В главах 6 и 7, призвав на помощь геоморфологию, мы ввели кривые Коха и Пеано, однако объекты наиболее значительных приложений теории фракталов находятся в несколько иных областях. Неспешно подбираясь к основным течениям в науке, мы рассмотрим в этой главе (и в двух последующих) два вопроса исключительной древности, важности и сложности.

Распределение звезд, галактики, скопления галактик и тому подобные материи издавна завораживают как любителей, так и специалистов, однако кластеризация до сих пор остается на периферии астрономии, да и всей астрофизики в целом. Главная причина заключается в том, что никто так и не в состоянии объяснить, почему распределение материи подчиняется иррегулярным иерархическим законам — по крайней мере, в определенном диапазоне масштабов. Во многих трудах, посвященных этой теме, можно встретить упоминание о феномене кластеризации, однако в серьезных теоретических исследованиях ее, как правило, поспешно заметают под ковер, утверждая, что галактики распределены вполне однородно — в масштабе, превышающем некий большой, но неопределенный порог.

Рассматривая ситуацию с менее фундаментальных позиций, можно сказать, что нежелание иметь дело с иррегулярным проистекает из отсутствия инструментов для его математического описания. От статистики требуется выбрать между двумя допущениями, из которых только одно можно счесть тщательно исследованным (асимптотическую однородность). Стоит ли удивляться, что результаты, мягко говоря, неубедительны?

Вопросы, однако, таковы, что от них трудно отмахнуться. Я считаю совершенно необходимым — параллельно с продолжением попыток объяснить кластеризацию — найти способ описать ее и смоделировать реальность чисто геометрическими средствами. Рассматривая эту тему с фрактальных позиций на протяжении нескольких глав настоящего эссе, мы рассчитываем с помощью недвусмысленных моделей показать, что полученные свидетельства предполагают такую степень кластеризации, которая далеко выходит за пределы, поставленные для нее существующими моделями.

Эту главу следует считать вводной: здесь мы познакомимся с одной весьма влиятельной теорией образования звезд и галактик, предложенной Хойлом, с основной формальной моделью их распределения, которой мы обязаны Фурнье д'Альбу (эта модель также известна как модель Шарлье), и, что самое важное, получим некоторые эмпирические данные. Мы покажем, что и теорию, и данные можно интерпретировать в рамках понятия о масштабно-инвариантной фрактальной пыли. Я настаиваю на том, что распределение галактик и звезд включает в себя некую зону самоподобия, внутри которой фрактальная размерность удовлетворяет неравенству 0

Анонс. В главе 22 мы воспользуемся фрактальными инструментами для улучшения нашего понимания смысла космологического принципа, рассмотрим, как его можно и нужно модифицировать, и узнаем, почему такая модификация непременно требует случайности. Обсуждение скоплений в рамках усовершенствованной модели мы отложим до глав 22, 23 и с 32 по 35.

 

МОЖНО ЛИ ГОВОРИТЬ О ГЛОБАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МАТЕРИИ?

Начнем с тщательного рассмотрения концепции глобальной плотности материи. Как и в случае береговых линий, здесь все, на первый взгляд, выглядит очень простым, однако на деле очень быстро — и весьма интересно — запутывается. Для определения и измерения плотности начинают с массы M(R), сосредоточенной внутри сферы радиуса R с центром, совпадающим с центром Земли. Так оценивается приблизительная плотность, определяемая как

.

После этого величину R устремляют к бесконечности, а глобальная плотность определяется как предел, к которому сходится в этом случае приблизительная плотность.

Однако обязательно ли глобальная плотность сходится к положительному и конечному пределу? Если так, то скорость такого схождения оставляет желать лучшего, и это еще мягко сказано. Более того, оцеки предельной плотности, будучи рассмотрены во временной перспектив ведут себя довольно странно. По мере того как увеличивалась глубина наблюдаемой в телескоп Вселенной, приблизительная плотность на удивление систематически уменьшалась. Согласно де Вокулеру [104], уменьшение всегда было . Наблюдаемый показатель D мно меньше 3 — в наилучшем приближении D=1,23.

Де Вокулер выдвинул тезис о том, что поведение величины приблизительной плотности отражает реальность, имея в виду, что . Эта формула вызывает в памяти классический результат для шара радиуса R, вложенного в евклидово пространство размерности E, — объем такого шара . В главе 6 мы встречались с такой же формуле для кривой Коха, с той лишь разницей, что показателем там была не евклидова размерность E=2, а дробная фрактальная размерность. А в главе 8 мы получили формулу для канторовой пьи на временной оси (здесь E=1).

Все эти прецеденты заставляют (причем весьма настойчиво) предположить, что показатель де Вокулера D представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.

 

ВХОДЯТ ЛИ ЗВЕЗДЫ В ДИАПАЗОН МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ?

Очевидно, что диапазон масштабной инвариантности, в котором удовлетворяет неравенству 0 , где величина экстраполируется с галактик. Мы, однако, продолжим наше обсуждение исключительно в галактических терминах.

 

СУЩЕСТВУЕТ ЛИ У ДИАПАЗОНА МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ ВЕРХНИЙ ПОРОГ?

Вопрос о том, насколько далеко в сторону очень больших масштабов простирается диапазон, внутри которого 0

Дебаты между этими двумя школами, безусловно, весьма интересны и важны — для космологии, но не для нашего эссе. Даже если диапазон, в котором 0

В любом случае Вселенная (совсем как тот клубок ниток, о котором мы говорили в главе 6) располагает, по всей видимости, целым рядом различных эффективных размерностей. Если начать с масштабов порядка радиуса Земли, то первой встретившейся нам размерностью будет 3 (такова размерность твердых тел с четкой границей). Далее размерность падает до 0 (так как материя рассматривается как скопление изолированных точек). Далее идет весьма интересный участок, характеризуемый некой нетривиальной размерностью, удовлетворяющей неравенству 0

Самым же наивным представлением является то, согласно которому галактики распределены во Вселенной приблизительно однородно. В этом случае последовательность размерностей D сводится к трем значениям: 3, 0 и опять 3.

< Общая теория относительности утверждает, что при отсутствии материи локальная геометрия пространства стремится стать плоской и евклидовой, в то время как присутствие материи переводит ее в локально риманову. Здесь мы можем говорить о глобально плоской Вселенной, размерность которой равна 3 с локальными значениями D<3. Такой тип возмущений описан в [519], довольно туманной работе, автор которой приводит (с. 312) пример построения кривой Коха (см. главу 6), не ссылаясь при этом на самого Коха. ►

 

ВСЕЛЕННАЯ ФУРНЬЕ

Нам остается лишь построить фрактал, который удовлетворял бы правилу , и посмотреть, как он будет согласовываться с общепринятыми взглядами на Вселенную. Первая подробно описанная модель такого рода была предложена Э. Э. Фурнье д'Альбом (см. главу 40). Хотя книга Фурнье [152] представляет собой по большей части художественный вымысел, замаскированный под научное исследование, в ней все же содержится несколько чрезвычайно интересных соображений, которые мы вскоре обсудим. Сначала же, как мне кажется, следует описать структуру, предложенную Фурнье.

Начинаем построение с правильного восьмигранника, проекция которого представлена в центре рис. 141. Проекция показывает четыре угла квадрата, диагональ которого составляет 12 «единиц», и центр этого квадрата. Однако у восьмигранника есть еще две точки над и под нашей плоскостью на перпендикуляре, проведенном через центр квадрата, на одинаковом расстоянии в 6 «единиц» от этого центра.

Далее каждая точка заменяется шаром радиуса 1, который мы будем рассматривать как «звездный агрегат нулевого порядка». Наименьший шар, содержащий в себе все 7 первоначальных шаров, назовем «звездным агрегатом первого порядка». Агрегат второго порядка получается увеличением агрегата первого порядка в 1/r=7 раз и заменой каждого из новых шаров радиуса 7 копией агрегата первого порядка. Аналогичным образом, агрегат третьего порядка получается увеличением агрегата второго порядка в 1/r=7 раз и заменой каждого из шаров копией агрегата второго порядка. И так далее.

Короче говоря, при переходе между соседними порядками агрегации как число точек, так и радиус шаров увеличивается в 1/r=7 раз. Следовательно, для всякого значения R, которое является радиусом какого-либо агрегата, функция M0 (R), определяющая количество точек, содержащихся в шаре радиуса R, имеет вид M0 (R)=R. Для промежуточных R функция M0 (R) принимает меньшие значения (достигая R/7), однако, согласно общей тенденции, .

Возможно также интерполировать агрегаты нулевого порядка последовательными этапами до агрегатов порядка —1, —2 и т. д. На первом этапе заменим каждый агрегат нулевого порядка копией агрегата первого порядка, уменьшенной в отношении 1/7, и так далее. При таком построении отношение остается истинным для все меньших значений R. После бесконечной экстра- и интерполяции мы получаем самоподобное множество размерности D=ln7/ln7=1.

Кроме того, размерность D=1 объекта в 3-пространстве вовсе не обязывает его непременно быть прямой линией да и любой другой спрямляемой кривой. Ему даже не обязательно быть связным. Каждая размерность D совместима с любой меньшей либо равной по величине топологической размерностью. В частности, топологическая размерность бесконечной в обе стороны вселенной Фурнье равна 0, так как она является вполне несвязной «пылью».

 

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ: ФРАКТАЛЬНАЯ ГОМОГЕННОСТЬ

Шаг от геометрии к распределению массы представляется мне как нельзя более очевидным. Если каждый звездный агрегат нулевого порядка нагрузить единичной массой, то масса M(R) внутри шара радиуса R>1 идентична величине M0 (R), а следовательно, . Кроме того, чтобы получить агрегаты порядка -1 из агрегатов нулевого порядка, необходимо разбить шар, который мы считали однородным и обнаружить, что он состоит из семи меньших шаров. На этом этапе правило распространяется и на радиусы, меньшие единицы.

Рассматривая полученное распределение массы по всему 3-пространству, мы видим, что оно чрезвычайно неоднородно, хотя на фрактале Фурнье ему в однородности нет равных. (Вспомните рис. 120.) В частности, любые две геометрически одинаковые части вселенной Фурнье содержат одинаковые массы. Предлагаю такое распределение массы называть фрактально гомогенным.

< Предыдущее определение сформулировано в терминах масштабно-инвариантных фракталов, но концепция фрактальной гомогенности в общем случае гораздо шире. Она применима к любому фракталу, для которого положительна и конечна хаусдорфова мера в размерности D. Фрактальная гомогенность требует, чтобы масса, содержащаяся в множестве, была пропорциональна хаусдорфовой мере этого множества. ►

 

ВСЕЛЕННАЯ ФУРНЬЕ КАК КАНТОРОВА ПЫЛЬ. РАСШИРЕНИЕ Д0

D≠1

Я надеюсь, что читателя не сбило с толку небрежное употребление фрактальной терминологии в начальных разделах этой главы. Очевидно, что Фурнье, сам того не осознавая, шел путем, параллельным пути своего современника Кантора. Основная разница заключается в том, что конструкция Фурнье вложена в пространство, а не в интервал на прямой. Для вящего усиления сходства достаточно заменить шарообразные агрегаты Фурнье на блоки (заполненные кубы). Каждый агрегат нулевого порядка становится блоком, длина стороны которого равна 1, и включает в себя 7 меньших агрегатов со стороной 1/7: центр одного из них совпадает с центром исходного куба, а остальные шесть касаются центральных подквадратов на гранях исходного куба.

Ниже мы рассмотрим, как получил значение D=1 из фундаментального физического феномена Фурнье, и как к тому же результату пришел Хойл. С геометрической же точки зрения, случай D=1 является особым, даже если на протяжении всего построения придерживаться формы восьмигранника и значения N=7. Так как шары не перекрывают друг друга, величина 1/r может принимать любое значение в интервале от 3 до бесконечности, в результате чего получаем закон , где D=ln7/ln(1/r) на всем интервале от 0 до ln7/ln3=1,7712.

Далее, взяв любое D, удовлетворяющее неравенству D<3, можно, изменяя N, легко построить различные варианты модели Фурнье с данной размерностью.

 

МОДЕЛЬ ШАРЛЬЕ И ДРУГИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ ВСЕЛЕННЫЕ

Вышеописанные построения не избежали ни одного из недостатков, характерных для первых фрактальных моделей. Сильнее всего бросается в глаза то, что модель Фурнье, подобно модели кривой Коха в главе 6 и модели канторовой пыли в главе 8, до гротескности правильна. Для исправления ситуации Шарлье [77, 78] предложил предоставить N и r возможность переходить с одного иерархического уровня на другой, принимая значения Nm и rm .

Репутация Шарлье в научных кругах была столь высока, что, несмотря на все его щедрые похвалы Фурнье, высказанные на всех ведущих языках науки того времени, даже исходную модель вскоре стали приписывать знаменитому интерпретатору, а не никому не известному автору. Новая модель широко обсуждалась в то время, особенно в [516, 517, 518, 519]. Более того, она привлекла внимание весьма влиятельного Эмиля Бореля, чьи комментарии в [45] очень проницательны, хотя и несколько суховаты. Однако с той поры, если не считать нескольких судорожных попыток вытащить ее на свет, модель Шарлье пребывает в забвении (не очень убедительные причины такого забвения изложены в [445], с. 20-22 и 408-409). Тем не менее, умирать она упорно не желает. Основная идея к сегодняшнему дню была уже много раз открыта разными исследователями независимо друг от друга, особенно рекомендую заглянуть в [303]. (А еще см. раздел ПОЛЬ ЛЕВИ в главе 40.) Наиболее важным я, однако, считаю тот факт, что фрактальная основа вселенной Фурнье имплицитно присутствует в рассуждениях о турбулентности и галактиках в работе [579] (см. главу 10) и в модели галактического генезиса, предложенной Хойлом в [229] (ее мы рассмотрим чуть ниже).

Главная фрактальная составляющая присутствует и в моих моделях (см. главы с 32 по 35).

В этом свете возникает вопрос: может ли модель распределения галактик не быть фракталом с одним или двумя порогами? Думаю, что нет. Если мы согласны с тем, что распределение должно быть масштабно-инвариантным (причины необходимости этого изложены в главе 11), и с тем, что множество, на котором концентрируется материя, не является стандартным масштабируемым множеством, у нас не остается иного выбора, кроме признания фрактальности этого множества.

Принимая во внимание важность масштабной инвариантности, нетрудно понять, почему немасштабируемое обобщение Шарлье модели Фурнье было с самого начала обречено. < Оно, кстати, позволяет величине lnNm /ln(1/rm ) изменяться в зависимости от то в пределах двух границ, Dmin>0 и Dmax<3. Вот и еще одна тема для обсуждения: эффективная размерность не обязательно должна иметь одно-единственное значение, это значение может плавать между верхним и нижним пределами. К этой теме мы еще вернемся в главе 15. ►

 

ПОЧЕМУ ФУРНЬЕ ОЖИДАЛ D = 1?

Обсудим теперь весьма впечатляющую аргументацию, которая привела Фурнье к выводу, что показатель D должен быть равен 1 (см. [152], с. 103). Эта аргументация сама по себе является серьезным доводом в пользу того, чтобы имя ее автора не было забыто.

Рассмотрим галактический агрегат произвольного порядка с массой M и радиусом R. Отбросив бесплодные сомнения и применив к данному случаю формулу для объектов, обладающих сферической симметрией, допустим, что гравитационный потенциал на поверхности сферы равен GM/R (G — гравитационная постоянная). Звезда, падающая на нашу Вселенную, сталкивается с ее поверхностью на скорости V=(2GM/R)1/2 .

Согласно Фурнье, из того факта, что ни одна доступная наблюдению звезда не движется со скоростью, превышающей 1/300 от скорости света, можно вывести очень важное заключение. Масса, содержащаяся внутри мирового шара, возрастает прямо пропорционально его радиусу, а не объему, или, иными словами, плотность вещества внутри мирового шара обратно пропорциональна площади его поверхности... Поясним последнее утверждение — потенциал на поверхности сферы всегда одинаков, так как он прямо пропорционален массе вещества внутри сферы и обратно пропорционален расстоянию от центра. Как следствие, звездные скорости, близкие к скорости света, не являются распространенным явлением в любой части Вселенной.

 

СТВОРАЖИВАНИЕ ПО ХОЙЛУ; КРИТЕРИЙ ДЖИНСА

Иерархическое распределение фигурирует и в теории Хойла (см. [229]), согласно которой галактики и звезды образуются посредством каскадного процесса, причем начинается этот процесс с однородного газа.

Рассмотрим газовое облако массы M, нагретое до температуры T и распределенное с однородной плотностью внутри шара радиуса R. Как показал Джине, при M0 /R0 =JkRT/G возникает «критическая» ситуация. (Здесь k — постоянная Больцмана, a J — числовой коэффициент.) Находясь в критическом состоянии, первичное газовое облако нестабильно и неизбежно должно сжаться.

Хойл постулирует, что (а) величина M0 /R0 достигает критического значения где-то в самом начале, (б) сжатие прекращается, когда объем газового облака уменьшается до 1 /25 от первоначального объема, и (в) каждое облако на этом этапе распадается на пять меньших облаков с одинаковыми размерами, массами M1 =M0 /5 и радиусами R1 =R0 /5. То есть процесс приходит к тому же месту, на каком начался: результатом его является нестабильное состояние, за которым следует второй этап сжатия и разделения, затем — третий и т. д. Створаживание прекращается лишь тогда, когда облака становятся настолько непрозрачными, что задерживают образующееся при сжатии газа тепло внутри.

Как и в различных других областях, в которых встречаются подобные каскадные процессы, я предлагаю и к этому случаю применить общую терминологию, т. е. пять облаков мы будем называть творогом, а сам каскадный процесс — створаживанием. Как я уже упоминал при введении последнего термина, я просто не мог удержаться от аллюзий с галактиками.

Фурнье ради удобства графического изображения своей модели вводит N=7, Хойл же утверждает, что физически обоснованным является значение N=5. Детализация геометрической иллюстрации Фурнье выходит за всякие — разумные или необходимые — рамки. Высказывания Хойла относительно пространственной структуры творога, напротив, довольно туманны. Детальной реализации модели Хойла нам придется подождать до главы 23, где мы рассмотрим случайное створаживание. Как бы то ни было, упомянутые расхождения не имеют принципиального значения: главным является тот факт, что r=1/N, т. е. показатель D=1 должен стать неотъемлемой частью нашего построения, если мы хотим, чтобы створаживание завершалось тем же состоянием, с которого оно начиналось, — а именно, нестабильностью Джинса.

Кроме того, если длительность первого этапа принять за 1, то, согласно данным по газовой динамике, длительность того этапа составит 5−m . Следовательно, общая длительность всего процесса, состоящего из бесконечного количества этапов, не превышает 1,2500.

 

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПОДХОДОВ ФУРНЬЕ И ХОЙЛА К ВЫВОДУ D =1

На границе нестабильного газового облака, удовлетворяющего критерию Джинса, скорость и температура связаны соотношением V2 /2=JkT, так как GM/R равно и V2 /2 (Фурнье), и JkT (Джине). Вспомним теперь о том, что в статистической термодинамике температура газа прямо пропорциональна среднеквадратической скорости его молекул. Значит, из комбинации критериев Фурнье и Джинса можно предположить, что на границе облака скорость падения макроскопического объекта прямо пропорциональна средней скорости его молекул. Тщательный анализ роли температуры в критерии Джинса непременно покажет, что эти два критерия эквивалентны. < Вероятнее всего, аналогия распространяется и на справедливость отношения внутри галактик, о чем сообщает Валленквист в [583]. ►

 

ПОЧЕМУ D = 1,23, А НЕ D = 1?

Расхождение между эмпирическим значением D=1,23 и теоретическим значением Фурнье и Хойла D=1 поднимает важную проблему. П. Дж. Э. Пиблс рассмотрел ее в 1974 г. с позиций теории относительности. В его труде [467] получили исчерпывающее освещение физический и статистический (но не геометрический) аспекты упомянутой проблемы.

 

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ НЕБА

Небо — это проекция Вселенной. Для получения этой проекции каждая точка Вселенной сначала описывается сферическими координатами ρ, θ и φ, а затем координата ρ заменяется на 1. Если Вселенная представляет собой фрактал с размерностью D, а начало системы отсчета принадлежит этой самой Вселенной (см. главу 22), то структура проекции, как правило, определяется следующей альтернативой: D>2 подразумевает, что проекция покрывает некую ненулевую область неба, в то время как D<2 означает, что сама проекция имеет фрактальную размерность D. < Как показано на рис. 141 и 143, «правило» не лишено исключений, обусловленных структурой фрактала и/или/ выбором точки отсчета. О таких правилах часто говорят «истинно с вероятностью 1». ►

 

ЗАМЕЧАНИЕ ПО ПОВОДУ ЭФФЕКТА ПЫЛАЮЩЕГО НЕБА (НЕВЕРНО НАЗЫВАЕМОГО ПАРАДОКСОМ ОЛЬБЕРСА)

Правило из предыдущего раздела имеет непосредственное отношение к мотивации, побуждавшей различных исследователей (включая Фурнье) открывать собственные варианты фрактальной Вселенной. Они понимали, что такие вселенные геометрически «отменяют» эффект пылающего неба, который еще часто (но неверно) называют парадоксом Олъберса. Если допустить, что распределение небесных тел равномерно (т. е. D=3 во всех масштабах), то небо над нами должно быть почти равномерно освещено и ночью, и днем, причем яркость этого освещения должна быть сравнима с солнечной.

Парадокс этот физиков больше не интересует, будучи сведен на нет теорией относительности, теорией расширяющейся Вселенной и другими соображениями. Однако его кончина имела занятный побочный эффект: многочисленные комментаторы принялись цитировать свои излюбленные объяснения эффекта пылающего неба — одни в надежде оправдаться за пренебрежительное отношение к кластеризации, другие же, напротив, напрочь отрицая ее реальность. Очень странная, надо сказать, точка зрения. Даже если предположить, что кластеризация галактик никак не связана с отсутствием эффекта пылающего неба, она все равно существует — и требует надлежащего изучения. К тому же, как мы увидим в главе 32, концепция расширяющейся Вселенной совместима не только со стандартной, но и с фрактальной гомогенностью.

Эффект пылающего неба объясняется очень просто. Поскольку количество излучаемого звездой света прямо пропорционально площади ее поверхности, количество света, достигающее наблюдателя, находящегося от звезды на расстоянии R, должно быть , но площадь видимой поверхности звезды также . Таким образом, отношение количества света к видимому сферическому углу не зависит от R. Кроме того, если распределение звезд во Вселенной равномерно, то практически любое направление взгляда рано или поздно встретит какую-нибудь звезду. Следовательно, небо освещено звездным светом равномерно и выглядит пылающим. (Лунный диск в этом случае образует исключительно темную область — по крайней мере, при отсутствии атмосферной диффузии.)

Если же допустить, что Вселенная фрактальна и что ее размерность D<2, то парадокс разрешается сам собой. В этом случае проекция Вселенной на небесный свод является фрактальным множеством той же размерности D, т. е. множеством нулевой площади. Даже если звезды имеют ненулевой радиус, большая часть направлений уходит в бесконечность, не встречая на своем пути ни одной звезды. Если смотреть вдоль этих направлений, то мы увидим только черноту ночного неба. Если за интервалом, в котором D<3, следует интервал, в котором D=3, то фон неба будет не строго черным, но чрезвычайно слабо освещенным.

На эффект пылающего неба обратил внимание еще Кеплер вскоре после того, как Галилей в «Звездном послании» благожелательно отозвался об идее безграничной Вселенной. В своей «Беседе со звездным посланцем» (1610) Кеплер высказал следующее возражение: «Нимало не колеблясь, Вы заявляете, что взгляду доступны более 10000 звезд... Если это так и если [звезды] той же природы, что и наше Солнце, то почему все эти солнца в совокупности не превосходят наше Солнце в яркости?... Может быть их затмевает эфир? Ни в малейшей степени... Совершенно очевидно, что наш мир никоим образом не может принадлежать беспорядочному рою из бесчисленных иных миров» (см. [500], с. 34-35).

Вывод был довольно спорный, однако об аргументации не забыли — свидетельством тому может служить замечание Эдмунда Галлея (сделанное им в 1720 г.): «Я слышал еще об одном возражении, которое гласит, что если бы число неподвижных звезд было более чем конечным, то весь свод их видимой сферы сплошь светился бы». Позднее это возражение обсуждалось де Шезо и И. Г. Ламбертом, однако авторство его приписали большому другу Гаусса немецкому астроному Ольберсу. Термин «парадокс Ольберса», которым с тех пор называют это противоречие, скандален, но симптоматичен. Результаты наблюдений, попавшие в разряд «не подлежащих классификации» (см. с. 51), часто приписываются первому же представителю Официального Большинства, который украсит их вполне классифицируемой оберткой, пусть даже и временной. Обсуждение предмета в исторической перспективе можно найти в [160, 438, 445, 108, 601, 239, 82, 197].

 

ЗАМЕЧАНИЕ О НЬЮТОНОВСКОМ ТЯГОТЕНИИ

Преподобный Бентли все донимал Ньютона одним наблюдением, тесно связанным с эффектом пылающего неба: если распределение звезд однородно, то сила, с какой они действуют друг на друга, бесконечна. Можно добавить, что их гравитационный потенциал также бесконечен. И что любое распределение, в котором , даст при больших R бесконечный потенциал во всех случаях, кроме D<1. Современная теория потенциала (теория Фростмана) подтверждает тот факт, что между ньютоновским тяготением и значением D=1 существует некая особенная связь. Полученный Фурнье и Хойлом показатель D=1 также следует отнести к проявлениям этой связи. < Положение Фурнье о том, что «гравитационный потенциал на поверхности сферы всегда одинаков», является центральным в современной теории потенциала. ►

 

ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

< У де Вокулера (см. [104]) сказано: «Согласно теории относительности, следует считать, что для того, чтобы шар из стационарного вещества был видимым в оптическом диапазоне, его радиус R должен быть больше предела Шварцшильда RM =2GM/c2 , где c — скорость света. На графике зависимости средней плотности р различных космических систем от их характеристического радиуса R точка определяет верхний предел. Отношение ρ/ρM можно назвать коэффициентом заполнения Шварцшильда. Для наиболее распространенных астрономических тел (звезд) или систем (галактик) коэффициент заполнения очень мал, порядка 10−4 ÷10−6 ». Квадрат отношения скоростей, постулированный Фурнье, равен 300−2 ~10−5 — как раз в середине упомянутого интервала. ►

 

АГГЛЮТИНИРОВАННАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ВСЕЛЕННАЯ?

Многие исследователи полагают, что можно объяснить образование звезд и других небесных объектов с помощью восходящего каскада (т. е. постепенной агглютинации сильно рассеянных частиц пыли во все большие куски), не желая ничего слышать о нисходящем каскаде а 1а Хойл (т. е. постепенной фрагментации очень больших и рассеянных масс на все меньшие части).

Похожая альтернатива возникает в связи с каскадами, постулированными в теории турбулентности (см. главу 10). Ричардсонов каскад протекает по нисходящей ко все более мелким вихрям, однако в процессе могут участвовать и восходящие каскады (см. главу 40, раздел ЛЬЮИС ФРАЙ РИЧАРДСОН). Таким образом, можно надеяться, что взаимоотношения между нисходящими и восходящими каскадами получат вскоре надлежащее объяснение.

 

ФРАКТАЛЬНЫЕ МАССИВЫ ТЕЛЕСКОПОВ

Вряд ли можно найти более подходящий завершающий штрих для этой дискуссии, чем замечание относительно инструментов, с помощью которых производится наблюдение галактик. Дайсон [126] предлагает для улучшения качества наблюдения заменять большие одиночные телескопы массивами из малых телескопов. Диаметр каждого из малых телескопов должен составлять около 0,1м (размер наименьшего оптически существенного атмосферного возмущения), их центры должны образовывать фрактально иерархическую схему, а соединение между телескопами обеспечат интерферометры Карри. Грубый анализ приводит к выводу, что в качестве подходящего значения размерности следует взять 2/3. Вот заключение самого Дайсона: «Трехкилометровый массив из 1024 десятисантиметровых телескопов, соединенных между собой 1023 интерферометрами, — не самое практичное на сегодняшний день предложение. [Я выдвинул его] в качестве теоретической идеи, чтобы показать, что здесь, в принципе, можно сделать».

 

ОБЗОР СЛУЧАЙНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИК

Если верить тому, что можно эффективно описать распределение галактик с помощью нечаянно обнаруженных фрактальных моделей, не отличающихся ни сложностью, ни универсальностью, не стоит удивляться, что намеренно фрактальные случайные модели могут снабдить нас гораздо более эффективными описаниями. Начнем с того, что мы сможем значительно лучше понять створаживание Хойла, рассмотрев его в надлежащем окружении, т. е. среди случайных фракталов (см. главу 23). Еще большей значимостью обладают, на мой взгляд, разработанные мною случайные модели, о которых мы поговорим в главах с 32 по 35. Один из доводов в пользу рассмотрения нескольких моделей заключается в том, что за улучшение качества описания приходится «платить» возросшей сложностью. Второй довод — каждая модель строится на особой фрактальной пыли, каждая из которых заслуживает отдельного рассмотрения. Рассмотрим вкратце эти модели в логическом порядке.

Примерно в 1965 г. я задался целью снабдить соотношение при D<3 соответствующей моделью, в которой «центр Вселенной» отсутствовал бы как понятие. Впервые я достиг этой цели с помощью модели случайного блуждания, описываемой в главе 32. Затем, в качестве альтернативы, я разработал модель трем, сущность которой заключалась в том, что из пространства вырезалась некая совокупность взаимно независимых и размещенных случайным образом трем случайного радиуса, причем верхняя граница радиуса могла достигать верхнего порога L, который мог быть конечным или бесконечным.

Поскольку обе модели были выбраны исключительно из соображений формальной простоты, меня приятно удивило наличие у них прогнозирующей ценности. Мои теоретические корреляционные функции [383] оказались в хорошем согласии с подобранными по кривым функциями, приведенными у Пиблса (см. [467], с. 243-249). < Точнее, два моих приближения совпали на двухточечной корреляции, случайные блуждания дали хорошую трех- и плохую четырехточечную корреляции, а сферические тремы оказались на высоте во всех известных корреляциях. ►

К сожалению, примеры, генерируемые этими моделями, выглядят совершенно нереалистично. Воспользовавшись понятием, которое я разработал специально для этой цели и о котором расскажу в главе 35, можно сказать, что мои ранние модели демонстрируют неприемлемые лакунарные свойства. В случае модели трем этот недостаток можно исправить, введя более сложные формы трем. Для модели случайного блуждания я использовал менее лакунарный «субординатор».

Таким образом, изучение скоплений галактик значительно стимулировало развитие фрактальной геометрии. В настоящее же время диапазон применений фрактальной геометрии при исследовании скоплений галактик значительно расширился, выйдя далеко за рамки тех генеральных уборок и отладок, что мы предприняли в этой главе.

 

ОГРАНЕННЫЕ АЛМАЗЫ, ПОХОЖИЕ НА ЗВЕЗДЫ

Распределение алмазных залежей в земной коре очень напоминает распределение звезд и галактик на небесном своде. Представьте себе большую карту мира, на которой каждая алмазная копь, каждое богатое месторождение — разрабатываемое сейчас или уже заброшенное — отмечено булавкой. Рассматривая карту с достаточно большого расстояния, мы увидим, что плотность распределения булавок чрезвычайно неравномерна. Тут и там разбросано несколько отдельных булавок, однако большая часть концентрируется в немногочисленных благословенных (или проклятых) областях. Поверхность земли внутри этих областей, в свою очередь, вовсе не вымощена равномерно алмазами. Взглянув на каждую из них вблизи, мы вновь увидим, что большая часть территории остается пустой, в то время как немногочисленные рассеянные подобласти демонстрируют значительно возросшую концентрацию алмазов. Этот процесс можно продолжать на протяжении нескольких порядков величины.

Не возникает ли у вас неодолимого желания применить в этом контексте концепцию створаживания? Со своей стороны скажу, что подобная модель существует, предложил ее де Вис, а рассмотрим мы ее в главе 39 в разделе НЕЛАКУНАРНЫЕ ФРАКТАЛЫ.

В книге Фурнье [152] к этой иллюстрации предлагается следующее пояснение: «Мультивселенная, построенная по принципу креста или восьмигранника, не является планом нашего мира, но помогает показать возможность существования бесконечного ряда подобных последовательных вселенных без возникновения эффекта «пылающего неба». Количество материи в каждой мировой сфере прямо пропорционально ее радиусу. Это условие является необходимым для соблюдения законов тяготения и излучения. В некоторых направлениях небо выглядит совершенно черным — несмотря на то, что ряд вселенных бесконечен. «Мировым числом» в данном случае является N=7, а не 1022 , как в реальном мире».

В терминах, вводимых в главе 34, вселенная с D=1 и N=1022 обладает очень низкой лакунарностью, но чрезвычайно стратифицирована.

Если мы попытаемся передать рис. 141 в точном масштабе, то его не только будет очень сложно напечатать и рассмотреть, он еще и окажется способен ввести зрителя в заблуждение. В самом деле, на нем изображена вовсе не Вселенная с размерностью D=1, а всего лишь ее проекция на плоскость, причем размерность этой проекции равна D=ln5/ln7~0,8270<1. Поэтому, дабы не оставить ложного впечатления, спешим представить регулярную плоскую конструкцию в духе Фурнье с размерностью D=1 и коэффициентом подобия 1/r=5 вместо 1/r=7. Построение продолжено на один этап дальше, чем это возможно на рис. 141.

 

Исследование турбулентности — одна из старейших, сложнейших и наиболее неблагодарных глав в истории физики. Простого здравого смысла и кое-какого опыта достаточно, чтобы показать, что в одних условиях поток газа или жидкости остается гладким (в специальной терминологии — «ламинарным»), а в других — нет. Вот только где провести границу? Следует ли обозначать термином «турбулентность» все негладкие потоки, включая большую часть метеорологических и океанографических феноменов? Или лучше будет сузить значение этого термина до какого-то одного класса, и если да, то до какого? Создается впечатление, что у каждого ученого имеются собственные ответы на эти вопросы.

К счастью, нам не нужно разбираться здесь с этими расхождениями во мнениях, так как мы намерены заниматься лишь бесспорно турбулентными потоками, самой заметной характеристикой которых является полное отсутствие сколько-нибудь определенного масштаба длины: в рамках одного процесса соседствуют «вихри» всевозможных размеров. Эта характерная черта хорошо видна на рисунках Леонардо и Хокусая. Она указывает на то, что турбулентность глубоко чужда духу «старой» физики, которая имела дело лишь с явлениями, имеющими вполне определенный масштаб. И та же самая причина включает изучение турбулентности в круг наших непосредственных интересов.

Кому-то из читателей, наверное, известно, что практически все исследователи турбулентности сосредоточивались на аналитическом рассмотрении потока жидкости, совершенно не касаясь геометрической стороны проблемы. Хочется верить, что эта несбалансированность не отражает предубежденного отношения к геометрии. По сути дела, многие геометрические формы, участвующие в турбулентности, легко увидеть или сделать видимыми, и они прямо-таки напрашиваются на надлежащее описание. Однако им не удавалось привлечь к себе заслуженного внимания до появления фрактальной геометрии. Потому что, как я с самого начала и предполагал, турбулентность включает в себя множество фрактальных аспектов; о некоторых из них мы поговорим в этой и последующих главах.

Здесь необходимо сделать две оговорки. Во-первых, мы оставим в стороне проблему возникновения турбулентности в ламинарном потоке. У меня есть серьезные основания полагать, что в это возникновение также вовлечены некоторые, весьма важные, фрактальные моменты, однако они еще недостаточно разъяснены и поэтому их еще рано обсуждать здесь. Во-вторых, мы не намерены затрагивать такие периодические структуры, как ячейки Бенара и дорожки Кармана.

Начинается глава с призывов о более геометрическом подходе к турбулентности и об использовании при ее исследовании фракталов. Призывы эти многочисленны, но весьма кратки, так как включают в себя в основном предположения с очень небольшим (пока) количеством практических результатов.

После этого мы сосредоточимся на проблеме перемежаемости, которую я довольно активно исследовал. Самый важный из моих выводов состоит в том, что область рассеяния, т. е. пространственное множество, на котором концентрируется турбулентное рассеяние, может быть смоделировано фракталом. Из произведенных с различными целями измерений можно заключить, что размерность D этой области лежит где-то в районе 2,5-2,6, но, вероятно, не превышает 2,66.

К сожалению, у нас не получится построить точную модель, пока мы не определим топологические свойства области рассеяния. В частности, представляет ли она собой пыль, извилистую разветвленную кривую (вихревую трубу) или волнистую слоистую поверхность (вихревой лист)? Первое предположение маловероятно, а второе и третье предполагают модели, похожие на разветвленные фракталы из главы 14. Однако принять такое решение мы с вами пока не можем. Прогресс на новом фрактальном фронте никак не помогает нам разобраться с фронтом старым, топологическим. Наши знания о геометрии турбулентности все еще пребывают в зачаточном состоянии.

Большая часть материала этой главы не требует какой-либо специальной подготовки. < Но специалист наверняка заметит, что часть фрактального анализа турбулентности представляет собой геометрический аналог аналитического анализа корреляций и спектров. Отношения между теориями турбулентности и вероятности — старая история. В самом деле, самые первые исследования Дж. И. Тейлора оказались вторым по значимости (после броуновского движения Перрена) фактором, оказавшим серьезное влияние на создание Норбертом Винером математической теории стохастических процессов. Спектральный анализ уже давно вернул (даже с процентами) все, что он «занимал» в тогдашних исследованиях турбулентности. Настало время и для теории турбулентности воспользоваться достижениями современной стохастической геометрии. В частности, спектр Колмогорова имеет геометрический аналог, который мы рассмотрим в главе 30. ►

 

ОБЛАКА, КИЛЬВАТЕРНЫЕ СЛЕДЫ, РЕАКТИВНЫЕ СТРУИ И Т. Д.

Общей задачей геометрии турбулентности является описание формы границы области, внутри которой проявляется какое-либо характерное свойство жидкости. В качестве яркого примера таких областей можно назвать нагромождение друг на друга валов как в обычных (водяных) облаках, так и в облаках, образуемых вулканическими извержениями или ядерными взрывами. На этом этапе нашего эссе и в самом деле трудно избавиться от ощущения, что раз уж существует интервал масштабов, в котором облако, можно сказать, имеет вполне определенную границу, то границы облаков просто обязаны быть фрактальными поверхностями. Это относится и к картинке, которую дает наступающий шторм на экране радара. (Первое подтверждение этого предположения можно найти в главе 12.)

И все же я предпочитаю иметь дело с более простыми формами. Мы можем рассмотреть турбулентность внутри ограниченной области, окруженной со всех сторон ламинарной жидкостью — скажем, кильватерный след или реактивную струю. В самом грубом приближении, каждая из этих областей представляет собой цилиндр. Если же рассмотреть ее границу подробнее, мы обнаружим целую иерархию выступов и впадин, величина которых возрастает с увеличением так называемого числа Рейнольдса — классической гидродинамической характеристики. Эта отчетливо видимая сложная «локальная» структура больше напоминает не цилиндр, а веревку с множеством плавающих вокруг распущенных концов. Типичное поперечное сечение такой фигуры уже совершенно не похоже на окружность, а оказывается ближе к кривой Коха и еще ближе к наиболее изрезанным береговым линиям с островами, рассмотренным в главах 5 и 28. В любом случае, граница реактивной струи выглядит фрактальной. Топология присутствующих в ней вихревых колец, безусловно, интересна, но не описывает всей структуры.

Прежде чем мы перейдем к следующему замечанию, я хотел бы, чтобы читатель представил мысленным взором картину какой-нибудь кильватерной струи — скажем, симпатичное нефтяное пятно, расплывающееся за вышедшим из строя танкером. Описывающий такую струю, в самом грубом приближении, «цилиндр» приобретает довольно сложную структуру: он совершенно теряет свою цилиндрическую форму, так как его поперечное сечение быстро расширяется по мере удаления от корабля, а его уже вовсе не прямая «ось» начинает демонстрировать всевозможные изгибы, типичный размер которых также увеличивается с увеличением расстояния от корабля.

Похожие свойства были обнаружены и в турбулентности, вызванной сдвигом относительно друг друга жидких масс, находящихся в соприкосновении (см. [56, 58]). Получающиеся в результате сцепленные структуры («животные») вызывают сейчас широкий интерес. Их внешняя форма лишена каких бы то ни было фрактальных признаков, однако иерархия тонких деталей изгибов границы между жидкостями демонстрирует поразительно фрактальную структуру.

В качестве еще одного примера такого рода можно привести знаменитое Красное пятно в атмосфере Юпитера.

Похожие, но все же другие задачи встают перед исследователем Гольфстрима. Гольфстрим не является единым морским течением с четкой границей — он делится на множество извилистых ответвлений, причем эти ветви, в свою очередь, также делятся и ветвятся. Было бы весьма полезно получить подробное описание его склонности к ветвлению — нет никакого сомнения, без фракталов здесь не обошлось.

 

ИЗОТЕРМЫ, ДИСПЕРСИЯ И Т.Д.

Интересно также было бы исследовать форму поверхностей постоянной температуры или изоповерхностей любой другой скалярной характеристики потока. Изотермы можно очерчивать с помощью поверхности, окружающей быстроразмножающийся планктон, который живет только при температуре воды, превышающей 45°, и занимает весь доступный ему объем. Граница такого пузыря чрезвычайно изрезана и искривлена; в конкретной модели из главы 30 граница очевидно фрак- тальна.

Целый широкий класс геометрических задач возникает в том случае, когда среда турбулентна во всем своем объеме; при этом взаимодействующие области отличает друг от друга какая-либо «пассивная» или инертная характеристика, которая никак не влияет на поток. Лучшим примером здесь будет рассеиваемая турбулентностью капля краски. Во все стороны от капли расходятся хорошо видимые бесконечно ветвящиеся языки всевозможных форм и размеров — и ни существующие методы анализа, ни стандартная геометрия не смогут оказать нам сколько-нибудь существенную помощь в описании образующихся фигур. На рис. 85 и в статье [386] вы найдете доводы в пользу фрактальной природы этих фигур.

 

ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Турбулентность при ясном небе. Изученные мною разрозненные источники дают возможность сделать вывод, что несущее множество этого феномена фрактально.

Поток вдоль фрактальной границы. Еще один типичный случай, в котором гидромеханике не обойтись без фракталов (см. рис. 74 и 104).

Растягивание вихрей. Движение жидкости заставляет вихри растягиваться, а растягиваемый вихрь должен сплющиваться, чтобы сохранить фиксированный объем при увеличивающейся длине. Я предполагаю, что в пределах масштабной инвариантности потока форма вихря стремится к фрактальной.

Траектория частицы в жидкости. В грубом приближении, навеянном птолемеевой моделью планетарного движения, представим себе частицу, которую несет вертикально вверх с единичной скоростью общее течение жидкости и которая испытывает возмущающее воздействие иерархии вихрей, каждый из которых совершает вращательное движение в горизонтальной плоскости. Результирующие функции x(t)−x(0) и y(t)−y(0) представляют собой суммы косинусоид и синусоид. Если высокочастотные члены очень слабы, то траектория частицы непрерывна и дифференцируема, а значит спрямляема, и ее размерность равна D=1. Если же высокочастотные члены сильны и достигают 0, то траектория фрактальна с размерностью D>1. Предположив, что вихри самоподобны, мы получаем траекторию, идентичную знаменитому пугалу математического анализа: функции Вейерштрасса (см. главы 2, 39 и 41). Это приводит нас к вопросу: можно ли связать переход всего объема жидкости в состояние турбулентности с условиями, при которых траектория движущейся в этой жидкости частицы фрактальна?

 

ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Турбулентность в конце концов заканчивается рассеянием: благодаря вязкости жидкости энергия видимого движения преобразуется в тепло. В ранних теориях предполагалось, что это рассеяние однородно в пространстве. Однако надежды на то, что модель «гомогенной турбулентности» может иметь хоть какой-то смысл были рассеяны Ландау и Лифшицем [286], которые отмечают, что одни области характеризуются высокой степенью рассеяния, тогда как в других по сравнению с первыми рассеяние практически отсутствует. Это означает, что хорошо известное свойство ветра налетать порывами отражено — и даже более последовательным образом — и в меньших масштабах.

Этот феномен, получивший название перемежаемость, был впервые исследован в работе [19], с. 253. См. также [18] (раздел 8.3), [433] и [434]. Особенно ярко выражена перемежаемость при очень больших числах Рейнольдса, т. е. когда внешний порог турбулентности достаточно велик по отношению к ее внутреннему порогу (например, на звездах, в океанах и в атмосфере).

Области, в которых сосредоточивается рассеяние, весьма удобно называются несущими или опорными.

Тот факт, что мы сводим в этом эссе вместе перемежаемость турбулентности и распределение галактик, совершенно естествен и даже не нов. Некоторое время назад физики (например, [579]) предприняли попытку объяснить происхождение галактик с помощью турбулентности. Понимая, что гомогенная турбулентность не сможет объяснить звездной перемежаемости, фон Вайцзекер набросал несколько поправок в духе модели Фурнье (или Шарлье, см. главу 9), а, значит, и в духе представляемой здесь теории. Если бы сегодня кто-нибудь занялся подобной объединяющей деятельностью, он вполне смог бы установить физическую связь между двумя типами перемежаемости и определить соответствующие самоподобные фракталы.

Одной из целей такого объединения может быть соотнесение размерности распределения галактик (D~1,23, как нам известно) с размерностью, характеризующей турбулентность (где-то в районе 2,5-2,7).

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Как мы заметили, один и тот же термин «турбулентность» применяется, как ни странно, для обозначения нескольких различных феноменов. Возможно, факт отсутствия четкого определения станет более понятным, если допустить — а я не просто допускаю, я заявляю, что так оно и есть, и намерен это доказать, — что подобающее определение турбулентности требует участия фракталов.

При слове «турбулентность» перед нашим мысленным взором появляется картинка, которая не меняется вот уже почти сто лет, с тех самых пор как Рейнольде впервые описал этот феномен по отношению к потоку жидкости в трубе: когда давление впереди потока мало, движение регулярно и «ламинарно», как только давление возрастает до определенной величины, вся регулярность неожиданно куда-то пропадает. В этом классическом примере носителя турбулентного рассеяния либо нет вообще, «пустое множество», либо им является вся труба целиком. И в том, и в другом случае отсутствуют не только достойные изучения геометрические особенности, но и сколько-нибудь веская причина для определения турбулентности.

С кильватерными струями все не так просто. Здесь существует граница между зоной турбулентности и окружающей ее водой, и геометрические особенности этой границы уже стоит изучить. Однако граница эта снова столь четко выражена, что не возникает насущной необходимости в отыскании «объективного» критерия для определения турбулентности.

Полностью установившаяся турбулентность в аэродинамической трубе также не представляет особых сложностей для исследователя, поскольку, как и в трубе Рейнольдса, зона турбулентности, по всей видимости, охватывает весь доступный объем. Тем не менее, используемые для достижения этого эффекта процедуры иногда весьма любопытны, если верить кое-каким упорно циркулирующим слухам. Говорят, что когда аэродинамическая труба только что запущена, она совершенно не годится для изучения турбулентности. Турбулентность не только не желает заполнять весь доступный ей объем, она и сама выглядит «турбулентной», проявляясь в нерегулярных и неконтролируемых порывах. Только после долгих трудов удается стабилизировать всю систему, превратив ее в некое подобие трубы Рейнольдса. Благодаря этому факту я числю себя среди тех, кому интересно, в какой степени неперемежающаяся «лабораторная турбулентность» в аэродинамических трубах может считаться тем же физическим явлением, что и перемежающаяся «естественная турбулентность» в атмосфере. Вывод: необходимо определиться с терминами.

К решению этой задачи мы подойдем кружным путем, начав с нечетко определенной концепции турбулентности и рассмотрев одномерные данные о скорости в точке. Приблизительный анализ таких данных может быть проиллюстрирован движениями центра тяжести большого самолета. Всякое отклонение самолета от своего пути указывает на наличие в атмосфере определенных областей с сильным рассеянием. Маленький самолет может послужить более чувствительным индикатором: он «чувствует» такие турбулентные потоки, которые никак не влияют на движение большого самолета, а каждый удар, претерпеваемый большим самолетом, воспринимается маленьким как целая серия более слабых ударов. Таким образом, если тщательно рассмотреть область сильного рассеяния в поперечном сечении, то станут ясно видны ламинарные включения, а при увеличении разрешающей способности анализа станут доступны и более мелкие включения.

Каждый этап требует переопределения того, что есть турбулентность. Понятие турбулентного интервала данных приобретает смысл, если понимать его как «интервал данных, который нельзя охарактеризовать полным отсутствием турбулентности». С другой стороны, более строгое понятие целиком турбулентного интервала данных представляется лишенным видимого смысла. По мере прохождения последовательных этапов анализа мы получаем все более ярко выраженную турбулентность на протяжении все меньшей доли от всего интервала данных. Объем носителя рассеяния, судя по всему, сокращается. Нашей следующей задачей будет построение модели этого носителя.

 

РОЛЬ САМОПОДОБНЫХ ФРАКТАЛОВ

Как я уже говорил, меня не удивляет тот факт, что на сегодняшний день по-настоящему исследованы очень немногие геометрические аспекты турбулентности, так как ученые имели в своем распоряжении только евклидовы методы. Чтобы избежать накладываемых ими ограничений, многие использовали в своих описаниях доевклидову терминологию. Например, в трудах по перемежаемости наблюдается необычно частое употребление таких «терминов», как пятнистый и комковатый, а Бэтчелор и Таунсенд [19] полагают, что «существует четыре возможных категории фигур: пузыри, пруты, бруски и ленты». Некоторые лекторы используют также (правда, чаще в устной речи) такие термины, как фасоль, спагетти и салат — образная терминология, не скрывающая мощи стоящей за ней геометрии.

Что касается тех исследований, которые я вел с 1964 г. и впервые представил на Киотском симпозиуме 1966 г. (см. [353]), то они усовершенствуют классический геометрический инструментарий добавлением в него самоподобных фракталов.

Отстаивать использование фракталов — шаг довольно новый и радикальный, однако обязать фракталы турбулентности быть самоподобными вполне укладывается в ортодоксальные рамки, поскольку само понятие самоподобия было впервые введено в обиход для описания турбулентности. Пионером в этой области выступил Льюис Фрай Ричардсон, с которым мы познакомились в главе 5. В 1926 г. [491] Ричардсон ввел концепцию иерархии вихрей, связанных каскадным процессом. (См. также главу 40.)

Кроме того, именно в контексте турбулентности теория каскадов и самоподобия достигла своих прогнозистских триумфов в период между 1941 и 1948 гг. Главными действующими лицами здесь были Колмогоров, Обухов, Онсагер и фон Вайцзекер, однако традиция связывает достижения этого периода только с именем Колмогорова. Как бы то ни было, где-то между Ричардсоном и Колмогоровым в теории турбулентности произошел некоторый почти незаметный сдвиг.

Если концепция самоподобия вытекает из рассмотрения доступных визуальному восприятию вихрей, то теория Колмогорова уже является чисто аналитической. Фракталы же позволяют применить методы самоподобия к геометрии турбулентности.

Фрактальный подход следует сопоставить с тем своеобразным фактом, что пузыри, пруты, бруски и ленты, составлявшие вчерашние варианты выбора, не самоподобны. Это, очевидно, и послужило причиной появления высказываний в том смысле, что выбор «примитивен» и что необходимы какие-то промежуточные варианты (см., например, [282]).

В голову приходят некоторые возможные произвольные изменения в стандартных формах специально для данного случая. Например, можно расщепить пруты на шнуры, окруженные свободно болтающимися прядями (вспомните аналогичную ситуацию с кильватерными или реактивными струями), и нарезать из брусков тонкие листы с отделяющимися слоями. Можно даже как-нибудь добиться самоподобия этих прядей и слоев.

Однако такое искусственное введение самоподобия никем до сих пор не было предпринято, и я, со своей стороны, считаю это занятие как неперспективным, так и малоприятным. Я предпочитаю следовать совершенно другим путем, предоставляя самому процессу генерировать и общие формы областей, и подробности структуры прядей и слоев. Поскольку в элементарных самоподобных фракталах отсутствует понятие привилегированного направления, мы не будем затрагивать (пока) все те интересные геометрические задачи, которые возникают при комбинации турбулентности и интенсивного движения всей системы.

< Обухов [454] и Колмогоров [277] представили в 1962 г. первые аналитические исследования перемежаемости. По своему непосредственному воздействию эти работы почти догнали работы тех же авторов 1941 г. [453, 276], однако в них имеются серьезные ошибки, и вряд ли можно говорить о сколько-нибудь значительной долгосрочной научной ценности этих работ. См. [367, 378, 387] и [280]. ►

 

ВНУТРЕННИЙ И ВНЕШНИЙ ПОРОГИ

Благодаря вязкости, внутренний порог турбулентности положителен. А кильватерные и реактивные струи и прочие подобные потоки явно демонстрируют конечный внешний порог Ω. Сейчас, однако, очень многие полагают, что в конечности Ω следует усомниться. Ричардсон [491] заявляет, что «согласно результатам наблюдений, численные значения [предполагается, что они должны сходиться для образцов с размерами, близкими к Ω] зависят исключительно от того, насколько велика протяженность объема, учитываемого при вычислении. Исследования Дефан- та показывают, что в атмосфере предела достичь невозможно». Метеорологи сначала проигнорировали это заявление (слишком поспешное, на мой взгляд), потом просто забыли о нем. Новые данные, приведенные в главе 11, и исследование лакунарности в главе 34 только подтверждают мое убеждение в том, что вопрос пока еще не закрыт.

 

СТВОРАЖИВАНИЕ И ФРАКТАЛЬНО ГОМОГЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

На предварительном этапе мы можем приблизительно представить несущее множество турбулентности в виде одного из самоподобных фракталов, полученных в предыдущих главах с помощью створаживания. Это створаживание является грубой «дерандомизированной» формой модели Новикова-Стюарта в главе 23. После конечного числа m этапов створаживающего каскада рассеяние однородно распределяется по N=r−mD из r−3m неперекрывающихся субвихрей n-го порядка, положения которых определяются генератором. Продолжив каскад до бесконечности, мы получаем предельное однородное распределение рассеяния на фрактале размерности D<3. Я думаю, этот предел можно назвать фрактально гомогенной турбулентностью.

Гомогенная турбулентность по Дж.И.Тейлору получается при D→3. Самым выдающимся результатом такого подхода является то, что створаживание не исключает размерности D=3, однако допускает и новую возможность: D<3.

 

ПРЯМОЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ТОМУ, ЧТО РАЗМЕРНОСТЬ НОСИТЕЛЯ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ УДОВЛЕТВОРЯЕТ НЕРАВЕНСТВУ D>2

С точки зрения линейных сечений широкие классы неограниченных фракталов ведут себя достаточно просто: сечение почти наверняка пусто при D<2 и с положительной вероятностью непусто при D>2. (В главе 23 доказывается этот вывод для класса простых фракталов.)

Если бы множество-носитель турбулентного рассеяния удовлетворяло неравенству D<2, то из предыдущего заявления вытекало бы, что практически ни один из экспериментальных замеров не попадет в зоны турбулентности. Так как этого не происходит, можно предположить, что в реальности D>2. Это заключение обладает необычайной силой, поскольку оно опирается на многократно воспроизведенный эксперимент, возможные результаты которого сводятся к альтернативе между «часто» и «никогда».

Предварительный топологический аналог DT >2 (см. [387]) выглядит весьма многообещающе, однако слишком специально для того, чтобы подробно рассматривать его на этих страницах.

 

ГАЛАКТИКИ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. СРАВНЕНИЕ

Неравенство D>2 для множества-носителя турбулентного рассеяния и обратное неравенство D<2 для распределения массы в космосе (см. главу 9) происходят из тесно связанных между собой разных знаков величины D−2 на типичном сечении фрактала и на его типичной проекции на плоскость (или на небесный свод). Для рассматриваемого в настоящей главе феномена такое сечение должно быть непустым. В главе 9, напротив, было показано, что эффект пылающего неба «отменяется», если большая часть проведенных от Земли прямых линий так никогда и не встречается ни с одной звездой. Это означает, что проекция всех звезд на земной небосвод должна иметь исчезающе малую площадь.

Различие между знаками при D−2 в двух упомянутых проблемах должно иметь самое непосредственное отношение к различию между их структурами.

 

(НЕ)РАВЕНСТВО ПОКАЗАТЕЛЕЙ [353, 387]

Множество полезных характеристик фрактально гомогенной турбулентности зависит исключительно от D. Эта тема рассмотрена в [387], где перемежающаяся турбулентность характеризуется с помощью ряда концептуально различных показателей, связанных некоторыми (не)равенствами. < Аналогичным образом обстоит дело с явлениями, происходящими в критической точке. ►

Спектральные (не)равенства. В [353] (где я, кстати, использовал обозначение θ=D−2) было впервые получено некое (не)равенство; обычно оно выражается через спектр скорости турбулентности, однако здесь мы запишем его в вариационной форме. Внутри фрактально гомогенной турбулентности скорость v в точке x удовлетворяет следующему выражению:

,

где B=(3−D)/3.

В случае гомогенной турбулентности Тейлора D=3, а значит, B обращается в нуль, после чего остается классический показатель Колмогорова 2/3, с которым мы встретимся снова в главе 30.

В [387] также показано, что в более общей модели взвешенного створаживания, описанной в [378], B≤(3−D)/3.

β -модель. Авторы работы [157] ухитрились нарастить на фрактально гомогенную турбулентность (как она описана в [387]) псевдодинамическую терминологию. Их интерпретация оказалась весьма удобной, хотя математические рассуждения и выводы идентичны моим. Термин «β-модель», которым окрестили эту интерпретацию, даже приобрел некую популярность, и теперь его нередко идентифицируют с фрактальной гомогенностью.

 

ТОПОЛОГИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ: ВОПРОС ВСЕ ЕЩЕ ОТКРЫТ

В предыдущих главах мы встретили с избытком свидетельств тому, что одно и то же значение D может характеризовать множества, весьма отличающиеся с точки зрения топологической связности. Топологическая размерность DT ставит нижнюю границу для фрактальной размерности D, однако граница эта очень часто нарушается, причем величины этих нарушений столь велики, что сама граница теряет всякий смысл. Фигура с фрактальной размерностью в интервале от 2 до 3 может выглядеть и как «лист», и как «линия», и как «пыль», а разнообразие конкретных конфигураций настолько велико, что становится очень сложно подобрать или даже придумать новые названия для них. Например, фрактальные фигуры, в общем и целом напоминающие веревку, могут вырастить настолько плотные «пряди», что в результате получится нечто «большее», чем веревка. Аналогичным образом, фрактальные почти-листы оказываются чем-то большим, чем листы. Возможно также произвольно смешивать их «листовые» и «веревочные» признаки. На интуитивном уровне можно было бы понадеяться на то, что должна существовать некая более тесная связь между фрактальной размерностью и степенью связности, однако эту надежду математики потеряли где-то между 1875 и 1925 гг. Мы обратимся к одной специальной проблеме такого рода в главе 23, но уже сейчас можно сказать, что действительная природа весьма нечеткой связи между этими структурами представляет собой по существу неизведанную территорию.

Вопрос о ветвлении, поднимаемый в главе 14, также очень важен, но его воздействие на исследования турбулентности на настоящий момент пока не выяснено.

Неравенства эксцесса. Рассмотрение проблемы связности в [88], [565] и [507] основано на использовании меры перемежаемости, называемой эксцессом. Со стороны может показаться, что эти модели имеют дело с фигурами, которые сочетают в себе топологические размерности плоскости (листы) и прямой (пруты). В действительности же топология здесь рассматривается опосредованно, через показатель предсказанного степенного отношения между эксцессом и числом Рейнольдса. К сожалению, такой подход не срабатывает, так как на показатель эксцесса влияют различные добавочные допущения, и, в конечном счете, он зависит исключительно от фрактальной размерности D фигуры, генерируемой моделью. В [88] предполагается, что значение D равно топологической размерности, которая постулируется там же, DT =2. Предположение неверно, оно лишь отражает тот факт, что данные фрактальны, а сама модель — нет. В статье [565] постулируется DT =1, но D при этом принимает дробное значение 2,6, т. е. эта модель включает в себя некий приближенный фрактал. И все же, предпринятая попытка вывести из эксцесса комбинацию интуитивной «фигурной» и топологической размерностей лишена каких бы то ни было оснований.

 

Эта глава посвящена первому пересечению фрактальной геометрии Природы с основным направлением математической физики. Тема эта представляется мне настолько важной, что заслуживает отдельной главы. Читатели, интересы которых лежат в других областях, могут эту главу спокойно пропустить и двигаться дальше.

 

РАСКОЛ В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Основным недостатком текущего состояния теоретических исследований турбулентности является то, что они разделены, как минимум, на две не связанные друг с другом области. В одной царит предложенная Колмогоровым в 1941 г. (см. [276]) весьма успешная феноменология (о которой мы подробно поговорим в главе 30). Вторая имеет дело с дифференциальными уравнениями гидродинамики, выведенными для невязких жидкостей Эйлером, а для вязких — Навье (и Стоксом). Эти области никак не соотносятся между собой. Если «объяснить» и «понять» означает «свести к фундаментальным уравнениям», то теория Колмогорова еще не объяснена и не понята. Решать уравнения о движении жидкости она также не помогает.

На первый взгляд может показаться, будто сделанное мною в предыдущей главе утверждение о том, что турбулентное рассеяние является гомогенным не на всем пространстве, а лишь на некотором фрактальном подмножестве, только углубляет пропасть между областями. Но я заявлял и заявляю: это не так. И у меня есть свидетельства в свою защиту.

 

ВАЖНОСТЬ ОСОБЕННОСТЕЙ

Припомним процедуру, которая позволяет успешно решать уравнения математической физики. Обычно сначала составляется список, который объединяет результаты, полученные решением уравнения при особых условиях, с результатами, предположенными на основании физических наблюдений. Далее, опуская связанные с этими решениями детали, мы составляем список элементарных «особенностей», характерных для рассматриваемой задачи. Начиная с этого этапа, часто бывает возможно решать более сложные варианты уравнения в первом приближении посредством идентификации подходящих особенностей и связывания их в требуемую последовательность. Именно так студент-аналитик строит график рациональной функции. Разумеется, стандартные особенности — это стандартные евклидовы множества, т. е. точки, кривые и поверхности.

 

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ: ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ - ЭТО ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА [386]

Рассматривая в таком свете сложности, возникающие при описании турбулентности с помощью решений Эйлера и Навье-Стокса, я склонен счесть их следствием того факта, что не существует стандартной особенности, которая объясняла бы воспринимаемые нами на интуитивном уровне характеристические признаки турбулентности.

Исходя из этого, я заявляю [386], что турбулентные решения фундаментальных уравнений включают в себя особенности или «почти особенности» совершенно иного рода. Эти особенности представляют собой локально масштабно-инвариантные фрактальные множества, а почти особенности — приближения к ним.

Самым простым основанием для данного утверждения можно считать такое соображение: раз уж стандартные множества оказались неспособны адекватно описать феномен, ничто не мешает попробовать следующие по изученности множества. Существуют, однако, и более конкретные основания.

 

НЕВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ (СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА)

Первое конкретное предположение. В моем вышеизложенном утверждении говорится, в частности, и о том, что особенности решений уравнений Эйлера представляют собой фрактальные множества.

Основания. Эта вера зиждется на одном очень старом правиле: симметрии и другие инвариантности, представленные в уравнении, «должны» быть отражены и в решении уравнения. (Самодостаточное, тщательное и красноречивое описание можно найти в четвертой главе книги Биркгофа «Гидродинамика» [37].) Безусловно, сохранение симметрии ни в малейшей степени не является всеобщим законом Природы, следовательно, здесь нельзя исключать и возможности «нарушения симметрии». Однако давайте предположим, что симметрия сохраняется, и посмотрим, что получится. Поскольку уравнения Эйлера независимы от масштаба, их типичные решения также должны быть независимы от масштаба, причем это условие должно соблюдаться и для любых особенностей, которыми они могут обладать. А так как безуспешность всех предшествующих попыток мы принимаем как свидетельство того, что эти особенности не являются стандартными точками, линиями или поверхностями, они должны быть фракталами.

Может, конечно же, случиться так, что форма границы и начальные скорости окажутся ограничены неким масштабом. Здесь, однако, следует учитывать еще одну возможность — локальное поведение решений может определяться «принципом отсутствия ощущения границы». В этом случае решения должны быть локально безмасштабны.

Исследования Александра Чорина. В 1981 г. Чорин [80] применил к анализу диапазона инерции в полностью установившейся турбулентности метод вихрей, чем весьма серьезно укрепил мои позиции. Чорин установил, что сильно растянутая завихренность собирается в тело уменьшающегося объема, размерность которого D~2,5 вполне согласуется с выводами, сделанными в главе 10. Поправка к колмого- ровским показателям, B=0,17±0,03, также согласуется с экспериментальными данными. Из расчетов следует, что решения уравнений Эйлера в трех измерениях становятся несправедливыми при конечном значении времени.

В своей следующей, неопубликованной, работе Чорин подходит еще ближе к экспериментальному значению: 2,5

 

ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ (СЛУЧАЙ НАВЬЕ-СТОКСА)

Второе конкретное предположение. Далее я утверждаю, что особенности решений уравнений Навье-Стокса могут быть только фракталами.

Неравенство размерности. На интуитивном уровне мы чувствуем, что решения уравнений Навье-Стокса должны непременно быть более гладкими, а значит — менее особыми, нежели решения уравнений Эйлера. Отсюда возникает следующее предположение: размерность особенностей в случае Эйлера превышает таковую в случае Навье-Стокса. Переход к нулевой вязкости можно, вне всякого сомнения, считать особенностью.

Почти особенности. Заключительное предположение моего общего утверждения касается пиков рассеяния, входящих в понятие перемежаемости: они представляют собой особенности Эйлера, сглаженные вязкостью.

Исследования В. Шеффера. Рассмотрение моих предположений для случая вязких жидкостей было впервые предпринято В. Шеффе- ром; некоторое время назад к нему присоединились и другие исследователи, желающие взглянуть в новом свете на поведение конечного или бесконечного объема жидкости, подчиняющегося уравнениям Навье-Стокса и обладающего в момент времени t=0 конечной кинетической энергией.

Шеффер [510] исходит из допущения, что особенности действительно имеют место, и показывает, что они непременно удовлетворяют следующим теоремам. Во-первых, фрактальная размерность их проекции на временную ось не превышает 1/2. Во-вторых, их проекция на пространственные координаты представляет собой в лучшем случае фрактал с размерностью 1.

Впоследствии обнаружилось, что первый из вышеприведенных результатов является следствием одного замечания в старой и довольно известной работе Лере [301], которая внезапно обрывается после получения формального неравенства, из которого как раз и следует первая теорема Шеффера. Хотя вряд ли ее можно назвать следствием — скорее, просто новая формулировка. Однако подобает ли нам относиться к этому свысока? Перенос чужих выводов в терминологически более изящную форму редко (и небезосновательно) расценивается как научное достижение, однако мне кажется, что для данного случая следует сделать исключение. Упомянутое неравенство из теоремы Лере было с практической точки зрения почти бесполезным, пока следствие Мандельброта-Шеффера не представило его миру в должной перспективе.

Все случаи применения размерности Хаусдорфа-Безиковича (во многом, кстати, шаблонные) в последних работах по уравнениям Навье-Стокса могут быть непосредственно выведены из моих предположений.

 

ОСОБЕННОСТИ ДРУГИХ ФИЗИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Другие явления, которые, как мне представляется, следует описывать с помощью масштабно-инвариантных фракталов, не имеют ничего общего ни с Эйлером, ни с Навье и Стоксом. Например, распределение галактик определяется уравнениями гравитации. Однако аргумент о сохранении симметрии применим ко всем масштабно-инвариантным уравнениям. В сущности, довольно туманное замечание Лапласа (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ, глава 41) можно теперь (задним числом!) истолковать так, будто оно намекает на тему главы 9.

В более общем смысле, фрактальный характер особенностей можно, скорее всего, проследить в неких обобщенных признаках, общих для самых различных уравнений математической физики. Может, это просто какой-то очень широкий род нелинейности? Мы еще вернемся к этому вопросу в главе 20 — правда, в несколько иной терминологии.