4. А нам известно, что 3х/4 +у=5000 и2у/3 + х=5000.

Из этих уравнений мы находим, что у мистера Смита было 2500 долларов, а у его жены – 3333 1/3 доллара, отсюда стоимость рощи составляет 833 1/3, доллара. – М. Г.]

271. Кот Виттингтона может схватить всех мышей, двигаясь по пути А – 4 – С – 1 – Y – 5 – 2 – 2 – 6 – X – 3 – Z.

Если часы бьют 6 раз за 6 с, то интервал между двумя ударами составляет 11/5 с. Тогда, чтобы пробить 11 раз, требуется 10 таких интервалов, на что уйдет 12 с.

272. [Пусть х – стоимость содержания. Мы можем составить уравнение х-34 = 13 = 1/4 – х, откуда х – 62 2/3. Мы вычитаем отсюда доход в 34 доллара и находим, что потери составили 28 2/3 доллара. – М. Г.]

273.Как Маленькая Пастушка сумела сделать из 8 брусков 3 квадрата одинаковых размеров, показано на рисунке.

274. Большой участок был разделен на 18 меньших участков.

275. Передвиньте В и С на правый край шеренги рядом с девочкой, которая держит барабан. Заполните брешь с помощью Е и F. Заполните брешь с помощью H и В. Заполните брешь с помощью А и Е.

276. Билл Джонс получил 8836 долларов, его жена Мэри – 5476 долларов, а их сын Нед – 2116 долларов. Хэнк Смит получил 16 129 долларов, его жена Элизабет – 12 769 долларов, а их дочь Сьюзен – 9409 долларов. Джейк Браун получил 6724 доллара, его жена Сара – 3364 доллара, а их сын Том, черная овца в стаде, только 4 доллара.

[Каждое из этих чисел представляет собой, разумеется, точный квадрат – условие, введенное в задачу посредством конвертов с разложенными по ним деньгами. – М. Г.]

277. У Продавца было 3 мальчика и 3 девочки. Каждый из них получил по одной булочке, которые продавались по 2 штуке на пенни, и по 2 булочки, которые шли по цене 3 штуки на пенни.

278. Билл Лежебока работал 16 2/3 дня и прогулял 13 1/3 дня.

279. [С. Лойд не приводит ответа на эту головоломку. Расположить на рисунке шашки можно довольно легко. Если мы представим себе, что кружки сделаны из дерева и соединены веревкой, то мы можем развернуть веревку в большую окружность, на которой кружки будут идти в следующем порядке: 1–3 – 5–7 – 9 – 11–13 – 2–4 – 6–8 – 10–12. Теперь уже легко понять, как следует расставлять шашки. Допустим, что первую шашку мы поставили на 13. Следующую шашку нужно поместить на 4 или 9, а затем сдвинуть ее на 11 или 2, где она окажется по соседству с 13 в приведенной выше последовательности. Третью шашку следует поместить на такой кружок, чтобы после передвижения она оказалась по соседству с любым концом ряда уже расположенных шашек. – М. Г.]

280. Если мы обозначим через х длину моста в футах, то корова окажется в (1/2х-5) футах от одного его конца ив (1/2х-5) футах от другого. Поезд находится в 2х футах от ближайшего конца.

Корова пробегает расстояние в (х/2-5) + (х/2 + 4 3/4) за то же время, за которое поезд проходит (2х – 1) + (3х– 1/4). Эти два расстояния равны соответственно (х-1/4) и 5(х-1/4), откуда ясно, что поезд движется в 5 раз быстрее коровы. Поэтому мы можем написать: 2x-1=5(x/2 – 5).

Отсюда х, длина моста, равна 48 футам. В этой части задачи совсем не требуется знать скорость поезда. Эта скорость нужна лишь для того, чтобы определить скорость коровы. Поскольку поезд шел со скоростью 90 миль в час, то корова бежала со скоростью 18 миль в час.