Переход к дробным броуновским фракталам знаменует собой один из важнейших поворотных пунктов настоящего эссе. До сих пор мы придерживались фракталов, связанных с временными и/или/ пространственными решетками, которые налагали определенные ограничения на свойства инвариантности фракталов, т.е. на допустимые преобразования сдвига и подобия, отображающие данный фрактал на себя.

Такие ограничения противоречат второму доводу в пользу рандомизации фракталов, изложенному в главе 22. Более того, в большинстве занимающих нас случаев они не имеют никакого физического смысла. И вот теперь, в главах 27 – 35, мы займемся, наконец, фракталами, инвариантности которых и при сдвиге, и при преобразовании подобия остаются ничем не ограниченными.

В этой главе мы рассмотрим обобщенное броуновское движение (обозначив его через BH (t)), которое в [404] называется дробным броуновским движением (сокращенно, ДБД). В качестве мотивации здесь выступит необходимость отыскания закономерности изменения объемов годового стока рек, а кроме того, упоминаются масштабно-инвариантные сети и шумы («1/f- шумы). Главы 28 – 30 посвящены исследованию соответствующих поверхностей.

 

КАК ВАЖНО БЫТЬ ГАУССОВЫМ

Первой чертой, объединяющей главы 27 – 30, является то, что все они занимаются исключительно гауссовыми процессами. Статистики полагают, что «гауссовость» непременно представляет собой нечто чрезвычайно особенное, однако я с некоторых пор не разделяю эту точку зрения. (см. мои замечания по этому поводу в главе 42.) Тем не менее, гауссовы процессы остаются своего рода эталонным тестом, и их следует изучить прежде, чем мы начнем двигаться дальше.

 

НЕРЕКУРСИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Еще одна присущая главам 27 – 30 особенность не встречается ни в каком другом месте настоящего эссе.

Конструкции (и случайные, и нет), описываемые в других главах, строятся рекурсивно, т.е. посредством добавления все более мелких деталей к менее детализированным формам, полученным на предыдущих этапах построения. Свойства получающегося при этом фрактала выводятся из правил построения.

Теперь же мы начинаем с объявления желательными тех или иных свойств и только затем находим такие правила построения, которые удовлетворяли бы нашим пожеланиям. Хотя искомые свойства легко формулируются и выглядят простыми, реализующие их правила, к сожалению, нерекурсивны и, более того, часто весьма неприятны.

Если все так плохо, то почему же мы продолжаем настаивать на этих свойствах? Потому что в их число входят такие свойства, как самоподобие и отсутствие складок (т.е. стационарность), составляющие самую суть науки вообще и теории фракталов, в частности.

Относительная ценность «аксиоматического» подхода, используемого в этой главе, видна особенно отчетливо, когда его результат сравнивается с фракталом, полученным рекурсивно. Представьте себе, например, что вы исследуете какой-то конкретный случай, требующий построения плоской фрактальной кривой, размерность D которой лежит где-то между 1 и 2, и не можете решить, какой метод для этого использовать: процесс срединного смещения из главы 26 или процесс, описываемый ниже. В первом неизбежны складки, тогда как второй лишен этого недостатка. А последовательность дискретных этапов, из-за которой рекурсивные построения представляются столь привлекательными, оборачивается в большинстве случаев возникновением слоев, не имеющих никакого смысла, а зачастую и вовсе нежелательных.

 

ЭФФЕКТ ИОСИФА И ЭФФЕКТ НОЯ

Прозвучавшее в первой главе утверждение о том, что негладкие природные структуры издавна привлекали внимание людей, как правило, очень трудно подтвердить документально. Однако в Библии имеются два совершенно очаровательных исключения из этого правила:

«…и отворились все источники земные, и отверзлись хляби небесные. И лил дождь на землю сорок дней и сорок ночей.» Бытие, 6: 11-12.

«… и были семь лет великого изобилия во всей земле египетской. И были после них семь лет голода.» Бытие, 41: 29-30.

В истории Ноя сложно не увидеть иносказательного повествования о неравномерности выпадения осадков на Ближнем Востоке, а в истории Иосифа – о том, что дождливые и засушливые годы имеют тенденцию группироваться по нескольку подряд. В курсе лекций «Новые формы случайностей в науке» (не опубликованном, но частично изложенном в [405] и [373]) я даже предложил для описываемых в этих историях явлений особые термины: эффект Ноя и Эффект Иосифа.

Как подтверждают данные из достоверных источников, библейские «семь и семь» лет представляют собой не что иное, как поэтическое упрощение реальности, а любая кажущаяся периодичность в записях об уровне воды в Ниле – не более чем иллюзия (хотя это уже не так очевидно). С другой стороны, твердо установленным фактом является то, что последовательные годовые данные по стоку и уровню паводка Нила и многих других рек демонстрируют чрезвычайно высокую степень персистентности.

Эта персистентность в равной степени является и предметом живого интереса со стороны самых разных ученых, и жизненно важным фактором для проектировщиков плотин. Однако в течение долгого времени она оставалась недоступной измерению, а следовательно, и анализу. Как всякая наука, делающая свои первые шаги в статистике, гидрология начала с допущения, что последовательные объемы стока любой реки представляют собой независимые, одинаково распределенные гауссовы переменные, или белый гауссов шум. Следующим шагом стало допущение существования между ними марковской зависимости. Обе модели, однако, ни в малейшей степени не соответствуют реальности. Прорыв произошел вместе с выходом моей работы [348], основанной на эмпирических результатах Херста [232, 233]. (Биографию Херста читайте в главе 40.)

 

ФЕНОМЕН ХЕРСТА. ПОКАЗАТЕЛЬ

H

Обозначим через X* (t) совокупный сток реки за первый период от начала нулевого года до конца t - го года. Согласуем его посредством вычитания выборочного среднего стока за период между нулевым и d - м годами и определим величину R(d) как разность между максимумом и минимумом согласованного стока X* (t) при 0

Если допустить, что объемы годовых стоков представляют собой белый гауссов шум, то коэффициент S теряет свою значимость, а совокупный сток X* (t), согласно известной теореме, приблизительно совпадает с броуновской функцией из прямой в прямую B(t). Следовательно, пропускная способность R(d) прямо пропорциональна среднеквадратическому объему стока X* (d), который, в свою очередь, прямо пропорционален √d. Отсюда получаем (см. [146]). Тот же результат верен и в том случае, если объемы годового стока зависимы, но зависимость эта марковская с конечной дисперсией, или в том случае, когда зависимость объемов стока принимает какую-либо из форм, описанных в элементарных учебниках по статистике или теории вероятности.

Однако, руководствуясь результатами наблюдений, Херст пришел к совершенно иному и абсолютно неожиданному выводу, который заключается в том, что , где H почти всегда больше ½. Объемы годового стока Нила (самые зависимые из всех) демонстрируют H=0,9. Для рек Св. Лаврентия, Колорадо и Луары показатель H находится где-то между 0,9 и ½. Рейн – река особенная, ее совершенно не волнует ни история Иосифа, ни феномен Херста, и она держит показатель H на уровне ½ с точностью до экспериментальной погрешности. Результаты всевозможных наблюдений можно найти в работе [407].

 

ШУМ ХЕРСТА – МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЙ ШУМ

Флуктуацию (или шум) X(t), для которой выполняется соотношение , я предлагаю называть шумом Херста. В [384] показано, что величина показателя должна удовлетворять неравенству 0≤H≤1.

В ответ на вызов Х. А. Томаса – младшего, усомнившегося в моей способности дать объяснение феномену Херста, я рискнул предположить, что дело здесь в масштабной инвариантности. Для того чтобы дать наглядное определение масштабно-инвариантного шума, вспомним о том, что любую естественную флуктуацию можно обработать таким образом, чтобы ее стало слышно – о чем, собственно, говорит и сам термин шум. Запишем ее на пленку и прослушаем через громкоговоритель, который точно воспроизводит диапазон частот, скажем, от 40 до 14 000 Гц. Затем прослушаем эту же пленку на большей или меньшей скорости. В общем случае можно ожидать, что характер звука существенно изменится. Скрипка, например, будет звучать совсем не так, как должна звучать скрипка. А если проиграть на достаточно большой скорости песню кита, то она станет слышимой для человеческого уха. Имеется, однако, некий особый класс звуков, которые ведут себя совсем иначе. Достаточно лишь подрегулировать громкость, и после изменения скорости движения пленки громкоговоритель воспроизведет звук, неотличимый на слух от исходного. Я предлагаю называть такие звуки или шумы масштабно-инвариантными.

Белый гауссов шум после вышеописанных трансформаций представляет собой все то же маловразумительное гудение, а следовательно, его можно считать масштабно-инвариантным. Однако для создания моделей можно приспособить и другие масштабно-инвариантные шумы.

 

ДРОБНАЯ ДЕЛЬТА-ДИСПЕРСИЯ

В главе 21 дельта-дисперсия случайной функции определяется как дисперсия приращения функции за приращение времени Δt. Дельта – дисперсия обыкновенной броуновской функции равна (см. главу 25). Как я отметил в [348], для объяснения соотношения Херста , где H может принимать любое значение, вполне достаточно, чтобы кумулятивный процесс X* был гауссовым процессом с обращающимся в нуль дельта - ожиданием и дельта – дисперсией, равной . Эти условия определяют некоторый уникальный масштабно-инвариантный случайный гауссов процесс. А поскольку показатель 2H представляет собой дробное число, этот уникальный процесс может с полным правом называться дробной броуновской функцией из прямой в прямую (приведенной). Подробности и иллюстрации можно найти в [404, 405, 406, 407, 408].

Переходя от функций из прямой в прямую к функциям BH (t) из прямой в плоскость, можно предложить в качестве необходимого дополнения следующее альтернативное определение: среди кривых с размерностью D=1/H, параметризованных по времени, след функции BH (t) является единственной кривой, приращения которой подчиняются гауссову распределению и стационарны относительно любого смещения (т.е. «лишены складок»), а также масштабно-инвариантны относительно любого значения коэффициента r>0.

Значение H=½ (или D=2) соответствует обыкновенному броуновскому движению, которое, как мы знаем, представляет собой процесс, не проявляющий персистентности (т.е. его приращения независимы). Остальные ДБД распадаются на два резко отличных друг от друга семейства. Значения показателя Херста ½

 

ДРОБНОЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

После того, как желательная дельта-дисперсия определена, остается реализовать ее на практике. Если мы начинали с броуновского движения, то теперь следует привнести в него персистентность. Стандартным методом для этого является интегрирование, однако оно вносит больше персистентности, чем нам необходимо. К счастью, существует способ получить при интегрировании лишь некоторую часть стандартного эффекта. При 0

Из школьного курса дифференциального исчисления мы помним, что если m - некоторое целое положительное число, то m - кратным дифференцированием функция x½ преобразуется в функцию x½−m , а m - кратным интегрированием - в функцию x½+m (не забываем, разумеется, об умножении каждый раз на соответствующую константу). Алгоритм Римана – Лиувилля – Вейля обобщает это преобразование на случай нецелого m, а дробное интегродифференцирование порядка 1/D−½, примененное к броуновскому движению, дает ДБД. Таким образом, обычная броуновская формула заменяется ее обобщенным вариантом , где 1/D≠½. Чего мы, собственно, и добивались.

Соответствующие формулы приведены в [404], а приближения (настоящие) описаны в [408] и [364].

Здесь имеется еще одна сложность – можно сказать, потенциальная ловушка. Алгоритм Римана – Лиувилля – Вейля включает в себя свертку, и, как следствие, может возникнуть искушение реализовать его через метод быстрого преобразования Фурье (БПФ). Поступив таким образом, мы получим периодическую функцию, т.е. функцию с исключенным систематическим трендом. При исследовании стандартных временных рядов исключение тренда не имеет практически никаких последствий, так как зависимость ограничена весьма кратким временным промежутком. В случае же ДБД исключение тренда последствия имеет (тем бóльшие, чем больше ), причем они могут оказаться очень и очень значительными. В развернутом контексте этот эффект можно проиллюстрировать сравнением различных горных пейзажей на рисунках, помещенных после следующей главы. Рис. 370 и 371, полученные с помощью БПФ, не демонстрируют никакого общего тренда и, как следствие, имитируют форму горных вершин, тогда как на рис. 374, полученном без каких бы там ни было упрощений, общий тренд ясно виден.

Поскольку БПФ чрезвычайно экономично, часто бывает удобнее использовать все-таки его, однако период следует брать значительно длиннее, чем ожидаемый размер выборки, а также не забывать учитывать потери, которые возрастают, по мере того как H→1.

 

H>½

: ДОЛГОВРЕМЕННАЯ (БЕСКОНЕЧНО ДОЛГАЯ) ПЕРСИСТЕНТНОСТЬ И НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ

Существенное свойство функции BH (t) в случае H>½ заключается в весьма особенном поведении персистентности ее приращений: она распространяется на бесконечно долгий срок. Следовательно, связь между ДБД и феноменом Херста подразумевает, что персистентность, наблюдаемая в гидрологической статистике, не ограничена короткими временными интервалами (такими, например, как срок службы фараоновых министров) и даже на тысячелетия. Степень персистентности измеряется параметром H.

Персистентность весьма ярко проявляет себя на графиках приращений функции BH (t) и в статистике объемов годового стока рек, каковую статистику и моделируют эти приращения. Почти все выборки выглядят как «случайные шумы» на некотором фоне, проходящие несколько циклов вне зависимости от длины выборки. Однако эти циклы не являются периодическими, т.е. их нельзя экстраполировать при увеличении длины выборки. Кроме того, в такой выборке можно часто наблюдать некий основополагающий тренд, который вовсе не обязательно продолжится в экстраполяции.

Эти наблюдения становятся еще интереснее, если учесть, что аналогичное поведение статистических выборок часто наблюдается в экономике: излюбленным занятием экономистов является разложение любого набора данных на тренд, несколько циклов и шум. Такое разложение призвано облегчить понимание основополагающих механизмов экономики, однако, как мы только что увидели на примере ДБД, и тренд, и циклы могут быть порождены шумом, который сам по себе ничего не значит.

Интерполяция. В том случае, когда обыкновенная броуновская функция B(t) известна в моменты времени t1 ,t2 ,... (не обязательно равностоящие), ожидаемые значения B(t) между этими моментами вычисляются с помощью линейной интерполяции. В частности, интерполяция на интервале зависит исключительно от значений BH в моменты tj и tj+1 . И напротив, во всех случаях H≠½ интерполяция функции BH (t) нелинейна и зависит от всех tm и от всех BH (tm ). При увеличении значения tm−tj влияние BH (tm ) уменьшается, но медленно. Таким образом, интерполяцию функции BH можно описать как глобальную. Случайные кривые срединного смещения, рассмотренные в главе 26, ведут себя совершенно иначе, поскольку их интерполяции линейны на определенных временных интервалах. В этом и заключается самая суть различия между двумя упомянутыми процессами.

 

РАЗМЕРНОСТЬ

D

ОБОБЩЕННОЙ БРОУНОВСКОЙ ФУНКЦИИ И ЕЕ НУЛЬ – МНОЖЕСТВА

Приращения персистентны, и график функции BH (t) менее иррегулярен, чем график обыкновенной броуновской функции B(t), причем во всех масштабах. Это выражается в размерности функции BH (t) (D=2−H). Размерность ее нуль – множества равна 1−H.

 

H>½

: ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ СЛЕДЫ

В случае двумерной векторнозначной функции BH (t) нас будут интересовать движения, направления которых стремятся персистентности во всех масштабах. Персистентность включает в себя достаточно сильное стремление (не подразумевающее, однако, обязательности) избежать самокасаний. А поскольку в настоящем Эссе мы желаем сохранить и самоподобие, допустим, что координатные функции XH (t) и YH (t) представляют собой дробные броуновские функции из прямой в прямую от времени, статистически независимые и характеризующиеся одним параметром H. Таким образом, мы получаем дробный броуновский след из прямой в плоскость (см. рис. 357).

Фрактальная размерность такого следа определяется как D=1/H; ее наименьшее значение D=1/1=1, каким оно, собственно, и должно быть у кривой, а наибольшее - D=1/(½)=2. Последнее значение предполагает, что след функции BH (t) заполняет плоскость менее «плотно», чем обыкновенный броуновский след. Для того чтобы подтвердить это предположение, рассмотрим по отдельности ограниченный и неограниченный следы.

Влияние параметра H на ограниченные следы носит чисто количественный характер. При H>½ (равно как и при H=½) ограниченный броуновский след представляет собой фрактальную сеть, пронизанную бесконечным количеством пустот. Исходя из сильных эвристических соображений, можно предположить, что площадь этих пустот удовлетворяет равенству .

Кроме того, я экспериментально исследовал границы ограниченных следов с различными D в поисках отклонения от значения 4/3, каковое значение, согласно пояснению к рис. 340, наблюдается в броуновском случае. Никакого сколько-нибудь явного отклонения я не обнаружил!

На неограниченные же следы параметр H оказывает качественное влияние. Если след начинается в точке O в момент времени 0, то известно, что ожидаемое количество его возвращений в малую окрестность точки O бесконечно для броуновской модели; однако при H>½ оно становится конечным. Причина заключается в том, что интеграл , полученный в предпоследнем разделе главы 25, при H=½ расходится, а при H>½ сходится. Когда в одном объеме укладывается некоторое конечное число фрактальных сетей, покрытие становится менее лакунарным, однако достичь таким образом плотного покрытия почти наверное невозможно. Количество уложенных в одном объеме решеток мало, если значение параметра H близко к 1, и устремляется к бесконечности при H=½.

Рис. 357 Дробные броуновские следы (размерности D~1,1111 и D~1,4285)

На рисунке слева представлен пример статистически самоподобной фрактальной кривой с размерностью D=1/0,9000~1,1111. Ее координатные функции – независимые дробные броуновские функции с показателем H=0,9000, которым и обусловлено возникновение на Ниле эффекта Иосифа. Того обстоятельства, что H близок к 1, оказывается недостаточно для предотвращения самопересечений, однако оно весьма осложняет им существование, побуждая «тренд» кривой к персистентности в любом направлении, какое он уже избрал. Представляя сложные кривые как наложения друг на друга больших, средних и малых сверток, можно сказать, что в случае высокой персистентности и близости размерности к единице малые свертки едва различимы.

Для рисунка справа мы воспользовались той же компьютерной программой, что и для рисунка слева, изменив лишь размерность D (теперь она равна D=1/0,7000~1,4285). Псевдослучайная затравка не изменилась, поэтому общая форма линии остается узнаваемой. Однако увеличение D приводит к росту относительной значимости малых сверток, а также – до некоторой степени – и средних. Становятся отчетливо видны ранее невидимые детали.

 

H<½

: АНТИПЕРСИСТЕНТНЫЕ ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

Дробные броуновские движения с 0

Формула D=1/H справедлива только при условии, что E>1/H. Если же E<1/H (особенно в случае плоскости, E=2), то фрактальная размерность достигает наибольшего возможного значения, D=E. Напомним, что наибольшим возможным значением размерности для броуновского следа является D=2, и этот максимум может быть реализован только в случае E≥2. Если втиснуть броуновский след в реальную прямую с размерностью E=1, то ему придется примириться с D=1. При H=⅓ след ДБД едва заполняет обыкновенное З – пространство.

В случае же плоскости (E=2) анализ размерностей показывает, что неограниченный след с H<½ почти наверное посещает любую заданную точку бесконечно часто. Таким образом, в противоположность функции B(t), которая не совсем отвечает ожиданиям, связанным с ее размерностью D=2, и заполняет плоскость плотно, но не полностью, броуновский след при любом превышении параметром 1/H значения 2 заполняет плоскость полностью. Для доказательства того, что след BH (t) почти наверное бесконечно часто возвращается к своей исходной точке, вспомним из главы 25, что размерность множества моментов возвращения равна 1−2H и, как следствие, при H<½ положительна. Это же рассуждение справедливо и для точек, отличных от O. Следовательно, пересечение неограниченного дробного броуновского следа при H<½ с единичным квадратом имеет единичную же площадь.

Ограниченный след представляет собой сеть с пустотами, однако площадь его положительна (привет из главы 15!).

 

«ХОРОШО МОТИВИРОВАННАЯ» ДРОБНАЯ БРОУНОВСКАЯ МОДЕЛЬ РЕЧНОГО СТОКА

Нужно заметить, что первоначальная мотивировка введения функции BH основана на личном опыте пишущего эти строки геометра, чьи математические и графические приемы, как правило, срабатывают. Я готов поспорить, что отсутствие серьезной мотивировки в модели, которая согласуется с явлением и должным образом работает, гораздо предпочтительнее, нежели недостаток согласованности в модели, которая выглядит хорошо мотивированной; однако ученым подавай и то, и другое. К сожалению, существующие «объяснения» несколько, на мой взгляд, надуманны и еще менее ясны, чем само объясняемое явление.

Для того чтобы понять, почему последовательные объемы годового стока рек являются независимыми величинами, следует начинать с учета объема воды, проходящей через естественные водоемы за сезон. Однако при естественном способе хранения ресурса мы получаем краткосрочное сглаживание статистики и можем рассчитывать, в лучшем случае, лишь на краткосрочную персистентность. С точки же зрения долговременности размерность графика совокупного стока остается, по существу (или «эффективно» - в том смысле, в каком это слово употреблено в главе 3), равной 3/2.

Двигаясь дальше, стоит ознакомиться с трудами многочисленных авторов, которые гораздо лучше меня подкованы в извлечении на свет целой иерархии процессов, каждый из которых имеет собственный масштаб. В простейшем случае вклады компонентов носят аддитивный характер. Первый компонент отвечает за естественные водоемы, второй учитывает микроклиматические изменения, третий – макроклиматические изменения и т.д.

К сожалению, бесконечный диапазон персистентности требует бесконечного количества компонентов, и в итоге Модель обзаводится бесконечным же количеством параметров. Необходимо еще объяснить, почему сумма различных вкладов масштабно-инвариантна.

На одном из этапов обсуждения функция (корреляция) записывается как бесконечная сумма экспоненциальных функций. Я уже не помню, сколько раз я пытался убедить окружающих в том, что показатель гиперболичность этой суммы ничуть не проще, чем объяснить гиперболичность исходной кривой, и сколько бесконечных часов потратил я на доказательство того, что все попытки высосать эту причину из пальца обладают лишь магической (но никак не научной) ценностью – по крайней мере до тех пор, пока остаются безрезультатными. Можете себе представить, каким облегчением оказалось для меня открытие, что я не одинок в своих трудах, - и самому Джеймсу Клерку Максвеллу приходилось в свое время заниматься чем-то подобным (см. раздел масштабная инвариантность: живучие панацеи из прошлого в главе 41).

Разумеется, практикующему инженеру-гидрологу ничего не стоит навязать любому процессу конечный внешний порог, величина которого будет сравнима со сроками выполнения самого затянутого инженерного проекта.

 

ДРУГИЕ МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ШУМЫ.

1/f

- ШУМЫ

Формальное определение. Шум X(t) следует называть масштабно-инвариантным, если либо сама функция X, либо ее интеграл или производная (повторные, если возникает такая необходимость) самоаффинны. То есть функция X(t)статистически тождественна своему преобразованию при сжатии времени, сопровождаемом соответствующим изменением интенсивности. Следовательно, должен существовать такой показатель α>0, что функция X(t) была бы статистически тождественна функции h−α X(ht) при любом h>0. В более общем виде (особенно для случая дискретного t) функцию X(t) следует называть асимптотически масштабно-инвариантной, если существует некая медленно изменяющаяся функция L(h) - такая, что функция h−α L−1 (h)X(ht) стремится к пределу при h→0.

Такое определение подразумевает необходимость проверки всех математических характеристик функций X(t) и h−α X(ht) . А это означает, что в эмпирической науке масштабную инвариантность никак нельзя доказать, и в большинстве случаев заключение о наличии этого свойства делается на основании одного – единственного критерия, который затрагивает только какой-нибудь один аспект тождественности – например, распределение длин пауз (глава 8) или отношение Херста R/S.

Наиболее широко распространенный критерий масштабной инвариантности основан на спектрах. Шум можно считать спектрально масштабно-инвариантным, если его измеренная спектральная плотность на частоте f имеет вид 1/fβ , где β - некоторый положительный показатель. В случае, когда величина β настолько близка к 1, что становится возможным заменить 1/fβ на 1/f, мы получаем так называемый «1/f - шум»

Многие масштабно-инвариантные шумы находят в своих областях весьма интересные применения, а объединяет все эти шумы то, что их можно встретить буквально повсюду.

 

В этой главе, главными героями являются абсолютно искусственные изображения, имитирующие карты и фотографии гор и островов, мы предполагаем показать, что с помощью должным образом подобранных фрактальных поверхностей, определяемых броуновской случайностью, можно очень легко моделировать в первом приближении любые горы (например, Альпы). Кроме того, мы наконец познакомимся с разумной моделью естественных структур, с которых начиналось настоящее эссе, но которые до сих пор не давались нам в руки, - я говорю о береговых линиях.

Отправной точкой послужит следующее утверждение: поверхности гор представляют собой масштабно-инвариантные фигуры. Нова ли эта идея? Конечно же, нет! Она, правда, не была должным образом сформулирована и научно исследована, однако во всех остальных отношениях ее можно считать почти банальностью и общим местом. Приведем еще один пример в придачу к цитате, открывающей главу 2. В книге Эдварда Вимпера «Альпийские восхождения 1860 – 1869 гг.» на с. 88 читаем следующее: «Достойно упоминания и то, что форма … обломков скал …. В этом, по всей видимости, нет ничего удивительного, если признать, что горы в своей массе более или менее однородны. И малые, и большие формы образуются под воздействием одних и тех же процессов – один и тот же холод и одна и та же вода формируют и массу, и ее части.»

Для того чтобы согласиться с целесообразностью подробного исследования явления, столь образно описываемого Вимпером, совсем необязательно воспринимать его слова буквально. В этой главе я предпринимаю попытку такого исследования в рамках наиболее удобной для меня математической среды – броуновских и дробных броуновских поверхностей.

Фраза «видеть – значит верить» была применима еще к моим первым попыткам моделирования броуновских гор. (см. рис. 377 и 377). По мере роста качества графики росло и качество веры. Однако, в конце концов расхождения между моделью и нашим непосредственным опытом стали слишком большими, что привело к созданию новой модели, которая будет описана в следующей главе.

 

БРОУНОВСКИЙ РЕЛЬЕФ НА ПЛОСКОЙ ЗЕМЛЕ [384]

В основе нашего подхода к построению рельефа лежит построение его вертикальных сечений. Как уже указывалось в главе 4 и в пояснении к рис. 338, одной из причин написания этого эссе стало предположение (высказанное в [342]) о том, что скалярное случайное блуждание может являться грубым первым приближением поперечного сечения горы. Итак, я пустился на поиски случайной поверхности, вертикальные сечения которой представляли бы собой броуновские функции из прямой в прямую. В инструментарий строителя статистических моделей такая поверхность не входит, однако тут, по счастью, мне на глаза попалась одна весьма подходящая, хотя и малоизвестная претендентка.

Речь идет о броуновской функции точки из плоскости в прямую (B(P)), определенной Полем Леви в [306]. Для того чтобы свести с ней близкое знакомство и получить возможность использовать ее в реальных моделях, не существует иного пути, нежели самое тщательное изучение уже готовой модели, изображенной на рис. 370. Это воображаемый броуновский ландшафт характеризуется фрактальной размерностью D=5/2 и, несомненно, является более пересеченным, чем бóльшая часть поверхности Земли.

Таким образом, перед нами грубая модель, которая так и напрашивается на возвращение на верстак для доработки. И все-таки она символизирует собой огромный – и прекрасный! – шаг вперед.

Предупреждение об опасности броуновских листов. Размножению различных вариантов броуновского движения не видно конца, и терминология здесь еще не совсем устоялась. Не следует путать упомянутую здесь броуновскую функцию из плоскости в прямую с броуновским листом. Последний представляет собой совершенно иной процесс, обращающийся в нуль вдоль координатных осей и строго изотропный. Подробности можно найти в книге [3], особенно интересны иллюстрации на с. 185 и 186.

 

БЕРЕГОВЫЕ ЛИНИИ БРОУНОВСКОГО РЕЛЬЕФА

Остановимся на минуту и оценим, насколько далеко мы уже продвинулись в изучении океанских береговых линий, определяемых в виде нуль – множеств (т.е. множеств точек, расположенных на уровне моря, включая и те, что принадлежат прибрежным островам). Броуновская береговая линия, изображенная на рис. 377, - первая встреченная мною кривая, которая а) лишена самопересечений, б) практически лишена самокасаний, в) имеет фрактальную размерность, явно большую 1, и г) изотропна. Более поздний вариант показан на рис. 373.

Точное значение размерности равно 3/2. Так как это значение больше, чем большинство размерностей Ричардсона (рис. 57), применимость броуновской береговой линии несколько ограничена. Она и в самом деле напоминает северное побережье Канады или Индонезии, а возможно, даже западное побережье Шотландии или берега Эгейского моря – в общем, применима ко многим примерам, но, конечно же, далеко не ко всем. Впрочем, имея в распоряжении данные Ричардсона, было бы неразумно ожидать, что какое-то одно значение D окажется универсальным.

 

ГЕНЕРАЦИЯ БРОУНОВСКОГО РЕЛЬЕФА [384]

Весьма печально, что для моделирования реальной поверхности оказывается недостаточно простых броуновского рельефа и береговых линий (размерность D=3/2) – их можно было бы легко объяснить. В самом деле, броуновская функция представляет собой превосходное приближение «пуассоновского» рельефа, который образуется путем наложения независимых прямолинейных разломов. Берется горизонтальное плато и разламывается вдоль прямой, выбранной случайным образом. Затем, также случайно, выбирается разница между уровнями высоты двух сторон получившегося утеса – например ±1 с равными вероятностями (гауссово распределение). После этого начинаем все сначала, причем за k - м этапом следует деление на √k (вследствие чего размер каждого отдельного утеса становится пренебрежимо мал по сравнению с общей суммой размеров остальных утесов).

Результат, получаемый при продлении описанной процедуры в бесконечность, представляет собой обобщение обыкновенного пуассоновского процесса во времени. Нет необходимости вдаваться в математические или физические детали, чтобы увидеть, что в этом рассуждении затрагивается, по меньшей мере, один аспект тектонической эволюции.

Так как механизм этот очень прост, было бы удобно считать, что когда-то очень давно, когда Земля пребывала в более «нормальном» состоянии, вся ее поверхность имела броуновский рельеф с размерностью D=5/2. Однако эту тему я предлагаю на время отложить – мы вернемся к ней чуть позже.

 

ГЛОБАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В БРОУНОВСКОМ РЕЛЬЕФЕ

Леви обнаружил, что броуновская функция из плоскости в прямую обладает одним весьма удивительным, на первый взгляд, свойством, которое имеет самые непосредственные практические последствия. В вольной формулировке это свойство выглядит следующим образом: различные части броуновского рельефа далеко не являются статистически независимыми. Таким образом, для того, чтобы вложить броуновскую функцию из прямой в прямую в броуновскую функцию их плоскости в прямую, необходимо отказаться от одного аспекта броуновской случайности, который до сих пор являлся ее самой значительной характерной особенностью – речь идет о независимости частей.

Рассмотрим две точки, расположенные, соответственно, к востоку и к западу от меридионального сечения рельефа. Рельеф вдоль меридиана представляет собой броуновскую функцию из прямой в прямую, следовательно, «наклон кривой» в каждой отдельной точке является независимой величиной. Кроме того, можно ожидать, что наш меридиан послужит чем-то вроде экрана – то есть знание рельефа в восточной точке никоим образом не повлияет на распределение рельефа в западной точке. Если бы это было так, то рельеф был бы марковским. В действительности же запад влияет-таки на восток – в том смысле, что порождающий процесс неизбежно привносит сильную глобальную зависимость.

Эта зависимость делает построение броуновской поверхности существенно более трудной задачей, нежели построение броуновской функции из прямой в прямую. Описанный в главе 25 процесс случайного срединного смещения, с помощью которого нам не удалось построить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую (что задокументировано в главах 26 и 27), непригоден также и для построения обыкновенной броуновской функции из плоскости в прямую. То есть нельзя сначала привязать эту функцию к некоторой грубой решетке, а затем вписать в каждую ячейку ее значения независимо от остальных ячеек. Невозможно также построить ее по слоям: сначала для x=0, затем для x=2ε (не принимая во внимание значения при x<ε) и т.д.

Вообще, любой алгоритм, который сулит простое пошаговое обобщение броуновской функции из прямой в прямую на «многомерное время», неизбежно дает, в конечном счете, функцию, систематически отличную от обещанной.

Как указывается в последнем разделе данной главы, в моделях, в создании которых я принимал участие, громоздкие теоретические определения были переформулированы таким образом, чтобы включать последовательные приближения с известными значениями погрешности. Однако я не могу поручиться за всех тех, кто присоединился к этой игре, вдохновившись моими предыдущими эссе.

 

БРОУНОВСКИЙ РЕЛЬЕФ НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ

Допустим теперь, что опорной поверхностью земного рельефа является сфера. К счастью, мой ментор предоставил в наше распоряжение и соответствующую броуновскую функцию BO (P) из сферы в прямую (см. [308]). Ее несложно описать, она забавна и даже обладает, возможно, некоторой значимостью. Однако мы скоро убедимся, что ее также нельзя назвать реалистичной, поскольку, согласно ее предсказанию, береговые линии имеют размерность D=3/2, - а это серьезный недостаток.

В простейшем определении функции BO (P) используются термины из теории шума – мы не будем их здесь определять, однако они, несомненно, известны многим читателям. На поверхность сферы накладывается слой белого гауссова шума, функция же BO (P) представляет собой интеграл этого белого шума по поверхности полусферы с центром в точке P.

На угловых расстояниях, меньших 60°, функция BO (P) выглядит очень похоже на броуновскую функцию из плоскости в прямую. Однако при глобальном рассмотрении сходство пропадает.

Например, у функции BO (P) есть одно поразительное свойство: в случае, когда расположенные на поверхности сферы точки P и P' диаметрально противоположны, значение суммы BO (P)+BO (P') не зависит от конкретного расположения этих точек. В самом деле, эта сумма представляет собой всего лишь интеграл, взятый по всей сфере белого шума, использованной для построения функции BO (P).

Таким образом, высокий холм в точке P соответствует всем глубоким ямам в диаметрально противоположной точке P'. Центр тяжести такого распределения не совпадает с центром опорной поверхности и вряд ли может находиться в состоянии устойчивого равновесия. Однако нам нет нужды беспокоиться: благодаря теории изостазии рассматриваемый рельеф оказывается избавлен от статической неустойчивости – и, как следствие, от слишком поспешного признания его непригодности в качестве модели. Теория эта утверждает, что почти твердая земная кора очень тонка под самыми глубокими океанскими впадинами и весьма толста под высочайшими горными вершинами, так что сфера, концентрическая с земной и проходящая чуть ниже глубочайших точек океана, делит кору на две почти равные части. Если согласиться с тем, что видимые горные вершины всегда следует рассматривать в сочетании с их невидимыми корнями, расположенными ниже сферы отсчета, то постоянство суммы BO (P)+BO (P') уже не обязательно предполагает наличие серьезного статического дисбаланса, хотя и остается по-прежнему удивительным.

 

БРОУНОВСКАЯ ПАНГЕЯ И ПАНТАЛАССИЯ

Насколько хорошо вышеописанный вариант броуновского рельефа соответствует данным наблюдений? Исходя из сегодняшних очертаний континентов и океанов, размерность D оказывается неверной, а значит, соответствие следует признать неудовлетворительным.

С другой стороны, тектоника плит (теория раскола и дрейфа континентов) позволяет перенести наш тест на адекватность на 200 миллионов лет в прошлое, на только что сформировавшуюся Землю. Так как свидетельствами очевидцев мы в этом случае не располагаем, вероятность того, что наш тест провалится, резко уменьшается. Согласно Вегенеру – а его взгляды находят довольно широкую поддержку (см., например, [605]) – вся суша была некогда объединена в один большой континент, Пангею, а океаны образовывали один сверхокеан, Панталассию.

Подобно Пангее, рельеф, изображенный на рис. 375, представляет собой некое пятно суши, изрезанное здесь и там обширными полостями. Сходство это, однако, поверхностно и обманчиво. Броуновский рельеф на сфере демонстрирует, на первый взгляд, тенденцию к чрезмерному усилению очень крупномасштабных деталей, и происходит это в результате комбинации геометрических особенностей сферы и того факта, что броуновские правила для случая сферы предполагают сильную положительную корреляцию для углов, меньших 60°, и сильную отрицательную корреляцию между диаметрально противоположными (антиподальными) точками. При внимательном рассмотрении, сосредоточенном на менее глобальных особенностях, соответствие между моделью и реальностью еще более ослабевает; для углов, скажем, меньших 30°, броуновская береговая линия на сфере становится неотличимой от броуновской береговой линии на плоскости – со всеми сопутствующими последней недостатками.

Фрактальные хлопья, в которых функция высоты совпадает с функцией высоты описанной выше Пангеи (за исключением того, что здесь масштаб порядка величины составляет половину радиуса), похожи на отличающиеся иррегулярными формами спутники внешних планет. В противоположность фигурам, изображенным на рис. 25 и 26, такие хлопья не окружены «плавучими обломками», и, следовательно, размерность D является в этом случае только мерой иррегулярности, но не фрагментации.

 

ДРОБНЫЙ БРОУНОВСКИЙ РЕЛЬЕФ НА ПЛОСКОЙ ЗЕМЛЕ [384]

Главным недостатком двух представленных броуновских моделей рельефа является то, что из размерность D=3/2 слишком велика для верного описания береговых линий. Как следствие, наши поиски более широко применимой модели приобретают неожиданный оттенок. Давным-давно, в главах 5 и 6, мы провозгласили возможность справедливости неравенства D>1 и тут же принялись искать способы заставить размерность D превысить 1. Теперь же перед нами обратная задача – добиться того, чтобы D оказалась меньше 3/2. Для получения более гладких берегов нам необходим более гладкий рельеф и более гладкие вертикальные сечения.

К счастью, в предыдущей главе мы получили хорошую подготовку. Для построения модели вертикальных сечений я заменил броуновскую функцию из прямой в прямую ее дробным вариантом и убедился в том, что существуют случайные функции BH (P) из плоскости в прямую, обладающие такими сечениями. Размерность D поверхностей в этом случае равна 3−H (см. [3]), а для линий уровня и вертикальных сечений D=2−H.

Таким образом, мы оказываемся избавлены от каких бы то ни было трудностей в моделировании и можем получить любую размерность, какую бы ни потребовали эмпирические данные.

Определение D . Исходя из данных Ричардсона (см. главу 5), можно ожидать, что размерность «типичной» береговой линии будет близка к 1,2, а размерность рельефа – к 2,2. Следовательно, в большинстве случаев нас вполне удовлетворит параметр H, равный 0,8, - пример такого рельефа можно видеть на рис. 371. Однако для описания некоторых конкретных участков земной поверхности понадобятся и другие значения. Значения D~2,05 описывают рельеф, в котором преобладают очень медленно изменяющиеся компоненты. Когда такой компонент представляет собой широкий склон, рельеф имеет вид неровного наклонного плато, а береговая линия отличается от прямой лишь наличием незначительных неправильностей. Вблизи вершины горы рельеф похож на неровный конус, а береговая линия – на несколько неправильный овал.

Потенциальной полезностью обладают и рельефы с размерностью D, близкой к 3, однако их довольно трудно подобающим образом передать на рисунке. Достаточно заметить, что изображенная на рис. 377 береговая линия с D~3 напоминает затопленную аллювиальную равнину. Очевидно, что в инструментарии строителя статистических моделей найдется место для всех значений параметра H.

 

КОМОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ

Космографический принцип из главы 22 можно переформулировать применительно к рельефу. Усиленный космографический принцип сочетает в себе вероятностные понятия стационарности и изотропии. Следовательно, можно считать, что рельеф Z(x,y) на поверхности плоской Земли отвечает усиленному космографическому принципу, если порождающие этот рельеф правила одинаковы во всех системах отсчета, в которых начало координат (x0 ,y0 ,z0 ) удовлетворяет условию z0 =0, а ось z вертикальна. В частности, указанные правила должны оставаться инвариантными при изменении значений x0 и y0 и при вращении горизонтальных осей. Мой броуновский рельеф на плоской Земле, равно как и его дробная версия, этому принципу не удовлетворяют.

Однако они удовлетворяют «условной» версии космографического принципа, в которой начала координат выбирается таким образом, чтобы удовлетворять условию z0 =B(x0 ,y0 ) (начало координат лежит на поверхности Земли).

Предпринимались попытки согласовать рельеф посредством стационарного процесса. При этом на плоскость z=0 накладывается правильная решетка, а высотам внутри каждой отдельной ячейки этой решетки приписываются значения, представляющие собой независимые случайные величины. Такие модели не могут объяснить ни одного из рассмотренных в этой главе скейлинговых законов.

Броуновский рельеф на поверхности шарообразной Земли находится в соответствии с космографическим принципом в его усиленной форме, особенно когда речь идет о крупных участках поверхности – в этом случае усиленная форма наиболее удобна. Условный принцип здесь выполняется тем более, его предпочтительнее применять к локальным эффектам.

 

ГОРИЗОНТ

Для наблюдателя, расположенного на некоторой конечной высоте над поверхностью Земли, горизонт состоит из нескрытых точек наибольшей видимой высоты, образующих вокруг наблюдателя замкнутую кривую.

Когда рельеф представляет собой возмущение на сферической поверхности Земли, горизонт, очевидно, расположен на некотором конечном расстоянии от наблюдателя.

Когда рельеф есть броуновское или дробное броуновское возмущение на плоской горизонтальной поверхности, существование горизонта перестает быть столь очевидным: на каждую высокую гору может найтись более высокая гора, расположенная несколько дальше, и так далее до бесконечности. В действительности же относительная высота горы, расположенной на расстоянии R от наблюдателя является величиной порядка RH , так что тангенс угла наклона прямой (соединяющей наблюдателя с вершиной горы) над горизонтальной плоскостью равен приблизительно RH−1 и стремится к нулю при R→∞. Следовательно, горизонт определен и здесь.

Задавшись целью достичь более глубокого понимания сути явления, разделим расстояние от наблюдателя до горизонта на его среднее значение. На плоской Земле эта функция статистически независима от высоты, на которой находится наблюдатель. В случае же шарообразной Земли, по мере увеличения высоты наблюдателя линия горизонта устремляется к окружности. Кроме того, горизонт плоской Земли расположен над плоскостью, проходящей через наблюдателя, независимо от его высоты. Что касается горизонта шарообразной Земли, то он находится ниже упомянутой плоскости – при условии, что наблюдатель расположен достаточно высоко. В общей сложности, наблюдаемые свойства горизонта подтверждают сферическую форму Земли. Страшно подумать, что было бы, окажись это не так.

 

«ХОРОШО МОТИВИРОВАННАЯ» ДРОБНАЯ БРОУНОВСКАЯ МОДЕЛЬ ЗЕМНОГО РЕЛЬЕФА

Как обычно, остается только удивляться, почему модели, выбранные за простоту, оказываются столь притягательными с позиций применимости. У меня есть некоторые соображения на этот счет, однако я не питаю иллюзий относительно их убедительности (см. главу 42).

Прежде всего, можно построить функцию BH (P) так же, как мы строили B(P) - путем наложения друг на друга прямолинейных разломов (см. [380]). Однако разломы эти больше не могут иметь опасных стен; по мере приближения к дну разлома уклон стены должен увеличиваться. К сожалению, поперечное сечение такого разлома представляет собой довольно надуманную конструкцию, а стало быть, такой подход не годится.

Более предпочтительным представляется начать с броуновской модели, а затем попытаться уменьшить размерность, как это было сделано при моделировании речного стока в главе 27. Исключительно локальное сглаживание преобразует поверхность с бесконечной площадью в поверхность, площадь которой конечна. С другой стороны, эта процедура совершенно не затрагивает крупные элементы поверхности. Таким образом, локальное сглаживание заменяет объекты, имеющие одинаковую во всех масштабах вполне определенную размерность, объектами, которые демонстрируют глобальную эффективную размерность 5/2 и локальную эффективную размерность 2.

Вообще, после K различных сглаживаний с различными основными масштабами мы получаем K+1 зону с разными размерностями, связанные переходными зонами. Однако целое в этом случае может стать неотличимо от фрактала с некоторой промежуточной размерностью. Иными словами, наложение феноменов, каждый из которых обладает вполне определенным масштабом, может имитировать масштабную инвариантность.

С другой стороны, масштабно-инвариантный феномен часто самопроизвольно разлагается воспринимающим его сознанием в некую иерархию, каждый уровень которой имеет свой масштаб. Например, описанные в главе 9 скопления галактик вовсе не обязательно соответствуют реальности, как будет показано в главах 32 – 35. А значит, не стоит спешить следовать рекомендации Декарта и делить всякую сложную проблему на части. Хотя наш мозг самопроизвольно представляет геоморфологические конфигурации в виде совокупности элементов с резко различными масштабами, это вовсе не означает, что так оно и есть в действительности.

К счастью, опорной поверхностью земного рельефа является сфера, а, следовательно, ему присущ конечный внешний порог. Таким образом, мы совершенно спокойно можем допустить, что всевозможные перестройки, которым подвергалась Земля за свою долгую геологическую историю, предполагают порядок пространственных масштабов, не превышающий размеров континентов. Еще одно реалистическое допущение, заключающееся в том, что различные участки поверхности характеризуются различной величиной параметра H, позволяет этим перестройкам разниться по относительной интенсивности.

 

РАЗБИТЫЕ КАМНИ, ВЗЛЕТНЫЕ ПОЛОСЫ И ТРИБОЛОГИЯ

Очень давно, еще в первой главе, упоминалось о том, что термин фрактальный я произвел от латинского словаfractus, которое описывает внешний вид скола разбитого камня – неправильный и фрагментированный. Одна только этимология, разумеется, не делает поверхность реального каменного скола фракталам, однако эта поверхность явно не является стандартной, а если она еще и масштабно-инвариантна, то она должна быть фрактальной.

Аргумент в пользу масштабной инвариантности: камень состоит из гранул, объединенных в иерархически организованные домены, причем бóльшие домены соединяются друг с другом не так прочно, как их меньшие составляющие. Энергия, затраченная при ударе о камень, с наибольшей легкостью потратилась бы на разделение больших доменов, однако нет причин ожидать, что такое разделение осуществимо геометрически, а значит, поверхность разлома скорее всего будет сочетать в себе участки, принадлежащие междоменным границам различных иерархических уровней.

Наука об износе и трении называется трибологией. Название происходит от греческого слова τριβω «тереть, растирать». Данные работы [509] (после коррекции неверного анализа; см. [25]) укрепляют нас в предположении, что с помощью дробных броуновских поверхностей можно представить в первом приближении взлетно-посадочные полосы в аэропортах (а также многие естественные негладкие поверхности). Экспериментальные значения D (полученные из графика 7−2D в [509], рис. 1) изменяются в интервале от 2 до 3.

 

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕФТИ И ДРУГИХ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ

Теперь, когда мой «принцип», провозглашающий масштабную инвариантность рельефа, выдержал всесторонние испытания, настала пора рассмотреть одно следствие из него. Как будет показано в главе 38, можно ожидать, что любая величина, так или иначе связанная с этим рельефом, будет следовать гиперболическому распределению вероятностей (такому, например, как закон Ципфа или закон Парето). Так и в самом деле происходит довольно часто. По правде говоря, моему исследованию береговых линий (см. главу 5), в котором было высказано предположение о том, что рельеф Земли масштабно-инвариантен, предшествовала работа 1962 г. [338], в которой я обнаружил, что распределения, связанные с нефтью и другими природными ресурсами, являются гиперболическими. Этот результат противоречит общепринятому мнению, согласно которому распределение указанных величин следует логарифмическому нормальному закону. Различие чрезвычайно значительно, так как при гиперболическом распределении получается гораздо больше ресурсов, чем при логарифмическом нормальном. В 1962 г. мало кто услышал, однако я пока не сдался.

О минералах мы еще поговорим в главе 39, в разделе нелакунарные фракталы.

 

УПРОЩЕНИЯ: ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ СРЕДИННОГО СМЕЩЕНИЯ

Поскольку мои броуновские и дробные броуновские рельефы основываются на весьма сложных алгоритмах, возникает необходимость в приближениях или упрощениях. Так, например, на рис. 374, 377 и 379 вы видите пуассоновское приближение нашего гауссова процесса. А на рис. 370 – 373 и С5 – С15 непериодическая функция от x и y заменена периодической функцией, вычисленной с помощью методов быстрого преобразования Фурье и затем «обрезанной» так, чтобы ее центральный участок остался не затронут периодичностью.

Кроме того, для генерации фрактальных поверхностей, которые мы обозначим через , я использовал срединное смещение (как в главе 26). Такие поверхности легче всего реализовать, применяя в качестве инициатора равносторонний треугольник . Так как значения на вершинах треугольника заданы, на первом этапе функция интерполируется по отдельности на каждую из трех срединных точек сторон треугольника посредством того же процесса, какой мы применяли к координатным функциям броуновской функции . На следующем этапе интерполируем на девять срединных точек второго порядка и так далее.

Результат, можете быть уверены, получается куда более реалистичным, нежели любая нефрактальная поверхность или большинство фрактальных неслучайных поверхностей. Однако стационарен ли он? Приращение должно зависеть только от расстояния между точками (x,y) и (x+Δx, y+Δy). В нашем же случае явно зависит от x,y, Δx и Δy. Следовательно, поверхность B* H нестационарна, даже если H=½.

Я также рассмотрел и сравнил друг с другом дюжину других упрощений (на этот раз стационарных) и надеюсь вскоре опубликовать результаты сравнения.

Рис. 370 и 371. Броуновские озерные ландшафты, обыкновенные и дробные (размерности от D~2,1 до D=5/2, по часовой стрелке)

Верхний пейзаж на рис. 371 представляет собой пример дробного броуновского рельефа поверхности Земли. Остальные пейзажи экстраполируют эту модель на более высокие значения размерности D, вплоть до верхней части рис. 370, где изображен обыкновенный броуновский рельеф из плоскости в прямую. Определяющей характеристикой последнего является то, что любой из его вертикальных срезов представляет собой обыкновенную броуновскую функцию из прямой в прямую, как на рис. 338. Броуновский рельеф не годится для моделирования поверхности Земли, так как его элементы слишком иррегулярны, что заметно невооруженным глазом. Это неудовлетворительное соответствие можно выразить и количественно: размерность поверхности (D=5/2) и береговой линии (D=3/2) оказываются слишком велики.

В каждом пейзаже высота вычисляется для точек пересечения широт и долгот, образующих квадратную решетку. Программой предусматривается также моделирование освещения от источника, располагающегося слева под углом 60° к горизонту; наблюдение осуществляется из точки, приподнятой на 25° над уровнем моря. Более подробное описание можно найти в пояснениях к цветным иллюстрациям.

Рис. 372 и 373. Броуновские береговые линии и «гряды» островов

Первоначально эти иллюстрации были призваны подчеркнуть один только что обнаруженный важный эффект. Когда размерность D рельефа достигает значения 2,5 и превосходит его, океан начинает демонстрировать явную и усиливающую тенденцию к разделению на отдельные округлые «моря». Эти моря сообщаются друг с другом, но вместе с тем каждое сохраняет выраженную индивидуальность. Острова при этом выстраиваются в «гряды». Тот же эффект (хотя и не так явственно) наблюдается и в горных хребтах, присутствующих на всех «пейзажах» на рис. 370, 371 и 379.

Это отсутствие изотропии в выборках полностью согласуется с изотропией порождающего механизма.

Фигуры, изображенные на этих рисунках, эквивалентны (за исключением затравки) плоским сечениям хлопьев на рис. 25 и 26 (которые объясняются в конце главы 30). Здесь, как и на рис. 25 и 26, мы используем усеченную версию одного периода периодического варианта ожидаемого процесса. Это уменьшает зависимость общих очертаний от D. Общие очертания действительно броуновских береговых линий различаются сильнее, чем показано на наших иллюстрациях.

В главах 34 и 35 обсуждается эффект, связанный с упомянутыми грядами.

Рис. 374. Линии уровня в дробных броуновских ландшафтах

На каждом из рисунках этой страницы представлены по две – три линии уровня (береговые линии показаны жирными линиями) для дробных броуновских функций. При построении этих фигур использовались одинаковые программа и затравка, но различны размерности: D~1,3333 (верхняя фигура) и D~1,1667 (нижняя фигура). Тщательно рассмотрев оба рисунка , можно убедиться, что с географической точки зрения они выглядят вполне правдоподобно: верхний сойдет за побережье горного озера, нижний же соответствует более равнинной местности.

Эти кривые выглядят гораздо менее «изрезанными», чем кривые с той же размерностью D на рис. 373. Причина заключается в том, что на тех иллюстрациях каждое сечение демонстрирует ярко выраженный максимум; сколько-нибудь систематических уклонов там почти нет. Здесь же, напротив, перед нами склон огромной горы, который имеет выраженный общий уклон. Благодаря их «общему» виду, фигуры на этой странице можно рассматривать как увеличенные версии какого-нибудь особенно изрезанного малого участка береговой линии с рис. 373.

Сравнение этих различных линий уровня дает лучшее понимание того, насколько широки рамки допустимых взаимодействий между иррегулярностью и фрагментацией даже при фиксированном значении размерности D.

Рис. 375 и С11 (вверху). Броуновская Пангея (размерность береговой линии D=3/2)

На поверхности «далекой планеты», изображенной на рис. С11 (вид из космоса), мы видим очертания воображаемой фрактальной Пангеи. Ее рельеф был получен посредством компьютерной реализации (насколько мне известно, это было проделано впервые) случайной поверхности, которой мы обязаны Полю Леви: броуновской функции из точек на сфере (широта и долгота) в скалярные величины (высота). Уровень моря был выбран таким образом, чтобы три четверти общей площади оказалось под водой. Береговую линию получили интерполяцией.

На этом рисунке та же Пангея изображена на хаммеровской карте – проекция, предпочитаемая приверженцами вегенеровской теории континентального дрейфа.

Насколько эта модельная Пангея похожа на «настоящую»? Мы вовсе не надеемся, что совпадут какие-то конкретные локальные детали; нас интересует лишь совпадение степеней извилистости – как локальной, так и глобальной. Как и следовало ожидать, до совершенного сходства наша модель не дотягивает. В самом деле, размерность D береговой линии модельной Пангеи составляет 3/2, в то время как гипотетические рисунки в учебниках геологии приписывают реальной Пангее то же значение D, что наблюдается в очертаниях современных континентов, т.е. D~1,2. Если вдруг появятся какие-то новые данные, совместимые с D=3/2, то мы получим возможность объяснить геометрию Пангеи, основываясь на весьма элементарных тектонических допущениях.

Фракталы в неевклидовом пространстве. В неевклидовой геометрии Римана роль плоскости выполняет сфера. Неевклидовы геометрии, таким образом, неевклидовы только наполовину: они занимаются евклидовыми фигурами на неевклидовых носителях. Бóльшая часть настоящего эссе демонстрирует аналогичную «половинчатость»: мы изучаем неевклидовы фигуры в евклидовом пространстве. Представленная на рисунке Пангея объединяет наши подходы, поскольку представляет собой пример неевклидовой фигуры на неевклидовом же носителе.

Рис. 377. Первые известные примеры броуновских береговых линий (обыкновенных и дробных)

Мое утверждение о том, что с помощью должным образом выбранных дробных броуновских функций можно достаточно правдоподобно моделировать земной рельеф, основывалось первоначально на вот этих четырех моделях береговых линий. Руководствуясь исключительно сентиментальными соображениями, я перенес их (вместе с рис. 375) сюда из французского эссе 1975 г. почти без изменений, разве что черные области закрашены теперь более аккуратно, благодаря чему оказалось возможным передать исходное построение более точно.

Когда значение D близко к единице (верхний рисунок), береговая линия слишком прямолинейна, чтобы выглядеть реалистичной.

А вот очертания берегов со второго сверху рисунка (D=1,3000) вполне могли бы занять достойное место на карте из настоящего атласа. Большой остров слева явно напоминает Африку или Южную Америку (в зеркальном отражении), а большой остров справа очень похож на Гренландию (если повернуть страницу на 90° против часовой стрелки). Наконец, если повернуть страницу на 90° по часовой стрелке, то из обоих островов вместе получаются слегка исхудавшая Новая Зеландия и сдвоенный остров Баунти.

Когда D увеличивается до 3/2 (третий рисунок сверху), игра в географические загадки становится немого сложнее.

При дальнейшем увеличении D до значений, близких к 2 (нижний рисунок), сложность географических загадок возрастает весьма значительно (возможно, они просто становятся слишком специализированными: что это у вас тут? Миннесота? Финляндия?). В конце концов всякое сходство с реальностью пропадает.

Другие затравки дают точно такой же результат. Согласно результатам аналогичных тестов, основанных на более точных графических построениях, наиболее реалистичным значением фрактальной размерности береговых линий следует признать D~1,2.

Рис. 379. Первые известные примеры дробных броуновских островов (размерность D=2,3000)

Присутствие здесь этой иллюстрации, несомненно, можно считать сентиментальным перегибом, поскольку она не несет в себе ничего такого, что не было бы лучше выражено на других иллюстрациях. В свое оправдание скажу лишь, что эти островные виды с изменяющимся уровнем моря были опубликованы в работе [384] и в эссе 1975 г., и я просто не могу на них спокойно смотреть. Они являются частью более обширной серии изображений дробных броуновских островов с различными значениями D и различными уровнями моря – насколько мне известно, прежде никто подобных изображений не создавал. (В 1976 г. мы сделали фильм об этом необычном острове, поднимающемся из моря; в 1981 г. фильм выглядит до смешного примитивно, однако он еще может стать антикварной редкостью.)

Я часто думаю, где же я мог в действительности видеть пейзаж, изображенный на нижнем рисунке: эти маленькие островки, рассыпанные, точно семена, у оконечности узкого и длинного полуострова.

Оригинальная картинка была сфотографирована с электронно-лучевой трубки, у которой были проблемы с резкостью, поэтому данные пришлось обрабатывать заново. Здесь (в противоположность рис. 370, 371 и С11 – С17) не требуется искусственно моделировать боковое освещение. Так получилось, что наш древний графический процесс создает у зрителя впечатление, что море у горизонта словно бы мерцает.

Читатель, несомненно, заметит, что по сравнению с более поздними ландшафтами размерность, заявленная для изображенных здесь поверхностей, на удивление высока. Причина заключается в том, что тогдашние графические методы были не способны показать мелкие детали, поэтому размерности ранних ландшафтов кажутся меньше, чем реальные значения D, задаваемые генерирующим эти ландшафты программам. Для компенсации мы выбирали бóльшие значения D, чем это было необходимо, исходя из данных наблюдений. Однако с улучшением качества графики этот сдвиг стал слишком заметным, т.е. не только ненужным, но и вредным. Сегодня необходимости в такой компенсации нет, и, задавая генерирующей программе значения размерности, соответствующие данным Ричардсона, мы получаем в высшей степени реалистичные ландшафты.

 

Ниже мы более подробно исследуем броуновскую модель рельефа, предложенную в предыдущей главе. Ее выводы касательно площадей островов представляются вполне приемлемыми; однако те, что относятся к озерам и чашам, никуда не годятся. Для исправления этого несоответствия предложим усовершенствованную модель.

 

ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОЩАДИ ОСТРОВОВ

Как указано в главе 13, изменчивость проективных площадей A океанических островов является очевидной характеристикой каждой карты, часто даже более выразительной, нежели очертания береговых линий. Мы отметили также, что Корчак [279] полагает распределение площадей A гиперболическим: . (теперь нам уже ничто не препятствует заменять на .) Наконец, мы показали, что это эмпирическое заключение верно в том случае, когда береговая линия самоподобна. Теперь мы можем добавить: тем более достаточно предположить, что самоподобен рельеф.

Нет никакого сомнения, что соотношение 2B=D применимо не только к неслучайным коховым побережьям, рассмотренным в главе 13, но и к дробным броуновским нуль – множествам. Однако доказательство этого факта остается на данный момент отчасти эвристическим. Распределение же, соответствующее дробному броуновскому рельефу с H=0,800, и впрямь подходит очень близко к эмпирическим данным относительно всей Земли.

Размерность Dc каждого отдельно взятого дробного броуновского острова пока не известна.

 

ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОЩАДИ ОЗЕР

Утверждается, что площади озер также подчиняются гиперболическому распределению, то есть может возникнуть искушение оставить озера в покое, так как ничего нового они нам не поведают. При более зрелом размышлении, однако, можно заметить, что определения озер и океанических островов ни в коем случае не являются симметричными.

Специальный анализ, вкратце описываемый в этой главе, проясняет многие вопросы, связанные с двумя озерными суррогатами – «глухими долинами» и «чашами», и ставит нас перед фактом, что реки и деревья водоразделов в природе асимметричны, чего не скажешь о моих броуновских моделях. Отсюда следует еще один довод в пользу упомянутой усовершенствованной модели.

Однако распределение площадей озер все еще остается загадочным. Возможно, его гиперболичность проистекает из «устойчивости» гиперболического распределения к всевозможным неприятностям (см. [342] и главу 38). Например, произведение случайного гиперболического множимого на в основном произвольный множитель само является гиперболическим. Причины гиперболичности множимого, возможно, следует искать в том состоянии, в котором пребывала первобытная Земля, когда и рельеф, и все вокруг было гиперболическим. А произвольностью множителя мы, скорее всего, обязаны тысяче геологических и тектонических факторов, повлиявших на очертания береговых линий озер. Как бы то ни было, такое «объяснение», по сути дела, есть не что иное, как отговорка.

 

ПОНЯТИЕ ГЛУХОЙ ДОЛИНЫ

Это понятие симметрично понятию океанического острова и обозначает некоторую окруженную сушей область, расположенную ниже уровня моря. Мы будем называть такие области не требующим дополнительных объяснений составным термином «глухие долины». Некоторые из них заполнены водой (уровень которой, как правило, ниже уровня моря) – такие, например, как впадины Мертвого моря (уровень воды – 390,15 м.), Каспийского моря (- 28,04 м.) и озера Солтон – Си ( -71,63 м.). Другие глухие долины остаются сухими – такие, как Долина Смерти (уровень дна –85,95 м.) или Катарская впадина (-132,89 м.). Сюда же можно отнести и расположенную в южной части Шотландии низменность, по которой проходит граница между Шотландией и Англией.

У меня нет никаких данных о проективных площадях, ограниченных линиями уровня глухих долин на уровне моря. Однако, изучив географические карты, можно предположить, что глухих долин на поверхности Земли меньше, чем островов. В контексте той модели, которая полагает Землю плоской, за исключением добавленного к плоскости броуновского рельефа из плоскости в прямую, такая асимметрия не является чем-то неожиданным. Одинаковость показателей распределений островов и глухих долин означает, что площади, например, десятых по величине острова и озера относятся друг к другу так же, как и площади двадцатых по величине острова и озера. Кроме того, в закон Корчака входит некий «префактор» F, который устанавливает абсолютное значение площади десятого по величине острова либо озера. Внимательное изучение приведенных в книге рисунков покажет вам, что в случае континента, окруженного водой, префактор для островов больше, чем для глухих долин (в случае внутреннего моря верно обратное). А в рамках модели броуновского рельефа из сферы в прямую меньшая площадь (Пангея) в большей степени раздроблена, нежели большая площадь (Панталассия).

Как бы то ни было, предыдущее рассуждение ничего не говорит об озерах – за исключением редких и несущественных исключений (таких, как участки рядом с морским берегом, заполненные просочившейся сквозь грунт морской водой) понятия глухих долин и озер не совпадают.

Высота дна озера не обязана удовлетворять неравенству z<0, а высота уровня его поверхности – равенству z=0. Еще одна сложность: большинство озер заполняются в точности до краев (т.е. до уровня, находящегося чуть выше уровня седловой точки), однако из этого правила имеются исключения (например, Большое Соленое озеро и озера, заполняющие придонные области глухих долин, перечисленных в начале этого раздела).

 

ПОНЯТИЕ ЧАШИ

Рассмотрим теперь второй озерный суррогат – тот, что мы обозначили нейтральным геометрическим термином чаша.

Для определения этого понятия представим себе некий ландшафт из водонепроницаемого материала, каждое углубление в котором заполнено водой точно до краев. Для того чтобы выбраться из углубления, капле воды приходится двигаться вверх, а затем вниз. Однако если капля добавляется извне, то она вполне может ускользнуть, вовсе не двигаясь вверх, - только по горизонтали или вниз. Каждое углубление обладает некоторой положительной площадью, следовательно, количество углублений либо конечно, либо бесконечно, но счетно. Ничто не мешает нам допустить, что различные стоки могут быть расположены на разной высоте. Линии уровня рельефа на точной высоте стока состоит из определенного количества непересекающихся замкнутых кривых и еще одной замкнутой кривой, содержащей точку самокасания. На чуть большей высоте самокасание пропадает. А на чуть меньшей высоте петля распадается на две петли, одна из которых вложена в другую.

Углубления из вышеописанного построения, заполненные водой, мы будем называть чашами.

 

ЧЕРТОВЫ ТЕРРАСЫ

Допустим, что перед нами броуновский рельеф с параметром 0

Говоря конкретнее, суть моего предположения заключается в том, что капля воды, падая в случайно выбранную точку нашего рельефа, почти наверное попадает в какую-либо чашу. Если это предположение верно, то совокупность поверхностей чаш представляет собой в некотором роде экстраполяцию террасированных полей, распространенных в Юго-Восточной Азии. Я предлагаю называть такой рельеф чертовыми террасами. Точки, не попадающие в чаши, образуют совокупную береговую линию чаш и представляет собой разветвленную сеть или случайную разновидность салфетки Серпинского. На тот случай, если я не прав и совокупная граница чаш обладает в действительности положительной, а вовсе не нулевой, площадью (см. главу 15), у меня есть запасное предположение, заключающееся в том, что существует некая чаша, произвольно близкая к любой точке, не принадлежащей ни одной из чаш.

 

БРОУНОВСКАЯ МОДЕЛЬ С УЧЕТОМ ВЫВЕТРИВАНИЯ: ГОРНЫЕ ХРЕБТЫ И ПЛОСКИЕ ДОЛИНЫ

Возможно, кто-то из читателей уже испытывает неодолимое искушение модифицировать мои броуновские модели, предположив, что каждая из чаш броуновского материка BH заполнена грунтом и образует плоскую равнину. Нет нужды графически иллюстрировать получающуюся при этом функцию , так как во всех представляющих для нас интерес случаях (т.е. когда D не намного больше 2) заполнение малых чаш не приведет к сколько-нибудь заметным изменениям во внешнем виде рельефа.

Для того чтобы у нас было чем заполнять чаши, следует допустить наличие выветривания, сглаживающего горы; как мы вскоре убедимся, количество требуемого грунта не так уж велико (если D не намного превышает 2), поэтому разумно будет предположить, что форма гор изменяется не слишком сильно. То обстоятельство, что выветривание сглаживает также и седловые точки, через которые чаши опустошаются, мы пока учитывать не будем.

С позиций настоящего эссе, главное достоинство предлагаемой модификации заключается в том, что при правильно подобранном уровне моря выветренный броуновский рельеф на плоской Земле остается масштабно-инвариантным. Как же такая эрозия влияет на размерность? Имеются данные, согласно которым значение размерности функции находится в интервале между 2 и 3−H(размерность функции BH ).

Докажем, что относительное количество грунта, необходимое для заполнения всех чаш, невелико при D=2+ε. Порядок величины объема материка равен типичной длине проекции материка в степени 2+H, что прямо пропорционально площади материка в степени 1+H/2, а объем чаши по отношению к объему материка равен относительной площади чаши в степени 1+H/2 . Поскольку относительная площадь демонстрирует гиперболическое распределение с показателем, близким к единице, и поскольку сумма всех относительных площадей равна 1, можно заключить, что величина весьма мала. Исключения из общего правила возникают тогда, когда наибольшая чаша чрезвычайно велика; такие чаши заполнять необязательно, как это и произошло в случае Большого Соленого озера.

 

РЕКИ И ВОДОРАЗДЕЛЫ

В первом приближении (играющем центральную роль в главе 7) я предположил, что реки и водоразделы образуют сопряженные заполняющие плоскость древовидные фигуры. Вообще говоря, такое описание можно применить только к картам; как только мы вводим высоту, замечательная симметрия между деревьями рек и водоразделов нарушается. В самом деле, если пренебречь озерами, то точки, принадлежащие дереву водораздела, всегда являются либо локальными максимумами (холмами), либо локальными седловыми точками (перевалами), тогда как точки дерева реки никогда не бывают ни локальными минимумами, ни седловыми точками. А поскольку в броуновских и дробных броуновских моделях локальные минимумы безусловно присутствуют, можно с полной уверенностью сказать, что деревьев рек в них нет, - и это еще один удар по моим броуновским моделям.

После того, как чаши заполнены, рек, как таковых, уже не остается – лишь ветвящиеся цепочки озер (бесконечно мелких), похожие на кактусы с дисковидными ветвями. Что касается водоразделов, то они образуют дерево; я полагаю, что это дерево представляет собой ветвящуюся кривую с размерностью D<2, однако оно может оказаться и кривой с положительной площадью и, как следствие, размерностью D=2. Возможны также и другие, самые различные, варианты, но их лучше приберечь до более подходящего случая.

 

СВОЙСТВА ЧАШ

Взглянем на высказанные ранее утверждения в более широкой перспективе, для чего рассмотрим сначала простой, одномерный случай – дробную броуновскую функцию BH (x) из прямой в прямую. Островом в таком рельефе будет интервал , в котором BH (x)>0 при x' следующим образом:

, если x находится в интервале ,

, если x находится в интервале .

Очевидно, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы капля, отправившись в путь из точки (x,z), добралась до океана, двигаясь все время по невосходящей траектории, является справедливость неравенства . Капли, для которых верно неравенство , остаются в чашах навсегда, а значение соответствует уровню воды, достигаемому после заполнения всех чаш. Эта наша функция B* представляет собой не что иное, как чертову лестницу Леви (см. рис. 399 и 400), идущую вверх от точки x' до точки x0 и объединенную с другой лестницей, идущей вниз от x0 до x''.

Она непрерывна, но недифференцируема, и изменяется на множестве нулевой длины. Любая капля воды, добавленная вблизи высочайшей точки материка, вскоре вольется в океан, двигаясь только по плоским областям, чередующимся с «водопадами».

Капли, которые не могут утечь в океан, заполняют область . Эта область несвязна, так как она не содержит точек, в которых , а ее связные участки представлены расположенными на материке чашами. Длина чаши определяется как расстояние между двумя последовательными нулевыми значениями разности . Благодаря масштабной инвариантности функции распределение этой длины следует гиперболическому закону; известно, что при H=½ показатель распределения также равен ½, и я убежден, что этот показатель всегда совпадает со значением параметра H. Отношение наибольшей длины чаши к имеет наибольшее значение при H→0 и наименьшее при H→1.

Вернемся к броуновскому материку BH (x,y) на плоской Земле. И в этом случае функция определяется с помощью аналогичного условия: капля воды, отправившись в путь из точки, расположенной на высоте , может добраться до океана по невосходящей траектории, любая точка которой находится выше материка. Как и ранее, пространственная область, внутри которой справедливо неравенство , распадается на отдельные связные открытые области, определяющие чаши.

Сравним эти чаши с чашами на очень тонком срезе материка, ограниченном параллельными стенами y=0 и y=ε, применяя введенные ранее обозначения BH (x) и . Согласно определению функции , пути утекания воды ограничиваются траекториями, которые находятся между упомянутыми стенами, тогда как определение допускает гораздо более широкий выбор возможных путей утекания. Следовательно, почти при любом x. То есть функция , равно как и любое другое вертикальное сечение функции , представляется намного более интересной, нежели функция . Эти сечения представляют собой чертовски террасированные сингулярные функции с бесконечным количеством пикообразных локальных максимумов и плоских локальных минимумов. Если верно мое наиболее правдоподобное предположение, то последние покрывают почти все точки материка.

Так как сумма площадей чаш не может быть больше площади материка, чаши можно расположить в порядке убывания площади, а это означает, что множество чаш счетно. Следовательно, береговая линия материка BH , соответствующая некоторому случайному значению z0 , почти наверняка не содержит двойных точек.

Значит, совокупную границу всех чаш можно получить следующим образом: возьмем некоторое счетное множество значений zm - сюда почти наверное не войдет значение, при котором береговая линия образует петлю. Цензурируем множество береговых линий посредством удаления из всех значений z0 =zm тех, что соответствуют береговым линиям глухих долин. К полученному объединению цензурированных береговых линий добавим его предельные точки.

Для любого M>2 возможно непосредственное обобщение в броуновскую функцию от M - мерной переменной x={x0 ,...xM }. Из приведенного выше рассуждения для случая M=2 можно видеть, что при заданной функции BH (x) разница между и BH уменьшается по мере увеличения M. В пределе, когда M=∞, а BH - есть броуновская функция в гильбертовом пространстве, из классических результатов, полученных Полем Леви, следует что . Останется ли это тождество истинным для всех M>Mкрит, где Mкрит<∞?

 

Кульминацией настоящей главы станет объяснение иллюстраций 25 и 26, а ее главной темой – дробные броуновские функции от трех переменных с антиперсистентным показателем H<½. Особо подробно мы остановимся на случае H=⅓, а отправной точкой нам снова послужит значение H=½.

 

ИЗОПОВЕРХНОСТИ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Когда жидкость турбулентна, изотермальная поверхность, где температура в точности равна, скажем, 45°F, топологически представляет собой совокупность сфер. Однако здравый смысл подсказывает нам, что такая поверхность должна быть гораздо более иррегулярной, чем сфера или граница любого тела, описанного в евклидовой геометрии.

В голову приходит приведенная во второй главе цитата из Перрена, описывающая форму коллоидных чешуек, которые образуются при добавлении соли в раствор мыла. Сходство между этими двумя явлениями вполне может выйти за пределы простых геометрических аналогий. Может оказаться так, что чешуйка заполняет зону, в которой концентрация мыла превышает некоторый порог; кроме того, эта концентрация может выступать в качестве инертного индикатора очень развитой турбулентности.

Как бы то ни было, исходя из аналогии с коллоидными чешуйками, можно предположить, что изотермальные поверхности представляют собой поверхности, близкие к фрактальным. Неплохо было бы выяснить, в самом деле это так, и – если так, то оценить их фрактальную размерность. Для этого нам необходимо знать, как распределяются температурные изменения в жидкости. Коррзин [87], как и многие другие, сводит эту задачу к классической задаче, которой занимались в 40-х гг. Колмогоров и его коллеги. В некотором смысле эти исследователи блестяще справились с поставленной задачей; с другой стороны, можно сказать, что их постигла неудача. Для неспециалистов я привожу ниже краткий обзор упомянутых классических результатов.

 

ДЕЛЬТА – ДИСПЕРСИЯ БЮРГЕРСА

Дельта – дисперсия величины X определяется в главе 21 как дисперсия приращения Х.Й.М. Бюргерс предположил, что дельта – дисперсия скорости между двумя заданными точками P и P=P0 +ΔP пропорциональна . Этим простым приближенным постулатом определяется турбулентность Бюргерса.

Точной математической моделью функции Бюргерса является функция Пуассона, которая строится из бесконечно большого набора скачков направления движения, величин сдвига и интенсивности, задаваемых тремя бесконечными последовательностями взаимно независимых случайных величин. Что-то напоминает, не правда ли? Если не считать добавления переменной z к x и yи замены одномерной высоты трехмерной скоростью, то гауссова функция Бюргерса в точности совпадает с функцией, на которой построена моя обыкновенная броуновская модель рельефа, описанная в главе 28.

 

ДЕЛЬТА – ДИСПЕРСИЯ КОЛМОГОРОВА

В качестве модели турбулентности дельта – дисперсия Бюргерса не выдерживает никакой критики, причем самым убийственным из ее недостатков является то, что она не соответствует действительности с точки зрения анализа размерностей. Согласно выдержанной в размерностном духе аргументации, выдвинутой Колмогоровым (а также, одновременно с ним, Обуховым, Онсагером и фон Вайцзекером), возможны только два варианта: либо дельта – дисперсия универсальна, т.е. одинакова независимо от условий эксперимента, либо в ней нет никакого смысла. Для того чтобы быть универсальной, дельта – дисперсия должна быть пропорциональна . Подобные выводы можно встретить во многих источниках, а их геометрическую природу подчеркивал еще Биркгоф [37].

После первоначальных сомнений было установлено, что колмогоровская дельта – дисперсия удивительно хорошо объясняет турбулентность в океане, атмосфере и других больших объемах. (см. [174].) Это подтверждение знаменует собой триумфальную победу абстрактного априорного мышления над беспорядочностью сырых данных. Такая победа, несомненно, заслуживает (невзирая на многочисленные оговорки, к которым мы в главе 10 добавили несколько своих) того, чтобы о ней знал не только узкий круг специалистов.

Гауссова функция с колмогоровской дельта – дисперсией также выглядит подозрительно знакомой. В настоящем контексте, относящемся к скалярной (одномерной) температуре, эта гауссова функция представляет собой дробную броуновскую функцию из З – пространства в прямую с параметром H=⅓. Таким образом, колмогоровское поле подразумевает антиперсистентность, тогда как земному рельефу больше по душе персистентность. Есть и более фундаментальное различие: в то время как параметр H, необходимый для представления земного рельефа, является пока чисто феноменологическим, колмогоровское H=⅓ уходит корнями в геометрию пространства.

 

В ОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ИЗОПОВЕРХНОСТИ ФРАКТАЛЬНЫ [380]

Несмотря на свой триумф в предсказании равенства H=⅓, подход Колмогорова обладает одним существенным недостатком: распределение разностей скорости или температуры в жидкости остается неизвестным, известно лишь то, что оно не может быть гауссовым.

Подобные негативные результаты, конечно, вызывают некоторые неудобства, однако редко кто отказывается от удобного во всех остальных отношениях допущения по столь незначительным причинам. В лучшем случае исследователи турбулентности просто ведут себя более осторожно при работе с гауссовой моделью: если (и когда) результаты вычислений оказываются логически невозможными, значит, модель неприемлема, если же все в порядке, то движемся дальше.

В работе [380] – тут мы возвращаемся к температуре – я сочетаю гауссово допущение с дельта – дисперсиями Бюргерса и Колмогорова. Можно, очевидно, надеяться, что выводы останутся верными и без учета гауссова допущения, поскольку они основываются не только на непрерывности и самоподобии.

В четырехмерном пространстве координат x, y, z, T температура T определяет функцию T=T(x,y,z). График дробной броуновской функции – это фрактал размерности 4−H, причем многие из его сечений меньшей размерности представляет собой следующие, хорошо нам известные фрактальные множества.

Линейные сечения. Изотерма при фиксированных y0 , z0 и T0 состоит из точек, расположенных вдоль пространственной оси, на которой наблюдается некоторое значение T. Точки образуют дробное броуновское нуль – множество, их фрактальная размерность равна 1−H.

Плоские сечения. При фиксированных y0 и z0 кривая, отражающая изменение температуры вдоль оси x, является дробной броуновской функцией из прямой в прямую, и ее размерность равна 2−H. При фиксированных z0 и T0 изотерма на плоскости определяется неявным уравнением T(z0 ,x,y). Такие изотермы также имеют размерность D=2−H. Если не считать значения D, они идентичны береговым линиям, рассмотренным в главе 28.

Пространственные сечения. При фиксированном z0 сечение представляет собой график функции T(x,y,z0 ), фрактал размерности 3−H. При H=½ он, по определению, идентичен броуновскому рельефу на иллюстрациях в главе 28. При H=⅓ - это дробный броуновский рельеф на тех же иллюстрациях.

 

ОБЪЯСНЕНИЕ ИЛЛЮСТРАЦИЙ 25 И 26

При фиксированном T0 изоповерхность, определяемая неявным уравнением T(x,y,z)=To , представляет собой трехмерное обобщение береговой линии и демонстрирует нам новый вид фрактального множества с размерностью D=3−H. Так, D=3−½ в гауссовой неперсистентной турбулентности Бюргерса и D=3−⅓ в гауссовой антиперсистентной турбулентности Колмогорова.

Такие поверхности представлены на рис. 26, тайну происхождения которого можно, наконец, объяснить. Для контраста на рис. 25 изображена изоповерхность персистентной функции T(x,y,z) с H=0,75. Поверхности, из-за огромного количества вычислений, пришлось весьма сильно сгладить. Тот факт, что различие в значении D оказывает на общую форму поверхностей вовсе не такое радикальное влияние, как можно было ожидать, объясняется на с. 372.