Состояние преподавания математике в школе так печально не только и не столько тем, что важное отсутствует — что на уроках математики не происходит математики, — но тем, что там присутствует: мешанина деструктивной дезинформации, называемая «программой». Давайте посмотрим, что противостоит нашим ученикам во имя математики, и какой это им наносит ущерб.

Самое удивительное в этой программе — это ее негибкость. Это особенно заметно по программе старших классов. От школы к школе, от города к городу, от штата к штату повторяются одни и те же темы, о них рассказывается одинаково и в одном и том же порядке. Вместо того, чтобы возмутиться этим Оруэлловским положением вещей, большинство людей просто принимают эту «стандартную программу» за самое математику.

Это тесно связано с тем, что я называю «мифом о лестнице» — идеей о том, что математику можно выстроить в последовательность «предметов», каждый из которых более «высокий», поднимающуюся до «высшей математики». Эта идея порождает гонку: некоторые студенты впереди, чьи-то родители переживают, что их ребенок «отстающий». И где финишная черта этой гонки, что ждет на ней? Печально, но гонка эта в никуда. В конце — вас обманут на  ровно одно математическое образование, да еще так, что вы этого не заметите.

Настоящая математика не выпускается в консервах — в математике нет такой идеи, как алгебра за 9-й класс. Задачи ведут вас, куда ведут. Искусство — не гонка. Миф о лестнице это искаженный образ предмета математики, а учитель, следующий стандартной программе, лишь закрепляет этот миф, вместо того, чтобы показывать математику как нечто цельное. А в результате у нас получается математическая программа без исторической перспективы и тематической цельности, фрагментарный набор разнообразных тем и приемов, выстроенных в порядке легкости, с которой их можно свести к пошаговым инструкциям.

Вместо открытия и исследования у нас получаются правила и инструкции. Мы никогда не слышим, чтобы ученик говорил: «Мне захотелось узнать, есть ли смысл в возведении числа в отрицательную степень, и я обнаружил, что получится вполне осмысленно, если представить ее в виде обратного числа». Вместо того, учитель и учебники дают «правило отрицательной степени» как fait d’accompli без упоминания эстетики этого выбора или хотя бы того, что выбор был.

Вместо осмысленных задач, какие могли бы привести через неисследованную территорию обсуждения и спора к синтезу разнообразных идей, к чувству тематического единства и гармонии в математике, мы имеем столь безрадостные повторяющиеся упражнения на определенную технику, разъединенные друг с другом и отсоединенные от математики как целого, что ни у учителей, ни у учеников не возникает даже тени идеи, как такие вещи могли вообще сложиться.

Вместо естественного контекста задачи, где ученики могли бы сами выбрать слова для обозначения сущностей, выдается бесконечная череда немотивированных априорных «определений». Программа навязывает жаргон и классификацию ни для какой более цели, кроме возможности учителям проверять этот же жаргон на экзаменах. Ни один математик в мире не станет противопоставлять «смешанную дробь» 2 ½  «неправильной дроби» 5/2. Да они же равны! Это одно и то же число, их свойства одинаковы. Да кто хотя бы помнит эти слова после четвертого класса?

Куда легче, конечно, проверять знание бесцельных терминов, чем вдохновлять на создание прекрасного и поиск своего собственного смысла. Даже если мы и согласимся, что базовый математический вокабуляр необходим, — это не он. Пятиклассников учат говорить «ось абсцисс» и «ось ординат» вместо «осей x и y», но не дают им повода сказать такие слова, как «предположение» или «контрпример». Старшеклассников учат писать sec x, секанс, вместо обратной функции 1/cos x — «определению», обладающему такой же интеллектуальной силы, как сокращение «и т. п.».  Это сокращение вышло из навигационных таблиц XV в. и по-прежнему остается в ходу (в то время как, например, версинус вышел из употребления) в наше время, когда точные навигационные вычисления более не проблема, по чистой исторической случайности. Так уроки математики забиваются бесполезной терминологией во имя терминологии.

Программа не столько последовательность тем или идей, сколько череда систем математической нотации. Математика как будто состоит из секретного списка математических символов и правил манипуляции ими. Малышам дают + и ÷. Более взрослым можно уже доверить √, а потом x и y и алхимию скобок.  Затем им забивают в головы sin, log и f(x), а потом удостаивают d и ∫. И все это происходит, разумеется, без математически осмысленного опыта.

Эта программа настолько недвижима, что учителя и авторы учебников могут надежно, за многие годы, предсказать, что ученики будут делать, с точностью до номера страницы с упражнениями. Не вызывает удивления, когда в 9 классе задают вычисление [f(x + h) − f(x)] / h для различных функций f, так чтобы они «уже видели» это выражение, когда у них будут начала анализа три года спустя. Естественно, не дается (да и не ожидается) никакой мотивации пониманию, что означает эта на первый взгляд случайная комбинация операторов.  Учителя, пытающиеся объяснить, что это означает, и — уверен! — полагающие, что оказывают школьникам услугу, на самом деле просто дают им еще одно скучное упражнение. «Чего от меня хотят? А, и это до кучи? Угу».

Еще один пример — когда школьников учат выражать информацию в неоправданно сложной и неестественной форме просто потому, что когда-то, в далеком будущем, это будет иметь смысл. Задумывается ли хоть на секунду учитель 6-го класса, заставляя учеников записать утверждение «x находится в интервале от 3 до 7» в виде |x – 5| < 2, зачем он это делает? Авторы бестолковых учебников серьезно полагают, что этим помогают ученикам подготовиться ко дню «Ч», когда много лет спустя они начнут изучать аналитическую геометрию или абстрактные метрические пространства? Сомневаюсь. Думаю, что просто копируя друг друга десятилетиями, меняя, самое большее, шрифт или цвет под выделенным текстом, они лучатся гордостью оттого, что школьная система приняла их новый учебник, и тем самым становятся ее невольными сообщниками.

Математика — это решение задач, и именно решение задач должно быть в центре математической жизни школьника. Как бы ни было тяжело, какие бы ни случались неудачи — ученики и учителя должны быть вместе на этом пути — находя идеи, не находя идей, открывая закономерности, строя предположения, конструируя примеры и контрпримеры, приводя аргументы и критикуя работу друг друга. Определенная техника образуется в процессе этой работы, как это происходило исторически: не в изоляции от решения задач, но в органическом соединении с этим процессом.

Преподаватели родного языка знают, что орфография и пунктуация лучше всего изучаются в процессе чтения и письма. Учителя истории знают, что имена и даты совершенно неинтересны в отрыве от картины исторических событий. Отчего же математическое обучение застряло в XIX в.? Сравните ваши воспоминания об уроке алгебры с этим воспоминанием Бертрана Рассела[14]Бертран Рассел ( Bertrand Russell , 1872—1970) — английский философ, логик и математик.
:

Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект.

Разве изменилось что-нибудь с тех пор?

Симплицио. Не думаю, что так будет честно. Конечно, методы обучения изменились!

Сальвиати. Ты имеешь в виду методы тренировки. Учение — непростые человеческие отношения; метода здесь быть не может. Или, давай я так скажу: если тебе нужен метод, значит, ты не очень хороший учитель. Если у тебя нет достаточно «чувства» своего предмета, чтобы говорить о нем своими словами, естественно и спонтанно, значит, ты и сам его не понимаешь. И, говоря о том, что учительство застряло в девятнадцатом веке — тебя не пугает, что программа при этом застряла в семнадцатом? Подумай обо всех тех потрясающих открытиях и глубоких переворотах в человеческой мысли, что произошли за последние три века! Они не упоминаются, словно бы их и не было.

Симплицио. Может, ты просто слишком многого хочешь от учителей математики? Чтобы они оказывали индивидуальное внимание трем десяткам учеников, ведя их по их собственным путям открытий и просвещения, да еще чтобы они следили за последними математическими открытиями?

Сальвиати. А ты хочешь, чтобы учитель рисования мог дать тебе толковый совет по поводу твоей картины, чтобы он знал историю последних трехсот лет живописи? А серьезно — нет, я и не жду этого, просто мечтаю о том, чтобы так было.

Симплицио. Значит, виноваты учителя математики?

Сальвиати. Нет, виновата культура, которая их производит. Они стараются как лучше, но делают так, как их учили. Уверен, многие из них любят учеников, и им не нравится подвергать их тому, что им приходится делать. Они ощущают, что такое преподавание бессмысленно, и только вредит. Они чувствуют, что делаются шестеренками в мясорубке духа. Однако, у них не хватает перспективы, чтобы осознать это, тем более бороться с этим. Они должны «готовить учащихся к переходу в следующий класс».

Симплицио. Ты и вправду думаешь, что все студенты имеют столь высокий уровень, чтобы создавать собственную математику?

Сальвиати. Если мы и в самом деле думаем, что творческое мышление — это слишком «высокий уровень» для наших учеников, зачем тогда мы заставляем их писать работы по истории и литературе? Проблема не в том, что школьники не могут того, что ты говоришь, — проблема в том, что учителя этого не могут! Они никогда не доказывали ничего сами — как же они могут направить на правильный путь ученика? Как бы там ни было, очевидно, что разброс в способностях школьников будет, но, по крайней мере, они смогут любить или ненавидеть математику такой, какая она есть, а не эту кустарную под нее подделку!

Симплицио. Но ведь мы точно хотим, чтобы ученики обладали определенным набором базовых знаний и умений. Вот для чего нужна программа, и вот почему она единообразна: существует некий набор основных фактов, одинаково необходимый всем и во все времена. 1 + 1 = 2, сумма углов треугольника равна 180°. Это не мнения и не художественные оценки.

Сальвиати. Напротив. Математические структуры, и практически полезные, и нет, возникают в контексте задач, и получают смысл только из этого контекста. Иногда мы хотим, чтобы 1 + 1 равнялось нулю — в арифметике по модулю 2. Сумма углов треугольника на сфере больше 180°. Это не факты сами по себе — все здесь относительно. Важна повесть, а не развязка сюжета.

Симплицио. Я уже устал от твоей мистической болтовни! Скажи мне, вот базовая арифметика — ты согласен или не согласен с моим мнением, что ученики должны ее знать?

Сальвиати. Смотря что ты называешь «базовой арифметикой». Если ты называешь ею  понимание задач счета и разбиения, преимущества группировки и поименования, различение вещи и ее обозначения, историю развития счетных систем — да, я считаю, что школьники должны это изучать. Если же ты называешь ею заучивание арифметических фактов вне базовой системы концепций — нет. Исследование вовсе не очевидного факта, что пять кучек по семь это столько же, сколько семь кучек по пять — да. Заучивание правила, что 5 × 7 = 7 × 5 — нет. Занятие математикой — это всегда открытие закономерностей и создание красивых и осмысленных объяснений.

Симплицио. Ладно, а геометрия? Школьники все время доказывают геометрические теоремы. Разве, по-твоему, уроки геометрии в старших классах — не образец того, какими должны быть уроки математики?