Хотя фундаментальные разделы фрактальной геометрии имеют дело исключительно с детерминированными конструкциями, истинный смысл и практическая значимость этих разделов остается неочевидной до тех пор, пока мы не исследуем случайные фракталы. И наоборот, изучение фракталов углубляет понимание природы случайности – по крайней мере, мне так кажется.

Первый довод в пользу введения случайности хорошо знаком любому ученому, и тем не менее, он – наряду с прочими, менее общеизвестными замечаниями общего характера – заслуживает отдельного комментария в настоящей главе. В следующей главе нам откроются новые горизонты, и мы убедимся, что введение случайности обусловлено также причинами, специфичными для теории фракталов.

 

<X> ОЗНАЧАЕТ ОЖИДАНИЕ, А ВЕРОЯТНОСТЬ ОБОЗНАЧАЕТСЯ СОКРАЩЕНИЕМ

P

T

Чуть ли не в каждой дисциплине принято свое собственное, отличное от других, обозначение для ожидаемого значения переменной X. Мы в настоящем эссе будем придерживаться обозначения, принятого у физиков, , преимущество которого заключается в собственных оригинальных скобках.

Пусть дана некая функция B(t) и ее приращение ΔB(t)=B(t+Δt)−B(t). Тогда величину назовем дельта-средним, а величину - дельта-дисперсией.

 

СТАНДАРТНАЯ РОЛЬ СЛУЧАЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

Вернемся к вопросу о протяженности побережья Британии. Как бы ни напоминала нам кривая Коха реальные географические карты, у нее есть один большой недостаток, с которым мы в почти неизменном виде сталкиваемся во всех ранних моделях реальных природных феноменов, рассмотренных в настоящем эссе. Ее элементы абсолютно идентичны между собой, а коэффициент самоподобия является частью масштаба и имеет вид

b−k , где b - целое число, т.е. 1/3, (1/3)2 и т.д.

Модель можно усовершенствовать, введя более сложные детерминированные алгоритмы. Такой подход, однако, не только слишком громоздок, но и обречен на неудачу, так как формирование любой береговой линии происходило в течение многих веков под влиянием многочисленных воздействий, которые, разумеется, никто не фиксировал и которые нельзя сейчас восстановить с какой бы то ни было степенью точности. Полное описание подобного процесса – совершенно безнадежная задача, и такие мысли лучше сразу выбрасывать из головы.

Физики – например, специалисты в теории броуновского движения – знают, как выйти из этого затруднительного положения. Они призывают на помощь статистику. В геоморфологии же без статистики и вовсе не обойтись. В самом деле, на молекулярное движение законы механики оказывают непосредственное влияние, а вот на геоморфологические структуры они влияют через посредство многочисленных и малоизученных факторов. Следовательно, у геоморфолога гораздо быстрее, чем у физика, возникнет искушение забросить подальше надежды на точное описание окружающей действительности и воспользоваться статистическими методами. В других областях, которые мы с вами намерены исследовать, современный уровень знаний о локальных взаимодействиях находится где-то посередине между соответствующими уровнями в физике и геоморфологии.

 

В ПОИСКАХ НУЖНОЙ СТЕПЕНИ СЛУЧАЙНОЙ ИРРЕГУЛЯРНОСТИ

Может ли случай быть причиной столь высокой степени иррегулярности, какую мы наблюдаем, скажем, в очертаниях береговых линий? Не только может, но и является; более того, во многих случаях степень случайной иррегулярности превосходит всякие разумные пределы. Словом, мы сильно недооцениваем силу случая. Физическая концепция случайности сформирована теориями, в которых случай играет существенную роль лишь на микроскопическом уровне, в то время как на макроскопическом уровне случай теряет свою значимость. У нас все будет не так: в масштабно-инвариантных случайных фракталах, о которых пойдет речь, важность случая одинаково велика на всех уровнях, включая и макроскопический.

 

ПРАГМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА СЛУЧАЙНОСТЬ

Взаимоотношения между статистической непредсказуемостью и детерминизмом ставят перед исследователем множество захватывающих вопросов, однако в рамках настоящего эссе мы о них говорить не будем. Вместо этого мы вспомним о первоначальном значении английского словосочетания «at random», восходящем к времени средневековья, когда упомянутое словосочетание пришло в английский язык из французского. Поговаривают, что фраза «un cheval á randon» никак не связана ни с математической аксиоматикой, ни с лошадиной психологией, а означает всего лишь иррегулярное движение, направление которого всадник не в состоянии предсказать.

Таким образом, несмотря на то, что случайность продолжает вызывать в людях всевозможные квазиметафизические порывы, в данном эссе нас мало заботит (позаимствуем цитату из Эйнштейна), «играет ли Господь Бог с нами в кости». Теория вероятности – единственный доступный нам математический инструмент, с помощью которого мы можем составить хоть какую-нибудь карту непознанного и неуправляемого. К нашему счастью, инструмент этот чрезвычайно мощен и удобен, хотя порой и норовист.

 

ОТ РЕКУРСИВНОСТИ К СЛУЧАЙНОСТИ

Кроме того, теория вероятности отлично сочетается с рекурсивными методами, преобладающими в этом эссе. Иными словами, вторая половина эссе следует за первой без нарушения непрерывности. Мы и далее будем фокусировать наше внимание на прецедентах, обладающих следующей особенностью: и их математическое определение, и графический алгоритм допускают запись в виде некоторой «обрабатывающей программы», содержащей внутреннюю петлю, причем каждый проход этой петли добавляет новые детали к тому, что было получено при предыдущих проходах.

Знакомая нам петля, порождающая троичную кривую Коха, легко представима в виде такой обрабатывающей программы. Однако другие неслучайные фракталы требуют дополнительной «управляющей программы», значимость которой нам следует сейчас подчеркнуть. Ее функции неуклонно – хотя и весьма занятным образом – эволюционируют в сторону большего обобщения. Первый этап этой эволюции: некоторые генераторы Коха (как нам известно из пояснения к рис. 79) можно применять в двух вариантах, прямом (S) или обратном (F), то есть их обрабатывающая программа нуждается в каком-нибудь контроллере, который будет сообщать ей перед началом каждой следующей петли, какой генератор применять - S или F. В общем же можно сказать, что различные управляющие последовательности порождают различные фракталы. Следовательно, при каждом последующем выборе величины M и соответствующей ей размерности D фрактальная петля с рис. 79 представляет собой в действительности не одну кривую, но бесконечное (счетное) семейство кривых – по одному семейству на каждую управляющую последовательность. Контроллер может либо считывать эту последовательность с какого-нибудь носителя, либо интерпретировать некоторую компактную инструкцию вида «чередовать S и F» или «применять на - м этапе генератор S (или F), если - й знак в десятичной записи числа π является четным (или нечетным)».

 

СЛУЧАЙНОСТЬ / ПСЕВДОСЛУЧАЙНОСТЬ

Многие случайные фракталы строятся по точно такой же схеме: интерпретирующий контроллер + процессор. Этот факт часто оказывается неочевиден (иногда с целью создания впечатления большей сложности), однако в рассматриваемых нами прецедентах, определяемых явной рекурсией, он прямо-таки бросается в глаза.

Простейший контроллер называется «последовательность бросков симметричной монеты», однако я никогда его не использовал. Современное компьютерное изобилие предоставляет в наше распоряжение другой контроллер – «генератор случайных чисел». На его вход подается так называемая затравка – некоторое целое число с заданным количеством двоичных знаков M. (Значение M определяется спецификой используемого оборудования; если ввести меньше, чем M знаков, то вакантные места заполняются слева нулями.) На выходе контроллера мы получаем некую последовательность из нулей и единиц. При моделировании игры Бернулли каждый знак выступает в роли результата броска симметричной монеты. А игра, состоящая из 1 000 бросков монеты, представляет собой в действительности последовательность из 1 000 отдельных псевдослучайных знаков.

Можно, однако, предположить, что где-то существует большая книга из 21000 страниц, в которой записаны все возможные результаты игры из 1 000 бросков, причем каждый результат на отдельной странице. Таким образом, становится возможным указать любую конкретную игру, просто выбрав соответствующую страницу из этой книги. Параметром случайности в этом случае является номер страницы, т.е. затравка.

Вообще говоря, число на выходе контроллера часто разбивается на цепочки, состоящие из A целых чисел. Поставив перед каждой такой цепочкой десятичную запятую, получим набор дробей U, каждая из которых называется «случайной величиной, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1.

На выходе генератора реального случайного множества получается не единичная функция или фигура, но этакий «большой портфель» из 2A страниц, каждая из которых посвящена отдельной фигуре. Номер страницы и здесь выступает в роли затравки.

Затравки одного вида, как и одинаковые семена, порождают схожие структуры. Разумеется, среди семян попадаются и дефектные, прорастающие в весьма нетипичные растения, однако мы вполне можем ожидать, что подавляющее большинство растений, полученных из семян одного вида, окажутся похожими в главном, допуская при этом некоторые различия в деталях.

Генератор случайных чисел – поворотный момент в любом моделировании. До него выполняются одинаковые для всех случаев операции, связанные с наведением мостов между теорией чисел и теорией вероятности и никак не зависящие от конкретной программы. Эти операции представляет собой типичные образчики детерминированных преобразований, имитирующих случайность согласно предписаниям теории вероятности. После генерации случайных чисел следуют специфичные для каждого случая шаги, соответствующие целям и задачам данного конкретного моделирования.

Вполне естественным представляется переход от вышеописанных практических материй к полноценной рекурсивной вероятности. Главная перемена при этом заключается в замене дробей с конечным числом знаков вещественными числами. В роли затравок теперь выступают какие-то таинственные «элементарные события», которые в математике вероятности обозначаются буквой ω. Для «интерпретации» ω в виде бесконечной последовательности Пейли и Винер [461] предлагают использовать обратную канторову диагонализацию.

 

ТЩЕТНОЕ ВЗЫВАНИЕ К СЛУЧАЙНОСТИ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ

Из предыдущего раздела можно сделать вывод, что теория случайности не так уж и сложна. К сожалению, она и не так проста. Может даже закрасться мысль о том, что для построения модели береговых линий, свободной от недостатков, присущих кривой Коха, но сохраняющей ее достоинства, достаточно случайным образом деформировать различные участки кривой и изменить их размеры, а затем вновь сцепить их вместе в случайном порядке.

Подобное взывание к случайности позволительно разве что в предварительных исследованиях, каковым позволением мы вволю попользовались в некоторых ранних главах настоящего эссе. Это не порок, если конечно, сам факт такого взывания ясно осознается автором и не скрывается от читателя. В некоторых случаях оно даже может быть реализовано при моделировании. В других же случаях одно лишь искусственное насаждение случайности есть не более чем пустой жест. Безусловно, описание правил, которые порождают приемлемые случайные кривые, представляет собой очень нелегкую задачу, так как геометрические множества всегда вложены в пространство. Одним лишь случайным изменением форм, размеров и порядка участков береговой линии можно добиться только получения бесполезного набора элементов, которые никакими стараниями не удастся увязать в цельную картину.

 

НЕОГРАНИЧЕННАЯ И САМООГРАНИЧЕННАЯ СЛУЧАЙНОСТЬ

Итак, мы с вами обнаружили неформальный отличительный признак огромный практической значимости. Иногда наш контроллер, управляющий действиями процессора, волен запускать новые циклы, не утруждая себя проверкой результатов предыдущих циклов и не опасаясь при этом какого бы то ни было рассогласования. Можно сказать, что такие модели имеют дело с неограниченной формой случайности. В других моделях поздние этапы построения, так или иначе, ограничены результатами предыдущих этапов и/или/ случайность самоограничена геометрией пространства.

Поясним это различие на примерах. Возьмем такую несложную задачу из комбинаторики, как построение на плоской решетке некоторого количества 2n- угольников с возможностью самопересечений. Генерацию таких многоугольников вполне можно поручить модели с ничем не ограниченной случайностью. Однако береговые линии самопересекаться не могут, и подсчет количества полигональных аппроксимаций береговой линии представляет собой задачу с сильно самоограниченной случайностью – задачу, решение которой до сих пор успешно ускользает и от лучших умов.

Так как задачи, связанные с самоограниченной случайностью, весьма сложны, в настоящем эссе они почти не затронуты (исключение составляет глава 36).

 

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Неравномерная случайная величина X представляет собой всего лишь значение монотонной неубывающей функции x=F−1 (u). Обратная функция U=F(x) называется вероятностью . (Что касается разрывов в функциях F(x) и F−1 (u), то они требуют очень тщательно продуманных формулировок.)

В главах 6, 13 и 14 мы использовали в рассуждениях выражение . Его вероятностный аналог называется гиперболическим распределением и фигурирует во многих последующих главах эссе. Свойство весьма любопытно, но ни в коем случае не является поводом для паники. Оно оказывается столь же желательным и легкоусвояемым, как и свойство в главе 13. Обращаться с ним все же следует осторожно, однако технические подробности нас в данный момент не занимают, поэтому мы их опустим.

 

ТИПИЧЕСКИЕ РАЗМЕРНОСТИ

D

И

D

T

СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ

Понятие размерности случайного множества несколько отличается от того, к какому мы привыкли. В нашем «большом портфеле», объединяющем некоторую совокупность случайных множеств, каждая страница соответствует какому-либо множеству и, следовательно, имеет собственные значения D и DT , закрепленные именно за данным множеством. Эти значения меняются от одного образца (или страницы) к другому, но во всех рассматриваемых нами случаях их распределение остается простым.

Существует некоторое количество образцов с отклонениями («дефектных семян»), размерность D которых может принимать какие угодно значения, однако совокупная вероятность их проявления стремится к нулю. Все остальные множества характеризуются некоторым общим значением D, называемым «почти истинным значением».

Я полагаю, что вышесказанное верно и для DT , и надеясь, что эта тема привлечет внимание математиков.

Почти истинные значения являются во всех отношениях «типичными» для данной совокупности множеств. Например, ожидаемое значение D оказывается равным почти истинному.

С другой стороны, следует даже в мыслях избегать отождествления этого значения с размерностью некоего «среднего» для данной совокупности множества. Давайте, к примеру, представим себе картину симметричного случайного блуждания и попробуем определить среднее блуждание. Если оно представляет собой процесс, при котором каждое последующее положение является средним от соответствующих положений всей совокупности блужданий, то такое среднее блуждание «нигде не блуждает»: точке так и не удается покинуть свое исходное положение. Следовательно, D=0, тогда, как нам известно (см. главу 25), что почти для всех случайных блужданий D=2. Единственным средним множеством, которое мы можем признать «безопасным» в смысле размерности, является множество, характеризуемое средним для всей совокупности значением D; безопасность этого определения - в его цикличности.

Для оценки размерности D случайного фрактала сгодится любой метод, применяемый к неслучайным фракталам. Следует, однако, помнить о предупреждении, сделанном в главе 13: если часть фрактального множества, заключенная внутри шара радиуса R с центром внутри множества, стремится обладать мерой («массой»), удовлетворяющей соотношению , то Q не обязательно является размерностью.

 

Пересказывая в предыдущей главе общеизвестные доводы в пользу случайности, я не делал каких-либо различий между стандартными и фрактальными моделями. В стандартные модели рандомизация привносит значительные улучшения, однако и неслучайные модели остаются во многих отношениях вполне приемлемыми. В этой главе я намерен показать, что действительно рабочей фрактальной модели без случайности не обойтись.

 

ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ СДВИГАХ. СИММЕТРИЯ

Для дальнейших рассуждений нам понадобится понятие симметрии в его древнем философском смысле. Под симметрией мы будем понимать не «зеркальную» симметрию относительно оси, а сочетание оригинального значения греческого слова συμμετρια, которое можно передать как «следствие соразмерности различных составных частей и целого» (см. [590]), и значения, принятого в современной физике, исходя из которого, симметрия становится синонимом инвариантности.

Самым существенным недостатком неслучайных фракталов является их недостаточная симметричность. Первые же направленные в их сторону упреки, выраженные в терминологии самых различных наук, указывали на невозможность построить неслучайный фрактал, инвариантный при сдвигах (т.е. стационарный), и, как следствие, на несоответствие неслучайных фракталов космологическому принципу.

Во-вторых, неслучайный фрактал не может быть однородно масштабно-инвариантным – в том смысле, что он допускает лишь дискретную последовательность коэффициентов подобия вида rk .

Проблема образования скоплений галактик настолько важна, что я решил построить наше теперешнее обсуждение именно вокруг нее – это эссе уже во второй раз вносит свой вклад в развитие астрономии.

 

КОСМОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП

Постулат, согласно которому настоящее время и наше положение на Земле не является ни центральным, ни сколько-нибудь особенным, а законы Природы должны быть одинаковы всегда и везде, называется космологическим принципом.

Это утверждение, формализованное А. Эйнштейном и Э. А. Милном (см. [445], с. 157), подробно обсуждается в [43].

 

УСИЛЕННЫЙ КОСМОГРАФИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП

Применяя космологический принцип во всей его первозданной мощи, можно потребовать, чтобы распределение материи всегда подчинялось в точности идентичным законам, независимо от системы отсчета (т.е. от начала координат и координатных осей), в которой производилось наблюдение. Иными словами, распределение должно быть инвариантным при сдвигах.

К выбору названия для этого следствия нужно подойти с должной осторожностью. Поскольку оно относится не столько к теории (λογος), сколько к описанию (γραφη), и поскольку мы вскоре предложим целый ряд более слабых его версий, представляется разумным определить его как усиленный космографический принцип.

Основополагающая идея такого принципа вполне могла бы быть позаимствована из доктрины «ученого незнания» Николая Кузанского (1401 – 1464): «В каком месте человек находится, то место и полагает центром мироздания»; «Центр мироздания находится везде, и, следовательно, нигде; нигде располагаются и его пределы».

 

КОСМОГРАФИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП

Распределение материи, однако, не является строго однородным.

Наиболее очевидный ослабленный вариант нашего принципа получается посредством введения случайности (в ее стандартном виде, описанном в предыдущей главе). Теоретики от вероятности называют такой вариант принципом статистической стационарности, мы же, согласованности ради, назовем его однородным статистическим космографическим принципом. Суть его заключается в следующем: распределение материи следует одинаковым статистическим законам, независимо от системы отсчета.

 

В ЗАТРУДНИТЕЛЬНОМ ПОЛОЖЕНИИ

Применение вышеупомянутого принципа к кластеризации галактик ставит перед исследователем весьма непростые задачи. Вселенная Фурнье (см. главу 9), разумеется, донельзя неоднородна, но, может быть, есть еще надежда на то, что нам удастся рандомизировать эту модель с тем, чтобы привести ее в соответствие с однородным космографическим принципом. Однако для сохранения в неприкосновенности духа модели необходимо, чтобы при рандомизации не пострадало то ее свойство, согласно которому приблизительная плотность M(R)R−3 в сфере радиуса R стремится к 0, когда R→∞. К сожалению, это свойство и однородный статистический космографический принцип суть вещи несовместимые.

Возникает искушение придать большее значение общему принципу, нежели всего лишь данным, и сделать вывод, что иерархическая кластеризация должна по достижении некоторого конечного верхнего порога прекратиться, т.е. все флуктуации являются локальными по своей протяженности, а общая плотность материи все же отлична от нуля.

Для осуществления этой идеи можно, например, взять бесконечное множество вселенных Фурнье и разбросать их повсюду статистически однородным образом. Еще один вариант, предложенный Р. М. Сонейрой, обсуждается в книге [467].

 

УСЛОВНАЯ СТАЦИОНАРНОСТЬ

Я все же полагаю, что однородный статистический космографический принцип, пожалуй, выходит за рамки разумного и желательного и что его следует заменить еще более ослабленной формой (назовем ее условной), которая относится не ко всем наблюдателям, а только к материальным. Астрономы, должно быть, сочли бы такой принцип вполне приемлемым и давно взяли бы его на вооружение, заподозри они, что от него может быть хоть какая-то реальная польза. А польза есть: условная форма не содержит никаких допущений относительно глобальной плотности и признает соотношение .

Попробую теперь выразить мысли в менее напористой манере. Известно, что примирить усиленный космографический принцип с тем обстоятельством, что действительное распределение галактик чрезвычайно далеко от однородного, - задача очень сложная, если не вовсе невыполнимая. С одной стороны, если глобальная плотность δ материи во Вселенной стремится к нулю, то усиленный космографический принцип, должно быть, неверен. С другой стороны, если величина δ мала, но отлична от нуля, то усиленный космографический принцип выполняется асимптотически, хотя в интересующих нас масштабах от него нет никакой пользы. Вы, возможно, захотите держать его про запас, если вас это успокаивает. Возможно также, что вы предпочтете отбросить его совсем во избежание потенциальных недоразумений. Наконец, вы можете удовлетвориться заменой его на другой принцип, который имеет смысл во всех масштабах и независим от того, равна нулю или положительна плотность δ. Последний подход предполагает разбиение усиленного космографического принципа на две части.

 

УСЛОВНЫЙ КОСМОГРАФИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП

Условное распределение. В тех случаях, когда начало системы отсчета само является материальной точкой, вероятностное распределение масс называется условным.

Основное космографическое допущение. Условное распределение масс одинаково для всех удовлетворяющих условию систем отсчета. В частности, масса M(R), заключенная внутри шара радиуса R, является случайной величиной, независимой от системы отсчета.

Формулировка условного космографического принципа звучит совершенно одинаково как для случая δ>0, так и для случая δ=0. Это принято с эстетической стороны и имеет преимущества со стороны философской, поскольку согласуется с духом современной физики. Разделяя усиленный космографический принцип на две части, мы получаем возможность выдвинуть на первый план утверждение, которое справедливо для всего, что мы можем наблюдать, и не придавать излишнего значения утверждению, которое является не более чем актом веры, - в лучшем случае, рабочей гипотезой.

 

ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ ДОПУЩЕНИЕ О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ОБЩЕЙ ПЛОТНОСТИ МАТЕРИИ

Вспомогательное космографическое допущение. Величины

и

существуют, почти наверняка равны между собой, положительны и конечны.

 

СТАНДАРТНЫЙ СЛУЧАЙ,

Δ>0

Статистические законы распределения материи можно формулировать различными способами. Можно воспользоваться при этом абсолютным распределением вероятностей относительно системы отсчета, центром которой является материальная точка. В том случае, когда вышеупомянутое вспомогательное допущение подтверждается, условное распределение вероятностей выводится из абсолютного с помощью самого обыкновенного правила Байеса. А абсолютную вероятность можно вывести из условной вероятности, найдя среднее из значений последней относительно начал отсчета, однородно распределенных в пространстве.

Начала отсчета, однородно распределенные по всему пространству, обладают, в общей сложности, бесконечной массой. Неусловное распределение можно переформировать – с тем, чтобы свести его к единице – тогда и только тогда, когда глобальная плотность положительна. См. [352].

 

НЕСТАНДАРТНЫЙ СЛУЧАЙ,

δ=0

Представим теперь обратную ситуацию – такую, в которой вспомогательное допущение ложно, а точнее, в которой предел обращается в нуль. В этом случае абсолютное распределение вероятностей указывает лишь на то, что некий случайно выбранный шар конечного радиуса R почти наверняка окажется пустым. А значит тот, кто сидит на выбранной в пространстве случайным образом точке и глазеет по сторонам, почти наверняка ничего не увидит. Однако вероятностное распределение масс интересно человеческим существам лишь в той степени, в какой оно объясняет положение дел в реальной Вселенной, где как известно, масса в нуль не обращается, по крайней мере, в окрестности места обитания этих самых существ. После того, как событие произошло, абсолютная вероятность именно этого события представляет весьма ограниченный интерес.

Тот факт, что неусловное распределение автоматически пренебрегает подобными случаями, говорит о вопиющей его неадекватности при δ=0. Оно не только не совместно с массой, содержащейся в любом фрактале с размерностью D<3, но и не сообщает нам абсолютно ничего, кроме того, что δ=0.

Условное распределение вероятностей, напротив, проводит четкие границы между фракталами с разными фрактальными размерностями, между масштабно-инвариантными и масштабно-неинвариантными фракталами, а также между разными прочими допущениями.

 

НЕСТАНДАРТНЫЕ «ПРЕНЕБРЕЖИМЫЕ СОБЫТИЯ»

Нестандартный случай δ=0 ставит физика лицом к лицу с двумя событиями. Одним из них, почти неизбежным, можно пренебречь; другим же, почти невероятным, не просто нельзя пренебречь – его следует тщательно проанализировать на предмет наличия более мелких подсобытий.

Это противопоставление с точностью до наоборот повторяет то, к какому мы все привыкли в нашей повседневной жизни. Среднее число выпадений орла в очень длинной серии бросков симметричной монеты может и не сходиться к половине от общего числа бросков, однако вероятность такой необходимости очень близка к нулю и поэтому совершенно нас не занимает. Если какой-либо вывод статистической механики (например, принцип увеличения энтропии) почти наверное справедлив, то вероятность того, что произойдет нечто противоположное, приближается к нулю, и поэтому ею можно пренебречь. Очевидно, что под тем, что следует после «поэтому» в двух предыдущих предложениях, подразумевается нечто полностью противоположное тому, что намерен предпринять в космографии я.

 

ВО ИЗБЕЖАНИЕ СТРАТИФИКАЦИИ

Следующая форма симметрии касается преобразования подобия. В том случае, когда элементы неслучайного фрактала на каждом этапе его построения уменьшаются в r раз, допустимые коэффициенты подобия имею вид rk . Если же значение r на каждом этапе меняется (r1 ,r2 ,...), выбор допустимых общих коэффициентов подобия оказывается более широк, однако до полной свободы этому выбору еще очень далеко.

Иными словами, неслучайные фракталы являют собой воплощение понятия сильно иерархической структуры; подобные множества я предпочитаю обозначать термином сильно стратифицированные. Некоторые из стратифицированных моделей по душе физикам, поскольку такие модели очень удобны в смысле вычислений. С точки же зрения философии это свойство представляется весьма неприятным; что же касается галактик, то нет никаких прямых свидетельств, подтверждающих существование таких стратифицированных скоплений. Вот почему повсюду слышатся призывы (особенно в [104]) к «распространению идей Шарлье на квазинепрерывные модели флуктуаций плотности с целью разработать замену для чрезмерно упрощенной оригинальной дискретной иерархической модели».

Это пожелание невозможно удовлетворить с помощью неслучайных фракталов, а вот случайным фракталам оно вполне по силам, что я и намерен продемонстрировать.

 

НЕСТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ УСЛОВНО-КОСМОГРАФИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ МИРЫ

Как я уже указывал, астрономы вряд ли стали бы a priori возражать против идеи условности, и будь за ней признаны хоть какие-нибудь достойные внимания следствия, идея эта вскоре превратилась бы в банальность и общее место. Я берусь доказать, что идея условности представляет собой не просто формальное уточнение принципа, а его подлинное обобщение – именно с этой целью я столь подробно описываю в главах с 32 по 35 некие конструкции, обладающие следующими свойствами:

· Они индуцируют нулевую глобальную плотность.

· Они удовлетворяют условному статистическому космографическому принципу.

· Они не удовлетворяют никакой другой форме космографического принципа.

· Они масштабно - инвариантны при любом значении r.

· По своей конструкции они не являются стратифицированными, однако индуцируют кажущуюся иерархическую структуру как следствие размерности D<2.

· Наконец, они согласуются с количественными данными.

Всеми этими свойствами, кроме последнего, обладает любая из моих моделей. Что касается количественного согласования, то при продвижении от главы 32 к главе 35 оно демонстрирует несомненную тенденцию к улучшению. Таким образом, стоит лишь расположить мои модели наиболее естественным образом, т.е. в порядке возрастания их сложности, и мы получим ряд со все более точным согласованием с наилучшими из имеющихся анализов экспериментальных данных.

 

АНОНС

Поприветствовав таким образом прекраснейшие виды, открываемые нашему изумленному взору совершенно рандомизированными фракталами, мы сдержим наш порыв и не устремимся немедленно к созерцанию этих моделей, поскольку они встретят нас кое-какими математическими сложностями, к которым мы еще не готовы. В процессе подготовки неплохо было бы просмотреть главы с 23 по 30, в которых я обещаю держаться вблизи сравнительно знакомых нам вероятностных берегов.