ГЛАВА 21
К ПСИХОЛОГИИ И ЕСТЕСТВЕННОМУ РАЗВИТИЮ ГЕОМЕТРИИ [1]
1 Статья эта была уже напечатана в журнале «The Monist», July 1902.
1. Для животного организма имеют прежде всего величайшее значение взаимные отношения частей собственного тела и отношения физических объектов к частям этого тела. На них покоится физиологическая система пространственных ощущений. Более сложные условия жизни, при которых простое и прямое удовлетворение потребностей уже невозможно, вызывают усиление интеллекта. Физические и в особенности пространственные отношения тел друг к другу могут получить тогда посредственный, косвенный интерес, значительно превосходящий интерес к мгновенным ощущениям. Отсюда развивается пространственная картина мира, сначала инстинктивно, потом ремесленным, так сказать, путем и наконец научно, в форме геометрии. Отношения тел суть отношения геометрические постольку, поскольку они определяются пространственными ощущениями или находят в таковых свое выражение. Как без ощущений термических не было бы учения о теплоте, так без пространственных ощущений не было бы и геометрии. Но и учение о теплоте и геометрия нуждаются еще в опыте относительно тел, т. е. оба должны выйти за тесные пределы той чувственной области, которая составляет их специальные основы.
2. Самостоятельное значение отдельное ощущение имеет только на самой низкой ступени животной жизни, например при рефлективном движении, при устранении неприятного раздражения кожи, при хватательном рефлексе лягушки и т. д. На более высокой ступени развития внимание направляется не на одни только пространственные ощущения, но на те тесно связанные между собой комплексы чувственных и пространственных ощущений, которые мы называем телами. Тело возбуждает наш интерес и есть цель нашей деятельности. Но род этой деятельности определяется между прочим и тем, где это тело находится, близко ли или вдали, наверху или внизу и т. д., т. е. пространственными ощущениями, которые его характеризуют. Этим определяется как, через какую реакцию тело может быть достигнуто: нужно ли для этого протянуть руку, сделать большее или меньшее число шагов, бросить что-нибудь и т. д. Количество ощу-
340
щающих элементов, которые возбуждаются внешним телом, количество мест, которые покрываются им, объем тела соответствует, при прочих равных условиях, степени удовлетворения органической потребности и имеет поэтому биологическое значение. Если наши зрительные и осязательные ощущения вызываются сначала только поверхностью тел, то затем мощные ассоциации побуждают именно примитивного человека представлять себе больше или, как он полагает, воспринимать больше, чем он действительно наблюдает. Место, замкнутое в те поверхности, которые он одни только и воспринимает, он представляет себе материально заполненным. Особенно сильно происходит это тогда, когда он усматривает и схватывает тела, до известной степени уже известные. Для того, чтобы сознать, что только поверхность воспринимается, необходима уже значительная абстракция, которой невозможно предполагать у человека примитивного.
3. Важны в этом отношении и своеобразные типические формы объектов добычи и объектов привычных. Особые формы, т. е. особые комплексы пространственных ощущений, с которыми человек знакомится в своих сношениях с окружающей его средой, уже чисто физиологически охарактеризованы недвусмысленным образом. Прямая линия и плоскость, круг и шар отличаются от других форм своей физиологической простотой. Формы симметрические и геометрически подобные обнаруживают свою родственность уже своими чисто физиологическими свойствами. Многообразие фигур, известных нам из физиологического опыта, не мало. При занятии телесными объектами присоединяется еще, обогащая знания, физический опыт.
4. Грубый физический опыт заставляет нас приписывать телам известное постоянство. Если этому не противоречат особые соображения, мы принимаем это постоянство и для отдельных признаков комплекса — «тело». Мы представляем себе постоянными и цвет, твердость, форму и т. д. В особенности мы считаем тело пространственно постоянным, неразрушимым. Это предположение пространственного постоянства, пространственной субстанциональности именно и находит выражение в геометрии. Физиологически-психологическая организация уже сама по себе склонна выдвигать постоянства. Ибо общие физические постоянства должны и в ней найти свое выражение, так как и она сама, ведь, представляет собой случай физического тела; особые же физические постоянства оказывают свое действие при приспособлении вида. Заставляя оживать образы воспринятых тел в первоначальных их формах и первоначальной их величине, память обусловливает узнавание этих тел и таким образом образует первую основу впечатлений постоянства. Но геометрия нуждается еще в специальном индивидуальном опыте.
341
5. Тело К удаляется от наблюдателя А, быстро перемещенное из среды FGH в среду MNO. Для оптического наблюдателя А тело К становится при этом меньше и в общем — другой формы. Но для оптического наблюдателя В, который перемещается вместе с телом К и сохраняет по отношению к нему прежнее положение, тело K остается неизмененным. Аналогичное можно сказать и о прикасающемся к телу K гаптическом наблюдателе, хотя здесь и отпадает перспективное уменьшение, потому что чувство осязания вообще не есть чувство, действующее на расстоянии. Восприятия наблюдателей А и В не должны противоречить друг другу. Это требование отсутствия противоречий становится особенно настоятельным потому, что в роли Аи В может быть попеременно один и тот же наблюдатель. Противоречия исчезают, когда приписывают телу К известные, постоянные пространственные свойства, не зависящие от положения его в отношении других тел. Признают, что пространственные ощущения наблюдателя А, определяемые телом К, зависят от других пространственных ощущений (от положения К в отношении к телу наблюдателя А). Но эти пространственные ощущения, определяемые телом К в наблюдателе А, не зависят от других пространственных ощущений, которые характеризуют положение К относительно В или относительно FGH... MNO. В этой независимости и заключается то постоянное, о котором у нас идет речь. Таким образом основная предпосылка геометрии покоится на опыте, хотя и на опыте идеализированном.
6. Чтобы упомянутый здесь опыт выступил с полной определенностью и бросался в глаза, тело К должно быть так называемым твердым телом. Если пространственные ощущения, связанные с тремя различными чувственными ощущениями, остаются неизмененными, то тем самым дано неизмененное состояние всего комплекса пространственных ощущений, которые определяются твердым телом. Эта определенность вызываемых телом пространственных ощущений тремя элементами этих ощущений характеризует, следовательно, физиологию ощущений твердого тела. Это применимо как к зрению, так и осязанию. При этом определении твердости мы не думаем о физических условиях твердости, что заставило бы нас перейти в различные другие чувственные области, а только о факте данном в чувстве пространства. Мы рассматриваем здесь всякое тело как геометрически твердое, пока оно действительно имеет указанное свойство, следовательно, и жидкость, пока ее части не перемещаются относительно друг друга.
342
7. Хотя постоянно и с полным основанием указывают, что геометрия занимается не физическими, а только идеальными объектами, однако, с другой стороны, нельзя сомневаться, что она обязана своим происхождением интересу к пространственным отношениям физических тел. Следы этого происхождения ясно видны в ней, и только принимая их во внимание, мы вполне поймем ход ее развития. Наше знание о пространственных отношениях тел основано на сравнении вызываемых ими пространственных ощущений. Мы приобретаем достаточный пространственный опыт и без всяких искусственных или научных вспомогательных средств. Мы можем, например, приблизительно судить, вызовут ли твердые тела, которые мы воспринимаем рядом друг с другом в разных положениях и на различных расстояниях, приведенные последовательно в одинаковое положение, равные или неравные пространственные ощущения. Мы приблизительно знаем, может ли одно тело покрыть другое, можно ли известной палкою, лежащей горизонтально, достать известной высоты. Но пространственные ощущения зависят от физиологических обстоятельств, которые никогда не могут быть вполне тождественными для сравниваемых предметов. Строго говоря, след всякого ощущения в нашей памяти следовало бы всегда сравнивать с настоящим ощущением. Если поэтому дело идет о точном определении пространственных отношений тел друг к другу, должно найти такие признаки их, которые были бы возможно более независимы от неподдающихся контролю физиологических обстоятельств. Достигается это сравнением тел с телами. Покрывает ли одно тело А другое тело В, может ли одно из них быть перенесено как раз на то место, которое занимает другое, т. е. вызывают ли оба они при равных условиях одни и те же пространственные ощущения, — все это может быть установлено с большой точностью. Мы считаем такие тела пространственно совместимыми, геометрически во всех отношениях равными. Род ощущений не имеет при этом существенного значения; речь идет здесь только о равенстве или неравенстве ощущений. Если оба тела твердые, весь опыт, полученный нами с одним более подвижным и удобным масштабом А, мы можем перенести и на другой масштаб В. К тому обстоятельству, что и невозможно, и не нужно для каждого тела пользоваться особым телом для сравнения или масштабом, мы еще вернемся ниже. Самыми удобными телами для сравнения, правда, только для грубых сравнений, и неизменяемость которых при передвижениях мы постоянно
343
наблюдаем, являются наши руки и ноги. Названия древнейших мер показывают, что первоначальные измерения производились именно шагами, локтями и т. д. С введением общепринятых условных и сохраняемых вещественных мер начинается период большей точности измерения; принцип однако остается тем же самым. Масштаб делает возможным сравнение тел, перемещение которых трудно или практически невозможно.
8. Было уже указано, что наибольший интерес представляют для нас не пространственные, а прежде всего материальные свойства тел. Это обстоятельство обнаруживается, без сомнения, и в начатках геометрии. Объем тела инстинктивно рассматривается как количество материальных свойств и в качестве такового образует объект спора задолго до всякого более глубокого геометрического понимания. Благодаря этому, сравнение, измерение объемов получает особое значение и становится одной из первых и важнейших задач примитивной геометрии. Первые измерения объемов производились, вероятно, при помощи мер емкости для жидкостей и плодов. Целью их, следовательно, было удобное определение количества однородной материи или совокупности (числа) однородных, однообразных (тождественных) тел. Так, вероятно, и пространство помещений для хранения запасов (кладовых) первоначально измерялось совокупностью, числом однородных тел, которые они могли вмесить. Измерение объема посредством единицы объема есть, по всей вероятности, идея гораздо более позднего происхождения и могла развиться, без сомнения, только на более высокой ступени абстракции.
9. Вероятно и поверхности первоначально измерялись совокупностью (числом) плодов или полезных растений, посевом, который могло вместить данное поле, а иногда и работой, которая для этого требовалась. Измерение поверхности посредством другой поверхности получалось здесь легко и наглядно, когда рядом оказывались поля равной величины и равной формы. При этом, конечно, не сомневались, что поле, состоящее из п полей равной величины и формы, имеет и в я раз большую хозяйственную ценность. Но мы не будем низко оценивать значения этого умственного шага, если вспомним о неправильностях в измерениях поверхностей, которые встречаются у египтян [2] и даже еще у римских Agrimensores (землемеры) [3]. Когда персидский «сверхчеловек» Ксеркс [4] захотел пересчитать свои полчища, которые
2 Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Agypter. Papyrus Rhind. Leipzig, 1877.
3 M. Cantor, Die romischen Agrimensoren. Leipzig, 1875.
4 Herodot, VII, 22, 56, 103, 223.
344
ему предстояло «уничтожить» и которые он бичами гнал через Геллеспонт против греков, он поступил следующим образом: 10 000 человек были тесно установлены на одном месте, последнее было ограждено и каждый последующий отряд войска, или скорее орды рабов, который заполнял огороженное место, считался в 10 000 человек. Здесь перед нами обратное применение мысли, что поверхность измеряется совокупностью (числом) равных, тождественных, лежащих рядом друг с другом тел, покрывающих эту поверхность. С течением времени начинают оставлять без внимания, сначала инстинктивно, а потом сознательно, измерение высоты этих тел, чем совершается переход к измерению поверхности посредством единицы поверхности. Аналогичный шаг к измерению объема посредством единицы объема требует гораздо более развитого, геометрически более вышколенного воззрения, совершается позже и в настоящее время еще мало знаком народу.
10. Древнейшая оценка больших расстояний посредством дней или часов пути и т. д. направила, вероятно, внимание на труд, работу, время, необходимые для преодоления этих расстояний. Но если измеряют длину многократным наложением рук, ног, локтей, масштаба, измерительной цепи, то это, собственно говоря, есть измерение посредством перечисления равных тел, т. е. собственно опять-таки измерение объема. Странность этого взгляда в ходе нашего изложения исчезнет. Затем, сначала инстинктивно, а потом сознательно отвлекаются от обоих поперечных измерений, употребленных для измерения тел, и таким образом совершается переход к измерению длины посредством единицы длины.
11. Определяют обыкновенно поверхность как границу объема. Так поверхность металлического шара есть граница между металлом и воздухом, она не принадлежит ни металлу, ни воздуху; приписывают ей только два измерения. Аналогично с этим, линия, имеющая одно измерение, есть граница поверхности, например экватор есть граница поверхности полушария. Не имеющая измерений точка есть граница линии, например дуги круга. Движением точки образуется линия, имеющая одно измерение, движением этой линии образуется поверхность, имеющая два измерения, и движением этой последней — трехмерное телесное пространство. При развитой абстракции это воззрение не представляет никаких затруднений. Оно страдает только тем недостатком, что не вскрывает естественного пути, которым пришли к этим абстракциям, а, напротив того, искусственно затушевывает его. По этой причине здесь все же чувствуется некоторая неловкость, когда с этой точки зрения приходится, например, определять меру и единицу поверхности после того, как уже покончено с измерением длины [5].
345
12. Более однородное понимание получается, если рассматривать всякое измерение, все равно, идет ли речь об объемах, поверхностях или линиях, как счет пространства посредством лежащих рядом друг с другом, пространственно тождественных или, по крайней мере, рассматриваемых как таковые тел. Поверхности можно рассматривать как телесные листы равной, постоянной, произвольно малой, исчезающей толщины, а линии — как шнуры или нити постоянной, исчезающей толщины. Точка становится тогда небольшим телесным пространством, измерения которого произвольно принимаются во внимание, независимо от того, принадлежит ли она другому пространству, поверхности или линии. Употребленные для счета тела можно, в зависимости от потребности, выбирать произвольно малыми и произвольной подходящей формы. Ничто нам не мешает эти представления, полученные означенным естественным путем, обычным образом идеализировать в абстракции, отвлекаясь от толщины листов, изображающих поверхности, и нитей, изображающих линии. Обычное, несколько боязливое изложение основных понятий геометрии объясняется тем, что метод бесконечно малых величин, освобождающий от случайных исторических, элементарных оков, стал обнаруживать свое действие лишь в позднюю стадию развития геометрии и что еще гораздо позже (работами Гаусса) снова была найдена свободная от предвзятых взглядов связь геометрии с науками физическими. Но совершенно непонятно, почему же этот более правильный взгляд теперь, по крайней мере, не применить к элементам. Уже Лейбниц указывал, что более рационально начинать геометрические определения с тела [6].
5 Holder, Anschauung u. Denken in der Geometrie. Leipzig, 1900, стр. 18.
6 Письмо к Джордано (Leibniz, Mathem. Schriften, herausg. v. Gerhardt. Berlin, 1849. 1 Abt., I. Bd., стр. 199).
13. Мысль об измерении пространств, поверхностей и линий телами стала совершенно чуждой нашей утонченной геометрии. Однако эта мысль не есть только предтеча идеализированных методов. Она играет важную роль в психологии геометрии, и мы находим ее применения в мастерской исследователя и изобретателя и в поздних стадиях развития. Метод неделимых Cavalieri кажется наиболее понятным, если принять во внимание эту мысль. Согласно собственным его объяснениям нужно представлять себе подлежащие сравнению поверхности (квадратуры) заполненными произвольно многими равно отстоящими параллельными нитями, наподобие ткани, а подлежащие сравнению
346
пространства (кубатуры) заполненными параллельными листами книги. Общая длина всех нитей может тогда служить мерой поверхностей, а общая поверхность всех листов — мерой объемов, причем в точности можно идти как угодно далеко. При достаточно густом расположении и выборе подходящей формы число равноотстоящих равных тел может в такой же мере давать измерительные числа для поверхностей и пространств, как число тождественных тел, которые абсолютно покрывают поверхности или абсолютно густо наполняют пространства. Если представить себе, что эти тела сжимаются в линии (прямые) и в поверхности (плоскости), то получается деление поверхностей на элементы поверхности и деление пространств на элементы пространства, т. е. обычное измерение поверхностей поверхностями и пространств пространствами. Недостаточное изложение Cavalieri, мало приспособленное к уровню развития современной ему геометрии, вызвало очень суровые приговоры историков геометрии над его прекрасными и плодотворными идеями [7]. Если еще Гелъмгольц в своей выдающейся юношеской работе [8], в момент перевеса фантазии над критикой, рассматривает поверхность как сумму лежащих в ней линий (ординат), то это показывает, как глубоко в нас засело первоначальное естественное воззрение и как легко оно каждый раз снова возрождается [9].
7 Weissenbom, Prinzipien der hoheren Analysis in ihrer Entwicklung. Halle, 1856. — Gerhardt, Entdeckung der hoheren Analysis. Halle, 1855, стр. 18 и след. — M. Cantor, Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1892, II Bd.
8 Helmhok, Erhaltung der Kraft. Berlin, 1847 стр. 14.
9 Для читателей, далеких от геометрии, мы объясним метод Cavalieri простым примером. Представим себе, что мы из блока бумажных листов вырезываем прямой цилиндр с горизонтальным круглым основанием и вписываем в цилиндр конус с тем же основанием и той же высотой. В то время, как все листы, вырезанные цилиндром, равны, листы, принадлежащие конусу, увеличиваются пропорционально квадратам удаления от вершины. Из элементарной геометрии мы в данном случае узнаем, что объем конуса есть третья часть объема цилиндра. Отсюда сейчас же получается квадратура параболы. Около части параболы описывается прямоугольник, проходящий через ось ее, касательную к вершине, и соответствующие противоположные стороны. Если представить себе этот четырехугольник покрытым системой нитей, параллельных к х, то в каждой из нитей, параллельных стороне х прямоугольника, часть нити, лежащая вне отрезка параболы, пропорциональна у2. Поэтому поверхность, у находящаяся вне отрезка параболы, относится к поверхности всего прямоугольника как 1:3, т. е. так, как объем конуса относится к объему цилиндра.
За естественность взгляда Cavalieri говорит то, что и пишущий настоящие строки, будучи гимназистом и слыша о высшей геометрии, но ничего в ней не зная, пришел к сходным воззрениям, что, конечно, в XIX столетии было уже нетрудно. С помощью этих воззрений, он сделал много маленьких — разумеется, давно известных — открытий, нашел теорему Guldin'a, вычислил несколько тел вращения Кеплера и т. д.
347
14. Итак, общий опыт свидетельствует, что существуют подвижные тела, которым, несмотря на их подвижность, должно приписать пространственное постоянство в изложенном выше смысле, — свойство, остающееся тождественным и образующее основу всех понятий о мерах. Но, кроме того общего опыта, накопляется — сначала инстинктивно, а потом, при профессиональном занятии геометрией, и сознательно — еще разнообразный специальный опыт, полезный для геометрии. Так как этот опыт отчасти получается в неожиданной форме, отчасти согласуется с собою, но отчасти же при неосмотрительном применении его обнаруживает как будто парадоксальные противоречия, то он смущает наше мышление и побуждает отыскивать для него систематическую, логическую связь. К изучению этих процессов мы теперь и обратимся.
15. Если бы нам и не было известно замечание Геродота [10], в котором он сводит происхождение геометрии к измерению полей египтянами, и если бы сообщение Эвдема о первоначальной истории геометрии, известное в извлечении Прокла, совершенно затерялось [11], мы все же не могли бы сомневаться в донаучной стадии развития геометрии. Первые геометрические воззрения были получены случайно и без специальных исследований, путем ремесленного опыта при различных занятиях. Произошло это в то время, когда научный дух, интерес к связи, существующей между различными элементами этого опыта, был еще очень мало развит. Это ясно заметно даже в нашей скудной истории начатков геометрии, но еще яснее видно из общей истории культуры, доказывающей существование ремесленных геометрических приборов в такую раннюю и варварскую эпоху, для которой существование научных стремлений допустить невозможно.
10 Herodot, II, 109.
11 James Gow, History of Greek mathematics: Cambridge, 1884, стр. 134.
16. У всех диких племен мы находим плетеные работы, в которых, как и в их рисунках, картинах и резных изделиях, преобладают орнаментальные мотивы, состоящие из простейших геометрических форм. Объясняется это тем, что именно эти мотивы соответствуют, как рисунки наших детей, упрощенному, типическому, схематическому представлению объектов, которые
348
они желали воспроизвести, а с другой стороны именно такие мотивы всего легче могли быть осуществлены при помощи первобытных инструментов. Такой орнамент, состоящий из ряда треугольников одинаковой формы, но разным образом повернутых, или из ряда параллелограммов (фиг. 11), легко приводит к наблюдению, что сумма трех углов треугольника образует два прямых угла. Это наблюдение не могло ускользнуть и от занимавшихся глиняными и каменными работами ассирийцев, египтян, китайцев, греков и т. д., когда они из разноцветных камней одинаковой формы составляли свои обычные мозаики. Положение пифагорейцев, что плоскость вокруг точки вполне заполняется шестью равносторонними треугольниками, четырьмя квадратами и тремя правильными шестиугольниками, указывает на такой же источник познания [12]. Тот же источник обнаруживается и в древнем греческом доказательстве суммы углов любого треугольника разделением его на прямоугольные треугольники (проведением высоты) и дополнением полученных частей до прямоугольников [13]. Подобный же опыт получается при различных других случаях. Землемер, например, обходит многоугольный участок земли. Вернувшись к первоначальному пункту своего пути, он находит, что сделал полный оборот в четыре прямых угла. В случае треугольника из шести прямых углов (фиг. 12), образованных при всех трех вершинах на внутренних сторонах трех сторон, остается еще, после вычитания трех углов поворота а, b, с, два прямых для суммы внутренних углов. Такой вывод мы находим у Thibaut [14], современника Гаусса. Если чертежник, чтобы описать треугольник, вращает линейку последовательно к сторонам соответствующего внутреннего угла и в том же направлении, то, прибыв обратно к первой стороне, он находит, что сторона линейки, которая до вращения лежала на наружной стороне треугольника, после вращения лежит на внутренней его стороне (фиг. 13). Описывая внутренний угол в своем вращении в одном
12 Теорему эту Прокл приписывает пифагорейцам, см. Gow, History, стр. 143.
13 Hankel, Geschichte der Mathematik. Leipzig 1874, стр. 96.
14 Thibaut, Grundriss der reinen Mathematik. Gottingen, 1809, стр. 177. — Возможные возражения против этого вывода, как и последующих, мы оставляем пока без внимания.
349
и том же направлении, линейка при этой процедуре совершила половину оборота [15]. Тейлор [16] замечает, что к тому же опыту могут привести складки какой-нибудь материи или бумаги. Если сложить треугольный кусок бумаги указанным на фиг. 14 образом, то получается двойной четырехугольник, двойная поверхность которого соответствует, следовательно, поверхности треугольника. Сумма углов, совпадающих у точки а, равна двум прямым углам. Хотя этим способом и достигаются весьма удивительные результаты, тем не менее вряд ли можно допустить, что эти процедуры имели исторически плодотворное значение для развития геометрии. Этот материал имеет слишком ограниченное применение и занятые им рабочие слишком мало вынуждены к точному наблюдению [17].
15 Заметил это и автор при черчении.
16 Tylor, Einleitung in das Studium der Anthropologie. Braunschweig, 1883, стр. 383.
17 См. Z. В. Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding. Chicago, 1901.
350
17. Итак, познание, что сумма углов в плоском треугольнике составляет определенное количество, именно равно двум прямым, получено путем опыта, не иначе, чем, например, правило рычага или закон Бойля — Мариотта. Конечно, одним глазомером или даже измерением с помощью самых лучших инструментов нельзя узнать того, что сумма углов абсолютно равна двум прямым. Но так же обстоит дело и с правилом рычага и с законом Бойля — Мариотта. Все эти положения представляют идеализированный схематический опыт, ибо измерения всегда обнаружат небольшие отклонения от них. Но в то время как закон Бойля — Мариотта при дальнейших опытах скоро оказывается законом, установленным приблизительно, и нам приходится его видоизменять, чтобы точнее изобразить факты, правило рычага и теорема о сумме углов треугольника до того точно сходятся всегда с фактами, как только можно ожидать при неизбежных ошибках опыта, и то же самое можно утверждать обо всех выводах, для которых они служат предпосылками.
18. Когда во время мощения треугольники равные и одинаковой формы располагаются своими сторонами рядом друг с другом по одним прямым (фиг. 15), это опять может привести к весьма важному геометрическому познанию. При перемещении треугольника в плоскости и вдоль прямой линии (т. е. без вращения) все точки его и, следовательно, все крайние точки описывают равный путь. Таким образом одна и та же крайняя прямая дает в обоих положениях треугольника пару прямых линий, все точки которых находятся друг от друга на равном расстоянии. В то же время операция эта обеспечивает равенство углов с линией передвижения на той же стороне обеих прямых перемещаемой пары. Таким образом сумма внутренних углов, прилегающих к той же стороне линии передвижения, определяется как равная двум прямым. Этим получается теорема Евклида о параллельных линиях. Необходимо еще прибавить, что возможность осуществлять такой способ мощения на произво-
351
льно большом расстоянии могла дать особенно почувствовать рассматриваемое здесь познание. Перемещение треугольника вдоль линейки осталось до настоящего времени самым простым и естественным способом проводить параллельные линии. Вряд ли необходимо еще прибавлять, что теоремы о сумме углов треугольника и о параллельных линиях взаимно связаны между собой, представляя только различные формы одного и того же опыта.
19. Упомянутые выше каменщики легко должны были усмотреть, что правильный шестиугольник можно получить из равносторонних треугольников. Сразу были получены простейшие случаи деления круга, деление его на шесть частей радиусом, деление на три части и т. д. Из цилиндрического древесного ствола можно вследствие всесторонней симметрии круга бесконечно многообразными способами вырезать бревно с прямоугольным симметричным поперечным разрезом, грани которого лежали бы в поверхности цилиндра, что плотник находит почти инстинктивно, без всяких соображений. Диагонали прямоугольника должны при этом проходить через центр круга. По мнению Ганкеля [18] и Тейлора [19], этим путем, вероятно, было впервые узнано, что угол, лежащий в полукруге, есть прямой.
20. Натянутая нить дает нам своеобразное воззрение прямой линии. Последняя характеризуется ее физиологической простотой. Все части ее обусловливают одинаковое ощущение направления, каждая точка вызывает ощущение средины пространственных ощущений соседних точек, каждая часть, как бы она ни была мала, похожа на какую угодно большую часть. Этой физиологической характеристики мало, конечно, геометру, но она оказала влияние на определение прямой у многих геометров [20]. Чтобы стать геометрически пригодным, наглядный образ должен однако быть обогащен физическим опытом над телесными объектами. Пусть веревка привязана одним концом у А, а другой конец продет у В через кольцо. Если тянуть за этот конец, мы видим, как у В появляются части веревки, которые раньше лежали между А и В, вся же веревка приближается при этом к форме прямой. Чтобы получить между А и В прямую, нужно меньшее число равных частей веревки, тождественных ее телец, чем для того, чтобы получить между ними кривую. Неверно утверждение, будто прямая познается
18 Hankel, Gesch. d. Mathemat., стр. 206-207.
19 Tylor, ibid.
20 Euklid, Elemente. I. Def. 3.
352
нами как кратчайшее расстояние через одно только воззрение. Правда, можно правильно и надежно воспроизвести в представлении одновременное изменение формы и длины веревки, но это есть оживление прежнего опыта над телами — мысленный эксперимент. Одно только неподвижное созерцание пространства никогда не могло бы привести к такому познанию. Измерение есть опыт с телесной реакцией, эксперимент совмещения. Созерцаемые, представляемые линии различных направлений и длины вообще невозможно прямо накладывать друг на друга. Возможность такого приема должна быть испытана на чем-либо материальном, что считается неизменным. Если иногда приписывается даже животным Инстинктивное знание о прямой как кратчайшем расстоянии, то это ошибка. Если на животное действует какое-нибудь притягивающее его раздражение и под действием его животное повертывается так, что его плоскость симметрии проходит через раздражающий объект, то прямая линия есть здесь путь движения животного, однозначно определяемый раздражением. Это ясно вытекает из исследований Лёба о тропизмах у животных.
21. Что две стороны треугольника больше третьей, учит нас не одно воззрение. Если две стороны треугольника накладывать на третью, вращая их около углов, прилежащих к основанию, мы действительно уже в представлении видим, что эти стороны, двигаясь свободными концами по окружности, наконец, частью покрывают друг друга, т. е. заполняют больше, чем третья сторона. Но кто ни разу не видел этого с телесными объектами, тот не будет иметь и такого представления. Искусственным путем Евклид [21] выводит то же познание из того, что в треугольнике большая сторона связана с большим противолежащим углом. Настоящим источником познания является здесь опыт движения телесной стороны треугольника; он только старательно прикрыт здесь, и не в пользу ясности и краткости, формой вывода.
21 Euklid, Elemente. i. Prop. 20.
22. Упомянутыми опытами свойства прямых не исчерпываются. Если проволоку любой формы положить на два гвоздя, укрепленных в доске, и перемещать при постоянном соприкосновении с гвоздями, форма и положение частей проволоки, находящихся между гвоздями, постоянно изменяются. Чем проволока будет прямее, тем меньше становится это изменение. Прямая проволока перемещается при этом процессе в себе самой. Вращаемая вокруг двух своих неподвижных точек, кривая проволока
353
постоянно изменяет свое положение, тогда как прямая сохраняет всегда одно и то же положение, вращается в себе самой [22]. Поэтому, если мы определяем прямую линию как такую линию, которая вполне определяется двумя своими точками, то в этом понятии не заключается ничего кроме идеализации полученного указанным опытом представления, которое с (физиологическим) воззрением далеко еще не дано.
23. Подобно прямой линии и плоскость физиологически уже характеризуется своей простотой. Она является везде одинаковой [23]. Каждая точка ее вызывает ощущение середины между пространственными ощущениями соседних точек. Каждая малая часть ее похожа на любую большую. Но для того чтобы все это получило геометрическое значение, должен присоединиться опыт над телесными объектами. Подобно прямой линии плоскость физиологически симметрична, когда лежит в средней линии или к ней перпендикулярна. Но для того чтобы можно было симметрию признать постоянным геометрическим свойством плоскостей и прямых линий, они должны быть даны уже как подвижные, неизменяемые, телесные объекты. Связь физиологической симметрии с метрическими свойствами нуждается и в особом метрическом доказательстве.
22 Лейбниц в письме к Джордано, отпечатанном в его математических сочинениях (Leibnizens math. Schriften, herausgegeben von Gerhardt, Berlin 1849, I. Abt., Bd. I. Стр. 195, 196) пользуется последним свойством для определения прямых линий. Способность перемещаться в себе самой прямая линия разделяет с кругом и спиралью кругового цилиндра. Вращение в себе самой и опреде-ляемость двумя точками суть свойства, исключительно ей принадлежащие.
23 См. Euklid, Elemente I. Definition 7.
24. Чтобы получить телесную плоскость, шлифуют три тела друг другом до получения трех поверхностей А, В, С, накладывающихся друг на друга, что (как видно на фиг. 16) невозможно для поверхностей выпуклых или вогнутых, а возможно только для плоских поверхностей. При трении именно исчезают выпуклые и вогнутые места. Подобным же образом можно с помощью несовершенной линейки получить более совершенную прямую, поступая так: приложив линейку концами к точкам А, В и проведя линию, вращают ее плоскость на 180° и, снова приложив к точкам А, В, проводят линию; средняя линия между двумя проведенными будет более совершенной прямой, с которой можно повторить тот же прием. Раз шлифовкой тел получена плоскость, т. е. поверхность, которая везде и на обеих сторонах имеет ту же форму, то открываются дальнейшие опыты. Две такие плоскости, наложенные друг на друга, показывают, что плос-
354
кость может скользить и вращаться в себе, подобно прямой линии. Нитка, натянутая между двумя точками плоскости, лежит вся в этой плоскости. Ткань, натянутая на ограниченную часть плоскости, совершенно с ней совпадает. Таким образом плоскость представляет собой минимум поверхности в пределах ее ограничения. Если наложить плоскость на два острия, ее можно вращать вокруг линии, соединяющей эти два острия; третье острие, лежащее вне этой прямой, делает плоскость неподвижной, не поддающейся вращению, и, следовательно, определяет ее вполне. И Лейбниц, действительно, самым естественным образом пользуется данными опыта над телесными объектами, когда в цитированном выше письме к Джордано определяет плоскость как поверхность, разделяющую безграничное тело на две совместные части, а прямую как линию, разделяющую безграничную плоскость на две такие части [24].
25. Если обратить внимание на симметрию плоскости к себе самой и взять по обе стороны ее по точке, симметричной друг другу, то находим, что каждая точка плоскости отстоит на равное расстояние от этих двух точек, т. е. приходим к Лейбницевскому определению плоскости [25]. Однообразие и симметричность прямых линий и плоскостей связаны с абсолютной минимальностью их длины и поверхности. Данным границам должен соответствовать минимум их без особого побочного условия... Минимум однозначен, единственен в своем роде, и отсюда симметрия в отношении предельных пунктов. Ввиду абсолютной минимальности, каждая часть, как бы она ни была мала, обнаруживает то же свойство минимума, и отсюда единообразие.
24 «Et difficulter absolvi potent demonstratio, nisi quis assumat notionem rectae, qualis est qua ego uti soleo, quod corpore aliquo duobus punctis immotis revoluto locus omnium punctorum quiescentium sit recta, vel saltern quod recta sit linea secans planum interminatum in duas partes congruas; et planum sit superficies secans solidum interminatum in duas partes congruas». [«Трудно это доказать, если не принять того определения прямой, которым я обыкновенно пользуюсь, а именно, что, когда какое-нибудь тело вращается около двух неподвижных точек, места всех неподвижных точек образуют прямую линию или, по крайней мере, что прямая линия есть секущая безграничную плоскость на две совместные части, а плоскость есть поверхность, рассекающая безграничное тело на две совместных части».]
25 См. «геометрическую характеристику» Лейбница в его письме к Гюйгенсу от 8 сентября 1679 г. Gerhardt, ibid., II. Abt., Bd. I, стр. 23.
355
26. Данные опыта, взаимно связанные между собой, могут быть познаны и независимо друг от друга и, без сомнения, часто и были так находимы до установления их связи. Это не исключает, чтобы впоследствии одно оказалось данным и определяемым через другое и, следовательно, из него выводимым. Так, например, если известна симметрия и однообразие прямой и плоскости, отсюда легко вывести, что пересечение плоскостей есть прямая линия или что две точки на плоскости могут быть связаны прямой линией, лежащей всецело в этой плоскости и т. д. То обстоятельство, что для таких выводов нужен только минимум едва заметных опытов, не должно вводить нас в заблуждение, будто и этот минимум совершенно излишен и что для построения геометрии достаточно лишь созерцания и рассуждения.
27. Так же как воззрительные образы прямой и плоскости становятся богаче через метрический опыт и образы круга, шара, цилиндра и т. д., и лишь через него получают симметрическое значение. Та же экономия, которая заставляет наших детей сохранять в их восприятиях и рисунках лишь типическое, приводит и нас к схематизации и логической идеализации представлений, приобретенных из опыта. Хотя в действительности не встречаем нигде совершенной прямой или точного круга, мы предпочитаем в мышлении отвлекаться от этих уклонений. Геометрия таким образом занимается идеалами, но идеалами, которые возникли через схематизацию опытных объектов.
28. Я указывал уже в другом месте, что неправильно при элементарном преподавании обращать преимущественное внимание только на логическую сторону геометрии и не раскрывать перед детьми источников познания, содержащихся в опыте. Американцы, над которыми сила традиции менее властвует, недавно успешно порвали с этой системой и ввели нечто вроде экспериментальной геометрии, как предварительную ступень к систематическому ее преподаванию [26].
26 W.T. Campbell, Observational Geometry. New-York. 1899. — W. W. Speer, Advanced Arithmetic. Boston 1899.
356
29. Нельзя провести резко границы между инстинктивным, ремесленным и научным приобретением геометрических представлений. В общем можно сказать, что с разделением хозяйственных задач, по мере того как отдельные группы начинают заниматься особыми объектами, инстинктивное приобретение познаний отступает на задний план и начинается ремесленное их приобретение. Когда же измерение само по себе становится целью и профессией, приобретает сильный экономический интерес и связь отдельных операций измерения и начинается период научного развития геометрии, к которому мы и перейдем.
30. Взаимная зависимость измерений друг от друга получается различным образом. Раз пришли к мысли об измерении поверхностей поверхностями, за этим должны были последовать дальнейшие шаги. В случае поля в форме параллелограмма, который можно разложить на равные меньшие параллелограммы так, чтобы получить п рядов по т полей в каждом, считать эти поля было излишне. Перемножив числа боковых сторон, можно найти, что поверхность всего поля равна m n/2 таких частичных полей, а поверхность каждого из двух треугольников, получаемых пересечением диагонали, равна------частичных полей. В этом заключалось первое и наиболее простое применение арифметики к геометрии. Одновременно с этим бросалась в глаза зависимость мер поверхностей от других мер длины и углов. Поверхность прямоугольника оказывается больше, чем поверхность косоугольного параллелограмма с соответственно равными сторонами; поверхность зависит, следовательно, не только от длины сторон, но и от углов. Напротив, прямоугольник, построенный из полос, параллельных его основанию, можно при сохранении той же высоты сдвинуть в какой угодно параллелограмм, не изменяя тем его поверхности. Четырехугольник с данными сторонами еще не определен по своим углам, что знает всякий плотник. Но он прибавляет диагонали и превращает четырехугольник в треугольники, которые при данных сторонах вполне определенны, т. е. постоянны и в углах. Познание зависимости измерений друг от друга привело к собственной задаче геометрии. J. Steiner вполне прав, когда называет главное свое сочинение «систематическим развитием зависимости геометрических фигур друг от друга» («Systematische Entwicklung der Abhangigkeit der geometrischen Gestalten voneinander»). В оригинальном и слишком мало оцененном элементарном учебнике геометрии Snell'я [27] означенная задача ясно бросается в глаза даже начинающему.
27 Snell, Lehrbuch der Geometric Leipzig, 1869.
357
31. Построим из проволок плоский телесный треугольник. Если вращать одну сторону его вокруг ее конца, увеличивая внутренний угол у этого конца, то эта сторона изменяется и вместе с углом растет противоположная ему сторона. Чтобы составить эту последнюю сторону, приходится к прежним кускам проволоки прибавлять новые. Этот эксперимент и другие, подобные ему могут быть повторены в мыслях, причем мысленный эксперимент все же остается только копией физического. Мысленный эксперимент был бы невозможен, если бы физический опыт не привел раньше к знанию пространственно неизменяемых физических тел [28], к понятию меры. Через такие опыты пришли к познанию того, что из шести измеримых величин в треугольнике (3 сторон и 3 углов) три и среди них, по меньшей мере, одна сторона достаточны для определения треугольника. Если среди этих трех определяющих величин находится только один угол, то для однозначного определения треугольника необходимо, чтобы то был угол, заключенный между данными сторонами или лежащий против большей стороны. Если познана определимость треугольника тремя сторонами и то, что форма его не зависит от его положения, то три угла в равносторонних треугольниках и два угла, лежащие против равных сторон в равнобедренном, могут быть только равны, какова бы ни была взаимная зависимость углов и сторон. Это логически неоспоримо. При всем том опытная основа здесь столь же мало излишня, как в аналогичных случаях физики.
32. Род зависимости сторон и углов сначала познается, конечно, в случаях специальных. При вычислении поверхностей прямоугольников, как и треугольников, полученных из первых разрезом по диагонали, должно было броситься в глаза, что из прямоугольника со сторонами 3, 4 получается прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5. Прямоугольность оказалась связанной с определенным рациональным отношением сторон. Этим опытом пользовались для того, чтобы соединенными тремя шнурами длиной в 3, 4, 5 получать прямые углы [29]. Было обращено внимание на уравнение 32 + 42 = 52, которое вполне аналогичным образом оказалось правильным для всех прямоугольных треугольников с длинами сторон а, b, с (а2 + b2 = с2).
28 Все построение геометрии у Евклида ясно обнаруживает уже эту основу. Еще яснее она обнаруживается в упомянутой уже выше характеристике Лейбница. Мы вернемся еще к этому.
29 М. Cantor, Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1880, I, стр. 55, 56.
Общеизвестно, как глубоко это отношение проникает в геометрию мер, как все косвенные измерения расстояний могут быть к нему сведены.
358
33. Попробуем теперь исследовать основу этого отношения. Здесь прежде всего следует заметить, что ни в греческих геометрических, ни в индийских арифметических выводах так называемой теоремы Пифагора нельзя обойтись без рассмотрения поверхностей. Существенный пункт, который лежит в основе всех выводов и лишь в разной форме более или менее ясно выступает во всех их, заключается в следующем. Принимают, что если треугольник аbс переместить немного в его плоскости (фиг. 17), то покидаемые им элементы поверхности замещаются, компенсируются новыми, равняются им. Таким образом поверхность, описанная перемещением двух сторон, равна поверхности, описанной перемещением третьей стороны. В основе этого воззрения лежит допущение сохранения поверхности треугольника. Если рассматривать поверхность как тело очень малой и везде равной толщины, третьего измерения, которое по этому самому не имеет значения в нашем рассуждении, то здесь вновь выступает сохранение объема тела как основное предположение. То же рассуждение можно применить к перемещению тетраэдра, что не приводит к новым точкам зрения. Сохранение объема есть общее свойство твердых и жидких тел и, идеализированное старой физикой, называется непроницаемостью. В случае тел твердых присоединяется еще сохранение всех расстояний их частей. Жидкие тела имеют свойства твердых тел только в мельчайших элементах пространства и времени.
34. Если косоугольный треугольник со сторонами а, b, с перемещать в направлении стороны b, то, согласно вышесказанному, аи с описывают лишь параллелограммы равной поверхности. Если а и Ь образуют прямой угол и треугольник перемещается перпендикулярно к с на кусок с, то сторона с описывает квадрат с2, а другие две стороны описывают параллелограммы, сумма поверхностей которых равна поверхности квадрата. Поверхности отдельных параллелограммов соответствуют, согласно предшествующему наблюдению, а2 и b2, чем уже дана теорема Пифагора. Можно также (фиг. 18) перемещать треугольник сначала перпендикулярно к а, на кусок а, потом перпендикулярно к b на кусок b и потом найти, что а2 + b2 равно сумме поверхностей описанных с, которая, очевидно, есть с2. Последняя процедура дает в случае косоугольного треугольника столь же легко и наглядно более общее положение:
359
35. Таким образом зависимость третьей стороны треугольника от двух других его сторон определяется поверхностью описанного треугольника и, следовательно, в нашем смысле условием объема. Нетрудно также видеть, что соответствующие уравнения выражают отношения поверхностей. Правда, можно также считать, что третья сторона треугольника определяется углом, заключенным между двумя остальными сторонами, и таким образом придать уравнениям, по-видимому, совсем другую форму. Но присмотримся ближе к этим различным мерам! Если две прямые, длиной а, b, сходятся концами в одной точке, то длина прямой с, соединяющей их свободные концы, заключена в определенных пределах: с ≤ а + b и с ≥ а – b. Этому учит, правда, не воззрение, но основанный на физическом опыте и воспроизводящий его мысленный эксперимент. В этом можно убедиться, например, удерживая а и вращая b один раз так, чтоб она стала продолжением а, а второй раз так, чтоб она совпала с а. Прямая есть прежде всего своеобразное, физиологическими качествами охарактеризованное воззрение, получаемое нами от такого физического тела особых свойств, которое в форме нити или проволоки произвольно малой, но постоянной толщины занимает между местами своих конечных пунктов минимум объема, что может быть только однозначно определенным, единственным в своем роде способом. Если через точку проходит несколько прямых, мы различаем их физиологически по направлениям. Но в пространстве абстрактном, полученном метрически-физическим опытом, нет никакого различия направлений. В этом пространст-
360
ве прямая, проходящая через точку, может быть совершенно определена лишь тем, что дается вторая ее физическая точка. Мы определяем по физиологическим моментам, когда мы обозначаем прямую как линию постоянного направления, угол — как отклонение направлений, параллельные прямые — как прямые одинакового направления.
36. Для того чтобы углы, данные нам в воззрении, охарактеризовать, определить геометрически, мы обладаем различными средствами. Если для двух определенных, но в прочем произвольно выбранных точек, из которых одна лежит на одной стороне угла, а другая — на другой (обе вне точки пересечения), дано расстояние, то угол определен. С целью ввести в определение однообразие, можно выбрать расстояния этих точек от вершины раз навсегда определенной и равной величины. Этот способ определения не приобрел однако права гражданства в элементах [30], вследствие того неудобства, что при таком измерении двойному, тройному и т. д. углу, лежащему в той же плоскости и имеющему общую вершину, не соответствует двойного, тройного и т. д. расстояния между указанными точками. Более простую меру, более простую характеристику угла можно получить через счет частями круговой дуги или поверхностью круга, которую вырезывает угол, лежащий в плоскости круга с вершиной в центре. Эта характеристика более удобная [31]. Когда мы пользуемся дугой круга для определения угла, мы собственно измеряем опять-таки объем тела особо простой формы, помещенного между двумя точками на сторонах угла на равном расстоянии от вершины. Но круг может быть охарактеризован и одними (прямыми) расстояниями. То, что в качестве основных мер употребляются главным образом две меры, (прямая) мера длины и мера угла, и что из них выводятся все остальные меры, есть только дело большей наглядности, непосредственности и вытекающих отсюда привычки и удобства. Но это вовсе не необходимо. Так, например, можно прямую, пересекающую другую прямую под прямым углом, определить без особой меры угла сказав, что все ее точки лежат на равных расстояниях от двух точек первой прямой, равно отстоящих от точки пересечения прямых (фиг. 19). Подобным же образом может быть определена линия, делящая угол пополам, и через ряд таких последовательных делений угла — может быть выведена произвольно малая угловая единица. Прямою, параллельною другой прямой, может быть названа
30 В тригонометрии нашел применение принцип измерения близкий к этому.
31 Так вырезанная поверхность шара служит мерой телесного угла.
361
такая линия, все точки которой могут быть через совместимые, кривые или прямые пути переведены в точки второй прямой или выведены из них [32]. Вполне возможно исходить и из одной (прямой) длины как основной меры. Допустим, что нам дана неподвижная физическая точка а. Пусть другая точка m находится на расстоянии от нее, равном rа. В таком случае последняя может лежать везде на поверхности шара, описанного около центра а радиусом rа. Если же известна еще вторая неподвижная точка с расстоянием rb от точки m, то треугольник abm установлен, определен. Но точка т может еще перемещаться по кругу, описанному вращением оси ab. Если сделать и точку т в каком-нибудь ее положении неподвижной, то все тело, которому принадлежат эти три точки а, b, т, будет установлено.
32 При таком определении сомнение в теореме параллельных линий Евклида явилось бы, вероятно, гораздо позже.
37. Итак, точка т пространственно определена, если даны, по меньшей мере, расстояния rа, rb, rс до трех неподвижных в пространстве точек а, b, с. Это определение однако еще не однозначно, так как пирамида с гранями ra, rb, rс, в вершине которой лежит точка т, может быть построена как на одной, так и на другой стороне плоскости abc. Если бы мы захотели определить эту сторону каким-нибудь знаком, то это было бы определением физиологическим, ибо геометрически нет никакой разницы между обеими сторонами плоскости. Чтобы точка т была однозначно определена, должно быть дано еще расстояние ее r'd до четвертой точки d, лежащей вне плоскости abc. Другая точка m' столь же вполне определяется четырьмя расстояниями r'a, r'b, r'c, r'd. Следовательно, расстояние точки m от точки m' тем самым тоже уже дано. То же самое мы будем иметь и для любых других точек при определении их четырьмя расстояниями. Между четырьмя точками мыслимо 
расстоянии, и столько же расстояний должно быть дано, чтобы определить форму комплекса точек. В случае 4 + z = n точек достаточно для определения 6 + 4z или 4n – 10 расстояний, между тем как имеется налицо большее число, именно 
расстоянии, так что определены лишние расстояния [33].
33 Интересную попытку обосновать Евклидову и не-Евклидову геометрию на одном понятии расстояния мы находим у De Tilly, Essai sur les principes fonda-mentaux de la geometrie et de la mYanique (Memoires de la societe des sciences physiques et naturelles de Bordeaux 1880).
38. Если исходить из трех точек и ввести условие, что все расстояния дальнейшим образом определяемых точек будут лежать по одну сторону плоскости этих трех точек, то для системы п точек, в смысле определения формы и величины ее, и положения относительно трех исходных точек достаточно 3п — 6 расстояний. Но если сторона плоскости не установлена заранее — что, как уже сказано, может быть сделано только в наглядно-физиологических, а не абстрактных метрических признаках, — то система точек может вместо предположенных получить форму и положение, симметричные первым, или может получиться комбинация той и другой. Вследствие нашей симметрической физиологической организации, симметрические геометрические фигуры легко кажутся нам одинаковыми, тогда как метрически и физически они совершенно различны. Винт с правым и винт с левым вращением, два тела, вращающихся в противоположные стороны и т. д., для нашего воззрения весьма сходны, но мы не можем на этом основании их считать геометрически или физически равнозначными. Принятие в расчет этого обстоятельства могло бы предупредить немало парадоксальных вопросов. Вспомним, к чему привели эти вопросы Канта. Созерцательные физиологические признаки определяются отношениями к нашему телу, к телесной системе особого устройства, но метрические признаки определяются отношениями к общему миру тел. Последние признаки могут быть получены только опытом совмещения, измерением.
39. Итак, мы видим, что каждое геометрическое определение в основе своей сводится к измерению объема, к счету тел. Измерение длины и измерение поверхности основано на сравнении объемов, очень тонких нитей, палок и листов постоянной толщины. Этому не противоречит тот факт, что из мер длины можно арифметически вывести меры поверхности, из мер длины или из мер длины и поверхности — меры тел. Это показывает только то, что разнородные измерения объемов зависят друг от друга. Отыскать эти зависимости есть основная задача геометрии, как задача арифметики состоит в определении зависимостей между операциями счета, между нашими упорядочивающими деятельностями.
363
40. Весьма вероятно, что быстрое развитие геометрии обусловлено опытом зрения. Но знание свойств световых лучей, которого мы достигли при современном развитии техники, не должно внушать мысли, будто опыт над световыми лучами есть существенная основа геометрии. Правда, лучи в воздухе, наполненном дымом или пылью, дают нам прекрасный наглядный образ прямых. Но метрические свойства прямых линий мы столь же мала можем заимствовать от светового луча, как и от представления прямой. Для этого безусловно необходим опыт над телесными объектами. Натягивание нитей, применяемое геометрами-практиками, есть прием, без сомнения, более древний, чем применение диоптра. Но раз мы уже познали телесную прямую, световой луч может явиться весьма наглядным и удобным средством приходить к новым воззрениям. Современную синтетическую геометрию вряд ли мог бы изобрести слепой. Древнейший же и сильнейший опыт, лежащий в основе геометрии, так же доступен слепому через осязание, как и зрячему. И тот и другой знает пространственное постоянство тел в их подвижности; оба при схватывании тел получают представление объема. Творец примитивной геометрии сначала инстинктивно, а потом намеренно и сознательно отвлекался от свойств тел, не имевших значения для его операций, не интересовавших его в данный момент. Так мало-помалу развились на основе данных опыта идеализированные понятия геометрии.
41. Итак, наше геометрическое познание обязано своим происхождением различным источникам. Множество пространственных форм физиологически нам знакомо через непосредственное воззрение, через зрение и осязание. С этими формами связан физический (метрический) опыт (сравнение пространственных ощущений, вызываемых различными телами при равных условиях), который опять-таки можно свести к связи ощущений наших чувств. Эти опыты различного порядка бывают большей частью так тесно между собою связаны, что только тщательный анализ может их разделить. Отсюда возникли столь расходящиеся взгляды относительно геометрии. То ее сводят к чистому воззрению, то к физическому опыту, в зависимости от того, какой момент оценивается слишком низко или оставляется без внимания. Но оба момента содействовали развитию геометрии и действуют еще и ныне, ибо, как уже было показано, геометрия вовсе не пользуется исключительно лишь метрическими понятиями.
364
42. Если спросить беспристрастного, добросовестного человека, как он представляет себе пространство, отнесенное, например, к системе координат Декарта, он ответил бы приблизительно следующее: «Я представляю себе систему твердых (определенной формы), прозрачных, проницаемых, соприкасающихся кубов, предельные поверхности которых оттенены слабыми зрительными или осязательными представлениями, одним словом, какие-то привидения кубов». Над этими-то телами-привидениями и сквозь них и движется действительное тело или тоже его привидение, сохраняя свое пространственное постоянство (в указанном выше смысле), когда мы занимаемся практической или теоретической геометрией или форономией. В знаменитом исследовании кривых поверхностей Гаусса, например, речь идет собственно о наложении бесконечно тонких, листообразных и, следовательно, сгибаемых тел друг на друга. Что опыты разного рода совокупно влияют на образование соответственных основных представлений, отрицать невозможно.
43. Как ни многообразен был специальный опыт, послуживший исходным пунктом для геометрии, он все же может быть сведен к минимуму фактов: существуют подвижные тела особого пространственного постоянства, твердые тела. Подвижность же их характеризуется следующим образом. Мы проводим из одной точки три прямые, не лежащие все три в одной плоскости, в остальном же совершенно произвольные. Перемещением по трем направлениям, параллельным этим прямым, возможно из каждой данной точки достичь любой другой. Таким образом три измерения, физиологически и метрически охарактеризованные как простейшие, достаточны для всех пространственных определений. Таковы основные факты.
44. Подобно всякому другому опыту, образующему основу экспериментальной науки, физически-метрический опыт идеализируется в наших понятиях. Влечет к этому потребность изобразить факты с помощью простых, прозрачных, логически легко усваиваемых понятий. Нет абсолютно твердого, пространственно вполне неизменяемого тела, как нет совершенной прямой линии, абсолютной плоскости, как нет совершенного газа, совершенной жидкости. Но мы охотнее и легче оперируем этими понятиями, чем другими, более точно соответствующими свойствам объектов, и затем принимаем в расчет отклонения. Теоретической гео-
365
метрии вообще нет надобности принимать во внимание эти отклонения, так как она предполагает объекты, вполне удовлетворяющие условиям теории, подобно теоретической физике. Но когда практической геометрии приходится заниматься объектами действительными, она вынуждена тоже, как и практическая физика, принимать во внимание отклонения от теоретических допущений. Однако геометрия имеет и некоторое преимущество перед физикой: всякое отклонение ее объектов от предпосылок теории, какое только познается, может быть тотчас устранено, между тем как физика по понятным причинам не может, например, создавать газов более совершенных, чем те, которые существуют в природе. Ибо в последнем случае дело идет не об одном произвольно создаваемом, пространственном свойстве, как в геометрии, а об отношении между давлением, объемом и температурой, существующем в природе и от нашей воли независимом.
45. Выбор понятий, правда, определяется фактами, но так как он покоится на самодеятельном воспроизведении этих фактов в мыслях, то нашему произволу предоставлен известный простор. Важность понятий оценивается в зависимости от размеров области их применения. Это обстоятельство выдвигает на передний план понятие о прямой и плоскости, ибо каждый геометрический объект может быть, по крайней мере, с достаточным приближением разложен на ограниченные элементы плоскостей и прямых линий. На какие свойства прямых линий, плоскостей и т. д. мы особенно обращаем внимание, остается делом произвольным, и это выражается в различии определений одного и того же понятия [34].
46. Нельзя сомневаться, что основные принципы геометрии заимствованы из физического опыта, ибо само пространственное созерцание, само пространственное ощущение не поддаются измерению, не допускают никакого метрического опыта. Но столь же несомненно и то, что, раз связь пространственного созерцания с простейшим метрическим опытом установлена, геометрические факты могут быть легко и точно воспроизводимы в представлениях, в мысленном эксперименте. Одно то обстоятельство, что непрерывному метрическому изменению тел соответствует непрерывное изменение пространственного ощущения, делает возможным установлять мысленным экспериментом, какие метрические элементы вообще зависят друг от друга. Если такие метрические элементы одинаково входят в различные построения разных положений, их метрические результаты рас-
34 Стоит сравнить, например, определение прямой у Евклида и у Архимеда.
366
сматриваются как равные. Примером может служить упомянутый выше случай равнобедренного и равностороннего треугольника. Преимущество геометрического мысленного эксперимента сравнительно с физическим заключается только в том, что первый может быть выполнен на основании более простых, более легких и почти бессознательно приобретенных опытов.
47. Пространственное воззрение и пространственное представление сами по себе имеют качественный, а не количественный, не метрический характер. Мы получаем в них сходства и различия протяжения, но не собственно величины. Представим себе, например, что по краю неподвижной монеты катится без трения в направлении часовой стрелки другая монета, равная первой по величине. Как бы живо мы ни представляли себе это движение, тщетна будет попытка вывести из одного этого представления угол вращения при полном обороте. Но если мы замечаем, что в начале движения радиусы а, а' (фиг. 20) образуют одну прямую, а после четверти оборота вокруг неподвижной монеты одну прямую составляют радиусы b, b', то сейчас же видим, что радиус а' направлен теперь вертикально вверх и, следовательно, сделал половину оборота. Таким образом мера вращения выводится из понятий метрических, фиксирующих идеализированный опыт, полученный на телесных объектах, но направление вращения устанавливается при этом созерцательным представлением. Метрические понятия определяют только, что равным дугам равных кругов соответствуют равные углы, что радиусы двух соприкасающихся кругов, проведенные через точку касания, образуют одну прямую линию и т. д.
367
48. Если я представляю себе треугольник с увеличивающимся углом, то вижу, что растет и противолежащая ему сторона. Отсюда получается впечатление, что эта зависимость вытекает а priori из представления. Однако представление воспроизводит здесь только факт опыта. Мера угла и мера стороны суть два физических понятия, приложимые к одному и тому же факту, но столь нам привычные, что кажутся только двумя различными признаками одного и того же фактического представления и потому необходимо между собой связанными. И однако без физического опыта мы никогда не получили бы этих понятий.
49. Взаимодействие созерцания и идеализированного опытного понятия обнаруживается при всех геометрических выводах. Рассмотрим, например, простую теорему, что три линии, перпендикулярные к серединам сторон треугольника ABC, пересекаются в одной точке. К этой теореме привели эксперимент и созерцание. Но чем тоньше исполнено построение, тем лучше мы убеждаемся, что третий перпендикуляр не проходит вполне точно через точку пересечения двух первых и что, следовательно, при действительном построении были бы всегда находимы лишь три близкие друг другу точки пересечения. Но, ведь, в действительности мы не проводим ни совершенных прямых, ни совершенных перпендикуляров, ни ведем их точно из середины сторон и т. д. Только при этих идеальных условиях перпендикуляр к середине линии AB заключает в себе все точки, равно удаленные от А и В, и перпендикуляр к середине линии ВС — все точки, равно удаленные от В и С; вследствие этого точка пересечения этих двух перпендикуляров находится на равном расстоянии от точек А, В, С и, находясь на равном расстоянии от А, С, лежит также на третьем перпендикуляре к середине линии АС. Таким образом наша теорема выражает только то, что чем точнее выполняются предпосылки, тем точнее совпадают три точки пересечения.
50. Эти примеры ясно, надеемся, показали, как важно взаимодействие созерцания и понятия. «Мысли без содержания пусты, наглядные представления без понятий слепы», говорит Кант [35]. Еще лучше, пожалуй, сказать так: «Понятия без наглядных представлений (созерцаний) слепы, наглядные представления без понятий бессильны». Ибо не вполне правильно называть созерцание слепым, а понятия пустыми. Если далее Кант [36] утверждает, что
35 Kritik der reinen Vernuft, 1787, стр. 75.
36 Metaphysische Anfangsgrunde der Naturwissenschaft. Vorwort.
368
в «каждом особом учении о природе заключается лишь столько настоящей науки, сколько в ней есть математики», то можно, пожалуй, и обо всех науках, не исключая математики, сказать, что «они суть науки только постольку, поскольку они оперируют понятиями». Ибо наша логическая власть распространяется только на понятия, содержание которых мы сами определили.
51. Факты твердости и подвижности тел достаточны, чтобы понять каждый геометрический факт, как бы он ни был сложен, т. е. чтобы вывести его из этих фактов. Но геометрии приходится, и в собственных своих интересах, и в качестве науки вспомогательной или при преследовании практических целей, отвечать на вопросы, часто повторяющейся формы. Было бы поэтому неэкономно каждый новый случай анализировать с самого начала, от самых элементарных фактов. Выгоднее из некоторых простых, привычных и несомненных положений — выбор которых не чужд произвола — вывести ответы на наиболее часто встречающиеся вопросы, в виде раз навсегда установленных теорем. С этой точки зрения становится сразу понятной форма геометрии, например значение, которое она придает своим теоремам о треугольниках и т. д. Для указанной цели желательно получить возможно более общие положения с самой широкой областью применения. История показывает, что такие положения были получены через соединение специальных познаний в познание более общее. И в настоящее время мы бываем еще вынуждены к такому процессу, когда дело идет о связи двух геометрических образов и когда специальные случаи формы и положения принуждают видоизменить выводы. Как один из наиболее известных примеров из элементарной геометрии достаточно указать вывод отношения, существующего между центральным и вписанным углом. Кроман [37] задался вопросом, каким образом происходит то, что мы доказательству на специальной форме (для особого треугольника) приписываем общеобязательное значение. Чтобы объяснить это, он принимает, что мы быстро изменяем в мыслях фигуру, заставляя ее принимать всевозможные формы, и таким образом убеждаемся в правильности вывода во всех частных случаях. История и самонаблюдение показывают, что эта мысль в существенном правильна. Но мы не должны принимать (как это делает Кроман), что всякий индивидуум, занимающийся геометрией, в каждом отдельном случае «с быстротой молнии» исполняет такой полный обзор и достигает такой ясности и силы убеждения в общем характере геометрических положений. Часто нужная операция невыполнима, а заблужде-
37 Kroman, Unsere Naturerkenntnis. Kopenhagen, 1883, стр. 74 и след.
369
ния показывают, что в других случаях она не была выполнена и человек удовольствовался предположением по аналогии [38]. Но то, чего индивидуум не делает или не может сделать в одно мгновение, он может сделать в течение всей своей жизни. Целые поколения работают над поверкой геометрии, и эта коллективная работа тоже усиливает убеждение в ее правильности [39]. Я знавал одного во многих отношениях превосходного учителя, который заставлял своих учеников производить все доказательства на неправильной фигуре, ибо полагал он, дело вообще не в фигуре, а лишь в логической связи понятий. Но фиксированные в понятиях данные опыта связаны с данными воззрения. И какие понятия применимы в том или другом случае, может научить нас только фигура, данная в воззрении или представлении. Метод этого учителя очень удобен для того, чтобы показать роль в познании логических операций. Но тот, кто постоянно применяет такой метод, наверное упускает из виду, что понятия черпают свою силу в чувственности.
38 Holder, Anschauung und Denken in der Geometrie. Leipzig, 1900, стр. 12.
39 Gerken, высказывающийся в своей программной статье «Die philosophischen Grundlagen der Mathematik» (Perleberg 1887, стр. 27) в том же духе, что и Кро-ман, ссылается при этом на Бенеке. Последний во многих местах своего сочинения «Logik als Kunstlehre des Denkens» подробно разбирает вопрос о математическом познании, как, например, в томе II на стр. 51 и след. На стр. 52—53 он говорит: «Прежде всего нет сомнения, что такое бесконечное сравнение действительно может быть совершено; в некоторых случаях это может быть даже непосредственно, наглядно показано. Возьмем приведенное выше геометрическое положение (о сумме углов в треугольнике). Если я вращаю в круге вершину треугольника, лежащую против продолженного основания его и при этом (вращая таким же образом вспомогательные линии и весь чертеж) наглядно показываю, что означенное соотношение существует во всех положениях треугольника и (что с этим непосредственно связано) при всех отношениях его величин, то спрашивается, сравнил ли я при этом конечное или бесконечное число случаев?» О сомнительной «быстроте молнии» у Бенеке нет однако и речи. — См. также несколько иные рассуждения на эту тему у С. Siegel, Versuch einer empiristischen Darstellung der raumlichen Grundgebilde u. s. w. (Vierteljarschr. f. wiss. Philosophie, 1900, в особенности стр. 203).
Мнение, что новое познание может быть раз навсегда приобретено в течение нескольких минут, при помощи удачно построенных силлогизмов, не подтверждается точно установленными фактами. Оно неверно ни по отношению к отдельному учащемуся или исследователю, ни по отношению к какому-нибудь народу или человечеству, ни в отношении к геометрии, ни в отношении к какой-либо другой науке. Напротив, история науки показывает, что новое, правильное познание, покоящееся на верных основах, может то больше, то меньше затемняться, может выступать в односторонней, неполной форме, для одной группы исследо-
370
вателей даже совершенно исчезнуть и потом снова возродиться. Однократного нахождения и провозглашения какого-нибудь познания бывает недостаточно. Часто проходят года и даже столетия, пока общее мышление разовьется настолько, чтобы оно могло стать общим достоянием и укрепиться. Этот факт особенно хорошо освещен в глубоких исследованиях Дюгемa [40] об истории статики.
40 Duhem, Les origines de la statique. Paris. 1905, в особенности Т. I, стр. 181 и след.
371
или из числа элементов угла падения а вывести число элементов угла падения β, 
то громоздкое средство таблиц может быть с большой пользой заменено или представлено уравнениями, формулами или законами. К этому преимуществу присоединяется еще другое: при помощи системы чисел можно без нового изобретения, без особой номенклатуры довести тонкость различения особых зависимых друг от друга условий до какой угодно степени. Когда перед нами зависимость количественная, то это — сплошной поддающийся обзору и наглядный ряд случаев, а когда перед нами качественная зависимость, то это всегда только известное число индивидуальных случаев, которые приходится рассматривать каждый в отдельности [4]. Вследствие этого существует естественное стремление ввести, где только это возможно, количественную точку зрения с ее простотой, однообразием и легкостью полного обзора. Возможно же это бывает тогда, когда для качественно неоднородных элементов удается найти количественно однородные, в полной мере их характеризующие признаки [5]. Если вместо того, чтобы различать качества тонов по слуху, мы будем характеризовать высоту их числом колебаний, мы можем сейчас же познать созвучие, как явление, связанное с простейшими рациональными отношениями чисел колебаний. Как разноцветные световые лучи преломляются в призме, приходится описывать подробно для луча каждого рода в отдельности. Но если мы характеризуем цветовое качество длиною волны (при известных условиях также шириной интерференционной полоски), сейчас же оказывается под рукой формула, при помощи которой из длины волны можно вывести показатель преломления. В естественных науках сказывается решительное стремление к замене, где только это возможно, качественных зависимостей количественными. 
, Knight пользовался центробежным ускорением, которое на наружном ободке колеса было равно ускорению силы тяжести, в 3 '/2 Раз больше и почти в 10 раз больше его. При одном и том же времени оборота отношение это меняется с удалением от оси. 
. Таким образом та же формула сохраняет свое значение, если увеличить п на одну единицу, а так как то же рассуждение может быть повторено сколько угодно раз, то наша формула имеет общее значение. 
, каковая сумма, как это доказывает метод Бернулли, верна и для n+1, а, следовательно, и для какого угодно n [15]. Общая схема этого доказательства такова: если f(n) изображает общий член ряда, a F(n) — найденную через индукцию формулу его суммы, то эта формула верна для каждого n, если F(n) + f(n+1) = F(n+1). 
.В формулах текста вместо dx поставлена 1. 
, чтобы я эти знаки, представляя их себе мною начертанными, признал за R [16]. В обоих первых случаях я представляю себе свою голову как бы прозрачной и себя стоящим в том же положении позади этой головы и выполняющим обычные пишущие движения. В последнем случае я себе представляю, что я сам пишу на коже живота и потом читаю написанное. Зрячему очень трудно вдуматься в пространственные представления слепого; но что и у слепого эти представления могут достичь высокой степени ясности, доказывают работы слепого геометра Саундерсо-на. Во всяком случае ориентирование осталось, по-видимому, для него делом трудным, что доказывает его таблица, простейшим образом разделенная на квадратные поля. В углах и центрах этих полей он обыкновенно натыкал булавки, головки которых он связывал нитками. Его рассуждения, в высшей степени оригинальные, должны были быть именно вследствие своей простоты особенно легко понятными для начинающих. Так, теорему, что объем пирамиды равен третьей части объема призмы с равным основанием и равной высотой, он доказал, разделив куб на шесть равных пирамид с основанием, равным стороне куба и вершинами в центре его [17]. 
например 
. Но при выборе определения расстояния или других понятий, аналогичных геометрическим, пришлось бы поступать весьма произвольно, если бы опыт о соответственном многообразии не учил нас, что известные метрические понятия имеют реальное значение и поэтому должны быть предпочитаемы. Так обстоит, например, дело в геометрическом пространстве с вытекающим из постоянства объема тел определением [10] элемента расстояния — ds2 = dx2 + dy2 + dz2, а в звуковых ощущениях — с упомянутым уже выше логарифмическим выражением. В большинстве случаев подобных искусственных построений отсутствуют такие опорные пункты, и все исследование оказывается поэтому бесплодным. Аналогия с пространством теряет вследствие этого в полноте, плодотворности и полезности. 
где ds обозначает элемент исследуемой поверхности, a dσ — элемент поверхности сферы, принятой за 1, предельные радиусы которого параллельны предельным нормалям элемента ds. Эта мера кривизны может также быть выражена в форме 
где р1; р2 обозначают главные радиусы кривизны исследуемой поверхности в данной точке. Особый интерес представляют поверхности, мера кривизны которых имеет во всех точках одно и то же значение, поверхности с постоянной мерой кривизны. Если представлять поверхности как бесконечно тонкие, нерастяжимые, но сгибаемые тела, то поверхности с равной мерой кривизны могут при сгибании быть наложены друг на друга; так, например, можно плоский лист бумаги обернуть вокруг цилиндра или конуса, но этот лист бумаги не может быть наложен на поверхность шара. При этой деформации и даже при любом сгибании измерительные отношения длин и углов фигур, начерченных в поверхно- 
причем k выбирается так, чтобы е было основанием натуральных логарифмов. Этим путем вводятся экспоненциальные и через них гиперболические функции. Для угла параллельности находим: 
Таким образом каждая из температур u1, u2, u3 стремится к среднему c/3, которого она достигает после бесконечно долгого времени. Если обозначим переменное отклонение от среднего для первого тела через v1 и начальную величину его через V1 мы получаем следующее уравнение: v1 = V1e-3kt.......................................................1), заменив же v1, соответственно через v2 и v3, получаем еще два подобных же уравнения. 
или только V1/v1. 
, суживается далее отношением к определённой паре однородных веществ, к определенной температуре, определенной плотности или известному давлению, к отсутствию внутри этих веществ разности магнитного и электрического потенциала. Когда мы относим какой-нибудь физический закон к определенному веществу, это означает, что закон должен оказать свое действие в среде, в которой еще могут быть доказаны известные реакции этого вещества. Эти дополнительные условия обыкно- 