1 Глава эта была напечатана в журнале «The Monist», Vol. XIV. Oktober 1903. Я делаю в ней попытку в качестве физика занять известное положение к так называемой метагеометрии. За подробными геометрическими доказательствами я должен отослать читателя к источникам. При всем том я надеюсь сохранить общепонятность изложения, так как привожу примеры, всякому знакомые и привычные. — Профессор F. Brentano сделал устные и письменные возражения против изложенных в этой главе взглядов; эти возражения весьма интересны, но теперь, будучи занят другими вопросами, я на них подробно останавливаться не могу.
1. Пространственное воззрение человека коренится в его физиологической организации. Геометрические понятия развиваются путем идеализации физического опыта пространства. Наконец, геометрическая система создается логическим упорядочением полученных понятий. Все три момента оставили ясные следы в современной геометрии. Таким образом теоретико-познавательные вопросы о пространстве и геометрии подлежат изучению физиолога и психолога, физика, математика, философа и логика и могут быть постепенно разрешены, лишь приняв во внимание все, весьма различные здесь, точки зрения.
Когда в ранней юности в нас пробуждается полное сознание, мы уже находим у себя представление окружающего нас, охватывающего наше тело пространства, в котором, частью изменяясь и частью сохраняя прежнюю величину и форму, двигаются различные тела. Как у нас явилось это представление, мы указать не можем. Только точный анализ целесообразно и планомерно устроенных экспериментов дает возможность догадаться, что этому содействовали прирожденные особенности нашего тела с одной стороны, и простой, грубый, физический опыт — с другой.
Кроме своего чувственного качества (красный, шероховатый, прохладный и т. д.) каждый зрительный или осязательный объект характеризуется еще своим качеством места, локальным качеством (направо, наверх, впереди и т. д.). Чувственное качество может оставаться тем же самым, когда локальные места непрерывно изменяются; это значит, что один и тот же чувственный объект может перемещаться в пространстве. Когда такого рода состояния часто вызываются физически-физиологическими обстоятельствами, то вместе с огромным многообразием случай-
372
ных чувственных качеств постоянно повторяются одни и те же ряды локальных качеств, так что эти последние скоро образуют некоторую постоянную, сохраняющуюся схему или шкалу, в которой и располагаются упомянутые выше чувственные качества. Таким образом хотя чувственные качества и локальные качества возбуждаются и могут выступать только вместе, тем не менее легко возникает впечатление, будто система привычных локальных качеств дана до чувственных качеств.
2. Протяженные зрительные и осязательные объекты состоят из более или менее различимых чувственных качеств, которые связаны с соседними различными локальными качествами, образующими непрерывный ряд ступеней. Когда такие объекты перемещаются, и именно в области наших рук, мы воспринимаем сжатие или набухание (в целом или в его частях), или сохранение прежнего состояния, т. е. контрасты предельных локальных качеств изменяются или остаются постоянными. В последнем случае мы называем объекты твердыми. Через познание таких постоянств, несмотря на пространственные их перемещения, различные части нашего пространственного воззрения становятся сравнимыми, прежде всего в физиологическом смысле. Через сравнение различных тел между собой, через введение физической меры, эта сравнимость становится более точной, количественной и вместе с тем переходит границы индивидуума. Таким образом на место индивидуального, не передаваемого другим, пространственного воззрения становятся общеобязательные для всех людей понятия геометрии. Каждый человек имеет свое особое пространственное воззрение, но геометрическое пространство одно для всех. Мы должны строго различать между наглядным, воззрительным пространством и метрическим пространством, содержащим физический опыт.
3. Потребность в глубоком гносеологическом выяснении основ геометрии заставила Романа [2] в середине прошлого столетия поставить вопрос о природе пространства. Еще до этого Гаусс, Лобачевский и оба Bolyai обратили внимание на эмпирически-гипотетическое значение известных основных допущений геометрии. Когда Риман рассматривает пространство как частный случай многократно протяженной «величины», он мыслит некоторый геометрический образ, который можно представлять себе наполняющим и все пространство, например координатную систему Декарта. Далее, Риман говорит, что положения геометрии нельзя вывести из общих понятий о величинах, но те свойства, которыми пространство отличается от других мыслимых величин
2 Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Gottingen, 1867.
373
трех измерений, могут быть заимствованы только из опыта... «Подобно всем фактам, и эти факты не необходимы, а только эмпирически достоверны; они — гипотезы». Как основные допущения во всякой отрасли естествознания, так и основные допущения геометрии, к которым привел опыт, представляют идеализации этого опыта. В своем естественнонаучном понимании геометрии Риман стоит на точке зрения своего учителя Гаусса. Гаусс высказал убеждение, «что мы не можем обосновать геометрию вполне a priori»... [3] «Мы должны смиренно признать, что, хотя число есть только продукт нашего ума, пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписывать закона a priori [4].
4. Каждый исследователь испытал, что познанию объекта, подлежащего исследованию, существенно помогает сравнение его с объектами родственными. Естественно, что и Риман ищет вещей, представляющих аналогию с пространством. Геометрическое пространство он рассматривает как непрерывное многообразие трех измерений, элементами которого надо считать определяемые тремя координатами точки. Он находит, «что места чувственных предметов и цвета суть, пожалуй, единственные понятия, определения которых образуют многообразие многих измерений». К этой аналогии другие ученые прибавили еще новые и развили их далее, но, по моему мнению, не всегда с успехом [5].
3 Brief von Gauss an Bessel, 27 Januar 1829.
4 Brief von Gauss an Bessel vom 9 April 1830. — Выражение «число есть продукт или творение ума» с тех пор неоднократно употреблялось математиками. Но беспристрастное психологическое наблюдение учит нас, что образованию понятия числа в такой же мере кладет начало опыт, как образованию геометрических понятий. По меньшей мере прежде чем возникнет понятие о числе, должен уже существовать опыт, что в известном смысле равноценные объекты существуют множественно и неизменно. И числовой эксперимент играет выдающуюся роль в развитии арифметики.
5 Если устанавливать аналогию между высотой, интенсивностью и тембром звука, между цветом, насыщенностью и силой света с одной стороны, и тремя измерениями пространства — с другой, то такие аналогии удовлетворят немногих. Тембр звука, как и цвет, зависит от многих переменных. Поэтому, если эта аналогия имеет вообще какой-нибудь смысл, то тембру и цвету должны соответствовать многие измерения. — Ср. Веппо Erdmann. Die Axiome der Geometrie. Leipzig, 1877.
374
5. Если сравним сначала пространственное ощущение с ощущением цвета, то мы видим, что непрерывным рядам: наверху — внизу, направо — налево, вблизи — далеко соответствуют три ряда ощущений цветов: черный — белый, красный — зеленый, желтый — синий. Система ощущаемых (созерцаемых) мест есть в такой же мере непрерывное многообразие трех измерений, как и система цветовых ощущений. Против этой аналогии возражали, что в первом случае три изменения (измерения) гомогенны (однородны) и могут заменять друг друга, между тем как во втором случае они гетерогенны и не могут заменять друг друга. Но это возражение оказывается неосновательным, если сравнивать пространственное ощущение с цветовым ощущением. Ибо психофизиологические ряды направо — налево и наверху — внизу столь же мало могут заменить друг друга, как ряды красный — зеленый и черный — белый. Только когда сравнивают геометрическое пространство с системой цветов, это возражение становится, по-видимому, основательным. Однако для полной аналогии между созерцаемым пространством и системой цветовых ощущений все же еще многого недостает. В то время, как близкие равные расстояния в пространстве непосредственно познаются нами как таковые, о различии между цветами мы ничего подобного сказать не можем и в последней области не хватает, следовательно, физиологической сравнимости ее частей. Хотя вполне возможно, приложив физический опыт, обозначить каждый цвет системы через три числа, подобно местам в геометрическом пространстве, и таким образом создать для цветов метрическую систему, подобную пространственной, однако все же трудно найти что-либо, что соответствовало бы расстояниям или объемам и имело бы для системы цветов аналогичное физическое значение.
6. Аналогии всегда заключают в себе нечто произвольное, так как распространяются на сходства, которые привлекли наше внимание. Однако вряд ли кто-нибудь станет отрицать аналогию между пространством и временем, и притом как при физиологическом, так и физическом их понимании. В обоих случаях пространство есть непрерывное многообразие трех измерений, а время — непрерывное однородное многообразие. Какой-нибудь физический процесс средней продолжительности, точно определенный известными обстоятельствами, является для нас теперь и во всякое другое время непосредственно равным по продолжительности. Физические процессы, когда-нибудь совпадающие по времени, совпадают по времени и во всякий другой момент. Существует, следовательно, совмещение во времени, как существует совмещение в пространстве. Существует, следовательно, постоянный физический объект времени, как и постоянный физический объект пространства (твердое тело). Существует не только пространственная, но и временная субстанциональность. Галилей пользовался еще физиологическими процессами — пульсом и дыханием — для оценки времени, как некогда пользовались руками и ногами для измерения пространства.
375
7. Есть также аналогия между пространственными ощущениями — многообразием трех измерений — и ощущениями тонов, составляющими многообразие одного измерения [6]. Сравнимость различных частей системы ощущений тонов дана в непосредственном ощущении музыкального интервала. Метрическая система, соответствующая геометрическому пространству, получается здесь всего проще, если характеризовать высоту тона логарифмом числа колебаний. Постоянному музыкальному интервалу здесь соответствует выражение:
где n', n обозначают числа колебаний, а τ', τ — продолжительность колебаний высшего и низшего тона. Разность логарифмов означает здесь длину, которая остается постоянной при перемещении вдоль линии тонов. Постоянный субстанциональный физический объект, который мы ощущаем как интервал, определен для нашего уха временно, между тем как аналогичный объект для чувства зрения и осязания определен пространственно. Мера пространства только потому нам кажется проще, что мы ту же самую длину, которая остается постоянной для пространственного чувства, выбрали и как основную меру в геометрии, между тем как к изменениям в области тонов мы приходим лишь окольным физическим путем.
6 На эту аналогию я обратил внимание в 1863 году при изучении органа слуха и с тех пор проследил ее далее. См. «Анализ ощущений» (изд. С. Скирмунта).
8. Теперь необходимо, помимо сходных черт, указать и на различия в многообразиях, между которыми мы провели аналогию. Рассматривая время и пространство как многообразия ощущений, мы находим, что объекты, движение которых обнаруживается изменением качеств времени и пространства, характеризуются вместе с тем и другими ощущаемыми качествами: цветами, осязательными свойствами, тонами и т. д. Если же проводить полную аналогию между зрительным пространством и, например, ощущениями тона, то получается следующая странная вещь: в первой области локальные качества должны выступить одни, без прочих соответствующих объектам ощутимых качеств, т. е. так, как будто возможно было видеть какое-нибудь место или определенное движение, не видя объекта, занимающего это место или совершающего это движение. Так как однако локальные ка-
376
чества представляют собою ощущения органов, которые могут быть возбуждены только вместе с чувственными качествами [7], то упомянутая аналогия не является особенно заманчивой. Для математика, оперирующего многообразиями, не представляет существенной разницы, движется ли объект определенного цвета непрерывно в оптическом пространстве или какой-нибудь предмет, занимающий определенное место, непрерывно изменяясь, проходит многообразный ряд цветов. Но для физиолога и психолога эти случаи весьма различны и не только по указанному выше, но и вследствие еще одного обстоятельства. Система локальных качеств нам весьма привычна, между тем как систему цветовых ощущений мы представляем себе только с трудом и искусственно на основании научных исследований. Цвет кажется нам вырванным членом многообразия, порядок которого для нас непривычен. 9. Многообразия, сравниваемые здесь с пространством, представляют, как, например, система цветов, тоже три измерения или меньшее их число. В самом пространстве мы находим поверхности — многообразия двух измерений — и линии — многообразия одного измерения, а математик на своем обобщающем языке может сюда причислить и точки, как многообразия нулевого измерения. Но не представляет никакого затруднения рассматривать аналитическую механику, как то и было сделано, как аналитическую геометрию четырех измерений (четвертое измерение — время). Вообще отнесенные к координатам уравнения аналитической геометрии легко внушают математику мысль распространить такого рода рассуждения на какое угодно большее число измерений. И физика могла бы рассматривать протяженную материальную непрерывность, каждой точке которой можно приписать определенную температуру, силу притяжения, магнитный и электрический потенциал и т. д., как часть, как вырезку многообразия многих измерений. Мы знаем из истории науки, что оперирование такими символическими образами никоим образом нельзя считать делом совершенно бесплодным. Символы, которые сначала не имели как будто никакого смысла, постепенно — так сказать, при мысленных экспериментах над ними — получили ясное и точное значение. Вспомним, например, отрицательные дробные и переменные показатели степени и подобные тому случаи, в которых именно этим путем были достигнуты важные и существенные расширения понятия, которые иначе были бы или совершенно не достигнуты или достигнуты гораздо позже. Вспомним так называемые мнимые ве-
7 См. стр. 332-333.
377
личины, которыми давно оперировали и достигали даже важных результатов, прежде чем были в состоянии придать им вполне определенный и даже наглядный смысл. Но символическое изображение имеет, правда, и известный недостаток, заключающийся в том, что слишком легко упустить совершенно из виду изображенный в символе объект и оперировать знаками, которым порой никакого объекта не соответствует [8].
10. Нетрудно подняться до Римановского представления непрерывного многообразия и измерений и удается даже части такого многообразия реализовать и сделать наглядными. Пусть а1, а2, а3, а4,.... аn+1 суть какие-нибудь элементы (ощущаемые качества, вещества и т. д.). Если представить себе эти элементы соединенными во всех возможных отношениях, то каждое отдельное такое соединение может быть представлено следующим выражением:
причем коэффициенты а удовлетворяют уравнению
Так как п коэффициентов а можно выбрать произвольно, то совокупность соединений из п + 1 элементов представляет непрерывное многообразие п измерений [9]. В качестве коорди-
8 Я должен сознаться, что, когда я был молодым студентом, меня возмущал каждый вывод при помощи символов, значение которых не было вполне ясно и наглядно. Но историческое изучение способно уничтожить склонность к мистике, легко развивающуюся в случае малосознательного применения таких методов: оно знакомит с эвристическим значением их и в то же время гносеологически выясняет, в чем именно заключается помощь, которую они оказывают. Символическое изображение какого-нибудь вычисления имеет для математика то же значение, какое имеет модель или наглядная рабочая гипотеза для физика. Символ, модель, гипотеза параллельны тому, что должно быть изображено. Но этот параллелизм может заходить далее или может быть проведен далее, чем это предполагалось первоначально при выборе этого средства. Так как то, что подлежит изображению, и средство изображения все же вещи различные, то мы в одном замечаем то, что оставалось бы в другом скрытым. На операцию а2/3 трудно напасть непосредственно. Но вычисление с такими символами приводит к тому, что этот символ получает понятный смысл. В течение многихдесятилетий оперировали, по примеру Эйлера, выражениями как cosx x + √-l • sin х и степенями с мнимыми показателями. Это продолжалось до тех пор, пока в стремлении к взаимному приспособлению мысли и символа не прорвалась, наконец, у Argand'a в 1806 году зревшая в течение столетия идея, что отношение можно рассматривать с точки зрения величины и направления, и тогда оказалось, что √-1 есть среднее пропорциональное направления между +1 и –1.
9 Если бы шесть основных цветовых ощущений были совершенно независимы друга от друга, то система цветовых ощущений представляла бы многообразие пяти измерений, но так как они образуют три пары противоположных цветов, то эта система соответствует многообразию трех измерений.
378
нат какой-нибудь точки, элемента этого многообразия можно рассматривать выражения формы 
например 
. Но при выборе определения расстояния или других понятий, аналогичных геометрическим, пришлось бы поступать весьма произвольно, если бы опыт о соответственном многообразии не учил нас, что известные метрические понятия имеют реальное значение и поэтому должны быть предпочитаемы. Так обстоит, например, дело в геометрическом пространстве с вытекающим из постоянства объема тел определением [10] элемента расстояния — ds2 = dx2 + dy2 + dz2, а в звуковых ощущениях — с упомянутым уже выше логарифмическим выражением. В большинстве случаев подобных искусственных построений отсутствуют такие опорные пункты, и все исследование оказывается поэтому бесплодным. Аналогия с пространством теряет вследствие этого в полноте, плодотворности и полезности.
11. Риман развил мысли Гаусса еще и в другом направлении, исходя из исследования последнего относительно кривых поверхностей. Меру кривизны данной поверхности в данной точке Гаусс [11] выразил через 
где ds обозначает элемент исследуемой поверхности, a dσ — элемент поверхности сферы, принятой за 1, предельные радиусы которого параллельны предельным нормалям элемента ds. Эта мера кривизны может также быть выражена в форме 
где р1; р2 обозначают главные радиусы кривизны исследуемой поверхности в данной точке. Особый интерес представляют поверхности, мера кривизны которых имеет во всех точках одно и то же значение, поверхности с постоянной мерой кривизны. Если представлять поверхности как бесконечно тонкие, нерастяжимые, но сгибаемые тела, то поверхности с равной мерой кривизны могут при сгибании быть наложены друг на друга; так, например, можно плоский лист бумаги обернуть вокруг цилиндра или конуса, но этот лист бумаги не может быть наложен на поверхность шара. При этой деформации и даже при любом сгибании измерительные отношения длин и углов фигур, начерченных в поверхно-
10 См. стр. 359.
11 Disquisitiones generates superficies curvas. 1827.
379
сти, остаются без изменения, если только при измерении не выходить из двух измерений поверхности. Мера кривизны поверхности вовсе не зависит от формы последней в третьем измерении пространства, а только от ее внутренних измерительных отношений. Отсюда Риман пришел к мысли распространить понятие меры кривизны на пространство трех и больше измерений. В соответствии с этим он допускает возможность конечных беспредельных пространств с постоянной положительной мерой кривизны, соответственно беспредельной, но конечной шаровой поверхности двух измерений, между тем как, по нашему обычному представлению, бесконечное пространство соответствует бесконечной плоскости с мерой кривизны равной нулю; наконец, третий род пространства соответствовал бы поверхностям с отрицательной мерой кривизны. Фигура, начерченная на поверхности некоторой постоянной кривизны, может быть перемещена без искажения только на этой поверхности; например, сферическая фигура может перемещаться только на этой сфере, и плоская фигура — только в плоскости. Нечто подобное должно, по мысли Римана, существовать и для телесных фигур, для твердых тел. Как это далее развил Гелъмголъц [12], последние могли бы свободно передвигаться только в пространствах с постоянной мерой кривизны. Как кратчайшие линии в плоскости бесконечны, на поверхности же шара имеют, как большие круги сферы, некоторую конечную длину и замкнуты (при продолжении возвращаешься к исходной точке), так Риман представляет себе конечным, но беспредельным то, что в трехмерном пространстве положительной кривизны аналогично прямой линии и плоскости. Но здесь встречается некоторое затруднение. Если бы существовало понятие меры кривизны для четырехмерного пространства, то переход к более специальному случаю трехмерного пространства был бы понятен. Но переход от специального к более общему случаю заключает в себе нечто произвольное, и вполне естественно, что различные исследователи пошли здесь различными путями [13] (Риман, Кrоnecker). Уже одно то обстоятельство, что для одномерного пространства — любой кривой линии — не существует меры кривизны в смысле ее внутренней меры и что эта мера кривизны является лишь в двумерном пространстве, возбуждает в нас во-
12 Uber die Tatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Gottinger Nachrich-ten, 1868, 3 Juni.
13 См. напр. Kronecker, Uber Systeme von Funktionen mehrerer Variablen. Ber. d. Berliner Akademie, 1869.
380
прос, имеет ли вообще то, что аналогично этому в трехмерном пространстве, какой-нибудь смысл, и в каких пределах? Не впадаем ли мы здесь в иллюзию, оперируя с символами, которым, может быть, вообще ничего действительного не соответствует, во всяком случае ничего наглядного, чем мы могли бы проверять и исправлять наши понятия?
Мы дошли теперь до высших и наиболее общих идей о пространстве и его отношениях к аналогичным многообразиям, которые возникли из взгляда Гаусса на эмпирическое обоснование геометрии. Но развитие этого взгляда имеет двухтысячелетнюю историю, основные факты которой нам удастся, может быть, лучше обозреть с высоты, на которой теперь стоим.
12. Наивные люди, приобретавшие с масштабом в руках первые геометрические познания, придерживались простейших телесных образов — прямой линии, плоскости, круга и т. д. — и исследовали связи измерений на формах, которые можно было рассматривать как комбинации этих простых образов. От них не мог ускользнуть тот факт, что подвижность тела ограничивается, если закрепить одну, затем две точки его, а при закреплении трех точек возможность перемещения совершенно исчезает. Наблюдая в отдельности вращение вокруг оси, вокруг двух точек или вращение в плоскости вокруг одной точки, как и перемещение при постоянном соприкосновении двух точек с прямой линией и третьей точки — с некоторой неподвижной плоскостью, проходящей через эту прямую, учились различать чистое вращение, чистое перемещение и движение, комбинированное из этих двух независимых движений. Первая геометрия, естественно, не была основана на чисто-метрических понятиях, а находилась под сильным воздействием физиологического момента, созерцания [14]. Этим объясняется появление двух различных основных мер: (прямой) длины и угла (круговой меры). Прямая понималась как твердое подвижное тело (масштаб), а угол — как вращение прямой около другой прямой (измеряемое описанной при этом дугой). Никто, конечно, не требовал особого доказательства равенства описанных этим вращением вертикальных углов. И другие теоремы об углах получались весьма просто. Если мы вращаем прямую b (фиг. 21) около точки пересечения ее с прямой до совпадения с этой последней, описывая угол α, и затем вращаем ту же линию около точки пересечения ее с прямой а до совпадения с этой последней, описывая угол β, то линия b от первоначального своего положения до конечного в а делает поворот на
14 См. стр. 338, 360.
381
угол u; отсюда внешний угол и = α + β, а так как u + γ= 2R, то и α + β + γ = 2R [15]. Если (фиг. 22) перемещать неподвижную систему пересекающихся в точке 1 прямых а, Ь, с в их плоскости до точки 2 так, чтобы прямая а не меняла своего положения, то при этом чистом перемещении ни один угол не меняется. Сумма внутренних углов возникающего при этом треугольника 1 2 3 очевидно равна 2R. То же рассуждение освещает и свойства параллельных линий. Какие-нибудь сомнения вроде тех, действительно ли эквивалентно последовательное вращение вокруг многих точек вращению вокруг одной точки, существует ли вообще чистое перемещение — сомнения, которые оказываются совершенно основательными, если вместо (Евклидовой) плоскости взять поверхность с кривизной, отличной от нуля, — не могли, конечно, возникнуть на этой ступени у наивного исследователя, открывшего эти отношения. Рассмотрение движений твердых тел, которого Евклид тщательно избегал и вводил только в скрытом виде в принципе совмещения, еще и в настоящее время является самым целесообразным средством при элементарном преподавании геометрии. Наилучший путь для усвоения учащимися знаний есть тот, которым эти знания были некогда добыты.
15 С. R. Kosack, Beitrage zu einer systematischen Entwicklung der Geometrie aus der Anschauung. Nordhausen, 1852. — Работу эту любезно доставил мне профессор F. Pietzkerv Нордгаузене. — Подобные же простые выводы можно найти у Bernhardz. Becker'a (Leitfaden fur den ersten geometrischen Unterricht in der Geometrie. Frankfurt a. M., 1874) и в другой работе того же автора: Uber die Methode des geometrischen Unterrichts. Frankfurt a. M. 1845. — Первую из этих работ я получил благодаря любезности М. Шустера в Ольденбурге.
382
13. Здоровое, наивное понимание исчезло и в обработке геометрии произошли существенные изменения, как только она стала предметом мышления ученых специалистов. Прежде всего оказалось необходимым для удобства собственного обзора привести знания в систему, отделить непосредственно познанное от выводимого и выведенного и ясно указать ход вывода. В целях преподавания были поставлены во главу простейшие знания, легче всего поддающиеся усвоению и не подлежащие, как казалось, сомнению и отрицанию, и на них обоснованы другие. Эти основные положения старались ограничить самым необходимым, как мы то видим в системе Евклида. При этом стремлении обосновать каждое знание на другом и только самое немногое предоставить непосредственному познанию, геометрия постепенно отрывалась от той эмпирической почвы, на которой она зародилась. Привыкли знание, полученное путем выводов, ценить выше знания, полученного из непосредственного воззрения, и, наконец, стали требовать доказательств для положений, в которых никто серьезно не сомневался. Так возникла — по преданию, в ограждение от нападок софистов — логически совершенная, законченная система Евклида. Но при этом искусственном нанизывании положений на произвольно выбранную нить вывода не только были намеренно скрыты пути исследования, но и остались неотмеченными многократные органические связи геометрических учений [16]. Система скорее способна была воспитывать боязливо бесплодных педантов, чем плодотворно и производительно работающих исследователей. Положение дела ничуть не улучшилось, когда схоластика, предпочитавшая рабски комментировать продукты чужого ума, приучила людей к весьма малой чувствительности относительно рациональности основных допущений, но зато к тем большему вниманию к логической форме вывода. От этого настроения более или менее страдает вся эпоха от Евклида вплоть до Гаусса.
16 Система Евклида подкупала своими логическими преимуществами, вследствие чего оставались незамеченными недостатки ее в иных отношениях. Великие исследователи вплоть до современной эпохи увлекались примером Евклида и в ущерб науке при изложении результатов своих исследований старались скрыть пути этих последних. Но науке не соответствуют искусственные приемы адвокатов. Научно изложение, в котором все мотивы мысли так изложены, что значение и правильность их могут быть всегда проверены. Учащегося не следует вводить в науку с полузакрытыми глазами. Вследствие этого среди философов и дидактиков Германии явилась здоровая реакция, исходившая главным образом от Гербарта, Шопенгауэра и Тренделенбурга. Это течение старалось ввести в преподавание большую наглядность, более генетический метод и логически более прозрачные выводы. См. современные сочинения: М. Pasch (Vorlesungen tiber neuere Geometrie. Leipzig, 1882), D. Gilbert (Grundlagen der Geometrie. Leipzig, 1899).
383
14. Среди положений, на которых Евклид построил свою систему, находится так называемое пятое требование (обозначенное так же, как 11 аксиома): «две прямые, пересеченные третьей таким образом, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону секущей, меньше двух прямых углов, при достаточном продолжении пересекаются на этой стороне». Евклиду легко удается доказать, что две прямые, образующие с третьей, секущей равные соответственные углы, не пересекаются, параллельны. Но обратное положение, что две параллельные образуют со всякой секущей равные соответственные углы, ему приходится уже обосновать на пятом требовании. Это обратное положение рав-нозначуще с положением, что через точку можно провести к прямой только одну параллельную ей. Так как с помощью этого обратного положения доказывается, что сумма углов треугольника равна 2R, и так как из этого последнего положения опять-таки вытекает первое, то этим ясно обнаруживается связь названных положений и выясняется фундаментальное значение пятого требования для геометрии Евклида.
15. Пересечение слабосходящихся прямых лежит за пределами построения и наблюдения. Понятно поэтому, что последователи Евклида, приученные им к строгости логических выводов, ввиду важности утверждения, заключающегося в пятом требовании, уже в античную эпоху старались доказать это утверждение или заменить его положением, непосредственно очевидным. От Евклида вплоть до Гаусса было предпринято множество бесплодных попыток вывести содержимое пятого требования из остальных допущений Евклида. Зрелище чрезвычайно возвышенное: движимые исключительно чистым стремлением к научному выяснению, люди на протяжении многих столетий занимаются отыскиванием источника познания, в правильности которого ни один теоретик и ни один практик на самом деле не сомневался серьезно вплоть до настоящего дня. С напряжением мы следим за этими настойчивыми проявлениями этической силы научного стремления и с радостью наблюдаем, как неудачи мало-помалу приводят исследователей к мысли, что только опыт есть истинная основа геометрии. Проследим это развитие на нескольких примерах.
16. К исследователям, имеющим большие заслуги в учении о параллельных линиях, принадлежат итальянец Saccheri и немецкий математик Lambert. Чтобы ясно показать способ, которым оба они приступают к этому вопросу, заметим предварительно, что существование прямоугольников и квадратов не может быть доказано без помощи пятого требования, хотя нам и кажется,
384
что мы постоянно наблюдаем их. Рассмотрим, например, два равные, равнобедренные и прямоугольные у А и D треугольника ABC к DBC (фиг. 23), сложенные гипотенузами ВС так, что образуют равносторонний четырехугольник ABCD. Для определения рода и величины обоих равных (прямых) углов у В и С недостаточно первых 37 теорем Евклида. Мера длины и мера угла по существу своему различны и их невозможно прямо сравнивать; поэтому первые теоремы относительно связи сторон и углов треугольника имеют только качественный характер; поэтому здесь безусловно необходима количественная теорема об углах, вроде, например, теоремы о сумме углов в треугольнике. Заметим еще, что можно дать аналогичные 27 теоремам планиметрии, столько же теорем для шаровой поверхности и поверхностей постоянной отрицательной кривизны и что тогда аналогичные построения углов у В и С дадут тупой угол для первой поверхности и острый — для второй.
17. Главная заслуга Saccheri [17] заключается в форме постановки у него проблемы. Если пятое требование содержится уже в остальных допущениях Евклида, то и без него должна существовать возможность доказать, что в четырехугольнике ABCD (фиг. 24) с прямыми углами в А и В и при условии АС = BD углы в С и D суть прямые. И напротив, допущение, что С и D суть углы тупые или острые, должно в этом случае привести к противоречиям. Saccheri таким образом старается выводить следствия из гипотез прямого, тупого или острого угла. Ему удается доказать, что каждая из этих гипотез правильна во всех случаях, если только она верна в одном случае. При помощи какого-нибудь одного треугольника, сумма углов которого равна, больше или меньше 2R, будет доказана в общем виде правильность гипотезы прямого, тупого или острого угла. Замечательно, что Saccheri указывает уже на физически-геометрические опыты, подтверждающие гипотезу прямого угла. Если прямая CD (фиг. 24) соединяет концы двух равных перпендикуляров AС и BD, возведенных на прямой АВ, и если перпендикуляр NM, опущенный из какой-нибудь
17 Euklides ab omni naevo vindicatus. Mediolani, 1733. Переведено в издании Engel und Stdckel, Die Theorie der Parallellinien. Leipzig, 1895.
385
точки N первой прямой на прямую АВ, равен СА и DB, то правильность гипотезы прямого угла доказана. Что линия, находящаяся на равном расстоянии от прямой линии, есть тоже прямая, Saccheri основательно не считает положением самоочевидным. Стоит вспомнить только, что круг, параллельный к большому кругу шара, не представляет кратчайшей линии на шар и обе стороны его не покрывают друг друга. Другие экспериментальные доказательства правильности гипотезы прямого угла таковы. Если доказано, что угол в полукруге (фиг. 25) есть прямой угол (α + β = R), то и 2α + 2β = 2R, а это и есть сумма углов в треугольнике ABC Если радиус нанесен в полукруге 3 раза и прямая, соединяющая первую и четвертую конечную точку, проходит через центр круга, то у точки С (фиг. 26) Зα = 2R и потому сумма углов в каждом из трех треугольников равна 2R. Существование треугольников неравной величины, но с равными углами (подобных треугольников) тоже можно доказать экспериментально. В самом деле, если углы у В и С (фиг. 27) дают β + δ + γ + ε = 4R, то и 4R равна сумма углов в четырехугольнике ВСВ'С. Еще Wallis [18] обосновал в 1663 году доказательство пятого требования на допущении существования подобных треугольников, а один современный геометр, Делъбёф, вывел всю геометрию Евклида из допущения сходства.
18 Engel und Stackel, 1. с, стр. 21 и след.
386
Гипотезу тупого угла, полагал Saccheri, опровергнуть нетрудно. Приступив же к опровержению гипотезы острого угла, он натолкнулся на затруднения и поиски за ожидаемыми противоречиями увлекли его к выводу ряда дальнейших следствий, с которым впоследствии встретились Лобачевский и Bolyai в их исследованиях. В конце концов он пришел к мысли, что последняя гипотеза должна быть отвергнута, как несовместимая с природой прямой линии, ибо она ведет к допущению различных прямых, совпадающих в бесконечности и, следовательно, имеющих там общий перпендикуляр. Saccheri оказал существенное содействие и в значительной мере подготовил позднейшую работу выяснения, но обнаружил еще некоторую зависимость от традиционных взглядов.
18. Работа Lambert'а от 1766 года [19] по методу своему родственна работе Saccheri, но в выводах он идет дальше и обнаруживает более свободный взгляд. Lambert исходит из рассмотрения четырехугольника с тремя прямыми углами и исследует последствия, которые получаются, если принять, что четвертый угол прямой, тупой или острый. Он находит, что подобие фигур не совместимо со вторым и третьим допущением. Случай тупого угла, с которым связана сумма углов треугольника, большая 2R, он находит осуществленным в геометрии сферической поверхности, в которой трудности параллельных линий совершенно отпадают. Это приводит его к догадке, что случай острого угла, с суммой углов треугольника, меньшей 2R, мог бы быть осуществлен на некоторой мнимой сфере. Разность между 2R и суммой углов треугольника в обоих случаях пропорциональна площади треугольника, что можно доказать соответствующим делением больших треугольников на меньшие, причем с уменьшением треугольников сумма углов его может быть сделана произвольно близкой к 2R. Этим Lambert значительно приближается к точке зрения современных геометров. Шар с мнимым радиусом r√-1
19 Ibid., стр. 152 и след.
387
не есть, правда, наглядный геометрический образ, но аналитически он есть поверхность с отрицательной постоянной мерой кривизны Гаусса. Случай этот еще раз показывает как экспериментирование символами может привести исследование на правильный путь в той стадии, когда других точек опоры еще совсем нет и когда следует ценить каждое средство, которое может оказаться полезным [20]. Думал же, по-видимому, и Гаусс о мнимой сфере, как то видно из его формулы для окружности круга (письмо к Шумахеру от 12 июля 1831 года). При всем том Lambert верит, что настолько приблизился к доказательству пятого требования, что недостающее легко дополнить.
19. Обратимся теперь к тому исследователю, взгляды которого знаменуют собой самый радикальный поворот в понимании геометрии. К сожалению, он сообщил их лишь в кратких устных или письменных замечаниях. «В геометрии Гаусс видел последовательно построенное здание лишь в том случае, если во главе этого здания ставится положение о параллельных линиях, принятое как аксиома. Но он пришел к убеждению, что положение это не может быть доказано, но что оно известно из опыта, например из углов треугольника: Брокен, Хохенхаген и Инзель-берг (вершины в Германии), что оно приблизительно верно. Если же не хотят принять названную аксиому, то отсюда следует другая, совершенно самостоятельная геометрия, которую он отчасти исследовал и назвал анти-евклидовой геометрией». Таковы были взгляды Гаусса, согласно сообщению Сарториуса фон Валыперсгаузена [21]. Примыкая к этим взглядам, О. Stolz в небольшой, но очень содержательной работе [22] предпринял попытку вывести основные положения Евклидовой геометрии, не оставляя области фактов, поддающихся наблюдению. Изложим наиболее важное из этой работы. Пусть нам дан один большой треугольник ABC (фиг. 28) с суммой углов, равной 2R. Опустив перпендикуляр AD на линию ВС, мы дополняем фигуру, прибавив к ней ВАЕ ≡ ABD и CAF ≡ ACD, и к фигуре BCFAE прибавляем совместимую с ней фигуру CBHA'G. Таким образом мы получаем один прямоугольник, ибо углы у Е, F, G, H прямые, а у А, С, А', В — равные 2R и, следовательно, крайние линии суть прямые и равны противолежащим линиям. Каждый прямоугольник может быть разделен на два совместимых прямоугольника
20 См. примечание на стр. 378.
21 Gauss zum Gedachtnis. Leipzig, 1856.
22 Daz letzte Axiom der Geometrie. Berichte des naturw.-medizin. Vereins zu Innsbruck, 1886, стр. 25-34.
388
перпендикуляром, восстановленным к середине одной его стороны, а, продолжая деление, можно получить перпендикуляр на каком угодно месте разделенной стороны. И то же самое можно сделать и со второй парой противоположных сторон. Таким образом можно из данного прямоугольника ABCD (фиг. 29) вырезать какой угодно меньший прямоугольник AMQP с каким угодно отношением сторон. Диагональ разделяет этот меньший прямоугольник на два совместимых прямоугольных треугольника, так что в каждом из них (независимо от отношения сторон) сумма углов равна 2R. Каждый косоугольный треугольник можно проведением высоты разложить на прямоугольные треугольники, из которых каждый может быть в свою очередь тем же способом разложен на прямоугольные треугольники с меньшей длиной сторон, и таким образом 2R оказывается равной сумме углов каждого треугольника, если только это оказывалось (до точности) верным для одного треугольника. С помощью таких, основанных на наблюдении, положений легко вывести, что противоположные стороны прямоугольника (или вообще так называемого параллелограмма) везде, на каком угодно продолжении, остаются на равном расстоянии друг от друга, т. е. не пересекаются. Эти линии имеют, следовательно, свойства параллельных линий Евклида, а потому и могут быть так названы и определены. В такой же мере следует из свойств треугольников и прямоугольников, что две прямые, пересеченные третьей прямой так, что сумма внутренних углов по одну сторону этой последней меньше 2R, по этой ее стороне и пересекаются, а по обеим сторонам от точки своего пересечения расходятся до бесконечности. Отсюда следует, что прямая бесконечна. Таким образом то, что в качестве аксиомы, в качестве исходного положения, было лишенным основания утверждением, может иметь смысл как вывод.
20. Таким образом геометрия есть применение математики к опыту относительно пространства. Подобно математической физике, она становится дедуктивной точной наукой только тем, что
389
объекты опыта изображает схематическими, идеализированными понятиями. Подобно тому как механика может утверждать постоянство масс или сводить взаимодействие тел к одним ускорениям лишь в пределах ошибок наблюдения, так и существование прямых, плоскостей, величины суммы углов треугольника и т. д. возможно утверждать лишь с тою же оговоркой. Но так же, как физика иногда оказывается вынужденной заменять свои идеальные допущения другими, обыкновенно более общими, например постоянное ускорение падающего тела — ускорением, зависящим от расстояния, постоянное количество теплоты — переменным и т. д., так должна делать это и геометрия под давлением фактов или в виде попытки ради научного выяснения [23]. После сказанного перед нами явятся в правильном свете попытки Лежандра, Лобачевского и обоих Bolyai, из которых младший находился, может быть, под косвенным влиянием Гаусса.
21. На попытках Schweickart'a и Taurinus'a, тоже современников Гаусса, мы останавливаться не будем. Работы Лобачевского были первыми, которые стали известны в широких кругах и оказали влияние (1829). Очень скоро вслед за этим обнародовал свою работу младший Bolyai (1833), который во всех существенных пунктах сходится с Лобачевским, отличаясь только формой выводов. Судя по актам, теперь легко и в обилии доступным, благодаря прекрасным изданиям Engel'a и Stackel'я [24] можно предположить, что и Лобачевский предпринял свои исследования в надежде, что отрицание аксиомы Евклида приведет к противоречиям. Но когда это ожидание не оправдалось, у него хватило интеллектуального мужества сделать отсюда все выводы. Лобачевский излагает свои выводы в синтетической форме. Но мы можем представить себе те общие аналитические рассуждения, которые, по всей вероятности, подготовили построение его геометрии. Возьмем точку вне прямой g (фиг. 30) и из нее опустим на эту прямую перпендикуляр р.
23 Разницу между геометрией и физикой Дюгем (La Theorie physique, стр. 290) считает основной и качественной, а я усматриваю здесь только разницу в степени.
24 F. Engel, N. I. Lobatschefskij, Zwei geometrische Abhandlungen. Leipzig, 1899.
390
В плоскости gp проведем через ту же точку прямую, образующую с перпендикуляром острый угол 5. Если теперь испытать допущение, что g и л не пересекаются, но что это пересечение произойдет при малейшем уменьшении угла s, то однородность пространства вынуждает к выводу, что и вторая прямая к с тем же углом s по другую сторону перпендикуляра имеет те же свойства. Все проведенные через ту же точку непересекающиеся прямые будут в таком случае лежать между л и к. Эти последние линии, составляющие пределы пересекающихся и непересекающихся линий, Лобачевский и называет параллельными. Во введении к своим «Новым началам геометрии» (1835) Лобачевский рассуждает вполне как натуралист. Никто, конечно, не может предположить, чтобы сколько-нибудь разумный человек допустил «угол параллельности» s значительно меньшим, чем прямой, у прямых линий, которые столь близко лежат друг к другу, что их пересечение делается очевидным уже при небольшом их продолжении. Хотя расчленяемые здесь отношения могут быть изображены лишь грубыми чертежами, но должно помнить, что в действительности, при данных размерах чертежа, отклонение s от прямого угла должно быть так мало, что для нашего глаза линии h и k совпадают до неразличимости. Продолжим теперь перпендикуляр р за точкой пересечения его с л и проведем через конечную его точку новую параллель l к h, которая, конечно, параллельна и к g. Новый угол параллельности s' < s, если только мы не желаем в отношении линий h иl опять вернуться к определениям Евклида. Продолжая далее перпендикуляр и проводя новые параллельные, мы находим, что угол параллельности будет все уменьшаться. Если, далее, отстоящие прямые сильнее сходятся, то, ради последовательности, должно принять, что при сближении линий, при уменьшении перпендикуляра, угол параллельности, наоборот, возрастает. Таким образом угол параллельности есть обратная функция перпендикуляра р и Лобачевский обозначает ее II (р). Пучок параллелей в одной плоскости изображен схематически на фигуре 31.
391
Все параллели асимптотически сближаются со стороны своего схождения. Равномерность пространства требует, чтобы каждая «полоса» между двумя параллелями была совместима со всякой другой, поскольку перемещение производится лишь в направлении длины их.
22. Представим себе, что круг беспредельно увеличивается; его радиусы должны перестать пересекаться, когда при нарастании лежащих между ними дуг схождение их будет соответствовать параллелизму. Круг переходит тогда в так называемую «предельную линию». Аналогично с этим шаровая поверхность при беспредельном увеличении превращается в поверхность, которую Лобачевский называет «предельной поверхностью». Отношение предельной линии к предельной поверхности таково же, как большого круга на шаре к шаровой поверхности. Геометрия шаровой поверхности независима от аксиомы параллельных линий. Так как можно доказать, что треугольники из предельных линий на предельной поверхности столь же мало нарушают правило о сумме углов, как конечные сферические треугольники на шаре бесконечного радиуса, то для этих предельных треугольников имеют силу правила геометрии Евклида. Чтобы найти точки предельной линии, берем пучок параллелей (в плоскости): аα, bβ, сγ, dδ, ... (фиг. 32) и к точке а на прямой аα определяем точки b, с, d... на остальных параллелях таким образом, что углы αab = βbа, αас = γса, αad = δda ... При однородности всего построения каждая из параллелей может быть рассматриваема, как «ось» предельной линии, которая, вращаясь около этой оси, описывает предельную поверхность. Таким же образом можно каждую из параллелей рассматривать как ось предельной поверхности. На том же основании все предельные линии и предельные поверхности совместимы. Пересечение каждой плоскости с предельной поверхностью есть круг, и только когда ось лежит в плоскости, мы получаем вместо круга предельную линию. В геометрии Евклида нет ни предельных линий, ни предельных поверхностей. Аналогами их являются в ней прямая линия и плоскость. Если нет предельной линии, то три произвольные точки, не лежащие на одной прямой, должны лежать на круге. На этом основании J. Bolyai мог заменить этим последним требованием аксиому Евклида.
392
23. Пусть (фиг. 32) аα, bβ, сγ... представляют систему параллелей и ае, а1,е1, а2, е2... систему предельных линий, из которых каждая система делит другую на равные части. Отношение двух предельных дуг между одними и теми же параллелями, например ad=u и a2d2=u ', зависит тогда исключительно от расстояния между ними, т. е. от аа2=х. Можно положить вообще, что 
причем k выбирается так, чтобы е было основанием натуральных логарифмов. Этим путем вводятся экспоненциальные и через них гиперболические функции. Для угла параллельности находим: 
Рассмотрим один пример, освещающий отношение геометрии Лобачевского к геометрии Евклида и сферической геометрии. Для прямолинейного треугольника Лобачевского со сторонами а, b, си противолежащими углами А, В, С мы имеем, если С есть прямой угол:
При этом sh означает гипербологический синус.
Если рассматривать содержащиеся в предыдущем отношении sin (xi) = i sh x или sh (xi) = i sin x между круговой и гиперболической функциями, то нетрудно видеть, что приведенная выше формула для треугольника Лобачевского переходит в формулу сферического треугольника sin a/k = sin c/k sin А, если в первой заменить к через ki и рассматривать к как'радиус шара, которому, правда, в обычных формулах дают значение единицы. Обратное превращение сферической формулы в формулу Лобачевского тем же путем ясно само собой. Для к, очень большого сравнительно с а и с, мы можем ограничиться первым
393
членом разложения sh или sin и в обоих случаях получаем a/k = c/k sin А или а = с sin А, т. е. формулу плоской геометрии Евклида, которую мы таким образом рассматриваем как предельный случай как геометрии Лобачевского, так и сферической геометрии для очень больших значений k или для k = ∞. Мы можем также сказать, что в бесконечно малом все три геометрии совпадают.
24. Итак, мы видим, что, допустив сходимость параллельных прямых, мы можем развить систему геометрии, свободную от внутренних противоречий. Правда, это допущение не подтверждается ни одним наблюдением доступных нам геометрических фактов и в такой мере противоречит нашему геометрическому инстинкту, что делает вполне понятным отношение старых исследователей, как Saccheri и Lambert. Наше представление, руководимое созерцанием и привычными евклидовскими понятиями, может только частями и постепенно приспособляться к требованиям геометрии Лобачевского. Мы должны при этом руководствоваться больше геометрическими понятиями, чем чувственными образами доступной нам небольшой пространственной области. Должно однако признать, что математические количественные понятия, при помощи которых мы самодеятельно изображаем факты геометрического опыта, не абсолютно соответствуют этим последним. Как и физические теории, геометрическая теория более проста и точна, чем то собственно может быть доказано опытом с его случайными уклонениями. Разные понятия могут в области, доступной наблюдению, одинаково точно выражать факты. Таким образом должно отличать факты от умственных образов, которые они возбудили. Последние, т. е. понятия, должны быть лишь согласимы с наблюдением и кроме того логически не противоречить друг другу. Эти два требования могут быть однако осуществлены многообразно, и отсюда различные системы геометрии.
25. Из работ Лобачевского видно, что они представляют результат долголетнего и напряженного умственного труда, и можно предполагать, что он сначала должен был общими рассуждениями и аналитическими вычислениями выработать себе общую картину своей системы, прежде чем был в состоянии изложить ее в синтетической форме. Привлекательной эту тяжеловесную Евклидовскую форму никак нельзя назвать и, может быть, именно этой форме главным образом надо приписать то, что значение работ Лобачевского и Bolyai так поздно получило всеобщее признание.
394
26. Лобачевский развил только следствия, вытекающие из видоизменения пятого требования Евклида. Если же отвергнуть положение Евклида, что «две прямые не ограничивают пространства», то приходят к некоторой противоположности геометрии Лобачевского [25]. В отношении поверхностей это есть сферическая геометрия. Вместо Евклидовских прямых линий мы имеем здесь большие круги сферы, которые все дважды пересекаются и каждая пара которых образует два сферических двуугольника. Здесь, следовательно, совсем нет параллелей. Возможность подобной геометрии в трехмерном пространстве (с положительной мерой кривизны) впервые указал Риман. Ее, по-видимому, не допускал Гаусс, может быть, из пристрастия к бесконечности пространства. Гельмгольц [26], который развивал далее именно в физическом смысле исследования Римана, напротив, в первой своей работе оставил без внимания пространство Лобачевского, т. е. пространство с отрицательной мерой кривизны (с мнимым параметром к). Действительно, рассмотрение этого случая ближе математику, чем физику. Гельмгольц обсуждает здесь только случай Евклида с мерой кривизны, равной нулю, и пространство Римана с положительной мерой кривизны.
27. Итак, факты пространственного наблюдения мы можем изображать со всей доступной нам точностью как при помощи геометрии Евклида, так и при помощи геометрии Лобачевского и Римана, если только в двух последних случаях примем параметр к достаточно большим. До сих пор физики не имели оснований отказаться от допущения геометрии Евклида, т.е. к = ∞. По оказавшейся целесообразной привычке они придерживаются простейших предположений до тех пор, пока факты не принудят их к усложнению или видоизменению этих предположений. Это соответствует и точке зрения всех выдающихся математиков в отношении прикладной геометрии. Поскольку однако взгляды натуралистов и математиков в этих вопросах различны, объясняется это тем, что для первых физически данное имеет величайшую важность, геометрия же есть только привычное средство для его исследования, между тем как для последних именно эти вопросы представляют величайший специальный и в особенности гносеологический интерес. Но раз математик попытался изменить ближайшие и простейшие предположения, которые внушал ему геометрический опыт, и раз эта попытка увенчалась
25 См. работу De Tilly, цитированную на стр. 363.
26 Uber die tatsachlichen Grundlagen der Geometrie, 1866. Wissenschaftliche Abhandlungen. II, стр. 610 и след.
395
для него расширением понимания, то, конечно, такие попытки должны были развиваться и далее, в интересе уже чисто математическом. Были развиты системы геометрии, аналогичные привычной нам геометрии, но с точки зрения предположений еще более свободных, еще более общих, для любого числа измерений, не претендующие быть чем-либо, кроме научных экспериментов в мыслях, без притязаний на применение к чувственной действительности. Достаточно указать здесь на движение вперед математики в работах Клиффорда, Клейна, Ли и др. Весьма редко какой-нибудь мыслитель так уходил в свои теоретические построения и настолько отрывался от действительности, чтобы думать, что данное нам чувственное пространство имеет больше трех измерений, или изображать это пространство при помощи геометрии, значительно уклоняющейся от Евклидовской. Гауссу, Лобачевскому, J. Bolyai, Риману это было вполне ясно, и они во всяком случае не ответственны за те дикие мнения, которые были высказаны в этой области впоследствии.
28. Не во вкусе физика делать предположения относительно свойств геометрических образов в бесконечности, ему недоступной, и затем сравнивать эти последние с ближайшим опытом и к нему их приспособлять. Он предпочитает (как это сделал в своей работе Stolz) рассматривать, как источник своих понятий, непосредственно данное и значение этих понятий затем распространяет и на область недоступного ему бесконечного до тех пор, пока не увидит себя вынужденным их изменить. Но и он должен быть весьма благодарен за выяснение того факта, что существует несколько удовлетворяющих делу геометрий, что можно справиться с делом и при помощи конечного пространства и т. д., одним словом, за устранение традиционных ограничений мышления. Если бы мы жили на поверхности планеты с мутной, непрозрачной атмосферой и, обладая только наугольником и измерительной цепью, приступили бы к измерениям, исходя из предположения плоской поверхности, то нарастание нарушений правила относительно суммы углов в случае больших треугольников скоро заставило бы нас заменить нашу планиметрию сферометрией. Возможности аналогичных данных опыта в трехмерном пространстве физик в принципе не может исключить, хотя явления, вынуждающие к допущению геометрии Лобачевского или Рима-на, столь чудовищно противоположны всему, к чему мы до сих пор привыкли, что никто не считает наступления их вероятным.
396
29. Вопрос, представляет ли данный физический объект прямую линию или дугу круга, неправилен по форме своей постановки. Натянутая нить или световой луч не есть, конечно, ни то, ни другое. Вопрос может быть только о том, реагирует ли наш объект пространственно так, что он лучше соответствует одному, чем другому понятию и соответствует ли он вообще с достаточной и достижимой точностью одному из геометрических понятий. Если этого нет, то возникает вопрос, можем ли мы практически устранить или, по меньшей мере, мысленно определить и учесть отклонение от прямой или круга, т. е. можем ли мы исправить результат измерения. Но при практическом измерении мы всегда делаем только одно: сравниваем физические объекты. Если бы оказалось, что при прямом исследовании эти последние соответствуют геометрическим понятиям со всей возможной точностью, но косвенные результаты измерения больше отклоняются от теории, чем то допустимо в пределах возможных ошибок, то мы действительно были бы вынуждены изменить наши физически-метрические понятия. Физик однако будет прав, если он подождет наступления этого положения, между тем как перед математиком с его рассуждениями поле действий всегда свободно.
30. Понятия натуралиста о пространстве и времени суть наиболее простые понятия. Пространственные и временные объекты, соответствующие их требованиям, могут быть устроены с большой точностью. Почти каждое отклонение, которое еще может быть замечено, возможно устранить. Каждое построение в пространстве или времени можно мыслить осуществленным, не делая насилия над фактами. Прочие физические свойства тел настолько зависят друг от друга, что произвольные фикции находят здесь тесные рамки в фактах. Совершенного газа, совершенной жидкости, совершенно упругого тела не существует; физику известно, что его фикции соответствуют фактам только приблизительно, произвольно упрощая их; ему известны отклонения, которые не могут быть устранены. Шар, плоскость и т. д. можно мыслить сделанными с какой угодно точностью, не противореча никаким фактам. Если, поэтому, какой-нибудь физический факт требует видоизменения наших понятий, физик охотнее жертвует менее совершенными понятиями физики, чем более простыми, более совершенными и устойчивыми понятиями геометрии, составляющими самую твердую основу всех его построений.
31. Но, с другой стороны, физик может извлечь существенную пользу из работ геометров. Наша геометрия относится всегда к объектам чувственного опыта. Но если мы оперируем с абстрактными вещами, как то атомами и молекулами, которые по самой природе своей не могут быть даны нашим чувствам, мы не имеем более никакого права обязательно мыслить эти вещи в отношениях, в относительных положениях, соответствующих Евклидову трехмерному пространству нашего чувственного опыта. Это в особенности должен принимать во внимание тот, кто считает атомистические теории необходимыми [27].
27 Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды объяснить спектральные линии газов колебаниями друг относительно друга атомов, входящих в состав молекулы газа. Затруднения, на которые я натолкнулся при этом, навели меня в 1863 году на мысль, что нечувственные вещи не должны быть обязательно представляемы в нашем чувственном пространстве трех измерений. Таким путем я пришел к мысли об аналогах пространства различного числа измерений. Одновременно с этим изучение различных физиологических многообразий (см. стр. 375) привело меня к вопросам, затронутым в конце настоящей главы. Мысль о конечных пространствах, сходящихся параллельных линиях и т. д., которая могла возникнуть только при историческом изучении геометрии, была тогда далека от меня. Мои критики прекрасно сделали бы, мне кажется, если бы не оставляли без внимания оговорки, напечатанные курсивом. Подробности относительно этого см. в примечаниях к моей работе «Erhaltung der Arbeit». Prag, 1872.
397
32. Вернемся к происхождению геометрии из практической потребности. Познание пространственной субстанциональности, пространственного постоянства протяженной вещи, несмотря на ее движения, является для нас биологически необходимым, ибо существует некоторая связь между пространственным количеством и количеством удовлетворения потребности. Поскольку это знание не обеспечено достаточно самою нашею физиологическою организациею, мы употребляем наши руки и ноги для сравнения с протяженным объектом. Но пользуемся ли мы для сравнения нашими руками или искусственным масштабом, раз мы сравниваем тела между собой, мы уже вступили в область физики. Все физические определения относительны. Так и все геометрические определения имеют значение, относительное к масштабу. Понятие меры есть понятие отношения, которое ничего не говорит нам о самом масштабе. В геометрии мы только принимаем, что масштаб всегда и везде остается равным тому, чему он где-либо и когда-либо оказался равным. Относительно самого же масштаба здесь не высказано ничего. Этим на место пространственного физиологического равенства выступает совершенно иначе определяемое физическое равенство, которого также не следует смешивать с первым, как нельзя отождествлять показаний термометра с тепловыми ощущениями. Правда, практический геометр констатирует расширение нагретого масштаба масштабом, остающимся в постоянной температуре, и обращает внимание на то, что вследствие такого постороннего пространству физического обстоятельства указанное выше отношение равенства нарушается. Однако для чистой геометрии вся-
398
кое предположение относительно масштаба чуждо. Молчаливо, но без достаточного основания, сохраняется привычка, обусловленная только физиологически, считать масштаб постоянным. Было бы совершенно бесплодно и не имело бы никакого смысла, если бы мы приняли, что масштаб, а следовательно и тела вообще с перемещением в пространстве претерпевают изменения или остаются неизменными: ведь все это могло бы быть констатировано опять только при помощи нового масштаба. Из этих соображений обнаруживается относительность всех пространственных соотношений.
33. Если критерий пространственного равенства существенно изменяется уже введением мер, то с введением понятия числа в геометрию он претерпевает дальнейшее изменение, становится точнее. Этим обусловливается большая тонкость различений, какую простое понятие совмещения никогда не могло бы дать. Только применение арифметики к геометрии приводит к понятиям несоизмеримого, иррационального. Таким образом в наших геометрических понятиях имеются чуждые пространству примеси; они изображают пространственное с некоторой свободой и именно с произвольной большей точностью, чем то может быть достигнуто пространственным наблюдением. Неполный контакт между фактами и понятиями делает возможными разные геометрические системы (теории) [28]. То же самое можно сказать и относительно физики [29].
28 Мы не можем предполагать, чтобы материя осуществляла все атомистические фантазии физика. Столь же мало может удовлетворять пространство (как объект опыта) всем идеям математика, что однако не должно возбуждать сомнений в значении соответствующих исследований самих по себе.
29 См. примечание на стр. 390.
34. Все развитие, приведшее к перевороту в понимании геометрии, следует признать за здоровое и сильное движение. Подготовляемое столетиями, значительно усилившееся в наши дни, оно никоим образом не может считаться уже законченным. Напротив, следует ожидать, что движение это принесет еще богатейшие плоды — и именно в смысле теории познания — не только для математики и геометрии, но и для других наук. Будучи обязано, правда, мощным толчкам некоторых отдельных выдающихся людей, оно однако возникло не из индивидуальных, но общих потребностей. Это видно уже из одного разнообразия профессий людей, которые приняли участие в движении. Не только математики, но и философы, и дидактики внесли свою долю в эти исследования. И пути, проложенные различными исследователями, близко соприкасаются. Мысли, высказанные
399
Лейбницем [30], встречаются вновь в мало измененной форме у Фурье [31], Лобачевского, J. Bolyai, H. Erb'a [32]. Философ Ибервег [33], который в своей оппозиции против Канта примыкал по существу к психологу Бенеке [34], а своими геометрическими рассуждениями — к К Erb'y [в свою очередь называющему своим предшественником К. A. Erb'a [35] ], своими исследованиями в значительной мере расчистил почву для работ Гельмгольца.
30 См. стр. 354, 355.
31 Seances des Ecoles normales. Debats. T. I, 1800, стр. 28.
32 H. Erb, Grossherzoglich Badischer Finanzrat, Die Probleme der goraden Linie, des Winkels und der ebenen Flache. Heidelberg, 1846. Автор дал здесь то дополнение к элементарной геометрии, которого требовал Гаусс в одном письме к Бесселю. В том же направлении работал И. Шрам в своей статье «Leibnizens Definitionen der Ebene und der Geraden». Статья напечатана на правах рукописи в 1903 году в Оберштейге, в северном Тироле.
33 Die Prinzipien der Geometrie wissenschaftlich dargestellt. Archiv fur Philologie und Padagogik, 1851. Напечатано в книге Brasch'a, Welt- und Lebensunschauung F. Uberwegs. Leipzig, 1889, стр. 263-317.
34 Logik als Kunstlehre des Denkens. Berlin, 1842. II. Bd., стр. 51-55.
35 Zur Mathematik und Logik. Heidelberg, 1821. Сочинения этого мне не удалось достать. — Читателей, особенно интересующихся философией, отсылаем еще к работе С. Siegel'я, цитированной на стр. 370.
35. Результаты, к которым привели нас предыдущие рассуждения, можно сжато выразить так:
1) Опыт был признан источником наших геометрических понятий.
2) Была выяснена множественность понятий, удовлетворяющих одним и тем же геометрическим фактам.
3) Сравнением пространства с другими многообразиями были получены более общие понятия, для которых понятия геометрические составляют частный случай. Этим геометрическое мышление было освобождено из традиционных границ, считавшихся непереходимыми.
4) Указанием многообразий, родственных пространству, но от него отличных, были возбуждены совершенно новые вопросы: Что такое пространство физиологически, физически, геометрически? К чему сводятся его особые свойства, так как мыслимы и другие? Почему пространство трехмерно? и т. д.
36. Эти вопросы, решения которых невозможно ожидать ни сегодня, ни завтра, изображают перед нами всю глубину того, что подлежит еще исследованию. Не будем вовсе говорить о суждениях непризванных «беотийцев», появление которых предвидел Гаусс и которые настраивали его к такой сдержанности.
400
Но что нам сказать о той суровой придирчивой критике, которой подверглись мысли Гаусса, Романа и их товарищей со стороны людей, занимающих вьщающееся положение в науке? Неужели им на себе самих не пришлось никогда испытать того, что исследователь на крайних фаницах знания находит часто то, что не может быть гладко и немедленно усвоено каждым умом и что тем не менее далеко не бессмысленно? Конечно, и такие исследователи могут впадать в ошибки. Но и ошибки иных людей бывают нередко по своим последствиям плодотворнее, чем открытия других.