ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая работа имеет своею целью дать маленькое, но самостоятельное исследование одного из самых важных вопросов марксистско–ленинской теории, именно вопроса о текучем, подвижном, становящемся характере мышления, который вытекает как из того обстоятельства, что мышление есть отражение подвижного бытия и вечно становящейся материи, так и вследствие необходимости рассматривать все существующее диалектически. Мы умеем рассматривать природу и мир как вечно подвижные; но подвижность и текучесть мышления очень часто остается у нас только на бумаге, и, приступая к логике, т. е. к науке о мышлении, мы очень часто оказываемся в цепях самой доморощенной метафизики и рассматриваем понятия как неподвижные и абсолютно непроницаемые субстанции. Классики марксизма–ленинизма много сделали для того, чтобы приучить нас к текучему и становящемуся характеру понятия, суждения и умозаключения; и метод бесконечно–малых наряду со многими другими точками зрения играл у них в этом отношении далеко не последнюю роль. Конкретизировать и развивать соответствующие указания классиков марксизма–ленинизма и является целью настоящей работы.

К сожалению, как ни ценна сама математика, ее материалы в логическом отношении являются совершенно неразработанными у самих математиков, страдающих почти всегда слишком большим формализмом, техницизмом и даже номинализмом. Им, напр., часто кажется, что они витают в каком–то неприступном идеальном царстве мысли и что их построения ровно ничему не соответствуют объективному. Даже и прямое значение математики в механике и технике очень часто понимается вполне махистски, т. е. так, что математика продолжает быть у них даже и здесь чисто априорной дисциплиной, как будто не существует никакой материи или она не нужна для этих математических построений. Покамест в математике не разрушен этот формализм, фикционизм и номинализм, нечего и думать принимать без критики то, что говорят сами математики. Приходится применять их методы на основе их конкретной разработки в самой математике, но никак не в силу формулировок и интерпретаций их у самих математиков. У математиков бывает часто даже прямое презрение к другим наукам, с их точки зрения недостаточно точным, и какое–то бахвальство своим особым, привилегированным положением среди прочих научных работников, наплевизм на огромные усилия человеческого ума понимать мир не только математически. В основе такого сепаратизма лежит наивное убеждение в том, будто бы математические истины никак не связаны с человеческим опытом и что они не уходят своими корнями в эмпирически наблюдаемую объективную реальность.

Предлагаемая работа имеет своею целью использовать метод бесконечно–малых для философии, но она имеет также своею целью опровержение очень частого у математиков сепаратизма, отрицающего связь математического анализа с конкретным человеческим опытом. Энгельс пишет: «Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой оценивается так высоко, считаясь величайшим торжеством человеческого духа, как открытие исчисления бесконечно–малых во второй половине XVII в. Здесь, кажется, скорее чем где бы то ни было мы имеем перед собой чистое и исключительное деяние человеческого духа. Тайна, окружающая еще и в наше время применяемые в исчислении бесконечно–малых величин дифференциалы и бесконечные разного порядка, является лучшим доказательством того, что и поныне еще воображают, будто здесь имеют дело с чистыми, свободными творениями и плодами воображения человеческого ума, для которых нет ничего соответственного в объективном мире. Между тем справедливо как раз обратное. Мы встречаем для всех этих мнимых величин прообразы в природе» (Анти–Дюринг. 1938.275). Эти указываемые Энгельсом прообразы математического анализа в природе мы приводим в § 13, где мы обращаем внимание также и на то, что вся реальная и повседневная жизнь человека, все его поведение и вся его работа состоит из процессов постоянного дифференцирования и интегрирования.

Только очень низкой культурой логического мышления приходится объяснять то, что в традиционной логике до сих пор отсутствует метод бесконечно–малых и даже самое понятие бесконечности. Здесь все еще мерещится старая метафизика, и многие даже весьма искренне настроенные марксисты боятся употреблять этот термин в логике, несмотря на то что в соседней с логикой науке, в математике, этот метод и это понятие не только заняло твердую позицию несколько веков назад, но без этого немыслимо даже и современное развитие техники. Каждый средний студент математических, физических, разного рода технических факультетов оперирует бесконечностями не хуже того, как школьник оперирует таблицей умножения, и только одна логика, призванная к тому же отразить развитие науки, все еще боится даже заикнуться о понятии бесконечного и уж тем более страшится всяких методов, связанных с операциями над бесконечными величинами. Большой вред в этом отношении нанесли опять–таки сами же математики, и именно своим отгораживанием математического понятия бесконечности от всякого другого ее понятия и своим отгораживанием этого понятия от прообразов и аналогий с реальной действительностью.

В этом отношении мы позволим себе опять–таки процитировать Энгельса. Он пишет: «…лишь только математика укроется в свою неприступную твердыню абстракции, так называемую чистую математику, все эти аналогии забываются; бесконечность становится чем–то совершенно таинственным, и тот способ, каким ею пользуются в анализе, начинает казаться чем–то совершенно непонятным, противоречащим всякому опыту и рассудку. Глупости и нелепости, которыми математики не столько объясняли, сколько извиняли этот свой метод, приводящий странным образом всегда к правильным результатам, превосходит худшие, реальные и мнимые фантазии хотя бы гегелевской натурфилософии, о нелепостях которой математики не могут наговориться досыта. Они сами делают теперь— но в несравненно большем масштабе — то, в чем они упрекают Гегеля, именно доводят абстракции до крайности. Они забывают, что вся так называемая чистая математика занимается абстракциями, что все ее величины, строго говоря, мнимые величины и что все абстракции, доведенные до крайности, превращаются в бессмыслицу или в свою противоположность. Математическая бесконечность заимствована из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому она может быть объяснена только из действительности, а не из самой себя, не из математической абстракции. Но если мы станем исследовать действительность с этой стороны, то мы найдем, как мы видели, те реальные отношения, из которых заимствованы эти математические понятия о бесконечности, и даже естественные аналогии математической трактовки этих отношений. А этим и объясняется все дело» (Анти–Дюринг. 278 сл.).

Очистивши таким путем математику от чуждых ее природе формалистских и фикционистских интерпретаций и взявши математический анализ как вполне непредубежденное учение о становлении, мы получаем ряд больших достижений в логике, вырывая с корнем коснеющие в ней до настоящего времени метафизические предрассудки. Мы получаем возможность рассматривать мышление как функцию того независимого переменного, которое есть материя, и—тем самым стараемся внести в учение об отражении ясность и наглядность.

Мы приучаемся видеть конечное и бесконечное не в их метафизическом разрыве, но в их существенном совпадении и диалектическом единстве, с точки зрения которого каждое из них есть только бессильная абстракция. Какой бы малый отрезок прямой мы ни взяли и как бы мало ни было расстояние между двумя точками на прямой, между этими двумя точками всегда можно поместить не только одну или две новых точки, но целую бесконечность новых точек. Конечное, таким образом, только в своем абстрактном и рассудочном виде не есть в то же время и бесконечное. Подобным же образом наталкиваемся мы на полную невозможность представить себе и бесконечное вне всяких элементов конечности. Марксистско–ленинская теория, далее, помогает нам разобраться и в различных комбинациях этих абстрактно выделяемых элементов конечного и бесконечного и достигнуть подлинного базирования логического мышления на человеческой практике.

Автор доказывает в § 12 полную пронизанность логического мышления практикой, настолько полную, что без человеческой практики, с такой точки зрения, невозможно даже и различить конечного и бесконечного. Этим автор хотел бы способствовать перейти от фраз к делу в вопросе о природе логического мышления, которое обычно только декларируется в качестве определяемого практикой, но в котором еще до сих пор с точностью не указана огромная роль практической направленности человека. Мы доказываем, что практика не просто влияет на мышление со стороны (такого влияния не отрицал даже сам Кант, в этом еще нет ни капли марксизма–ленинизма), но что мышление ни в каком своем мельчайшем акте не может даже и начаться без практики, что оно и есть как бы сама же практика, но только специфически направленная.

Марксистско–ленинское понимание метода бесконечно–малых приводит далее, — и опять–таки в виде научного построения, а не просто декларации, — к учению об общем в той его замечательной ленинской трактовке, когда общее является не бездушной абстракцией, но богатством индивидуального, когда оно есть закон возникновения и действия этих конкретных жизненных индивидуальностей. Традиционная логика, конечно, только вводит нас в заблуждение, когда говорит о познавательной роли понятия или суждения, ибо какое же это познание, если понятие трактуется как совокупность мертвых признаков, а та действительность, которая должна была бы познаваться, все время бурлит и пенится бесконечно разнообразными «признаками», не вместимыми ни в какое закостеневшее понятие, неохватна ни для какого застывшего суждения? Толкуя все логическое мышление, и в частности понятие или суждение, как установление наличных в действительности законов и методов развертывания этой действительности, мы тем самым, во–первых, получаем логические общности как именно богатство индивидуального, а во–вторых, только таким путем и получаем впервые ясное представление о познавательной роли понятия или суждения. Если познавательная роль понятия никак не фиксируется в структуре самого понятия, то эта роль есть только пустая фраза и ничего не говорящая отписка. И только когда общее понятие трактуется как закон возникновения индивидуальностей, только тогда познавательная роль понятия предстает перед нами во всей своей силе и красоте, и только тогда она перестает быть пустой декларацией. Но наилучшие образцы построения общностей как законов для индивидуального мы находим именно в математическом анализе, в силу чего применение методов этого последнего в логике давно уже стоит на очереди для нашей философии.

Таковы основные идеи предлагаемого исследования.

Нечего и говорить о том, что метод бесконечно–малых отнюдь не является для автора единственным методом в логике и что он не является даже и каким–нибудь исключительным. Существует множество других методов логического мышления, и математических, и нематематических, которые частью еще не формулированы в науке, а частью уже и формулируются. Сам автор дает в § 12 и 13 некоторые установки для того логического метода, который он называет структурным и который находит свое замечательное применение в органической химии. Если бы мы захотели точно формулировать исходные аксиомы и основные методы современной квантовой механики с логической точки зрения, то читатель бы поразился своеобразием и неожиданностью реализуемого здесь логического мышления. Однако для учета всего своеобразия логического мышления и фактически функционирующих в человеческом сознании различных типов логики вовсе не надо исследовать только науки. Если мы присмотримся к нашим повседневным размышлениям и высказываниям, то здесь мы найдем еще более богатое логическое разнообразие, еще больше самых неожиданных и самых сложных законов и методов логической мысли. То, что логика есть, вообще говоря, историческая наука и что, по крайней мере, каждая из основных человеческих формаций имеет свою собственную логику, мы надеемся, есть уже непреложная истина для всякого марксиста. И тем не менее, нас интересует в данной работе только один такой логический метод и мы сознательно отгораживаемся от всех других логических методов и даже не пытаемся давать точное сопоставление этого метода ни с методом диалектическим, ни с методом формально–логическим, ни с логистическим и ни с какими прочими методами, проводимыми в разных науках. Все это — проблемы дальнейшего исследования; и пока не существует никакой традиции и никакой договоренности относительно самих принципов инфинитезимальной логики, до тех пор в этой области невозможно ставить никаких более широких проблем.

В заключение автор считает необходимым сказать, что его инфинитезимальная логика является пока только скромным предложением и что она нуждается в подробной и внимательной критике со стороны советских философов. Возможно, что здесь окажется многое неверным или излишним и что это предложение потребует в дальнейшем коренной переработки. Однако все это является только вполне естественным, поскольку данное предложение и связанное с ним исследование являются новыми, ибо безопасным является только повторение старых трафаретов. Автор, во всяком случае, вдохновлялся известными словами товарища Сталина, что «овладеть марксистско–ленинской теорией—значит уметь развивать ее и двигать вперед».

 

1. ВСТУПЛЕНИЕ

1. Невероятное отставание школьной логики от современного развития науки особенно проявляется в беспомощности перед математикой, в ее математической элементарности. Уже 300 лет прошло с тех пор, как естественные науки стали на путь изображения подвижной природы вместо фиксации разных ее окостеневших форм. Уже 200 лет проходит с тех пор, как на тот же путь стали и науки общественные. Уже 100 лет назад начала подниматься великая звезда марксизма с его теорией непрерывно–скачкообразного становления человеческого общества. Но учебники логики с поразительным единодушием продолжают—вот уже до середины XX в. — ограничиваться элементарной таблицей умножения, демонстрируя собою чудовищный разрыв со всем научным сознанием передового человечества. Дело, конечно, вовсе не в том, что в логике не должно быть никакой элементарной ступени, подобно начальной арифметике в математике. Такая элементарная логика, которая состоит из «неподвижных категорий, представляющих собою как бы низшую математику логики, ее применение в условиях домашнего обихода» (Энгельс. Диал. прир. 1941. 163), конечно, должна иметь свое твердое место; и «никто не станет заключать, что, например, формальная логика — бессмыслица» (там же, 193). Но речь все–таки идет об ограничении этой элементарной (слишком уж элементарной) логики; и речь идет о том, чтобы высшая математика все–таки не сводилась на начальную арифметику.

Как это сделать? Решать такой вопрос в целом, разумеется, было бы наивно в нашей небольшой работе. Но обратить внимание работников теоретической мысли на один пункт, весьма важный для решения этого вопроса, — это сделать можно и в небольшой работе.

2. Именно, мы предлагаем учесть тот огромный вклад, который был сделан в свое время в человеческую мысль математическим анализом, или исчислением бесконечно–малых, или, как говорят, инфинитезимальным методом. Не говоря уже о колоссальных приложениях этого метода в ряде точных наук, и теоретических, и технических, высокая оценка этого метода базируется у нас на марксистском отношении к этому методу, с большой силой выраженном у Энгельса. «Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой–нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно–малых во второй половине XVII века. Если уж где–нибудь мы имеем перед собою чистое и исключительное деяние человеческого духа, то именно здесь» (Диал. прир. 216). «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы движения» (220). Однако если мышление, по Энгельсу, есть отражение природы (168) и если «движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. е. понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собою все происходящие во вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением» (46), то спрашивается: как же можно было бы игнорировать метод бесконечно–малых, изображающий движение как раз со стороны его сплошности и непрерывности, в мышлении, в логике, в науке о материальном движении на самой высокой ступени его развития? Совершенно очевидно, что с точки зрения учения Энгельса метод бесконечно–малых в логике по меньшей мере допустим и оправдан, если только не прямо необходим.

Поэтому имеет смысл совершить эту попытку, если мы хотим обрисовать логическую природу мышления именно как формы движения.

3. Мы вполне учитываем возможность всякого рода возражений, которые поднимутся против введения метода бесконечно–малых в логику. Возражения против этого метода были и в самой математике. Всегда находилось достаточное количество недалеких голов, пугающихся всего бесконечного. И даже еще теперь, когда голое отрицание этого метода было бы обскурантизмом, все еще встречаются специалисты, думающие свести анализ на конечные операции. Против такого рода узколобых критиков Энгельс прекрасно пишет следующее (162): «До конца прошлого столетия и даже до 1830 г. естествоиспытатели более или менее обходились при помощи старой метафизики, ибо действительная наука не выходила еще за пределы механики, земной и космической. Однако известное замешательство вызвала уже высшая математика, которая рассматривает вечную истину низшей математики как преодоленную точку зрения, часто утверждает нечто противоположное ей и выставляет положения, кажущиеся представителю низшей математики просто бессмыслицей. Здесь затвердевшие категории расплавились, математика вступила в такую область, где даже столь простые отношения, как отношения абстрактного количества, дурная бесконечность, приняли совершенно диалектический вид и заставили математиков стихийно и против их воли стать диалектиками. Нет ничего комичнее, чем жалкие уловки, увертки и вынужденные приемы, к которым прибегают математики, чтобы разрешить это противоречие, примирить между собою высшую и низшую математику, уяснить себе, что то, что у них получилось в виде неоспоримого результата, не представляет собою чистой бессмыслицы, — и вообще рационально объяснить исходный пункт, метод и результаты математики бесконечного».

4. Мы думаем, что вышеприведенные слова Энгельса дают нам полное право на подобного рода исследование. Однако все же кое–что приходится сказать наперед, просто чтобы не вводить никого в ненужное заблуждение.

Прежде всего, из того, что этот метод мы предлагаем ввести в логику, вовсе не вытекает, что в логике не должно быть никаких других методов. Метод формально–логический, метод описательно–структурный, метод логистики, метод диалектический могут и должны применяться в логике, и метод бесконечно–малых должен быть с ними в гармонии.

Далее, из того, что некоторые направления буржуазной философии тоже считали нужным использовать метод бесконечно–малых, — этот факт способен пугать только детей. Мало ли с чем может «совпадать» марксизм? Марксизмом руководит искание истины, а не то, совпадает ли он или не совпадает с теми или другими буржуазными методами. Марксистский диалектический метод тоже в какой–то мере «совпадает» с Гегелем. Однако это не помешало Марксу справедливо сказать, что его метод диаметрально противоположен гегелевскому. Позитивистский дарвинизм тоже выставил принцип борьбы за существование. Однако это не помешало Энгельсу в своей теории классовой борьбы совершенно отбросить дарвинистическую «борьбу за существование». Прагматисты тоже «совпадают» с нами в учении о практике как критерии истины. Но разве может быть у кого–нибудь сомнение о полной противоположности марксизма и англо–американского праг матизма?

Точно так же не будет свидетельствовать о нашей философской проницательности, если мы при мысли о бесконечно–малых в логике будем пугаться уже давно отошедших на тот свет марбургских неокантианских теней. Во–первых, почему мы должны тут вспоминать обязательно о Марбурге? Метод бесконечно–малых применял в философии Лейбниц, представитель не кантианской гносеологии, но — объективной метафизики. Этот метод применял и по–своему обосновывал Гегель, представитель не кантианской гносеологии, но—объективного идеализма. В России в 80–х гг. [XIX в.] Н. Я. Грот говорил о дифференцировании и интегрировании в умственных процессах с точки зрения субъективистического психологизма. Этот метод с огромной силой выдвигали Маркс и Энгельс, представители диалектического материализма. При чем тут неокантианство? Во–вторых же, если уж сопоставлять наше понимание метода бесконечно–малых с концепциями Германа Когена, то ведь у последнего это есть метод порождения мышлением всякого бытия, а у нас—метод отражения материи в мышлении. При таком сопоставлении не только Коген переворачивается в своем гробу, но и мы можем сказать без всякого преувеличения, что наш метод бесконечно–малых диаметрально противоположен когеновскому, поскольку мы исходим из абсолютного существования материи и всякое мышление понимаем только как отражение этой последней.

Однако, повторяем, высочайшая оценка метода бесконечно–малых у Маркса и Энгельса делает совершенно ненужным рассмотрение возможных возражений против этого метода. Возражения могут (и должны) быть не принципиальные, но—только по вопросам конкретного применения этого метода.

5. Гораздо важнее другая сторона дела. При помощи метода бесконечно–малых мы предполагаем перейти наконец от слов к делу в вопросе о живом становлении мышления, хотя это и далеко не единственный способ. Не будем скрывать от себя, что принцип живого мышления легко может стать, а иногда и действительно становится пустой фразой. Все согласны с тем, что мышление–де, конечно, движется, а не стоит на месте. А на поверку выходит, что если и имеется в виду какое–нибудь движение мысли, то — чисто психологическое. А сама–то мысль, как именно мысль, имеет в себе какое–нибудь движение и становление или нет? Вот тут–то обычно и превращается учение о движении в мертвую фразу. Иной раз даже приводятся слова Ленина (Филос. тет. 328): «Диалектика есть живое, многостороннее (при вечно увеличивающемся числе сторон) познание с бездной оттенков всякого подхода, приближений к действительности (с философской системой, растущей в целое из каждого оттенка) — вот неизмеримо бог атое содержание но сравнению с «метафизическим» материализмом, основная беда которого есть неумение применить диалектику к Bildertheorie [к теории отражения], к процессу и развитию познания». Если эти слова Ленина для нас не пустая фраза, то что же такое это живое познание, что такое это становление, это сплошное течение мышления, понимая такое течение не психологически, а логически? Если продумать эту проблему до конца, то не миновать нам той — притом точнейшей — науки, которая ввела сплошное становление именно в числа, в величины, т. е. не миновать математического анализа. Конечно, логика есть учение о понятиях (и их дальнейших усложнениях), а не о числах, — это мы все время будем помнить очень хорошо. Но все же математический анализ дает такие общие принципы становления, которые нетрудно применить и к понятиям. И как в XVII в. уже было невозможно ограничиться в естественных науках только конечными и неподвижными величинами и стихийно возник математический анализ, без которого уже нельзя было научно отображать вновь открывающуюся картину природы, гак, в сущности говоря, уже и для того времени старая логика конечных и неподвижных понятий должна была считаться устаревшей. И Лейбниц, Кант, Фихте, Шеллинг, Гегель, даже Шопенгауэр с большими и частыми срывами и провалами старались, каждый на свой манер, построить философию не конечных и неподвижно изолированных тел или сущностей, но философию именно становящегося бытия и мышления. В XIX в. Энгельс с огромной силой выдвинул в своей «Диалектике природы» метод бесконечно–малых как то, без чего невозможно изобразить движущуюся природу и мышление, а Маркс построил всю свою грандиозную теорию капитала на таком именно понимании общества, которое требует вечного становления, которое трактует капитал как сплошно, непрерывно стремящуюся категорию, проходящую через целый ряд скачков, чтобы в конце концов, опять–таки в результате непрерывного становления и опять–таки при помощи грандиозного скачка, перейти в новую социальную формацию. «Капитал» Маркса, так сказать, насквозь ин–финитезимален, хотя выделение в нем этих элементов теории бесконечно–малых еще ждет своего исследования.

6. В буржуазной философии все говорят и все согласны, что бытие и все, что в нем, движется, меняется, течет и т. д. Однако все эти «принципы» давно уже стали там ничего не говорящей пошлостью, особенно нудной и никчемной в логике. Ленин искренне возмущался этой «научной» пошлостью, прекрасно зная, что она говорится совершенно безответственно, поверхностно, ради пустой фразы. Ленин пишет (Филос. тет. 265): «С принципом развития в XX в. (да и в конце XIX в.) «согласны все». — Да, но это поверхностное, не продуманное, случайное, филистерское «согласие» есть того рода согласие, которым душат и опошляют истину. — Если все развивается, значит, все переходит из одного в другое, ибо развитие заведомо не есть простой, всеобщий и вечный рост, увеличение (respective—уменьшение) etc. — раз так, то, во–первых, надо точнее понять эволюцию как возникновение и уничтожение всего, взаимопереходы. — А во–вторых, если все развивается, то относится ли оно к самым общим понятиям и категориям мышления? Если нет, значит, мышление не связано с бытием. Если да, значит, есть диалектика понятий и диалектика познания, имеющая объективное значение». Ясно видно, как глубоко чувствовал Ленин движение именно понятий. Но ведь тогда столь же должно быть ясным и то, что логика должна на первых же своих страницах учесть это движение. Тут общих фраз о том, что «все течет, все изменяется *», недостаточно. «Вопрос не о том, — пишет Ленин (265), — есть ли движение, а о том, как его выразить в логике понятий». Понятия и мышление ни в каком случае нельзя понимать только прерывно, только скачкообразно, хотя если бы здесь не было прерывности, то не было бы и различий, т. е. не было бы и самого мышления. Однако как же учесть эту непрерывность? Прерывность мышления мы умеем понимать (не столько, впрочем, умеем, сколько некритически интерпретируем по образу неподвижно изолированных вещей). Но как выразить непрерывность мышления, взаимослияние понятий? «Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий» (там же, 267). Спрашивается: где же это у нас непрерывность мышления, да и еще непрерывность логическая? Ясно, что мы ее еще не умеем изображать логически. Но ведь без нее, по Ленину, нет и самого движения.

7. Укажем еще на одно понятие, без которого нельзя себе представить современной науки, но которое в логике и философии все еще вызывает у многих панику и какой–то докультурный аффект испуга. Это понятие самого бесконечного. Несмотря на то что в математике это понятие стало уже 300 лет назад одним из самых обычных и трафаретных понятий, за невладение которым студентов увольняют с математических факультетов, — несмотря на это логика все еще продолжает по адресу этого понятия только беспомощно моргать глазами. Сам собой поднимается вопрос: не поучиться ли рассуждать тут у математики?

Мы не будем тут развивать ту мысль, которая должна быть ясна всякому диалектическому материалисту, о том, что не существует ни конечного без бесконечного, ни бесконечного вне конечного, что тут мы имеем типичное единство противоположностей, что «абсолютное и относительное, конечное и бесконечное — части, ступени одного и того же мира» (Ленин. Филос. тет. 106), что конечное и бесконечное «неотделимы», что «они—едино суть» (там же, 111). Что категория бесконечного поэтому столь же реальна и нисколько не более таинственна, чем категория конечного, это ясно. Но вот в чем вопрос: как вводить это бесконечное, как понимать его реальное функционирование в положительной науке и философии? Его можно представлять как нечто окончательное и завершенное и как только еще становящееся. Энгельсу не чужда мысль даже и о завершенной бесконечности, ибо он пишет (Диал. прир. 187 сл.): «…всякое действительное, исчерпывающее познание заключается лишь в том, что мы в мыслях поднимаем единичное из единичности в особенность, а из этой последней во всеобщность; заключается в том, что мы находим и констатируем бесконечность в конечном, вечное—в преходящем. Но форма всеобщности есть форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности; она есть соединение многих конечных вещей с бесконечным». Но мы не будем здесь поднимать вопроса о завершенной бесконечности, так как здесь встал бы трудный вопрос о марксистской оценке современного учения о трансфинитных числах. В то же самое время, в чем уж никак нельзя сомневаться и что уж во всяком случае признано и утверждено классиками марксизма–ленинизма, это категория становящейся бесконечности, т. е. как раз то, на чем стоит математический анализ.

Вот у Энгельса картина этой становящейся бесконечности, и притом даже с употреблением математической категории асимптоты, т. е. такой прямой, которая касается данной кривой только при бесконечном продолжении этой прямой (Диал. прир. 188): «Подобно тому как бесконечность познаваемого материала слагается из одних лишь конечных предметов, так и бесконечность абсолютно познающего мышления слагается из бесконечного множества конечных человеческих голов, которые работают над этим бесконечным познанием друг возле друга и в ряде сменяющих друг друга поколений, делают практические и теоретические промахи, исходят из неудачных, односторонних, ложных предпосылок, идут ложными, кривыми, ненадежными путями и часто не находят правильного решения даже тогда, когда уткнутся в него носом (Пристли). Поэтому познание бесконечного окружено двоякого рода трудностями и может, по самой своей природе, совершаться только в виде некоторого бесконечного асимптотического прогресса. И этого для нас вполне достаточно, чтобы мы имели право сказать: бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо, а это все, что нам нужно».

Может ли марксист отрицать такую бесконечность? Конечно, нет. Я не знаю, стоит ли при этом напоминать так хорошо известное всем учение Ленина об абсолютном и относительном и бесконечном приближении относительного познания к абсолютному. Всегда находились такие «марксисты», которые начисто отрицали абсолютное и бесконечное; и так как в науке без этих понятий обойтись нельзя, то специально для них таким «марксистам» приходилось становиться в этих вопросах субъективными идеалистами. С другой стороны, признать абсолютно завершенное бесконечное означает не только устранение всякого реального исторического прогресса и всего относительного, но и признание одной из самых узких и ретроградных метафизик. Ленин, не отрицая абсолютной истины, ценит ее постольку, поскольку она нужна для относительной истины, ибо реальная истина, конечно, всегда будет относительной истиной. В борьбе с релятивистским и махистским отрицанием абсолютной объективной истины и бесконечного достижения ее человеком Ленин пишет (Собр. соч. XIII 110): «Итак, человеческое мышление по природе своей способно давать и дает нам абсолютную истину, которая складывается из суммы относительных истин. Каждая ступень в развитии науки прибавляет новые зерна в эту сумму абсолютной истины, но пределы истины каждого научного положения относительны, будучи то раздвигаемы, то суживаемы дальнейшим ростом знания» (подчеркнуто нами). «Познание есть вечное, бесконечное приближение мышления к объекту» (Филос. тет. 188, подчеркнуто нами). И далее: «Отражение природы в мысли человека надо понимать не «мертво», не «абстрактно», не без движения, не без противоречий, а в вечном процессе движения, возникновения противоречий и разрешения их». Поэтому человеческое познание — вполне условно и относительно (там же, 176, 198), и в то же время оно приводит к объективной истине (там же), гак что «в каждом шаге познания вперед» есть «абсолютное содержание» (174).

После всего этого сомневаться в том, что в основе марксизма–ленинизма, в основе по крайней мере марксистско–ленинской логики и теории познания лежит идея бесконечного достижения объективной истины, это «вечное и бесконечное приближение мышления к объекту», этот «вечный процесс движения» в материи и мышлении, — это значило бы ревизовать всю эту философию с начала до конца.

8. Учение о становящейся бесконечности и непрерывности тончайшим образом разработано в математическом анализе. Вместо вялой пошлости обывательских рассуждений о том, что все течет, все изменяется, мы находим здесь очень тонкий и мощный аппарат для освоения этого бесконечно мало наплывающего процесса сознания и для применения его в науке о природе и в технике. Это и заставляет нас использовать для логики старый и испытанный метод бесконечно–малых, это тончайшее, острейшее, блестящее орудие изображения непрерывных и бесконечных процессов, давшее столь грандиозные результаты в естествознании. Как мы можем остаться равнодушными к этому в логике, т. е. в той науке, которая как раз и должна нам рассказать, что такое мышление как максимально правильное отражение вечно движущегося бытия?

Можно ли, спросим мы, теперь, в середине XX в., игнорировать этот замечательный метод при обрисовке природы логического мышления? Допустимо ли такое чудовищное отставание нашей логики от точных наук, насквозь пронизанных дифференциальным и интегральным исчислением? Не превращается ли всякое наше рассуждение о становлении мышления, об отражении материи в мышлении в пустую фразу, если мир движущейся материи так точно и так прекрасно зафиксирован в математическом анализе, а мир мышления все еще коснеет — в наших изображениях его — на стадии арифметики конечных и неподвижно изолированных чисел? Нам кажется, уже давно пора ликвидировать это чудовищное отставание логики от науки. Невозможно, чтобы учащийся, прошедший современную математику, механику, физику, астрономию и пр., относился с пренебрежением к нашей логике. А он должен так относиться, ибо в ней он находит теорию конечных понятий и теорию неподвижных и взаимно изолированных понятий. Достаточно ли этого? Допустимо ли вузы свести на таблицу умножения? Можно ли, имеем ли мы право говорить о мышлении как об отражении материи, если материя есть сплошная текучесть и подвижность (при условии скачкообразных переходов), а мышление есть сплошная неподвижность, точкообразная косность, где ни при каких условиях и никогда ни один элемент не может перейти в другой? Нам кажется, что с точки зрения современного развития философии и науки вопросы эти могут быть решены совершенно ясно и безоговорочно. И математический анализ—как один из методов (это уже во всяком случае)—должен найти какой–то отзвук в науке логики.

9. Таким образом, мы выдвигаем фундаментальную категорию математического анализа — категорию бесконечно–малого — в надежде достигнуть если не окончательной ясности в проблеме логического понимания мышления, то по крайней мере более совершенного понимания, чем это мы находим в традиционной системе логики. Бесконечно–малое ценно для нас именно тем, что в нем с достаточной глубиной совмещается идея бесконечного и непрерывного процесса с точными конечными элементами и формулами. Бесконечно–малое в математике определяется как такая величина, которая может стать меньше любой заданной величины. Тут важно именно это «может стать». Этим отрезывается раз и навсегда атомистическое понимание бесконечно–малого. Это не какое–то мельчайшее тельце, которое обладает хотя и наименьшим, но все же раз и навсегда установленными и неподвижными размерами. Вся суть заключается тут как раз в обратном: эти маленькие размеры берутся в процессе своего постоянного изменения, так что всякое такое бесконечно–малое, никогда не будучи в состоянии стать нулем, все же вечно к нему стремится, отличаясь от него на какую угодно малую величину. Бесконечно–малое никогда не имеет своего последнего значения, ибо, с какой малостью мы бы его ни брали, оно в то же самое мгновение становится еще меньше. Оно, таким образом, ни в каком случае не есть просто наименьшее. Поэтому в сущности даже совершенно не важно, что оно вообще принимает какие–нибудь значения или проходит через какие–нибудь точки. Никаких неподвижных значений и никаких точек нельзя себе и представить в бесконечно–малом, поскольку оно есть сплошной и непрерывный процесс уменьшения, а не что–нибудь имеющее определенные, хотя бы и наименьшие размеры (конечно, математический анализ учит и о прерывных функциях, но они рассматриваются здесь тоже в контексте общего учения о непрерывности).

Но если такое чистое становление наука гак прекрасно умеет изображать в одной сфере мышления, именно в числовой, то почему же нужно запрещать находить такое же становление и в другой сфере мышления, в понятийной, и в мышлении вообще? Не будет ли такой запрет уже чрезвычайно большой ретроградностью в логике и не будет ли это реакционным узаконением той непозволительной и прямо–таки неимоверной отсталости логики от науки, которую мы сейчас имеем, вопреки основам марксизма–ленинизма, вопреки всему естествознанию?

Поэтому в дальнейшем мы попробуем дать кратчайший и совершенно элементарный очерк инфинитезимального понимания логического мышления, не только без всяких претензий на полноту и исключительность, но и с сознанием, что работу эту мы только еще предлагаем, что уже первое прикосновение к этому других работников, несомненно, даст и новые и более совершенные результаты, углубление которых должно быть постоянным и идущим вперед, как и сама математическая наука.

Находясь на такой позиции, попробуем наметить инфини–тезимальный подход к логическому мышлению в следующем виде.

 

2. ВЕЩb — АРГУМЕНТ И ОТРАЖЕНИЕ—ФУНКЦИЯ

Материализм может исходить только из подвижной материи как из чего–то независимого. И все, что есть помимо материи, есть, очевидно, только ее отражение, ее функция.

Уже один этот первый—и простейший — шаг по пути понимания мышления с точки зрения математического анализа имеет огромное значение. Сказать, что мышление есть функция материи, — это значит иметь большое достижение. Многим, особенно воспитанным на утонченном буржуазном логицизме, весьма претит наш «грубый» термин «отражение». Нас обвиняют за него в метафизике, в грубом онтологизме, в игнорировании чисто логической проблематики и т. д. Термин «функция» в этом отношении совершенно незаменим. Он берет из «отражения» как раз то, что нам надо. А тем не менее он совершенно обезоруживает всякого буржуазного гносеолога. Что можно против него сказать, если на нем построен целый ряд точных наук огромной важности? Кроме того, эта категория яснее и проще подвергается научному анализу. Если об отражении еще можно спрашивать, что оно такое, то в реальной значимости «функции» уже никто сомневаться не имеет никакого права; и речь может идти только о том, как это понятие проще определить.

Таково это первое—и, на наш взгляд, огромное—достижение математического метода в логике—это понимание мышления как функции от материальных вещей.

Обозначим материальную вещь через χ, понимая ее как то независимое переменное, от изменений которого будет зависеть все прочее. Этот χ принципиально неисчерпаем и бесконечен (вспомним ленинский стакан в знаменитой речи о профсоюзах). Этому χ соответствует адекватное существенное отражение, такое же неисчерпаемое и такое же бесконечное, как и сам х. Это существенное отражение, очевидно, является определенной функцией от аргумента х. Назовем ее у. Ясно, что человеческое знание, вообще говоря, есть некоторое отношение между этими χ и у. От изменения этого отношения между вещью и ее отражением зависит и степень, равно как и качество человеческого мышления и знания об этой вещи.

Итак, отражение вообще есть функция вещей материи; и поскольку мышление относится к сфере отражения, и само мышление тоже есть функция материи. Тут, однако, не надо сбиваться с толку этой точной терминологией и надо понимать ее только так, как она сама на это уполномочивает. Во–первых, если мы говорим, что мышление есть функция материи, то этим вовсе не говорим, что мышление есть функция какого–то одного переменного. Вещь вовсе не есть какое–нибудь одно переменное. Это—множество разнородных переменных, если не прямо бесконечное число разного рода переменных. Раз вещь бесконечна, то, значит, она состоит и из бесконечного количества переменных, развивающихся к тому же в самых разнообразных и часто противоположных направлениях. Мышление поэтому, выражаясь математическим языком, есть обязательно функция многих переменных, даже когда оно относится к какой–нибудь одной, строго определенной вещи. И если мы сказали только об χ, то это было сказано только для краткости и только условно. На самом же деле это и хи и х2, и х3 и т. д. и т. д. Правда, для простоты и удобства исследования мы можем тут, как и в математическом анализе, изучать всякую функцию как функцию одного переменного, давая всем ее аргументам, кроме одного, как говорят, «произвольно выбранное значение», так что переменной величиной из всех аргументов остается только один.

Во–вторых, если мы говорим, что мышление есть функция материи, то так это и надо понимать, не больше и не меньше того.

И прежде всего этим совершенно не утверждается, что между материей и мышлением только и существует функциональное отношение, и никакое другое. Мы говорим только то, что в данном случае, а не вообще, что именно здесь, а не везде, что именно в логике, а не вообще где бы то ни было, — нас интересует функциональное отношение. Но вообще говоря, отношение между материей и мышлением, равно как и отношения, наличные в самой материи, отнюдь не есть только функциональные отношения. Мышление всегда принадлежит какому–нибудь субъекту, а субъект есть часть все той же материальной действительности. Отношение материи к мышлению в конце концов сводится опять–таки к отношениям внутри самой же материи, т. е. к материальным отношениям. А это уже есть не только функция. Однако нам здесь нужно пока только функциональное отношение между материей и мышлением. И видеть его, рассматривать отдельно, анализировать как таковое мы имеем полнейшее право как и в математике, так и в логике. И если такое абстрагирование не помешало математике остаться вполне реальной наукой, наукой о действительности, и, даже наоборот, если оно–то как раз и раскрыло здесь подлинную объективную реальность мышления, то, очевидно, это абстрагирование функций из цельной действительности сохранит и для логики ее реализм и даже усилит ее объективно–реальное значение.

 

3. ИЗМЕНЕНИЯ ЭТИХ АРГУМЕНТА И ФУНКЦИИ И ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭТИМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ

1. Итак, мы имеем некую систему независимых переменных или, пусть скажем, некий аргумент дс, материальную вещь, и — функцию от этого, отражение и, стало быть, мышление, у. Будем теперь наблюдать, как меняется наш х.

Покамест мы имеем просто отношение у к х, это значит, что мы находимся вообще в области знания, ибо отношение существенного отражения к самой вещи есть не что иное, как именно рассмотрение вещи в свете этого отражения и этого отражения—в свете соответствующей материальной вещи. Это есть знание, и это есть мышление — наиболее полное и наиболее целостное. Познание ведь и есть не что иное, как известное отношение между отражением вещи и самой вещью. Но вот вещь меняется, и соответственно—меняется и ее существенное отражение. Что тут происходит с познанием и, следовательно, со знанием?

Вещи меняются, во–первых, непрерывно и, во–вторых, прерывно, скачкообразно. Для наших целей сейчас особенно важно непрерывное изменение, т. е. сплошное становление вещи. Остановимся на нем. Итак, χ непрерывно меняется. Так как у есть функция от χ, то, следовательно (для случая непрерывной функции), непрерывно меняется и у. X изменился на некоторую величину, у изменился тоже на некоторую величину (уже свою собственную). X изменился на бесконечно–малую величину, и у—тоже. Тут, между прочим, чрезвычайно важна эта идея бесконечно–малых изменений существенного отражения, а значит, и мышления. Конечно, мы очень часто и без этого возражаем против метафизики, против неподвижности вещей и мышления. Однако большею частью эти возражения остаются только на бумаге. Мышление меняется—кто же будет отрицать эту азбучную истину? Но это, конечно, не есть марксизм. Очень легко отделаться общей фразой и не ставить вопроса во всей глубине. А вся глубина этого вопроса заключается в том, что мышление меняется именно непрерывно, что оно есть сплошное становление, т. е. что все его элементы (напр., понятия или суждения)—переменные величины в смысле математического анализа, т. е. что эти изменения происходят здесь бесконечно–малыми приращениями. Только дифференциальное и интегральное исчисления и могут обосновать для нас эту подвижность и текучесть самих понятий, самих сущностей. То, что они прерывны, это знают все. Но то, что они в то же самое время еще и непрерывно становятся, это знает мало кто. И покамест эта цитадель метафизики не будет разрушена, нечего и думать идти за Лениным, когда он говорит, что «не только явления преходящи, подвижны, текучи, отделены лишь условными гранями, но и сущности вещей так же» (Филос. тет. 263), что «всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей, — вот в чем суть» (110), что понятия есть «учеты отдельных сторон движения, отдельных капель ( = «вещей»)», отдельных «струй», в то время как бытие есть «река и капли в этой реке» (144). Поэтому непрерывность, бесконечно–малое изменение всякого понятия, суждения, умозаключения и всего мышления в целом, заповеданное Лениным, должно быть зафиксировано нами во всей точности, именно с математической точностью.

2. Итак, χ меняется и у меняется. В каком же отношении окажется теперь наш аргумент д: и наша функция у в условиях своего непрерывного изменения, т. е. в условиях изменения на бесконечно–малые величины? Ясно, что это отношение будет уже не то, что раньше между χ и у как таковыми. И что же это за отношение? Если иметь в виду, что здесь речь идет о непрерывном изменении вещи, а непрерывное изменение вещи есть именно то, которое мы воспринимаем чувственно, и если принять во внимание, что как раз наша чувственность обладает существенным признаком в сравнении с мышлением, непрерывной и чисто непосредственной текучестью и становлением, то мы не ошибемся, если скажем, что отношение бесконечно–малых приращений наших функции и аргумента, т. е. отношение непрерывного становления соответствующего отражения и вещи, есть не что иное, как сфера самой обыкновенной человеческой чувственности, но взятой в том или ином пределе.

3. Чистая непосредственная чувственность, если она лишена абсолютно всякого оформления, есть некий неразличимый туман, некая сплошная иррациональность, реально даже не существующая в человеческом опыте, а являющаяся лишь некоторой абстракцией.

Та реальная чувственность, которой обладает человек, не есть нечто только непрерывное и только текучее, только сплошное. Она есть известное оформление этой непрерывности, известная система прерывных и расчлененных моментов абсолютно неразличимого потока непосредственно–чистой чувственности. Мы можем брать один непрерывный поток и другой непрерывный поток в мышлении или в бытии. И уже то одно, что мы взяли другой поток, ясно свидетельствует о различии, наблюдаемом нами в безразличной непрерывности, и даже о сравнении этих различных непрерывностей. А сравнивание есть уже помещение их как бы на одну плоскость. Это есть уже какое–то их прикрепление к одному и тому же месту, т. е. какие–то прекращения их непрерывного становления.

Пусть перед нами текут два ручья. Самые–το ручьи непрерывно и сплошно текут, и—соответственно—их взаимоотношение меняется: волны того и другого ручья могут по–разному меняться, и в каждое мгновение они — различны, т. е. по–разному и относятся волны и струи одного ручья к волнам и струям другого ручья. И все–таки, несмотря на это, стоя на возвышенном месте и наблюдая эти два ручья на известном их протяжении, я обязательно имею перед собою их общую картину, и уж эта картина совершенно не меняется, а остается той же самой. Она—одна и та же при всей изменчивости течения обоих ручьев. Она есть то, за пределы чего не выходит взаимоотношение обеих текучестей. Она и есть предел взаимоотношения этих текучестей.

Ясно, что здесь мы хотя и продолжаем вращаться в сфере чувственности, но уже самую эту текучую чувственность начинаем понимать не просто как сплошную текучесть, но уже как известную едино–раздельность, конечно существенно связанную с этой текучестью. В данном случае она достигается при помощи предельного перехода.

Заметим, что, отличая чувственность от мышления сплошной текучестью, мы вошли бы в полное противоречие с принятыми нами самими установками для этой работы, если бы отрицали за мышлением всякую текучесть. Мышлению, поскольку оно есть именно мышление, а не чувственность, не свойственна лишь чисто непосредственная, т. е. слепая, текучесть. Но сплошная текучесть может быть сформирована не слепо, а осмысленно, т. е. составляющая ее непрерывность может в недрах своих сохранять именно эти осмысливающие ее предельные переходы. Но тогда мы получаем математическое понятие континуума как множества, т. е. такую сплошность, которая дана с целой системой предельных переходов. Однако понятие континуума сейчас нас не интересует; мы хотели только разъяснить, в каком смысле чувственность отличается от мышления сплошной текучестью.

Итак, мы получаем предел отношения бесконечно–малых приращений функции и аргумента; и этот предел есть производная от данной функции. Если бы наши два ручья так были бы связаны между собою, что течение в одном целиком зависело от течения в другом, т. е. чтобы один был функцией другого, то общую картину этого взаимоотношения двух течений, картину, за пределы которой эти последние не выходят, мы могли бы в совершенно точном смысле слова назвать некоторого рода живописной производной от одного ручья, как сказал бы математик, по другому, т. е. производной от того ручья, который является функцией, по тому ручью, который является аргументом.

4. Будем вдумываться в это важное понятие производной и попробуем привыкнуть к нему, чтобы в дальнейшем найти и его точный коррелят в логике.

Будем изучать это отношение бесконечно–малых приращений функции и аргумента. Математики показывают, что в условиях непрерывного изменения χ и у отношение между ними тоже непрерывно меняется, но оно меняется не как попало. Рассмотревши ряд значений этого отношения, мы убеждаемся, что этот ряд строится по определенному закону. Да этого закона и не может не быть, если у есть совершенно определенная функция от х. Если все это точно определено, то и бесконечно разнообразные отношения между приращениями отражения вещи и самой вещью не могут обладать случайным характером. Ведь если мы себе представим, что вещь χ прошла путь своих бесконечно–малых приращений целиком, так что уже никакого нового приращения быть не может, то ведь и отношение между этим нацело пройденным путем вещи и соответствующим ему путем изменения его отражения тоже окажется чем–то достигнутым, завершенным и окончательным. Правда, на путях своего непрерывного становления вещь никогда не может достигнуть такого предела. Но с другой стороны, мы ведь не можем же остановиться только на точке зрения непрерывности. С такой точки зрения не только никакой Ахиллес никогда не догонит черепахи, но и вообще никогда нельзя прийти из точки А в точку В, как бы они близки ни были одна к другой. Следовательно, хотя вещь и меняется непрерывно и хотя также и мышление, соответствующее ей, тоже меняется непрерывно, тем не менее сама–то вещь есть нечто определенное и даже конечное, равно как и соответствующее ей мышление. А поэтому и отношение между бесконечно–малыми непрерывными изменениями того и другого типа так же должно стремиться к чему–то конечному и определенному. Это и есть предел данного отношения, или то, что в математическом анализе носит название производной (в данном случае— первой производной). Значит, это отношение между бесконечно–малыми приращениями отражения вещи и самой вещи стремится к точному, вполне определенному пределу, к некоей новой функции, носящей название производной.

Это математики и выражают своими знаменитыми символами математического анализа. Δх и Δ ν — произвольные приращения аргумента и функции. Отношение между ними есть, вообще говоря, некоторая конечная величина, самое обыкновенное арифметическое частное. Но когда χ и—соответственно—у бесконечно мало меняются, т. е. когда мы берем, собственно говоря, уже не л; и у, но их непрерывное становление, тогда отношение их приращений переходит в такое же непрерывное становление. Или говорят так: приращения Δ х и Δ у бесконечно мало отличаются от нуля или непрерывно стремятся к нулю, а отношение этих бесконечно умаляющихся приращений имеет некий устойчивый предел. И тог да вместо Δ>· и Δ.τ пишут Δх и Δ ν и записывают гак:

, а словами говорят: производная от у по х.

5. Спросим себя теперь: если упомянутое отношение есть чувственное знание (напр., ощущение и представление), то что же такое предел этого отношения? Что такое предел наших чувственных познаний данной вещи, когда оказываются учтенными все возможные изменения данной вещи, когда мы охватываем, стало быть, целую бесконечность всех мельчайших изменений вещи, т. е. целую бесконечность всех возможных экземпляров вещи, когда мы охватываем, следовательно, все вещи данного ряда? Очевидно, если не входить в детали и ограничиться только самой общей формулой, то это есть не что иное, как понятие вещи. Понятие, следовательно, или, точнее, сфера образования понятия есть первая производная от мышления, понимаемого как адекватное существенное отражение материальной вещи по самой вещи в условиях непрерывного становления того и другого.

Строго говоря, производная не есть в переводе на логический язык просто само законченное понятие, но только относится к сфере образования понятия. Строгое же решение этого вопроса будет дано у нас ниже.

 

4. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ ДЛЯ ЛОГИКИ

1. Здесь перед нами также, по–нашему, огромный дар логике от математического анализа. Мы покамест оставим в стороне категорию производной в целом, ибо в дальнейшем ей посвящается у нас отдельный параграф. Но о категории предела, входящей в производную, необходимо сказать подробнее уже сейчас. Эта категория, как мы видим, привлечена у нас не больше и не меньше как для изображения логического отношения между мышлением и чувственностью.

Невозможно себе и представить все ухищрения ученых в вопросе о взаимоотношении мышления и чувственного представления. Можно сказать, вся история философии, особенно Нового времени, есть история разных теорий о взаимоотношении мышления и представления или, в дальнейшем, мышления и ощущения. И результат всех этих теорий довольно–таки плачевный. Это — априоризм и сенсуализм с бесконечными оттенками между ними. И это почти всегда подмена логической точки зрения разными натуралистическими исканиями, что из чего и как произошло. Но что бы и как бы из чего ни происходило, логическая значимость этим не определяется. Ньютон, Дарвин, Павлов — религиозные люди, а создавали материалистические системы. И наоборот, многие воспитанники духовных семинарий оказались у нас и материалистами, и революционерами. Пусть общее понятие «происходит» из чувственного опыта. Ну и что же из этого? Прежде всего, такое решение логической проблемы общего понятия не имеет никакой возможности ответить на критику Канта о том, что всякое отдельное чувственное восприятие пространственно–временной вещи уже предполагает априорные формы пространства и времени. А во–вторых, какое же это имеет отношение к логической природе мышления? А если известная теорема приснилась мне во сне в готовом виде, значит ли это, что данная теорема неверна?

Вместо всех этих жалких ignorationes elenchi математический анализ дает нам точную и сильную, яркую картину именно логического отношения между понятием и представлением. Спросим себя, какой смысл имеет в науке чувственное представление? Не само же по себе, в самом деле, оно имеет тут значение. Ведь наука — это установление законов, нахождение общих соотношений, т.е. то самое, на что совершенно не способно чувственное представление. Хороша была бы физика, если бы она не шла дальше тех скоростей, которые можно уловить глазом! Не только о скорости света мы никогда не узнали бы и не могли бы о ней учить как о чем–то реальном; но мы вообще о скоростях больших <…> м [етра] в секунду не могли бы иметь никакого представления или должны были бы отрицать их реальность. Но если не само по себе имеет значение для логики чувственное представление, то какое же еще? Уже не такое ли, о котором говорят т. н. эмпирики, что отдельные чувственные представления сливаются в одно общее представление, т. е. такое значение, которое сводится к тому, что они бесследно гибнут и расплываются в мышлении? Однако тут мы, конечно, должны защитить чувственное представление от такого его оправдания. Чувственное представление вовсе не гибнет; оно нужно для науки, оно—орудие науки; без него нет и самой науки. Но в чем же тогда дело? В чем же тогда значимость, и именно логическая значимость, представления в сравнении с понятием?

2. Я не знаю более совершенного способа и сохранить для науки чувственное представление, и в то же время ограничить его в сравнении с научным понятием (так ограничить, как оно фактически ограничено в своем научном употреблении), кроме толкования понятия как предела и представления как переменной величины, стремящейся к пределу. Что чувственное представление с такой точки зрения является чем–то ограниченным, это ясно. Но вместо неясного термина «ограниченность» мы получаем тут яснейшую категорию из теории пределов, именно категорию переменной величины, стремящейся к пределу. Такая величина всегда приблизительна. Она никогда не достигает своего предела, но зато и может приближаться к нему с любой точностью. Таким образом, по самой природе своей она есть нечто становящееся. Переменная величина имеет предел, говорят математики, если разница между ней и ее пределом может стать меньше любой заданной величины, т.е. вечно стремится к нулю. Что этим чувственное представление буквально спасается для науки, это совершенно ясно. Вместо расплывчатою пятна неизвестно чего, вместо абсолютной текучести дряблого чувственного марева представление получает определенную закономерность, оно получает научный смысл, его уже нельзя просто отбросить, оно — настоящий фундамент науки. Но в то же время все его логическое значение держится, по нашей теории, только его пределом, т. е. понятием, общим, которое им управляет, как в математике предел управляет соответствующей ему переменной величиной. В этом пределе нет ровно ничего таинственного или сверхъестественного. Это—самая обыкновенная конечная величина. Но он безусловно дает закон для соответствующей переменной величины, точь–в–точь [как] в реальной и истинной науке: мы имели массу всяких чувственных представлений, но весь их смысл заключается только в том, чтобы мы добыли из них закон природы или общества, получили бы то общее, которое их осмысляет и для которого они являются материальной базой.

3. Имея все это в виду, попробуем дать более точное логическое раскрытие понятия предела. Способов такого раскрытия несколько, и тут возможно употребление самых разнообразных категорий. Предлагаемая нами конструкция отнюдь не единственная и, вероятно, не наилучшая, так как вопрос этот почти не обсуждается в логике; и дружная разработка его, конечно, тотчас же обнаружила бы и другие, более совершенные подходы. Однако за отсутствием исследований этого вопроса в философии попробуем дать тут некоторое логическое построение с единственной претензией — только на первое приближение к истине.

Первое, что представляется нам тут очевидным, это то, что предел вовсе не есть ни только конечная, ни только бесконечная величина. Хотя всегда было и много охотников свести предел на конечное число на том основании, что он фактически может быть конечным числом, это есть, само собой разумеется, просто устранение самой проблемы. Когда мы имеем то или иное число натурального ряда, мы, конечно, вовсе не имеем никакого понятия предела и не нуждаемся в нем. Предел интересен вовсе не своей конечностью. Предел, какой бы величиной сам по себе он ни был, интересен тем именно, что он есть предел, граница—для чего? Для некоторого бесконечного непрерывного процесса. Если нет того, что стремится к пределу, нет и самого предела. Однако что такое это стремление? Оно не может быть рядом конечных и взаимно изолированных величин. Это было бы не стремлением, а мертвым покоем. Следовательно, здесь необходима именно непрерывность. И потому предел есть синтез конечного и бесконечного в абсолютно неделимом и непрерывном смысле: он есть и нечто устойчивое, определенное, конечное и в то же время требует некоего процесса, стремления, протекания, но—так, что в результате он есть некая совершенно неделимая цельность и единичность, без всяких разрывов и различий.

Это первое, что бросается в глаза при рассмотрении понятия предела. Но это только начало рассмотрения. Дело в том, что тут еще нет предела в том инфинитезимальном смысле, какой нам нужен в этой работе. В таком общем виде синтез конечного и бесконечного дается и в других математических науках, от которых нам сейчас предстоит отграничиться.

В самом деле, разве самое обыкновенное число из натурального ряда чисел не есть синтез конечного и бесконечного? Несомненно. Ведь мы же можем его делить до бесконечности. И совершенно ничто не мешает нам представлять себе, напр., ту же единицу или двойку как составленные из бесконечного числа дробных элементов. Разумеется, эта бесконечность таится решительно во всяком числе натурального ряда, и все–таки это — арифметика, а не математический анализ.

Существует по крайней мере три разных математических способа синтезировать конечное с бесконечным.

Во–первых, этот синтез может быть дан конечными средствами в конечном, в пределах конечного. Тут перед нами самое обыкновенное арифметическое число, т.е. такое, каким мы его знаем из элементарной арифметики. Тут бесконечность содержится внутри конечного, и тем самым не во всей своей свободе и независимости, но лишь как оформление конечного, т. е. как сплошное заполнение всегда наличных в нем разрывов.

Во–вторых, этот синтез конечного и бесконечного дается в математике еще и средствами бесконечного, т.е. мы получаем тут синтез конечного и бесконечного в бесконечном. При таком условии теперь уже конечное теряет свою свободу и независимость и становится только оформлением бесконечного, т. е. тем, что вносит в его неразличимость и непрерывность ту или другую оформленность, различимость, прерывность, упорядоченность. Таково трансфинитное число, которое есть всегда бесконечное множество, однако — не просто внутреннее сплошное и неразличимое, но—определенным образом оформленное, различимое, определенное и в этом смысле конечное. Если в арифметическом числе бесконечное находится на службе у конечного и никуда не выходит за его пределы, то в трансфинитном числе конечное находится на службе у бесконечного и за его пределами не имеет никакого самостоятельного существования.

В–третьих, синтез конечного и бесконечного еще дается в математике и так, что конечное и бесконечное сливаются в общий неразличимый поток, в общее сплошное становление, нисколько не перевешивая друг друга, а входя в этот синтез вполне равномерно и на одинаковых правах. Это есть инфинитезимальная величина, т.е. то бесконечно–малое, которое мы и определяли выше как непрерывный процесс, как такое малое, которое может стать меньше заданной величины, как такое нарастание, которое стремится к нулю и как угодно мало от него отличается.

Эти три синтеза конечного и бесконечного в математике — арифметический, трансфинитный и инфинитезимальный—настолько ярко выражены в математике и представляют собою настолько обычное в ней явление, что никаких споров по этому предмету, кажется, не может быть.

Но что это дает нам для логической теории пределов? Мы видим, что проблема предела значительно усложнилась и что предел этот можно понимать по крайней мере в трех разных смыслах. При этом нас в этом исследовании интересует, как сказано, только предел в инфинитезимальном смысле. Что же такое предел как инфинитезимальная категория?

Очевидно, раз инфинитезимальная точка зрения базируется на бесконечно–малом, из этого бесконечно–малого мы и должны тут исходить. При исследовании предела в инфинитезимальном смысле мы должны исходить из бесконечного и непрерывного становления, и больше не из чего другого. Мы должны тут оперировать становлением, не внося в него ровно никакого разделения или различения. А какие это операции, это совершенно не касается самого становления. Эти операции могут быть и конечными, прерывными.

Попробуем провести здесь то же разделение, которое мы проводим и в отношении синтеза конечного и бесконечного вообще. А именно, наше сплошное и непрерывное числовое становление мы можем понимать конечно, бесконечно и в виде непрерывного процесса. Или, употребляя ходовые термины диалектической логики, мы можем это становление понимать как бытие (т. е. акт самополага–ния, самоутверждения), как становление и как ставшее (как «наличное бытие», как исчерпавшее всю сферу становления и потому «остановившееся»). Ниже мы увидим, что числовое становление как акт бытия есть дифференциал; числовое становление как именно становление (т. е. как положенное становление) есть непрерывность бесконечно–малого и числовое становление как исчерпавшее себя целиком и потому остановившееся, т. е. числовое становление как ставшее, есть интеграл. Однако сейчас мы еще далеки от исследования этих сложных категорий и пока интересуемся только пределом. Но интеграл, как мы увидим в своем месте, и есть некоторого рода предел (какой именно—сейчас не важно). Другими словами, предел в инфинитезимальном смысле есть не что иное, как числовое ставшее, а ставшее предполагает и то, что именно становилось, и само становление. Поэтому синтез конечного и бесконечного, находимый нами в пределе, содержит в себе два пласта: во–первых, это есть синтез по типу становления (тут наш предел отличается и от арифметического, и от трансфинитного); а во–вторых, в сфере этого становления синтез конечного и бесконечного произведен по типу ставшего. И следовательно, предел в инфинитезимальном смысле есть такой синтез конечного и бесконечного, который дан как непрерывное становление, но целиком исчерпавшее себя или как само непрерывное становление, но—в простом тождестве с собою, без своего рассыпания и размыва на отдельные моменты. Поэтому предел здесь как бы вобрал в себя всю бесконечность непрерывных приближений к себе и держит их в одной неделимой точке.

Вот почему предел есть обязательно закон для стремления к нему приближенных величин, метод этого движения, или, попросту говоря, направление этого движения, общее направление его, то, что содержит в себе всю эту бесконечность индивидуальных приближений. Это потому, что он — ставшее; и это потому, что он — становление; и это потому, что он—устойчивое ставшее непрерывного и бесконечного становления, становление как целое. Невозможно себе и представить, чем оказалось бы общее цельное, родовое без этого учения о пределе. Сама категория закономерности, или закона, повисла бы в воздухе, если бы мы не обладали категорией предела. Только при полном прекращении всякого движения в материи, всякого ее становления можно было бы не пользоваться категорией предела. Но тогда во что же превратилась бы всякая общность, всякая цельность? Разве она не превратилась бы в механическую сумму, во внешнее насилие над абсолютно враждебными друг в отношении друга телами, из которых каждое отвергало бы и исключало всякое другое и уж тем более всю совокупность этих других? Вот почему и немыслима современная математика без теории пределов. Как же в таком случае мы можем строить логику без теории пределов, если логика есть только «итог опыта наук» (Ленин)?

 

5. ЛЕНИН О ПРЕДЕЛЕ, ОБ ОБЩЕМ И О ЗАКОНЕ

1. Задержимся еще на некоторое время на этом вопросе, чтобы больше привыкнуть к этой теории мышления с точки зрения учения о пределах. Дурные привычки неподвижной формальной логики, оперирующей с понятиями в виде каких–то инертных глыб или булыжников, держат логику на ступени колоссальной отсталости от науки, почему и указание некоторых трафаретных фактов из науки будет здесь совершенно нелишним. Понимает ли наука понятие как предел некоей последовательности или как закон некоего ряда, некоторой последовательности отдельных чувственных элементов? Конечно, да. Для этого даже нет необходимости забираться в математический анализ, а достаточно простой арифметики (только арифметики, разумеется, уже не конечных величин), достаточно элементарной механики или физики. Попробуем укрепить свое логическое понимание мышления на этих простейших примерах. Общее для нас не есть что–нибудь целиком оторванное от частного и индивидуального. Оно есть закон для него и, значит, охватывает всех его представителей, имеющих отношение к этому общему. Укрепиться на таком понимании общего совершенно необходимо — тогда и метод бесконечно–малых станет совершенно ясным и непререкаемым для логики.

2. Во всех этих построениях невозможно не привлекать учения Ленина об общем в связи с учением о законе и отношении. Ленин весьма похвально отзывается о соединении общего и частного у Гегеля. «Прекрасная формула: «не только абстрактно всеобщее», но всеобщее такое, которое воплощает в себе богатство особенного, индивидуального, отдельного (все богатство особого и отдельного!) великолепно!» (Филос. тет. 99). Но мало этого. Понимая «общее» как «сущность» (277), Ленин мыслит его конкретно именно как закон для соответствующего частичного. «Родовое понятие есть «сущность природы», есть закон…» (275); тут же заметим, что, по Энгельсу, тоже «форма всеобщности в природе есть закон» (Диал. прир. 188), а «закон есть отражение существенного в движении универсума» (Ленин. 148), т. е. «закон есть отношение… отношение сущностей или между сущностями» (150); и при всем том, конечно, «закон берет спокойное и — поэтому закон, всякий закон узок, неполон, приблизителен» (и в этом указании Гегеля на «спокойствие» Ленин видит «замечательно материалистическое и замечательно меткое определение» (148)). Но мало и этого. Ленин, несомненно, мыслит общее и конкретное именно как бесконечную сумму менее общих достижений. Общее «только и есть ступень к познанию конкретного, ибо мы никогда не познаем конкретного полностью». «Бесконечная сумма общих понятий, законов etc. дает конкретное в его полноте» (285). При этом очень ценно у Ленина как раз чувство приблизительности и относительности всею отдельного, равно как и всего общего при нерушимой закономерной связи того и другого; и это–то особенно роднит его с учением о пределах и бесконечно–малом. Замечательно говорит Ленин (327): «Значит, противоположности (отдельное противоположно общему) тождественны: отдельное не существует иначе как в той связи, которая ведет к общему. Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе) общее. Всякое общее лишь приблизительно охватывает все отдельные предметы. Всякое отдельное не полно входит в общее и т. д. и т. д. Всякое отдельное тысячами переходов связано с другого рода отдельными (вещами, явлениями, процессами)». «…Естествознание показывает нам (и опять–таки это надо показать на любом простейшем примере) объективную природу в тех же ее качествах, превращения отдельного в общее, случайного в необходимое, переходы, переливы, взаимную связь противоположностей» (там же; подчеркивание в обеих цитатах наше). Интегральная природа общего, общее (и в том числе общее понятие) как предел суммы бесконечно–малых приращений вообще очень ярко чувствуется марксизмом. «Совпадение понятий с «синтезом», суммой, сводной эмпирией ощущений, чувств несомненно для философов всех направлений», — пишет Ленин (291). И наконец, если вспомнить еще и замечательное учение Энгельса (Диал. прир. 178): «Общий закон изменения формы движений гораздо конкретнее, чем каждый отдельный «конкретный» пример этого», то станет совершенно ясным, что с нашей точки зрения общее должно быть 1) пределом для всего частного, которое никогда не может его достигнуть, но вечно достигает его с любой точностью, 2) законом его образования и последовательности, или принципом его конкретного развертывания, а это значит, что и 3) наиболее конкретным выражением существенных отношений и закономерностей, царствующих в природе и обществе.

3. И вот это–то прекрасное учение обывательская мысль всегда была склонна опошлять и превращать в пустую фразу. В противоположность этому необходимо со всей энергией выставить понимание общего, или понятия, именно как предела, как закона, как принципа, как метода для всего индивидуального, чтобы это чувственное, отдельное, индивидуальное не погибло (в сенсуализме оно гибнет еще больше, чем в абстрактной метафизике), но сохранилось на лоне общего, как и общее на лоне этого индивидуального, со всеми мельчайшими оттенками этого индивидуального. Чтобы это не превратилось в фразу, мы и предлагаем взять образцы из самых точных наук и убедиться, что подлинно научные понятия строятся именно таким образом (хотя, конечно, в науке всегда остается множество и таких понятий, которые еще очень далеки от такого логического совершенства). Те, кто так часто твердит о «конкретности» общего, и не подозревают, в какой мере их рассуждение абстрактно. Только окунувшись в конкретную науку, можно понять, до какой степени конкретно, до какой степени ярко, до какой степени ослепительно вышеприведенное учение Ленина о закономерности и конкретности общего понятия.

 

6. ПРИМЕРЫ ИЗ НАУК

Итак, приведем несколько примеров из конкретной науки, относящихся к «предельному» пониманию логического мышления.

Возьмем такое математическое понятие, как «корень», напр. «квадратный корень». Это простейшее понятие есть прекрасный пример для иллюстрации того, что такое понятие как конкретная общность, т. е. как принцип ряда. Возьмем, напр., √2 или √3. Этими кратчайшими установками дан закон, или принцип, для бесконечно–большого количества действия и десятичных знаков, причем общность этого «квадратного корня из двух» или «квадратного корня из трех» заключается не в фиксации того, что обще всем получаемым здесь десятичным знакам (это было бы бессмыслицей), но в фиксации точного закона получения числа с любым количеством десятичных знаков. Для числа, из которого извлекается корень, точно, это было бы законом получения строго определенного количества знаков. — Возьмем то, что в математике называется специально рядом, напр. ряд Тейлора, который в элементарной алгебре дается обычно в виде т. н. бинома Ньютона, т. е. в виде двучлена любой степени. Уже школьник, изучивший алгебру, может очень легко получить любой член из возникающего здесь ряда, пользуясь формулой общего члена ряда, для которой нужно знать только порядковый номер члена ряда. Что это значит? Это значит, что имеется некая математическая структура —формула, которая обща для всех членов известного ряда величин, но обща не в виде понятия, никак не связанного с отдельными членами этого ряда, но в смысле общей формулы, общего закона, или принципа, дающего возможность опознать именно отдельные члены ряда, и притом любые.

Приведем примеры из механики. Всем известно, что значит «висеть», «вешать». Вот висят портреты, картины, часы, белье на дворе, одежда на вешалке и т. д. и т. д. Нет ничего проще, как вывести отсюда и общее понятие о висении. Но вот как поступает механика. Возьмем какой–нибудь определенный вид висения—напр., висения веревки, привязанной за оба конца, т. е. т. н. цепную линию. Оказывается, что направление, изгибание этой линии подчиняется точному закону и принципу, именно принципу гиперболического косинуса. Зная этот принцип, можно определить положение любой точки этой линии и, значит, целой бесконечности таких точек. Следовательно, цепная линия есть действительно логическое понятие, а не общее представление, и оно содержит в себе принцип для бесконечного количества отдельных индивидуальных моментов. — Возьмите понятие падения тела. Сколько бы миллионов раз мы ни наблюдали падение тела, мы никогда не получим понятия падения и будем барахтаться только в области представления о падении, если не реформируем самую природу понятия. Гении, создававшие механику, имели — хотя, может быть, и бессознательно — именно это тонкое и реформированное учение о понятии, а не вульгарное и ползуче–эмпирическое. Дело в том, что имеется опять–таки формула свободного падения тела в пустоте; она дает возможность определить положение падающего тела опять–таки в любой момент его падения, если известны начальный пункт, начальная скорость и ускорение силы тяжести. Это, кроме того, значит также и то, что строго научное и, в частности, логическое понятие есть всегда еще и принцип известного бесконечного ряда подпадающих под его понятие единичных предметов.

В механике известно т. н. гармоническое колебание, т. е. периодическое движение около некоторого центра. Имеется формула, дающая возможность определить положение колеблющейся точки в любой момент времени по заданным начальным условиям (т. е. по начальному положению и скорости). Это опять значит, что гармоническое колебание есть понятие как принцип, вообще говоря, бесконечного ряда.

Подобные примеры легко привести из любой науки, хотя в самой науке подобные понятия, ввиду их логического совершенства, отнюдь не могут быть получаемы легко. Даже история, одна из самых сложных наук, если где и может считаться наукой, то только там, где она вырабатывает такого рода понятия. Вне всякого сомнения, такие понятия, как «класс», «производство», «правительство» и т. д. и т. д., должны быть именно принципами известных рядов исторических фактов. «Античность», «средневековье», «возрождение», «просвещение» и пр., если проанализировать большинство ходячих руководств, остаются на стадии очень смутных общих представлений и еще не доросли до научных понятий. «Юлий Цезарь», «Петр I» и пр. — все это большею частью только набор того или иного количества случайных фактов, да еще историки обычно хвастались тем, что они приводят только факты и не делают произвольных обобщений. Это, конечно, свидетельствует только о примитивном состоянии науки, барахтающейся в частностях и не дошедшей до научных понятий. В противоположность этому Юлий Цезарь, скажем, Шекспира, Бернарда Шоу или Мом–мсена (независимо от правильности этих характеристик) есть именно понятия, методы, принципы, дающие возможность представить себе бесчисленное количество фактов, взглядов, поступков и событий, строго определенных именно данным методом, и Юлиан Ибсена или Мережковского, и Петр 1 Ключевского или Алексея Толстого есть тоже строгие принципы для бесконечного ряда поступков данных лиц, не только тех, которые даны тут у историков или беллетристов, т. е. на основании этих изображений можно судить и о любом отдельном жизненном случае, как тут поступил бы Юлиан или Петр.

Таким образом, понятие, рассмотренное с точки зрения метода бесконечно–малых, есть закон, или принцип, для бесконечного ряда индивидуальных предметов, дающий возможность получить любой предмет во всем его индивидуальном явлении. Только таким образом и осуществляется великое слово Ленина, признававшего, как мы уже знаем, всеобщее такое, которое воплощает в себе все богатство особенного, индивидуального, отдельного. Чтобы не загромождать изложения, мы ограничились немногим. Но ясно, что подобных примеров мы могли бы очень легко привести несколько сот, и притом из самых разнообразных наук.

В приведенных нами раньше категориях математического анализа и математики вообще неразъясненным остается переход от понятия к существенному отражению вообще. Мы рассмотрели, как отношение бесконечно–малого нарастания функции и аргумента стремится к пределу, к «производной», т. е. как чувственное представление стремится к понятию. Но мы еще не исследовали с достаточной ясностью, что это за переход от производной функции к первообразной, т. е. что это за переход от понятия к существенному отражению материальной вещи вообще. Чтобы внести в этот вопрос необходимую ясность, необходимо коснуться еще ряда категорий математического анализа.

 

7. ДАЛbНЕЙШИЕ КАТЕГОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЛОГИКЕ

1. В математическом анализе нахождение производной от данной функции называется дифференцированием этой функции, а нахождение первоначальной функции по данной ее производной называется интегрированием; произведение производной функции на произвольное приращение аргумента именуется здесь дифференциалом, а первоначальная функция, получаемая из ее производной путем интегрирования, есть интеграл.

Существует в анализе и другое определение интеграла. Интеграл функции есть предел суммы произведений разных значений данной функции на приращение независимого переменного. Это понимание интеграла наглядно представляют при помощи такого элементарного геометрического образа: если мы возьмем криволинейную трапецию и разобьем ее на ряд т. н. элементарных прямоугольников (т. е. на ряд полосок), то площадь такой трапеции равняется пределу суммы таких элементарных прямоугольников, или, подробнее, пределу суммы площадей бесконечно умаляющихся элементарных прямоугольников при бесконечно возрастающем их числе; отсюда геометрически интеграл и есть эта площадь (при наиболее элементарном его представлении).

2. Применяя эту точную терминологию к логической области, мы можем сказать следующее, давая тем самым общую картину всех этих инфинитезимальных (т. е. построенных на понятии бесконечно–малого) заключений.

Материальная вещь есть независимое переменное, аргумент, или поскольку она носитель бесконечных и неистощимых становлений и свойств, то тут, как мы сказали выше, мы имеем огромное количество разного рода независимых переменных.

Полное и цельное существенное отражение вещи, или ее цельное мышление, есть функция этой материальной вещи.

Дифференциал существенно–отражающего мышления есть нечто, связанное с производной, т. е. с предельным переходом, т. е. с операциями над бесконечно–малыми. Что это за связь, мы сейчас увидим. Понятие это чрезвычайно важно для борьбы с метафизикой, имеющей в виду неподвижное, обалдевшее мышление; мышление здесь, как видим, дается тоже в виде сплошного процесса становления, иначе оно и не было бы отражением вечно движущейся и становящейся материи.

Кроме того, так как мышление есть функция многих переменных, то, по примеру математического анализа, мы прежде всего имеем в логике дело с частными дифференциалами, т. е. с дифференциалами в зависимости от какого–нибудь одного независимого переменного. Существует также и полный дифференциал, равный сумме всех частных дифференциалов. С понятием дифференциала мы входим уже в область серьезного инфинитезимализма в логике.

3. Именно, дифференцировать существенно отражающее мышление— значит получать понятие, т. е. понятие есть первая производная мышления. Дело в том, что адекватно и целостно отражающее материальную действительность мышление, взятое само по себе, так же неистощимо, так же бесконечно, так же бурлит неисчерпаемыми возможностями, как и отражаемая им материя. Иначе невозможно было бы и говорить об отражении. Однако и такое целостное отражение вещи, и такая сама вещь есть нечто слишком жизненно–насыщенное, есть нечто сложное и неанализиру–емое, даже излишнее для обыкновенного мышления, разговора и действия, ибо обыкновенное мышление, разговор и действие все же подходят к целостной и неисчерпаемой вещи с какой–нибудь одной или немногих сторон. Поэтому для реального употребления цельного мышления надо его дифференцировать, имея в виду только какое–нибудь одно независимое переменное. Тогда мы получаем не просто производную функцию, но именно т. н. частную производную. То, что в логике носит название понятия, есть именно эта частная производная от цельного отражения цельной материальной вещи по одному из тех независимых переменных, которые составляют данную вещь.

В самом деле, что такое, напр., понятие воды? Вода, если ее брать как существенное отражение подлинной материальной действительности воды, есть нечто бесконечное. Воду можно понимать физически, химически, производственно–технически, медицински, эстетически и т. д. и т. д. Таких пониманий—принципиально — бесконечное количество, ибо бесконечна сама объективная материальность воды. Но вот мы выбираем из бесконечного количества свойств воды только одну определенную группу свойств, напр. химическую. Но как это мы делаем? Процесс этот не такой простой. Мы ведь не сразу наталкиваемся на Н20 как на нечто готовое. Мы это Н20 должны найти, получить, высчитать. Мы наблюдаем известного рода явления, происходящие с водой, и подыскиваем для них те или иные мысленные отражения, т. е. так или иначе пробуем их фиксировать. И только среди этих бесконечных приблизительных и текучих процессов, происходящих с водой, мы начинаем видеть некую общность, а именно Н20, управляющую всеми отдельными химическими процессами, происходящими с водой. Поэтому химическое понятие воды есть предел и закон для бесчисленного количества соответствующих индивидуальных чувственных фактов. И так как наряду с химическим понятием воды могут быть и другие, то такое понятие мы и называем частной производной нашего общего понимания воды, отвечающего бесконечности самого материального бытия этой воды по одной из ее сторон, а именно, по ее химическому составу.

Конечно, и всякий, незнакомый с математическим анализом, может, употребляя данный термин в расплывчатом, обывательском значении, тоже говорить, что понятие получается из общего мыслительного процесса путем дифференцирования. Однако у обывателя это—ничего не говорящая общая фраза. Математический же анализ учит нас тут точности и строгости. Дифференцировать здесь означает: 1) взять вещь (воду) в ее непрерывном изменении, в ее бесконечно–малых нарастаниях; Ϊ) в том же виде взять и соответствующее ей мыслительное отображение; 3) взять отношение между тем и другим, которое, очевидно, тоже сплошно и непрерывно меняется (раз меняется и сама вода, и мысль о ней); 4) это отношение рассматривать, не беря всю вещь целиком, а только некоторый один из ее моментов; и, наконец, 5) отношение это, непрерывно становящееся, взять как ставшее, как завершенное, как предел. И вот этот–то предел и есть в данном случае химическое понятие воды как именно Н20. Имеет ли что–нибудь общее это логически развитое дифференцирование с тем смутным и нелепым пониманием дифференцирования, которое мы находили у обывателя? Если даже и не выдвигать все указанные признаки точного понятия дифференцирования, то во всяком случае необходимо помнить, что в логике понятие есть обязательно предел бесконечно приближающихся к нему чувственных представлений, которые, оставаясь чувственными представлениями, никогда не могут достигнуть понятия, но могут приближаться к нему с любой точностью. И поэтому чувственное представление вещи, в конце концов, тоже есть определенная функция самой же вещи. Но чтобы сохранить в целости всю логическую специфику чувственного представления, надо его понять как только некое приближение к пределу и надо эту предельную величину интегрировать, чтобы отсюда уже прямо перейти к самой вещи, интегрально данной в существенно отражающем мышлении.

Тут, однако, мы переходим к чрезвычайно важным категориям дифференциала и интеграла в логике, которым должно предшествовать развитое учение о логической сущности производной функции.

 

8. ПРОИЗВОДНАЯ В ЛОГИКЕ

Дадим теперь логический анализ понятия производной и тем самым изучим, что такое производная в сфере логического мышления.

1. В чем заключается дифференцирование, когда мы идем от первообразной функции к ее производной — в области мышления? Здесь мы идем от цельного и полного отражения, или смысла, вещи, как оно есть, к одному из возможных ее понятий. Это «дифференцированное» понятие, конечно, содержится уже в цельном й полном отражении вещи. Однако оно содержится здесь до перехода этого отражения в его инобытие: у\ данный сам по себе, без всякого Δy есть то, что еще не перешло ни в какое свое становление, ни в какое свое инобытие. Конечно, это становление будет в полной зависимости от того, что такое сам у. В этом у уже заложены его инобытийные судьбы; здесь они уже даны в своем простейшем, в своем зародышевом и, так сказать, «недифференцированном» состоянии. То, что выделено и формулировано в виде понятия, здесь находится в слиянии с другими элементами данного цельного отражения, из которых—путем аналогичного процесса — тоже могут быть получены соответствующие понятия. Однако даже и такое представление о производной и интеграле все еще не может считаться вполне конкретным. В математическом анализе эти категории гораздо конкретнее и богаче, и мы в предложенной концепции все еще не исчерпали их до конца.

2. Прежде всего надо устранить одно недоразумение, возникающее здесь в связи с традиционной логикой. Если исходить из той концепции понятия, которая фигурирует обычно, то не может быть никакого разговора о понятии как о чем–то определяемом через производную.

Производная есть функция, т. е. некоторая совокупность действий над некоторым аргументом. Понятие же в логике дается как самостоятельная, ни от чего не зависящая величина.

Далее, производная есть не просто функция, но функция, определенным образом полученная из другой функции. Никакого намека на это в традиционном учении о понятии совершенно не имеется. В производной все составляющие ее элементы строго связаны между собою определенным порядком действий. Если у = ах2 + bx + с, то тут строго предусмотрены и все те действия, которые необходимо произвести над χ, и самый порядок всех этих действий. Что же касается понятия в его школьном понимании, то оно не только не понимается как полученное из определенного ряда действий, но тут и вообще не мыслятся никакие действия, а все сводится только к формальному перечислению «признаков», совершенно независимо от их порядка, от их взаимоотношения, от закона объединения их в целое понятие. При таком отношении к понятию, разумеется, будет бессмысленным не только понимание его при помощи производной некоторой функции, но и вообще всякое иное, кроме механистического, сведение его на безразличную сумму признаков, ничем не связанных между собою и не имеющих никакого отношения к целому: так, если мяч есть резиновый шар с нагнетенным воздухом, то ни «резина», ни «геометрический шар», ни «нагнетение», ни «воздух» не имеют ровно никакого отношения к тому мячу, которым играют дети.

Если мы интерпретируем понятие как определяемое через производную, то, очевидно, вовсе не для того, чтобы обосновать школьную механистическую логику. Эта интерпретация вызвана стремлением именно выйти за пределы школьной логики и понять эту последнюю не как абсолютную и единственно данную, но как условную и относительную, как одно из возможных, и притом достаточно грубых, приближений к истинной логике.

Прежде всего, понятие для нас есть именно функция. Оно не абсолютно; оно не есть то, перед чем надо падать ниц и молиться; оно само есть только результат определенной зависимости от чего–то другого, что может с гораздо большим правом считаться «независимым переменным», а именно результат зависимости от изменений материи. Меняется материя—меняется понятие. Не меняется материя—не меняется и понятие. Можем ли мы при этих условиях понимать понятие не как функцию? Думается, на это нет у нас ровно никакого права. Хотя понятие и не есть только функция, но что оно в первую голову есть именно функция, в этом сомневаться не приходится. Итак, понятие есть функция вещи. Это одно уже сразу ставит понятие в близкую связь с производной, хотя одним этим такая связь, конечно, далеко еще не исчерпывается.

Далее, есть ли понятие просто функция вещи и больше ничего? Нет, так сказать нельзя. Она есть в конце концов функция вещи. Но одного этого сказать было бы очень мало для характеристики существа понятия. Это было бы весьма абстрактно. То понятие, о котором говорит логика, есть понятие как совокупность признаков. Уже одно это рисует нам природу понятия не как просто полученную из вещей в непосредственном виде, но как известным образом переработанную, ибо признаки понятия вещи отнюдь еще не есть и свойства самой вещи. Если карандаш есть орудие для письма при помощи графита, то, напр., окраска карандаша, его цилиндрическая или граненая форма, его размеры и вообще реальные качества карандаша как вещи вовсе не входят в понятие карандаша, ибо для этого понятия нужны только те признаки, которые были сейчас перечислены при определении карандаша. Значит, понятие как совокупность признаков вовсе не есть просто вещь как совокупность свойств и не находится от них в простой и непосредственной зависимости. Но тогда—откуда же нам получить это понятие как совокупность признаков?

3. Ближайшее рассмотрение показывает, что всякое понятие как совокупность признаков есть, прежде всего, нечто цельное и неделимое, подобно тому как и мяч, которым играют дети, хотя и состоит из множества разных отдельных свойств, все же есть нечто одно и неделимое; и когда дети бросают этот мяч один от другого, они оперируют им как раз в виде некоей неделимой целости. Эта цельная неделимость понятия выступает постоянно в нашем реальном мышлении и языке, в нашем разговоре и письме, потому что, когда мы, напр., быстро произносим или пишем ряд фраз, то мы вовсе не думаем об отдельных признаках употребляемых нами понятий, а пользуемся этими понятиями, как будто бы они и внутри себя, и в своем взаимоотношении были совершенно нерасчлененными. Совершенно ясно, что разделение понятия на признаки требует того, что именно тут разделяется. Ясно то, что если в понятии этой неделимой цельности нет, то признаки могут только раздробить его на взаимно дискретные части и таким образом превратить цельное понятие во столько разных и взаимно изолированных понятий, сколько в нем мыслится признаков. Следовательно, понятие как совокупность признаков есть только развитие и расчленение понятия в первичном смысле, понятия как такового, понятия как смысловой индивидуальности, не сводящейся ни на отдельные признаки, ни на их совокупность.

А это значит вот что. Развитое понятие есть не только функция вещи, но и функция какой–то еще другой функции вещи, а именно той функции, которая есть прямое и существенное отражение вещи в том виде, как эта вещь реально существует в своем цельном и неделимом виде, несмотря на всю свойственную ей .полноту и бесконечность, неистощимость самопроявления. Здесь мы еще ближе подходим к производной, которая есть тоже функция от функции; как видно, мы здесь еще не доходим до полной конкретности, ибо тут еще не поставлен вопрос, какого рода происхождение производной от первообразной. Есть ли это то же самое, что и происхождение понятия как развитой совокупности признаков из понятия как неделимой цельности, и как связана производная с этим происхождением? Сейчас мы перейдем к решению этого вопроса. Но пока запомним получившийся у нас результат.

1) Первичное и существенное отражение вещи, как бы оно ни было расчленено в себе, выступает сначала просто как нечто единое, цельное и неделимое, как просто «недифференцированное» понимание вещи. 2) Это понимание, будучи сопоставляемым с изменениями вещи в своем цельном, законченном виде, начинает расчленяться, дробиться, переходить в инобытие. 3) Однако поскольку процесс этот происходит все же в недрах отражения, т. е. в недрах понимания, то и результат этого дробления есть тоже смысловой результат, т. е. он соотносится сам с собой не вещественно–причинно, но, так сказать, «[пони ]мательно». И вместе с тем дробление возникло как функция вещи. Возникает вопрос: что же это за дробление вещи, которое в то же время есть материальная функция? Что это за деление понимания вещи, которое есть в то же время и вещественное его дробление?

Очень важно уметь четко ответить на этот вопрос. Тогда, и только тогда, выяснится и все огромное значение производной в логике.

Ответом на предложенный вопрос является следующее. Это есть не что иное, как превращение дробимого начального понимания в родовое и видовое понятие. Вид — это есть такая дробность, которая есть сразу и одновременно и смысловая, и материальная дробность. Ведь смысл вещи есть отражение вещи, т. е. всякий смысл есть всегда некое отношение и соотношение (ибо понимание есть всегда понимание чего–нибудь). Дробить понимаемый смысл как именно смысл — это значит находить частное отражение, т. е. это значит все–таки сохранять самый принцип отражения, или соотношения. Но это же значит и дробить вообще, дробить вещественно, материально, т. е. дробить на такие куски, которые уже никак не соотносятся с дробимым и с другими кусками и которые есть нечто самостоятельное.

Что делается тогда, прежде всего, с этим дробимым и неделимым пониманием вещи, которое есть ее отражение? Он теперь отражает уже не просто вещь (этим он был с самого начала), но и всю ее материальность, т. е. ее развитие, ее изменение, ее движение, т. е. дробление, и частичное проявление. Если я имел у себя в мышлении смысл, например, дома, то я просто только понимал, что такое дом, и больше ничего. Если же я начинаю расчленять этот смысл под влиянием того, что дома бывают разные, что они меняются, что они имеют свою историю, то смысл дома становится общностью, общим понятием дома, родовым понятием дома. Таким образом, смысл вещи, расчленяемый материально, но в то же время остающийся ее смыслом, есть не что иное, как родовое понятие вещи.

Но, очевидно, иную картину начинают представлять собою в этих условиях и сами вещи. Пока шла речь о простом и неразложимом их отражении, они были представлены в мысли тоже в нере–флектированном виде. Мы рассматривали части вещи, но возникавший в нашем мышлении смысл вещи отнюдь еще не содержал в себе этих частей в самостоятельном виде. Как смысл вещи не был чем–то самостоятельным, а был всецело только ее отражением, так и эти частичные моменты смысла не были тут чем–то самостоятельным и не были еще предметом нашей рефлексии. Если теперь эти частичные моменты смысла мы тоже будем мыслить самостоятельными, однако так, чтобы они все же оставались в сфере смысла, то они станут, очевидно, видовыми понятиями вещи. Как отраженный смысл вещи, дробимый вещественно, но остающийся ее смыслом, есть родовое понятие, которое уже не просто есть результат отражения, но и — в своей отраженности есть нечто самостоятельное, призванное служить принципом познания вещей, т. е. их активного осмысления для познания, так и видовое понятие, не будучи просто каким–то моментом смысла (или отражения, соотношения), есть нечто самостоятельное (оно и момент смысла, и совершенно самостоятельная вещественная данность), и оно же само является теперь принципом познания, т. е. принципом подведения отдельных индивидуальностей под общий смысл.

Итак: 1) существует независимое переменное—материальная действительность, вещи; 2) существует ее и их существенное отражение, или единый и неделимый смысл, в качестве функции этого независимого переменного, и 3) существует функция от этой функции, т. е. принцип дробления единого и неделимого смысла вещи в связи с движением и изменением данного независимого переменного, т. е. вещей, т. е. принцип превращения этого смысла в родовое понятие и в его виды.

Чтобы определить теперь, где же тут производная, надо всю эту картину представить инфинитезимально, т. е. тут нам надо войти в существенное соприкосновение с учением о бесконечно–малом.

4. Могут ли наши понятия — все равно, в виде ли совокупности признаков родовых и видовых или в виде неделимой цельности — быть чем–то неподвижным? Можем ли мы, находясь на позициях диалектического материализма и допуская ту или иную устойчивость понятий, в то же время отрицать их подвижность, их переменность, их непрерывное становление? Нет, не можем. Но если это так, то и аргумент нашей функции непрерывно движется, и сама эта первообразная функция непрерывно движется, и всякая функция от этой первообразной тоже непрерывно движется. Однако если это всерьез так, то ведь этим уже продиктовано точное и совершенно определенное отношение между всеми этими становлениями, если точно и определенно происхождение и самой функции от независимого переменного. Наша функция, едино и цельно отражающая независимо существующую вещь, необходимым образом становится, непрерывно меняется, дробится на свои бесконечно умаляющиеся значения. И если мы ее поняли как существенное отражение вещи, как цельный и неделимый смысл вещи, то сейчас, значит, возникает вопрос о становлении этого существа вещи, о дроблении этого смысла, о расчленении этого едино–неделимого существа вещи, отраженного в мышлении, о развертывании едино–цельного отражения вещи в мысли.

До сих пор наше существенное отражение вещи имело значение некоего слепого факта, само оставаясь нерефлектированным. Можно видеть вещь в ее существе, можно ее рефлектировать как существенно отличную от всех прочих вещей; но это еще далеко не значит, что мы рефлектируем самый ее смысл, ее существенный образ. Рефлектировать вещь еще не значит рефлектировать образ вещи. И пока рефлектируется сама вещь, ее образ, хотя и раздельный в себе, все же остается для мысли чем–то нераздельным и нерасч–лененным. И — совсем другое дело, когда этот образ именно как таковой сопоставляется с его окружением, т. е. прежде всего с теми же самыми вещами, к которым он относится. Этот образ тогда получает точно осознаваемую нами границу со всем прочим, он превращается в нечто доступное делению и расчленению, он становится дробимой величиной.

5. Получающаяся таким образом структура есть, как мы знаем, не что иное, как видовое понятие, или, вообще говоря, элемент, смысловая частность, но в непрерывном становлении. Ведь в видовом понятии дан, прежде всего, общий и неделимый смысл (ибо, говоря «дворец», мы знаем уже, что такое «здание», и, говоря «дуб», мы уже знаем, что такое «дерево»). С другой стороны, вид есть смысловое дробление общего смысла, и дробление, как мы теперь утверждаем, непрерывное. Это развертывание общего смысла происходит с точки зрения ориентации этого общего смысла среди непрерывно становящихся вещей. Смысл непрерывно дробится, и притом смысловым же образом, но — исключительно в целях отражения все тех же материальных вещей. Под влиянием изменения вещей, под влиянием разнообразия вещей первоначальный неделимый смысл вещи тоже изменяется, тоже разнообразится, тоже развертывается. Результатом этого и является видовое понятие. Как очевидно, вместе с этим впервые появляется и развитая совокупность признаков понятия, ибо даже элементарная логика учит, что существенные признаки понятия образуются из рода ц видового отличия. Понятие непрерывно развертывается, «дифференцируется» в развитое понятийное содержание, в совокупность рода и вида, в совокупность признаков вообще, возникающих тоже в результате бесконечно–малых нарастаний.

Эту картину надо усвоить точнейшим образом, иначе нечего и думать проникнуть в логические секреты математического анализа. Чтобы понять этот последний, и в частности категорию производной, надо вытравить в себе решительно все эти навыки формально–логической метафизической неподвижности. Надо с корнем вырвать у себя все эти заскорузлые представления о неподвижности понятий. И потому никакое повторение и разъяснение этой идеи о непрерывной текучести никогда не может быть у нас лишним.

Поскольку существенное отражение вещи сравнивается теперь с самой вещью как нечто целое, а самая вещь представляется непрерывно становящейся, то и дробление едино–цельного смысла вещи также становится обязательно непрерывным. Видовые различия, зарождающиеся на фоне рода, тоже должны зарождаться непрерывно, путем сдвигов, едва отличающихся от нуля, путем бесконечно–малых приращений. Вопреки мертвому механицизму обычной логики, оперирующей закостенелыми родами, видами и признаками, мы должны требовать, чтобы признаки понятия возникали путем бесконечно–малых нарастаний, чтобы и они вливались один в другой, непрерывно становились, непрерывно и сплош–но наполняли все понятие.

6. Разумеется, остановиться на этом нельзя. Одна чистая непрерывность была бы смертью для мышления и познания. Но как же тогда надо учить о видовых различиях понятия и, значит, о развитой совокупности понятия, чтобы не погибла его непрерывность и чтобы оно все же было раздельным в себе? Совершенно ясно, что для избежания полного растворения в этой непрерывности необходимо овладеть ее законом, так чтобы сразу получили и бесконечно–мало дробимый смысл, и в то же время общий закон этого дробления. А так как дробление это есть результат сопоставления смысла вещи как чего–то целого с самой вещью, то этот закон должен быть также и законом ориентации изучаемого нами смысла вещи, отраженного в мышлении, на фоне становления самой вещи.

Другими словами, в нашем видовом понятии дома, дерева, сада и т. д. мы должны теперь найти некую твердую и существенную структуру, которая бы уже не менялась при переходе от одного вида к другому и которая бы уже не была связана с внешними свойствами данного вида так слепо и неотчленимо. Эта–то структура и есть закон для всех этих соотношений смысла вещи с самой вещью, т. е. для всех возможных здесь видовых понятий и развитой совокупности признаков. Вещей—множество, и они непрерывно меняются; их свойства стихийно вливаются одно в другое до полной неразличимости. Но есть закон для этих непрерывных изменений вещи, который внедряется в поток непрерывности и делает его раздельным и устойчивым. Он так же необходим для мышления, как необходима и непрерывность, ибо одна чистая непрерывность будучи абсолютной неразличимостью, есть такая же гибель для мышления, как и чистая прерывность. Чистая прерывность убивает в мысли ее жизнь, а чистая непрерывность убивает в ней смысл.

Тут–то вот и залегают признаки понятия в их реальном научном употреблении, которые и есть не что иное, как само же понятие, но в его сопоставлении с вещью, т. е. представленное в дробном виде. И дробность эта, будучи результатом становления, уже не есть та дискретная дробность признаков, о которой учит школьная логика, но дробность существенно связанная с непрерывным становлением понятия. Она есть именно устойчивый закон этого становления, предел этого становления, направление этого становления, смысл этого становления. Печать этого закона становления лежит на всем становлении, на каждом мельчайшем его мгновении (ибо это последнее может быть определено и вычислено, если известен общий закон, или направление, данного становления), а на самом законе лежит печать этого становления (ибо закон этот, будучи предельным и нестановящимся, есть все же закон не чего иного, но именно становления). Так дробится единая и неделимая функция смысла вещи, отраженного в мышлении, на бесконечное количество непрерывно нарастающих функций смыслов; и так возникает закон, предел, направление этого непрерывного процесса нарастания смысла вещи в зависимости от непрерывного нарастания самой вещи.

7. Попробуем теперь провести аналогию с дифференциальным исчислением более точно. Вспомним элементарное геометрическое истолкование производной в анализе и сравним с этим то, что в логике называется определением понятия через совокупность признаков.

Пусть мы имеем прямоугольные оси координат, т. е. горизонтальную ось абсцисс, или ось jc–ob, и вертикальную ось ординат, или ось у–оъ. Пусть у есть какая–нибудь функция от х. Тогда эта функция геометрически изобразится в виде некоей кривой. Значит, если ось абсцисс есть линия изменения вещи, а ось ординат—линия изменения отражения или мышления, то полученная у нас кривая у=ƒ(x) есть цельное и неделимое существенное отражение данной вещи в мышлении, некий законченный результат и образ этого отражения. Эта кривая есть цельный и существенный образ некоего материально независимого переменного; и она тут имеет значение как нечто едино–неделимое, как таковая.

Согласившись с этой простейшей установкой, спросим себя: что значит дифференцировать эту функцию, принявшую у нас геометрический образ данной кривой? Мы берем на этой кривой какие–нибудь две точки МиМ'и сравниваем поведение кривой (или ее направление) в этих точках с осью jc–ob. Мы сразу замечаем, что кривая в этих точках по–разному наклонена к оси х–ов, кроме того, в одной точке, М, кривая, скажем, дальше от оси х–оъ, в другой, М\ она ближе к этой оси. Это обстоятельство для нас очень важно, так как тут мы как раз получаем возможность судить о нашем существенном отражении как о чем–то целом, сравнивая его как целое с соответствующим ему становлением вещи, т. е. тут–то как раз мы и начинаем рефлектировать это отражение как таковое.

Другими словами, наблюдая этот «наклон», т. е. «наклон» неделимого смысла вещи к изменениям самой вещи, мы впервые получаем возможность расчленять этот неделимый смысл — правда, расчленять еще пока не очень совершенно, ибо у нас еще нет закона и принципа этого наклона в их чистом виде, а есть пока некоторые, бесчисленно многие цельные образы этого наклона, т. е. бесчисленное количество этих наклонов. Полагаем, что тут без труда узнается выдвинутое у нас выше видовое понятие. Каждый такой наклон нашей кривой, нашего неделимого существенного отражения к оси абсцисс, к стихии материального становления, уже достаточно точно рисует нам искомое нами взаимоотношение смысла вещи с вещью и вытекающее отсюда вещественное расчленение этого неделимого смысла. Это уже не есть нерасчлененное понятие, но расчленяемое, дробимое. И тут мы, несомненно, сталкиваемся с видовым понятием, так как во всех этих частных изгибах и наклонах проявляется общая и неделимая кривая, общая и неделимая функция материального становления. До сих пор она была чем–то целым в себе. Теперь же, ориентируясь на движение х, мы разлагаем ее на бесконечное количество частностей. Она теперь стала для нас родовым понятием, распадающимся на бесконечное количество видовых понятий, непрерывно и сплошно истекающих одно из другого и вливающихся одно в другое.

Здесь, между прочим, необходимо обратить самое серьезное внимание на то, как надо понимать отношение рода и вида и что дает для этого математика. В то время как с точки зрения формальной логики виды механически складываются в общий ящик рода и не ставится никакого вопроса о реальном взаимоотношении видов между собою и взаимоотношении видов со своим родом, на самом деле все виды данного рода, взятые вместе, образуют некоторую вполне определенную структуру. Род не есть просто темная и бесформенная яма, в которую сбрасываются видовые кирпичи. Род есть точная и законченная структура, и вид есть тот или иной элемент этой структуры, связанный с нею точнейшим и структурным же образом (о структурности понятия, образуемой определенным взаимоотношением его признаков, мы будем говорить ниже; но отсюда, разумеется, вытекает и структурность понятия как родовой общности). Поэтому иллюстрация родового понятия как той или иной кривой, строго определенной своими координатами, т. е. аналитически данной в виде функции, в которой строго предусмотрен весь решительно порядок операций и весь их характер, эта иллюстрация даже и не есть иллюстрация; это — точный геометрический и аналитический образ всякого родового понятия, его наглядно данная логическая сущность. И точно так же видовое понятие так понимаемого рода есть не что иное, как тот или другой изгиб этой кривой, как то или другое поведение ее в данной точке, как тот или другой наклон ее к оси х, т. е. то или другое ее функционирование, которое теперь специально рефлектируется с точки зрения изменения х, т. е. с точки зрения изменения той первоначальной материи, из которой появилась и она сама (она сама ведь функция от х).

Это структурное представление родовой общности ни на минуту нельзя упускать из виду. В этом залог того, что общность мы всегда понимаем не как устранение всего единичного и индивидуального, но именно как богатство всего един[ичн]ого и индивидуального. Давно уже пора в этом вопросе перейти от слов к делу и перестать понимать общность как пустое складочное место, как бездонную бочку, в которой пропадает все частное, что в нее вливается. Мы твердим, что общее есть богатство индивидуального; а как понимать такое общее, никто и не знает. Великие слова Ленина об общности как о богатстве индивидуального пора осуществить на деле. И предлагаемое нами инфинитезимальное и структурное понимание общности есть первый к тому шаг. Частное, индивидуальное, видовое есть для нас только результат рефлек–тирования некоей фигурной структурности, непрерывно демонстрирующей нам свои сплошь возникающие изгибы и наклоны.

Могут спросить: но почему такую кривую мы должны считать родовым понятием? Ведь она есть просто определенный единичный индивидуальный образ. Что в ней общего? Общим в ней является то, что она есть геометрическое выражение некоей функции. Функция эта совершенно одинаково разлита по всей кривой, которая является поэтому той же самой кривой решительно в каждой своей точке. Какие бы изгибы мы в ней ни наблюдали, все они обнимаются одним общим видом и структурой этой кривой. Поэтому кривая тут есть обязательно некая общность; и если она в то же время есть и нечто единичное, то это нисколько не мешает ее общности. Наоборот, если бы мы стали развертывать эту проблему диалектически (а делать это мы здесь не будем, чтобы не отвлекаться), то общность и единичность понятия как раз и должны были бы совпасть у нас в одном цельном образе.

Итак, общее понятие, родовое понятие, будучи не просто безразличной свалкой признаков, но определенным их взаимоотношением и взаимораспорядком, есть всегда точная смысловая фигур–ность, и видовым понятием является не что иное, как тот или иной изгиб или наклон в этой фигуре, рефлектируемые с точки зрения изменений соответствующей вещи, т. е. путем материального дробления самой этой фигуры.

Точно математически эта рефлексия представляется в следующем виде.

Мы взяли на нашей кривой две точки. Каждая из них определяется известным значением χ и соответственно известным значением Сравнивая положение обеих точек, легко увидеть, насколько изменился x и насколько изменился у, т. е. легко увидеть происходящее здесь приращение на оси абсцисс и приращение на оси ординат.

Тут учебники анализа дают обычно элементарный чертеж, на котором отчетливо виден т. н. треугольник приращений MQM1 образованный обоими приращениями MQ и QM' и прямой ММ' соединяющей обе точки на нашей кривой, т. е. обоими приращениями и секущей данной кривой, проходящей через две избранные нами точки. На этом чертеже отчетливо видно, что сделалось с нашей кривой за время ее перехода от точки Μ к точке М' если это изменение ориентировать на изменениях х. Взявши отношение

приращении обеих координат, мы отчетливо можем судить о том, что именно претерпела кривая как целое в условиях ее рефлектирования с точки зрения изменений соответствующего ей аргумента. Это отношение есть не что иное, как тангенс угла Μ MQ, т. е. угла наклона полученной нами секущей к оси абсцисс.

Логическое значение этого тангенса огромно. Ведь для логики это же и есть первоначальный смысл, отраженный от вещи, но уже не сам по себе, не в своей цельности и нерасчлененности, а в своем рефлектированном сопоставлении с отраженной в нем вещью. В этом тангенсе мы имеем образ вещи, характеризующий нашу кривую, наше существенное отражение вещи, как раз с точки зрения сопоставления с самой вещью, с изменением значений х. Этот тангенс отвечает на вопрос: как первоначальный смысл вещи, цельно и неделимо отраженный в мышлении, расчленяется и детализируется, если мы захотим его в целом сопоставить с реальным становлением вещи, которую он отражает.

Но что значит сопоставить понятие о вещи как таковое с реальным становлением самой вещи? Пусть мы имеем в мысли существенный образ человеческого жилища, но образ еще не реф–лектированный, или, так сказать, не осознанный. Мы наблюдаем многочисленные экземпляры человеческого жилища и все время применяем имеющееся у нас нерасчлененное понятие жилища. После длинного ряда наблюдений мы удостоверяемся, что, например, наличие окон для жилища не обязательно: люди на низших ступенях культуры не пользуются окнами. Так же оказывается необязательным отдельное существование крыши или дверей (в теперешнем смысле слова). Произведя такой пересмотр многочисленных жилищ, т. е. рассматривая родовое понятие жилища и помещая разные значения нашей вещи «жилище» по оси абсцисс, мы теперь вправе спросить: а что же делается с ординатой, если она есть линия отражения и мышления, и в какие же отношения с изменениями по оси абсцисс вступают изменения так понимаемой оси ординат, создавая те или иные расчленения в нашем исходном существенном, но пока не расчлененном образе вещи? Естественно, что этот существенный образ, или смысл, есть нечто определенное, что он дает полную установку и на отбор таких материальных элементов, которые тоже существенны. Возникает некий закон, по которому мы отбираем из материальной действительности то, что именно существенно для расчлененного и рефлектированного отражения.

Этот подбор из вещи разных ее материальных моментов, существенных для расчлененного понятия о ней, и есть не что иное, как совокупность признаков понятия. Но совокупность эта, как мы видим, дана тут не в чистом виде, не так, как она есть везде и всегда на этой кривой, но—только в связи именно с данной такой кривой. Эта совокупность признаков понятия нашей кривой прикована здесь к своим частным значениям, к своим временным и местным проявлениям и неотделима от них. Если вся кривая есть родовое понятие, то данное, определенное значение определяющей ее функции, т. е. ордината определенной точки на данной кривой, есть не что иное, как видовое понятие данной кривой. Поэтому и упомянутый выше закон не есть ни понятие кривой просто (ибо это есть, как мы знаем, тот самый род, который тут дробится по определенному закону, оставаясь бессменным решительно на всем протяжении кривой, т. е. сама функция), но и не то частное, видовое значение и проявление закона (ибо это есть данное значение функции, т. е. значение ее в данной точке). А это значит, что найденный нами тангенс является не чем иным, как математическим представлением логической природы только видового понятия, или частности, а не самого закона проявления этих видов. Это именно видовое понятие таково; оно не различает общего смысла вещи (безусловно в нем наличного) от данного вида вещи здесь и теперь. Полученный нами тангенс можно считать законом, по которому соотносятся нерасч–лененные понятия вещи с самой вещью. Но законом в определенном преломлении. Это закон данной специфической совокупности признаков родового понятия, ориентирующий это понятие на фоне становления вещи, отражением и функцией которого оно является. Этот закон дан здесь в своем частном проявлении, применительно к данному месту и времени.

Однако остается еще один шаг, и—категория логической производной получает последнюю математическую и логическую ясность и точность. Этот шаг ясен наперед: надо добиться общего выражения полученного нами закона. Надо отчленить общий закон от его частного проявления; и надо от видового понятия отделить самый закон его возникновения; надо получить видовое понятие как результат некоего принципа развертывания общего понятия, как становящееся основание для их появления. Если мы определяем жилище как приспособление для защиты от атмосферных явлений, то пусть мы уже не будем тут ставить вопросов: а какое это приспособление, большое или маленькое, вот это–то вот или вон то или — а какая это защита, хорошая или плохая, а какие это атмосферные явления, дождь, холод, зной, снег, град, гром и молния или еще что–нибудь. Нет, всё это—те или иные представления или виды жилища, более или менее общие, а не принцип деления понятия жилища. Нет, теперь уж пусть будет у нас приспособление вообще (неважно, какое именно в частности), защита вообще и атмосфера вообще. Но зато всю эту общность, взятую целиком, мы теперь преломляем сквозь призму какого–нибудь одного частного принципа. Мы берем, напр., время года и рассматриваем его как принцип развертывания родовой общности. Жилища, согласно этому принципу жилища, могут оказаться, напр., зимними и летними. Если такой принцип имеется, то, очевидно, он уже не будет просто тем или иным видовым понятием, но под него подойдет много отдельных видовых понятий. И если мы его формулируем отдельно, то этим мы отделим его и от каждого отдельного видового понятия, и от общего родового понятия. Этот принцип и направление возникновения видовых понятий на лоне общего родового понятия мы и называем логической производной данного родового понятия.

8. Здесь мы, наконец, можем внести во все наши рассуждения последнюю ясность—в целях получения категории производной функции, — привлекая одну простейшую и общеизвестную категорию из школьной логики.

Производная есть предел дробления родовой общности, или родового понятия, т. е. принцип этого дробления. То, что развертывается на лоне родового понятия, то, что непрерывно становится здесь, развертывается и становится по определенному принципу, дробится и делится по определенному принципу и основанию. Не встречаем ли мы здесь своего старого знакомого в школьной логике, знаменитое «основание деления», principium divisionis, без которого, как справедливо учит школьная логика, не может быть никакого планомерного деления рода на виды? Да, именно так. Производная от данного понятия и есть не что иное, как основание, или принцип, деления его на виды. Она есть не что иное, как ин–финитезимальный коррелят обычного формально–логического «основания деления».

В самом деле, основание деления, если его не понимать так вещественно изолированно, как это делает формальная логика, констатирующая только самый факт «основания деления», есть, конечно, предел для всех относящихся к нему видов. Это есть направление, в котором происходит деление. Пусть мы делим треугольники на известные три вида. Эти три вида треугольников предполагают, что мы рассматриваем треугольники с некоторой одной точки зрения, с точки зрения отношения его углов к прямому углу. Эта точка зрения, этот принцип, это основание и есть то, что руководит нами при перечислении трех видов треугольников. В логическом смысле «отношение углов треугольника к прямому углу» есть то, что каждый раз по–своему стремится выразить и прямоугольный, и остроугольный, и тупоугольный треугольник. Может ли это отношение выразиться где–нибудь целиком? Конечно, нет. Когда оно выражается определенным образом, напр., в прямоугольном треугольнике, то ведь кроме этого остаются невыраженными другие его возможности. Итак, основание деления рода на виды есть, несомненно, предел или принцип для выражения возникающих здесь отдельных видов. И если мы не будем считать, что виды складываются вроде как камешки в ящике, а будем фиксировать непрерывное появление видов на лоне рода, то—соответственно— и формально–логическое «основание деления» перестанет быть категорией, резко изолированной от видов, а станет к ним в такое отношение, чтобы было видно, как их бесконечное стремление, их непрерывное взаимослияние, их взаиморасхождение регулируется каким–то одним законом, который остается неизменным при любых изменениях, и что этот предельный закон и есть непрерывно функционирующее здесь «основание деления». Далее, в формальной логике большею частью не ставится вопроса о том, откуда же берется «основание деления», если его сравнить с тем родовым понятием, которое здесь делится. Это «основание деления» никак не связано здесь с видами, но оно также никак не связано и с делимым родом. Связь с видами мы только что установили как предел, регулирующий появлению видов. Как же теперь инфинитезимально связать это «основание деления» с делимым родовым понятием? Только понимание «основания деления» как производной способно дать тут удовлетворительное решение вопроса.

В самом деле, в понятии производной входит отношение между становлением функции и аргумента. Другими словами, здесь берется родовое понятие (функция) и отраженная в нем вещь (аргумент) и берется их отношение, т. е. они сравниваются. Что это значит? Что значит сравнить данное родовое понятие вещи с самой вещью? Это значит их соотнести, отразить одно на другом. Правда, родовое понятие уже с самого начала появилось как результат отражения вещи. Но когда оно впервые только появлялось, еще не ставился вопрос о его соотношении с вещью как чего–то целого и законченного. Как мы говорили выше, у нас тут рефлектирова–лась вещь (для получения ее отражения), но еще тем самым не рефлектировалось ее отражение, ее образ. Теперь же мы уже имеем цельный и законченный образ вещи, и теперь мы можем именно этот цельный и законченный образ вещи соотнести с самой вещью. И что же мы тут получаем? Мы тут получаем возможность рассматривать общее понятие с точки зрения изменений вещи, т. е. вносить в него самого эти вещественные изменения, — конечно, с их смысловой модификацией, которая требуется отобразительной и функциональной природой понятия и мышления.

Другими словами, мы имеем родовое понятие собаки, которое было просто существенным (и потому обобщенным) отражением Жучки или Мумки, и больше ничего. А теперь мы смотрим на те различия и изменения, которые существуют в Жучках и Мумках, и вносим их в наше родовое понятие собаки. Так мы замечаем, что собаки имеют разный цвет шерсти. И мы вносим в родовое понятие собаки, рассматриваемое как функция самой собаки, этот самый цвет, начинаем рассматривать понятие собаки с точки зрения цвета шерсти, т. е. начинаем делить родовое понятие собаки на виды с точки зрения того «основного деления», которое есть «цвет шерсти». Получаются собаки черные, белые, рыжие, пестрые и т. д.

Таким образом, понимание «основания деления» родового понятия как производной от этого понятия вскрывает очень сложный и глубокий процесс, возникающий во взаимоотношениях этого родового понятия с основанием деления его на виды. Процесс этот предполагает: 1) обладание уже готовым родовым понятием вещи как функцией вещи; 2) непрерывное его изменение, сопоставленное с таким же изменением вещи, или, вернее, смысловое отображение вещественных изменений в данном родовом понятии; и 3) нахождение точного принципа для этого сопоставления, для этого вещественного отображения в родовом понятии, т. е. для возникновения видов на лоне общего рода. Этой сложной картиной заменяется в инфинитезимальной логике слишком нехитрая формально–логическая теория «основания деления» понятий, состоящая из простого констатирования неизвестно откуда взявшегося «основания деления».

В школьной логике мы безоговорочно проповедуем: род делится на виды, из рода вытекают виды, виды выводятся из рода. Но как все это возможно? Ведь, строго говоря, из чистого понятия ровно ничего дедуцировать нельзя. Это—только темная и узколобая аберрация мысли думать, что из понятия вещи можно дедуцировать его виды. Из понятия дома как именно понятия совершенно невозможно дедуцировать ни понятия дворца, ни понятия лачуги, ни понятия храма, ни понятия конюшни. Если мы такую дедукцию производим, то только путем сопоставления данного понятия вещи с самой вещью, вернее, с изменением вещи, так что при этом наше понятие и оказывается охватывающим много разных видов данной вещи, т. е., попросту, делится на разные видовые понятия. И вот эту–то ценнейшую мысль для всякого реалистического понимания логики и выражает инфинитезимальное понимание «основания деления», т. е. понимание его как производной. «Основание деления» данного общего понятия действительно дедуцируется, выводится из самого понятия, есть его производная функция, но только так, что эта дедукция есть только сопоставление с соответствующей вещью как с независимым переменным, и только так, что это «основание деления» есть предел и принцип, закон для бесконечного числа непрерывно изливающихся друг в друга видовых понятий данного общего понятия.

Вот что такое производная математического анализа в ее логическом раскрытии, вот каков ее формально–логический коррелат, и вот каков должен быть принцип деления общего понятия.

Посмотрим, как тут рассуждают математики, и прежде всего обратим внимание на то, что такое тут искомое нами «общее». Не забудем, что мы здесь все время действуем в условиях бесконечного и непрерывного процесса. Мы исходим из бесконечного и непрерывного становления аргумента и устанавливаем такое же становление и зависимых от него функций. Найти здесь что–нибудь «общее» — это не значит найти какое–нибудь абсолютно неподвижное общее. Наше общее тоже должно находиться в становлении или по крайней мере быть принципом становления. Исходя из этой общеин–финитезимальной позиции, математики рассуждают так.

Мы брали на нашей кривой две точки Μ и М' и вычисляли связанное с этим приращение по обеим осям координат. Приращение это было — определенных размеров, конечное приращение. Но, чтобы остаться на позиции бесконечно–малых, очевидно, надо говорить о бесконечно–малых приращениях, другими словами, надо исследовать, как меняется наша кривая в отношении к абсциссе в мельчайший, в исчезающе малый момент своего протекания. Для этого надо допустить, что наш χ изменяется на бесконечно–малую величину, и тогда таким же, вообще говоря, будет и приращение у, т. е. обе наши точки сблизятся на бесконечно–малое расстояние; а секущая ММ\ соединявшая обе точки кривой, превратится в пределе в касательную к нашей кривой в той точке А/, которую мы оставили неподвижной и к которой приближали на бесконечно–малое расстояние другую точку кривой Μ'. Стало быть, в условиях бесконечно–малых приращений аргумента и функции свидетелем поведения кривой в данной точке будет уже угол между касательной к ней в данной точке и осью абсцисс; и само отношение между этими приращениями функции и аргумента, взятое в пределе, при Ах, стремящемся к нулю, окажется тангенсом угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

Этот новый тангенс существенно отличается от прежнего. Прежний тангенс составлялся как отношение конечных приращений. Поэтому зависимость его не была общей. Этот тангенс характеризовал наклон к оси абсцисс некоей секущей, соединявшей две определенные точки на нашей кривой, находящиеся на конечном расстоянии друг от друга. Теперешний же тангенс есть предел отношения бесконечно–малых приращений ординаты и абсциссы, предел, к которому стремится отношение приращений функции и аргумента в условиях стремления приращения аргумента к нулю. Этот «наклон» и тангенс приходится, так сказать, на каждую инфинитезимальную единицу. Это есть производная от функции, взятая по ее аргументу, которая имеет общее выражение решительно на всем непрерывном протяжении нашей кривой; она есть нечто тождественное самой себе решительно везде. Поэтому и значимость ее на этот раз уже не частная, не частичная, но—совершенно общая, и притом инфинитезимально общая. Это — вполне определенная, единственным образом выраженная функция того же аргумента jc, принимающая бесконечно разнообразные значения в связи со становлением х.

Если задаться целью понять это построение не математически, а чисто логически, то, очевидно, здесь идет речь о нахождении такой смысловой общности видовых понятий, которая уже не была бы связана со всеми случайностями применения этого понятия в данной случайной ситуации, т. е. для данного видового понятия, но которая, наоборот, везде в этих случаях оставалась бы сама собой. Эта смысловая общность, как мы выше установили по Ленину, должна быть, кроме того, законом для всего относящегося сюда индивидуального, т. е. законом отбора и распределения всякого случайного материала и превращения ею в осмысленную действительность. Полученная выше производная как предел отношения приращений функции и аргумента, или, геометрически, как тангенс угла наклона касательной данной кривой к оси абсцисс, есть, с логической точки зрения, не что иное, как принцип бесконечной и непрерывной последовательности видовых значений данного понятия, как такое общее, которое содержит в себе бесчисленное количество индивидуальных, видовых проявлений выступающего здесь существенного отражения вещи, как закон изменения понятия вещи в зависимости от непрерывного становления самой вещи.

Вместе с тем мы достигаем и последней ясности, если привлечь ради аналогии одну категорию формальной логики, понятную уже для каждого школьника, это — категория «основания деления» понятия. — В самом деле, будем рассуждать как математики при геометрическом получении производной. Сближаем наши две точки на кривой, изображающие ее конечное нарастание. Это значит, что мы сближаем два вида одного родового понятия, напр. «бульдог» и «овчарка», из общего понятия «собака». Вот мы их сблизили на бесконечно–малое расстояние, т. е. когда разница между ними стала бесконечно близкой к нулю. Следовательно, тут нужен нуль в качестве предела. Наши две точки в пределе сливаются, наша секущая становится касательной, наши два видовых понятия в пределе сливаются в одно. Но во что же именно сливаются в пределе оба наши видовые понятия? Во что сливаются «бульдог» и «овчарка»? Тут, конечно, напрашивается мысль о слиянии двух видов в одном родовом понятии. Однако родовое понятие есть общность, безразличная к изменениям материального мира, а мы рассматривали видовые понятия как именно ориентированные на изменения материального мира, как именно материально специфицирующие общее родовое понятие. Следовательно, нам необходимо не просто слияние видов в роде, но обобщение их как разных примеров спецификации. Другими словами, нам нужно сейчас то общее, что находится во всех спецификациях данного родового понятия, а не просто само родовое понятие. Теометрически это есть предельное сближение двух точек кривой, т. е. доведение их материального изменения (по оси х–ов) до бесконечно–малого и соответствующего отражения (по оси j–ob) тоже до бесконечно–малого. А логически это есть — в пределе—то, что является одним и тем же и в понятии «бульдог», и в понятии «овчарка». Что же это? Порода. Порода есть тут тот самый принцип и основание, по которому мы делим понятие собаки. Она—тот, никогда не достижимый предел для отдельных пород, который, одинаково присутствуя во всех породах, регулирует их появление в условиях процесса становления «собаки» в виде тех или других пород. «Собака» везде и всегда определенным образом ориентирована относительно материального мира и его изменений (рост, строение ног, ушей, хвоста, психические способности и т. д.), и эта ориентация, этот «наклон» (выражаясь геометрически) и есть порода. Точно так же и в геометрии направление кривой в любой точке понимают как направление касательной к кривой в этой точке. Отсюда и приведенное выше определение производной от данной функции как тангенса угла наклона касательной, проведенной в той или иной точке кривой, изображающей данную функцию, к горизонту. Этот тангенс есть, так сказать, основание деления данной кривой на отдельные ее изгибы, наклоны и вообще направления. Именно по этому принципу мы различаем одну точку кривой от другой на фоне общей линии х–ов, или горизонта.

Совершенно ясно, что производная математического анализа есть «основание деления» понятий в логике. И ясны все преимущества математического анализа перед обычной логикой, поскольку «основание деления» понятия в формальной логике лишено всякого принципного и предельного значения и неясно его отношение ни к тому понятию, которое делится, ни к тому, которое получается в результате деления. Все это такие вещи, которые в формальной логике «сами собой разумеются». Главное же отличие производной от «основания деления» — это ее инфинитезимальный характер: она действует в условиях сплошной, непрерывной текучести и вещей, и определяемых ими понятий, и самого взаимоотношения вещей и понятий, в то время как «основание деления» понятия берется как нечто готовое неизвестно откуда, под него подводятся готовые, абсолютно изолированные друг от друга и потому опять–таки неизвестно откуда получаемые видовые понятия, и этими видами наполняется исходное родовое понятие, как мешок картошкой или бочка селедкой. Непрерывная текучесть мышления — вот тот единственный и неоцененный дар, который приносит с собою в логику категория производной функции.

Таково замечательное логическое значение математической категории производной функции. Она есть закон непрерывного становления, рассматриваемого как функция (или отражение) непрерывного становления самой вещи. Это совершенно ясно как логически, так и математически–аналитически и геометрически.

 

9. ПРЕИМУЩЕСТВА ИНФИНИТЕЗИМАЛbНОГО УЧЕНИЯ О ПОНЯТИИ В СРАВНЕНИИ С ТРАДИЦИОННЫМ ФОРМАЛbНО–ЛОГИЧЕСКИМ

Что дает нам эта инфинитезимальная теория понятия и его признаков в сравнении с обычным учением? Она дает не так уж много; но традиционная теория совершенно не касается этих вопросов и ограничивается лишь внешним описанием того, какие бывают признаки понятия. Тут вполне наивно обходятся молчанием три фундаментальных вопроса.

1) Каково отношение признаков понятия (и их совокупности) к самому понятию (т. е. сводится ли последнее на них или нет, и если не сводится, то — что именно содержится в самом понятии такого, чего не было бы в его признаках)?

2) Какое отношение существует между самими признаками?

и 3) Каково логическое отношение понятия как совокупности признаков к соответствующим вещам?

При современном развитии научного сознания невозможно трусливо обходить эти вопросы и считать, что ответ на них понятен и сам собой, без всякого исследования. На все эти вопросы инфинитезимальная логика дает четкий и острый ответ, хотя, несомненно, это далеко не единственный подход к делу и возможно и много других ответов.

Во–первых, как относятся признаки понятия к самому понятию? Что признак понятия не есть само понятие, это ясно: желтый цвет яблока далеко еще не есть само яблоко, ибо желтизна может быть свойственна и другим предметам, а яблоко может и не быть желтым. Уже самое выражение «признак понятия» говорит за то, что признаки понятия не есть само понятие и само понятие не есть его признаки. Но если так, то в каком же отношении находятся между собою признаки понятия и само понятие? Ответ инфините–зимализма здесь четкий и острый: признаки понятия возникают в нем в результате бесконечного становления этого понятия согласно тому или иному принципу, т. е. в результате его соотношения с бесконечным становлением соответствующего ему независимого переменного, т. е. материальной действительности. Мы смотрим, как понятие вещи ведет себя в его инобытии, смотрим на него извне, с точки зрения становящихся вещей; и это открывает нам в нем ту определенную закономерность, которая и ориентирует его судьбу в его материальном инобытии. Отсюда сразу делаются понятными два обстоятельства: полная независимость признаков понятия от самого понятия, если их брать в их непосредственном содержании (это — потому, что понятие здесь выступает не само по себе, но так, как оно дано в независимо от него существующих вещах), и проявление в этих признаках понятия все же не чего другого, как именно самого же понятия (это — потому, что выступающее здесь в инобытийном становлении понятие все–таки остается не чем иным, как именно понятием).

Поэтому на поставленный вопрос мы, пользуясь методом бесконечно–малых, можем ответить так: понятие объединяется со своим отрицанием (или инобытием) в непрерывное становление, а это становление доходит до ставшего, т. е. до своего предела, что и есть принцип для установления той или иной совокупности признаков понятия. Признаки понятия, таким образом, не есть просто какие–то готовые шарики, положенные в готовый ящик, но они есть предельный результат становления понятия.

Когда обыватель говорит о дифференциации, то он мыслит просто различение и разделение. Дифференцировать тему, вопрос, изложение, мысль и т. д. — значит попросту расчленить. От этого момента, конечно, мы не можем отказываться в своем понимании дифференцирования. Но остановиться на этом—значит ограничить себя расчленением целого на конечные, неподвижные и взаимно–изолированные, взаимно–дискретные куски. Вместо этого мы пускаем наше целое в непрерывное становление, в непрерывное, исчеза–юще–малое дробление. Это—раз. Значит, наше «недифференцированное» понятие, прежде всего, течет, плывет, незаметно нарастает, сплошно и незаметно становится. Однако если бы наша дифференциация ограничилась только этим, то это было бы переходом в полную неразличимость, и наше понятие впало бы в противоположную крайность, перейдя из нерасчлененного состояния прямо в абсолютное растекание. Тут происходит еще и нечто другое. Оказывается, это растекание происходит по некоторому определенному закону. Это сплошное становление понятия не совершается как попало, но обладает некоторым вполне определенным принципом. Принцип этот и есть принцип возникновения частностей из общей целости и из родового единства понятия в зависимости от материальных изменений соответствующей вещи. Как бы разнообразно ни было понятие вещи в связи с разнообразными изменениями самой вещи, оно все же содержит в себе те или иные законы для всех этих своих разнообразных применений, оно есть то общее, которое—как принцип—содержит в себе неисчислимое богатство соответствующего индивидуального.

Итак, инфинитезимальное понимание понятия в связи с производной как с принципом определения понятия отличается от традиционного учения о понятии как совокупности признаков в четырех пунктах. 1) Признаки понятия веши есть функция самого понятия вещи, подобно тому как понятие вещи есть функция самой вещи. Этим совершенно точно определяется как раздельность вещи, понятия и признаков, так и их единство, вместо обычного смутного представления об этом в учебниках. Другими словами, признак понятия вещи есть отношение понятия к вещи или, точнее, отношение смысла вещи к становлению и изменению самой вещи, т. е. признак понятия вещи есть то, в чем тождественно понятие вещи и то или другое изменение вещи. При помощи своих признаков понятие ориентируется среди изменений материального мира. 2) Признаки понятия не есть результат механического дробления понятия и не есть нечто данное раз навсегда как некая окостеневшая вещь. Но, будучи, вообще говоря, функцией понятия, предполагают его непрерывное становление, так что признаки непрерывно возникают или отпадают—в процессе исследования у самого исследователя, в процессе истории науки, в процессе технического применения науки, в процессе общественно–политического, культурного и общеисторического преломления данного понятия и т. д. 3) Это непрерывное становление понятия вещи есть отражение непрерывного становления самой вещи, ибо признаки понятия есть только результат сопоставления смысла вещи с изменениями самой вещи, а становление признаков понятия вещи и есть становление самого понятия вещи. 4) Становление понятия и его признаков подчиняется определенному общему принципу (одному или нескольким), охватывающему все богатство индивидуальных значений и проявлений понятия в реальном познании вещей, каковой принцип и есть принцип установления данной совокупности признаков понятия в известный момент его функционирования в материальном мире и его познании (в то время как о познавательной ценности понятия как простой совокупности признаков традиционная теория обычно ничего не говорит).

С этой точки зрения понятие вместе со своими признаками есть некоторая относительно устойчивая цельность со своим собственным внутренним принципом и со своей собственной внешней структурой, что дает возможность рассматривать это понятие в некотором условном отрыве от бытия (подобно тому, что делает математика со своими абстрактными построениями) и что дает право на существование, между прочим, и формальной логике. Нет ничего плохого в том, чтобы рассматривать понятие как некоторый готовый результат и как некоторую относительную устойчивость, ибо в понятии наряду с подвижными и текучими элементами не может не быть и элементов устойчивых и более или менее постоянных. По этой причине формальная логика навсегда останется в науке и жизни как совершенно необходимый и неизбежный метод мышления, поскольку без нее мышление превратилось бы в чисто иррациональную текучесть и нельзя было бы говорить не только о раздельных признаках понятия, но и о самом понятии. Покамест человеческое знание будет выражать собою и отражать постоянство в мире и его более или менее устойчивые закономерности, покамест человеческое мышление будет отражать более или менее неизменные тенденции вечно изменяющейся действительности, до тех пор формальная логика будет сохранять свое право на существование и останется в принципе неуязвимой.

И тем не менее формальная логика только в совокупности с другими методами, а именно, методами, отражающими становление действительности, и, прежде всего только в соединении с диалектикой и инфинитезимальной логикой, может претендовать на обратное воздействие мышления на бытие, т. е. она в соединении с другими, более органическими методами мышления может претендовать на познавательное значение и на участие в переделывании действительности человеком. И поэтому, признавая за формальной логикой полное право на расчленение устойчивого понятия и на получение таких же устойчивых и разъединенных признаков понятия, мы должны признать такую ее позицию не в абсолютном смысле, но лишь как условную и относительную, как входящую в общую органическую жизнь мышления только в виде одного из ее многочисленных моментов. Это ясно в такой же мере, в какой мере неразъединимы в бытии и мышлении их прерывность и их непрерывность.

Во–вторых, как относятся между собою признаки понятия! Традиционная теория ограничивается здесь только «перечислением» признаков. Но это, конечно, не есть решение вопроса. Тут у школьных авторов тоже очень простой способ рассуждения — это сведение логики на вложение неподвижных вещественных объемов друг в друга. На самом же деле признаки понятия не просто наличны в понятии, но еще и определенным образом соотносятся. Если мяч мы будем определять как «резиновый шар с нагнетенным воздухом», то только слишком примитивная логика может говорить, что понятие мяча «состоит из признаков» — «резина», «шар», «нагнетать» и «воздух». Эти признаки, кроме того, что они наличны, еще и находятся в настолько точном и нерушимом соотношении, что их можно употреблять только в таком виде, а не иначе. Например, «резина» здесь есть только свойство, или качество, «шара», и ни в каком другом соотношении эти два признака между собою не находятся. Тут нельзя мыслить такие соотношения, как «резина» и «шар» или «резина без шара». Одно дело — «дом отца», другое дело — «отец дома». Предлог «с» в нашем определении шара вовсе не есть нечто необязательное или неопределенное, равно как это же есть и просто признак. Это вполне определенное соотношение между двумя (или несколькими) совершенно определенными признаками.

Вот это–то очень важное обстоятельство для характеристики взаимоотношения признаков и фиксируется с замечательной простотой при помощи категории функции. То, что понятие мы интерпретируем как функцию, это и есть попытка взять совокупность признаков понятия как результат соотношений, а не как просто формально перечисляемую сумму признаков вне всякой зависимости от их последовательности или взаимоотношения. Функция данного аргумента ведь есть не что иное, как результат определенного ряда действий, произведенных над аргументом. Если понятие у нас есть производная функция, то этим достаточно четко рисуется то, что в понятии признаки не просто перечислены, но еще и определенным образом соотнесены.

И наконец, в–третьих, каково логическое отношение понятия о вещи к самой вещи? Если миновать огромное количество ответов на этот вопрос, устаревших в настоящее время, и взять ответ наиболее у нас современный, то самое большее нам скажут, что это отношение есть отражение. Спору нет о том, что это — ответ наилучший. Однако он до чрезвычайности общий, и непроработка его грозит превратить все учение об отражении в простую фразу.

Конечно, понятие вещи есть отражение самой вещи. Но какое? Не всякое же отражение есть понятие. Прежде всего, это есть существенное отражение, отражение сущности вещи. Далее, сущность, или существо, вещи есть функция вещи. Хотя между вещью и ее смыслом существует не только функциональное отношение, но для логики важно, что тут наличествует именно функциональное отношение. Однако мало и этого. Не всякая сущность, или смысл, вещи есть понятие, и не всякая функция смысла есть понятие. Мы можем сколько угодно владеть смыслом вещи, но в то же время — не иметь понятия вещи. Ребенок, впервые натыкающийся на огонь и судорожно отдергивающий руку от него, прекрасно узнает смысл огня; но это еще не значит, что он владеет понятием огня. Понятие есть нечто гораздо более развитое, чем смысл. Понятие есть нечто такое, что есть результат сопоставления понимания с другими пониманиями, это понимание, соотнесенное со всем другим, ориентированное среди прочего, оформленное и осуществленное.

Таким образом, то, что называется понятием как совокупностью признаков, есть не просто отражение вещи, но известного рода переработка этого отражения. Метод бесконечно–малых мощно и отчетливо гласит, что эта переработка есть не что иное, как дифференцирование, или получение производной. Означенная переработка происходит здесь, как мы узнали выше, в переходе в становление, зависимое от становления вещи, и в переходе этой зависимости двух становлений к пределу.

Инфинитезимальная теория прекрасно рисует познавательную роль понятия, в то время как традиционная теория касается этого только в своем учении о происхождении понятия (априорном или чувственном), а происхождение ровно ничего не говорит на тему о логической и познавательной значимости и уже предполагает эту значимость известной (так, Кант учит вовсе не о том, что такое пространство, но о том, как и откуда оно происходит; а что такое само–то пространство, это уже ему известно до исследования). Инфинитезимальная же теория в нашем построении исследует в первую голову вопрос о познавательной и логической значимости понятия.

Понятие вещи есть отражение вещи. Однако это будет пустой и незначащей фразой, если мы четко не покажем конкретного строения самого понятия. Если понятие есть такое отражение, что оно есть абстрактная общность, не имеющая никакого отношения к индивидуальным вещам и к индивидуальным представлениям, то какое же это отражение? Это — пустая фраза, а не отражение. Если же понятие всерьез отражает вещь, то его общность должна сохранить в себе все бесконечное богатство индивидуального, что есть в вещах данного рода. Но так как это индивидуальное нельзя понимать здесь буквально (ибо тогда общее понятие просто растворилось бы в море частностей), то оно дано здесь как принцип получения индивидуального во всем его бесконечном и непрерывном нарастании, как метод охвата всех индивидуальных явлений, сюда относящихся, как закон непрерывного становления данного общего в любой частной и случайной обстановке, предел этого становления.

Такое вот понимание общего понятия действительно и всерьез хочет выставить на первый план именно познавательную роль понятия и показать ее на структуре самого понятия, а не отделаться здесь пустой и ничего не говорящей фразой. Но это понимание—всецело инфинитезимальное. Если понятие, дифференцируясь, создает свою производную функцию, то этим сразу охватывается и то, что оно есть отражение вещи, и то, что как сама вещь, так и оно само находятся в непрерывном становлении, и то, что оно содержит в себе принцип охвата бесконечного богатства относящихся к нему изменений материального мира.

Так три огромных вопроса о логической природе понятия (а стало быть, и мышления) получают с точки зрения учения о бесконечно–малых одно из самых глубоких и оригинальных решений.

Если мы хорошо усвоили понятие производной, можно перейти наконец и к понятиям дифференциала и интеграла в логике. После всего предыдущего исследования оно уже не составит для нас больших трудностей.

 

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ В ЛОГИКЕ

1. Для усвоения дифференциала как логической категории посмотрим, как рассуждают математики в их собственной науке.

Чтобы получить категорию дифференциала, уже надо иметь категорию производной. Что такое производная, мы знаем. Допустим, что у нас уже имеется производная у' от какой–нибудь функции у. Возьмем какое–нибудь любое, т. е. совершенно произвольное, приращение независимого переменного ∆х и возьмем произведение данной производной на это произвольно выбранное приращение х. Это произведение

dy=y'∆x

и есть не что иное, как дифференциал функции у.

Для тех, кто не имеет математического образования и сталкивается с этим выражением впервые, необходимо заметить, что выражение это имеет мало общего с получением производной. Хотя произвольно выбранное приращение независимого переменного, а значит, и сам дифференциал неизменно текут и непрерывно становятся, самый этот процесс бесконечно малого становления скрыт здесь только в самой производной, но совершенно не имеется в виду ни в том, ни в другом приращении. Приращение независимого переменного Ах есть нечто совершенно не зависящее от нас, нечто вполне произвольное; это какое угодно приращение, а не только то бесконечно–малое, которое было нам необходимо для получения производной. В связи с этим и дифференциал, хотя он даже в двойном смысле предполагает непрерывность становления, во–первых, ту, благодаря которой возникает производная, и, во–вторых, свою собственную, — сам по себе все же является некоей определенной и устойчивой величиной и есть не становление, но результат этого становления, т. е. ставшее.

Математики говорят—очень выразительно — еще и так. Дифференциал функции есть функция двух разных переменных, ибо и производная, и произвольное приращение Δx тут совершенно независимы друг от друга. Произвольное приращение независимого переменного потому и называется произвольным, что оно не связано здесь никакими условиями. Α ∆х входившее у нас для получения производной, как бесконечно–малое не имеет ничего общего с нашим теперешним ‹∆у.

Предыдущее определение дифференциала функции мы можем определить и несколько иначе, давши более симметричную формулу. А именно, что такое это ΔχΊ Чтобы ответить на этот вопрос, определим, что такое был бы дифференциал от х, т. е. для случая, если функцией от χ является сам же χΊ Так как производная от самого независимого переменного равняется единице, то приведенную выше формулу мы можем переписать так:

dx=∆x,

т. е. для случая, когда χ есть независимое переменное, можно писать:

dy=y'dx.

Другими словами, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимого переменного.

2. Надо сказать, что, давая столь ясное и безупречное построение, математики очень мало сделали для его логического разъяснения (да они едва ли и были обязаны это делать, так что насколько формально ясна и отчетлива математическая идея дифференциала, настолько неясна и неотчетлива она логически).

Что такое дифференциал функции? Самое грубое разъяснение этого заключалось бы в том, что это — обыкновенная конечная величина. Позитивисты из математиков так обыкновенно и бахвалятся, что–де тут и задумываться не над чем: дифференциал, если его вычислить, есть 1, 2, 3 или какое–нибудь другое число или величина. По–видимому, это очень примитивное суждение. Таким образом можно аннулировать весь математический анализ, так как производная тоже может быть конечной величиной, интеграл — гоже конечная величина, всякий предел тоже есть нечто конечное или по крайней мере точно установленное, постоянное и т. д. и т. д. Математическое опровержение этого заключается в том, что дифференциал есть не просто величина, но—функция, т. е. предполагает наличие определенного закона получения этой величины. Кроме того, дифференциал даже и в виде функции отнюдь не всегда имеет определенное значение. Известны такие непрерывные функции, которые не во всех своих точках дифференцируемы, т. е. соответствующая им кривая не везде имеет касательную. Такие функции дифференцируются, т. е. имеют производную, но эта производная не во всех точках обладает определенным значением. Однако раз есть производная, есть и дифференциал, и раз производная не везде обладает определенным значением, то и дифференциал такой функции отнюдь не везде получает точное и определенное значение. Таким образом, сказка о дифференциале функции как о той или иной только конечной величине рушится сама собой.

Кроме того, если бы дифференциал был только конечной величиной, то это означало бы, что в определение интеграла нельзя вводить дифференциала, ибо иначе всякий интеграл оказался бы бесконечно большой величиной, потому что интеграл получается из дифференциала в результате предельного суммирования бесконечно умаляющихся величин. На самом же деле интеграл может сколько угодно быть конечной величиной. Следовательно, дифференциал отнюдь не есть нечто конечное в абсолютном смысле. Из того, что он может быть выражен конечным образом, отнюдь не вытекает конечность его собственной природы. В том, что мы чертим окружность, нет ровно ничего иррационального: взял циркуль и — черти. Но это еще не значит, что отношение окружности к диаметру есть рациональное число. При всей внешней конечности окружности, при всей простоте ее чертежа отношение ее длины к диаметру, оказывается, невозможно выразить никаким конечным числом знаков. Таким образом, конечность дифференциала не есть нечто абсолютное и она совсем не характеризует его сущности.

Вместе с тем категория дифференциала, разумеется, как–то связана с конечным. Какой–то конечный элемент входит в эту категорию, поскольку он есть функция производной (которая может быть конечной) и вполне произвольного приращения аргумента (которое здесь, следовательно, тоже может мыслиться и конечным). Таким образом, конечность входит в понятие дифференциала, но не исчерпывает его.

Часто можно встретить такое определение дифференциала. Это, говорят, есть бесконечно–малая величина, характеризующая приращение функции. Это определение также не исчерпывающе для дифференциала. Во–первых, дифференциал вовсе не есть только просто величина, но предполагает определенный принцип получения этой величины. Во–вторых, бесконечно–малое указывает не просто на величину, а на процесс бесконечного и непрерывного уменьшения величины. Дифференциал в этом случае всегда только и был бы процессом уменьшения. А по определению, дифференциал фактически выступает именно в качестве конечного (хотя, как мы установили выше, и не только в качестве конечного). Конечное никак невозможно исключить из дифференциала. А чистая процессуаль–ность как раз исключает.

В старые наивные времена, до Коши, появлялась мысль, что дифференциал есть просто нуль. Так рассуждал ни больше и ни меньше как великий Эйлер. Но как же это может быть? Ведь если всерьез принимать дифференциал за нуль, то дифференциальное частное было бы А это сами математики считают неопределенностью. Куда же делась бы в таком случае производная? Ведь производная связана не с нулями, а с приближением функции и аргумента к нулю. А это огромная разница. Если мы дифференциал объявим нулем, а потом будем вместе с математиками «раскрывать неопределенность» этого подставляя вместо нулей бесконечно умаляющиеся наращения, то это типичнейшее idem per idem. Правда, сам Эйлер в этой теории нетверд и кое–где рассматривает дифференциалы вовсе не как нули, а как бесконечно–малые приращения.

Однако даже и мнение Эйлера я бы не отбросил целиком.

Рациональное зерно его заключается в том, что при рассмотрении в условиях уже готовой производной (а только при этих условиях и возникает речь о дифференциале) мы получаем эти dy и dx отнюдь не в качестве только стремления к нулю. Стремление к нулю и переход всего этого отношения к пределу необходимы для того, чтобы только впервые получить производную. Но теперь мы не нуждаемся в этом получении и производная у нас уже имеется (причем совершенно неважно, какими именно средствами она получена). Что же такое dyndxB такой ситуации? Если производная сейчас уже не есть переход к пределу, то и dy, dx не есть переход к пределу. И если производная сейчас толкуется как уже готовый предел, то и dy, dx должны быть тоже готовыми пределами. Но ведь их предел был нуль. Значит, в каком–то смысле и dy и dx стали нулями. Предел уже не вне их и не притягивает их из бесконечности, но всосался в них самих, растворился в них самих, стал едино с этим бесконечным процессом, подобно тому как и производную мы теперь рассматриваем в качестве уже готового предела, уже достигнутого, уже охватившего всю бесконечность стремящихся к нему приближений. Ясно, стало быть, что дифференциал в известном смысле обязательно есть нуль.

Итак, дифференциал не есть ни конечная величина, ни бесконечная, ни самый процесс становления конечности или бесконечности, ни нуль. Что же это такое? Кроме того, элементы конечности, элементы бесконечности, элементы становления и даже нуля, несомненно, наличны в понятии дифференциала. И все–таки он не есть ни одно из этих определений. И напрасно математики старались и стараются такими способами понять категорию дифференциала, столь ясную и понятную формально–математически. Необходимо какое–то объединение всех этих четырех моментов, чтобы получить ясный логический смысл дифференциала. Но что же это за объединение?

3. Дифференциал функции есть функция двух переменных — производной от данной функции и произвольного приращения аргумента. Что это значит?

Прежде всего, как участвует в дифференциале функции ее производная? Производная есть предел, — мы знаем чего именно. Что такое предел? Уже и относительно предела возникают, как мы знаем, многие из тех сомнений, которые затемняют категорию дифференциала. Уже и предел многие готовы понять как просто конечную величину, как будто бы 1, 2, 3 и т. д. уже в силу своей конечности есть некие пределы. Но поскольку понятие предела гораздо проще и понятнее дифференциала, то обыкновенно и не входят глубоко в логический анализ этого понятия. Что ж тут объяснять? Вот предел; а вот то, что к нему стремится. И — все ясно. Но на самом же деле это, как мы видели в логической теории предела, вовсе не так ясно и просто. Предел логически имеет значение только вместе с бесконечным и непрерывным процессом приближения к нему его инобытия. Иначе это не предел, а просто конечное число. Предел, как мы видим, есть — в логическом смысле— обязательно синтез конечного и бесконечного, и не просто синтез вообще, а некоторого рода специальный синтез, ибо становление тоже есть синтез конечного и бесконечного; да и само конечное тоже ведь только с наивно–метафизической точки зрения является просто конечным, и больше ничего. Только наивно–мстафизи–чески можно было бы гипостазировать категорию конечного в отрыве от всего прочего. На самом же деле всякое конечное число, даже единицу, как мы видели, можно представить состоящим из бесконечного количества отдельных достаточно мелких элементов. И всякий отрезок прямой, как бы он мал ни был в абсолютном смысле, состоит из бесконечного количества отрезков достаточно малых. Значит, тот синтез конечного и бесконечного, который характерен для предела, есть специфический синтез конечного и бесконечного. Это именно есть синтез достигнутости конца для бесконечного процесса; это ставшее того бесконечного становления, в котором находилось конечное. Тут важна пройденность бесконечного пути, чего нет в других указанных только что синтезах конечного и бесконечного. Однако не будем входить здесь в детали и ограничимся тем, что просто назовем этот синтез синтезом предела или предельным синтезом. Он прежде всего и возникает, когда речь заходит о дифференциале.

Итак, дифференциал функции как функция ее производной есть прежде всего функция синтеза предела, функция предельного синтеза. Этот момент чрезвычайно важен. Он указывает на то, что нечто правильное было в этих наивных исканиях математиков, когда дифференциал объявлялся то конечной, то бесконечной величиной, то нулем. Поскольку дифференциал есть определенная функция некоей предельности, уже одно это свидетельствует о том, что в дифференциале есть и нечто конечное, и нечто бесконечное, и даже нуль. Конечное и бесконечное содержится, как мы сейчас установили, во всяком пределе. А нуля не избежать потому, что производная (в виде которой и фигурирует предельность дифференциала) есть предел отношения величин, именно стремящихся к нулю. Таким образом, математики, дававшие указанные выше понимания дифференциала, не были абсолютно не правы, а давали только односторонние понимания.

Итак, в дифференциале есть синтез конечного и бесконечного — предельного типа. Но что же дальше? Дифференциал есть, как мы знаем, функция и еще одного переменного, именно — произвольного приращения аргумента. Что это значит? Это значит, что функция предельности, фигурирующая в нем, дана не в чистом виде, но в измененном. И изменение это произошло тут в направлении изменения аргумента. Аргумент потребовал здесь некоего конечного фиксирования этой предельности, т. е. функционирования ее на некотором конечном протяжении. Дифференциал, стало быть, есть очень сложный принцип получения величины: он не только требует соединения конечного и бесконечного по типу предела, но он еще и требует определенной области, где бы это соединение воплощалось. Сама область тут в абсолютном смысле не определена, как и вообще весь дифференциал (да и все инфинитезимальные понятия) есть не абсолютная величина, а только принцип ее возникновения. Но что какая–то вообще определенная область осуществления синтеза должна быть, это тут зафиксировано строго.

Что же такое тогда дифференциал? Если говорить образно и грубо, то это есть: как бы закругленное становление, остановившийся бесконечный и непрерывный процесс; такое течение, которое совершается в определенных берегах; как бы снимок, что ли, со становления, некоторый отрезок, вырезка из этой стихии становления; остановившийся смысл той непрерывной текучести, о смысле которой невозможно было до этого момента и спрашивать ввиду полной неразличимости этого течения. Это отрезок линии постепенного изменения цвета какого–нибудь предмета, когда, напр., желтое переходит в зеленое — начиная от точки, когда желтое совершает первый сдвиг, до той точки, когда оно уже целиком перестает быть желтым и становится зеленым. Тут везде непрерывность, а стало быть, и бесконечность, бесконечно–малое, процесс бесконечно малого нарастания. Но тут и прерывность, а стало быть, и конечное, ибо разница между желтым и зеленым есть разница вполне определенных, устойчивых и конечных категорий. И здесь, наконец, переход одного конечного к другому через бесконечность непрерывных изменений первого конечного, т. е. переход именно к пределу. Поэтому, давая логическую формулу дифференциала в раскрытом виде, можно было бы сказать так: дифференциал есть результат, т. е. пройденный путь (как целое) от одного конечного к другому конечному через бесконечность непрерывных (бесконечно малых) изменений первого конечного. Тут мы имеем и конечное, и бесконечное, и их синтез, и их синтез в виде предела, и осуществленность этого предельного синтеза на конечном расстоянии (или разнице) двух конечных величин; и, наконец, тут мы имеем самый настоящий нуль, ибо дифференциал есть весь пройденный путь и достигнутость предела, а предел тут — не что иное, как нуль.

4. К предыдущему необходимо сделать одно замечание, которое в дальнейшем будет развито у нас в целую теорию, но которое сейчас необходимо сделать только в кратчайшем виде, просто для избежания возникающего здесь недоумения. Дело в том, что данное выше логическое определение дифференциала в своем существе не отличается от определения интеграла. В интеграле тоже есть и конечность, и бесконечность, и предел. Необходимо еще внести специ–фикум, чтобы получился именно дифференциал. Это мы и делаем ниже, в § [12]. Сейчас же только заметим, что различие этих понятий заключается не в их существе, но в их оперативном употреблении, в том, как ими пользуются в вычислениях и измерениях. Различие это метрическое. Если данный математический предмет рассматривается как единица измерения, как элемент более сложной цельности, то это есть дифференциал. Если же тот самый предмет фигурирует как результат изменения, как цельность известного множества элементов, то мы имеем здесь интеграл. Все это развивается у нас ниже, в § [12].

5. Предложенные нами рассуждения пытаются вскрыть логическую природу математического понятия дифференциала. Теперь мы можем обратиться к исследованию другой проблемы, родственной, но не тождественной с этой, именно к исследованию логического коррелята этого понятия. Другими словами, что такое дифференциал в самой логике, т. е. что такое дифференциал понятия? Раньше мы говорили о понятии дифференциала. Теперь стоит вопрос о дифференциале понятия. Вопрос этот, можно сказать, совсем не исследовался. Если о понятии дифференциала всегда шли споры и давались его многочисленные характеристики и если о применении метода бесконечно–малых в логике и философии тоже говорилось достаточно, то, кажется, еще никто не доходил до такой конкретности в постановке вопроса, чтобы прямо указать пальцем, где же именно в логическом мышлении мы имеем производную и где же именно дифференциал. А ведь без этого вся теория философского применения метода бесконечно–малых остается чрезвычайно абстрактной и далекой от живого мышления и ограничивается только намерениями и планами без перехода к достижениям. Надо прямо пальцем ткнуть в тот элемент логического мышления, который является коррелятом математического дифференциала. И этот элемент должен быть достаточно простым и понятным, чем–то совершенно элементарным, как элементарно и само математическое понятие дифференциала, выступающее уже на первых страницах учебников математического анализа. Больше того. Поскольку из всех типов логики формальная логика наиболее распространена и считается наиболее понятной и поскольку формальная логика есть известного рода методический коррелят для всякой другой логики, в том числе и для инфинитезимальной, необходимо найти категорию дифференциала—конечно, в соответствующем методическом преломлении — уже в самой формальной логике. Если дифференциал понятия есть нечто логически реальное, т. е. реальное, а не выдуманное достояние логического мышления, то наиболее простой и доказательный способ обнаружения логической значимости дифференциала — это указание его (в соответствующей формально–логической модификации) именно в самой же формальной логике.

Этим мы и займемся.

6. Тут, очевидно, надо логически расшифровать все то же произведение производной на произвольное приращение независимого переменного.

Что значит «произведение», «умножить»? Умножить данное число — значит повторить его слагаемым столько раз, сколько единиц содержится в множителе, т. е. воспроизвести, осуществить, воплотить так, как того требует множитель. Множимое здесь производная, т. е., согласно нашим выводам, принцип деления понятия. Множитель — то или иное приращение независимого переменного— есть, по нашему предположению, известное изменение в вещах, та или иная материальная перемена. Следовательно, принцип деления понятия надо изменить так, как того требует данная материальная перемена. Пусть принцип, или основание, деления есть у нас, скажем, «цвет», т. е. данное понятие мы делим по признаку цветности. Что же такое этот цвет, если его взять с точки зрения той или иной его материальной перемены? Это значит взять какой–нибудь цвет, напр. красный, желтый, белый. Красный, желтый, белый и т. д. есть, во–первых, просто цвет вообще, а во–вторых, та или иная его материальная спецификация. Умножить производную от функции (понимая под функцией общее понятие) на произвольно выбранное приращение независимого переменного—это и значит попросту специфицировать основание деления данного понятия. Если я карандаши делю по их цвету, то это значит, что я так или иначе специфицирую понятие цвета, т. е. говорю: черный карандаш, синий карандаш, красный карандаш и т. д.

Так что же тогда такое дифференциал понятия? Ясно, что это есть не что иное, как видовое различие понятия. Ведь видовое различие понятия и есть только конкретное воплощение «основания деления», т. е. такое «основание деления» понятия, которое известным образом материально специфицировано. Почему мы здесь говорим о материальной спецификации? Потому, что с нашей точки зрения, т. е. с точки зрения последовательно проводимой теории отражения диалектического материализма, ни из какого понятия совершенно невозможно вывести его видов, если нет перед этим самих видов. Если бы мы имели только понятие цвета и не знали бы, кроме того, что есть желтый, красный и т. д. цвета, то из одного этого понятия цвета мы совершенно не могли бы вывести желтый, красный и пр. цвета. Чтобы это понятие было специфицировано, т. е. чтобы из него вытекали какие–нибудь видовые понятия, необходимо его соотнести с теми или иными изменениями материального мира; надо из материального мира подыскать те или иные процессы, которые бы ему соответствовали. Если я уже знаю, что такое синий цвет, то я могу подвести его и под общее понятие цвета. Если же я его не знаю, то никакими силами я не смогу дедуцировать его из одного только понятия цвета. Следовательно, «основание деления», имеющееся у нас для данного понятия, должно быть именно материально специфицировано, т. е. должно быть соотнесено с вещами, с тем или другим их отрезком. Тогда мы получаем конкретный результат этого «основания деления». А он и есть видоразличие для данного понятия.

Эта простая и ясная идея до нас нигде не была раскрыта. О том, что такое дифференциал в понятии, не додумался еще ни один логик, даже из тех, которые считали нужным строить инфинитези–мальную логику. Между тем идея эта с очень выгодной стороны конкретизирует математическую категорию дифференциала и дает новое освещение заскорузлой формально–логической категории видового различия. Тут именно становится впервые понятным все глубочайшее различие метода бесконечно малых от метода конечных изоляций, которым пользуется формальная логика. Тут уже не общие рассуждения о том, что мышление есть некое движение, но эта подвижность показана на реальной и элементарной категории формальной логики.

В самом деле, что такое видовое различие в формальной логике? Оно даже и не определяется. Или говорится: это то, чем отличается одно видовое понятие от другого, т. е. тут допускается просто idem per idem. Кроме того, самый процесс наложения видового различия на род мыслится здесь внешне, поверхностно, т. е. никак не мыслится. Знаменитое правило: «Определение происходит через род и видовое различие» — совершенно не входит в то, как именно это «происходит». Видоразличие просто «присоединяется», «прибавляется» к роду, и — кончено. Считать это разъяснением того, как логически возникает определение понятия, совершенно невозможно. Что же вместо этого дает нам категория дифференциала?

Если видоразличие понимать как дифференциал, то это прежде всего погружает определение понятия в сплошной поток, в непрерывное становление. Чтобы видоразличие стало дифференциалом, необходимо и самому понятию, о дифференциале которого мы говорили, находиться в процессе непрерывного становления, и основанию деления этого понятия быть пределом для бесконечного количества конкретных форм этого деления. Из этого сплошного потока конкретного функционирования «основания деления» должен быть вырезан тот или иной «участок», «отрезок», «кусок». И вот этот–то смысловой участок, или область действия, принципа дробления понятия и есть дифференциал этого понятия, видоразличие данного понятия. Формально–логическое, неподвижное, ото всего изолированное видовое различие надо погрузить в непрестанный поток изменения: непрерывно меняется определяемое понятие, непрерывно меняется самое направление этого изменения (производная), непрерывно меняется результат этого изменения, или определения.

Взятый в известных границах, результат этого определения тоже внутри себя непрерывно наплывает. Он–то и есть дифференциал.

Синий как видоразличие для какого–нибудь понятия (напр., для «карандаша», «обоев», «костюма», «цветка»), если это видоразличие понимать как дифференциал, предполагает: 1) сплошное изменение данного понятия (всех этих «карандашей», «обоев» и пр.), т.е. «приращение функции»; 2) определенное направление этого изменения, т. е. «производную», или «цвет вообще»; 3) бесконечный перелив и непрерывное становление величин, подпадающих под это направление, «приближенные значения пределопроизводной», или весь непрерывный цветовой спектр, и, наконец, 4) вырезку, выемку, отрезок, область, запруду, конечное протяжение некоторой области из этого становления, определяемого производной — цветом, т.е. синеву определенного и конкретного типа (ибо синих цветов, если принять во внимание все их оттенки, тоже целая бесконечность).

Так модифицируется формально–логическое видоразличие понятия на инфинитезимальную категорию дифференциала. Дифференциал—это и есть, вообще говоря, видоразличие понятия, но — в условиях сплошной текучести — и родового понятия, и основания его деления, и самого видоразличия.

7. Замечательным примером глубочайшей логической значимости инфинитезимальных категорий является рассмотрение того, что в математическом анализе называется разницей между дифференциалом функции и ее приращением. Это математически весьма элементарный шаг, который в учебниках анализа делается обычно тут же, в первых параграфах о дифференциале. Математически он очень элементарен, но логически он очень глубок и замечательно поучителен вообще для построения логики и в частности для проверки ее построений при помощи построений математических.

Как рассуждают тут математики? Когда мы взяли Ах, произвольное приращение аргумента, то это, конечно, сейчас же отразилось и на функции, для которой мы тоже получаем некое приращение, в Зависимости от того, какая это функция. Спрашивается: что же такое дифференциал этой функции в сравнении с этим ее приращением? Есть ли это то же самое или нет, и если не тоже, то чем же именно отличается дифференциал функции от соответствующего нарастания функции? Математики тут рассуждают так.

Представим дело аналитически. Будем рассуждать как обычно. Беря функцию от χ, т.е. ƒ(x), приращение аргумента Ах и соответствующее приращение функции, т.е. ƒ(х+Δх)— ƒ(х), пишем обычное выражение производной:

Возьмем разницу между производной и этим стремящимся к ней как к пределу отношением приращений функции и аргумента.

Что такое эта разность ε? Это бесконечно–малая величина, которая переводит нас от приближенного значения к пределу. Это есть самый переход к пределу. Освобождая предыдущее выражение от знаменателя, получаем:

Но левая часть этого равенства есть не что иное, как приращение функции Ау, а первое слагаемое правой части есть не что иное, как дифференциал dy этой функции. Следовательно,

т.е. приращение функции и дифференциал функции отличаются друг от друга на бесконечно–малое высшего порядка, чем Δх.

В чем тут дело, если подойти к вопросу чисто логически? Что это за таинственная величина ε Δ χ, которой только и отличается дифференциал от общего приращения? Вопрос этот также не ставился в логической литературе. Однако мы можем предложить его простейшее и яснейшее решение.

Мы уже знаем, что такое ε. Это самый переход от переменной величины, стремящейся к пределу, к самому пределу. Мы знаем также, что значит умножить. Выражаясь не математически, а образно–обывательски, это значит воспроизвести множимое методом множителя, воспроизвести одно, так сказать, в атмосфере другого, найти нечто общее между одним и другим. Такие выражения, когда они вызваны чувством (хотя и очень смутным) логической природы предмета, часто бывают для логики гораздо более ценными, чем точнейшие, но логически не осознанные и наглядно не освоенные математические формулы. Если Δх есть произвольное приращение независимого переменного, т.е. известная материальная перемена, то ε Ах есть, очевидно, некое новое понимание перехода к пределу, а именно тот предельный переход, который по качеству своему есть некое определенное материальное изменение.

Что же это такое? Производная у нас, как мы знаем, есть принцип деления понятия (скажем, «цвет» для «обоев»). Разница ε есть, очевидно, разница между «цветом вообще» и данным цветом. Тогда ε Δх есть разница между «цветом вообще» и, напр., желтым или зеленым цветом. Но ведь дифференциал понятия есть его видовое различие. Следовательно, из полученной формулы мы имеем: приращение понятия (обои) есть его видовое различие (зеленый цвет) плюс переход этого видоразличия к его предельному в данной ситуации значению. Но что же такое этот переход видоразличия к пределу? Что делается пределом для зеленого цвета обоев? Ведь оттенков зеленого цвета неисчислимое количество. И тем не менее тут они чем–то сдерживаются, тут для них есть какой–то точный и определенный принцип, есть для них точный предел. Этот предел есть, конечно, сами обои, ибо это единственная граница, за которую мы не можем выходить, если говорим о цвете именно обоев.

Но тогда получается очень простое решение вопроса о логической значимости разбираемого нами произведения. Это есть переход видоразличия к тому роду, к тому родовому понятия, которое им специфицируется. «Приращение» понятия есть не что иное, как соединение его дифференциала — видового различия — с переходом к роду, с этим самым произведением ε Δх. Другими словами, здесь перед нами не что иное, как инфинитезимальная модификация самого обыкновенного формально–логического процесса определения понятия. Понятие определяет себя тем, что оно нарастает. Определить себя—значит перейти в иное и в этом ином найти себя. Приращение функции, приращение понятия и есть не что иное, как ее определение. Но что делается при переходе в иное? Понятие прежде всего получает характеристику, противоположную себе, раз оно перешло в иное. Сами обои не есть цвет, но, переходя в иное, они становятся тем или иным цветом. Собака не есть такое–то и такое–то строение ушей и ног; но, переходя в иное, в материальное окружение, это понятие специфицируется, и для «собаки» оказывается существенной, напр., коротконогость или длинноухость. И т. д. Однако этим определение понятия, конечно, не может ограничиваться. Если бы мы остановились на этом, то вместо определения понятия мы имели бы как раз уход от определения, противоположность всякого определения, ибо само по себе взятое видоразличие «зеленый цвет» не имеет ровно никакого отношения к «обоям» или, вернее, имеет к ним такое же отношение, как и к «карандашу» или к «листьям дерева». Сама по себе «зеленость» совершенно инобы–тийна к «обоям» и нисколько их не характеризует. Чтобы «зеленость» стала существом обоев, надо в этой «зелености» найти «обои», т. е. надо, чтобы тут была «зеленость», характерная именно для обоев, а не для чего–нибудь другого. Надо, чтобы определяемое через инобытие понятие не только перешло в это инобытие, но чтобы оно и нашло себя в этом инобытии, сошлось в нем само с собою, необходимо, чтобы определяемое через инобытие понятие не только перешло в инобытие, но чтобы и это инобытие понятия перешло к самому понятию. Необходимо их равномерное и обоюдостороннее тождество. Но, когда мы от «обоев» перешли к «зелености», мы достаточно демонстрировали переход определяемого понятия в инобытие. Остается, значит, чтобы «зеленость» перешла в «обои», и тогда цель определения будет достигнута. Это и значит, что видоразличие должно перейти к роду, видоразличие понятия должно вернуться к той родовой общности, которую мы и должны были определять. Этот сложный диалектический процесс определения понятия, сводящийся, как мы видим, к отрицанию отрицания, и выражается в формальной логике, по исключении всякой процессуальное и со сведением непрерывности на неподвижно изолированные категории, так: определение понятия происходит через род и видовое различие.

Заметим, что непрерывная процессуальность сохраняется не только в этом переходе ε Ах, где оба сомножителя находятся в непрерывном изменении, но она налична и в самом дифференциале, который тоже есть произведение ƒ(x) Δх, где один сомножитель есть предел, т.е. указывает на бесконечное и непрерывное становление, а другой сам находится в непрерывном движении. Если вещь из желтой становится зеленой, то ее зеленый цвет есть то новое, что мы в ней находим в результате ее изменения, т.е. в результате полученного ею «приращения». И если отмечать это приращение на прямой в виде отрезка, в конечных точках которого будут находиться оба цвета, то дифференциал здесь есть та часть этого отрезка, которая ограничена с одной стороны началом изменения желтизны, а с другой стороны — концом этого изменения и переходом в зеленое. Дифференциал нашей вещи, становящейся из желтой зеленой вещью, есть этот непрерывный, состоящий из бесконечно малых нарастаний переход от зелености этой вещи к ее желтизне, переход, взятый, однако, несмотря на свою внутреннюю процессуальность, как единое и нераздельное целое. Это и есть dy, т.е. данное специфически цветовое видоизменение нашей вещи. Но ведь наша вещь не есть зеленая вообще. Обои не просто зелены, но зелены в смысле обоев. Листья дерева не есть просто зеленость вообще, но та именно зеленость, которая специфична для листвы. Значит, если желтая ягода позеленела, если желтая окраска моря (под тем или другим действием солнечных лучей) изменилась на зеленую, то это могло произойти не только потому, что здесь появилась зеленость, но еще и потому, что появилась именно ягодная зеленость, именно морская зеленость. Другими словами, тут, рассуждая теоретически, должен также произойти переход и от зелености вообще к данной специфической зелености. Это демонстрируется остальной частью нашего отрезка, символизирующего собою «приращение» вещи, это есть ε Δх.

Тут, стало быть, два предельных перехода, один — от желтизны вообще к зелености вообще и другой—от зелености вообще к данной специфической зелености. Но предельность тут дана в обоих случаях, конечно, по–разному. В первом случае был переход от одного цвета к другому, во втором же—переход внутри одного и того же цвета. Поэтому в первом случае надо было изменять саму производную от нашей вещи, т. е. вносить изменение внутри «цвета вообще» (чтобы перейти от желтизны к зелености); отсюда и математическое выражение ƒ(x) Δх. Во втором же случае речь уже не может идти о модификации самой производной, так как здесь вовсе не ставится вопроса о переходе одного цвета в другой. Поскольку же, однако, здесь идет речь о переходе внутри одного и того же цвета, необходимо вместо производной брать только то, чем отличается данная цветность от цветности вообще. Отсюда и ε Δι В первом случае предел находится не вне того, что стремится к пределу, а растворен в этом стремлении (ибо «цвет вообще» одинаково свойствен и желтому, и зеленому, и всем их промежуточным отрезкам). Во втором же случае предел находится вне того, что стремится к пределу (ибо «море», «листва» и пр., взятые сами по себе, не имеют никакого отношения к зелености). Но так или иначе, в разных смыслах, а все же непрерывное и бесконечное становление пронизывает здесь оба слагаемые нашего приращения, и дифференциал, и отрезок ε Δ χ, т. е. и видоразличие родового понятия, и переход от этого видоразличия к самому понятию как к родовой общности.

Значит, если анализируемое нами приращение понятия есть его определение, то дифференциал этого понятия есть его видовое различие, а произведение ε Ах есть возвращение к роду, или, говоря грубо, родовой признак. И когда математики говорят, что дифференциал функции есть главная часть ее приращения, то сейчас это делается элементарно ясным и простым: видовое различие действительно есть то главное и основное, что тут «наросло» в понятии. Если из «наращения» понятия исключить всю его про–цессуальность и всю его связанность с родовой общностью понятия, то в нем единственно только и останется само видовое различие. Все это только инфинитезимальный коррелят самого обычного формально–логического правила об определении понятия через род и вид, причем мы видим, что этот коррелят гораздо ближе к диалектическому учению об определении как об отрицании отрицания, чем к формально–логическому определению через род и вид. Впрочем, единство всех этих методов определения понятия — формально–логического, диалектического и инфинитезимального — ясно из предыдущего само собой (не хватает тут только еще одного замечательного метода современной науки, именно структурного метода определения понятия, но его наше настоящее исследование не касается).

Следовательно, здесь, так же как и в категориях производной и дифференциала, надо только уметь переходить от метода конечных изоляций, практикуемого в формальной логике, к методу бесконечно–малых, и — ясность инфинитезимальной категории обеспечивается. Погрузите в сплошное и непрерывное становление и определяемое понятие, и направление (смысл) этого определения, и то, чем вам угодно будет воспользоваться на этом общем пути становления понятия. Тогда потребуется такой же непрерывный переход и от этого произвольного отрезка на общем пути становления понятия к самому понятию. Как мы поняли в виде непрерывного становления видовые признаки понятия, так понимаем теперь непрерывно и переход от них к родовой общности вместо формально–логического механического суммирования неподвижных и взаимно изолированных видовых и родовых признаков в определяемом понятии.

8. В заключение нашего исследования логической природы дифференциала приведем геометрическое истолкование дифференциала, которое с большей наглядностью и выпуклостью оправдывает выставленную нами логическую теорию.

Вспомним наш чертеж на стр. 651. Пусть точка Μ имеет своими координатами χ и у. Тогда абсциссой для М' будет χ+Δχ и, следовательно, отрезок MQ = ∆x. Отрезок же QM' =ƒ(x + ∆x)—ƒ(x) = ∆y. Проведя касательную к кривой в точке Μ до встречи ее с ординатой точки М' в точке Т, мы имеем в прямоугольном треугольнике MQT:

TQ = MQ tg

И поскольку тангенс угла касательной с осью абсцисс есть не что иное, как производная, то

TQ=ƒ(x) — Δx = dy,

т.е. отрезок TQ есть дифференциал dy функции y=ƒ(x). И таким образом, часть МТ отрезка M'Q, не хватающая до полного приращения функции, есть то самое произведение ε Δх, которое раньше мы получили аналитически.

Это геометрическое рассуждение весьма наглядно демонстрирует нам то, что мы выше сказали о логической сущности дифференциала. Дифференциал выступает здесь в виде невинного отрезка TQ. Что это за отрезок? Один его конец, точка Q, есть начало приращения функции вообще. Другой его конец есть точка пересечения касательной в точке Μ и ординаты точки М'.

Что значит пересечение? Пересекаться в той или иной точке — значит отождествляться в этой точке. Что значит отождествляться нашей касательной с ординатой точки ΜΊ Если в Μ мы имеем желтый цвет и по направлению к М' он меняется, то что значит, что желтый цвет отождествился с цветом вообще (ибо касательная указывает на производную, а производная, согласно принятой у нас интерпретации, указывает на «цвет вообще»)? Если желтый цвет стал цветом вообще, это значит, он перестал быть именно желтым цветом. Значит, в точке Τ желтый цвет закончился как желтый. В течение отрезка QT он менялся, т.е. он становился все менее и менее желтым. И вот в точке Τ он перестал быть желтым и начал быть зеленым. Это критическая точка, которая одинаково и желтая и зеленая или, вернее, одинаково не желтая и не зеленая.

Но цветность по отрезку QM' продолжает развиваться дальше, а именно мы доходим до точки М', где наша ордината пересекается с самой кривой. И опять: так как пересечение в точке есть отождествление в этой точке, то ясно, что в точке М' зеленость в результате непрерывного изменения в течение ТМ' отождествляется с той вещью, которая выражена у нас в виде функции, т.е. в виде соответствующей точки на кривой. А в чем может отождествляться зеленость с листвой? Только в том, что она станет зеленью именно листвы. Так, если определяемое понятие есть листва, а ее видораз–личие зеленость, то ее дифференциал есть зеленость, постепенно нарастающая и взятая во всем своем нарастании как целое, как таковая. Если мы захотели бы взять ее как момент определения данного рода листвы, т. е. вместе с самой листвой, то мы должны были бы также перейти и от зелености вообще к зелености именно листвы, т. е. соединить вид с родом.

Такова простейшая логическая, и в частности формально–логическая, значимость инфинитезимальной категории дифференциала, демонстрированная при помощи самого элементарного геометрического рассуждения.

9. В заключение всего нашего исследования логической природы дифференциала можно еще раз подчеркнуть, что это понятие и живет, и падает вместе с понятием бесконечно–малого, вместе с учением о бесконечном и непрерывном становлении (как и все понятия математического анализа). Употребляя вольное выражение (а эта вольность вполне простительна после предложенных выше напряженных усилий дать точную логическую формулу), дифференциал есть как бы атом бесконечно–малого, как бы бесконечный и непрерывный процесс в виде законченной индивидуальности. Если само бесконечно–малое вообще не есть нечто — ибо это есть только процесс, только само становление, без начала и конца, без середины и вообще не содержащее в себе никаких точек (ибо точка есть нечто совершенно противоположное становлению), — то дифференциал есть ставшее, бесконечно–малое как ставшее, такое бесконечно–малое, которое плещется в твердых и неподвижных берегах.

Стало быть, если и наше мышление, в частности понятие, должно быть взято с точки зрения этого сплошного становления, то дифференциал отражения вещи в мысли есть, следовательно, во–первых, понятие, а во–вторых, не понятие просто, а его бесконечно–малое нарастание, наплывание, становление, которое можно брать и как таковое, в чистом виде, а можно брать и в виде своеобразных атомов, молекул, элементов, индивидуальностей. Поэтому дифференциал мышления есть не столько понятие, сколько нечто понятийное, молекула понятийности. Это сплошное и безраздельное наплывание и становление самой понятийности. Вот эта–то замечательная идея и заставила Энгельса заговорить, как мы выше видели, о «расплавливании затвердевших категорий» в дифференциальном и интегральном исчислении. Дифференциал мышления есть это расплавленное понятие или, точнее, мельчайший сдвиг такого расплавленного понятия, первый, едва отличный от нуля момент этого плавления. Пусть читатель судит сам, имеется ли у него еще какой–нибудь столь же совершенный метод для изображения становления понятий и можно ли пренебречь в логике этим дивным, этим тонким и острым, этим замечательным понятием дифференциала. Безусловная, подлинная стихия чистого становления зафиксирована тут в тончайшем и точнейшем понятии вместо всех этих обывательских пошлостей и размазни, что все течет и все изменяется, не имеющих никакого отношения ни к марксизму, ни к науке вообще.

 

11. ИНТЕГРАЛ В ЛОГИКЕ

Как мы знаем, интегрирование определяется в математике или в качестве процесса, обратного дифференцированию, или в качестве нахождения предела суммы. В первом смысле интегрирование для нас менее интересно, так как здесь мы имеем дело с прямым обращением того, что у нас было при дифференцировании, так что определение интеграла носит здесь формальный характер. Используем, однако, оба определения.

1. Дифференцирование приводит нас от первообразной функции к производной, а интегрирование—от производной к первообразной. Интеграл функции есть ее первообразная, если она сама понимается как производная. Здесь мы встречаемся опять с традиционным математическим позитивизмом, понимающим интеграл просто как ту самую функцию, производная которой интегрируется. Здесь повторяется та же пошлость, что в понимании дифференциала как «самой обыкновенной конечной величины», в то время как даже эта самая «конечная величина» никогда не есть только конечная, подобно тому как и действительности нет только прерывной, а есть действительность только прерывная и непрерывная сразу и одновременно. Ни производная, ни дифференциал, ни интеграл, ни даже «самая обыкновенная конечная величина» не есть нечто только конечное. Раз 1, 2, 3 и т. д. не мыслятся нами как обязательно интегралы и для получения этих чисел натурального ряда вовсе не надо знать, что такое интеграл, то, следовательно, и интеграл вовсе не определяется конечным числом и не есть просто та первообразная функция, которую мы дифференцировали, чтобы получить производную. Что же тогда такое интеграл?

Что значит перейти от производной к первообразной функции? Ведь производная—это, как мы установили, есть принцип деления понятия. Первообразная же функция, о производной которой идет речь, есть само понятие, которое тут делится, или, точнее, первоначальное и неделимое понимание, отражающее вещь. Путем интегрирования мы, следовательно, переходим от принципа деления понятия к самому понятию, от принципа его становления—к нему самому. Если же говорить точно, то мы только сейчас, после интегрирования, можем впервые говорить о понятии, так как до сих пор у нас был только единый и неделимый смысл, единое и неделимое существенное определение вещи. Понятие есть, таким образом, интеграл смысла, ибо оно возникает только после рефлектирования этого смысла вещи с точки зрения изменений самой вещи, т. е. только после перехода его в становление; обратное движение от этого становления смысла к его цельности и неделимости и есть интегрирование, а результат этого перехода от становления к устойчивой цельности, т. е. к ставшему, — это и есть интеграл.

Таким образом, интеграл есть опять–таки соединение конечного и бесконечного, и это соединение опять–таки совершается здесь по типу становления, и в этой общей сфере становления опять–таки выбирается момент предела, т. е. ставшего. Словом, до сих пор мы не делаем ровно никакой разницы с дифференциалом. Это тождество интеграла с дифференциалом надо понять раньше, чем мы будем говорить об их различии. И так как об этом различии у нас будет разговор дальше, то сейчас пока будем всматриваться в то, что такое интеграл и в чем разница между понятием как отвлеченным смыслом и понятием как интегралом. Интегралом в логике является вовсе не то единое и неделимое существенное отражение вещи в мышлении или тот единоцелостный смысл вещи, который еще не перешел в свое становление, в свое дробление и который еще не превратился в законченную совокупность признаков. Реальность и очевидность такого цельного существенного отражения вещи были нашим исходным пунктом. Но это не интеграл. Сделаем к этому некоторые пояснения.

2. Прежде всего, надо отчетливейшим образом представить себе, в чем заключается целостность и неделимость этой первообразной функции, которая — после интегрирования—становится у нас интегралом. Это есть целостность и неделимость с точки зрения непрерывного становления в ином. Это не значит, что смысл этот нерасчленим или неразличим сам в себе. Если мы изобразим эту первообразную функцию в виде соответствующей кривой, то кривая эта сама по себе, конечно, вполне расчленима и различима, ее можно разбивать на какие угодно элементы, и в том числе на непрерывно становящиеся. Ее аналитическое выражение тоже состоит из ряда вполне определенных действий, которые не могут не быть расчленимыми и не могут не быть некоей едино–раздельной структурой. И при всем том необходимо утверждать, что это есть раздельность в себе, т. е. еще пока не рефлектированная раздельность. Когда мы, напр., чертим окружность, мы не сразу и в одно мгновение ее чертим, но проходит некоторое время (1—2—3 секунды или еще больше), покамест подвижной ножкой циркуля мы не придем в исходную точку. Конечно, в связи с этим существует четверть, половина, три четверти окружности и т. д., и все это есть результат того, что окружность в себе разделена, что ее можно как угодно делить, и т. д. Но это есть именно раздельность в себе, без всякого перехода в иное, ибо никакого иного тут и нет, пока мы еще не выбрались из черчения самой окружности. Но вот окружность вычерчена, она воспринимается нами как целое, и она теперь как целое вступает в свое инобытие. Мы можем теперь эту окружность, напр., вращать около ее диаметра — получим шар. Мы можем рассматривать ее как основание того или иного трехмерного тела и получить, напр., конус. Наконец, мы можем, даже оставаясь в пределах самой окружности, но теперь владея ею уже как целым, все же характеризовать ее заново, т. е. так, как было для нас невозможным до получения цельной окружности. Мы, напр., теперь можем вычислить длину окружности или определить отношение диаметра к длине окружности, определить площадь соответствующего круга и вообще дать то, что называется геометрией круга и окружности. Все это предполагает, что сама окружность уже есть, и все это предполагает, что окружность рассматривается теперь уже извне, как нечто целое и готовое.

На этом простейшем примере можно очень легко уяснить себе, в каком отношении смысл вещи, или ее простое отражение, есть нечто неделимое и в каком он делится, дробится и есть раздельное целое. Неделим и неразличим этот смысл с точки зрения своего непрерывного становления в окружающем, т. е. в нем нет тех различений и разделений, которые несет с собою внешнее непрерывное становление. Но в нем обязательно есть разделение прерывное и непрерывное свое собственное, т. е. определенная составленность из тех или иных элементов, но — обязательно внутри собственных пределов. Структура устанавливаемого смысла вещи как вещи дана тут до своего перехода как целого в сферу непрерывных своих изменений в окружающей действительности, в то время как структура понятия дана после перехода соответствующей первообразной функции в непрерывное становление в окружающем.

Все это нужно иметь в виду для четкого представления, что такое интеграл. Понятие как интеграл есть, следовательно, некая едино–раздельность смысла вещи, отраженного в мышлении, но едино–раздельность после перехода ее как целого в становление, едино–раздельность уже после соотнесения со становлением вещи и, значит, такая едино–раздельность понятия, которая уже есть совокупность признаков понятия. Смысл делится и расчленяется здесь на свои признаки, ибо признаки в нем зарождаются только в связи с его инобытийным функционированием. И вот составленность смысла из таких элементов, которые сами суть признаки, и есть понятие как интеграл.

3. Что дает нам нового эта инфинигезимальная точка зрения на понятие? Это новое более ярко скажется на анализе второго определения интеграла—как предела суммы; и оно менее выпукло на интегрировании как действии, обратном дифференцированию. Однако и здесь выгоды инфинитезимального подхода к мышлению достаточно выпуклы и ощутимы.

Мы, следовательно, идем здесь от принципа становления смысла обратно к смыслу и получаем уже не просто смысл, но интегрированный смысл, или интеграл смысла, или, по нашей терминологии, понятие. Значит, что такое понятие при таком инфинитези–мальном подходе? Состоит ли оно из признаков или нет? И есть ли оно что–нибудь общее или единичное?

Очень важно для логики интегральное понимание признаков понятия. То гипостазирование признаков, о котором учит традиционная логика, совершенно невозможно. Таких абсолютных понятий с такими абсолютными признаками просто не существует. Оперирование с такими понятиями и с такими признаками совершенно антиисторично, антисоциально и даже попросту антипсихологично. Таких понятий и таких признаков, повторяем, просто не существует. Ведь существует же в конце концов реальное исследование, искание, экспериментирование, творчество—и у отдельного научного работника, и в науке вообще. Существуют же какие–то этапы исследования, развитие исследования, переходные моменты исследования. Все это движется, накопляется, эволюционирует; потом вдруг делает прыжок, скачок, совершает революцию; потом опять долго и мучительно растет, нарастает, зреет или, наоборот, деградирует, хиреет, умирает. Так, и только так, развивается наука, и больше никак. Тысячи голов продумывают тут научную теорию, и при этом каждая голова вносит от себя часто именно какое–то «бесконечно малое приращение» (в том или ином смысле) в общую сокровищницу человеческого знания. О каких же твердых и неподвижных понятиях можно говорить и где они такие твердые и неподвижные признаки наших понятий, и научных, и обыденных? Ну, есть там и здесь некая относительная устойчивость понятий и признаков. Особенно ею хвалятся т. н. точные науки. Но эта абсолютность точных наук давно уже разоблачена, и верят в нее сейчас только провинциальные недоучки. По Ленину, всякий закон относителен, какую бы точность и твердость он ни обнаруживал перед нами в данный момент.

Однако если это всерьез так, если мы на деле, а не на словах признаем непрерывную текучесть и понятий, и их признаков, то я не знаю, как обойтись без интегрального понимания и самого понятия, и его признаков. Признаки понятия обязательно становятся, текут, меняются и непрерывно переходят друг в друга. Можно уловить только общее направление этого непрерывного становления и с точки зрения этого общего направления судить о том, что именно здесь становится.

Наблюдая данную область действительности, мы сначала сталкиваемся с массой разнородных фактов, никак не связанных между собою. Механик и физик находят сначала факты падения тела в совершенно несвязанном виде: камень падает одним способом, пушинка—другим. Астрономы до Кеплера бесчисленное число раз смотрели на планеты и никак не могли представить себе их точных орбит. Художник, наблюдающий жизнь, видит, как одно и то же правительственное предприятие или одно и то же событие по–разному действует в разных областях жизни. Да наконец, просто вы слышите музыкальную мелодию и сначала не можете вспомнить, где и когда вы ее слышали и какому композитору она принадлежит. Все это слепые и неосмысленные факты.

Но вот механик и физик начинают наблюдать общую тенденцию наблюдаемых ими фактов: падение, оказывается, взятое как таковое, вовсе не зависит от того, какого веса падающий предмет. Оказывается тут же, что можно наблюдать известную закономерность и относительно самого движения падающего тела—относительно его пути или скорости движения. Художник начинает замечать, что коллективизация крестьянства дает огромные выгоды в смысле народного хозяйства. Услышанную вами музыкальную мелодию вы точно зафиксировали как такую–то и такую–то; ее строение, ее направление вы точно определили и зафиксировали.

И что же остается? Остается на основании всех этих установленных направлений, тенденций, принципов развития данного явления установить самое явление — установить, что такое падение тела или орбита планет, дать тот или иной художественный образ подъема народного хозяйства в связи с коллективизацией крестьянства, вспомнить и назвать музыкальную пьесу и ее композитора на основании установления ее манеры, ее особенностей.

Это и значит в логическом смысле интегрировать. И так как математики говорят об интегрировании чего–то как производной по чему–то как по независимому переменному, то мы здесь и должны говорить — в логическом смысле—об интегрировании наблюдаемых принципов падения тела в смысле его скорости или по наблюдаемым фактам этого падения, т. е. по времени, об интегрировании наблюдаемых особенностей в развитии народного хозяйства по фактам этого хозяйства, об интегрировании манеры в построении мелодии по наблюдаемым фактам этой мелодии. И в результате мы везде получаем здесь интеграл: падение тела как интеграл, художественный образ как интеграл, реальную музыкальную пьесу и ее композитора как интеграл. И везде тут интеграл есть не что иное, как функция соответствующих производных, а производные есть только принципы наблюдаемых фактов в их непрерывном становлении. Везде тут общность и цельность получаемого понятия — как интеграла—всецело зависит от наблюдаемых направлений, а самые эти направления устанавливаются из реально становящихся фактов. Тут, между прочим, для наших целей как раз менее всего важно интегрировать в общем математическом смысле, так как тяжесть и эффектность математического результата здесь, как и везде, имеет слишком огромное значение и стремится перейти к самодовлеющей значимости, игнорируя всякую логику как самостоятельную науку. Поэтому, если закон падения тела и получается в точном математическом смысле как интеграл от скорости падения тела по времени, то для нас в настоящую минуту ценнее то, как Кеплер открыл свой закон движения планет по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Кеплер, не имея никакого математического понятия об интеграле, просто наблюдал практическое положение планет на небесном своде и отмечал перемещение этих положений; он прикидывал, какой кривой это больше всего соответствует, и, когда он заметил, что эта кривая есть эллипс, он в это мгновение, несомненно, проинтегрировал свои наблюдения, сводившиеся только к установлению общих тенденций в движении планет, но никак не к установлению каких–нибудь функций, интегрирование которых привело бы к эллипсу как к планетной орбите. Хотя все подобные представления как будто бы и менее точны, чем математические, тем не менее для логики они очень важны, и часто важнее даже математических представлений, поскольку они гораздо наивнее и откровеннее рисуют нам логический секрет и дифференциала, и интеграла. А секрет этот, освобожденный от всей тяжести математической схоластики и сложной терминологии, сводится к очень простому: интеграл—это понятие, поскольку оно получено из принципа его инобытийного становления. Обычно понятие—это символ устойчивости и даже неподвижности, даже вечности. У нас же оно только результат обобщения становления. Если не гнаться за субтильной терминологией, за точностью, за формулой и сказать грубо и попросту, то интеграл — это обобщение бесконечного становления: понятие как интеграл— это просто сводка и резюме непрерывного и бесконечного становления. Так мы получаем замечательное учение об общности и цельности, которая и самостоятельна, и всецело зависит от материального и вещественного «независимого переменного». Образуется понятие со своей собственной твердой и нерушимой структурой, которое в то же время есть только продукт становления и даже становление это содержит в себе. Оно твердо, точно от всего отграничено, конечно, но оно в то же самое время обнимает в себе неисчислимую бесконечность непрерывных приближений, нарастаний, становлений, и ими только, этими бесконечно малыми процессами, оно и держится. Значит, уже по одному этому интеграл и, следовательно, понятие как интеграл есть некий синтез конечного и бесконечного, и синтез этот здесь вполне специфичен: он получен из становления, ибо наблюдались тут бесчисленные явления, переходящие одно в другое, и получен он путем становления, ибо для получения интеграла надо было исчерпать становление фактов, т. е. перейти к его пределу.

Так логически рождается эта удивительная категория интеграла.

4. Остается еще сказать несколько слов о том, что значит в логическом смысле получить неопределенный интеграл. Математики учат, что интегрирование всегда содержит в себе ту неопределенность, что к получаемому виду функции как первообразной мы должны еще прибавить величину с, именно произвольную постоянную величину. Объясняется это тем, что, поскольку производная от постоянного равняется нулю, в интеграле всегда должны быть те или другие постоянные, которые при дифференцировании исчезают, переходя от производной к первообразной. Мы, конечно, должны учитывать и их. Можно также сказать, что интегрирование функции в этом «неопределенном» виде дает нам интеграл как функцию только верхнего своего предела. Он ограничен «сверху», а не «снизу», т. е. если мы получаем в качестве интеграла некоторую кривую, то чертить мы ее можем, как угодно перемещая ее ординаты поступательно параллельно самим себе, ибо начало отсчета по х–гм остается совершенно неопределенным и потому произвольным. Это и называется неопределенным интегралом. Он получается всегда, когда мы идем от производной к первообразной. И если каждому интегралу соответствует только одна производная, то каждой производной соответствует бесконечное количество интегралов, правда различающихся между собою не структурой функции, но только тем или иным постоянным. Геометрически мы тут получаем не просто кривую, но т. н. семейство кривых, т. е. бесчисленное количество мест, где чертится одна и та же кривая в зависимости от допущений той или другой точки отсчета по линии х–ов при черчении данной кривой.

Спрашивается: что же соответствует в логике этому неопределенному интегралу?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что в определенном интеграле мы имеем в виду его абсолютное численное значение, в то время как неопределенный интеграл, оставляя неопределенными исходные данные, дает только метод получения абсолютной численной величины. Если мы путем интегрирования получим закон падения тела, то ведь очень большая разница получится в характере данного падения реального тела в зависимости от того, с какой высоты начинается падение. Эту абсолютную данность исходных условий как раз и не охватывает неопределенный интеграл. И только определенный интеграл, когда функция интегрируется в точно данных пределах изменения аргумента от какого–нибудь χх до какого–нибудь jc2, только такой интеграл и способен дать нам абсолютное численное значение возникающей здесь первообразной.

Имея это в виду, нетрудно теперь понять, что такое в логическом смысле неопределенный интеграл и что такое в логическом смысле определенный. Неопределенный интеграл есть понятие (а оно получается здесь как и при всяком интегрировании в качестве синтеза конечного и бесконечного), есть только принцип познания, а не результат познания, в то время как определенный интеграл есть именно результат познания. В одном случае понятие нам указывает, как надо рассуждать, если данные условия именно таковы. В другом случае понятие говорит, что получается при рассуждении относительно именно этих вот реальных условий. Одно дело — исходить из каких бы то ни было условий и утверждать, что если есть то–то, то обязательно должно быть и вот что. И другое дело — исходить из данных реальных условий и утверждать, что наблюдаемое явление начинается тем–то и кончается тем–то.

Это различие между понятием как принципом познания и понятием как результатом познания весьма небесполезно для логики; и математика дает для этого точный коррелят как раз в интересующей нас сейчас инфинитезимальной области. С одной стороны, мы имеем понятие яда, полученное нами путем интегрирования общего действия известного рода химических соединений на организм; оно для нас принцип для определения того, является ли данное химическое соединение ядом. С другой стороны, мы имеем понятие карболовой кислоты, ядовитость которой не есть просто общий метод отравления организма, но именно данная определенная картина этого отравления, отличная, напр., от отравления углекислым газом. Конечно, уже и производная, как мы видели, есть некоторый принцип познания, и это уже потому, что она есть предел; она тоже есть, как мы знаем, метод охвата бесчисленных мельчайших сдвигов в наблюдаемых нами явлениях. Однако интеграл, понимаемый как принцип, идет дальше и глубже. Он не просто дает нам способ раскрывать общие тенденции в развитии и становлении признаков понятия, как это делает производная, но все эти признаки связывает в одно целое понятие. Производная есть принцип познания признаков понятия, интеграл же есть принцип познания (или установления) самого понятия. Поэтому не нужно смущаться тем, что и производная, и интеграл одинаково суть принципы познания.

5. Констатируя эту совершенно специфическую принципность интеграла, мы замечаем, что интеграл в сравнении с производной получает как бы второе измерение. Если признаки понятия рисовали нам понятие как бы с внешней стороны (они ведь, как мы знаем, и есть не что иное, как образ соотношения понятия с изменяющимися вещами) и если совокупность признаков понятия есть как бы его видимая сторона, поверхность, то само понятие лежит глубже этих признаков, оно — «подставка», «подпорка» для этих признаков, носитель этих признаков. И значит, если производная останавливает нас в области только самих же признаков, давая возможность путем предельных переходов распределять и осознать их бесконечные переливы, то интеграл погружает нас как бы вглубь от этой поверхности и прикрепляет систему признаков понятия к некоему определенному их носителю. Вот почему математики охотно понимают интеграл как площадь и объем, по крайней мере как длину кривой. Здесь бессознательно играет роль именно многомерность или по крайней мере двухмерность интеграла в сравнении с внешней «поверхностью» производной.

Если расширить и углубить это представление об интеграле, то мы и перейдем к определенному интегралу в собственном смысле слова, т. е. к интегралу как к пределу суммы, к интегралу как к площади.

6. Гораздо больше интереса представляет для нас другое определение интеграла — как предела суммы. Это т. н. определенный интеграл, т. е. интеграл, в котором определены и верхний, и нижний пределы и который поэтому есть функция своих обоих пределов. Посмотрим, что он дает для логики.

Определенный интеграл зародился в результате попыток определения площадей и объемов таких, которые ввиду своей сложности не поддавались методам элементарной арифметики и геометрии. Если мы имеем прямоугольник, то площадь его вычислить очень просто. Это — найти произведение основания прямоугольника на его высоту. Но если, напр., одну из сторон прямоугольника заменить кривой, то для определения площади такой фигуры метод умножения основания на высоту уже не годится. Здесь издавна, ёще с древнеегипетских времен, пытались свести такую фигуру на ряд таких прямоугольников, площадь которых уже не так трудно вычислить, и потом суммировали все такие прямоугольники. В наиболее совершенной форме этот метод проводится в интегральном исчислении.

Здесь берут такой «прямоугольник», верхняя сторона которого есть кривая линия и основание которого мыслится на оси х–ов, и разбивают его на прямоугольники путем перпендикуляров, восстанавливаемых к оси х–ов по мере движения х. Если мы будем количество таких прямоугольников беспредельно увеличивать и тем самым площадь каждого из них беспредельно уменьшать, т. е. если χ будет меняться непрерывно, то в определенных пределах изменения χ мы получим все увеличивающееся количество прямоугольников, которые в сумме будут стремиться к некоему пределу, что и есть площадь нашего «прямоугольника», или, как говорят, криволинейной трапеции. Геометрически, таким образом, интеграл есть площадь прямоугольника как предел суммы бесконечно возрастающего числа бесконечно умаляющихся элементарных прямоугольников, т. е. прямоугольников, возникающих при непрерывном возрастании X.

Это другое определение интеграла имеет очень важный логический смысл, если применить его к определению понятия.

Что могло бы значить понятие как предел суммы? Что это за предел и какая это сумма, чего, собственно, это сумма? Раз мы заговорили о сумме, значит, предполагаются слагаемые, части. Что же это за «части» в понятии? Конечно, это его виды, видовые понятия. Но тут не может быть перехода от родового понятия к видовому понятию, что мы находим в производной, которая ведь и есть метод получения частных понятий из общего. Тут не переход от рода к виду, но составление рода из видов. Переход здесь к виду делается только для того, чтобы полнее и расчлененнее представить самый род. Итак, родовое понятие, понятие как общее, есть сумма видовых понятий. Но это еще не интеграл.

Интеграл есть предел суммы. В таком случае, что же такое понятие как предел суммы его видов? О пределе мы имеем право говорить только тогда, когда имеется некая переменная величина, которая в результате своего увеличения или уменьшения может отличаться от другой, постоянной величины сколь угодно мало. В таком случае эта постоянная величина и есть предел данной переменной величины. Следовательно, для того, чтобы родовое понятие стало пределом для своих видов, необходимо, чтобы они, бесконечно мало отличаясь друг от друга, в сумме бесконечно мало отличались от этого родового понятия и в конце концов все расплывались бы в нем, образуя действительно целое и уже неделимое понятие.

Но если так, то роль предела здесь, очевидно, вполне аналогична пределу в случае с производной. Производная есть предел — как закон возникновения частного из общего, как принцип становления видов из родового понятия. Интеграл же как предел тоже есть некий закон и принцип, но только закон и принцип становления не видов из рода, а родового понятия из видовых. Понятие как интеграл есть закон становления родовой общности из видовых понятий, принцип возникновения рода из видов. И как при получении производной мы понимали дифференцирование не просто в качестве расчленения и различения, но в качестве непрерывного расчленения и различения и сама производная была только законом этого непрерывного становления родовой общности в виде бесконечного ряда видовых понятий, так и теперь под интегрированием мы понимаем не просто слияние видов в одну родовую общность, но слияние это мы понимаем здесь как происходящее в результате непрерывного перехода из одного вида к другому, непрерывного их сближения и сам интеграл и есть закон непрерывного становления суммирующихся видовых понятий в одно сплошное и неделимое родовое понятие.

7. Подобная точка зрения на род и вид не может не освежать традиционных затхлых схем «обобщения» и «ограничения». Традиционные «деревья Порфирия» слишком откровенно построены на застывших и готовых понятиях, чтобы подобные теории можно было принимать безоговорочно. Кроме того, все эти «обобщения» и «ограничения» открыто узаконивают пользование неясными категориями, что уж совсем не соответствует такой критической науке, которой является логика. Когда мы «делим» материю на «одушевленную» и «неодушевленную», можно ли сказать, что эти видовые понятия нам ясны и что ясен самый принцип, по которому происходит это деление? Когда мы делим «тело» на «организмы» и «неорганические тела» или «одушевленное» — на «разумное» и «неразумное», можно ли похвалиться ясностью логического метода этих и подобных разделений? Конечно, нет. Это — вполне наивное и примитивное отношение к логическому делению и узаконивание некритического подхода к тому, что такое род и что такое вид.

Даже и не напирая обязательно на такие категории, как производная или интеграл, необходимо сказать, что наша логика, отставши от всех наук на целые столетия, ничему не научилась и в математике, а в математике—гораздо более тонкое и критическое отношение к роду и виду, чем в логике.

Я укажу хотя бы на тот фундаментальный факт, что математика, производя деление, знает не только результаты деления как таковые, но и метод их получения из цельной общности. Каждое видовое понятие существует тут не просто само по себе, но оно таит в себе закон своего получения из общего понятия. Возьмем то, что знает уже младший школьник. Треугольники делятся на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Остроугольные—те, в которых каждый угол меньше 900; прямоугольные—те, у которых один угол равняется 90°; и тупоугольные—те, у которых один угол больше 90°. Вот простейшее геометрическое деление. Разве сравнить его с такой, напр., чепухой, как деление европейцев на французов, англичан, немцев и т. д., французов—на парижан, марсельцев, бордосцев, а парижан — по улицам и переулкам Парижа и т. д.? Если спросить таких знатоков деления, чем же, собственно, отличается француз от англичанина или англичанин от американца, то едва ли он сразу и хорошо ответит на этот вопрос. Географический принцип тут едва ли годится: француз может родиться и жить в Америке. Психические признаки очень текучи: возможен хладнокровный француз и живо чувствующий англичанин. Язык? Но француз может родиться в Америке; и условия его жизни могут сложиться так, что он совсем не будет знать французского языка и будет знать английский. Таким образом, принцип деления европейцев на французов, англичан и т. д. логически по крайней мере неясен. (Правда, эта классическая путаница с делением европейцев совсем не обязательна для формальной логики и есть в сущности только плохая формальная логика.) Далее, нечего, конечно, и спрашивать здесь, как один вид относится здесь к другому виду и каков вообще принцип взаимоотношения видов на фоне единого и общего понятия. Это—сплошной туман и сплошные условности. И сравнить с этим деление треугольников в геометрии: тут не только точно указано видовое различие для каждого вида, но и видно, как путем вариаций видового различия образуются новые виды. Вы увеличиваете один из углов вашего остроугольного треугольника. Покамест вы не дошли до прямого угла, вы будете получать бесконечное количество остроугольных треугольников, подчиняющихся одному принципу, и никакая бесконечность здесь вас не смущает. Но вот вы достигли прямого угла. Сразу картина меняется. Планомерно, точно и отчетливо вы получаете новый принцип, и этот новый принцип тоже охватывает у вас целую бесконечность разного рода прямоугольных треугольников; и эта их бесконечность охвачена одним простым и ясным признаком. Так же поступаете вы и при переходе к тупоугольным треугольникам.

Что тут интересно логически? Логически тут интересно то, что в видовом понятии мы имеем не просто замороженную и застывшую совокупность понятий, но эта совокупность непрерывно меняется, нарастает или убывает, и существует закон этого изменения, указывающий на критические переломы этого становления и тем создающий из него четкую структуру всех возможных его направлений. Таким образом, уже элементарное деление треугольника в геометрии не имеет ничего общего с той некритической чепухой, которая часто лежит в основе «деления» в логике.

Приведем пример сложнее. Вот у нас имеется понятие кривой второго порядка, или, что то же, понятие конического сечения. Имеется общее уравнение кривой второго порядка. Если мы возьмем дискриминант старших членов этого уравнения, то в зависимости от знака этого дискриминанта мы будем получать или гиперболу, или параболу, или эллипс. Когда этот дискриминант меньше нуля, мы имеем гиперболу. Когда он равен нулю, мы имеем параболу. Когда он больше нуля, получается эллипс (окружность является частным случаем эллипса). Здесь опять мы имеем видоразличие не как застывшую сумму признаков (а в традиционной логике мы часто не в силах перечислить даже эти застывшие признаки видовых понятий, как в приведенном выше примере с «европейцами»), но здесь мы получаем один вид из другого путем планомерного изменения этого последнего: в этом делении дан закон возникновения видов, а не просто эти виды в застывшем и абсолютно изолированном виде.

Возьмем деление движений в механике. Имеется общее уравнение динамики: сила равна произведению массы на ускорение. Беря различные силы, мы и получаем различные виды движения. Если к материальной точке приложена только одна упругая сила, то, подставляя ее в это уравнение и в дальнейшем интегрируя это последнее (т. е. переходя от ускорения данной точки к ее координатам как функциям времени, или, другими словами, к самому закону ее движения), мы увидим, что наша точка совершает т. н. гармоническое колебание. Если кроме упругой силы к данной точке приложена еще какая–нибудь сила сопротивления, напр. пропорциональная первой степени скорости, то — после тех же математических операций—мы увидим, что колебание движущейся точки окажется затухающим. Если материальная точка притягивается к какому–нибудь телу с силой, прямо пропорциональной массе и обратно пропорциональной квадрату расстояния до этого тела, то наша точка будет двигаться вокруг этого тела по одной из кривых второго порядка. И т. д. и т. д. Словом, сколько существует разных сил, столько же, вообще говоря, и видов движения. И этих сил, этих движений бесконечное множество. Правда, в данном примере мы имеем дело с дискретными силами и не ставим вопроса об их взаимном переходе, так что не возникает вопроса и о взаимопереходе движений. Но даже и при таком подходе мы здесь получаем все же замечательный образец деления, логическое совершенство которого несоизмеримо с логической слабостью традиционной теории. Ведь тут обычно все же есть некоторого рода закон для частного. Варьируя это общее—пусть даже дискретно, — мы получаем каждый раз оригинальные частности, не говоря уже о том, что само это варьирование есть совершенная логическая точность.

Изучение различных математических наук и приучение своего ума к такому более совершенному логическому оперированию с родом и видом неизбежно приводят и к категории интеграла как к одному из весьма совершенных и четких выражений общности вместо традиционного ящичного и внешне–механического объединения частностей в общем. Приведенные примеры из математики и механики показывают, что более тонкое и, можно сказать, животрепещущее понимание общего пронизывает даже элементарные отделы этих наук, не имеющих никакого отношения к понятию интеграла. Интеграл же только суммирует в себе ряд принципов, действующих то там, то здесь по всей математике. В прекрасной и совершенной логической форме интеграл дает нам такую общность, которая 1) возникает из частностей в условиях их сплошной текучести и взаимопроникновения и которая 2) есть предел их взаимослияния, служащий законом и принципом этого последнего. Эти моменты в логическом определении интеграла, взятые сами по себе, чрезвычайно просты и вполне очевидны: непрерывность, предел, закономерное появление частного из общего (когда общее рассматривается как функция вещи)—разве это может считаться для нас чем–то неожиданным и маловероятным? А ведь это и есть не что иное, как интеграл. Это и есть понятие как интеграл и мышление как сплошное дифференцирование и интегрирование.

 

12. ПРОИЗВОДНАЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ИНТЕГРАЛ НА ФОНЕ ОБЩЕГО УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ

Выше мы уже натолкнулись на существенное логическое тождество дифференциала и интеграла. С известной точки зрения к этому тождеству присоединяется и производная. Указать существенное место для каждой такой категории—значит иметь ясное представление, что такое число вообще. Кроме того, здесь мы как раз встречаемся в лоб с тем приматом практики над теорией, который очень часто отодвигается на задний план именно в наиболее конкретных вопросах. Очень легко выставить этот примат как знамя, как ярлык, как принцип. Но чем конкретнее научная область, тем обыкновенно все меньше и меньше заговаривают об этом примате. Сейчас мы увидим, что наше исследование строится как раз обратно: чем конкретнее рассуждение о числе, тем ярче выступает у нас примат практики над теорией.

1. Но прежде всего отдадим себе отчет в том, что именно заставляет нас отождествлять дифференциал и интеграл.

Мы видели, что то и другое есть синтез конечного и бесконечного. Заметим к этому (хотя для нашего внимательного читателя это, собственно говоря, излишне), что мы вообще не мыслим ни конечного, ни бесконечного без их синтеза и тождества. Только абстрактная метафизика разрывает эти категории окончательно и гипостазирует, абсолютизирует каждое из них в отдельности и в отрыве одно от другого. Для нас все конечное, как бы оно мало ни было (пусть это будет мельчайший отрезок прямой), уже обязательно содержит в себе бесконечность (бесконечность еще меньших отрезков или точек); и мы не мыслим себе никакого бесконечного, которое бы не было>в то же самое время в некотором смысле конечным. Уже здесь становится заметным, что понимание этого неделимого синтеза и тождества то как конечного, то как бесконечного никак не может быть голой теорией (ибо теория тут одинаково говорит и за бесконечное, и за конечное), а является только практикой, решается практикой. Однако сейчас мы этого касаться не будем и только констатируем, что тождество конечного и бесконечного неизбежно и что, в частности, оно же лежит в основе и дифференциала, и интеграла, и производной. В анализе без него обойтись нельзя уже потому, что все эти три последние категории существенно связаны с пределом. Интеграл прямо есть предел и в качестве такового определяется даже в элементарных руководствах. Дифференциал же, правда, так не определяется, но это—только недоразумение. Ведь сами же руководства, определяя дифференциал, говорят нам: пусть мы имеем готовую, как бы то ни было полученную производную, и потом оказывается, что эта производная есть не что иное, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Но тогда что же такое эти дифференциалы? Ведь то, что производная есть известного рода предел, этого–То математики уже во всяком случае не могут отрицать. А это значит, что и отношение данных дифференциалов есть предел, или, другими словами, что и каждый из них тоже в некотором смысле как–то связан с пределом. Ведь не могут же числитель и знаменатель дроби не иметь никакого отношения к тому частному, которое получается от деления числителя на знаменатель. Значит, дифференциал функции по меньшей мере связан с тем пределом, которым является производная этой функции. Пусть мы не будем говорить, как именно он связан, но самая связь эта, очевидно, отрицаться ни в каком случае не может.

Итак, категория дифференциала указывает на некоторого рода предельный переход. Предельный переход есть переход при помощи бесконечного становления. Следовательно, поскольку самый–то предел есть нечто конечное, необходимо с полной точностью утверждать, что он есть синтез конечного и бесконечного и что в этом пункте он совершенно неотличим от интеграла, который тоже есть некоторого рода предел.

Остается сюда же присоединить и саму производную, которая тоже есть некоторого рода предел. Значит, в смысле общего синтеза конечного и бесконечного производная, дифференциал и интеграл совершенно тождественны.

Это интересным образом запутывает все дело; и математики забавно барахтаются в этой логической путанице, несмотря на кристальную математическую ясность их построения. Можно, конечно, исключить момент предельности из дифференциала, пользуясь тем методом, когда говорят, что солнце нужно только ночью, так как днем же и без него видно. Правда, тогда дифференциал ничем не отличишь от бесконечно–малого просто. Но иные готовы и на это, только бы не понимать дифференциал вместе с пределом. Путаница эта забавная.

К этому надо присоединить и еще одно обстоятельство, тоже не благоприятствующее ясности. Могут сказать, что если даже все эти три категории есть пределы, то во всяком случае разные пределы. Однако мы тогда спросим: чем же они разные? То, что они могут быть разными в арифметическом смысле, т. е. в смысле конечных чисел, это, разумеется, не может здесь иметься в виду, так как конечные количественные различия не создают разных категорий даже и в самой арифметической области. Но может быть, эти три категории различны своей бесконечностью? Так говорить тоже едва ли имеет смысл. Ведь бесконечность во всех трех случаях есть только непрерывное становление предела. Как таковое оно совершенно одинаково в трех случаях. Может быть, это бесконечное становление происходит тут разными способами? Несомненно. Но разный способ приближения к пределу тоже не может создать тут особых категорий предела. Этот способ приближения к пределу так же нехарактерен для категории предела, как и бесконечное многообразие арифметических операций не создает новой категории конечного числа, а относится к ней как к одной и единственной.

Выходит дело, что ни конечными средствами, ни бесконечными, ни, следовательно, средствами синтеза конечного и бесконечного никак нельзя провести разницы между производной, дифференциалом и интегралом. Скажут: позвольте, дифференциал функции вовсе не есть ее производная (в общем случае); это произведение производной на произвольное приращение аргумента! Однако я не знаю, что тут нового дает произведение. Пусть будет у нас производная 2х. Пусть произвольное приращение аргумента будет 5. Я не понимаю, что тут «дифференциального» в IOjc. И чем принципиально 2х отличается от 10х? Юл: в пять раз больше 2х. Так что же, значит, везде, где в арифметике и алгебре мы умножаем какое–нибудь выражение на 5, мы тем самым уже получаем «дифференциал»? Точно так же если интегралом для 2х является х2, то я опять–таки никакого принципиального различия между 2х и х2 не вижу. Это элементарная алгебра; и при чем тут анализ, я не знаю.

Совершенно очевидно, что все эти внешние математические операции имеют какой–то не просто математический, а логический смысл. И в этом–то «смысле» и заключается все дело. Именно его математики имеют в виду, когда говорят о производной, дифференциале и интеграле. Формулы же здесь только результат этих смысловых операций. Надо осмыслить этот результат сознательно, подобно тому как математики осмысливают его бессознательно. Нет ничего проще для математика, как «перейти к пределу». Однако логически это весьма сложная операция. Математик в противоречии со своей сознательной теорией бессознательно думает, что к пределу можно перейти путем каких–нибудь операций. Однако сущность предела как раз в том и заключается, что совершенно нельзя перейти к нему путем тех или других математических операций. Сколько бы мы ни вычисляли квадратный корень из двух или отношение длины окружности к диаметру, мы именно никогда не придем ни к какому пределу. Надо же в конце концов усвоить себе эту основную идею предела. Переход от переменной величины, связанной каким–нибудь пределом, к самому пределу есть переход к новой логической категории, которую никакими вычислениями получить совершенно невозможно. Это логический скачок, а не математическая операция внутри одной и той же логической категории. Так логика властно врывается в математику, путая все математические карты и превращая стройную математическую теорию в полный хаос. И надо во что бы то ни стало выбраться из этого хаоса, из установленной выше путаницы—путем систематического логического учения о числе вообще. Иного пути не видится. Только точнейшим образом отграничившись от всех соседних математических категорий, можно претендовать на ясность этих категорий производной, дифференциала и интеграла.

2. Начнем с основного вопроса: что такое число? Конечно, об этом тоже можно было бы написать целую книгу, но мы ограничимся здесь кратчайшим и наиобщим соображением.

Что число есть всегда некоторого рода раздельность, это бросается в глаза прежде всего. Но для раздельности нужно по крайней мере два элемента и переход от одного к другому. Что такое «два», мы еще не знаем, поскольку мы только еще ставили вопрос о том, что такое число. Мы пока имеем просто некоторое нечто и просто некоторое иное этого нечто, к которому это нечто переходит. Употребляя старую диалектическую терминологию, мы тут имеем 1) бытие, 2) становление и 3) ставшее (т. е. это самое «иное», к которому совершен переход от «нечто», т. е. результат становления). Чтобы из этих категорий получить число, надо исключить из них всякое качественное содержание, т. е. надо оставить в них только акты полагания, отбрасывая то, что именно тут полагается. Это элементарный переход от «качества» к «количеству», развивать который мы здесь не будем и который будем предполагать хорошо известным из общей диалектики.

Это первое.

3. Дальше. Полученные три категории не есть нечто метафизически раздельное. Это не три разные вещи или субстанции. Это нечто одно, в котором есть и первое, и второе, и третье. Однако, будучи чем–то одним и неделимым, это общее в каждой такой категории выступает по–разному. Всю эту целокупность мы можем понять и просто как «бытие», как элементарный акт полагания, и просто как становление, и просто как ставшее. Тут возникает основное разделение числа, без которого мы не доберемся до таких специфизированных категорий, как производная, дифференциал и интеграл, а именно в результате этой структурализации мы получаем тут три типа числа наиболее общие, наиболее абстрактные. Уже и на них видно, что мышление не есть только теория и что практика входит в самую внутреннюю сущность мышления. В самом деле, что такое здесь теория? Теория здесь говорит нам о неразрывной значимости трех основных категорий — бытия, становления и ставшего. Правда, строго говоря, и это вовсе не есть теория, а просто результат эмпирического наблюдения действительности. Но допустим, что эти категории откуда–то спустились на нас в готовом виде. Спрашивается: а на основании чего мы вдруг подчеркиваем одну категорию и оттесняем другую? На основании чего мы рассматриваем общую цельность трех категорий то в свете одной из них, то в свете другой, то в свете третьей? Что это за дикий произвол и для чего эта схоластика нам нужна?

Все дело в том, что практика, именно практика заставляет нас производить все эти комбинации. Именно она, и только она, каждый раз решает вопрос, на какой категории из этих трех нам утвердиться и какую из них принять за основную. Перейдя к возникающим отсюда трем типам числа, мы сейчас же убедимся, насколько широк и глубок примат практики в мышлении и как без него невозможно отличить ни конечного, ни бесконечного (ибо теоретически это одно и то же), ни бесконечно–малого от чисел натурального ряда (да, и это тоже одно и то же!), ни дифференциала от интеграла и интеграла от производной.

Тут–то и происходит поверка гибкости и четкости и просто даже конкретности вообще нашего логического метода. Эти три—и подобные им—категории можно встретить где угодно, и прежде всего во всех изложениях диалектики. Но как редко соединяется с ними простое и жизненное представление.

Можно сказать попросту, что эти три категории, взятые сами по себе, едва ли имеют какой–нибудь познавательный смысл. И почему? Потому, что они ни к чему не относятся; потому, что они беспредметны:; потому, что неизвестно, какому реальному (и уже не категориальному) бытию они соответствуют. Можно сказать даже больше. «Бытие», «становление», «ставшее», взятые как чистые категории, даже еще не есть мышление. Мышление тут еще не началось. Или, вернее, мышление тут началось (раз уж мы заговорили о подобных категориях), но оно в этих категориях еще не выразилось как такое; они, эти категории, есть только бесплотная и бессильная абстракция—даже измышление, не говоря уже о бытии.

4. Что же нужно для того, чтобы здесь началось мышление? Если мышление есть только отражение материи и движется только самой же материей, то, очевидно, необходимо, чтобы эти категории стали тоже чем–то материальным и подвижным. Необходимо, чтобы эти категории материально утверждались. И тут опять–таки мы должны бороться с той склонностью к абсолютизированию абстракций, которая соблазняет умы даже в вопросе о материальном утверждении. Что это за «материальное утверждение»? Чтобы не впасть в гибельные абстракции, необходимо сейчас же выдвинуть два пункта.

Во–первых, это есть не что иное, как практика, которая единственно только и способна превратить сухие и [не]подвижные категории в живую ткань мышления. Практика не есть использование и фактическое применение уже готового мышления. Но это есть то, благодаря чему впервые только и начинается само мышление. Практику здесь не надо понимать как–нибудь узко. Тут должно быть самое широкое понимание практики, ибо здесь она вообще все то, что переводит неподвижные категории в жизнь. Но вопрос стоит тут строго и бесповоротно: или практика образует самую сердцевину мышления, без которой оно не может и начаться, или нет ровно никакого мышления. Общеизвестно учение Ленина о практике и одобрение им той стороны соответствующего учения Гегеля, которая вводит практику в самое нутро мышления.

Во–вторых, человеческий ум настолько легко поддается гипнозу абстракций, что даже и это введение практики в самую сердцевину и нутро мышления он склонен понимать нежизненно и отвлеченно. Ведь если на самом деле и всерьез нет никакого только «теоретического» мышления, если всерьез самое «наитеоретичнейшее» мышление не может сдвинуться с места без практики (физической, биологической, психической, социальной и т. д. и т. д.), то мы это должны воочию показать на самом же мышлении. Тут невозможно отделываться общими фразами и надо прямо указать пальцем, где же это в мышлении практика, где это она кроется в понятиях, в суждениях, в умозаключениях. Дело не в том, что мы готовое понятие практически применяем (такая точка зрения предполагает, что понятие образовалось без всякой практики и до нее, т. е. это есть в сущности кантианство). Дело должно заключаться в том, чтобы само понятие, само суждение, само умозаключение несло на себе следы этой практики и даже не просто несло эти следы, но чтобы при их помощи впервые только и возникало как понятие, как суждение или как умозаключение. Как это сделать и как это можно было бы здесь не ограничиться фразой, а прямо ткнуть пальцем на понятие, суждение и умозаключение как на глубочайший синтез теории и практики?

Нам думается, что конкретным показателем этого тождества, или единства, теоретического и практического в логическом мышлении является его структура. Структура как раз выражает и отвлеченный смысл, и его материальное утверждение. Понятие как структура, суждение как структура, умозаключение как структура— вот где воочию видна материальность мышления, его практически действенная природа, его бессмысленность вне практики и без материального утверждения. Тут, конечно, не место давать подробный анализ того, что такое структура (это роль специального исследования), но мы ограничимся простым приемом.

А именно, мы ограничимся простым указанием на то, что структура есть один из весьма распространенных в науке принципов и что на нем иной раз строится даже целая наука. Оторванность нашей логики от реальных наук, ее чудовищная отсталость от научных методов и приводят к полному игнорированию того, что такое структура в логическом мышлении. Если бы мы внимательнее относились к современным наукам, то и наша логика не была бы столь абстрактной.

Я беру такую науку, как органическая химия. В значительной своей части она построена именно на принципах структуры. Здесь мы имеем то или иное химическое соединение; и оказывается, что конкретные химические и физические свойства вещества зависят здесь только от формы и порядка соединения отдельных атомов. Одна и та же химическая формула соответствует совершенно разным веществам — в зависимости от того, в каком порядке соединяются указанные в ней химические элементы. Такие химические соединения, которые отличаются между собою не качеством и не количеством входящих в них элементов, но исключительно только структурой их распределения, называются изомерами. Явление изомерии глубоко изучено в современной химии, даже обследовано много разных ее видов. Для нас будет достаточным здесь только один–два примера.

Если мы возьмем, напр., такую формулу, как [С3Н80], то этой формуле ровно никакого химического соединения не соответствует. Это именно «теория» в худшем смысле слова, ибо настоящей и жизненной теорией она может стать исключительно только в том случае, если будет показано, что она значит практически. Другими словами, с практикой впервые только и возникает самое понятие того химического соединения, которое соответствует приведенной формуле. Поскольку, однако, сама практика не есть мышление, но становится им только в соединении с теорией, она не создает новых смыслов, или новых сущностей, она только превращает их в живую материю, т. е. делает структурными. И вот оказывается, что упомянутой формуле соответствуют целых три химических соединения, т. е. три разных химических вещества, отличающихся между собою, однако, только структурой связывания элементов.

Тут мы имеем т. н. 1) первичный алкоголь, структура связей которого

H

C3H50 OH

H

Структура эта, значит, характеризуется тем, что углерод остается на месте, а из восьми частиц водорода три объединяются дважды порознь с кислородом и, кроме того, остающаяся одна частица водорода соединяется с группой кислород—водород. Но вот 2) другая схема соединения тех же самых частиц:

CH3

H—C OH3

OH

И получается уже т. н. вторичный алкоголь. Наконец, 3) структура

CH3

O

C2H5

дает эфир.

Точно так же одни и те же элементы при одном расположении дают малеиновую кислоту, при другом—фумаровую кислоту. Одни и те же элементы дают при одной структуре антрацен, а при другой—фенантрен. Или из одних и тех же элементов имеем при одной структуре винно–каменную кислоту, при другой—виноградную. И т. д. и т. д.

На подобных примерах с замечательной ясностью выступает то, что значит «только теория», все ее бессилие и все отсутствие в ней познавательной ценности. В этой самой формуле С3Н80, относящейся к целым трем разным химическим веществам, с максимальной очевидностью выступает то, что значит практика для мышления—такая, что если ее нет, то нет и самого понятия, и что значит понятие как структура, где признаки не просто перечислены (это «голая теория»), но связаны между собою в единственно допустимом порядке, повелительно продиктованном практикой и жизнью материального мира.

Если мы поймем, что такое структура в химии, то нетрудно будет применить этот принцип в логике. Раз наши теории получают не только свое жизненное значение, но даже и свою смысловую, «теоретическую» нагрузку исключительно только из практики, то и в них должны созревать эти структуры, которые невозможно вывести из самих понятий и которые могут возникнуть только практически и материально. Другими словами, к полученным выше трем логическим категориям мы должны применить структурный принцип, т. е. рассмотреть их не просто как сумму категорий (хотя бы и логически выведенных), но как целое, получающее каждый раз совершенно особое и внешне самостоятельное значение исключительно в зависимости от формы их объединения, от их структурного взаимоотношения, от выдвигания одних из них и отодвигания других, от того, что с чем из них соединяется сначала и что — в дальнейшем.

8. Переходим к этим трем типам числа, или к трем его структурным понятиям, ибо они, очевидно, выражаясь химически, изомерны.

Арифметическое число, или конечное, есть отдельный и простой акт полагания (т. е. «бытие»), и в свете этих раздельных и изолированно–неподвижных актов (это и есть счет, и прежде всего натуральный ряд чисел) предстает общечисловая совокупность бытия, становления и ставшего. Если мы возьмем 1, 2, 3 и т. д., то единица, напр., обязательно есть «нечто» — значит, она есть «бытие»; далее, она обязательно дробима до бесконечности, ибо иначе это уже не будет обыкновенной реальной единицей, — значит, она есть «становление»; и наконец, она есть обязательно и результат такого становления, т. е. и «ставшее». Всю эту целокупность трех основных категорий мы, однако, в случае числа натурального ряда просто полагаем, раздельно, неподвижно–изолированно полагаем, закрывая глаза и на становление, и на ставшее. Вся эта категориальная совокупность дана тут только в свете раздельных полаганий. Можно также сказать, это арифметическое число есть синтез конечного и бесконечного в конечном.

Выдвигание второй и третьей категорий создает еще два новых типа числа. Понимание числа по типу становления создает нам сферу инфинитезимального числа, или становящейся бесконечности, а выдвигание ставшего — сферу трансфинитного числа, или завершенной бесконечности. Всех этих вопросов мы уже касались в предыдущем, и сейчас для нас важно только отграничение инфинитезимального типа числа.

Предложенное отграничение достаточно ясно говорит нам, в чем инфинитезимальный тип совпадает с арифметическим и трансфинитным и в чем резко от них отличается.

Если не гипостазировать понятия метафизически, то вовсе нельзя считать, что в бесконечно–малом математического анализа или даже в непрерывности ровно нет ничего раздельного и изолированно–конечного. Если бы действительно в непрерывно следующей прямой абсолютно не было никакой раздельности, то она просто превратилась бы в одну точку. Ведь как прямая, напр., ни непрерывна, мы все же переходим по ней, т. е. переходим от одной ее точки к другой. Как же это было бы возможно, если бы в непрерывности не было никаких прерывных точек? Самая непрерывность есть не что иное, как сплошное заполнение прерывного. А если этого прерывного нет, то и заполнять нечего, т. е. нет и самой заполненности, нет самой непрерывности. А я думаю, что даже и точки нельзя мыслить вне категории раздельности. Но это уже другое. Важно то, что в бесконечно–малом и в непрерывности обязательно есть раздельность и прерывность, и в этом—тождество анализа с арифметикой.

Равным образом едва ли сейчас найдется такой глупец, который стал бы мыслить натуральный ряд чисел вне всякой непрерывности. Я не буду здесь входить в глубину логической теории натурального ряда, но достаточно будет уже и такого формального соображения. Допустим, что натуральный ряд чисел есть только прерывность. Спросим тогда: что же, эта прерывность в нем везде или не везде? Раз мы сказали, что здесь только прерывность, это значит, что прерывность здесь нигде не прерывается, что прерывность эта дана здесь непрерывно. Если бы прерывность натурального ряда чисел где–нибудь в нем прерывалась, это означало бы, что в этом числовом промежутке мы уже не имели бы раздельного полагания все новых и новых единиц (без чего натуральный ряд немыслим), а получили бы здесь непрерывность и сплошность, т. е. натуральный ряд чисел исчез бы, прекратился бы. Значит, прерывность его непрерывна, как и его непрерывность одинаково прерывна. Каждое число его конечно, но при условии, что оно и бесконечно; и оно бесконечно так, что оно в то же время и конечно.

Все дело тут в том, что арифметика на первый план выдвигает конечное и раздельно–устойчивое, рассматривая бесконечное и непрерывное только как задний фон, а анализ выдвигает бесконечное и непрерывно–становящееся, рассматривая как задний план именно конечное. То, что именно они полагают, одно и то же. Но то, κάκ именно они полагают, это—разное. Это — изомеры, различие которых— чисто структурное.

Нам кажется, здесь мы имеем замечательный образец проникновения практики в самые недра мышления. Дело обстоит вовсе не так, что мышление существует само по себе, а потом уже оно применяется на практике. Но дело обстоит так, что без практики мышление не может осуществиться и вообще не может даже просто начаться. Вот перед нами т. н. конечное число натурального ряда и бесконечно–малое математического анализа, или попросту прерывность и непрерывность. По существу, по смыслу прерывность и непрерывность есть совершенно одно и то же; складывается то и другое совершенно из тех же самых категорий. Но вот практика повелительно перетасовывает эти категории, дает им разное направление, по–разному их осмысливает. И в результате — из одного и того же «теоретического» построения — получаются две таких колоссальной важности установки, как прерывность и непрерывность.

Так же точно можно было бы отграничить инфинитезимальный тип числа от трансфинитного, который, наоборот, отвергает чистое становление и базируется на таком бесконечном становлении, которое уже остановилось, закончилось, завершилось. И тут точно так же нетрудно установить пункты тождества и пункты различия.

Вывод: инфинитезимальный тип числа, ничем не отличаясь абстрактно–теоретически от числа арифметического и от числа трансфинитного, резко расходится с ними своей собственной смысловой комбинацией, повелительно вызванной к жизни исключительно практическими потребностями мышления. Является ли данное и единственное «множество» конечным или бесконечным, прерывным или непрерывным, становящимся или устойчивым, это вопрос практики. Число «пять» может быть и конечным числом натурального ряда, и дифференциалом, и интегралом, и производной в зависимости от практики мышления. Само по себе «пять» ровно ничего не значит, или, если выражаться точно, оно ровно ничего не значит познавательно для числа. Всякий смысл есть всегда смысл чего–нибудь, что уже не есть просто самый смысл, но дается самостоятельно, практически. Такое же абстрактно–теоретическое «пять» есть только голый смысл, без того, что им осмысливалось бы. А в таком случае оно уже не есть смысл и никакого познавательного значения для числа не имеет (точно так же, как неизвестно, что за химическое соединение Н3С80, если при этом не задана никакая структура).

Идем дальше.

9. Теперь мы отбрасываем в сторону как арифметическое, так и трансфинитное построение числа и сосредоточиваемся исключительно на инфинитезимальном. Что мы тут должны предпринять, чтобы получить конкретные результаты? Конкретность требует ясных разграничений и четких переходов между разграниченными элементами. Число, как первейшее такое разграничение, является, согласно предыдущему, как раз таким переходом от одного к другому. Ясно, что и в инфинитезимальной области первичное различение должно быть именно таково: одно (бытие, «нечто», «это», акт полагания, изолированное и простое утверждение), становление (переход) и ставшее (исчерпавшее себя и первичное одно и потому остановившееся, завершившееся одно). Здесь также только практика может решить, когда и где применить ту или другую категорию и каково различие возникающих здесь инфинитезимальных чисел.

Именно соответственно этим трем категориям мы получаем здесь три основных инфинитезимальных понятия: бесконечно–малое, непрерывность и предел. Тут, разумеется, может идти долгий спор по части терминологии. Однако, по–видимому, не должно вызывать сомнения, что если мы берем становление с точки зрения «бытия», т. е. с точки зрения «нечто», «этого», то тут мы должны получить «становящееся нечто», «становящееся это», некое бытие или что бы то ни было именно в процессе непрерывного становления. Но что же это тогда такое, если не бесконечно–малое, которое как раз и определяется как то, что «может стать» меньше любой заданной величины? Нам кажется, что также ясна и непрерывность, которая есть становление как именно становление, т. е. положенное, утвержденное становление, и предел, который определяется именно как то, к чему вечно стремится переменная величина, и в котором стремление, следовательно, взято именно с точки зрения ставшего.

Мы опять–таки настаиваем на том, что теоретически совершенно не существует никакой разницы между бесконечно–малым, непрерывностью и пределом, ибо теоретический и смысловой состав этих категорий совершенно один и тот же. И только практика может решить вопрос, на что тут можно и нужно обратить внимание, какую категорию акцентировать, подчеркивать, класть в основу и какую отодвигать, брать только в виде фона, допускать только как материал для осмысления другими категориями. Словом, эти категории тоже изомерны.

Говорится: бесконечно–малое есть то, что может стать меньше любой заданной величины, или что имеет своим пределом нуль. А что такое предел? Предел для переменной величины есть то, разница между чем и переменной величиной может стать меньше любой величины, или, что то же, стремится к нулю. А что такое непрерывность, напр. непрерывная функция? Функция непрерывна в данной точке тогда, когда бесконечно мало ее приращение в случае бесконечной малости приращения ее аргумента. Вот три определения. По своему категориальному составу это совершенно одно и то же определение: везде тут 1) то, что стремится к пределу, 2) предел, к которому происходит стремление, и 3) самое стремление. В первой категории на первом плане то, что стремится, но тут же указано и на самое стремление, и на предел этого стремления. Во второй категории подчеркнуто то, куда стремление, но тут же сказано и о том, что именно стремится, и о самом стремлении. И наконец, в третьей категории подчеркнуто самое стремление (или, точнее, соотношение двух стремлений, поскольку определялась непрерывная функция), но тут же сказано и о бесконечно–малом, т. е. о нулевом пределе, не говоря уже о том, что стремится тут именно аргумент и функция, т. е. нечто. Следовательно, основное и существенное содержание понятий бесконечно–малого, непрерывности и предела—одно и то же. Не то, что эти понятия только предполагают одно другое, но они просто тождественны по содержанию, и разница тут только в порядке и форме комбинации одних и тех же категорий, т. е. разница тут только, следовательно, структурная. Только практика может решить, где тут бесконечно–малое, где предел и где чистая непрерывность.

10. Только после всех этих разграничений и различений мы можем судить о месте дифференциала, производной и интеграла на фоне общелогической теории числа.

Разумеется, поскольку мы вовсе не задаемся тут целью дать логику математического анализа как системы, а интересуемся только некоторыми его категориями в применении к логике, мы не будем подробно анализировать все эти три, только что полученные нами категории — бесконечно–малого, непрерывности и предела, а сосредоточимся только на последней.

Мы берем инфинитезимальную категорию предела и смотрим на нее теми же самыми расчленяющими глазами, какими смотрели и на число вообще, и на его инфинитезимальный тип. Тут мы тоже расчленим 1) «то, что», 2) «то, как» и 3) «то, куда», т. е. «нечто» (бытие), становление и ставшее.

Будем говорить о пределе (а всякий предел уже есть соединение того, что стремится к пределу, с самим этим стремлением, т. е. синтез конечного и бесконечного) и будем его рассматривать, считать как «то, что стремится к пределу». Как предел, это есть нечто устойчивое и, в частности, конечное. Однако в то же время это не есть конечное в абсолютном смысле, но' то, что само вовлечено в стихию непрерывного и бесконечного становления. Это дифференциал, который как таковой есть переменная величина, но который в основе все же есть синтез конечного и бесконечного, и синтез — типа предела, поскольку в его основе лежит производная (а она всегда есть предел).

Далее, продолжаем говорить о пределе. Но на этот раз пусть наш предел будет не тем, что еще только стремится к своему пределу, но самим этим стремлением, или становлением. Это есть производная, которая есть прежде всего предел; но это не просто предел, предполагающий соответствующее становление, а предел отношения двух становлений, т. е. такой предел, который предполагает рассмотрение одного становления с точки зрения другого становления, т. е. основан на становлении становления, т. е. рассматривает становление именно как становление. Совершенно ясно, что в ряду инфинитезимальных категорий предельность тут дана с сугубым выдвиганием на первый план именно становления. Производная в логическом смысле есть именно метод становления дифференциала некоторым новым пределом, который и есть интеграл.

Интеграл тоже есть прежде всего предел, как и дифференциал и производная, т. е. одинаково с ними синтез конечного и бесконечного. Однако из трех основных категорий в нем подчеркнуто не то, что становится, и не самое становление, но ставшее, то, чем стало становящееся, исчерпавши всю свою бесконечность и тем дойдя до своего предела.

Мы и тут настаиваем на полном существенном тождестве дифференциала, производной и интеграла. И только практика решает, что тут надо выдвинуть из трех моментов, одинаково данных во всех трех случаях, то ли, что стремится к пределу, самое ли стремление или то, куда идет это стремление, или его предел. Все дело, следовательно, в структуре этих понятий или, точнее, в разных структурах одного и того же понятия.

Можно сказать еще и так, как мы сказали, выставивши метрическую точку зрения на инфинитезимальное число. Можно сказать, что различие дифференциала, производной и интеграла зависит от того, чем мы будем их измерять, от единицы измерения. Это есть только другой способ для выражения принципа практики. Мы можем измерять общее инфинитезимальное число, взятое как предел, при помощи отдельных «единиц». Мы можем взять самую эту операцию «счета». И мы можем взять результат, то, что получается после такого инфинитезимального счета наших инфинитезималь–ных единиц. Из общего инфинитезимального числа, взятого по типу предела, получаются три указанные выше категории—дифференциала, производной и интеграла.

11. Сделаем сводку всего нашего анализа инфинитезимальных категорий на фоне общего учения о числе, и мы убедимся, как сложно здесь сплетение логических точек зрения, руководимое практикой, и как глубоки те простейшие и элементарнейшие понятия, которые дает математический анализ на первых же страницах своих учебников. Вот эта сводка.

А. а) То, что становится чем–то.

б) То, чем становится нечто.

в) Становление чего–то чем–то.

Б. I. Арифметическое число.

II. Трансфинитное число.

III. Инфинитезимальное число.

1. Бесконечно–малое.

2. Непрерывность.

3. Предел.

а) Дифференциал.

б) Производная.

в) Интеграл.

Таким образом, каждая из этих изученных нами категорий— дифференциала, производной и интеграла—состоит по крайней мере из пяти разных пластов.

1) Прежде всего, в основе всего и в качестве наиболее абстрактной наметки залегает общекатегориальный слой первого логического расчленения вообще: мы тут имеем самое первое полагание бытия, которое тут же стремится к другому полаганию, т. е. становящееся, становление и ставшее в их целокупной данности и вза–имоотраженности.

2) Далее, эта общекатегориальная структура выступает в числовом виде, т. е. с отвлечением от чистой качественности, и только в виде самих актов полагания с невниманием к тому, что именно полагается. В этом общечисловом слое мы различаем три разных типа.

3) Общечисловая структура выступает далее в виде инфините–зимальной: все числовые категории погружаются в стихию чистого и безраздельного становления.

4) Из этого последнего слоя образуется еще новый: под действием принципа предела. Тут и залегают изучаемые нами категории дифференциала, производной и интеграла.

5) Эти последние категории выступают раздельно и самостоятельно.

Это логическое раскрытие инфинитезимальных категорий есть не что иное, как перевод на логический язык того, что говорится в математике. Возьмем, напр., интеграл. Интеграл есть предел суммы. Это значит, что, во–первых, это есть некоторое предельное понятие вообще. Как раз это имеется нами в виду в четвертом пункте, где интеграл рассмотрен нами под принципом предела. И так как не всякий предел есть интегральный предел, то для отражения того, что это именно предел суммы, мы, во–вторых, ввели различение с дифференциалом и производной: интеграл есть предел как ставшее, в то время как дифференциал есть то, что только еще становится пределом, а производная — метод этого становления. Это наш пятый пункт. Таким образом, наши четвертый и пятый пункты можно отбросить только в том нелепом случае, если интеграл, во–первых, не считать пределом и, во–вторых, не считать пределом суммы.

Далее, существует не только предел суммы как результат некоего специфического становления, но и числовое становление вообще. Раз переменная величина может бесконечными способами стремиться к своему пределу, то, значит, существует и становление вообще. Интеграл как предел суммы есть только частный случай общего учения о бесконечно–малом, непрерывно стремящемся к пределу. Отсюда наш третий — общеинфинитезимальный слой интеграла. Как можно было бы отвергать его? Это значило бы, что интеграл как предел суммы есть единственная инфинитезимальная категория и что нет никакой общеинфинитезимальной области, куда входили бы и другие пределы, другие способы стремления к пределу.

Далее, инфинитезимальная область, как построенная согласно принципу числового становления, уже тем самым предполагает, что существуют и другие способы числового построения. И опять–таки только при том бессмысленном предположении, что, кроме инфини–тезимального построения числовой области, не существует никакого другого построения, можно было бы отвергать наш второй слой в изучаемых категориях. Раз есть инфинитезимальная структура, значит, есть и общечисловая структура. И она очень ощутительна, ибо только она отличает число от понятия. Число «равнодушно» к своему качественному заполнению. Оно предполагает только самые акты реальности без внимания к тому, что такое сама эта реальность. Система таких актов реальности и образует число, общечисловую структуру бытия и мышления. И это наш второй пункт. Отрицание его есть утверждение того, что, кроме инфинитезимальной числовой структуры, нет никакой другой числовой структуры и что она не есть только вид этой общечисловой структуры.

Наконец, невозможно отрицать и того, что сама общечисловая структура интеграла тоже есть только вид некоей еще более общей смысловой структуры. Отрицать это — значит утверждать, что всякое бытие только и есть числовое бытие и что всякое мышление только и есть числовое мышление. Чтобы избежать этой нелепости, приходится в глубине общечисловой структуры интеграла видеть еще общелогическую, общекатегориальную структуру. И она, оказывается, есть не что иное, как первичное логическое определение вообще, когда мы находим самое общее «нечто» в его «переходе» в «иное». Знать, что именно эта общелогическая структура лежит в основе интеграла, — это очень важно. Это возводит категорию интеграла к первичным логическим установкам вообще и делает его глубочайше укорененным и в мышлении, и в бытии. Это наш первый пункт.

Такие же—соответственно — пять слоев нетрудно наметить и в понятии производной, и в понятии дифференциала. В пятом слое они резко отличаются друг от друга. В четвертом — они уже неразличимы, но зато все вместе резко отличны от инфинитезимальной области в ее общности, будучи ее специфическим выражением. В третьем—они слиты с инфинитезимальной областью вообще, но зато все вместе резко отличаются от арифметической и трансфинитной области. Во втором—они сливаются с этими областями в одно неразличимое целое, но зато оказываются все вместе резко отличными от сферы общекатегориальной. И наконец, в первом своем слое они совпадают с общекатегориальной областью, с некоторыми первичными логическими категориями, дальше которых идти уже некуда. Дальше вообще логика (не говоря уже о математике) кончается и начинается само бытие, отражением которого и являются эти первичные логические установки.

12. Весь этот логический анализ трех категорий—дифференциала, производной и интеграла—есть, повторяем, только попытка, и попытка, далекая от всяких абсолютных претензий. Можно и должно возражать против нее по ее содержанию. Однако в логике недопустимо одно возражение, которое тем не менее обывателю приходит прежде всего на ум: «Это очень сложно! Это схоластика!» Дело в том, что простота и ясность жизненная, к сожалению, очень мало соответствуют простоте и ясности научной и логической. Казалось бы, какая это «простая и ясная» вещь — кривизна линии, кто же ее не понимает? Однако это обывательское представление о кривизне для математики и логики—только смутное понятие. И кому кажется, что тут и объяснять нечего, пусть он развернет учебник дифференциального исчисления и попробует разобраться в главе о кривизне. Без хорошей математической подготовки за курс средней школы он, можно сказать наперед, ровно ничего не поймет в этой главе. А кто ж не знает того, что такое кривизна! Все видели, как висит веревка, привязанная за оба конца. И тут тоже найдется немало таких противников схоластики, которые забракуют всякое расчленение такого «простого и ясного» факта. Но такое отношение к «простым и ясным» фактам есть реакционное мракобесие против науки, ибо ясно, что никакая житейская простота и ясность фактов не могут удержать математику от нового—научного—их разъяснения. И то, что эта прикрепленная в обоих концах веревка располагается по цепной линии, связанной с гиперболическим косинусом, это обстоятельство есть то, за что нужно только благодарить математиков и механиков.

Поэтому как бы «просты» ни были сами по себе эти операции дифференцирования и интегрирования (с ними знакомится уже студент–первокурсник), это нисколько не мешает их логической сложности. Можно даже выставить такое общее наблюдение: чем проще и яснее жизненное явление, тем труднее бывает его логически описать. Чего проще красный, синий, зеленый цвет! Но дать логическое их понятие очень трудно.

Однако нужно, конечно, согласиться с тем, что очень плоха та логика, которая только и остается в пределах сложных конструкций и не ведет к познанию жизненной простоты соответствующего явления. Наша логика и исходит из этой простоты, и кончает ею, оставляя за собой право пользоваться разными сложными конструкциями на пути от этой первой и наивной простоты к простоте последней и мудрой. Мы исходим из того, что мышление есть отражение материи, и на этом строим всю логику. Теперь, после разнообразных логических построений, мы опять приходим к действительности, но приходим обогащенные, уже вооруженные точными понятиями одной из точнейших человеческих наук. Мы приходим к жизненно–логическому значению основных категорий математического анализа.

 

13. ТРИ АСПЕКТА ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНО–МАЛЫХ В ПРИМЕНЕНИИ К ЛОГИКЕ

Если бросить общий взгляд на пройденный нами путь, то с точки зрения главнейших направлений в логике может быть справедливо указано, что у нас кое–что остается весьма слабо расчлененным, и прежде всего что у нас в отчетливой форме не проведено различение логики объемной, логики содержания и логики структурной. Несомненно, в нашей характеристике метода бесконечно–малых для логики мы использовали все эти три исторические системы логики. Однако до сих пор у нас не было повода производить в тщательной форме это различение и мы нерасч–лененно пользовались всеми тремя типами логики. Сейчас не мешает дать это в более точном и критическом освещении.

1. Несомненно, во всех наших рассуждениях о методе бесконечно–малых в логике мы стояли преимущественно на объемной точке зрения. Объясняется это тем, что к такой точке зрения математика особенно склонна; и это для нее вполне естественно ввиду количественной природы самой этой науки. Когда математики говорят о пределе и о стремлении к нему, то, конечно, они имеют в виду исключительно величины. К пределу приближается не что иное, как именно переменная величина. Наращение функции и аргумента мыслится здесь также в виде наращения величины. Это и заставило нас говорить прежде всего о родах и видах, когда мы захотели связать инфинитезимальные категории с логическими. Понятие у нас, вступая в становление, дробится, делится, и, конечно, делится прежде всего объемно. Производная есть принцип деления понятия, и деления прежде всего объемного: в результате возникают именно видовые различия и виды. Интегрирование ведет нас к общности, но опять–таки главным образом к родовой общности. Почти везде мы так и говорим: интеграл—родовая общность, производный принцип деления рода на виды, дифференциал — видовое различие.

Эта объемная интерпретация метода бесконечно–малых сама собой напрашивается при сравнении математического анализа с логикой; и, повторяем, она есть самый простой и самый естественный результат этого сравнения, поскольку математика есть не что иное, как именно чисто количественная дисциплина. Невозможно спорить против права объемной логики на существование; и то, что мы ею воспользовались при переводе инфинитезимальных категорий на язык логики, это само по себе не только не должно вызывать никаких сомнений, но во всех отношениях может только приветствоваться.

2. Однако, отдавши всяческую дань объемной логике, мы ни в каком случае не можем считать этот объемный аспект единственным и исключительным. В истории нашей науки было еще одно сильное направление — это т. н. логика содержания, правда, несравненно менее популярная, чем логика объемная, но, собственно говоря, менее популярная только по недоразумению, ибо ее логические ресурсы нисколько не менее значительны, а во многом даже заслуживают предпочтения. Применение метода бесконечно–малых в логике в целях построения логики содержания поэтому заслуживает всяческого внимания, и мы его кое–где проводили в предыдущем рассуждении, хотя и несравненно меньше, чем того оно заслуживало бы.

Под логикой содержания, конкретно говоря, надо подразумевать логику не объемов понятия, а признаков понятия. Если подойти к понятию с точки зрения его признаков и ограничить операции над ним операциями с его признаками, то получается ряд интересных построений, вступающих в резкий антагонизм с построениями объемными. Так, напр., суждение с точки зрения логики содержания приходится принимать не в виде включения подлежащего в объем сказуемого, но в виде включения сказуемого в содержание подлежащего. «Снег бел» — это значит не то, что «снег» включается в число белых предметов, но то, что признак белизны включается в число признаков «снега». С точки зрения объемной логики нельзя делать того заключения по четвертой фигуре силлогизма, которое было бы наиболее естественным: «Алмаз—углерод, углерод горюч; следовательно, алмаз горюч», в то время как с точки зрения логики содержания этот силлогизм вполне правилен, поскольку здесь мы находим только последовательную цепь признаков, вносимых в первоначальное понятие «алмаз». И т. д. и т. д. Словом, везде тут идет речь о возникновении и соединении признаков, об образовании ими понятия и о взаимоотношении понятий, рассматриваемых только лишь как совокупность признаков.

Допускает ли такая признаковая интерпретация понятия применение метода бесконечно–малых? Обязательно допускает, и даже требует. И мы его провели выше в одном из самых центральных мест нашего исследования. Сейчас только надо это тщательно отграничить от объемной интерпретации и не давать здесь такого нерасчлененного изложения, которое получалось у нас выше (ввиду преждевременности этого различения для предыдущего этапа нашего исследования).

Что такое интеграл с этой новой точки зрения «логики содержания»? Ясно, это уже не родовое понятие как предел обобщения видов, но понятие как предел суммы его признаков. Признаки понятия с этой точки зрения должны мыслиться наподобие тех «элементарных прямоугольников», из которых математики конструируют площадь криволинейной трапеции: признаки эти должны постепенно сужаться, а число их должно постепенно расти; и, когда каждый из них станет бесконечно малым, а общее число их станет бесконечно большим, тогда, суммируя их, мы и переходим к пределу, который есть искомый нами интеграл, т. е. понятие как предел суммы признаков, как предельная совокупность признаков.

Чем окажется при такой точке зрения производная? Как и в объемной логике, она здесь есть только принцип становления понятия, или принцип его развертывания; если угодно, это есть принцип, или основание, его деления. Однако речь тут пойдет уже не об объемном делении, т. е. не о таком, откуда мы получили бы виды данного понятия. Развертывание здесь должно мыслиться содержательно; это есть основание деления, или становления, по содержанию, становления признакового. Мы ведь уже встречались с тем фактом, что одно и то же понятие может иметь разные системы существенных признаков в зависимости от той или иной (объективно обоснованной) точки зрения. Но даже если бы данное понятие обладало и единственной системой существенных признаков, все равно эта последняя определялась бы своим вполне определенным признаком. Пусть вода определяется как Н20. Это значит, что в основу ее определения положен принцип химического соединения. Пусть она определяется с точки зрения температуры своего кипения и замерзания. Это есть определение с физической точки зрения. И т. д. Ясно, следовательно, что всегда существует тот или иной принцип развертывания понятия по его содержанию, основание подбора и разделения его признаков. Очевидно, если в объемной логике основание деления понятия мы соединяли с производной математического анализа, то для «логики содержания» производной понятия является тоже принцип развертывания этого понятия, но развертывания содержательного. Это принцип подбора и разделения признаков данного понятия.

Но тогда должно стать ясным и что такое дифференциал понятия в «логике содержания». Если в объемной логике это есть видовое различие, то здесь, очевидно, это есть каждый отдельный признак понятия. Как там все виды подчиняются одному принципу деления понятия, так здесь все признаки понятия подчиняются своему единому принципу. И если принцип этот есть предел, а то, что ему подчинено, непрерывно и бесконечно стремится к этому пределу, то признаки тут тоже есть нечто текучее, сплошно стремящееся, так что один признак, несомненно, переходит в другой; и надо его закрепить в этой его бесконечно малой текучести, чтобы о нем можно было говорить как о чем–то определенном. Это и есть дифференциал понятия, определяемого в «логике содержания» через совокупность признаков. Это отдельный признак, данный со всей той бесконечной текучестью, которая нужна ему для стремления к пределу, и со всей той конечной определенностью, без которой он вообще не мог бы быть чем–нибудь. Это и есть в данном случае дифференциал понятия.

3. В истории логики не раз намечалась и давала интересные результаты позиция той логики, которую можно было бы назвать общим именем структурной. Деспотизм формальной логики и абстрактной метафизики, разумеется, и здесь сделал свое дело, и структурные анализы почти всегда тонули в море традиционной и популярной метафизики. Однако нам здесь совершенно ни к чему замазывать эту весьма принципиальную тенденцию логической мысли; и мы должны признать, что во многих проблемах она удачно конкурирует и с формальной логикой, и с логикой содержания. Конечно, поскольку настоящее исследование имеет совсем другую тематику, разрабатывать нам здесь проблемы структурной логики было бы совсем неуместно. Входить в ее историю и теорию—это значило бы перейти совсем к новому исследованию. Поэтому нам придется ограничиться здесь исключительно краткими соображениями, и притом для единственной цели — формулировать одну из богатейших областей мысли, где может проводиться и проводится изучаемый нами метод бесконечно–малых.

Как показывает самое название, структурная логика исходит не из объемов и не из содержания понятия, но из его структуры. Выше мы говорили о структуре как о единстве теоретического и практического, как о единстве идейного и материального, потому что в структуре обязательно должны быть определенного рода материальные части и эти материальные части должны быть объединены по какому–нибудь определенному принципу. Теперь мы можем сказать, что такое совмещение и объединение материального по какому–нибудь принципу есть то, что обычно называется целым.

Структура, вообще говоря, есть такое целое, части которого связаны между собою каким–нибудь единым принципом (или несколькими такими принципами), так что целое, будучи тем или другим положительным содержанием, не только не сводится на простую сумму его частей, но даже целиком присутствует в каждой своей части, хотя присутствует и в каждой части по–разному. Такое понятие структуры ставит сразу его в промежуточное место между объемной (количественной) и содержательной (качественной) теорией. Структура не есть ни только количество, ни только качество, т. е. ни только форма, ни только содержание. Что вообще такое соотношение между качеством и количеством возможно, у нас это широко известно хотя бы из гегелевского учения о мере. Но мера, конечно, еще не есть структура.

Разрабатывать этот вопрос ввиду его специальности мы здесь не будем. Но мы сделаем только одно замечание, которое должно указать самое направление для возможных здесь изысканий. Именно, почему мы должны считать, что в структуре понятия совмещается его объем и его содержание? И с точки зрения формальной логики, и с точки зрения «логики содержания» внесение нового признака в понятие, т. е. расширение содержания понятия, обязательно связывается с сокращением его объема. Если к признакам понятия «учащийся» мы присоединим признак «учащийся вуза», то новый объем, полученный нами, т. е. «студент», окажется беднее, чем «учащийся» вообще. По учению обеих логик, студентов меньше, чем учащихся вообще. Совсем не то имеем мы в структурной логике. Если в структуре целое как таковое присутствует в каждой своей части (хотя, как сказано, каждый раз и по–разному), то ясно, что присоединение нового признака понятия есть расширение его объема, а не его сужение, поскольку в этом вновь присоединенном признаке дается целое и поскольку он оказывается в силу этого не чем иным, как видом данной общности. Ведь что такое видовое понятие? Это, учит формальная логика, есть соединение рода и видового различия, но этот новый признак, вводимый в понятие, как раз и есть—в качестве того, что он именно признак, — видовое различие, а в качестве того, что в нем отражается целое и общее, которое он теперь характеризует, — соединение этого видового различия с данной родовой общностью. Это нужно себе хорошенько усвоить. Структура понятия есть обязательно соединение и взаимо–пронизание его содержания и его объема.

Конечно, студентов меньше, чем учащихся вообще, но это при двух условиях: надо все понятийные отношения свести на чисто количественные; и надо, когда мы говорим об учащихся вообще, забывать о студентах и, когда мы говорим о студентах, забывать об учащихся. При таком подходе действительно «студентов меньше, чем учащихся вообще». Но ведь структура понятия «учащийся» потому и есть структура, что входящие в него виды не исчезают в его безразличной общности, но сохраняются и образуют вместе некую связную картину. «Учащийся» только формально шире по объему, чем «студент». Допустим, что мы всерьез не знаем, что такое «студент». Можно ли в таком случае считать, что с появлением этого нового признака в понятии «учащийся» объем этого понятия не расширился? Покамест мы не знали, что такое «студент», мы, конечно, тем самым и к меньшему количеству учащихся применяли понятие «учащийся». А когда мы узнали, что такое «студент», то понятие «учащийся» стало и применяться нами к гораздо большему числу учащихся. Другими словами, с расширением содержания понятия «учащийся» расширился и его объем. Это, однако, возможно только потому, что, перейдя к понятию «студент», мы не забыли понятия «учащийся», а, наоборот, локализировали его в этом последнем и перенесли на него целиком это понятие «учащийся». Иначе говоря, это обогащение объема понятия «учащийся» вместе с расширением его содержания стало возможным только потому, что мы перестали рассматривать объем и содержание в их разорванности и самостоятельности, но стали рассматривать их как структурное целое: с присоединением каждого нового признака понятия возникает и новое видовое различие этого понятия, т. е. новый вид; а с устранением признака устраняется и соответствующее видовое понятие. Стоит только разорвать эту связь содержания и объема понятия, т. е. мыслить содержание независимо от того, какие объемы реально, конкретно с этим связаны, как уже придется более бедное содержание связывать с более обширным объемом, хотя бы даже мы и не имели реально этих объемов. Только уже зная, что такое «студент», мы можем считать понятие «учащийся» шире понятия «студент» по объему; а не зная этого, как можно судить о размерах объема «учащийся»? Однако если мы уже знаем, что такое «студент», то это знание само стало возможным только потому, что мы перенесли на него понятие «учащийся» (ибо «студент», который был бы не «учащийся», невозможен), т. е. тем самым перенесли на него в некотором роде и все объемы, с ним связанные (ибо если бы на «студента» переносилась бы только часть объема «учащийся», то «студент» опять–таки был бы не «учащимся», а только частью этого «учащегося»). Следовательно, самое суждение «студентов меньше, чем учащихся вообще» возможно только как формализация и обесструктурение другого суждения — «студент есть учащийся». Ибо если действительно студент есть учащийся, а учащиеся—это и школьники, и дошкольники, и учащиеся–единоличники, то, мысля «студент есть учащийся», мы обязательно примышляем и все эти объемы, связанные с «учащимся вообще», при условии, конечно, если мышление наше ясно и отчетливо и если все виды понятия мы мыслим как единую структуру. А тогда «студент» — более обширный объем, чем «учащийся вообще». Однако и эти все рассуждения о соотношении содержания и объема понятия в его структуре, в сущности, весьма условны и проводятся нами только в отношении и ради приспособления к популярным взглядам на содержание и объем понятия (а взгляды эти есть формальная логика). Если говорить точно, то для структурной логики не существует вовсе никакого содержания, ни объема понятий. Немного ниже—опять–таки из математики — мы увидим, [что] объем всякого понятия всегда бесконечен и что, следовательно, все понятия имеют совершенно один и тот же объем, а содержание понятия разнообразится только своей структурой. Но прежде чем заговорить об этом, укажем конкретно научный пример структурных умозаключений, не имеющих ничего общего ни с объемными, ни с признаковыми операциями.

4. В предыдущем мы уже столкнулись с тем колоссальной важности фактом, что богатейшей наукой, построенной на таких структурных умозаключениях, является химия (хотя примеров таких умозаключений достаточно и во всякой науке).

Возьмем и здесь какую–нибудь химическую формулу из самых обыкновенных, напр. H2S04+Cu0 = CuS04 + H20, т. е. формулируем, что серная кислота в соединении с окисью меди дает медный купорос плюс воду. Разве требуется тут долго разъяснять, что это умозаключение произведено решительно без всяких «включений вида в род» и решительно без всякой «логики содержания»? В предложенной формуле левая и правая стороны абсолютно тождественны по своим «признакам»: те же самые Я, S, О и Си, т. е. водород, сера, кислород и медь, которые фигурируют слева, те же самые они и в правой части. Что же переменилось? Почему в одном случае была серная кислота и окись меди, а в другом появился медный купорос и вода? Мне кажется, даже идиоту ясно, что дело тут вовсе не в отдельных элементах, а в их структуре. Ведь элементы же абсолютно тождественны в обоих случаях, и если что существенно, то исключительно характер их связей, т. е. структура. Значит, химические формулы строятся отнюдь не по типу «логики содержания»: «признаки» тут совершенно одинаковы в обеих сторонах формулы.

Но может быть, химические формулы строятся по типу соотношений рода и вида? Думать так было бы еще бессмысленнее. Где же тут род и где вид? Ни медный купорос, ни вода ни в какой мере не являются здесь ни родом, ни видом ни в отношении серной кислоты, ни в отношении окиси меди. Сравним, напр., серную кислоту и медный купорос. Соотношение этих химических соединений не имеет совершенно никакого отношения к роду и виду. Медный купорос получается в результате замещения в серной кислоте водорода медью. Это замещение имеет чисто структурное значение; тут ничто ни для чего не является ни родом, ни видом.

Следовательно, химические формулы предполагают совершенно особую логику, совершенно специфическое возникновение и объединение понятий. Эта химическая логика ни с какой стороны не есть ни формальная логика объемных включений, ни содержательная логика совокупности признаков. Это царство чисто структурных умозаключений. И для логического осознания такой науки нужна и особая система логики, и особый метод соединения понятий, что и удобно назвать структурной логикой, структурным методом логического мышления. Все это резко противостоит всякому неструктурному анализу, между прочим имевшему место и в самой химии, но в отдаленные времена, до Лавуазье, когда думали построить эту науку на непосредственных качествах вещества, наиболее ярким выражением чего явилась знаменитая теория флогистона. В настоящее время все такие теории могут иметь только музейное, археологическое значение, ибо вся химия, с начала до конца, строится решительным образом по структурному принципу, причем структура эта проводится здесь не только при комбинации тех или иных химических соединений (как в только что приведенном примере), но даже и внутри одного и того же соединения (на этом построена вся органическая химия, с примерами чего мы уже встречались выше, в§ [12]).

Спорить не приходится, что анализ бесконечно–малых вполне применим и к структурному мышлению, поскольку структурное мышление тоже возникает и исчезает непрерывно. Мы для этого приведем сейчас одно из ходячих рассуждений в химии, но суть дела здесь, конечно, гораздо более общая. В учебниках интегрального исчисления приводится пример с вычислением скорости химических реакций. Напр., уксусно–этиловый эфир обмыливается едким натром. Эта реакция происходит по определенной химической формуле, выписывать которую здесь не стоит. Реакция эта имеет ту или иную длительность во времени, зависящую при прочих равных условиях от концентрации реагирующих веществ (а величина этой концентрации измеряется количеством данного вещества в единице объема раствора). Если мы знаем концентрацию уксусно–этилового эфира и едкого натра в начале опыта, а также концентрацию одного из них после истечения определенного времени реакции, то мы можем узнать концентрацию того же химического соединения по истечении любого времени. Концентрация есть, стало быть, функция времени. Было бы нецелесообразно здесь загромождать наше изложение приведением всех математических выкладок, сюда относящихся. Но читателю уже из предложенной наметки должна быть совершенно ясна возможность и необходимость инфинитезимальной обработки структурных понятий химии.

Однако, повторяем, дело не в этом. Нас ведь интересуют не буквально математические интегралы и дифференциалы, по которым имеются десятки и сотни учебников и исследований, но логические интегралы, логические дифференциалы, логические производные. Поэтому там, где в химии применяется математический анализ в буквальном смысле, мы находим для себя как раз менее интересные проблемы. Гораздо интереснее для логики трактовать инфинитезимально самые понятия в химии, не переходя непосредственно к числам, величинам и вычислениям. Для логики имеет третьестепенный интерес вычисление скорости как производной от пути по времени (это область математики и механики, а не логики). Но для нее имеет первостепенный интерес, что самая категория скорости есть производная от пути по времени; и в этом смысле она остается для логики производной даже в тех случаях, когда эту скорость невозможно вычислить математически и когда математически не удается интегрировать ее по времени, чтобы получить путь.

С этой точки зрения общие категории химии, будучи чисто структурными, имеют для инфинитезимальной логики огромный интерес, несмотря на невозможность здесь чисто вычислительного подхода и даже именно благодаря этой невозможности. В этом смысле химия—замечательная область и какое–то царство структурного инфинитезимализма.

Правда, весь этот химический инфинитезимализм предполагает такое широкое применение в этой науке принципа непрерывности, какого она фактически не допускает в настоящее время. Однако можно с полной уверенностью утверждать, что такое всеобъемлющее применение принципа непрерывности в химии есть вопрос недалекого будущего. Антично–средневековая проблема превращения элементов в настоящее время принципиально разрешена в положительном смысле. И если еще не наблюдалось превращение решительно всех химических элементов и если наука еще очень далека от технического овладения этим превращением, то ясно, что здесь дело касается уже не принципиальной стороны вопроса. Для нас достаточно уже того, что радий в природе самостоятельно превращается в нитон, нитон—в радий А, радий А — в радий В и потом последовательно— в радий С, Д F и, наконец, G, который является изотопом свинца. Это есть не что иное, как самый настоящий распад вещества, происходящий в силу излучения определенного рода лучей. Сам радий тоже есть продукт распада еще более тяжелых элементов — урана и тория. Существует разработанное учение о скорости этих превращений, совершающихся самостоятельно в природе; и исчисляются (между прочим, огромные) промежутки времени, в течение которых происходит превращение той или иной массы данных элементов. Конечно, о всеобщей превращаемости химических элементов в настоящее время рано говорить. Но очень важно, что мы находим излучение и у металла калия, в результате какового мы получаем такой калиевый ряд элементов: калий, хлор, фосфор, алюминий, натрий, фтор, азот, бор, литий. Точно так же очень важно, что мы имеем еще подобного же рода кальциевый ряд, тоже излучающийся в результате последовательного превращения элементов: кальций, аргон, сера, кремний, магний, неон, кислород, углерод, бериллий, гелий. Всего этого материала более чем достаточно для проведения принципа непрерывности в химии, а значит, и для инфинитезимальной интерпретации структурных понятий вообще.

Ко всему этому нужно прибавить еще и то, что как раз явление структуры особенно удобно рассматривать с точки зрения метода бесконечно–малых, поскольку на нем построено огромное здание такой науки, как современная органическая химия, насчитывающая в настоящее время уже за миллион разного рода органических веществ. Эти органические вещества открываются здесь почти каждый день, и их не успевают даже регистрировать. Вещества, которые, казалось, не имеют между собою ничего общего, получают разного рода промежуточные звенья и структуры, мало похожие одна на другую, то там, то здесь сближаются. Идея непрерывности, без которой невозможно применение метода бесконечно–малых, таким образом, может считаться вполне реальной как для химии вообще, так и особенно для органической химии.

Но бросим беглый взгляд на то, что такое структура в химии.

Прежде всего известно, что всякий химический элемент—это не что иное, как та или иная система протонов и электронов. Протон — положительно заряженное ядро водорода, а электрон — отрицательно заряженная масса, вращающаяся вокруг атомного ядра. Следовательно, все химические элементы, а это значит и вся материя, есть в основе только водород, данный в той или иной структуре. Уже начальный, исходный атом, атом водорода, есть определенного рода структура: один протон и один вращающийся около него электрон. Атомный номер водорода равен единице, и с него начинается периодическая система элементов. Дальше идет гелий: заряд ядра — 2, масса ядра в 4 раза больше водорода, вращаются 2 электрона со взаимным наклоном орбит, как предполагают, в 120°. Дальше идет литий: 3 электрона, из которых два вращаются, как у гелия, а третий имеет очень удлиненную орбиту. И т. д. и т. д.

Ясно, следовательно, что различие всех элементов чисто структурное, а не непосредственно–качественное. Ибо непосредственное качество всех элементов одно и то же, а именно водород. Но раз так, то всякий химический элемент есть структурная функция водорода. И значит, можно говорить и о бесконечно–малых приращениях этого аргумента и этой функции, и об их отношении, о пределе этого отношения, т. е. о производной. Так как производная от функции есть, как мы знаем, принцип ее становления, то, во–первых, производной от всякого химического элемента является, очевидно, принцип того или иного его конкретного свойства или поведения. Наиболее ярким выражением такой химической производной является валентность, т. е. способность атома присоединять к себе различное количество других атомов, ибо способность эта, очевидно, играет основную роль в поведении атома на фоне других атомов. Валентность — великолепный пример на производную чисто структурного типа. Но это значит, что сам атом данного химического элемента, являющийся функцией водорода, есть интеграл от валентности по водороду, а каждое его отдельное конкретное свойство (атомный вес, температура плавления, температура кипения и пр.) есть дифференциал.

Во–вторых, эти же самые категории бесконечно–малого можно представить и иначе (вероятно, их можно представить еще и многими другими способами). А именно, поскольку производная от функции есть метод становления последней, а всякая структура тоже может рассматриваться как метод и предел известного рода становления, то вместо валентности в качестве производной можно выдвигать и силу структуры. Если независимое переменное у нас водород, т. е. положительно заряженное ядро водорода, т. е. протон, а функция—электрический заряд какого–нибудь элемента, то именно структурное строение всякого такого атома есть то, к чему стремится изменение протона, когда из водорода и возникает данный новый элемент. Но если структура атома, т. е. взаимоотношение протонов и электронов, есть в данном случае производная, то интегралом явится сам данный атом в полноте своих физико–химических свойств, а дифференциалом—тот же атом с тем или иным отдельным свойством.

Эта инфинитезимальная система кроется уже и в самом водороде. Если водородный атом как целое есть функция электрического заряда его ядра, то в условиях непрерывности мы получаем и соответствующую валентность водорода, в то время как самая его структура есть интеграл, а всякое реальное свойство—дифференциал.

Но метод бесконечно–малых, применимый на атоме водорода, применим и на любом химическом элементе, применим, очевидно, также и на химических соединениях, и на химических реакциях. Если считать аргументом вступающие в реакцию вещества, а функцией—результаты этой реакции, то мы уже видели, что тут можно ставить вопрос о скорости реакции, и эта скорость может пониматься здесь как самая настоящая производная (в логическом смысле слова). Но вовсе не обязательно говорить только о скорости. Производная здесь есть вообще то или иное направление химической реакции, как и в логике (мы видели) производная есть предельное направление его становления. Если так, то прежде всего опять–таки сама же структура химического соединения или химической реакции должна рассматриваться как производная от данного химического соединения или реакции. Если независимое переменное — «медь, сера, кислород», а функция — «медный купорос», то производная здесь—метод получения медного купороса, т. е. присоединение одного атома меди и одного атома серы.

Но можно эту производную понимать и иначе. Так, три основных типа химических реакций—реакции разложения, соединения и замещения — тоже являются хотя и очень общими, но, несомненно, в логическом смысле именно производными от результата химической реакции по ее реагентам. Но тогда результат химической реакции есть интеграл, а отдельные химические свойства, из которых он состоит, суть дифференциалы. Пусть из серы и железа мы получаем новое вещество, не делимое ни на серу, ни на железо, ни вообще на какие–нибудь части железа. «Сера и железо» есть тут независимое переменное, аргумент; «сернистое железо» есть функция; тип данной реакции (соединение)—производная; сернистое железо как предел суммы всех моментов данной реакции — интеграл; отдельные его свойства и отличия—дифференциалы. Все эти категории, конечно, не могут не быть отражением, т. е. повторением, того, что говорит и самая обычная химия, ибо кто же станет отрицать, что результат реакции есть функция реагентов или что из отдельных свойств этого результата складывается и сам результат? Однако тут мы вводим бесконечно–малые отношения и связи. И — самая обычная картина самой обыкновенной и элементарной химической реакции оказывается погруженной в атмосферу непрерывного становления. Только в этом одном и заключается вся новость. И так как непрерывность эта не может не быть во всякой химической реакции, то логический метод бесконечно–малых ровно ничего не создает тут нового (и это было бы фантастической метафизикой, если бы логический метод вообще что–нибудь в абсолютном смысле создавал); он только подчеркивает и оттеняет для мысли то, что и без него дано в самой материи, во всех этих химических реакциях.

Наконец, для демонстрации структурного значения инфините–зимального метода необходимо привлечь и то понимание структуры, на котором основана органическая химия и с которым мы уже имели случай встретиться выше. Тут даже не требуется химической реакции, и, главное, эта органическая структура как раз выступает здесь наиболее ярко, будучи единственным фактором для данного химического вещества в сравнении с другим, состоящим из тех же самых элементов. Инфинитезимальная интерпретация могла бы быть приведена здесь в таком виде.

Будем принимать в качестве независимого переменного то «теоретическое», так сказать, соединение, в котором еще нет никакой структуры и, значит, которой не соответствует никакое конкретное химическое вещество, напр. хотя бы C14H10· В таком случае функцией нужно считать те конкретные химические соединения, антрацен и фенантрен, которые оба состоят из C14H10 и отличаются между собою структурой объединения элементов. Ясно, что производной в таком случае явится именно структура этих соединений; но так как эта структура здесь не одна, то здесь лучше говорить об общем структурном типе, намеченном для антрацена и фенантрена, т. е. о т. н. скелетном типе, об изомерии скелета. Разные реальные структуры, возможные здесь, могут рассматриваться как то или иное приближение к идеальному скелетному типу, как то или иное его выражение. Тогда интеграл — это самое C14H10, но не как механическая смесь молекул, а как предельная совокупность всех структурных возможностей этого соединения. Соответственно и дифференциал здесь — всякая отдельная такая структурная возможность, в частности, эти же антрацен и фенантрен, равно как и все промежуточные возможности, могущие быть как результат общей непрерывности.

5. Вообще говоря, структурная логика является наименее разработанным типом логики, хотя редкая система философии не касалась структурных форм под тем или другим названием. Свести все эти данные воедино, выработать строгие и точные принципы структурного понятия, структурного суждения и структурного умозаключения, четко отделить структурный метод логики от объемного и признакового — вся эта огромная работа еще предстоит, и, собственно говоря, только после нее можно было бы четко рассуждать о применении метода бесконечно–малых к структурной логике. Поэтому если говорить строго, то предложенное нами только что рассуждение является весьма и весьма предварительным. Это — первый шаг и первый опыт в области загадочной и малоразработанной.

Одно только можно сказать с полной уверенностью: ясные и строгие достижения точных наук являются одним из наиболее эффективных принципов для построения и логики вообще и в частности структурной логики. Для разъяснения того, что такое структура и как понимать структуру с точки зрения метода бесконечно–малых, конечно, можно было бы привлечь любой материал, напр. хотя бы из художественной области, где вопросы архитектоники играют первостепенную роль. Однако тут пришлось бы еще убеждать в наличии самых этих материалов и взывать к эстетическому чувству читателей. Гораздо целесообразнее использовать вместо этого точный и строго научный материал отдельных устоявшихся наук. В органической химии не только установлен точнейшим образом самый факт структуры, но имеется подробная классификация этих структур и вообще богато разработана теория химических связей. Разве может логика пройти мимо всех этих фактов без внимания? И разве логическая структура не есть просто отражение химической (в данном случае) структуры—для той философии, по которой всякое вообще мышление есть не что иное, как отражение бытия?

Один результат мы можем формулировать с полной ответственностью, хотя по необходимости он пока очень общий: структура мышления так же погружена в непрерывную текучесть, как и все на свете, и поэтому к ней, как и ко всему, тоже приложим метод бесконечно–малых. И это уже во всяком случае так, как бы мы ни понимали самое структуру. Гарантией этого являются точные науки, и прежде всего химия, где и сама эта категория на первом плане и где уже давно поставлен вопрос о непрерывной превращаемости элементов в связи с отмеченным фактом их радиоактивности. Но конечно, это далеко не единственная наука, где так четко объединяется структурность с непрерывностью.

 

14. ЖИЗНЕННО–ЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Именно во всех этих рассуждениях мы не должны забывать, что инфинитезимальные понятия не только просто имеют некое отношение к действительности, но что вековое развитие наук о природе доказало их совершенно неотъемлемую связь с нею. Мы их рассматривали в применении к логике, т. е. к науке о мышлении. Но бесконечно–малое есть неотъемлемое достояние реальной действительности еще и до всякого мышления и без всякого мышления. Надо иметь в виду, что и без построения логики как науки мы в нашем самом обыкновенном чувственном опыте постоянно интегрируем и дифференцируем и не можем не интегрировать, не можем не дифференцировать.

1. В самом деле, меняются ли вещи или нет, движутся или нет? Можно ли остановить непрерывное становление вещей или нельзя этого сделать? Казалось бы, на это может быть только один и совершенно недвусмысленный ответ. Но стоит только допустить, что вещи непрерывно меняются, как тотчас же возникает вопрос: а как же мы узнаем эту вещь, если она вся целиком и непрерывно меняется. Как она может оставаться тою же вещью, если мы только что признали, что она сплошь становится и меняется? Ясно, что все ее изменения мы относим к какому–то ее ядру или центру, а не просто их забываем. Мы их, несомненно, суммируем. И как же происходит это суммирование? Вовсе не так, что все слагаемые остаются твердыми и неподвижными. Эти слагаемые расплываются в целом вещи, ибо вещь мы имеем все же как такую, как единичную, из каких бы слагаемых ни складывалось ее движение. С другой стороны, могут ли все эти бесконечно–малые изменения вещи быть таковыми в ней раз навсегда и сливаться в неразличимую массу? Это тоже невозможно, так как вещи реально меняются, и мы отчетливо воспринимаем это изменение. Так что же такое в конце концов реальное восприятие реально движущейся вещи, когда ни становление не дробится на дискретные части, ни дискретные части не теряют своей значимости в том целом, что называется восприятием вещи?

Я не знаю, как тут обойтись без процесса интегрирования и дифференцирования. Возводя изменения вещи к ее целому и прослеживая, как от них нарастает это целое, мы не делаем ничего другого, как просто–напросто интегрируем вещь и интегрируем наше восприятие вещи. Ведь надо же когда–нибудь гносеологу и логику всерьез обратить внимание на то, что такое, напр., длина дуги с точки зрения интегральною исчисления. Длиной дуги кривой линии называется здесь предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев этой последней бесконечно возрастает, а сами звенья бесконечно умаляются. Все наши отдельные, изолированные восприятия частей этой длины есть не что иное, как эти вот звенья ломаной, то большие, то маленькие. Как из них составить восприятие целой длины данной дуги? Только путем перехода к пределу через суммирование отдельных отрезков в условиях их бесконечного дробления. Но раз так, то что же это может значить иное, как [не] то, что восприятие длины всякой дуги есть интегрирование. А ведь мы же на каждом шагу в обыденной жизни судим о длине тех или иных кривых в тех или иных границах. Далее, разве можно в логике проходить мимо того, как интегральное исчисление понимает площади и объемы тел? О площади мы уже говорили. Но было бы так же просто рассказать и об объеме тела, как о некоторого рода интеграле. Разве это не значит, что воспринять объем тела можно только путем бессознательного интегрирования его элементов? С другой стороны, кто же не наблюдал скорость движения тела и не сравнивал проходимый им путь с этой скоростью? Кто не сравнивал скоростей двух или нескольких тел, движущихся одновременно? Чем мы занимаемся, идя по людной улице, как не тем, что все время оцениваем движение трамвая, автомашин, велосипедов, лошадей, пешеходов? А известно ли всем, кто занимается логикой, что скорость есть первая производная от пути по времени?

Мы всегда наблюдаем ускорение и замедление движения. А известно ли логикам, что ускорение есть вторая производная от пути по времени? Что же остается сказать после этого? Не то ли, что восприятие всякой скорости и ускорения есть бессознательное дифференцирование разных расстояний с точки зрения временного протекания тех или иных движений?

2. Вы «измерили» глазами какой–нибудь предмет—этот стол, этот стул, этот шкаф и т. д., — и даже не измерили, а просто взглянули на него. Что это значит? Это значит, что вы пробежали по нему глазами. Но что значит пробежать? Ваш пробег состоит из отдельных изолированных точек или не состоит? Пробежать не значит перечислить какие–то изолированные точки. Пробежать глазами и тем более просто взглянуть на предмет—это значит иметь обязательно непрерывное восприятие. Но что значит непрерывное восприятие? Это значит не что иное, как суммирование бесконечно–малых приращений. Ни в каком случае нельзя обойтись без этого. Или—прерывность, или—суммирование бесконечно–малых. Но допустим, что это есть суммирование бесконечно–малых восприятий, и больше ничего. Есть ли это восприятие нашего предмета? Ни в каком случае. Ведь мы же взглянули на шкаф, а не на что–то другое. Значит, мы не просто суммируем, но суммируем до каких–то пределов, суммируем по какому–то закону, суммируем в определенных направлениях. Итак, без суммирования бесконечно–малых ощущений нет непрерывности в восприятии нашего предмета, т. е. в этом случае он распадается на множество дискретных вещей, не имеющих одна к другой никакого отношения, а без предела нет данной и определенной вещи, а есть безграничное и бессмысленное накопление бесконечно–малых ощущений, т. е. тоже потеря предмета. В одном случае теряется его непрерывность, а в другом случае утрачивается его осмысленность как именно данного предмета. Но ведь предел суммы бесконечно–малых есть именно интеграл и достижение такого интеграла есть интегрирование. А это значит, что даже измерить данную вещь глазами, т. е. просто взглянуть на нее, — это уже значит интегрировать ее в точном математическом смысле слова.

В течение дня мы сплошь имеем дело с измерением или по крайней мере оценкой длин, площадей, поверхностей и объемов. Я сел за стол—это значит уже употребил какие–то оценки высоты стула и стола и сравнил обе эти высоты. Я взял в руки перо—это значит оценил объем пера и то расстояние, на котором оно до этого времени находилось от меня. Я встал, надел пальто и шапку, вышел на улицу и стал идти по улице—это значит, что я все время оцениваю длины тех кривых, по которым я иду, объемы тех тел, которые я нахожу на вешалке и на себя надеваю, те величины и размеры, которые я встречаю на улице (ширину тротуара, рост встречных людей, размеры витрин или дверей магазинов) и т. д. и т. д. Что такое все это? Все это есть сплошное интегрирование бесчисленного ряда функций, сплошное интегрирование своих ощущений.

Вы встречаете знакомого и говорите ему: «Как вы постарели!» или «Как вы помолодели!» Что это значит? Это значит прежде всего, что вы сравнили его теперешний вид с тем, что он был, напр., три года назад. За эти три года ваш знакомый постарел. Но ведь он жил, конечно, вполне непрерывно в течение этих трех лет? Совершенно верно. И вы теперь констатируете известный результат? Совершенно верно. Однако в таком случае вы, конечно, просто–напросто проинтегрировали известную функцию (т. е. вашего знакомого) в точно определенных пределах (а именно в пределах тех трех лет, в течение которых вы его не видели). Вы получили т. н. определенный интеграл.

Однако вовсе нет необходимости для подтверждения нашего ежесекундного интегрирования ссылаться на физические длины, площади, объемы или временные промежутки. Закроем глаза, заткнем уши, забудем все обоняния и осязания и погрузимся в сосредоточенное размышление, — и мы тут никуда не уйдем от ежемгновенного интегрирования. Пусть мы что–нибудь мыслим, ну, хотя бы т. н. Смутное время на Руси в начале XVII в., Наполеона, Солнечную систему, римский сенат, план новой гидростанции. Что бы мы ни мыслили, мы всегда мыслим нечто. И как бы мы это ни мыслили, мы в нем нечто различаем и это различаемое соединяем в целое. Всякое такое нечто как едино–раздельное целое не может не быть непрерывностью —уже по одному тому, что оно есть нечто и это «нечто» разлито по всем его отдельным элементам. Но что же такое целое, определенное целое, возникшее из непрерывного суммирования своих частей? Оно опять есть интеграл. Без интегрирования никуда не деться, если только брать существующее в непрерывном становлении. Только ценою устранения непрерывного становления из вещей можно обойтись без интегрирования. Но вещи, которые не становятся непрерывно, не есть реальные вещи. Это фикция, фантом, жалкая абстракция или пылкая фантазия, но не действительность.

3. С другой стороны, всякое нахождение частностей на фоне общего при условии непрерывного их возникновения, а также при условии знания способа или метода (если не закона) такого возникновения возможно только как дифференцирование. Найти производную—это и значит овладеть способом проявления вовне некоей функции в зависимости от ее непрерывного изменения. Если вы наблюдаете течение горной реки и видите, как стекающие с высоты струи воды образуют около какого–нибудь камня определенной формы водоворот, — вы бессознательно дифференцируете общую функцию потока воды по этому «аргументу», т. е. по времени протекания этого потока вокруг торчащего камня. Находясь в местности, подверженной периодическому влиянию ветров, вы, зная характер изменения ветра в известное время, несомненно, дифференцируете общую функцию ветра по времени. Так, в селении, расположенном недалеко от гор, вечером и ночью дует определенной силы ветер. Заметить и оценить это мы можем только путем дифференцирования. Когда мы говорим, пишем, ходим, работаем, даже просто слушаем, мы всегда имеем дело с некоторым непрерывным процессом и с целесообразным, закономерным получением тех или иных результатов — речи, устной и письменной, ходьбы, работы, слушания. Но тогда все это есть акты нашего бессознательного дифференцирования тех или иных функций речи, работы, ходьбы и т. д. по времени. Общий метод получения этих частных результатов на фоне непрерывного изменения той или иной функции в связи с протеканием времени и есть в данном случае производная. Так, я решил идти по улице быстро или медленно. Это значит, что я вычислил определенного рода производную (т. е. скорость) на основании общей функции своего хождения в связи с протеканием времени. Если бы балерина не дифференцировала своего движения по времени и не интегрировала бы его в течение всех моментов этого движения, танец ее не мог бы состояться и она осталась бы без движений. Впрочем, однако, и неподвижность тоже протекает во времени, и притом протекает непрерывно, так, что даже остановиться в своем движении нельзя без целого ряда актов интегрирования и дифференцирования.

4. Словом, абсолютно везде, где есть непрерывное становление (а где его нет?), мы всегда, как только раскрываем рот, чтобы нечто об этом высказать, уже дифференцируем и интегрируем, ибо везде тут мы нечто расчленяем, т. е. полагаем границы, пределы, т. е. устанавливаем законы для бесконечно–малых становлений. Наблюдая побеление на востоке при восходе солнца, мы интегрируем наше восприятие, ибо побеление, во–первых, есть непрерывный процесс, во–вторых, это есть суммирование бесконечно–малых нарастаний и, в–третьих, в нем есть определенная закономерность этого суммирования, т. е. его предел. Что же это, как не интегрирование? Софизм об Ахиллесе и черепахе только потому и обладает такой эффектной силой, что он дает нам движение вне категорий интеграла и производной. Ибо как только возникает вопрос о том, можно ли движение представлять как только состоящее из конечных отрезков, т. е. без перехода к пределу, так рушится здесь и весь софизм. Софизм об Ахиллесе и черепахе хорош как раз именно тем, что он доказывает невозможность воспринять реальное движение и скорость, а также и сравнивать скорости без.процессов дифференцирования и интегрирования.

Может ли, спросим теперь, наука о мышлении обойтись без понятия интеграла? Обойтись без этого значило бы просто исключить всякое непрерывное становление и всякий переход к пределу, т. е. заморозить, остановить, удушить всякое движение в мире и в мысли. Едва ли эта концепция может рассчитывать на успех.

Можно сказать еще и так. Традиционная логика (да и вообще логика) очень злоупотребляет анатомией мышления и очень пренебрегает его физиологией. Мудро распределить анатомические и физиологические моменты в цельном организме мышления — это дело большого искусства философствовать и строить науку, ибо организма нет ни без анатомического строения, ни без физиологических функций, ни без определенного и полного взаимоотношения того и другого. Когда школьная логика просто делит род на виды, и больше ничего, она явно злоупотребляет анатомией, если не прямо вивисекцией. Так никогда не может быть, если только мышление есть организм. Есть в мышлении некоторая общая «физиологическая» жизнь, которая и оживляет все органы и члены ее организма и которая воссоединяет их в одно живое целое. Но как подступить к этой «физиологии» мышления? Очевидно, надо прежде всего уметь чувствовать, понимать и фиксировать его движение, подвижность; далее, для этого надо уметь находить здесь непрерывное движение, непрерывное становление, разлитые по всем органам и членам мыслительного организма; наконец, надо уметь видеть, в каком направлении, по какому закону и принципу, до какого предела простирается становление этого взаимоотношения организма со своими органами и частями, по какому методу из общей жизни организма мышления образуются все его частности, все бесконечные, то более точные, то менее точные, его проявления и выражения. Однако мы уже доказали, что все это есть не что иное, как постоянное математическое интегрирование и дифференцирование.

5. Рассуждая о жизненно логическом значении математического анализа, необходимо иметь в виду также и то, что на этом значении базируются не только наши повседневные жизненные оценки и поведение, но и всякая развитая наука и что, таким образом, некоторого рода дифференцирование и интегрирование фактически налично даже и в таких науках или в таких отделах наук, которые не имеют ничего общего с чисто математическим дифференцированием и интегрированием. Однако здесь мы предоставим слово Энгельсу, который лучше, чем кто–нибудь другой, понимал философскую природу инфинитезимального метода и которому принадлежат следующие замечательные слова (соответственно той картине мироздания, которую имел в виду сам Энгельс):

«Наша геометрия исходит из пространственных отношений, а наша арифметика и алгебра—из числовых величин, соответствующих нашим земным отношениям, т. е. соответствующих телесным величинам, которые механика называет массами, — массами, как они встречаются на Земле и приводятся в движение людьми. По сравнению с этими массами масса Земли кажется бесконечно великой и рассматривается земной механикой как бесконечно большая величина. Радиус Земли =∞. Таков принцип механики при рассмотрении закона падения. Но не только Земля, а и вся Солнечная система и все встречающиеся в ней расстояния оказываются с своей стороны бесконечно малыми, как только мы начинаем интересоваться наблюдаемой в телескоп звездной системой, расстояния в которой приходится определять уже световыми годами. Таким образом, мы имеем здесь перед собой бесконечные величины не только первого, но и второго порядка и можем предоставить фантазии наших читателей — если им это нравится—построить себе дальнейшие бесконечные величины высших порядков в бесконечном пространстве».

«Но, согласно господствующим теперь в физике и химии взглядам, земные массы, тела, служащие объектами механики, состоят из молекул, из мельчайших частиц, которые нельзя делить дальше, не уничтожая физического и химического тождества рассматриваемого тела. Согласно вычислениям В. Томсона, диаметр наименьшей из этих молекул не может быть меньше одной пятидесятимиллионной доли миллиметра. Допустим также, что наибольшая молекула имеет диаметр в одну двадцатипятимиллионную долю миллиметра. В таком случае это все еще ничтожно малая величина по сравнению с теми наименьшими массами, с которыми оперируют механика, физика и даже химия. Между тем она обладает всеми присущими соответственной массе свойствами; она может представлять в физическом и химическом отношении эту массу и действительно представляет ее во всех химических уравнениях. Короче говоря, она обладает по отношению к соответствующей массе теми же самыми свойствами, какими обладает математический дифференциал по отношению к своей переменной, с той лишь разницей, что то, что в случае дифференциала в математической абстракции кажется нам таинственным и непонятным, здесь становится само собой разумеющимся и, так сказать, очевидным.

Природа оперирует этими дифференциалами, молекулами точно таким же образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими абстрактными дифференциалами. Так, например, дифференциал от х3 будет 3x2dx, причем мы пренебрегаем 3xdx2 и dx . Если мы сделаем соответственное геометрическое построение, то мы получим куб, длина стороны которого х, причем длина эта увеличивается на бесконечно–малую величину dx. Допустим, что этот куб состоит из какого–нибудь возгоночного вещества, скажем из серы; допустим, что три прилегающие к одной вершине поверхности защищены, а другие три свободны. Поместим этот серный куб в атмосферу из серного газа и понизим температуру последней надлежащим образом; в таком случае серный газ начнет осаждаться на трех свободных гранях нашего куба. Мы не пойдем вразрез с опытными данными физики и химии, если, желая представить себе этот процесс в его чистом виде, мы допустим, что на каждой из этих трех граней осаждается прежде всего слой толщиной в одну молекулу. Длина стороны куба увеличилась на диаметр одной молекулы, на dx. Объем же куба χ3 увеличился на разницу между х3 и х3 + 3x2dx+Зхdx2+dx3, причем мы, подобно математике и с тем же правом, можем пренебречь dx3, т. е. одной молекулой, и 3xdx2, тремя рядами линейно расположенных друг около друга молекул длиной в dx. Результат одинаков: приращение массы куба равно 3x2dx.

Строго говоря, у серного куба dx3 и 3xdx2 не бывает, ибо две или три молекулы не могут находиться в том же пространстве, и прирост его массы точно равен поэтому 3x2dx+3xdx+dx. Это находит себе объяснение в том, что в математике dx есть линейная величина, но таких линий, не имеющих толщины и ширины, в природе самостоятельно, как известно, не существует, а следовательно, математические абстракции только в чистой математике имеют безусловную значимость. А так как и она пренебрегает 3xdx2+dx3, то это не имеет значения.

То же самое можно сказать и об испарении. Если в стакане воды происходит испарение верхнего слоя молекул, то высота слоя воды уменьшается на dx, и продолжающееся улетучивание одного слоя молекул за другим фактически есть продолжающееся дифференцирование. А если под влиянием давления и охлаждения пар в каком–нибудь сосуде сгущается, превращаясь в воду, и один слой молекул отлагается на другом (причем мы отвлекаемся от усложняющих процесс побочных обстоятельств), пока сосуд не заполняется, то перед нами здесь буквально происходит интегрирование, отличающееся от математического интегрирования лишь тем, что одно совершается сознательно, человеческой головой, а другое—бессознательно, природой. Но процессы, совершенно аналогичные процессам исчисления бесконечно–малых, происходят не только при переходе из жидкого состояния в газообразное и наоборот.

Когда — благодаря толчку—движение масс уничтожается как таковое и переходит в теплоту, в движение молекулярное, то разве не происходит в этом случае дифференцирования движения масс? А когда молекулярное движение пара в цилиндре паровой машины, суммируясь, поднимает поршень на определенную высоту, переходит в движение масс, — разве это не интегрирование? Химия разлагает молекулы на атомы, имеющие меньшую массу и протяженность, но представляющие величины того же порядка, что и первые, так что молекулы и атомы находятся в определенных, конечных отношениях друг к другу. Следовательно, все химические уравнения, выражающие молекулярный состав тел, представляют собой по форме дифференциальные уравнения. Но в действительности они уже интегрированы благодаря фигурирующим в них атомным весам. Химия оперирует дифференциалами, числовое взаимоотношение которых известно.

Но атомы не считаются чем–то простым, не считаются вообще мельчайшими известными нам частицами материи. Не говоря уже о химиках, которые все больше и больше склоняются к мнению, что атомы обладают сложным составом, большинство физиков утверждает, что мировой эфир, опосредствующий световые и тепловые излучения, состоит тоже из дискретных частиц, столь малых, однако, что они относятся к химическим атомам и физическим молекулам так, как эти последние к механическим массам, т. е. относятся, как d2x к dx. Здесь, таким образом, общераспространенное представление о строении материи тоже оперирует дифференциалами второго порядка, и ничто не мешает человеку, которому бы это нравилось, вообразить себе, что в природе имеются еще аналогии d3x, d4x и т. д.

Но какого бы взгляда ни придерживаться относительно строения материи, факт тот, что она расчленена, представляет собою ряд больших, хорошо отграниченных групп относительной массовид–ности, так что члены каждой подобной группы находятся со стороны массы в определенных, конечных отношениях друг к другу, а к членам ближайших групп относятся как к бесконечно–большим или бесконечно–малым величинам в смысле математики. Видимая глазом система звезд, Солнечная система, земные массы, молекулы и атомы, наконец, частицы эфира образуют каждая подобную группу. Дело не меняется от того, что мы находим промежуточные звенья между отдельными группами; так, между массами Солнечной системы и земными массами мы встречаем астероиды, из которых некоторые не больше, скажем, княжества Рейсс младшей линии, метеоры и т. д.; так, между земными массами и молекулами мы встречаем в органическом мире клетку. Эти средние звенья показывают только, что в природе нет никаких скачков именно потому, что она сплошь состоит из скачков.

Поскольку математика оперирует реальными величинами, она применяет спокойно эти взгляды. Для земной механики масса Земли является бесконечно великой; в астрономии земные массы и соответствующие им метеоры рассматриваются как бесконечно малые; точно так же расстояния и массы планет Солнечной системы являются в глазах астрономии ничтожно малыми величинами, лишь только она оставляет пределы Солнечной системы и начинает изучать строение нашей звездной системы» (Энгельс. Анти–Дюринг. 1938. 275—278).

 

15. ИНФИНИТЕЗИМАЛbНО–ЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРb

На этом мы закончим наше краткое сообщение о применении метода бесконечно–малых к логике. Вернее, это не сообщение, а только предложение, только скромный намек на ту область, которая не может не быть огромной. Логика и математика не могут настолько расходиться между собою, чтобы не иметь ничего общего в своих построениях. И во всяком случае, логика не имеет никакого права настолько отставать от математики, чтобы совершенно не иметь никакого представления о том, что сейчас творится в математике. С другой стороны, те, кто любит говорить фразы о базировании философии на науке, должны же когда–нибудь перейти от фраз к делу, если только они считают математику за науку. О несовершенствах нашего предложения нечего распространяться. Они очевидны и так. Но следует во всяком случае усвоить то, что сама категория бесконечно–малого и сам метод бесконечно–малых уж во всяком случае необходимы в логике. Они, конечно, нисколько не заменяют других методов, ибо сама же математика содержит много других, принципиально различных методов, не говоря уже о науках нематематических. Мы, однако, хотели перейти от фраз к делу по крайней мере на одной науке, да и то из этой науки взяли только один метод, чтобы применить его в логике и тем базировать философию на науке хотя бы в этом отдельном вопросе. Дело других исследователей предложить еще другие математические методы в логике и даже другие нематематические.

В качестве заключения и резюме мы только хотели бы дать примерный словарик математических и логических категорий, твердо веря, что если не это соответствие, то во всяком случае какое–то другое должно необходимо быть между обеими науками.

Вот какие математические категории мы изучили в предыдущем и вот каков их перевод на язык логики.

 

16. ЗАКЛЮЧИТЕЛbНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

1. Мы рассмотрели самые элементарные категории математического анализа. Ясно, что дальше должны последовать и более сложные категории. Такая, напр., категория, как ряды, или такие, напр., специальные интегралы, как интегралы Эйлера или Коши, или современные интегралы Стильтьеса, Лебега и др., насколько можно предполагать, дают замечательные аналогии для логики.

Все это требует, однако, дальнейшего и очень упорного исследования.

С другой стороны, необходимо иметь в виду, что во всем нашем исследовании мы касались исключительно только логики понятия и понимали инфинитезимальные процессы только как становления внутри понятия (род, видовое различие, вид, основные деления). Еще предстоит применить метод бесконечно-малых к учению о других структурах мышления, и прежде всего к суждению, умозаключению, доказательству и науке. Кроме того, метод бесконечно-малых должен быть применен к проблеме не специально логической, но близкой к ней феноменологической, а именно к проблеме целого и частей. В предыдущем мы касались этого только случайно. Наконец, необходимо привлечь метод бесконечно-малых, и не только в чисто математическом смысле. Если понимать функцию, производную, дифференциал и интеграл не чисто количественно, но широко материально, то такой метод бесконечно–малых мы найдем очень часто даже и в таких науках, которые не имеют ничего общего с математикой и механикой. Таковы, напр., биология и история. Маркс в своем «Капитале» все время оперирует с такими понятиями, которые не застыли и не одеревенели в своей формально–логической метафизичности, но представляют собой именно переменные величины, т. е. нечто текучее и развивающееся (таковы категории продукта, товара, стоимости, цены, труда и т.д.). Изучение того, как применяется метод бесконечно–малых в нематематических науках, должно богатейшим образом расширить нашу логику и вывести ее наконец из формально· логического тупика и коснения в отрыве от реальной практики наук. Только тогда можно будет говорить о марксистско–ленинском построении логики как строгой и объективно–реальной науки, и только тогда рассуждения об отражении бытия в мышлении и о подвижности самого мышления перестанут быть пустой фразой.

2. Наше исследование, являясь пропедевтическим, дает нечто и для систематического построения логики на основах учения о бесконечно–малых, хотя и это также отнюдь не является еще нашей задачей, и, самое большее, мы хотели только подвести читателя к этому. Формулируя принципы такой системы, надо особенно хорошо помнить главную установку исследования—это исключение всякого методологического абсолютизма и одностороннего возвеличивания какого–нибудь одного метода. Как не может претендовать на абсолютное самодержавие объемная логика, так же были бы смешны всякие притязания на него и со стороны логики содержания, и со стороны логики структурной. И как ни велико значение метода бесконечно–малых, как ни является очередной задачей построение логики учения о бесконечно–малых и даже прямо инфинитезимальной логики в систематическом виде, все же отрицание и даже простое отодвигание прочих методов и систем было бы грубейшей ошибкой мысли и непростительным ретроградством в условиях современного развития логики. Никаких абсолютистских притязаний и никакой методологической исключительности ни в каком случае не может быть допущено. Но как существует самостоятельное учение о цвете и звуке, несмотря на то что всякий цвет и звук есть цвет и звук какого–нибудь тела, точно так же может быть и должна быть построена в систематическом виде логика бесконечно–малых, несмотря на то что в действительности эта логика существует только как целое вместе с другими типами логики и несмотря на то что непрерывность имеет место в своем непрерывном единстве и даже тождестве с прерывностью и скачкообразностью.

Хорошо помня эту заповедь против методологического абсолютизма, мы без вреда для дела и без всякой опасности метафизического гипостазирования можем приступить к системе логики бесконечно–малых. И мы надеемся, что под руководством марксистско–ленинской теории эта инфинитезимальная логика в своем систематическом виде будет построена у нас в ближайшем будущем.