Четыре долгих года провела Софья Васильевна в Берлине. За это время она написала три крупные математические работы, обессмертившие ее имя: «К теории дифференциальных уравнений в частных производных», «О приведении одного класса абелевых интегралов к интегралам эллиптическим» и «Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме кольца Сатурна». Вейерштрасс мог гордиться своей ученицей: за любую из этих работ ей могла быть присвоена первая степень — доктора философии. Вкратце остановимся на этих работах.
Исследование «К теории дифференциальных уравнений в частных производных», посвященное наиболее трудным областям математического анализа, в то же время могло широко применяться для решения задач механики и физики. Здесь Ковалевская ярко продемонстрировала свой незаурядный талант. Она нашла оригинальный путь решения подобных задач, разработав постепенность перехода от более простого к более сложному, а затем привела все сложное к простому. Кроме того, она рассмотрела в теореме уравнение теплопроводности и открыла в нем некоторые особые случаи, неизвестные ранее математикам.
Когда она представила свой труд в Парижскую академию, там установили, что до нее подобную работу написал знаменитый французский ученый Огюстен Коши. Об этом исследовании ни профессор Вейерштрасс, ни Ковалевская ничего не знали, и это было вполне понятно — Коши создал около восьмисот работ, и знать их все было невозможно. Правда, Коши решил эту проблему в более частном виде, а Ковалевская во всем объеме, да еще придала ей идеально законченную форму. Это исследование вошло в золотой фонд математики под названием «Теорема Коши — Ковалевской».
Вторая работа Ковалевской относилась к менее сложным разделам математического анализа.
Когда-то, много лет назад, профессор Вейерштрасс тоже начинал свои первые исследования с работ замечательного норвежского математика Абеля, с его высших трансцендентных функций. Как известно, простейшая кривая, ограничивающая плоскость, — круг. Площадь его может вычислить школьник. Так же легко вычислить объем шара. А если кривая или плоскость имеют неправильную форму, как тогда вычислить площадь или объем?
Задача эта, возникшая еще в глубокой древности, до сих пор имеет огромное практическое значение. Решают ее с помощью так называемого интегрального исчисления. Интеграл — это предел, к которому стремится сумма бесконечно большего числа бесконечно малых слагаемых. С помощью интегралов можно вычислить площади и объемы фигур, ограниченных кривыми линиями или плоскостями. Делают это так: сначала всю фигуру разбивают на узкие прямоугольники. Площадь прямоугольника вычислить легко, поэтому, сложив сумму площадей всех прямоугольников, мы получим приближенное значение площади фигуры. Разумеется, чем больше прямоугольников и чем меньше площадь каждого из них, тем точнее будет результат. А самый точный результат будет тогда, когда прямоугольников бесконечное множество. В этом случае сумма их площадей стремится к пределу, ограниченному кривой, то есть к интегралу. Таким же образом вычисляются объемы, длины дуг и т. д.
Сложность интеграла зависит от формы кривой, ограничивающей площадь. Абелевы интегралы относятся к очень сложным кривым и в порядке возрастания сложности имеют несколько рангов — первый, второй, третий и т. д. Решить интегралы Абеля — значит упростить их, найти приемлемые формулы.
Задачей упрощения абелевых интегралов второго ранга занимался профессор Кенигсбергер, у которого училась Ковалевская. Софья Васильевна упростила еще более сложные интегралы — третьего ранга.
Свою третью работу Ковалевская посвятила форме кольца Сатурна.
Сатурн, единственная в солнечной системе планета, опоясанная кольцом, которое имеет вид тора (баранки). Но каково поперечное сечение кольца? Французский математик и астроном Лаплас в своем труде «Небесная механика» предположил, что кольцо Сатурна состоит из нескольких тонких, не влияющих одно на другое жидких колец, и определил его поперечное сечение как эллипс.
Ковалевская нашла более точное решение этой задачи. Она определила, что поперечное сечение кольца Сатурна, чтобы оказаться в установившемся равновесии, должно было в жидком состоянии принять яйцеобразную форму, то есть форму овала, симметричного только одной прямой. Эта работа Ковалевской была опубликована в немецком астрономическом журнале, затем подробно изложена французским астрономом Тиссераном в курсе небесной механики, а основной результат, касающийся поведения жидкой массы, включен в курс гидродинамики Ламба.
В 1873 году Софья Васильевна была вынуждена прервать занятия с Вейерштрассом и уехать в Швейцарию. Настолько плохо было ее здоровье. Сказались непосильная работа и до сих пор неустановившиеся отношения с мужем. Врачи ей настоятельно рекомендовали пожить в местности с мягким климатом, и Софья Васильевна выбрала Цюрих. Там жила Анна с мужем, и туда же собирались родители.
Двусмысленность положения чрезвычайно тяготила Софью Васильевну. Приехавшие в Цюрих родители своими хотя и деликатными вопросами о ее семейных делах еще больше осложняли ей жизнь.
«…Я положительно не намерена кормить их баснями, — писала Ковалевская мужу, — мне и без того в разговорах с ними постоянно приходится краснеть, когда разговор коснется какой-нибудь из множества басен, которые мы им совсем ненужным образом наврали». Софья Васильевна приглашала мужа приехать и вместе разобраться в их отношениях.
Владимир Онуфриевич пообещал, но приехать не смог: был очень занят.
Пока Ковалевская создавала свои блестящие математические работы, Владимир Онуфриевич тоже самозабвенно трудился, его ум, мысли и сердце захватила палеонтология.
Выбрав палеонтологию позвоночных, он с увлечением занялся ею: «Только тут мы можем сделать что-нибудь разумное… все это даст и даже отчасти дает нам разумная палеонтология, и мне кажется, это поле — очень благодарное для будущего пятидесятилетия», — писал он брату.
Владимир Онуфриевич уехал в Вену, чтобы получить там диплом доктора. Действительно, его работа была признана важнейшей палеонтологической работой последних двадцати пяти лет и получила заслуженную известность.
В 1872 году Йенский университет выдал Ковалевскому докторский диплом. Казалось, все идет хорошо, Ковалевский собирался работать в России, но на родине его подстерегала неожиданная неудача.
Незадолго до поездки в Россию он отрицательно отозвался о работе некоего И. Ф. Синцова, а обстоятельства сложились таким образом, что сдавать магистерский экзамен в России, без которого Ковалевский не мог быть допущен к работе, ему пришлось у того же Синцова, который не простил обиды и провалил его на экзамене по геологии и палеонтологии. Совершенно обескураженный неудачей, Владимир Онуфриевич снова поехал за границу. Венские и мюнхенские профессора приняли у него экзамены по палеонтологии и геологии и дали самые высшие оценки. Но на врагов ученого это не произвело никакого впечатления. Тогда Ковалевский напечатал «Заметку о моем магистерском экзамене» и опубликовал лестные отзывы принимавших у него экзамены профессоров. О многих его злоключениях Софья Васильевна не подозревала и удивлялась, почему муж не может оторваться от своих дел и повидаться с ней. И она писала ему письма, полные упреков. Владимир Онуфриевич не знал, что ему делать, — он чувствовал, что они с Софьей Васильевной разные люди, но в то же время он любил ее и готов был делать все, чтобы облегчить ей жизнь. Поэтому он и не посвящал жену в свои невеселые и сложные дела.
Ковалевский даже написал ей иносказательное письмо, что согласен дать развод, взяв на себя всю вину. Однако Софья Васильевна не приняла этой жертвы.
«…если я когда-нибудь верну себе мою свободу, о которой, впрочем, менее сокрушаюсь, чем вы думаете, то это будет моими собственными силами и притом главным образом с целью вернуть вам вашу…» — немедленно ответила она.
Постепенно их письма начали делаться все более теплыми и дружескими. Они снова стали поверять друг другу свои радости и неудачи, делиться результатами своей работы, и у обоих крепло убеждение, что им надо быть вместе.
Настроение у Софьи Васильевны резко изменилось, она стала веселой, общительной; волнения и тревоги покинули ее. Она с удовольствием встречалась с новыми людьми и много времени проводила с учеником Вейерштрасса математиком Германом Амандусом Шварцем, который преподавал в Цюрихском политехникуме. Незадолго до приезда Софьи Васильевны Вейерштрасс прислал ему свои лекции по теории абелевых функций, записанные Ковалевской. Узнав, что она приехала в Цюрих, Шварц пожелал немедленно встретиться с замечательной женщиной-математиком. Знакомство состоялось, они подолгу беседовали, и оказалось, что у них одинаковые планы будущих работ. Софья Васильевна впервые встретила человека с одинаковыми научными устремлениями. Имея такого друга, можно сделать в науке бесконечно много, и ей не захотелось возвращаться в Берлин к Вейерштрассу. Но чувство долга не позволяло изменить старому учителю.
В это время Вейерштрасса назначили ректором Берлинского университета, и Ковалевская обрадовалась удобному предлогу: многочисленные обязанности ректора, вероятно, не оставят профессору времени для частных занятий.
Будто угадав ее колебания, Вейерштрасс написал: «Если говорить совершенно серьезно, то, милая и дорогая Софа, будь уверена, что именно моей ученице я обязан тем, что обладаю не только моим лучшим, а единственным действительным другом. Поэтому, если ты и в будущем сохранишь то же отношение ко мне, которое проявляла до сих пор, то ты можешь быть твердо уверена, что я всегда буду преданно поддерживать тебя в твоих научных стремлениях».
После такого письма Ковалевская не решилась оставить этого благородного, одинокого человека, хотя она уже освоила его идеи, идеи Шварца привлекали ее своей новизной. Чувство долга взяло верх: «Я чувствую, что предназначена служить истине-науке и прокладывать новый путь женщинам, потому что это значит служить справедливости. Я очень рада, что родилась женщиной, так как это дает мне возможность одновременно служить истине и справедливости».
Так в свои двадцать три года Софья Васильевна определила свой жизненный путь — наука и справедливость.
Ковалевской надо было возвращаться в Берлин. Предстояла решающая битва — получение докторского диплома. Но ей хотелось вернуться туда вместе с мужем. Они встретились, произошло наконец решительное объяснение и примирение: фиктивный брак превратился в брак по велению сердца. Через несколько дней супруги вместе выехали в Берлин.
Вопрос о докторском дипломе для своей любимой ученицы беспокоил и Вейерштрасса. Где защищать ей диссертацию? В Берлине это было невозможно. Да и в каком другом университете его маститые коллеги, возмущенные тем, что женщина вздумала посягать на святая святых, не провалят его ученицу? И все-таки он нашел выход. По немецким законам иностранец мог получить степень без личной защиты диссертации. Достаточно было представить свои работы.
Вейерштрасс написал в Геттингенский университет, что считает справедливым, если Ковалевской присвоят степень без личной защиты, так как претендентка представляет собой ярчайший математический талант. В ответ университет выразил сомнение: нужно ли присуждать степень, если Ковалевская не работает в этой области и, видимо, не собирается работать в дальнейшем. Тогда Софья Васильевна, отправив в университет все документы, обязательную автобиографию на латинском языке, приложила к ним объяснение.
«Милостивый государь!
Позвольте мне прибавить еще несколько слов к присланному мной в ваш факультет прошению о присуждении мне звания доктора философии.
Мне было нелегко решиться на шаг, который должен был вывести меня из состояния неизвестности, в котором я до сих пор находилась. Только одно желание доставить удовольствие близким мне людям, желание дать им настоящее понятие о себе, убедить их в том, что я действительно серьезным образом и небезуспешно занималась математикой, которую изучала исключительно по любви, без всяких посторонних целей, заставило меня отбросить в сторону все колебания. Этому способствовало и полученное мною сведение, что я, как иностранка, могу быть признана вашим факультетом в звании доктора и если только представленные мною работы будут сочтены удовлетворительными и если я вместе с тем представлю и свидетельства о своих занятиях от компетентных лиц. В сущности — надеюсь, что вы не перетолкуете в дурную сторону мое откровенное признание — я и сама не знаю, хватит ли у меня уверенности и самообладания, необходимых для examen rigorosum, я боюсь, что необычайность обстановки, среди которой мне придется отвечать на вопросы совершенно незнакомых мне лиц, напротив того, приведет меня в страшное смущение, несмотря на мое убеждение в любезной снисходительности господ экзаменаторов. К этому нужно еще прибавить, что я не вполне свободно владею немецким языком, когда дело идет об устном выражении своих мыслей, хотя, с другой стороны, я привыкла употреблять его при математических занятиях и пишу на нем удовлетворительно, когда у меня есть достаточно времени для обдумывания своих фраз. Это мое неумение говорить по-немецки происходит оттого, что я всего пять лет тому назад принялась за изучение этого языка, из которых четыре прожила в Берлине в полном уединении, так что только в часы, уделяемые мне моим многоуважаемым учителем, имела случай слушать немецкую речь и говорить по-немецки. На основании всего этого я осмеливаюсь обратиться к вам, милостивый государь, с покорнейшей просьбой оказать мне свое любезное содействие в деле освобождения меня от examen rigorosum».
После длительной переписки совет Геттингенского университета присудил Софье Васильевне Ковалевской ученую степень доктора философии по математике и магистра изящных искусств «с наивысшей похвалой», и при выдающейся работе от обязательных экзаменов ее освободили.
Словно маленькая девочка, радовалась Ковалевская, разглядывая диплом в красивом бархатном футляре, подаренном профессором Вейерштрассом.
Наконец-то она добилась победы!
Как хотелось Вейерштрассу оставить у себя Ковалевскуго еще на годик-другой! Как хотелось отдать ей все — не знания, их он уже отдал, а те еле уловимые смутные наметки, догадки, интуитивное прозрение нерешенных математических вопросов, которые он сам уже не успеет осуществить. А она, молодая, смелая, талантливая, она осуществила бы их под его руководством. Но Ковалевская рвалась в Россию, период ученичества кончился. Софья Васильевна и Владимир Онуфриевич стали настоящими учеными.
Ковалевский, обобщив свои исследования, на основании созданной им классификации копытных самым убедительным образом доказал общность происхождения их от одного предка. Его классические работы, послужившие основой научной сравнительной палеонтологии, подтвердили эволюционную теорию Дарвина. Ковалевский подчеркивал тот факт, что животный мир надо изучать в связи с геологическим временем, обязательно принимая во внимание его настоящее, прошлое и будущее. Он же заложил основы палеоэкологии — науки, устанавливающей тесную связь между строением скелета животного, его образом жизни, питанием и особенностями окружающей среды.
Свой труд «Опыт естественной классификации ископаемых животных» Владимир Онуфриевич хотел посвятить Дарвину и спросил его разрешения.
«Посвящение, о котором Вы говорите, будет для меня очень лестно, и я смотрю на него как на высокую честь», — написал ему замечательный ученый, а он чрезвычайно редко одобрял чужие работы.
Супруги Ковалевские мечтали о большой самостоятельной работе, которая принесет славу не только им, но и родине. Поэтому, выполнив все формальности, тепло попрощавшись со старым профессором, они сели в поезд и помчались навстречу милой, желанной, родной России.